movimiento bidimensional

5/22/2018 Movimiento Bidimensional

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Movimiento bidimensional : Tiro Parablico

Introduccin:

El desarrollo en el estudio del TiroParablico se debe a la aportacin deGalileo Galilei (1564-1642) quien estudiel movimiento descrito por un objeto encada libre con uno en movimiento

parablico. Al comparar ambosmovimientos pudo determinar que sobrelos cuerpos con movimiento parablicoacta un movimiento verticaluniformemente acelerado y unmovimiento uniforme sin aceleracin, destacando que la

aceleracin sobre el eje vertical se deba a la aceleracinproveniente de la atraccin terrestre; es decir, la gravedadterrestre. A lo anterior se le denomin Principio de

Superposicin o Independencia de Movimientos, pues el

movimiento parablico es simplemente una combinacin dedos movimientos perpendiculares entre s y que sonindependientes uno de otro, pudiendo haber actuadosimultnea o sucesivamente. Con su teora, Galileo logrexplicar correctamente el movimiento parablico y suscaractersticas derivadas del ngulo de tiro y la velocidadcon que eran puestos en movimiento los objetos.

Las aplicaciones que tiene el movimiento deproyectiles son muy variadas y se remontan principalmenteal uso blico, el uso de catapultas; hoy da talesaplicaciones, blicas, siguen siendo el principal promotordel tiro parablico ya que el uso de misiles nucleares demediano y largo alcance se desarroll ampliamente con laGuerra Fra y el enfrentamiento del capitalismo ycomunismo de ah surgido. Empero, es posible pensar queel movimiento de proyectiles ha superado en parte susaplicaciones blicas con el lanzamiento de estructuras

mecnicas al espacio, lo cual requiere, adems de unconocimiento amplio del movimiento de proyectiles, unconocimiento de las fuerzasgravitacionales para lograrvencer la atraccin de laTierra pero sin salir de surbita; estoy hablando porsupuesto de los satlites, cuyoauge ha permitido eldesarrollo de lascomunicaciones, y por tanto,el de la humanidad.

Movimiento en dos dimensiones

Veremos ahora la cinemtica de

objetos que se mueven en un

plano, es decir en dos

dimensiones. Podremos modelar

de esta forma el movimiento de

los satlites, de la pelota deftbol o de los proyectiles.

Para este estudio, un proyectil es

un objeto que se lanza en un

campo gravitacional y sin fuerza

de propulsin propia.

La nica fuerza que acta sobreel cuerpo es su propio peso, que

es igual a la masa del cuerpo por

la fuerza de gravedad, mg.


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Movimiento de los Proyectiles

El movimiento de un proyectil est sometido a unaaceleracin constante g, dirigida hacia abajo. La aceleracinno tiene componente horizontal.

Escojamos como origen denuestras coordenadas el punto en que el

proyectil comienza su movimiento, Fig.1.0. Por consiguiente, el origen ser el

punto donde la pelota sale de la mano dequien la tira, o el punto en que se agotael combustible de un cohete.

Comenzamos a contar el tiempo cuando el proyectil

comienza su movimiento; esto es, ponemos t igual a cero enel origen. La velocidad en ese tiempo inicial es Vy hace unngulo o con el eje +x. La componente del vector

velocidad inicial segn el eje de las x, Vox,,, es igual aVo. cos o y la componente segn el eje de las y, Voy es

igual a Vo sen o

Ya que no hay aceleracin horizontal, lacomponente de la velocidad segn el eje de las x serconstante. La ecuacin (1) la podemos transformar de lasiguiente forma:

ax= 0 ;Vox= Vo cosoVx= Vo cos

o..

Algunos ejemplos son lanzar una

piedra al aire o soltar una pelota

desde la azotea de un edificio.

Aplicaciones prcticas del tiro

parablico.


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La componente de la velocidad segn el eje de las y,cambiar con el tiempo de acuerdo con un movimiento

vertical de aceleracin constante.

En la Ec. (2) ponemos ay= -g y Voy= Vo sen o, yobtenemos:

Vy = Vo seno gt....

La magnitud del vector velocidad resultante en cualquier

instante es:22

yx VVV

..El ngulo que forma el vector velocidad con la horizontal

en ese instante est dado por:

tan = Vy/Vx

El vector velocidad es tangente a la trayectoria de la

partcula en cualquier punto (Fig. 1). El vector aceleracinest dirigido hacia abajo en cualquier punto.

La coordenada x de la partcula en cualquier momento con

a = 0 y Vox = Vo cos o esx = (Vo cos o)t

La coordenada y con ay. = - g y Voy = Vy sen o es

2

2gt

tsenVy ooy

Lanzamiento sin ngulo, es uno de

los casos particulares del

movimiento bidimensional.

El lanzamiento con ngulo es otro

de los casos que se pueden

presentar en el movimiento

bidimensional

La aceleracin debida a la

gravedad (g) es constante en

muchas aplicaciones prcticas.

A menos que se establezcalo contrario, el valor se refiere

al nivel del mar en el planeta

Tierra donde:

g = 32 f/s2

o

g = 9.8 m/s2
http://images.google.es/imgres?imgurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/imagenes/ale1.gif&imgrefurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/caidalibre.htm&h=146&w=242&sz=2&hl=es&start=194&usg=__ak0IgGVOIKIj_FG99tH2JKZ5S3g=&tbnid=XRvgOaCJG8gHYM:&tbnh=66&tbnw=110&prev=/images?q=tiro+parabolico&start=180&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=Nhttp://images.google.es/imgres?imgurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/imagenes/ale1.gif&imgrefurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/caidalibre.htm&h=146&w=242&sz=2&hl=es&start=194&usg=__ak0IgGVOIKIj_FG99tH2JKZ5S3g=&tbnid=XRvgOaCJG8gHYM:&tbnh=66&tbnw=110&prev=/images?q=tiro+parabolico&start=180&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=Nhttp://images.google.es/imgres?imgurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/imagenes/ale1.gif&imgrefurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/caidalibre.htm&h=146&w=242&sz=2&hl=es&start=194&usg=__ak0IgGVOIKIj_FG99tH2JKZ5S3g=&tbnid=XRvgOaCJG8gHYM:&tbnh=66&tbnw=110&prev=/images?q=tiro+parabolico&start=180&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=Nhttp://images.google.es/imgres?imgurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/imagenes/ale1.gif&imgrefurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/caidalibre.htm&h=146&w=242&sz=2&hl=es&start=194&usg=__ak0IgGVOIKIj_FG99tH2JKZ5S3g=&tbnid=XRvgOaCJG8gHYM:&tbnh=66&tbnw=110&prev=/images?q=tiro+parabolico&start=180&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=Nhttp://images.google.es/imgres?imgurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/imagenes/ale1.gif&imgrefurl=http://members.tripod.com/vic_2000/cinematica/caidalibre.htm&h=146&w=242&sz=2&hl=es&start=194&usg=__ak0IgGVOIKIj_FG99tH2JKZ5S3g=&tbnid=XRvgOaCJG8gHYM:&tbnh=66&tbnw=110&prev=/images?q=tiro+parabolico&start=180&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=N


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El tiempo se toma como cero en los orgenes, tanto delmovimiento de las x como de las y, de tal manera que t esigual para ambos. Eliminando t de esas dos ecuaciones,obtenemos

2

2cos2tan x

V

gxy

ooo

Ya que y o y g son constantes, esta ecuacin tiene la forma

la ecuacin de una parbola. Por consiguiente la trayectoriadel proyectil es parablica.

Frmulas de Tiro Parablico y su uso:

Para las frmulas de Tiro Parablico se supone primero quela Velocidad inicial debe descomponerse en susComponentes enx yy, con las siguientes frmulas:

cosVVOx VsenVOy

22

yx VVV

Con lo anterior se pueden establecer las frmulas de TiroParablico que describan el movimiento de un objeto encualquiera de sus ejes. Cada eje tiene particularidades en su

aceleracin.Paraxse supone una aceleracin de 0a Paray se supone una aceleracin de ga

Movimiento enx:

Oxx VV

Esta frmula nos seala que la Velocidad en cualquierpunto del movimiento del objeto a travs del ejexes igual ala Velocidad inicial de ese eje.

tVx Ox

y = bxcx

Velocidad (v) es positiva onegativa dependiendo si la

direccin del movimiento est a

favor o en contra de

la direccin elegida comopositiva.

Aceleracin (a) es positiva o

negativa, dependiendo si

la fuerza resultante est a

favor est a favor o en contra

de la direccin elegida como

positiva.

Desplazamiento (s) es positivoo negativo dependiendo de la

posicin o ubicacin del objeto

en relacin con su posicin

cero.
http://bp0.blogger.com/_qqbSp1ijoQw/SBB3wmGI_oI/AAAAAAAAABI/DC9YCgf55Dw/s1600-h/httpportales.educared.netwikiEducaredimageseeeTiro_parabolico.gif.gifhttp://bp0.blogger.com/_qqbSp1ijoQw/SBB3wmGI_oI/AAAAAAAAABI/DC9YCgf55Dw/s1600-h/httpportales.educared.netwikiEducaredimageseeeTiro_parabolico.gif.gif


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Esta frmula nos sirve para encontrar el alcance del objetousando su Velocidad en el eje xy el tiempo total de vuelodel objeto.

Movimiento eny:

gtVV Oyy Esta frmula nos permite calcular la Velocidad del objetoen cualquier punto del movimiento respecto al eje y. Comola gravedad determina este movimiento, la Velocidad inicialdel ejeydebe modificarse.

2

2

1gttVyy OyO

Esta frmula sirve para determinar la altura del objeto encualquier instante de su movimiento por lo que la gravedad,

el tiempo y la altura inicial son importantes para podercalcularla.

En qu punto de la trayectoria tiene el proyectil su mnima

rapidez?, por qu?

El proyectil alcanzar su mnima rapidez cuando lacomposicin de la velocidad alcance su valor mnimo.Como xV es constante, la velocidad mnima se alcanzar

nicamente cuando 0yV , situacin que ocurre cuando la

gravedad anula por completo la velocidad en y; es decir,cuando el objeto instantneamente est en reposo sobre elejey(cuando no sube no baja). En otras palabras, cuando elobjeto se encuentra en su altura mxima su velocidad en yes 0, lo que al componer la Velocidad total del objeto

provoca que xVV , el valor mnimo que se puede alcanzar

de la Velocidad del objeto.

Comprobar analticamente que el alcance de un tiro

parablico con ngulo de 45 es mximo.

Usando la frmula gtVV Oyy , se calcular el tiempo quele toma al objeto llegar a su altura mxima para lo cual sedebe suponer 0yV .

gtVV Oyy

gtVOy0

OyVgt

g

Vt

Oy

Usando la definicin VsenVOy , queda que

Lea el problema, luegotrace un bosquejo y

marque en l los datos.

Indique la direccinpositiva consistente.

Establezca los tres

parmetros conocidosy los dos desconocidos.

Seleccione la ecuacin

que incluya

a uno de los

parmetros

desconocidos, pero no a

ambos.

Sustituya las

cantidades conocidas

y resuelva la ecuacin.


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g

Vsent

A continuacin se usa la frmula tVx Ox , en la cual se usa

la definicin cosVVOx

tVx Ox tVx cos

Se usa adems la frmula de tiempo calculada

anteriormenteg

Vsent

g

VsenVx

cos

Adems se duplica el tiempo pues la frmula antesplanteada nicamente contempla la mitad del movimientodel objeto, por lo que nos queda que

g

VsenVx

cos2

g

senVx

cos2 2

Para simplificar la ecuacin se utiliza la identidad

trigonomtrica2

2cos

sen

sen

g

senVx

2

22 2

Con la ecuacin anterior se calcula el ngulo mximo quese puede usar para lograr un alcance mximo en el TiroParablico. El valor mximo que se puede obtener con lafuncin sen es 1 y tal valor se obtiene con el ngulo

902

.

Por tanto, si se iguala el ngulo con que se puede obtener elvalor mximo de la funcin sen con lo que se puedeintroducir en la ecuacin de alcance encontrada, se obtieneque

22

454

Con lo que se concluye que el ngulo mximo que se puedeutilizar para el mximo alcance en el tiro parablico es

454

.

Comprobar que el alcance para ngulos equidistantes a

45 es igual; tomando los ngulos 30 y 60 parademostrarlo.

Componentes de X

Componentes de Y

Te pregunto: Cul de

los 2llega primero alagua ?.

CUAL DE LOS 2 LLEGA

MAS RAPIDOAL AGUA ?Rta: Los dos tocan elagua al mismo tiempo.

Por qu esto es as ?.Rta: Por lo mismo deantes. Porque elmovimiento rectilneo y

uniforme que tiene enel ejexel que vienecorriendo no afecta

para nada, ni influyesobre lo que pasa en el

eje y.


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Para comprobar que el alcance es igual para ngulosequidistantes se usar solamente una parte de la ecuacin

deducida del alcance mximog

senVx

22 , siendo la parte

usada 2sen en la cual se evaluarn dos ngulosequidistantes a 45: 30 y 60.

2

3120)60(22 sensensen

2

360)30(22 sensensen

Como ambos valores resultaron iguales se puede concluirque los ngulos equidistantes a 45 logran el mismoalcance.

QU ES UN TIRO OBLICUO ?Rta.: Un tiro oblicuo es esto:

V0

Es decir, en vez de tirar la cosa para arriba comoen tiro vertical, ahora la tiro en forma inclinada,oblicua.

Comprobar que el alcance y la altura mxima alcanzados

por un proyectil son iguales para el ngulo 75.9.

Usando la frmula gtVV Oyy , se calcular el tiempo que

le toma al objeto llegar a su altura mxima para lo cual sedebe suponer 0yV .

gtVV Oyy

gtVOy0

OyVgt

g

Vt

Oy

Usando la definicin VsenVOy , queda que

g

Vsen

t

.- Para Pensar.Un jugador en la cancha deftbol patea el baln demodo que la altura mximaque alcanza el mismo es de14 my cae a una distancia de19 m del punto de partida.Por lo tanto, la velocidadinicial v0 con que parti la

pelota y el ngulo queforma la misma con lahorizontal son:

a)v0= 17 m/s y =59............................. [ ]

b) v0= 24 m/s y =29....................... [ ]

c) v0= 17 m/s y =71....................... [ ]

d) v0 = 21 m/s y =39........................ [ ]

e) v0 = 19 m/s y =

44........................... [ ]


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A continuacin se usa la frmula 22

1gttVyy OyO , en la

cual se usa la definicin VsenVOy y se supone 0Oy ,

con lo que nos queda que

2

21 gttVyy OyO

2

2

1gttVseny

Se usa adems la frmula de tiempo calculada

anteriormenteg

Vsent

2

2

1gttVseny

2

2

1

g

Vsen

gg

Vsen

Vseny

2

2222

2

1

g

senVg

g

senVy

g

senV

g

senVy

2

2222

g

senVsenVy

2

2 2222

g

senV

y 2

22

ECUACIN DE ALTURA MXIMAAhora se encontrar el ngulo que permite que el alcance yaltura mximos sean iguales, para lo cual se igualarn las

ecuacionesg

senVx

22

yg

senVy

2

22

.

g

senV

g

senV

2

2 222

221

2

22

gsenV

gsenV

221

2

sen

sen

Se usa la identidad trigonomtrica 2cos2 sensen ,para simplificar la expresin, con lo que nos queda que

)cos2(21

2

sen

sen

cos41

sen

cos4

sen

tan4

Utiliza las ecuaciones delmovimiento bidimensional yresuelve..

Se arroja una piedra ensentido horizontal desde un

barranco de 100.0 pies de

altura. Choca con elsuelo que se encuentraa 90 pies de distancia de la

base del barranco. A quvelocidad fue lanzada?

a) 36 p/sb) 19.91 p/sc) 14.26 m/sd) Ninguna de las

anteriores.


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4tan 1 964.75

Con lo que queda demostrado que un ngulo de 75.9 lograque el alcance y la altura mximos del Tiro Parablico seaniguales.

EJEMPLO

Se patea un baln de ftbol con un ngulo de 37 con unavelocidad de 20 m/s. Calcule:a) La altura mxima.

b) El tiempo que permanece en el aire.c) La distancia a la que llega al suelo.d) La velocidad en X y Y del proyectil despus de 1 seg dehaber sido disparadoDatos

ngulo = 37 a) Ymax = ? d) Vx =?

Vo = 20m/s b) t total = ? Vy = ?

g= -9.8 m/s^2 c) X = ?Paso 1Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37 = 15.97 m/sVoy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37 = 12.03 m/sPaso 2Calcular el tiempo de altura mxima , donde Voy = 0Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 =1.22.seg.Paso 3

Calcular a) la altura mxima:Ymax = Voy t + gt^2 / 2 =

12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38mPaso 4

Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplicael tiempo de altura mxima por 2, porque sabemos que latrayectoria en este caso es simtrica y tarda el doble detiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar laaltura mxima.

T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.Paso 5Calcular el alcance mximo, para lo cual usaremos estafrmula:X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.

Paso 6Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/sVfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo elmovimiento

Problemas para analizar.


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Ejemplos de aplicacin.

1.- Un tipo que viene en moto a 90 por hora ( 25 m/s ) sube una

rampa inclinada 30. Suponiendo que la rampa es muy corta

y no influye en disminuir su velocidad, Calcular:

a )- A qu altura mxima llega.

b ) - Cunto tiempo est en el aire.

c ) -

A qu distancia de la rampa cae.

He aqu un tpico problema de tiro oblicuo. Hagamos un dibujito aclarador :

MOTO RAMPA

Para resolver esto elijo un sistema de referencia. Marco en el dibujotodas las velocidades, la aceleracin de la gravedad y todo eso.

A la velocidad V0 la descompongo en las componentes horizontal y

vertical.

Descompongo laVo

en Vox Y enVoy .

Me queda :

En el eje X la sombra de la moto tiene un MRU. La velocidad de estemovimiento es constante y vale V0x = 21,65 m/s.En el eje y la sombra de la moto se mueve haciendo un tiro vertical de V0y= 12,5 m/s. Las ecuaciones horarias quedan as:

0MRU).(horizontalejexEje elparaEcuaciones

x

x0x

asm65,21vv

t

s

m65,210x

s

msen

s

msenVV

s

m

s

mVV

y

x

5,1230.25.

65,2130cos.25cos.

00

00


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Para el eje vertical las cosas quedan de esta manera:

ECUACIONESPARA EL EJEVERTICAL

Todos los tiros oblicuos se resuelven usando solamente las primeras 2

ecuaciones enY y la 1 ecuacin en X. ( 3 en total ). Las otras 3ecuaciones igual las pongo porque son importantes conceptualmente. Loque quiero decir es que:

a ) - Hallar la altura mxima.

Cuando el tipo llega a la altura mxima, la sombra sobre el eje y ya no sigue

subiendo ms. ( Trat de imaginrtelo ). Es decir, que exactamente en esemomento la velocidad en ytiene que ser cero. (cero).

Entonces reemplazando la velocidad final en y por cero :

Vy = 0

b ) - Cunto tiempo est en el aire ?Si para subir el tipo tard 1,275 seg, para bajar tambin va a tardar 1,275 seg.

ts

m8,9

s

m5,12v

ts

m9,4t

s

m5,12y

ts

m65,21x

2fy

22

usan.seecuaciones

estasSlo

ctes

ma

ts

msmV

ts

mt

s

mY

y

fy

2

2

22

8,9

(MRUV)

8,95,12yEje

8,95,12021

mxima.alturalaallegarenmotolatardaqueTiempo

275,1t

8,9

5,12t5,128,9

8,95,120

max

22

2

seg

sm

sm

s

mt

s

m

ts

m

s

m


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( Todo lo que sube tiene que bajar ).Es decir, el tiempo total que el tipo est en el aire va a ser 2 veces el t de subida.Pero atencin, esto vale en este caso porque la moto sale del piso y llega al piso.

Esto mismo lo pods comprobar de otra manera. Cuando el tipo toca el suelo laposicin de la sombra sobre el eje y es y = 0. Entonces, si reemplazo ypor cero en :Y = 12,5 m/s.

t4,9 m/s2.t2 , me queda :

c ) - Calcular a qu distancia de la rampa cae el tipo con la moto.

El tiempo total que el tipo tardaba en caer era 2,55 s. Para calcular en qu lugar cae, loque me tengo que fijar es qu distancia recorri la sombra sobre el eje x en esetiempo.

Veamos. La ecuacin de la posicin de la sombra en equis era X = 21,65 m/s .tReemplazo por t = 2,55 segundos y me queda:

Tiro Parablico- Ejercicios de aplicacinEjercicio N1

Desde un edificio de 25m de altura se lanza en forma horizontal una piedra con una

velocidad inicial de 54 km./h. Cunto tarda en alcanzar el suelo? A que distancia dela base del edificio lo hace? Con que ngulo respecto a la horizontal llega al suelo?

RTA: a) 2,3 s; b) 33,9 m; c) 56.

Ejercicio N2

Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura se arroja horizontalmente unapiedra con una velocidad inicial Vo, que impacta en la calle a una distancia de 6 m delpie del edificio. Cunto tiempo esta la piedra en el aire? Con que velocidad inicialfue lanzada? RTA: a) 2,0 s; b) 3 m/s.Ejercicio N3

Desde el borde de una montaa de altura H se lanza horizontalmente un proyectilcon una velocidad Vo, que tarda 3 segundos en alcanzar un punto distante 30 mde la base de la montaa. Cul es l modulo de la velocidad inicial del proyectil?Cul es la altura de la montaa? Hallar las componentes cartesianas del vectorposicin del proyectil a los 2 segundos de ser lanzados?. Hallar las componentes

).verifica(55,29,4

5,12

5,12.9,4

0.9,4.5,12

2

22

22

segsm

smt

tsmt

s

m

ts

mt

s

m

moto.lacaequelaaDistancia

m2,55x

seg55,2s

m65,21x

cada

cada

aire.elenestmotolaquetotalTiempo seg55,2ttot

t2t maxtot

seg275,12ttot


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cartesianas del vector velocidad del proyectil en el instante en que impacta en alsuelo?

RTA: a) 10m/s; b) 44,1 m; c) (20m; 21,5m); d) (10m/s; -29m/s)

Ejercicio N4

Se lanza una flecha con una velocidad inicial Vo de 108 km/h formando un ngulode 45 por encima de la horizontal, desde un acantilado de 50 m de altura. Hallar: La

mxima altura alcanzada por la flecha; La distancia de la base del acantilado a quecayo la flecha; La duracin del tiempo de vuelo de la flecha; Las componentes delvector posicin 4 segundos despus de lanzada la flecha; La altura de la flecha cuandose encontraba a 100 m del pie del acantilado; l modulo y el ngulo respecto de lahorizontal de la velocidad de la flecha en el instante en que se clava en el suelo.

RTA: a) 73 m; b) 127 m; c) 6 s; d) (85 m; 56,5m); e) 40 m; f) 43,2m/s; -60)

Ejercicio N5

Se lanza desde el suelo una flecha con una velocidad inicial Vo= 3,6 km/mim, y unngulo de lanzamiento de 60 con la horizontal si esta se clava horizontalmente en unblanco, hallar las componentes del punto de impacto.

RTA: (159m, 138m).

Ejercicio N6

Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24m/s, que forma un ngulo de 53 porencima de la horizontal. Calcular la distancia horizontal a que se encuentra del puntode partida 3seg, Despus del disparo. La distancia vertical por encima del punto departida en el mismo instante. Las componentes horizontales y verticales de suvelocidad en dicho momento.

RTA: a) 43,3m; b) 13,40m; c) 14,44m/s; -10.2m/s.

Ejercicio N7

Se dispara una flecha desde el piso formando un ngulo de 53 con la horizontal yse sabe que en el punto mas alto de su trayectoria su velocidad es de 30m/s y que seclava en una pared situada a 150m de distancia del punto de lanzamiento. Hallar lavelocidad inicial de la flecha. Hallar las coordenadas de su posicin 3 segundosdespus de ser lanzada. Hallar la altura del impacto con la pared. Calcular la

velocidad de impacto en modulo y direccin. RTA: a) 50m/s: b) 90m; 75m; c)77m; d) 31,3m; -143.

Ejercicio N8

Un segundo despus de ser lanzado desde el suelo una flecha asciende con unavelocidad de modulo 20 m/s formando un ngulo de 37 con la horizontal. Hallar. Lavelocidad inicial modulo y ngulo; Las coordenadas de la altura mxima; La velocidadmodulo y ngulo a los 5 segundos de haber sedo lanzada.

RTA: a) 27m/s; 5343; b) 35,6m; 24,3m; c) 31,6m/s; -5932.Ejercicio N9

Un jugador de ftbol ejecuta un tiro libre lanzando la pelota con un ngulo de 30con la horizontal y una velocidad de 20m/s. Un segundo jugador corre a velocidadconstante para alcanzar la pelota partiendo al mismo tiempo que ella desde 20m mas

delante de la posicin de tiro libre. Calcular con que velocidaddebe correr el segundo jugador para alcanzar la pelota justo cuando esta llega alsuelo.

RTA: 7,52m/sEjercicio N10

Un jugador de bisbol batea una pelota de tal modo que va a parar a las gradas a24m por encima del terreno de juego. La pelota llega a este punto con una velocidadde 50m/s formando un ngulo de 35 con la horizontal. Si el jugador bati desde 1mde altura sobre el terreno de juego cul es la velocidad de la pelota al abandonar elbate? Cul fue la distancia horizontal recorrida por la pelota? Cunto tiempo estuvola pelota en el aire?


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Movimiento Circular

Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoriaes una circunferencia. Una vez situado el origen O dengulos describimos el movimiento circular mediante las

siguientes magnitudes.

Posicin angular,

En el instante tel mvil seencuentra en el punto P. Su

posicin angular viene dadapor el ngulo , que hace elpunto P, el centro de lacircunferencia C y el origen

de ngulos O.

El ngulo , es el cocienteentre la longitud del arcosyel radio de la circunferenciar, =s/r. La posicin angulares el cociente entre doslongitudes y por tanto, notiene dimensiones.

Aceleracin angular,

Si en el instante tlavelocidad angular delmvil es y en elinstante t'la velocidadangular del mvil es '.La velocidad angular delmvil ha cambiado=' -en el intervalode tiempo t=t'-t

comprendido entre ty t'.

Se denomina aceleracin angular media al cociente entre elcambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo quetarda en efectuar dicho cambio.

La aceleracin angular en un instante, seobtiene calculando la aceleracin angular media en unintervalo de tiempo que tiende a cero.

Movimiento

circular uniforme

Un movimiento circularuniforme es aqul cuyavelocidad angular es

constante, por tanto, laaceleracin angular es cero.La posicin angular delmvil en el instante tlo

podemos calcular integrando

-0=(t-t0)

o grficamente, en larepresentacin de enfuncin de t.

Se denominamovimientocircular al movimiento planodescrito por un punto entrayectoriacircular en torno aun punto fijo. Cuando elcentro de giro es el propiocentro de masas del objeto, elmovimiento se denominarotacin y se distingue delanterior en que mientras las

partculas del objeto se

mueven describiendotrayectorias circulares entorno al eje de rotacin elobjeto en s no se traslada.
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Dada la velocidad angular en funcin del tiempo,obtenemos el desplazamiento-0del mvil entre losinstantes t0y t, grficamente(rea de un rectngulo + reade un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0se toma como cero. Lasfrmulas del movimiento circular uniformemente aceleradoson anlogas a las delmovimiento rectilneo uniformementeacelerado.

Despejando el tiempo ten

la segunda ecuacin ysustituyndola en latercera, relacionamos lavelocidad angular con

el desplazamiento -0

Ecuacin de la dinmica del

movimiento circular

En el estudio delmovimientocircular uniforme,hemos vistoque la velocidad del mvil nocambia de mdulo pero cambiaconstantemente de direccin. Elmvil tiene una aceleracin queest dirigida hacia el centro de latrayectoria, denominadaaceleracin normal y cuyomdulo es

Movimiento

circular

uniformemente

acelerado

Un movimiento circularuniformemente acelerado esaqul cuya aceleracin esconstante.

Dada la aceleracin angularpodemos obtener el cambio develocidad angular -0entrelos instantes t0y t, medianteintegracin, o grficamente.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#aceleradohttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#aceleradohttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#aceleradohttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#aceleradohttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm#Aceleraci%C3%B3n%20normalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#aceleradohttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#acelerado


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La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de lasfuerzasFque actan sobre un cuerpo que describe unmovimiento circular uniforme es igual al producto de lamasa mpor la aceleracin normal an.

F=m an

Movimientos circulares:El movimiento circular uniforme es un movimientoacelerado, dotado nicamente de aceleracin centrpeta.La rapidez con que vara el ngulo descrito proporcionauna medida de la velocidad del movimiento circular. A esavelocidad relacionada con el ngulo se la denomina, que se simboliza como y que,en trminos de velocidad angular media, se expresa como:

t

.La unidad de velocidad angular es rad/s.

Relacin entre velocidad angular y lineal

Mdulo de velocidad lineal es:t

sv

.

Pero segn la definicin: rs .As que:

rt

r

t

sv

.

es una magnitud vectorial, y la relacin con la

velocidad lineal, expresada vectorialmente es: rv

es perpendicular al plano del movimiento.

El vector

permanece cte en el movimiento as que sedefine: el movimiento circular uniforme es aquel cuyatrayectoria es una circunferencia y que transcurre convelocidad angular cte.

Ecuacin del movimiento circular uniforme:

Dado que:t

entonces t ; o bien

oo tt Si to to es positivo cuando da un giro contrario a las agujasdel reloj y negativo cuando lo hace con el sentido de lasagujas.Por lo que la ecuacin de posicin angular es: to Y representa la ecuacin del movimiento circular uniforme.

Periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar unavuelta completa. Se mide en segundos.

Frecuenciaes el nmero de vueltas por unidad de

tiempo. Su unidad es

1

s o hertzio (Hz).


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Aceleracin centrpeta en el movimiento circular uniforme.La expresin que relaciona la aceleracin centrpeta:

r

vac

2

. Como rv :

rr

rac

2

2

T/2 . La aceleracin de la gravedad es la aceleracin

centrpeta: rT

rt

ac

2

22 42 .

4.2 Movimiento circular uniformementeacelerado.

La aceleracin angular es la rapidez con que

vara la velocidad angular.t

La unidad de

aceleracin es el rad/s2. Si cte se dice que el MC esMCUA.

Relacin entre aceleracin angular y lineal:

rat .Ecuaciones del movimiento circular uniformemente

acelerado.

t

o

por tanto : to

El ngulo descrito en funcin del tiempo es:

2

2

1ttoo . El MC puede ser acelerado, por lo que

puede ser negativo.As pues, las ecuaciones que describen el movimientouniformemente acelerado son:Ecuacin de velocidad angular: to

Ecuacin de posicin angular: 22

1ttoo

Ejemplos de Aplicacin

Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante

completa una vuelta alrededor de una pista circular (una

distancia de 200 metros) en 25 seg.

a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la

fuerzacentral que lo mantiene en un circulo?

a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la

fuerza central que lo mantiene en un circulo? L = 200 metros

=2 r

Cuando una partcula describeuna trayectoria circular, comola piedra que gira amarrada enla punta de una cuerda, se diceque el movimiento de la piedraes circular. Si adems de latrayectoria se considera que larapidez de la piedra es

constante (mdulo de lavelocidad instantnea),entonces se dice que elmovimiento es circularuniforme.
http://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtml


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Despejamos el radio

F = 3,01 Newton

Una patinadora de hielo de 55 kg se mueve a 4 m/seg.. Cuando agarra el extremo suelto de

una cuerda, el extremo opuesto esta amarrado a un poste.

Despus se mueve en un circulo de 0,8 m de radio alrededor del poste.

a) Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos.

b) Compare esta fuerza con su peso.

a. Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos.

T = 1100 Newton

b) Compare esta fuerza con su peso.


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Ejercicios Propuestos..

Escriba las unidades de medida de cada uno de los siguientes trminos fsicos en S.I..

1.- Desplazamiento Angular. _____________________2.- Velocidad Lineal o tang. _____________________

3.- Velocidad Angular. _____________________4.- Frecuencia. _____________________5.- Periodo. _____________________6.- Aceleracin Centrpeta. _____________________7.- Fuerza Centrpeta . _____________________8.- Longitud de Arco. _____________________

Problemas propuestos..1.- La rueda de una bicicleta tiene un dimetro de 66 cm y da 40 rev en 1 min. a) Cul es su velocidadangular? qu distancia lineal se desplazar la rueda? R/ 4.19 rad / s, 82.8 m

2.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se mueve a travs de unngulo de 37. Calcule la longitud del arco descrito por el punto. R/ 5.17 m

3.- Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe unaaceleracin constante de 2 rad / s2.a) Cul ser su desplazamiento angular en 3 seg? b) Cuntas revoluciones habr dado? c) Cul es suvelocidad angular final? R/ 27 rad. 4.3 rev 12 rad/s.

4.- Un eje de rotacin tiene una velocidad angular de 60 rad/s, A qu distancia del eje deben colocarseunos contrapesos para que stos tengan una velocidad lineal de 120 pie/s. R/ 2 pies

5.- Un objeto de 4 libras se ata a un cordel y se hace girar en un circulo cuyo radio es de 3 pie. Si sufrecuencia es de 80 rpm. Cul es la tensin en la cuerda? Cul es la aceleracin centrpeta?

R/ 26.3 lb 211 pie/s21.- Escriba la diferencia que existe entre:

Velocidad lineal y angular. ____________________________________________________Fuerza centrpeta y fuerza centrifuga

___________________________________________________________________________Perodo y frecuencia.

___________________________________________________________________________

2.- Establece la correspondencia entre la columna de la derecha y la columna izquierda.

a) Frecuencia 72 km/h

b) Periodo 3 rad/s

c) Velocidad angular 40 r.p.m.

d) Velocidad lineal 3 rad

e) Desplazamiento 8,5 s

3.- Escribe al frente de la frase una V si es verdadera, o una F si es falso. Justifica respuestasa) El tiempo que tarda un objeto en realizar un revolucin completa corresponde a su frecuencia

______b) La velocidad angular permite determinar el desplazamiento angular en determinado intervalo de

tiempo______c) El movimiento circular uniforme se caracteriza porque el vector velocidad permanece constante

a lo largo de la trayectoria______d) En un movimiento circular uniforme la frecuencia es inversamente proporcional al

periodo______e) La aceleracin centrpeta depende directamente del cuadro de la velocidad lineal______


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Ejercicio propuestos --Movimiento Circular Uniforme.1.- Una rueda de un automvil da 240 vueltas en un minuto. Calcular su frecuencia y su perodo.2.- Calcular la velocidad con que se mueven los cuerpos que estn en la superficie de la tierra sabiendoque su perodo es 24 horas y el radio es de 6400 km aproximadamente.3.- una rueda que tiene 4.5 m de dimetro, realiza 56 vueltas en 8 segundos. Calcular: a) Perodo yfrecuencia, b) Velocidad lineal

y velocidad angular, c) aceleracin centrpeta.4.- La hlice de un avin da 1280 vueltas en 64 segundos. Calcular: a) periodo y frecuencia, b) velocidadlineal y angular.5.- Dos poleas de 12 y 18 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una banda, si la polea demenor radio da 7 vueltas en 5 segundos, cul es la frecuencia de la polea de mayor radio?6.- Un automvil recorre una pista circular de 580 m de radio y da 32 vueltas en una hora. Cual es su

periodo y frecuencia, su velocidad lineal y angular, el numero de vueltas y la distancia recorrida cuandohan trascurrido 35 minutos, su aceleracin centrpeta.7.- Calcular el perodo, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las manecillas de un reloj de

pared.8.- Una polea en rotacin, tiene 12 cm de radio y un punto extremo gira con una velocidad de 64 cm/s.En otra polea de 15 cm de radio un punto extremo gira con una velocidad de 80 cm/s. Calcular lavelocidad angular de cada polea?

9.- Al montar una bicicleta se observa que la rueda de dimetro igual a 26 pulgadas, hace 15revoluciones en una tiempo de 8.5 segundos. A) Cul es la rapidez angular de la rueda? B) Qudistancia recorre la bicicleta en este tiempo.

Movimiento Circular Uniformemente acelerado

1.- Una rueda de un automvil da 24300 vueltas en tres minuto. Calcular su frecuencia y su perodo. Si sedesacelera uniformemente a razn de 98.5 rad/ s 2 y se detiene en 12 s. Cuantas vueltas da en ese tiempoy que distancia recorre. ( f = 135 rps, P= 0.0074 s, = 3087rad 491.27 vueltas.)

2.- Un tapn de corcho de 0.013 kg se ata a una cuerda de 0.93 m de longitud y se hace girar en Uncirculo horizontal, realizando una revolucin en 1.8 s. a) cul es la rapidez del tapn? b) cul es suaceleracin centrpeta? c) cul es la fuerza que la cuerda ejerce sobre l?

( V = 5 m/s, ac= 27 m/s, F c= 0.35 N )

3.- Un atleta da vueltas en crculos horizontales a un martillo de 7 kg atado al extremo de una cadena de1.3 m, a razn de 1 rps. a) cul es la aceleracin centrpeta? b) Cul es la tensin en la cuerda?

( a c= 51 m/s2, F c = 3.6 x 102N )

4.- El ciclo de giro de una lavadora de ropa baja de 900 rpm a 300 rpm en 50 rev. Cul es la aceleracinangular y el tiempo requerido para hacerlo.

5.- Un motor elctrico gira a 600 rpm. Cul es su velocidad angular? Cul es el desplazamiento angulardespus de 6 segundos? ( W = 62.8 rad/s, = 377 rad )

6.- Una rueda que gira Inicialmente a 6 rev/s tiene una aceleracin angular de 4 rad /s

2

Cules lavelocidad angular despus de 5 s? Cuntas revoluciones dar)( W = 57.7 rad/s, vueltas = 38)

7.- En un da lluvioso el coeficiente de friccin entre las llantas y el pavimento es de 0.4 Cul es Lamxima velocidad la que puede tomar un auto una curva de 80 m de radio)

8.- Determine el ngulo de inclinacin (peralte) necesario para que un automvil pueda dar una vuelta enU, o sea de 180, en una distancia circular de 600 m a una velocidad de 50 km /h ( = 5.88 )

9.- Cul es el radio del planeta Venus si un satlite est a 2 x 10 6m de su superficie y se mueveen una orbita circular alrededor de Venus con una rapidez de 6.35 x 10 3m/s y una aceleracin centrpetade 5.01 m/s2? Cul es el perodo del satlite alrededor de Venus?


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