CONDUCCION BIDIMENSIONAL EN ESTADO

ESTABLE

Métodos.

(1) Analítico. Separación de variables.

(2) Gráfico.

a) El modelo de conducción bidimensional.

Considerando una sección de un sólido

Sujeto a dos temperaturas T1 y T2

y

T1 T2 <T1 isoterma

x

Métodos.(1) Analítico. Separación de

variables.

(2) Gráfico.xQ"

yQ"

"

Q

0

"""

2

2

2

2

y

T

x

T

QjQiQ yx

b) MÉTODO ANALÍTICO. SEPARACIÓN DE VARIABLES

Tomando un elemento rectangular como:

y T2 θ=1 T2 ≠ T1 T1 W T1 L

T1 θ=0 x

Se puede separar si ambas partes son Iguales a la misma constante.

Si θ(0,y) = 0; C1 = 0; Con: θ(x,0) = 0

Indica que se debe eliminar la dependencia

de x no es por ahí la solución2

2

2

2

2

2

2

2

12

1

11

)().(),(:

11),(0),(

0)0,(0),0(.

0;

dy

Yd

Ydx

Xd

X

yYxXyxasumese

WxyL

xyfronteraCyxTT

TT

)()(

0

0

4321

432

2

2

212

2

2

yy

yy

CCxSenCxCosC

CCYydy

Yd

xSenCxCosCXxdx

Xd

0

0)(

2

43432

Cy

CCCCxSenC

SIGUE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Si θ(L,y) = 0

Combinando Ctes y reconociendo que la nueva Cte depende de los valores de “n”.

:

Si θ(x,W) = 1

Si f(x) puede ser expresada en términos de una

serie infinita de funciones ortogonales.

0)(42 yyLSenCC

)(

,...3,2,1,0

42L

yn

L

yn

L

xnSenCC

nL

nLSen

satisfacenquediscretosvalores

L

ynSenh

L

xnSenCyx

linealessistemaSi

L

ynSenh

L

xnSenCyx

nn

n

1

),(

),(

Lxparasortogonaleson

L

xnCosy

L

xnSen

nmdxxgxg

sibxaensisortogonaleSon

xgxgxg

L

WnSenh

L

xnSenCWx

n

b

a m

n

nn

0

;0)()(

)()...().(

1),(

21

1

1

)()(n

nn xgAxf

SIGUE EL MÉTODO

An en esta serie se puede determinar

Multiplicando cada lado de la ecuación por

gn (x) e integrando de a ; b.

Algunos términos de la derecha pueden ser

Cero.

Θ(x,W) = 1, se puede escoger como: f(x) = 1 y

Entonces:

b

a nn

nn

b

a n dxxgAxgdxxgxf )()()()(1

b

a n

b

a n

n

b

a n

b

a nn

dxxg

dxxgxfA

dxxgAdxxgxf

)(

)()(

)()()(

2

2

)()(L

xnSenxgn

)(

)(1)1(2

),(

,....3,2,1;.

112

)1(21

)(

)1(2

1

1

1

1

1

1

0

2

0

yWn

Senh

yyn

Senh

L

xnSen

nyx

n

LWn

SenhnC

FourierPorL

xnSen

n

tienesexfdey

ndx

Lxn

Sen

dxLxn

SenA

n

n

n

n

n

n

n

L

L

n

Ejemplo 3.1. Calcule la temperatura en el punto medio (1.0, 0.5) de un sólido de L = 2 m y W = 1 m, tomando los primeros cinco no-cero términos y tase el error que se tendría al

tomar solamente los primeros tres términos.

(a) y T2 = 1500C

W = ! T1 (1, 0.5) T1 = 50 0C

T1 L=2 x

Con “n” impar.

,...3,1,...4,2,02

2

42

1)1(2)5.0,1(

2

1,

4

1,

2

1:Re

)5.0,0.1(),(

1)1(2

),(

1

1

1

1

12

1

nconsiderarsolonparan

Sen

nSenh

nSenh

nSen

n

L

W

L

y

L

xqueconociendo

yxpuntoTomandoLWn

Senh

Lyn

Senh

L

xnSen

n

TT

TTyx

n

n

n

n

CTprimerostreslostomanseSi

CT

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

Senh

SenhSen

0

0

5.94;

5.9450)50150(445.0;445.0

0001.0008.0063.0755.02

294

9

2

3

9

2

274

7

2

7

7

2

254

5

2

5

5

2

234

3

2

3

3

2

2

42

22

)5.0,1(

c) EL MÉTODO GRÁFICO. Se usa cuando se tienen fronteras adiabáticas e isotermas. Se construye una red de isotermas y líneas de flujo de calor.

(1) Identificar las líneas relevantes de simetría

a Δy b Qi

Δx

ΔTj

c d

T1 T2

(2) Las líneas de simetría son adiabáticas, no hay

flujo de calor a través de ellas.

(3) Líneas isotermas son perpendiculares a las adiabáticas

(4) Se forman cuadrados curvilíneos.

canaldellongitudlTempdesincrementoN

formadeFactorS

N

MlSTSkTk

N

MlQ

TNTT

x

Tlyk

x

TkAQ

asociadaslíneasMQQ

bdacy

cdabx

j

N

jj

jjii

M

ii

;.

).(

;

22

2121

121

1

FACTOR DE FORMA

En general la resistencia térmica es:

Problema. Determinar “S” para: (a) Pared

plana, cáscara cilíndrica y una esfera hueca.

-Pared plana

k Cáscara cilíndrica

L Esfera hueca.

r2 r1

b) Una esfera térmica diam “D” enterrada en un medio infinito.

medio k, T2

T1 D )2(

)2(

1;

1

DtcondDtcond

t

kRS

SkR

R

TTkSQ

L

AS

kA

LRt ;

1

2ln

2;

22

1ln

r

r

LS

Lk

r

r

tR

21

21 11

4;

11

4

1

rr

Srrk

Rt

rQ

DSTTD

kQ

TTD

k

Q

rk

Q

dTr

dr

k

Q

dr

dTrkQ

r

r

D

r

D

T

T

r

r

2;2

4

20

4

1

4

4

)4(

21

12

2

22

2

2

1

Ejemplo 3.2. Un cable de transmisión d = 25 mm, enterrado en una zanja a medio metro de profundidad en arena de K a = 0.03 w/mK. La corriente disipa 1 w/m. La cubierta aislante de 3mm del cable con Kc = 0.01 w/mK. Calcule la temp

en la interfase entre el conductor y el aislamiento cuando la temp de arena es de 200C

Diagrama:

t z = 0.5 m arena r0

d kc

Circuito térmico. Ti Ta

Rc Ra

Para la resistencia de la arena se usa un factor

de forma de un cilindro diámetro “d” enterrado

Con: D= d + 2t para z > 3D/2;

Para la cubierta del conductor

Para el circuito térmico

Observación: La resistencia del aislante es

el 13% del total. La máxima temperatura

Está en el centro del conductor.

rQ'

rg QE ''

W

mKx

kD

z

R

D

zL

Sa

a 11.22)03.0(2

)006.0025.0(

5.04ln

2

4ln

';4

ln

2

W

mK

k

rtr

Rc

c 42.3)01.0(2

0125.0003.00125.0

ln

2

ln

' 0

0

CT

RRQTTRR

TTQ

i

caraica

air

05.45)11.2242.3(120

)''(';''

'