2013年春学期初貝安弘 -...

量子力学３(筑波大学理工学群物理学類 3年)

平成 25 年 8 月 5 日版

2013年春学期

初貝安弘Email: [email protected]

3

目次

第 1章量子論における対称性 5

1.1 対称性と保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 対称操作と波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 無限小変換と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 保存則の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 時間推進とエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 空間推進と運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 空間回転と角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

第 2章角運動量 15

2.1 角運動量の交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 角運動量の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 軌道角運動量と球面調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 極座標での角運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 スピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2 スピンとパウリ行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.3 スピン軌道関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.4 時間反転対称性とクラマース縮退 . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.5 2つのスピンの作る一重項と三重項 . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.6 スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 角運動量の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1 合成角運動量の値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.2 クレブシュ・ゴルダン係数:漸化式による方法 . . . . . . . . 49

2.5.3 クレブシュ・ゴルダン係数:状態を構成する方法 . . . . . . . 57

2.5.4 1⊗ 1の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 既約テンソルとウィグナー・エッカートの定理 . . . . . . . . . . . . 68

2.6.1 既約テンソル演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6.2 既約テンソル演算子の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.3 2つのベクトル演算子の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6.4 ウィグナー・エッカートの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . 74

第 3章回転群とその表現 79

3.1 連続群としての回転群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 回転操作の作る群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.2 オイラー角による回転の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.3 対称性の作る群とその表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.4 回転群の表現としての角運動量の基底関数 . . . . . . . . . . 85

3.1.5 クレブシュ・ゴルダン係数と角運動量 . . . . . . . . . . . . . 86

3.2 シュウィンガーボゾンによる回転群の記述 . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.1 シュウィンガーBosonよる角運動量 . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.2 回転群の表現行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.3 j = 1/2の回転行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2.4 j = ℓ = 0, 1, 2, · · · の回転行列と球面調和関数 . . . . . . . . . 95

3.2.5 多重極展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.6 生成母関数と上昇下降演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.7 シュウィンガーボゾンの SU(2)変換 . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.8 角運動量の合成とウィグナーの 3j記号 . . . . . . . . . . . . 106

Appendices 118

付録A ディラックのブラケット記法 119

A.1 関数空間でのブラケット記法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.2 フォック空間でのブラケット記法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.3 エルミート演算子に関する重要な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.4 可換なエルミート演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

付録B ボーズ演算子の代数 129

B.1 ボーズ演算子の代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

第1章量子論における対称性

1.1 対称性と保存量

1.1.1 対称操作と波動関数

まず最初に一次元を運動する質点をを例にとり，x 方向に a だけ移動する操作Ta を考えよう。これを波動関数で表せば，元の波動関数を ψ(x) として移動させた後の波動関数を ψ′(x) とすれば

ψ′(x+ a) = ψ(x)

と書けるであろう。平行移動した場所 x + a = Tax で元の位置での波動関数の値をとる関数が平行移動した波動関数というわけである。これを

x′ = Tax = x+ a

ψ′ = Taψ

ψ′(x′) = ψ(x)

と書いて，波動関数が x 方向に aだけ平行移動することによりψ → Taψ と変換されたと考える。よってテイラー展開から

Taψ(x) = ψ′(x) = ψ(T−1a x) = ψ(x− a)

= ψ(x)− aψ(1)(x) +a2

2ψ(2)(x)∓ · · ·

=∑n=0

(−a)n

n!ψ(n)(x)

=∑n=0

(a∂x)n

n!ψ(n)(x)

= e−a∂xψ(x)

となる。これは，並進操作 Ta が

Ta = e−a∂x = e−iapx/ℏ

5

6 — 量子力学３: 量子論における対称性 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日)

と運動量演算子 px = −iℏ∂x を用いて，表現できることを意味する。なお p†x = pxと運動量はエルミート演算子なので，

T †a = e+iap†x/ℏ = e+iapx/ℏ = T−1

a

となり

T †aTa = TaT

†a = 1

となる。この関係を満たす演算子をユニタリ演算子という。

1.1.2 無限小変換と保存則

まず，ある対称操作に対応するユニタリ変換 Uにより波動関数がψ′ = Uψ と変換するとしよう。

ψ → ψ′ = Uψ, U † = U−1

この時，変換によって物理量 O, (O† = O ) の期待値は

⟨ψ|O|ψ⟩ = ⟨ψ′|UOU−1|ψ′⟩

となるから，物理量は対称操作によって

O → O′ = UOU−1

と変換する。つまり

⟨ψ|O|ψ⟩ = ⟨ψ′|O′|ψ′⟩

である。また

O′ = UOU−1 = O

の時，物理量 O は変換のもとで不変であるという。これは

[O, U ] = 0

とも表せる。特に δλ を無限小の物理量として，次の形のユニタリ変換を無限小変換という。

Uλ = eiδλG/ℏ, G† = G

— 量子力学３: 量子論における対称性 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日) 7

ここで，U のユニタリ性からGはエルミート演算子となり，ある物理量に対応する。(δλとG との積が ℏ の次元をもつ (お互いに共役)であることにも注意しよう)

この G を無限小変換の母関数と呼ぶ。この無限小変換に対して一般の物理量と波動関数の変換則をまとめよう。( δλ の最低次で) 1

無限小変換 U = eiδλG/ℏ

δψ = ψ′ − ψ = iλGψ

δO = O′ −O = iδλ[G,O]/ℏ よって [G,O] = 0 の時，O は無限小変換の下で不変である。ここで一般にシュレディンガー方程式 iℏΨ = Hψ の形式解を

Ψ(t) = e−iHt/ℏΨ(0)

と書けば，G の期待値 ⟨G⟩t = ⟨Ψ(t)|G|Ψ(t)⟩ の時間変化は次のように書ける

d

dt⟨G⟩t =

d

dt⟨Ψ(0)|eiHt/ℏGe−iHt/ℏ|Ψ(0)⟩

= (i/ℏ)⟨Ψ(0)|eiHt/ℏ[H,G]e−iHt/ℏ|Ψ(0)⟩

よってハミルトニアンが無限小変換 eiδλG/ℏで不変なとき，[H,G] = 0 であり ⟨G⟩tは時間に依存せず保存量となる。これを次のようにまとめよう。

無限小変換と保存則ハミルトニアンHが無限小変換 eiδλG/ℏ の下で不変な時，[H,G] = 0 とハミルトニアンとGは可換であり，G は保存量となる。

1

O′ = (1 + iδλG/ℏ+ · · · )O(1− iδλG/ℏ+ · · · ) = O + iδλ[G,O]/ℏ


1.2 保存則の具体例以下、前節での対称操作と保存則に関する相互関係の具体例を示そう。

1.2.1 時間推進とエネルギー

時間間隔 δτ の時間推進 Tδτ を

t → t′ = Tτ t = t+ τ

ψ(t) → ψ′(t) = Uδτψ(t)

とすれば、ψ′(t′) = ψ(t) より

ψ′(t) = ψ(t− δτ) = Uδτψ(t)

である。δτ を無限小とすれば

δψ = ψ(t− δτ)− ψ(t) = −δτ∂tψ

ここで、シュレディンガー方程式を使えば

δψ = −δτ(Hψ)/(iℏ) = iδτHψ/ℏ

これをまとめて時間推進

時間推進の演算子の母関数はハミルトニアンである。

Uδτ = e+iHδτ/ℏ

時間に依存しないハミルトニアンはそれ自身と可換でありよって時間に依存しないハミルトニアンで記述される系はエネルギーを保存量とする。

1.2.2 空間推進と運動量

3次元の空間推進 a を考えると，1次元の議論にならって

Tar → r′ = r + a

ψ → ψ′


ここで ψ′(r′) = ψ(r) より

ψ′(r) = ψ(r − a)

よって a を無限小として

δψ = −a ·∇ψ = ia · (iℏ∇ψ)/ℏ = −ia · pψ/ℏ, p = −iℏ∇

以上まとめて空間推進

空間推進の母関数は運動量である。

Uδa = e−iδa·p

空間推進で不変 (並進対称性を持つ)系では運動量は保存する。例えば自由空間でのハミルトニアン H0 =

p2

2mは

[H,p] = 0

であるから、自由粒子系は空間推進で不変であり (並進対称性を持つ)，運動量を保存する。

並進操作

U = Ta = e−ia·p/ℏ として δaを無限小のパラメターとすれば

G = −δa · pδri = i[−δa · p/ℏ, ri] = iδaj[ri, pj/ℏ] = −aiδr = −δa

r → r′ = r − δa となることを意味するが，これは ψ′(r) = ψ(r − δa) と整合的である。2 紛らわしいが、これを Tar → r′ = r + a と混同しないようにしよう。また

δp = −i[δa · p,p] = 0

である。2

⟨ψ′|x′|ψ′⟩ =

∫dxψ′(x)x′ψ′(x) =

∫dxψ(x− a)(x− a)ψ(x− a) =

∫dxψ(x)(x)ψ(x) = ⟨ψ|x|ψ⟩


1.2.3 空間回転と角運動量

原点周りの回転Rによる変換を考えよう。ここでRを 3× 3の実行列として

r =

xyz

→ r′ = Rr

と書こう。回転はベクトルの大きさを不変にするので

|r|2 = rr = r′RRr′

これは

RR = E3, R = R−1

であることを要求する。この条件を満たす行列を直交行列O(3)という。これから(detR)2 = 1 となるが，特に単位行列に連続変形できるものは detR = 1であり，SO(3)と呼ばれる。次に例によって，この回転を表現する無限小変換を求めてみよう。無限小変換はRが単位行列に近い場合に対応するので、

R = E3 + δR

とすれば，最低次で

RR = E3 + δR + δR = E3

つまり δR は反対称である。これを無限小のベクトル δω を用いて次のように書こう。

(δR)ij = −ϵijkδωk

よって

(δr)i = (δRr)i = −ϵijkrjδωk

δr = δω × r

これは r を δω 軸まわりに δω を右ねじが進む向きとして |δω| だけねじの回転する方向に回転することを意味する。


ここで 3

ψ′(Rr) = ψ(r), ψ′(r) = ψ(R−1r)

δψ = −iδω ·Lψ/ℏ

と変形できる。なお

L = r × p = −iℏ r ×∇

は角運動量演算子である。まとめて，

空間回転空間回転の演算子の母関数は角運動量である。

Uδω = e−iδω·L/ℏ

よって空間回転に対して不変な系では角運動量は保存量する。回転操作

次に物理量の変換則を確認しておこう。まずは、座標演算子 r を考えよう。

G = −δω ·Lδri = i[−δω ·L/ℏ, ri] = iδωj[ri, Lj/ℏ]

= iδωjϵjkℓrk[ri, pℓ/ℏ] = −δωjϵjkℓrkδiℓ

= −δωjϵjkirk = ϵikjrkδωj

つまり

δr = r × δω = −δω × r

となる。

3

ψ′(Rr) = ψ(r), ψ′(r) = ψ(R−1r)

δψ = ψ(R−1r)− ψ(r) = ψ(r − δRr)− ψ(r) = ψ(r − δr)− ψ(r) = −(δr) ·∇ψ

= −(δω × r) ·∇ψ = −δω · (r ×∇)ψ = −iδω · (r × p)ψ/ℏ = −iδω ·Lψ/ℏ


続いて

δpi = i[−δω ·L/ℏ, pi] = iδωj[−Lj/ℏ, pi]= −iδωjϵjab[rapb, pi]/ℏ = δωjϵjabδaipb

= δωjϵjibpb

δp = −δω × p

ここで 4

[Li, Lj] = iℏ(ripj − rjpi)

一方

ϵijkLk = ϵijkϵkabrapb = (δiaδjb − δibδja)rapb = ripj − rjpb

よって

[Li, Lj] = iℏϵijkLk

δLi = −i[δω ·L/ℏ, Li] = iδωj[Li, Lj/ℏ] = −δωjϵijkLk

つまり

δL = −δω ×L

となる。

ベクトル演算子

一般に回転Rに対してV =

VxVyVz

という 3成分の物理量 (演算子)は

V ′ = UV U−1

U = e−iω·L/ℏ

4

[Li, Lj ] = [ϵiabrapb, ϵjcdrcpd] = ϵiabϵjcd[rapb, rcpd] = ϵiabϵjcdra[pb, rcpd] + [ra, rcpd]pb

= iℏϵiabϵjcd

− raδbcpd + rcδadpb

= −iℏϵiabϵjbdrapd + iℏϵiabϵjcarcpb

= iℏϵiabϵjdbrapd − iℏϵibaϵjcarcpb = iℏ(δijδad − δidδaj)rapd − iℏ(δijδbc − δicδjb)rcpb

= iℏ(δijr · p− rjpi)− iℏ(δijr · p− ripj) = iℏ(ripj − rjpi)


と変換する。ここで

V ′ = RV , R ∈ SO(3)

と変換するとき、V をベクトル演算子と呼ぶ。特に無限小回転に対しては

(δR)ij = −ϵijkδωk

U = 1− iδω ·L/ℏ

であり、一般論から

δVi = −i[δω ·L,Vi]/ℏ

また、ベクトル演算子としての変換則から

δVi = (δRijV )j = −ϵjikδωkVj = −(δω × V

)i

よって

δV = [δω ·L,V ]/ℏ = −(δω × V

)i

回転の下で今まで示したように

δr = −δω × r

δp = −δω × r

δL = −δω ×L

であり、r,p,L は全て，ベクトル演算子として変換する。また上記の関係式は以下の様に書けることに注意しよう。

−iδωj[Lj, Vi]/ℏ = −ϵijkδωjVk

δωj は任意だからその係数を比べて

[Lj, Vi] = −iℏϵijkVk

ベクトル演算子と角運動量との交換子 [Li, Vj] = iℏϵijkVk


なお、ベクトル量 V1, V2の内積

V1 · V2

などは

δ(V1 · V2) = −i[δω ·L/ℏ,V1 · V2)]

= −iV1 · [δω ·L/ℏ,V2]− i[δω ·L/ℏ,V1] · V2

= −V1 · (δω × V2)− (δω × V1) · V2 = 0

となり、変換で不変なスカラー演算子となる。よって自由粒子系のハミルトニアン H0 = p2

2m, 水素類似原子のハミルトニアン

Hhyd = H0 +1

4πϵ0Zr, 3次元調和振動子のハミルトニアン Hosc = H0 +

12mω2r2 な

どは回転対称性を持ち、角運動量を保存する。

第2章角運動量

2.1 角運動量の交換関係

前節の議論を少し一般に書いて，角運動量 J =

JxJyJz

とは以下の交換関係を満たす演算としよう。

[Ji, Jj] = iϵijkℏJk

もちろん J = L は角運動量である。これは次のようにも書ける。1

J × J = iℏJ

この時、a, b を任意の (c-数の)ベクトルとして

[(a · J), (b · J)] = aibj[Ji, Jk] = iℏϵijkaibjJk = iℏ(a× b) · J

また J2 は全角運動量とよばれ 2

[J2,J ] = 0

と J の各成分と可換である。ただし、J の各成分ごとはお互いに可換ではないので、全てを同時対角化することはできない。そこで通常 Jz を特別視し (もちろん

1

ϵija[Ji, Jj ] = ϵijaJiJj − ϵijaJjJi = ϵijaJiJj − ϵjiaJiJj = 2ϵijaJiJj = 2(J × J)a

iϵijaϵijkJk/ℏ = 2iδakJk = 2iJa/ℏ

2

[J2, Ji] = [JjJj , Ji] = Jj [Jj , Ji] + [Jj , Ji]Jj = iϵijk(JjJk − JkJj) = 0

15

16— 量子力学３: 量子論における角運動量 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日)

Jx, Jy でも同様である) J2 と Jz を同時対角化することを念頭に昇降演算子と呼ばれる次の演算子を定義する

J± = Jx ± iJy

を定義する。逆に解けば

Jx =1

2(J+ + J−)

Jy =1

2i(J+ − J−)

である。なおこれらは次の関係式を満たす。3

[J2, J±] = 0

[Jz, J±] = ±ℏ(Jx ± iJy) = ±ℏJ±[J+, J−] = 2ℏJz

この昇降演算子を用いて一般の角運動量演算子の内積はつぎのようになる 4

J1 · J2 =1

2(J1

+J2− + J1

−J2+) + J1

zJ2z

特に J1 = J2 = J として

J2 =1

2(J+J− + J−J+) + J2

z

これと

Jz =1

2(J+J− − J−J+)

3

[Jz, J±] = [Jz, Jx ± iJy] = iℏ(Jy ∓ iJx) = ℏJ± = ±ℏ(Jx ± iJy) = ±ℏJ±[J+, J−] = [Jx + iJy, Jx − iJy] = −i[Jx, Jy] + i[Jy, Jx] = 2Jz

4

J1 · J2 = J1xJ

2x + J1

xJ2x + J1

zJ2z

=1

4(J1

+ + J1−)(J

2+ + J2

−)−1

4(J1

+ − J1−)(J

2+ − J2

−) + J1zJ

2z

=1

2(J1

+J2− + J1

−J2+) + J1

zJ2z

— 量子力学３: 量子論における角運動量 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日) 17

を併記すれば

J+J− = J2 − Jz(Jz − ℏ)J−J+ = J2 − Jz(Jz + ℏ)

となる。


2.2 角運動量の量子化

[J2, Jz] = 0

に注意して，その規格直交化された完全な同時固有状態を |jm⟩ と書こう。

J2|jm⟩ = j(j + 1)ℏ2|jm⟩Jz|jm⟩ = mℏ|jm⟩

⟨jm|j′m′⟩ = δjj′δmm′∑jm

|jm⟩⟨jm| = 1

ただし、J2 はエルミート演算子の 2乗の和であるから j(j + 1)は 0以上の実数である。まず [Jz, J±] = ±ℏJ± を ⟨jm|, |jm′⟩ で挟めば

(m−m′)ℏ⟨jm|J±|jm′⟩ = ±⟨jm|J±|jm′⟩

よって ⟨jm|J±|jm′⟩ は

⟨jm|J±|jm′⟩ = 0, m = m′ ± 1

続いて

JzJ+|jm⟩ = [Jz, J+]|jm⟩+ J+Jz|jm⟩= ℏ(m+ 1)J+|jm⟩

つまり J+ は m が一つ増えた状態をつくる上昇演算子となる。

J+|jm⟩ ∝ |jm+ 1⟩

同様に J− は次のような下降演算子である。

J−|jm⟩ ∝ |jm− 1⟩

よってある |jm⟩ から J± を作用させることで任意の m の状態が構成できることとなる。


そこで |jm + 1⟩ = CJ+|jm⟩ として規格化定数 C を決めよう。ここで J−J+ =

J2 − Jz(Jz + ℏ) に注意して

⟨jm+ 1|jm+ 1⟩ = |C|2 ⟨jm|J−J+|jm⟩= ℏ2

[j(j + 1)−m(m+ 1)

]= ℏ2(j −m)(j +m+ 1)

よってC を正に選べば (もちろんここに位相の自由度がある)

|jm+ 1⟩ =1

ℏ√

(j −m)(j +m+ 1)J+|jm⟩

よって

⟨jm+ 1|J+|jm⟩ = ℏ√

(j −m)(j +m+ 1)

同様に |jm − 1⟩ = CJ−|jm⟩ として規格化定数 C を決めよう。ここで J+J− =

J2 − Jz(Jz − ℏ) に注意して

⟨jm− 1|jm− 1⟩ = |C|2 ⟨jm|J+J−|jm⟩= ℏ2

[j(j + 1)−m(m− 1)

]= ℏ2(j +m)(j −m+ 1)

よってC を正に選べば

|jm− 1⟩ =1

ℏ√

(j +m)(j −m+ 1)J−|jm⟩

よって

⟨jm− 1|J−|jm⟩ = ℏ√

(j +m)(j −m+ 1)

この符号の決め方は全てが正であることからわかるように整合的である。これを次のように確認しておこう。

|jm+ 1⟩ =1

ℏ√(j +m+ 1)(j −m)

J+|jm⟩

よって |jm⟩ =1

ℏ√(j +m+ 1)(j −m)

J−|jm+ 1⟩

=1

ℏ2(j +m+ 1)(j −m)J−J+|jm⟩

=1

ℏ2(j +m+ 1)(j −m)(J2 − Jz(Jz + ℏ))|jm⟩

=1

(j +m+ 1)(j −m)(j(j + 1)−m(m+ 1)))|jm⟩

=(j −m)(j +m+ 1)

(j +m+ 1)(j −m)|jm⟩ = |jm⟩


一方で J2x + J2

y = J2 − J2z = 1

2(J+J− + J−J+)より

⟨jm|(J2 − J2z )|jm⟩ = ℏ2[j(j + 1)−m2] =

1

2(∥J−|jm⟩∥2 + ∥J+|jm⟩∥2) ≥ 0

これから

−√j(j + 1) ≤ m ≤

√j(j + 1)

つまりm には最大と最小値がある。よって J± を作用させることによりmの異なる状態を構成していく手続きは何処かで終了する必要がある。よってその最大値と最小値をm1,−m2 とすれば

J+|jm1⟩ = 0

J−|j −m2⟩ = 0

となることを要求しよう。J−J+ = J2 − Jz(Jz + 1) より

∥|J+|jm1⟩∥2/ℏ2 = j(j + 1)−m1(m1 + 1)

= (j +m1)(j −m1) + j −m1 = (j −m1)(j +m1 + 1) = 0

これから m1 = j つまり

J+|jj⟩ = 0

また、J+J− = J2 − Jz(Jz − 1) より

∥|J−|j −m2⟩∥2/ℏ2 = j(j + 1) +m2(−m2 + 1)

= (j +m2)(j −m2) + j +m2 = (j +m2)(j −m2 + 1) = 0

これから m2 = j つまり

J−|j − j⟩ = 0

となる。よって ∥|jj⟩∥ = 0 である状態からはじめて

(J−)k|jj⟩ ∝ |jj − k⟩

を順に作ったとしよう。これが無限に続かないためにはある 0 以上の整数 k に対して j − k = −j とならなければならない。つまり、j = k

2= 0, 1

2, 1, 3

2, · · · が必要

である。つまり角運動量は任意の値をとらず、量子化値のみをとる。まとめて


角運動量の量子化角運動量は半整数に量子化される

j =k

2= 0,

1

2, 1,

3

2, · · ·

⟨jm− 1|J−|jm⟩ = ℏ√

(j +m)(j −m+ 1)

よって

⟨jm+ 1|J+|jm⟩ = ℏ√

(j +m+ 1)(j −m)

これで j ごとの 2j + 1 次元行列としての Jx, Jy, Jz の全ての行列要素が決定される。ここで

|jm+ 1⟩ =1

ℏ√

(j +m+ 1)(j −m)J+|jm⟩

= ℏ−1

[(j +m+ 1)!

(j +m)!

(j −m)!

(j − (m+ 1))!

]−1/2

J+|jm⟩

をつづけて

|jm+ 2⟩ =1√

(j +m+ 1)(j +m+ 2)(j −m)(j −m− 1)(J+)

2|jm⟩

= ℏ−2

[(j +m+ 2)!

(j +m)!

(j −m)!

(j − (m+ 2)!

]−1/2

(J+)2|jm⟩

一般に

|jm+ k⟩ =1√

(j +m+ 1) · · · (j +m+ k) · (j −m) · · · (j −m− k + 1)(J+)

k|jm⟩

= ℏ−k

[(j +m)!

(j +m+ k)!

(j − (m+ k)!

(j −m)!

]1/2(J+)

k|jm⟩

または、

|jm⟩ = ℏ−k

[(j +m− k)!

(j +m)!

(j −m)!

(j −m+ k)!

]1/2(J+)

k|jm− k⟩


これを

⟨jm|(J+)m−m′ |jm′⟩ = ℏm−m′[(j +m)!

(j +m′)!

(j −m′)!

(j −m)!

]1/2, (m > m′)

と書こう。 [Schwinger(1.24)]

また、

|jm− 1⟩ =1

ℏ√

(j +m)(j −m+ 1)J−|jm⟩

|jm− 2⟩ =1

ℏ2√

(j +m)(j +m− 1)(j −m+ 1)(j −m+ 2))J2−|jm⟩

|jm− k⟩ =1

ℏk√(j +m) · · · (j +m− k + 1) · (j −m+ 1) · · · (j −m+ k)

(J−)k|jm⟩

= ℏ−k

[(j +m− k)!

(j +m)!

(j −m)!

(j − (m− k)!

]1/2(J−)

k|jm⟩

または、

|jm⟩ = ℏ−k

[(j +m)!

(j +m+ k)!

(j −m− k)!

(j −m)!

]1/2(J−)

k|jm+ k⟩

よって

⟨jm|(J−)m′−m|jm′⟩ = ℏm′−m

[(j +m′)!

(j +m)!

(j −m)!

(j −m′)!

]1/2, m < m′

となる。[Schwinger(1.26)]


2.3 軌道角運動量と球面調和関数この節では軌道角運動量 L = r × p について詳しく議論しよう。

2.3.1 極座標での角運動量演算子

3次元極座標を r =

xyz

=

r cosϕ sin θr sinϕ sin θr cos θ

, (Ω = |θ, ϕ⟩) として Yℓm(Ω) =

⟨Ω|ℓm⟩ を全角運動量とその z方向の成分の同時固有状態としてもとめよう。

(1) まず極座標に関して整理しよう。

(er, eθ, eϕ) ≡ (∂rr

hr,∂θr

hθ,∂ϕr

hϕ) =

cosϕ sin θ cosϕ cos θ − sinϕ

sinϕ sin θ sinϕ cos θ cosϕ

cos θ − sin θ 0

≡ T

hr = |∂rr| = 1, hθ = |∂θr| = r, hϕ = |∂ϕr| = r sin θ

ここで ei · ej = δij よって T T = E3, T = T−1。更に ei × ej = ϵijkek。

一方 ∂r∂θ∂ϕ

=

∂x∂r

∂y∂r

∂z∂r

∂x∂θ

∂y∂θ

∂z∂θ

∂x∂ϕ

∂y∂ϕ

∂z∂ϕ

∂x

∂y∂z

=

hrerhθeθhϕeϕ

∂x∂y∂z

= diag (hr, hθ, hϕ)

ereθeϕ

∂x∂y∂z

= diag (hr, hθ, hϕ)T

∂x∂y∂z

逆に解いて

∇ =

∂x∂y∂z

= T

∂r1r∂θ1

r sin θ∂ϕ

= er∂r + eθ1

r∂θ + eϕ

1

r sin θ∂ϕ

r = rer

L = r × p = −iℏr ×∇ = −iℏ(eϕ∂θ − eθ1

sin θ∂ϕ)

= ℏ

i sinϕ−i cosϕ

0

∂θ + ℏ

i cosϕ cot θi sinϕ cot θ

−i

∂ϕ


これから角運動量演算子を極座標で書こう。

L+ = ℏ(i sinϕ+ cosϕ)∂θ + (i cosϕ− sinϕ) cot θ∂ϕ

= ℏeiϕ(∂θ + i cot θ∂ϕ)

L− = ℏ(i sinϕ− cosϕ)∂θ + (i cosϕ+ sinϕ) cot θ∂ϕ

= ℏe−iϕ(−∂θ + i cot θ∂ϕ)

Lz = −iℏ∂ϕ

なお (∂† = −∂)に注意。

(2) 極座標での変数分離と角運動量演算子の作用をまとめよう。

以下一般論に従い次の関係を満たす関数を求める

L2Yℓm = ℏ2j(j + 1)Yℓm

LzYℓm = ℏmYℓmL+Yℓℓ = L−Yℓℓ = 0

Yℓm(Ω) = Θℓm(θ)Φm(ϕ) と変数分離形におくと LzYℓm = ℏmYℓm より

Φm(ϕ) =1√2πeimϕ

ただし∫ 2π

0

dϕ|Φm(ϕ)|2 = 1 と規格化した。

またこの関数の一価性より ei2πm = 1 つまり m は整数である。よって j も 0

以上の整数となる。

ここで θの関数 f(θ)に対して

L+[eimϕf(θ)] = eimϕℏeiϕ[

df

dθ−mf cot θ]

L−[eimϕf(θ)] = −eimϕℏe−iϕ[

df

dθ+mf cot θ]

これは以下の様に書き直される。5

L+[eimϕf(θ)] = −ℏei(m+1)ϕ sinm+1 θ

d

d cos θ[sin−m θf(θ)]

L−[eimϕf(θ)] = ℏei(m−1)ϕ sin−(m−1) θ

d

d cos θ[sinm θf(θ)]

5

d

dθ=

d cos θ

dθ

d

d cos θ= − sin θ

d

d cos θ

d sin θ

d cos θ=

d(1− cos2 θ)1/2

d cos θ=

1

2(1− cos2 θ)−1/2(−2 cos θ) = − cot θ


これを k回繰り返せば

Lk+[e

imϕf(θ)] = (−ℏ)kei(m+k)ϕ sinm+k θ

[d

d(cos θ)

]k[sin−m θf(θ)]

Lk−[e

imϕf(θ)] = ℏkei(m−k)ϕ sin−(m−k) θ

[d

d cos θ

]k[sinm θf(θ)]

(3) まず、Yℓ0を求めよう。

L+Yℓℓ = 0 からΘℓℓ が満たす方程式を書けば

∂Θℓℓ

∂θ− ℓ cot θΘℓℓ = 0

この解は Θℓℓ = Cℓ sinℓ θ とかける。

ここで、規格化条件∫ π

0

dθ sin θ|Θℓℓ(θ)|2 = 1 より定数 Cℓ を求めれば以下の

よって

d

d cos θ[sin−m θf(θ)] = −m sin−m−1 θ(− cot θ)f(θ) + sin−m θ

1

− sin θ∂θf(θ)

= − sin−m−1 θ[d

dθ−m cot θ]f

d

d cos θ[sinm θf(θ)] = m sinm−1 θ(− cot θ)f(θ) + sinm θ

1

− sin θ∂θf(θ)

= − sinm−1 θ[d

dθ+m cot θ]f


様になる。ただしCℓ = (−)ℓC ′ℓ, C

′ℓ > 0 と符号を選んだ。6

Yℓℓ(Ω) = (−)ℓ1√2π

√(2ℓ+ 1)!

2

1

2ℓℓ!eiℓϕ sinℓ θ

ここで |ℓ0⟩ = ℏ−ℓ√

ℓ!(2ℓ)!

1ℓ!|ℓℓ⟩ より 7

Yℓ0(Ω) =

√2ℓ+ 1

4πPℓ(cos θ)

ここで

Pℓ(t) =1

2ℓℓ!

dℓ

dtℓ(t2 − 1)ℓ

は ℓ 次のルジャンドル多項式である。この関係式はルジャンドル多項式のロドリゲスの公式とよばれる。

6 ∫ π

0

dθ sin θ|Φ|2 = C2ℓ

∫ π

0

dθ sin2ℓ+1 θ = C2ℓ

∫ 1

−1

d(− cos θ)(1− cos2 θ)ℓ

= 2C2ℓ

∫ 1

0

dt (1− t2)ℓ, t = s1/2, (dt =1

2s−1/2ds)

= C2ℓ

∫ 1

0

ds s−1/2(1− s)ℓ = C2ℓB(1/2, ℓ+ 1)

= C2ℓ

Γ(1/2)Γ(ℓ+ 1)

Γ(ℓ+ 3/2)= C2

ℓ

Γ(1/2)ℓ!

(ℓ+ 1/2) · · · (1/2)Γ(1/2)

= C2ℓ

2ℓ+1ℓ!

1 · 3 · · · · · (2ℓ+ 1)= C2

ℓ

2ℓ+1ℓ!(2ℓℓ!)

(2ℓ+ 1)!

よって

Cℓ = (−)ℓ√

(2ℓ+ 1)!

2

1

2ℓℓ!

7

Yℓ0(Ω) = (−)ℓ1√2π

√(2ℓ+ 1)!

2(2ℓ)!

1

2ℓℓ!eiℓϕ

d

d cos θsin2ℓ θ

=1√2π

√2ℓ+ 1

2

1

2ℓℓ!

d

d cos θ(cos2ℓ θ − 1)

=1√2π

√2ℓ+ 1

2Pℓ(cos θ)


(4) m > 0 に対して Yℓm を求めれば、|ℓm⟩ = ℏ−m√

ℓ!(ℓ+m)!

(ℓ−m)!ℓ!

|ℓ0⟩ より

Yℓm(Ω) = (−)m

√2ℓ+ 1

4π

(ℓ−m)!

(ℓ+m)!sinm θ

[d

d cos θ

]mPℓ(cos θ)e

imϕ

(5) m′ = −m,m > 0に対して Yℓm′ = Yℓ−mを求めれば、|ℓ−m⟩ = ℏ−m√

(ℓ−m)!ℓ!

ℓ!(ℓ+m)!

|ℓ0⟩より

Yℓm′(Ω) = Yℓ−m(Ω) =

√2ℓ+ 1

4π

(ℓ−m)!

(ℓ+m)!sinm θ

[d

d cos θ

]mPℓ(cos θ)e

−imϕ

(6) m > 0 として Θℓm とΘℓ−mの間には

Θℓm = (−)mΘℓ−m

の関係がある。これより

Y ∗ℓm = (−)mYℓ−m

この Yℓm(Ω) を球面調和関数と呼ぶ。


2.4 スピン

2.4.1 ゼーマン効果

一様磁場 Bの下の量子系のハミルトニアンは、ローレンツ力を導く古典系のハミルトニアンを考えて

H =1

2m(p− eA)2 + eϕ

としよう。ここでベクトルポテンシャル Aは

rotA = B

である。この条件を満たすベクトルポテンシャルとしていわゆる対称ゲージ

A =1

2B × r

をとろう。なお eϕ はスカラーポテンシャルで原子中の電子等の場合、原子核からの中心力などは ϕ により記述される。ここで

(rotA)i =1

2ϵijk∂jϵkabBarb

=1

2ϵijkϵkajBa =

1

2ϵijkϵajkBa = δiaBa = Bi

より

rotA = B

である。よって

H = H0 +HP +HD

H0 =p2

2m

HP = − e

2m(p ·A+A · p)

HD =e2

mA2


ここで

HD =e2

4m(B × r) · (B × r)

=e2

4m(B × r) · (B × r)

=e2

4m

[(B2r2)− (B · r)2

]=

e2

4mB2r2

⊥

r⊥ = r sin θ

ここで θ はB と r のなす角である。この項は第 2項 HP に対して普通の原子では中小さいと見積もられるので、第

2項のみをここでは考えよう。

p ·A = −idivA+A · p = A · p

より

HP = − e

mA · p = − e

2m(B × r) · p = − e

2mB · (r × p) = − e

2mB ·L

原子内の電子が受ける原子核からのポテンシャルは中心力であり、回転不変であるから一般に角運動量は保存し、エネルギー準位ごとに定まるL2 = ℏ2ℓ(ℓ+ 1)に対応して、エネルギー準位は 2ℓ = 1 重に縮退する。更に磁場下の原子では磁場によりこのHP を考える必要があり，B · L はスカラーであるから任意の方向に座標をとってもよく、B 方向に z軸をとれば、その固有状態は Lz の固有値ごとに2ℓ+ 1 個に分裂するはずである。これをゼーマン効果とよぶ。しかしながら，この HP の項のみでは実際の原子の磁場下のスペクトルの実験を説明できず

H ′P = − e

2mB · (L+ gS), g ≈ 2

= HP +HS

HS = −µ ·Bµ = g

e

2mS = gµBS/ℏ

µB =eℏ2m

の余分な角運動量 S, S2 = ℏ2(1/2 + 1)/2, S = 1/2 を導入することが必要であった。この仮想的な角運動量をスピンと呼んだ (パウリのスピン仮説)。この仮説は後にディラックにより特殊相対論と整合的な量子論の導入によって理論的に導かれた。なお、ここで現れた磁化の次元をもつ量 µB をボーア磁子とよぶ。


2.4.2 スピンとパウリ行列

角運動量の固有状態として j が整数のものは前節の球面調和関数として具体化されたが、j = 1

2, 32, · · · (半奇整数という) の系列のものは現れなかった。これに対

応する角運動量は、スピンとよばれる内部座標に対応すると考えられる。歴史的には原子のスペクトルの解釈のためにパウリにより最初に現象論的に導入され、後にディラックにより、相対論 (特殊相対論)と整合的な波動方程式 (ディラック方程式)

を導入することで理論としても満足な形でその存在が理解された。ここでは角運動量の量子化則を満たす角運動量として議論しよう。特にここでは j = S = 1/2である最も単純でかつ最も重要なスピン S = 1/2とよばれる角運動量に限り具体的に議論する。ここでは J = Sと書こう、まず固有方程式は

S2|Sm⟩ = S(S + 1)|Sm⟩, S = 1/2

Sz|S +1

2⟩ = +ℏ

1

2|S +

1

2⟩

Sz|S − 1

2⟩ = −ℏ

1

2|S − 1

2⟩

上昇、下降演算子の行列要素は

⟨S +1

2|S−|S − 1

2⟩ = ℏ

√(1

2+

1

2)(1

2− 1

2+ 1) = ℏ

⟨S +1

2|S+|S − 1

2⟩ = ℏ

√(1

2− 1

2+ 1)(

1

2+

1

2+ 1) = ℏ

ここで

S =ℏ2σ

とすれば

⟨+|σz|+⟩ = 1

⟨−|σz|−⟩ = −1

ここで |S ± S⟩ = |±⟩ と書いた。σz はこの基底 (固有状態)で対角的だから

ψ = (|+⟩, |−⟩)

として

ψ†σzψ =

(⟨+|σz|+⟩ ⟨+|σz|−⟩⟨−|σz|+⟩ ⟨−|σz|−⟩

)=

(1 0

0 −1

)


また

⟨+|σ+|−⟩ = 2

⟨−|σ−|+⟩ = 2

もちろん

⟨+|σ+|+⟩ = ⟨−|σ+|−⟩ = 0

⟨+|σ−|+⟩ = ⟨−|σ−|−⟩ = 0

よって

ψ†σ+ψ =

(0 2

0 0

)

ψ†σ−ψ =

(0 0

2 0

)

よって

ψ†σxψ =1

2(ψ†σ−ψ + ψ†σ−ψ) =

(0 1

1 0

)

ψ†σyψ =1

2i(ψ†σ−ψ − ψ†σ−ψ) =

(0 −ii 0

)

この標準的な基底での行列表示を用いて次のようにいわゆるパウリ行列を定義する

σx =

(0 1

1 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 0

0 −1

)

これらは次の関係を満たす。

Trσi = 0

σiσj =

σ0 i = j

iϵijkσk i = j

ここで

σ0 ≡

(1 0

0 1

)


少し具体的に書けば

σ2i = σ0

σi, σj = σiσj + σjσi = 0, i = j

これをまとめて

σi, σj = 2δijσ0

また一般に 2× 2 行列Aは次のように展開できる

A =3∑

i=0

Aiσi, Ai =1

2TrAσi

2つの 3次元ベクトル u, v に対して 8

(u · σ)(v · σ) = (u · v)σ0 + i(u× v) · σ

となる。これを用いると一様磁場下のスピンのハミルトニアンを

H = −µB · S, µ = gµB/ℏ

としたとき

TrH = −µB · TrS = 0

であるからそのエネルギーをE1, E2 としたとき、E1+E2 = 0であり、E1 = −E2 =

E とすれば

H2 = E2 = µ2B2/4

よって固有値は E± = ±µ|B|/2 となる。

8

(u · σ)(v · σ) = uiσivjσj = (∑i=j

+∑i =j

)uivjσiσj

=∑i

uiviσ2i + ϵijkuivjσiσj = (u · v)σ0 + i

∑ijk

uivjϵijkσk


2.4.3 スピン軌道関数

この内部自由度を考えると原子内の電子の波動関数は次のようにスピノルとよばれる２成分の量となる。

|ψ(r)⟩ =

(ψ(r,+)

ψ(r,−)

)

ここで τ = (r, σ), σ = ± とまとめて書いて

ψ(τ) = ψ(r, σ)

をスピン軌道関数と呼ぶこともある。例えばゼーマン項がある場合、スピンに依存しない部分のハミルトニアンをH0(r)

として、シュレディンガー方程式は以下の様に変更される。[H0(r)− µ ·B

]|ψ(r)⟩ =

[H0(r)− (gµB/ℏ)B · S

]|ψ(r)⟩ = E|ψ(r)⟩

この場合波動関数を次のような変数分離形に仮定し

|ψ(r)⟩ = ψ(r)|χ⟩ψ(r, σ) = ψ(r)χ(σ)

|χ⟩ をS ·B の固有状態にとろう。ここで前節の計算から

µ ·B|χ±⟩ = ±(gµB/2ℏ)|χ±⟩

よって空間部分を

H0ψ(r) = Ejψ(r)

とH0 の固有状態にとれば[H0(r)− µ ·B

]|ψj±(τ) = Ej±ψ(τ)

Ej± = Ej ± gµB/2ℏ

となる。


2.4.4 時間反転対称性とクラマース縮退

前節の計算より明らかに磁場ゼロB = 0の場合、全系のエネルギー固有値は全て 2 重に縮退する。実は、この性質はスピンに依存する相互作用があっても時間反転対称性と呼ばれる対称性があれば常に引き継がれる性質であり，この縮退をクラマース縮退とよぶ。この節ではこれに関して説明しよう。時間反転対称性を定義する時間反転操作とは次のものを指す。

Θ = iσ2K = JK, J =

[0 1

−1 0

]ここでK は複素共役演算子であり σ2 はスピン空間に作用する。このようなユニタリ変換に追加して複素共役を考える変換を反ユニタリ(Anti-Unitary)変換と呼ぶ。この作用を幾つかの例について確認して見よう。まずスピンを含まない場合

r 7→ r′ = ΘpΘ−1 = J(r)∗J−1 = r

p 7→ p′ = ΘpΘ−1 = J(p)∗J−1 = (−iℏ∇)∗ = iℏ∇ = −p

L 7→ L′ = ΘLΘ−1 = (ΘrΘ−1)× (ΘpΘ−1) = r × (−p) = −L

と変換する。運動量、(軌道)角運動量は符号をかえることに注意しよう。次にスピンに関しては

S1 7→ S ′1 =

1

2(iσ2)(σ1)

∗(−iσ2) =1

2(σ2)(σ1)(σ2) =

1

2σ2iσ3 =

i2

2σ1 = −S1

S2 7→ S ′2 =

1

2(iσ2)(σ2)

∗(−iσ2) =1

2(σ2)(−σ2)(σ2) = −1

2σ32 = −1

2σ2 = −S2

S3 7→ S ′3 =

1

2(iσ2)(σ3)

∗(−iσ2) =1

2(σ2)(σ3)(σ2) =

1

2iσ1σ2 =

i2

2σ3 = −S3

以上合わせて

S 7→ S′ = ΘSΘ−1 = −S

となり、やはり符号を変える。つまり角運動量は常に符号を変えることとなる。よって，磁場中の系では　B · S 及び B ·L 等の項があるからハミルトニアンは時間反転に対して不変ではないこととなる。対して以下の節で議論するが次式で表されるスピン軌道相互作用は時間反転に対して不変となり、この項があっても全系の時間反転対称性は保たれる。

HSO = f(r)S ·L f :実

HSO 7→ ΘHSOΘ−1 = f ∗(r)(−S) · (−L) = HSO


このスピン軌道相互作用がある系など次の関係式を満たす系を時間反転不変な系と呼ぶ。

ΘHΘ−1 = JH∗J−1 = H

これはユニタリ不変な系にならって

[H,Θ] = ΘH −HΘ = 0

とも書かれる。なお

Θ2 = KJKJ = J2 =

[0 1

−1 0

]2=

[1 0

0 1

]02 == −1

である。以下、スピンをもつ系がこの時間反転対称性を持つときを考えよう。このとき、スピン軌道関数に対するシュレディンガー方程式を

H(r)|ψ(r)⟩ = E|ψ(r)⟩, |ψ(r)⟩ =

(ψ+

ψ−

)とあらわに書こう。ここで時間反転不変性から

ΘH(r)|ψ(r)⟩ = H(r)Θ|ψ(r)⟩= EΘ|ψ(r)⟩

よって

|ψΘ⟩ = Θ|ψ⟩

として

H|ψΘ⟩ = E|ψΘ⟩

と |ψ⟩ と同じエネルギーを持つ。更に

⟨ψ|ψΘ⟩ = (ψ∗+, ψ

∗−)(iσ2)K

(ψ+

ψ−

)

= (ψ∗+, ψ

∗−)

[0 1

−1 0

](ψ∗+

ψ∗−

)

= (ψ∗+, ψ

∗−)

(ψ∗−

−ψ∗+

)= ψ∗

+ψ∗− − ψ∗

−ψ∗+ = 0


つまり |ψ⟩ と |ψΘ⟩ は直交しているので異なる状態である。これから時間反転不変な系は縮退することとなる。この縮退をクラマース縮退と呼ぶ。ここでは一粒子系の時間反転対称性を考えた。多粒子系の例としてN個のスピン系の場合を考えよう。このとき、状態は次のように状態の (テンソル)積として指定される。

|σ1, σ2, · · · , σN⟩ = |σ1⟩|σ2⟩ · · · |σN⟩, σi = ±

この系に対して時間反転は

Θ = K(iσ12)(iσ

22) · · · (iσN

2 )

と定義され

Θ2 = K2(iσ12)

2(iσ22)

2 · · · (iσN2 )2 = (−1)N

となる。一般に反ユニタリ演算子A = UK とユニタリ演算子U であらわされるから任意の状態 ψ, ϕ に対して

⟨Θψ|Θϕ⟩ = ⟨KUψ|KUϕ⟩ = [(Uaiψi)∗]∗(Uajϕj)

∗ = UaiψiU∗ajϕ

∗j

= (U∗aiUaj)

∗ψiϕ∗j = (U †U)∗ijψiϕ

∗j = δijψiϕ

∗j = ⟨ϕ|ψ⟩

よって N 粒子系の状態 |ψN⟩に関して |ψΘN との重なり積分は

⟨ψN |ψΘN⟩ = ⟨ψN |ΘψN⟩ = ⟨Θ2ψN |ΘψN⟩ = (−)N⟨ψN |ΘψN⟩(−)N⟨ψN |ψΘ

N⟩

よって粒子数N が奇数の時は一粒子の場合と同様に ⟨ψN |ψΘN⟩ = −⟨ψN |ψΘ

N⟩ から

⟨ψN |ψΘN⟩ = 0

と直交性が示せ、クラマース縮退が生じることになる。

2.4.5 2つのスピンの作る一重項と三重項

ここでは特に 2つのスピンS1, S2を考えよう。ここで異なるスピンは無関係だからお互いに可換であるとしよう。

[Siµ, Sjν ] = 0, i = j

よって

S = S1 + S2


として

[Sµ, Sν ] = iϵµνλℏSλ

と S も角運動量となる。状態はS1, S2の状態 |m1⟩,(m1 = ±) と |m2⟩,(m2 = ±)

S1z|m1⟩1 = ℏm1|m1⟩1, m1 = ±1/2

S2z|m2⟩2 = ℏm2|m2⟩2, m2 = ±1/2

から　

|m1m2⟩ = |m1⟩1|m2⟩2

と作られる全 4状態であることに注意しよう。具体的には

mi =

+1

2→ ↑

−12

→ ↓

と書けば

| ↑↑⟩, | ↑↓⟩, | ↓↑⟩, | ↓↓⟩

の 4状態である。ここで全スピンS に関して一般の角運動量について議論したような次のような状態

S2|SM⟩ = ℏ2S(S + 1)|SM⟩Sz|SM⟩ = ℏM |SM⟩

を求めることを考えよう。まず、| ↑↑⟩を考えると S+ = S1+ + S2+ に対して

S+| ↑↑⟩ = (S1+ + S2+)| ↑↑⟩ =(S1+| ↑⟩1

)| ↑⟩2 + | ↑⟩1

(S2+| ↑⟩2

)= 0

Sz = S1z + S2z に対して

Sz| ↑↑⟩ = (S1z + S2z)| ↑↑⟩ =(S1z| ↑⟩1

)| ↑⟩2 + |↑⟩1

(S2z| ↑⟩2

)= (

ℏ2+

ℏ2)|↑↑⟩

よって一般論から |↑↑⟩ は S = ℏs, M = ℏm とかいて s = 1, m = 1 の状態となる。

|11⟩ = |↑↑⟩


1m

2m

1m 2m+

(1/2,1/2)

(-1/2,-1/2) (1/2,-1/2)

(-1/2,1/2)

図 2.1: S1 = ℏ/2, S2 = ℏ/2 のスピンの合成

よって、これも一般論から

|10⟩ =1

ℏ√

(s+m)(s−m+ 1)S−|11⟩, s = 1,m = 1

=1

ℏ√2S−|↑↑⟩

=1

ℏ√2(S1− + S2−)|↑↑⟩

=1√2(|↓↑⟩+ |↑↓⟩)

|1− 1⟩ =1

ℏ√

(s+m)(s−m+ 1)S−|10⟩, s = 1,m = 0

=1

ℏ√2S−

1

2(|↑↓⟩+ |↓↑⟩)

=1

ℏ√22(S1− + S2−)

1

2(|↑↓⟩+ |↓↑⟩)

=1

2(2|↓↓⟩)

= |↓↓⟩


まとめて

|11⟩ = ψm=1(1)

|10⟩ = ψm=01√2

(1

1

)|1− 1⟩ = ψm=−1(1)

ψ1 = (|12,1

2⟩) = (|↑↑⟩)

ψ0 = (|12,−1

2⟩, | − 1

2,1

2⟩) = (|↑↓⟩, |↓↑⟩)

ψ−1 = (| − 1

2,−1

2⟩) = (|↓↓⟩)

m = m1 +m2 = 0 の状態は 2次元のψ0で張られているから |1, 0⟩以外にもう一つ状態がつくれて、直交した状態をとれば

|t⟩ = ψ01√2

(1

−1

)=

1√2(|↑↓⟩ − |↓↑⟩)

となるが、m = 1 に他の状態は作れないはずだから S+|t⟩ = 0 のはず、これを念のため確認すれば

S+|t⟩ = (S1+ + S2+)(|1

2,−1

2⟩, | − 1

2,1

2⟩) = 0

よってこの状態は s = 0, つまり

|t⟩ = |00⟩

一般に

|sm⟩ = |m1m2⟩⟨m1m2|sm⟩ (m1,m2で和をとる)

と書けば

⟨m1m2|sm⟩ = 0, m1 +m2 = m

|1, 1⟩ = |12,1

2⟩⟨12,1

2|1, 1⟩

|1, 0⟩ = |12,−1

2⟩⟨12,−1

2|1, 0⟩+ | − 1

2,1

2⟩⟨−1

2,1

2|1, 0⟩

|0, 0⟩ = |12,−1

2⟩⟨12,−1

2|0, 0⟩+ | − 1

2,1

2⟩⟨−1

2,1

2|0, 0⟩

|1,−1⟩ = | − 1

2,−1

2⟩⟨−1

2,−1

2| − 1,−1⟩


書き直して

|1, 1⟩ = ψ1(⟨1

2,1

2|1, 1⟩)

(|1, 0⟩, |0, 0⟩) = ψ0

(⟨12,−1

2|1, 0⟩ ⟨1

2,−1

2|0, 0⟩

⟨−12, 12|1, 0⟩ ⟨−1

2, 12|0, 0⟩

)|1,−1⟩ = ψ−1(⟨−

1

2,−1

2| − 1,−1⟩)

更にまとめて

(|1, 1⟩, |1, 0⟩, |0, 0⟩, |1,−1⟩) = (ψ1, ψ0, ψ−1)[⟨m1,m2|sm⟩

]= (ψ1, ψ0, ψ−1)

1

1√2

1√2

1√2

− 1√2

1

これらの係数 ⟨m1m2|sm⟩ をクレブシュ・ゴルダン係数という。ここで

⟨m1,m2|m′1,m

′2⟩ = δm1m′

1δm2m′

2

だからここで |sm⟩ で s = 1, 0, m = −s, · · · , s も完全系を作るから

|sm⟩⟨sm| = 1

よって

|m1m2⟩ = |sm⟩⟨sm|m1m2⟩

また、|m1m2⟩ がそれぞれスピン 12の状態から構成されていることを明示して

次のように書くこともある。

|12m1

1

2m2⟩ = |m1m2⟩ = |m1⟩|m2⟩

交換相互作用

2つのスピンとして以下の交換相互作用交換相互作用と呼ばれるハミルトニアンを考えて見よう。

H = JS1 · S2, J > 0


ここで次の関係式に注意すれば

(S1 + S2)2 = S2

1 + S22 + 2S1 · S2

=1

2(1

2+ 1) +

1

2(1

2+ 1) + 2S1 · S2

H = J

[1

2(S1 + S2)

2 − 3

4

]よってこの系の基底状態は唯一であり、

|s = 0m = 0⟩ =1√2(|↑↓⟩ − |↓↑⟩)

で与えられそのエネルギーは

E0 = J(120(0 + 1)− 3

4

)= −3

4J

励起状態は 3重に縮退していて

|11⟩, |10⟩, |1− 1⟩

であり、そのエネルギーは

E1 = J(121(1 + 1)− 3

4

)=

1

4J

となる。この前者を (スピン)一重項(シングレット)、後者を (スピン)三重項(トリプレット)

と呼ぶ。

2.4.6 スピン軌道相互作用

次に軌道角運動量とスピンの合成を考えてみよう。つまり、

J = L+ S

として

J2|jm⟩ = ℏ2j(j + 1)

Jz|jm⟩ = ℏm|jm⟩


1m

2m

(L+1/2,1/2)

(L+1/2,-1/2)

図 2.2: L と S = ℏ/2 の合成

となる J2と Jzの同時固有状態を

|m1m2⟩ = |ℓm1,1

2m2⟩ = |ℓm1⟩|

1

2m2⟩

で展開することを考える。つまり、

|jm⟩ = |m1m2⟩⟨m1m2|jm⟩

となるクレブシュ・ゴルダン係数を求めてみよう。勿論この逆は

|m1m2⟩ = |jm⟩⟨jm|m1m2⟩

となる。まず m = m1 + n2 に注意して

J+|ℓ1

2⟩ = 0

であるから

|ℓ+ 1

2, ℓ+

1

2⟩ = |ℓ, 1

2⟩

一般論から

|jm− k⟩ = ℏ−k

√(j +m− k)!

(j +m)!

(j −m)!

(j −m+ k)!Jk−|jm⟩


Lk−|ℓℓ⟩⟩ = ℏk

√(2ℓ)!k!

(2ℓ− k)!|ℓ− k⟩

S−|1

2⟩ = ℏ| − 1

2⟩

|ℓ+ 1

2, ℓ+

1

2− k⟩ = ℏ−k

√(2ℓ+ 1− k)!

(2ℓ+ 1)!

(0)!

k!Jk−|ℓ+

1

2, ℓ+

1

2⟩

= ℏ−k

√(2ℓ+ 1− k)!

(2ℓ+ 1)!

(0)!

k!(L− + S−)

k|ℓ, 12⟩

= ℏ−k

√(2ℓ+ 1− k)!

(2ℓ+ 1)!k!(Lk

− + kLk−1− S−)|ℓ,

1

2⟩

=

√(2ℓ+ 1− k)!

(2ℓ+ 1)!k!

×(√

(2ℓ)!k!

(2ℓ− k)!|ℓ− k,

1

2⟩+ k

√(2ℓ)!(k − 1)!

(2ℓ− k + 1)!|ℓ+ 1− k,−1

2⟩)

=

√2ℓ+ 1− k

2ℓ+ 1|ℓ− k,

1

2⟩+

√k

2ℓ+ 1|ℓ+ 1− k,−1

2⟩

これを

J = ℓ+1

2, M = ℓ+

1

2− k

j1 = ℓ, m1 =M −m2 =

ℓ− k, m2 =

12

ℓ+ 1− k, m2 = −12

j2 =1

2, m2 = ±1

2

として

⟨j1,m1 = m−m2,12,m2|JM⟩:その 1(応用群論 p143)

J 　m2 =12

m2 = −12

j1 +12　√

j1+M+1/22j1+1

　√

j1−M+1/22j1+1

特に m = L− 1/2 に関しては

|ℓ+ 1

2, ℓ− 1

2⟩ =

√2ℓ

2ℓ+ 1|ℓ− 1,

1

2⟩+

√1

2ℓ+ 1|ℓ,−1

2⟩


よって

|ℓ− 1

2, ℓ− 1

2− k⟩ = −

√k + 1

2ℓ+ 1|ℓ− k − 1,

1

2⟩

−k

√1

(2ℓ+ 1)(2ℓ− k)|ℓ− k,−1

2⟩+ (2ℓ)

√1

(2ℓ+ 1)(2ℓ− k)|ℓ− k,−1

2⟩

= −√

k + 1

2ℓ+ 1|ℓ− k − 1,

1

2⟩+

√2ℓ− k

2ℓ+ 1|ℓ− k,−1

2⟩

これを

J = ℓ− 1

2, M = ℓ− 1

2− k

j1 = ℓ, m1 =M −m2 =

ℓ− k − 1, m2 =

12

ℓ− k, m2 = −12

j2 =1

2, m2 = ±1

2

として

⟨j1,m1 = m−m2,12,m2|JM⟩:その 2(応用群論 p143)

J 　m2 =12

m2 = −12

j1 − 12　−

√j1−M+1/2

2j1+1　√

j1+M+1/22j1+1

なお J = j1 + 1/2の状態は 2J + 1 = 2j1 + 1 = 2ℓ + 1 個あり、J = j1 − 1/2の状態は 2J + 1 = 2j1 = 2ℓ 個で合わせて 4ℓ+ 1 = 2(2ℓ+ 1) = (2 · 1

2+ 1)(2ℓ+ 1) と

整合的である。


2.5 角運動量の合成ここではJ1とJ2という 2つの角運動量の合成について一般に議論しよう。まず

[Jai, Jaj] = iℏϵijkJak, a = 1, 2

[J1i, J2j] = 0

であるから、

J = J1 + J2

に対して

[Ji, Jj] = iℏϵijkJk

と J が角運動量となる。

2.5.1 合成角運動量の値

まず、個々の角運動量の状態を

J21 |j1m1⟩ = ℏ2j1(j1 + 1)|j1m1⟩

J21z|j1m1⟩ = ℏm1|j1m1⟩J22 |j2m2⟩ = ℏ2j2(j2 + 1)|j2m2⟩

J22z|j2m2⟩ = ℏm2|j2m2⟩

ととろう。これは計 (2j1 + 1)(2j2 + 1) 状態あることに注意しよう。一方一般論に従えば

J2|jm⟩ = ℏj(j = 1)|jm⟩Jz|jm = ℏm|jm⟩

となる |jm⟩ が存在する。この間の線形関係を

|jm⟩ = |j1m1j2m2⟩Am1m2,jm

|j1m1j2m2⟩ = |jm⟩Bjm,m1m2

と書こう。左から ⟨j1m′1j2m

′2| をかけて

⟨j1m1j2m2|jm⟩ = Am1m2,jm


同様に

⟨jm|j1m1j2m2⟩ = Bjm,m1m2

なおこれらは状態の重なり積分であるから

⟨j1m1j2m2|jm⟩∗ = ⟨jm|j1m1j2m2⟩

であり、さらにこの係数 (クレブシュ・ゴルダン係数(Clebsch-Gordan係数)は以下の手続きに従えば、常に実にとれるので、この場合

⟨j1m1j2m2|jm⟩ = ⟨jm|j1m1j2m2⟩

となる。以下これらを

|jm⟩ = |j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|jm⟩|j1m1j2m2⟩ = |jm⟩⟨jm|j1m1j2m2⟩

と書こう。これらを順に代入すれば

|jm⟩ = |j′m′⟩⟨j′m′|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|jm⟩|j1m1j2m2⟩ = |j1m′

1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩⟨jm|j1m1j2m2⟩

より

⟨j′m′|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|jm⟩ = δj′jδm′m

⟨j1m′1j2m

′2|jm⟩⟨jm|j1m1j2m2⟩ = δm′

1m1δm′

2m2

という 2種類の直交関係が従う。まず

Jz|jm⟩ = ℏm|jm⟩= (J1z + J2z)|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|jm⟩= ℏ(m1 +m2)|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|jm⟩

から

⟨j1m1j2m2|jm⟩ = 0 : if m = m1 +m2


に注意しよう。よって j1 ≥ j2 として

m1 +m2 = j1 + j2

の状態からは j = j1 + j2 が構成され、それに J− を作用させることで全てのm = −j, · · · , j の状態が構成できる。つづいて

m1 +m2 = j1 + j2 − 1

の状態は

(m1,m2) = (j1 − 1, j2), (j1, j2 − 1)

の中で 1つは j = j1 + j2の状態として使われているので、それと直交する状態として、構成される。続いて

m1 +m2 = j1 + j2 − 2

の状態は

(m1,m2) = (j1 − 2, j2), (j1 − 1, j2 − 1), (j1, j2 − 2)

から構成されるが、そのためには j2 − 2 ≥ −j2 が必要である。これは一般に

m1 +m2 = j1 + j2 − s

の状態で新しい j = j1 + j2 − s が現れるためには

j2 − s ≥ −j2

であることが必要である。よって

j = j1 + j2 − s ≥ j1 − j2

つまり可能な jの値としては

j = j1 + j2, · · · , j1 − j2 = j1 − j2

となる。尚、状態数を数えれば j< = |j1 − j2|, j> = j1 + j2 として

j>∑j=j<

(2j + 1) = 21

2(j< + j>)(j> − j< + 1) + (j> − j< + 1)

= (j> + j< + 1)(j> − j< + 1)

= (2j1 + 1)(2j2 + 1)


1m

2m (j , j )1 2

(-j , j )1 2

図 2.3: J1, J2 の 2つの角運動量の合成

と整合的である。(図)

これを

j1 ⊗ j2 = |j1 − j2| ⊕ |j1 − j2|+ 1⊕ · · · ⊕ j1 + j2

と表そう。

2.5.2 クレブシュ・ゴルダン係数:漸化式による方法

以下このクレブシュ・ゴルダン係数を順に決定する手続きを示してみよう。ここで

|jm⟩ = |j1m′1j2m

′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

に J+ = J1+ + J2+ を作用させれば

J+|jm⟩ = J1+|j1m′1j2m

′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩+ J2+|j1m′

1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

よって [(j +m+ 1)(j −m)

]1/2|jm+ 1⟩

=[(j1 +m′

1 + 1)(j1 −m′1)]1/2|j1m′

1 + 1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

+[(j2 +m′

2 + 1)(j2 −m′2)]1/2|j1m′

1j2m′2 + 1⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩


左から ⟨j1m1j2m2| をかけて[(j +m+ 1)(j −m)

]1/2⟨j1m1j2m2|jm+ 1⟩

=[(j1 +m′

1 + 1)(j1 −m′1)]1/2⟨j1m1j2m2|j1m′

1 + 1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

+[(j2 +m′

2 + 1)(j2 −m′2)]1/2⟨j1m1j2m2|j1m′

1j2m′2 + 1⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

=[(j1 +m1)(j1 −m1 + 1)

]1/2⟨j1m1 − 1j2m2|jm⟩

+[(j2 +m2)(j2 −m2 + 1)

]1/2⟨j1m1j2m2 − 1|jm⟩

同様に J− = J1− + J2− を作用させて

J−|jm⟩ = J1−|j1m′1j2m

′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩+ J2−|j1m′

1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

よって [(j −m+ 1)(j +m)

]1/2|jm− 1⟩

=[(j1 −m′

1 + 1)(j1 +m′1)]1/2|j1m′

1 − 1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

+[(j2 −m′

2 + 1)(j2 +m′2)]1/2|j1m′

1j2m′2 − 1⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

左から ⟨j1m1j2m2| をかけて[(j −m+ 1)(j +m)

]1/2⟨j1m1j2m2|jm− 1⟩

=[(j1 −m′

1 + 1)(j1 +m′1)]1/2⟨j1m1j2m2|j1m′

1 − 1j2m′2⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩

+[(j2 −m′

2 + 1)(j2 +m′2)]1/2⟨j1m1j2m2|j1m′

1j2m′2 − 1⟩⟨j1m′

1j2m′2|jm⟩[

(j −m+ 1)(j +m)]1/2⟨j1m1j2m2|jm− 1⟩

=[(j1 −m1)(j1 +m1 + 1)

]1/2⟨j1m1 + 1j2m2|jm⟩

+[(j2 −m2)(j2 +m2 + 1)

]1/2⟨j1m1j2m2 + 1|jm⟩

以上まとめて


クレブシュ・ゴルダン係数に関する漸化式 I ⟨j1m1j2m2|jm+ 1⟩ =

[(j1 +m1)(j1 −m1 + 1)

(j +m+ 1)(j −m)

]1/2⟨j1m1 − 1j2m2|jm⟩

+

[(j2 +m2)(j2 −m2 + 1)

(j +m+ 1)(j −m)

]1/2⟨j1m1j2m2 − 1|jm⟩

⟨j1m1j2m2|jm− 1⟩ =

[(j1 −m1)(j1 +m1 + 1)

(j −m+ 1)(j +m)

]1/2⟨j1m1 + 1j2m2|jm⟩

+

[(j2 −m2)(j2 +m2 + 1)

(j −m+ 1)(j +m)

]1/2⟨j1m1j2m2 + 1|jm⟩

まず、j = j1 + j2 の状態は 1つで

ψj1+j2 = (|j1j1, j2j2⟩)

として、

Ψj1+j2 = (|j1 + j2, j1 + j2⟩) = ψj1+j2(1)

ψ†j1+j2

Ψj1+j2 = (1)

と位相を決めよう。つづいて j = j1 + j2 の状態は 2つで

ψj1+j2−1 = (|j1j1, j2j2 − 1⟩, |j1j1 − 1, j2j2⟩)Ψj1+j2−1 = (|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩, |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩)

これを使って

ψ†j1+j2−1|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩ = Mψ†

j1+j2|j1 + j2, j1 + j2⟩

まず、m1 = j1,m2 = j2, j = j1 + j2,m = m1 +m2 = j1 + j2 の状態は 1つしかないので

⟨j1j1j2j2|j1 + j2j1 + j2⟩ = 1

ととる。以下これからm を減らす公式を順次つかって係数を決めていこう。次に m1 = j1 − 1,m2 = j2, j = j1 + j2,m = j1 + j2 として[

2(j1 + j2)]1/2⟨j1j1 − 1j2j2|j1 + j2j1 + j2 − 1⟩

=[2j1]1/2⟨j1j1j2j2|j1 + j2j1 + j2⟩ =

[2j1]1/2


これから

⟨j1j1 − 1j2j2|j1 + j2j1 + j2 − 1⟩ =

√j1

j1 + j2

同じく

⟨j1j1j2j2 − 1|j1 + j2j1 + j2 − 1⟩ =

√j2

j1 + j2

つまり

|j1 + j2j1 + j2 − 1⟩ = ψ

√j1

j1+j2√j2

j1+j2

ここで

ψ = (|j1j1 − 1j2j2⟩, |j1j1j2j2 − 1⟩)

であり

ψ†ψ = ψψ† = E2

これを用いて

P = |j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩⟨j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

= ψ

√j1

j1+j2√j2

j1+j2

(

√j1

j1 + j2,

√j2

j1 + j2)ψ†

1− P = ψ(1−

(j1

j1+j2

√j1j2

j1+j2√j1j2

j1+j2

j2j1+j2

))ψ†

= ψ

(j2

j1+j2−

√j1j2

j1+j2

−√j1j2

j1+j2

j1j1+j2

))ψ†

ϕ = |j1j1j2j2 − 1⟩

ととればC > 0をある定数として

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ = C(1− P )ϕ

= Cψ

(j2

j1+j2−

√j1j2

j1+j2

−√j1j2

j1+j2

j1j1+j2

))

(0

1

)

= Cψ

(−

√j1j2

j1+j2j1

j1+j2

)


規格化して ⟨j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ = |C|2 (j1+j2)j2(j1+j2)2

= 1 より

C = −√

j1+j2j2

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ = ψ

−√

j2j1+j2√j1

j1+j2

よって

⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ = −

√j2

j1 + j2

⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ =

√j1

j1 + j2

ここでC > 0は一般に k をある自然数として

ϕ = |j1j1, j2j2 − k⟩

⟨j1j1, j2j2 − k|j1 + j2 − k, j1 + j2 − k⟩ > 0

ととることに対応する。次に m1+m2 = j1+j2−2に対応する係数を求めよう。ここで、m = j1+j2−1。まず j = j1 + j2 に関しては j −m = 1, j +m = 2j1 + 2j2 − 1である。m1 = j1,

m2 = j2 − 2 として

⟨j1j1, j2j2 − 2|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩

=

√2(2j2 − 1)

2(2j1 + 2j2 − 1)⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

=

√j2(2j2 − 1)

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

m1 = j1 − 1, m2 = j2 − 1 として

⟨j1j1 − 1, j2j2 − 1|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩

=

√2j1

2(2j1 + 2j2 − 1)⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

+

√2j2

2(2j1 + 2j2 − 1)⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

=

√4j1j2

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)


m1 = j1 − 2, m2 = j2 として

⟨j1j1 − 2, j2j2|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩

=

√2(2j1 − 1)

2(2j1 + 2j2 − 1)⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2, j1 + j2 − 1⟩

=

√j1(2j1 − 1)

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)

続いて j = j1 + j2 − 1 に関しては m = j1 + j2 − 1だから j −m = 0, j +m =

2j1 + 2j2 − 2

まず、m1 = j1, m2 = j2 − 2として

⟨j1j1, j2j2 − 2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩

=

√2(2j2 − 1)

(2j1 + 2j2 − 2)⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩

=

√j1(2j2 − 1)

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

つぎに、m1 = j1 − 1, m2 = j2 − 1として

⟨j1j1 − 1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 1j1 + j2 − 2⟩

=

√2j1

(2j1 + 2j2 − 2)⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩

+

√2j2

(2j1 + 2j2 − 2)⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩

=

√j21

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)−

√j22

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

=j1 − j2√

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

m1 = j1 − 2, m2 = j2として

⟨j1j1 − 2, j2j2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩

=

√2(2j1 − 1)

(2j1 + 2j2 − 2)⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩

= −

√j2(2j1 − 1)

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)


よって

ψ = (|j1j1 − 2, j2j2⟩, |j1j1 − 1, j2, j2 − 1⟩, |j1j1, j2j2 − 2⟩)

として

ψ†ψ = ψψ† = E3

|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩ = ψ1√

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)

√j1(2j1 − 1)√

4j1j2√j2(2j2 − 1)

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩ = ψ

1√(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

−√j2(2j1 − 1)j1 − j2√j1(2j2 − 1)

よって

P = |j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩⟨j1 + j2, j1 + j2 − 2|+|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩⟨j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2|

= ψ1

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1) j1(2j1 − 1) 2j1√j2(2j1 − 1)

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

2j1√j2(2j1 − 1) 4j1j2 2j2

√j1(2j2 − 1)√

j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1) 2j2√j1(2j2 − 1) j2(2j2 − 1)

ψ†

+ψ1

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1) j2(2j1 − 1) −(j1 − j2)√j2(2j1 − 1) −

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

−(j1 − j2)√j2(2j1 − 1) (j1 − j2)

2 (j1 − j2)√j1(2j2 − 1)

−√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1) (j1 − j2)

√j1(2j2 − 1) j1(2j2 − 1)

ψ†


m1 +m2 = j1 + j2 − 1 の時と同様に ϕ = |j1j1, j2j2 − 2⟩ ととって

|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ = C(1− P )ϕ

= Cψ

[ 001

− 1

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

2j2√j1(2j2 − 1)

j2(2j2 − 1)

− 1

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

−√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

(j1 − j2)√j1(2j2 − 1)

j1(2j2 − 1)

]

= Cψ

[√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

−2j2(j1+j2−1)−(j1−j2)(2j1+2j2−1)(j1+j2)(j1+j2−1)(2j1+2j2−1)

√j1(2j2 − 1)

1 + j2(j1+j2−1)+j1(2j1+2j2−1)(j1+j2)(j1+j2−1)(2j1+2j2−1)(2j2 − 1)

]

= Cψ

[√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)1−2j1

(j1+j2−1)(2j1+2j2−1)

√j1(2j2 − 1)

j1(2j1−1)(j1+j2−1)(2j1+2j2−1)

]

= Cψ

√j1(2j1 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

√j2(2j2 − 1)

−√

(2j1 − 1)(2j2 − 1)√j1(2j1 − 1)

ここで

j2(2j2 − 1) + (2j1 − 1)(2j2 − 1) + j1(2j1 − 1) = (j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

よって規格化して

|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ = ψ1√

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

√j2(2j2 − 1)

−√

(2j1 − 1)(2j2 − 1)√j1(2j1 − 1)

これから

⟨j1j1 − 2, j2j2|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ =

√j2(2j2 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

⟨j1j1 − 1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ = −

√(2j1 − 1)(2j2 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

⟨j1j1, j2j2 − 2|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ =

√j1(2j1 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

以降の係数も同様に定まる。


として

E2 = MM † = ψ1ψ†1 + ψψ†

ψψ† = E2 − ψ1ψ†1 ≡ E2 − P

ψ = (E2 − P )ψ

よって ϕ を任意のベクトルとして

ψ′ = (E2 − P )ϕ

ψ = ψ′/∥ψ′∥

この一般論に従って ψ を決めよう。

P =

√j1

j1+j2√j2

j1+j2

(

√j1

j1 + j2,

√j2

j1 + j2)

E2 − P = E2 −

(j1

j1+j2

√j1j2

j1+j2√j1j2

j1+j2

j2j1+j2

))

=

(j2

j1+j2−

√j1j2

j1+j2

−√j1j2

j1+j2

j1j1+j2

))

ϕ =

(0

1

)ととれば

ψ′ = (E2 − P )ϕ

=

(j2

j1+j2−

√j1j2

j1+j2

−√j1j2

j1+j2

j1j1+j2

))

(0

1

)

=

(−

√j1j2

j1+j2j1

j1+j2

)

∥ψ′∥2 =(j1 + j2)j2(j1 + j2)2

規格化して

ψ = ψ′/∥ψ′∥ =

−√

j2j1+j2√j1

j1+j2


よって

Ψj1+j2−1 = ψj1+j2−1

√j1

j1+j2−√

j2j1+j2√

j2j1+j2

√j1

j1+j2

これから

⟨j1j1 − 1, j2j2|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ = −

√j2

j1 + j2

⟨j1j1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩ =

√j1

j1 + j2

ここで ϕ =

(0

1

)は一般に k をある自然数として

ϕ = |j1j1, j2j2 − k⟩

⟨j1j1, j2j2 − k|j1 + j2 − k, j1 + j2 − k⟩ > 0

ととることに対応する。一般に

|jm− 2⟩ =1

ℏ2√(j +m)(j +m− 1)(j −m+ 1)(j −m+ 2))

J2−|jm⟩

より

|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩ = 1

ℏ2√(2j1 + 2j2)(2j1 + 2j2 − 1)2

[J21− + 2J1−J2− + J2

2−

]|j1j1, j2j2⟩

=1√

(2j1 + 2j2)(2j1 + 2j2 − 1)2(√2j1(2j1 − 1)2|j1j1 − 2, j2j2⟩+ 2

√2j1√2j2|j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩+

√2j2(2j2 − 1)2|j1j1, j2j2 − 2⟩

)=

1√(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)(√j1(2j1 − 1)|j1j1 − 2, j2j2⟩+

√4j1j2|j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩+

√j2(2j2 − 1)|j1j1, j2j2 − 2⟩

)= ψj1+j2−2ψ1


とかける。ここで、

ψj1+j2−2 = (|j1j1 − 2, j2j2⟩, |j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩, |j1j1, j2j2 − 2⟩)

ψ1 =1√

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1)

√j1(2j1 − 1)√

4j1j2√j2(2j2 − 1)

続いて j = j1 + j2 − 1 の状態を考えて

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩ = 1

ℏ√2(j1 + j2 − 1)

J−|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1⟩

=1

ℏ√2(j1 + j2 − 1)

J−ψj1+j2−1

−√

j2j1+j2√j1

j1+j2

ここで

J−ψj1+j2−1 = ((J1− + J2−)|j1j1 − 1, j2j2⟩, (J1− + J2−)|j1j1, j2j2 − 1⟩)= (

√2(2j1 − 1)|j1j1 − 2, j2j2⟩+

√2j2|j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩

,√2j1|j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩+

√2(2j2 − 1)|j1j1, j2j2 − 2⟩)

= ℏ(|j1j1 − 2, j2j2⟩, |j1j1 − 1, j2j2 − 1⟩, |j1j1, j2j2 − 2⟩)

√

2(2j1 − 1) 0√2j2

√2j1

0√2(2j2 − 1)

= ℏψj1+j2−2

√

2(2j1 − 1) 0√2j2

√2j1

0√2(2j2 − 1)

|j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩

=1√

2(j1 + j2 − 1)ψj1+j2−2

√

2(2j1 − 1) 0√2j2

√2j1

0√

2(2j2 − 1)

−

√j2

j1+j2√j1

j1+j2

= ψj1+j2−2ψ2

ここで

ψ2 =1√

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1)

−√

(2j1 − 1)j2j1 − j2√j1(2j2 − 1)


j = j1 + j2 − 2 の状態は 3つで

Ψj1+j2−2 = (|j1 + j2, j1 + j2 − 2⟩, |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩, |j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩)

として

Ψ†j1+j2−2Ψj1+j2−2 = ψ†

j1+j2−2ψj1+j2−2 = E3

これを使って

Ψj1+j2−2 = ψj1+j2−2M

M = (ψ1, ψ2, ψ) = (ψC , ψ)

として

E3 = MM † = ψCψ†C + ψψ†

ψψ† = E3 − ψCψ†C ≡ E3 − P

ψ = (E3 − P )ψ

よって ϕ を任意のベクトルとして

ψ′ = (E3 − P )ϕ

ψ = ψ′/∥ψ′∥

この一般論に従って ψ を決めよう。

P =1

(j1 + j2)(2j1 + 2j2 − 1) j1(2j1 − 1) 2j1√j2(2j1 − 1)

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

2j1√j2(2j1 − 1) 4j1j2 2j2

√j1(2j2 − 1)√

j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1) 2j2√j1(2j2 − 1) j2(2j2 − 1)

+

1

(j1 + j2)(j1 + j2 − 1) j2(2j1 − 1) −(j1 − j2)√j2(2j1 − 1) −

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

−(j1 − j2)√j2(2j1 − 1) (j1 − j2)

2 (j1 − j2)√j1(2j2 − 1)

−√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1) (j1 − j2)

√j1(2j2 − 1) j1(2j2 − 1)

ϕ =

001


ととれば

ψ′ = (E3 − P )ϕ

=

001

− 1

j1 + j2

( 12j1+2j2−1 − 1

j1+j2−1)√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

( 2j22j1+2j2−1 + j1−j2

j1+j2−1)√j1(2j2 − 1)

( j22j1+2j2−1 + j1

j1+j2−1)(2j2 − 1)

=

001

+

√

j1j2(2j1−1)(2j2−1)

(2j1+2j2−1)(j1+j2−1)

− (2j1−1)√

j1(2j2−1)

(2j1+2j2−1)(j1+j2−1)

− (2j1+j2−1)(2j2−1)(2j1+2j2−1)(j1+j2−1)

=

1

(2j1 + 2j2 − 1)(j1 + j2 − 1)

√j1j2(2j1 − 1)(2j2 − 1)

−(2j1 − 1)√j1(2j2 − 1)

j1(2j1 − 1)

=

√j1(2j1 − 1)

(2j1 + 2j2 − 1)(j1 + j2 − 1)

√j2(2j2 − 1))

−√

(2j1 − 1)(2j2 − 1)√j1(2j1 − 1)

規格化するために

j2(2j2 − 1) + (2j1 − 1)(2j2 − 1) + j1(2j1 − 1) = 2j22 − j2 + 4j1j2 − 2j1 − 2j2 + 1 + 2j21 − j1

= 2j21 − 3j1 − 3j2 + 2j22 + 4j1j2 + 1

= 2(j1 + j2)2 − 3(j1 + j2) + 1

= [(2j1 + j2)− 1](j1 + j2 − 1)

に注意すれば

ψ′/∥ψ′∥ =1√

(2j1 + 2j2 − 1)(j1 + j2 − 1)

√j2(2j2 − 1))

−√

(2j1 − 1)(2j2 − 1)√j1(2j1 − 1)

|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ = ψ1√

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

√j2(2j2 − 1)

−√

(2j1 − 1)(2j2 − 1)√j1(2j1 − 1)


これから

⟨j1j1 − 2, j2j2|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ =

√j2(2j2 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

⟨j1j1 − 1, j2j2 − 1|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ = −

√(2j1 − 1)(2j2 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

⟨j1j1, j2j2 − 2|j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2⟩ =

√j1(2j1 − 1)

(j1 + j2 − 1)(2j1 + 2j2 − 1)

以降の係数も同様に定まる。

2.5.4 1⊗ 1の例

ここでは２つのスピン１を合成してみよう。まず

|2, 2⟩ = |1, 1, 1, 1⟩

これから

|2, 1⟩ =1

ℏ√4J−|1, 1, 1, 1⟩ =

1

2ℏ(J1−|1, 1⟩ ⊗ |1, 1⟩+ |1, 1⟩ ⊗ J2−|1, 1⟩)

=1

2(√2|1, 0⟩ ⊗ |1, 1⟩+ |1, 0⟩ ⊗

√2|1, 1⟩)

=1√2(|1, 0, 1, 1⟩+ |1, 1, 1, 0⟩)

= (|1, 0, 1, 1⟩, |1, 1, 1, 0⟩)

(1√21√2

)続いて

|2, 0⟩ =1

ℏ2√4 · 3 · 1 · 2

J2−|2, 2⟩

=1

ℏ2√24

(J21− + 2J1−J2− + J2

2−)|1, 1, 1, 1⟩

=1√24

(√2 · 2|1,−1, 1, 1⟩+ 2 · 2|1, 0, 1, 0⟩+

√2 · 2|1, 1, 1,−1⟩)

=1√6(|1,−1, 1, 1⟩+ 2|1, 0, 1, 0⟩+ |1, 1, 1,−1⟩)

= (|1,−1, 1, 1⟩, |1, 0, 1, 0⟩, |1, 1, 1,−1⟩)

1√62√61√6


|2,−1⟩ =1

ℏ2√4 · 3 · 2 · 2 · 3

J3−|2, 2⟩

=1

ℏ312(J3

1− + 3J21−J2− + 3J1−J

22− + J3

2−)|1, 1, 1, 1⟩

=1

ℏ312(3J2

1−J2− + 3J1−J22−)|1, 1, 1, 1⟩

=1

12(3√2 · 2 ·

√2|1,−1, 1, 0⟩+ 3

√2 · 2 ·

√2|1,−01,−1⟩)

=1√2(|1,−1, 1, 1⟩+ |1, 1, 1,−1⟩)

|2,−2⟩ =1

ℏ4√4 · 3 · 2 · ·2 · 3 · 4

J4−|2, 2⟩

=1

ℏ424(J4

1− +

(4

1

)J31−J2− +

(4

2

)J21−J

22− +

(4

3

)J1−J

32− + J4

2−)|1, 1, 1, 1⟩

=1

ℏ4246J2

1−J22−|1, 1, 1, 1⟩

=1

246(2 · 2)|1,−1, 1,−1⟩

= |1,−1, 1,−1⟩

m = 1 の状態には上記の |2, 1⟩ 以外にももう一つあり、それが |1, 1⟩ のはずで、これらが完全系をつくる

(|2, 1⟩, |1, 1⟩) = (|1, 0, 1, 1⟩, |1, 1, 1, 0⟩)M

= (|1, 0, 1, 1⟩, |1, 1, 1, 0⟩)

(1√2

∗1√2

∗

)

ここで、直交するように埋めれば

(|2, 1⟩, |1, 1⟩) = (|1, 0, 1, 1⟩, |1, 1, 1, 0⟩)

(1√2

− 1√2

1√2

1√2

)


これをつかって

|1, 0⟩ =1

ℏ√2J−|1, 1⟩ =

1

ℏ√2(J1− + J2−)(|1, 0, 1, 1⟩, |1, 1, 1, 0⟩)

(− 1√

21√2

)

=1√2(√2|1,−1, 1, 1⟩+

√2|1, 0, 1, 0⟩,

√2|1, 0, 1, 0⟩) +

√2|1, 1, 1,−1⟩)

(− 1√

21√2

)

= (|1,−1, 1, 1⟩, |1, 0, 1, 0⟩, |1, 1, 1,−1⟩)

1 0

1 1

0 1

( − 1√2

1√2

)

= (|1,−1, 1, 1⟩, |1, 0, 1, 0⟩, |1, 1, 1,−1⟩)

− 1√2

01√2

|1,−1⟩ =

1

ℏ√2J−|1, 0⟩

=1

ℏ√2(J2−|1,−1, 1, 1⟩, (J1− + J2−)|1, 0, 1, 0⟩, J1−|1, 1, 1,−1⟩)

− 1√2

01√2

= (|1,−1, 1, 0⟩, |1,−1, 1, 0⟩+ |1, 0, 1,−1⟩, |1, 0, 1,−1⟩)

− 1√2

01√2

= (|1,−1, 1, 0⟩, |1, 0, 1,−1⟩)

(1 1 0

0 1 1

) − 1√2

01√2

= (|1,−1, 1, 0⟩, |1, 0, 1,−1⟩)

(− 1√

21√2

)

これは確かに

J−|1,−1⟩ = (J1− + J2−)|1,−1⟩ = 0

最後にm = 0 の状態は 3つあって

(|2, 0⟩, |1, 0⟩, |0, 0⟩) = (|1,−1, 1, 1⟩, |1, 0, 1, 0⟩, |1, 1, 1,−1⟩)M

M =

1√6

− 1√2

∗2√6

0 ∗1√6

1√2

∗


最後の列を他と直交するようにうめれば

M =

1√6

− 1√2

1√3

2√6

0 − 1√3

1√6

1√2

1√3

つまり

|0, 0⟩ = (|1,−1, 1, 1⟩, |1, 0, 1, 0⟩, |1, 1, 1,−1⟩)

1√3

− 1√3

1√3

M をキチンと決めるには

M = (ψC , ψ)

ψC =

1√6

− 1√2

2√6

01√6

1√2

と書いて

E3 = MM † = ψCψ†C + ψψ† ≡ P + ψψ†

より

ψ = (E3 − P )ψ

ここで

(E3 − P )2 = E3 − P

より任意の ϕ に対して

ψ ∝ (E3 − P )ϕ

よって

ψ = ψ′/∥ψ′∥ψ′ = (E3 − P )ϕ


今の場合

P =

1√6

− 1√2

2√6

01√6

1√2

( 1√6

2√6

1√6

− 1√2

0 1√2

)=

23

13

−13

13

23

13

−13

13

23

E3 − P =

13

−13

13

−13

13

−13

13

−13

13

ϕ =

001

として ψ′ =

13−1

313

これを規格化して ψ =

1√3

− 1√3

1√3

。これは先ほど求めたものに等しい。


2.6 既約テンソルとウィグナー・エッカートの定理

2.6.1 既約テンソル演算子

まず、球面調和関数 Yℓm, 任意の関数 f として

Lz(Yℓmf) = (LzYℓm)f + YℓmLzf

= ℏmYℓm + Yℓmf

L±(Yℓmf) = (L±Yℓm)f + YℓmL±f

= ℏ√

(ℓ∓m)(ℓ±m+ 1)Yℓm±1f + YℓmL±f

となる。これを次のように書こう

[Lz, Yℓm] = ℏmYℓm[L±, Yℓm] = ℏ

√(ℓ∓m)(ℓ±m+ 1)Yℓm±1

特に ℓ = 1 とすれば第 2式は

[L±, Y1m] = ℏ√

(1∓m)(2±m)Y1m±1

つまり

[L+, Y11] = 0, [L−, Y11] =ℏ√2Y10

[L+, Y10] =ℏ√2Y11, [L−, Y10] =ℏ

√2Y1−1

[L+, Y1−1] =ℏ√2Y10, [L−, Y1−1]=0

これを角運動量 J ([Ji, Jj] = iℏϵijkJk) の代数

[J+, J+] = 0, [J−, J+]=− 2ℏJz[J+, Jz] =−ℏJ+, [J−, Jz] =ℏJ−[J+, J−] = 2ℏJz, [J−, J−]=0

と比べてみれば、[Jz,±, ·] の · の位置で

Y11 − 1√2J+

Y10 Jz

Y1−1 1√2J−


という対応がある。よって球面調和関数を一般化して 0以上の整数 kに対して、T (k)

q , q = −k,−k+1 · · · , k − 1, k という 2k + 1 個の演算子を以下の関係式を満たすものを k 階の既約テンソル演算子と呼ぶ。

[Jz, T(k)q ] = ℏkT (k)

q

[J±, T(k)q ] = ℏ

√(k ∓ q)(k ±m+ 1)T

(k)q±1

よって上記の対応は角運動量自身が k = 1 階の既約演算子であることを示唆する。

より一般に全章の議論によればベクトル演算子 V =

VxVyVz

とは軌道角運動量演算子 L に対して

[Li, Vj] = iℏϵijkVk

を満たすものであり、座標 r, 運動量 r, 角運動量 J がこれを満たした。よって

T(1)1 = − 1√

2(Jx + iJy)

T(1)0 = Jz

T(1)−1 =

1√2(Jx − iJy)

とすれば、これが 1階の既約テンソル演算子となることを意味する。

2.6.2 既約テンソル演算子の積

ここでは次のような ki階の既約テンソル演算子の積を考えてみよう

T kq = T (k1)

q1T (k2)q2

⟨k1q1, k2q2|kq⟩

ここで ⟨k1q1, k2q2|kq⟩ はクレブシュ・ゴルダン係数である。これと角運動量演算子との交換子を計算すれば

[J , T (k1)q1

T (k2)q2

] = [J , T (k1)q1

]T (k2)q2

+ T (k1)q1

[J , T (k2)q2

]

に注意して

[Jz, T(k)q ] = [Jz, T

(k1)q1

T (k2)q2

]⟨k1q1, k2q2|kq⟩

=

[[Jz, T

(k1)q1

]T (k2)q2

+ T (k1)q1

[Jz, T(k2)q2

]

]⟨k1q1, k2q2|kq⟩

= ℏ(q1 + q2)T(k1)q1

T (k2)q2

⟨k1q1, k2q2|kq⟩= ℏ(q1 + q2)T

(k)q


同様に

[J±, T(k)q ] = [J±, T

(k1)q1

T (k2)q2

]⟨k1q1, k2q2|kq⟩

=

[[J±, T

(k1)q1

]T (k2)q2

+ T (k1)q1

[J±, T(k2)q2

]

]⟨k1q1, k2q2|kq⟩

= ℏ[√

(k1 ∓ q1)(k1 ± q1 + 1)T(k1)q1±1T

(k2)q2

+√(k2 ∓ q2)(k2 ± q2 + 1)T (k1)

q1T

(k2)q2±1

]⟨k1q1, k2q2|kq⟩

= ℏT (k1)q1

T (k2)q2

[√(k1 ∓ (q1 ∓ 1))(k1 ± (q1 ∓ 1) + 1)⟨k1q1 ∓ 1, k2q2|kq⟩

+√(k2 ∓ (q2 ∓ 1))(k2 ± (q2 ∓ 1) + 1)⟨k1q1, k2q2 ∓ 1|kq⟩

]= ℏT (k1)

q1T (k2)q2

[√(k1 ∓ q1 + 1)(k1 ± q1)⟨k1q1 ∓ 1, k2q2|kq⟩

+√(k2 ∓ q2 + 1)(k2 ± q2)⟨k1q1, k2q2 ∓ 1|kq⟩

]ここで一般に

|jm± 1⟩ =1

ℏ√

(j ∓m)(j ±m+ 1)J±|jm⟩

だから

ℏ√

(k1 ∓ q1 + 1)(k1 ± q1)|k1q1 ∓ 1⟩ = J1∓|k1q1⟩ℏ√

(k2 ∓ q2 + 1)(k2 ± q2)|k2q2 ∓ 1⟩ = J2∓|k2q2⟩

よって

[J±, T(k)q ] = T (k1)

q1T (k2)q2

⟨k1q1, k2q2|(J†1∓ + J†

2∓)|kq⟩= T (k1)

q1T (k2)q2

⟨k1q1, k2q2|J±|kq⟩= ℏ

√(k ∓ q)(k ± q + 1)T (k1)

q1T (k2)q2

⟨k1q1, k2q2|kq ± 1⟩

= ℏ√(k ∓ q)(k ± q + 1)T

(k)q±1

となり T(k)q は k = k1 + k2 階の既約テンソル演算子となる。

またクレブシュゴルダン係数の直交性より

k1+k2∑k=|k1−k2|

k∑q=−k

⟨kq|k1q′1, k2q′2⟩T (k)q = T

(k′1)

q′1T

(k′2)

q′2


これは, Clebsch-Gordan係数の対称性も使って以下の様にかける。

T (k1)q1

T (k2)q2

= T (k)q ⟨kq|k1q1, k2q2⟩

= ⟨k1q1, k2q2|kq⟩T (k)q

2.6.3 2つのベクトル演算子の積

2つのベクトル演算子 U , V からテンソル

(UV )ij,i′j′j = Uii′Vjj′

を構成できるが、一般にこれは既約でない。ここで= 1⊗ 1に対応するCG係数を復習すれば、非自明なものは以下の通り

1⊗ 1 = 2⊕+1⊕ 0

j m m1 m2 ⟨j1m1, j2m2|jm⟩2 2 1 1 1

2 1 0 1 1/√2

2 1 1 0 1/√2

2 0 -1 1 1/√6

2 0 0 0 2/√6

2 0 1 -1 1/√6

2 -1 -1 0 1/√2

2 -1 0 -1 1/√2

2 -2 -1 -1 1

j m m1 m2 ⟨j1m1, j2m2|jm⟩1 1 0 1 −1/

√2

1 1 1 0 1/√2

1 0 -1 1 −1/√2

1 0 0 0 0

1 0 1 -1 1/√2

1 -1 -1 0 −1/√2

1 -1 0 -1 1/√2

0 0 -1 1 1/√3

0 0 0 0 −1/√3

0 0 1 -1 1/√3

よって一階のテンソル演算子

U1 = − 1√2(Ux + iUy)

U0 = Uz

U−1 =1√2(Ux − iUy)


V も同様、対してまず 0階の既約テンソル（スカラー）は

T(0)0 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|00⟩

= U1V−1⟨11, 1− 1|00⟩+ U0V0⟨10, 10|00⟩+ U−1V1⟨−11, 21|00⟩= −U+V−(1/

√22 · 3) + UzVz(−1/

√3)− U−V+(1/

√22 · 3)

= (−1/√3)(

1

2(U+V− + U−V+) + UzVz)

= −1

3U · V

続いて 1階の既約テンソル (ベクトル)は

T(1)1 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|11⟩

= U0V1⟨10, 11|11⟩+ U1V0⟨11, 10|11⟩= Uz(−1/

√2)V+(−1/

√2) + (−1/

√2)U+Vz(1/

√2)

=1

2

(Uz(Vx + iVy)− (Ux + iUy)Vz

)=

1

2

((UzVx − UxVz)− i(UyVz − UzVy)

)=

1

2

((U × V )y − i(U × V )x)

=−i2(U × V )+

=i√2(U × V )1

T(1)0 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|10⟩

= U−1V1⟨1− 1, 11|10⟩+ U1V−1⟨11, 1− 1|10⟩= −(1/2)U−V+(−1/

√2)− (1/2)U+V−(1/

√2)

=1

2√2

((Ux − iUy)(Vx + iVy)− (Ux + iUy)(Vx − iVy)

)=

1√2(iUxVy − iUyVx)

=i√2(U × V )z

=i√2(U × V )0


T(1)−1 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|1− 1⟩

= U0V−1⟨10, 1− 1|1− 1⟩+ U−1V0⟨1− 1, 10|1− 1⟩= Uz(1/

√2)V−(1/

√2) + (1/

√2)U−Vz(−1/

√2)

=1

2

(Uz(Vx − iVy)− (Ux − iUy)Vz

)=

1

2

((UzVx − UxVz) + i(UyVz − UzVy)

)=

1

2

((U × V )y + i(U × V )x)

=i

2(U × V )−

=i√2(U × V )−1

あわせて

T (1)q =

i√2(U × V )q

2階の既約テンソルは

T(2)2 = Um2Vm2⟨1m1, 1m2|22⟩ = U1V1⟨11, 11|22⟩ = U1V1

T(2)−2 = Um2Vm2⟨1m1, 1m2|2− 2⟩ = U−1V−1⟨1− 1, 1− 1|2− 2⟩ = U−1V−1

T(2)1 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|21⟩

= U0V1⟨10, 11|21⟩+ U1V0⟨11, 10|21⟩= U0V1(1/

√2) + U1V0(1/

√2)

=1√2(U0V1 + U1V0)

T(2)−1 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|2− 1⟩

= U0V−1⟨10, 1− 1|2− 1⟩+ U−1V0⟨1− 1, 10|2− 1⟩= U0V−1/

√2) + U−1V0(1/

√2)

=1√2(U0V−1 + U−1V0)


T(2)0 = Um1Vm2⟨1m1, 2m2|20⟩

= U−1V1⟨1− 1, 11|20⟩+ U0V0⟨10, 10|20⟩+ U1V−1⟨11, 1− 1|20⟩

=1√6(U−1V1 + 2U0V0 + U1V−1)

2.6.4 ウィグナー・エッカートの定理

次にテンソル演算子と規格直交化された状態 |j2m2⟩ の次のような積を考えて見ましょう。

|jm⟩′ =∑q1m2

T (k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2|jm⟩

≡∑q1m2

|Ωk1j2q1,m2

⟩⟨k1q1, j2m2|jm⟩

|Ωk1j2q1,m2

⟩ = T (k1)q1

|j2m2⟩

この |Ωk1j2q1,m2

⟩ に J を作用させれば

J |Ωk1j2q1,m2

⟩ = JT (k1)q1

|j2m2⟩= [J , T (k1)

q1]|j2m2⟩+ T (k1)

q1J |j2m2⟩

となる。つまり

Jz|Ωk1j2q1,m2

⟩ = ℏ(q1 +m2)|Ωk1j2q1,m2

⟩

J±|Ωk1j2q1,m2

⟩ = ℏ√

(k1 ∓ q1)(k1 ± q1 + 1)T(k1)q1±1|j2m2⟩

+ℏ√(j2 ∓m2)(j2 ±m2 + 1)T (k1)

q1|j2m2 ± 1⟩

= ℏ√

(k1 ∓ q1)(k1 ± q1 + 1)|Ωk1j2q1±1,m2

⟩+ℏ√(j2 ∓m2)(j2 ±m2 + 1)|Ωk1j2

q1,m2±1⟩


Jz|jm⟩′ =∑q1,m2

ℏ(q1 +m2)|Ωk1j2q1,m2

⟩⟨k1q1j2m2|jm⟩

=∑q1,m2

ℏ(q1 +m2)|jm⟩′

= ℏm|jm⟩′

J±|jm⟩′ =∑q1m2

[ℏ√(k1 ∓ q1)(k1 ± q1 + 1)T

(k1)q1±1|j2m2⟩⟨k1q1j2m2|jm⟩

+ℏ√

(j2 ∓m2)(j2 ±m2 + 1)T (k1)q1

|j2m2 ± 1⟩⟨k1q1j2m2|jm⟩]

=∑q1m2

[ℏ√(k1 ∓ (q1 ∓ 1))(k1 ± (q1 ∓ 1) + 1)T (k1)

q1|j2m2⟩⟨k1q1 ∓ 1, j2m2|jm⟩

+ℏ√

(j2 ∓ (m2 ∓ 1))(j2 ± (m2 ∓ 1) + 1)T (k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2 ∓ 1|jm⟩]

=∑q1m2

[ℏ√(k1 ∓ q1 + 1))(k1 ± q1)T

(k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1 ∓ 1, j2m2|jm⟩

+ℏ√

(j2 ∓m2 + 1))(j2 ±m2)T(k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2 ∓ 1|jm⟩]

=∑q1m2

[T (k1)q1

|j2m2⟩J1∓|k1q1, j2m2⟩)†|jm⟩+ T (k1)q1

|j2m2⟩(J2∓|k1q1, j2m2⟩)†jm⟩]

=∑q1m2

T (k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2|(J1± + J2±))|jm⟩

=∑q1m2

T (k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2|J±|jm⟩

= ℏ√

(j ∓m)(j ±m+ 1)∑q1m2

T (k1)q1

|j2m2⟩⟨k1q1, j2m2|jm± 1⟩

= ℏ√

(j ∓m)(j ±m+ 1)|jm⟩′

となる。9 10 すなわち |jm⟩′ も角運動量の固有状態となる。9

ℏ√(j ±m)(j ∓m+ 1)|jm∓ 1⟩ = J∓|jm⟩

10尚途中の変形には 2つの角運動量があたらかも存在するような計算を行ったが、前後をみればこれはクレブシュ・ゴルダン係数に関する関係式を与えるにすぎないので今の場合にも正しい変形となる。


ここでクレブシュ・ゴルダン係数の直交性から逆に解いて

|Ωk1j2q1,m2

⟩ =∑jm

|jm⟩′⟨jm|k1q1, j2m2⟩

これと |j′m′⟩ との内積をとれば

⟨j′m′|Ωk1j2q1,m2

⟩ = ⟨j′m′|T (k1)q1

|j2m2⟩

=∑jm

⟨j′m′|jm⟩′⟨jm|k1q1, j2m2⟩

=∑jm

δjj′δmm′⟨jm|jm⟩′⟨jm|k1q1, j2m2⟩

= ⟨j′m′|j′m′⟩′⟨j′m′|k1q1, j2m2⟩

書き直して

⟨jm|Ωk1j2q1,m2

⟩ = ⟨jm|jm⟩′⟨jm|k1q1, j2m2⟩

さらに ⟨jm|jm⟩′ はmに依らないことは次の変形でわかる

⟨jm− 1|jm− 1⟩′ =1√

ℏ(j +m)(j −m+ 1)⟨jm− 1|J−|jm⟩′

=1√

ℏ(j +m)(j −m+ 1)(J+|jm− 1⟩)†|jm⟩′

= (|jm⟩)†|jm⟩′

= ⟨jm|jm⟩′

そこで

⟨jm|jm⟩′ =⟨j∥T k1

q1∥j⟩

√2j + 1

と書いて分子を還元行列要素とする。この時、上関係式より

⟨jm|T (k1)q1

|j2m2⟩ = ⟨jm|jm⟩′⟨jm|k1q1, j2m2⟩

=⟨j∥T (k1)

q1 ∥j2⟩√2j + 1

⟨jm|k1q1, j2m2⟩

よりこのように行列要素が幾何学的なmに依存するクレブシュ・ゴルダン係数とそれ以外に分かれることをウィグナー・エッカートの定理という。


これより計算しやすいm0,m02 に対して行列要素を計算することで

⟨jm0|T (k1)q1

|j2m02⟩ =

⟨j∥T (k1)q1 ∥j2⟩√2j + 1

⟨jm0|k1q1, j2m02⟩

から

⟨j∥T (k1)q1 ∥j2⟩√2j + 1

=⟨jm0|T (k1)

q1 |j2m02⟩

⟨jm0|k1q1, j2m02⟩

と還元行列要素を決定すれば任意の m,m2 に対して

⟨jm|T (k1)q1

|j2m2⟩ =⟨j∥T (k1)

q1 ∥j2⟩√2j + 1

⟨jm|k1q1, j2m2⟩

とCG係数のみで任意の行列要素が決定できることとなる。すぐに導かれるしかし重要な帰結としてスカラー演算子 OS に対して

⟨jm|OS|j′m′⟩ = 0, j − j = 0

ベクトル演算子 OV に対して

⟨jm|OV |j′m′⟩ = 0, j − j′ = 0,±1

第3章回転群とその表現

以下この節では ℏ = 1 とする。

3.1 連続群としての回転群

3.1.1 回転操作の作る群

以前の議論に従えば，回転とは次の座標変換として定義される。

r 7→ r′ = Rr

ここで行列R(回転行列)は

R ∈ SO(3)

RR = E3

detR = 1

であり、

|r′| = |r|

つまり、回転とは長さを変えない変換である。なお、ベクトル演算子としての座標 r は回転操作によって次のように変換されることにも注意しよう。

r′ = Rr

(x′, y′, z′) = (x, y, z)R

ここで、一般に回転行列は次の関係式を満たす。

det(R− E3) = det(R− E3) = det(R−1 − E3) = detR−1 det(E3 −R) = − det(R− E3)

79

80 — 量子力学３: 回転群の基礎 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日)

図 3.1: 回転の合成 (犬井-田辺-小野寺、応用群論より)

よって det(R− E3) = 0 であり、以下のような v が存在する

Rv = v

つまり v 上の点は回転で不変、つまり v は回転軸となる。よって、以後回転を回転軸vと回転角 α でRα(v) と表現しよう。ここでまず v1軸周りにα回転、続いて v2 軸周りに β 回転することを考えよう。

R = Rβ(v2)Rα(v1) とすれば

RR = RαRβRβRα = E3

detR = detRβ detRα = 1

であるからこれも回転となるが、その回転角と中心は図の v3と γ となる。ここで一連の対称操作Rに対して以下の関係式が成り立つとき、対称操作は群を作ると呼ぶ。

• 積について閉じている

R2R1 = ∃R

• 結合律

(R3R2)(R1) = R3(R2R1)

— 量子力学３: 回転群の基礎 — 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日) 81

• 単位元の存在

R∃e = ∃eR = R

• 逆元の存在

R∃R−1 = ∃R−1R = e

よって回転操作は群をつくる。これを回転群と呼ぶ。この群はここで説明したように回転軸と回転角という連続なパラメターでラベルされるが、このような連続パラメターによりラベルされる群を連続群とよぶ。回転を回転軸 vと回転角 |v| で R(v) と表せば回転軸は回転により不変だから

R(v)v = v よって、任意の回転 Q に対して

QR(v)Q−1 ·Qv = Qv

より回転R′ = QRQ−1はベクトル Qv を動かさない。つまり回転R′ の軸はQv である。またQRQ−1 は基底変換ともみることができるのでRとR′ = QRQ−1 の回転角は等しい。また、QはRの軸をR′ の軸に移す回転ともいえる。このような

R′ = QRQ−1

のような関係にある対称操作RとR′ は同じ class(類)に属すると呼ぶ。

3.1.2 オイラー角による回転の表示

一般の回転Rを次のような回転の合成として考える。

1. z軸周りの角度 αの回転 Rα(z)。座標軸は (x1, y1, z1 = z),へ。

2. 続いて新しい y1軸周りの角度 βの回転Rβ(y1)。座標軸は (x2, y2 = y1, z2)へ。

Rβ(y1) = Rα(z)Rβ(y)[Rα(z)]−1

3. 続いてさらに新しい z2軸周りの角度 γの回転Rγ(z2)

Rγ(z2) = Rβ(y1)Rγ(z1)[Rβ(y1)]−1

ここで

Rγ(z1) = Rα(z)Rγ(z)[Rα(z)]−1 = Rγ(z)


図 3.2: オイラー角 (犬井-田辺-小野寺、応用群論より)

よって

R(α, β, γ) = Rγ(z2)Rβ(y1)Rα(z)

= Rγ(z2) ·Rβ(y1) ·Rα(z)

= [Rβ(y1)Rγ(z1)[Rβ(y1)]−1] ·Rβ(y1) ·Rα(z)

= Rβ(y1)Rγ(z1) ·Rα(z)

= Rα(z)Rβ(y)[Rα(z)]−1 ·Rγ(z) ·Rα(z)

= Rα(z)Rβ(y)Rγ(z)

これをオイラー角α, β, γ による回転の表示とよぶ。変域は

0 ≤ α < 2π

0 ≤ β < 2π

0 ≤ γ < 2π

前節までの議論に従って n 軸周りの角度 θ の回転Rθ(n)に対応するユニタリ変換、角運動量演算子を用いて

Rθ(n) = e−in·J


と書ける。これからオイラー角による一般の回転 (に対応するユニタリ変換)を次のように書く。

R(α, β, γ) = e−iJzαe−iJyβe−iJzγ

これら回転操作は群を作り、それぞれが連続なパラメターn, θ およびα, β,γ 等により決まる。このような群を連続群とよぶ。次節では対称操作が群を作ることの量子力学における意味を少し一般的にまとめてみよう。

3.1.3 対称性の作る群とその表現

ここで回転操作など一般の対称操作をR と書けば、前の議論に従って

ψ(r) 7→ Rψ(r) = ψ(R−1r)

であったが、これを少し一般化して

ψ 7→ ψR = Rψ

|ψ⟩ 7→ R|ψ⟩

と書こう。以下、この変換は全空間での確率を保存しユニタリとする。

⟨ψR|ψR⟩ = ⟨ψ|R†R|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩R†R = 1

関連して演算子 O は変換後と前が同じになるよう定めるとして

⟨ψR|OR|ψR⟩ = ⟨ψ|R†ORR|ψ⟩ = ⟨ψ|O|ψ⟩

より

OR = ROR† = ROR−1

となる。特にハミルトニアン H がこの変換で不変なら

RHR−1 = H

[H,R] = 0


とハミルトニアンはRと可換となる。この時、一般にハミルトニアンの固有値Eが d重に縮退しているとすれば、

H|ψi⟩ = |ψi⟩E, i = 1, · · · , d

と書こう。これにユニタリ変換Rを作用させれば

RH|ψi⟩ = HR|ψi⟩ = R|ψi⟩E

つまりR|ψi⟩ も同じエネルギーの固有状態となるから、次のように |ψi⟩ の線形結合として書けるはずである。

R|ψi⟩ = |ψj⟩Dji(R)

ここで線形結合の係数は対称操作 R に依存するはずであるからDji(R) と書いた。これを

ψ = (|ψ1⟩, · · · , |ψ)d⟩)D(R)ji = Dji(R)

として、つぎのように書こう。

Rψ = ψD(R)

なお、R がユニタリであるから

(Rψ)† = ψ†R† = D†ψ†

ψ†R†Rψ = ψ†ψ = Ed = D†ψ†ψD = D†D

とDも d次元のユニタリ行列となる。よって対称操作Rが群をつくり

R21 = R2R1

とすれば

R21ψ = R2R1ψ = R2ψD(R1) = ψD(R2)D(R3)

= ψD(R21)

となる。これは群の操作 R ごとに定まる d 次元のユニタリ行列D(R)が

D(R2R1) = D(R2)D(R1)

を満たすことを意味する。この関係を D(R) がR の d次元表現を作り、ψ がその基底となると言う。または、ψ がR の d次元表現D(R) に従って変換すると表現する。少し一般にいえば、対称操作が群をつくり、基底の変換則を定める行列D(R)がその群の表現を与えるのである。


3.1.4 回転群の表現としての角運動量の基底関数

一般に回転操作R = e−iθn·J に対して

Rψ = ψD

となるが、特に無限小変換R = 1− iθn ·J に対してその変換行列つまり回転群の表現は基底とJの行列要素を与えることで定まる。関して、今までの議論に従って

Jz|ψm⟩ = m|ψm⟩J±|ψm⟩ =

√(j ∓m)(j ±m+ 1)|ψm±1⟩

となるが、これは

Jzψ = ψDj(Jz), Jz|ψm⟩ = |ψm′⟩Djm′m(Jz)

J±ψ = ψDj(J±), J±|ψm⟩ = |ψm′⟩Djm′m(J±)

と書いたとき

Djm′m(Jz) = δm′mm

Djm′m(J±) = δm′,m±1

√(j ∓m)(j ±m+ 1))

となることを意味する。この表現を回転群のスピン j表現という。勿論この表現の次元は 2j + 1である。この時、一般の回転角の回転群の元をオイラー角によりR(α, β, γ) = e−iJzγe−iJyβe−iJzα

と書けば

R(α, β, γ)ψm = ψm′ [Dj(R(α, β, γ))]m′m

⟨jm′|R|jm⟩ = ⟨jm′|e−iJzαe−iJyβe−iJzγ|jm⟩= e−im′γ⟨jm′|e−iJyβ|jm⟩e−imα

= [Dj(R(α, β, γ))]m′m

非自明なのは Jy からの寄与だから α = γ = 0 として

[Dj(R(α, β, γ))]m′m = e−im′αdjm′me−imγ

djm′m = ⟨jm′|e−iJyβ|jm⟩

以下の節で、この djm′m を決定しよう。その前に、角運動量の合成の回転群としての意義をすこしまとめておこう。


3.1.5 クレブシュ・ゴルダン係数と角運動量

スピン j表現の基底 ψjとして

ψj = (|j,−j⟩, |j,−j + 1⟩, · · · , |j, j⟩)Rψj = ψjDj(R)

クレブシュ・ゴルダン係数をつかって

|j1m1, j2m2⟩ = |jm⟩⟨jm|j1m1, j2m2⟩

に回転を作用させれば

R|j1m1, j2m2⟩ = |j1m′1, j2m

′2⟩D

j1m′

1m1Dj2

m′2m2

= |jm′⟩Djm′m⟨jm|j1m1, j2m2⟩

よって

Dj1m′

1m1Dj2

m′2m2

= ⟨j1m′1, j2m

′2|jm′⟩Dj

m′m⟨jm|j1m1, j2m2⟩

CG係数の対称性よりこれは以下の様にも書ける。

Dj1m′

1m1Dj2

m′2m2

= ⟨jm′|j1m′1, j2m

′2⟩⟨jm|j1m1, j2m2⟩Dj

m′m

= ⟨j1m′1, j2m

′2|jm′⟩⟨j1m1, j2m2|jm⟩Dj

m′m


3.2 シュウィンガーボゾンによる回転群の記述J. Schwinger “On angular momentum” p.229 in Quantum theory of angular

momentum Ed. L. C. Biedenharn and nad H. van Dam, Academic press (1965)

参照。

3.2.1 シュウィンガーBosonよる角運動量

シュウィンガーに従って 2種類の独立なBoson a± を導入する。

[aζ , a†ζ′ ] = δζζ′ ,

[aζ , aζ′ ] = 0, [a†ζ , a†ζ′ ] = 0

ここで a =

(a+a−

)として次の全粒子数 nと角運動量 J を導入する。

n = n+ + n− = a†a

= a†ζaζ = a†+a+ − a†−a−

J =1

2a†σa,

J+ = Jx + iJy = a†+a−

J− = Jx − iJy = a†+a+

Jz =1

2(n+ − n−)


この交換関係は i = j として

[Ji, Jj] =1

4[a†α(σi)αβaβ, a

†γ(σj)γδaδ]

=1

4

[a†α(σi)αβ[aβ, a

†γ](σj)γδaδ + a†γ(σj)γδ[a

†α, aδ](σi)αβaβ

]=

1

4

[a†α(σi)αβδβγ(σj)γδaδ − a†γ(σj)γδδαδ(σi)αβaβ

]=

1

4

[a†α(σi)αβ(σj)βδaδ − a†γ(σj)γα(σi)αβaβ

]=

1

4

[a†α(σiσj)αδaδ − a†γ(σjσi)γβaβ

]=

1

4a†(σiσj − σjσi)a

=1

2iϵijka

†σka

= iϵijkJk

と確かに角運動量の交換関係をみたす。続いて J2 を計算しよう。

J2 =1

2(J+J− + J−J+) + J2

z

=1

2(a†+a−a

†−a+ + a†−a+a

†+a−) +

1

4(n+ − n−)

2

=1

2

(n+(n− + 1) + n−(n+ + 1)

)+

1

4

((n+ + n−)

2 − 4n+n−)

=1

2n+

1

4n2 =

1

2n(

1

2n+ 1)

ここでS = σ/2から

σ1 · σ2 = 2(σ1+σ2− + σ1−σ2+) + σ1zσ2z

σ1 · σ2| ± ±⟩ = | ± ±⟩σ1 · σ2| ± ∓⟩ = 2| ∓ ±⟩ − | ± ∓⟩

よって

(1 + σ1 · σ2)| ± ±⟩) = 2| ± ±⟩ = 2P12| ± ±⟩(1 + σ1 · σ2)| ± ∓⟩ = 2| ∓ ±⟩ = 2P12| ± ∓⟩

ここで P12は置換演算子

P12|ij⟩ = |ji⟩


である。よって

σ1 · σ2 = 2P12 − 1

(σ1)αβ(σ2)γδ = 2δαδδβγ − δαβδγδ

これを使えば

J2 =1

4a†α(σ1)αβ(σ2)γδaβa

†γ(σ2)γδ(σ2)δaδ

=1

4(2δαδδβγ − δαβδγδ)a

†αaβa

†γaδ

=1

2a†αaβa

†βaα − 1

4a†αaαa

†γaγ

=1

2a†αaβ(aαa

†β + δαβ)−

1

4n2

=1

2n(n+ 1)− 1

4n2 =

1

2n(

1

2n+ 1)

これはまた、よって j,m を次のように定義すれば

J2 = j(j + 1)

j =1

2n =

1

2(n+ + n−)

m =1

2(n+ − n−)

n+ = j +m

n− = j −m

j, m の固有状態は以下の様になる。

|jm⟩ = |n+n−⟩

=1√

n+!n−!(a†+)

n+(a†−)n−|0⟩

=1

[(j +m)(j −m)]1/2(a†+)

n+(a†−)n−|0⟩


3.2.2 回転群の表現行列

これを用いて回転群の表現行列Djm′m および djm′m を求めよう。まず、

e−iJyβ|jm⟩ =1

[(j +m)(j −m)]1/2e−iJyβ(a†+)

n+(a†−)n−|0⟩

=1

[(j +m)(j −m)]1/2(e−iJyβa†+e

+iJyβ)n+(e−iJyβa†−e+iJyβ)n−e−iJyβ|0⟩

=1

[(j +m)(j −m)]1/2(e−iJyβa†+e

+iJyβ)n+(e−iJyβa†−e+iJyβ)n−|0⟩

一般に |n| = 1 なるベクトルn に対して

n · σ = P+ − P−

P± =1

2(E2 ± n · σ)

P 2± = P± = P †

±

P+ + P− = E2

P+P− = 0

規格直交化された固有ベクトル ψ± で射影演算子を

P± = ψ±ψ†±

と書けば

U = (ψ+, ψ−)

に対して

(n · σ)U = Udiag (+1,−1)

よって

a′ =

(a′+a′−

)= U †a, a = Ua′

として

[a′α, (a′β)

†] = δαβ

と通常のボゾンであり、


n · J = a†n · σ2

a

=1

2(n′

+ − n′−)

n′± = a′

†±a

′±

これから e−iθa†aae+iθa†a = eiθa に注意して

e−iθn·Jaeiθn·J = Ue−iθn·Ja′eiθn·J

= Udiag (eiθ2 , e−i θ

2 )a′

= Udiag (eiθ2 , e−i θ

2 )U †a

= (ψ+, ψ−)diag (eiθ2 , e−i θ

2 )

(ψ†+

ψ†−

)a

= (eiθ2P+ + e−i θ

2P−)a

=1

2(ei

θ2 (E2 + (n · σ)) + e−i θ

2 (E2 − (n · σ)))a

= (E2 cosθ

2+ in · σ sin

θ

2)a

よってn =

010

としてe−iβJyaeiβJy = e−iβJy

(a+a−

)eiβJy =

[cos β

2sin β

2

− sin β2

cos β2

](a+a−

)

=

(a+ cos β

2+ a− sin β

2

−a+ sin β2+ a− cos β

2

)


よって n+ = j +m, n− = j −m に注意して

e−iJyβ|jm⟩ =1

[(j +m)(j −m)]1/2(a†+ cos

β

2+ a†− sin

β

2)n+(−a†+ sin

β

2+ a†− cos

β

2)n−|0⟩

=1

[(j +m)(j −m)]1/2

∑kℓ

(n+

k

)(n−

ℓ

)

×(a†+)n+−k(a†−)

k cosn+−k β

2sink β

2

×(a†+)n−−ℓ(a†−)

ℓ(−)n−−ℓ sinn−−ℓ β

2cosℓ

β

2

=1

[(j +m)(j −m)]1/2

∑kℓ

(j +m

k

)(j −m

ℓ

)(−)j−m−ℓ

×(a†+)2j−k−ℓ(a†−)

k+ℓ cosj+m−k+ℓ β

2sinj−m−ℓ+k β

2

これと ⟨jm′| との行列要素は a†+が n+ = j +m′個, a†− が n− = j −m′の項から得られることに注意すれば

2j − k − ℓ = j +m′,→ j − k − ℓ = m′

k + ℓ = j −m′

まとめて ℓ = j − k−m′であれば、これらは両立するので、この関係式を用いて ℓ

を消去する。よって、まず各項のべきを求めれば

2j − k − ℓ = 2j − k − j + k +m′ = j +m′

k + ℓ = j −m′

j −m− ℓ = j −m− j + k +m′ = k −m+m′

j +m− k + ℓ = j +m− k + j − k −m′ = 2j − 2k +m−m′

j −m− ℓ+ k = j −m+ k − j + k +m′ = 2k −m+m′


最後に規格化に注意すれば

djm′m = ⟨jm′|e−iJyβ|jm⟩

=1

[(j +m)(j −m)]1/2

∑kℓ

(−)k−m+m′

(j +m

k

)(j −m

j − k −m′

)√(j +m′)!(j −m′)!

× cos2j−2k+m−m′ β

2sin2k−m+m′ β

2

=∑k

(−)k−m+m′

√(j +m)!(j −m)!(j +m′)!(j −m′)!

(j +m− k)!k!(k −m+m′)!(j − k −m′)!

× cos2j−2k+m−m′ β

2sin2k−m+m′ β

2

3.2.3 j = 1/2の回転行列

まず j = 1/2 のときは、

d1/212, 12

=0∑

k=0

(−)k

√(12+ 1

2)!(1

2− 1

2)!(1

2+ 1

2)!(1

2− 1

2)!

(12+ 1

2− k)!k!(k − 1

2+ 1

2)!(1

2− k − 1

2)!cos1−2k+ 1

2− 1

2β

2sin2k− 1

2+ 1

2β

2

= cosβ

2

d1/212,− 1

2

=0∑

k=0

(−)k+1

√(12− 1

2)!(1

2+ 1

2)!(1

2+ 1

2)!(1

2− 1

2)!

(12− 1

2− k)!k!(k + 1

2+ 1

2)!(1

2− k − 1

2)!cos1−2k− 1

2− 1

2β

2sin2k+ 1

2+ 1

2β

2

= − sinβ

2

d1/2

− 12, 12

=1∑

k=1

(−)k−1

√(12+ 1

2)!(1

2− 1

2)!(1

2− 1

2)!(1

2+ 1

2)!

(12+ 1

2− k)!k!(k − 1

2− 1

2)!(1

2− k + 1

2)!cos1−2k+ 1

2+ 1

2β

2sin2k− 1

2− 1

2β

2

= sinβ

2

d1/2

− 12,− 1

2

=0∑

k=0

(−)k

√(12− 1

2)!(1

2+ 1

2)!(1

2− 1

2)!(1

2+ 1

2)!

(12− 1

2− k)!k!(k + 1

2− 1

2)!(1

2− k + 1

2)!cos1−2k− 1

2+ 1

2β

2sin2k+ 1

2− 1

2β

2

= cosβ

2


d1/2 =

(cos β

2− sin β

2

sin β2

cos β2

)

D1/2 =

(e−i 1

2α 0

0 ei12α

)(cos β

2− sin β

2

sin β2

cos β2

)(e−i 1

2γ 0

0 ei12γ

)

=

(e−i 1

2(α+γ) cos β

2−e−i 1

2(α−γ) sin β

2

ei12(α−γ) sin β

2ei

12(α+γ) cos β

2

)= e−i γ

2σze−iβ

2σye−iα

2σz

であることに注意すれば、n 軸周りの θ 回転は

D1/2 = u(n, θ)

= e−i θ2n·σ = E2 cos

θ

2− in · σ sin

θ

2∈ SU(2)

に対応する。これは、このユニタリ表現であるから、

[D1/2]−1 = [D1/2)]†

であり、さらに

detD1/2 = 1

である。よって、この行列の作る群は SU(2) と呼ばれる。また、この行列は複素数 a, b ∈ C に対して

D1/2 =

(a b

−b∗ a∗

)1 = |a|2 + |b|2

とも書ける (ケーリー・クラインパラメター)。なお

a = e−i 12(α+γ) cos

β

2

b = −e−i 12(α−γ) sin

β

2

であり、0 ≤ β/2 ≤ π/2から

0 ≤ cos β/2, sin β/2 ≤ 1


であるが、a = b = −1 を表現するには

0 ≤ α < 2π

0 ≤ γ < 2π

では不可能で

0 ≤ α < 2π

0 ≤ γ < 4π

とする必要がある。オイラー角による回転としては同じ回転を 2種類に表すことに注意しよう。つまり

SO(3) SU(2)

の対応は 1対 2である。これを j = 1/2 の時の表現は 2価であるといいこの表現を2価表現という。また、4つの実数をReα = x1, Imα = x2, Re β = x3, Im β = x4 とすれば

x21 + x22 + x23 + x24 = 1

となり、(x1, x2, x3, x4)は 4次元空間内の 3次元球面 S3 をつくる。つまり SU(2) ∼=S3である。これは 2次元平面内の単位円 (1次元球面)S1

z = eiθ

|z|2 = 1

が U(1) と同相なことに対応する U(1) ∼= S1。

3.2.4 j = ℓ = 0, 1, 2, · · · の回転行列と球面調和関数

次に j = ℓをゼロ以上の整数としたとき、m = 0, m′ =M と書いて

dℓM0 =∑k

(−)k+M

√ℓ!ℓ!(ℓ+M)!(ℓ−M)!

(ℓ− k)!k!(k +M)!(ℓ− k −M)!cos2ℓ−2k−M β

2sin2k+M β

2

DℓM0(αβγ) = e−iMα

∑k

(−)k+M

√ℓ!ℓ!(ℓ+M)!(ℓ−M)!

(ℓ− k)!k!(k +M)!(ℓ− k −M)!cos2ℓ−2k−M β

2sin2k+M β

2


特にM = ℓ とすれば

Dℓℓ0 = e−iMα

∑k=0

(−)k+ℓ

√ℓ!ℓ!(2ℓ)!0!

(ℓ− k)!k!(k + ℓ)!(ℓ− k − ℓ)!cosℓ−2k β

2sin2k+ℓ β

2

= e−iℓα(−)ℓ√ℓ!ℓ!(2ℓ)!0!

ℓ!0!ℓ!0!cosℓ

β

2sinℓ β

2

= (−)ℓe−iℓα

√(2ℓ)!

2ℓℓ!sinℓ β

これを球面調和関数 Yℓmの定義とくらべると

Yℓℓ(β, α) =

√2ℓ+ 1

4π[Dℓ

ℓ0(α, β)]∗

となる。一般にオイラー角 (α0, β0, γ0) により指定される回転R(α0, β0, γ0) とオイラー角

(α, β, γ) により指定される回転R(α, β, γ) を考え，回転Q を以下の様に定める

Q−1R(α, β, γ) = R(α0, β0, γ0)

つまり、オイラー角 (α0, β0, γ0) により指定される回転に引き続いて回転Q を行うことがオイラー角 (α, β, γ) で指定される回転となるような回転である。このとき z をR(α, β, γ)で回転した点の関数をψ(R(α, β, γ)z)として、定義から

Qψ(R(α, β, γ)z) = ψ(Q−1R(α, β, γ)z) = ψ(R(α0, β0, γ0)z)

となる。ここでN は任意として

ψM(R(α, β, γ)z) ≡ [DℓMN(R(α, β, γ))]

∗

とすると、これは表現Dℓ の基底となることが次のようにして示せる。

QψM(R(α, β, γ)z) = ψM(R(α0, β0, γ0)z)

= [DℓMN(R(α0, β0, γ0))]

∗

= [DℓMN(Q

−1R(α, β, γ))]∗

= [DℓMK(Q

−1)]∗[DℓKN(R(α, β, γ))]

∗

= [[Dℓ(Q)]†]∗MK [DℓKN(R(α, β, γ))]

∗

= [DℓKN(R(α, β, γ))]

∗DℓKM(Q)

= ψK(R(α, β, γ)z)DℓKM(Q)


よって Yℓℓ での考察から規格化定数も含めて、N = 0として

Yℓm(β, α) = Yℓm(R(α, β, 0)z)

=

√2ℓ+ 1

4π[Dℓ

m0(α, β)]∗

=

√2ℓ+ 1

4π

∑k

(−)k+m ℓ!√(ℓ+m)!(ℓ−m)!

(ℓ− k)!k!(k +m)!(ℓ− k −m)!

× cos2ℓ−2k−m β

2sin2k+m β

2e+imα

特に Yℓ0(β, α) =√

2ℓ+14πPℓ(cos β) だから

Dℓℓ0(R(α, β, γ) = Pℓ(cos β)

応用上重要な公式なのでまとめよう。球面調和関数と回転群の行列要素 Yℓm(β, α) =

√2ℓ+ 1

4π[Dℓ

m0(α, β)]∗

Pℓ(cos β) = Dℓℓ0(R(α, β, γ)

更に、これに対してCG係数と回転の以下の関係式を使うと

Dj1m′

1m1Dj2

m′2m2

= ⟨jm′|j1m′1, j2m

′2⟩⟨jm|j1m1, j2m2⟩Dj

m′m

j1 = ℓ1,j2 = ℓ2,j = ℓ m1 = m2 = 0として

[Dℓ1m′

10Dℓ2

m′10]∗ = ⟨ℓm′|ℓ1m′

1, ℓ2m′2⟩⟨ℓm|ℓ10, j20⟩[Dℓ

m′m]∗

= ⟨ℓm′|ℓ1m′1, ℓ2m

′2⟩⟨ℓ0|ℓ10, j20⟩[Dℓ

m′0]∗

これを球面調和関数で書いて

4π√(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1)

Yℓ1m′1Yℓ2m′

2= ⟨ℓm′|ℓ1m′

1, ℓ2m′2⟩⟨ℓ0|ℓ10, j20⟩

√4π√

2ℓ+ 1Yℓm′

′ をとって整理すれば

Yℓ1m1Yℓ2m2 =

√(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1)

4π(2ℓ+ 1)⟨ℓm|ℓ1m1, ℓ2m2⟩⟨ℓ0|ℓ10, j20⟩Yℓm


よって球面調和関数の直交性より3つの球面調和関数の積の積分

∫dΩY ∗

ℓm(Ω)Yℓ1m1(Ω)Yℓ2m2(Ω)

=

[√(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1)

4π(2ℓ+ 1)⟨ℓ0|ℓ10, j20⟩

]⟨ℓm|ℓ1m1, ℓ2m2⟩

この

[· · ·]部分はm1,m2,m によらず、m1,m2,m 依存性は CG係数のみで定

まる。次にオイラー角 (ϕ0, θ0, 0), (ϕ1, θ1, 0) に対応する回転をR0, R1 とし

R−10 R1 = R2

に対応するオイラー角を (Φ,Θ,Γ) としよう。この時、

Dℓ00(R

−10 R1) =

∑m

Dℓ0m(R

−10 )Dℓ

m0(R1) =∑m

[Dℓm0(R0)]

∗Dℓm0(R1) = Dℓ

00(R2)

より

4π

2ℓ+ 1

∑m

Yℓm(θ0, ϕ0)Y∗ℓm(θ1, ϕ1) = Pℓ(cosΘ)

なお

z0 = R0z, z1 = R1z, z2 = R2z

として

R1z = R0R2z

より

z0 = R0z

z1 = R0z2

であるから z0 と z1 とのなす角は z と z2 のなす角に等しく、これは Θ である。ここで z0 と z1 はそれぞれ (θ0, ϕ0), (θ1, ϕ1) で指定されていることに注意すればΘ は方向 (θ0, ϕ0)と (θ1, ϕ1)とのなす角である。これが球面調和関数の加法定理である。


球面調和関数の加法定理 4π

2ℓ+ 1

∑m

Yℓm(Ω)Y∗ℓm(Ω

′) = Pℓ(Ω · Ω′)

3.2.5 多重極展開

上述の加法定理が重要な役割をはたす多重極展開についてこの節でまとめよう。まずルジャンドル関数に関する次のロドリゲスの公式を複素関数論のグルサの定理を用いて書き直そう。1

Pℓ(t) =1

2ℓℓ!

dℓ

dtℓ(t2 − 1)ℓ =

1

2ℓℓ!

ℓ!

2πi

∫C

dξ(ξ2 − 1)ℓ

(ξ − t)ℓ+1

=1

2πi

∫Ct

dξ

[ξ2 − 1

2(ξ − t)

]ℓ1

ξ − t

C+t は tを正にまわる十分小さな積分路である。ここで

1

ζ=

ξ2 − 1

2(ξ − t)とすれば 2 逆

に解いて

ξ =1±R

ζ

R =√

1− 2tζ + ζ2)

ここで ζ → 0の時

R → 1− tζ +1

2ζ2, ξ →

1± (1− tζ + 12ζ2)

ζ1コーシーの積分定理よりある関数 f(z) が複素平面上正則な領域内 zを正の向きに囲む閉曲線

C+z に対して

f(z) =1

2πi

∫C+

z

dξf(ξ)

ξ − z

これを n回微分して

f (n)(z) =n!

2πi

∫C+

z

ξf(ξ)

(ξ − z)n+1

これをグルサの定理と呼ぶ。2

ζξ2 − ζ = 2ξ − 2t, ζξ2 − 2ξ + 2t− ζ = 0, ξ = (1±√1− 2tζ + ζ2)/ζ


だから

ξ =1−R

ζ

の分枝をとれば ζ → 0 の時 ξ → t− 12ζ。よって ζ平面の C+

0 は ξ平面の C+t に写

る。また、1−R = ξζに注意して

dξ =−dζζ2

(1−R)− 1

ζ

−2t+ 2ζ

2Rdζ =

−R +R2 + tζ − ζ2

ζ2Rdζ

=−R− tζ + 1

ζ2Rdζ =

ξ − t

ζRdζ

よって

Pℓ(t) =1

2πi

∫C+

0

dζ1

Rζℓ+1=

1

ℓ!

dℓ

dζℓ1

R

∣∣∣∣ζ=0

=1

ℓ!

dℓ

dζℓ1√

1− 2tζ + ζ2

∣∣∣∣ζ=0

これは 1Rを ζ = 0 の周りでテイラー展開するとみれば

1

R=

1√1− 2tζ + ζ2

=∞∑ℓ=0

Pℓ(t)ζℓ

これをルジャンドル関数の母関数展開と呼ぶ。これを用いて

1

|r − r′|=

1√r2 − r′2 − 2r · r′

=1

r>

1√1− 2( r<

r>) cos θ + ( r<

r>)2

=∞∑ℓ=0

rℓ<rℓ+1>

Pℓ(cos θ)

ここで r と r′ がなす角の大きさが θ であり、r> は |r| と |r′| の大きい方 r< は小さい方である。さらにここで球面調和関数の加法定理を使えば

1

|r − r′|= 4π

∑ℓm

1

2ℓ+ 1

rℓ<rℓ+1>

Yℓm(Ω)Y ∗ℓm(Ω

′)

ここで局所的な電荷分布 ρ(r) が十分遠方に作る静電ポテンシャルを ϕ(r) とすれば

ϕ(r) =1

4πϵ0

∫d3r′

ρ(r′)

|r − r′|


ただし ρ(r) = 0, |r| >∃ R。これに上記の展開を使えば r< = r′, r> = r ととれて 3

多重極展開 ϕ(r) =

1

4πϵ0

∑ℓm

4π

2ℓ+ 1

qℓmrℓ+1

Yℓm(r)

qℓm =

∫d3r′ (r′)ℓρ(r′)Y ∗

ℓm(r′)

これを多重極展開と呼び、qℓm は多重極子と呼ばれる。

3.2.6 生成母関数と上昇下降演算子

スピノル x =

(x+x−

)に対して

ϕjm(x) ≡ xj+m+ xj−m

−√(j +m)!(j −m)!

とすれば

|jm⟩ = ϕjm(a†)|0⟩

よって

j∑m=−j

ϕjm(x)|jm⟩ =

j∑m=−j

ϕjm(x)ϕjm(a†)|0⟩ =

j∑m=−j

(a†+x+)j+m(a†−x−)

j−m

(j +m)!(j −m)!|0⟩

=1

(2j)!(a†+x+ + a†−x−)

2j|0⟩

=(a†x)2j

(2j)!|0⟩

3

ϕ(r) =1

4πϵ0

∫d3r′ρ(r′)r′

∑Y ∗ℓm(r′)

4π

2ℓ+ 1

1

rℓ+1Yℓm(r)

=1

4πϵ0

∑ℓm

4π

2ℓ+ 1

qℓmrℓ+1

Yℓm(r)

qℓm =

∫d3r′ (r′)ℓρ(r′)Y ∗

ℓm(r′)


これから

e(a†x)|0⟩ =

∑jm

ϕjm(x)|jm⟩

つづいて af(a†)|0⟩ = ∂∂a†f(a†)|0⟩ に注意して (ea∂f(x) = f(x+ a))∑

jm

ϕjm(x)eλJ+ |jm⟩ = eλa

†+a−

∑jm

ϕjm(x)|jm⟩

= eλa†+a−e(a

†x)|0⟩

= eλa†+

∂

∂a†− e(a

†x)|0⟩= ea

†+x++(λa†++a†−)x−|0⟩

= ea†+(x++λx−)+a†−x−|0⟩

= ϕjm((x+ + λx−, x−))|jm⟩

よって

⟨jm|∑j′m′

eλJ+ |j′m′⟩ϕj′m′(x) = ϕjm(x+ + λx−, x−)

=(x+ + λx−)

j+mxj−m−√

(j +m)!(j −m)!

=1√

(j +m)!(j −m)!

j+m∑k=0

λk

(j +m

k

)xj+m−k+ xj−m+k

−

=

j∑m′=m−k=−j

λm−m′

(j +m

m−m′

)xj+m′

+ xj−m′

−

=m∑

m′=−j

λm−m′

√(j +m′)!(j −m′)!√(j +m)!(j −m)!

(j +m)!

(m−m′)!(j +m′)!ϕjm′(x)

=m∑

m′=−j

λm−m′

(m−m′)!

√(j +m)!(j −m′)!

(j +m′)!(j −m)!ϕjm′(x)

よって

⟨jm|Jm−m′

+ |jm′⟩ =

√(j +m)!(j −m′)!

(j +m′)!(j −m)!, (m ≥ m′)

複素共役をとってm m′ として

⟨jm|Jm′−m− |jm′⟩ =

√(j +m′)!(j −m)!

(j +m)!(j −m′)!, (m′ ≥ m)


3.2.7 シュウィンガーボゾンのSU(2)変換

スピノル x =

(x+x−

)が

x†x = |x+|2 + |x−|2 = 1

を満たすとき、絶対値1と呼べば、これは次の行列のSU(2)のケーリー・クラインパラメターとなる。

u = (x,−iσyx∗) =

(x+ −x∗−x− x∗+

)∈ SU(2)

特に

a′†

= (a′+†, a′−

†)

= a†u

= (a†+x+ + a†−x−,−a†+x

∗− + a†−x

∗+)

としたとき、

[a′α, a′β†] = δαβ

[a′α, a′β] = 0

[a′α†, a′β

†] = 0

とこれも通常のボゾンとなる。なお、一般に 2つのスピノル

x =

(x+x−

), y =

(y+y−

)に対して

(xy) = (yx) = x+y+ + x−y−

[xy] = −[yx] = x+y− − x−y+

とすれば、規格化条件 (xx) = 1 の下で、

a′†

= ((xa†), [x†a†])

と書ける。なお

a = ua′ =

(x+ −x∗−x− x∗+

)((xa†)†

[xa†]†

)


これらを用いた次の関係式に注意しよう。

|jj⟩′ ≡ (xa†)2j√(2j)!

|0⟩

=(a′+

†)2j√(2j)!

|0⟩

=(a†+x+ + a†−x−)

2j√(2j)!

|0⟩

=√

(2j)!∑m

(a†+x+)j+m(a†−x−)

j−m

(j +m)!(j −m)!|0⟩

=√

(2j)!∑m

xj+m+ xj−m

−√(j +m)!(j −m)!

|jm⟩

=√

(2j)!∑m

|jm⟩ϕjm(x)

また、

1 = (2j)!∑m

ϕ∗jm(x)ϕjm(x) =

∑m

(2j)!

(j +m)!(j −m)!|x+|2(j+m)|x−|2(j−m)

= (|x+|2 + |x−|2)2j = x†x

j = 1/2のスピン表現は SO(3)の表現であったから，SO(3) → SU(2) の対応が具体的にあたえられているが、逆に

u = eiθn·S = ei12θn·σ ∈ SU(2)

|n| = 1

に対して

a′†

= a†u

a′ = u†a

a = ua′

だから

J =1

2a†σa

=1

2a′

†σ′a′


ここで

σ′ ≡ uσu†

これは

(σ′α)

2 = E2

また、α = β の時、

σ′ασ

′β = iϵαβγuσγu

†

= iϵαβγσ′γ

さらにσ′ はトレースがゼロの 2× 2 行列なので、

Trσ′ = Truσu† = Tru†uσ = Trσ = 0

パウリ行列の実係数の線形和としてで次のように展開できる。

σ′α = Qαβσβ

Qαβ ∈ R

更に

σ′α, σ

′β = Qαα′Qββ′σα′ , σβ′

= Qαα′Qββ′2δα′β′

= 2QαγQβγ = 2δαβ

よって

QαγQβγ = δαβ

つまり

QQ = E3

これはQが直交行列であることを意味する。更に以下の議論から detQ = 1よって

Q ∈ SO(3)

これは

SU(2) → SO(3)


の対応を示す。更に、

σ′1σ

′2σ

′3 = uσ′

1σ′2σ

′3u

† = uiu† = iE2

また、

σ′1σ

′2σ

′3 = Q1αQ2βQ3γσασβσγ

=∑γ

[ ∑α(=β)

(Q1αQ2α)Q3γσγ +∑α=β

Q1αQ2αQ3γσασβσγ

]=

∑(α,β,γ)=P (123)

Q1αQ2αQ3γσασβσγ

=∑

(α,β,γ)=P (123)

Q1αQ2αQ3γiE2ϵαβγ

= iE2 detQ

よって

detQ = 1

3.2.8 角運動量の合成とウィグナーの 3j記号

2種類のスピノルを作る総計 4つのボソンを使って

J1 =1

2a†σa

J2 =1

2b†σb

とする。ここで

J+ = a†b = (a†b)

J− = b†a = (b†a) = J †+

Jz =1

2(a†a− b†b) = J †

z = na − nb

とすれば、

[J+,J−] = [a†b, b†a] = [a†αbα, b†βaβ] = [a†α, b

†βaβ]bα + a†α[bα, b

†βaβ]

= b†β[a†α, aβ]bα + a†α[bα, b

†β]aβ = −b†b+ a†a = 2Jz

[Jz,J+] =1

2[a†αaα − b†αbα, a

†βbβ] =

1

2

[a†α[aα, a

†β]bβ − a†β[b

†α, bβ]bα

]= a†b = J+

[Jz,J−] = ([J †−,J †

z ])† = ([J+,Jz])

† = −J †+ = −J−


とこれらは角運動量の交換関係を満たす。また、

[J1+,J+] = [a†+a−, a†b] = [a†+a−, a

†−b−] = a†+[a−, a

†−]b− = a†+b−

[J2+,J+] = [b†+b−, a†b] = [b†+b−, a

†+b+] = a†+[b

†+, b+]b− = −a†+b−

よって J = J1 + J2 として

[J+,J+] = 0

([J+,J+])† = [J−, J−] = 0

[J1+,J−] = [a†+a−, b†a] = [a†+a−, b

†+a+] = b†+[a

†+, a+]a− = −b†+a−

[J2+,J+] = [b†+b−, b†a] = [b†+b−, b

†−a−] = b†+[b−, b

†−]a− = −b†+a−

よって

[J+,J−] = 0

([J+,J−])† = [J+, J−] = 0

[J1z,J+] =1

2[na+ − na−, a

†b] =1

2[na+ − na−, a

†+b+ + a†−b−]

=1

2[na+, a

†+b+]−

1

2[na−, a

†−b−] =

1

2(a†+b+ − a†−b−)

[J2z,J+] =1

2[nb+ − nb−, a

†b] =1

2[nb+ − nb−, a

†+b+ + a†−b−]

=1

2[nb+, a

†+b+]−

1

2[nb−, a

†−b−] =

1

2(−a†+b+ + a†−b−)

よって

[Jz,J+] = 0

([Jz,J+])† = −[Jz,J−] = 0

続いて

[Jz,Jz] =1

4[n+ − n−, na − nb] = 0

[J1+,Jz] =1

2[a†+a−, na − nb] =

1

2[a†+a−, a

†+a+ + a†−a−] =

1

2[a†+a−, a

†+a+] +

1

2[a†+a−, a

†−a−]

= =1

2a†+[a

†+, a+]a− +

1

2a†+[a−, a

†−]a− = 0

[J2+,Jz] =1

2[b†+b−, na − nb] = −1

2[b†+b−, b

†+b+ + b†−b−] = −1

2[b†+b−, b

†+b+]−

1

2[b†+b−, b

†−b−]

= =1

2b†+[b

†+, b+]b− +

1

2b†+[b−, b

†−]b− = 0


よって

[J+,Jz] = 0

([J+,Jz])† = −[J−,Jz]) = 0

以上から

[Ji,Jj] = 0

2J1 · J2 =1

2a†αaβb

†γbδ(2δαδδβγ − δαβδγδ)

= a†αaβb†βbα − 1

2a†αaαb

†γbγ

= a†αaβ(bαb†β − δαβ)−

1

2a†αaαb

†γbγ

= a†αbαb†βaβ − na −

1

2nanb

= J+J− − na −1

2nanb

よって

J2 =1

2na(

1

2na + 1) +

1

2nb(

1

2nb + 1) + J+J− − na −

1

2nanb

=1

2(na + nb)− na +

1

4(n2

a + n2b − 2nanb) + J+J−

= −1

2(na − nb)− na +

1

4(na − nb)

2 + J+J−

= J+J− + Jz(Jz − 1)

= J−J+ + Jz(Jz + 1)

一方、J = iσy =

(0 1

−1 0

)として

K+ = a†Jb† = a†+b†− − a†−b

†+ = [a†b†]

K− = K†+ = [ab]

K3 =1

2(a†a+ b†b) + 1 =

1

2(na + nb) + 1 =

1

2n+ 1


として

[K+,K−] = [a†+b†− − a†−b

†+, b−a+ − b+a−]

= [a†+b†−, b−a+]− [a†+b

†−, b+a−]− [a†−b

†+, b−a+] + [a†−b

†+, b+a−]

= [a†+b†−, b−a+] + [a†−b

†+, b+a−]

= b−[a†+, a+]b

†− + a†+[b

†−, b−]a+ + b+[a

†−, a−]b

†+ + a†−[b

†+, b+]a−

= −b−b†− − a†+a+ − b+b†+ − a†−a−

= −(na + nb + 2) = −2Kz

[Kz,K+] =1

2[na + nb, a

†+b

†− − a†−b

†+]

=1

2

[[na, a

†+b

†−] + [nb, a

†+b

†−]− [na, a

†−b

†+]− [nb, a

†−b

†+]

]=

1

2

[[a†+a+, a

†+b

†−] + [b†−b−, a

†+b

†−]− [a†−a−, a

†−b

†+]− [b†+b+, a

†−b

†+]

]=

1

2(a†+b

†− + b†−a

†+ − a†−b

†+ − a†−b

†+) = a†+b− − a†−b+

= K+

[Kz,K−] = −K−

また

K+K− = (a†+b†− − a†−b

†+)(b−a+ − b+a−)

= a†+a+b†−b− − a†−a+b

†+b− − a†+a−b

†−b+ + a†−a−b

†+b+

= nanb − a†+a+b†+b+ − a†−a−b

†−b− − a†−a+b

†+b− − a†+a−b

†−b+

= nanb − a†αaβb†βbα

よって

2J1 · J2 = a†αaβb†βbα − 1

2nanb

= −K+K− +1

2nanb


J2 =1

2na(

1

2na + 1) +

1

2nb(

1

2nb + 1)−K+K− +

1

2nanb

=1

2(na + nb) +

1

4(n2

a + n2b + 2nanb)−K+K−

=1

2n+

1

4(na + nb)

2 −K+K−

=1

2n(

1

2n+ 1)−K+K−

= (Kz − 1)Kz −K+K−

= (Kz + 1)Kz −K−K+

ここで J2, Jz, Jz, Kz は可換なので、その同時固有状態として

J2|jmµν⟩ = j(j + 1)|jmµν⟩Jz|jmµν⟩ = m|jmµν⟩Jz|jmµν⟩ = µ|jmµν⟩Kz|jmµν⟩ = ν|jmµν⟩

としたとき、まず、

µ = j1 − j2

ν = j1 + j2 + 1

逆に

j1 =µ+ ν − 1

2

j2 =−µ+ ν − 1

2

と (j1, j2) (µ, ν) が対応する。ここで、Jzは通常の角運動量であり

−j ≤ µ ≤ j

これより

|j1 − j2| ≤ j


K については K+K− は半正定値だから

−j(j + 1) + ν(ν − 1) ≥ 0

ν ≥ j + 1

j1 + j2 ≥ j

KzK±|jmµν⟩ = (ν ± 1)K±|jmµν⟩

より

K±|jmµν⟩ = Cν±|jmµν ± 1⟩

であるが、規格化因子は

|Cν±|2 = ⟨jmµν|K∓K±|jmµν⟩= ⟨jmµν|[(Kz ± 1)Kz − j(j + 1)]|jmµν⟩= ν(ν ± 1)− j(j + 1)

= (ν + j)(ν − j)± (ν ∓ j)

= (ν ∓ j)(ν ± j ± 1)

よってCν− = 0, ν = j + 1だから

K−|jmµj + 1⟩ = 0

これが最小の ν であり、

Cν+ =√

(ν − j)(ν + j + 1)

ととって、

|jmµj + 2⟩ =1√

1 · (2j + 2)K+|jmµj + 1⟩

|jmµj + 3⟩ =1√

1 · 2 · (2j + 3)(2j + 2)K2

+|jmµj + 1⟩

...

|jmµν⟩ =

√(2j + 1)!

(ν − j − 1)!(j + ν)!Kν−j−1

+ |jmµj + 1⟩

= ωjν(K+)|jmνj + 1⟩


ここで

ωjν(λ) =

√(2j + 1)!

(ν + j)!(ν − j − 1)!λν−j−1

またこれは次のようにも書ける。4

[(2j + 1)!]−1/2

∞∑ν=j+1

χjν(λ)|jmµν⟩ = eλK+ |jmµj + 1⟩

χjν(λ) = λν−j−1

√(j + ν)!

(ν − j − 1)!

特に ν = j +1に関しては ν = j1 + j2 +1だから j = j1 + j2 であり、j1 − j2 = µ

より

j1 =j + µ

2

j2 =j − µ

2

さらに j = mとすれば，j1 + j2 = m1 +m2 つまり、j1 = m1, j2 = m2。よって

|jjµj + 1⟩ =(a†+)

j1+m1(b†+)j2+m2√

(j1 +m1)!(j2 +m2)!|0⟩

=(a†+)

j+µ(b†+)j−µ√

(j + µ)!(j − µ)!|0⟩

これを座標変換した形で書き直して

|jjµj + 1⟩′ =(a′†+)

j+µ(b′†+)j−µ√

(j + µ)!(j − µ)!|0⟩

としたものを元の座標で書けば、√(2j)!

∑m

|jmµj + 1⟩ϕjm(x) =(xa†)j+µ(xb†)j−µ√(j + µ)!(j − µ)!

|0⟩ (∗ : Schwinger(3.18))

4

[(2j + 1)!]−1/2∞∑

ν=j+1

λν−j−1

√(j + ν)!

(ν − j − 1)!|jmµν⟩ =

∞∑ν=j+1

1

(ν − j − 1)!(λK+)

ν−j−1|jmµj + 1⟩

= eλK+ |jmµj + 1⟩


ϕjµ(ξ) を掛けて µ で和をとれば

√(2j)!

∑mµ

|jmµj + 1⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ) =1

(2j)!

∑µ

(ξ+a†x)j+µ(ξ−b

†x)j−µ (2j)!

(j + µ)!(j − µ)!|0⟩

=1

(2j)!(ξ+a

†x+ ξ−b†x)2j|0⟩

さらに j で足して√(2j)!

∑jmµ

|jmµj + 1⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ) = eξ+(xa†)+ξ−(xb†)|0⟩

これに eλK+ = eλ[a†b†] を作用させれば

eλ[a†b†]+ξ+(xa†)+ξ−(xb†)|0⟩ =

√(2j)!

∑jmµ

eλK+ |jmµj + 1⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ)

=√(2j)!

∑jmµν

1

(2j + 1)!|jmµν⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ)χjν(λ)

=1√

2j + 1

∑jmµν

|jmµν⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ)χjν(λ) (Schwinger(3.35))

また、上記 (*)に ωjν(K+) を作用させて、√(2j)!

∑m

|jmµν⟩ϕjm(x) =√(2j + 1)!

[a†b†]ν−j−1(xa†)j+µ(xb†)j−µ√(ν + j)!(ν − j − 1)!(j + µ)!(j − µ)!

|0⟩

ここで表示を µ = j1 − j2, ν = j1 + j2 + 1を使って (j1, j2)に変えると以下の様になる。

∑m

|j1j2jm⟩ϕjm(x) =

[2j + 1

(j + j1 + j2 + 1)!

]1/2[a†b†]j1+j2−j(xa†)j+j1−j2(xb†)j−j1+j2√(j1 + j2 − j)!(j + j1 − j2)!(j − j1 + j2)!

|0⟩

ここで

|j1j2jm⟩ = |jmµν⟩

である。x+ → z∗−, x− → −z∗+, と書いて

(xa†) = x+a†+ + x−a

†− = z∗−a

†+ − z∗+a

†− = [a†z∗]

(xb†) = [b†z∗]


∑m

|j1j2jm⟩ϕjm(

(z∗−−z∗+

)) =[

2j + 1

(j + j1 + j2 + 1)!

]1/2[a†b†]j1+j2−j[a†z]j+j1−j2 [b†z]j−j1+j2√

(j1 + j2 − j)!(j + j1 − j2)!(j − j1 + j2)!|0⟩

これと ∑m1m2

|j1m1j2m2⟩ϕj1m1(x)ϕj2m2(y) = e(xa†)+(yb†)|0⟩

との内積を j = j3,m = −m3 として書けば 5 6 7∑m1m2m3

⟨j1j2j3 −m3|j1m1j2m2⟩(−)j3+m3ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z)

= (−)j1+j2−j3

[2j3 + 1

(j3 + j1 + j2 + 1)!

]1/2[yx]j1+j2−j3 [xz]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2√

(j1 + j2 − j3)!(j3 + j1 − j2)!(j3 − j1 + j2)!

5

[a†b†] = a†+b†− − a†−b

†+

[a†b†]†

= b−a+ − b+a− = −[ba]

6

ϕjm(

(z−−z+

))) =

(z−)j+m(−z+)j−m√

(j +m)!(j −m)!)= (−)j−m (z+)

j−m(z−)j+m√

(j +m)!(j −m)!)= (−)j−mϕj−m(z)

7

⟨0|[ba]j1+j2−j3 [az]j3+j1−j2 [bz]j3−j1+j2e(xa†)+(yb†)|0⟩ = ⟨0|[ba]j1+j2−j3 [az]j3+j1−j2 [

∂

∂b†z]j3−j1+j2e(xa

†)+(yb†)|0⟩

= ⟨0|[ba]j1+j2−j3 [az]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2e(xa†)+(yb†)|0⟩

= ⟨0|[ba]j1+j2−j3 [xz]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2e(xa†)+(yb†)|0⟩

= [yx]j1+j2−j3 [xz]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2⟨0|e(xa†)+(yb†)|0⟩

= [yx]j1+j2−j3 [xz]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2


ここでクレブシュ・ゴルダン係数の定義を思い出して

⟨jm|j1m1j2m2⟩ = ⟨j1j2jm|j1m1j2m2⟩≡

√2j + 1⟩(−)j1−j2+mX(j1j2j;m1m2 −m)

≡√

2j + 1⟩(−)j1−j2+m

j1 j2 j

m1 m2 −m

によりX記号ならびにウィグナーの 3j記号を定義すれば∑m1m2m3

X(j1j2j3;m1m2m3)ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z)

=1√

(j1 + j2 + j3 + 1)!

[yx]j1+j2−j3 [xz]j3+j1−j2 [yz]j3−j1+j2√(j1 + j2 − j3)!(j3 + j1 − j2)!(j3 − j1 + j2)!

=1√

(j1 + j2 + j3 + 1)!

[yz]j3−j1+j2 [zx]j3+j1−j2 [xy]j1+j2−j3√(j1 + j2 − j3)!(j3 + j1 − j2)!(j3 − j1 + j2)!

となる。これを展開して各次数を比べることで X 係数の具体的な形を定めよう。(J =

j1 + j2 + j3) まず右辺は∑m1m2m3

X(j1j2j3;m1m2m3)ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z)

=∑

m1m2m3

X(j;m)1∏3

i=1[(ji +mi)!(j1 −mi)!]xj1+m1+ xj1−m1

− yj2+m2+ yj2−m2

− zj3+m3+ zj3−m3

−

次に左辺は

1√(j1 + j2 + j3 + 1)!

[yz]j3−j1+j2 [zx]j3+j1−j2 [xy]j1+j2−j3√(j1 + j2 − j3)!(j3 + j1 − j2)!(j3 − j1 + j2)!

=∑

n1n2n3

1

[(J + 1)!(J − 2j1)!(J − 2j2)!(J − 2j3)!]1/2

×

(J − 2j1n1

)(J − 2j2n2

)(J − 2j3n3

)×(y+z−)

J−2j1−n1(−y−z+)n1(z+x−)J−2j2−n2(−z−x+)n2(x+y−)

J−2j3−n3(−x−y+)n3

=∑

n1n2n3

(−)n1

[(J + 1)!]1/2

3∏i=1

[(J − 2ji)!]1/2

(J − 2ji − ni)!ni!

xJ−2j3−n3+n2+ xJ−2j2−n2+n3

− yJ−2j1−n1+n3+ yJ−2j3−n3+n1

− zJ−2j2−n2+n1+ zJ−2j1−n1+n2

− (∗∗)


ただし、n = n1 + n2 + n3。次に x+ のべきを比べて

j1 +m1 = J − 2j3 − n3 + n2 = j1 + j2 − j3 − n3 + n2

書き直して

n2 − n3 = m1 − j2 + j3

同様に全てを書けば

n2 − n3 = m1 − j2 + j3

n3 − n1 = m2 − j3 + j1

n1 − n2 = m3 − j1 + j2

この条件下で

X(j;m) =∑

n1n2n3

(−)n1

[(J + 1)!]1/2

3∏i=1

[(ji +mi)!(ji −mi)!(J − 2ji)!]1/2

(J − 2ji − ni)!ni!

X記号の定義式を以下の様に書いて∑m

X(j;m)ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z) =[yz]J−2j1 [zx]J−2j2 [xy]J−2j3√

(J + 1)!(J − 2j1)!(J − 2j2)!(J − 2j3)!

以下のように定義する Φj1j2j3(αβγ)をかけて j1j2j3 で和をとれば、(J−2j1)+(J−2j2) + (J − 2j3) = J に注意して

Φj1j2j3(αβγ) =√

(J + 1)!αJ−2j1βJ−2j2γJ−2j3√

(J − 2j1)!(J − 2j2)!(J − 2j3)!

∑jm

X(j;m)ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z)Φj1j2j3(αβγ)

=∑j1j2j3

(α[yz])J−2j1(β[zx])J−2j2(γ[xy])J−2j3

(J − 2j1)!(J − 2j2)!(J − 2j3)!

=∑J

∑j′1+j′2+j′3=J

(α[yz])j′1(β[zx])j

′2(γ[xy])j

′3

(j′1 + j′2 + j′3)!

=∑J

(α[yz] + β[zx] + γ[xy])J

J !

= eα[yz]+β[zx]+γ[xy]


右辺がX記号の母関数を与える。これからX記号、ウィグナーの 3j記号の対称性は容易にみちびかれる。まず、右辺は (j1, j2, j3), (m1,m2,m3), (α, β, γ), (x, y, z)の巡回置換に対して不変なので、(

j1 j2 j3m1 m2 m3

)=

(j2 j3 j1m2 m3 m1

)=

(j3 j1 j2m3 m1 m2

)次に例えば j1 j2, m1 m2, α −β, γ −γ, x y, に対して右辺は不変、またΦj2j1j3(−β,−α,−γ) = (−)JΦj1j2j3(α, β, γ)であるから(

j2 j1 j3m2 m1 m3

)=

(j3 j2 j1m3 m2 m1

)=

(j1 j3 j2m1 m3 m2

)= (−)J

(j1 j2 j3m1 m2 m3

)また、x+ → x−, y+ → y−, z+ → z−, α → −α, β → −β, γ → −γ に対して[xy] → −[xy]などとなるので右辺は不変、Φj1j2j3(−α,−β,−γ) = (−)JΦj1j2j3(αβγ),

ϕjm → ϕj−mだから(j1 j2 j3

−m1 −m2 −m3

)= (−)J

(j1 j2 j3m1 m2 m3

)特にm1 = m2 = m3 = 0 として(

j1 j2 j30 0 0

)= 0 : J = j1 + j2 + j3 = odd

クレブシュ・ゴルダン係数に関して

⟨jm|j2m2, j1m1⟩ =√2j + 1(−)j2−j1+m

(j2 j1 j

m2 m1 −m

)

=√2j + 1(−)j2−j1+m+J

(j1 j2 j

m1 m2 −m

)

= (−)j1+j2−j√2j + 1(−)j1−j2+m

(j1 j2 j

m1 m2 −m

)= (−)j1+j2−j⟨jm|j1m1, j2m2⟩

さらに θを任意の実数として x± → x±e±iθ, y± → y±e

±iθ, z± → z±e±iθに対して右

辺は自明に不変で左辺は e2iθ(m1+m2+m3) だけ余分な因子がつくので、(j1 j2 j3m1 m2 m3

)= 0 : m1 +m2 +m3 = 0

付録A ディラックのブラケット記法

以下ディラックのブラケット記法についてまとめよう。

A.1 関数空間でのブラケット記法関数 f とはある数 xにある数 yを対応させる規則であり，これを

f : x 7→ y

y = f(x)

と書く。同様に演算子 A とは関数 f に関数 g を対応させる規則で

A : f 7→ g

g = Af

g(x) = (Af)(x)

などと書く。なお汎関数I とは関数 f に値 yを対応させる規則であり次のように書かれる。

I : f 7→ y

y = I[f(x)]

ここで関数に対する演算子の作用をコンパクトに記述する方法がディラックのブラケット記法であるが、これを以下説明しよう。区間 [a, b] で定義される関数 ψ(x)をベクトルとみて

ψ(x) |ψ⟩ψ∗(x) ⟨ψ|

119

120—量子力学３: ディラックのブラケット記法—2013春　初貝 (平成25年8月5日)

と書き，⟨ψ| をブラベクトル，|ψ⟩ をケットベクトルとし，ψ(x)とφ(x)との関数としての内積 (ψ, φ)を

(ψ, φ) =

∫dxψ∗(x)φ(x) ≡ ⟨ψ|φ⟩

と表現する。つまり，ブラとケットはこの内積に関してお互いに共役である。これを以下のように書く。 (

|ψ⟩)†

= ⟨ψ|(⟨ψ|)†

= |ψ⟩

更に，演算子Aの関数 ψ(x)への作用を

Aψ(x) |Aψ⟩ = A|ψ⟩

と書く。演算子Aのエルミート共役A† は

(ψ,Aφ) = (A†ψ, φ)

であるが

⟨A†ψ| =(|A†ψ⟩

)†=(A†|ψ⟩

)†= ⟨ψ|(A†)† = ⟨ψ|A

より

⟨ψ|Aφ⟩ = ⟨A†ψ|φ⟩ = ⟨ψ|A|φ⟩

と整合的である。くりかえすと

⟨ψ|A|φ⟩ = ⟨ψ|(A|φ) = (⟨ψ|A)|φ⟩

のいずれとみても良いが，

⟨ψ|A = (A†|ψ⟩)†

であることに留意する。なお

(⟨ψ|A|φ⟩)∗ = (⟨ψ|Aφ⟩)∗ = (⟨A†ψ|φ⟩)∗ =∫dx(A†ψ(x)

)φ∗(x) = ⟨φ|(A†ψ⟩)

= ⟨φ|A†|ψ⟩

である。

—量子力学３: ディラックのブラケット記法—2013春　初貝 (平成25年8月5日) 121

また、デルタ関数に対応するケットベクトルを

|δ(x− a)⟩ = |a⟩

と書けば、一般の関数 ψ(x)に対して

⟨a|ψ⟩ =

∫dx (δ(x− a))∗ψ(x) = ψ(a)

よってブラケット記法で関数 ψ(x) は次のように表記される

ψ(x) = ⟨x|ψ⟩

特に ψ(x) = δ(x− a) の場合，上の定義に従えば |ψ⟩ = |a⟩と書いたので

⟨x|a⟩ = δ(x− a)

となる。これはケットベクトル |x⟩ の規格直交性

⟨x|y⟩ = δ(x− y)

と理解できる。規格直交化された関数列 φn(x) に対してその規格直交性は

⟨φn|φm⟩ = δnm

と書け、完全性 ∑n

φn(x)φ∗n(y) = δ(x− y)

は ∑n

⟨x|φn⟩⟨φn|y⟩ = ⟨x|y⟩

となる。よって ∑n

|φn⟩⟨φn| = 1

がブラケット記法による完全性の関係式である。ここでは，議論をわかり安くするために 1次元で議論したが，多次元への拡張は自明であろう。


A.2 フォック空間でのブラケット記法なお、以上の関数空間でのブラケット記法と次のいわゆるフォック空間でのブラケット記法とを区別して混乱しないようにしよう。例えば、ボーズ演算子とは[a, a†] = 1 となる演算子であるが、真空を

a|0⟩ = 0

⟨0|a† = 0

と定義すれば、後述のように自然数 nに対して

|n⟩ =1√n!(a†)n|0⟩

とすれば、

n|n⟩ = n|n⟩

となる。ここで n = a†a は粒子数演算子と呼ばれる。なお

eiλn|0⟩ = |0⟩

A.3 エルミート演算子に関する重要な性質ディラックのブラケット記法により，エルミート演算子の重要な性質をまとめておこう。エルミート演算子 A に対して，固有値 a の規格化されたケット |a⟩に対する固有方程式は

A|a⟩ = |a⟩a

となるが，そのエルミート共役をとって 1

⟨a|A† = ⟨a|A = a∗⟨a|1任意の演算子 Aのエルミート共役 A† の定義は，任意の状態 |x⟩, |y⟩ に対して

⟨x|(A|y⟩) = ⟨A†x|y⟩

であった。よって、この左辺を

⟨x|(A|y⟩) = ⟨x|A|y⟩

と書くとき，

⟨x|A = ⟨A†x| = (|A†x⟩)†

である。


この関係に注意して，最初の式の左辺に ⟨a|をかけると

⟨a|A|a⟩ = (⟨a|A)|a⟩ = a∗⟨a|a⟩ = a∗

右辺は a となるから

a∗ = a

エルミート演算子の固有値エルミート演算子の固有値は実数である。次に異なる固有値 a, b (a = b)に属する２つの固有ケットA|a⟩ = |a⟩a, A|b⟩ = |b⟩bを考えよう。この時

⟨a|A|b⟩ = ⟨a|(A|b⟩) = ⟨a|b⟩b= (⟨a|A)|b⟩ = a⟨a|b⟩

より (a− b)⟨a|b⟩ = 0。これをまとめて,

固有ケットの直交性エルミート演算子の異なる固有値に属する固有ケットは直交する。

⟨a|b⟩ = 0, (a = b) 一般に有限次元 n 次元のエルミート演算子は縮退した固有値を持ち得るが、その際はエルミート演算子に微小摂動を加えてその縮退を解けば，一般に n 個の直交した固有ケットを持ち、有限次元なら、必ず規格化可能であり、これらが n 次元空間全体の (規格直交化された) 基底となる。つまり, 任意のケット |v⟩ に対して

|v⟩ =∑i

|ai⟩vi, ⟨aiaj⟩ = δij

と展開可能である。なお，この関係は微小摂動をゼロにする極限でも（物理的には）問題なく成立することにも注意しよう。これに ⟨ai をかけて

vi = ⟨ai|v⟩

よって

|v⟩ =∑i

|ai⟨ai|v⟩ =(∑

i

|ai⟨ai|)|v⟩


ここで |v⟩ は任意だから ∑i

|ai⟨ai| = 1

これを固有ケットの完全性という。固有ケットの完全性

(有限次元の)エルミート演算子の固有ケットは規格直交化された完全系を作る。ここで固有値 ai の空間への射影演算子を

Pi = |ai⟩⟨ai|

とすれば，

P 2i = |ai⟩⟨ai|ai⟩⟨ai| = |ai⟩⟨ai| = Pi

を満たし，上記完全性より ∑i

Pi = 1

となる。ここで，任意の規格直交化された完全系 |i⟩, i = 1, 2, · · ·

⟨i|j⟩ = δij,∑i

|i⟩⟨i| = 1

に対してユニタリ演算子 U を次のように定義する。

U =∑i

|ai⟩⟨i|

U † =∑i

|i⟩⟨ai|

この演算子がユニタリであることは次のように確認できる。

UU † =∑i

|i⟩⟨i| = 1

U †U =∑i

|ai⟩⟨ai| = 1

これを用いて

AU =∑i

A|ai⟩⟨i| =∑i

|ai⟩ai⟨i|


これに右から U † をかけて

A =∑i

|ai⟩ai⟨i|∑i

| =∑ij

|ai⟩ai⟨i|j⟩⟨aj|

=∑i

|ai⟩ai⟨ai| =∑i

aiPi

これをエルミート演算子のスペクトル分解という。これは次のようにも示せる。まずN 次元のエルミート行列Aを対角化する行列

V として

AV = V diag (a1, · · · , aN)V = (|a1⟩, |a2⟩, · · · |aN⟩)

V のユニタリ性は

V †V = EN

(V †V )ij = ⟨ai|aj⟩ = δij

完全性は

V V † = EN

V V † = (|a1⟩, · · · |aN⟩)

⟨a1|...

⟨aN |

=∑i

Pi

Pi = |i⟩⟨i|

よって有限次元ではユニタリ性と完全性は等価である。また

A = V diag (a1, · · · , aN)V † =∑i

aiPi

となる。


A.4 可換なエルミート演算子議論を進める前に，この機会に交換子に関する以下の公式を与えておこう。2

[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B

[A,BC] = B[A,C] + [A,B]C

以下可換な２つのエルミート演算子 A, B について考えよう

[A,B] = AB −BA = 0

これを A の固有ケット |a⟩, |a′⟩，(A|a⟩ = |a⟩a,A|a′⟩ = |a′⟩a′ ) で挟めば

⟨a|(AB −BA)|a′⟩ = a⟨a|B|a′⟩ − ⟨a|B|a′⟩a′

= (a− a′)⟨a|A|a′⟩ = 0

よって (有限次元の) 2つの (対角化可能な)演算子A,Bが可換 [A,B] = 0 である時，A の異なる固有値に属する固有状態 |a⟩, |a′⟩, に関する B の行列要素はゼロである。

⟨a|B|a′⟩ = 0, a = a′

つまりA の固有状態に縮退がなければ |a⟩ は Bを対角化する、つまりBの固有状態ともなる。重複するが、詳しく説明すれば，

B|a⟩ =∑a′

|a′⟩⟨a′|B|a⟩ = |a⟩⟨a|B|a⟩

つまり，|a⟩ はBの固有値 ⟨a|B|a⟩ の固有ベクトルである。A に縮退がある場合、B はブロック対角化されているから、縮退を n で区別しよう。ここで、縮退度はM とし、他に縮退はないとしよう。よって完全性は∑

a′ =a

|a′⟩⟨a′|+∑n

|an⟩⟨an| = 1

となる。2

A[B,C] + [A,C]B = ABC −ACB + (ACB − CAB) = ABC − CAB = [AB,C]

[A,BC] = −[BC,A] = −B[C,A]− [B,A]C = B[A,C] + [A,B]C


ここで

⟨an|B|an′⟩ = (⟨an′|B†|an⟩)∗ = (⟨an′|B|an⟩)∗

となるからブロック行列もエルミートだから，対角化できてB の固有値で区別される。具体的には，ブロックエルミート行列の固有値 bの固有ベクトルの成分を⟨an′|ab⟩, n′ = 1, · · · ,M として

M∑n′=1

⟨an|B|an′⟩⟨an′|ab⟩ = ⟨an|ab⟩b

となる。よって

|ab⟩ =M∑n=1

|an⟩⟨an|ab⟩

として

B|ab⟩ =

(∑a′ =a

|a′⟩⟨a′|+∑n

|an⟩⟨an|)B

M∑n′=1

|an′⟩⟨an′|ab⟩

=∑nn′

|an⟩⟨an|B|an′⟩⟨an′|ab⟩

=∑n

|an⟩⟨an|ab⟩b = |ab⟩b

とこれはBの固有値 bの固有ベクトルとなる。一般の状況への拡張は自明であるから以上併せて

可換なエルミート演算子の同時対角化 [A,B] = AB − BA = 0と可換なエルミート演算子 (A† = A,B† = B) は同時対角化可能である。

A|a, b⟩ = |a, b⟩aB|a, b⟩ = |a, b⟩b

付録B ボーズ演算子の代数

B.1 ボーズ演算子の代数まず最初に以下必要なボーズ粒子の性質をまとめておこう。

[a, a†] = 1,

a|0⟩ = 0

として、

|j⟩ =1√j!(a†)j|0⟩

は n = a†a に対して

n|j⟩ = j|j⟩

まず n の多項式 f(n) について 1

af(n) = f(n+ 1)a

また

1

an = aa†a = (a†a+ 1)a = na+ a = (n+ 1)a

an2 = an · n = (n+ 1)a · n = (n+ 1)2a

· · ·ank = (n+ 1)ka

129

130 — 量子力学３: ボーズ演算子の代数— 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日)

• 高次の交換子に関して 2

[ak, a†] = kak−1

[a, (a†)k] = k(a†)k−1

よって

[a, f(a†)] =∂

∂a†f(a†)

af(a†)|0⟩ =∂

∂a†f(a†)|0⟩

[a†, f(a)] = (−[a, f(a†)])† = − ∂

∂af(a)

• n との交換子について 3

[ak, n] = kak, k = 1, 2, · · ·[n, (a†)k] = k(a†)k, k = 1, 2, · · ·

2

[a2, a†] = a[a, a†] + [a, a†]a = 2a

[a3, a†] = a[a2, a†] + [a, a†]a2 = 3a2

[ak, a†] = a[ak−1, a†] + [a, a†]ak−1 = a(k − 1)ak−2 + ak−1 = kak−1

[a, (a†)k] = k(a†)k−1

3

[a, n] = [a, a†a] = a

[a2, n] = a[a, n] + [a, n]a = 2a2

[a3, n] = a2[a, n] + [a2, n]a = 3a3

[ak, n] = kak

索引

イ1次元球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

一重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

ウウィグナー・エッカートの定理 . . . 76

ウィグナーの 3j記号 . . . . . . . . . . . . 115

運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

エSO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

X記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

エルミート共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

オオイラー角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

カ回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 79

回転行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

回転群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

回転群の表現行列 . . . . . . . . . . . . . . . . 90

回転軸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

回転対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

角運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

角運動量の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

角運動量の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . 21

還元行列要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

キ

関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

規格直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

軌道角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

既約テンソル演算子 . . . . . . . . . . . . . . 69

既約テンソル演算子の積 . . . . . . . . . . 69

球面調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

球面調和関数の加法定理 . . . . . 98, 100

極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

ク空間推進 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

クラマース縮退 . . . . . . . . . . . . . . . 34, 36

グルサの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

クレブシュ・ゴルダン係数40, 42, 47,

49, 69, 76

群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

群の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ケケーリー・クラインパラメター . . 94,

103

ケットベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

コ交換相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

コーシーの積分定理 . . . . . . . . . . . . . . 99

サ3次元球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

三重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

シ時間推進 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

131

132 — 量子力学３: 索引— 2013 春　初貝 (平成 25 年 8 月 5 日)

時間反転対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

射影演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 123

昇降演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

シングレット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ススペクトル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

スカラー演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

スピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

スピン軌道関数 . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35

スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . 34

スピン j表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

セゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

全角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

タ対称ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

多重極展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

チ置換演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

直交行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

テディラックのブラケット記法 . . . . 119

ディラック方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . 30

デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ト同時対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

特殊相対論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

トリプレット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ナ内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ニ2価表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ハ

パウリ行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

パウリのスピン仮説 . . . . . . . . . . . . . . 29

汎関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

反ユニタリ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

フブラベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ヘ並進操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

並進対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ベクトル演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

ホボーア磁子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ム無限小回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

無限小変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

ユユニタリ演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

ルルジャンドル関数の母関数展開 . . 100

ルジャンドル多項式 . . . . . . . . . . . . . . 26

レ連続群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

ロローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ロドリゲスの公式 . . . . . . . . . . . . . 26, 99

2013年春学期 初貝安弘 -...

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