1. introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012cursappannum02.pdf · 4 fie datele obţinute prin metode...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Interpolare polinomială
1. Introducere Exemple: (Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 104–105, ISBN 0534392008.)
![Page 2: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Care a fost populaţia în 1996, care va fi populaţia în 2000?
![Page 3: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/3.jpg)
3
(Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3rd ed, ISBN-13:978-0-07-340110-2 , pag 336)
Variaţia densităţii aerului
![Page 4: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă
t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40 C(t) 24,5 10,30 8,50 7,8 7,70 7,45 7,30 7,25
Reprezentarea grafică a datelor din acest tablou este
Evoluţia concentraţiei )(tC (mg/L) în funcţie de timpul t.
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50
t (min)
C(t)
![Page 5: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Noţiunea de interpolare s-a introdus pentru nevoia de găsi o estimare a unei funcţii f într-un punct x pentru care experimantal nu s-a putut realiza. Grafic se poate da o estimare dar aceasta poate conţine erori semnificative. Interpolare liniară Interpolarea liniară presupune că variaţia dintre două puncte experimentale este de natură liniară. Fie funcţia f măsurată experimental în două puncte a şi a+h cu pasul h foarte mic, fie haxa +<< . Atunci valoarea f(x) se poate aproxima prin
h
afhafaxafxf )()()()()( −+−+≈ (7.5)
Din definiţia derivatei unei funcţii într-un punct putem scrie
hafhafaf )()()(' −+
≈
Prin urmare putem scrie )(')()()( xfaxafxf −+≈
![Page 6: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Exemplu: Considerând datele experimentale prezentate în exemplul 1 estimaţi C(7) prin formula interpolării liniare. Soluţie: Pentru a estima valoarea t = 7 sau 8 e necesar sa cunoaştem valoarea concentraţiei în două puncte a şi a+h cu hata +<<
Avem 1075 << , prin urmare 5=a si 5=h
LmgCCCC /58,95
30,105,8230,105
)5()10()57()5()7( =−
+=−
−+≈
Avem 1085 << , prin urmare 5=a si 5=h
LmgCCCC /22,95
30,105,8330,105
)5()10()58()5()7( =−
+=−
−+≈
haChaCataCtC )()()()()( −+
−+≈
![Page 7: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Interpolare parabolică Interpolarea parabolică presupune că variaţia între trei puncte experimentale este de tip parabolic. O funcţie f dată experimental în trei puncte a-h, a şi a+h cu pasul h foarte mic. Fie
haxha +<<− , atunci f (x) este dată de
2
2 )()(2)(2
)(2
)()()()()(h
hafafhafaxh
hafhafaxafxf −+−+−+
−−+−+≈
(7.6)
Exemplu: Considerând datele experimentale prezentate în exemplul 1 estimaţi C(7) prin formula interpolării parabolice. Soluţie: Este necesar de a cunoaşte valorile experimentale ale funcţiei C în trei puncte învecinate lui t = 7, pentru care hatha +<<− , adică )( haC − , )(aC şi
)( haC − . Luăm a = 10 şi h = 5 atunci
![Page 8: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/8.jpg)
8
25)5()10(2)15(
2)107(
10)5()15()107()10()7(
2 CCCCCCC +−−+
−−+≈
LmgC /45,925
3,10)5,8(28,72)3(
103,108,735,8)7(
2≈
+−−+
−−≈
25)5()10(2)15(
2)108(
10)5()15()108()10()8(
2 CCCCCCC +−−+−−+≈
LmgC /088,925
3,10)5,8(28,72
)2(10
3,108,725,8)8(2
≈+−−+−−≈
![Page 9: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Interpolare liniară şi parabolică
![Page 10: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/10.jpg)
10
În general când se dau un număr de puncte şi n informaţii referitoare la aceste puncte (valori ale unei funcţii, şi/sau valori ale derivatelor funcţiilor în punctele respective) putem construi un polinom de grad n-1 numit polinom de interpolare ce va trece prin acele puncte. Exemplu: Fie punctele x1 şi x2 şi valorile cunoscute f(x1), f’(x1) şi f(x2). Atunci putem construi polinomul P(x) de grad 2 ce trece prin punctele x1 şi x2 rezolvând sistemul cu necunoscutele a,b,c:
P(x1) = a x12 +b x1+c = f(x1)
P’(x1) =2 a x1+b = f’(x1) P(x2) = a x2
2 +b x2+c = f(x2)
![Page 11: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/11.jpg)
11
2. Interpolare Lagrange (R. Trîmbiţaş, 2005, Analiza numerica. O introducere bazata pe MATLAB, Presa Universitară Clujeană)
![Page 12: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/12.jpg)
12
![Page 13: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/13.jpg)
13
![Page 14: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/14.jpg)
14
![Page 15: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Exemplu (Ward Cheney, David Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition, 2008)
![Page 16: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/16.jpg)
16
![Page 17: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/17.jpg)
17
![Page 18: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/18.jpg)
18
3. Interpolare Hermite (R. Trîmbiţaş, 2005, Analiza numerica. O introducere bazata pe MATLAB, Presa Universitară Clujeană)
![Page 19: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/19.jpg)
19
![Page 20: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/20.jpg)
20
![Page 21: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/21.jpg)
21
![Page 22: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Derivând şi aplicând formula lui Leibniz se obţine:
iar în final avem:
![Page 23: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/23.jpg)
23
(Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 104–105, ISBN 0534392008.)
![Page 24: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Exemplu: Aflaţi f(1.5) folosind interpolarea Hermite:
![Page 25: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/26.jpg)
26
3. Erorile polinoamelor de interpolare
![Page 27: 1. Introduceremath.ubbcluj.ro/~tgrosan/2012CursAppAnNum02.pdf · 4 Fie datele obţinute prin metode experimentale date în tabelul de corespondenţă t (min) 1 5 10 15 17 20 30 40](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041522/5e2edce3064176441336308b/html5/thumbnails/27.jpg)
27