04-031-202ame.ea-rmuti.net/wp-content/uploads/2015/09...เอกสารประกอบการสอน...

เอกสารประกอบการสอน

รายวชา

04-031-202 กลศาสตรวสด

(Mechanics of Materials)

โดย

ดร.พลเทพ เวงสงเนน

สาขาวชาวศวกรรมเครองจกรกลเกษตร มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน

นครราชสมา

ค าน า

เอกสารประกอบการสอนเลมนเปนสวนหนงของวชากลศาสตรวสด (mechanic of material) รหสวชา 04-031-202 อยในกลมวชาชพบงคบ กลมรายวชาของแขง ซงนกศกษาทเขาเรยนจ าเปนตองผานการเรยนและสอบผานในรายวชาสถตยศาสตร (static) กอน เปนวชาทศกษาเกยวกบความเคนและความเครยด ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ความเคนทเกดจากอณหภม ภาชนะอดความดนและการเชอมตอ การบดตวของเพลาตนและเพลากลวง การเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดด การค านวณหาคาความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน พรอมทงการหาคาระยะโกงทเกดขนในคานโดยใชวธอนๆ การโกงตวของเสา วงกลมมอร ความเคนผสมและเงอนไขการเสยหาย โดยเนอหาและรปภาพสวนใหญจะอางองมาจากหนงสอของ Hibberler, R. (2011). Mechanics of Materials (8th ed.). United States of America: Pearson Prentice Hall. ซงเปนหนงสอทผเขยนเคยอานแลวรสกวาเขาใจไดงาย เนอหาครบถวนสมบรณ ดงนนจงไดน าเอาเนอหาสวนใหญมาจากหนงสอเลมน และกมอกหลายๆ สวนทน ามาจากหนงสอเลมอนๆ ดงทไดแสดงในบรรณานกรม

ภายในเอกสารประกอบการสอนประกอบไปดวย 7 หนวยการเรยนรดวยกน โดยแบงจากเนอหาทมความงายไปจนถงเนอหาทมความซบซอนมากกวา ในแตละหนวยจะมแบบฝกหดทมชองวาง และโจทยปญหาทเวนวางไวเพอใหนกศกษาทเขาเรยนไดรวมท าแบบฝกหดและค านวณไปพรอมกบผเขยน อนงผทเรยนวชานควรทจะมพนฐานทางการแกไขสมการทางคณตศาสตรและการวเคราะหทางสถตศาสตรทดพอสมควร เพอใหสามารถค านวณและวเคราะหตามผเขยนไดอยางเขาใจ

สดทายผเขยนตระหนกดวาถงแมเอกสารประกอบการสอนทผานการตรวจทานจากผเขยนอยางเขมขน และผานพจารณาจากผทรงคณวฒ แตเอกสารเลมนกอาจจะมจดทผดพลาดบางซงหากผเขยนพบกจะไดน าเอาไปปรบปรงในโอกาสตอไป และหวงวานกศกษาทเขาเรยนและไดน าเอาเอกสารประกอบการสอนเลมนมาใชประกอบกบการเรยนจะไดผลประโยชนสงสดในการศกษาเพอใหสมกบเปนวศวกรนกปฏบตตอไปในอนาคต

( นายพลเทพ เวงสงเนน )

สารบญ

หนา ค าน า ก

สารบญ ข

ลกษณะรายวชา ฉ

การแบงหนวยเรยน ช

จดประสงคการสอน ฌ

ก าหนดการสอน ฑ

การประเมนผลรายวชา ณ

ตารางก าหนดน าหนกคะแนน ด

หนวยท 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร 1-2

1.1 กลศาสตร (mechanics) 1-2

1.2 แนวคดพนฐาน 1-3

1.3 สเกลาร และเวคเตอร 1-3

1.4 กฎของนวตน 1-8

1.5 ทบวนสถตศาสตร (static) 1-10

หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย 2-2

2.1 ความเคน (stress) 2-2

2.2 ความเครยด (strain) 2-15

หนวยท 3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials) 3-2

3.1 การทดสอบการยดและการกดอด (the tension and compression test) 3-2

3.2 แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram) 3-2

3.3 กฎของฮค (hooke’s law) 3-4

3.4 อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3-9

3.5 การเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา (failure of materials due to creep and fatigue) 3-11

ค หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial Load) และการบด (torsion) 4-2

4.1 ภาระในแนวแกน (axial load) 4-2

4.2 การบด (torsion) 4-15

หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel) 5-2

5.1 การดด (bending) 5-2

5.2 แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) 5-15

5.3 ภาชนะผนงบาง (thin-walled pressure vessels) 5-21

5.4 ความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress caused by combined loading) 5-24

หนวยท 6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) 6-2

6.1 การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation) และสมการทใชในการหาแปลงคาความเคน (general equations of plane-stress transformation) 6-2

6.2 ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses and maximum in-plane shear stress) 6-6

6.3 การวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-plane stress) 6-10

6.4 ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear stress) 6-12

หนวยท 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns) 7-2

7.1 สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7-2

7.2 เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง (ideal column with pin supports) 7-2

7.3 การวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports) 7-5

แบบฝกหดเสรม บฝ-1

เฉลยแบบฝกหดเสรม ฉฝ-1

บรรณานกรม บน-1

ภาพผนวก ภผ-1

ง

วสยทศน พนธกจ เปาประสงค ประเดนยทธศาสตรของมหาวทยาลย 1) วสยทศน (Vision)

มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน เปนมหาวทยาลยดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยคณภาพชนน าในภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ทมงเนนการผลตนกปฏบตดานวชาชพ เพอพฒนาชมชนและสงคม

2) พนธกจ (Mission) 1. จดการศกษาระดบอดมศกษาบนพนฐาน ดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยทมคณภาพตาม

มาตรฐานสอดคลองกบความตองการของผรบบรการ 2. สรางงานวจย สงประดษฐ และนวตกรรม บนพนฐานของวทยาศาสตรและเทคโนโลยสการ

ผลตการบรการ และการสรางมลคาเพมใหประเทศ 3. มงบรการวชาการและถายทอดเทคโนโลยสสงคม 4. ท านบ ารงศาสนา อนรกษศลปวฒนธรรม และรกษาสงแวดลอม 5. บรหารจดการดวยระบบธรรมาภบาลเพอเพมศกยภาพการท างานขององคกร

3) เปาประสงค (Goals) 1. มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน เปนแหลงการศกษาดานวชาชพทางเทคโนโลยเชง

บรณาการ ทมความเขมแขงดานวชาการ เปนทพงของประชาชนในทกพนท ใหสามารถเรยนรไดตลอดชวต 2. ผลตบณฑตทางวชาชพ ทมความสามารถในการใชเทคโนโลย มคณธรรม และปฏบตงานได

อยางมออาชพ 3. ประชาชนมศกยภาพในการสรางงานดานวชาชพ ดานเทคโนโลย ทสามารถแขงขนได

4) ประเดนยทธศาสตร (Strategic Issues) 1. ศนยกลางการศกษาและความร (Hub) ดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยทมความเขมแขง 2. สรางคนด คนเกง ทมทกษะในการท างานท าใหเปนทนมนษย (Human capital) ของ

ประเทศ 3. ศนยสงเสรมการเรยนรตลอดจนการถายทอดความรดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยเชง

บรณาการทได มาตรฐาน เพอความเปนอยทดของคนไทย

จ

ปรชญา ความส าคญ และวตถประสงคของหลกสตร 1) ปรชญา

เพอผลตบณฑตใหมความเปนผน าดานการปฏบต สามารถประยกตใชความรในงานวศวกรรมเครองจกรกลเกษตร ตลอดจนมความคดรเรมสรางสรรค และมคณธรรม จรยธรรม

2) วตถประสงค 1) เพอผลตวศวกรปฏบตการระดบปรญญาตรทมคณสมบตเหมาะสม สามารถปฏบต งาน

วศวกรรมเครองจกรกลเกษตรในสภาพปจจบน 2) เพอผลตวศวกรดานเครองจกรกลเกษตร ทมความสามารถปฏบตงานเฉพาะดาน สามารถใช

หลกวชาเพอแกปญหาในดานวศวกรรมเครองจกรกลเกษตรและอตสาหกรรมทเกยวของ มความรขนพนฐานทางดานวศวกรรมศาสตร เกษตรศาสตร สงคมศาสตรและอนๆ ทเกยวของ เพอน ามาประยกตใชในงานวศวกรรมเครองจกรกลเกษตรไดเปนอยางด สามารถปฏบตงานดานวศวกรรมในลกษณะทเพมพนประสทธภาพ เพมผลผลตทางการเกษตร การรกษาสภาวะแวดลอมและทรพยากรธรรมชาต เพอใหคณภาพชวตดขน

3) เพอฝกฝนใหมความคดรเรมสรางสรรค มกจนสยในการคนควา ปรบปรงตนเองใหกาวหนาอยเสมอ สามารถวางแผนเพอก าหนดการปฏบตงานและควบคมทถกหลกวชาการ ซงจะกอใหเกดผลสมฤทธตามเปาหมายอยางประหยด รวดเรว ตรงตอเวลาและมคณภาพ

4) เพอเสรมสรางคณธรรม จรยธรรม ความมระเบยบวนย ตรงตอเวลา ความซอสตยสจรต ขยนหมนเพยรความส านกในจรรยาบรรณแหงวชาชพ ความรบผดชอบตอหนาทและสงคม

ฉ

ลกษณะรายวชา

1. รหสและชอวชา 04-031-202 กลศาสตรวสด (Mechanics of Materials) 2. สภาพรายวชา วชาชพบงคบกลมรายวชาของแขง

3. ระดบรายวชา ชนปท 2 ภาคเรยนท 1

4. วชาบงคบกอน 04-030-101 สถตยศาสตร 5. เวลาเรยน ทฤษฎ 45 คาบ ปฏบต – คาบตอสปดาหและนกศกษาจะตองใชเวลาศกษา

คนควานอกเวลา 6 ชวโมงตอสปดาห 6. จ านวนหนวยกต 3 (3-0-6) หนวยกต

7. จดประสงครายวชา 1. ค านวณความเคนและความเครยด ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ความเคนทเกดจากอณหภม

2. เขาใจภาชนะอดความดนและการเชอมตอ 3. ค านวณการบดตวของเพลาตนและเพลากลวง 4. เขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดด 5. ค านวณหาคาความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน พรอมทงการหาคา

ระยะโกงทเกดขนในคานโดยใชวธอนๆ 6. ค านวณการโกงตวของเสา วงกลมมอร ความเคนผสม และทราบถง

เงอนไขการเสยหายตางๆ ได 7. ตระหนกในความส าคญของการศกษากลศาสตรวสด

8. ค าอธบายรายวชา ศกษาเกยวกบความเคนและความเครยด ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ความเคนทเกดจากอณหภม ภาชนะอดความดนและการเชอมตอ การบดตวของเพลาตนและเพลากลวง การเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดด การค านวณหาคาความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน พรอมทงการหาคาระยะโกงทเกดขนในคานโดยใชวธอนๆ การโกงตวของเสา วงกลมมอร ความเคนผสม เงอนไขการเสยหาย

ช

การแบงหนวยเรยน

หนวยท รายการ ชวโมงเรยน

ทฤษฎ ปฏบต 1 แนวคดเบ องตนและการทบทวนสถตยศาสตร

1.1. กลศาสตร (mechanics) 1.2. แนวคดพนฐาน 1.3. สเกลาร และเวคเตอร 1.4. กฎของนวตน 1.5. ทบวนสถตศาสตร (static)

3

2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย 2.1. ความเคน (stress) 2.2. ความเครยด (strain)

9

3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials) 3.1. การทดสอบการย ดและการกด อ ด ( the tension and

compression test) 3.2. แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram) 3.3. กฎของฮค (hooke’s law) 3.4. อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.5. การเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา (failure of

materials due to creep and fatigre)

3

4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion) 4.1. ภาระในแนวแกน (axial load) 4.2. การบด (torsion)

9

5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

5.1. การดด (bending) 5.2. แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) 5.3. ภาชนะผนงบาง (pressure vessel) 5.4. ความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress

caused by combined loading)

12

6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) 6

ซ

หนวยท รายการ ชวโมงเรยน

ทฤษฎ ปฏบต 6.1. การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation) 6.2. ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses

and maximum in-plane shear stress) 6.3. การวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-

plane stress) 6.4. ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear

stress) 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

7.1. สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.2. เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง ( ideal

column with pin supports) 7.3. การวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various

types of supports)

3

รวมทฤษฎ ทดสอบ

รวม

45 6

51

ชม. ชม. ชม.

ฌ

จดประสงคการสอน

หนวยท รายการ เวลาเรยน

ทฤษฎ (นาท)

ปฏบต (นาท)

1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร 1.1. รทมาของกลศาสตร

1.1.1. บอกความหมายของกลศาสตรของวตถแกรง (rigid-body mechanics)

1.1.2. บอกความหมายของกลศาสตรของวตถทสามารถเปลยนแปลงรปราง (deformable-body mechanics)

1.1.3. บอกความหมายของกลศาสตรของกลศาสตรของไหล (fluid mechanic)

1.2. เขาใจแนวคดพนฐาน 1.2.1. ยกตวอยางปรมาณทางฟสกส 1.2.2. ยกตวอยางปรมาณพนฐาน (basic quantities)

1.3. ค านวณสเกลาร และเวคเตอร 1.3.1. เขาใจปรมาณกายภาพ 1.3.2. ค านวณหาเวกเตอรลพธ 1.3.3. ค านวณกฎของไซน (sine law) และโคไซน (cosine

law) 1.4. เขาใจกฎของนวตน

1.4.1. อธบายทมาของกฎของนวตน 1.4.2. อธบายกฎขอท 1 ของนวตน 1.4.3. อธบายกฎขอท 2 ของนวตน 1.4.4. อธบายกฎขอท 3 ของนวตน

1.5. ค านวณสถตศาสตร (static) 1.5.1. ค านวณแรงลพธ 1.5.2. ค านวณโมเมนตลพธ

(180) 30

30

30

30

60

-

2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย 2.1. ค านวณความเคน

2.1.1. ค านวณความเคน (stress)

(540) 360

-

ญ




2.1.2. ค านวณความเคนในแนวแกนเฉลย 2.1.3. ค านวณความเคนเฉอนเฉลย 2.1.4. ค านวณคาความปลอดภย

2.2. ค านวณความเครยด (strain) 2.2.1. ค านวณการเสยรป (deformation) 2.2.2. ค านวณความเครยด (strain)

180

3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials) 3.1. รการทดสอบการยดและการกดอด ( the tension and

compression test) 3.1.1. บอกความหมายการทดสอบการยด 3.1.2. บอกความหมายการทดสอบการอด

3.2. เขาใจแผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram)

3.2.1. อธบายแผนภาพความเคน-ความเครยด 3.2.2. อธบายพฤตกรรมยดหยน 3.2.3. อธบายชวงครากตว

3.3. เขาใจกฎของฮค (hooke’s law) 3.3.1. อธบายกฎของฮค 3.3.2. อธบายความหมายของคามอดลสของยง

3.4. ค านวณอตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.4.1. อธบายความหมายของอตราสวนปวซอง 3.4.2. ค านวณอตราสวนปวซอง

3.5. ค านวณการเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา (failure of materials due to creep and fatigue)

3.5.1. ค านวณการคบ (creep) 3.5.2. ค านวณความลา (fatigue)

(180) 30

30

30

30

60

-

4 ภาระในแนวแกน (axial Load) และการบด (torsion) 4.1. ค านวณภาระในแนวแกน (axial load)

(540) 360

-

ฎ




4.1.1. ค า น ว ณ ก า ร เ ส ย ร ป ใ น แ น ว แ ก น ( elastic deformation of an axially loaded member)

4.1.2. ค านวณปญหาทวเคราะหดวยสมดลสถตอยางเดยวไมได (statically indeterminate axially loaded member)

4.1.3. ค านวณความเคนเนองจากอณหภม (thermal stress)

4.2. ค านวณการบด (torsion) 4.2.1. เขาใจการเสยรปเนองจากการบด ( torsional

deformation of a circular shaft) 4.2.2. ค านวณการบด (the torsion formula) 4.2.3. ค า น ว ณ ก า ร ถ า ย ท อ ด ก า ล ง ง า น ( power

transmission) 4.2.4. ค านวณมมบดของเพลา (angle of twist) 4.2.5. ค านวณปญหาทวเคราะหดวยสมดลสถตอยางเดยว

ไมได (statically indeterminate torque-loaded)

180

5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

5.1. ค านวณการดด (bending) ในคาน 5.1.1. อธบายแผนผงแรงเฉอนและโมเมนต (shear and

moment diagrams) 5.1.2. ค านวณคาความเคนดดในคาน ( the flexure

formula) 5.2. ค านวณแรงกระท าตามขวาง (transverse shear)

5.2.1. ค านวณคาแรงเฉอนในวสด (shear in straight member)

5.2.2. ค านวณความเคนเฉอน (the shear formula) 5.3. ค านวณเกยวกบภาชนะผนงบาง (thin-walled pressure

vessels)

(720)

360

180

90

-

ฏ




5.3.1. ค านวณเก ยวกบถ งผน งบางรปทรงกระบอก (cylindrical vessels)

5.3.2. ค านวณเกยวกบผนงบางรปทรงกลม (spherical vessels)

5.4. ค านวณความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress caused by combined loading)

5.4.1. ค านวณคาความเคนตงฉาก 5.4.2. ค านวณคาความเคนเฉอน 5.4.3. ค านวณคาความเคนทเกดจากภาระบด 5.4.4. ค านวณคาความเคนทเกดจากภาระดด

90

6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) 6.1. ค านวณการแปลงความ เค น ระนาบ ( plane stress

transformation) 6.1.1. อธบายการแปลงความเคนระนาบ (plane stress

transformation) 6.1.2. ค านวณสมการทใชในการหาแปลงคาความเคน

(general equations of plane-stress transformation) 6.2. ค านวณความเคนหลกและค าความเคนเฉอนส งสด

(principal stresses and maximum in-plane shear stress) 6.2.1. ค านวณความเคนหลก (principal stress) 6.2.2. ค านวณความเคนเฉอนสงสด (maximum shear

stress) 6.3. แกปญหาการวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร

(mohr’s circle-plane stress) 6.3.1. สรางวงกลมโมร 6.3.2. สาธตการหาคาความเคนหลกและความเคนเฉอน

จากวงกลมโมร 6.4. เขาใจความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum

shear stress)

(360) 90

90

60

60

60

-

ฐ




6.4.1. อธบายกรณท 1 และ 2 เปนความเคนดง โดยท

1 2 0 6.4.2. อธบายกรณท 1 และ 2 เปนความเคนดง โดยท

1 0 และ 2 0 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

7.1. ค านวณสตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.1.1. ค านวณแรงวกฤต (critical load) 7.1.2. ค านวณความเคนโกงเดาะวกฤต (critical stress)

7.2. ค านวณเสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง (ideal column with pin supports)

7.2.1. ค านวณคาแรงวกฤต 7.2.2. ค านวณคาความเคนวกฤต

7.3. ค านวณการวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports)

7.3.1. ค านวณกรณเสาถกยดดวยสลกทงสองขาง (pinned ends)

7.3.2. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนและอกดานหนงยดแบบอสระ (fixed and free ends)

7.3.3. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนทงสองดาน (fixed ends)

7.3.4. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนและอกดานหนงยดแบบสลก (pinned and fixed ends)

(180) 30

60

90 -

ฑ

ก าหนดการสอน

สปดาหท

ว/ด/ป ชม. ท รายการ หมายเหต

1 1-3 1. แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร

1.1. แนวคดเบองตน 1.2. การทบกวนสถตยศาสตร

2 1-3 2. ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย

2.1. ความเคน

3 1-3 2.1. ความเคน 4 1-3 2.2. ความเครยด (strain)

5 1-3

3. ค ณ ส ม บ ต ท า ง ก ล ข อ ง ว ส ด ( mechanical properties of materials)

3.1. การทดสอบการยดและการกดอด (the tension and compression test)

3.2. แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram)

3.3. กฎของฮค (hooke’s law) 3.4. อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.5. การเสยหายของวสดเนองจากการคบและ

ความล า ( failure of materials due to creep and fatigue)

6 1-3 4. ภาระในแนวแกน (axial load) และการบ ด (torsion)

4.1. ภาระในแนวแกน (axial load)

7 1-3 4.1. ภาระในแนวแกน (axial load) 8 1-3 สอบกลางภาค 9 1-3 4.2. การบด (torsion)

10 1-3

5. ก า ร ด ด ( bending) แ ร ง ก ร ะท า ต า ม ข ว า ง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

5.1. การดด (bending)

ฒ

สปดาหท

ว/ด/ป ชม. ท รายการ หมายเหต

11 1-3 5.1. การดด (bending) 12 1-3 5.2. แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) 13 1-3 5.3. ภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

14 1-3 6. การเปลยนรปความเคน (stress transformation)

6.1. การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation)

15 1-3

6.2. ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses and maximum in-plane shear stress)

6.3. การวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-plane stress)

6.4. ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear stress)

16 1-3

7. การโกงเดาะของเสา (bucking of columns) 7.1. สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.2. เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลาย

ทงสองขาง (ideal column with pin supports) 7.3. การว เ คราะห เ ส าท จ ดย ดแบบต า งๆ

(columns having various types of supports)

17 1-3 สอบปลายภาค

ณ

การประเมนผลรายวชา

1. เกณฑการพจารณา รายวชานแบงเปน 7 หนวยเรยน การวดและประเมนผลรายวชาด าเนนการแยกเปน 3 สวน โดย

แบงแยกคะแนนแตละสวนจากคะแนนเตม ทงรายวชา 100 คะแนน ดงน 1.1 ผลงานทมอบหมาย 10 คะแนน หรอรอยละ 10 1.2 พจารณาจตพสย (กจนสย ความตงใจ และการรวมกจกรรม) 10 คะแนน หรอรอยละ 10 1.3 การทดสอบแตละหนวยเรยน 80 คะแนน หรอรอยละ 80 โดยจดแบงน าหนกคะแนนในแตละ

หนวยตามตารางก าหนดน าหนกคะแนน

2. เกณฑผานรายวชา ผทจะผานรายวชานจะตอง 2.1 มเวลาเรยนไมต ากวา รอยละ 80 2.2 คะแนนรวมทงรายวชาไมต ากวารอยละ 50 ของคะแนนรวม

3. เกณฑคาระดบคะแนน การประเมนแบงออกเปน 2 ขนตอน ดงน 3.1 พจารณาตามเกณฑผานรายวชาตามขอ 2 ผไมผานเกณฑขอ 2 จะไดรบคาระดบคะแนน

จ หรอ F 3.2 ผทสอบผานเกณฑขอ 2 จะไดรบคาระดบคะแนน ตามเกณฑ ดงน

คะแนนรอยละ 80 ขนไป ได ก หรอ A คะแนนรอยละ 75-79 ได ข+ หรอ B+

คะแนนรอยละ 70-74 ได ข หรอ B คะแนนรอยละ 65-69 ได ค+ หรอ C+ คะแนนรอยละ 60-64 ได ค หรอ C คะแนนรอยละ 55-59 ได ง+ หรอ D+ คะแนนรอยละ 50-54 ได ง หรอ D คะแนนรอยละ 49 ลงไป ได หรอ F

ด

ตารางก าหนดน าหนกคะแนน

เลขท

หนวย

คะแนนรายหนวย และน าหนกคะแนน ชอหนวย คะ

แนนร

ายหน

วย

น าหนกคะแนน พทธพสย

ทกษะ

พสย

ความ

ร

ความ

เขาใจ

การน

าไปใช

สงกว

า

1 แนวค ด เบ อ งต นและการท บทว นสถตยศาสตร

10 2 3 5

2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย

20 0 0 20

3 คณสมบตทางกลของวสด(mechanical properties of materials)

10 2 5 3

4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion)

10 0 0 10

5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผน งบาง (pressure vessel)

10 0 1 9

6 ก า ร เ ป ล ย น ร ป ค ว า ม เ ค น ( stress transformation)

10 0 3 7

7 การ โก ง เ ด าะของ เส า ( bucking of columns)

10 0 0 10

ก คะแนนภาควชาการ 80 4 12 64 ข คะแนนภาคผลงาน 10 ค คะแนนภาคจตพสย 10 รวมทงสน 100

1-1 สปดาหท 1 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 3 ชวโมง หนวยท 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร ชอบทเรยน 1.1. กลศาสตร (mechanics)

1.2. แนวคดพนฐาน 1.3. สเกลาร และเวคเตอร 1.4. กฎของนวตน 1.5. ทบวนสถตศาสตร (static)

เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 60 นาท

จดประสงคการสอน 1. แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร

1.1. รทมาของกลศาสตร (mechanics) 1.1.1. บอกความหมายของกลศาสตร ของวตถแกร ง ( rigid-body

mechanics) 1.1.2. บอกความหมายของกลศาสตรของวตถทสามารถเปลยนแปลง

รปราง (deformable-body mechanics) 1.1.3. บอกความหมายของกลศาสตรของกลศาสตรของไหล ( fluid

mechanic) 1.2. เขาใจแนวคดพนฐาน

1.2.1. ยกตวอยางปรมาณทางฟสกส 1.2.2. ยกตวอยางปรมาณพนฐาน (basic quantities)

1.3. ค านวณสเกลาร และเวคเตอร 1.3.1. เขาใจปรมาณกายภาพ 1.3.2. ค านวณหาเวกเตอรลพธ 1.3.3. ค านวณกฎของไซน (sine law) และโคไซน (cosine law)

1.4. เขาใจกฎของนวตน 1.4.1. อธบายทมาของกฎของนวตน 1.4.2. อธบายกฎขอท 1 ของนวตน 1.4.3. อธบายกฎขอท 2 ของนวตน 1.4.4. อธบายกฎขอท 3 ของนวตน

1.5. ค านวณและทบวนสถตศาสตร (static) 1.5.1. ค านวณแรงลพธ 1.5.2. ค านวณโมเมนตลพธ

1-2

หนวยท 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร

1.1 กลศาสตร (mechanics) กลศาสตร เปนวทยาศาสตรกายภาพทเกยวของกบแรงและผลของแรงบนวตถ สามารถน าไปประยกตใช

กบปญหาหลากหลายในทางวศวกรรมได เชน การสนสะเทอน เสถยรภาพและความแขงแรงของโครงสรางหรอเครองจกร หนยนต การออกแบบควบคมรถยนต ยานอวกาศ เครองยนต การไหลของของไหล เครองจกรกลทางไฟฟา หรอแมแตแรงในระดบอะตอม เปนตน

วชากลศาสตรเปนสาขาหนงของวทยาศาสตรทางกายภาพ (physical sciences) ทศกษาเกยวกบสภาวะทอยนงหรอเคลอนท (motions) ของวตถตางๆ (bodies) ซงถกกระท า โดยแรง (forces) โดยทวไปแลววชากลศาสตรจะถกแยกออกไดเปน 3 สาขาวชา ประกอบไปดวย

1.1.1 กลศาสตรของวตถแกรง (rigid-body mechanics) 1) สถตยศาสตร (statics) ซงจะศกษาเกยวกบสมดลของวตถ (equilibrium of bodies) ทอย

นงกบทหรอมการเคลอนทดวยความเรวทคงท 2) พลศาสตร (dynamics) ซงจะศกษาเกยวกบการเคลอนทของวตถอยางมความเรง

(acceleration) 1.1.2 กลศาสตรของวตถทสามารถเปลยนแปลงรปราง (deformable-body mechanics)

เปนแขนงวชาทวเคราะหถงพฤตกรรมการเปลยนแปลงรปรางของวสดเมอมแรงมากระท า ซงสงผลใหเกดคาความเคนตงฉากและความเคนเฉอนเกนขดสงสดของวสดนนท าใหเกดการเสยหาย จะมภาระกระท าทส าคญอย 4 สวนหลกๆ ไดแก ภาระในแนวแกน (axial load) ภาระเฉอน (shear load0 ภาระบด (torsion load) และภาระดด (bending load) ซงภาระเหลานสงผลใหวสดไดรบความเสยหาย

1.1.3 กลศาสตรของไหล (fluid mechanic) เปนแขนงวชาทแยกออกมาภายใตแขนงวชาทางดานกลศาสตรซงเปนวชาทศกษาเกยวกบ

พฤตกรรมทางธรรมชาตของๆ ไหล เชน ของเหลว กาซ และพลาสมา และแรงทกระท าตอของไหล หากแบงตามพฤตกรรมของของไหลแลวในแขนงวชานสามารถแบงออกไดเปน 2 สวนไดแก ของไหลสถตย (fluid static) และพลศาสตรของไหล (fluid dynamic) ทศกษาเกยวกบแรงในการเคลอนทของของไหล ซงสามารถ

แสดงไดดงรปท 1-1

1-3

รปท 1-1 แผนผงของวชากลศาสตร

1.2 แนวคดพนฐาน ในการทจะเรยนรวชากลศาสตรใหมประสทธภาพนนจ าเปนตองมพนฐานของค าจ ากดความทางดาน

กลศาสตรเสยกอน ไมวาจะเปนสเปซ (spece) เวลา (time) มวล (mass) แรง (force) อนภาพ (particle) วตถแขงแกรง (rigid body) (ชนตต) เปนตน

1.2.1 ปรมาณทางฟสกส ปรมาณทางฟสกสสามารถแบงไดเปน 2 ชนด ไดแก ปรมาณสเกลาร เปนปรมาณซงมแตขนาด เชน เวลา ปรมาตร ความหนาแนน อตราเรว อตรา

เรง พลงงาน มวล เปนตน ปรมาณเวคเตอร เปนปรมาณซงมทงขนาด และทศทาง เชน การขจด ความเรว ความเรง แรง

โมเมนต โมเมนตม เปนตน 1.2.2 ปรมาณพนฐาน (basic quantities)

ปรมาณพนฐาน (basic quantities) คอ ปรมาณพนฐานทถกน ามาใชในทางวศวกรรม - ความยาว (length) ใชในการบอกต าแหนงของจดใน space และจะใชในการบอกขนาดของ

วตถ - เวลา (time) เปนปรมาณทบงบอกถงล า ดบของเหตการณ - มวล (mass) เปนคณสมบตของสสารทเราใชเปรยบเทยบการกระท า ของวตถหนงตอวตถอก

อนหนง - แรง (force) แรงอาจจะเกดขนจากการสมผสกนของวตถโดยตรงหรออาจเกดจากการดงดด

กนเมอวตถไมมการสมผสกน เราจะบงบอกแรงดวยขนาดของแรง ทศทางและต าแหนงทแรงกระท า 1.3 สเกลาร และเวคเตอร

1.3.1 ปรมาณกายภาพ คอปรมาณทางฟสกสทใชในการบงบอกลกษณะทางกายภาพของสงทสนใจสามารถแบงออกได 2 ประเภท

Mechanic

Rigid-body Deformable-body Fluid

Static Dynamic Fluid mechanic Fluid dynamic

1-4

1.3.1.1 ปรมาณสเกลาร คอปรมาณทบอกแตขนาดอยางเดยวกไดความหมายสมบรณ ไมตองบอกทศทาง เชน ระยะทาง มวล เวลา ปรมาตร ความหนาแนน งาน พลงงาน ฯลฯ การหาผลลพธของปรมาณสเกลาร กอาศยหลงการทางพชคณต คอ วธการ บวก ลบ คณ หาร นยมเขยนสญลกษณเปนตวอกษรแบบ italic (สทธชย, 2546) เชน m แทนมวล V แทนปรมาตร เปนตน

1.3.1.2 ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทตองบอกทงขนาดและทศทาง จ งจะไดความหมายสมบรณ มกนยมเขยนใหมลกศรอยเหนอตวอกษรนน เชน A แทนเวกเตอร A ทมขนาดเทากบ A เปนตน ตวอยางของปรเวกเตอร ไดแก การกระจด ความเรง ความเรว แรง โมเมนตม ฯลฯ การหาผลลพธของปรมาณเวกเตอร ตองอาศยวธการทางเวคเตอร โดยตองหาผลลพธทงขนาดและทศทาง ซงสามารถท าได 2 วธ คอ 1) วธการเขยนรป 2) วธการค านวณ

1.3.2 การหาเวกเตอรลพธ การหาเวกเตอรโดยวธการเขยนรปแบบหางตอหว มขนตอนดงน 1.3.2.1 เขยนลกศรตามเวกเตอรแรกตามขนาดและทศทางทก าหนด 1.3.2.2 น าหางลกศรของเวกเตอรท 2 ทโจทยก าหนด ตอหวลกศรของเวกเตอรแรก 1.3.2.3 น าหางลกศรของเวกเตอรท 3 ทโจทยก าหนด ตอหวลกศรของเวกเตอรท 2 1.3.2.4 ถามเวกเตอรยอยๆ อก ใหน าเวกเตอรตอๆไป มากระท าดงขอ 1.3.2.3 จนครบทก

เวกเตอร 1.3.2.5 เวกเตอรลพธหาไดโดยการลากลกศรจากหางของเวกเตอรแรกไปยงหวของเวกเตอร

สดทาย เชนรปท 1-2

รปท 1-2 การค านวณเวกเตอรลพธโดยการเขยนรป

A B A+B

A

B

A

B A+B

1-5

ตวอยางท 1-1 Determine vector R by drawing.

1) 1R A B 2) 2R A B 3) 3 2R A B

1) วธท า

2) วธท า

3) วธท า

สรป

B A

1-6

1.3.3 กฎของไซน (sine law) และโคไซน (cosine law) เปนหนงในวธทสามารถน ามาใชในการวเคราะหเวกเตอร ซงสามารถอธบายไดดงน

1.3.3.1 กฎของไซน (sine law) เปนกฎทใชส าหรบการหาขนาดของเวกเตอรทไมทราบคา

สามารถแสดงไดดงรปท 1-3 และสมการท (1-1)

รปท 1-3 เวกเตอรทสามารถใชกฏของไซนในการค านวณ

1 2 3

1 2 3

sin sin sin

R R R

(1-1)

ตวอยางท 1-2 Determine missing component by using the Sine law.

วธท า

1

2

1

2

3

1-7

1.3.3.2 โคไซน (cosine law) เปนกฎทใชส าหรบการหาขนาดของเวกเตอรทไมทราบคา

สามารถแสดงไดดงรปท 1-4 และสมการท (1-2) (1-3) และ (1-4)

รปท 1-4 เวกเตอรทสามารถใชกฏของโคไซนในการค านวณ

2 2

1 2 3 2 3 12 cos R R R R R (1-2)

2 2

2 1 3 1 3 22 cos R R R R R (1-3)

2 2

3 1 2 1 2 32 cos R R R R R (1-4)

ตวอยางท 1-3 Determine missing component by using the Cosine law

วธท า

1R

23

1

23

1-8 1.4 กฎของนวตน

เซอร ไอแซค นวตน (Sir Isaac Newton) เปนนกคณตศาสตรชาวองกฤษ ถอก าเนดใน ป ค.ศ.1642 นวตนสนใจดาราศาสตร และประดษฐกลองโทรทรรศนชนดสะทอนแสง ( reflecting telescope) ขนโดยใชโลหะเงาเวาในการรวมแสง แทนการใชเลนส เชนในกลองโทรทรรศนชนดหกเหแสง (refracting telescope) นวตนตดใจในปรศนาทวา แรงอะไรท าใหผลแอปเปลตกสพนดนและตรงดวงจนทรไวกบโลก และสงนเองทน าเขาไปสการคนพบกฎทส าคญ 3 ขอ

กฎขอท 1 กฎของความเฉอย (inertia) “วตถทหยดนงจะพยายามหยดนงอยกบท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท า สวนวตถทเคลอนทจะ

เคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท าเชนกน” สามารถอธบายไดจากเหตการณทขณะทรถตดสญญาณไฟแดง ตวเราหยดนงอยกบท แตเมอสญญาณ

ไฟแดงเปลยนเปนไฟเขยว เมอคนขบเหยยบคนเรงใหรถเคลอนทไปขางหนา แตตวของเราจะพยายามคงสภาพหยดนงไว ผลคอ หลงของเราจะถกผลกตดกบเบาะ ขณะทรถเกดความเรงไปขางหนา

แตเมอสญญาณไฟเขยวเปลยนเปนไฟแดง คนขบรถเหยยบเบรคเพอจะหยดรถ ตวเราซงเคยเคลอนทดวยความเรวพรอมกบรถ ทนใดเมอรถหยด ตวเราจะถกผลกมาขางหนา

รปท 1-5 ผขบขขณะเบรกรถ

กฎขอท 2 กฎของแรง (Force) “ความเรงของวตถจะแปรผนตามแรงทกระท าตอวตถ แตจะแปรผกผนกบมวลของวตถ” สามารถอธบายไดจากถาเราผลกวตถใหแรงขน ความเรงของวตถกจะมากขนตามไปดวย หรอถาเรา

ออกแรงเทาๆ กน ผลกวตถสองชนดซงมมวลไมเทากน วตถทมมวลมากจะเคลอนทดวยความเรงนอยกวาวตถทมมวลนอย จงเปนทมาของสมการท (1-5) F ma (1-5)

โดยท F = แรง (N) m = มวล (kg)

1-9

a = ความเรง (m/s2) กฎขอท 3 กฎของแรงปฏกรยา “แรงทวตถทหนงกระท าตอวตถทสอง ยอมเทากบ แรงทวตถทสองกระท าตอวตถทหนง แตทศทางตรง

ขามกน” (action = reaction) หรออาจกลาวไดวาทกแรงกรยายอมมแรงปฏกรยาขนาดเทากนกระท าในทศตรงกนขามเสมอ หรอแรงกระท าซงกนและกนของวตถสองกอนยอมมขนาดเทากนแตมทศทางตรงกนขาม

รปท 1-6 แสดงแรงกรยาและแรงปฏกรยา

ตวอยางท 1-4 Determine the missing data of below table. วธท า

No. m (kg) a (m2/s) F (N)

1 34.54 3.20 110.53

2 23.11 2.10 48.53

3 765.45 3.70 2,832.17

4 654.34 8.60 5,627.32

5 34.21 5.43 185.76

6 998.65 2.12 2,117.14

7 12.11 55.55 672.71

8 7.99 44.44 355.08

9 64.92 7.89 512.22

10 675.43 34.76 23,477.95

F -F

1-10 1.5 ทบวนสถตศาสตร (static)

สถตศาสตรเปนเปนสาขาหนงของวชากลศาสตรทเกยวของกบการวเคราะหแรงหรอโมเมนตในระบบสมดลโดยไมขนกบเวลา ในขณะทระบบเขาสสมดลระบบจะตองอยนงหรอมคาความเรวคงท วตถทอยในสภาวะสมดลจะตองเปนไปตามกฎขอท 1 ของนวตน คอผลรวมของแรงทกระท าบนวตถตองมคาเทากบศนย ดงแสดงไดดงสมการท (1-6) โดยทแรงตองพจารณาใหครบทง 3 มต โดยท F คอผลรวมของแรงทกระท าบนวตถในทกทศทาง 0 F (1-6)

ในการน าเอาสมการสมดลไปใชในการค านวณจ าเปนตองทราบถงขนาดและทศทางของแรงรวมทงหมดทกระท าบนวตถ ขนแรกของการค านวณคอการเขยนแผนภาพวตถอสระ ( free-body diagram; FBD) เพอใชในการค านวณ

รปท 1-7 แผนภาพวตถอสระบนเครน (Hibberler, 2011)

1-11

ตวอยางท 1-5 The screw eye in figure is subjected to two forces, F1 and F2. Determine the magnitude and direction of the resultant force.

(Hibberler, 2011)

วธท า

1-12

ต ว อย า งท 1-6 If 30 and T= 6 kN, determine the magnitude of the resultant force acting on the eyebolt and its direction measured clockwise from the positive x axis.

(Hibberler, 2011)

วธท า

1-13

ตวอยางท 1-7 Determine the magnitudes of the forces C and T, which, along with the other three forces shown, act on the bridge-truss joint.

(Hibberler, 2011)

วธท า

1-14

ต ว อย า งท 1-8 Determine the internal normal force and shear force, and the bending moment in the beam at points C and D. Assume the support at B is a roller. Point C is located just to the right of the 8-kip load.

(Hibberler, 2011)

วธท า

1-15

วธสอนและกจกรรม

1. บอกความส าคญของหนวยเรยน 2. ใหเนอหาโดยวธ บรรยาย ยกตวอยางประกอบ 3. ถามค าถามในหองเรยน

สอการสอน

หนงสออางอง - เอกสารประกอบ หนวยท 1 วสดโสตทศน Power point หนวยท 1 และ LCD Projector

งานทมอบหมาย ท าแบบฝกหดทายบทเรยน

การวดผล 1. สงเกตความสนใจในหองเรยน 2. การตอบค าถามขณะเรยน 3. ตรวจผลงานจากแบบฝกหดทมอบหมาย

สปดาหท 2 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 9 ชม. หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย ชอบทเรยน 2.1. ความเคน (stress) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 2.1. ค านวณความเคน

2.1.1. ค านวณความเคน (stress) 2.1.2. ค านวณความเคนในแนวแกนเฉลย

2-2

หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย

2.1 ความเคน (stress) 2.1.1 ความเคน (stress)

กลศาสตรของวสดเปนสาขาหนงของวชากลศาสตรทศกษาถงผลกระทบภายในสวนเชงกลเมอมแรงภายนอกมากระท า ความเคนหรอหนวยแรงจะเกยวของกบความแขงแรงของวสด ในขณะทความเครยด (strain) เปนการบงบอกถงการเสยรปของวสด ซงกอนทจะวเคราะหคาตางๆ ไดจ าเปนตองมพนฐานของการวเคราะหทางดานสถตศาสตรกอน คาความเคนหมายถงอตราสวนของแรงทกระท าบนพนทใดๆ ซงแบงออกไดเปน 2 ประเภท ไดแก ความเคนแนวแกน (normal stress) และ ความเคนเฉอน (shear stress) ซงโดย

ปกตแลวเมอพจารณา ณ จดใดๆ ในระบบกตามความเคนจะถกแบงไดเปน 6 ลกษณะ ดงรปท 2-1

รปท 2-1 ลกษณะทศทางของความเคน ณ จดใดๆ บนวสด (Hibberler, 2011)

2.1.2 ความเคนในแนวแกนเฉลย

ความเคนในแนวแกนสามารถค านวณไดเมอมแรงภายนอกมากระท ากบชนสวนเชงกลดงรปท

2-2 ซงจะขนอยกบลกษณะของพนทหนาตด (Beer, Johnston, Jr., Dewolf, & Mazurek, 2012) แตเพอใหสามารถค านวณไดงายจงใชคาความเคนในแนวแกนเฉลยโดยคดใหเมอมแรงมากระท าชนสวนใดๆ กตามจะม

แรงภายในทเทากนกบแรงภายนอกกระท าภายในชนสวน ดงนนสามารถค านวณไดดงสมการ (2-1)

2-3

รปท 2-2 แรงภายนอกและแรงภายใน (Beer, Johnston, Jr., Dewolf, & Mazurek, 2012)

AdF dA

P A P

A (2-1)

โดยท คอ คาความเคน (N/m2) P คอ คาแรง (N) A คอ พนท (m2) ตวอยางเชน หากตองการค านวณหาคาความเคนของวสดทมแรงทมคาเทากบ 1,000 N มากระท าใน

แนวตงฉากตอพนทหนาตดของวสดทมพนทเทากบ 35 cm2 สามารถค านวณไดดงน แรง (F) มคาเทากบ 1,000 N พนท (A) มคาเทากบ 35 cm2 หรอเทากบ 35 x 10-6 m2

ดงนนคาความเคนมคาเทากบ 6

6

1,00028.57 10 28.57 MPa

35 10

x

x

ตวอยางท 2-1 Determine the missing data as below table. วธท า

No. P (N) A (m2) (Pa)1 3,452.00 324.76 10.63

2 234.20 43.53 5.38

3 342.27 634.23 0.54

4 53.74 63.45 0.85

5 2,346.23 45.32 51.77

6 634.62 45.34 14.00

2-4


7 897.65 34.23 26.22

8 7,788.54 41.11 189.46

9 654.34 8.40 77.90

10 743.30 9.23 80.53

การวเคราะหความเคนทเกดขนในวสดยงสามารถน าเอาไปประยกตใชกบชนสวนเชงกลทวไป

เชน โครงสรางเครองกล ชนสวนเครองจกร โตะ เกาอ ฯลฯ ซงตวอยางการน าเอาไปใชสามารถแสดงไดดง

ตวอยางท 2-2

ตวอยางท 2-2 Bar width = 35 mm, thickness = 10 mm. Determine maximum average normal stress in bar when subjected to loading shown.

(Hibberler, 2011)

วธท า

2-5

ตวอยางท 2-3 The 80-kg lamp is supported by two rods AB and BC as shown in figure (a). If AB has a diameter of 10 mm and BC has a diameter of 8 mm, determine the average normal stress in each rod.

(Hibberler, 2011)

วธท า

2-6







2-7

สปดาหท 3 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 9 ชม. หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย ชอบทเรยน 2.1. ความเคน (stress) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 2.1.3. ค านวณความเคนเฉอนเฉลย

2.1.4. ค านวณคาความปลอดภย

2-8

2.1.3 ความเคนเฉอนเฉลย

คาความเคนเฉอน (shear stress) หมายถงหนวยแรงทกระท าขนานกบพนผวทพจารณาดงรปท 2-3

ซงสามารถค านวณไดจากสมการท (2-2)

รปท 2-3 แรงเฉอนภายในวสด (Hibberler, 2011)

V

A (2-2)

โดยท คอ คาความเคนเฉอน (N/m2) V คอ คาแรง (N) A คอ พนท (m2)

ตวอยางท 2-4 Determine the missing data as below table.

(Hibberler, 2011)

วธท า

No. F (N) V (N) A (m2) (Pa)1 100.00 50.00 53.21 1.88

2 324.45 162.23 12.32 26.34

3 435.65 217.83 32.87 13.25

4 889.89 444.95 0.65 1,369.06

5 678.76 339.38 0.43 1,578.51

6 768.56 384.28 456.34 1.68

7 765.67 382.84 87.43 8.76

2-9

ตวอยางท 2-5 Depth and thickness = 40 mm. Determine average normal stress and average shear stress acting along (a) section planes a-a, and (b) section plane b-b.

(Hibberler, 2011)

วธท า

2-10

2.1.4 คาความปลอดภย สงทส าคญในการออกแบบชนสวนเชงกลคอคาความเคนตองอยในระดบทปลอดภย ในการทจะแนใจวา

ปลอดภยจรงตองมการเลอกคาความเคนทยอมให (allowable stress) เพอควบคมใหคาของแรงทกระท ากบชนสวนไมเกนคาสงสดของวสด หนงในวธการทจะไดมาซงแรงทปลอดภยคอการเลอกคาคงทความปลอดภย (factor of safety: F.S) คออตราสวนระหวางแรงทท าใหชนสวนเสยหาย (Ffail) ตอแรงทยอมใหได (Fallow)

ซงค านวณไดจากสมการท (2-3)

. .fail

allow

FF S

F (2-3)

โดยท . .F S คอ คาคงทความปลอดภย failF คอ แรงทท าใหวสดเสยหาย (N) allowF คอ แรงทยอมใหได (m2)

ซงจากสมการท (2-3) แลวคาความเคนตงฉากเฉลยและความเคนเฉอนเฉลยกสามารถค านวณไดตาม

หลกการเดยวกน ดงแสดงในสมการท (2-4) และสมการท (2-5)

. .fail

allow

F S

(2-4)

. .

fail

allow

F S

(2-5)

โดยท fail คอ ความเคนทท าใหวสดเสยหาย (N) allow คอ ความเคนทยอมใหได หรอความเคนทใชในการออกแบบ (m2) ตวอยางการน าเอาคาความปลอดภยไปใชในงานออกแบบเชงกล เชน ตองการค านวณหาคาความเคนท

ใชในการออกแบบ เมอวสดมคาความเคนคราก (Yield stress) เทากบ 276 MPa .ใชในการท าเครองจกรตองการใหมคาความปลอดภยเทากบ 2.1

คาความเคนครากหรอความเคนเสยหายเทากบ 276 MPa

คาความปลอดภยเทากบ 2.1

ดงนนคาความเคนทใชในการออกแบบค านวณไดจาก

. .fail

allow

F S

275

. . 2.1

fail

allowF S

2-11

130.95 MPa allow


No. fail (Pa) allow(Pa) F.S

1 342.34 311.22 1.10

2 45,323.45 37,769.54 1.20

3 45,342.43 34,878.79 1.30

4 7,543.23 2,793.79 2.70

5 4,326.43 2,983.74 1.45

6 8,787.65 4,992.98 1.76

7 8,129.54 3,678.52 2.21

8 8,653.87 3,682.50 2.35

9 100.45 50.73 1.98

10 566.32 306.12 1.85


No. Ffail (kN) Fallow(kN) F.S

1 234.43 198.67 1.18

2 645.30 321.04 2.01

3 434.74 245.62 1.77

4 36.89 23.95 1.54

5 89.65 64.50 1.39

6 45.45 22.73 2.00

7 10.36 4.77 2.17

8 743.32 576.22 1.29

9 654.20 540.66 1.21

10 356.10 249.02 1.43

2-12

ตวอยางท 2-8 The two members pinned together at B. If the pins have an allowable shear stress of allow

= 90 MPa, and allowable tensile stress of rod CB is t allow= 115 MPa.

Determine to nearest mm the smallest diameter of pins A and B and the diameter of rod CB necessary to support the load.

(Hibberler, 2011)

วธท า

2-13







2-14 สปดาหท 4 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 9 ชม. หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เฉลย ชอบทเรยน 2.2. ความเครยด (strain) เวลา 3 ชม. จดประสงคการสอน 2.2. ค านวณความเครยด (strain)

2.2.1. ค านวณการเสยรป (deformation) 2.2.2. ค านวณความเครยด (strain)

2-15 2.2 ความเครยด (strain)

2.2.1 การเสยรป (deformation) ไมวาจะเปนวสดหรอชนสวนใดกตามเมอมแรงกระท าบนชนสวนแลวจะท าใหเกดการเสยรป

(deformation) ซงในบางครงอาจจะมองไมเหนดวยตาเปลา เชน ยางเมอมแรงมากระท าจะท าใหเกดการยดตวสง และการเสยรปยงสามารถเกดไดเมอมการเปลยนแปลงของอณหภม ตวอยางของการเสยรปแสดงไดดง

รปท 2-4

รปท 2-4 ยางกอนและหลงจากไดรบแรงกระท า (Hibberler, 2011)

2.2.2 ความเครยด (strain) ในการทจะอธบายการเสยรปของวตถโดยการเปลยนแปลงความยาวของเสนอางองและมมทเปลยนไป

สามารถอธบายไดโดยหลกการของความเครยด (strain) โดยหนวยของความเครยดมกบอกเปนอตราสวนของความยาวตอความยาว เชน mm/mm หรอ in/in สวนในหองปฏบตการมกแสดงในรปของเปอรเซนต เชน 0.001 m/m = 0.1% คาของความเครยดแบงไดเปน 2 ประเภทไดแกความความเครยดตงฉาก (normal

strain) ซงแสดงไดดงสมการท (2-6) และคาความเครยดเฉอน (shear strain) ซงแสดงไดดงสมการท (2-7) s s l

s L

(2-6)

2

(2-7)

โดยท คอ คาความเครยด (m/m, %)

s คอ ความยาวสดทาย (m) s คอ คาความยาวเรมตน (m) l คอ ความแตกตางของความยาวเรมตนและความยาวสดทาย (m)

L คอ คาความยาวเรมตน (m) คอ คาความเครยดเฉอน (rad)

กอน หลง

2-16

คอ มมสดทายของวตถเมอมการเสยรป (rad)


No. L (mm) L (mm)

1 109.48 342.12 0.32

2 11.03 32.43 0.34

3 18.06 78.54 0.23

4 42.00 56.76 0.74

5 13.53 71.21 0.19

6 30.43 34.98 0.87

7 1.31 3.74 0.35

8 5.63 8.66 0.65

9 65.05 542.12 0.12

10 4.12 45.76 0.09

ต ว อย า งท 2-10 If the load of P on the beam causes the end B to be displaced 10 mm, determine the normal strain.

วธท า

A

A

B

B B’

50 mm

10 mm

P

P

2-17

ต ว อย า งท 2-11 If the load of P on the beam causes the end B to be B’, determine the normal strain.

วธท า

No. L (m) L (m) 1 5 0.03 0.60%

2 4 0.02 0.50%

3 10 0.10 1.00%

4 21 0.50 2.38%

5 12 0.30 2.50%

6 3 0.01 0.33%

7 45 0.20 0.44%

8 32 0.10 0.31%

9 100 1.00 1.00%

10 23 0.70 3.04%

A

A

B

B B’

L

L

P

P

2-18

ตวอยางท 2-12 If the load of P on the beam causes the end B That beam displacement is 700 mm, determine the normal strain.

วธท า

A

A

B

B B’

500 mm

700 mm

P

P

2-19

ตวอยางท 2-13 If the load of P on the beam causes the end B That beam displacement at B’, determine the normal strain.

วธท า

No L1 (m) L2 (m) 1 5 5.001 0.02%

2 4 4.003 0.08%

3 10 10.020 0.20%

4 21 21.010 0.05%

5 12 12.040 0.33%

6 3 3.001 0.03%

7 45 45.310 0.69%

8 32 32.075 0.23%

9 100 102.000 2.00%

10 23 23.831 3.61%

A

A

B

B B’

L1

L2

P

P

2-20

ตวอยางท 2-14 An air filled rubber ball has a diameter of 150 mm. If the air pressure within it is increased until the ball’s diameter becomes 175 mm, determine the average normal strain in the rubber.

วธท า

2-21

ตวอยางท 2-15 A thin strip of rubber has an upstretched length of 300 mm. If it is stretched around a pipe having an outer diameter of 100 mm, determine the average normal strain in the strip.

วธท า

2-22

ตวอยางท 2-16 Plate is deformed as shown in figure. In this deformed shape, horizontal lines on the on plate remain horizontal and do not change their length.

วธท า

10.0000

63?

3.5000

30.0000

3.0000

10 mm

30 mm

60°

3 mm

3.5 mm B

A C

B’

X

Y

2-23

ตวอยางท 2-17 Plate is deformed as shown in figure. In this deformed shape, horizontal lines on the on plate remain horizontal and do not change their length.

วธท า

10.0000

34?

30.0000

30.0000

10.5000

10 mm

30 mm 34°

B

A C

B’

X

Y

10.5 mm

A C

2-24







สปดาหท 5 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 3 ชม. หนวยท 3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials) ชอบทเรยน 3.1. การทดสอบการยดและการกดอด (the tension and

compression test) 3.2. แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain

diagram) 3.3. กฎของฮค (hooke’s law) 3.4. อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.5. การเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา

(failure of materials due to creep and fatigue)

เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 30 นาท เวลา 60 นาท

จดประสงคการสอน 3. คณสมบตทางกลของวสด(mechanical properties of materials)

3.1. รการทดสอบการยดและการกดอด (the tension and compression test) 3.1.1. บอกความหมายการทดสอบการยด 3.1.2. บอกความหมายการทดสอบการอด

3.2. เขาใจแผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram) 3.2.1. อธบายแผนภาพความเคน-ความเครยด 3.2.2. อธบายพฤตกรรมยดหยน 3.2.3. อธบายชวงครากตว

3.3. เขาใจกฎของฮค (hooke’s law) 3.3.1. อธบายกฎของฮค 3.3.2. อธบายความหมายของคามอดลสของยง

3.4. ค านวณอตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.4.1. อธบายความหมายของอตราสวนปวซอง 3.4.2. ค านวณอตราสวนปวซอง

3.5. ค านวณการเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา ( failure of materials due to creep and fatigue)

3.5.1. ค านวณการคบ (creep) 3.5.2. ค านวณความลา (fatigue)

3-2

หนวยท 3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials)

3.1 การทดสอบการยดและการกดอด (the tension and compression test) ความแขงแรงของวสดขนอยกบความสามารถในการตานทานการเปลยนรปเมอมแรงมากระท า การท

จะไดมาซงความสามารถนขนอยกบการทดสอบ ณ หองปฏบตการ หนงในวธการทดสอบไดแก การทดสอบการดง (tension) หรอการอด (compression) เปนการทดสอบเพอหาความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของวสดทางวศวกรรม ไมวาจะเปนเซรามค โพลเมอร หรอวสดผสม โดยในการทดสอบตองมการ

เตรยมชนงานตวอยาง (specimen) ใหไดขนาดและรปรางตามมาตรฐานดงรปท 3-1 หลงจากนนจงน าไป

ทดสอบเพอหาความสมพนธทเกดขน เครองทใชทดสอบสามารถแสดงตวอยางไดดงรปท 3-2

รปท 3-1 ตวอยางของชนงานทตดสเตรนเกจ (Hibberler, 2011)

รปท 3-2 เครองทใชทดสอบคณสมบตวสด (Hibberler, 2011)

3.2 แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram) จากผลการทดสอบคณสมบตของวสดนน ผลการทดสอบทไดจะแสดงคาออกมาเปนกราฟความสมพนธ

ระหวางความเคนและความเครยด หรอเรยกวา stress-strain diagram ซงจะค านวณคาความเคนจาก

พนทหนาตด (A0) และความยาวเรมตน (L0) ถาเปนการทดสอบวสดเหนยวจะแสดงไดดงรปท 3-3 โดยการ

3-3 ค านวณจะใชคาความเคน (engineering stress) และความเครยด (engineering strain) ทางวศวกรรมดง

สมการท (3-1) และ(3-2)

0

P

A (3-1)

0L

(3-2)

รปท 3-3 แผนภาพ stress-strain diagram (Hibberler, 2011)

โดยกราฟสามารถอธบายไดดงน ชวงพฤตกรรมยดหยน (elastic behavior) เปนชวงทเมอออกแรงดงวสดแลววสดจะยงสามารถคนส

ความยาวปกตได ชวงแรกของการดงจะมความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดเปนเสนตรง (linear elastic) จดทมคาความเคนสงทสดของชวงนเรยกวา ขดจ ากดความเปนสดสวน (proportional limit) แทนสญลกษณดวย pl จากนนเมอถงอกเพยงเลกนอยจะเขาส ขดจ ากดสภาพยดหยน (elastic limit) แทนสญลกษณดวย e

ชวงครากตว (yielding) เปนชวงทอยในชวงพฤตกรรมแบบพลาสตก (plastic behavior) คอเมอวสดถกดงตอไปแลวจะไมสามารถคนตวได จดทคาความเคนมคาถงจดครากตวเรยกวา ความเคนคราก (yield stress หรอ yield point) แทนสญลกษณดวย Y หลงจากนนจะเปนชวงทเรยกวา ชวงตานแรงหลกครากตว (strain hardening) จากนนเมอชนงานถกดงตอไปจะเขาสจดทมคาความเคนสงทสดหรอเรยกวา ความเคนประลย (ultimate stress) หรอใชสญลกษณ u

3-4

ชวงทเกดคอคอด (necking) เมอผานจดทมคาความเคนสงสดแลวชนงานจะเขาสชวงคอคอด จากนนชนงานจะเสยหาย คาความเคนสดทายทท าใหชนงานเสยหายเรยกวา ความเคนท าลาย (rupture stress) หรอใชสญลกษณ f 3.3 กฎของฮค (hooke’s law)

จากการศกษาความสมพนธระหวางความเคนตงฉาก ( ) และความเครยดตามยาว ( ) ภายใตการดงทดสอบ โดยเฉพาะในชวงยดหยนทความเคนและความเครยดมความสมพนธกนเปนเสนตรง ไดมนกคณตศาสตรคนหนงชอ รอเบรต ฮก (Robert Hooke) พบวาอตราสวนของระหวางความเคนและ

ความเครยดในชวงนจะมคาคงท สามารถเขยนเปนสมการทไดดงสมการท (3-3) ซงเรยกสมการนวา กฎของฮก (hooke’s law) (3-3)

จากนนทอมส ยง (Thomas Young) ไดพบคาคงตวของความเปนสดสวน หรอเรยกวามอดลสของยง (Young’s modulus) หรอนยมเรยกกนวา มอดลกสสภาพยดหยน แทนสญลกษณดวย E ซงแสดงไดดงสมการท E (3-4)

ตวอยางเชนจากรปท 3-4 แสดงแผนภาพ stress-strain ของเหลกเหนยว (mild steel) ซงในชวงทความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดเปนเสนตรงนนจะไดคาของ pl = 35 ksi และคา pl = 0.0012 in/in ดงนนจะสามารถค านวณคามอดลสของยงไดจาก

3

35

0.0012 . / .

29 10

pl

pl

ksiE

in in

ksi

รปท 3-4 แผนภาพ stress-strain ของเหลกเหนยว (Hibberler, 2011)

3-5


No. (Pa) E (Pa)

1 234.23 0.01 23.42

2 4,645.73 0.02 232.29

3 542.23 0.03 18.07

4 3,462.34 0.01 346.23

5 2,467.24 0.19 12.99

6 7,845.24 0.03 261.51

7 500.55 0.12 4.17

8 1,945.56 0.26 7.48

9 8,899.60 0.13 68.46

10 4,563.52 0.07 65.19

3-6

ต วอย า งท 3-2 A tension test for a steel alloy results in the stress-strain diagram shown in figure. Calculate the modulus of elasticity and the yield strength based on a 0.2% offset. Identify on the graph the ultimate stress and the fracture stress.

(Hibberler, 2011)

วธท า

3-7

ตวอยางท 3-3 the stress-strain diagram for an aluminum alloy that is used for making aircraft parts is shown in figure. If a specimen of this material is stressed to 600 MPa, determine the permanent strain that remains in the specimen when the load is released. Also, find the modulus of resilience both before and after the load application.

(Hibberler, 2011)

วธท า

3-8

ตวอยางท 3-4 an aluminum rod, shown in figure, has a circular cross section and is subjected to an axial load of 10 kN. If a portion of the stress-strain diagram is shown in figure, determine the approximate elongation of the rod when the load is applied. Take Eal = 70 GPa.

(Hibberler, 2011)

วธท า

3-9 3.4 อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio)

เมอวสดทน ามาใชในการทดสอบ หรอวสดตางๆ มแรงมากระท าในทศทางใดทางหนงแลว วสดจะมการหดตวในทศทางขวางกบแนวการยดตว และเมอสมมตใหวสดมคณสมบตเปนวสดไอโซทรอปก (isotropic material) แลว เมอน าเอาคาสมบรณของความเครยดตามแนวขวางหารดวยความเครยดตามแนวการยดตวแลว จะไดคาคงตวของวสดนนๆ เรยกคา อตราสวนของปวซง (poisson’s ratio) ซงเขยนแทนสญลกษณดวย ซงเรยกตามชอของซเมอง เดอน ปวซง ซงเปนนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส สามารถเขยนไดตาม

สมการท (3-5) และรปท 3-5 แสดงใหเหนถงเพลาทมการยดและหดตวเนองจากแรงดงในแนวแกน lat

long

(3-5)

รปท 3-5 เพลาทมการยดและหดตวเนองจากแรงดงในแนวแกน (Hibberler, 2011)


No. lat long

1 -0.03 0.10 -0.33

2 -0.06 0.23 -0.25

3 -0.06 0.33 -0.17

4 0.11 -0.41 -0.28

5 -0.01 0.12 -0.09

6 -0.04 0.28 -0.13

7 -0.01 0.31 -0.04

8 -0.02 0.22 -0.11

9 0.20 -0.86 -0.23

3-10

ต ว อย า งท 3-6 Bar is made of A-36 steel and behaves elastically. Determine change in its length and change in dimensions of its cross section after load is applied.

(Hibberler, 2011)

วธท า

3-11 3.5 การเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา (failure of materials due to creep and fatigue)

3.5.1 การคบ (creep) การเสยหายของวสดโดยการคบ (creep) เปนกระบวนการทขนอยกบเวลา เมอวสดอยภายใต

การรบแรงเคนจนท าใหเกดการเปลยนแปลงขนาด (dimensional change) เปนเวลานานๆ จะท าใหเกดการเสยหาย สวนใหญจะเกดขนในสภาวะทอณหภมสง (Creep Experiment; Creep deformation, 2014) โดยการคบหรอการเปลยนแปลงขนาดจะเกดขนเมอวสดไดรบความเคนมากระท าและอณหภมการใชงานสงขน วสดจะเกดการเสยหายจากการคบเมอเกดการเปลยนแปลงขนาดจนไมสามารถใชงานไดตามหนาททออกแบบไว การยดตวหรอการคบทมากเพยงพอสามารถท าใหเกดการแตกหกได หรอททราบกนด คอ การแตกขาดจากกน (stress rupture)

การทดสอบคณสมบตการคบมหลายวธการดวยกน หน งในนนไดแกการทดสอบการความสมพนธระหวางคาความเคนและเวลาทท าใหเกดการเสยหายของวสด การคบจะแสดงอยในลกษณะ

ของแผนภาพของ t ซงแสดงไดดงรปท 3-6 แผนภาพ t ของแสตนเลสสตลทอณหภม 1200 F และความเครยด 1%

รปท 3-6 แผนภาพ t ของแสตนเลสสตลทอณหภม 1200 F และความเครยด 1% (Hibberler,

2011)

3.5.2 ความลา (fatigue) เมอวสดถกกระท าดวยคาความเคนหรอความเครยดซ าๆ จะสงผลใหเกดการเสยหาย ทงทคา

ความเคนและความเครยดไมเกนขดจ ากด พฤตกรรมลกษณะนเรยกวา ความลา ในการทจะก าหนดคาความปลอดภยของวสดภายใตโหลดทมการกระท าซ าไปซ ามานนจ าเปนตองทราบถงจ านวนรอบทต าทสดทยอมใหได การทดสอบคาความลาจะเขยนกราฟใหอยในรปของคาความเคน (S หรอ ) และจ านวนรอบทท าให

วสดเสยหาย N ซงแสดงไดดงรปท 3-7

3-12

รปท 3-7 แผนภาพ S N ของการทดสอบเหลกและอลมเนยม (Hibberler, 2011)

3-13







4-1

สปดาหท 6 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 9 ชม. หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion) ชอบทเรยน 4.1. ภาระในแนวแกน (axial load) เวลา 180 นาท. จดประสงคการสอน 4.1. ค านวณภาระในแนวแกน (axial load)

4.1.1. ค านวณการเสยรปในแนวแกน (elastic deformation of an axially loaded member)

4-2

หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial Load) และการบด (torsion)

4.1 ภาระในแนวแกน (axial load) 4.1.1 การเสยรปในแนวแกน (elastic deformation of an axially loaded member)

สบเนองจากการใชกฎของฮคและค านยามของความเคนและความเครยดจะสามารถน าไปสการวเคราะหการเสยรปในแนวแกนของวสด โดยเมอพจารณาใหหนาตดของวสดคงท (A) คณสมบตของวสดสม าเสมอทงกอน จะไดวาคา E คงทตลอดหนาตด ความยาวของวสดเทากบ L และอยภายใตแรงดง P ดงรป

ท 4-1 จะสามารถค านวณหาระยะการยดหรอหดตวไดจากสมการท (4-1) ซงหากชนสวนมแรงกระท าใน

แนวแกนหลายแรงจะสามารถค านวณระยะยดไดจากสมการท (4-2) โดยการแทนคาของแรงจะตองค านงถงเครองหมาย โดยก าหนดใหแรงดงมเครองหมายเปนบวก (+) และแรงอดมเครองหมายเปนลบ (-) สวนเครองหมายของค าตอบทไดจากการค านวณจะบงบอกถงการยดหรอการหด

PL

AE (4-1)

PL

AE (4-2)

โดยท

คอ ระยะการยดหรอหดตว (m) P คอ แรงทกระท าตอวสด (N) L คอ ความยาวของวสด (m) A คอ พนทหนาตดของวสด (m2) E คอ คายงสมอดลส (Pa)

รปท 4-1 แทงเหลกทถกแรง P กระท าในแนวแกน (Hibberler, 2011)

4-3


No. P (kN) L (m) A (m2) E (GPa) (mm)

1 5000.00 4.30 0.0538 200.00 2.00

2 2000.00 3.00 0.0053 324.00 3.52

3 3546.33 2.50 0.0092 234.00 4.13

4 6573.32 4.20 0.0898 59.00 5.21

5 356.31 1.70 0.0062 123.00 0.79

6 3451.98 0.80 0.0258 243.00 0.44

7 121.21 4.00 0.0521 186.00 0.05

8 445.42 3.62 0.0058 217.00 1.28

9 264.43 2.44 0.0019 155.00 2.19

10 345.00 5.00 0.0071 136.00 1.79

ตวอยางท 4-2 The 5 m steel column is used to support the P loads. Determine the vertical displacement of its top, if P = 500 kN, and the column has a cross-sectional area of 14,625 mm2. Take E = 200 GPa.

วธท า

P= 500 kN

4-4

ตวอยางท 4-3 The 50 m aluminum column is used to support the loads P. Determine the vertical displacement of its top, if P = 10,000 kN, and the column has a cross-sectional area of 20,000 mm2. Take E = 68.9 GPa.

วธท า

P= 10,000 kN

4-5

ตวอยางท 4-4 Composite A-36 steel bar shown made from two segments AB and BD. Area AAB = 600 mm2 and ABD = 1200 mm2. Determine the vertical displacement of end A and displacement of B relative to C.

(Hibberler, 2011)

วธท า

4-6







4-7 สปดาหท 7 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 6 คาบ หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion) ชอบทเรยน 4.1 ภาระในแนวแกน (axial load) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 4.1.2. ค านวณปญหาทวเคราะหดวยสมดลสถตอยางเดยวไมได (statically

indeterminate axially loaded member) 4.1.3. ค านวณความเคนเนองจากอณหภม (thermal stress)

4-8

4.1.2 ปญหาทวเคราะหดวยสมดลสถตอยางเดยวไมได (statically indeterminate axially loaded member)

ในการวเคราะหปญหาทมตวรองรบเกนความจ าเปนจะอาศยการวเคราะหสมการสภาวะสมดลเพยงอยางเดยวไมได เนองจากจ านวนแรงตวแปรมากกวาจ านวนสมการสภาวะสมดล จะตองพจารณาใชสมการเพมเตมซงเปนสมการทสรางจากความสมพนธทางเรขาคณตของการเปลยนแปลงความยาวของชนสวนทพจารณา หรอวธการซอนทบ (superposition) (มนตร, 2554) ตวอยางของปญหานสามารถแสดง

ไดดงรปท 4-2

รปท 4-2 ชนสวนทน ามาวเคราะหในปญหา statically indeterminate (Hibberler, 2011)

เมอพจารณาแทงโลหะดงรปท 4-2 (a) ซงมจดยดตายทบนและลางท าใหเกดสมการท (4-3) ซงเปนสมการทไมสามารถแกไขไดโดยวธการทางสถตศาสตรแตตองอาศยเงอนไขอนเขาชวย

0;F 0B AF F P (4-3)

โดยเมอพจารณารปท 4-2 (b) แลวจะไดวาเมอแทงเหลกมแรงมากระท าจะท าใหเกดการยดและหดตวของแทงเหลก แตเนองจากผนงทงดานบนและดานลางไมสามารถเคลอนตวไดท าใหระยะยดและหดของแทงเหลกรวมกนทงหมดเทากบ 0 ซงแสดงไดดงสมการท / 0A B

0A AC B CBF L F L

AE AE (4-4)

ดงนนจากสมการท (4-3) และ (4-4) เราจะสามารถค านวณหาคาแรงปฏกรยาทจด A และจด B

ไดจากสมการท (4-5) และ (4-6)

CBA

LF P

L

(4-5)

4-9 AC

B

LF P

L

(4-6)

ต ว อย า งท 4-5 Steel rod shown has diameter of 5 mm. Attached to fixed wall at A, and before it is loaded, there is a gap between the wall at B’ and the rod of 1 mm. Determine reactions at A and B’ if rod is subjected to axial force of P = 20 kN. Neglect size of collar at C. Take Est = 200 GPa

(Hibberler, 2011)

วธท า

4-10

4.1.3 ความเคนเนองจากอณหภม (thermal stress) ในการเปลยนแปลงอณหภมสามารถท าใหขนาดของวตถเปลยนไป ซงโดยปกตแลวถาอณหภม

เพมขนจะสงผลใหความยาวเพมขน แตถาอณหภมลดลงจะสงผลใหขนาดของวตถลดลงตามไปดวย ความสมพนธของการเปลยนแปลงสวนใหญจะเปนเชงเสนในกรณทวตถมความสม าเสมอตลอดทงวตถ การ

เปลยนแปลงความยาวของวตถสามารถค านวณไดจากสมการท (4-7)

T TL (4-7) โดยท

T คอ การเปลยนแปลงขนาดเนองจากอณหภม (m)

คอ สมประสทธการขายตวของวสด (linear coefficient of thermal expansion) (1/K)

T คอ ผลตางของอณหภมเรมตน และอณหภมทพจารณา (K) L คอ ความยาวเรมตนของวสด (m)


No. ( x10-6 1/K) L (m) T1 (K) T2 (K) T (mm)

1 6.60 4.30 300.00 357.00 1.62

2 7.32 3.00 345.00 440.00 2.09

3 3.43 2.50 273.00 234.00 -0.33

4 2.46 4.20 290.00 329.00 0.40

5 4.67 1.70 342.00 475.00 1.06

6 5.31 0.80 400.00 317.00 -0.35

7 1.72 4.00 322.00 432.00 0.76

8 2.22 3.62 298.00 375.00 0.62

9 9.34 2.44 309.00 432.00 2.80

10 6.76 5.00 327.00 312.00 -0.51

จากผลของการเปลยนแปลงความยาวนนเมอชนสวนไมสามารถขยายตวออกไดแลวจะสงผลให

อาจจะเกดคาความเคนทเรยกวา ความเคนความรอน (thermal stress) ซงเปนตวแปรทจ าเปนตองน ามาใช

ในการวเคราะหการออกแบบดวย ตวอยางของการเกดความเคนความรอนสามารถแสดงไดดงตวอยางท 4-7

4-11

ต ว อย า งท 4-7 A-36 steel bar shown is constrained to just fit between two fixed supports

when T1 = 30 C. If temperature is raised to T2 = 60 C, determine the average normal thermal stress developed in the bar.

วธท า

4-12







4-13 สปดาหท 8 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 150 นาท สอบกลางภาคเรยน หนวยท 1 ถง 4 ชอบทเรยน หนวยท 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร

หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เบองตน

หนวยท 3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials)

หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion)

เวลา 150 นาท

บทเรยนทสอบ หนวยท 1 แนวคดเบ องตนและการทบทวนสถตยศาสตร

1.1. กลศาสตร (mechanics) 1.2. แนวคดพนฐาน 1.3. สเกลาร และเวคเตอร 1.4. กฎของนวตน 1.5. ทบวนสถตศาสตร (static)

หนวยท 2 ความเคน (stress) และความเครยด (strain) เบ องตน 2.1. ความเคน (stress) 2.2. ความเครยด (strain)

หนวยท 3 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials) 3.1. กา รทดส อบ ก า รย ด แล ะ กา ร ก ด อ ด ( the tension and

compression test) 3.2. แผนภาพความเคน-ความเครยด (the stress-strain diagram) 3.3. กฎของฮค (hooke’s law) 3.4. อตราสวนปวซอง (poisson’s ratio) 3.5. การเสยหายของวสดเนองจากการคบและความลา ( failure of

materials due to creep and fatigre) หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion)

4.1. ภาระในแนวแกน (axial load)

4-14 สปดาหท 9 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 6 ชม. หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion) ชอบทเรยน 4.2. การบด (torsion) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 4.2. ค านวณการบด (torsion)

4.2.1. เขาใจการเสยรปเนองจากการบด (torsional deformation of a circular shaft)

4.2.2. ค านวณสตรการค านวณเกยวกบการบด (the torsion formula) 4.2.3. ค านวณการถายทอดก าลงงาน (Power transmission) 4.2.4. ค านวณมมบดของเพลา (Angle of twist) 4.2.5. ค านวณปญหาท ว เคราะหด วยสมดลสถตอย างเดยวไม ได

(statically indeterminate torque-loaded)

4-15 4.2 การบด (torsion)

4.2.1 การเสยรปเนองจากการบด (torsional deformation of a circular shaft) ทอรค หมายถง โมเมนตทกระท าตามแนวแกนหมน โดยสวนใหญคาทอรคจะเปนตวแปรทส าคญ

ในการวเคราะหเพลาในเครองยนตหรอยานพาหนะ ตวอยางของพฤตกรรมของเพลาหลงจากมทอรคมา

กระท าสามารถแสดงไดดงรปท 4-3

รปท 4-3 เพลากอนและหลงเมอมทอรคมากระท า (Hibberler, 2011)

4.2.2 สตรการค านวณเกยวกบการบด (the torsion formula)

เมอมทอรคภายนอกมากระท าทเพลาแลวคาทอรคจะมคาสงทสดทผวนอกของเพลาและจะมคาต าสดทภายในเนอวสดเพลา ถาสมมตใหเพลามความยดหยนเปนเชงเสน และพฤตกรรมเปนไปตามกฎของฮคแลว วสดจะมความเปนเชงเสนของความเครยด ซงจะสงผลใหมความเปนเชงเสนของความเคนดวย จาก

การวเคราะหเพลาทแสดงในรปท 4-4 จะสามารถค านวณคาความเคนเฉอนไดจากสมการท

รปท 4-4 คาความเคนทเกดในแตละระดบชนของรศม (Hibberler, 2011)

4-16

maxc

(4-8)

โดยท คอ คาความเคนเฉอน

max คอ คาความเคนเฉอนสงสดทเกดขนบนเพลา คอ ระยะจากจดศนยกลางถงต าแหนงทตองการพจารณา c คอ รศมของเพลา

เมอท าการอนทรกลตลอดหนาตดของเพลาแลวจะไดสมการทน าเอาไปใชในการค านวณหาความ

เคนเฉอนในแตละต าแหนงไดจากสมการท (4-9)

T

J

(4-9)

โดยท T คอ คาทอรคทกระท าบนชนสวน (N.m) J คอ คาโมเมนตความเฉอยเชงขวของหนาตด

ซงคา J นนสามารถแบงเปนเพลาตนสามารถค านวณไดจากสมการท (4-10) และเพลากลวง

สามารถค านวณไดจากสมการท (4-11)

4

2J c

(4-10)

4 4

2 o iJ c c

(4-11)

รปท 4-5 คาความเคนเฉอนทเกดขนบนเพลากลวง (Hibberler, 2011)

4-17

ตวอยางท 4-8 determine missing data.

วธท า

No J (m4) C (m)

1 2.513x10-7 0.020

2 1.571x10-8 0.010

3 6.136x10-7 0.025

4 4.021x10-6 0.040

5 2.357x10-6 0.035


วธท า

No Ci (m) C

o (m) J (m

4)

1 0.017 0.020 1.20x10-7

2 0.005 0.010 1.47x10-8

3 0.020 0.025 3.62x10-7

4 0.020 0.035 2.11x10-6

4-18

4.2.3 การถายทอดก าลงงาน (power transmission) เพลาหรอทอทมหนาตดเปนวงกลมมกจะถกน าไปใชในการถายทอดก าลงจากเครองยนต ทอรค

ทมการสงผานจะขนอยก าลงงาน (power) หรอเรยกวางานตอหนวยของเวลา พลงงานทสงถายโดยเพลา

กลมหรอเพลากลวงทงหมดสามารถค านวณไดจากสมการท (4-12) P T (4-12)

โดยท P คอ ก าลงงาน (W หรอ J/s หรอ N.m/s) T คอ ทอรค (N.m) คอ ความเรวเชงมม (rad/s)

ตวอยางท 4-10 determine missing data as below table. วธท า

No. T (N.m) (rad/s) P (Watt)

1 6.60 4.30 28.38

2 7.32 3.00 21.96

3 2.46 4.20 10.33

4 20.00 1.70 34.00

ส าหรบเครองยนตทสามารถวดความถในการท างานไดในหนวยของ รอบตอวนาท หรอ Hz ก

สามารถค านวณก าลงงานไดจากสมการท (4-13) เนองจาก 2 f 2P fT (4-13)

ดงนนหลกการของการเลอกเพลาทจะน าไปใชในการสงถายก าลงจงจ าเปนตองทราบถงก าลงงานทใช (P) คาความเคนเฉอนทยอมรบได ( allow ) จากนนจงเอาคาทไดไปใชในการออกแบบเพลาสงก าลง


No. T (N.m) f (Hz) (rad/s) P (Watt)

1 34.52 0.68 4.30 148.44

2 45.63 0.48 3.00 136.89

3 654.35 0.67 4.20 2748.27

4 79.78 0.27 1.70 135.63

4-19

จากหลกการทไดกลาวมาแลวนน สมการทงหมดสามารถน ามาใชในการวเคราะหคาความเคนเฉอนทเกดขนบนเพลาได เชน เพลาทมการหมนเพอสงถายก าลงจากมอเตอรไปสเครองจกรตางๆ

ตวอยางท 4-12 a 150 mm diameter shaft shown supported by two bearings and subjected to three torques. Determine shear stress developed at points A and B, located at section a-a of the shaft.

(Hibberler, 2011)

วธท า

4-20


วธท า No T (N.m) (rpm) P (W)

1 204.63 175 3750

2 190.99 200 4000

3 63.66 300 2000

4 23.87 400 1000

5 28.65 500 1500

6 39.79 600 2500

7 57.30 700 4200

8 21.49 800 1800

9 47.75 440 2200

10 44.76 320 1500

4-21

ต วอย า งท 4-14 solid steel shaft shown used to transmit 3750 W from attached motor M.

Shaft rotates at = 175 rpm and the steel allow = 100 MPa. Determine required diameter of shaft to nearest mm.

(Hibberler, 2011)

วธท า

4-22

4.2.4 มมบดของเพลา (angle of twist) เมอเพลากลมรบภาระบดในชวงยดหยน จะพบวามมบดของเพลากลมจะเปนปฏภาคโดยตรงกบ

ทอรคภายนอกทกระท าตอเพลากลมดงกลาว โดยพจารณาในชวงยดหยนตามกฎของฮกแลวจะสามารถ

ค านวณหามมบดของเพลาไดจากสมการท (4-14)

TL

JG (4-14)

โดยท คอ มมบด (rad) T คอ ทอรค (N.m) L คอ ความยาวของเพลา (m) J คอ โมเมนตความเฉอยเชงขว (m4) G คอ คายงสมอดลสเฉอน (N/m2)

ในสมการท (4-14) การค านวณจะตองมการค านงถงทศทางดวย โดยหากคาทอรคมทศพงออกจะใชเครองหมายบวก (+) และถาคาทอรคมทศพงเขาสระนาบจะใชเครองหมายเปนลบ (-) ในสมการ คาและ

ถาหากบนเพลามทอรคมากระท าหลายคาแลว มมบดของเพลาจะสามารถค านวณไดจากสมการท (4-15)

TL

JG (4-15)


No. T (N.m) L (m) J (x10-6 m4) G (GPa) (rad) 1 3424.00 2.00 0.34 180.00 0.11 2 8764.00 4.30 0.96 150.00 0.26 3 8754.00 3.42 0.67 134.00 0.33 4 7352.00 3.87 0.70 178.00 0.23 5 4563.00 4.65 0.85 123.00 0.20 6 6835.00 1.98 0.45 119.00 0.25

4-23

ตวอยางท 4-16 the gears attached to the fixed-end steel shaft are subjected to the torques shown in figure. If the shear modulus of elasticity is 80 GPa and the shaft has a diameter of 14 mm, determine the displacement of the tooth.

(Hibberler, 2011)

วธท า

4-24

4.2.5 ปญหาทวเคราะหดวยสมดลสถตอยางเดยวไมได (statically indeterminate torque-loaded) ในการวเคราะหคาทอรคทเกดขนบนเพลานนอาจจะแบงปญหาออกเปนเปนหาทสามารถแก

สมการดวยสมดลสถตไดเลย กบปญหาทใชสมดลสถตอยางเดยวไมได ดง ทแสดงใหเหนวาเมอมทอรคมากระท าทเพลาแลวตองการทจะทราบคาทอรคตานทเกดขนทจดยด แสดงไดดงสมการท ซงจากสมการทไดนนไมสามารถท าได

รปท 4-6 รปเพลาทไมสามารถวเคราะหไดดวยสมดลสถตอยางเดยว (Hibberler, 2011)

4-25







5-1

สปดาหท 10 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 12 ชม. หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะ

ผนงบาง (pressure vessel) ชอบทเรยน 5.1 การดด (bending) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 5.1. ค านวณการดด (bending) ในคาน

5.1.1. อธบายแผนผ งแรงเฉอนและโมเมนต (shear and moment diagrams)

5-2

หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

5.1 การดด (bending) 5.1.1 แผนผงแรงเฉอนและโมเมนต (shear and moment diagrams)

โดยสวนใหญแลวในการวเคราะหแผนผงแรงเฉอนและโมเมนตมกจะใชในการวเคราะหคาน (beam) ซงเปนชนสวนทางกลทรบภาระกระท าตามขวางตงฉาก (transverse shear) กบแนวแกนของคาน ภายใตภาระกระท าตามขวางตงฉากกบแนวแกนของคานจะท าใหเกดแรงเฉอนตาน (shear force) และโมเมนตดดในคาน (bending moment) โดยแรงเฉอนจะท าใหเกดคาความเคนเฉอน (shear stress) และโมเมนตดดจะท าใหเกดความเคนดด (bending stress หรอ flexural stress) ดงนนกอนทจะวเคราะหความเคนไดจ าเปนตองสามารถค านวณหาแผนผงแรงเฉอนและโมเมนตดดไดเสยกอน

ในการทจะสรางสมการของแรงเฉอน (V) และโมเมนต (M) ในเรมตนนนจ าเปนตองมการก าหนดจดเรมตน และทศทางทเปนบวก จากนนจงก าหนดทศทางและเครองหมายของแรงเฉอนและโมเมนต

ตวอยางการก าหนดเครองหมายของแรงเฉอนและโมเมนตแสดงไดดงรปท 5-1 และรปท 5-2

รปท 5-1 สญลกษณและทศทางของตวแปรทน ามาใชในการวเคราะหคาน (Hibberler, 2011)

5-3

รปท 5-2 ทศทางทเปนบวก (+) ของคาแรงเฉอนและโมเมนตดด (Hibberler, 2011)

ขนตอนการเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตสามารถสรปเปนขนตอนไดดงน 1) ค านวณหาแรงปฏกรยาและโมนตทเกดขนทจดยดใหครบทกจด 2) ก าหนดจดเรมตน และก าหนดทศทาง x ทจะใชในการวเคราะห 3) เลอกหนาตดในแตละชวงเพอท าการวเคราะหแรงเฉอนและโมเมนตทเกดขน โดยท าการ

เขยนแผนผงการวเคราะหแรงอสระ 4) เขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตทขนกบระยะทาง โดยถามเครองหมายเปนบวกให

เขยนไวดานบน สวนเครองหมายลบใหเขยนไวดานลาง

5-4

ต วอย างท 5-1 draw the shear and moment diagrams for the beam shown in figure. If w = 300 N and L = 4 m.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-5

ตวอยางท 5-2 draw the shear and moment diagrams for beam shown below in figure. If W0 = 500 N/m and L = 3 m.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-6

ตวอยางท 5-3 draw the shear and moment diagrams for beam shown below.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-7

ตวอยางท 5-4 draw the shear and moment diagrams for beam shown below.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-8







5-9 สปดาหท 11 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 12 ชวโมง หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะ

ผนงบาง (pressure vessel) ชอบทเรยน 5.1. การดด (bending) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 5.1.2. ค านวณคาความเคนดดในคาน (the flexure formula)

5-10

5.1.2 การค านวณคาความเคนดดในคาน (the flexure formula) จากการวเคราะหในปญหาแรงเฉอนในคานทผานมาและเมอสมมตใหพฤตกรรมของคานม

ความเครยดเปนเชงเสนดงรปท 5-3 (a) แลวจะท าใหเกดความเคนทเปนเชงเสน (linear variation in

normal stress) เชนเดยวกน ดงแสดงในรปท 5-3 (b) ดงนนความสมพนธทไดจากการวเคราะหจะน าไปส

การหาคาความเคนดดในสมการท (5-1) และสมการท (5-2)

รปท 5-3 คาความเครยดและความเคนดดเชงเสน (Hibberler, 2011)

max

y

c

(5-1)

โดยท คอ คาความเคนดด (N/m2)

max คอ คาความเคนดดสงสดทเกดบนเพลา (N/m2) y คอ ระยะจากแกนสะเทนถงระยะทสงเกต (m) c คอ ระยะจากแกนสะเทนถงผวดานนอกทยาวทสด (m)

max

My

I (5-2)

โดยท M คอ โมเมนตดด ณ จดทสนใจ (N.m) I คอ โมเมนตความเฉอย ณ หนาตดทสนใจ (m4)

5-11

ตวอยางท 5-5 A member having the dimensions shown is used to resist an internal bending moment of M = 100 kN.m. Determine the maximum stress in the member if the moment is applied about the x axis and y axis.

วธท า

30 mm

40 mm

x

y

M

5-12

ต ว อย า งท 5-6 a beam has a rectangular cross section and is subjected to the stress distribution shown in figure. Determine the internal moment M at the section caused by the stress distribution (a) using the flexure formula (b) by finding the the resultant of the stress distribution using basic principles.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-13







5-14 สปดาหท 12 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 12 ชวโมง หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และ

ภาชนะผนงบาง (pressure vessel) ชอบทเรยน 5.2. แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) เวลา 180 นาท จดประสงคการสอน 5.2. ค านวณแรงกระท าตามขวาง (transverse shear)

5.2.1. ค านวณคาแรงเฉอนในวสด (shear in straight member) 5.2.2. ค านวณความเคนเฉอน (The shear formula)

5-15 5.2 แรงกระท าตามขวาง (transverse shear)

5.2.1 คาแรงเฉอนในวสด (shear in straight member) ในบทกอนหนานคาความเคนเฉอนไดถกอธบายใหค านวณแลวมคาเทากนตลอดหนาตด ซงใน

ความเปนจรงแลวคาของความเคนเฉอนทเกดจากแรงเฉอนนนจะมคาไมสม าเสมอตลอดหนาตดของคาน ในบทนจงเนนการน าเสนอการวเคราะหความเคนในคาน โดยปกตแลวคานจะสามารถรบไดทงแรงเฉอนและโมเมนต ซงในบทนจะเนนทการวเคราะหความเคนทเกดจากแรงเฉอนเปนหลก คาความเคนทเกดทเกดขน

เนองจากแรงเฉอนจะมคาตามแนวยาวดงรปท 5-4

รปท 5-4 ความเคนเฉอนทเกดบนหนาตดของคาน (Hibberler, 2011)

5.2.2 ความเคนเฉอน (shear formula)

จากทไดกลาวมาขางตนแลววาความเคนเฉอนทเกดขนบนคานเมอมแรงหลายๆ แรงมากระท าจะ

มคาไมสม าเสมอตลอดหนาตดซงสามารถแสดงไดดงรปท 5-5 คาความเคนเฉอนบนคานสามารถค านวณได

จากสมการท (5-3)

5-16

รปท 5-5 คาความเคนเฉอนทเกดขนบนคานทมแรงหลายแรงมากระท า (Hibberler, 2011)

VQ

It (5-3)

โดยท คอ คาความเคนเฉอนทเกดบนคาน (N/m2) V คอ คาแรงเฉอน (N) I คอ คาโมเมนตความเฉอยของหนาตดของคานทสนใจจะพจารณา (m4) t คอ ความหนาของจดทสนใจจะวเคราะห (m)

Q y A โดยท A พนทเหนอและต ากวาระดบทพจารณาทความหนา t สวน y คอระยะจากแกนสะเทนถงจดเซนทรอยของพนท A

ตวอยางท 5-7 the solid shaft and tube are subjected to the shear force of 4 kN. Determine the shear stress acting over the diameter of each cross section

วธท า

4 kN

50 mm 50 mm

4 kN

20 mm

5-17

ต วอย า งท 5-8 determine the distribution of the shear stress over the cross section of the beam shown in figure.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-18

ตวอยางท 5-9 Beam shown is made from two boards. Determine the maximum shear stress in the glue necessary to hold the boards together along the seams where they are joined. Supports at B and C exert only vertical reactions on the beam.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-19







5-20 สปดาหท 13 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 12 ชวโมง หนวยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และ

ภาชนะผนงบาง (pressure vessel) ชอบทเรยน 5.3. ภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

5.4. ความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress caused by combined loading)


จดประสงคการสอน 5.3. ค านวณเกยวกบภาชนะผนงบาง (thin-walled pressure vessels)

5.3.1. ค านวณเกยวกบถงผนงบางรปทรงกระบอก (cylindrical vessels)

5.3.2. ค านวณเกยวกบผนงบางรปทรงกลม (spherical vessels) 5.4. ค านวณความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress

caused by combined loading) 5.4.1. ค านวณคาความเคนตงฉาก 5.4.2. ค านวณคาความเคนเฉอน 5.4.3. ค านวณคาความเคนทเกดจากภาระบด 5.4.4. ค านวณคาความเคนทเกดจากภาระดด

5-21 5.3 ภาชนะผนงบาง (thin-walled pressure vessels)

ส าหรบถงความดนทใชบรรจแกสหรอของเหลวภายใตความดนทสงกวาบรรยากาศนน ความดนของของไหลทกระท าตอผนงของถงจะท าใหผนงของถงรบภาระดง โดยเฉพาะกบถงทมความหนานอยจะเกดความเคนบนผนงของถงความดนน โดยถงจะมลกษณะเปนทรงกระบอกหรอทรงกลมกแลวแตจะมหลกการวเคราะหคลายๆ กน โดยเกณฑการพจารณาวาถงความดนใดเปนแบบผนงบางจะวเคราะหจากอตราสวนของ

รศมภายใน (r) ตอความหนา (t) ตองมคามากกวา 10 ดงสมการท (5-4) โดยสมมตใหความเคนตามแนวแกน ( longitudinal หรอ axial direction) และความเคนแนวเสนรอบวง (circumferential หรอ hoop direction) มคาสม าเสมอ

10r

t (5-4)

5.3.1 ภาชนะผนงบางรปทรงกระบอก (cylindrical vessels) ในการวเคราะหถงรปทรงกระบอกทมความหนา (t) มรศมภายใน (r) และถกกระท าดวยความ

ดน (p) ดงรปท 5-6 ความเคนตงฉากทเกดขนจะเกดขนได 2 คา คอตามแนวรศม ( 1 ) และตามแนวยาว

( 2 ) ดงรปท 5-7 ซงความเคนทง 2 คานสามารถค านวณไดดงสมการท (5-5) และ (5-6)

รปท 5-6 ถงผนงบางรปทรงกระบอก (Hibberler, 2011)

รปท 5-7 ความเคนทเกดขนบนถงผนงบางรปทรงกระบอก (Hibberler, 2011)

5-22

1

pr

t (5-5)

2 2

pr

t (5-6)

โดยท

1 คอ ความเคนตามแนวรศม (N/m2)

2 คอ ความเคนตามแนวยาว (N/m2) p คอ ความดน (N/m2) r คอ รศม (m) t คอ ความหนาของผนง (m)

5.3.2 ภาชนะผนงบางรปทรงกลม (spherical vessels)

ส าหรบคาความเคนทเกดบนผนงบางรปทรงกลมรศม r และความหนา t ดงแสดงในรปท 5-8

นนมเพยงคาความเคนเพยงคาเดยวเทานน ซงสามารถค านวณไดจากสมการท (5-7)

รปท 5-8 ความเคนทเกดบนถงผนงบางรปทรงกลม (Hibberler, 2011)

2 2

pr

t (5-7)

5-23

ตวอยางท 5-10 Cylindrical pressure vessel has an inner diameter of 1.2 m and thickness of 12 mm. Determine the maximum internal pressure it can sustain so that neither its circumferential nor its longitudinal stress component exceeds 140 MPa. Under the same conditions, what is the maximum internal pressure that a similar-size spherical vessel

วธท า

5-24

ตวอยางท 5-11 A spherical gas tank has an inner radius of r = 1.5 m. If it is subjected to an internal pressure of P = 300 kPa, Determine its required thickness if the maximum normal stress is not to exceed 12 MPa.

วธท า

5.4 ความเคนผสมเนองจากภาระหลายรปแบบ (state of stress caused by combined loading)

ในการพจาณาโครงสรางใดๆ กตามนนในความเปนจรงแลวสามารถแบงลกษณะของภาระทมากระท ากบโครงสรางไดเปน 4 แบบ ไดแก

1) ภาระผสมระหวางภาระแนวแกนกบภาระดด 2) ภาระผสมระหวางภาระแนวแกนกบภาระบด 3) ภาระผสมระหวางภาระบดกบภาระกระท าขวาง 4) ภาระผสมระหวางภาระแนวแกน ภาระบดและภาระดด

5-25

ภาระทไดกลาวมาทงหมดนนจะกอใหเกดความเคนผสม (combined stress) ภายในโครงสราง ดงนนในการวเคราะหความเคนทเกดขนจ าเปนตองมการแยกการวเคราะหออกเปนสวนๆ ตามลกษณะของภาระทกระท าตอโครงสรางหลงจากนนจงน าเอาคาความเคนตงฉาก และความเคนเฉอนมาสรปผล

ตวอยางท 5-12 the rectangular block of negligible weight in figure is subjected to a vertiacal force of 40 kN, which is applied to its corner. Determine the normal-stress distribution acting on a section through ABCD.

(Hibberler, 2011)

วธท า

5-26

ตวอยางท 5-13 The screw of the clamp exerts a compressive force of 500 N on the wood blocks. Determine the maximum normal stress developed along section a-a. The cross section there is rectangular, 0.75 cm by 0.50 cm.

วธท า

5-27







6-1

สปดาหท 14 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 6 ชวโมง หนวยท 6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) ชอบทเรยน 6.1. การแปลงคว าม เ ค น ร ะน าบ ( plane stress

transformation) และสมการทใชในการหาแปลงคาความเคน (general equations of plane-stress transformation)

เวลา 90 นาท เวลา 90 นาท

จดประสงคการสอน 6.1. ค านวณการแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation)

6.1.1. อ ธ บ า ย ก า ร แ ป ล ง ค ว า ม เ ค น ร ะ น า บ ( plane stress transformation)

6.1.2. ค านวณสมการท ใช ในการหาแปลงคาความเคน (general equations of plane-stress transformation)

6-2

หนวยท 6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation)

6.1 การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation) และสมการทใชในการหาแปลงคาความเคน (general equations of plane-stress transformation)

6.1.1 การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation) โดยปกตแลวความเคน ณ จดใดๆ กตามจะถกแบงตามลกษณะของทศทางไดเปน 6 ลกษณะ

ดวยกนดงรปท 6-1(a) ซงในบางปญหาทางวศวกรรมกไดมการลดรปของคาความเคนบางตวเพอปรบเปลยนใหการวเคราะหงายขน โดยวเคราะหในระนาบเดยว (single plane) ซงจะเรยกการวเคราะหระนาบแบบน

วา plane stress หรอคาความเคนทตงฉากกบระนาบทวเคราะหเทากบศนย ซงแสดงดงรปท 6-1(b)

รปท 6-1 สวนประกอบของความเคน ณ วตถใดๆ (Hibberler, 2011)

เมอมองในระนาบเดยวความเคนจะประกอบไปดวยความเคนตงฉาก 2 ทศทางไดแกทศทาง x ( x ) และ y ( y ) และความเคนเฉอน 1 คา ( xy ) และเมอสภาวะปกตมการเปลยนแปลงมมไปเทากบ

แลวจะท าใหคาความเคนของสภาวะนนเปน ,x y และ x y

ดงรปท 6-2 ซงในการหาคาความเคนในทศทางใหมนนสามารถหาไดจากการเขยนแผนผงวตถอสระ จากนนจงหาแรงทกระท าตอพนทนนๆ และค านวณนวนหาความเคนเฉอนและความเคนตงฉาก

รปท 6-2 สภาวะของความเคนบนวสด (Hibberler, 2011)

6-3

6.1.2 สมการท ใ ช ใ นการหาแปลงค า คว าม เค น (general equations of plane-stress transformation)

หลกการของการแปลงคาความเคนไปยงทศทางทตองการทราบนนจ าเปนตองค านงถงทศทางและเครองหมายกอนทจะใสลงไปในสมการค านวณ โดยความเคนตงฉากทเปนความเคนดงจะมเครองหมายเปนบวก (+) สวนความเคนอดจะมเครองหมายเปนลบ (-) คาความเคนเฉอนกเชนเดยวกนจะตองมการก าหนดทศทางทเปนบวก (+) และลบ (-) ใหชดเจนกอนการค านวณ ตวอยางของการก าหนด

ทศทางและเครองหมายสามารถแสดงไดดงรปท 6-3 คาความเคนตงฉากและความเคนเฉอนสามารถค านวณ

ไดจากสมการท (6-1) (6-2) และ (6-3)

รปท 6-3 การก าหนดเครองหมายของคาความเคนตงฉากและความเคนเฉอน (Hibberler, 2011)

รปท 6-4 ทศทางทเปนบวกของวสดทมการเปลยนแปลงความเคนแลว (Hibberler, 2011)

cos2 sin22 2x

x y x yxy

(6-1)

cos2 sin2

2 2y

x y x yxy

(6-2)

sin2 cos2

2x y

x yxy

(6-3)

6-4

ตวอยางท 6-1 determine missing data of below table. วธท า

No x y xy x’ y’ x’y’

1 5 4 12 13 10.21 -1.21 10.57

2 4 3 -3 14 2.53 4.47 -2.88

3 1 8 -1 32 2.07 6.93 2.71

4 17 2 -12 50 -3.62 22.62 -5.30

5 -6 -1 3 27 -2.54 -4.46 3.79

6 3 -3 10 42 10.26 -10.26 -1.94

7 2 -1 4 12 3.50 -2.50 3.04

ตวอยางท 6-2 the state of stress at a point is represented by the element shown. Determine

the state of stress at the pt on another element orientated 30 clockwise from the position shown.

(Hibberler, 2011)

วธท า

6-5 สปดาหท 15 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 6 ชวโมง หนวยท 6 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) ชอบทเรยน 6.2. ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal

stresses and maximum in-plane shear stress) 6.3. การว เคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร

(mohr’s circle-plane stress) 6.4. ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum

shear stress)

เวลา 60 นาท เวลา 60 นาท เวลา 60 นาท

จดประสงคการสอน 6.2. ค านวณความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses and

maximum in-plane shear stress) 6.2.1. ค านวณความเคนหลก (principal stress) 6.2.2. ค านวณความเคนเฉอนสงสด (maximum shear stress)

6.3. แกปญหาการวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-plane stress)

6.3.1. สรางวงกลมโมร 6.3.2. สาธตการหาคาความเคนหลกและความเคนเฉอนจากวงกลมโมร

6.4. เขาใจความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear stress) 6.4.1. อ ธ บ า ย ก ร ณ ท 1 แ ล ะ 2 เ ป น ค ว า ม เ ค น ด ง โ ด ย ท

1 2 0 6.4.2. อธบายกรณท 1 และ 2 เปนความเคนดง โดยท 1 0 และ

2 0

6-6 6.2 ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses and maximum in-plane shear stress)

6.2.1 ความเคนหลก (principal stress)

จากสมการท (6-1) (6-2) และ (6-3) นนแสดงใหเหนวาคา ,x y และ x y

นนเปลยนแปลงไปตามมม ในการออกแบบนน จะมงเนนหาสภาวะความเคนทจดใดจดหนงในเนอวสดมคาสงทสด ( max ) และต าทสด ( min ) ความเคนทงสองตวนเรยกวาความเคนหลก (principal stress) ซงมมท

บอกต าแหนงของระนาบความเคนหลก ( p ) สามารถค านวณไดจากสมการท (6-4) โดยมม p นนจะม 2

คาซงมความแตกตางกน 90 และคาความเคนหลกสามารถค านวณไดจากสมการท (6-5) ในสภาวะนคาความเคนเฉอนภายในเนอวสดจะมคาเทากบ 0

2tan2 xy

p

x y

(6-4)

22

1,2 max,min 2 2x y x y

xy

(6-5)

ตวอยางท 6-3 determine missing data of below table.

No x y xy p 1 2

1 5 4 12 43.81 16.51 -7.51

2 4 3 -3 -40.27 6.54 0.46

3 1 8 -1 7.97 8.14 0.86

4 17 2 -12 -29.00 23.65 -4.65

5 -6 -1 3 -25.10 0.41 -7.41

6 3 -3 10 36.65 10.44 -10.44

7 2 -1 4 34.72 4.77 -3.77

6.2.2 ความเคนเฉอนสงสด (maximum in-plane shear stress)

ทศทางทท าใหเนอวตถมคาความเคนเฉอนสงสดสามารถค านวณไดจากสมการท (6-6) และ

คาความเคนเฉอนสงสดสามารค านวณไดจากสมการท (6-7) ซงสภาวะทท าใหเกดความเคนเฉอนสงสดจะเกด

คาความเคนตงฉากเฉลย ( ave ) ดงสมการท (6-8)

6-7

tan22x y

sxy

(6-6)

22

max 2x y

xy

(6-7)

2x y

ave

(6-8)


No x y xy s max avg

1 5 4 12 -1.19 12.01 4.50

2 4 3 -3 4.73 3.04 3.50

3 1 8 -1 -37.03 3.64 4.50

4 17 2 -12 16.00 14.15 9.50

5 -6 -1 3 19.90 3.91 -3.50

6 3 -3 10 -8.35 10.44 0.00

7 2 -1 4 -10.28 4.27 0.50

6-8

ต วอย า งท 6-5 When torsional loading T=100 N.m is applied to bar, it produces a state of pure shear stress in the material. Determine (a) the maximum in-plane shear stress and associated average normal stress, and (b) the principal stress.

(Hibberler, 2011)

วธท า

6-9

ตวอยางท 6-6 the state of plane stress at a point on a body is represented on the element shown. Represent this stress state in terms of the maximum in-plane shear stress and associated average normal stress.

(Hibberler, 2011)

วธท า

6-10 6.3 การวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-plane stress)

การเขยนแผนภาพวงกลมเพอใชในการวเคราะหความเคนระนาบมชอเรยกวา วงกลมโมร (mohr’s circle) เปนการเขยนแผนภาพเพอใชในการค านวณหาความเคนตงฉากและความเคนเฉอนในทศทางตางๆ โดยไมจ าเปนตองใชสตรในการค านวณ แตจะใชวธการเขยนรปวงกลมบนแกน เพอแสดงถงความเคนตงฉากและความเคนเฉอนของวสด จากนนจงวเคราะหถงความเคนตงฉากและความเคนเฉอนในแตละทศทาง ซงมหลกการเขยนดงน

1) สรางแกนอางองโดยใหแกนนอนมคาเปนความเคนตงฉาก และแกนตงมคาเปนความเคนเฉอน

2) น าคาความเคนตงฉากและความเคนเฉอนภายในวตถมาก าหนดลงบนกราฟ โดยเรมจากก าหนดจดศนยกลาง C ซงมพกดอยบนแกน มคาเทากบ ave หรอ C( ave , 0)

3) ก าหนดจด A โดยใหจด A อยบนพกด A( ,x xy ) 4) ลากเสนตอระหวางจด C และจด A จากนนท าการวาดวงกลมเพอใชในการวเคราะห 5) จดทวงกลมตดแกน จะมคาเทากบ max และ min ตามล าดบ (B และ D) 6) มมทท าใหเกดคาความเคนตงฉากสงสดหรอความเคนหลก ( p ) สามารถค านวณหาไดจาก

การวดคามมทเสน AC กระท ากบแกน แลวหารดวย 2 7) มมทท าใหเกดคาความเคนเฉอนสงสด ( s ) สามารถค านวณหาไดจาก การวดคามมทเสน

AC กระท ากบแกน แลวหารดวย 2

รปท 6-5 ต าแหนงตางๆ ในแผนภาพวงกลมโมร (Hibberler, 2011)

6-11

ตวอยางท 6-7 the state of plane stress at a point on a body is represented on the element shown. Determine the in-plane principal stress and the maximum in-plane shear stress using Mohr’s circle.

(Hibberler, 2011)

วธท า

6-12 6.4 ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear stress)

หวขอทผานมาเปนการวเคราะหความเคนในระนาบความเฉอนหรอเปนแบบ 2 มต แตในหวขอนเปนการวเคราะหโดยอาศย หลกการความเคนเฉอนสงสดสมบรณ โดยคามเคนทเกดขนจะมคาความเคนสงสด (

max ) ความเคนกงกลาง ( int ) และความเคนต าสด ( min ) หรอทเรยกกนวา triaxial stress ซงแสดงดง

รปท 6-6 โดยเรมจากการพจาณาวตถเลกๆ ในระบบ 3 มต ทมความเคนหลกซงแสดงไดดงรปท 6-7 จะ

สามารถแบงการวเคราะหทงหมดเปน 3 ระนาบ ดงรปท 6-8 โดยแตละระนาบจะสามารถแทนไดดวยวงกลมโมรได 1 วง

รปท 6-6 triaxial stress (Hibberler, 2011)

รปท 6-7 x-y plane stress (Hibberler, 2011)

รปท 6-8 ความเคนหลก 2 มตในแตละระนาบ (Hibberler, 2011)

6-13

6.4.1 กรณท 1 และ 2 เปนความเคนดง โดยท 1 2 0 เมอน าเอาคาความเคนทวเคราะหไดมาเขยนวงกลมโมร จะไดวงกลมโมรทงหมด 3 วง ดงรป

ท 6-9

รปท 6-9 วงกลมโมรแสดงความเคนเฉอนสงสด 3 ระนาบในกรณของ 1 2 0 (Hibberler, 2011)

จากรปท 6-9 แสดงใหเหนวาความเคนเฉอนสงสดสมบรณอยในระนาบ x-z ซงสามารถ

ค านวณไดจากสมการท (6-9)

1max 2abs

(6-9)

6.4.2 กรณท 1 และ 2 เปนความเคนดง โดยท 1 0 และ 2 0

เมอน าเอาคาความเคนทวเคราะหไดมาเขยนวงกลมโมร จะไดวงกลมโมรทงหมด 3 วง ดงรป

ท 6-10

รปท 6-10 วงกลมโมรแสดงความเคนเฉอนสงสด 3 ระนาบในกรณของ 1 0 และ 2 0

(Hibberler, 2011)

6-14

จากรปท 6-10 แสดงใหเหนวาคาความเคนเฉอนสงสดอยบนระนาบ x-y ซงสามารถค านวณ

คาไดจากสมการท (6-10)

1 2max 2abs

(6-10)

ซงในบางกรณทท าการวเคราะหจรงแลวคาความเคนตงฉากในแกน z อาจจะมคาไมเทากบศนยกได ดงนนในกรณนจะตองเอาคาสงสดลบดวยคาต าสดจงจะไดค าตอบทถกตอง

6-15







7-1

สปดาหท 16 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 3 ชวโมง หนวยท 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns) ชอบทเรยน 7.1. สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต

7.2. เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง (ideal column with pin supports)

7.3. การวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports)

เวลา 60 นาท เวลา 60 นาท เวลา 60 นาท

จดประสงคการสอน 7. เขาใจการโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

7.1. ค านวณสตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.1.1. ค านวณแรงวกฤต (critical load) 7.1.2. ค านวณความเคนโกงเดาะวกฤต (critical stress)

7.2. ค านวณเสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง ( ideal column with pin supports)

7.2.1 ค านวณคาแรงวกฤต 7.2.2 ค านวณคาความเคนวกฤต

7.3. ค านวณการวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports)

7.3.1. ค านวณกรณเสาถกยดดวยสลกทงสองขาง (pinned ends) 7.3.2. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนและอกดานหนงยดแบบ

อสระ (fixed and free ends) 7.3.3. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนทงสองดาน (fixed ends) 7.3.4. ค านวณกรณเสาถกยดแบบตรงแนนและอกดานหนงยดแบบ

สลก (pinned and fixed ends)

7-2

หนวยท 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

7.1 สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.1.1 แรงวกฤต (critical load)

เมอเสาอยภายใตแรงกระท า (P) ตามแนวแกน แรงทท าใหเกดการโกงตวของดานขาง (buckling) ภายใตสมดลของเสาเรยกวาแรงวกฤต (critical load, Pcr) ซงการโกงตวของเสานนน าไปสการเสยหายของโครงสราง ดงนนจงจ าเปนตองมการออกแบบและก าหนดใหแรงทใชงานไมเกนแรงวกฤต ภาพ

การโกงตวของเสาเนองจากแรงวกฤตสามารถแสดงไดดงรปท 7-1

รปท 7-1 การโกงตวของเสา (Hibberler, 2011)

เมอก าหนดแรงวกฤตทมผลตอการเสยเสถยรภาพของเสาจะสามารถจ าแนกเสถยรภาพของเสาออกเปนกรณตางๆ ดงน

1) ถา P < Pcr กระท าตอเสา จะพบวาเมอปลดแรงออกแลวเสาจะกลบเขาสแนวตรงดงเดม เรยกสภาวะนวา สมดลเสถยร (stable equilibrium)

2) ถา P = Pcr กระท าตอเสา จะพบวาเมอปลดแรงออกแลวเสาจะพยายามกลบเขาสแนวตรงแตจะไมใชต าแหนงเดม เรยกสภาวะนวา สมดลสะเทน (neutral equilibrium)

3) ถา P > Pcr กระท าตอเสา จะพบวาเมอปลดแรงออกแลวเสาจะโกงตวถาวร หากมแรงแนวขวางเพยงเลกนอยมากระท าตอเสา จะท าใหเสาเกดความเสยหาย เรยกสภาวะนวา สมดลไมเสถยร (unstable equilibrium)

7.1.2 ความเคนโกงเดาะวกฤต (critical stress) ความเคนโกงเดาะวกฤตสามารถค านวณไดจากแรงวกฤตหารดวยพนทหนาตดของเสาทถก

พจารณา 7.2 เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง (ideal column with pin supports)

7-3

การวเคราะหในสวนนไดสมมตใหเสาเปนเสาในอดมคตคอมความตรง หนาตดเทากนตลอดทงตน ซงในทางทฤษฎนนเมอเสาถกกระท าดวยแรงตามแนวแกน P แรง P จะสามารถเพมขนจนกระทงเกดจดคราก เสาจงจะเกดความเสยหาย แตในความเปนจรงนนเสาจะมการโกงตวกอนทจะเสยหาย แรงทท าใหเสาในอดม

คตเกดการโกงงอสามารถค านวณไดจากสมการท (7-1)

2

2cr

EIP

L

(7-1)

โดยท

crP คอ แรงวกฤต (N) E คอ ยงมอดลส (Pa) I คอ คาโมเมนตความเฉอยทนอยทสดของหนาตดทพจารณา L คอ ความยาวของเสาทไมไดมการจบยด

ดงนนคาความเคนวกฤตทเกดขนบนเสาสามารถค านวณไดจากสมการท (7-2)

2

2/cr

E

L r

(7-2)

โดยท

cr คอ ความเคนวกฤต (Pa) r คอ รศมไจเรชนทนอยทสด (N)


No. E (GPa) I (x106 mm4) L (m) Pcr (MN)

1 69 1,290 5 35.14

2 120 985 6 32.41

3 70 875 10 6.05

4 287 764 12 15.03

5 3.2 410 7 0.26

7-4


No. E (GPa) r (m) L (m) cr (MPa)

1 69 0.34 12 546.69

2 120 0.10 9 146.22

3 70 0.30 10 621.79

4 76 0.22 8 567.26

5 3.2 0.20 7 25.78

ตวอยางท 7-3 a 7.2 m long A-36 steel tube having the x-section shown is to be used a pin-ended column. Determine the maximum allowable axial load the column can support so that it does not buckle.

(Hibberler, 2011)

วธท า

7-5 7.3 การวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports)

การวเคราะหการโกงตวของเสาทมจดยดในแบบตางๆ นน ไดวเคราะหอยบนพนฐานของสตรของออยเลอรซงเปนการวเคราะหในเสาทมตวรองรบแบบสลกยดทปลายทงสองขาง การน าสตรไปใชกบเสาทมจดรองรบแบบอนๆ จะตองใชความยาวยงผล (Le) รวมในการค านวณแทนความยาวจรง (L) ของเสา โดยสมการ

ทใชค านวณสามารถค านวณไดจากสมการท (7-3) โดยทคา K คอคาคงทของความยาวยงผลจะมคาเปลยนไป

ตามลกษณะของจดรองรบดงรปท 7-2 eL KL (7-3)

รปท 7-2 ความยาวยงผลส าหรบเสาทมตวรองรบแตกตางกน 4 แบบ (Hibberler, 2011)

สตรของออยเลอรทใชส าหรบวเคราะหหาแรงวกฤตและความเคนวกฤตสามารถค านวณไดจากสมการ

ท (7-4) และ (7-5)

2

2cr

EIP

KL

(7-4)

2

2/cr

E

KL r

(7-5)

7-6



1 69.00 1290.00 3.00 97.61

2 120.00 985.00 3.00 129.62

3 70.00 875.00 5.00 24.18

4 287.00 764.00 5.00 86.56

5 76.00 445.00 8.00 5.22

6 3.20 410.00 8.00 0.20



1 69.00 1290.00 3.00 24.40

2 120.00 985.00 3.00 32.41

3 70.00 875.00 5.00 6.05

4 287.00 764.00 5.00 21.64

5 76.00 445.00 8.00 1.30

6 3.20 410.00 8.00 0.05



1 69.00 1290.00 5.00 140.56

2 120.00 985.00 8.00 72.91

3 70.00 875.00 10.00 24.18

4 287.00 764.00 7.00 176.66

5 76.00 445.00 6.50 31.60

7-7



1 69.00 315.00 5.00 17.51

2 120.00 212.00 8.00 8.01

3 70.00 186.00 10.00 2.62

4 287.00 227.00 7.00 26.78

5 76.00 160.00 6.50 5.80

6 3.20 121.00 5.90 0.22

7-8







7-9 สปดาหท 17 ใบเตรยมการสอน รหสวชา 04-031-202 เวลา 150 นาท สอบปลายภาคเรยน หนวยท 4 ถง 7 ชอบทเรยน หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial Load) และการบด

(torsion) หน วยท 5 การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนงบาง (pressure vessel) ห น ว ย ท 6 ก า ร เ ป ล ย น ร ป ค ว า ม เ ค น ( stress transformation) หนวยท 7 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)


บทเรยนทสอบ หนวยท 4 ภาระในแนวแกน (axial load) และการบด (torsion)

4.2. การบด (torsion) หนวยท 5. การดด (bending) แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) และภาชนะผนง

บาง (pressure vessel) 5.1. การดด (bending) 5.2. แรงกระท าตามขวาง (transverse shear) 5.3. ภาชนะผนงบาง (pressure vessel)

หนวยท 6. การเปลยนรปความเคน (stress transformation) 6.1. การแปลงความเคนระนาบ (plane stress transformation) 6.2. สมการทใชในการหาแปลงคาความเคน (general equations of plane-stress

transformation) 6.3. ความเคนหลกและคาความเคนเฉอนสงสด (principal stresses and maximum in-

plane shear stress) 6.4. การวเคราะหความเคนระนาบดวยวงกลมโมร (mohr’s circle-plane stress) 6.5. ความเคนเฉอนสงสดสมบรณ (absolute maximum shear stress)

หนวยท 7. การโกงเดาะของเสา (bucking of columns) 7.1. สตรของออยเลอรส าหรบเสาในอดมคต 7.2. เสาในอดมคตทมจดรองรบแบบสลกทปลายทงสองขาง (ideal column with pin

supports) 7.3. การวเคราะหเสาทจดยดแบบตางๆ (columns having various types of supports)

บฝ-1

แบบฝกหดเสรม

แบบฝกหดเสรม 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร แบบฝกหดเสรม 1.1 Determine force of x and y axis.

ขอท R (N) (degree) xR (N) yR (N) 1 200 25 181.26 84.52 2 100 11 98.16 19.08 3 35 29 30.61 16.97 4 40 75 10.35 38.64 5 21 43 15.36 14.32 6 10 157 -9.21 3.91 7 300 97 -36.56 297.76 8 32 145 -26.21 18.35 9 45 238 -23.85 -38.16 10 60 320 45.96 -38.57

X

Y

บฝ-2

แบบฝกหดเสรม 1.2 Determine the resultant internal normal force acting on the cross section through point A in each column. In (a), segment BC weighs 180 lb/ft and segment CD weighs 250 lb/ft. In (b), the column has a mass of 200 kg/m.

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 2 ความเคน (stress) แบบฝกหดเสรม 2.1 The bars of the truss each have a cross-sectional area of 1.25

in2. Determine the average normal stress in each member due to the loading State whether the stress is tensile or compressive.

บฝ-3

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 3 ความเครยด (strain) แบบฝกหดเสรม 3.1 The rigid beam is supported by a pin at A and wires BD and CE.

If the load P on the beam causes the end C to be displaced 10 mm downward, determine the normal strain developed in wires CE and BD.

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 4 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials)

แบบฝกหดเสรม 4.1 A concrete cylinder having a diameter of 6.00 in. and gauge length of 12 in. is tested in compression. The results of the test are reported in the table as load versus contraction. Draw the stress–strain diagram using scales of 1 in

บฝ-4

and 1 in = 0.2x10-3 in./in. From the diagram, determine approximately the modulus of elasticity.

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 5 ภาระในแนวแกน (axial load) แบบฝกหดเสรม 5.1 A steel bar of cross section 500 mm2 is acted upon by the

forces shown in figure. Determine the total elongation of the bar. For steel, consider E = 200 GPa.

(Nash & Potter, 2011)

แบบฝกหดเสรม 6 การบด (torsion)

แบบฝกหดเสรม 6.1 A shaft is made of a steel alloy having an allowable shear stress

of allow = 12 ksi. If the diameter of the shaft is 1.5 in., determine the maximum torque T that can be transmitted. What would be the maximum torque if a 1-in.-diameter hole is bored through the shaft? Sketch the shear-stress distribution along a radial line in each case.

บฝ-5

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 7 การดด (bending)

แบบฝกหดเสรม 7.1 Draw the shear and moment diagrams for the shaft. The bearings at A and B exert only vertical reactions on the shaft.

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 8 แรงกระท าในแนวขวาง (Transverse Shear)

แบบฝกหดเสรม 8.1 If the wide-flange beam is subjected to a shear of determine the shear stress on the web at A. Indicate the shear-stress components on a volume element located at this point.

บฝ-6

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 9 ความเคนผสม (Combined Loading)

แบบฝกหดเสรม 9.1 The tank of the air compressor is subjected to an internal pressure of 90 psi. If the internal diameter of the tank is 22 in., and the wall thickness is 0.25 in., determine the stress components acting at point A. Draw a volume element of the material at this point, and show the results on the element.

(Hibberler, 2011)

บฝ-7

แบบฝกหดเสรม 10 การเปลยนรปความเคน (stress transformation) แบบฝกหดเสรม 10.1 Determine the equivalent state of stress on an element at the

same point which represents (a) the principal stress, and (b) the maximum in-plane shear stress and the associated average normal stress. Also, for each case, determine the corresponding orientation of the element with respect to the element shown. Sketch the results on each element.

(Hibberler, 2011)

แบบฝกหดเสรม 11 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

แบบฝกหดเสรม 11.1 An A-36 steel column has a length of 4 m and is pinned at both ends. If the cross sectional area has the dimensions shown, determine the critical load.

(Hibberler, 2011)

Cross section

4 m

ฉฝ-1

เฉลยแบบฝกหดเสรม

เฉลยแบบฝกหดเสรม 1 แนวคดเบองตนและการทบทวนสถตยศาสตร เฉลยแบบฝกหดเสรม 1.1

ขอท R (N) (degree) xR (N) yR (N) 1 200 25 181.26 84.52 2 100 11 98.16 19.08 3 35 29 30.61 16.97 4 40 75 10.35 38.64 5 21 43 15.36 14.32 6 10 157 -9.21 3.91 7 300 97 -36.56 297.76 8 32 145 -26.21 18.35 9 45 238 -23.85 -38.16 10 60 320 45.96 -38.57

เฉลยแบบฝกหดเสรม 1.2 (a) FA=13.8 kip (b) FA = 34.9 kN

เฉลยแบบฝกหดเสรม 2 ความเคน (stress)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 2.1

JointA: AB = 10.7 ksi (T), AE = 8.53 ksi (C)

JointE: ED = 8.53 ksi (C), EB = 4.80 ksi (T)

JointB: BC = 23.5 ksi (T), BD = 18.7 ksi (C) เฉลยแบบฝกหดเสรม 3 ความเครยด (strain)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 3.1 CE = 0.00250 mm/mm, BD = 0.00107 mm/mm เฉลยแบบฝกหดเสรม 4 คณสมบตทางกลของวสด (mechanical properties of materials)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 4.1 Eapprox = 3.275 x 103 ksi

ฉฝ-2 เฉลยแบบฝกหดเสรม 5 ภาระในแนวแกน (axial load)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 5.1 The total elongation is 0.00121 m or 1.21 mm เฉลยแบบฝกหดเสรม 6 การบด (torsion)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 6.1 T = 7.95 kip.in, T’=6.38 kip.in เฉลยแบบฝกหดเสรม 7 การดด (bending)


เฉลยแบบฝกหดเสรม 8 แรงกระท าในแนวขวาง (Transverse Shear)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 8.1 A = 2.56 MPa เฉลยแบบฝกหดเสรม 9 ความเคนผสม (Combined Loading)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 9.1 1 = 3.96 ksi, 2 = 1.98 ksi เฉลยแบบฝกหดเสรม 10 การเปลยนรปความเคน (stress transformation)


1 = 137 MPa, 2 = -86.8 MPa

p = 76.7

max = 112 MPa

ฉฝ-3

s = 31.7

avg = 25 MPa

เฉลยแบบฝกหดเสรม 11 การโกงเดาะของเสา (bucking of columns)

เฉลยแบบฝกหดเสรม 11.1 Pcr = 22.7 kN

cr = 20.66 MPa < y = 250 MPa O.K.

บน-1

บรรณานกรม

ชนตต รตนสมาวงศ. (ม.ป.ป.). เอกสารประกอบการสอนวชากลศาสตรวศวกรรม1. กรงเทพ, ไทย: จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรของวสด mechanics of material. กรงเทพฯ, ไทย: บรษท วทยพฒน จ ากด.

สทธชย แสงอาทตย. (2546). เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตรวศวกรรม (Engineering Statics). นครราชสมา, ไทย: มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร

Beer, F., Johnston, Jr., E., Dewolf, J., & Mazurek, D. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). New York, United Stated of America: McGraw-Hill Companies, Inc.

Creep deformation. (2014, December 30). (Wikipedia) Retrieved December 31, 2014, from http://en.wikipedia.org/wiki/Creep_(deformation)

Creep Experiment. (n.d.). (Michigan Tech) Retrieved December 22, 2014, from Michigan Tech: http://www.mtu.edu/materials/k12/experiments/creep/

Hibberler, R. (2011). Mechanics of Materials (8th ed.). United States of America: Pearson Prentice Hall.

Nash, W., & Potter, M. (2011). Strength of Materials (5th ed.). United States of America: McGraw-Hill.

ภผ-1

ภาพผนวก

ตารางภาคผนวกท 1 คาคงทในการแปลงหนวย

Quantity Symbol SI Units English Units To Convert from English to

SI units Multiply by

Length L m ft 0.30480 Mass m kg lbm 0.45360 Time t s sec 1.00000 Area A m2 ft2 0.09290 Volume V m3 ft3 0.02832 Velocity V m/s ft/sec 0.30480 Acceleration a m/s2 ft/sec2 0.30480 Angular velocity rad/s rad/sec 1.00000 rad/s rpm 9.55000 Force, Weight F, W N lbf 4.44800 Density kg/m3 lbm/ft3 16.02000 Specific weight N/m3 lbf/ft3 157.10000 Pressure, stress P kPa psi 6.89500 Work, Energy W, E, U J ft-lbf 1.35600 Power W W ft-lbf/sec 1.35600 W hp 746.00000

ภผ-2 ตารางภาคผนวกท 2 ค าอปสรรค

Multiplication Factor Prefix Symbol 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 10–2 centi* c 10–3 mili m 10–6 micro μ 10–9 nano n 10–12 pico p

*Discouraged except in cm, cm2, cm3, or cm4.

ภผ-3 ตารางภาคผนวกท 3 จดเซนทรอยดและโมเมนตความเฉอยของพนทและเสน

04-031-202ame.ea-rmuti.net/wp-content/uploads/2015/09...เอกสารประกอบการสอน...

Documents