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CONDUCCION DE CALOR BIDIMENSIONAL

Cuando las fronteras son irregulares o cuando la temperatura a lo largo de una frontera no es uniforme un tratamiento unidimensional puede resultar insatisfactorio . En estos casos la temperatura es una funcin de dos y posiblemente de tres coordenadas.

METODOS DE ANALISIS

Mtodo analtico

Mtodo grafico

Mtodo numrico

METODO ANALITICO

Una solucin analtica de un problema de conduccin de calor deber satisfacer tanto la ecuacin general como las condiciones de frontera especificada por las condiciones fsicas del problema particular.

La tcnica utilizada para resolver la ecuacin de Fourier es la separacin de variables

Consideremos una placa delgada rectangular sin generacin de calor y aislada en la superficie exterior e interior.

La ecuacin de conduccin de calor es :

Para una placa delgada

Y la temperatura funcin de x,y

Luego T = (x,y)

En estado estacionario

()

Si la conductividad k es uniforme, la ecuacin viene a ser una ecuacin diferencial lineal y homognea en derivadas parciales

Si suponemos que T(x,y) viene a ser el producto de dos funciones

T(x,y) = X(x) . Y(y)

Donde X(x) es una funcin nicamente de x

Donde Y(y) es una funcin nicamente de y

Luego diferenciando

Reemplazando en

()

Igualando

Las variables se encuentran separadas, el primer miembro es una funcin nicamente de X y el segundo miembro es una funcin de Y

Puesto que cada lado de la expresin puede variarse independientemente , la igualdad solamente ser valida para todos los valores de X y de Y si ambos lados son iguales a la misma constante , con la cual ahora se tienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

Luego

(I)

(II)

SOLUCION DE I y II

LUEGO:

Donde A,B,C.D son constantes que debern determinarse por las condiciones de frontera

Aplicando la primera condicin ( x = 0)

SEGUNDA CONDICION (y=0)

TERCERA CONDICION x = L

A = 0

Por lo tanto habr una solucin diferente para cada n entero y cada solucin tiene una constante de integracin Cn luego:

()

CUARTA CONDICION y = b

De donde :

()

De

Reemplazando en

Pero

Luego

Para n = 1

Cuando las condiciones de frontera no son tan simples la solucin se obtiene en la forma de una serie infinita. Ejemplo

SOLUCION

METODOS NUMERICOS

Este mtodo se usa ampliamente en la practica para determinar la distribucin de temperaturas y el flujo de calor en solidos que tienen formas geomtricas y condiciones de frontera complicados

El mtodo que se utiliza con mayor frecuencia es la de diferencia finita, que consiste en formar un grupo de ecuaciones algebraicas de temperaturas en un determinado numero de puntos nodales, cuyas soluciones son obtenidas o resueltas por computadora

La ecuacin de conduccin de calor en estado estable en dos dimensiones es:

()

16

Consideremos una red rectangular formada por mallas de tamaos x , y en la regin indicada en la figura

El smbolo m,n indica la localizacin de un punto nodal cuyas coordenadas son

x = mx y = m y

Definiremos:

La primera derivada de la temperatura con respecto a x en el nodo

se puede expresar

En el nodo

Segunda derivada de la temperatura respecto a x en el nodo m,n es :

Segunda derivada de la temperatura respecto a y en el nodo m,n

Si la malla es cuadrada x = y = L reemplazando en la ecuacin ( ) se reduce

(I)

a) Nodo m,n situado en un borde adiabtico (aislado)

El nodo m.n se encuentra localizado en un borde adiabtico el cual es paralelo al eje y tal como muestra la figura , donde en el borde adiabtico se cumple que:

Por simetra se podra imaginar el punto nodal m-1,n el cual es imagen del nodo m+1.n entonces por simetra

Entonces la ecuacin de diferencia finita del nodo m,n situado en el borde adiabatico paralelo al eje y se expresa como:

(2)

b) Punto nodal m,n en un borde adiabtico paralelo al eje x

Se tiene

(3)

c) Punto nodal m,n en la interseccin de dos bordes adiabticos

(4)

d) Punto nodal m,n en contacto con un fluido (sometido a conveccin)

(5)

e) Punto nodal m,n sobre una esquina exterior . En contacto con un fluido (conveccin)

(6)

26

f) Punto nodal m,n sobre una esquina interior formada por superficies aisladas

(7)

cos

0

(

)

1

=

sin

0

(

)

0

=