wellington antonio soares_d

8/3/2019 Wellington Antonio Soares_D

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CNENiSP^^^W^ l"stituto de Paaquimmm J l # ^ 7 * Energlicm* Mucimrm

A U T A R Q U I A ASSOCIADA UNIVERSIDADED E SO PAULO

D E T E R M I N A O DE PARMETROS DA MEC NICA DEF R A T U R A A PARTIR DE IMAGENS F O T O E L S T I C A S ,

USANDO P R O C E S S A M E N T O DIGITAL

WELLINGTON ANTONIO S O A R E S

Tese apresentada como parte dosrequisitos para obteno do Grau deDoutor em Cincias na rea deReatores Nucleares de Potncia eTecnologia do Combustvel Nuclear.Orientador:Prof. Dr. Arnaldo Homobono Paes deAndrade

S o Paulo1 9 9 7


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I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S E N E R G T I C A S E N U C L E A R E SAutarquia Associada Univers idade de So Paulo

D E T E R M I N A O D E P A R M E T R O S D A M E C N I C A D EF R A T U R A A P A R T I R D E I M A G E N S F O T O E L S T I C A S ,U S A N D O P R O C E S S A M E N T O D I G I T A L

W E L L I N G T O N A N T O N I O S O A R E STese apresentada com o p arte dos requisi tospara obteno do Grau de Doutor em Cinciasna rea de Reatores Nu cleares de Potncia eTecnologia do Combust vel Nuclear .

Orientador : Prof. Dr. Arnaldo Homobono Paes de Andrade

So Paulo1 9 9 7

J O M i S S O WAf.iCNil D F F N E R G t A MJCl F A P / 5 ; p iPPk


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D E D I C A T O R I A

Dedico este trabalho aos meus pais , Lino Soares de Souza (in memoriam) e MisblandeMaria de Souza (dona Mezinha) . Dedico, a inda, em especia l minha esposa SandraEl iana Correa Soares e aos meus f i lhos Well ington Antonio Soares Jnior e Gui lhermeCorrea Soares, os quais foram os mais prejudicados pela minha ausncia fs ica e espiri tualdurante a etapa de realizao desta tese.


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A G R A D E C I M E N T O SAo Centro de Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear - CDTN e ao Ins t i tuto de PesquisasEnergt icas e Nucleares - IPEN, pela oportunidade que me deram em poder conci l iar asminhas atividades tcnicas normais com a realizao deste trabalho de tese. Ao CentroTecnolgico da Marinha - CTMSP, pelo apoio com hospedagem, em So Paulo, durante aobteno de crdi tos do doutorado.Ao Dr. Arnaldo Homobono Paes de Andrade, pela pronta acei tao em orientar es tetrabalho e pela contribuio na parte tcnica da tese e na agil izao dos trmites burocrt icos jun to ao Cu rso de Ps-gradu ao.Ao Dr. Fernando Soares Lameiras , um dos grandes incent ivadores da renovao do quadrode doutores do CD TN . Dra. Solange Vaz C oelho, pelo apoio e entus iasm o com a reali zao des te t rabalho. Ao Dr. Waldemar Augusto de A. Macedo, um dos grandes faci l i tadores do meu des locamento para So Paulo, durante a real izao do doutorado.Aos colegas de t rabalho, Tnius Rodrigues Mansur , Geraldo de Paula Mart ins , MarcosCameiro de Andrade e Vanderley de Vasconcelos , que leram cuidadosamente es ta tese e aenriqueceram com suas suges tes e correes . Ao colega Lcio Carlos Mart ins Pinto, peloapoio na rea de computao. A pesquisadores , tecnologis tas , tcnicos de nvel mdio,bibl iotecr ias e secretr ias do CDTN e do IPEN e outras pessoas que porventura tenhaesquecido de c i tar , que, di re ta ou indire tamente , contr iburam para o desenvolvimentodes te t rabalho.Aos doutores Jos Luiz de Frana Frei re e Marco Antnio M. Cavaco, pelo apoio naobteno experim ental d e isocromt icas em po nta de tr inca, no laboratrio de fotomecnicada Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro.Ao professor Slvio Tlio Corra, pela reviso do texto da tese em relao l nguaportuguesa . Fundao de Amparo Pesquisa do Es tado de Minas Gerais - FAPEMIG, pelo apoiofinanceiro na apresentao de trabalhos em Congressos e Seminrios no Brasil .


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D E T E R M I N A O D E P A R M E T R O S D A M E C N I C A D EF R A T U R A A P A R T IR D E IM A G E N S F O T O E L S T I C A S ,U S A N D O P R O C E S S A M E N T O D I G I T A LW E L L I N G T O N A N T O N I O S O A R E S

R E S U M O

O fator de intensidade de tenses um dos parmetros da Mecnica Elstica Linearde Fratura uti l izados para garantir a segurana de estruturas contra a propagao de trincas.A fotoelasticidade uma tcnica experimental de anlise de tenses que pode ser usada nadeterminao deste fator, com base em parmetros geomtricos de franjas isocromticas naponta de t r incas , em modelo cons t i tudo de mater ia l bi rrefr ingente . No caso deisocromt icas em mat izes de uma mesma cor , os dados de interesse so os pontos ondeocorre a extino da luz. Estes pontos podem ser obtidos por meio de operaes de Processamento de Imagens Digi ta is , disponveis para imagens em nveis de c inza. Um exemplotpico destas operaes o algoritmo de afinamento, com o qual so obtidas as l inhasmdias centrais das franjas, com um pixel de espessura , formando laos com origem naponta da trinca. Os raios que unem a ponta da trinca a pontos destes laos e respectivosngulos so os dados bsicos usados para obteno do fator de intensidade de tenses.

Neste t rabalho, desenvolvido um s is tema de processamento de imagens digi ta is ,FOTOEL, para anlise de franjas isocromticas, em nveis de cinza, tendo recursosespecficos para clculo do fator de intensidade de tenses, Ki, corre spon den te ao m odo decarregamento de t r inca por aber tura . So implementados os mtodos de dois parmetros , deIrwin e de Schroedl & Smith, e o mtodo superdeterminstico, de vrios parmetros, deDai ly. O s is tema foi desenvolvido para ambiente Windows'^^, com base na l inguagem C,para microcomputadores compat veis com IBM-PC. fe i ta uma reviso dosfundamentos de Fotoelas t ic idade, Mecnica Els t ica Linear de Fratura , Processamento deImagens Digi ta is e Mtodos Numricos ut i l izados para clculo de Ki com base na tcnicafotoels t ica . Alguns exemplos de isocromt icas , geradas por computador ou experimenta lmente , so processados com o s is tema desenvolvido. Os resul tados obt idos socompat veis com valores previamente conhecidos , no caso de isocromt icas geradas porcomputador , ou com dados obt idos em t rabalhos de outros pesquisadores .


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D E T E R M I N A T I O N O F F R A C T U R E M E C H A N I C SP A R A M E T E R S F R O M P H O T O E L A S T I C I M A G E S U S I N G

D I G I T A L P R O C E S S I N G

W E L L I N G T O N A N T O N I O S O A R E S

A B S T R A C T

The stress intensity factor is one of the Linear Elast ic Fracture Mechanicsparameters used for assuring safety of structures against crack propagation. Photoelast ici tyis an experimental stress analysis technique that can be used for determining this factorbased on geometrical parameters from isochromatic fringes at crack t ip in birfringentmodels. Regions where l ight extinction occurs are the key points, in case of images with asame color hue. Digital Image Processing gray levels algori thms can be used for obtainingthese points. Thinning operations are typical examples of such algori thms. I ts applicationsproduces medial central l ines, generating one pixel width fringe loops having the origin atcrack t ip. The radius connecting crack t ip to points on these fringe loops and related anglesare basic values used for computing the stress intensity factor.

A computer-based system, named FOTOEL, for digi ta l image processing of grayisochromatic images, with resource for computing the stress intensity factor for the openingmode, Ki, is developed in this thesis. Two-parameters methods of Irwin and Schroedl &Smith, and the overdeterminist ic method of Dally are the numerical proceduresimplemented in FOTOEL. The sys t em has been deve loped in Windows, us ing Clanguage for compat ible IBM-PC microcomputers . An overview of the fundamenta ls ofPhotoelast ici ty, Linear Elast ic Fracture Mechanics, Digital Image Processing andNumerical Methods used for calculat ing Ki from photoelast ic technique is done. Syntheticisochromat ic genera ted by computer and exper imenta l i sochromat ics are processed byFOTOEL. Resul ts a re compat ible wi th prescr ibed values, in case of synthet ic images, andwith results found in the technical l i terature in case of experimentally generated images.


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D E T E R M I N A T I O N O F F R A C T U R E M E C H A N I C SP A R A M E T E R S F R O M P H O T O E L A S T I C I M A G E S U S I N G

D I G I T A L P R O C E S S I N G

W E L L I N G T O N A N T O N I O S O A R E S

A B S T R A C T

The stress intensity factor is one of the Linear Elast ic Fracture Mechanicsparameters used for assuring safety of structures against crack propagation. Photoelast ici tyis an experimental stress analysis technique that can be used for determining this factorbased on geometrical parameters from isochromatic fringes at crack t ip in birfringentmodels. Regions where l ight extinction occurs are the key points, in case of images with asame color hue. Digital Image Processing gray levels algori thms can be used for obtainingthese points. Thinning operations are typical examples of such algori thms. I ts applicationsproduces medial central l ines, generating one pixel width fringe loops having the origin atcrack t ip. The radius connecting crack t ip to points on these fringe loops and related anglesare basic values used for computing the stress intensity factor.

A computer-based system, named FOTOEL, for digi ta l image processing of grayisochromatic images, with resource for computing the stress intensity factor for the openingmode, Ki, is developed in this thesis. Two-parameters methods of Irwin and Schroedl &Smith, and the overdeterminist ic method of Dally are the numerical proceduresimplemented in FOTOEL. The sys t em has been deve loped in Windows, us ing Clanguage for compat ible IBM-PC microcomputers . An overview of the fundamenta ls ofPhotoelast ici ty, Linear Elast ic Fracture Mechanics, Digital Image Processing andNumerical Methods used for calculat ing Ki from photoelast ic technique is done. Syntheticisochromat ic genera ted by computer and exper imenta l i sochromat ics are processed byFOTOEL. Resul ts a re compat ible wi th prescr ibed values, in case of synthet ic images, andwith results found in the technical l i terature in case of experimentally generated images.


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S I G L A S E M A R C A S R E G I S T R A D A S C I T A D A S

S I G L A S

CD TN - Cent ro de Desenvolv im ento da Tecnologia Nuc lea rMELF - Mecnica Els t ica Linear de FraturaPED - Processamento de Imag ens Digi ta isPUC/RIO - Pont i f c ia Univers idade Catl ica do Rio de Janeiro

M A R C A S R E G I S T R A D A S

As marcas registradas que aparecem neste trabalho so de propriedade de seus t i tulares,sendo citadas apenas como referncia. So relacionadas, a seguir, as marcas citadas: M icrosoft, Visual C ++, Windows, W indows 95, MS -DOS - Microsoft Corpo ration; HP e Hewlett-Packard : Hewlett-Packard Corporation; IBM, PC - IBM Corporation; Victor - Catenary Sys tems; Panasonic, Hitachi, INSTRO N.


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S U M A R I OPgina

1 I N T R O D U O 12 F U N D A M E N T O S D E F O T O E L A S T I C I D A D E 9

2.1 Introd uo 92.2 Rev iso bibliog rfica 132.3 Ten ses princ ipais e estado plan o de tens es 142.4 Polariza o da luz 152.5 Ma terial co m birrefringncia me cnica 152.6 Polarisc pio 17

2.6.1 Pola riscp io plan o 172.6.2 Po larisc pio circular 20

2.6.2.1 Polar iscpio c i rcular / cam po escuro 202.6.2.2 Polar iscpio c i rcular / cam po claro 21

2.7 Tcn icas auxiliares na fotoelasticidade 22

3 F U N D A M E N T O S D A M E C N I C A E L S T I C A L I N E A R D E F R A T U R A 2 53.1 Introd uo 253.2 Ten ses singu lares em defeitos do t ipo trinca 263.3 M od os de carre gam ento de um a trinca e fator de intensidade de tenses 273.4 Equ aes para o cam po de tenses nas viz inhanas da ponta da t r inca 29

3.4.1 C am po de tens es na regio mu ito prx ima da po nta da trinca 313.4.1.1 M od o I - carrega me nto por abertura 323.4.1.2 M od o II - carregamento por c isa lhamento 32

3.4.2 Ca m po de tenses na regio prxim a da ponta da t r inca 323.4.2.1 M od o I - carreg am ento por abertura 333.4.2.2 M odo II - carregamento por c isa lhamento 33

3.5 Ten acid ade fratura 34


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Pgina4 F O T O E L A S T I C I D A D E A P L I C A D A M E C N I C A D E F R A T U R A 3 6

4.1 Int roduo 364.2 Determ inao de Kj por mtod os de dois parmetros 37

4.2.1 M tod o de Irwin 384.2.2 M todo de Smith & Schroedl 444.2.3 Co men tr ios sobre a preciso dos mto dos de dois parm etros 45

4.3 Determ inao de Kj por mtodo s de vr ios parmetros 454.3.1 M tod o superdetermins t ico de Dai ly 46

4.4 Trabalhos sobre uso da fotoelasticidade na obteno de parmetros daM ecnica de Fratura 50

5 P R O C E S S A M E N T O D E I M A G E N S D I G I T A IS 5 15.1 Con cei tos bs icos de processam ento de imagen s digi ta is 51

5.1.1 Imagem digital e pixel 515.1.2 Paleta de cores e escala de cinza 525.1.3 Tipo s de ima gen s 535.1.4 His togram a de um a imag em 535.1.5 Dig italizao de imag ens 54

5.2 Opera es de processa men to de imagens digi ta is 555.2.1 Fi l t ros pontuais e exem plos de apl icao a um a imag em isocromt ica 595.2.2 Fil tros espac iais e exem plos de aplicao 625.2.3 Algori tm os de esquele tonizao 655.2.4 Alg oritm o de afinam ento de imagen s binrias 665.2.5 Ex em plo s de aplica o dos algoritmo s de afiname nto 67

6 I M P L E M E N T A O D O S I S T E M A F O T O E L 7 06.1 Introd uo 706.2 Descr io dos m dulos que com pem o s is tema FO TO EL 72

6.2.1 Descr i o do M d ulo de Image ns 726.2.1.1 Digi ta l izao da imagem 72


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Pgina6.2.1.2 Pr- pro cessa m ento digital 736.2.1.3 Processam ento digi ta l 756.2.1.4 Ro tula o de franjas 756.2.1.5 Ope raes da M ecnica de Fratura 756.2.1.6 Em isso de resul tados 75

6.2.2 Desc r io do M du lo de Arquivos 766.3 De scrio deta lhad a das interfaces grficas 76

6.3.1 Descr i o da interface FO TO FR AN 776.3.1.1 De scri o das funes do men u horizon tal 796.3.1.2 De scri o das funes do men u vertical 806.3.1.3 Ilustrao de algumas funes realizadas com a interface

F O T O F R A N 8 16.3.2 Descr i o da interface FO TO VE R 84

6.4 Com entr ios sobre implem entao dos a lgori tmos mais importantes deF O T O E L 8 9

6.5 Exe mp los das e tapas de processam ento de isocromt icas com FO TO FR AN 936.6 Rec om enda es para uso do s is tema FO TO EL 99

7 E Q U I P A M E N T O S E M A T E R I A I S U T I L I Z A D O S N A G E R A O D E I M A G E N SF O T O E L S T I CA S 1007.1 Equipamentos , mater ia is e software de simu lao de isocrom ticas. . . 100

7.1.1 Fase de estudos bsicos de fotoelasticidade e de aquisio de imagensfotoelsticas 100

7.1.2 Simu lao de imagen s isocromt icas por com putado r 1047.2 Isocromtica digitalizada com a ajuda de um scanner H P de me sa 1077.3 Equ ipam entos e mater ia is da PU C/R IO 1097.4 Equ ipam entos e mater ia is adquir idos pelo CD TN para o s is tema FO TO EL 114

8 A P L I C A O D O S I S T E M A F O T O E L A C A S O S E X E M P L O S 1 168.1 Intro du o 1168.2 Ap licao dos m tod os de dois parm etros 116

8.2.1 M to do de Irwin 116


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Pgina8.2.2 M tod o de Smiti i & Schro edl 118

8.3 Ap licao do m tod o de Daily - anlise superd eterm instica 1208.3.1 Co nsid era es sobre am ostrag em de franjas e con verg ncia do m todo . . . . 1208.3.2 Ap licao isocrom tica sinttica gerad a por com puta dor 1238.3.3 Ap l icao isocromt ica digi tahzada, com scanner, a partir de um artigo

de Olad imeji 1258.3.3.1 Isocro m tica com franjas de ordem fracionria 1258.3.3.2 Isocromtica de ordem inteira, obtida a partir de operaes de

PID sobre isocrom tica de orde m fracionria 1268.3.4 Apl icao a isocromt icas obt idas experim entalmen te na PU C/R IO 127

8.3.4.1 Isocro m tica com franjas de ord em inteira 1278.3.4.2 Isocro m tica com franjas de ord em fracionria 127

9 C O N C L U S E S E S U G E S T E S 1 30

A P N D I C E I - M D U L O D E S I M U L A O D O SOFTWARE F O T O F R A N 1 3 2

A P N D I C E II - L I S T A G E M D E R E S U L T A D O S D O P R O C E S S A M E N T O D EI S O C R O M T I C A S E M P O N T A D E T R I N C A C O M O SSOFTWARES F O T O F R A N E F O T O V E R 137

R E F E R N C I A S B I B L I O G R F I C A S 1 57


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L I S T A D E F I G U R A SPgina

Figura 1 - O s is tema FO TO EL e as grandes reas envolvidas no t rabalho 4Figu ra 2 - Dia gra m a de blocos relacionan do os captulos da tese 5Figura 3 - I lus t rao de imagem fotoels tica num ex perimento com luz branca,

mo strando a seqncia de cores geradas 10Figu ra 4 - Eq uip am ento s e ma teriais env olvido s na gera o de imag ens fotoelsticas. 11Figura 5 - Isocrom t ica g erada exp erimentalmen te num disco de mater ia l

birrefringente i lum inado com luz bran ca 12Figura 6 - Isocromt ica gerada por s imulao com comp utador , para um disco

de ma terial birrefringente, na con dio de luz mo noc rom tica 12Figu ra 7 - Ele m en to de estado plano de tense s, m ostran do as tenses pertinentes 14Figu ra 8 - Ilustra o das polariza es da luz (plana e circular) 15Figu ra 9 - Es qu em a ilustrando o fenm eno da birrefringncia m ecn ica 16Figura 10 - Fo rm as com erciais de materiais birrefringentes 16Figu ra 11 - Es qu em a do polariscp io plan o, mo strando o arranjo das lentes e mo delo. . 18Figura 12 - Im agen s de um experimen to fotoels t ico com polar iscpio plano e luz

mo nocro mt ica para uma chapa com furo c i rcular, t racionada na di reovertical 19

Figu ra 13 - Ele m ent os de tenses principais ao lon go de isclinas e m discobirrefringente 19Figu ra 14 - Es qu em a das lentes de um polarisc pio circular (cam po escuro) 20Figura 15 - Isocromticas numa chapa de material birrefringente com furo circular e

tracion ada na direo vertical (polariscp io circular com luz m ono cromt ica) 21

Figu ra 16 - Te ns es na bord a de um furo circular em um a chap a furada sob trao 22Figura 17 - Ilustrao de franja de ordem inteira, na extremidade mais carregada

do furo 23Figu ra 18 - Te ns o m xim a na borda de um furo elptico de um a placa infinita 27

; 0^ 1 S S W DE E NE RG IA N U C l E A R / S P i P i


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PginaF igura 1 9 - M odo s de carregamen tos de um a t r inca com base nos quais so def inidos

os fatores Ki, Kn e Km 2 7Figura 2 0 - Sistema de coordenadas cartesianas e cil ndricas na ponta de uma trinca 2 8Figura 2 1 - Placa infinita com carregamento nas direes x e y e sistema de

coordenadas 2 9Figura 22 - Variao de Ki em funo de ao, para diferentes tamanhos de trinca 2 9Figura 2 3 - Zonas 1 , 2 e 3 nas viz inhanas da ponta da t r inca 3 0Figura 2 4 - Relao entre Ki cr t ico e espessura h de uma chapa 3 5Figura 2 5 - Isocromt ica na ponta de um a t rinca , gerada por computador , c om base

nas equaes do campo de tenses de Westergaard 3 8Figura 2 6 - Isocromt ica na po nta de um a t r inca , obt ida experim entalmen te 3 8Figura 2 7 - Informaes geomtr icas ( tm e 8m ) referentes ao m todo d e Irwin 3 9Figura 2 8 - Isocromt ica na ponta de uma t r inca , gerada por com putado r co m base

nas equaes de Westergaard e modificadas pelo fator de tenso aoxde Irwin 4 0

Figura 2 9 - Variao de Ki/ [2Tm(2 K Tn,f'^] em funo do ngulo 6 ( O a 1 8 0 graus). . . . 4 3Figura 3 0 - Variao de Ki / [2 tm (2 K r^f^] em funo do ngulo 6 ( 6 3 a 1 8 0 graus). . . 4 3Figura 3 1 - Franjas isocromt icas obt idas experimentalm ente 4 6Figura 3 2 - Escala de 2 5 6 nveis de cinzas 5 2Figura 3 3 - I lus trao de um a imag em em nveis de c inza e respect ivo his togram a 5 4Figura 3 4 - Exemplo de uma imagem digi ta l izada com vrias resolues espacia is 5 5Figura 3 5 - Esq uem a do processo de digi ta lizao de imagens 5 6Figura 3 6 - Transformao de binar izao 5 7Figura 3 7 - I lus t rao da opera o de b inar izao 5 7Figura 3 8 - Transformao negat ivo 5 7Figura 3 9 - I lus t rao do negat ivo d e uma im agem 5 7Figura 4 0 - Transformao de br i lho 5 8Figura 4 1 - Transformao de contras te 5 8Figura 4 2 - Transformao de Umite de nvel de cinza a um valor mximo 5 9Figura 4 3 - Transformao de l imiar acima 5 9Figura 4 4 - Transformao de mul t ipl icao 5 9Figura 4 5 - Transformao de troca de nvel de intensidade 5 9


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xm

PginaFigura 46 - Tra nsfo rm ao t ipo dente de serra 60Figura 47 - Viso geral dos resultados de aplicao dos fi l tros pontuais a uma

isocromt ica 61Figura 48 - M scaras de 3x3 e de 5x5 62Figura 49 - Ilustrao dos fi l tros de mdia e de mediana em termos de pixels 62Figura 50 - Apl icao dos f il tros de md ia e mediana sobre um a me sma imagem 63Figura 51 - Ex em plo de his togram a de um a imagem 64Figura 52 - Ima gem subm et ida equal izao his togrmica e respect ivo his tograma 64Figura 53 - Co nvolu o da imag em com um a msca ra (matr iz de 3x3) fornecida 65Figura 54 - M scara para esquele tonizao 66Figura 55 - M scara para af inamento 67Figura 56 - Efeito dos fi l tros de mdia e mediana sobre as operaes de esqueleto

niza o e de afinam ento 68Figura 57 - Exemplo de apl icao do a lgori tmo de af inamento, mostrando a

impo rtncia do pr-processam ento 69Figura 58 - Ilustrao dos softwares que comp em o s i st ema FO TO EL 70Figura 59 - Esq uem a global de e tapas re lacionadas com a ut i l izao do s is tema

F O T O E L 7 1Figura 60 - Dig italizao de franjas isocrom ticas 73Figura 61 - Tela de apresentao do software F O T O F R A N 7 7Figura 62 - Viso geral dos i tens cont idos no menu horizontal de FO TO FR AN 78Figura 63 - Viso geral dos i tens cont idos no menu ver t ical de FO TO FR AN 78Figura 64 - Janela de dilogo para controle de scanner 82Figura 65 - Digitalizao de isocromtica com scanner controlado por FOT OF RA N.. . . 82Figura 66 - Janela de di logo para impresso de imagem 83Figura 67 - Ilustrao do uso da funo zoom e m F O T O F R A N 8 3Figura 68 - Ilustrao do fluxo de arquivos entre os softwares F O T O F R A N

e F O T O V E R 8 4Figura 69 - Tela de apresentao do software F O T O V E R 8 7Figura 70 - I lus t rao do men u re la tivo ao i tem M todo Superde termins t ico 87Figu ra 71 - Ilustrao de jan elas referentes ao i tem de ream ostrage m de franjas 88Figura 72 - Ilustrao de jan ela referente ao i tem de clculo de Ki 88Figura 73 - Ilustrao de jan elas referentes ao i tem de Editar Arq uivo s 89


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PginaFigura 74 - Dia gra m a de bloco s do algoritm o usad o para rotulao de franjas 90Figura 75 - Diag ram a de blocos do a lgori tmo u sado para amostragem de franjas

por faixas ang ulares 91Figura 76 - Esq uem a da diviso dos se tores para amo stragem por fa ixas angulares 91Figura 77 - Diag rama de blocos do a lgori tmo usado para amo stragem d e franjas

por pon tos 92Figura 78 - Esq uem a da amostragem de lao de franjas pela amostragem por pontos . .. . 93F igura 79 - Car regam ento de i socromt ica em FO TO FRA N 93Figura 80 - Seleo da resoluo espacia l da imagem e do fa tor de amp liao 94Figura 81 - Local izao da pon ta da tr inca com o mouse 94Figura 82 - Resul tado da operao de Esqueletonizao (opo BIN ) 95Figura 83 - Resu l tado da operao de Afinamento 95Figura 84 - Resul tado da operao de edio com Lpis borracha 96Figura 85 - En trada de dad os prece den do rotulao de franjas 96Figura 86 - Re sultad o da rotulao de franjas 97Figura 87 - Sele o dos m todo s de clculo de Ki 97Figura 88 - Seleo do t ipo de amo stragem para o mtod o superdetermins t ico 98Figura 89 - Op era o XO R entre a ima gem original e as franjas afinadas finais 98Figura 90 - Ut i l izao da opo Rg ua para med ir dis tncias 99Figura 91 - Ex perim ento fotoelstico com disco birrefringente sob com pre sso 101Figura 92 - Esquema do carregamento da viga de a lumnio, reves t ida com uma

cam ada de mater ia l bi rrefr ingente , tendo um chanfro concen tradorde tens es 102Figura 93 - Equ ipam entos bs icos usados na aquis io de imagen s fotoelst icas naviga de a lumnio da Figura 92 102

Figura 94 - Variao d a isocromt ica em u m a viga de a lumnio com um chanfro,reve stida com material birrefringente, em funo da carg a aplicada 103

Figura 95 - Isocro m tica sinttica na regio mu ito prx ima da pon ta da trinca 105Figura 96 - Isocrom t ica s int tica , na regio m ui to prxima d a ponta da t r inca ,

i lustrando a franja de ordem 4 105Figura 97 - Isocro m tica sinttica na regio pr xim a da pon ta da trinca 106Figura 98 - Isocromtica sinttica, na regio prxima da ponta da trinca, i lustrando

a franj a de ord em 2 106


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XV

PginaFigu ra 99 - Isocro m tica gerad a com polariscpio circular - cam po claro (Oladimeji). . 107Figura 100 - Digitalizao da regio prxima da ponta da trinca, com base na

isocromt ica da Figura 99 108Figura 101 - Isocromtica, com franjas de ordem inteira, obtida com aplicao de

operaes de PID , sobre a imagem da Figura 100 109Figu ra 102 - Polar iscp io de transm isso, adap tado a um projetor de perfi l , tendo

fator de am pliao de 10 vezes (PU C/R IO) 110Figura 103 - Viso geral de um polar iscpio de t ransmisso da PU C/R IO 110Figu ra 104 - Ge om etria e dim ens es de mo delo birrefringente 111Figu ra 105 - De talhes da trinca no m od elo birrefringente 111Figura 106 - Franjas isocromticas de ordem inteira, para modelo birrefringente, com

trinca pr-fabricad a e analisadas sob o polarisc pio da Figu ra 102 112Figura 107 - Franjas isocromticas de ordem fracionria, para modelo birrefringente,

co m trinca pr-fab ricada e analisadas sob o polarisc pio da Figu ra 102. . . 112Figu ra 108 - Isocr om tica com esca la (faixa com 1 cm de largura) superposta, para

controle de dime nses 113Figura 109 - Franjas isocromticas de ordem inteira, para modelo birrefringente,

com trinca pr-fabricada e analisadas sob o polariscpio da Figura 103... 113Figura 110 - Equ ipam entos adquir idos para o s is tema FO TO EL 114Figura 111 - Materiais birrefringentes e acessrios adquiridos em apoio ao sistema

F O T O E L 115Figu ra 112 - Isocro m tica sinttica, com franjas de ordem inteira, na regio muito

prxima da po nta da trinca 117Figu ra 113 - Sup erpo sio de franjas afinadas sobre a isocrom tica da Figu ra 112 117Figu ra 114 - Isocro m tica na regio prx ima da pon ta da trinca 120Figu ra 115 - Verificao do t ipo de am ostrag em sobre o valor de Ki 121Figura 116 - Franjas isocromticas de ordem fracionria, selecionadas para

amostragem 122Figu ra 117 - Influncia do nm ero de pon tos am ostrado s sobre o valor de Ki 122Figu ra 118 - Influncia do nm ero de pon tos de am ostragem sobre a tenso aox 123Figura 119 - Isocromtica sinttica na regio prxima da pon ta da trinca 124Fig ura 120 - Sup erpo sio de franjas afinadas sobre a isocrom tica da Figu ra 119 124


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xvi

PginaFigura 121 - Sup erpo sio de franjas inteiras afinadas sobre a im age m original 126Figura 122 - Superposio de franjas inteiras e afinadas sobre isocromtica da

Figu ra 106 128Figura 123 - Superposio de franjas fracionrias afinadas sobre isocromtica

da Fig ura 107 129Figura 124 - Ilustrao dos softwares que com pem o s i st ema FO TO EL 132Figura 125 - Viso geral dos i tens contidos nos menus horizontal e vertical domdulo de s imulao do software F O T O F RA N 133Figura 126 - Ilustrao do mdulo de simulao (arranjo do polariscpio, controle de

carga e gera o de isocrom tica) 135Figura 127 - Simulao de imagens fotoelsticas para vrias condies do

polariscpio 135Figura 128 - Ilustrao do me nu de apoio na parte terica de fotoelasticidade 136


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XVll

L I S T A D E Q U A D R O SPgina

Quad ro 1 - I tens cont idos no men u horizontal de FO TO FR AN 79Quad ro 2 - I tens cont idos no menu ver tical de FO TO FR AN 81Quad ro 3 - Co nted o de arquivos- textos ut i l izados em FO TO VE R 85Quad ro 4 - Descr i o de a lguns i tens cont idos no men u horizontal de FO TO VE R 86Quad ro 5 - Propriedad es geom tr icas do mo delo bi rrefr ingente 111Qu adro 6 - Re sultad os de Ki pelo m tod o de Irwin (franjas superiores) 118Qu adro 7 - Re sultad os de Ki pelo m tod o de Irwin (franjas inferiores) 118Qu adro 8 - Re sultad os do m tod o de Sm ith referentes faixa de ngu los pos it ivos 119Qu adro 9 - Re sultad os do m tod o de Sm ith referentes faixa de ng ulos neg ativos 110Qu adro 10 - Va lores finais de Ki e erros absoluto s e relativos - m tod o de Sm ith 120Quad ro 11 - Resul tado s de Ki pelo mtodo superdetermins tico para isocromt ica

sinttica 123Quad ro 12 - Resul tado s de Ki , pelo mto do sup erdetermins t ico, para isocromt ica ,

com franjas de ordem fracionria, digitalizada com scanner 12 5Quad ro 13 - Resul tado s de Ki, pelo mtodo superdetermins t ico, para isocrom t icacom franjas de ord em inteira, obtida por opera es de PI D 127

Quad ro 14 - Resul tado s de Ki , pelo mtodo sup erdetermins t ico, para isocromt icaco m franjas de orde m inteira, gerad a exp erim entalm ente 128

Quad ro 15 - Resul tado s de Ki , pelo mtod o superdetermins t ico, para isocrom t icacom franjas de ordem fracionria, gerada exp erim entalm ente 129

Quad ro 16 - I tens do menu horizontal do M du lo de Simulao de FO TO FR AN 134Quadro 17 - I tens do menu ver tical do M d ulo de Simulao de FO TO FR A N 134


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1 I N T R O D U O

Estruturas e equipam entos do nosso dia-a-dia convivem , em ma ior ou menor grau,com a presena de descontinuidades. Estas podem estar presentes na forma de defeitosbsicos nos materiais consti tuintes, podem ser introduzidas durante o processo de fabricao ou, ainda, surgir em funo da prpria uti l izao da estrutura ou do equipamento.Es truturas de grande responsabi l idade, ta is como vasos de presso ut i l izados em us inasnucleares, cascos de navios e aeronaves, podem sofrer falhas severas em funo da propagao de trincas, se no forem adequadamente projetadas. O fenmeno da fragil izao dosmateriais pela ao da radiao levam fatalmente formao de trincas nos materiais .Ass im, o es tudo de metodologias que levam em conta a inf luncia de t r incas no desempenho mecnico de es t ruturas e equipamentos uma par te de re levncia dentro do escopode projeto de usinas nucleares.

As teorias con ven cion ais de projeto de estruturas levam em conside rao a resistncia do material e fatores de concentrao de tenses em furos e reentrncias, no considerando, entretanto, a existncia de defeitos e de pequenas trincas j existentes nos materiaisou que venham a surgir com a uti l izao da estrutura.

A Me cn ica de Fratura um a ferramenta u ti l izada para analisar materiais ou estruturas contendo trincas e fornecer respostas quantitativas para efeito de projeto. As trincas sodefeitos que apresentam singularidades, do ponto de vista de clculo de tenses na suaponta . Para contornar es te problema, nos desenvolvimentos inic ia is da Mecnica deFratura, foi proposta a uti l izao do fator de intensidade de tenses K, o qual leva em contao esforo aplicado sobre a estrutura e a dimenso da trinca presente na estrutura. Com baseneste fator, pode-se tomar decises quanto segurana da estrutura contendo trincas,comparando-se o valor de K com o valor da tenacidade fratura Kc do material . Paramater ia is com baixa tenacidade, o mecanismo que governa a fa lha da es t rutura a f ra turafrgil . Neste caso, a tenso cr t ica de falha varia de forma linear com a tenacidade. Esteproblema t ra tado na Mecnica Els t ica Linear de Fratura (MELF). Dependendo da forma


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de apl icao do carregamento, em relao ao plano que contm a t r inca , encontram-se nal i tera tura as denominaes de modos I , n e HI, correspondendo, respect ivamente , aosmodos de carregamento da trinca por abertura (Ki), cisalhamento (Kn) e rasgamento (Kui),os quais podem ocorrer separados ou isoladamente. O modo de abertura, avaliado atravsdo parmetro Ki, em geral o mais cr t ico e o que ocorre com maior freqncia na prtica.

A determinao do fator de intensidade de tenses, por meio de solues anal t icas,s possvel para casos em que a geometria e forma de carregamento so relativamentesimples; para casos mais complicados, necessria a uti l izao de tcnicas numricas ouexperimentais . Entre as tcnicas experimentais , pode-se citar a fotoelasticidade. Os padresde franjas isocromticas fornecidos pela fotoelasticidade, nas vizinhanas da ponta datrinca, permitem a determinao do fator de intensidade de tenses K.

A fotoelasticidade, uma tcnica de anlise experimental de tenses, faz uso das propr iedades de birrefringncia mecnica apresentada por alguns materiais no-cristalinos,quando submet idos a esforos . Nes tas condies , quando i luminados com luz polar izada deum polariscpio, estes materiais produzem imagens que so um reflexo das tenses induzidas nos mesmos pelos esforos aplicados. O interessante desta tcnica, que se conseguerelacionar as tenses e deformaes no material fotoelstico com a imagem gerada noexperimento. Os pesquisadores I rwin, Pos t , Wel ls e Sanford descobri ram que era poss velrelacionar o fator de intensidade de tenses com dados geomtricos extrados das franjasisocromt icas geradas nas viz inhanas da ponta de uma t r inca , em um modelo cons t i tudode material birrefringente.

I rwin, Smith & Schroedl desenvolveram mtodos de clculo de Ki com base emfranjas isocromticas si tuadas numa regio muito prxima da ponta da trinca. Estesmtodos so bas tante sens veis a erros na determinao de parmetros geomtr icos dasfranjas ( ra ios e ngulos) . Dai ly desenvolveu um outro mtodo, conhecido como mtodosuperdeterminstico, onde o valor de Ki feito com base em franjas si tuadas numa regioum pouco mais ampla , denominada regio prxima da ponta da trinca. Existem outrosmtodos, no abordados nesta tese, em que possvel uti l izar-se, tambm, dados de franjasisocromt icas em regies distantes da ponta da trinca.

A rea de computao tem t razido uma grande contr ibuio rea de fotomecnica ,pela agil izao nas operaes de aquisio, registro e processamento de imagens, com vistaa obteno de parmetros de interesse para a rea de engenharia, como o caso da


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determinao do fa tor de intens idade de tenses . As isocromt icas geradas num experi men to fotoels tico pod em ser color idas , quando a luz do polar iscpio branca ou em mat i zes de uma mesma cor , quando a luz monocromt ica . Com a ut i l izao de f i l t ros especia is num polar iscpio, poss vel t ransformar-se as imagens color idas em imagens monocromt icas . As imagens monocromt icas podem ser anal isadas com base em algori tmos deProcessam ento de Im agens D igi ta is (PID), disponveis para imagens em nveis de c inza.

Para as isocromt icas em mat izes de uma mesma cor , os dados geomtr icos , c i tadosanter iormente , so extra dos em pontos de mnimos locais de intens idade luminosa. Taispontos podem ser sistematicamente obtidos a partir da uti l izao de algoritmos de afinamento de franjas, cuja funo determinar a l inha que passa pela regio mais escura daimagem. Para que tais operaes possam ser realizadas, necessrio que a imagem estejana forma digital , ou seja, na forma de um arranjo matricial , adequado ao processamento pormeio de computador . Os e lementos des te arranjo so denominados pixels e contm informa es sobre os nveis de c inza ou sobre as cores da im agem .

Uma imagem isocromt ica pode ser documentada por meio de uma cmara fotogrfica, gerando uma fotografia, ou ento por meio de cmaras de vdeo analgica ou digital .No caso de fotografias e de imagens de cmaras de vdeo analgicas, o registro das imagens se encontra na forma analgica. Nesta forma, a intensidade luminosa uma funocont nua em duas dimenses , em termos dos nveis de c inza (no caso de imagens monocromt icas em nveis de c inza) . O processo de se obter a imagem digi ta l correspondentecons is te em se extra i r um nmero f ini to de pontos da imagem analgica , numa quant idadetal que seja possvel reproduzi-la com fidelidade na tela do monitor de um computador. Asfotografias podem ser digitalizadas por meio de scanners, gerando arquivos de imagensdigi ta is (PCX, BMP, e tc . ) que podem ser manipulados por computador . Uma placadigi ta l izadora , conectada placa me do computador , permite a digi ta l izao da imagemde uma cmara de vdeo. Em geral , uma placa digi ta l izadora vem acompanhada de umsoftware, que permite que uma determinada cena mostrada no vdeo possa ser capturada earmazenada na forma de um arquivo de imagem.

Neste t rabalho, desenvolvido um s is tema de processamento de imagens digi ta is(FOTOEL), com recursos para o clculo do fator de intensidade Kj com base em franjasisocromt icas , em nveis de c inza, geradas na ponta de uma t r inca carregada no modo deabertura. Este sistema baseado em dois softwares ( F O T O F RA N e F O T O V E R) , de s e nvo l vidos pelo autor , para o am biente Windows, ut i l izando a verso 2.0 do compilador Visual C


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d a Microsoft. FOTOFRAN um mdulo dedicado ao processamento de imagens , comobjetivo final de extrao de parmetros geomtricos das franjas isocromticas. Ele foidesenvolvido com base em algumas funes de PID da bibl ioteca Vicwin for Windows, daCatenary System e dispe de recursos de digitalizao de imagens, a partir de scanners dotipo ScanJet He, Ule e 4c da Hewlett Packard. Como resul tado das operaes real izadascom FOTOFRAN, obtm-se , em arquivo-texto, os valores das coordenadas x e y de todasas franjas de interesse para o clculo do fator de intensida de de tens es e o valor de Ki paraos mtodo s de Irwin e de Sm ith & S chroedl . O mtodo de Dai ly requer o processam ento deum nm ero m aior de dados das franjas e a inda operaes de soma, m ul t ipl icao e inversode matrizes. Estas operaes so realizadas com o software FOTOVER, onde d i spe-se daflexibilidade de se fazer a rea m ostr ag em d e pon tos das franjas, be m co m o retirar franjasque no se queira inserir no clculo de Ki. Em FOTOVER, dispe-se, ainda, de funes demanipulao de arquivos- textos envolvidos na obteno de Kj .

M AT E RIALBIRREFRINGENTE M E T ODOL OGIA P ARACLCULO DE KPOLARIZAODA L UZ

F AT OR D E INT E NS IDADED E T E N S E S - K

ISOCROMTICASTENSES E DEFORMA ES

PRINCIPAIS

P ROCE S S AM E NT ODE IMAGENS DIGITAIS

C O M P U T A OGRF ICA

M O D O S D ECARRE GAM E NT ODE UM A T RINCACAMPOS DE TENSES

DESENVOLVIMENTODE SOFTWARE

U N G U A G E N S D EP R O G R A M A OFigura 1 - O s is tema FO TO EL e as grandes reas envolvidas no t rabalho.


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O desenvolv imento do s i s t ema FOTOEL envolveu a integrao de vrias reas doconhecimento, ta is como a Fotomecnica , em particular a Fotoelas t ic idade, a Mecnica deFratura e a Cinc ia da Com pu t a o , em particular o Processamento de Imagens Digi ta is ,como i lus t rado na Figura 1.

Na F igura 2 , da da uma idia geral da es t rutura do texto da tese . Os blocos s i tuadosno lado di re i to des ta Figura , correspondem a tpicos tericos em que o s i s t e m a F O T O E Lest fundamentado. Nos blocos do lado esquerdo, es to os tpicos re lacionados com aimplementao do s is tema, sua util izao, resultados e bibliografia consultada.CAPTULO 1

CAPITULO 6

CAPT-'L:E Q U T A M E N I - O S ; L I T I A I E R I A I rSADOS NA(:i!JKAODEIMAGENS FOTOELSnCASAPITUU3 8 I

A I U C A O DO SlSiGMAKUlUIJ. ACA'OSJiXEMl'l-OS

TCIAS lilHUOGRAnCAS

C A P T U L O 2

iF U N D A M E N T O S DEI O T E L A S T I C I D A D E I

CAPTULOSF U N D A M E N T O S DA M E C N KE L S T I C A L I N i

CAPTULO 4lirdroblA P L I C A D A 1 "M E C N I C A DE F R A T U R A

C A P T U D D P R O C E S S A M E N T O DE I M A G E N SD I G I T A I S

Figura 2 - Diagrama de blocos re lacionando os captulos da tese .


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No Captulo 2, so apresentados, de forma sucinta, os fundamentos de fotoelasticidade, abordando-se os conceitos de polarizao da luz, material birrefringente, polariscpio, fotoelasticidade bidimensional e imagens geradas em um experimento fotoelstico.

Os modos de carregamento de uma t r inca , campos de tenses nas viz inhanas daponta da trinca, definies do fator de intensidade de tenses e de tenacidade fratura soapresentados no Cap tulo 3.

O re lacionamento entre a Mecnica de Fratura e a Fotoelas t ic idade so abordados noCaptulo 4. Neste captulo so apresentadas algumas metodologias disponveis para o clculo de Kl, com base em isocromticas em ponta de trinca, e que fazem parte do sistemaF O T O E L .

No Captulo 5, so fornecidos conceitos bsicos de anlise de imagens uti l izando-seprocessamento digital , sendo dada nfase aos fi l tros usados para adequar as imagens isocromticas s operaes de afinamento de franjas. Estas operaes possibil i tam a extrao dedados geomtricos das franjas, que do suporte ao clculo de Kj. A maior parte das rotinasde software do sistema FOTOEL foi escrita pelo autor. Foram adquiridos, tambm, osprogramas-fontes relativos biblioteca de funes de PE) uti l izada. Assim, este sistemapoder ser adaptado com facil idade na incorporao de novas tcnicas que forem surgindona rea de aplicaes da fotomecnica. O ambiente Windows facil i ta a uti l izao de modosde alta resoluo dos monitores de vdeo, requisito necessrio quando se trabalha comimagens, das quais se necessita obter informaes geomtricas, de forma interativa, a partirdo vdeo.

No Captulo 6, mostrado como o contedo terico das vrias reas relacionadas nocaptulos anteriores se interagem de modo a produzir os softwares que consti tuem osistema FOTOEL. So apresentadas descries detalhadas dos i tens de menu das interfacesgr f i cas de FOTOFRAN e FOTOVER. O pr imei ro software possui uma interface grficaamigvel , com recursos de carregamento, sa lvamento e aquis io de imagens via scanner eimpresso de imagens. Dispe, ainda, de funes de PID especficas para operaes deextrao de franjas de ordens inteiras ou fracionrias, em nveis de cinza, rotulao defranjas e clculo do fator de intensidade de tenses, Ki. O sistema incorpora os mtodosiniciais para clculo de Ki, com base em franjas isocromticas na regio muito prxima daponta de trinca, desenvolvidos pelos pesquisadores Irwin, Smith & Schroedl. implementado, tambm, o mtodo superdetermins t ico, com seis parmetros , de Dai ly,

";owi!SS ummv L E E N E R G I A K U C L E & R / S P S P I


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aplicvel regio prxima da ponta da t r inca . No Cap tulo 7, acompanha-se , passo-a-pas so, as etapas env olvid as na extrao de par me tros de franjas isocro m ticas, usandoFOTOFRAN, com vis ta a obteno de parmetros necessr ios ao clculo e Ki .

No cap tulo 7, so apresentados os equipamentos de gerao e aquis io de imagensfotoels t icas , ut i l izados ao longo do desenvolvimento do s is tema FOTOEL. No Cap tulo 7,so mostradas , tambm, as imagens isocromt icas que i ro ser processadas no Cap tulo 8.Relat ivamente a es tas imagens , so re lacionadas as propriedades fotoels t icas e geomtricas.

Resul tados de apl icaes do s is tema FOTOEL a casos exemplos so mostrados noCaptulo 8. So analisadas isocromticas sintticas, geradas por computador, das quais jse conhece, a priori, o resul tado de Ki e a inda isocromt icas geradas experimentalmente .So fe i tas comparaes dos clculos de Ki por meio de processamento de imagens digi ta iscom resul tados conhecidos .

No Captulo 9, so apresentadas as concluses e feitas algumas sugestes sobretrabalhos futuros relacionados com tpicos desta tese.

No Apndice I , apresentado o Mdulo de Simulao de imagens fotoels t icasd i sponve l em FOTOFRAN.No Apndice n, so apresentados, de forma condensada, l is tagens de arquivos de

resul tados de processam ento d e imagens e de clculos de K\ realizados no Captulo 8.A es t rutura do s is tema FOTOEL, em termos de manipulao de imagens e de extra

o de franjas, permite que, com algum esforo extra, se introduza o clculo de Kn, ouainda, o clculo do fator de intensidade de tenses no modo misto de carregamento (aosimultnea de Ki e de Kn), bem como outros mtodos de clculo envolvendo franjas emregies distantes da ponta da trinca. Para is to, basta que se insira, no sistema, rotinascontendo as funes necessrias ao clculo dos coeficientes usados na aproximao docampo de tenses por sr ie de pol inmios . O dado bs ico de entrada des tes mtodos so ascoordenadas das franjas afinadas, sendo esta tarefa facilmente realizada pelo softwareF O T O F R A N .

O software FOTOVER tem bastante flexibil idade do ponto de vista de se l idar comfranjas isocromticas j rotuladas. Em princpio, no se trabalha com todos os pontosrotulados para as franjas afinadas, ou seja, faz-se uma amostragem das mesmas. Com oreferido software, consegue-se, com facil idade, reamostrar as franjas rotuladas, podendo-se


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variar, para cada ordem de franjas, o nmero de pontos a serem amostrados. Alm disto, senecessrio, pode-se alterar as coordenadas da ponta da trinca, caso descubra-se, poster iormente ao processamento em FOTOFRAN, que e las es te jam erradas . Pode-se , com es terecurso, fazer simulaes sobre a influncia de erros na localizao da ponta da trinca sobreo resul tado de Ki

Vrios t rabalhos vm sendo publ icados not ic iando a ut i l izao do processamento deimagens digitais (PID) na rea de fotoelasticidade, especialmente em aplicaes voltadaspara obteno de fa tores de intens idade de tenses , com base em pacotes de softwares depropsito geral . Entretanto, poucas so as informaes tcnicas disponveis quanto partede software e de especificao de equipamentos. H, ainda, carncia de l i teratura tcnica,abordando de forma integrada os temas tratados nesta tese. Assim, alm de contribuir coma disponibi l izao de um s is tema de processamento de imagens digi ta is nacional , dedicadoao clculo do fator de intensidade de tenses com o apoio da fotoelasticidade, este trabalhose consti tui numa valiosa ferramenta de consulta para os interessados na aplicao de PIDna rea de fotomecnica .


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2 F U N D A M E N T O S D E F O T O E L A S T I C I D A D E

2.1 Introduo

A fotoelast ic idade uma tcnica de anl ise experimental d e tenses e d eformaes ,que faz uso das propriedad es de birrefringncia mecnica apresentada por alguns materiaisno-cr is ta l inos e das propriedades de polar izao da luz . O experimento fe i to com umequipamento denominado polar iscpio, o qual pode ser a l imentado com luz branca ou comluz monocromt ica . So geradas imagens , com base nas quais se obtm informaes sobreas tenses em materiais sob ao de esforos. Com a simples observao da forma e cor daimagem fotoelstica, possvel fazer-se uma rpida anlise quali tativa da distribuioglobal de tenses na regio do material sob anlise. Dados quantitativos precisos podem serobt idos com ins t rumentos pt icos modernos associados com tcnicas de medio.

Quando um mater ia l fotoels t ico, submet ido a esforos , observado num polar iscpio a l imentado co m luz branca, observam -se padres de cores ( isocromt icas) que so diretamen te proporcionais s tenses e deformaes nes te mater ia l . A seqncia de cores observada ao se aumentar a tenso a seguinte : preta, amarela, vermelha, azul, verde, amarela,vermelha, verde, amarela , vermelha, verde, e tc . como i lus t rado na Figura 3 . A linha detransio entre as cores vermelha e verde um exemplo t pico de franja, regio onde ocorrea ext ino da luz . Quando o polar iscpio a l imentado com luz monocromt ica , asisocromticas so geradas em matizes da cor desta luz. Neste caso, as franjas so identificadas co m o as regies em qu e se tm a ocorrnc ia do tom de cor m ais escuro, quetambm corresponde a pontos de ext ino da luz . medida em que aumenta o nmero defranjas , h aumento proporcional nas tenses no mater ia l . Quando o espaamento entreestas franjas pequeno, s ignifica que se tem altos gradientes de tenses. A presena deuma mesma cor numa rea s ignif ica tenso uniformemente dis t r ibuda. Ass im, adistribuio global de tenses pode ser obtida a partir do reconhecimento das franjas, suasordenaes e o espaamento entre e las .


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4Direo da foraaplicadaI

Figura 3 - Ilustrao de imagem fotoels t ica num experimento com luz branca, mostrando aseqncia decores geradas

A fotoelas t ic idade pode ser dividida em trs categorias: (a) a tcnica do recobri men to fotoels t ico; (b) a anlise demodelos b id imens iona is e (c) a anlise de modelos tridimensionais . Na Figura 4 , so i lustradas as categorias (a) e (b) citadas.

Na tcnica do recobrimento fotoelstico, uma c a m a da de material birrefringente colada sobre a es t rutura ou equipamento onde se deseja avaliar as tenses . O materialut i l izado para colagem possui propriedades de reflexo da luz . A seguir, aplicam-se cargassobre a estrutura e i lumina-se o material de recobrimento fotoelstico, cuja luz refletida observada num polar iscpio. Nes te caso, tem-se a chamada fotoelas t ic idade por reflexo.As informaes sobre tenses na estrutura so obt idas com base nas deformaes nainterface entre o material birrefringente e o material da estrutura.

No caso da anlise de modelos bidimensionais , modelos t ransparentes de materialbirrefringente, com geometr ias correspondentes ao prott ipo de estrutura a ser analisada,so anal isados num polar iscpio de t ransmisso. Nes te caso, no h reflexo da luz proveniente do polar iscpio. Tem-se, ento, a fotoelasticidade por t ransmisso. Os resultadosobtidos com o modelo podem serextrapolados para a estrutura real .

C om a ut i l izao da tcnica da fotoelasticidade tridimensional, possvel analisartenses no interior de m ode los fotoelsticos. Ne sta tcnica, as tenses no modelo so


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MODELO TUNO DE MATERIALBIRBEFREf GENTERECOBBIMENTO DEPEACOM MATERIALBIRREFRINGENTE

AFUCAO DE ESFORO

Figura 4 - Equipam entos e mater ia is envolvidos na gerao de imag ens fotoelst icas ^ ^ ' ' ^ K

apl icadas dentro de um forno, com o objet ivo de congelar as tenses , com base numa temperatura cr t ica. Aps o congelamento de tenses, o modelo fatiado e as fatias so analisadas num polar iscpio de t ransmisso, para obteno das tenses .

H dois t ipos bsicos de imagens geradas diretamente no polariscpio: as isocromticas e as isclinas. Com as isocromticas possvel, em cada ponto das franjas, obter-se uma re lao entre as tenses pr incipais . Com base nas iscl inas , obtm-se a or ientaodas tenses principais em relao a uma dada direo de referncia.

No caso da uti l izao de luz branca, as isocromticas geradas so coloridas, comomostrado na Figura 5, enquanto que, com luz monocromt ic i , as imagens so em mat izesda cor da luz ut il izada no experim ento, com o i lus t rado na Figura 6 .


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Figura 5 - Isocrom t ica gerada experimen talmente num disco de mater ia lbirrefringente i luminado com luz branca*^\

Figura 6 - Isocrom t ica gerada por s imulao com co mp utador , para um d isco de mater ia lbirrefringente, na condio de luz monocromtica*^'^ ' .


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A separao das tenses principais pode ser feita a partir de condies de contomoou atravs de tcnicas numricas de diferenas finitas. O relacionamento entre as tensesprincipais fe i to em pontos par t iculares de uma isocromt ica . Numa isocromt ica geradacom luz monocromt ica , es tes pontos so aqueles em que a intens idade luminosa passa porum valor mnimo. Numa isocromt ica gerada com luz branca, es tes pontos correspondem aregies em que os componentes da luz branca se ext inguem. Neste caso, necessr ioconsul tar-se uma tabela de cores com os respect ivos comprimentos de onda

Neste t rabalho, so cons ideradas somente as imagens provenientes da anl ise demodelos bi rrefr ingentes bidimensionais .

Os casos estruturais , dentro do escopo desta tese, a serem abordados pela fotoelast ic idade, so aqueles que podem ser t ra tados dentro da teor ia em que domina o comportamento elstico l inear de estruturas.

2.2 Reviso bibl iogrfica

Os conceitos tericos de ptica, polarizao da luz e birrefringncia temporria sodeta lhadamente apresentados em DALLY*^' , DURELLI & RILEY*^" ' e HECHT


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2.3 Tens es principais e estado plano de tensesA tenso, num material sob esforo, definida como a carga por unidade de rea

inf ini tes imal na s viz inhanas do ponto de interesse . Em coordenad as car tes ianas , o e lem ento infinitesimal tem a forma de um paraleleppedo, i lustrado na Figura 7. Nesta mesmaFigura , so indicadas as tenses no rmais , O x e O y , e a tenso de c isa lhamento T x y .

Figura 7 - Eleme nto de es tado plano de tenses , mostrando as tenses per t inentes .

As tenses normais mximas , num determinado ponto do mater ia l , so denominadas de tenses principais , referidas na l i teratura como ai , a 2 e 03. No es tado plano de tenses, a tenso na direo "z" desprezvel ( 03 = O ). Neste caso, as tenses esto contidasem planos paralelos ao plano que contm a carga atuante sobre a estrutura. Os clculos narea da fotoelas t ic idade gi ram em to m o de re laes matem t icas que envolvem a di ferenaC 1 - G 2 com as propriedades do mater ia l bi rrefr ingente e com os comprimentos de onda daluz usada no experimen to fotoelst ico.2.4 Polarizao da luz

De acordo com a teoria ondulatria, a luz caracterizada por vetores descritos porfunes senoidais . A polarizao da luz consiste em se fazer com que o vetor luminosotenha uma t ra je tr ia espacia l predeterminada*" ' . Quando a luz se propaga num meio, como seu vetor lumino so vibrand o num n ico plano, tem-se a polar izao plana da luz . Q uandoa luz polar izada emergente de um polar izador descreve, num plano perpendicular aosentido de propagao da luz, trajetrias circulares, tem-se a luz polarizada circular. NaFigura 8, so i lustrados os t ipos de polarizao plana e circular da luz.


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P OL A R I Z A D ORP L A N O POLARIZADORCIRCULAR

(a) polar izao plana (b) polar izao c i rcularFigu ra 8 - Ilustrao da s polariza es d a luz (plana e circular)*'^ ' .

2.5 Material com birrefringncia mecnicaMuitos materiais transparentes no-cristalinos, que so opticamente isotrpicos quan

do l ivres de tenses , se tornam opt icamente anisotrpicos quando submet idos ao deesforos. Estas caracterst icas persistem enquanto as cargas sobre o material so mantidas,desaparecendo, entre tanto, quando as cargas so removidas . Es te comportamento,conhec ido como refrao temporria dupla, foi observado pela primeira vez por Sir DavidBrewster no ano de 1816. O mtodo da fotoelas t ic idade baseado no comportamentodestes materiais . A teoria relacionando variaes nos ndices de refrao de um materialcom refrao temporr ia dupla sob ao de tenso devida a Maxwel l , que re la tou ofenmeno em 1853. Maxwel l observou que as var iaes nos ndices de refrao eramproporcionais s cargas e, portanto, s tenses ou deformaes para um material comcomportamento e ls t ico- l inear . Os mater ia is que possuem refrao temporr ia dupla sobao de cargas so denominados , tambm, de mater ia is com birrefringncia mecnica^^\Na Figura 9, i lus t ra-se o comportamento de um mater ia l bi rrefr ingente , com e sem cargaexterna aplicada, ao ser atravessado pela luz polarizada plana.

Os materiais birrefringentes so vendidos na forma de blocos, barras ou chapas parauti l izao na confeco de modelos fotoelsticos, ou na forma de resina l quida com endurecedor , combinados na hora de montagem da camada de recobrimento fotoels t ico. NaFigura 10, so mostrados modelos bidimensionais usados na fotoelas t ic idade por t ransmisso e na fotoelasticidade por reflexo (camada de material fotoelstico de recobrimentosobre uma pea) . Os mater ia is comercia lmente disponveis so res inas base de epoxi epolicarbonatos*^'.


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materialbirrefeigente

Luz emergente h

Material birre&ingentesob esforoLuz incidentepolarizada

Luz emergente decomposts nosplanos das tenses principaisX - comprimento de onda da luzf - constante fotoelstica de tensoC - constante ptica de tenso do material fotoelstico

O i , 02 - tenses principaisFigura 9 - Esquema ilustrando o fenmeno da birrefringncia mecnica*'*' .

Modelos planos Modelos tridimensionais

Ma terial na forma lquida, cola refletora e placasF igura 1 0 - Formas comerciais de materiais birrefringentes*' '^'"*'.


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2.6 Polariscpio

O polariscpio o equipamento bsico utilizado na realizao de um experimento fotoelstico. Ele composto basicamente de uma fonte de luz (branca ou monocromtica),dois polarizadores de luz plana (analisador e polarizador) e dois polarizadores de luz circular (lentes de quarto de onda). O polarizador o elemento ptico mais prximo da fonteluminosa. O analisador o elemento ptico onde so observadas as imagens fotoelsticas.As lentes de quarto de onda ficam localizadas antes e depois do modelo fotoelstico ou domaterial de recobrimento, em relao trajetria luminosa. Dependendo se o arranjo possuiou no lentes de quarto de onda, o polariscpio pode ser classificado como sendo plano oucircular. Quando no so utilizadas lentes de quarto de onda o polariscpio do tipo plano.J quando se usam estas lentes, o polariscpio do tipo circular, uma vez que a luzemergente do polarizador circular.

O mecanismo bsico da teoria da fotoelasticidade a defasagem A que a onda luminosa sofre ao atravessar o material birrefringente, a qual proporcional diferena entreas tenses principais em cada ponto do material birrefringente sob tenso. A luz polarizada,que chega ao material birrefringente sob tenso, ao atravess-lo, decompe-se na direode dois planos perpendiculares entre si, que correspondem s direes das tensesprincipais em cada ponto do material. As ondas luminosas, emergentes nestes planos, saemcom uma defasagem A em relao onda incidente, cujo valor em radanos dado por

A = 27 c[(Ch)/ ] (Gi -a2) (1)

onde "C" a constante ptica de tenso do material birrefringente, "A," o comprimento deonda da luz e "h" o espao percorrido pela onda luminosa dentro do material birrefringente. Na fotoelasticidade por transmisso, "h" a espessura do material birrefringente. Nocaso da reflexo, "h" o dobro da espessura deste material. Em (1), como unidades tpicasdas variveis mencionadas, tem-se: "C" [m^/N], [m], "h" [m] , c, e 02 [N / m^].

2.6.1 Polariscpio plano

O arranjo consistindo de fonte de luz, analisador e polarizador, denominado depolariscpio plano, o qual ilustrado na Figura 11. Para este arranjo, a intensidade


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luminosa "I" no anal isador dada por (2) , onde "a" o ngulo entre o e ixo do polar izadore a direo da tenso principal ai , "A" uma amplitude de referncia e "A" a defasagem.

I = A sen^( 2 a ) sen^(A / 2) (2 )

Observador

Ma terial birrefringentesob tensoAnal i sador

Polarizador I'^nte de luz

7Luz despolarizadaDecomposio da luz polarizadanos planos das tenses principais

A Diferen a de fase Aproporcional a -Figura 11 - Esquema de polariscpio plano, mostrando o arranjo das lentes e modelo*"*'^ ' .

O fator sen^(2 a) da equao (2) define as isclinas. J o fator sen^(A / 2) define asisocromt icas . Num experimento fotoels t ico com polar iscpio plano, a imagem resultante uma superpos io de iscl inas com isocromt icas , como i lus t rado no lado esquerdoda Figura 12, para o caso de um expe rimen to com luz mon ocrom t ica para uma chapa, comum furo circular, tracionada num nica direo. As isclinas so imagens que fornecem aorientao das tenses principais . No lado direito desta mesma figura, mostra-se, separadamente , a i scl ina corresponden te a um determinado ngulo a , para es ta mesm a chapa.

As isocromt icas so imagens , para as quais , uma mesma cor corresponde a umamesma diferena entre as tenses principais . As isclinas permitem que se determine ongulo das tenses principais em relao a uma determinada direo de referncia. NaFigura 13, so i lustrados os elementos correspondentes s tenses principais ao longo dal inha mais escura da iscl ina . Observa-se que os e lementos tm uma mesma incl inao emrelao direo horizontal . No clculo do fator de intensidade de tenses, a imagembsica uti l izada a isocromtica.

;OMiSSAO KCiGNAL LE E .L H G A N U C C E / m / S P P i


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i-=13,232 bN/mt =0,58 cmR =-,96 cme- =2,5 MPa -is yII01 = 3 0 f


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2.6.2 Polariscpio circular

Quando ao arranjo de polariscpio plano so includas lentes de quarto de onda,tem-se o polariscpio circular, ilustrado na Figura 14. A lente de quarto de onda caracterizada por dois eixos, denominados eixos rpidos e lentos, fazendo entre si um ngulo de45 graus. Por meio de um giro apropriado destas lentes de quarto de onda, possvel fazer-se com que a primeiro fator em seno da equao (2) seja igual a 1. Neste caso, a imagemproduzida representa somente as isocromticas.

PolarizadorMaterial birrefrmgentesob tenso

\ Lente dequarto de onda/. Lente dequarto de onda

Figura 14 - Esquema das lentes de um polariscpio circular (campo escuro)

2.6.2.1 Polariscpio circular / campo escuro

Para a condio de posio cruzada dos eixos do analisador e polarizador, comomostrado na Figura 14, a intensidade luminosa no analisador dada por

I = A sen^(A / 2). (3)Uma anlise da equao (3) mostra que possvel relacionar-se as tenses principais, G\ eao, com parmetros extrados da imagem isocromtica. Para isto, basta anular o fator emseno da equao (3), obtendo-se a expresso (4)

a i - a 2 = Nf / h , (4)


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onde "N" um nmero inte i ro e f (constante fotoelstica de tenso) igual a X, /C. Nafotoelasticidade, o trabalho bsico obter-se es te nmero "N". Na condio de c a m poescuro, sogeradas as i socromt icas deordem inte i ra , como mostrado na Figura 15 (a).

f-=13,232 bN/mt = 0 , 5 8 cmR =4 , 96 cm


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Neste processo, gerada uma imagem denominada de franja isocromt ica de ordem fracionria, i lustrada na Figura 15(b).

Ao ni imero "N" que corresponde a pontos de ext ino da luz , denomina-se ordem dafranja. Na condio de polariscpio com campo escuro, tm-se as franjas de ordem inteira.No caso de campo claro, tm-se as franjas de ordem fracionria.

2.7. Tcnicas auxi l iares na fotoelast ic idadeCo m base nos padres das isocromt icas de cam po escuro e de camp o claro, conse

gue-se determinar somente as di ferenas de tenses pr incipais de meia em meia ordem defranja. Caso se deseje uma melhor preciso nos resultados, necessrio que sejam usadastcnicas denominadas de compensao. Uma das tcnicas mais usadas conhecida comomtodo de Tardy, o qual descrito nas referncias'^'^'*' ' ' '*'. Com esse mtodo, possveldeterminar-se a ordem da franja em qualquer ponto da isocromtica, ou seja, possvelobter-se a relao (Ci-Cj) em qualquer ponto da superfcie sob anlise via fotoelasticidade.

Em algumas condies de contorno conhecidas , como por exemplo na superf c ie dofuro circular de uma chapa furada, i lustrada na Figura 16, possvel separar-se a tenso a\de 0 2 , uma vez que esta lt ima nula. Assim, a tenso o^, no ponto B da superfcie dachapa da Figura 16, igual a (J\.

Figura 16 - Tenses na superfcie de um furo circular em uma chapa furada sob trao.


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Com base na equao (4), possvel obter-se o valor para a tenso no ponto B atravs daequao (6) a , = N f ( 6 )onde, f a constante fotoelstica de tenso do material birrefringente e "N" a ordem dafranja isocromtica que passa por este ponto. Na Figura 17, mostra-se que, para a si tuaode geom etr ia e carregam ento da chapa, a f ranja passando pelo ponto B tem N =4 . Ass im, n oex em plo d a Figura 17, para calcular-se a tenso no pon to B, basta mu ltiplicar a constante fpor 4. Es ta tcnica conhecida co mo separao das tenses pr incipais .

-=13,232 kN/mt =0,58 cmR =4,96 cmfl-o=5 MPa 1

Figu ra 17 - Ilustrao da franja de orde m inteira, na extrem idade m ais carrega da do furo*'^ '.

Em regies da superf c ie do modelo, no per tencentes regio do contomo, no sepode obter os valores individuais das tenses principais , Oi e 02, diretamente a partir dasiscl inas e isocromt icas , sem usar dados suplementares ou sem empregar mtodos numricos. Nas referncias ^^^^'^\ so apresentados os mtodos das Diferenas das Tenses deCisalhamento e o Mtodo Anal t ico de Separao. O pr imeiro mtodo exige a apl icao da


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tcnica das diferenas finitas. O Mtodo Analt ico, descrito por DALLY*^', envolve a aplicao dos conhecim entos das equaes de Laplace e da Anl ise de Fou rier .

Na anlise fotoelstica, a distribuio de tenses funo da carga aplicada. Paradeterminar-se a distribuio de tenses com preciso, necessria a calibrao da constantefotoe lstica d e tens o f do m aterial birrefrin gente . O s valores de f dad os na literatura sovalores t picos. Os valores reais de f variam c om o fornecedo r, co m a batelada, tem peratura e idade do material birrefringente; , portanto, necessrio calibrar-se o material fotoelstico na poca de realizao do teste.

Uma das maneiras de se calibrar o material fotoelstico analisar-se um disco dematerial birrefringente submetido a duas cargas concentradas, de compresso, aplicadas aolongo do dimetro do disco*^' . Como conhecida a soluo anal t ica para os componentesde tenses em todos os pontos do disco, consegue-se relacionar a carga aplicada com aconstante fotoelstica e com a ordem da franja isocromtica. Aplica-se, ento, uma cargaconcentrada "F" que faa com que uma franja de ordem inte i ra "N" passe pelo centro dodisco. Ne sta si tuao , a con stante fotoelstica f calculada p or :

f = [ 8 / ( 7 c D ) ] ( F / N ) ( 7 )onde "D" o dimetro do disco.

Aps a anlise de um modelo fabricado com material birrefringente, necessrioque os dados obtidos sejam extrapolados para o prottipo. Para is to, necessrio uti l izar-sea anlise dimensional. Para as variveis que sero apresentadas a seguir, o subscrito mrefere-se ao modelo e o subscrito p refere-se ao prottipo. Com base nesta notao, e demaneira simplificada, pode-se dizer que as tenses O p e des locamentos no prott ipo sodados por ( 8 ) e ( 9 ) , respect ivamente .

G p = G m (FpfFJ (hjhp) (LJLp) ( 8 )6p = n, (Fp/Fn,) (En,/Ep) (h/hp) ( 9 )

onde "F" carga aplicada, " E " o mdulo de e las t ic idade, "h" a espessura do modelo e" L " alguma dimenso lateral tpica do modelo. As referncias*^'^"'^"'^^' apresentammaiores informaes sobre extrapolao de dados do mo delo para o prott ipo.


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3 F U N D A M E N T O S D A M E C N I C A E L S T IC A L IN E A R D E FR A T U R A

3.1 Introduo

Para materiais contendo trincas, a teoria da elasticidade no suficiente para prevero comportamento estrutural do material sob ao de esforos, do ponto de vista de sedeterminar o instante de ruptura da estrutura. A dificuldade em se fazer tal previso devida, principalmente, geometria da ponta da trinca, a qual possui raio de curvaturaprximo de zero, gerando tenses locais que tendem para o infinito. Com estas tenseslocais s ingulares, tanto o l imite de escoamento como a resistncia t i l t ima do material soexcedidos , mesmo para pequenas cargas apl icadas ; com is to, a abordagem usual para seprever as cargas de ruptura, com base nas teorias de ruptura convencionais , no mais seaplica. A Mecnica de Fratura a ferramenta, em substi tuio a teoria convencional daelasticidade, que leva em considerao o estado singular de tenses na ponta da trinca. AMecnica de Fratura tem como um dos obje t ivos promover respos tas quant i ta t ivas paraproblemas especficos relacionados com a presena de trincas nas estruturas*^^'^"*'.

A Mecnica de Fratura descreve a fratura de materiais em termos de leis da mecnica apl icada e de propriedades macroscpicas dos mater ia is . Ela permite que se faa umaavaliao quantitativa, baseada na anlise de tenses, relacionando a resistncia fratura domaterial carga aplicada e geometria da estrutura ou componente contendo defeito. Normalmente , o defei to subs t i tudo por uma t r inca equivalente de modo que a res is tncia fra tura pode ser es tabelecida em termos de condies de tenso-deformao na ponta datrinca. Na Mecnica de Fratura, assume-se que a influncia das cargas aplicadas sobre oaumento de tamanho da t r inca pode ser representada em termos de cer tos parmetros , quecaracter izam a intens idade tenso-deformao prximo ponta da t r inca . Es tes parmetros que servem de base para a seleo das propriedades do material que so relevantes para oaumento de tamanho da trinca*^^'.


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Neste t rabalho, os concei tos es to l imi tados ao campo da Mecnica Els t ica Linearde Fratura (MELF), a qual uma abordagem ao fenmeno de fra tura baseada na teor ia daelas t ic idade l inear . A MELF fornece um procedimento anal t ico que re laciona o campo detenses nas viz inhanas da ponta de uma t r inca a outros parmetros , ta is como tensonominal aplicada estrutura, dimenso, forma e orientao da trinca em relao ao carregamento apl icado. Ela permite , em muitos casos , a representao das propriedades defratura do material em termos de um tnico parmetro*^^' . A MELF, para efeito de projeto,restringe-se a materiais que se rompem sob o fenmeno de fratura frgil . A fratura frgil o t ipo de processo de ruptura do mater ia l que ocorre sem deformao pls t ica macroscpica, sob valores de tenses inferiores queles correspondentes ao escoamento generalizado, e com uma velocidade de propagao de trinca bem elevada*^^' .

3.2 Tenses s ingulares em defeitos do t ipo tr incaNa Figura 18, i lustra-se uma chapa infinita com um furo elptico, com uma tenso

nom inal Oo aplicad a nas bord as infinitas e orienta da segun do a direo d o meno r eixo daelipse. Demonstra-se*^^' que, ao se uti l izar os conceitos da elasticidade para esta condiode geometr ia e de carregamento, a tenso mxima, i lus t rada na Figura 18, se d ao longodo eixo "x" , na di reo "y" e dada pela equao (10)

avMAx = a o [ l + 2 ( a / b ) ] (10)onde "a" e "b" so os semi-eixos do furo. Com base na equao (10) , observa-se que se adimenso do semi-eixo menor da elipse "b" tender para zero, ou seja, se o furo elpticopassar a ter a forma de uma linha, ento a tenso mxima tende para um valor infinito,indepen dentem ente do valor da tenso Oo apl icada. N a abordagem conven cional da e las t i c idade, o procedimento bs ico de segurana es t rutural , em termos de proje to, ser ia , numaprimeira anl ise , comparar-se a tenso mxima com alguma tenso de referncia ( l imi te dproporcional idade, l imi te de escoamento, e tc) . Observa-se , ento, que no caso de es t ruturas com trincas, tal comparao no pode ser feita, pois a tenso mxima um valor indeterminado. Assim, para analisar materiais contendo trincas, foi necessrio introduzir-se ummtodo que levasse em cons iderao o es tado s ingular de tenses na ponta da t r inca . AMecnica de Fratura, desenvolvida por Irwin a partir de trabalhos de Inglis , Griffi th eWestergaard, t ra ta campos de tenses s ingulares na ponta da t r inca , int roduzindo um


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parmetro, denominado fa tor de intens idade de tenso K, que funo l inear da cargaaplicada ao material e depende da forma e dimenses da trinca*^' .

N|/ NJ/ J/ vi'' \|/'Figura 18 - Ten so m xim a na borda de um furo e l ptico de um a placa infinita .

3.3 Modos de carregamento de uma trinca e fator de intensidade de tensesUma trinca pode estar sujeita a trs t ipos de carregamentos, sendo esses t ipos iden

t i f icados na l i tera tura a t ravs das denominaes de modos de carregamento por aber tura ,por c isa lhamento e por rasgamento. Os respect ivos fa tores de intens idade de tenses sodenominados Ki, Kn e Km- Em geral , na prtica, do ponto de vista da Mecnica de Fratura,o modo de abertura o mais cr t ico. Na Figura 19, so i lustrados esses trs t ipos de modosisolados de carregamento de uma t r inca .

Abertura CisaUiamento Rasgamento

Figura 19 - M odo s de carregamentos de uma t r inca com b ase nos quais so definidos osfatores K,, Kn e Km *^^'.


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Quando pode ser admit ido um comportamento e ls t ico- l inear para o mater ia l (efe itos de plasticidade confinados vizinhana imediata da ponta da trinca), pode-se usar ofator de intensidade de tenso K, fornecido pela Mecnica Elstica Linear de Fratura, paragarantir a segurana contra fratura para estruturas contendo trincas.

Na Figura 20, so mostrados os sistemas de coordenadas cartesianas e cil indricas,local izados na ponta da t r inca e que so usados nos desenvolvimentos ter icos . Tendo porbase o s is tema car tes iano, def ine-se a seguir os modos de carregamento em funo daexistncia ou no de tenses nas faces dos elementos de tenses.

O x = 0, (5y^ o , O z 5 o , tx Y = o ( m o d o I )Oy = O, Txy 5 O (modo II)

a Y = O , X y z ^ O , T x y ^ 0 ( m odo I II )

(11)(12)(13)

O campo de tenses na ponta de uma t r inca pode ser t ra tado como uma combinaodos t rs t ipos bs icos de campo s de tenses def inidos (modo s I, n e IH). D-se , entre tanto,nes ta tese , um en foque pr incipal , em termos de implem entao por m eio de compu tador , aoclculo do fa tor de intens idade re la t ivo ao modo de carregamento por aber tura (mod o I) .

Tendo por base o s is tema de coordenadas mostrado na Figura 20, def ine-se Ki pelaexpresso (14)

Ki = limite oy [27tr]

na co ndi o d e 8 igual a zero*^^\(14)

Figura 20 - Sistema de coordenadas cartesianas e cil indricas na ponta de uma trinca*^^' .


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Para uma placa inf ini ta com um furo e l pt ico e carregamento como indicado naF igura 21 , demonstra-se*^' que o fator de intensidade de tenses Ki dado por

Ki = a o (n a)1/2

(15)onde "a" a dim enso m ostrada na Figura 21 e Oo a tenso aplicada nas bordas da placa.Observa-se , ass im, que o parmetro Ki engloba o carregamento apl icado na es t rutura e ageometr ia do defei to , no caso a dimenso "a" da t r inca . Da equao (15) , conclui-se que ofator de intensid ade de tens es Ki varia l inearm ente co m a tenso ap licada a o e com a raizquadrada do tamanho de t r inca . Na Figura 22, para uma mesma s i tuao de carregamento ede posio da trinca, so i lustrados os valores de Ki em funo de ao para diferentestamanho s de t r inca (a i ). C om o unidad es t picas de Ki tm-se M Pa.m "^ e ps i . in"^ .

l i t t t t t t t

i u 1 u w u rFigura 21 - Placa infinita com carregamento nas direes x e y e sistema de coordenadas*^' .

Figura 22 - Variao de Kj em funo de a o , para diferentes tamanhos de trinca.


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3.4 Equaes para o campo de tenses nas viz inhanas da ponta da tr inca

Em muitos casos prticos, possvel determinar-se o fator de intensidade de tenses , seja anal i t icamente ou por meio de mtodos numricos . Entre tanto, em alguns casos , necessr io determinar-se Ki e Ku por meio de experimentos cuidadosamente controlados .Qualquer mtodo experimental para a determinao do fa tor de intens idade de tensesdepende do conhec imento comple to das equaes de campo de tenses e de deformaesque sejam vlidas na regio da ponta da trinca. Neste trabalho, a regio vizinha ponta dat r inca dividida em t rs zonas , del imitadas por se tores c i rculares , como mostrado naFigura 23. As zonas 1, 2 e 3 correspondem, respect ivamente , s regies muito prxima,prxima e distante da ponta da trinca. Na zona 1, no est includa a regio circular,marcada com uma cor mais escura na Figura 23. Nes ta regio escura ocorre o es tadotridimensional de tenses. A quantificao destas zonas, para efeito de determinao dofator de intensidade de tenses, feita no Captulo 4. Conforme ser visto posteriormente,as equaes do campo de tenses podem ser representadas como uma sr ie de pol inmios ,sendo que o nmero mnimo de termos necessr ios para representar o campo de tensesreinantes em cada zona var ivel .

1 - regio mviito prxima da ponta da trinca2 - regio prxima da ponta da trinca3 - regio distante da ponta da trinca

Figura 23 - Zonas 1 , 2 e 3 nas vizinhanas da ponta da trinca.


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As equaes de campo de tenses podem ser representadas por uma srie do t ipolo em (16)ndicado em (16)

N Ma u = i;Af"-'' '^fn(e) Z B ^ r - ^ & ( e )11=0 m=o y'^^j

onde An e Bm so coeficientes a serem determinados, fn(9) e gm(0) so funes t r igonomtr icas a serem determinadas ; "r" e "0" so os componentes c i l indricos do s is tema decoordenadas mostrado na Figura 23.

Na equao (16) , para pequenos valores de "r" , somente o pr imeiro termo da sr iecontribui s ignificativamente para au; is to ocorre para N = 0 , sendo que todos os outrosterm os se anulam*^'. A zo na 1 a regio em q ue esta represen tao da srie com um nicotermo suficiente para determinar o campo de tenses.

medida em que se afasta da ponta da trinca, os termos no singulares se tornamsignificativos e a representao do campo de tenses por meio de um nico termo no mais vlida. Neste caso, termos adicionais tm que ser considerados na srie de modo aaumentar-se a preciso na determinao do campo de tenses . A zona 2 a regio onde ocampo de tenses pode ser representado, com preciso, cons iderando-se apenas a lgunstermos da srie*^'.

Para valores maiores de "r" (zona 3), necessria a considerao de um grandenmero de termos da sr ie , de modo a descrever com preciso o campo de tenses . Nes tazona, para determinao do fator de intensidade de tenses, como se trabalha com umgrande nmero de coeficientes desconhecidos, faz-se necessria a uti l izao de um grandenmero de dados*^'.

Nos i tens seguintes, so apresentadas as equaes do campo de tenses para aszonas 1 e 2 , para os modos de carregamento por aber tura e por c isa lhamento, cons iderando-se o sistema de coordenadas cil ndricas r , 0 , z, com origem na ponta da trinca, comomostrado na Figura 23. Essas equaes se aplicam anlise de tenses, no domnio elsticolinear, para um slido isotrpico*^^'^^'.

3 . 4 . 1 Ca m po de t e ns e s na r e g i o m u i t o p r x i m a da pon t a da t r i nc aNeste caso, uti l izado um nico coeficiente na representao do campo de tenses

por meio de sries do t ipo indicado na equao (16).


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3.4 .1 .1 Mo do I - carregamento por aberturaO coeficiente Ao da srie da equao (16) dado por (17) e os componen tes x ,

O Y , ' CXY e az sodados, respect ivamente, por (18), (19), (20) e (21)Ao = K,/ (2 7)" ' (17)

Ox = [ Kl / (2 7 r)' '^ ] cos(e/2) [ 1 + sen(e/2) sen(3 9/2) ] (18)O Y = [ Kl / (2 71 r)"^ ] cos(e/2) [ 1 - sen(e/2) sen(3 9/2) ] (19)

XxY = [ Kl / (2 K r)''^ ] cos(9/2) sen(9/2) cos(3 9/2) (20)CTz = O [ estado plano de tenses ]CTz = V (Ox + CY) [ estado plano de deformaes] (21)

sendo v o coeficiente de Poisson.Segundo DALLY*^', Chona mostrou que a zona 1 muito pequena e est delimitada

por um raio igual 2% do t amanho de trinca "a", marcado a partir da ponta da trinca. Umavez que a distribuio de tenses nesta regio t r id imensional , as hipteses de estadoplano de tenses e estado plano de deformaes no so vl idas . Deste m odo, os valores deAo e Kl, calculados com base nas equaes da zona 1, devem ser usados somente para sete r uma ordem de grandeza*^'.

3.4 .1 .2 Modo II - carregamento por c i sa lhamentoPara o m o d o n, na zona 1, o cam p o de tenses na condio de carregamento por

cisalhamento*^' dado pora x = [ Ku / (2 7 r)''^ ] sen(9/2) [ 2 + cos(9/2) cos(3 9/2) ] (22)

O X Y = [ Kn / (2 71 x)^'^ ] sen(9/2) cos(9/2) cos(3 9/2) (23)T X Y = [ Kii / (2 7C r)' '^ ] cos(e/2) [ 1 - sen(9/2) sen(3 9/2) ] (24)

a z = O [ estado plano de tenses ]a z = V ( a x + O Y ) [ estado plano de deformaes ] ^25)

3.4 .2 Campo de tenses regio prxim a da ponta da trincaNa zona 2, uma regio um pouco mais afastada da ponta da trinca, no se tem mais

a influncia do estado tridimensional de tenses. Nesta zona, o raio "r" l imitado a valores


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tais que o campo de tenso possa ser representado, com preciso razovel (2 a 5%),utilizando-se um pequeno nmero de termos da srie*^'.

3.4.2.1 Modo I - carregamento por abertura

Utilizando-se a representao da srie com 6 coeficientes desconhecidos, tm-se**':x = Ao f^'^ cos(e/2) [ 1 - sen(0/2) sen(3 0/2) ] + 2 Bo -i-

Ai r^'^ cos(0/2) [ 1 + sen^(0/2) ] + 2 Bi r cos(0) +

Az T^'^ [ cos(3 0/2) -(3/2) sen (0) sen (0/2) ]+ 2 B2 r [-sen^(0) + 2 cos(2 0) ] (26)Cy = Ao f^'^ cos(0/2) [ 1 + sen(0/2) sen(3 0/2) ] -1-

A, r^'^ cos(0/2) [ 1 - sen^(0/2) ] -1-A2 r^'^ [ cos(3 0/2) + (3/2) sen (0) sen (0/2) ] + 2 B2 r sen^(0) (27)

TXY = Aof^'^ cos(0/2) sen(0/2) cos(3 0/2) +- Al r'^^ sen(0/2) cos^(0/2) - 2 B, r sen(0) +- 3 A2T^'^ sen(0/2) cos^ (0/2) - 2 B2 r sen (2 0) (28)

3.4.2.2 Modo II - carregamento por cisalhamento

O campo de tenses para o modo de cisalhamento na zona 2, segundo DALLY dado pelas equaes (29), (30) e (31).

Ncx = S C^r' - ' (n-1/2) sen ( e ) cos((n-3/2) 6)+ 2 sin((n-l/2) 0) ] +

n.=0MS D 1 ^ [sen(m 0) -l- m sen ( e ) cos((m-l) 6) ] ^29)

m=0 ^ ^N

C t t = Z C r"-i^) [ -(n-1/2) sen ( e ) cos((n-3/2) 0) ] +MS Di [sen(m 0) - m sen() cos((m-l) 0) ] (30 )

m=0 ^ ^


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N' C x Y = Z C t "' ' [ cos( (n-l/2) 6) - (n-1/2) s m(e ) sm((n-3/2)e) ] +n= 0MS D r [-m sen(e) sen( (m -l )e ) ] (31)

m=0

3.5 Tenac idade FraturaA tenacidade f ra tura de um mater ia l uma medida da energia que e la absorve

antes e durante o processo de fra tura . Trata-se de um parmetro mui to importante paracaracterizao do material , uma vez que ele est associado resistncia fratura domateriaP^'.

A tenacidade de um material representa a sua capacidade inerente de resist ir a umadada intensidade de tenso na ponta da trinca presente neste material , evitando a suafratura*^^' . Para materiais com comportamento elstico-linear, a tenacidade pode ser descrita em termos do fator de intensidade K. Na condio de carregamento esttico, tem-se aquant i f icao da tenacidade em termos dea) Kc - cond io de es tado plano d e tenses eb) Kic - cond io de es tado plano de deforma es .

Para exempli f icar a di ferena entre Kc e Kic , cons idere uma chapa com um furoel pt ico, tendo, entre tanto, espessura var ivel . Suponha que^para cada novo valor deespessura , se determ ine experimen talmente o valor de Ki cr t ico, man tendo-se con s tante ascondies de temperatura . Es te valor corresponderia combinao da tenso apl icada como taman ho da t r inca e com a espessura da chapa, para a qual haveria o inc io de propagaode trinca. Colocando-se estes valores cr t icos num grfico cartesiano em funo daespessura da chapa, obtm-se um aspecto de comportamento semelhante ao indicado naFigura 24. Observa-se que, para pequenas espessuras , que correspondem ao es tado planode tenses, o valor de Ki cr t ico (Kc) varia com a espessura da chapa. A partir de umadeterminada espessura (regio de estado plano de deformaes), o valor de Ki cr t ico passaa independer da espessura da chapa, assumindo um valor cons tante , o qual denominadode Kic , tenacidade fra tura na con dio de es tado plano de deform aes .

O parmetro Kic re levante na aval iao de propriedades de mater ia is , porque uma cons tante que independe das dimenses do corpo-de-prova. Em termos de segurana


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