15 vector analysis - universidad del norte,...

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15 Vector Analysis

In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagneticfields, and gravitational fields.

NASA

In this chapter, you will study vectorfields, line integrals, and surface integrals.You will learn to use these to determinereal-life quantities such as surface area,mass, flux, work, and energy.

In this chapter, you should learn the following.

� How to sketch a vector field, determinewhether a vector field is conservative,find a potential function, find curl, andfind divergence. (15.1)

� How to find a piecewise smooth parametrization, write and evaluate aline integral, and use Green’s Theorem.(15.2, 15.4)

� How to use the Fundamental Theorem of Line Integrals, independence of path,and conservation of energy. (15.3)

� How to sketch a parametric surface,find a set of parametric equations to represent a surface, find a normal vector,find a tangent plane, and find the area of a parametric surface. (15.5)

� How to evaluate a surface integral,determine the orientation of a surface,evaluate a flux integral, and use theDivergence Theorem. (15.6, 15.7)

� How to use Stokes’s Theorem to evaluate a line integral or a surface integral andhow to use curl to analyze the motion of a rotating liquid. (15.8)

While on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to a basket and slide wire system that is designed to move them as far away from theshuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by the gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixedpoints? (See Section 15.3, Exercise 39.)

�

�

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15 Análisis vectorialEn este capítulo se estudiarán los camposvectoriales, integrales de línea e integralesde superficie. Se aprenderá a usarlos paradeterminar cantidades en la vida real, comoel área de una superficie, masa, flujo, traba-jo y energía.En este capítulo, se aprenderá:

n Cómo dibujar un campo vectorial, deter-minar si es conservativo, encontrar unafunción de potencial, el rotacional y ladivergencia. (15.1)

n Cómo encontrar una parametrizacióncontinua por secciones, escribir y evaluaruna integral de línea y utilizar el teoremade Green. (15.2, 15.4)

n Cómo usar el teorema fundamental delas integrales de línea, la independenciade la trayectoria y la conservación deenergía. (15.3)

n Cómo dibujar una superficie paramétrica,encontrar un conjunto de ecuacionesparamétricas para representar una super-ficie, determinar un vector normal, unplano tangente y el área de una superficieparamétrica. (15.5)

n Cómo evaluar una integral de superficie,determinar la orientación de una superfi-cie, evaluar una integral de flujo y usarel teorema de la divergencia. (15.6, 15.7)

n Cómo utilizar el teorema de Stokes paraevaluar una integral de línea o superficiey cómo usar el rotacional para analizar elmovimiento de un líquido que gira. (15.8)

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15 Vector Analysis


NASA










�

�

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Mientras esperan el despegue en tierra, los astronautas del transbordador espacialtienen acceso a un sistema alámbrico de canasta y tobogán diseñado para transportar-los lo más lejos posible del transbordador en una situación de emergencia. ¿La cantidadde trabajo realizado por el campo de fuerza gravitacional varía para diferentes trayecto-rias entre dos puntos fijos del tobogán alámbrico? (Ver la sección 15.3, ejercicio 39.)

En el capítulo 15 se combinará el conocimiento de vectores con el del cálculo integral. La sección 15.1 introducecampos vectoriales, como los que se muestran arriba. Ejemplos de campos vectoriales incluyen campos de veloci-dad, campos electromagnéticos y campos gravitacionales.

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1058 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial

15.1 Campos vectoriales

n Comprender el concepto de un campo vectorial.n Determinar si un campo vectorial es conservativo.n Calcular el rotacional de un campo vectorial.n Calcular la divergencia de un campo vectorial.

Campos vectoriales

En el capítulo 12 se estudiaron funciones vectoriales que asignan un vector a un númeroreal. Se comprobó que las funciones vectoriales de números reales son útiles para repre-sentar curvas y movimientos a lo largo de una curva. En este capítulo se estudiarán otrosdos tipos de funciones vectoriales que asignan un vector a un punto en el plano o a unpunto en el espacio. Tales funciones se llaman campos vectoriales (campos de vecto-res), y son útiles para representar varios tipos de campos de fuerza y campos de veloci-dades.

Aunque un campo vectorial está constituido por infinitos vectores, se puede obtener unaidea aproximada de su estructura dibujando varios vectores representativos F(x, y), cuyos puntos ini-ciales son (x, y). n

El gradiente es un ejemplo de un campo vectorial. Por ejemplo, si

entonces el gradiente de

Campo vectorial en el plano.

es un campo vectorial en el plano. Del capítulo 13, la interpretación gráfica de este cam-po es una familia de vectores cada uno de los cuales apunta en la dirección de máximocrecimiento a lo largo de la superficie dada por

De manera similar, si

entonces el gradiente de

Campo vectorial en el espacio.

es un campo vectorial en el espacio. Notar que las funciones componentes para este campovectorial particular son 2x, 2y y 2z.

Un campo vectorial

es continuo en un punto si y sólo si cada una de sus funciones componentes M, N y P escontinua en ese punto.

5 2x i 1 2yj 1 2zk

=fsx, y, zd 5 fxsx, y, zdi 1 fysx, y, zdj 1 fzsx, y, zdk

f

fsx, y, zd 5 x2 1 y2 1 z2

z 5 fsx, yd.

f

NOTA

DEFINICIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial sobre una región plana R es una función F que asigna unvector F(x, y) a cada punto en R.

Un campo vectorial sobre una región sólida Q en el espacio es una función F queasigna un vector F(x, y, z) a cada punto en Q.

� Understand the concept of a vector field.� Determine whether a vector field is conservative.� Find the curl of a vector field.� Find the divergence of a vector field.

Vector FieldsIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign a vector toa real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are usefulin representing curves and motion along a curve. In this chapter, you will study twoother types of vector-valued functions—functions that assign a vector to a point in theplane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are usefulin representing various types of force fields and velocity fields.

The gradient is one example of a vector field. For example, if

then the gradient of

Vector field in the plane

is a vector field in the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation of this fieldis a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increasealong the surface given by

Similarly, if


Vector field in space

is a vector field in space. Note that the component functions for this particular vectorfield are and

A vector field

is continuous at a point if and only if each of its component functions and iscontinuous at that point.

PN,M,

F�x, y, z� � M�x, y, z�i � N�x, y, z�j � P�x, y, z�k

2z.2x, 2y,

� 2x i � 2yj � 2zk

�f�x, y, z� � fx�x, y, z�i � fy�x, y, z�j � fz�x, y, z�k

f

f�x, y, z� � x2 � y2 � z2

z � f�x, y�.

� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j

�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j

f

f�x, y� � x2y � 3xy3

1058 Chapter 15 Vector Analysis

15.1 Vector Fields

DEFINITION OF VECTOR FIELD

A vector field over a plane region is a function that assigns a vectorto each point in

A vector field over a solid region in space is a function that assigns avector to each point in Q.F�x, y, z�

FQ

R.F�x, y�FR

NOTE Although a vector field consists of infinitely many vectors, you can get a good idea ofwhat the vector field looks like by sketching several representative vectors whose initialpoints are ��x, y�.

F�x, y�

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Similarly, if




A vector field


PN,M,


2z.2x, 2y,

� 2x i � 2yj � 2zk


f

f�x, y, z� � x2 � y2 � z2

z � f�x, y�.

� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j


f

f �x, y� � x2y � 3xy3


15.1 Vector Fields




FQ

R.F�x, y�FR


F�x, y�

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Similarly, if




A vector field


PN,M,


2z.2x, 2y,

� 2x i � 2yj � 2zk


f

f�x, y, z� � x2 � y2 � z2

z � f�x, y�.

� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j


f

f�x, y� � x2y � 3xy3


15.1 Vector Fields




FQ

R.F�x, y�FR


F�x, y�

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SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1059

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de veloci-dades, los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.

1. Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en elplano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo vectorial determi-nado por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la locali-zación de sus puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es suvelocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos através de un recipiente o por el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil,como se muestra en la figura 15.2.

2. Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que estableceque la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m1 localizada en (x, y, z)por una partícula de masa m2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origena (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene laspropiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud deF(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorialcon estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vectorposición

para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como

3. Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece quela fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q1 localizada en (x, y, z) por unapartícula con carga eléctrica q2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

donde y c es una constante que depende de la elecciónde unidades para y

Nótese que un campo de fuerzas eléctricas tiene la misma forma que un campo gravi-tatorio. Es decir,

Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrático inverso.

Fsx, y, zd 5k

ir i2 u.

q2.ir i, q1,u 5 ryir i,r 5 x i 1 yj 1 zk,

Fsx, y, zd 5cq1q2

ir i2 u

52Gm1m2

ir i2 u.

Fsx, y, zd 52Gm1m2

ir i2 1 riri2

r 5 x i 1 yj 1 zk

Fsx, y, zd 52Gm1m2

x2 1 y2 1 z2 u

Campo de velocidades

Rueda rotanteFigura 15.1

Campo vectorial de flujo del aireFigura 15.2

x

y

m1 se localiza en (x, y, z).m2 se localiza en (0, 0, 0).

(x, y, z)

z

Campo de fuerzas gravitatorioFigura 15.3

DEFINICIÓN DE CAMPO CUADRÁTICO INVERSO

Sea un vector posición. El campo vectorial F es uncampo cuadrático inverso si

donde k es un número real y es un vector unitario en la dirección de r.u 5 ryir i

Fsx, y, zd 5k

ir i2 u

rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk

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Como los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, no es posi-ble hacer un dibujo de todo el campo completo. En lugar de esto, cuando se esboza uncampo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizarel campo.

EJEMPLO 1 Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por

Solución Se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo,es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvasde nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentranen círculos.

Vectores de longitud c.

Ecuación del círculo.

Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en la cir-cunferencia resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en la circunfe-rencia unitaria.

Punto Vector

En la figura 15.4 se muestran éstos y algunos otros vectores del campo vectorial. Nóteseen la figura que este campo vectorial es parecido al dado por la rueda giratoria mostrada enla figura 15.1.

EJEMPLO 2 Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por

Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual longitud están sobre las elipsesdadas por

lo cual implica que

Para dibujar varios vectores de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por

Para dibujar varios vectores de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por

Estos vectores se muestran en la figura 15.5.

4x2 1 y2 5 4.

2x i 1 yjc 5 2,

4x2 1 y2 5 1.

2x i 1 yjc 5 1,

4x2 1 y2 5 c2.

iF i 5 !s2xd2 1 s yd2 5 c

Fsx, yd 5 2xi 1 yj.

Fs0, 21d 5 is0, 21d

Fs21, 0d 5 2js21, 0d

Fs0, 1d 5 2is0, 1d

Fs1, 0d 5 js1, 0d

x2 1 y2 5 c2

!x2 1 y2 5 c

iF i 5 c

Fsx, yd 5 2yi 1 xj.

3

31

2

1

x

F(x, y) = −yi + xjCampo vectorial:

y

Figura 15.4

Campo vectorial:F(x, y) = 2xi + yj

x2−2 3−3−4

−4

4

c = 2c = 1

y

−3

3

Figura 15.5

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EJEMPLO 3 Esbozo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por

donde

Solución Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de untubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos alborde del tubo. Por ejemplo, en el punto (0, 0, 0), el vector velocidad es v(0, 0, 0) =16k, considerando que en el punto (0, 3, 0), el vector velocidad es v(0, 3, 0) = 7k. Lafigura 15.6 muestra éstos y varios otros vectores para el campo de velocidades. De lafigura, se observa que la velocidad del fluido es mayor en la zona central que en losbordes del tubo.

Campos vectoriales conservativos

En la figura 15.5 todos los vectores parecen ser normales a la curva de nivel de la queemergen. Porque ésta es una propiedad de los gradientes, es natural preguntar si el campovectorial dado por es el gradiente de alguna función diferenciable ƒ.La respuesta es que algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales con-servativos, pueden representarse como los gradientes de funciones diferenciables, mien-tras que algunos otros no pueden.

EJEMPLO 4 Campos vectoriales conservativos

a) El campo vectorial dado por es conservativo. Para comprobarlo,

considerar la función potencial Como

se sigue que F es conservativo.

b) Todo campo cuadrático inverso es conservativo. Para comprobarlo, sea

y

donde Como

se deduce que F es conservativo.

5k

ir i2 u

5k

ir i2 r

ir i

5k

x2 1 y2 1 z2 1 x i 1 yj 1 zk!x2 1 y2 1 z22

=f 5kx

sx2 1 y2 1 z2d3y2 i 1ky

sx2 1 y2 1 z2d3y2 j 1kz

sx2 1 y2 1 z2d3y2 k

u 5 ryir i.

fsx, y, zd 52k

!x2 1 y2 1 z2Fsx, y, zd 5

kir i2 u

=f 5 2x i 1 yj 5 F

fsx, yd 5 x2 112 y2.

Fsx, yd 5 2x i 1 yj

Fsx, yd 5 2x i 1 yj

x2 1 y2 ≤ 16.

vsx, y, zd 5 s16 2 x2 2 y2dk

x

y

Campo de velocidades:v(x, y, z) = (16 − x2 − y2)k

44

16

z

Figura 15.6

DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS

Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable ƒtal que La función ƒ se llama función potencial para F.F 5 =f.

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Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, inclu-yendo campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la ter-minología introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conser-vativo” se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley estableceque la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve enun campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es laenergía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posiciónen el campo de fuerzas.)

El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que uncampo vectorial en el plano sea conservativo.

Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conser-vativo, suponer que existe una función potencial ƒ tal que

Entonces se tiene

y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas y se puede concluir que para todo en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la

sección 15.4.

El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es sim-plemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figu-ra 15.26 en la sección 15.4. n

EJEMPLO 5 Prueba de campos vectoriales conservativos en el plano

Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo.

a) b)

Solución

a) El campo vectorial dado por no es conservativo porque

y

b) El campo vectorial dado por es conservativo porque

yNx

5

xf yg 5 0.

My

5

yf2xg 5 0

Fsx, yd 5 2x i 1 yj

Nx

5

xfxyg 5 y.

My

5

yfx2yg 5 x2

Fsx, yd 5 x2yi 1 xyj

Fsx, yd 5 2xi 1 yjFsx, yd 5 x2yi 1 xyj

NOTA

sx, ydNyx 5 Myyfyx,fxy

fyxsx, yd 5Nx

fysx, yd 5 N

fxysx, yd 5My

fxsx, yd 5 M

Fsx, yd 5 =fsx, yd 5 Mi 1 Nj.

DEMOSTRACIÓN

TEOREMA 15.1 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO

Sea y dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un discoabierto El campo vectorial dado por es conservativo si ysólo si

Nx

5My

.

Fsx, yd 5 Mi 1 NjR.NM

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El teorema 15.1 permite decidir si un campo vectorial es o no conservativo. Pero nodice cómo encontrar una función potencial de F. El problema es comparable al de la inte-gración indefinida. A veces se puede encontrar una función potencial por simple inspec-ción. Así, en el ejemplo 4 se observa que

tiene la propiedad de que

EJEMPLO 6 Calcular una función potencial para

Hallar una función potencial para

Solución Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo porque

y

Si ƒ es una función cuyo gradiente es igual a F(x, y), entonces

lo cual implica que

y

Para reconstruir la función ƒ de estas dos derivadas parciales, se integra con respec-to a y con respecto a y, como sigue.

Nótese que g(y) es constante con respecto a x y h(x) es constante con respecto a y. Parahallar una sola expresión que represente ƒ(x, y), sea

y

Entonces, se puede escribir

Este resultado se puede verificar formando el gradiente de ƒ. Usted podrá que es igual a la función original F.

La solución en el ejemplo 6 es comparable a la dada por una integral indefinida. Es decir,la solución representa a una familia de funciones potenciales, dos de las cuales difieren por una cons-tante. Para hallar una solución única, se tendría que fijar una condición inicial que deba satisfacer lafunción potencial. n

NOTA

5 x2y 2y2

21 K.

fsx, yd 5 x2y 1 gsyd 1 K

hsxd 5 K.gsyd 5 2y2

2

fsx, yd 5 E fysx, yd dy 5 E sx2 2 yd dy 5 x2y 2y2

21 hsxd

fsx, yd 5 E fxsx, yd dx 5 E 2xy dx 5 x2y 1 gsyd

fysx, ydxfxsx, yd

fysx, yd 5 x2 2 y.

fxsx, yd 5 2xy

=fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj

xfx2 2 yg 5 2x.

yf2xyg 5 2x

Fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj.

Fxx, yc

=fsx, yd 5 2x i 1 yj.

fsx, yd 5 x2 112

y2

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Rotacional de un campo vectorial

El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de estable-cer ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio.

Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional. n

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gra-diente como el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función Eneste contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnicapara recordar la fórmula para el rotacional.

EJEMPLO 7 Cálculo del rotacional de un campo vectorial

Hallar rot F para el campo vectorial dado por

¿Es F irrotacional?

Solución El rotacional de F está dado por

Como rot F = 0, F es irrotacional.

5 0.

5 s2z 2 2zdi 2 s0 2 0dj 1 s2x 2 2xdk

5 | y

x2 1 z2

z

2yz|i 2 | x

2xy

z

2yz|j 1 | x

2xy

y

x2 1 z2|k 5 | i

x

2xy

j

y

x2 1 z2

k

z

2yz|curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd

Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk.

5 1Py

2Nz 2i 2 1P

x2

Mz 2j 1 1N

x2

My 2k

5 | i

x

M

j

y

N

k

z

P | curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd

f.==f

NOTA

DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de es

5 1Py

2Nz 2i 2 1P

x2

Mz 2j 1 1N

x2

My 2k.

curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk

rot F

rot F

rot F

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Más adelante, en este capítulo, se asignará una interpretación física al rotacional de uncampo vectorial. Pero por ahora, el uso primario del rotacional se muestra en la siguienteprueba para campos vectoriales conservativos en el espacio. El criterio establece que paraun campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abier-ta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y sólo si F es conservativo. Lademostración es similar a la dada para el teorema 15.1.

Del teorema 15.2 se puede ver que el campo vectorial del ejemplo 7 es conservativo,ya que rot F(x, y, z) = 0. Comprobar que el campo vectorial

no es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es

Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto,conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo uti-lizado en el plano (como se demostró en el ejemplo 6).

EJEMPLO 8 Calcular una función potencial para

Hallar una función potencial para

Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si ƒes una función tal que entonces

y

e integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene

Comparando estas tres versiones de concluir que

y

Por tanto, resulta ser

fsx, y, zd 5 x2y 1 yz2 1 K.

fsx, y, zd

ksx, yd 5 x2y 1 K.hsx, zd 5 K,gs y, zd 5 yz2 1 K,

fsx, y, zd,

fsx, y, zd 5 E P dz 5 E 2yz dz 5 yz2 1 ksx, yd.

fsx, y, zd 5 E N dy 5 E sx2 1 z2d dy 5 x2y 1 yz2 1 hsx, zd

fsx, y, zd 5 E M dx 5 E 2xy dx 5 x2y 1 gs y, zd

fzsx, y, zd 5 2yzfysx, y, zd 5 x2 1 z2,fxsx, y, zd 5 2xy,

Fsx, y, zd 5 =fsx, y, zd,

Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk.

Fxx, y, zc

curl Fsx, y, zd 5 sx3y2 2 2xydj 1 s2xz 2 2x3yzdk Þ 0.

Fsx, y, zd 5 x3y2z i 1 x2zj 1 x2yk

Los ejemplos 6 y 8 son lasilustraciones de un tipo de problemas llamados reconstrucción de una fun-ción a partir de su gradiente. Si sedecide tomar un curso en ecuacionesdiferenciales, se estudiarán otros méto-dos para resolver este tipo de proble-mas. Un método popular da una inter-acción entre las “integraciones par-ciales” sucesivas y derivaciones par-ciales. n

NOTA

TEOREMA 15.2 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO

Suponer que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esferaabierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por esconservativo si y sólo si

rot F(x, y, z) 5 0.

Es decir, F es conservativo si y sólo si

yNx

5My

.Px

5Mz

,Py

5Nz

,


rot F

El teorema 15.2 es válidopara dominios simplemente conectadosen el espacio. Un dominio simplementeconexo en el espacio es un dominio Dpara el cual cada curva simple cerradaen D (ver la sección 15.4) se puedereducir a un punto en D sin salirsede D. n

NOTA

Larson-15-01.qxd 3/12/09 19:45 Page 1065


Divergencia de un campo vectorial

Se ha visto que el rotacional de un campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otrafunción importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una funciónescalar.

La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar como un operador diferencial, como sigue.

EJEMPLO 9 Divergencia de un campo vectorial

Hallar la divergencia en para el campo vectorial

Solución La divergencia de F es

En el punto la divergencia es

Hay muchas propiedades importantes de la divergencia y el rotacional de un campovectorial F (ver ejercicios 83 a 89). Se establece una de uso muy frecuente en el teorema15.3. En el ejercicio 90 se pide demostrar este teorema.

s2, 1, 21d,

div Fsx, y, zd 5

xfx3y2zg 1

yfx2zg 1

zfx2yg 5 3x2y2z.

Fsx, y, zd 5 x3y2zi 1 x2zj 1 x2yk.

s2, 1, 21d

5Mx

1Ny

1Pz

= ? Fsx, y, zd 5 31

x2i 1 1

y2j 1 1

z2k4 ? sM i 1 N j 1 Pkd

=

La divergencia puede versecomo un tipo de derivadas de F ya que,para campos de velocidades de partícu-las, mide el ritmo de flujo de partículaspor unidad de volumen en un punto.En hidrodinámica (el estudio delmovimiento de fluidos), un campo develocidades de divergencia nula sellama incompresible. En el estudio deelectricidad y magnetismo, un campovectorial de divergencia nula se llamael solenoidal. n

NOTA

DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

La divergencia de es

Plano.

La divergencia de es

Espacio.

Si entonces se dice que F es de divergencia nula.div F 5 0,

div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5Mx

1Ny

1Pz

.


div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5Mx

1Ny

.

Fsx, yd 5 Mi 1 Nj

TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Si es un campo vectorial y M, N y P tienen segundasderivadas parciales continuas, entonces

div (rot F) 5 0.


In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.

31. 32.

33. 34.

In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.

35.

36.

37.

38.

In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47.

48.

In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.

49.

50.

51.

52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k

0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj

2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk

2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk

Punto Campo vectorial

F x, y2xi 2yjx2 y 2 2

F x, y ex cos yi sen yj

F x, yxi yjx2 y 2F x, y

2yx

ix2

y 2 j

F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j

F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j

F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj

F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j

F x, y2y2 e 2x y yi xj

F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy

yi xjF x, y sen y i x cos yj

F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj

h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y

g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2

f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz

g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2

f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk

F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2

F x, y 2y 3x i 2y 3x j

F x, y 18 2xyi y 2j

F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k

F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj

F x, y x iF x, y, z 3yj

F x, y y i 2x jF x, y y i xj

F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y

F x, y x i 3yjF x, y y i xj

F x, y x jF x, y y i

2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

−5

5

y

5

−5

5

y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

4

y

15.1 Vector Fields 1067

15.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

CAS

1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM 67

Divergence of a Vector FieldYou have seen that the curl of a vector field is itself a vector field. Another importantfunction defined on a vector field is divergence, which is a scalar function.

The dot product notation used for divergence comes from considering as adifferential operator, as follows.

EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field

Find the divergence at for the vector field

Solution The divergence of is

At the point the divergence is

n

There are many important properties of the divergence and curl of a vector field(see Exercises 83– 89). One that is used often is described in Theorem 15.3. You are

asked to prove this theorem in Exercise 90.F

div Fs2, 1, 21d 5 3s22ds12ds21d 5 212.

s2, 1, 21d,

div Fsx, y, zd 5

xfx3y2zg 1

yfx2zg 1

zfx2yg 5 3x2y2z.

F

Fsx, y, zd 5 x3y2zi 1 x2zj 1 x2yk.

s2, 1, 21d

5Mx

1Ny

1Pz

= ? Fsx, y, zd 5 31

x2i 1 1

y2j 1 1

z2k4 ? sM i 1 N j 1 Pkd

=

F


DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD

The divergence of is

Plane

The divergence of is

Space

If then is said to be divergence free.Fdiv F 5 0,

div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5Mx

1Ny

1Pz

.


div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5Mx

1Ny

.

Fsx, yd 5 Mi 1 Nj

THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL

If is a vector field and and have continuoussecond partial derivatives, then

divscurl Fd 5 0.

PN,M,Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk

NOTE Divergence can be viewed as atype of derivative of in that, for vectorfields representing velocities of movingparticles, the divergence measures therate of particle flow per unit volume at a point. In hydrodynamics (the studyof fluid motion), a velocity field that isdivergence free is called incompressible.In the study of electricity and magnetism,a vector field that is divergence free iscalled solenoidal.

F

1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1066

Larson-15-01.qxd 3/12/09 19:45 Page 1066


En los ejercicios 1 a 6, asociar el campo vectorial con su gráfica.[Las gráficas se marcan a), b), c), d), e) y ƒ).]

a) b)

c) d)

e) ƒ)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 16, calcular ii F ii y dibujar varios vectoresrepresentativos del campo vectorial.

En los ejercicios 17 a 20, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente varios vectores representa-tivos del campo vectorial.

17.

18.

19.

20.

En los ejercicios 21 a 30, hallar el campo vectorial conservativopara la función potencial, encontrando su gradiente.

En los ejercicios 31 a 34, verificar que el campo vectorial es con-servativo.

En los ejercicios 35 a 38, determinar si el campo vectorial es con-servativo.

En los ejercicios 39 a 48, determinar si el campo vectorial es con-servativo. Si lo es, calcular una función potencial para él.

En los ejercicios 49 a 52, calcular el rotacional del campo vecto-rial en el punto dado.

Fsx, y, zd 5 x i 2 yj 1 zk

Fsx, y, zd 5x i 1 yj 1 zk!x2 1 y 2 1 z 2

Fsx, yd 5 s2y 2 3xdi 1 s2y 1 3xdjFsx, yd 5

18s2xyi 1 y 2jd

Fsx, yd 5 k12xy, 14x2lFsx, yd 5 kx, sin yl

Fsx, yd 5 x i 1 3yjFsx, yd 5 y i 2 xj

Fsx, yd 5 x jFsx, yd 5 y i

x2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

x

y

−5

5

x

5

−5

5

y

x

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

x4

4

y

sen

15.1 Ejercicios


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1. 2.

3. 4.

5. 6.


7. 8.

9. 10.

11. 12.

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21. 22.

23. 24.

25. 26.

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31. 32.

33. 34.


35.

36.

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39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47.

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49.

50.

51.

52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

−5

5

y

5

−5

5

y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

4

y



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(a) (b)

(c) (d)

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33. 34.


35.

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39. 40.

41. 42.

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49.

50.

51.

52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

−5

5

y

5

−5

5

y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

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y



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50.

51.

52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

−5

5

y

5

−5

5

y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

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y



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(a) (b)

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35.

36.

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39. 40.

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50.

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52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

−3

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y

−5

5

y

5

−5

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y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

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52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

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y

−5

5

y

5

−5

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y

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y

x

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−6

−6

y

4

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2yx

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y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

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5

y

5

−5

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y

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x

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2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



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y

−5

5

y

5

−5

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y

5

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y

x

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−6

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4

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En los ejercicios 53 a 56, usar un sistema algebraico por compu-tadora y representar el rotacional del campo vectorial.

En los ejercicios 57 a 62, determinar si el campo vectorial F esconservativo. Si lo es, calcular una función potencial para él.

En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vec-torial F.

En los ejercicios 67 a 70, calcular la divergencia del campo vec-torial F en el punto dado.

En los ejercicios 75 y 76, calcular

En los ejercicios 77 y 78, hallar

77.

78.

En los ejercicios 79 y 80, hallar

En los ejercicios 81 y 82, hallar div (rot F) 55 == · (== 33 F).

81.

82.

En los ejercicios 83 a 90, demostrar la propiedad para los cam-pos vectoriales F y G y la función escalar ƒ. (Suponer que lasderivadas parciales requeridas son continuas.)

90. div(rot F) 55 0 (Teorema 15.3)

En los ejercicios 91 a 93, sea y

91. Probar que 92. Probar que

93. Probar que

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 95 a 98, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre su falsedad.

95. Si F(x, y) 5 4xi 2 y2 j, entonces cuando (x, y) Æ(0, 0).

96. Si y está en el eje y positivo, entoncesel vector apunta en la dirección y negativa.

97. Si es un campo escalar, entonces el rotacional tiene sentido.

98. Si es un campo vectorial y rot F = 0, entonces F es irrota-cional pero no conservativo.

F

ff

sx, ydFsx, yd 5 4xi 2 y2j

iFsx, ydi → 0

=f n 5 nf n22F.

=11f 2 5 2

Ff 3.=sln f d 5

Ff 2.

||Fxx, y, zc||.f xx, y, zc 5Fxx, y, zc 5 xi 1 yj 1 zk,

Fsx, y, zd 5 x2zi 2 2xz j 1 yzk

Fsx, y, zd 5 xyzi 1 yj 1 zk

Fsx, y, zd 5 x2zi 2 2xz j 1 yzk

Fsx, y, zd 5 xyzi 1 yj 1 zk

Desarrollo de conceptos71. Definir un campo vectorial en el plano y en el espacio. Dar

algunos ejemplos físicos de campos vectoriales.

72. ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su crite-rio en el plano y en el espacio?

73. Definir el rotacional de un campo vectorial.

74. Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y enel espacio.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

1. 2.

3. 4.

5. 6.


7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.


17.

18.

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21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.


31. 32.

33. 34.


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39. 40.

41. 42.

43. 44.

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47.

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49.

50.

51.

52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k








2yx

ix2

y 2 j




F x, y1

1 xyyi xj

F x, y1

x2 y2i j


F x, y 5y2 yi 3xj

F x, y1xy




g x, y, zyz

zx

xzy

g x, y, z z yex2



f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2

F x, y, z x i yj zk



F x, y 18 2xyi y 2j





F x, y 2iF x, y i j

F

F x, y 12xy, 1

4x2F x, y x, sen y



2 3−2−3 −1

−3

1

2

3

y

−5

5

y

5

−5

5

y

5

5

y

x

6

6

−6

−6

y

4

4

y



CAS

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In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.

53.

54.

55.

56.

In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.

63.

64.

65.

66.

In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.

67.

68.

69.

70.

In Exercises 75 and 76, find rot

75. 76.


77.

78.

In Exercises 79 and 80, find

79. 80.


81.

82.

In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)

In Exercises 91–93, let and let

91. Show that 92. Show that

93. Show that

True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.

95. If then as

96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.

97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.

98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.

Frot F 0,F

ff

yyx, yF x, y 4xi y2j

x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.

f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F

div F G rot F G F rot G

div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.

F x, y, z x2zi 2xz j yzk

F x, y, z xyzi yj zk

div rot F F .

G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk

F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .

G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk


F G F G .

3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k

3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k

2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk

2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk


F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k

F x, y, z senx i cos yj z2k

F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k

F x, y, z yezi ze xj xeyk

F x, y, z sen zi sen xj sen yk

F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k

F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk

F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k

F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k

F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


CAS

71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.

72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?

73. Define the rot of a vector field.

74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.

WRITING ABOUT CONCEPTS

94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by

(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by

(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y

G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

.

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81.

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86.

87.

88.

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


CAS









G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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Para discusión94. a) Dibujar varios vectores representativos en el campo vec-

torial dado por

b) Dibujar varios vectores representativos en el campo vec-torial dado por

c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los camposvectoriales


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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

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F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


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G x, yxi yjx2 y2

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F x, yxi yjx2 y2

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75. 76.


77.

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79. 80.


81.

82.


83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


CAS









G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

.

CAPSTONE

1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068


53.

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


CAS









G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

.

CAPSTONE

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90. (Theorem 15.3)



93. Show that


95. If then as




Frot F 0,F

ff


x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,

f n nf n 2F.

1f

Ff 3.ln f

Ff 2.


div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .



div F G F G .



rot F F .



F G F G .








F x, y xe x i yeyj

F x, y x2 i 2y 2j

F x, y, zx

x2 y 2 iy

x2 y 2 j k

F x, y, zzy

ixzy 2 j

xy

k





F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k


F x, y, zyz

y zi

xzx z

jxy

x yk

F x, y, z arctanxy

i ln x2 y 2 j k


CAS









G x, yxi yjx2 y2

.

F x, yxi yjx2 y2

.

CAPSTONE

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SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1069

15.2 Integrales de línea

n Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos.n Expresar y evaluar una integral de línea.n Expresar y evaluar una integral de línea de un campo vectorial.n Expresar y calcular una integral de línea en forma diferencial.

Curvas suaves a trozos (o por partes)

Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a cier-tas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueveentre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una delas restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes).Recuérdese que una curva plana C dada por

es suave si

y

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Similarmente, una curva C en elespacio dada por

es suave si

y

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Una curva C es suave a trozos(o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos, encada uno de los cuales C es suave.

EJEMPLO 1 Hallar una parametrización suave a trozos

Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura 15.7.

Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1, C2 y C3, se puede construir unaparametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el último valor de t en coincida con el primer valor de t en como se muestra a continuación.

Por tanto, C está dada por

Como C1, C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos.

Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva.Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde(0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización queinduzca la orientación opuesta.

rstd 5 52tj,st 2 1di 1 2j,i 1 2j 1 st 2 2dk,

0 ≤ t ≤ 11 ≤ t ≤ 22 ≤ t ≤ 3

.

2 ≤ t ≤ 3zstd 5 t 2 2,ystd 5 2,C3: xstd 5 1,

1 ≤ t ≤ 2zstd 5 0,ystd 5 2,C2: xstd 5 t 2 1,

0 ≤ t ≤ 1zstd 5 0,ystd 5 2t,C1: xstd 5 0,

Ci11,Ci

dzdt

dydt

,dxdt

,

a ≤ t ≤ brstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,

dydt

dxdt

a ≤ t ≤ brstd 5 xstdi 1 ystdj,

Figura 15.7

x

y

1

1

C1

C2

C3

(0, 0, 0) (1, 2, 1)

(0, 2, 0)

(1, 2, 0)

C = C1 + C2 + C3

z

JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903)

Muchos físicos y matemáticos han contribui-do a la teoría y a las aplicaciones descritasen este capítulo, Newton, Gauss, Laplace,Hamilton y Maxwell, entre otros. Sinembargo, el uso del análisis vectorial paradescribir estos resultados se atribuye princi-palmente al físico matemático esta-dounidense Josiah Willard Gibbs.

The

Gra

nger

Col

lect

ion

Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1069


Integrales de línea

Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral sim-ple

Se integra sobre el intervalo [a, b].

se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles

Se integra sobre la región R.

se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integralllamada integral de línea

Se integra sobre una curva C.

en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un pocodesafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.)

Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cablede longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad delongitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C me-diante los puntos

produciendo n subarcos, como se muestra en la figura 15.8. La longitud del i-ésimo sub-arco está dada por A continuación, se elige un punto en cada subarco. Si lalongitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por lasuma

Masa de cable

Si denota la longitud del subarco más largo y se hace que se aproxime a 0, parecerazonable que el límite de esta suma se aproxime a la masa del cable. Esto lleva a la defini-ción siguiente.

Como sucede con las integrales vistas en el capítulo 14, para evaluar una integral delínea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, ellímite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.

iD iiD i

< on

i51f sxi, yi, zid Dsi.

sxi, yi, zidDsi.

P0, P1, . . . , Pn

EC

f sx, yd ds

ERE f sx, yd dA

Eb

a

f sxd dx

Partición de la curva CFigura 15.8

xy

P0

P1P2

Pi

Pi − 1Pn − 1

Pn

∆si

(xi, yi, zi)

C

z

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA

Si ƒ está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita,entonces la integral de línea de f a lo largo de C está dada por

Plano.

o

Espacio.

siempre que este límite exista.

EC

f sx, y, zd ds 5 limiDi→0 o

n

i51f sxi, yi, zid Dsi

EC

f sx, yd ds 5 limiDi→0 o

n

i51f sxi, yid Dsilím

lím

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Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t) 5 x(t)i 1 y(t)j,se utiliza el hecho de que

Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el teorema 15.4.

Obsérvese que si la integral de línea proporciona la longitud de arco dela curva C, como se definió en la sección 12.5. Es decir,

EJEMPLO 2 Evaluación de una integral de línea

Evaluar

donde C es el segmento de recta mostrado en la figura 15.9.

Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:

y

Entonces, y lo cual implica que

Por tanto, la integral de línea toma la forma siguiente.

55!6

6

5!6 3t3

31

t2

241

0

5 !6E1

0st2 1 td dt

EC

sx2 2 y 1 3zd ds 5 E1

0st2 2 2t 1 3td!6 dt

!fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 5 !12 1 22 1 12 5 !6.

z9std 5 1,y9std 5 2,x9std 5 1,

z 5 t, 0 ≤ t ≤ 1.x 5 t, y 5 2t,

EC

sx2 2 y 1 3zd ds

f sx, y, zd 5 1,

ds 5 ir9stdi dt 5 !fx9stdg2 1 fy9stdg2 dt.

Figura 15.9

x

y

1

1

1

2

C(0, 0, 0) (1, 2, 1)

z

En el ejemplo 2, el valor de laintegral de línea no depende de laparametrización del segmento de rectaC (con cualquier parametrización suavese obtendrá el mismo valor). Para con-vencerse de esto, probar con alguna otraparametrización, como por ejemplo

on21 ≤ t ≤ 0.z 5 2t,

y 5 22t,x 5 2t,212 ≤ t ≤ 0,

z 5 1 1 2t,y 5 2 1 4t,x 5 1 1 2t,

NOTA

EC

1 ds 5 Eb

a

ir9stdi dt 5 length of curve C.

TEOREMA 15.4 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA

Sea continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada pordonde entonces

Si C está dada por donde entonces

EC

f sx, y, zd ds 5 Eb

a

f sxstd, ystd, zstdd!fx9stdg2 1 fy9stdg2 1 fz9stdg2 dt.

a ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,

EC

f sx, yd ds 5 Eb

a

f sxstd, ystdd!fx9stdg2 1 fy9stdg2 dt.

a ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,f

longitud de arco de la curva C.

y

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rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 td2j,


Supóngase que es una trayectoria compuesta de las curvas suaves Si es continua en se puede mostrar que

Esta propiedad se utiliza en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Evaluación de una integral de líneasobre una trayectoria

Evaluar donde es la curva suave a trozos mostrada en la figura 15.10.

Solución Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta usando laparametrización siguiente.

En esta curva, lo que implica que y Por tanto,

y se tiene

A continuación, se integra, en sentido descendente, sobre la parábola usando laparametrización

En esta curva, lo cual implica que y y¢(t) 522(1 2 t). Por tanto,

y se tiene

Por consiguiente,

En parametrizaciones dadas por es útil recordar la formade ds como

Esto se usa en el ejemplo 4.

rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,

EC

x ds 5 EC1

x ds 1 EC2

x ds 5!22

1112

s53y2 2 1d < 1.56.

51

12s53y2 2 1d.

5 2183

23

f1 1 4s1 2 td2g3y241

0

EC2

x ds 5 E1

0s1 2 td!1 1 4s1 2 td2 dt

!fx9stdg2 1 f y9stdg2 5 !1 1 4s1 2 td2

x9std 5 21

C2: x 5 1 2 t, y 5 s1 2 td2, 0 ≤ t ≤ 1.

y 5 x2,

EC1

x ds 5 E1

0t!2 dt 5

!22

t241

05

!22

.

!fx9stdg2 1 f y9stdg2 5 !2

y9std 5 1.x9std 5 1rstd 5 ti 1 tj,

C1: x 5 t, y 5 t, 0 ≤ t ≤ 1

y 5 x,

CEC

x ds,

EC

f sx, yd ds 5 EC1

f sx, yd ds 1 EC2

f sx, yd ds 1 . . . 1 ECn

f sx, yd ds.

C,fCn.C2, . . . ,C1,C

1

1

x

(1, 1)

y = x2

C = C1 + C2

y = x

C2

C1

(0, 0)

y

Figura 15.10

ds 5 ir9stdi dt 5 !fx9stdg2 1 fy9stdg2 1 fz9stdg2 dt.

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EJEMPLO 4 Evaluar una integral de línea

Evaluar donde C es la curva representada por

Solución Puesto que y

se sigue que

El ejemplo siguiente muestra cómo usar una integral de línea para hallar la masa deun resorte (o muelle) cuya densidad varía. En la figura 15.11 obsérvese cómo la densidadde este resorte aumenta a medida que la espiral del resorte asciende por el eje z.

EJEMPLO 5 Hallar la masa de un resorte (o muelle)

Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular

donde la densidad del resorte es como se muestra en la figura 15.11.

Solución Como

se sigue que la masa del resorte es

La masa del resorte es aproximadamente 144.47.

< 144.47.

5 6p11 13p

!22

5 3t 1t2

2!246p

0

Mass 5 EC

s1 1 zd ds 5 E6p

011 1

t!22 dt

ir9stdi 51!2

!s2sin td2 1 scos td2 1 s1d2 5 1

rsx, y, zd 5 1 1 z,

rstd 51!2

scos t i 1 sin tj 1 tkd, 0 ≤ t ≤ 6p

< 15.29.

513

s13!13 2 1d

5133s1 1 4t 1 t2d3y24

2

0

512E

2

02st 1 2ds1 1 4t 1 t2d1y2 dt

EC

sx 1 2d ds 5 E2

0st 1 2d!1 1 4t 1 t2 dt

ir9stdi 5 !fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 5 !1 1 4t 1 t2

r9std 5 i 1 2t1y2j 1 tk,

rstd 5 t i 143

t3y2j 112

t2k, 0 ≤ t ≤ 2.

EC

sx 1 2d ds,

Figura 15.11

x

y2 2

Densidad:(x, y, z) = 1 + zρ

r(t) = 12

z

(cos ti + sen tj + tk)

Masa

sen

sen

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Integrales de línea de campos vectoriales

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar eltrabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Por ejemplo, lafigura 15.12 muestra un campo de fuerzas cuadrático inverso similar al campo gravitato-rio del Sol. Obsérvese que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria circularen torno al centro es constante, mientras que la magnitud de la fuerza a lo largo de unatrayectoria parabólica varía de un punto a otro.

Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado enun campo de fuerzas considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoriaC en el campo, como se muestra en la figura 15.13. Para determinar el trabajo realizadopor la fuerza, sólo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la direc-ción en que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que en cadapunto de C, se puede considerar la proyección del vector fuerza sobre el vectorunitario tangente En un subarco pequeño de longitud el incremento de trabajo es

donde es un punto en el subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total reali-zado está dado por la integral siguiente.

Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base de la definición siguiente deintegral de línea de un campo vectorial. En la definición, obsérvese que

5 F ? dr.

5 F ? r9std dt

F ? T ds 5 F ?r9std

ir9stdi ir9stdi dt

W 5 EC

Fsx, y, zd ? Tsx, y, zd ds

sxi, yi, zid

< fFsxi, yi, zid ? Tsxi, yi, zi dg Dsi

DWi 5 sforcedsdistanced

Dsi,T.FF ? T

F,

x

y

(F T)T•

F

T

C

z

x

y

(F T)T•

TF

z

C

x

y

z

(F T)T•

T

C

T tiene la dirección de F.

En cada punto en C, la fuerza en la dirección del movimiento es Figura 15.13

sF ? TdT.

Campo de fuerzas cuadrático inverso F

Vectores a lo largo de una trayectoriaparabólica en el campo de fuerzas FFigura 15.12

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL

Sea un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave dada por La integral de línea de sobre está dada por

EC

F ? dr 5 EC

F ? T ds 5 Eb

a

Fsxstd, yst), zstdd ? r9std dt.

CFa ≤ t ≤ b.rstd,CF

(fuerza)(distancia)

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EJEMPLO 6 Trabajo realizado por una fuerza

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

Campo de fuerzas F.

sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por

Curva C en el espacio.

desde el punto hasta el punto como se muestra en la figura 15.14.

Solución Como

se sigue que y Por tanto, el campo de fuerzas puedeexpresarse como

Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largode la curva C, se utiliza el hecho de que

y se escribe lo siguiente.

En el ejemplo 6, nótese que las componentes x y y del campo de fuerzas acaban no con-tribuyendo en nada al trabajo total. Esto se debe a que en este ejemplo particular la componente z delcampo de fuerzas es la única parte de la fuerza que actúa en la misma dirección (o en dirección opues-ta) en la que se mueve la partícula (ver la figura 15.15). n

NOTA

53p

4

514

t43p

0

5 E3p

0

14

dt

5 E3p

011

2sin t cos t 2

12

sin t cos t 1142 dt

5 E3p

012

12

cos t i 212

sin tj 114

k2 ? s2sin t i 1 cos tj 1 kd dt

5 Eb

a

Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt

W 5 EC

F ? dr

r9std 5 2sin t i 1 cos tj 1 k

Fsxstd, ystd, zstdd 5 212

cos t i 212

sin tj 114

k.

zstd 5 t.ystd 5 sin t,xstd 5 cos t,

5 cos t i 1 sin tj 1 tk

rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk

s21, 0, 3pd,s1, 0, 0d

rstd 5 cos t i 1 sin tj 1 tk

Fsx, y, zd 5 212

x i 212

yj 114

k

Figura 15.15

y

x

Generado con Mathematica

z

Figura 15.14

y

2

−2

−1

1

2

−2

−1

3π

π

x

(−1, 0, 3 )

(1, 0, 0)

πz

TECNOLOGÍA La gráfica, generada por computadora, del campo de fuerzas delejemplo 6 mostrado en la figura 15.15 indica que todo vector en los puntos del campode fuerzas apunta hacia el eje z.

sen

sen t

sen

sen sen

sen sen

sen

sen

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En integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva C es impor-tante. Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario cambia a

y se obtiene

EJEMPLO 7 Orientación y parametrización de una curva

Sea y evaluar la integral de línea a lo largo de cada una de lascurvas parabólicas mostradas en la figura 15.16.

a)

b)

Solucióna) Como y

la integral de línea es

b) Como y

la integral de línea es

El resultado del inciso b) es el negativo del del inciso a) porque y representan ori-entaciones opuestas del mismo segmento parabólico.

C2C1

5 2692

.

5 32t4

21 t3 1 2t24

4

1

5 E4

1s22t3 1 3t2 1 4td dt

5 E4

1s4t 2 t2 1 4t2 2 2t3d dt

EC2

F ? dr 5 E4

1fs4t 2 t2di 1 t2jg ? fi 1 s4 2 2tdjg dt

Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t2di 1 t2j

r29 std 5 i 1 s4 2 2tdj

5692

.

5 32t4

21 7t3 2 34t2 1 64t43

0

5 E3

0s22t3 1 21t2 2 68t 1 64d dt

5 E3

0s24t 1 t2 1 64 2 64t 1 20t2 2 2t3d dt

EC1

F ? dr 5 E3

0fs4t 2 t2di 1 s4 2 td2jg ? f2i 1 s4 2 2tdjg dt

Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t2di 1 s4 2 td2j

r19 std 5 2i 1 s4 2 2tdj

C2: r2std 5 t i 1 s4t 2 t2dj, 1 ≤ t ≤ 4

C1: r1std 5 s4 2 tdi 1 s4t 2 t2dj, 0 ≤ t ≤ 3

eC F ? drFsx, yd 5 yi 1 x2j

E2C

F ? dr 5 2EC

F ? dr.

2Tstd,Tstd

Figura 15.16

432

4

3

2

1

1

x

y

(4, 0)

C1C2

(1, 3)

r2(t) = ti + (4t − t2)j

r1(t) = (4 − t)i + (4t − t2)j

C2:

C1:

Aunque en el ejemplo 7 elvalor de la integral de línea depende dela orientación de C, no depende de laparametrización de C. Para ver esto,sea C3 la curva representada por

donde La gráfica de estacurva es el mismo segmento parabólicomostrado en la figura 15.16. ¿Coincideel valor de la integral de línea sobrecon el valor sobre o ¿Por qué sío por qué no? n

C2?C1

C3

21 ≤ t ≤ 2.

r3 5 st 1 2di 1 s4 2 t2dj

NOTA

Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1076


Integrales de línea en forma diferencial

Otra forma normalmente utilizada de las integrales de línea se deduce de la notación decampo vectorial usada en la sección anterior. Si F es un campo vectorial de la forma

y está dada por entonces se escribe amenudo como

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los paréntesis se omiten amenudo, y se escribe:

y

Obsérvese cómo se usa esta notación diferencial en el ejemplo 8.

EJEMPLO 8 Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

Sea C el círculo de radio 3 dado por

como se muestra en la figura 15.17. Evaluar la integral de línea

Solución Como y se tiene y Portanto, la integral de línea es

5243p

4.

5 813sin 2t2

138

t 23 sin 4t

32 42p

0

5 81E2p

03cos 2t 1

341

1 2 cos 4t2 24 dt

5 81E2p

01cos2 t 2 sin2 t 1

34

sin2 2t2 dt

5 81E2p

0scos4 t 2 sin4 t 1 3 cos2 t sin2 td dt

5 E2p

0fs27 sin3 tds23 sin td 1 s27 cos3 t 1 81 cos t sin2 tds3 cos tdg dt

5 EC

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy

EC

M dx 1 N dy

dy 5 3 cos t dt.dx 5 23 sin t dty 5 3 sin t,x 5 3 cos t

EC

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy.

0 ≤ t ≤ 2prstd 5 3 cos t i 1 3 sin tj,

EC

M dx 1 N dy 1 P dzEC

M dx 1 N dy

5 EC

sM dx 1 N dyd

5 Eb

a1M

dxdt

1 Ndydt2 dt

5 Eb

a

sMi 1 Njd ? sx9stdi 1 y9stdjd dt

EC

F ? dr 5 EC

F ?drdt

dt

M dx 1 N dy.F ? drrstd 5 xstdi 1 ystdj,CFsx, yd 5 Mi 1 Nj,

Figura 15.17

x

r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj

2

2

4

4

−2

−2

−4

−4

y

La orientación de C afecta elvalor de la forma diferencial de unaintegral de línea. Específicamente, si2C tiene orientación opuesta a C,entonces

Por tanto, de las tres formas de laintegral de línea presentadas en estasección, la orientación de C no afectaa la forma pero sí afectaa la forma vectorial y la forma dife-rencial. n

eC f sx, yd ds,

2EC

M dx 1 N dy.

E2C

M dx 1 N dy 5

NOTA

sen tj,

sen sen

sen sen t sen2

sen

sen sen

sen sen

t sen2

Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1077


En curvas representadas por se puede hacer y obte-ner la forma paramétrica

y

Como en esta forma es , se tiene la opción de evaluar la integral de línea en la va-riable x o en la variable t. Esto se muestra en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

Evaluar

donde C es el arco parabólico dado por desde a como se muestraen la figura 15.18.

Solución En lugar de pasar al parámetro t, se puede simplemente conservar la variable xy escribir

Entonces, en la dirección de a la integral de línea es

Ver el ejemplo 7.5692

.5 32x2 1 x3 2x4

2 41

4

5 E1

4s4x 1 3x2 2 2x3d dx

EC

y dx 1 x2 dy 5 E1

4fs4x 2 x2d dx 1 x2s4 2 2xd dxg

s1, 3d,s4, 0d

dy 5 s4 2 2xd dx.y 5 4x 2 x2

s1, 3d,s4, 0dy 5 4x 2 x2

EC

y dx 1 x2 dy

dx 5 dt

a ≤ t ≤ b.y 5 gstd,x 5 t

x 5 ta ≤ x ≤ b,y 5 gsxd,

Figura 15.18

3

2

1

4321

4

x

C: y = 4x − x2

y

(1, 3)

(4, 0)

E X P L O R A C I Ó N

Hallar el área de una superficie lateral La figura muestra un pedazo de hojalatacortado de un cilindro circular. La base del cilindro circular se representa por

Para todo punto de la base, la altura del objeto está dada por

Explicar cómo utilizar una integral de línea para hallar el área de la superficie delpedazo de hojalata.

xy

1 + cos πx4

x2 + y2 = 9(x, y)

2

1

−2−1

z

3

3

f sx, yd 5 1 1 cos px4

.

sx, ydx2 1 y2 5 9.

Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1078


En los ejercicios 1 a 6, hallar una parametrización suave a trozosde la trayectoria C. (Nótese que existe más de una respuesta co-rrecta.)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 10, evaluar la integral de línea a lo largo dela trayectoria dada.

En los ejercicios 11 a 14, a) hallar una parametrización de latrayectoria C, y b) evaluar

a lo largo de C.

13. círculo recorrido en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, desde hasta

14. círculo recorrido en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, desde a

En los ejercicios 15 a 18, a) hallar una parametrización de latrayectoria C, y b) evaluar

a lo largo de C.

17. triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorridoen sentido contrario a las manecillas del reloj

18. cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2),recorrido en sentido contrario a las manecillas del reloj

En los ejercicios 19 y 20, a) encontrar una parametrización con-tinua por secciones de la trayectoria C que se muestra en la figu-ra y b) evaluar

a lo largo de C.

19. 20.

Masa En los ejercicios 21 y 22, hallar la masa total de dosvueltas completas de un resorte de densidad r y que tiene formade hélice circular

21.

22.

Masa En los ejercicios 23 a 26, hallar la masa total del cable dedensidad r.

rsx, y, zd 5 z

rsx, y, zd 512sx2 1 y2 1 z2d

x

y

z

C

1

1

(0, 0, 0) (0, 1, 0)

(0, 1, 1)

z

(0, 0, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

(1, 1, 1)

C

1

1x

y

EC

x2x 1 y2 2 zc ds

C:

C:

EC

sx 1 4!yd ds

s0, 2ds2, 0dx2 1 y2 5 4C:

s0, 1ds1, 0dx2 1 y2 5 1C:

EC

xx2 1 y2c ds

x

2

4

2

−2

−4

−2

C

x2 y2

16 9= 1+

y

x

2

2

1

1

−2

−2 −1

x2 + y2 = 9

C

y

2

4

5

1

3

x2 4 51 3

C

(5, 4)

y

x

2

1

3

21 3

C

(3, 3)

y

x

2

4

1

3

2 41 3

C (2, 4)

y = x2

y

x

1

1

C

(1, 1)

y = x

y = x

y

15.2 Ejercicios

7. 8.

9. 10.

0 t 10 t 2

C: r t 12ti 5tj 84tkC: r t sen ti cos tj 2kC

2xyz dsC

x2 y2 z2 ds

0 t 20 t 1

C: r t ti 2 t jC: r t 4ti 3tjC

3 x y dsC

xy ds

11. segmento de recta de a

12. a 2, 40, 0C:

1, 10, 0C:

segmento de recta de

15. eje de a

16. eje de a

C1

1

(0, 0, 0) (0, 1, 0)

(0, 1, 1)

z

(0, 0, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

(1, 1, 1)

C

1

1x

y

C.

C2x 1 y2 z ds

C

0, 22, 22, 00, 0C:

0, 11, 0 ,0, 0C:

y 9y 1yC:

x 1x 0xC:

C.

Cx 1 4 y ds

C,

0, 22, 0x2 y2 4C:

0, 11, 0x2 y2 1C:

2, 40, 0C:

1, 10, 0C:

C.

C

x2 1 y2 ds

C,

0 t 1 0 t 2


2xyz dsC

x2 y2 z2 ds

0 t 2 0 t 1


3 x y dsC

xy ds

y

2

1

21

−2

−2 −1

x2 + y2 = 9

C

y

y

2

1

3

21 3

C

(3, 3)

y

2

4

1

3

2 41 3

C (2, 4)

y = x2

y

1

1

C

(1, 1)

y = x

y = x

y

C.

15.2 Line Integrals 1079


1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1079


In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization ofthe path (Note that there is more than one correct answer.)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the givenpath.

7. 8.

9. 10.

In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path and(b) evaluate

along


12. a

13. counterclockwise around the circle from to


In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path and (b) evaluate

along

15. eje de a

16. eje de a

17. counterclockwise around the triangle with vertices ,and

18. counterclockwise around the square with vertices ,, , and

In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametriza-tion of the path shown in the figure, and (b) evaluate

along

19. 20.

Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turnsof a spring with density in the shape of the circular helix

21.

22.

Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire withdensity

23.

24.

25.

26.0 t 2k > 0 ,

x, y, z k zr t 2 cos ti 2 sen tj 3tk,

1 t 3k > 0 ,x, y, z kzr t t2i 2tj tk,

0 t 1x, y34

y,r t t2i 2tj,

0 tx, y x y,r t cos ti sen tj,

.

x, y, z z

x, y, z 12 x2 y2 z2

r t 2 cos t i 1 2 sen t j 1 tk, 0 t 4 .

y

z

C1

1

(0, 0, 0) (0, 1, 0)

(0, 1, 1)

z

(0, 0, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

(1, 1, 1)

C

1

1x

y

C.

C2x 1 y2 z ds

C

0, 22, 22, 00, 0C:

0, 11, 0 ,0, 0C:

y 9y 1yC:

x 1x 0xC:

C.

Cx 1 4 y ds

C,

0, 22, 0x2 y2 4C:

0, 11, 0x2 y2 1C:

2, 40, 0C:

1, 10, 0C:

C.

C

x2 1 y2 ds

C,

0 t 1 0 t 2


2xyz dsC

x2 y2 z2 ds

0 t 2 0 t 1


3 x y dsC

xy ds

y

2

1

21

−2

−2 −1

x2 + y2 = 9

C

y

y

2

1

3

21 3

C

(3, 3)

y

2

4

1

3

2 41 3

C (2, 4)

y = x2

y

1

1

C

(1, 1)

y = x

y = x

y

C.



1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1079


In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization ofthe path (Note that there is more than one correct answer.)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the givenpath.

7. 8.

9. 10.

In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path and(b) evaluate

along


12. a



In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path and (b) evaluate

along

15. eje de a

16. eje de a

17. counterclockwise around the triangle with vertices ,and

18. counterclockwise around the square with vertices ,, , and

In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametriza-tion of the path shown in the figure, and (b) evaluate

along

19. 20.

Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turnsof a spring with density in the shape of the circular helix

21.

22.

Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire withdensity

23.

24.

25.

26.0 t 2k > 0 ,

x, y, z k zr t 2 cos ti 2 sen tj 3tk,

1 t 3k > 0 ,x, y, z kzr t t2i 2tj tk,

0 t 1x, y34

y,r t t2i 2tj,

0 tx, y x y,r t cos ti sen tj,

.

x, y, z z

x, y, z 12 x2 y2 z2

r t 2 cos t i 1 2 sen t j 1 tk, 0 t 4 .

y

z

C1

1

(0, 0, 0) (0, 1, 0)

(0, 1, 1)

z

(0, 0, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

(1, 1, 1)

C

1

1x

y

C.

C2x 1 y2 z ds

C

0, 22, 22, 00, 0C:

0, 11, 0 ,0, 0C:

y 9y 1yC:

x 1x 0xC:

C.

Cx 1 4 y ds

C,

0, 22, 0x2 y2 4C:

0, 11, 0x2 y2 1C:

2, 40, 0C:

1, 10, 0C:

C.

C

x2 1 y2 ds

C,

0 t 1 0 t 2


2xyz dsC

x2 y2 z2 ds

0 t 2 0 t 1


3 x y dsC

xy ds

y

2

1

21

−2

−2 −1

x2 + y2 = 9

C

y

y

2

1

3

21 3

C

(3, 3)

y

2

4

1

3

2 41 3

C (2, 4)

y = x2

y

1

1

C

(1, 1)

y = x

y = x

y

C.



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Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1079


En los ejercicios 27 a 32, evaluar

donde C está representa por

En los ejercicios 33 y 34, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y calcular la integral

donde C está representa por

33.

34.

Trabajo En los ejercicios 35 a 40, hallar el trabajo realizadopor el campo de fuerzas F sobre una partícula que se mueve a lolargo de la trayectoria dada.

C: x = t, y = t3 desde hasta

Figura para 35 Figura para 36

36.

desde hasta

triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorridoen sentido contrario a las manecillas del reloj. (Sugerencia:Ver ejercicio 17a.)


38.

contorno del semicírculo desde hastarecorrido en sentido contrario a las manecillas del

reloj

39.


40.

recta de a

En los ejercicios 41 a 44, determinar si el trabajo efectuado a lolargo de la trayectoria C es positivo, negativo o cero. Explicar.

s5, 3, 2ds0, 0, 0dC:

Fsx, y, zd 5 yzi 1 xzj 1 xyk

y

x

z

5

3

3

2

1C

yx

z

π

3

π2

3

−3 −3

C

0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 2 cos ti 1 2 sin tj 1 tk,

Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 2 5zk

s22, 0ds2, 0dy 5 !4 2 x2C:

Fsx, yd 5 2yi 2 xj

C:

s0, 1ds1, 0dy 5 sin3 tC: x 5 cos3 t,

Fsx, yd 5 x2i 2 xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

s2, 8ds0, 0d

0 ≤ t ≤ 2C: rstd 5 ti 1 tj 1 etk,

Fsx, y, zd 5xi 1 yj 1 zk!x2 1 y2 1 z2

1 ≤ t ≤ 3C: rstd 5 ti 1 t2j 1 ln tk,

Fsx, y, zd 5 x2zi 1 6yj 1 yz2k

rxtc.

EC F ? dr

rxtc.

EC F ? dr

sen

sen

In Exercises 27–32, evaluate

where is represented by

27.

28.

29.

30.

31.

32.

In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral


33.

34.

Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.

35.

from to

Figure for 35 Figure for 36

36.

from to

37.

counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)


38.

counterclockwise along the semicircle fromto

39.


40.

line from to

In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.

41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:

F x, y, z yzi xzj xyk

y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C

0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,

F x, y, z x i yj 5zk

2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj

0 t 2C: r t ti tj etk,

F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2

1 t 3C: r t ti t2j ln tk,

F x, y, z x2zi 6yj yz2k

r t .C

C F dr

0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,

F x, y, z x2i y2j z2k

0 t 1C: r t ti t2j 2tk,

F x, y, z xyi xz j yzk

2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj

0 t 2C: r t cos ti sen tj,

F x, y 3x i 4yj

0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,

F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080



27.

28.

29.

30.

31.

32.



33.

34.


35.

from to


36.

from to

37.



38.


39.


40.

line from to


41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080



27.

28.

29.

30.

31.

32.



33.

34.


35.

from to


36.

from to

37.



38.


39.


40.

line from to


41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

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27.

28.

29.

30.

31.

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33.

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from to


36.

from to

37.



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39.


40.

line from to


41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

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27.

28.

29.

30.

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32.



33.

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from to


36.

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38.


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41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

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27.

28.

29.

30.

31.

32.



33.

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35.

from to


36.

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37.



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40.

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41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


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Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1080


En los ejercicios 45 y 46, para cada curva hallar .Analizar la orientación de la curva y su efecto sobre el valor dela integral.

45.

a)

b)

46.

a)

b)

En los ejercicios 47 a 50, demostrar la propiedad

independientemente de cuáles sean los puntos inicial y final desi el vector tangente es ortogonal al campo de fuerzas F.

47.

48.

49.

50.

En los ejercicios 51 a 54, evaluar la integral de línea a lo largo dela trayectoria C dada por donde

51. 52.

53. 54.

En los ejercicios 55 a 62, evaluar la integral

a lo largo de la trayectoria C.

55. eje x desde hasta

56. eje y desde hasta

57. los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3)

58. los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 23) y de (0, 23) a (2, 23)

59. arco sobre desde hasta

60. arco sobre desde hasta

61. trayectoria parabólica desde hasta

62. trayectoria elíptica desde hasta

Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar elárea de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en elplano xy y bajo la superficie donde

Área de la superficie lateral

63. recta desde hasta

64. recta desde hasta

65. desde hasta

66. desde hasta

67. desde hasta

68. desde hasta

69. desde hasta

70.

71. Diseño de motores Un motor de tractor tiene una pieza deacero con una base circular representada por la función vecto-rial r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj. Su altura está dada por (Todas las medidas en centímetros.)

a) Hallar el área de la superficie lateral de la pieza.

b) La pieza tiene forma de capa de 0.2 centímetros de espesor.Utilizar el resultado del inciso a) para aproximar la cantidadde acero empleada para su fabricación.

c) Hacer un dibujo de la pieza.

z 5 1 1 y2.

C: x2 1 y2 5 4f sx, yd 5 x2 2 y2 1 4,

s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 xy,

s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 y 1 1,

s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 h,

s0, 1ds1, 0dC: x2 1 y2 5 1f sx, yd 5 x 1 y,

s0, 1ds1, 0dC: x2 1 y2 5 1f sx, yd 5 xy,

s4, 4)s0, 0dC:f sx, yd 5 y,

s3, 4ds0, 0dC:f sx, yd 5 h,

x

yP

Q

∆si

(xi, yi)

C: curva en el plano xy

Superficie:z = f(x, y)

Superficielateral

z

5 EC

f xx, yc ds.

z 5 f xx, yc,

s4, 0ds0, 3dy 5 3 cos t,x 5 4 sin t,C:

s2, 8ds0, 0dy 5 2t2,x 5 t,C:

s4, 8ds0, 0dy 5 x3y2C:

s1, 0ds0, 1dy 5 1 2 x2C:

C:

C:

y 5 2y 5 0C:

x 5 5x 5 0C:

EC x2x 2 yc dx 1 xx 1 3yc dy

EC

s3y 2 xd dx 1 y2 dyEC

xy dx 1 y dy

EC

sx 1 3y2d dxEC

sx 1 3y2d dy

0 ≤ t ≤ 1.y 5 10t,x 5 2t,

C: rstd 5 3 sin ti 1 3 cos tj

Fsx, yd 5 xi 1 yj

C: rstd 5 t i 1 t2j

Fsx, yd 5 sx3 2 2x2di 1 1x 2y22j

C: rstd 5 t i 2 t3j

Fsx, yd 5 23yi 1 xj

C: rstd 5 t i 2 2tj

Fsx, yd 5 yi 2 xj

r9xtcC,

EC F ? dr 5 0

0 ≤ t ≤ py2r2std 5 s1 1 2 cos tdi 1 s4 cos2 tdj,0 ≤ t ≤ 2r1std 5 st 1 1di 1 t2j,

Fsx, yd 5 x2yi 1 xy3y2j

0 ≤ t ≤ 2r2std 5 2s3 2 tdi 1 s2 2 tdj,1 ≤ t ≤ 3r1std 5 2ti 1 st 2 1dj,

Fsx, yd 5 x2i 1 xyj

eC F ? dr

sen

sen

43.

44.

In Exercises 45 and 46, evaluate for each curve.Discuss the orientation of the curve and its effect on the value ofthe integral.

45.

(a)

(b)

46.

(a)

(b)

In Exercises 47– 50, demonstrate the property that

regardless of the initial and terminal points of if the tangentvector is orthogonal to the force field F.

47.

48.

49.

50.

In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path given by where

51. 52.

53. 54.

In Exercises 55–62, evaluate the integral

along the path

55. axis from to

56. axis from to

57. line segments from to and to

58. line segments from to and to

59. arc on from to

60. arc on from to

61. parabolic path from to

62. elliptic path from to

Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of thelateral surface (see figure) over the curve in the -plane andunder the surface where

Lateral surface area

63. line from to

64. line from to

65. from to

66. from to

67. from to

68. from to

69. from to

70.

71. Engine Design A tractor engine has a steel component witha circular base modeled by the vector-valued function

Its height is given by (All measurements of the component are in centimeters.)

(a) Find the lateral surface area of the component.

(b) The component is in the form of a shell of thickness 0.2centimeter. Use the result of part (a) to approximate theamount of steel used in its manufacture.

(c) Draw a sketch of the component.

z � 1 � y2.r�t� � 2 cos t i � 2 sin tj.

C: x2 � y2 � 4f �x, y� � x2 � y2 � 4,

�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � xy,

�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � y � 1,

�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � h,

�0, 1��1, 0�C: x2 � y2 � 1f �x, y� � x � y,

�0, 1��1, 0�C: x2 � y2 � 1f �x, y� � xy,

�4, 4)�0, 0�C:f �x, y� � y,

�3, 4��0, 0�C:f �x, y� � h,

yP

Q

∆si

(xi, yi)

C: Curve in xy-plane

Surface:z = f (x, y)

Lateralsurface

z

� �C

f �x, y� ds.

z � f �x, y�,xyC

�4, 0��0, 3�y � 3 cos t,x � 4 sin t,C:

�2, 8��0, 0�y � 2t2,x � t,C:

�4, 8��0, 0�y � x3�2C:

�1, 0��0, 1�y � 1 � x2C:

�2, �3��0, �3��0, �3��0, 0�C:

�3, 3��3, 0��3, 0��0, 0�C:

y � 2y � 0y-C:

x � 5x � 0x-C:

C.

�C

�2x � y� dx 1 �x 1 3y� dy

�C

�3y � x� dx � y2 dy�C

xy dx � y dy

�C

�x � 3y2� dx�C

�x � 3y2� dy

0 � t � 1.y � 10t,x � 2t,C

C: r�t� � 3 sin ti � 3 cos tj

F�x, y� � xi � yj

C: r�t� � t i � t2j

F�x, y� � �x3 � 2x2�i � �x �y2�j

C: r�t� � t i � t3j

F�x, y� � �3yi � xj

C: r�t� � t i � 2tj

F�x, y� � yi � xj

r� �t�C,

�C F dr � 0

0 � t � ��2r2�t� � �1 � 2 cos t�i � �4 cos2 t�j,0 � t � 2r1�t� � �t � 1�i � t2j,

F�x, y� � x2yi � xy3�2j

0 � t � 2r2�t� � 2�3 � t�i � �2 � t�j,1 � t � 3r1�t� � 2ti � �t � 1�j,

F�x, y� � x2i � xyj

�C F dr

x

y

C

x

y

C


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72. Diseño de edificios La altura del techo de un edificio está dadapor y una de las paredes sigue una trayectoriarepresentada por Calcular el área de la superficie de lapared si (Todas las medidas se dan en pies.)

Momentos de inercia Considerar un cable de densidad dado por la curva en el espacio

Los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y están dadospor

En los ejercicios 73 y 74, hallar los momentos de inercia del cabledado con densidad

73. El cable se encuentra a lo largo de

y su densidad es

74. El cable se encuentra a lo largo de

y su densidad es

75. Investigación El borde exterior de un sólido con lados ver-ticales y que descansa en el plano xy, se representa por r(t) 5 3 cos ti 1 3 sen tj 1 (1 1 sen2 2t)k, donde todas las medidas se dan en centímetros. La intersección del plano

con la parte superior del sólido es unarecta horizontal.

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente el sólido.

b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximarel área de la superficie lateral del sólido.

c) Hallar (si es posible) el volumen del sólido.

76. Trabajo Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoriadesde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1). El campo de

fuerzas F se mide en cinco puntos a lo largo de la trayectoria ylos resultados se muestran en la tabla. Usar la regla de Simpsono una herramienta de graficación para aproximar el trabajo efec-tuado por el campo de fuerza.

77. Trabajo Determinar el trabajo hecho por una persona que pesa175 libras y que camina exactamente una revolución hacia arri-ba en una escalera de forma helicoidal circular de 3 pies de radiosi la persona sube 10 pies.

78. Investigación Determinar el valor c tal que el trabajo realiza-do por el campo de fuerzas

sobre un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria parabó-lica entre los puntos y sea mínimo.Comparar el resultado con el trabajo requerido para mover elobjeto a lo largo de la trayectoria recta que une esos dos puntos.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

83. Si C está dada por entonces

84. Si entonces

85. Las funciones vectoriales y definen la misma curva.

86. Si entonces y son ortogonales.

87. Trabajo Considerar una partícula que se mueve a través delcampo de fuerzas del punto alpunto a lo largo de la curva Hallar elvalor de k, tal que el trabajo realizado por el campo de fuerzassea 1.

y 5 t.x 5 kts1 2 td,s0, 1ds0, 0dFsx, yd 5 s y 2 xdi 1 xyj

TFEC

F ? T ds 5 0,

0 ≤ t ≤ 1,s1 2 tdi 1 s1 2 td2j,r2 50 ≤ t ≤ 1,r1 5 t i 1 t2j,

EC1

f sx, yd ds 1 EC2

f sx, yd ds 5 0.C2 5 2C1,

EC

xy ds 5 E1

0 t2 dt.

0 ≤ t ≤ 1,ystd 5 t,xstd 5 t,

s1, 0ds21, 0dy 5 cs1 2 x2d

Fsx, yd 5 15fs4 2 x2ydi 2 xyjg

y 5 x2

y 5 b s23 < b < 3d

rsx, yd 5 y.a > 0,0 ≤ t ≤ 2p

rstd 5 a cos ti 1 a sin tj,

rsx, yd 5 1.a > 0,0 ≤ t ≤ 2p

rstd 5 a cos ti 1 a sin tj,

r.

Iy 5 EC x2 rxx, yc ds.

Ix 5 EC y2 rxx, yc ds

a ≤ t ≤ b.C: rxtc 5 xxtci 1 yxtcj,

rxx, yc

0 ≤ x ≤ 40.y 5 x3y2.

z 5 20 114x,

Desarrollo de conceptos79. Definir la integral de línea de una función f a lo largo de una

curva suave C en el plano y en el espacio. ¿Cómo se evalúala integral de línea como integral definida?

80. Definir una integral de línea de un campo vectorial conti-nuo sobre una curva suave ¿Cómo se evalúa la integralde línea como integral definida?

81. Ordenar las superficies en forma ascendente del área de lasuperficie lateral bajo la superficie y sobre la curva desde hasta en el plano xy. Explicar el ordenelegido sin hacer cálculo alguno.

a) b)

c) d) z4 5 10 1 x 1 2yz3 5 2

z2 5 5 1 xz1 5 2 1 x

s4, 2ds0, 0dy 5 !x

C.F

sen

sen

72. Building Design The ceiling of a building has a height abovethe floor given by and one of the walls followsa path modeled by Find the surface area of the wall if

(All measurements are in feet.)

Moments of Inertia Consider a wire of density given bythe space curve

The moments of inertia about the - and -axes are given by

In Exercises 73 and 74, find the moments of inertia for the wireof density

73. A wire lies along andwith density

74. A wire lies along andwith density

75. Investigation The top outer edge of a solid with vertical sidesand resting on the plane is modeled by

where all measure-ments are in centimeters. The intersection of the plane

with the top of the solid is a horizontalline.

(a) Use a computer algebra system to graph the solid.

(b) Use a computer algebra system to approximate the lateralsurface area of the solid.

(c) Find (if possible) the volume of the solid.

76. Work A particle moves along the path from the pointto the point The force field is measured at five

points along the path, and the results are shown in the table. UseSimpson’s Rule or a graphing utility to approximate the workdone by the force field.

77. Work Find the work done by a person weighing 175 poundswalking exactly one revolution up a circular helical staircase ofradius 3 feet if the person rises 10 feet.

78. Investigation Determine the value of such that the workdone by the force field

on an object moving along the parabolic path between the points and is a minimum. Comparethe result with the work required to move the object along thestraight-line path connecting the points.


83. If is given by then

84. If then

85. The vector functions and define the same curve.

86. If then and are orthogonal.

87. Work Consider a particle that moves through the force fieldfrom the point to the point

along the curve Find the value of such that the work done by the force field is 1.

ky � t.x � kt�1 � t�,�0, 1��0, 0�F�x, y� � � y � x�i � xyj

TF�C

F T ds � 0,

0 � t � 1,�1 � t�i � �1 � t�2j,r2 �0 � t � 1,r1 � t i � t2j,

�C1

f �x, y� ds � �C2

f �x, y� ds � 0.C2 � �C1,

�C

xy ds � �1

0t2 dt.

0 � t � 1,y�t� � t,x�t� � t,C

�1, 0��1, 0�y � c�1 � x2�

F�x, y� � 15��4 � x2y�i � xyj

c

F�1, 1�.�0, 0�y � x2

y � b ��3 < b < 3�

r�t� � 3 cos t i � 3 sin tj � �1 � sin2 2t�k,xy-

�x, y� � y.a > 0,0 � t � 2�r�t� � a cos ti � a sin tj,

�x, y� � 1.a > 0,0 � t � 2�r�t� � a cos ti � a sin tj,

�.

Iy � �C

x2� �x, y� ds.

Ix � �C

y2� �x, y� ds

yx

C: r�t� � x�t�i 1 y�t�j, 0 � t � b.

� �x, y�

0 � x � 40.y � x3�2.z � 20 �

14x,


CAS

�x, y� �0, 0� �14, 1

16� �12, 1

4� �34, 9

16� �1, 1�

F�x, y� �5, 0� �3.5, 1� �2, 2� �1.5, 3� �1, 5�

79. Define a line integral of a function along a smooth curvein the plane and in space. How do you evaluate the line

integral as a definite integral?

80. Define a line integral of a continuous vector field on asmooth curve How do you evaluate the line integral as adefinite integral?

81. Order the surfaces in ascending order of the lateral surfacearea under the surface and over the curve from

to in the plane. Explain your orderingwithout doing any calculations.

(a) (b)

(c) (d) z4 � 10 � x � 2yz3 � 2

z2 � 5 � xz1 � 2 � x

xy-�4, 2��0, 0�y � x

C.F

Cf


82. For each of the following, determine whether the work donein moving an object from the first to the second pointthrough the force field shown in the figure is positive,negative, or zero. Explain your answer.

(a) From to

(b) From to

(c) From to �0, 3��5, 0��0, 3��3, 0�

y�3, 3��3, �3�

CAPSTONE

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1082



27.

28.

29.

30.

31.

32.



33.

34.


35.

from to


36.

from to

37.



38.


39.


40.

line from to


41.

42.

x

C

y

x

C

y

C

5, 3, 20, 0, 0C:


y

z

5

3

3

2

1C

y

z

π

3

π2

3

−3 −3

C



2, 02, 0y 4 x2C:

F x, y yi xj

−1−2 1 2−1

1

3

x

y

C

1

1

x

y

(0, 1)

C

0, 11, 00, 0C:

F x, y xi yj

0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,

F x, y x2i xyj

1

1

x

y

C

2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

(2, 8)

C

2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj


F x, y, zxi yj zk

x2 y2 z2



r t .C

C F dr





2 t 2C: r t ti 4 t2j,

F x, y 3x i 4yj


F x, y 3x i 4yj


F x, y xyi yj

0 t 1C: r t ti tj,

F x, y xi yj

r t .C

C F dr


CAS

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080

Para discusión82. En cada uno de los incisos siguientes, determinar si el tra-

bajo realizado para mover un objeto del primero hasta elsegundo punto a través del campo de fuerzas mostrado en lafigura es positivo, negativo o cero. Explicar la respuesta.

a) Desde (23, 23) hasta (3, 3)

b) Desde (23, 0) hasta (0, 3)

c) Desde (5, 0) hasta (0, 3)

x

y

Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1082

SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1083

15.3 Campos vectoriales conservativos e independenciade la trayectoria

n Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea.n Comprender el concepto de independencia de la trayectoria.n Comprender el concepto de conservación de energía.

Teorema fundamental de las integrales de línea

El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajorealizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo esindependiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una ge-neralización importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema funda-mental de las integrales de línea.

Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de uncampo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.

EJEMPLO 1 Integral de línea de un campo vectorial conservativo

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayecto-rias, como se muestra en la figura 15.19.

a) b) c)

Solución

a) Sea para por lo que

y

Entonces, el trabajo realizado es

b) Sea para por lo que

y


c) Sea para por lo que

y


Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todaslas trayectorias.

W 5 EC3

F ? dr 5 E2

0

5128

t4 dt 51

128t54

2

05

14

.

Fsx, yd 51

32t4 i 1

116

t2j.dr 5 112

i 138

t2j2 dt

0 ≤ t ≤ 2,rstd 512ti 1

18t3j

W 5 EC2

F ? dr 5 E1

0

58

t3y2 dt 514

t5y241

05

14

.

Fsx, yd 512

t3y2i 114

t2j.dr 5 1i 11

2!tj2 dt

0 ≤ t ≤ 1,rstd 5 ti 1 !t j

W 5 EC1

F ? dr 5 E1

0

34

t2 dt 514

t341

05

14

.

Fsx, yd 512

t2i 114

t2j.dr 5 si 1 jd dt

0 ≤ t ≤ 1,rstd 5 ti 1 tj

C3: y 5 x3C2: x 5 y2C1: y 5 x

Fsx, yd 512

xyi 114

x2j

x1

1 (1, 1)

(0, 0)

C1

C1: y = x

y

a)

x1

1 (1, 1)

(0, 0)

C2

C2: x = y2

y

b)

x1

1 (1, 1)

(0, 0)

C3

C3: y = x3

y

c)Figura 15.19

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1083


En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial es conserva-tivo porque donde En tales casos, el teorema siguienteestablece que el valor de está dado por

Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a tro-zos (o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave.Como se sigue que

y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene

El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo.

En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma si-guiente. Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por

Si es conservativo y M, N y P son continuas, entonces

donde El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial

F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simple-mente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.

Fsx, y, zd 5 =fsx, y, zd.

5 f sxsbd, ysbd, zsbdd 2 f sxsad, ysad, zsadd

EC

F ? dr 5 EC

=f ? dr


a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,

5 f sxsbd, ysbdd 2 fsxsad, ysadd.

EC

F ? dr 5 Eb

a

ddt

f fsxstd, ystddg dt

5 Eb

a3fxsx, yddx

dt1 fysx, yddy

dt 4 dt

EC

F ? dr 5 Eb

a

F ?drdt

dt

=fsx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj,Fsx, yd 5

DEMOSTRACIÓN

514

.

514

2 0

EC

F ? dr 5 fsxs1d, ys1dd 2 fsxs0d, ys0dd

eC F ? drfsx, yd 5

14x2y.Fsx, yd 5 =fsx, yd,

Fsx, yd 512xyi 1

14x2j

El teorema fundamental delas integrales de línea es similar al teo-rema fundamental de cálculo (sección4.4) que establece que

donde nF9sxd 5 f sxd.

Eb

a

f sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad

NOTA

TEOREMA 15.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por

Si es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,

donde es una función potencial de F. Es decir, Fsx, yd 5 =fsx, yd.f

EC

F ? dr 5 EC

=f ? dr 5 fsxsbd, ysbdd 2 fsxsad, ysadd

Fsx, yd 5 Mi 1 Nj

a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj,

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1084


EJEMPLO 2 Aplicación del teorema fundamentalde las integrales de línea

Evaluar donde C es una curva suave a trozos desde hasta y

como se muestra en la figura 15.20.

Solución Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde

Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales delínea, se sigue que

Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela porsustracción.

EJEMPLO 3 Aplicación del teorema fundamentalde las integrales de línea

Evaluar donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y

como se muestra en la figura 15.21.

Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, dondePor consiguiente, F es conservativo, y por el teorema funda-

mental de las integrales de línea, se sigue que

En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es elmismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en elejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por

Se obtendrá

5 17.

EC

F ? dr 5 E1

0s30t2 1 16t 2 1d dt

rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 1 tdj 1 3tk.

fsx, y, zd 5 x2y 1 yz2 1 K.

Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk

EC

F ? dr,

fsx, yd 5 x2y 2y2

21 K.

Fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj

s1, 2ds21, 4dEC

F ? dr,

x

1

1

2

2

3

4

−1−2

(1, 2)

(−1, 4)

C

yF(x, y) = 2xyi + (x2 − y)j

Aplicación del teorema fundamental de lasintegrales de línea, Figura 15.20

eC F ? dr.

C

(1, 1, 0)

(0, 2, 3)

x y

22

1

1

2

3

z

F(x, y, z) = 2xyi + (x2 + z2)j + 2yzk

Aplicación del teorema fundamental de lasintegrales de línea, Figura 15.21

eC F ? dr.

5 4.

5 312s2d 222

2 4 2 3s21d2s4d 242

2 4E

C

F ? dr 5 fs1, 2d 2 fs21, 4d

5 17.

5 fs0d2s2d 1 s2ds3d2g 2 fs1d2s1d 1 s1ds0d2g

EC

F ? dr 5 fs0, 2, 3d 2 fs1, 1, 0d

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Independencia de la trayectoria

Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que si F es continuo yconservativo en una región abierta R, el valor de es el mismo para toda curvasuave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describediciendo que la integral de línea es independiente de la trayectoria en laregión R.

Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la regiónpueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre completamente dentrode la región, como se muestra en la figura 15.22. En regiones abiertas y conexas, la inde-pendencia de la trayectoria de es equivalente a la condición de que F sea con-servativo.

Si F es conservativo, entonces, por el teorema fundamental de las inte-grales de línea, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ahora se demuestrael recíproco para una región plana conexa R. Sea y sea unpunto fijo en R. Si es cualquier punto en R, elíjase una curva suave a trozos C quevaya de a y defínase ƒ como

La existencia de C en R está garantizada por el hecho de que R es conexa. Se puede mostrarque ƒ es una función potencial de F considerando dos trayectorias diferentes entre y Para la primera trayectoria, elíjase en R tal que Esto es posible yaque R es abierta. Después elíjanse y como se muestra en la figura 15.23. Utilizandola independencia de la trayectoria, se sigue que

Como la primera integral no depende de x, y como en la segunda integral, se tiene

y entonces, la derivada parcial de ƒ con respecto a x es Para la segundatrayectoria, se elige un punto Utilizando un razonamiento similar al empleado parala primera trayectoria, se concluye que Por tanto,

y se sigue que F es conservativo.

5 Fsx, yd 5 M i 1 Nj

=fsx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj

fysx, yd 5 N.sx, y1d.

fxsx, yd 5 M.

fsx, yd 5 gsyd 1 EC2

M dx

dy 5 0

5 EC1

M dx 1 N dy 1 EC2

M dx 1 N dy.

fsx, yd 5 EC

M dx 1 N dy

C2,C1

x Þ x1.sx1, ydsx, yd.sx0, y0d

5 EC

M dx 1 N dy.fsx, yd 5 EC

F ? dr

sx, yd,sx0, y0dsx, yd

sx0, y0dFsx, yd 5 Mi 1 Nj,

DEMOSTRACIÓN

eC F ? dr

eC F ? dr

eC F ? dr

R1 es conexa

R1

R2 no esconexa

R2

CA

B

Figura 15.22

C2

C3

C4C1

(x0, y0)

(x1, y)

(x, y1)

(x, y)

Figura 15.23

TEOREMA 15.6 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALESCONSERVATIVOS

Si F es continuo en una región abierta y conexa, entonces la integral de línea

es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.

EC

F ? dr

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1086


EJEMPLO 4 Trabajo en un campo de fuerzas conservativo

Para el campo de fuerzas dado por

mostrar que es independiente de la trayectoria, y calcular el trabajo realizado porF sobre un objeto que se mueve a lo largo de una curva C desde hasta

Solución Al expresar el campo de fuerzas en la forma setiene y y se sigue que

Por tanto, F es conservativo. Si ƒ es una función potencial de F, entonces

Integrando con respecto a x, y y z por separado, se obtiene

Comparando estas tres versiones de se concluye que

Así, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde hastaes

¿Cuánto trabajo se realizaría si el objeto del ejemplo 4 se moviera del puntoal punto y después volviera al punto de partida El teore-

ma fundamental de las integrales de línea establece que el trabajo realizado sería cero.Recuérdese que, por definición, el trabajo puede ser negativo. Así, en el momento en el queel objeto vuelve a su punto de partida, la cantidad de trabajo que se registra positivamentese cancela por la cantidad de trabajo que se registra negativamente.

s0, py2, 1d?s1, p, 3ds0, py2, 1d

5 4 2 e.

5 s2e 1 6d 2 s0 1 2d

5 3ex cos y 1 2z4s1, p, 3d

s0, py2, 1d

W 5 EC

F ? dr

s1, p, 3ds0, py2, 1d

fsx, y, zd 5 ex cos y 1 2z 1 K.

fsx, y, zd,

fsx, y, zd 5 E fzsx, y, zd dz 5 E 2 dz 5 2z 1 ksx, yd.

fsx, y, zd 5 E fysx, y, zd dy 5 E 2ex sin y dy 5 ex cos y 1 hsx, zd

fsx, y, zd 5 E fxsx, y, zd dx 5 E ex cos y dx 5 ex cos y 1 gsy, zd

fzsx, y, zd 5 2.

fysx, y, zd 5 2ex sin y

fxsx, y, zd 5 ex cos y

Nx

5 2ex sin y 5My

.

Px

5 0 5Mz

Py

5 0 5Nz

P 5 2,N 5 2ex sin y,M 5 ex cos y,Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk,

s1, p, 3d.s0, py2, 1deC F ? dr

Fsx, y, zd 5 ex cos yi 2 ex sin yj 1 2ksen

sen y

sen

sen

sen

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1087


Una curva C dada por r(t) para es cerrada si Por el teoremafundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si F es continuo y conservati-vo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0.

EJEMPLO 5 Evaluación de una integral de línea

Evaluar donde

y es la trayectoria semicircular de (0, 0) a (2, 0), que se muestra en la figura 15.24.

Solución Se tienen las tres opciones siguientes.

a) Se puede utilizar el método presentado en la sección anterior para evaluar la integral delínea a lo largo de la curva dada. Para esto, se puede usar la parametrización

donde Con esta parametrización, se sigue quey

Esta integral desanimará a cualquiera que haya elegido esta opción.

b) Se puede intentar hallar una función potencial y evaluar la integral de línea medianteel teorema fundamental de las integrales de línea. Empleando la técnica demostrada enel ejemplo 4, se encuentra que la función potencial es y,por el teorema fundamental,

c) Sabiendo que F es conservativo, se tiene una tercera opción. Como el valor de la inte-gral de línea es independiente de la trayectoria, se puede reemplazar la trayectoria semi-circular con una trayectoria más simple. Supóngase que se elige la trayectoria rectilínea

desde hasta Entonces, donde Así, yde manera que

Obviamente, de las tres opciones, la tercera es la más sencilla.

EC1

F ? dr 5 EC2

F ? dr 5 E2

01 dt 5 t4

2

05 2.

s3xy2 1 1dj 5 i 1 j,Fsx, yd 5 sy3 1 1di 1dr 5 i dt0 ≤ t ≤ 2.rstd 5 ti,s2, 0d.s0, 0dC2

W 5 EC1

F ? dr 5 fs2, 0d 2 fs0, 0d 5 2.

fsx, yd 5 xy3 1 x 1 y 1 K,

EC1

F ? dr 5 Ep

0 ssin t 1 sin4 t 1 cos t 1 3 sin2 t cos t 2 3 sin2 t cos2 td dt.

dr 5 r9std dt 5 ssin t i 1 cos tjd dt,0 ≤ t ≤ p.rstd 5 s1 2 cos tdi 1 sin t j,

C1

Fsx, yd 5 sy3 1 1di 1 s3xy2 1 1dj

EC1

F ? dr,

rsad 5 rsbd.a ≤ t ≤ b

El teorema 15.7 proporcionavarias opciones para calcular una inte-gral de línea de un campo vectorialconservativo. Se puede usar una fun-ción potencial, o puede ser más conve-niente elegir una trayectoria particular-mente simple, como un segmento derecta. n

NOTA

C2: r(t) = ti

x1

1

2(0, 0)

(2, 0)

C1

C2

y

C1: r(t) = (1 − cos t)i + sen tj

Figura 15.24

TEOREMA 15.7 CONDICIONES EQUIVALENTES

Sea con primeras derivadas parciales continuas en unaregión abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condicionessiguientes son equivalentes.

1. es conservativo. Es decir, para alguna función

2. es independiente de la trayectoria.

3. para toda curva cerrada C en R.EC

F ? dr 5 0

EC

F ? dr

f.F 5 =fF


sensen

sen sen sen sen

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1088


Conservación de la energía

En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación oproducción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.”Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes dela física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice losiguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinéticade un objeto se mantiene constante de punto a punto.

Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley.De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es

La energía potencial de una partícula en el punto en un campo vec-torial conservativo F se define como donde es la función poten-cial de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave Cdesde A hasta B es

como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo es igual a la diferen-cia entre las energías potenciales en y Ahora, supóngase que es el vector posiciónde una partícula que se mueve a lo largo de desde hasta En cual-quier instante la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) =r�(t) y respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton,

y el trabajo realizado por F es

Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene

lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de puntoa punto.

p�A� � k�A� � p�B� � k�B�p�A� � p�B� � k�B� � k�A�

� k�B� � k�A�.

�12

m�v�b��2 �12

m �v�a��2

�m2 ��v�t��2�

b

a

�m2 ��v�t��2�

b

a

�m2

b

a

ddt

��v�t��2� dt

�m2

b

a

ddt

�v�t� � v�t�� dt

� b

a

m�v��t� � v�t�� dt

� b

a

F � v�t� dt � b

a

�mv��t�� v�t� dt

W � C

F � dr � b

a

F � r��t� dt

F � ma�t� � m�v��t��,v�t� � �v�t��,

t,B � r�b�.A � r�a�C

r�t�B.AW

� p�A� � p�B�

� �p�x, y, z��B

A

W � C

F � dr � f �x, y, z��B

A

fp�x, y, z� � �f �x, y, z�,�x, y, z�pk �

12 mv2.

El trabajo realizado por F a lo largo de C es

Figura 15.25

W � C

F � dr � p�A� � p�B�.

x

C

A

B

F

y

MICHAEL FARADAY (1791-1867)

Varios filósofos de la ciencia han considera-do que la ley de Faraday de la conservaciónde la energía es la mayor generalización con-cebida por el pensamiento humano. Muchosfísicos han contribuido a nuestroconocimiento de esta ley; dos de losprimeros y más importantes fueron JamesPrescott Joule (1818-1889) y HermannLudwig Helmholtz (1821-1894).

The

Gra

nger

Col

lect

ion

Larson-15-03.qxd 26/2/10 14:28 Página 1089


15.3 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, mostrar que el valor de es elmismo para cada representación paramétrica de

1.

a)

b)

2.

a)

b)

3.

a)

b)

4.

a)

b)

En los ejercicios 5 a 10, determinar si el campo vectorial es o noconservativo.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

En los ejercicios 11 a 24, hallar el valor de la integral de línea

(Sugerencia: Si F es conservativo, la integración puede ser mássencilla a través de una trayectoria alternativa.)

11.

a)

b)

12.

a)

b) La trayectoria cerrada que consiste en segmentos de rectadesde (0, 3) hasta (0, 0), después desde (0, 0) hasta (3, 0) ydesde (3, 0) hasta (0, 3)

13.

a)

b)

c)

14.

a)

b)

15.

a) b)

c) d)

16.

a) b)

c) d)

17.

a) elipse desde hasta

b) parábola desde hasta s0, 4ds2, 0dy 5 4 2 x2C:

s0, 4ds5, 0dx2

251

y 2

165 1C:

EC

2xy dx 1 sx2 1 y 2d dy

x−1

1

−1(0, −1)

(0, 1)

C4

x = 1 − y2y

x

2

4

6

8

1 2

(2, e2)

(0, 1)

C3

y = ex

y

x−1

1

−1(0, −1)

(0, 1)

C2

x = 1 − y2y

x1

1

2

2

3

3

4

4

(0, 0)

(2, 3)

(4, 1)C1

y

EC

s2x 2 3y 1 1d dx 2 s3x 1 y 2 5d dy

x1−1

−1

(−1, 0) (1, 0)

C4

y = 1 − x2y

x1−1

−1

(−1, 0) (1, 0)

C2

y = 1 − x2y

x1

1

2

2

3

3

4

4

(0, 0)

(3, 4)

(4, 4)

C1

y

EC

y 2 dx 1 2xy dy

0 ≤ t ≤ 2r2std 5 st 1 1d i 213st 2 3d j,

1 ≤ t ≤ 3r1std 5 t i 11t

j,

Fsx, yd 5 xy 2 i 1 2x2y j

0 ≤ t ≤ 1r3std 5 t i 1 t 3j,

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 t 2j,

0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t j,

Fsx, yd 5 y i 2 x j

0 ≤ t ≤ 3r1std 5 t i 2 st 2 3d j,

Fsx, yd 5 yexy i 1 xexy j

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 t3j,

0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2 j,

Fsx, yd 5 2xy i 1 x2 j

EC F ? dr.

Fsx, y, zd 5 sin yz i 1 xz cos yz j 1 xy sin yzk

Fsx, y, zd 5 y 2z i 1 2xyz j 1 xy 2 k

Fsx, y, zd 5 y ln z i 2 x ln z j 1xyz

k

Fsx, yd 51y2 s y i 1 xjd

Fsx, yd 5 15x2y 2 i 1 10x3yj

Fsx, yd 5 exssin y i 1 cos yjd

1 ≤ w ≤ e3r2swd 5 s2 1 ln wd i 1 s3 2 ln wdj,

0 ≤ t ≤ 3r1std 5 s2 1 td i 1 s3 2 tdj,

Fsx, yd 5 y i 1 x2 j

0 ≤ t ≤ 3r2std 5 !t 1 1 i 1 !t j,

0 ≤ u ≤p

3r1sud 5 sec u i 1 tan u j,

Fsx, yd 5 y i 2 x j

0 ≤ w ≤ 2r2swd 5 w2 i 1 w j,

0 ≤ t ≤ 4r1std 5 t i 1 !t j,

Fsx, yd 5 sx2 1 y 2d i 2 x j

0 ≤ u ≤p

2r2sud 5 sin u i 1 sin2 u j,

0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2j,

Fsx, yd 5 x2 i 1 xy j

C.eC F ? dr

sen sen

sen

sen sen

In Exercises 1–4, show that the value of is the same foreach parametric representation of

1.

(a)

(b)

2.

(a)

(b)

3.

(a)

(b)

4.

(a)

(b)

In Exercises 5–10, determine whether the vector field is conservative.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

In Exercises 11–24, find the value of the line integral

(Hint: If F is conservative, the integration may be easier on analternative path.)

11.

(a)

(b)

12.

(a)

(b) The closed path consisting of line segments from tofrom to and then from to

13.

(a)

(b)

(c)

14.

(a)

(b)

15.

(a) (b)

(c) (d)

16.

(a) (b)

(c) (d)

17.

(a) ellipse from to

(b) parabola from to �0, 4��2, 0�y � 4 � x2C:

�0, 4��5, 0�x2

25�

y 2

16� 1C:

�C

2xy dx � �x2 � y 2� dy

−1

1

−1(0, −1)

(0, 1)

C4

yx = 1 − y2

x

2

4

6

8

1 2

(2, e2)

(0, 1)

C3

y = ex

y

x−1

1

−1(0, −1)

(0, 1)

C2

yx = 1 − y2

1

1

2

2

3

3

4

4

(0, 0)

(2, 3)

(4, 1)C1

y

�C

�2x � 3y � 1� dx � �3x � y � 5� dy

1−1

−1

(−1, 0) (1, 0)

C4

yy = 1 − x2

1 2

1

(−1, −1) (1, −1)

(−1, 2) (2, 2)C3

y

x

x1−1

−1

(−1, 0) (1, 0)

C2

y = 1 − x2y

1

1

2

2

3

3

4

4

(0, 0)

(3, 4)

(4, 4)

C1

y

�C

y 2 dx � 2xy dy

0 � t � 2r2�t� � �t � 1� i �13�t � 3� j,

1 � t � 3r1�t� � t i �1t

j,

F�x, y� � xy 2 i � 2x2y j

0 � t � 1r3�t� � t i � t 3j,

0 � t � 1r2�t� � t i � t 2j,

0 � t � 1r1�t� � t i � t j,

F�x, y� � y i � x j

�0, 3��3, 0��3, 0�,�0, 0��0, 0�,�0, 3�

0 � t � 3r1�t� � t i � �t � 3� j,

F�x, y� � yexy i � xexy j

0 � t � 1r2�t� � t i � t3j,

0 � t � 1r1�t� � t i � t 2 j,

F�x, y� � 2xy i � x2 j

�C F � dr.

F�x, y, z� � sin yz i � xz cos yz j � xy sin yzk

F�x, y, z� � y 2z i � 2xyz j � xy 2 k

F�x, y, z� � y ln z i � x ln z j �xyz

k

F�x, y� �1y2 � y i � xj�

F�x, y� � 15x2y 2 i � 10x3yj

F�x, y� � ex�sin y i � cos yj�

1 � w � e3r2�w� � �2 � ln w� i � �3 � ln w�j,

0 � t � 3r1�t� � �2 � t� i � �3 � t�j,

F�x, y� � y i � x2 j

0 � t � 3r2�t� � �t � 1 i � �t j,

0 � � ��

3r1�� sec � i � tan � j,

F�x, y� � y i � x j

0 � w � 2r2�w� � w2 i � w j,

0 � t � 4r1�t� � t i � �t j,

F�x, y� � �x2 � y 2� i � x j

0 � � ��

2r2�� sin � i � sin2 � j,

0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j,

F�x, y� � x2 i � xy j

C.�C F � dr



1053714_1503_pg 1090.qxp 10/30/08 8:25 AM Page 1090Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1090


18.

a)

b)

19.

a)

b)

20.

a)

b)

21.

a)

b)

22.

a)

b)

23.

a)

b)

24.

a)

b)

En los ejercicios 25 a 34, evaluar la integral de línea utilizando elteorema fundamental de las integrales de línea. Utilizar un sis-tema algebraico por computadora y verificar los resultados.

25.

curva suave desde hasta

26.

curva suave desde (–1, 1) hasta (3, 2)

27.


28.


29.

cicloide desde hasta

30.

círculo en sentido de las maneci-llas del reloj desde hasta

31.

a) segmento de recta desde hasta

b) segmento de recta de a a

c) segmento de recta de a a y a

32. Repetir el ejercicio 31 utilizando la integral

33.


34.

curva suave desde hasta (3, 4, 0)

Trabajo En los ejercicios 35 y 36, hallar el trabajo realizadopor el campo de fuerzas F al mover un objeto desde P hasta Q.

35.

36. P(–1, 1), Q(3, 2)

37. Trabajo Una piedra de 1 libra atada al extremo de una cuerda dedos pies se hace girar horizontalmente con un extremo fijo.Realiza una revolución por segundo. Hallar el trabajo realizadopor la fuerza F que mantiene a la piedra en una trayectoria circu-lar. [Sugerencia: Usar fuerza = (masa)(aceleración centrípeta).]

38. Trabajo Si es un campo vecto-rial de fuerza constante, mostrar que el trabajo realizado almover una partícula a lo largo de la trayectoria desde P hasta Qes

39. Trabajo Para tener un medio de escape para los trabajadores enuna arriesgada tarea a 50 metros sobre el nivel del suelo, se insta-la un tobogán de cable. Corre desde su posición hasta un punto a50 metros de la base de la instalación donde se localizan los tra-bajadores. Mostrar que el trabajo realizado por el campo defuerzas gravitatorio para que un hombre de 175 libras recorra lalongitud del cable es el mismo en cada una de las trayectorias.

a)

b)

40. Trabajo ¿Se puede encontrar una trayectoria para el cable deltobogán del ejercicio 39 tal que el trabajo realizado por el campode fuerzas gravitatorio sea distinto de las cantidades de trabajorealizadas para las dos trayectorias dadas? Explicar por qué sí opor qué no.

rstd 5 t i 11

50s50 2 td2j

rstd 5 t i 1 s50 2 tdj

W 5 F ? PQ\

.

Fsx, y, zd 5 a1i 1 a2j 1 a3k

Fsx, yd 52xy

i 2x2

y 2 j;

Qs5, 9dPs0, 0d,Fsx, yd 5 9x2y 2 i 1 s6x3y 2 1dj;

s0, 0, 0dC:

EC

6x dx 2 4z dy 2 s4y 2 20zd dz

1p

2, 3, 42s0, 0, 0dC:

EC

2sin x dx 1 z dy 1 y dz

EC

zy dx 1 xz dy 1 xy dz.

s1, 1, 1ds1, 1, 0ds1, 0, 0ds0, 0, 0dC:

s1, 1, 1ds0, 0, 1ds0, 0, 0dC:

s1, 1, 1ds0, 0, 0dC:

s1, 5ds7, 5dsx 2 4d2 1 sy 2 5d2 5 9C:

EC

2x

sx2 1 y2d2 dx 12y

sx2 1 y 2d2 dy

s2p, 0ds0, 0dy 5 1 2 cos ux 5 u 2 sin u,C:

EC

ex sin y dx 1 ex cos y dy

s2!3, 2ds1, 1dC:

EC

y dx 2 x dy

x2 1 y 2

13p

2,

p

22s0, 2pdC:

EC

cos x sin y dx 1 sin x cos y dy

C:

EC

f2sx 1 ydi 1 2sx 1 ydjg ? dr

s3, 8ds0, 0dC:

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 4t i 1 4tj,

0 ≤ t ≤ 2r1std 5 t2 i 1 t 2 j,

Fsx, y, zd 5 y sin z i 1 x sin z j 1 xy cos xk

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s4 2 8td i 1 3k,

0 ≤ t ≤ pr1std 5 4 cos t i 1 4 sin t j 1 3k,

Fsx, y, zd 5 ezsy i 1 x j 1 xykd0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s1 2 2td i 1 ptk,

0 ≤ t ≤ pr1std 5 cos t i 1 sin t j 1 tk,

Fsx, y, zd 5 2y i 1 x j 1 3xz2 k

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 tj 1 s2t 2 1d2k,

0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2j 1 k,

Fsx, y, zd 5 s2y 1 xd i 1 sx2 2 zd j 1 s2y 2 4zdk

0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s1 2 2td i 1 p2tk,

0 ≤ t ≤ pr1std 5 cos t i 1 sin t j 1 t2 k,

Fsx, y, zd 5 i 1 z j 1 yk

0 ≤ t ≤ 2r2std 5 t 2 i 1 tj 1 t 2k,

0 ≤ t ≤ 4r1std 5 t i 1 2 j 1 tk,

Fsx, y, zd 5 yz i 1 xz j 1 xyk

0 ≤ t ≤p

2r2std 5 2 cos t i 1 2 sin t j,

0 ≤ t ≤ 2r1std 5 t3 i 1 t 2 j,

EC

sx2 1 y 2d dx 1 2xy dy

Desarrollo de conceptos41. Enunciar el teorema fundamental de las integrales de línea.

42. ¿Qué significa que una integral de línea sea independiente dela trayectoria? Enunciar el método para determinar si unaintegral de línea es independiente de la trayectoria.

sen

sen

sen

sen

sen sen

sen sen

sen

sen

sen

18.

(a)

(b)

19.

(a)

(b)

20.

(a)

(b)

21.

(a)

(b)

22.

(a)

(b)

23.

(a)

(b)

24.

(a)

(b)

In Exercises 25–34, evaluate the line integral using theFundamental Theorem of Line Integrals. Use a computeralgebra system to verify your results.

25.

smooth curve from to

26.


27.

line segment from to

28.


29.

cycloid from to

30.

circle clockwise from to

31.

(a) line segment from to

(b) line segments from to to

(c) line segments from to to to

32. Repeat Exercise 31 using the integral

33.


34.


Work In Exercises 35 and 36, find the work done by the forcefield F in moving an object from to

35.

36.

37. Work A stone weighing 1 pound is attached to the end of atwo-foot string and is whirled horizontally with one end heldfixed. It makes 1 revolution per second. Find the work done bythe force that keeps the stone moving in a circular path.[Hint: Use Force (mass)(centripetal acceleration).]

38. Work If is a constant forcevector field, show that the work done in moving a particle alongany path from to is

39. Work To allow a means of escape for workers in a hazardousjob 50 meters above ground level, a slide wire is installed. It runs from their position to a point on the ground 50 metersfrom the base of the installation where they are located. Showthat the work done by the gravitational force field for a175-pound worker moving the length of the slide wire is thesame for each path.

(a)

(b)

40. Work Can you find a path for the slide wire in Exercise 39such that the work done by the gravitational force field woulddiffer from the amounts of work done for the two paths given?Explain why or why not.

r�t� � t i �1

50�50 � t�2j

r�t� � t i � �50 � t�j

W � F � PQ\

.QP

F�x, y, z� � a1i � a2j � a3k

�F

Q�3, 2�P��1, 1�,F�x, y� �2xy

i �x2

y 2 j;

Q�5, 9�P�0, 0�,F�x, y� � 9x2y 2 i � �6x3y � 1�j;

Q.P

�3, 4, 0��0, 0, 0�C:

�C

6x dx � 4z dy � �4y � 20z� dz

�

2, 3, 4��0, 0, 0�C:

�C

�sin x dx � z dy � y dz

�C

zy dx � xz dy � xy dz.

�1, 1, 1��1, 1, 0��1, 0, 0��0, 0, 0�C:

�1, 1, 1��0, 0, 1��0, 0, 0�C:

�1, 1, 1��0, 0, 0�C:

�C

�z � 2y� dx � �2x � z� dy � �x � y� dz

�1, 5��7, 5��x � 4�2 � �y � 5�2 � 9C:

�C

2x�x2 � y2�2 dx �

2y�x2 � y 2�2 dy

�2, 0��0, 0�y � 1 � cos x � � sin ,C:

�C

ex sin y dx � ex cos y dy

�23, 2��1, 1�C:

�C

y dx � x dyx2 � y 2

�3

2,

2��0, ��C:

�C

cos x sin y dx � sin x cos y dy

�3, 2��1, 1�C:

�C

2�x � y�i � 2�x � y�j� � dr

�3, 8��0, 0�C:

�C

�3y i � 3x j� � dr

0 � t � 1r2�t� � 4t i � 4tj,

0 � t � 2r1�t� � t2 i � t 2 j,

F�x, y, z� � y sin z i � x sin z j � xy cos xk

0 � t � 1r2�t� � �4 � 8t� i � 3k,

0 � t � r1�t� � 4 cos t i � 4 sin t j � 3k,

F�x, y, z� � ez�y i � x j � xyk�0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � tk,

0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � tk,

F�x, y, z� � �y i � x j � 3xz2 k

0 � t � 1r2�t� � t i � tj � �2t � 1�2k,

0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j � k,

F�x, y, z� � �2y � x� i � �x2 � z� j � �2y � 4z�k

0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � 2tk,

0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � t2 k,

F�x, y, z� � i � z j � yk

0 � t � 2r2�t� � t 2 i � tj � t 2k,

0 � t � 4r1�t� � t i � 2 j � tk,

F�x, y, z� � yz i � xz j � xyk

0 � t �

2r2�t� � 2 cos t i � 2 sin t j,

0 � t � 2r1�t� � t3 i � t 2 j,

�C

�x2 � y 2� dx � 2xy dy

15.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path 1091

41. State the Fundamental Theorem of Line Integrals.

42. What does it mean that a line integral is independent ofpath? State the method for determining if a line integral isindependent of path.


1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1091

18.

(a)

(b)

19.

(a)

(b)

20.

(a)

(b)

21.

(a)

(b)

22.

(a)

(b)

23.

(a)

(b)

24.

(a)

(b)

In Exercises 25–34, evaluate the line integral using theFundamental Theorem of Line Integrals. Use a computeralgebra system to verify your results.

25.


26.


27.


28.


29.

cycloid from to

30.

circle clockwise from to

31.


(b) line segments from to to

(c) line segments from to to to

32. Repeat Exercise 31 using the integral

33.


34.


Work In Exercises 35 and 36, find the work done by the forcefield F in moving an object from to

35.

36.

37. Work A stone weighing 1 pound is attached to the end of atwo-foot string and is whirled horizontally with one end heldfixed. It makes 1 revolution per second. Find the work done bythe force that keeps the stone moving in a circular path.[Hint: Use Force (mass)(centripetal acceleration).]

38. Work If is a constant forcevector field, show that the work done in moving a particle alongany path from to is

39. Work To allow a means of escape for workers in a hazardousjob 50 meters above ground level, a slide wire is installed. It runs from their position to a point on the ground 50 metersfrom the base of the installation where they are located. Showthat the work done by the gravitational force field for a175-pound worker moving the length of the slide wire is thesame for each path.

(a)

(b)

40. Work Can you find a path for the slide wire in Exercise 39such that the work done by the gravitational force field woulddiffer from the amounts of work done for the two paths given?Explain why or why not.

r�t� � t i �1

50�50 � t�2j

r�t� � t i � �50 � t�j

W � F � PQ\

.QP

F�x, y, z� � a1i � a2j � a3k

�F

Q�3, 2�P��1, 1�,F�x, y� �2xy

i �x2

y 2 j;

Q�5, 9�P�0, 0�,F�x, y� � 9x2y 2 i � �6x3y � 1�j;

Q.P

�3, 4, 0��0, 0, 0�C:

�C

6x dx � 4z dy � �4y � 20z� dz

�

2, 3, 4��0, 0, 0�C:

�C

�sin x dx � z dy � y dz

�C

zy dx � xz dy � xy dz.

�1, 1, 1��1, 1, 0��1, 0, 0��0, 0, 0�C:

�1, 1, 1��0, 0, 1��0, 0, 0�C:

�1, 1, 1��0, 0, 0�C:

�C

�z � 2y� dx � �2x � z� dy � �x � y� dz

�1, 5��7, 5��x � 4�2 � �y � 5�2 � 9C:

�C

2x�x2 � y2�2 dx �

2y�x2 � y 2�2 dy

�2, 0��0, 0�y � 1 � cos x � � sin ,C:

�C

ex sin y dx � ex cos y dy

�23, 2��1, 1�C:

�C


�3

2,

2��0, ��C:

�C

cos x sin y dx � sin x cos y dy

�3, 2��1, 1�C:

�C

2�x � y�i � 2�x � y�j� � dr

�3, 8��0, 0�C:

�C

�3y i � 3x j� � dr

0 � t � 1r2�t� � 4t i � 4tj,

0 � t � 2r1�t� � t2 i � t 2 j,

F�x, y, z� � y sin z i � x sin z j � xy cos xk

0 � t � 1r2�t� � �4 � 8t� i � 3k,

0 � t � r1�t� � 4 cos t i � 4 sin t j � 3k,

F�x, y, z� � ez�y i � x j � xyk�0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � tk,

0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � tk,

F�x, y, z� � �y i � x j � 3xz2 k

0 � t � 1r2�t� � t i � tj � �2t � 1�2k,

0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j � k,

F�x, y, z� � �2y � x� i � �x2 � z� j � �2y � 4z�k

0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � 2tk,

0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � t2 k,

F�x, y, z� � i � z j � yk

0 � t � 2r2�t� � t 2 i � tj � t 2k,

0 � t � 4r1�t� � t i � 2 j � tk,

F�x, y, z� � yz i � xz j � xyk

0 � t �

2r2�t� � 2 cos t i � 2 sin t j,

0 � t � 2r1�t� � t3 i � t 2 j,

�C

�x2 � y 2� dx � 2xy dy

15.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path 1091

41. State the Fundamental Theorem of Line Integrals.

42. What does it mean that a line integral is independent ofpath? State the method for determining if a line integral isindependent of path.




43. Para pensar Sea Encontrar el

valor de la integral de línea

En los ejercicios 45 y 46, considerar el campo de fuerzas mostra-do en la figura. ¿Es el campo de fuerzas conservativo? Explicarpor qué sí o por qué no.

45. 46.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 47 a 50, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

47. Si y tienen los mismos puntos inicial y final yentonces

48. Si y está dada por entonces

49. Si es conservativo en una región limitada o acotada por unatrayectoria cerrada simple y está contenida en entonces

es independiente de la trayectoria.

50. Si y entonces es conserva-tivo.

51. Una función es armónica si Demostrar que

si es armónica, entonces

donde C es una curva suave cerrada en el plano.

52. Energía potencial y cinética La energía cinética de un objetoque se mueve a través de un campo de fuerzas conservativo dis-minuye a una velocidad o ritmo de 15 unidades por minuto. ¿Aqué ritmo cambia su energía potencial?

53. Sea

a) Mostrar que

donde

y

b) Si para hallar

c) Si para hallar

d) Si para hallar ¿Por qué esto no contradice el teorema 15.7?

e) Mostrar que =1arctan xy2 5 F.

eC F ? dr.0 ≤ t ≤ 2p,rstd 5 cos t i 1 sin t j

eC F ? dr.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 cos t i 2 sin t j

eC F ? dr.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 cos t i 1 sin t j

N 52x

x2 1 y 2.M 5y

x2 1 y 2

Nx

5My

Fsx, yd 5y

x2 1 y 2 i 2x

x2 1 y2 j.

EC

1fy

dx 2fx

dy2 5 0

f

2fx2 1

2fy 2 5 0.f

FMyx 5 Nyy,F 5 M i 1 N j

eC F ? drR,C

RF

eC F ? dr 5 0.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 s4 sin tdi 1 s3 cos tdj,CF 5 y i 1 x j

eC1 F ? dr1 5 eC3

F ? dr3.eC1 F ? dr1 5 eC2

F ? dr2,C3C1, C2,

x

y

x

y

43. Think About It Let Find the

value of the line integral

a) b)

c) d)

In Exercises 45 and 46, consider the force field shown in thefigure. Is the force field conservative? Explain why or why not.

45. 46.


47. If and have the same initial and terminal points andthen

48. If and is given by then

49. If is conservative in a region bounded by a simple closedpath and lies within then is independent of path.

50. If and then is conservative.

51. A function is called harmonic if Prove that if

is harmonic, then

where is a smooth closed curve in the plane.

52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of an objectmoving through a conservative force field is decreasing at a rateof 15 units per minute. At what rate is the potential energychanging?

53. Let

(a) Show that

where

and

(b) If for find

(c) If for find

(d) If for find Why doesn’t this contradict Theorem 15.7?

(e) Show that arctanxy

F.

C F dr.0 t 2 ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t j

Nx

x2 y 2.My

x2 y 2

Nx

My

F x, yy

x2 y 2 ix

x2 y2 j.

C

C

fy

dxfx

dy 0

f

2fx2

2fy 2 0.f

FM x N y,F M i N jC F drR,CRF

C F dr 0.0 t ,r t 4 sin t i 3 cos t j,CF y i x j

C1F dr1 C3

F dr3.C1F dr1 C2

F dr2,C3C1, C2,

x

y

x

y

y

x

C4

y

x

C3

y

x

C2

y

x

C1

C

F dr.

F x, yy

x2 y2 ix

x2 y2 j.


44. Consider the force field shown in the figure.

(a) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can identify two paths thatrequire different amounts of work to move an objectfrom to Identify two paths and statewhich requires the greater amount of work. To print an enlarged copy of the graph, go to the website www.mathgraphs.com.

(b) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can find a closed curve such that

C

F dr 0.

C

3, 4 .4, 0

x

−5

−5

y

CAPSTONE

1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092

sen

sen

sen

sen

y

Para discusión44. Considerar el campo de fuerzas mostrado en la figura.

a) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no esconservativo porque se pueden encontrar dos trayectoriasque requieren cantidades diferentes de trabajo paramover un objeto desde hasta Identificardos trayectorias y decir cuál requiere mayor cantidad detrabajo.

b) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no esconservativo porque se puede encontrar una curva ce-rrada C tal que

EC

F ? dr Þ 0.

s3, 4d.s24, 0d

x

y

−5

−5



a) b)

c) d)


45. 46.







is harmonic, then



53. Let

(a) Show that

where

and

(b) If for find

(c) If for find



F.


Nx

x2 y 2.My

x2 y 2

Nx

My

F x, yy

x2 y 2 ix

x2 y2 j.

C

C

fy

dxfx

dy 0

f

2fx2

2fy 2 0.f



C1F dr1 C3

F dr3.C1F dr1 C2

F dr2,C3C1, C2,

x

y

x

y

y

x

C4

y

x

C3

y

x

C2

y

x

C1

C

F dr.

F x, yy

x2 y2 ix

x2 y2 j.





C

F dr 0.

C

3, 4 .4, 0

x

−5

−5

y

CAPSTONE

1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092



a) b)

c) d)


45. 46.







is harmonic, then



53. Let

(a) Show that

where

and

(b) If for find

(c) If for find



F.


Nx

x2 y 2.My

x2 y 2

Nx

My

F x, yy

x2 y 2 ix

x2 y2 j.

C

C

fy

dxfx

dy 0

f

2fx2

2fy 2 0.f



C1F dr1 C3

F dr3.C1F dr1 C2

F dr2,C3C1, C2,

x

y

x

y

y

x

C4

y

x

C3

y

x

C2

y

x

C1

C

F dr.

F x, yy

x2 y2 ix

x2 y2 j.





C

F dr 0.

C

3, 4 .4, 0

x

−5

−5

y

CAPSTONE

1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092

Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1092

SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1093

15.4 Teorema de Green

n Utilizar el teorema de Green para evaluar una integral de línea.n Utilizar formas alternativas del teorema de Green.

Teorema de Green

En esta sección se estudiará el teorema de Green, que recibe este nombre en honor delmatemático inglés George Green (1793-1841). Este teorema establece que el valor de unaintegral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor deuna integral de línea a lo largo de la frontera de R.

Una curva C dada por donde es simple si no se cortaa sí misma, es decir, para todo c y d en el intervalo abierto Una regiónplana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntosque están en R (ver la figura 15.26).

Se da una demostración sólo para una región que es vertical y horizon-talmente simple, como se muestra en la figura 15.27.

Por otro lado,

Por consiguiente,

De manera similar, se pueden usar g1(y) y g2(y) para demostrar que Sumando las integrales y se llega a la conclusión establecida en el teo-rema.

eC N dy,eC M dx

Use Green’s Theorem to evaluate a line integral.n Use alternative forms of Green’s Theorem.

Green’s TheoremIn this section, you will study Green’s Theorem, named after the English mathematicianGeorge Green (1793–1841). This theorem states that the value of a double integralover a simply connected plane region is determined by the value of a line integral around the boundary of

A curve given by where is simple if it does notcross itself—that is, for all and in the open interval A planeregion is simply connected if every simple closed curve in encloses only pointsthat are in (see Figure 15.26).

A proof is given only for a region that is both vertically simple and horizon-tally simple, as shown in Figure 15.27.

On the other hand,

Consequently,

Similarly, you can use and to show that Byadding the integrals and you obtain the conclusion stated in thetheorem. n

eC N dy,eC M dxeC N dy 5 eRe Nyx dA.g2s ydg1s yd

EC

M dx 5 2ERE

My

dA.

5 Eb

a

fMsx, f2sxdd 2 Msx, f1sxddg dx.

5 Eb

a

Msx, yd4f2sxd

f1 sxddx

ERE

My

dA 5 Eb

aEf

2sxd

f1sxd My

dy dx

5 Eb

a

fMsx, f1sxdd 2 Msx, f2sxddg dx

5 Eb

a

Msx, f1sxdd dx 1 Ea

b

Msx, f2sxdd dx

EC

M dx 5 EC1

M dx 1 EC2

M dx

PROOF

RRR

sa, bd.dcrscd Þ rsdda # t # b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,C

R.R

THEOREM 15.8 GREEN’S THEOREM

Let be a simply connected region with a piecewise smooth boundary oriented counterclockwise (that is, is traversed once so that the region always lies to the left). If and have continuous first partial derivatives inan open region containing then

EC

M dx 1 N dy 5 ERE 1N

x2

My 2 dA.

R,NM

RCC,R

r(a) = r(b)

R1

R2

R3

Simply connected

Not simpl connected

Figure 15.26

xC = C1 + C2

C1: y = f1(x)

C2:y = f2(x)

R

a b

y

is vertically simple.R

xC ′ = C ′1 + C ′2

C ′2: x = g2(y)

R

d

c

C ′1:x = g1(y)

y

is horizontally simple.Figure 15.27R

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1093

EC

M dx 5 2ERE

My

dA.

5 Eb

a

fMsx, f2sxdd 2 Msx, f1sxddg dx.

5 Eb

a

Msx, yd4f2sxd

f1 sxddx

ERE

My

dA 5 Eb

aEf

2sxd

f1sxd My

dy dx

5 Eb

a

fMsx, f1sxdd 2 Msx, f2sxddg dx

5 Eb

a

Msx, f1sxdd dx 1 Ea

b

Msx, f2sxdd dx

EC

M dx 5 EC1

M dx 1 EC2

M dx

DEMOSTRACIÓN

sa, bd.rscd Þ rsdda ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,

r(a) = r(b)

R1

R2

R3

Simplemente conexa

No simplemente conexas

Figura 15.26

xC = C1 + C2

C1: y = f1(x)

C2:y = f2(x)

R

a b

y

R es verticalmente simple

xC ′ = C ′1 + C ′2

C ′2: x = g2(y)

R

d

c

C ′1:x = g1(y)

y

R es horizontalmente simpleFigura 15.27

TEOREMA 15.8 TEOREMA DE GREEN

Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos,orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre unavez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienenderivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces

EC


x2

My 2 dA.

Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1093


EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Green

Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y desde(1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de como se muestra en la figura 15.28.

Solución Como y se sigue que

y

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restric-ciones establecidas en el teorema 15.8, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo,cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo. Para ver esto, tratar deaplicar las técnicas descritas en la sección 15.2 para evaluar la integral de línea del ejem-plo l. Para esto, se necesitará escribir la integral de línea como

donde es la trayectoria cúbica dada por

desde hasta y es el segmento de recta dado por

desde hasta t 5 1.t 5 0

rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 tdj

C2t 5 1,t 5 0

rstd 5 t i 1 t3j

C1

EC1

y3 dx 1 sx3 1 3xy 2d dy 1 EC2


EC

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5

514

.

5 33x4

42

x6

2 41

0

5 E1

0 s3x3 2 3x5d dx

5 E1

0 3x2y4

x

x3 dx

5 E1

0Ex

x3

3x2 dy dx

5 E1

0Ex

x3

fs3x2 1 3y2d 2 3y2g dy dx

EC

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5 ERE 1N

x2

My 2 dA

My

5 3y2.Nx

5 3x2 1 3y2

N 5 x3 1 3xy2,M 5 y3

y 5 x,y 5 x3

EC


GEORGE GREEN (1793-1841)

Green, autodidacta, hijo de un molinero, publicó por primera vez el teorema que llevasu nombre en 1828 en un ensayo sobre elec-tricidad y magnetismo. En ese tiempo nohabía casi ninguna teoría matemática paraexplicar fenómenos eléctricos.“Considerando cuán deseable sería que unaenergía de naturaleza universal, como laelectricidad, fuera susceptible, hasta dondefuera posible, de someterse al cálculo. . . mevi impulsado a intentar descubrir cualquierposible relación general entre esta función ylas cantidades de electricidad en los cuerposque la producen.”

x1

1

C = C1 + C2

C1

C2

(1, 1)

(0, 0)

y = x

y = x3

y

C es simple y cerrada, y la región R siemprese encuentra a la izquierda de CFigura 15.28

Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1094


EJEMPLO 2 Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo

Estando sometida a la fuerza

una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 15.29. Aplicar elteorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

Solución Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que

En coordenadas polares, usando y el trabajo realizado es

Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vecto-riales conservativos (campos en los que ), el valor de la integral de línea es0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema de Green:

EJEMPLO 3 Teorema de Green y campos vectoriales conservativos

Evaluar la integral de línea

donde C es la trayectoria mostrada en la figura 15.30.

Solución A partir de esta integral de línea, y Así que,y Esto implica que el campo vectorial es conservativo, ycomo C es cerrada, se concluye que

EC

y3 dx 1 3xy2 dy 5 0.

F 5 Mi 1 NjMyy 5 3y2.Nyx 5 3y2N 5 3xy2.M 5 y3

EC

y3 dx 1 3xy2 dy

EC


x2

My 2 dA 5 0.

Nyx 5 Myy

5243p

4.

52438 3u 1

sin 2u

2 42p

0

52438

E2p

0 s1 1 cos 2ud du

5 3 E2p

0 814

cos2 u du

5 3E2p

0 r4

4 cos2 u4

3

0du

5 3E2p

0E3

0 r3 cos2 u dr du

W 5 ERE 3x2 dA 5 E2p

0E3

0 3sr cos ud2 r dr du

dA 5 r dr du,x 5 r cos u

EC

y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5 ERE 3x2 dA.

Fsx, yd 5 y3i 1 sx3 1 3xy2dj

x

r = 3

C

−2 −1 1 2

2

1

−1

−2

y

F(x, y) = y3i + (x3 + 3xy2)j

Figura 15.29

x

C

y

C es cerradaFigura 15.30

sen

Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1095


EJEMPLO 4 Aplicación del teorema de Green para una curva suave a trozos (o por partes)

Evaluar

donde C es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 15.31.

Solución En coordenadas polares, R está dada por para Y,

Así, por el teorema de Green,

En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar integrales de líneacomo integrales dobles. También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales do-bles como integrales de línea. Una aplicación útil se da cuando

Entre las muchas opciones para M y N que satisfacen la condición establecida, la opciónde y da la siguiente integral de línea para el área de la región R.N 5 xy2M 5 2yy2

5 area of region R

Nx

2My

5 1 5 ERE 1 dA

EC


x2

My 2 dA

Nyx 2 Myy 5 1.

5 21043

.

5 2523 3sin u 2 cos u4

p

0

5 Ep

0 12

523 2scos u 1 sin ud du

5 Ep

022scos u 1 sin ud r

3

3 43

1du

5 Ep

0E3

1 22rscos u 1 sin udr dr du

EC

sarctan x 1 y2d dx 1 sey 2 x2d dy 5 ERE22sx 1 yd dA

Nx

2My

5 22x 2 2y 5 22sr cos u 1 r sin ud.

0 ≤ u ≤ p.1 ≤ r ≤ 3

EC

sarctan x 1 y2d dx 1 sey 2 x2d dy

x

C

(0, 3)

(3, 0)(1, 0)(−1, 0)(−3, 0)

R

y

C es suave a trozosFigura 15.31

TEOREMA 15.9 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA

Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suavea trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el áreade R está dada por

A 512

EC

x dy 2 y dx.

área de la región R

sen

sen

sen

sen

sen

Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1096


EJEMPLO 5 Hallar el área mediante una integral de línea

Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse

Solución Utilizando la figura 15.32, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una orien-tación en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo

y

Por tanto, el área es

El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son sim-plemente conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 6 El teorema de Green extendido a una regióncon un orificio

Sea R la región interior a la elipse y exterior al círculo Evaluar la integral de línea

donde es la frontera de R, como se muestra en la figura 15.33.

Solución Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta y como semuestra en la figura 15.33. Nótese que como las curvas y tienen orientaciones opues-tas, las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre sí. Además, se puede aplicar el teo-rema de Green a la región R utilizando la frontera para obtener

5 10p.

5 2fp s3ds2d 2 p s12dg

5 2spab 2 pr2d

5 2sarea of Rd

5 2ERE dA

5 ERE s2x 1 2 2 2xd dA

EC

2xy dx 1 sx2 1 2xd dy 5 ERE 1N

x2

My 2 dA

C1 1 C4 1 C2 1 C3

C4C3

C4,C3

C 5 C1 1 C2

EC

2xy dx 1 sx2 1 2xd dy

x2 1 y2 5 1.sx2y9d 1 s y2y4d 5 1

5 p ab.

5ab2 3t4

2p

0

5ab2

E2p

0 scos2 t 1 sin2 td dt

A 512

EC

x dy 2 y dx 512

E2p

0 fsa cos tdsb cos td dt 2 sb sin tds2a sin td dtg

0 ≤ t ≤ 2p.y 5 b sin t,x 5 a cos t

x2

a2 1y2

b2 5 1.

x

ba

x2 y2

a2 b2 = 1+

R

y

Figura 15.32

x

C1: ElipseC2: Círculo

C3: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3C4: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3

C2

C3

C4

C1 R

3

2

−2

−3

y

Figura 15.33

2(área de R)

sen

sen sen

sen

Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1097


En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vec-toriales conservativos. Ahí sólo se presentó una dirección de la demostración. Ahora se puededar la otra dirección, usando el teorema de Green. Sea definido en undisco abierto R. Se quiere demostrar que si M y N tienen primeras derivadas parciales con-tinuas y

entonces F es conservativo. Supóngase que C es una trayectoria cerrada que forma la fron-tera de una región conexa contenida en R. Entonces, usando el hecho de que

se puede aplicar el teorema de Green para concluir que

Esto es, a su vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7).

Formas alternativas del teorema de Green

Esta sección concluye con la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema deGreen para regiones en el plano. La extensión de estas formas vectoriales a tres dimen-siones es la base del estudio en el resto de las secciones de este capítulo. Si F es un campovectorial en el plano, se puede escribir

por lo que el rotacional de F, como se describió en la sección 15.1, está dada por

Por consiguiente,

Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green enforma vectorial

Primera forma alternativa.

La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio dalugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.

5 ERE scurl Fd ? k dA.

EC

F ? dr 5 ERE 1N

x2

My 2 dA

5Nx

2My

.

scurl Fd ? k 5 32Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k4 ? k

5 2Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k.

curl F 5 = 3 F 5 | i

x

M

j

y

N

k

z

0 |Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

5 0.

5 ERE 1N

x2

My 2 dA

EC

F ? dr 5 EC

M dx 1 N dy

In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fieldswas listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline theother direction, using Green’s Theorem. Let be defined on an opendisk You want to show that if and have continuous first partial derivatives and

then is conservative. Suppose that is a closed path forming the boundary of aconnected region lying in Then, using the fact that you can applyGreen’s Theorem to conclude that

This, in turn, is equivalent to showing that is conservative (see Theorem 15.7).

Alternative Forms of Green’s TheoremThis section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theoremfor regions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is thebasis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If is a vector fieldin the plane, you can write

so that the curl of as described in Section 15.1, is given by

Consequently,

With appropriate conditions on and you can write Green’s Theorem inthe vector form

First alternative form

The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space producesStokes’s Theorem, discussed in Section 15.8.


EC

F ? dr 5 ERE 1N

x2

My 2 dA

R,C,F,

5Nx

2My

.

scurl Fd ? k 5 32Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k4 ? k

5 2Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k.

curl F 5 = 3 F 5 | i

x

M

j

y

N

k

z

0 |F,

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

F

F

5 0.

5 ERE 1N

x2

My 2 dA

EC

F ? dr 5 EC

M dx 1 N dy

Myy 5 Nyx,R.CF

My

5Nx

NMR.Fsx, yd 5 Mi 1 Nj


1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1098

In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fieldswas listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline theother direction, using Green’s Theorem. Let be defined on an opendisk You want to show that if and have continuous first partial derivatives and

then is conservative. Suppose that is a closed path forming the boundary of aconnected region lying in Then, using the fact that you can applyGreen’s Theorem to conclude that

This, in turn, is equivalent to showing that is conservative (see Theorem 15.7).

Alternative Forms of Green’s TheoremThis section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theoremfor regions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is thebasis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If is a vector fieldin the plane, you can write

so that the curl of as described in Section 15.1, is given by

Consequently,

With appropriate conditions on and you can write Green’s Theorem inthe vector form

First alternative form

The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space producesStokes’s Theorem, discussed in Section 15.8.


EC

F ? dr 5 ERE 1N

x2

My 2 dA

R,C,F,

5Nx

2My

.

scurl Fd ? k 5 32Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k4 ? k

5 2Nz

i 1Mz

j 1 1Nx

2My 2k.

curl F 5 = 3 F 5 | i

x

M

j

y

N

k

z

0 |F,

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

F

F

5 0.

5 ERE 1N

x2

My 2 dA

EC

F ? dr 5 EC

M dx 1 N dy

Myy 5 Nyx,R.CF

My

5Nx

NMR.Fsx, yd 5 Mi 1 Nj


1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1098

My

5Nx

Fsx, yd 5 Mi 1 Nj

rot F

(rot F)

(rot F) · k dA.

For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions forand Using the arc length parameter for you have So,

a unit tangent vector to curve is given by FromFigure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then bewritten as

Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain

Green’s Theorem

Therefore,

Second alternative form

The extension of this form to three dimensions is called the Divergence Theorem,discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will bediscussed in Sections 15.7 and 15.8.

C

F N dsR

div F dA.

R

div F dA.

R

Mx

Ny

dA

C

N dx M dy

C

M dy N dx

b

a

Mdyds

Ndxds

ds

C

F N dsb

a

Mi Nj y s i x s j ds

F x, y Mi Nj,

N y s i x s j.

Nr s T x s i y s j.CT

r s x s i y s j.C,sR.C,F,

15.4 Green’s Theorem 1099

In Exercises 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating bothintegrals

for the given path.

1. boundary of the region lying between the graphs of and


3. square with vertices

4. rectangle with vertices and

In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using acomputer algebra system to evaluate both integrals

for the given path.

5. circle given by

6. boundary of the region lying between the graphs of and in the first quadrant

In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral

for the given path.


8.

9. boundary of the region lying inside the rectangle boundedby and and outside thesquare bounded by and

10. boundary of the region lying inside the semicircleand outside the semicircle y 9 x2y 25 x2

C:

y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,

C:

x 2 cos , y senC:

y x2 2xy xC:

Cy x dx 1 2x y dy

y x3y xC:

x2 y 2 4C:

Cxe y dx 1 ex dy

R

Nx

My

dA

0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:

0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:

y xy xC:

y x2y xC:

Cy2 dx 1 x2 dy

R

Nx

My

dA


θT

N = −n

n

C

Figure 15.34N sin i cos j

sin i cos j

n cos2

i sin2

j

T cos i sin j

CAS



En los ejercicios 1 a 4, comprobar el teorema de Green evaluan-do ambas integrales

sobre la trayectoria dada.

1. C: frontera de la región que yace entre las gráficas de y = x yy = x2

2. C: frontera de la región que yace entre las gráficas de y = x y

3. C: cuadrado con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)

4. C: rectángulo con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 4), (0, 4)

En los ejercicios 5 y 6, verificar el teorema de Green utilizandoun sistema algebraico por computadora y evaluar ambas inte-grales


5. circunferencia dada por

6. frontera de la región comprendida entre las gráficas dey en el primer cuadrante

En los ejercicios 7 a 10, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral


7. frontera de la región comprendida entre las gráficas dey

8.

9. frontera de la región interior al rectángulo acotado por x 525, x 5 5, y 5 23 y y 5 3, y exterior al cuadrado acotadopor x 5 21, x 5 1, y 5 21 y y 5 1.

10. frontera de la región interior al semicírculo y exterior al semicírculo y 5 !9 2 x2

y 5 !25 2 x2C:

C:

x 5 2 cos u, y 5 sin uC:




Green’s Theorem

Therefore,



C

F N dsR

div F dA.

R

div F dA.

R

Mx

Ny

dA

C

N dx M dy

C

M dy N dx

b

a

Mdyds

Ndxds

ds

C

F N dsb

a


F x, y Mi Nj,

N y s i x s j.





for the given path.






for the given path.

5. circle given by



for the given path.


8.



C:

y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,

C:

x 2 cos , y senC:

y x2 2xy xC:

Cy x dx 1 2x y dy

y x3y xC:

x2 y 2 4C:

Cxe y dx 1 ex dy

R

Nx

My

dA

0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:

0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:

y xy xC:

y x2y xC:

Cy2 dx 1 x2 dy

R

Nx

My

dA


θT

N = −n

n

C


sin i cos j

n cos2

i sin2

j

T cos i sin j

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1099

y 5 xC:

EC xy 2 xc dx 1 x2x 2 yc dy

y 5 x3y 5 xC:

x2 1 y 2 5 4C:

EC xey dx 1 ex dy 5 E

RE _N

x2

My + dA




Green’s Theorem

Therefore,



C

F N dsR

div F dA.

R

div F dA.

R

Mx

Ny

dA

C

N dx M dy

C

M dy N dx

b

a

Mdyds

Ndxds

ds

C

F N dsb

a


F x, y Mi Nj,

N y s i x s j.





for the given path.






for the given path.

5. circle given by



for the given path.


8.



C:

y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,

C:

x 2 cos , y senC:

y x2 2xy xC:

Cy x dx 1 2x y dy

y x3y xC:

x2 y 2 4C:

Cxe y dx 1 ex dy

R

Nx

My

dA

0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:

0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:

y xy xC:

y x2y xC:

Cy2 dx 1 x2 dy

R

Nx

My

dA


θT

N = −n

n

C


sin i cos j

n cos2

i sin2

j

T cos i sin j

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1099

EC y2 dx 1 x2 dy 5 E

RE _N

x2

My + dA

Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supónganse las mismas condi-ciones sobre F, C y R. Utilizando el parámetro longitud de arco s para C, se tiene

Por tanto, un vector unitario tangente T a la curva C está dado porEn la figura 15.34 se puede ver que el vector unitario normal

exterior N puede entonces escribirse como

Por consiguiente, a F(x, y) 5 Mi 1 Nj se le puede aplicar el teorema de Green para ob-tener

Teorema de Green.

Por consiguiente,

Segunda forma alternativa.

La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia,discutido en la sección 15.7. En las secciones 15.7 y 15.8 se analizarán las interpretacionesfísicas de divergencia y del rotacional.

EC

F ? N ds 5 ERE div F dA.

5 ERE div F dA.

5 ERE 1M

x1

Ny 2 dA

5 EC

2N dx 1 M dy

5 EC

M dy 2 N dx

5 Eb

a

1M dyds

2 N dxds2 ds

EC

F ? N ds 5 Eb

a

sMi 1 Njd ? s y9ssdi 2 x9ssdjd ds

N 5 y9ssdi 2 x9ssdj.

r9ssd 5 T 5 x9ssdi 1 y9ssdj.rssd 5 xssdi 1 yssdj.

θT

N = −n

n

C

Figura 15.34N 5 sin u i 2 cos u j

5 2 sin u i 1 cos u j

n 5 cos1u 1p

2 2 i 1 sin1u 1p

2 2j

T 5 cos u i 1 sin u jsen

sen

sensen

sen

15.4 Ejercicios




Green’s Theorem

Therefore,



C

F N dsR

div F dA.

R

div F dA.

R

Mx

Ny

dA

C

N dx M dy

C

M dy N dx

b

a

Mdyds

Ndxds

ds

C

F N dsb

a


F x, y Mi Nj,

N y s i x s j.





for the given path.






for the given path.

5. circle given by



for the given path.


8.



C:

y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,

C:

x 2 cos , y senC:

y x2 2xy xC:

Cy x dx 1 2x y dy

y x3y xC:

x2 y 2 4C:

Cxe y dx 1 ex dy

R

Nx

My

dA

0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:

0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:

y xy xC:

y x2y xC:

Cy2 dx 1 x2 dy

R

Nx

My

dA


θT

N = −n

n

C


sin i cos j

n cos2

i sin2

j

T cos i sin j

CAS



En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral de línea.

11.

frontera de la región comprendida entre las gráficas dey

12.


13. 14.

15.

16.

17.

frontera de la región comprendida entre las gráficas de y

18.

frontera de la región comprendida entre las gráficas del círculo y la elipse

19.


20.

frontera de la región comprendida entre los cuadrados cuyosvértices son y y

y

Trabajo En los ejercicios 21 a 24, utilizar el teorema de Greenpara calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre unapartícula que se mueve, en sentido contrario a las manecillas delreloj, por la trayectoria cerrada C.

21.

22.

23.

contorno del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (5, 0) y (0, 5)

24.

frontera de la región comprendida entre las gráficas dey 5 0 y x 5 9

Área En los ejercicios 25 a 28, utilizar una integral de líneapara hallar el área de la región R.

25. región acotada por la gráfica de

26. triángulo acotado por las gráficas de y

27. región acotada por las gráficas de y

28. región interior al lazo de la hoja o folio de Descartes acotadapor la gráfica de

En los ejercicios 31 y 32, utilizar el teorema de Green para veri-ficar las fórmulas de las integrales de línea.

31. El centroide de una región de área A acotada por una trayectoriasimple cerrada C es

32. El área de una región plana acotada por la trayectoria simplecerrada C dada en coordenadas polares es

Centroide En los ejercicios 33 a 36, utilizar un sistema alge-braico por computadora y los resultados del ejercicio 31 para hallar el centroide de la región.




36. triángulo cuyos vértices son y donde

Área En los ejercicios 37 a 40, utilizar un sistema algebraicopor computadora y los resultados del ejercicio 32 para hallar elárea de la región acotada por la gráfica de la ecuación polar.

37. 38.

39. (lazo interior) 40.

41. a) Evaluar donde C1 es el círculo uni-

tario dado por

b) Encontrar el valor máximo de

donde C es cualquier curva cerrada en el plano xy, orientadaen sentido contrario al de las manecillas del reloj.

In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.

11.

boundary of the region lying between the graphs of and

12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.

boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse

19.

boundary of the region lying between the graphs ofand

20.

boundary of the region lying between the squares withvertices and and

and

Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path

21.

22.

23.

boundary of the triangle with vertices and

24.


Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region

25. region bounded by the graph of

26. triangle bounded by the graphs of and

27. region bounded by the graphs of and

28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of

In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.

31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is

32. The area of a plane region bounded by the simple closed path

given in polar coordinates is

Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.




36. triangle with vertices and where

Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.

37.

38.

39. (inner loop)

40.

41. (a) Evaluate where is the unit

circle given by

(b) Find the maximum value of

where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.

xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,

r t cos t i sen t j, 0 t 2 .

C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:

F x, y 3x2 y i 4xy 2 j

0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:

F x, y ex 3y i ey 6x j

x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy

y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,

C:C

e x2 2 y dx e y 2 2 x dy

y xy xC:

C

cos y dx xy x sen y dy

x 4 2 cos , y 4 senC:C

2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C

ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy

r 1 cosC:x2 y 2 16C:C

x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy


29. State Green’s Theorem.

30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.

R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100


11.


12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.


and


21.

22.

23.


24.

















37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100

r 53

2 2 cos ur 5 1 1 2 cos u

r 5 a cos 3ur 5 as1 2 cos ud

2a ≤ b ≤ asb, cd,sa, 0d,s2a, 0d,R:

0 ≤ x ≤ 1y 5 x,y 5 x3R:

y 5 0y 5 !a2 2 x2R:

y 5 4 2 x2y 5 0R:

A 512E

C r 2 du.

y 5 21

2A E

C

y 2 dx.x 51

2A E

C

x2 dy,

y 53t 2

t 3 1 1x 5

3tt3 1 1

,

R:


11.


12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.


and


21.

22.

23.


24.

















37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100


11.


12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.


and


21.

22.

23.


24.

















37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100

R:

x 1 2y 5 83x 2 2y 5 0,x 5 0,R:

x2 1 y 2 5 a2R:

y 5 !x,C:

Fsx, yd 5 s3x2 1 ydi 1 4xy 2 j

C:

Fsx, yd 5 sx3y2 2 3ydi 1 s6x 1 5!y djr 5 2 cos uC:

Fsx, yd 5 sex 2 3ydi 1 sey 1 6xdjx2 1 y2 5 4C:

Fsx, yd 5 xyi 1 sx 1 ydj

s2, 22ds22, 22d,s22, 2d,s2, 2d,s1, 21d,s21, 21d,s21, 1d,s1, 1d,

C:

EC

3x2ey dx 1 ey dy

x2 1 y 2 5 9x2 1 y 2 5 1C:

y 5 2 sin ux 5 3 cos u,y 5 6 sin ux 5 6 cos u,

C:

EC

se2x2y2 2 yd dx 1 se2y 2y2 1 xd dy

y 5 !xy 5 xC:

x 5 4 1 2 cos u, y 5 4 1 sin uC:

EC

2 arctan yx dx 1 lnsx2 1 y 2d dy

x2 1 y 2 5 a2C:

EC

ex cos 2y dx 2 2ex sin 2y dy

r 5 1 1 cos uC:x2 1 y 2 5 a2C:

EC

sx2 2 y 2d dx 1 2xy dyEC

sx2 2 y 2d dx 1 2xy dy

x 5 9y 5 !x,y 5 0,C:

EC

y 2 dx 1 xy dy

y 5 4 2 x2y 5 0C:

EC

2xy dx 1 sx 1 yd dy

Desarrollo de conceptos29. Enunciar el teorema de Green.

30. Dar la integral de línea para el área de una región R acotadapor una curva simple suave a trozos C.

sen

sen

sensen

1

16


11.


12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.


and


21.

22.

23.


24.

















37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100


11.


12.


13. 14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.


and


21.

22.

23.


24.

















37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

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1


11.


12.


13. 14.

15.

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and


21.

22.

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37.

38.

39. (inner loop)

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circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

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and


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39. (inner loop)

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circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


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circle given by



xy-CC

y3 dx 27x x3 dy,


C1C1

y3 dx 27x x3 dy,

r3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:

0 x 1y x,y x3R:

y 0y a2 x2R:

y 4 x2y 0R:

A 12 C

r 2 d .

C

y1

2A C

y 2 dx.x1

2A C

x2 dy,

CA

y3t 2

t 3 1x

3tt3 1

,

R:

y x2 1y 5x 3R:

x 2y 83x 2y 0,x 0,R:

x2 y 2 a2R:

R.

x 9y 0,y x,C:


0, 55, 0 ,0, 0 ,C:

F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j

r 2 cos C:


x2 y2 1C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,

C:C

3x2ey dx ey dy

x2 y 2 9x2 y 2 1C:

C

x 3y dx x y dy


C:C


y xy xC:

C



2 arctan yx

dx ln x2 y 2 dy

x2 y 2 a2C:C



x2 y 2 dx 2xy dyC

x2 y 2 dx 2xy dy

x 9y x,y 0,C:

C

y 2 dx xy dy

y 1 x2y 0C:

C

2xy dx x y dy




R


CAS

CAS

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Funciones hiperbólicas y trigonométricas

PROYECTO DE TRABAJO


43. Para pensar Sea

donde C es una circunferencia orientada en sentido contrario alde las manecillas del reloj. Mostrar que si C no contieneel origen. ¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen?

44. a) Sea C el segmento de recta que une y Mostrarque

b) Sean los vértices de un polí-gono. Demostrar que el área encerrada es

Área En los ejercicios 45 y 46, utilizar el resultado del ejercicio44b para hallar el área encerrada por el polígono cuyos vérticesse dan.

45. Pentágono:

46. Hexágono:

En los ejercicios 47 y 48, demostrar la identidad, donde R es unaregión simplemente conexa con frontera C. Suponer que lasderivadas parciales requeridas de las funciones escalares ƒ y gson continuas. Las expresiones y son las derivadas endirección del vector normal exterior de y se definen por

y

47. Primera identidad de Green:

[Sugerencia: Utilizar la segunda forma alternativa del teoremade Green y la propiedad

48. Segunda identidad de Green:

(Sugerencia: Utilizar la primera identidad de Green, dada en elejercicio 47, dos veces.)

49. Utilizar el teorema de Green para demostrar que

si ƒ y g son funciones derivables y C es una trayectoria cerradasimple suave a trozos.

50. Sea donde y tienen primeras derivadas par-ciales continuas en una región simplemente conexa Demostrarque si C es cerrada, simple y suave, y entonces

EC

F ? dr 5 0.

Nx 5 My,R.

NMF 5 Mi 1 Nj,

EC

f sxd dx 1 gsyd dy 5 0

ERE s f =2g 2 g=2f d dA 5 E

C

s f DNg 2 g DN f d ds

div s f Gd 5 f div G 1 =f ? G.g

ERE s f = 2g 1 =f ? =gd dA 5 E

C

f DNg ds

DN g 5 =g ? N.DN f 5 =f ? N,C,N

DNgDN f

s0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s2, 4d, s0, 3d, s21, 1ds0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s1, 4d, s21, 1d

sxn21 yn 2 xn yn21d 1 sxn y1 2 x1 yndg. 12fsx1y2 2 x2 y1d 1 sx2 y3 2 x3 y2d 1 . . . 1

sxn, yndsx2, y2d, . . . ,sx1, y1d,

EC

2y dx 1 x dy 5 x1 y2 2 x2 y1.

sx2, y2d.sx1, y1d

I 5 0

I 5 EC

y dx 2 x dy

x2 1 y 2

a) Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r(t)5 cosh t i 1 senh t j en el intervalo Mostrar que la ecuación rectangular que corresponde a r(t) es la hipérbola

Verificar el dibujo utilizando una herramienta degraficación para representar la hipérbola.

b) Sea P 5 (cosh f, senh f) el punto de la hipérbola correspon-diente a r(f) para Utilizar la fórmula para el área

para verificar que el área de la región mostrada en la figura es

c) Mostrar que el área de la región indicada está también dada porla integral

Confirmar la respuesta del inciso b) aproximando esta integralnuméricamente para 2, 4 y 10.

d) Considerar la circunferencia unitaria dada por Seaq el ángulo formado por el eje x y el radio a (x, y). El área del sec-tor correspondiente es Es decir, las funciones trigonométricas

y podrían haber sido definidas comolas coordenadas del punto en el círculo unitario quedetermina un sector de área Escribir un párrafo breve expli-cando cómo definir las funciones hiperbólicas de una manerasimilar, utilizando la “hipérbola unitaria”

x

(cosh , senh )φ φ

(0, 0) (1, 0)

y

x2 2 y 2 5 1.

12u.

scos u, sin udgsud 5 sin uf sud 5 cos u

12u.

x2 1 y2 5 1.

f 5 1,

A 5 Esinh f

0 f!1 1 y 2 2 scoth fdyg dy.

12f.

A 512

EC

x dy 2 y dx

f > 0.

x2 2 y 2 5 1.

0 ≤ t ≤ 5.

senh f

sensen

Para discusión42. Para cada trayectoria dada, verificar el teorema de Green al

demostrar que

Para cada trayectoria, ¿cuál de las integrales es más fácil eva-luar? Explicar.

a) C: triángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 4)

b) C: círculo dado por x2 + y2 = 1

43. Think About It Let

where is a circle oriented counterclockwise. Show that if does not contain the origin. What is if does contain the origin?

44. (a) Let be the line segment joining and Showthat

(b) Let be the vertices of apolygon. Prove that the area enclosed is

Area In Exercises 45 and 46, use the result of Exercise 44(b) tofind the area enclosed by the polygon with the given vertices.

45. Pentagon:

46. Hexagon:

In Exercises 47 and 48, prove the identity where is a simplyconnected region with boundary Assume that the requiredpartial derivatives of the scalar functions and are continuous.The expressions and are the derivatives in the direction of the outward normal vector of and are definedby and

47. Green’s first identity:

[Hint: Use the second alternative form of Green’s Theorem andthe property

48. Green’s second identity:

(Hint: Use Green’s first identity, given in Exercise 47, twice.)

49. Use Green’s Theorem to prove that

if and are differentiable functions and is a piecewisesmooth simple closed path.

50. Let where and have continuous first partialderivatives in a simply connected region Prove that if issimple, smooth, and closed, and then

�C

F dr � 0.

Nx � My,CR.

NMF � Mi � Nj,

Cgf

�C

f �x� dx � g�y� dy � 0

�R� � f �2g � g�2f � dA � �

C

� f DNg � g DN f � ds

div � f G� � f div G � �f G.�

�R� � f � 2g � �f �g� dA � �

C

f DNg ds

DNg � �g N.DN f � �f N,C,N

DN gDN fgf

C.R

�0, 0�, �2, 0�, �3, 2�, �2, 4�, �0, 3�, ��1, 1��0, 0�, �2, 0�, �3, 2�, �1, 4�, ��1, 1�

�xn�1 yn � xn yn�1� � �xn y1 � x1 yn��.

12��x1y2 � x2 y1� � �x2 y3 � x3 y2� � . . . �

�xn, yn��x2, y2�, . . . ,�x1, y1�,�C �y dx � x dy � x1 y2 � x2 y1.

�x2, y2�.�x1, y1�C

CICI � 0C

I � �C



42. For each given path, verify Green’s Theorem by showingthat

For each path, which integral is easier to evaluate? Explain.

(a) triangle with vertices

(b) circle given by x2 � y2 � 1C:

�0, 0�, �4, 0�, �4, 4�C:

�C

y2 dx � x2 dy � �R��N

�x�

�M�y � dA.

CAPSTONE

(a) Sketch the plane curve represented by the vector-valuedfunction on the interval Show that the rectangular equation corresponding to is thehyperbola Verify your sketch by using a graphingutility to graph the hyperbola.

(b) Let be the point on the hyperbolacorresponding to for Use the formula for area

to verify that the area of the region shown in the figure is

(c) Show that the area of the indicated region is also given by theintegral

Confirm your answer in part (b) by numerically approximatingthis integral for 2, 4, and 10.

(d) Consider the unit circle given by Let be theangle formed by the axis and the radius to The area ofthe corresponding sector is That is, the trigonometric functions and could have beendefined as the coordinates of that point on the unitcircle that determines a sector of area Write a short para-graph explaining how you could define the hyperbolic functionsin a similar manner, using the “unit hyperbola”

x

(cosh , sinh )φ φ

(0, 0) (1, 0)

y

x2 � y 2 � 1.

12.

�cos , sin �g�� sin f �� cos

12.

�x, y�.x-x2 � y2 � 1.

� � 1,

A � �sinh �

0��1 � y 2 � �coth ��y� dy.

12�.

A �12 �C

x dy � y dx

� > 0.r��P � �cosh �, sinh ��

x2 � y 2 � 1.r�t�

0 � t � 5.r�t� � cosh t i � sinh tj

Hyperbolic and Trigonometric Functions

S E C T I O N P R O J E C T



Superficies paramétricas15.5

n Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica.n Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie.n Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica.n Hallar el área de una superficie paramétrica.

Superficies paramétricas

Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecua-ciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial.

Curva en el plano.

Curva en el espacio.

En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un con-junto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en elcaso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso delas superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v.

Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es traza-da por el vector posición r(u, v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D,como se indica en la figura 15.35.

rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdkrstd 5 xstdi 1 ystdj

u

D( , )u v

v

r(u, v)

yx

S

z

Figura 15.35

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA

Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al con-junto de puntos (x, y, z) dado por

Superficie paramétrica.

se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones

y Ecuaciones paramétricas.

son las ecuaciones paramétricas para la superficie.

z 5 zsu, vdy 5 ysu, vd,x 5 xsu, vd,

rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficiesparamétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráfi-camente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.

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SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1103

EJEMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica

Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por

donde y

Solución Como y se sabe que en cada punto de lasuperficie, x y y están relacionados mediante la ecuación En otras palabras,cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, cen-trado en el eje z. Como donde se ve que la superficie es un cilindrocircular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, comose muestra en la figura 15.36.

Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representacionesparamétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuacionesparamétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.

EJEMPLO 2 Trazado de una superficie paramétrica

Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por

donde y

Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigono-métricas para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que

Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en elorigen, como se muestra en la figura 15.37. Para traza circunferencias delatitud

paralelos al plano xy, y para traza semicírculos de longitud (o meri-

dianos).

Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria oesfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas

y

donde y describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadasrectangulares, como se vio en la sección 11.7. n

0 ≤ f ≤ p,0 ≤ u ≤ 2p

z 5 r cos fy 5 r sin f sin u,x 5 r sin f cos u,

NOTA

rsu, vdv 5 ci,

0 ≤ di ≤ px2 1 y2 5 sin2 di,

rsu, vdu 5 di,

5 1.

5 sin2 u 1 cos2 u

5 sin2 uscos2 v 1 sin2 vd 1 cos2 u

5 sin2 u cos2 v 1 sin2 u sin2 v 1 cos2 u

x2 1 y2 1 z2 5 ssin u cos vd2 1 ssin u sin vd2 1 scos ud2

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p

rsu, vd 5 sin u cos vi 1 sin u sin vj 1 cos uk

0 ≤ v ≤ 4,z 5 v,

x2 1 y2 5 32.sx, y, zdy 5 3 sin u,x 5 3 cos u

0 ≤ v ≤ 4.0 ≤ u ≤ 2p

rsu, vd 5 3 cos ui 1 3 sin uj 1 vk

Figura 15.37

x y

z

c1

c2c3

c4

d1

d2

d3

d4

xy

3

4

z

Figura 15.36

sen

sen

sen sensen

sen sen sen

sen sen sen

sen

sensen

sen2 di,

sen sen sen

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Ecuaciones paramétricas para superficies

En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado deecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuacionesparamétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo desuperficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por Tal superficie se puede parametrizar como

EJEMPLO 3 Representar una superficie paramétricamente

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por

como el que se muestra en la figura 15.38.

Solución Como esta superficie está dada en la forma se pueden tomar x y ycomo parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial

donde (x, y) varía sobre todo el plano xy.

Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de re-volución. Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfi-ca de en torno al eje x, se utiliza

y

donde y

EJEMPLO 4 Representación de una superficie de revoluciónparamétricamente

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida alhacer girar

en torno al eje x.

Solución Utilizar los parámetros u y v como se describió arriba para obtener

y

donde y La superficie resultante es una porción de la trompetade Gabriel, como se muestra en la figura 15.39.

La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica deen torno al eje x. Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una

parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolu-ción de la gráfica de en torno al eje z, se puede usar

y y 5 f sud sin v.x 5 f sud cos v,z 5 u,

x 5 f szd

y 5 f sxd

0 ≤ v ≤ 2p.1 ≤ u ≤ 10

z 5 f sud sin v 51u

sin vy 5 f sud cos v 51u

cos v,x 5 u,

1 ≤ x ≤ 10f sxd 51x,

0 ≤ v ≤ 2p.a ≤ u ≤ b

z 5 f sud sin vy 5 f sud cos v,x 5 u,

a ≤ x ≤ b,y 5 f sxd,

rsx, yd 5 x i 1 yj 1 !x2 1 y2 k

z 5 f sx, yd,

z 5 !x2 1 y2

rsx, yd 5 x i 1 yj 1 f sx, ydk.

z 5 f sx, yd.

Figura 15.39

x

y1

10

1

z

x y

3

2

212

−2

1

z

Figura 15.38

sen

sen sen

sen

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Vectores normales y planos tangentes

Sea S una superficie paramétrica dada por

sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Lasderivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como

y

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarsegeométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si se mantieneconstante, entonces es una función vectorial de un solo parámetro y define unacurva que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a en el punto

está dado por

como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si se mantiene constante,entonces r(u0, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C2 quese encuentra en la superficie S. El vector tangente a C2 en el punto (x(u0, v0), y(u0, v0),z(u0, v0)) está dado por

Si el vector normal no es 0 para todo en se dice que la superficie essuave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una super-ficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y para-boloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.

La figura 15.40 muestra el vector normal El vector también es normal a Sy apunta en la dirección opuesta. n

rv 3 ruru 3 rv.NOTA

SD,su, vdru 3 rv

rvsu0, v0d 5xv

su0, v0di 1yv

su0, v0dj 1zv

su0, v0dk.

u 5 u0

rusu0, v0d 5xu

su0, v0di 1yu

su0, v0dj 1zu

su0, v0dk

zsu0, v0ddysu0, v0d,sxsu0, v0d,C1C1

rsu, v0dv 5 v0

rv 5xv

su, vdi 1yv

su, vdj 1zv

su, vdk.

ru 5xu

su, vdi 1yu

su, vdj 1zu

su, vdk


Figura 15.40

xy

(x0, y0, z0)

C1C2

rv ru

S

zN

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE

Sea S una superficie paramétrica suave

definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea un punto en D. Unvector normal en el punto

está dado por

N 5 rusu0, v0d 3 rvsu0, v0d 5 | i

xu

xv

j

yu

yv

k

zu

zv|.

sx0, y0, z0d 5 sxsu0, v0d, ysu0, v0d, zsu0, v0dd

su0, v0d


Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1105


EJEMPLO 5 Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica

Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por

en el punto (1, 2, 5).

Solución El punto en el plano uv que es llevado al punto es (u, v) =(1, 2). Las derivadas parciales de r son

y

El vector normal está dado por

lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es Por tanto,una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es

El plano tangente se muestra en la figura 15.41.

Área de una superficie paramétrica

Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar aldado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de que consisteen n rectángulos, donde el área del rectángulo i-ésimo es como se mues-tra en la figura 15.42. En cada sea el punto más cercano al origen. En el punto

de la superficie se construye un plano tangenteEl área de la porción de que corresponde a puede ser aproximada por un para-

lelogramo en el plano tangente. Es decir, Por tanto, la superficie de está dadapor El área del paralelogramo en el plano tangente es

lo cual conduce a la definición siguiente.

iDuiru 3 Dvirv i 5 iru 3 rvi Dui Dvi

o DSi < o DTi.SDTi < DSi.

DTi,Di,STi.S,zsui, viddysui, vid,sxi, yi, zid 5 sxsui, vid,

sui, vidDi

DAi 5 Dui Dvi,Di

D

22x 2 4y 1 z 5 25.

22sx 2 1d 2 4s y 2 2d 1 sz 2 5d 5 0

ru 3 rv 5 22i 2 4j 1 k.

ru 3 rv 5 | i10

j01

k2u2v | 5 22ui 2 2vj 1 k

rv 5 j 1 2vk.ru 5 i 1 2uk

sx, y, zd 5 s1, 2, 5d

rsu, vd 5 ui 1 vj 1 su2 1 v2dk

Figura 15.42

Di

u

∆ui

∆vi

(ui, vi)

v

yx

∆virv

∆uiru

S

z

y

x

22

6

7

−2 −1

(1, 2, 5)

1 33

−3

z

Figura 15.41

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

Sea S una superficie paramétrica suave

definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie Scorresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superfi-cie S está dada por

Área de la superficie

donde y rv 5xv

i 1yv

j 1zv

k.ru 5xu

i 1yu

j 1zu

k

5 ESE dS 5 E

DE iru 3 rvi dA


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Para una superficie S dada por esta fórmula para el área de la superficie corres-ponde a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie uti-lizando la función vectorial

definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando

y

se tiene

y Esto implica que el área de la superficie deS es

EJEMPLO 6 Hallar el área de una superficie

Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por

donde el dominio D está dado por y

Solución Para empezar se calcula y

El producto vectorial de estos dos vectores es

lo cual implica que

sen u > 0 para 0 £ u £ p.

Por último, el área de la superficie de la esfera es

5 4p.

5 E2p

02 dv

A 5 EDE iru 3 rvi dA 5 E2p

0Ep

0sin u du dv

5 sin u.

5 !sin2 u

5 !sin4 u 1 sin2 u cos2 u

iru 3 rvi 5 !ssin2 u cos vd2 1 ssin2 u sin vd2 1 ssin u cos ud2

5 sin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos uk

ru 3 rv 5 | icos u cos v

2sin u sin v

jcos u sin vsin u cos v

k2sin u

0 |rv 5 2sin u sin vi 1 sin u cos vj

ru 5 cos u cos vi 1 cos u sin vj 2 sin uk

rv.ru

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p

rsu, vd 5 sin u cos vi 1 sin u sin vj 1 cos uk

5 ERE!1 1 f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 dA.

Surface area 5 ERE irx 3 ryi dA

irx 3 ryi 5 !f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 1 1.

rx 3 ry 5 | i10

j01

kfxsx, ydfysx, yd | 5 2fxsx, ydi 2 fysx, ydj 1 k

ry 5 j 1 fysx, ydkrx 5 i 1 fxsx, ydk

rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk

z 5 f sx, yd,

La superficie del ejemplo 6no satisface totalmente la hipótesis deque cada punto de la superficie corre-sponde exactamente a un punto de D.En esta superficie,para todo valor fijo de u. Sin embargo,como el traslape consiste sólo en unsemicírculo (que no tiene área), sepuede aplicar la fórmula para el áreade una superficie paramétrica. n

rsu, 0d 5 rsu, 2pd

NOTA


sen sen sen

sensen

sensensen

sensensen sen sen

sen sen sen sen

sen2 sen2

sen2

sen2

sen4

sen sen

sen

sen

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EJEMPLO 7 Hallar el área de una superficie

Hallar el área de la superficie del toro dado por

donde el dominio D está dado por y (Ver la figura 15.43.)

Solución Para empezar se calculan y

El producto vectorial de estos dos vectores es

lo cual implica que

Por último, el área de la superficie del toro es

Si la superficie es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula parael área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sec-ción. Por ejemplo, supóngase que sea una función no negativa tal que sea continuasobre el intervalo Sea la superficie de revolución formada por revolución de la grá-fica de donde en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe queel área de la superficie está dada por

Para representar S paramétricamente, sea y dondey Entonces,

Tratar de mostrar que la fórmula

es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).

Surface area 5 EDE iru 3 rvi dA

rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sin vk.

0 ≤ v ≤ 2p.a ≤ u ≤ bz 5 f sud sin v,y 5 f sud cos v,x 5 u,

Surface area 5 2pEb

a

f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx.

a ≤ x ≤ b,f,Sfa, bg.

f9f

S

5 8p2.

5 E2p

04p dv

A 5 EDE iru 3 rvi dA 5 E2p

0E2p

0s2 1 cos ud du dv

5 2 1 cos u.

5 s2 1 cos ud!cos2 u 1 sin2 u

5 s2 1 cos ud!cos2 uscos2 v 1 sin2 vd 1 sin2 u

iru 3 rvi 5 s2 1 cos ud!scos v cos ud2 1 ssin v cos ud2 1 sin2 u

5 2s2 1 cos ud scos v cos ui 1 sin v cos uj 1 sin ukd

ru 3 rv 5 | i2sin u cos v

2s2 1 cos ud sin v

j2sin u sin v

s2 1 cos ud cos v

kcos u

0 |rv 5 2s2 1 cos ud sin vi 1 s2 1 cos ud cos vj

ru 5 2sin u cos vi 2 sin u sin vj 1 cos uk

rv.ru

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2p

rsu, vd 5 s2 1 cos ud cos vi 1 s2 1 cos ud sin vj 1 sin uk

x

y

z

Figura 15.43

E X P L O R A C I Ó N

Para el toro del ejemplo 7, describirla función para u fijo.Después describir la función para v fijo.

rsu, vdrsu, vd



sen sen

sen sen sen

sen

sen sen sensen

sen sen

sen sen2

sen

sen

sen2sen2

sen2

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15.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, relacionar la función vectorial con su grá-fica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]

a) b)

c) d)

e) f)

En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de lasuperficie por eliminación de los parámetros de la función vec-torial. Identificar la superficie y dibujar su gráfica.

En los ejercicios 11 a 16, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la superficie dada por la fun-ción vectorial.

Para pensar En los ejercicios 17 a 20, determinar cómo la grá-fica de la superficie difiere de la gráfica de

(ver la figura) donde y(No es necesario representar s gráficamente.)

En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya grá-fica sea la superficie indicada.

29. La parte del plano interior al cilindro

30. La parte del paraboloide interior al cilindrox2 1 y2 5 9

z 5 x2 1 y2

x2 1 y2 5 9z 5 4

yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sin vj 1 u2k

rxu, vc 5sxu, vcsen

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z

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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f )

1.

2.

3.

4.

5.

6.

In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.

7.

8.

9.

10.

In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of

(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.

21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide

29. The part of the plane that lies inside the cylinder

30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9

z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,

s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k

0 v 20 u 3,

s u, v u cos vi u sen vj u2k

0 v 20 u 2,

s u, v u cos vi u2j u sen vk

0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k

r u, v s u, v

0 v 20 u2

,

r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk

0 v 20 u ,

r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk

0 v 30 u 1,

r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk

0 v 20 u 2,

r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk

0 v 20 u 2 ,

r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk

0 v 20 u 1,

r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k

r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk

r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk

r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k

r u, v ui vjv2

k

r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk


r u, v ui 14v3j vk

r u, v ui 12 u v j vk

r u, v u cos vi u sen vj uk

r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z

15.5 Parametric Surfaces 1109


CAS

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f )

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20.


21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS

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(a) (b)

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

xy22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS

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(a) (b)

(c) (d)

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

xy

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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18.

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20.


21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



Superficie de revolución En los ejercicios 31 a 34, dar un con-junto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolu-ción obtenida por revolución de la gráfica de la función en tornoal eje dado.

Plano tangente En los ejercicios 35 a 38, hallar una ecuaciónpara el plano tangente a la superficie dada por la función vecto-rial, en el punto indicado.

35.


36.

37.

38.

Área En los ejercicios 39 a 46, hallar el área de la superficiesobre la región dada. Utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y verificar los resultados.

39. La parte del plano r(u, v) = 4ui – vj + vk, donde

40. La parte del paraboloide r(u, v) = 2u cos vi + 2u sen vj + u2k,donde

41. La parte del cilindro dondey

42. La esfera donde y

43. La parte del cono dondey

44. El toro donde y

45. La superficie de revolucióndonde y

46. La superficie de revolución sen udonde y

49. Mostrar que se puede representar el cono del ejemplo 3 de ma-nera paramétrica mediante r(u, v) = u cos vi + u sen vj + uk,donde 0 # u y 0 # v # 2p.

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ prsu, vd 5 sin u cos vi 1 uj 1

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 4uk,rsu, vd 5 !u cos vi 1 !u sin vj 1

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 2p,a > b,b sin vk,rsu, vd 5 sa 1 b cos vdcos ui 1 sa 1 b cos vdsin uj 1

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ brsu, vd 5 au cos vi 1 au sin vj 1 uk,

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ prsu, vd 5 a sin u cos v i 1 a sin u sin vj 1a cos uk,

0 ≤ v ≤ b0 ≤ u ≤ 2p

rsu, vd 5 a cos ui 1 a sin uj 1 vk,

Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.

31. eje

32. eje

33. eje

34. eje

Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.

35.


36.

37.

38.

Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.

39. The part of the plane wherey

40. The part of the paraboloid where y

41. The part of the cylinder where and

42. The sphere where and

43. The part of the cone where and

44. The torus where and

45. The surface of revolution where and


49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .

0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,

0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj

0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj

0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj

0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,

0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,

0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,

0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj

0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,

x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y

r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2

x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z

r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4

r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6

Eje de revolución Función


47. Define a parametric surface.

48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.


50. The four figures below are graphs of the surface

Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,

and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,

r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,

CAPSTONE

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1110


31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1110


31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1110

x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y

x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z

rsu, vd 5 ui 1 vj 1 !uv k, s1, 1, 1d

rsu, vd 5 su 1 vdi 1 su 2 vdj 1 vk, s1, 21, 1d

Desarrollo de conceptos47. Definir una superficie paramétrica.

48. Dar la integral doble con las que se obtiene el área de lasuperficie de una superficie paramétrica sobre una regiónabierta D.


31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

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31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

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31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

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31. eje

32. eje

33. eje

34. eje


35.


36.

37.

38.




















x

(−4, 0, 2)2

4

4

246 −2 −4 −6

z

y


x

y

(0, 6, 4)

5

6

24

6

24

−6

z


r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

x

y

(1, 1, 1)

1

1

2

2

2

z

x

y

(1, −1, 1)2

2

2

−2−1

−2

z

r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

yz y2 1, 0 y 2

zx sen z, 0 z

xy x, 0 x 4

xyx2

, 0 x 6








and

(a) (b)

(c) (d)

y

zz

yx

z

y

z

10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0

0 v 2 .0 u 2,


CAPSTONE

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Para discusión50. Las cuatro figuras son gráficas de la superficie

Relacionar cada una de las cuatro gráficas con el punto en elespacio desde el cual se contempla la superficie. Los cuatropuntos son (10, 0, 0), (210,10, 0), (0, 10, 0) y (10, 10, 10).

a) b)

c) d)

y

z

x

z

yx

z

y

z

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤p

2,

rsu, vd 5 ui 1 sin u cos vj 1 sin u sin vk,sensen sen

sen

sen sen sen

sen

sensen

sen

sen


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f )

1.

2.

3.

4.

5.

6.


7.

8.

9.

10.


11.

12.

13.

14.

15.

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17.

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20.


21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS

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(a) (b)

(c) (d)

(e) (f )

1.

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18.

19.

20.


21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS

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sin u sin vk,sen

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51. Esfera asteroidal Una ecuación de una esfera asteroidal en x,y y z es

Abajo se presenta una gráfica de una esfera asteroidal. Mostrarque esta superficie puede representarse paramétricamente pormedio de

52. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente tres perspectivas de la gráfica de la función vecto-rial

desde los puntos (10, 0, 0), (0, 0, 10) y (10, 10, 10).

53. Investigación Utilizar un sistema algebraico por computadoray representar gráficamente el toro

para cada conjunto de valores de y donde yUtilizar los resultados para describir los efectos de

a y b en la forma del toro.

a) b)

c) d)

54. Investigación Considerar la función del ejercicio 14.

a) Dibujar una gráfica de la función donde u se mantenga cons-tante en Identificar la gráfica.

b) Dibujar una gráfica de la función donde v se mantenga cons-tante en Identificar la gráfica.

c) Suponer que una superficie está representada por la funciónvectorial ¿Qué generalización se puede haceracerca de la gráfica de la función si uno de los parámetros semantiene constante?

55. Área de la superficie La superficie de la cúpula de un museoestá dada por

donde , y r está en metros. Hallar elárea de la superficie de la cúpula.

56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide

y determinar el plano tangente en .

57. Representar gráficamente y hallar el área de una vuelta comple-ta de la rampa en espiral

donde y

58. Sea una función no negativa tal que es continua en el inter-valo Sea la superficie de revolución formada por re-volución de la gráfica de donde en torno al eje x.Sea y donde y

Entonces, S se representa paramétricamente me-diante Mostrar que lasfórmulas siguientes son equivalentes.



59. Proyecto abierto Las ecuaciones paramétricas

donde y representan la superficiemostrada en la figura. Tratar de crear una superficie paramétri-ca propia utilizando un sistema algebraico por computadora.

60. Banda de Möbius La superficie mostrada en la figura se llamabanda de Möbius y puede representarse mediante las ecuacio-nes paramétricas

donde y Trate de representargráficamente otra banda de Möbius para diferentes valores de autilizando un sistema algebraico por computadora.

a 5 3.0 ≤ v ≤ 2p,21 ≤ u ≤ 1,

z 5 u sin v2

y 5 1a 1 u cos v22 sin v,x 5 1a 1 u cos

v22 cos v,

2p ≤ v ≤ p,2p ≤ u ≤ p

z 5 sins3u 2 2vd 1 2 sins3u 1 vd

y 5 3 1 cos uf7 2 coss3u 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg

x 5 3 1 sin uf7 2 coss3u 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg

5 EDE iru 3 rvi dA

5 2pEb

a

f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx

rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sin vk.0 ≤ v ≤ 2p.

a ≤ u ≤ bz 5 f sudsin v,y 5 f sud cos v,x 5 u,a ≤ x ≤ b,f,

Sfa, bg.f9f

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 3,

rsu, vd 5 u cos vi 1 u sin vj 1 2vk

s1, 0, 0d

x2 1 y2 2 z2 5 1

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ py3

rsu, vd 5 20 sin u cos vi 1 20 sin u sin vj 1 20 cos uk

r 5 rsu, vd.

v 5 2py3.

u 5 1.

a 5 8, b 5 3a 5 8, b 5 1

a 5 4, b 5 2a 5 4, b 5 1

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2pb,a

sa 1 b cos vd sin uj 1 b sin vk

rsu, vd 5 sa 1 b cos vd cos ui 1

0 ≤ v ≤ p0 ≤ u ≤ p,rsu, vd 5 u cos vi 1 u sin vj 1 vk,

51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in and is

A graph of an astroidal sphere is shown below. Show that thissurface can be represented parametrically by

donde y

52. Use a computer algebra system to graph three views of thegraph of the vector-valued function

from the points and

53. Investigation Use a computer algebra system to graph thetorus

for each set of values of and where andUse the results to describe the effects of and

on the shape of the torus.

(a) (b)

(c) (d)

54. Investigation Consider the function in Exercise 14.

(a) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.

(b) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.

(c) Assume that a surface is represented by the vector-valuedfunction What generalization can you makeabout the graph of the function if one of the parameters isheld constant?

55. Surface Area The surface of the dome on a new museum isgiven by

where and is in meters. Find thesurface area of the dome.

56. Find a vector-valued function for the hyperboloid

and determine the tangent plane at .

57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp

donde y

58. Let be a nonnegative function such that is continuous overthe interval Let be the surface of revolution formed byrevolving the graph of where about the axis.Let and where and Then, is represented parametrically by

Show that the following formulas are equivalent.

Surface area

Surface area

59. Open-Ended Project The parametric equations

where and represent the surfaceshown below. Try to create your own parametric surface usinga computer algebra system.

60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called aMöbius strip and can be represented by the parametric equations

where and Try to graphother Möbius strips for different values of using a computeralgebra system.

y

x

z

−1−4

−3

2

−2

3

124

aa 3.0 v 2 ,1 u 1,

z u sen v2

y a u cos v2

sen v,x a u cos v2

cos v,

v ,u

z sen 3u 2v 2 sen 3u v

y 3 cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v

x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v

D

ru rv dA

2b

a

f x 1 f x 2 dx

r u, v ui f u cos vj f u sen vk.S0 v 2 .

a u bz f u sen v,y f u cos v,x u,x-a x b,f,

Sa, b .ff

0 v 2 .0 u 3

r u, v u cos vi u sen vj 2vk

1, 0, 0

x2 y2 z2 1

r0 v 2 ,0 u 3,

r u, v 20 sen u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk

r r u, v .

v 2 3.v

u 1.u

a 8, b 3a 8, b 1

a 4, b 2a 4, b 1

ba0 v 2 .0 u 2b,a

a b cos v sen uj b sen vk

r u, v a b cos v cos ui

10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,

0 v0 u ,r u, v u cos vi u sen vj vk,

x y

z

0 v 2 .0 u

r u, v a sen3 u cos3 vi a sen3 u sen3 vj a cos3 uk

x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.

zy,x,


CAS

CAS

CAS

CAS

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donde y


from the points and




(a) (b)

(c) (d)










donde y



Surface area

Surface area





y

x

z

−1−4

−3

2

−2

3

124

aa 3.0 v 2 ,1 u 1,

z u sen v2

y a u cos v2

sen v,x a u cos v2

cos v,

v ,u




D

ru rv dA

2b

a

f x 1 f x 2 dx



Sa, b .ff

0 v 2 .0 u 3


1, 0, 0

x2 y2 z2 1

r0 v 2 ,0 u 3,


r r u, v .

v 2 3.v

u 1.u

a 8, b 3a 8, b 1

a 4, b 2a 4, b 1

ba0 v 2 .0 u 2b,a



10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,


x y

z

0 v 2 .0 u


x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.

zy,x,


CAS

CAS

CAS

CAS

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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(a) (b)

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



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(a) (b)

(c) (d)

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



z x2 y2

x2 y2 9z 4

x2

9y2

4z2

11

z x2

4x2 y2 16

x2 y2 25

x 16y2 z2

y 4x2 9z2

x y z 6

z y

0 v 20 u 2,


0 v 20 u 3,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2,


yx 2

−2 −2

2

4

r(u, v)

z


r u, v s u, v

0 v 20 u2

,


0 v 20 u ,


0 v 30 u 1,


0 v 20 u 2,


0 v 20 u 2 ,


0 v 20 u 1,





r u, v ui vjv2

k



r u, v ui 14v3j vk



r u, v ui vj uvk

y

2 2

2

z

x

y4 4

4

−4

z

y22

2

z

xy

4 4

2

z

2

x

y2

2

−2 −1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS

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donde y


from the points and




(a) (b)

(c) (d)










donde y



Surface area

Surface area





y

x

z

−1−4

−3

2

−2

3

124

aa 3.0 v 2 ,1 u 1,

z u sen v2

y a u cos v2

sen v,x a u cos v2

cos v,

v ,u




D

ru rv dA

2b

a

f x 1 f x 2 dx



Sa, b .ff

0 v 2 .0 u 3


1, 0, 0

x2 y2 z2 1

r0 v 2 ,0 u 3,


r r u, v .

v 2 3.v

u 1.u

a 8, b 3a 8, b 1

a 4, b 2a 4, b 1

ba0 v 2 .0 u 2b,a



10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,


x y

z

0 v 2 .0 u


x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.

zy,x,


CAS

CAS

CAS

CAS

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sen

sen

sen sen

sen sen

sen

sen sen

sen

sen

sen

sen

sen

Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:03 Page 1111


Integrales de superficie15.6

n Evaluar una integral de superficie como una integral doble.n Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas.n Determinar la orientación de una superficie.n Comprender el concepto de integral de flujo.

Integrales de superficie

El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero seconsiderarán superficies dadas por Más adelante, en esta sección, se conside-rarán superficies más generales dadas en forma paramétrica.

Sea S una superficie dada por y sea R su proyección sobre el plano xy,como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, gx y gy son continuas en todos lospuntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar elárea de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (xi, yi, zi) y se forma la suma

donde Siempre que el límite de la suma

anterior cuando tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se definecomo

Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble.

Para superficies descritas por funciones de y (o de y ), al teorema 15.10 se lepueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y R es su proyecciónsobre el plano xz, entonces,

Si S es la gráfica de y R es su proyección sobre el plano yz, entonces

Si la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejem-plo, supóngase que la superficie S es el plano dado por donde y

El área de la superficie de S es unidades cuadradas. Trátese de verificarque eSe f sx, y, zd dS 5 !2.

!20 ≤ y ≤ 1.0 ≤ x ≤ 1z 5 x,

fsx, y, zd 5 1,

ESE fsx, y, zd dS 5 E

RE fsgs y, zd, y, zd!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 dA.

x 5 gs y, zd


RE fsx, gsx, zd, zd!1 1 fgxsx, zdg2 1 fgzsx, zdg2 dA.

y 5 gsx, zdzyzx

ESE fsx, y, zd dS 5 lim

i Di→0 on

i51fsxi, yi, zid DSi.

iD iDSi < !1 1 fgxsxi, yidg2 1 fgysxi, yidg2 DAi.

on

i51fsxi, yi, zid DSi

z 5 gsx, yd

z 5 gsx, yd.

La función escalar asigna un número acada punto de SFigura 15.44

f

x

y

(xi, yi, zi)

(xi, yi)R

S: z = g(x, y)

z

TEOREMA 15.10 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE

Sea S una superficie cuya ecuación es y sea R su proyección sobre elplano xy. Si g, gx y gy son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integralde superficie de ƒ sobre S es


RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA.

z 5 gsx, yd

lím

Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1112

SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1113

EJEMPLO 1 Evaluación de una integral de superficie

Evaluar la integral de superficie

donde S es la porción del plano que se encuentra en el primer octante.

Solución Para empezar se escribe S como

Usando las derivadas parciales y se puede escribir

Utilizando la figura 15.45 y el teorema 15.10, se obtiene

Una solución alternativa para el ejemplo 1 sería proyectar S sobre el plano yz, comose muestra en la figura 15.46. Entonces, y

Por tanto, la integral de superficie es

Trátese de resolver el ejemplo 1 proyectando S sobre el plano xz.

52432

.

538 E

6

0s36y 2 y3d dy

5 E6

0Es62ydy2

0sy2 1 2yzd13

22 dz dy

ESE sy2 1 2yzd dS 5 E

RE fsgs y, zd, y, zd!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 dA

!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 5!1 114

1 1 532

.

x 512s6 2 y 2 2zd,

52432

.

5 232

s3 2 xd443

0

5 6E3

0s3 2 xd3 dx

5 3E3

0E2s32xd

0ys3 2 xd dy dx

5 ERE 3y2 1 2y11

22s6 2 2x 2 yd41322 dA

ESE sy2 1 2yzd dS 5 E

RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA

!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 5!1 1 1 114

532

.

gysx, yd 5 212,gxsx, yd 5 21

gsx, yd 512

s6 2 2x 2 yd.

z 512

s6 2 2x 2 yd

2x 1 y 1 2z 5 6.

ESE s y2 1 2yzd dS

x y

S

y = 2(3 − x)

z = 12

(6 − 2x − y)

(3, 0, 0)

(0, 0, 3)

(0, 6, 0)

z

Figura 15.45

x y

S

x = 12

(6 − y − 2z)

(3, 0, 0)

(0, 0, 3)

(0, 6, 0)

z =6 − y

2

z

Figura 15.46

Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1113


En el ejemplo 1 se podría haber proyectado la superficie S en cualquiera de los tresplanos de coordenadas. En el ejemplo 2, S es una porción de un cilindro centrado en el ejex, y puede ser proyectado en el plano xz o en el plano xy.


Evaluar la integral de superficie

donde S es la porción del cilindro que se encuentra en el primer octante, entrey como se muestra en la figura 15.47.

Solución Se proyecta S sobre el plano xy, de manera que y seobtiene

El teorema 15.10 no se puede aplicar directamente porque no es continua en Sinembargo, se puede aplicar el teorema para y después tomar el límite cuando bse aproxima a 3, como sigue.

5 36 1 12p

5 36 1 241p

22

5 limb→32

314b 1 8 arcsin b32

5 limb→32

334y 1 8 arcsin y34

b

0

5 limb→32

3Eb

01 8!9 2 y2

1 42 dy

5 limb→32

3Eb

0

x2

2!9 2 y21 x4

4

0dy

5 limb→32

3Eb

0E4

01 x!9 2 y2

1 12 dx dy

ESE sx 1 zd dS 5 lim

b→32 Eb

0E4

0sx 1 !9 2 y2 d 3

!9 2 y2dx dy

0 ≤ b < 3y 5 3.gy

53

!9 2 y2.

!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 5!1 1 1 2y!9 2 y22

2

z 5 gsx, yd 5 !9 2 y2,

x 5 4,x 5 0y2 1 z2 5 9

ESE sx 1 zd dS

x

y1

23 3

3

4

S: y2 + z2 = 9

R: 0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3

z

Figura 15.47

TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora evalúan integralesimpropias. Si se tiene acceso a uno de estos programas, utilícese para evaluar la inte-gral impropia

¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejemplo 2?

E3

0E4

0sx 1 !9 2 y2 d 3

!9 2 y2dx dy.

lím

lím

lím

lím

lím

lím arcsen

arcsen

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Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplementela integral de superficie da el área de la superficie S.

Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y es la densidad en el puntoentonces la masa de la lámina está dada por

EJEMPLO 3 Hallar la masa de una lámina bidimensional

Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por

como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a ladistancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina.

Solución Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene

con densidad Usando una integral de superficie, se halla que es

Coordenadas polares.

58!5k

3 3u42p

05

16!5kp

3.

58!5k

3 E2p

0du

5!5k

3 E2p

0r34

2

0du

5 kE2p

0E2

0s!5rdr dr du

5 kERE!5!x2 1 y2 dA

5 kERE!x2 1 y2!1 1

4x2

x2 1 y2 14y2

x2 1 y2 dA

5 ERE k!x2 1 y2!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA

m 5 ESE rsx, y, zd dS

rsx, y, zd 5 k!x2 1 y2.

R: x2 1 y2 ≤ 4

0 ≤ z ≤ 4S: z 5 4 2 2!x2 1 y2 5 gsx, yd,

0 ≤ z ≤ 4z 5 4 2 2!x2 1 y2,

Mass of lamina 5 ESE rsx, y, zd dS.

sx, y, zd,rsx, y, zd

Area of surface 5 ESE 1 dS

fsx, y, zd 5 1,

yx

4

3

2

1

21

12

z = 4 − 2 x2 + y2Cono:

R: x2 + y2 = 4

z

Figura 15.48

TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resul-tado del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integralasí:


Masa de la lámina

kE2

22E!42y2

2!42y2

!5!x2 1 y2 dx dy 5 kE2p

0E2

0s!5rdr dr du 5

16!5kp

3

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Superficies paramétricas e integrales de superficie

Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial


definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de sobre Sestá dada por

Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio.

Integral de línea.

Véase que ds y dS pueden escribirse como y n


En el ejemplo 2 se mostró una evaluación de la integral de superficie

donde S es la porción, en el primer octante, del cilindro entre y (ver la figura 15.49). Evaluar esta misma integral, ahora en forma paramétrica.

Solución En forma paramétrica, la superficie está dada por

donde y Para evaluar la integral de superficie en formaparamétrica, se empieza por calcular lo siguiente.

Por tanto, la integral de superficie puede ser evaluada como sigue.

5 12p 1 36

5 33p

4x2 1 9x4

4

0

5 E4

013p

2x 1 92 dx

5 E4

033xu 2 9 cos u4

py2

0dx

EDE sx 1 3 sin ud3 dA 5 E4

0Epy2

0s3x 1 9 sin ud du dx

irx 3 ru i 5 !9 cos2 u 1 9 sin2 u 5 3

rx 3 ru 5 | i10

j0

23 sin u

k0

3 cos u | 5 23 cos u j 2 3 sin uk

ru 5 23 sin u j 1 3 cos uk

rx 5 i

0 ≤ u ≤ py2.0 ≤ x ≤ 4

rsx, ud 5 xi 1 3 cos uj 1 3 sin uk

x 5 4x 5 0y2 1 z2 5 9

ESE sx 1 zd dS

irusu, vd 3 rvsu, vd i dA.dS 5ds 5 ir9std i dtNOTA

EC

fsx, y, zd ds 5 Eb

a

f sxstd, ystd, zstdd ir9stdi dt

ESE f sx, y, zd dS 5 E

DE fsxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd irusu, vd 3 rvsu, vdi dA.

fsx, y, zd


y

x

3

3

43

21

z

Generada con Mathematica

Figura 15.49

sen

sen

sen

sen

sen sen

sen

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Orientación de una superficie

Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitariosnormales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea unpunto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera tal que los vectoresnormales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superfi-cie orientada.

Una superficie orientable S tiene dos caras. Así, cuando se orienta una superficie, seelige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada,como por ejemplo una esfera, se acostumbra escoger como vector unitario normal N, elque apunta hacia fuera de la esfera.

Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orien-tables. (Ver en el ejercicio 43 un ejemplo de una superficie que no es orientable.) En unasuperficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar unvector unitario normal. Es decir, en una superficie orientable S dada por

Superficie orientable.

se hace

Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal

Unitario normal hacia arriba.

o por el vector unitario normal

Unitario normal hacia abajo.

como se muestra en la figura 15.50. Si la superficie suave orientable S está dada en formaparamétrica por


los vectores unitarios normales están dados por

y

Supóngase que la superficie orientable está dada por o Entoncesse puede usar el vector gradiente

.

o

.

para orientar la superficie. n

Gsx, y, zd 5 x 2 gsy, zd=Gsx, y, zd 5 i 2 gysy, zdj 2 gzs y, zdk

Gsx, y, zd 5 y 2 gsx, zd=Gsx, y, zd 5 2gxsx, zdi 1 j 2 gzsx, zdk

x 5 gsy, zd.y 5 gsx, zdNOTA

N 5rv 3 ru

irv 3 ru i.

N 5ru 3 rv

iru 3 rvi


5gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 k

!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2

N 52=Gsx, y, zdi=Gsx, y, zdi

52gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 k

!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2

N 5=Gsx, y, zd

i=Gsx, y, zdi

Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd.

z 5 gsx, yd

x

y

N = ∇G∇ G

Dirección hacia arriba

S

z

S: z = g(x, y)

está orientada hacia arribaS

y

N = −∇G∇ G

Dirección hacia abajo

S

x

z

S: z = g(x, y)

está orientada hacia abajoFigura 15.50S

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Integrales de flujo

Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral desuperficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Supóngase que unasuperficie orientada S se sumerge en un fluido que tiene un campo de velocidad continuaF. Sea el área de una pequeña porción de la superficie S sobre la cual F es casi cons-tante. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo seaproxima mediante el volumen de la columna de altura que se muestra en la figura15.51. Es decir,

DV 5 (altura)(área de la base) 5 (F · N)DS.

Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo(llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la defini-ción siguiente.

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la com-ponente normal de F. Si es la densidad del fluido en la integral de flujo

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por se hace

Entonces, puede escribirse como sigue.

5 =Gsx, y, zd dA

5=Gsx, y, zd

!sgxd2 1 sgyd2 1 1!sgxd2 1 sgyd2 1 1 dA

N dS 5=Gsx, y, zd

i=Gsx, y, zdidS

N dS

Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd.

z 5 gsx, yd,

ESE r F ? N dS

sx, y, zd,rsx, y, zd

F ? N,

DS

x

y

z

∆S

N F

F · N

El campo de velocidad indica la direcciónde flujo del fluidoFigura 15.51

F

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO

Sea donde y tienen primeras derivadas parcialescontinuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal Laintegral de flujo de F a través de S está dada por

ESE F ? N dS.

N.PN,M,Fsx, y, zd 5 M i 1 Nj 1 Pk,

TEOREMA 15.11 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE FLUJO

Sea S una superficie orientada dada por y sea R su proyección sobre elplano xy.

Orientada hacia arriba.

Orientada hacia abajo.

En la primera integral, la superficie está orientada hacia arriba, y en la segunda inte-gral, la superficie está orientada hacia abajo.

ESE F ? N dS 5 E

RE F ? fgxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 kg dA

ESE F ? N dS 5 E

RE F ? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA

z 5 gsx, yd

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EJEMPLO 5 Usar una integral de flujo para hallar la tasao ritmo del flujo de masa

Sea S la porción del paraboloide

que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normaldirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante

fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial

Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.

Solución Se empieza por calcular las derivadas parciales de

y

La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es

Coordenadas polares.

Para una superficie orientada S dada por la función vectorial


definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a travésde S como

Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea

En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y desuperficie.

EC

F ? dr 5 EC

F ? T ds.

5 EDE F ? sru 3 rvd dA.

ESE F ? N dS 5 E

DE F ? 1 ru 3 rv

iru 3 rv i2 iru 3 rv i dA


5 24pr.

5 rE2p

012 du

5 rE2p

0E2

0s4 1 r2dr dr du

5 rERE s4 1 x2 1 y2d dA

5 rERE f2x2 1 2y2 1 s4 2 x2 2 y2dg dA

5 rERE fx i 1 yj 1 s4 2 x2 2 y2dkg ? s2x i 1 2yj 1 kd dA

ESE rF ? N dS 5 rE


gysx, yd 5 22y

gxsx, yd 5 22x

g.

Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk.

r

z 5 gsx, yd 5 4 2 x2 2 y2

x

y44

6

8

−4

z

Figura 15.52

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EJEMPLO 6 Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso

Hallar el flujo sobre la esfera S dada por

Esfera .

donde F es un campo cuadrático inverso dado por

Campo cuadrático inverso F.

y Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en lafigura 15.53.

Solución La esfera está dada por

donde y Las derivadas parciales de r son

y

lo cual implica que el vector normal es

Ahora, usando

se sigue que

Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por

5 4pkq.

5 E2p

0Ep

0kq sin u du dv

ESE F ? N dS 5 E

DE skq sin ud dA

5 kq sin u.

5 kqssin3 u cos2 v 1 sin3 u sin2 v 1 sin u cos2 uda2ssin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos ukdg

F ? sru 3 rvd 5kqa3 fsa sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos ukd ?

5kqa3 sa sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos ukd

5 kqxi 1 yj 1 zk

ixi 1 yj 1 zk i3

Fsx, y, zd 5kqrir i3

5 a2ssin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos ukd.

ru 3 rv 5 | ia cos u cos v

2a sin u sin v

ja cos u sin va sin u cos v

k2a sin u

0 |ru 3 rv

rvsu, vd 5 2a sin u sin vi 1 a sin u cos vj

rusu, vd 5 a cos u cos v i 1 a cos u sin vj 2 a sin uk

0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p

5 a sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos uk


r 5 x i 1 y j 1 zk.

Fsx, y, zd 5kq

ir i2

rir i

5kqrir i3

Sx2 1 y2 1 z2 5 a2

xy

z

S: x2 + y2 + z2 = a2

R: x2 + y2 ≤ a2

N

N

N

N

aa

a

Figura 15.53

sen

sen2

sen2

sen3

sen

sen sen

sen sen sen

sen sen sensen sen

sen sensen2

sen sen sen

sen sen sen

sensensen2

sen3 sensen2

sen

sen

sen

sen

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El resultado del ejemplo 6 muestra que el flujo a través de una esfera S en un campocuadrático inverso es independiente del radio de S. En particular, si E es un campo eléctrico,el resultado obtenido en el ejemplo 6, junto con la ley de Coulomb, proporciona una de lasleyes básicas de electrostática, conocida como la ley de Gauss:

Ley de Gauss.

donde q es un carga puntual localizada en el centro de la esfera y k es la constante deCoulomb. La ley de Gauss es válida para superficies cerradas más generales que contenganel origen, y relaciona el flujo que sale de la superficie con la carga total q dentro de lasuperficie.

Esta sección concluye con un resumen de fórmulas de integrales de línea y de inte-grales de superficie.

ESE E ? N dS 5 4pkq

Resumen de integrales de línea y de superficie

Forma escalar.

Forma vectorial.

Forma escalar.

Vector form (upward normal)

Forma escalar.

Forma vectorial.ESE F ? N dS 5 E

DE F ? sru 3 rvd dA


DE fsxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd dS

dS 5 irusu, vd 3 rvsu, vdi dA

Surface Integrals s parametric formd

ESE F ? N dS 5 E



RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA

dS 5 !1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA

Surface Integrals fz 5 gsx, ydg

5 Eb

a

Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt

EC

F ? dr 5 EC

F ? T ds

EC

fsx, y, zd ds 5 Eb

a

fsxstd, ystd, zstdd ds

5 !fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 dt

ds 5 ir9stdi dt

Line Integrals Integrales de línea

Integrales de superficie [z 5 g(x, y)]

Integrales de superficie (forma paramétrica)

Forma vectorial (normalhacia arriba).

Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1121



En los ejercicios 5 y 6, evaluar

5. primer octante

6.

En los ejercicios 7 y 8, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar

7.

8.

En los ejercicios 9 y 10, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar

9.

10.

Masa En los ejercicios 11 y 12, hallar la masa de la lámina bidi-mensional S de densidad

11. primer octante,

12.



17.

18.

19.

20.

21.

22.

En los ejercicios 23 a 28, hallar el flujo de F a través de

donde N es el vector unitario normal a S dirigido hacia arriba.

23.

primer octante

24.

primer octante

25.

26.

primer octante

27.

28.

En los ejercicios 29 y 30, hallar el flujo de F sobre la superficiecerrada. (Sea N el vector unitario normal a la superficie dirigidohacia afuera.)

29.

30.

cubo unitario limitado o acotado por

31. Carga eléctrica Sea un campo elec-trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hayen el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio

y su base circular en el plano xy.z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 yz i 1 xz j 1 xyk

z 5 1z 5 0,y 5 1,y 5 0,x 5 1,x 5 0,S:

Fsx, y, zd 5 4xy i 1 z2j 1 yzk

z 0z 16 x2 y 2,S:

Fsx, y, zd 5 sx 1 yd i 1 yj 1 zk

z 5 !a2 2 x2 2 y2S:

Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 2 2zk

x2 1 y 2 ≤ 4z 5 x2 1 y 2,S:

Fsx, y, zd 5 4 i 2 3j 1 5k

x2 1 y 2 1 z 2 5 36,S:


z 0z 1 x2 y 2,S:


cube bounded by

31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere

and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2

E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:

F x, y, z 4xy i z2j yzk

z 0z 16 x2 y 2,S:

F x, y, z x y i yj zk

z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:

F x, y, z 3z i 4j yk

S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,

r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:

f x, y x y

0 v 10 u2

,

r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:

f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy

0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5

S f x, y dS.

x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:

x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122

Fsx, y, zd 5 x i 1 yj


1.

2.

3.

4.

In Exercises 5 and 6, evaluate

5. first octant

6.

In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate

7.

8.


9.

10.

Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.

In Exercises 23–28, find the flux of F through

where N is the upward unit normal vector to

23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.

In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)

29.

30.

unit cube bounded by



E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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Fsx, y, zd 5 3z i 2 4j 1 yk

ESE F ? N dS

S,

0 ≤ z ≤ x0 ≤ x ≤ 3,x2 1 y 2 5 9,S:

f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2

0 ≤ z ≤ 90 ≤ y ≤ 3,0 ≤ x ≤ 3,x2 1 y 2 5 9,S:

f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2

sx 2 1d2 1 y 2 ≤ 1z 5 !x2 1 y 2,S:

f sx, y, zd 5 !x2 1 y2 1 z2

x2 1 y 2 ≤ 4z 5 !x2 1 y 2,S:

f sx, y, zd 5 !x2 1 y2 1 z2

4 ≤ x 2 1 y 2 ≤ 16z 5 x2 1 y 2,S:

f sx, y, zd 5xyz

f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2

ESE f xx, y, zc dS.

ESE f xx, yc dS.

rsx, y, zd 5 kzz 5 !a2 2 x2 2 y 2,S:

rsx, y, zd 5 x2 1 y 22x 1 3y 1 6z 5 12,S:

r.

0 ≤ y ≤12

x0 ≤ x ≤p

2,z 5 cos x,S:

0 ≤ y ≤ 20 ≤ x ≤ 2,z 5 10 2 x2 2 y 2,S:

ESE xx2 2 2xyc dS.

0 ≤ y ≤ 40 ≤ x ≤ 4,z 512xy,S:

0 ≤ y ≤ x 0 ≤ x ≤ 2,z 5 9 2 x2, S:

ESE xy dS.

0 ≤ y ≤ !4 2 x20 ≤ x ≤ 2,z 5 h,S:


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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ESE xy dS.

ESE xx 2 2y 1 zc dS.

15.6 Ejercicios


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1122


32. Carga eléctrica Sea un campo elec-trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hayen el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio

y su base circular en el plano xy.

Momento de inercia En los ejercicios 33 y 34, utilizar las fórmu-las siguientes para los momentos de inercia con respecto a losejes coordenados de una lámina bidimensional de densidad

33. Verificar que el momento de inercia de una capa cónica de den-sidad uniforme, con respecto a su eje, es donde m es lamasa y a es el radio y altura.

34. Verificar que el momento de inercia de una capa esférica de den-sidad uniforme, con respecto a su diámetro, es donde mes la masa y a es el radio.

Momento de inercia En los ejercicios 35 y 36, calcular Iz para lalámina especificada con densidad uniforme igual a 1. Utilizar unsistema algebraico por computadora y verificar los resultados.

35.

36.

Ritmo o tasa de flujo En los ejercicios 37 y 38, utilizar un sis-tema algebraico por computadora y hallar el ritmo o tasa de flu-jo de masa de un fluido de densidad a través de la superficie Sorientada hacia arriba, si el campo de velocidad está dado por

37.

38.

43. Investigación

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la función vectorial

A esta superficie se le llama banda de Möbius.

b) Explicar por qué esta superficie no es orientable.

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la curva en el espacio dada por Iden-tificar la curva.

d) Construir una banda de Möbius cortando una tira de papel,dándole un solo giro, y pegando los extremos.

e) Cortar la banda de Möbius a lo largo de la curva en el espa-cio del inciso c), y describir el resultado.

rsu, 0d.

21 ≤ v ≤ 1.0 ≤ u ≤ p,v cos uk,

rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1

z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z ≥ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:

Fxx, y, zc 5 0.5zk.

r

0 ≤ z ≤ hz 5 x2 1 y 2,

0 ≤ z ≤ hx2 1 y 2 5 a2,

23ma2,

12ma2,

Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS

Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS

Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS

r.

z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk

Desarrollo de conceptos39. Definir la integral de superficie de la función escalar f sobre

una superficie Explicar cómo se calculan las in-tegrales de superficie.

40. Describir una superficie orientable.

41. Definir una integral de flujo y explicar cómo se evalúa.

42. ¿Es orientable la superficie de la figura adjunta? Explicar.

Doble giro

z 5 gsx, yd.

sensen sen

Para discusión44. Considerar el campo vectorial

y la superficie orientable S dada por la forma paramétrica

a) Encontrar e interpretar

b) Encontrar como una función de u y v.

c) Encontrar u y v en el punto P(3, 1, 4).

d) Explicar cómo encontrar la componente normal de F a lasuperficie en P. Encontrar después su valor.

e) Evaluar la integral de flujo


and its circular base in the plane.

Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density

33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.

34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.

Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.

35.

36.

Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by

37.

38.

43. Investigation

(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction

This surface is called a Möbius strip.

(b) Explain why this surface is not orientable.

(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.

(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.

(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.

rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:

Fxx, y, zc 5 0.5zk.S

r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk

15.6 Surface Integrals 1123

CAS

39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.

40. Describe an orientable surface.

41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.

42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.

Double twist

z 5 gsx, yd.f


44. Consider the vector field

and the orientable surface given in parametric form by

(a) Find and interpret

(b) Find as a function of and

(c) Find and at the point

(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.

(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.

P.F

Ps3, 1, 4d.vu

v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.

0 # u # 2, 21 # v # 1.

rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,

S

Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk

CAPSTONE

Consider the parametric surface given by the function

(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.

(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by

(c) For fixed values describe the curves given by

(d) For fixed values describe the curves given by

(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.

b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1

v 5 v0,

b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1

u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar

rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.

Hyperboloid of One Sheet


CAS

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35.

36.


37.

38.

43. Investigation







rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:


r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk


CAS





Double twist

z 5 gsx, yd.f









P.F

Ps3, 1, 4d.vu


0 # u # 2, 21 # v # 1.


S


CAPSTONE








v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar




CAS

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35.

36.


37.

38.

43. Investigation







rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:


r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk


CAS





Double twist

z 5 gsx, yd.f









P.F

Ps3, 1, 4d.vu


0 # u # 2, 21 # v # 1.


S


CAPSTONE








v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar




CAS

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35.

36.


37.

38.

43. Investigation







rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:


r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk


CAS





Double twist

z 5 gsx, yd.f









P.F

Ps3, 1, 4d.vu


0 # u # 2, 21 # v # 1.


S


CAPSTONE








v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar




CAS

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35.

36.


37.

38.

43. Investigation







rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:


r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk


CAS





Double twist

z 5 gsx, yd.f









P.F

Ps3, 1, 4d.vu


0 # u # 2, 21 # v # 1.


S


CAPSTONE








v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar




CAS

1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123







35.

36.


37.

38.

43. Investigation







rsu, 0d.

21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,


z 5 !16 2 x2 2 y 2S:

z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:


r

0 # z # hz 5 x2 1 y 2,

0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,

Iz

am23ma2,

am12ma2,




r.

xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2

E 5 x i 1 y j 1 2zk


CAS





Double twist

z 5 gsx, yd.f









P.F

Ps3, 1, 4d.vu


0 # u # 2, 21 # v # 1.


S


CAPSTONE








v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

b.ar




CAS

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Hiperboloide de una hoja

PROYECTO DE TRABAJO

Considerar la superficie paramétrica dada por la función

a) Usar una herramienta de graficación para representar r para va-rios valores de las constantes a y b. Describir el efecto de lasconstantes sobre la forma de la superficie.

b) Mostrar que la superficie es un hiperboloide de una hoja dado por

c) Para valores fijos describir las curvas dadas por

d) Para valores fijos describir las curvas dadas por

e) Hallar un vector normal a la superficie en su, vd 5 s0, 0d.


v 5 v0,


u 5 u0,

x2

a2 1y 2

a2 2z2

b2 5 1.

rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.sen senh

sen

sen

senh

senh


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.


11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.


29.

30.




E yz i xz j xyk

z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:


z 0z 16 x2 y 2,S:


z a2 x2 y2S:


x2 y 2 4z x2 y 2,S:

F x, y, z 4 i 3j 5k

x2 y 2 z 2 36,S:

F x, y, z x i yj zk

z 0z 1 x2 y 2,S:

F x, y, z x i yj zk

z 6 3x 2y,S:

F x, y, z x i yj

z 1 x y,S:


S.

S F N dS

S,

0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

x2 y 2 4z x2 y 2,S:

f x, y, z x2 y2 z2

4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:

f x, y, zxyz

x2 y 2 1z x y,S:

f x, y, z x2 y 2 z2

S f x, y, z dS.

0 v0 u 4,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y x y

0 v 10 u2

,


f x, y xy


S f x, y dS.


x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:

.S

0 y12

x0 x2

,z cos x,S:

0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:

S x2 2xy dS.

0 y 40 x 4,z 12xy,S:

0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:

S xy dS.

0 y 4 x20 x 2,z h,S:

z 3 x y,S:

S xy dS.

0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:

x2 y2 1z 2,S:

0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:

0 y 30 x 4,z 4 x,S:

S x 2y 1 z dS.



CAS

CAS

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Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1123


Teorema de la divergencia15.7

n Comprender y utilizar el teorema de la divergencia.n Utilizar el teorema de la divergencia para calcular flujo.

Teorema de la divergencia

Recordar que en la sección 15.4 se vio que una forma alternativa del teorema de Green es

De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triplesobre una región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el enun-ciado del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la fronteracompleta del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las regiones limitadaso acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o combinaciones de estas superficies.Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que lasuperficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia elexterior, como se muestra en la figura 15.54. Con estas restricciones sobre S y Q, el teo-rema de la divergencia es como sigue.

Como se indica arriba, al teorema de la divergencia a veces se le llama teorema de Gauss.También se le llama teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Michel Ostrogradsky(1801-1861). n

NOTA

5 ERE div F dA.

EC

F ? N ds 5 ERE 1M

x1

Ny 2 dA

x

y

S1

S2

N

N

S1: Orientada por unvector unitario normal dirigido hacia arriba

S2: Orientada por unvector unitario normal dirigido hacia abajo

z

Figura 15.54

TEOREMA 15.12 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada porun vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorialcuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV.

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)

Al teorema de la divergencia también se lellama teorema de Gauss, en honor alfamoso matemático alemán Carl FriedrichGauss. Gauss es reconocido, junto conNewton y Arquímedes, como uno de los tresmás grandes matemáticos de la historia.Una de sus muchas contribuciones a lasmatemáticas la hizo a los 22 años, cuando,como parte de su tesis doctoral, demostró elteorema fundamental del álgebra.

Mar

yE

vans

Pict

ure

Col

lect

ion

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1124

SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1125

Si se hace el teorema toma la forma

Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.

Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. Lademostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior

Superficie superior.

y superficie inferior

Superficie inferior.

cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una super-ficie lateral como en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cualimplica que Por consiguiente, se tiene

Sobre la superficie superior el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arri-ba, mientras que en la superficie inferior el vector normal dirigido hacia el exteriorapunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.

Sumando estos resultados, se obtiene

5 EEQ

E Pz

dV.

5 ERE 3Eg

2sx, yd

g1sx, yd

Pz

dz4 dA

ESE Pk ? N dS 5 E

RE fPsx, y, g2sx, ydd 2 Psx, y, g1sx, yddg dA

5 ERE Psx, y, g2sx, ydd dA

ES2

E Pk ? N dS 5 ERE Psx, y, g2sx, yddk ? 12

g2

xi 2

g2

yj 1 k2 dA

5 2ERE Psx, y, g1sx, ydd dA

ES1

E Pk ? N dS 5 ERE Psx, y, g1sx, yddk ? 1g1

xi 1

g1

yj 2 k2 dA

S1,S2,

ESE Pk ? N dS 5 E

S1

E Pk ? N dS 1 ES2

E Pk ? N dS 1 0.

Pk ? N 5 0.S3

z 5 g1sx, yd

z 5 g2sx, yd

ESE Pk ? N dS 5 EE

Q

E Pz

dV

ESE Nj ? N dS 5 EE

Q

E Ny

dV

ESE Mi ? N dS 5 EE

Q

E Mx

dV

5 EEQ

E 1Mx

1Ny

1Pz 2 dV.

ESE F ? N dS 5 E

SE sMi ? N 1 Nj ? N 1 Pk ? Nd dS

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk,DEMOSTRACIÓN

xy

S1: z = g1(x, y)

S1

S2

S3

N (hacia arriba)

N (horizontal)

N (hacia abajo)

R

z

S2: z = g2(x, y)

Figura 15.55

Esta prueba se restringe auna región sólida simple. Es mejordejar la prueba general para un cursode cálculo avanzado. n

NOTA

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1125


EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de la divergencia

Sea Q la región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano y sea Hallar

donde S es la superficie de Q.

Solución En la figura 15.56 se ve que Q está limitada o acotada por cuatro superficies.Por tanto, se necesitarán cuatro integrales de superficie para evaluarla

Sin embargo, por el teorema de la divergencia, sólo se necesita una integral triple. Como

se tiene

5632

.

5 318y 1 3y2 210y3

31

y4

2 43

0

5 E3

0s18 1 6y 2 10y2 1 2y3d dy

5 E3

0312x 2 2x2 1 8xy 2 2x2y 2 4xy24

32y

0dy

5 E3

0E32y

0s12 2 4x 1 8y 2 4xy 2 4y2d dx dy

5 E3

0E32y

0s2z 1 2yzd4

622x22y

0dx dy

5 E3

0E32y

0E622x22y

0s2 1 2yd dz dx dy

ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV

5 2 1 2y

5 1 1 2y 1 1

div F 5Mx

1Ny

1Pz

ESE F ? N dS.

ESE F ? N dS

F 5 x i 1 y2j 1 zk.z 5 6,2x 1 2y 1

x

y

4 3

34

6

S1: plano xz

S2: plano yz

S3: plano xyS4: 2x + 2y + z = 6

S4

z

Figura 15.56

TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computadora quepueda evaluar integrales iteradas triples, utilícese para verificar el resultado del ejemplo 1.Al usar este sistema algebraico por computadora obsérvese que el primer paso es con-vertir la integral triple en una integral iterada; este paso debe hacerse a mano. Paraadquirir práctica para realizar este paso importante, hallar los límites de integración delas integrales iteradas siguientes. Después usar una computadora para verificar que elvalor es el mismo que el obtenido en el ejemplo 1.

E?

?E?

?E?

?s2 1 2yd dx dy dzE?

?E?

?E?

?s2 1 2yd dy dz dx,

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1126


EJEMPLO 2 Verificación del teorema de la divergencia

Sea Q la región sólida entre el paraboloide

y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para

Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie que apunta haciaafuera es mientras que el vector normal a la superficie que apunta ha-cia afuera es

Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene

Por otro lado, como

se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente

5 EEQ

E 0 dV 5 0.

ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV

div F 5

xf2zg 1

yfxg 1

zfy2g 5 0 1 0 1 0 5 0

5 0.

5 E2

220 dy

5 E2

2238x2 2 x4 2 2x2y2 1 x2y4!42y2

2!42y2dy

5 E2

22E!42y2

2!42y2

s16x 2 4x3 2 4xy2 1 2xyd dx dy

5 E2

22E!42y2

2!42y2

f4xs4 2 x2 2 y2d 1 2xyg dx dy

5 E2

22E!42y2

2!42y2

s4xz 1 2xyd dx dy

5 2E2

22E!42y2

2!42y2y2 dx dy 1 E2

22E!42y2

2!42y2

s4xz 1 2xy 1 y2d dx dy

5 ERE 2y2 dA 1 E

RE s4xz 1 2xy 1 y2d dA

5 ES1

E F ? N1 dS 1 ES2

E F ? N2 dS

ESE F ? N dS

N2 52x i 1 2yj 1 k!4x2 1 4y2 1 1

.

S2N1 5 2k,S1

Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y2k.

z 5 4 2 x2 2 y2

yx

22

4

R: x2 + y2 ≤ 4

N1 = −k

N2

S2: z = 4 − x2 − y2

S1: z = 0

z

Figura 15.57

5 ES1

E F ? s2kd dS 1 ES2

E F ?s2xi 1 2yj 1 kd!4x2 1 4y2 1 1

dS

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1127


c

EJEMPLO 3 Aplicación del teorema de la divergencia

Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro el plano y elplano xy, como se muestra en la figura 15.58. Hallar

donde S es la superficie de Q y

Solución La evaluación directa de esta integral de superficie sería difícil. Sin embargo,por el teorema de la divergencia, se puede evaluar la integral como sigue.

Nótese que para evaluar la integral triple se emplearon coordenadas cilíndricas con x = rcos q y .

Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región sólida simple Q limi-tada o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones queson uniones finitas de regiones sólidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o aco-tado por las superficies cerradas y como se muestra en la figura 15.59. Para aplicarel teorema de la divergencia a este sólido, sea El vector normal N a S estádado por en y por en Por tanto, se puede escribir

5 2ES1

E F ? N1 dS 1 ES2

E F ? N2 dS.

5 ES1

EF ? s2N1d dS 1 ES2

E F ? N2 dS

EEQ

E div F dV 5 ESE F ? N dS

S2.N2S12N1

S 5 S1 < S2.S2,S1

dV 5 r dz dr du

5 212p

5 348 sin u 2 61u 112

sin 2u242p

0

5 E2p

0s48 cos u 2 12 cos2 uddu

5 E2p

0E2

0s18r2 cos u 2 3r3 cos2 ud dr du

5 E2p

0E2

0E62r cosu

0s3r cos udr dz dr du

5 EEQ

E 3x dV

5 EEQ

E s2x 1 x 1 0d dV

ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV

Fsx, y, zd 5 sx2 1 sin zdi 1 sxy 1 cos zdj 1 eyk.

ESE F ? N dS

x 1 z 5 6,x2 1 y2 5 4,

x

y

6

7

8

9

2 2

Plano:x + z = 6

Cilindro:x2 + y2 = 4

z

Figura 15.58

xy

−N1

N2

S1

S2

z

Figura 15.59

sen

sen sen

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1128


Flujo y el teorema de la divergencia

Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miem-bros de la ecuación

De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determinael flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puedeaproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie.La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desdeuna perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) decubos pequeños de volumen El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente

El flujo en el i-ésimo cubo

para algún punto en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q,la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensadapor una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adya-cente. Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se can-cela uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma

aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superfi-cie

Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considéresecomo el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro contenida en

la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia aresulta

donde es el interior de Por consiguiente, se tiene

y, tomando el límite cuando se obtiene la divergencia de F en el punto

En un campo vectorial el punto es clasificado como una fuente, un sumidero oincompresible, como sigue.

1. Fuente, si Ver figura 15.61a.

2. Sumidero, si Ver figura 15.61b.

3. Incompresible, si Ver figura 15.61c.

En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluidoadicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera queescapa fluido. n

NOTA

div F 5 0

div F < 0

div F > 0

sx0, y0, z0d

5 flux per unit volume at sx0, y0, z0d

div Fsx0, y0, z0d 5 lima→0

flux of F across Sa

DVa

sx0, y0, z0d.a → 0,

div Fsx0, y0, z0d <flux of F across Sa

DVa

Sa.Qa

< div Fsx0, y0, z0,d DVa

Flux of F across Sa 5 EEQa

E div F dV

Sa

sx0, y0, z0d,DVa

S.

on

i51div Fsxi, yi, zid DVi

sxi, yi, zid

< div Fsxi, yi, zid DVi

DVi.

ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV.

xy

(x0, y0, z0)

S

Región sólida Q

α

z

Figura 15.60

a) Fuente: div F > 0

b) Sumidero: div F < 0

c) Incompresible:

Figura 15.61

div F 5 0

flujo de F a través de Sa

DVa

flujo de F a través de Sa

DVa

Flujo de F a través de Sa

5 flujo por unidad de volumen en

lím

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15.7 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia eva-luando

como una integral de superficie y como una integral triple.

1.

cubo limitado o acotado por los planos

2.

cilindro


3.

superficie limitada o acotada por los planos 2x 1 4y 1 2z =12 y los planos coordenados

4.

superficie limitada o acotada por el plano y y los planos coordenados


yx4

4

4

z

y

x

3

6

6

z

z 5 4 2 xy 5 4S:

Fsx, y, zd 5 xyi 1 zj 1 sx 1 ydk

S:

Fsx, y, zd 5 s2x 2 ydi 2 s2y 2 zdj 1 zk

yx

2

h

2

z

x

yaa

a

z

0 ≤ z ≤ hx2 1 y 2 5 4,S:

Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k

z 5 az 5 0,y 5 a,y 5 0,x 5 a,x 5 0,S:

Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k

ESE F ? N dS

EJEMPLO 4 Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia

Sea Q la región limitada o acotada por la esfera Hallar el flujo dirigi-do hacia afuera del campo vectorial a través de la esfera.

Solución Por el teorema de la divergencia, se tiene

Coordenadas esféricas.

5768p

5.

5 24p 1325 2

5 12pE2

02r4 dr

5 6E2

0Ep

02pr4 sin f df dr

5 6E2

0Ep

0E2p

0r4 sin f du df dr

5 EEQ

E 6sx2 1 y2 1 z2d dV

Flux across S 5 ESE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV

Fsx, y, zd 5 2x3i 1 2y3j 1 2z3kx2 1 y2 1 z2 5 4.

Flujo a través de S

sen

sen

5.

superficie acotada por y

6.

superficie acotada por y z 4z x2 y2S:

F x, y, z xy2i yx2j ek

z 0z 1 x2 y2S:

F x, y, z xzi zyj 2z2k

Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1130


En los ejercicios 7 a 18, utilizar el teorema de la divergencia paraevaluar

y hallar el flujo de F dirigido hacia el exterior a través de lasuperficie del sólido limitado o acotado por las gráficas de lasecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora yverificar los resultados.

En los ejercicios 19 y 20, evaluar

donde es la superficie cerrada del sólido limitado o acotado porlas gráficas de y y los planos coordenados.

19.

20.

23. a) Utilizar el teorema de la divergencia para verificar que elvolumen del sólido limitado o acotado por una superficie S es

b) Verificar el resultado del inciso a) para el cubo limitado oacotado por y

25. Verificar que

para toda superficie cerrada

26. Para el campo vectorial constante dado por

verificar que

donde es el volumen del sólido limitado o acotado por lasuperficie cerrada

27. Dado el campo vectorial , verificar que

donde es el volumen del sólido limitado o acotado por lasuperficie cerrada

28. Dado el campo vectorial , verificar que

En los ejercicios 29 y 30, demostrar la identidad, suponiendo queQ, S y N satisfacen las condiciones del teorema de la divergenciay que las derivadas parciales necesarias de las funciones es-calares f y g son continuas. Las expresiones y son lasderivadas en la dirección del vector N y se definen por

29.

[Sugerencia: Utilizar ]

30.

(Sugerencia: Utilizar el ejercicio 29 dos veces.)

EEQ

E s f =2g 2 g=2f d dV 5 ESE s f DNg 2 g DN f d dS

div s fGd 5 f div G 1 =f ? G.

EEQ

E s f =2g 1 =f ? =gddV 5 ESE f DNg dS

DNg 5 =g ? N.DN f 5 =f ? N,

DN gDN f

1iFi ES

E F ? N dS 53

iFi EEQ

E dV.


S.V

ESE F ? N dS 5 3V


S.V

ESE F ? N dS 5 0

a2 j a3k,

F x, y, z a1i

S.

ESE curl F ? N dS 5 0

z 5 a.z 5 0,y 5 a,y 5 0,x 5 a,x 5 0,

ESE x dy dz 5 E

SE y dz dx 5 E

SE z dx dy.

Fsx, y, zd 5 xy cos z i 1 yz sin xj 1 xyzk

Fsx, y, zd 5 s4xy 1 z2di 1 s2x2 1 6yzdj 1 2xzk

z 5 9 2 y2,x 5 4,S

ESE curl F ? N dS

ESE F ? N dS

Desarrollo de conceptos21. Enunciar el teorema de la divergencia.

22. ¿Cómo se determina si un punto de un campovectorial es una fuente, un sumidero o incompresible?

sx0, y0, z0d

rot F · N dS 5 0

sen

rot F · N dS

Para discusión24. Sea y sea S el cubo acotado por

los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 y z = 1. Verificarel teorema de la divergencia evaluando

como una integral de superficie y como una integral triple.

In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate

and find the outward flux of F through the surface of the solidbounded by the graphs of the equations. Use a computeralgebra system to verify your results.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.


where is the closed surface of the solid bounded by the graphsof and and the coordinate planes.

19.

20.

23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume ofthe solid bounded by a surface is

(b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by and

25. Verify that

for any closed surface

26. For the constant vector field verify that

where is the volume of the solid bounded by the closedsurface

27. Given the vector field verify that



In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that and N meet the conditions of the Divergence Theorem and thatthe required partial derivatives of the scalar functions and are continuous. The expressions and are the deriva-tives in the direction of the vector N and are defined by

29.

[Hint: Use ]

30.

(Hint: Use Exercise 29 twice.)Q

f 2g g 2f dVS

f DNg g DN f dS

div fG f div G f G.Q

f 2g f g dVS

f DNg dS

DNg g N.DN f f N,

DN gDN fgf

S,Q,

1F

S

F N dS3F

Q

dV.

F x, y, z x i yj zk,

S.V

S

F N dS 3V


S.V

S

F N dS 0

F x, y, z a1i a2 j a3k,

S.

S

curl F N dS 0

z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,

S

x dy dzS

y dz dxS

z dx dy.

S

F x, y, z xy cos z i yz sen xj xyzk

F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xzk

z 9 y2,x 4S

S curl F N dS

z 4 x2 y 2, z 0S:

F x, y, z 2 x i yj zk

x2 y 2 z2 16S:

F x, y, z xyi 4yj xzk

z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:

F x, y, z xez i yez j ez k

z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:

F x, y, z x3i x2yj x2ey k

z 12 x2 y 2, z 8S:

F x, y, z xy 2 cos z i x2y sen z j e z k

x2 y2 25, z 0, z 7S:

F x, y, z x i y 2j zk

x2 y 2 4, z 0, z 5S:

F x, y, z xyz j

x2 y 2 z 2 9S:

F x, y, z x i yj zk

z a2 x2 y 2, z 0S:

F x, y, z xy i yz j yzk

z a2 x2 y 2, z 0S:

F x, y, z x2i 2xyj xyz 2k

x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:

F x, y, z x2z2i 2yj 3xyzk

x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:

F x, y, z x2i y 2j z 2k

S F N dS

15.7 Divergence Theorem 1131

24. Let and let be the cube boundedby the planes and

Verify the Divergence Theorem by evaluating

as a surface integral and as a triple integral.S

F N dS

z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,

SF x, y, z xi yj zk

CAPSTONE

21. State the Divergence Theorem.

22. How do you determine if a point in a vector fieldis a source, a sink, or incompressible?

x0, y0, z0


1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1131



7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.



19.

20.



25. Verify that








29.

[Hint: Use ]

30.


f 2g g 2f dVS

f DNg g DN f dS


f 2g f g dVS

f DNg dS

DNg g N.DN f f N,

DN gDN fgf

S,Q,

1F

S

F N dS3F

Q

dV.


S.V

S

F N dS 3V


S.V

S

F N dS 0


S.

S

curl F N dS 0

z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,

S

x dy dzS

y dz dxS

z dx dy.

S



z 9 y2,x 4S

S curl F N dS

z 4 x2 y 2, z 0S:


x2 y 2 z2 16S:


z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:


z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:


z 12 x2 y 2, z 8S:


x2 y2 25, z 0, z 7S:


x2 y 2 4, z 0, z 5S:

F x, y, z xyz j

x2 y 2 z 2 9S:

F x, y, z x i yj zk

z a2 x2 y 2, z 0S:


z a2 x2 y 2, z 0S:


x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:


x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:


S F N dS





F N dS

z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,

SF x, y, z xi yj zk

CAPSTONE



x0, y0, z0


1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1131



7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.



19.

20.



25. Verify that








29.

[Hint: Use ]

30.


f 2g g 2f dVS

f DNg g DN f dS


f 2g f g dVS

f DNg dS

DNg g N.DN f f N,

DN gDN fgf

S,Q,

1F

S

F N dS3F

Q

dV.


S.V

S

F N dS 3V


S.V

S

F N dS 0


S.

S

curl F N dS 0

z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,

S

x dy dzS

y dz dxS

z dx dy.

S



z 9 y2,x 4S

S curl F N dS

z 4 x2 y 2, z 0S:


x2 y 2 z2 16S:


z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:


z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:


z 12 x2 y 2, z 8S:


x2 y2 25, z 0, z 7S:


x2 y 2 4, z 0, z 5S:

F x, y, z xyz j

x2 y 2 z 2 9S:

F x, y, z x i yj zk

z a2 x2 y 2, z 0S:


z a2 x2 y 2, z 0S:


x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:


x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:


S F N dS





F N dS

z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,

SF x, y, z xi yj zk

CAPSTONE



x0, y0, z0




Teorema de Stokes15.8

n Comprender y utilizar el teorema de Stokes.n Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.

Teorema de Stokes Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el teo-rema de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel Stokes.Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como la Escuelade Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin) y JamesClerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con seriesinfinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integración que sepresentan en esta sección.

El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre unasuperficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacioque forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La dirección posi-tiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respectoal vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la manoderecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en ladirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63.

La integral de línea puede escribirse en forma diferencial o enforma vectorial neC F ? T ds.

eC M dx 1 N dy 1 P dzNOTA

y

x

C

R

N

Superficie S

z

N

S

CFigura 15.62

La dirección a lo largo de C es en sentidocontrario a las manecillas del reloj conrespecto a NFigura 15.63

TEOREMA 15.13 TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curvacerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorialcuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una regiónabierta que contiene a S y a C, entonces

EC

F ? dr 5 ESE scurl Fd ? N dS.

GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

Stokes se convirtió en profesor Lucasiano dematemáticas en Cambridge en 1849. Cincoaños después, publicó el teorema que llevasu nombre como examen para optar a unpremio de investigación.

Bet

tman

n/C

orbi

s

srot Fd

Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1132

SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1133

EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Stokes

Sea C el triángulo orientado situado en el plano como se muestra en lafigura 15.64. Evaluar

donde

Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

Considerando se puede usar el teorema 15.11 para un vectornormal dirigido hacia arriba para obtener

Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teoremade Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C2 y C3, comosigue.

El valor de la integral de la línea es

5 29.

5 9 2 9 2 9

5 E3

0t2 dt 1 E6

3s22t 1 6d dt 1 E9

6s22t 1 12d dt

EC

F ? dr 5 EC1

F ? r19std dt 1 EC2

F ? r29std dt 1 EC3

F ? r39std dt

6 ≤ t ≤ 9C3: r3std 5 st 2 6d i 1 s18 2 2tdk,

3 ≤ t ≤ 6C2: r2std 5 s6 2 tdj 1 s2t 2 6dk,

0 ≤ t ≤ 3C1: r1std 5 s3 2 td i 1 t j,

5 29.

5 322y3

31 5y2 2 12y4

3

0

5 E3

0s22y2 1 10y 2 12d dy

5 E3

0E32y

0s2y 2 4d dx dy

5 ERE s2i 2 j 1 2ykd ? s2 i 1 2 j 1 kd dA

5 ERE s2i 2 j 1 2ykd ? f2gxsx, yd i 2 gysx, ydj 1 kg dA

EC

F ? dr 5 ESEscurl Fd ? N dS

z 5 6 2 2x 2 2y 5 gsx, yd,

curl F 5 | i

x

2y2

j

y

z

k

z

x | 5 2i 2 j 1 2yk

F.

Fsx, y, zd 5 2y2 i 1 z j 1 xk.

EC

F ? dr

2x 1 2y 1 z 5 6,

y

x

C1

C2C3

3 3

6

N (hacia arriba)

S: 2x + 2y + z = 6

x + y = 3

R

z

Figura 15.64

rot F 55

srot Fd

Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1133


EJEMPLO 2 Verificación del teorema de Stokes

Sea S la parte del paraboloide z = 4 – x2 – y2 que permanece sobre el plano xy, orientadohacia arriba (ver la figura 15.65). Sea C su curva frontera en el plano xy orientada en elsentido contrario al de las manecillas del reloj. Verificar el teorema de Stokes para

evaluando la integral de superficie y la integral de línea equivalente.

Solución Como integral de superficie, se tiene z = g(x, y) = 4 – x2 – y2, gx = –2x, gy =–2y, y

De acuerdo con el teorema 15.11, se obtiene

Como integral de línea, se puede parametrizar C como

Para se obtieneFsx, y, zd 5 2z i 1 x j 1 y2k,

y

x

z

3

−33

4

R

N (hacia arriba)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figura 15.65

EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem

Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for

by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.

Solution As a surface integral, you have and

By Theorem 15.11, you obtain

As a line integral, you can parametrize as

For you obtain

4 .

2 t12

sen 2t2

0

2 2

0 1 cos 2t dt

2

0 4 cos2 t dt

2

0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt

C

2z dx x dy y2 dz

C

F drC

M dx N dy P dz

F x, y, z 2z i x j y2k,

0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,

C

Área del círculo de radio 2 4 .

2

2 2 4 x2 dx

2

2 2xy2 2y2 y

4 x2

4 x2 dx

2

2

4 x2

4 x2

4xy 4y 1 dy dx

S

rot F N dSR

2yi 2 j k 2x i 2yj k dA

rot F

i

x

2z

j

y

x

k

z

y2

2y i 2j k.

gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,

F x, y, z 2zi xj y2k

xyCxyz 4 x2 y2S


y

x

z

3

−33

4

R

N (upward)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figure 15.65

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134







For you obtain

4 .

2 t12

sen 2t2

0

2 2

0 1 cos 2t dt

2

0 4 cos2 t dt

2


C

2z dx x dy y2 dz

C

F drC

M dx N dy P dz



C


2

2 2 4 x2 dx

2

2 2xy2 2y2 y

4 x2

4 x2 dx

2

2

4 x2

4 x2

4xy 4y 1 dy dx

S

rot F N dSR


rot F

i

x

2z

j

y

x

k

z

y2

2y i 2j k.



xyCxyz 4 x2 y2S


y

x

z

3

−33

4

R

N (upward)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figure 15.65

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134







For you obtain

4 .

2 t12

sen 2t2

0

2 2

0 1 cos 2t dt

2

0 4 cos2 t dt

2


C

2z dx x dy y2 dz

C

F drC

M dx N dy P dz



C


2

2 2 4 x2 dx

2

2 2xy2 2y2 y

4 x2

4 x2 dx

2

2

4 x2

4 x2

4xy 4y 1 dy dx

S

rot F N dSR


rot F

i

x

2z

j

y

x

k

z

y2

2y i 2j k.



xyCxyz 4 x2 y2S


y

x

z

3

−33

4

R

N (upward)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figure 15.65

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134







For you obtain

4 .

2 t12

sen 2t2

0

2 2

0 1 cos 2t dt

2

0 4 cos2 t dt

2


C

2z dx x dy y2 dz

C

F drC

M dx N dy P dz



C


2

2 2 4 x2 dx

2

2 2xy2 2y2 y

4 x2

4 x2 dx

2

2

4 x2

4 x2

4xy 4y 1 dy dx

S

rot F N dSR


rot F

i

x

2z

j

y

x

k

z

y2

2y i 2j k.



xyCxyz 4 x2 y2S


y

x

z

3

−33

4

R

N (upward)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figure 15.65

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134







For you obtain

4 .

2 t12

sen 2t2

0

2 2

0 1 cos 2t dt

2

0 4 cos2 t dt

2


C

2z dx x dy y2 dz

C

F drC

M dx N dy P dz



C


2

2 2 4 x2 dx

2

2 2xy2 2y2 y

4 x2

4 x2 dx

2

2

4 x2

4 x2

4xy 4y 1 dy dx

S

rot F N dSR


rot F

i

x

2z

j

y

x

k

z

y2

2y i 2j k.



xyCxyz 4 x2 y2S


y

x

z

3

−33

4

R

N (upward)

S

S: z = 4 − x2 − y2

R: x2 + y2 ≤ 4

C

Figure 15.65

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134

Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1134


Interpretación física del rotacional

El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. Enun campo vectorial sea un pequeño disco circular de radio centrado en ycon frontera como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia

tiene un componente normal y un componente tangencial Cuanto másalineados están y mayor es el valor de Así, un fluido tiende a moverse a lo largodel círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de líneaalrededor de mide la circulación alrededor de Es decir,

Ahora considérese un pequeño disco centrado en algún punto de la super-ficie como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constan-te, porque varía poco con respecto a su valor en Es más rot es casi constanteen porque todos los vectores unitarios normales en son prácticamente iguales. Porconsiguiente, del teorema de Stokes se sigue que

Por tanto,

Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada vezmás pequeños se sigue que

a lo que se le conoce como rotación de F respecto de N. Esto es,

En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección.Normalmente, esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el teo-rema de Stokes

Integral de superficie Integral de línea

afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda lasuperficie S (la integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrede-dor de la frontera C (integral de línea).

EC

F ? drESE scurl Fd ? N dS 5

scurl Fd ? N 5 lima→0

1

pa2 ECa

F ? T ds

sa → 0d,

5 rate of circulation.

5circulation of F around Ca

area of disk Sa

scurl Fd ? N <E

Ca

F ? T ds

pa2

< scurl Fd ? Nspa2d.

< scurl Fd ? N ESa

E dS

ECa

F ? T ds 5 ESa

E scurl Fd ? N dS

SaSa,F ? Nsx, y, zd.

S,sx, y, zdSa

ECa

F ? T ds 5 circulation of F around Ca.

Ca.Ca

F ? T.TFF ? T.F ? NFCa ,

Ca ,sx, y, zda,SaF,

α

α

α

( , , )x y z

Disco S

T

F

N

F T

F NC

Figura 15.66

( , , )x y z

N

Sα

S

rot F

Figura 15.67

circulación de F alrededor de Ca

srot Fd

srot Fd

srot Fd

srot Fd

circulación de F alrededor de Ca

área de disco Sa

tasa o ritmo de circulación.

srot Fd

rot Fsx, y, zd · N 5 rotación de F respecto de N en sx, y, zd.

srot Fd

lím

.

Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1135


conve-n sión

n

a0,

EJEMPLO 3 Una aplicación del rotacional

Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimien-to se describe por el campo de velocidad

como se muestra en la figura 15.68. Hallar

donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.

Solución El rotacional de F está dado por

Haciendo se tiene

5 16p.

5 E2p

0 8 du

5 E2p

0 r

342

0 du

5 E2p

0E2

0 s3rdr dr du

ESE scurl Fd ? N dS 5 E

RE 3!x2 1 y2 dA

N 5 k,

curl F 5 | i

x

2y!x2 1 y2

j

y

x!x2 1 y2

k

z

0 | 5 3!x2 1 y2 k.

ESE scurl Fd ? N dS

Fsx, y, zd 5 2y!x2 1 y2 i 1 x!x2 1 y2 j

Resumen de fórmulas de integración

EC

F ? dr 5 ESE scurl Fd ? N dSE

SE F ? N dS 5 EE

Q

E div F dV

Stokes's Theorem: Divergence Theorem:

EC

F ? N ds 5 ERE div F dA

EC

M dx 1 N dy 5 ERE1N

x2

My 2 dA 5 E

C

F ? T ds 5 EC

F ? dr 5 ERE scurl Fd ? kdA

Green's Theorem:

EC

F ? dr 5 EC

= f ? dr 5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, ysaddEb

a

F9sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad

Fundamental Theorem of Line Integrals: Fundamental Theorem of Calculus:

y

x2

2

z

Figura 15.68

Si rot F 5 0 en toda la región Q, la rotación de F con respecto a cada vector unitario nor-mal N es 0. Es decir, F es irrotacional. Por lo visto con anterioridad, se sabe que ésta es una carac-terística de los campos vectoriales conservativos. n

NOTA

srot Fd

srot Fd

Teorema fundamental del cálculo: Teorema fundamental de las integrales de línea:

Teorema de Green:

Teorema de divergencia: Teorema de Stokes:

(rot F) · N dS

rot F

srot Fd

Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1136


15.8 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, hallar el rotacional del campo vectorial F.

En los ejercicios 7 a 10, verificar el teorema de Stokes evaluando

como integral de línea e integral doble.

En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Stokes para eva-luar Utilizar un sistema algebraico por computadora yverificar los resultados. En cada uno de los casos, C está orien-tada en sentido contrario a las manecillas del reloj como se vioanteriormente.

16.

17.

sobre de un pétalo de en elprimer octante

18.

la porción en el primer octante de sobre

19.

es el vector unitario normal a la superficie, dirigido hacia abajo.

20.

la porción en el primer octante de sobre x2 1 y2 5 a2

Movimiento de un líquido En los ejercicios 21 y 22, el mo-vimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1 sedescribe mediante el campo de velocidad Hallar

donde S es la superficie superior del reci-piente cilíndrico.

21. 22.

25. Sean f y g funciones escalares con derivadas parciales conti-nuas, y supóngase que C y S satisfacen las condiciones del teo-rema de Stokes. Verificar cada una de las identidades siguientes.

26. Demostrar los resultados del ejercicio 25 para las funcio-nes y Sea S el hemisferio

27. Sea C un vector constante. Sea S una superficie orientada convector unitario normal N, limitada o acotada por una curva suaveC. Demostrar que

ESE C ? N dS 5

12EC

sC 3 rd ? dr.

z 5 !4 2 x2 2 y2.gsx, y, zd 5 z.f sx, y, zd 5 xyz

Fsx, y, zd 5 2z i 1 ykFsx, y, zd 5 i 1 j 2 2k

In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating

as a line integral and as a double integral.

7.

8.

9.

10.

In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.

11.

triángulo cuyos vértices son

12.


13.

14.

15.

16.

17.

over in the first octant

18.

the first-octant portion of over

19.

is the downward unit normal to the surface.

20.


Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.

21. 22.

25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.

a)

b) c)

26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere

27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that

S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC

z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz

C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS

SCgf

F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k

SS rot F N dS,F x, y, z .

x2 y2 a2z x2S:

x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,

N

0 y a0 x a,S: z x2,

F x, y, z xyz i y j zk

x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,

r 2 sen 2z 9 2x 3yS:

F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k

S: z 4 x2 y2

F x, y, z x2 i z2 j xyzk

S: z 4 x2 y2

F x, y, z z2 i y j zk

z ≥ 0S: z 9 x2 y2,

F x, y, z 4xz i y j 4xyk

z ≥ 0S: z 1 x2 y2,

F x, y, z z2 i 2x j y2 k

0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k

0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:

F x, y, z 2y i 3z j xk

C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,

F x, y, z z2 i x2 j y2 k

S: 6x 6y z 12, primer octante


S: z 1 x2 y2

F x, y, z y z i x z j x y k

z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr

F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k

F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk

F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k

F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk

F x, y, z x2 i y2 j x2 k

F x, y, z 2y z i ezj xyzk

15.8 Stokes’s Theorem 1137


23. State Stokes’s Theorem.

24. Give a physical interpretation of curl.


28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.

(a)

square with vertices

(b)

the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4

z x2 y2S:

F x, y, z z2i x2j y2k

0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let

Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the

following properties.

(i) have continuous partial derivatives for all

(ii) Curl for all

(iii)

This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.

F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,

P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,

G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .

PUTNAM EXAM CHALLENGE

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137

Fxx, y, zc.

z 5 x2S:

x2 1 y2 ≤ a2Fsx, y, zd 5 xyz i 1 y j 1 zk,

N

0 ≤ y ≤ a0 ≤ x ≤ a,S: z 5 x2,

Fsx, y, zd 5 xyz i 1 y j 1 zk

x2 1 y2 5 16x2 1 z2 5 16S:

x2 1 y2 ≤ 16Fsx, y, zd 5 yz i 1 s2 2 3yd j 1 sx2 1 y2dk,

r 5 2 sin 2uz 5 9 2 2x 2 3yS:

Fsx, y, zd 5 2ln!x2 1 y2 i 1 arctan xy j 1 k

S: z 5 !4 2 x2 2 y2

Fsx, y, zd 5 x2 i 1 z2 j 2 xyzk

eC F ? dr.

EC F ? T ds 5 E

C F ? dr

Desarrollo de conceptos23. Enunciar el teorema de Stokes.

24. Dar una interpretación física del rotacional.

sen


1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.



21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .


1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137


1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.



21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .


1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137


1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.


18.


19.


20.



21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .


1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137

Preparación del examen Putman

29. Sea

Demostrar o refutar que hay una función vectorial Fsx, y, zd5 sMsx, y, zd, con las propiedades si-guientes.

i) tienen derivadas parciales continuas en todo

ii) Rot para todo

iii)

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Fsx, y, 0d 5 Gsx, yd.sx, y, zd Þ s0, 0, 0d;F 5 0

sx, y, zd Þ s0, 0, 0d;PN,M,

Psx, y, zddNsx, y, zd,

Gsx, yd 5 1 2yx2 1 4y2,

xx2 1 4y2, 02.


1.

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19.


20.



21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .


1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137

Para discusión28. Verificar el teorema de Stokes para cada campo vectorial

dado y superficie orientada hacia arriba. ¿Es más fácilestablecer la integral de línea o la integral doble?, ¿de eva-luar? Explicar.

a)

C: cuadrado con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)

b)

S: la porción del paraboloide z = x2 + y2 que yace abajo delplano z = 4.


1.

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21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .


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20.



21. 22.


a)

b) c)



S

C N dS12 C

C r dr.

C.N,SC



SCgf



x2 y2 a2z x2S:


N

0 y a0 x a,S: z x2,


x2 y2 16x2 z2 16S:

x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,



S: z 4 x2 y2


S: z 4 x2 y2


z ≥ 0S: z 9 x2 y2,


z ≥ 0S: z 1 x2 y2,


0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:


0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:


C

C F dr.

0 y a0 x a,S: z y2,




S: z 1 x2 y2


z 0S: z 9 x2 y2,


C F T ds

C F dr













(a)


(b)


z x2 y2S:


0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:

F x, y, z ey zi

CAPSTONE

29. Let




(ii) Curl for all

(iii)


F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,


G x, yy

x2 4y2, x

x2 4y2, 0 .



15 Ejercicios de repaso


En los ejercicios 1 y 2, calcular iiFii y dibujar varios vectores re-presentativos en el campo vectorial. Utilizar un sistema alge-braico por computadora y verificar los resultados.

1. 2.

En los ejercicios 3 y 4, hallar el campo vectorial gradiente de lafunción escalar.

En los ejercicios 5 a 12, determinar si el campo vectorial es con-servativo. Si es conservativo, hallar una función potencial para elcampo vectorial.

En los ejercicios 13 a 20, hallar a) la divergencia del campo vec-torial F y b) el rotacional del campo vectorial F.

En los ejercicios 21 a 26, calcular la integral de línea a lo largode la(s) trayectoria(s) dada(s).

21.

a) segmento de recta desde (0, 0) hasta (3, 4)

b) una revolución en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, empezando en (1, 0)

22.

a) segmento de recta desde hasta

b) en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largodel triángulo de vértices

24.

25.

a) segmento de recta desde hasta (3, –3)

b) en sentido contrario a las manecillas del reloj a lo largodel círculo

26.

En los ejercicios 27 y 28, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y calcular la integral de línea sobre la trayectoria dada.

27. 28.

Área de una superficie lateral En los ejercicios 29 y 30, hallar elárea de la superficie lateral sobre la curva C en el plano xy y bajola superficie


32.

33.

34.

curva en la intersección de y desde hasta

35.

curva en la intersección de y y = x desde (0, 0, 0)hasta (2, 2, 8)

36.

la curva en la intersección de y desdehasta s0, 2, 0ds0, 22, 0d

x2 1 y2 5 4z 5 x2C:

Fsx, y, zd 5 sx2 2 zd i 1 sy2 1 zd j 1 x k

z 5 x2 1 y2C:

In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.

1. 2.

In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.

3. 4.

In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).

21.


(b) one revolution counterclockwise, startingat

22.


(b) counterclockwise around the triangle with vertices

23.

24.

25.


(b) one revolution counterclockwise around the circle

26.

In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.

27. 28.

Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface

29.

desde hasta

30.

desde hasta


31.

32.

33.

34.

curve of intersection of and fromto

35.


36.

curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0

x2 y2 4z x2C:

F x, y, z x2 z i y2 z j x k

2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:

F x, y, z 2y z i z x j x y k

0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,

F x, y, z x i y j zk

0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,

F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,

F x, y xy i 2xy jC F dr.

2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2

r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C

x2 y2 z2 dsC

2x y ds

0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C

2x y dx x 3y dy

y 3 sen tx 3 cos t,C:

3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy

0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C

x2 y2 ds

0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C

x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k

F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk

F x, y, z x2 y i x sen2y j

F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k

F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k

F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk

F x, y, z y2 j z2 k

F x, y, z x2 i xy2 j x2zk

F x, y, z sen z y i x j k

F x, y, zyz i xz j xyk

y2z2

F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k

F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k

F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j

F x, y xy2 x2 i x2y y2 j

F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j

f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2

F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k

F


15 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

CAS

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1138

s0, 0, 2ds2, 2, 0dy2 1 z2 5 4x2 1 z2 5 4C:

Fsx, y, zd 5 s2y 2 zd i 1 sz 2 xd j 1 sx 2 ydk

0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 2 cos t i 1 2 sin t j 1 tk,

Fsx, y, zd 5 x i 1 y j 1 zk

0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 4 cos t i 1 3 sin t j,

Fsx, yd 5 sx 2 yd i 1 sx 1 yd j

EC F ? dr.

z 5 f xx, yc.

0 ≤ t ≤ 40 ≤ t ≤ py2

rstd 5 t i 1 t2 j 1 t 3y2k,rstd 5 a cos3 t i 1 a sin3 t j,

EC

sx2 1 y2 1 z2d dsEC

s2x 1 yd ds

0 ≤ t ≤ py2C: r std 5 scos t 1 t sin td i 1 ssin t 2 t sin td j,

EC

s2x 2 yd dx 1 sx 1 3yd dy

y 5 3 sin tx 5 3 cos t,C:

s0, 0dC:


1. 2.


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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



F



CAS

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1138

0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 scos t 1 t sin td i 1 ssin t 2 t cos tdj,

EC

sx2 1 y2d ds

s0, 2ds4, 0d,s0, 0d,C:

s5, 4ds0, 0dC:

EC

xy ds


1. 2.


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desde hasta

30.

desde hasta


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32.

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35.


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



F



CAS

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1138

C:

C:

EC

sx2 1 y2d ds

Fsx, yd 5 i 2 2y jFsx, y, zd 5 x i 1 j 1 2k

sensen

sen

sen

sen sen

sen3

sen

sen


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29.

desde hasta

30.

desde hasta


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35.


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



F



CAS

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desde hasta

30.

desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



F



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desde hasta

30.

desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



F



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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



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desde hasta

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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

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desde hasta

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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

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Ejercicios de repaso 1139

En los ejercicios 37 y 38, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar la integral de línea.

37.

desde hasta y desde hastaC:

38.

39. Trabajo Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzasa lo largo de la trayectoria desde

hasta

40. Trabajo Un avión de 20 toneladas sube 2 000 pies haciendoun giro de 90° en un arco circular de 10 millas de radio. Hallarel trabajo realizado por los motores.

En los ejercicios 41 y 42, usar el teorema fundamental de las inte-grales de línea para evaluar la integral.

41.

curva suave desde hasta (1, 3, 2)

42.


43. Evaluar la integral de línea

a)

b)

c) Usar el teorema fundamental de las integrales de línea,donde C es una curva suave desde hasta

44. Área y centroide Considerar la región limitada o acotada porel eje x y un arco de la cicloide con ecuaciones paramétricas

y Usar integrales de líneapara hallar a) el área de la región y b) el centroide de la región.

En los ejercicios 45 a 50, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral de línea.

45.

contorno del cuadrado con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1)

46.

contorno del cuadrado con vértices

47.

y = 4 sen t

48.

49.

contorno de la región entre las gráficas de y y = 1

50.

En los ejercicios 51 y 52, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la superficie dada por la fun-ción vectorial.

51.

52.

53. Investigación Considerar la superficie representada por la fun-ción vectorial

Utilizar un sistema algebraico por computadora y efectuar losiguiente.

a) Representar gráficamente la superficie para y

b) Representar gráficamente la superficie para y

c) Representar gráficamente la superficie para y

d) Representar gráficamente e identificar la curva en el espacio

para y

e) Aproximar el área de la superficie representada gráficamenteen el inciso b).

f) Aproximar el área de la superficie representada gráficamenteen el inciso c).

54. Evaluar la integral de superficie sobre la superficie

donde y

55. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la superficie S y aproximar la integral de superficie

donde S es la superficie

sobre y 0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2

S: rsu, vd 5 u cos v i 1 u sin v j 1 su 2 1ds2 2 udk

ESEsx 1 yd dS

0 ≤ v ≤ p.0 ≤ u ≤ 2

rsu, vd 5 su 1 vd i 1 su 2 vd j 1 sin v k

S:ESE z dS

v 5p

4.0 ≤ u ≤ 2p

0 ≤ v ≤p

2.

0 ≤ u ≤p

4

p

4≤ v ≤

p

2.

0 ≤ u ≤ 2p

2p

2≤ v ≤

p

2.

0 ≤ u ≤ 2p

rsu, vd 5 3 cos v cos u i 1 3 cos v sin u j 1 sin v k.

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 4,

rsu, vd 5 e2uy4 cos v i 1 e2uy4 sin v j 1u6

k

0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤p

3,

r su, vd 5 sec u cos v i 1 s1 1 2 tan ud sin v j 1 2u k

x2y3 1 y2y3 5 1C:

EC

y2 dx 1 x4y3 dy

y 5 x2C:

EC

xy dx 1 x2 dy

x2 1 y2 5 a2C:

EC

sx2 2 y2d dx 1 2xy dy

x 5 4 cos t,C:

EC

xy2 dx 1 x2y dy

s2, 2ds2, 0d,s0, 2d,s0, 0d,C:

EC

xy dx 1 sx2 1 y2d dy

C:

EC

y dx 1 2x dy

y 5 as1 2 cos ud.x 5 asu 2 sin ud

s4, 2d.s1, 1d

1 ≤ t ≤ 4C: rstd 5 t i 1 !t j,

0 ≤ t ≤ 1C: rstd 5 s1 1 3td i 1 s1 1 td j,

EC

y2 dx 1 2xy dy.

s4, 4, 4ds0, 0, 1dC:

EC

y dx 1 x dy 11z dz

s0, 0, 0dC:

EC

2xyz dx 1 x2z dy 1 x2y dz

s4, 8d.s0, 0dy 5 x3y2F 5 x i 2 !y j

0 ≤ t ≤ prstd 5 s2 cos t 1 2t sin td i 1 s2 sin t 2 2t cos td j,C:

Fsx, yd 5 s2x 2 yd i 1 s2y 2 xd j

EC

F ? dr

s0, 0ds2, 4dy 5 2xs2, 4ds0, 0dC: y 5 x2

EC

xy dx 1 sx2 1 y2d dy

sensen

sen

sen

sen sen

sen

sen

sen


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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



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desde hasta

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desde hasta


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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

0 t 40 t 2


x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




y2z2





F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

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desde hasta

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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

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f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

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x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




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F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

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desde hasta

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x2 y2 4z x2C:


2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:


0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:





F x, y x y i x y j

0 t 1C: r t t2 i t2j,


2, 40, 0C: y x2

f x, y 12 x y

2, 40, 0C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .xyC

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x2 y2 z2 dsC

2x y ds


2x y dx x 3y dy


3, 30, 0C:C

2x y dx x 2y dy


x2 y2 ds


x2 y2 ds

0, 24, 0 ,0, 0 ,C:

5, 40, 0C:C

xy ds

1, 0x2 y2 1,C:

3, 40, 0)C:C

x2 y2 ds

F x, y, zzx i

zy j z2 k






F x, y, z y2 j z2 k




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F x, y1y i

yx2 j

F x, yyx2 i

1x j



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56. Masa Una lámina bidimensional cónica S está dada por

En cada punto en S, la densidad es proporcional a la distanciaentre el punto y el eje z.

a) Dibujar la superficie cónica.

b) Calcular la masa m de la lámina.

En los ejercicios 57 y 58, verificar el teorema de divergenciaevaluando

como integral de superficie y como integral triple.

57.

región sólida limitada o acotada por los planos coordenadosy por el plano

58.

región sólida limitada o acotada por los planos coordenadosy el plano

En los ejercicios 59 y 60, verificar el teorema de Stokes evaluando

como integral de línea y como integral doble.

59.

porción de sobre el cuadrado en el plano xy con vér-tices

es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia arri-ba.

60.

porción en el primer octante del plano

61. Demostrar que no es posible que un campo vectorial con com-ponentes dos veces diferenciables tenga un rotacional de xi � yj�zk.

3x � y � 2z � 12S:

F�x, y, z� � �x � z� i � �y � z� j � x2 k

N

�0, a��a, a�,�a, 0�,�0, 0�,z � y2S:

F�x, y, z� � �cos y � y cos x� i � �sin x � x sin y� j � xyzk

�C F � dr

2x � 3y � 4z � 12Q:

F�x, y, z� � x i � y j � zk

2x � 3y � 4z � 12Q:

F�x, y, z� � x2 i � xy j � zk

�S �F � N dS

0 ≤ z ≤ a2.z � a�a � �x2 � y2�,

Se han estudiado muchas técnicas de cálculo para hallar el área deuna región plana. Los ingenieros usan un dispositivo mecánico lla-mado planímetro para medir áreas planas, el cual se basa en la fórmula para el área del teorema 15.9 (página 1096). Como puedeverse en la figura, el planímetro se fija a un punto O (pero pue-de moverse libremente) y tiene un gozne en A. El extremo del brazotrazador se mueve en sentido contrario a las manecillas del relojpor el contorno de la región R. En B hay una rueda pequeña perpen-dicular a que está marcada con una escala para medir cuántorueda mientras B recorre el contorno de la región R. En este proyec-to se pide demostrar que el área de R está dada por la longitud L delbrazo trazador multiplicada por la distancia D recorrida por larueda.

Supóngase que el punto B recorre el contorno de R paraEl punto A se moverá hacia atrás y hacia adelante a lo

largo de un arco circular centrado en el origen O. Sea el ánguloque se indica en la figura y sean las coordenadas de

a) Mostrar que el vector está dado por la función vectorial

b) Mostrar que las dos integrales siguientes son iguales a cero.

c) Utilizar la integral para de-

mostrar que las dos integrales siguientes son iguales.

d) Sea Explicar por qué la distancia D re-corrida por la rueda está dada por

e) Mostrar que el área de la región R está dada por

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre eluso del cálculo para hallar áreas irregulares, ver “The AmateurScientist” de C. L. Strong en la edición de agosto de 1958 publi-cación de Scientific American.

O

r( )t

θA x y( , )

R

L Rueda

B

I4 � DL.I1 � I2 � I3 �

D � �C

N � Tds.

N � �sin � i � cos � j.

I4 � �b

a

12

L ��sin � dxdt

� cos � dydt� dt

I3 � �b

a

12

L �y sin � d�

dt� x cos �

d�

dt� dt

�b

a

�x�t� sin ��t� � y�t� cos ��t��dt

I2 � �b

a

12

�x dydt

� y dxdt� dt

I1 � �b

a

12

L2 d�

dt dt

r�t� � �x�t� � L cos ��t� i � �y�t� � L sin ��t� j.

OB\

A.�x�t�, y�t��t�

a ≤ t ≤ b.

AB

AB

AB

sen

sen

sensen

sen

sen

sen

El planímetro

PROYECTO DE TRABAJO

Larson-15-09-R.qxd 26/2/10 14:30 Página 1140

Solución de problemas 1141

SP Solución de problemas

1. El calor fluye de áreas de mayor temperatura a áreas de menortemperatura en dirección de la mayor variación. Como resultado,en la medición del flujo de calor juega un papel relevante el gra-diente de temperatura. El flujo depende del área de la superficie.Lo importante es la dirección normal a la superficie, porque elcalor que fluye en dirección tangencial a la superficie no ocasionapérdida de calor. Así, supóngase que el flujo de calor a través deuna porción del área de la superficie está dado por

donde T es la temperatura, N es el vectorunitario normal a la superficie en la dirección del flujo de calor, yk es la difusividad térmica del material. El flujo de calor a travésde la superficie S está dado por

Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen contemperatura

a) Calcular el flujo de calor a través de la superficie

como se muestra en la figura.

b) Repetir el cálculo del inciso a) usando la parametrización

2. Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen contemperatura

a) Calcular el flujo de calor a través de la superficie


b) Repetir el cálculo del inciso a) usando la parametrización

Figura para 2

3. Considerar un cable de densidad dado por la curva en elespacio

Los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z estándados por

Hallar los momentos de inercia de un cable de densidad uniformeen forma de hélice

4. Hallar los momentos de inercia del cable de densidad dado por la curva

(ver la figura).

5. El laplaciano es el operador diferencial

y la ecuación de Laplace es

Cualquier función que satisface esta ecuación se llama armónica.Demostrar que la función w = 1/f es armónica.

0 ≤ t ≤ 1rstd 5t2

2i 1 tj 1

2!2 t 3y2

3k,C:

r 51

1 1 t

r 5 1

Iz 5 EC

sx2 1 y2drsx, y, zd ds.

Iy 5 EC

sx2 1 z2drsx, y, zd ds

Ix 5 EC

sy2 1 z2drsx, y, zd ds

a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,C:

rsx, y, zd

1

11

z

yx

SN

0 ≤ v ≤ 2p.

0 ≤ u ≤p

2,z 5 cos u,y 5 sin u sin v,x 5 sin u cos v,

S 5 Hsx, y, zd: z 5 !1 2 x2 2 y2, x2 1 y2 ≤ 1J

Tsx, y, zd 525

!x2 1 y2 1 z2.

0 ≤ v ≤ 1.p

3≤ u ≤

2p

3,z 5 sin u,y 5 v,x 5 cos u,

1

2

11

z

yx

S

N

S 5 5sx, y, zd: z 5 !1 2 x2, 212

≤ x ≤12

, 0 ≤ y ≤ 16

Tsx, y, zd 525

!x2 1 y2 1 z2.

H 5 ESE 2 k=T ? N dS.

DH < 2k=T ? N dS,DS

sen

sen sen sen

1. Heat flows from areas of higher temperature to areas of lowertemperature in the direction of greatest change. As a result,measuring heat flux involves the gradient of the temperature.The flux depends on the area of the surface. It is the normaldirection to the surface that is important, because heat that flowsin directions tangential to the surface will produce no heat loss.So, assume that the heat flux across a portion of the surface ofarea is given by where is the temper-ature, is the unit normal vector to the surface in the directionof the heat flow, and is the thermal diffusivity of the material.The heat flux across the surface is given by

Consider a single heat source located at the origin withtemperature

(a) Calculate the heat flux across the surface

as shown in the figure.

(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization

2. Consider a single heat source located at the origin withtemperature




Figure for 2

3. Consider a wire of density given by the space curve

The moments of inertia about the and axes are given by

Find the moments of inertia for a wire of uniform density in the shape of the helix

(ver la figura).


4. Find the moments of inertia for the wire of density given by the curve

(see figure).

5. The Laplacian is the differential operator

and Laplace’s equation is

Any function that satisfies this equation is called harmonic.Show that the function is harmonic.w 1 f

2w2wx2

2wy 2

2wz2 0.

22

x2

2

y 2

2

z2

0 t 1r tt2

2i tj

2 2 t 3 2

3k,C:

11 t

z

x y12

1

1

2

t2i + t j +r(t) = k

22 2t3/2

3z

xy2

2

2

4

6

8

10

12

r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2tk

0 t 2r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk,

1

Iz C x2 y2 x, y, z ds.

Iy C x2 z2 x, y, z ds

Ix C y2 z2 x, y, z ds

z-y-,x-,

a t b.r t x t i y t j z t k,C:

x, y, z

1

1 1

z

yx

SN

0 v 2 .

0 u2

,z cos u,y sin u sin v,x sin u cos v,

S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

0 v 1.3

u23

,z sin u,y v,x cos u,

1

2

1 1

z

yx

S

N

S x, y, z : z 1 x2, 12

x12

, 0 y 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

HS

k T N dS.

Sk

NTH k T N dS,S

P.S. Problem Solving 1141

P.S. PROBLEM SOLVING

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141










Figure for 2




(ver la figura).



(see figure).




2w2wx2

2wy 2

2wz2 0.

22

x2

2

y 2

2

z2

0 t 1r tt2

2i tj

2 2 t 3 2

3k,C:

11 t

z

y12

1

1

2

t2i + t j +r(t) = k

22 2t3/2

3z

y22

2

4

6

8

10

12



1




z-y-,x-,


x, y, z

1

1 1

z

yx

SN

0 v 2 .

0 u2


S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

0 v 1.3

u23


1

2

1 1

z

yx

S

N

S x, y, z : z 1 x2, 12

x12

, 0 y 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

HS

k T N dS.

Sk

NTH k T N dS,S



1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141










Figure for 2




(ver la figura).



(see figure).




2w2wx2

2wy 2

2wz2 0.

22

x2

2

y 2

2

z2

0 t 1r tt2

2i tj

2 2 t 3 2

3k,C:

11 t

z

y12

1

1

2

t2i + t j +r(t) = k

22 2t3/2

3z

y22

2

4

6

8

10

12



1




z-y-,x-,


x, y, z

1

1 1

z

yx

SN

0 v 2 .

0 u2


S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

0 v 1.3

u23


1

2

1 1

z

yx

S

N

S x, y, z : z 1 x2, 12

x12

, 0 y 1

T x, y, z25

x2 y2 z2.

HS

k T N dS.

Sk

NTH k T N dS,S



1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141

Larson-15-09-R.qxd 3/12/09 20:23 Page 1141


6. Considerar la integral de línea

donde C es la frontera de la región que yace entre las gráficas de

a) Usar un sistema algebraico por computadora para verificar elteorema de Green para n, un entero impar de 1 a 7.

b) Usar un sistema algebraico por computadora para verificar elteorema de Green para n, un entero par de 2 a 8.

c) Para un entero impar n, conjeturar acerca del valor de la inte-gral.

7. Utilizar una integral de línea para calcular el área limitada o aco-tada por un arco de la cicloide



8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acota-da por los dos lazos de la curva ocho

que se muestra en la figura.

9. El campo de fuerzas actúa sobreun objeto que se mueve del punto al punto como semuestra en la figura.

a) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria

b) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria

c) Supóngase que el objeto sigue la trayectoria Hallar el valor de la constante c que mini-

miza el trabajo.

10. El campo de fuerzas se muestraen la figura. Tres partículas se mueven del punto al punto

a lo largo de trayectorias diferentes. Explicar por qué eltrabajo realizado es el mismo con las tres partículas, y hallar el valor del trabajo.

11. Sea S una superficie suave orientada, con vector normal N, aco-tada por una curva suave simple cerrada C. Sea v un vector constante. Demostrar que

12. Comparar el área de la elipse con la magnitud del

trabajo realizado por el campo de fuerzas

sobre una partícula que da una vuelta alrededor de la elipse (verla figura).

13. Una sección transversal del campo magnético de la Tierra puederepresentarse como un campo vectorial en el cual el centro de laTierra se localiza en el origen y el eje y positivo apunta en direc-ción del polo norte magnético. La ecuación para este campo es

donde m es el momento magnético de la Tierra. Demostrar queeste campo vectorial es conservativo.

5m

sx2 1 y2d5y2 f3xyi 1 s2y2 2 x2djg

Fsx, yd 5 Msx, ydi 1 Nsx, ydj

y

x1

1

−1

−1

Fsx, yd 5 212

yi 112

xj

x2

a2 1y2

b2 5 1

ESEs2v ? Nd dS 5 E

C

sv 3 rd ? dr.

y

x

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

s2, 4ds1, 1d

Fsx, yd 5 s3x2 y2di 1 s2x3ydj

c > 0.0 ≤ y ≤ 1,x 5 csy 2 y2d,

0 ≤ y ≤ 1.x 5 y 2 y2,

0 ≤ y ≤ 1.x 5 0,

y

x

1

1

s0, 1d,s0, 0dFsx, yd 5 sx 1 ydi 1 sx2 1 1dj

0 ≤ t ≤ 2pystd 5 sin t,xstd 512

sin 2t,

x

y

1−1

−1

1

x2 a

2a

π

y

0 ≤ u ≤ 2pysud 5 as1 2 cos ud,xsud 5 asu 2 sin ud,

6. Consider the line integral

where is the boundary of the region lying between the graphsof y

(a) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an odd integer from 1 through 7.

(b) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an even integer from 2 through 8.

(c) For an odd integer, make a conjecture about the value ofthe integral.

7. Use a line integral to find the area bounded by one arch of thecycloid as shown in the figure.


8. Use a line integral to find the area bounded by the two loops ofthe eight curve


9. The force field acts on an objectmoving from the point to the point as shown inthe figure.

(a) Find the work done if the object moves along the path

(b) Find the work done if the object moves along the path

(c) Suppose the object moves along the path Find the value of the constant that

minimizes the work.

10. The force field is shown in thefigure below. Three particles move from the point to thepoint along different paths. Explain why the work done isthe same for each particle, and find the value of the work.

11. Let be a smooth oriented surface with normal vector bounded by a smooth simple closed curve Let be aconstant vector, and prove that

12. How does the area of the ellipse compare with the

magnitude of the work done by the force field

on a particle that moves once around the ellipse (see figure)?

13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented asa vector field in which the center of Earth is located at theorigin and the positive axis points in the direction of themagnetic north pole. The equation for this field is

where is the magnetic moment of Earth. Show that thisvector field is conservative.

m

m

x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j

F x, y M x, y i N x, y j

y-

y

1

1

−1

−1

F x, y12

yi12

xj

x2

a2

y2

b2 1

S

2v N dSC

v r dr.

vC.N,S

y

x

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

2, 41, 1

F x, y 3x2 y2 i 2x3y j

cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,

0 y 1.x y y2,

0 y 1.x 0,

y

x

1

1

0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j

0 t 2y t sin t,x t12

sin 2t,

x1−1

−1

1

y

x2 a

2a

π

y

0 2 ,y a 1 cos ,x a sin ,

n

n,

n,

y 0.y a2 x2 a > 0C

C

yn dx xn dy


CAS

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1142

sen














minimizes the work.








m

m

x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j


y-

y

1

1

−1

−1

F x, y12

yi12

xj

x2

a2

y2

b2 1

S

2v N dSC

v r dr.

vC.N,S

y

x

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

2, 41, 1


cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,

0 y 1.x y y2,

0 y 1.x 0,

y

x

1

1

0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j


sin 2t,

x1−1

−1

1

y

x2 a

2a

π

y


n

n,

n,

y 0.y a2 x2 a > 0C

C

yn dx xn dy


CAS

1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1142














minimizes the work.








m

m

x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j


y-

y

1

1

−1

−1

F x, y12

yi12

xj

x2

a2

y2

b2 1

S

2v N dSC

v r dr.

vC.N,S

y

x

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

2, 41, 1


cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,

0 y 1.x y y2,

0 y 1.x 0,

y

x

1

1

0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j


sin 2t,

x1−1

−1

1

y

x2 a

2a

π

y


n

n,

n,

y 0.y a2 x2 a > 0C

C

yn dx xn dy


CAS

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sensen

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15 vector analysis - universidad del norte,...

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