УДК 519.63 К63 Комияма Х. isbn 978-5-97060-819-7 · 2020-05-18 · сказать,...

УДК 519.63ББК 22.193

К63

КомиямаХ.К63 Теоремыматематики/пер.с яп.А. Б. Клионского. –М.:ДМКПресс,

2020. –132 с.:ил.

ISBN978-5-97060-819-7

Сколькихкрасокдостаточнодляраскрашиваниялюбойгеографическойкарты?Какиетипыправильныхмногоугольниковподходятдлясоставле-ниямозаичногоузора?Какрассчитатьвероятностьпоступленияводинизнесколькихвыбранныхвузов?Ответнаэтиидругиевопросыпомогаютнайтитеоремы.

Помиморазбораувлекательныхзадаччитательнайдётвкнигелюбопыт-ныеистории–опоявленииматематическихсимволов,о«числеШахере-зады»,отом,ккакимнеожиданнымрезультатамприводитмногократноеумножениена2,иомногомдругом.Вконцекаждой главыприводятсякраткиерассказыобизвестныхматематикахпрошлого.

Изданиезаинтересуетвсех,когоувлекаютрешениематематическихзадачималоизвестныефактыизисторииматематики.

УДК 519.63ББК 22.193

RussiantranslationrightsarrangedwithNIHONBUNGEISHACo.,Ltd.throughJapanUNIAgency,Inc.,Tokyo.

Всеправазащищены.Любаячастьэтойкнигинеможетбытьвоспро-изведенав какойбытонибылоформеи какимибытонибылосредствамибезписьменногоразрешениявладельцевавторскихправ.

ISBN978-4-53721-579-7(яп.) Copyright©NIHONBUNGEISHA,2017ISBN978-5-97060-819-7(рус.) © Оформление,издание,перевод,

ДМКПресс,2020

5

Предисловие ...........................................................................................................................................8

Пролог Основные сведения о теоремах и проблемах

Что же это такое – теоремы математики? ................................................................................12Теорема Пифагора и великая теорема Ферма .......................................................................14Узнаём про «королеву теорем» – теорему Пифагора .........................................................16Теоремы математики, активно используемые в нашей жизни ........................................18Математические истории Многократное умножение на 2 даёт умопомрачительный результат .....................................................................................................20Column 1 Древнегреческий математик Евклид ....................................................................22

Глава 1 Знаменитые теоремы математики

Теорема Пифагора и тригонометрические функции ...........................................................24Теорема синусов .................................................................................................................................26Теорема косинусов ............................................................................................................................28Теоремы Фалеса .................................................................................................................................30Математические истории Теоремы, являющиеся расширениями теоремы Пифагора ...............................................................................................................................................32Column 2 Карл Фридрих Гаусс .....................................................................................................34

Глава 2 Теоремы, прочно вошедшие в нашу жизнь

Теорема о четырёх красках ..........................................................................................................36Еще о теореме четырёх красок ....................................................................................................38Футбольный мяч оказался многогранником, а не шаром? ......................................................................................................40Оказывается, у шестиугольной формы пчелиных сот есть рациональная причина ..................................................................................................................................................42Дальность обзора с телевизионной башни Tokyo Skytree .................................................44Свойства правильных многогранников и теорема Эйлера о многогранниках ........46Математические истории Эти удивительные целые числа ..............................................48Column 3 Платон ................................................................................................................................50

Содержание


6

Глава 3 Теоремы математики, которые вы изучали в школе

Теорема Пифагора .............................................................................................................................52Теорема Чевы .......................................................................................................................................53Теорема Менелая ...............................................................................................................................54Теорема Птолемея ..............................................................................................................................55Теорема Гиппократа (гиппократовы луночки) ........................................................................56Теорема о хорде и касательной ................................................................................................... 57Практическое применение теоремы о центре тяжести треугольника .........................58Теорема о степени точки .................................................................................................................59Теорема о свойствах средней линии треугольника .............................................................60Теорема Симсона ................................................................................................................................61Математические истории Когда же родились «знаки вычислений»? ..........................62Column 4 Леонард Эйлер ...............................................................................................................64

Глава 4 Теоремы математики, которые полезно знать

Бином Ньютона ...................................................................................................................................66Числа Фибоначчи ...............................................................................................................................68Ряд Фибоначчи и золотое сечение .............................................................................................70Теорема Безу об остатке и теоремы о разложении на множители ...............................72Основная теорема о простых числах .........................................................................................74Замечательные точки треугольника ...........................................................................................76Основы дифференциального и интегрального исчислений ............................................78«Метод исчерпывания» Архимеда ..............................................................................................80Теорема Пика .......................................................................................................................................82Теоремы Абеля.....................................................................................................................................84Математические истории Что такое «делосская задача об удвоении куба»? .........86Column 5 Фибоначчи .......................................................................................................................88

Глава 5 Решаем задачи с помощью математической теоремы

Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 1) ..........................................................90Решение задач с помощью теоремы Пифагора (ч. 2) ..........................................................92Теорема о многогранниках ............................................................................................................94Теоремы о вписанном угле .............................................................................................................96Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 1) ......................98Решение задач с помощью теоремы о независимых испытаниях (ч. 2) ................... 100


7

Математические истории Число Шахерезады, обладающее удивительным свойством ........................................................................................................................................... 102Column 6 Архимед ......................................................................................................................... 104

Глава 6 Повседневная жизнь и математика

Сколько же птиц было похищено? ........................................................................................... 106Что означает принцип Кавальери? .......................................................................................... 108Вычисление средней скорости движения ............................................................................. 110Отец алгебры Диофант.................................................................................................................. 112О дифференциальном и интегральном исчислениях в двух словах ......................... 114Немного сложная математическая задача ........................................................................... 116Делим 17 ослов в соответствии с завещанием отца ........................................................ 118Что такое лента Мёбиуса? ........................................................................................................... 120Найдём фальшивую монету, соблюдая правила ................................................................ 122Сможете ли вы раскусить этот фокус? .................................................................................... 124Математические истории Что же означают слова «определение» и «положение»? ................................................................................................................................ 126Математические истории Премия Филдса – высшая награда в математике ........ 128Column 7 Исаак Ньютон ............................................................................................................... 130

Список использованной литературы ....................................................................................... 131

8

Предисловие

Внашидниматематиканаходитсявцентревнимания!ИнетольковЯпо-нии,ноивАмерике,Европеиостальныхстранахмирастализамечатьважностьизученияданнойнауки.Центрисследованияиреформирования,принадлежащийОЭСР,проводитисследованиянетолькоматематики,ноидругихразнообразныхпред-метов. ОЭСР (OECD) – это аббревиатура международной Организацииэкономического сотрудничестваиразвития,получившейизвестность вЯпонииблагодаряпрограммеPISA (Programme for International StudentAssessment–Международнойпрограммепооценкеобразовательныхдо-стиженийучащихся),которуюОЭСРначалапроводитьв2000г.Объектамиоценкиявляются15-летниеучащиесястран–членовОЭСР.Способностиоцениваютсяглавнымобразомвтрёхобластях:математическаяграмот-ность,грамотностьчтенияиестественно-научнаяграмотность.Втестахмногомежпредметныхзадач.Имеютсяитакие,длярешениякоторыхне-достаточнопростогозаучиваниянаизустьучебногоматериала.Матема-тические задачитестовPISAоказалисьвцентревниманияпотому,чтоввиду осознания необходимости связи с обществом, реальной жизньюсрединихестьтакие,ответынакоторыенеобходимодаватьписьменно;вомногихзадачахважноезначениепридаётсяпроцессурешения,иде-ями подходам.Небудетпреувеличениемсказать,чтоименноэтопослу-жилотолчкомдляизменениясодержанияучебниковпоматематикедлямладшейи среднейшкол.Аразпоменялисьучебники,тоиизменениявзадачах,задаваемыхученикамвсреднейшколеилиабитуриентамнавступительныхэкзаменах,являютсялишьвопросомвремени.Содержа-ниеиметодыизученияматематикикакпредметасильноизменилисьпосравнениюстем,чтоизучалинаурокахматематикинашиотцыиматери,которымсейчасболее30 или40 лет.Крометого,незабывайтеотом,чтос2020г.начнутпоследовательновво-дитьсяновые учебникидлямладшейи среднейшкол, в которыхбудутиспользоватьсясовершенноиныеподходыкизучениюарифметикиима-тематики.Теперьуженедостаточнобудеттолькососчитатьидатьответ,нопотребуетсятакжепониманиепроцессарешения.Иученикидолжныобсуждатьмеждусобойилиизлагатьв письменнойформеходрешения,впроцессекоторогобылполучентотилиинойответ.Причинойподобныхнововведенийсталопониманиетого,чтообучениев

9

такомформатеразвиваетспособностиклогическомумышлению,реше-ниюразнообразныхзадач.Сучётомтогочтомыживёмвэпохуинформационныхтехнологий,вна-чальнойшколепоявятсяурокипрограммирования,однакоцельэтогоневвоспитаниибудущихпрограммистов,авразвитииудетейспособностинаходитьметодырешенияпоставленныхзадач.Можносуверенностьюсказать,чтоумениерешатьзадачи,встающиепереднамивжизни,явля-етсяоднойизважнейшихспособностей,необходимыхдляобщества.Наурокахматематикивсреднейшколеизучаютсятеоремы.ЗнаетеливытеоремуПифагора?Еслиответомбудет«да»,топомнителивы,каквампреподавалиеёдоказательство?Должнобыть,еёдоказывали,основыва-ясьнаочевидныхфактахиубеждаясьвних.Книгу,которуювыдержитевруках,поправуможноназватьбеседойо теоремахматематики.Каквызнаете,математикусдавнихвремённазывали«гимнастикойума».Ма-тематика,какипрограммирование,являетсяпредметом,предназначен-нымдляразвитияспособностимыслитьлогически.В нашидниблагодаряпрограммеPISA,осуществляемойОЭСР,вовсёммиревозродилсяинтереск математике,вособенностикдоказательствутеорем.Наступилаэпоха,когдатеоремыматематикиспособныпринестиощутимуюпользусточ-кизренияжизнив современномхаотичноммире.Я убеждёнвтом,чтотеоремыматематикидадут«силужить»многим,анетольконебольшомуколичествуувлечённых.Уверен,чтоощущениежизненностиматематикииприменениееёподходовв жизнипозволятвамзначительнорасширитьсвоигоризонты.

Одинхорошийденьапреля2018г.Комияма Хирохито

Пролог

Основные сведения о теоремах и проблемах

12

Что же это такое – теоремы математики?

«Теоремой»называютутверждение,выведенное,например,изак-сиом,определений,верностькоторыхдоказана.Особенностьютео-ремявляетсято,чтоихиспользуютв качествеобоснованияпридоказа-тельстве числовыхформул, а также в качествефундаментальныхидей,лежащихв основематематическихрассуждений.Весьмаважнойявляетсяпростотапрактическогоиспользованиятеоремы.Нобываети так,чтоконечнымрезультатом,к которомустремятся,ока-зываетсядоказательствотеоремы.Другимисловами,доказательствотеоремы –высшаяцельматематиче-скихразмышлений.Поэтойпричинев отношениикрасотык теоремампредъявляютсяповышенныетребования.Приизучениитеоремнаминогдавстречаетсясочетание«проблемако-го-либо». Дело в том, что в математике существует несколько так на-зываемых «проблем кого-либо». Данное выражение означает, что этот«кто-либо»сделалпредположение,котороеещёнедоказано,и теоремойонобудетназыватьсятолькопослетого,какегодокажут.Средизнаменитыхпроблеместь,например,проблемаГольдбаха,пробле-маФермаи другие.Гольдбах,Фермавысказалипредположения,нодока-затьихещёникомунеудалось(теоремаФермабыладоказанав 1995 г.).Хотясамипосебеутверждениявовсенесложны,нопопричинетрудно-стидоказательстваматематикивсегомирамногиедесяткилетмучатсяв попыткахдоказатьих.Хотянетакдавнобылипроведеныкомпьютер-ные вычисления, касающиеся проблемы Гольдбаха, которые показаливысокую вероятность правильности этого утверждения, но доказать еёпоканеудалосьникому.

Теоремы – это высшая цель математических размышлений.


13

Что такое теорема?

Что такое проблема?

Выводится из аксиом, определений и т. п.

Утверждение, верность которого

доказана

В качестве фундаментальных идей математики они просты в применении и практическом использовании. Могут также являться высшей целью математических рассуждений

Особенности теорем

Проблема Гольдбаха

Великая теорема Ферма

Любое чётное число начиная с 4 можно представить в виде суммы двух простых чисел.Например:4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 5

10 = 3 + 7

Простые числа

Натуральные числа, которые делятся только на 1 и на самих себя (при этом 1 простым числом не считается):2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.. .Существование бесконечного множества простых чисел доказано Евклидом (древнегреческим математиком)

Xn = Y n + Z n (n ≥ 3)

«Для натуральных чисел n, больших 2, натуральных чисел X, Y, Z, удовлетворяющих указанному уравнению, не существует».

14

Теорема Пифагора и великая теорема Ферма

Услышав слово «теорема», многие наверняка вспомнят общеизвестнуютеоремуПифагора,которуюизучаютв среднейшколе.Еслив прямоугольномтреугольникес прямымуглом Cобозначитьдвакатетакакa,bи гипотенузукакc,тоихсоотношениеможетбытьвыраже-нокакan=bn+cn(n=2).Теперь давайте рассмотрим теорему, которая является развитием тео-ремыПифагора.Речьидёто [Xn+Y n=Zn(n≥3)«Длянатуральныхчиселn,больших2,натуральныхчиселX,Y,Z,удовлетворяющихуказанномууравне-нию,несуществует»].Этоуравнениеназывают«великойтеоремойФерма». Если смотретьтолькона уравнение,томожетпоказаться, чтоононичемнеотличаетсяоттеоремыПифагора.Хотя понимание смысла математических задач иногда требует знанийвысокогоуровня,особенностьэтойпроблемыФермазаключаетсяв том,чтоеёформулировкуможноосознать,даженеобладаяглубокимипозна-ниямив математике, –онаможетдажепоказатьсяслишкомпростой.СамФермадоказалтеоремудляn=4,нодоказательстводляобщегослучаяопубликованонебыло.ПриэтомФермаоставилнаполяхкнигипоматематикезаписьследующегосодержания:«Я обнаружил удивитель-ное доказательство этой теоремы, но для его изложения поля этой книги слишком узки».ХотяуравнениевеликойтеоремыФерманапоминаетте-оремуПифагора,в действительностиихсодержаниесильноотличаетсядруготдруга.

Великая теорема Ферма была доказана в 1995 г.


15

Теорема Пифагора

Если в прямоугольном треугольнике с прямым углом C обозначить два катета как a, b и гипотенузу как c, то их соотношение может быть выражено как an = bn + cn (n = 2)

Является развитием и обобщением теоремы Пифагора: X n + Yn = Z n (n ≥ 3). Для натуральных чисел n, больших 2, натуральных чисел X, Y, Z, удовлетворяющих указанному уравнению, не существует

Великая теорема Ферма

Ферма оставил на полях книги по математике следующую запись: «Я обнаружил удивительное доказательство этой теоремы, но для его изложения поля этой книги слишком узки»

Считается, что англичанин Эндрю Уайлс, доказавший великую теорему Ферма примерно через 360 лет (в 1995 г.), впервые прочитал об этой проблеме в библиотеке, когда ему было 10 лет

16

Узнаём про «королеву теорем» – теорему Пифагора

Итак,давайтепоговоримо теоремахболееконкретно.ТеоремаПифагора, о которой я рассказывал в предыдущемпараграфе,являетсяширокоизвестнойтеоремойэлементарной(евклидовой)геоме-трии –её,наверное,можноназвать«королевойтеорем».В прямоугольномтреугольникеABCс прямымуглом Cвыполняетсясле-дующеесоотношение:

AC2+CB2=AB2.

Вернои обратное:еслив треугольникеABCвыполняетсявышеприведён-ноесоотношение,тоегоугол Cявляетсяпрямым.Начиная с эпохиДревнего Египта теорема Пифагора использова-ласьв качествеметодаизмеренияплощадиземель.Дляизмеренияплощадиземельв землювбивалиськолья,и,например,междуниминатягивалисьверёвки.Говорят,чтоПифагорпридумалдоказательствосвоейтеоремы,когдараз-глядывалузорплитки,которойбылвыложенполв древнегреческомхра-ме.Принятосчитать,чтов общемслучаеусловием«хорошейтеоремы»явля-етсяналичиемножестваметодовеёдоказательства.Считается,чтодлятеоремыПифагорасуществуетнеменее100 ме-тодовдоказательства.Извсехэтихметодовздесья приведутолькодвасамыхзнаменитых,а темиз вас, кто заинтересовался, рекомендую самостоятельно попробоватьдоказатьеёдругимиметодами.

Теорема Пифагора была открыта примерно 2500 лет назад.


17

Теорема Пифагора a2 = b2 + c2 может быть представлена следующим образом. Пусть �ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Площадь квадрата, одна из сторон которого является гипотенузой a, будет равна сумме площадей квадрата со стороной a и квадрата со стороной c.

Доказательство теоремы Пифагора

Так как длина одной из сторон большого квадрата, изображённого ниже, равна b + c, то площадь этого квадрата будет равна (b + c)2.Кроме того, большой квадрат состоит из четырёх прямоугольных треугольников с длиной основания b, высотой c и одного малого квадрата с длиной стороны a, поэтому площадь большого квадрата можно выразить как

4 × (bc/2) + a2.Следовательно,

(b + c)2 = 4 × (bc/2) + a2;b2 + 2bc + c2 = 2bc + a2,

то естьa2 = b2 + c2,

что и требовалось доказать.

18

Теоремы математики тесно связаны с нашей повседневной жизнью.

Теоремы математики, активно используемые в нашей жизни

Хотясложностьтеоремматематикиу всехнаслуху,гораздоменьшелю-дейзнаето том,какимобразомэтитеоремыв нашейжизнииспользуют-сянапрактике.Можносказать,чтомногимипривычнымиблагамимыв действительностиобязаныим,хотядаженезамечаемстольочевидногофакта.Например,теоремаПифагора,котораяизвсехтеоремнаиболеенамзнакома,широкоиспользуетсядляизмерениярасстояний.В каче-ственемногоболеесложнойобластиеёпримененияможноназватьиз-мерениескоростей,с которымиспутникизапускаютсяв космос.В этомслучаенамдостаточновычислить,какойдолжнабытьпараллельнаяпо-верхностиЗемлисоставляющаяскоростидвиженияспутника,чтобыонвышелнаоколоземнуюорбиту,непадаянаЗемлюи непокидаяеё.С по-мощьютеоремыПифагораможновычислитьэтускорость –сколькокило-метровдолженпролетатьспутникза1с.Дляизмеренияплощадиземельныхучастковиспользуетсятеоремаси-нусов,а измеритьрасстояниемеждудвумяточкамиприналичиимеждунимипрепятствийпозволяеттеоремакосинусов.Делов том,чтонепо-средственноизмеритьрасстояниемеждудвумяточкамиAи В будетне-возможно,еслимеждуниминаходятсяпрепятствия:здания,горы,рекии т. п.В этомслучаемыможемпостроитьтреугольник,выбравточкуC,открытуюкаксостороныА,таки B,и найтиискомоерасстояниепотео-ремекосинусов.Стоитсказатьтакжео такойнезаменимойдлянасвещи,какмобильныйтелефон.Чтобыпредотвратитьвзаимныепомехив системахмобиль-нойрадиотелефоннойсвязи,зонырадиопокрытияобозначаютраз-нымицветамии выбираютихтак,чтобыв смежныхзонахненахо-дилисьопорныестанции,работающиенаодинаковыхчастотах.Длячегои используетсятеоремао четырёхкрасках.


19

Теоремы математики, прочно вошедшие в нашу жизнь

Теорема Пифагора

Теорема синусов

Теорема косинусов

= позволяет находить расстояния, скорости движения и т. п.

= используется для измерения земельных участков

= позволяет измерить расстояние между двумя точками при наличии препятствий

Теоремы математики играют в жизни незаменимую роль. Без них невозможна деятельность во многих важных областях, хотя мы этого не знаем и не замечаем



R – радиус окружности, описанной вокруг ∆ABC:

asin A = b

sin B = csin C = 2R

(подробнее см. на с. 22).

a2 = b2 + c2 − 2bc cos Ab2 = c2 + a2 − 2ca cos Bc2 = a2 + b2 − 2ab cos C

(подробнее см. на с. 24).

Теоремы математики используются также, например, и для выбора зон радиопокрытия опорных станций мобильной связи, построения графиков, составления карт местности (подробнее см. в главе 2)

Математические истории

Многократное умножение на 2 даёт умопомрачительный результат

Тоётоми Хидэёси однажды спросил у своего служащего Сорори Синд-заэмона(основателяжанраракуго),чтобытотхотелполучитьв наградузасвоизаслуги.«В награду за твои заслуги дам тебе то, что ты пожелаешь. Скажи мне, что ты хочешь?»Синдзаэмон,какследуетподумав,ответил:–Половинаэтогозаласостоитизсотнитатами.Напервоетатамиполо-жите1рисовоезерно,наследующее –в 2разабольше,тоесть2,насле-дующее –опятьв 2разабольше,тоесть4,и продолжайтепоступатьтак,поканезакончатсявсетатами.Я хотелбыполучитьвсерисовыезерна,выложенныетакимспособом.–Всего-навсего?Еслибытыпопросилкластьмешками,тогдаполучилосьбыдействительномного, –уточнилХидэёсис усмешкой.Хидэёсиразмышлялтак: «Пустьв этомзалецелых100татами,ноеслисчитатьпозёрнам,товрядлинаберётсябольше10–30мешков».И он поручил своему служащему произвести расчёты. До пятого, шес-того... восьмого татами риса получилось действительно мало – всегокакая-топригоршня(256зёрен)риса,однаконачинаяпримернос 30-готатамиколичествосталорезковозрастать,достигнувужепорядка2000мешков.Конечно,дляХидэёсидатьи такоеколичествобылонепробле-мой,нокогдарасчётыдошлидосотоготатами,дажесамХидэёсииспу-гался: ведь результат составил 525 000 000 000 000 000 000 000 000 000мешков,чтонамногопревышалоколичествориса,выращенногозавсю

Даже единица даст умопомрачительное число, если её 100 раз умножить на 2!

историючеловечества,не говоряужео томколичестве,котороеможнобылособратьсовсейЯпонии.Хидэёси извинился перед Синдзаэмоном за свою неспособность пода-ритьпоследнемутакмногориса.Этапритчапозволяетпрочувствоватьумопомрачительные масштабымногократного умножения на 2. Крометого,в учебникепоматематике«Дзинкоки»(Jinkouki),изданномв 1627 г.математикомпоимениЁсидаМицуёси,содержаласьследующаязадача:«НаНовыйгодсемейнаяпарамышейродила12мышат.В февралеэти14мышейспарилисьмеждусобойи опятьродилимышат,и сталовсего98мышей,включаяи детей,и родителей.Еслионибудутразмножатьсятаккаждыймесяц,тоскольковсегобудетмышейв декабре?»В вышеуказан-нойкнигеприведёнтакжеи ответ –27682574402мыши(2×712).

Мы думали, что мышей всего 2...

Две мыши

Двенадцать мышей

Стая мышей (98 особей)

Математики

ДревнегреческийматематикЕвклид

(330–275гг.дон.э.)*Датынеявляютсядостоверными

Геометрия,которуюмыизучаемв школе,называется«евклидовойге-ометрией». Евклид – этоимяученого, ставшееименемнарицатель-нымвсейдревнегреческойматематики.Евклидсистематизировалматематическиезнанияв своёмсочинении«Начала»,котороевотуженапротяженииболее2000 летявляетсябе-стселлером, следующим по популярности за Библией. Однако абсо-лютноничегонеизвестноо том,чтозачеловекомбылЕвклид.Платон основал в роще Академия философскую школу и, работаяв ней,создалосновыматематики,а Евклид,основываясьнаегоидеях,написалсвои«Начала»,которыеявляютсяучебникоми самойпервойкнигойпоевклидовойгеометрии.КогдаЕвклид,используясвои«На-чала»,содержащие9аксиоми 5постулатов,читаллекциипогеоме-триицарюЕгиптаПтолемеюI(367–283 гг.дон.э.),последнийспросилу Евклида,нельзялиосвоитьгеометрию,неизучая«Начал»,начтоЕв-клидответилтак:«Вгеометриинетцарскихпутей».Другимисловами,в учёбедажедляцарейнеможетбытьсделаноникакихпоблажек.Также рассказывают, когда один юноша как-то спросил у Евклидао том,какаяемубудетвыгодаотизучениястольсложнойнауки,Ев-клидпозвалсвоегослугуи приказалему:«Дайэтомуюношеденег.Он,похоже,считаетучёбучем-то,чтодолжноприноситьвыгоду».

Column 1

Глава 1

Знаменитые теоремы математики

24

Теорема Пифагора и тригонометрические функции

Математика,существовавшаяещёв эпохуДревнейГреции,имеетдолгуюисториюи в тедавниевременаужеявляласьнаукой,прочновошедшейв жизнь.Необходимостьсоставлятькалендари,создававшиесянаосновеастрономических наблюдений, находить площади земельных участков,возникавшихпослеразливоврек,привелик зарождениюдифференци-альногои интегральногоисчислений.Всовременнуюэпоху,хотяэтосталоменееочевиднопопричиневозрос-шейсложности,количествоблаг,которыедаётнамматематика,неуклон-норастёт,и небудетпреувеличениемсказать,чтосовременнаяматема-тикасамапосебепревратиласьв огромный,поражающийвоображениемир.Давайтерассмотримэтонатакомпростомпримере,какэлектричество,безкоторогомыуженеможемобойтись.Всеразмышленияобэлектри-чествепроводятсянаосновематематики.Дляполучениядипломаэлектриканеобходимоизучитьприкладнуюматематикув электро-технике,гдечастовстречаютсятригонометрическиефункции.Когда мы слышим слова «синус», «косинус» или «тангенс», нам пред-ставляетсячто-тосложное,нов действительноститригонометрическиефункцииможнорассматриватьнаосновесоотношенийсторонпрямоу-гольноготреугольникаи теоремыПифагора,являющейсянаиболееши-рокоизвестнойтеоремойевклидовойгеометрии.Считается,чтопервымчеловеком,придумавшим,какнапрактикеиспользовать геометрию, был древнегреческийматематикФалес.Существуетзнаменитаяисторияо том,какФалес,заметивший,чтоеслизадатьодинизугловпрямоугольноготреугольника –уголθ («тета»),товсепрямоугольныетреугольники,имеющиетакойжеугол,будутподобныдругдругу,использовалэтодляизмерениявысотыпирамид.

В японской традиционной математике «Васан» теорему Пифагора называли «теоремой о трёх сторонах прямоугольного треугольника».


25

Теорема Пифагора и тригонометрические функции

Измерение высоты пирамиды путем создания подобного треугольника с помощью тени от палки

Солнце

Треугольник ABC, образуемый тенью от пирамиды, и треугольник A′B′C′, образуемый тенью от палки, являются подобными фигурами. Так как AC:A′C′ = BC:B′C′, высоту пирамиды можно найти по формуле:

AC = A′C′ × BCB′C′

Соотношения сторонпрямоугольного треугольника определяют связь между длинами трёх сторон прямоугольного треугольника и одним из его углов:

c/a = sinθb/a = cosθc/b = tgθ

Это группы трёх целых чисел вида 3, 4, 5 или, например, 5, 12, 13, которые удовлетворяют уравнению a2 = b2 + c2. Такие комбинации целых чисел названы «пифагоровыми» в честь учеников Пифагорейской школы, занимавшихся их исследованием

Пифагоровы числа (пифагоровы тройки)

26


Тригонометрическиесоотношенияпредставляютсобойформулы,выра-жающиеотношениясторонпрямоугольноготреугольникачерезуглыприеговершинах,а тригонометрическиефункцииявляютсяфункциямиугла.Идея тригонометрических функций основана на использованиитригонометрическихсоотношенийв качествефункций.Считается,чтоисториятриангуляции –методаизмерений,основанногонаиспользованиисвойствтреугольников,началасьвоIIв.дон. э.,когдаГиппархосновалтригонометриюи изобрёлсинус.Отом,чтотригонометрическиефункциииспользуютсядляизмерений,я ужерассказывал.Триангуляция –этотакойметодизмерений,в которомизмеряемыйучастокпоследовательнозаполняетсятреугольниками.Принциптриангуляции заключается в том,чтопо одной сторонеи двумприлегающимк нейугламтреугольникавычисляютдведру-гиеегостороны,и принципэтотназывается«теоремойсинусов».Другимисловами,этатеоремапозволяет,знаятолькооднусторонуи при-легающиек нейуглыAи B,вычислитьдлинудоещёоднойточки –C.А как же теорема синусов используется в повседневнойжизни?Методтриангуляции, позволяющий проводить измерения на обширных про-странствах,используетсядляизмеренийв различныхобластях.СегопомощьюможнонайтирасстояниеотЗемлидоЛуныили,напри-мер,доискусственногоспутникаЗемли.Такимобразом,теоремымате-матикиимеютширочайшийдиапазонпрактическогоприменения.

Теорема синусов – это теорема, имеющая в мире измерений особое значение.


27

asin A = b

sin B = csin C = 2R


Теорема синусов:

Пусть внутренние углы при вершинах треугольника равны A, B и С, а длины его сторон — a, b и с. Тогда если радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен R, то выполняются вышеуказанные соотношения

A

Ba

bc

C

Используя идею триангуляции, измеряем расстояние до Луны

Измерив углы, можно по теореме синусов вычислить расстояние даже до Луны

Пифагоровы числа (пифагоровы тройки)

sin θ = высотагипотенуза

= bc

sin θ = основаниегипотенуза

= аc

sin θ = высотаоснование

= bа

А

Вθ

С

Гипотенуза: c

Основание: a

Высота: b

28


Представьтеситуацию:мыхотимизмеритьрасстояниемеждудвумяточ-каминаместности –Aи B,носделатьэтонепосредственноневозмож-но,из-затогочтомеждуниминаходятся,например,здания,деревьяилигора. Даже в случае когда непосредственно измерить расстояние из-заэтогоневозможно,мы,используятригонометрическиефункции,можемнайтирасстояниемеждуточкамиAи B.Мывыбираемточкунаместности,котораявиднаизобеихточек, –Aи B,называемеёточкойCи измеряемобарасстояния –ACи BC,а такжеуголC.ЭтойинформациидостаточнодлянахождениядлиныAB с помощьютригонометрическихфункций.Методнахождениядлиныоднойизсторонтреугольникапоизвест-нымдлинамдвухдругихсторони известномууглумеждунимина-зываетсятеоремойкосинусов.Идеятеоремыкосинусовосновананатом,чтомыопускаемперпендику-лярнаоднуизсторонтреугольникаABC,создаваятемсамымдвапрямо-угольныхтреугольника.Найтиискомуюдлинуможно,используятригонометрическиефункциии теоремуПифагора.Теоремукосинусовможновывестинаосноведвухпрямоугольныхтреу-гольников –ACHи AHB.Втеоремекосинусовиспользуетсяcos(косинус).Еслиобозначитьчерезcдлинугипотенузы,b –длинуоснованияпрямо-угольноготреугольника,какпоказанонаследующейстраницевверху,тоcosθможнобудетвыразитькакb/c.Еслиуголтреугольникаравен60°,тоcosθбудетравен½.Таккакcosθна-

ходитсяпоформулеоснованиегипотенуза,можнопонять,чтоеслигипотенузатре-

угольникав 2разадлиннееоснования,тоегоуголбудетравен60° (см.схемутригонометрическихсоотношенийнас. 24).

Углы прямоугольного треугольника можно узнать на основе тригонометрических функций.


29

Если хотят измерить расстояние между точками A и B на местности, но сделать это непосредственно невозможно из-за препятствий, находящихся между этими точками, например деревьев или построек, то используют теорему косинусов:• произвольно выбрав на местности точку C,

измеряют расстояния AC и CB;• построив треугольники ACH и AHB,

выводят теорему косинусов на основе тригонометрических функций и теоремы Пифагора

B

Aθ

С

c

b


Что такое косинус?Если обозначить через c длину гипотенузы, b – длину основания, то:cos θ = b/c

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

Расстояние между A и B = c

A

BCH

b

a

УДК 519.63 К63 Комияма Х. isbn 978-5-97060-819-7 · 2020-05-18 · сказать,...

Documents