1

TEMA 5: MOVIMIENTOS VIBRATORIOS

1. MOVIMIENTO PERIÓDICO

• Movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo.

• Ejemplo: movimiento circular uniforme. Misma trayectoria

circular con la misma velocidad y aceleración (movimiento

de traslación de la Luna alrededor de la Tierra).

• Otros ejemplos: el péndulo, las mareas, un columpio...

• PERIODO T: Tiempo necesario para que se repita un movimiento periódico. Unidades:

segundos (s).

• FRECUENCIA f ó ν: Nº de vueltas completas o ciclos que realiza el móvil en la unidad de

tiempo. Unidades: hertzios (Hz, s−1). 2. MOVIMIENTO OSCILATORIO Y MOVIMIENTO VIBRATORIO

• Movimiento oscilatorio: movimiento periódico que se produce hacia uno y otro lado de una posición

de equilibrio O. Ejemplos: movimiento de un péndulo o un muelle, vibración de una barra elástica.

O

B A

• Movimiento vibratorio: movimiento oscilatorio con trayectoria rectilínea: El objeto oscila entre dos posiciones extremas sin pérdida de energía mecánica (sin

rozamiento).

Periodo: tiempo constante que tarda el objeto de pasar de A a B y volver a A. OB A

Oscilación o vibración completa: movimiento de ida y vuelta realizado durante un

periodo.

Amplitud de la vibración: distancia entre O y A, máximo desplazamiento que tiene lugar

en una vibración.

t = T/4: Tiempo necesario para que el objeto se desplace el valor de su amplitud.

• Oscilaciones isócronas: el periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones.

2

3. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

• Movimiento vibratorio más importante de la Naturaleza

que se puede expresar mediante funciones armónicas,

como el seno y el coseno de una sola variable.

• Característico de los cuerpos elásticos.

• Producidos por fuerzas restauradoras, directamente proporcionales al desplazamiento de la partícula que

vibra y dirigidas siempre hacia la posición de equilibrio.

• Las fuerzas: signo contrario al desplazamiento x, se

oponen a que la partícula se desplace hacia sus extremos

FF = − k xx

O A−A F F

X X

X < 0 F > 0

X > 0 F < 0

4. CINEMÁTICA DEL M.A.S. ELONGACIÓN

M

−A O M’ A

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

• Deducción de la ecuación del m.a.s.: proyección sobre

una superficie perpendicular del movimiento circular

uniforme de una partícula M con el mismo periodo.

• P: posición genérica de la partícula que describe la

circunferencia con movimiento circular uniforme.

• Px y Py: Proyecciones de P sobre los ejes OX y OY,

respectivamente, que se mueven con m.a.s. Una vuelta

completa de la partícula sobre la circunferencia coincide

con el recorrido de dos diámetros del punto Px sobre el eje

OX, una vibración completa en un tiempo igual a un

periodo T.

P

O

Py

Px X

Y

4.1. ECUACIÓN DEL M.A.S. ELONGACIÓN

• Partícula que se mueve con m.c.u. desde el punto P0 (t = 0) hasta

la posición P recorriendo un ángulo φ = ω t (ecuación del m.c.u.):

• M.a.s.: desplazamiento x correspondiente a la proyección OP

sobre el diámetro horizontal ⇒ t x = R sen ω t = A sen ω t t

(R = A = Amplitud del m.a.s.; cos (π/2-ω t)= sen ω t)

• M.a.s.: desplazamiento y correspondiente a la proyección OP

sobre el diámetro vertical ⇒ yy = R cos ω t = A cos ω tt

• O: posición de equilibrio de la partícula que vibra.

3

• Partícula que se mueve con m.c.u., habiendo recorrido

previamente un ángulo φ0, desde el punto P0 (t = 0) hasta la

posición P, recorriendo un ángulo φ = ω t:

ECUACIÓN GENERAL DEL M.A.S.

Eje OX: xx = A sen (ω t + φ0))

Eje OY: y = A cos (ω t + φ0)

• La ecuación general del m.a.s., tanto sobre el eje OX como

sobre el eje OY se puede expresar en función del seno o del

coseno, utilizando una fase inicial adecuada:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2cossen

2sencos πααπαα

( ) ( )100 tcosA2

tcosAtsenAx δωπφωφω +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+=

( ) ( )200 tsenA2

tsenAtcosAy δωπφωφω +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=

• MAGNITUDES DE LA ECUACIÓN GENERAL DEL M.A.S.

x, y: ELONGACIÓN. Posición en cualquier instante,

respecto del punto O, de la partícula que vibra. Puede ser

positiva o negativa. Unidades (SI): m.

O A−A

x < 0 x > 0

A: AMPLITUD. Valor máximo de la elongación, cuando t = T/4 (tiempo necesario para que

el objeto se desplace el valor de su amplitud). Unidades (SI): m.

φ0: FASE INICIAL O CTE. DE FASE. Estado de vibración o fase en el instante t = 0 de la

partícula que vibra (posición angular para t = 0 del hipotético m.c.u.). Unidades (SI): rad.

(ω t + φ0): FASE EN CUALQUIER INSTANTE. Estado de la vibración o fase del

movimiento. Permite calcular x en cualquier instante. Unidades (SI): rad.

ω: FRECUENCIA ANGULAR o PULSACIÓN. Velocidad angular constante del hipotético

m.c.u. proyectado. Unidades: rad/s ó s−1. Valor: depende de la rapidez de las oscilaciones.

T: PERIODO. Tiempo que tarda el movimiento en repetirse, en realizar una oscilación

completa, en el que la partícula pasa dos veces por la misma posición y en el mismo sentido. Unidades (SI): s.

x = A sen (ω t + φ0) = A sen [ω (t + T) + φ0)

ωπ2T =

4

• f o ν: FRECUENCIA o FRECUENCIA NATURAL. Nº de oscilaciones completas que la

partícula realiza en un segundo. Rapidez con que tienen lugar las oscilaciones. Unidades

(S.I.): hertzios, Hz, o s−1, oscilaciones/s ó ciclos/s.

T1f =

• Ejemplo 1: Partícula con m.a.s. inicia el mov. en el extremo (+) de su

trayectoria. Tarda 0,25 s en llegar al centro de la trayectoria.

Distancia entre ambas posiciones: 10 cm. a) ¿Periodo y frecuencia?

b) Nº vibraciones por minuto. c) Ctes. del mov. d) Posición de la

partícula 0,5 s después de iniciado el mov.

─A 0 +A

t = 0

10 cm

a) s1s25,04t4T4Tt =⋅==⇒=

Hz1T1f ==

b) f = 1 Hz = 1 vibración/s ⇒ N = f t = 1 s─1 ⋅ 60 s = 60 vibraciones por minuto

c) ¿Ctes del m.a.s.? Ecuación del m.a.s.: x = A sen (ω t + φ0) (1)

Ctes. Del m.a.s.: A, ω y φ0.

A = 0,1 m

ω = 2 π f = 2 π ⋅1 = 2 π rad/s

φ0: El mov. Comienza en el extremo positivo ⇒ x = + A cuando t = 0 s. Sustituyendo en la

ecuación (1):

A = A sen (ω 0 + φ0) ⇒ sen φ0 = 1 ⇒ φ0 = 90º = π/2 rad

d) Ec. del mov.: x = A sen (ω t + φ0) ⇒ x = 0,1 sen (2 π t + π/2)

Para t = 0,5 s ⇒ x = 0,1 sen (2 π ⋅ 0,5 + π/2) = 0,1 sen (3 π/2) = 0,1 ⋅ (−1) = −0,1 m

• Ejemplo 2: Partícula con m.a.s. inicia el mov. entre 2 ptos distantes

entre sí 20 cm. Realiza 4 vibraciones en 1 s. Para t = 0 s se encuentra

en x = A/2 y se dirige hacia el extremo (+). a) Ec. del mov. b) ¿En qué

instante pasa por primera vez por la posición de equilibrio? c) ¿En qué

instante por 1ª vez pasa por el valor máximo de x?

─A 0 +A

t = 0

20 cm

a) x = A sen (ω t + φ0)

A = 10 cm = 0,1 m

f = 4 vib/s = 4 Hz

ω = 2 π f = 2 π ⋅ 4 vib/s = 8 π rad/s

Para t = 0 s ⇒ x = A/2 ⇒ (Ec. mov.) 0,05= 0,1 sen (8 π ⋅ 0 + φ0) ⇒ sen φ0 = 0,5 ⇒

φ0 = 30º = π/6

5

x = 0,1 sen (8 π t + π/6)

b) Posición de equilibrio ⇒ x = 0 ⇒ 0 = 0,1 sen (8 π t + π/6) ⇒

481n6t1n6t48n61t48n0

6t8 −

=⇒−=⋅⇒=+⋅⇒/⋅+=/+⋅/⋅⇒ πππ

Para n = 1 ( 1ª vez que pasa por 0) ⇒ t = 5/48 s

c) x = A ⇒ A = A sen (8 π t + π/6) ⇒ sen (8 π t + π/6) = 1 ⇒ 8 π t + π/6 =π/2 ⇒ t = 1/24 s

• Pg.192: A1 Y A2.

4.2. VELOCIDAD DEL M.A.S.

• Partiendo de la ecuación del m.a.s.: x = A sen (ω t + φ0)

• Velocidad instantánea: v = dx/dt = A ω cos (ω t + φ0) ⇒ vv = A ω cos (ω t + φ0))

• Velocidad en función de la elongación x:

( ) ⇒−±=+−±=+−±= 220

2220

2 xA)t(senAAt(sen1Av ωφωωφωω 22 xAv −±= ω

• Características de la velocidad de un m.a.s.:

Su valor se repite periódicamente: v = A ω cos (ω t + φ0) = A ω cos [ω (t + T) + φ0]

Su valor depende de su posición : 22 xAv −±= ω

A cada valor de x le corresponde un valor de v y cada vez que la partícula pasa por la

posición x lo hace con la misma velocidad.

Los signos + y − indican el sentido del movimiento,

de acuerdo con el criterio cartesiano de los signos.

v es máxima en el centro de la trayectoria, en la

posición de equilibrio, v Aω±= (x = 0) y v = 0 en

los extremos (x = A).

• Cálculo de las constantes φ0 y A a partir de las condiciones iniciales x0 y v0:

x = A sen ( ω t + φ0) x0 = A sen φ0

v = A ω cos (ω t + φ0) ⎯⎯⎯ →⎯ = 0t

v0 = A ω cos φ0 ⎯→⎯

0

00 v

tgxω

φ =

↓

02222

0

0222

0

cosAv

senAx

φω

φ

=

=

0

2⎯→⎯ 22

20

0222

0

cosAv

senAx

φω

φ

=

= ⎯ ⎯→

( ) ⎯→⎯+=+⎯→⎯+=+ 02

022

2

202

0022

022

2

202

0 cossenAv

xcosAsenAv

x φφω

φφω 2

220xA ±= 0

vω

+

6

4.3. ACELERACIÓN DEL M.A.S.

• Partiendo de la ecuación de la velocidad: v = A ω cos (ω t + φ0)

• Aceleración instantánea: a = dv/dt = − A ω2 sen (ω t + φ0) = − ω2 x ⇒ aa =− ω2 xx

• Características de la aceleración de un m.a.s.: Su valor se repite periódicamente.

Su valor es directamente proporcional a la elongación x pero de sentido contrario a ella:

todo sistema que se mueva con una aceleración proporcional y de sentido contrario a la

posición es un oscilador armónico simple.

Constante de proporcionalidad entre a y x: ω2

O

a = 0

v = 0 v = ± A ω

−A A

a = A ω2 a = − A ω2

Los signos + y − indican el sentido del movimiento,

de acuerdo con el criterio cartesiano de los signos.

a es máxima en los extremos de la trayectoria, y a

= 0 en el centro de la trayectoria (al contrario de v).

a y v están desfasados π/2.

• Ejemplo 3: Oscilador armónico que vibra: para t = 0 s, x0 = 4,0 cm de la posición de equilibrio,

con v0 = 87 cm/s. f = 2,0 Hz. a) ¿Cte. de fase y amplitud del mov.? b) ¿Elongación y velocidad

para t = 0,5 s? c) Valor máximo de la velocidad.

a) t = 0 s ⇒ x = A sen (ω t + φ0) ⇒ x0 = A sen (ω ⋅ 0 + φ0) ⇒ x0 = A sen φ0 (1)

⇒ v = A ω cos (ω t + φ0) ⇒ v0 = A ω cos (ω ⋅ 0 + φ0) ⇒ v0 = A ω cos φ0 (2)

Dividiendo (1) entre (2): 58,0tg =s/m87,0

m04,0s/rad4v

xf2vx

0

0

0

00

⋅===

πω πφ ⇒ ϕ = 30º = π/6 rad

Despejando A de (1): m0,08A ====5,0

m04,06/sen

m04,0sen

x

0

0

πφ

b) Ecuación del m.a.s.: x = A sen (ω t + φ0) ⇒ x = 0,08 sen (2π f t + φ0) ⇒ x = 0,08 sen (4π t + π/6)

t = 0,5 s ⇒ x = 0,08 sen (4π ⋅ 0,5 + π/6) = 0,08 sen 13π/6 = 0,04 m

t = 0,5 s ⇒ v = A ω cos (ω t + φ0) = 0,08 ⋅ 4π cos (4π ⋅ 0,5 + π/6) = 0,32π cos (2π + π/6) =

= 0,32π cos π/6 = 0,87 m/s

c) vmax = ± ω A = ± 4π rad/s ⋅ 0,080 m = ± 1 m/s ⇒ vmax = 1 m/s

• Ejemplo 4: Ec. del m.a.s.: x = 0,2 sen 20 t (SI). a) ¿Ec. de la velocidad? b) ¿Valor máximo de la

aceleración? c) Expresa la función anterior en función del coseno.

a) v = dx/dt = 0,2 ⋅ 20 cos 20 t = 4 cos 20 t

b) Como x = A sen (ω t + φ0) ⇒ ω = 20 rad/s y A = 0,2 m

a = − ω2 A = − 202 ⋅ 0,2 = − 80 m/s2

c) Como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2πα : x = 0,2 sen 20 t ⇒ x = 0,2 cos (20 t ─ π/2) = cossen α

7

4.4. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DEL M.A.S.

• Pg.193: 4. Pg. 195: 5. Pg. 196: 7, 8, 9, 10.

8

4.4. DINÁMICA DEL M.A.S.

• M.a.s. es acelerado con a > 0 cuando la partícula que

vibra se dirige hacia la posición de equilibrio.

• M.a.s. es acelerado con a < 0 cuando la partícula que

vibra se dirige hacia los extremos.

• FUERZA RECUPERADORA O RESTAURADORA:

fuerza que origina el m.a.s. que tiende a llevar a la

partícula hacia su posición de equilibrio.

F = m a = − ω2 m x = − k x

O A−A

a < 0

a > 0

O A−A

Fr

Fr

• CONSTANTE ELÁSTICA O RECUPERADORA DE PROPORCIONALIDAD k: Constante

característica de cada oscilador. Unidades (S.I.): N/m.

k = ω2 m

• La frecuencia angular, ω, y el periodo, T, dependen de la masa del oscilador y no de la A:

mk

km22k = ω2 m

mk

⇒ ω T πωπ

== 21

2f

ππω

===

• Ejemplo 5: Partícula con m = 5 g con m.a.s. cuyo T = 1 s. En t = 0 s su elongación x0 = 0,70

cm y su v0 = 4,39 cm/s, calcula: a) ¿Amplitud y fase inicial? b) ¿Aceleración máxima? c) ¿Cte.

Elástica? d) ¿Fuerza recuperadora? e) ¿Fuerza recuperadora máxima? f) Posición de la

partícula cuando v = 4,39 m/s?.

a) x = A sen (ω t + φ0) y v = A ω cos (ω t + φ0)

Para t = 0 s ⇒ 0,007 m = A sen (ω ⋅ 0 s + ϕ) ⇒ 0,007 = A sen φ0 (1)

Para t = 0 s ⇒ 0,0439 m/s = A ω cos (ω ⋅ 0 s + φ0) ⇒ 0,0439 = A ω cos φ0 (2)

Dividiendo (1) entre (2): 1s/m0439,0

m007,0s/rad2v

xf2vxtg

0

0

0

0 =⋅

===ππωϕ ⇒ φ0 = 45º = π/4 rad

Hz1T1f ==

Despejando A de (1): m0,01A ====7,0

m007,04/sen

m007,0sen

x

0

0

πφ

b) a = ± ω2 A = − (2π f)2 A =± 4π2 ⋅ 0,01 m = ± 0,4 m/s2

c) Como F = m a = − ω2 m x = − k x ⇒ k = ω2 m

k = ω2 m ⇒ k = (2π)2 s─2 ⋅ 0,005 kg = 0,2 N/m

d) F = k x = ─ 0,2 ⋅ x N (para cualquier posición)

9

e) Fm = − k A = 0,2 N/m ⋅ (± 0,01 m) = ± 2,0 ⋅ 10─3 N

f) =−±=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±=⇒−±=⇒−±= 2

22

2

222222222 vAvAx)xA(vxAv

ωωωω x

( ) ( )( )

m0,003±=−±= 2

22

2006,001,0

π

• Ejemplo 6: Objeto con m = 5 g con m.a.s. cuyo A = 10 cm y su frecuencia es de 50 Hz. Calcula:

a) ¿Cte. recuperadora? b) ¿Fuerza recuperadora cuando: b1) la partícula se encuentra a 4 cm

de la posición de equilibrio?; b2) ha transcurrido 0,1 s después de pasar por la posición de

equilibrio.

a) Como F = m a = − ω2 m x = − k x ⇒ k = ω2 m = 4π2 f2 m = 4 ⋅ π2 ⋅ 502 ⋅ 5 ⋅ 10−3 = 50π2 N/m

b) F = − k x = −50π2 N/m ⋅ (±4 ⋅ 10−2 m) = ±4 π2 N

F = − k x = − k A sen ω t = = − k A sen 2 π f t = −50π2 N/m ⋅ (±10−1 m) ⋅ sen (2π ⋅ 50 ⋅ 0,1) =

= ±5π2 sen 10π = 0 N (se encuentra en la posición de equilibrio)

• Pg.198: 11, 12, 13.

4.5. ENERGÍA DEL M.A.S.

• OSCILADOR MECÁNICO: sistema material con m.a.s., con energía mecánica, cinética y potencial.

• ENERGÍA CINÉTICA: 2m21

⋅ c vE =

Velocidad de un oscilador:

220 xA)tcos(Av −±=+= ωφωω

Sustituyendo v en la ecuación de la Ec:

)t(cosAm21)]t(cosA[m

21E 2222

0c ωφωω =+= 0φω +

Como k = m ω2:

Ec en función del tiempo t: )t φ+(ωcosAk21E 0

22c =

Ec en función de x: ( )22 x−c Ak21E ⋅⋅=

La Ec del oscilador es función periódica del tiempo t.

La Ec es proporcional al cuadrado de la amplitud A y a la constante recuperadora k.

10

• ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA: Trabajo que se debe

realizar para trasladar el oscilador desde la posición de

equilibrio O hasta una posición x aplicando una fuerza F

para vencer la fuerza recuperadora elástica del resorte:

2x

0

x

0p xk21dxxkdxFEW ==== ∫∫

La Ep depende de la elongación x.

La Ep es máxima en los extremos:

x = A ⇒ 2p Ak

21E =

La Ep se repite periódicamente.

Ep en función del tiempo t (sustituyendo el valor de x dado

en la ecuación general del m.a.s. x = A sen ( ω t + ϕ)):

)t(senAk21E 0

22p φω +=

F

0 x

La Ep del oscilador es función periódica del tiempo t.

La Ep es proporcional al cuadrado de la amplitud A y a la constante recuperadora k.

• ENERGÍA MECÁNICA TOTAL DEL OSCILADOR

( ) 2222pcm Ak

21xk

21xAk

21EEE =+−=+=

1. La Em no depende de la posición, es una

constante característica del oscilador armónico, depende de k y de la amplitud A.

2. Sin rozamientos, la Em permanece constante. Por

tanto, también la amplitud permanece constante.

• Un oscilador es un sistema conservativo: la Ep

aumenta a medida que la Ec disminuye y viceversa.

Existen dos valores de la elongación x para los

cuales ambas energías valen lo mismo:

2Ax ±=

• La transmisión o propagación de la energía de un

oscilador armónico a través de un medio recibe el

nombre de onda armónica.

E

21 xkEp = 2

21 vmEc =

0 t

• Pg.203: 19, 20. Pg. 205: 21.

11

5. DOS EJEMPLOS DE OSCILADORES MECÁNICOS 5.1. MASA COLGADA DE UN RESORTE VERTICAL

• Muelle de constante elástica k suspendido de un

extremo inicialmente no deformado (posición inicial P).

• Se cuelga una masa m del extremo libre: el sistema

desciende suavemente hasta que alcanza el

equilibrio O. El muelle se ha estirado una longitud y0 y

ejerce una fuerza recuperadora hacia arriba F = −k y0

(ley de Hooke) (sentido positivo de y hacia abajo).

• Equilibrio: ⇒0yk =⇒=+−=∑ 0y gm0gmykF

kk = m g/y0a

• Si la masa m se desplaza verticalmente hacia abajo una distancia y’ de su posición de

equilibrio, la fuerza recuperadora F es mayor que el peso m g y, si el sistema se deja en

libertad la masa m acelera comenzando un movimiento de subida.

• Determinación de la aceleración del movimiento de subida:

Ley de la Dinámica:

( )

m'yka'ykam'ykF

gmgm'ykgmkgmk'ykFgmyk'ykgmy'ykF

yyy

y00y

−=⇒−=⇒−=

⇒+−−=+−−=⇒+−−=++−=

∑

∑∑

a: aceleración del m.a.s. (se opone al desplazamiento)

k = ω2 m mk

21

2ff2

mk

ππωπωω ==⇒==⇒

• Frecuencia de oscilación del m.a.s.: mk

21fπ

=

Muelles rígidos (k grandes) o masas m pequeñas: f grandes, oscilaciones rápidas.

Muelles blandos (k pequeñas) o masas m grandes: f pequeñas, oscilaciones lentas.

Pg.198: 12, 13.

• Ejemplo 7: Partícula con m = 1 kg cuelga de un resorte de k = 100 N/m y puede oscilar

libremente sin rozamiento. Se desplaza la masa 10 cm de su posición de equilibrio y la

soltamos para que comience a oscilar: a) ¿Ec. del mov. de la masa? b) ¿Periodo de

oscilación? c) ¿Velocidad y aceleración máximas? d) ¿Fuerza recuperadora cuando la masa

se encuentre a 5 cm por encima de su posición de equilibrio?

12

• a) y = A sen (ω t + φ0) (1)

Para t = 0 s ⇒ y = A = 10 cm = 0,1 m ⇒ 0,1 m =

= 0,1 m sen ϕ ⇒ sen ϕ = 1 ⇒ ϕ = 90º = π/2 rad

Como F = m a = −m ω2 y = −k y ⇒

⇒ rad/sω 10===kg1

m/N100mk

Sustituyendo en (1): y = 0,1 sen (10 t + π/2)

b) ω = 2 π f = T2π ⇒ s0,63T ===

1022 π

ωπ

c) |vmax| = ω A = 10 rad/s ⋅ 0,1 m = 1 m/s

|amax| = ω2 A = 102 ⋅ 0,1 m = 10 m/s2

d) F = −k y = −100 N/m ⋅ 0,05 m = −5 N

• Ejemplo 8: Partícula con m = 5 kg colgada de un resorte produce

un alargamiento de 18 cm. Después, el sistema se estira 7,5 cm y

se suelta a) ¿Cte. elástica del muelle? b) ¿Amplitud del mov.? c) ¿Periodo del movimiento? d) ¿Ep elástica del muelle en el instante

en el que se deja en libertad la masa para que vibre?.

a) Al colgar la masa el muelle se estira una longitud l hasta alcanzar

el equilibrio. El muelle ejerce una fuerza recuperadora y en el

equilibrio se cumple:

m g = k l ⇒ N/m102,7k 2⋅=⋅

==m18,0

s/m8,9kg5gm 2

l

b) A = ±7,5 ⋅ 10─2 m

c) s0,86T =⋅

==m/N107,2

kg52km2 2ππ

d) Ep depende de la deformación del muelle:

J0,76 Ep =⋅⋅== 222 )m075,0(m/N107,221yk

21

• Ejemplo 9: Partícula con m = 0,20 kg sujeta a un resorte realiza un m.a.s. con un periodo de

0,25 s. Em = 2 J. Calcula: a) ¿Cte. del resorte? b) ¿Amplitud?.

a) Ley de la Dinámica: F = m a =− m ω2 x = − k x ⇒ m (2π f)2 = k ⇒

( )N/m101,3k 2⋅=

⋅=

⋅= 2

2

2

2

s25,04kg20,0

T4m ππ

b) m0,18E m =⋅

⋅==⇒=

m/N103,1J22

kE2AAk

21

2m2

13

5.2. EL PÉNDULO SIMPLE

• Sistema formado por una pequeña bola de masa m colgada de un

hilo inextensible de masa despreciable, que se mueve sin

rozamiento mediante un movimiento periódico y oscilatorio.

• El movimiento será un m.a.s. para ángulos pequeños cuando la

trayectoria (un arco de circunferencia) puede suponerse recta y la

partícula que oscila esté sometida a una fuerza recuperadora

ixkFrr

−= , proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

• Posición O: péndulo en reposo, el peso de la partícula, m g, y la

tensión del hilo, T, se equilibran.

• Posición A: se rompe el equilibrio. La componente normal del

peso en la dirección del hilo, nPr

, se anula con la tensión del hilo,

Tr

; la componente tangencial del peso, Pt

r, no esta equilibrada y

causa el movimiento.

θseng mPt −=

• El signo (−) indica que la fuerza es recuperadora, tiende a llevar al

péndulo a la posición de equilibrio.

• Para ángulos θ < 14º (0,245 radianes) ⇒ θ ≈ sen θ (con θ en

radianes, el error relativo < 1 %; θ = x/L ).

• La fuerza responsable del movimiento es una fuerza recuperadora

correspondiente a un m.a.s.:

θsengmPt −= ⇒ LxgmgmP t ⋅⋅−=⋅⋅−= θ

xkLxgm −=⋅⋅− ⇒

Lgmk =

• Aceleración del movimiento: FR = m ⋅ a = Pt ⇒ xmk

mP

a t −==

• Frecuencia angular ω: xmka a = −ω2 ⋅ x −=

⇒=⇒/⋅

⋅/=⇒⋅−=−Lg

mLgmxx

mk 222 ωωω L

g=ω

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=⇒−=⋅−

Lg

T2

Lg

mLgmx

mkx

2222 πωωω g

L2T ⋅= π

14

• El periodo y la frecuencia angular del péndulo simple:

1. Son independientes de su masa y de la amplitud de la oscilación.

2. Sólo dependen de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad.

• Ejemplo 9: Partícula con m = 100 g colgada de un hilo de 1,0

m de longitud. Se desplaza hasta que el hilo forma un ángulo

de 12º con la vertical y se suelta para que empiece a oscilar.

a) ¿Es un m.a.s.? b) ¿Periodo de oscilación? c) ¿Velocidad

máxima? d) ¿Frecuencia angular? e) ¿Aceleración máxima?

f) ¿Energía mecánica? g) ¿Ec. del mov.?.

a) Es un m.a.s. cuando: a = − k x

Esto se cumple cuando θ ≅ sen θ (rad).

sen 12º = 0,2079 rad2093,0º180

radº12 =⋅=πθ

El error relativo será: %67,01002079,0

2079,02093,0100

VVV

100VE

r

rh

r

a =⋅−

=⋅−

=⋅=rE

Como Er < 1% el movimiento se considera un m.a.s.

b) s2,0T === 2s/m8,9m0,12

gL2 ππ

c) Ep (A) = Ec (O) ⇒ m g h = ½ m vmax2 ⇒ ( ) s/m65,0º12cos1Ls/m8,92hg2v 2 =−⋅⋅⋅==

Alternativa: v = ω ⋅ A = (2π/T) ⋅ A = (2π/2,0 s) ⋅ 0,21 m = 0,65 m/s

A = arco O-A = θ ⋅ L = 0,21 rad ⋅ 1 m = 0,21 m

Arco de circunferencia = ángulo del sector circular ⋅ radio de la circunferencia

d) s/rad1,3s0,2rad28,6

Tπ2

===ω

e)

( ) 2/m0, 22max

1max s2s/rad1,3m21,0ωAam21,0rad21,0radm0,1LxA =⋅=⋅=⇒=⋅⋅=⋅== −θ

f) Em = Ep (A) = m g h = m ⋅ g ⋅ L ⋅ (1 − cos θ) = 0,10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ 1,0 m (1 − cos 12º) = 0,021 J

g) t = 0 ⇒ x = A ⇒ 2/πϕ =

( )2π/t 1,3sen21,0x +=

• Pg.200: 16. Pg. 201: 17, 18.