2016 1 fi semana06-movimiento circular

8/17/2019 2016 1 FI Semana06-Movimiento Circular

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SEMANA 6:

Movimiento circular: Velocidad

angular y aceleración angular.Movimiento circular uniforme .

Movimiento circular uniformemente

variado. Componente tangencial ynormal de la aceleración. Aplicaciones


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Movimiento Circular Uniforme (MCU) y Variado MCUV

El movimiento circular uniforme ocurre cuando un objeto se mueveen un camino circular con rapidez constante.

El análisis de este movimiento corresponde a una partícula que

realiza un movimiento circular uniforme .

Existe aceleración en este caso pues la dirección del movimiento estacambiando permanentemente.

El cambio de la velocidad produce aceleración

El vector velocidad siempre sigue al objeto en movimiento.

En el movimiento circular uniforme un objeto se mueve en unatrayectoria no rectilínea, es decir en trayectorias curvilíneas.


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Vector unitario


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Al tomar el límite de Ds/Dt

Ahora podemos escribir v de la forma:

Donde v nos da el valor de la velocidad y uT la dirección. Esto es, ahora ds juegaen el movimiento curvilíneo el mismo papel que dx en el movimiento rectilíneo.

Lo nuevo ahora es que hemos incluido un vector unitario tangente.

En el movimiento curvilíneo cambia tanto la velocidad como la dirección en cada

instante debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta se curva

continuamente.


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Velocidad cambiante en un MCU

El cambio de la velocidad

se debe al cambio de su

dirección El diagrama

vectorial muestra que

= + ∆


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Igualmente podemos aplicar nuestra definición de aceleración en un movimiento curvilíneo:

Si la trayectoria fuera una recta uT sería constante en magnitud y dirección, no

cambiaría de dirección, entonces d uT /dt = 0. Pero como la trayectoria es curvilínea el

vector tangente cambia y d uT /dt es diferente de 0.


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La pregunta es ahora cómo calculamos d uT /dt ? Para ello se va a introducir un nuevo

vector unitario uN perpendicular a uT , es decir es normal a la curva y dirigido hacia el

lado cóncavo. (véase el gráfico anterior)

Si j es el ángulo que hace la curva en el punto 1 con el eje X, entonces se puede

escribir:

= +

= cos +

2+ +

2

= − +

De aquí tendremos que:

= −

+

=

Esto significa que uN es normal a la curva.

Pero:

=

=

Obsérvese que ds = AA` con las normales que se intersectan en C denominado centro de

curvatura. r = CA el radio de curvatura. Como ds = r d j entonces


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=

1

=

=

De aquí ya podemos escribir para a = dv/dt :

=

=

+

es lo que se conoce como aceleración tangencial asociado con el cambio de la

magnitud de la velocidad. El término

se le conoce como la aceleración normal.

Asociado con el cambio de dirección. La magnitud de la aceleración es entonces:


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Aceleración Centrípeta

La aceleración centrípeta en un punto de la trayectoria seguida es

siempre perpendicular a ésta.La aceleración siempre señala hacia el centro del camino circular

Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta

La magnitud de la aceleración centrípeta ac es:

=

La dirección de ac está cambiando en todo momento, para

apuntar siempre al centro.

El periodo, T, es el tiempo en el cual el objeto completa una vuelta

La rapidez de la partícula es la longitud de la circunferencia dividido

por el periodo.

Luego, el periodo se define como T = 2 r/v


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Aceleración Tangencial y radial

Así como cambia la dirección en el movimiento circular, también

puede cambiar la magnitud de la velocidad.En este caso se produce una aceleración tangencial.

El movimiento será influenciado por las aceleraciones tangencial y

centrípeta


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Notar que

o la aceleración tangencial causa

cambios en la rapidez de la partícula yo la aceleración radial surge por el

cambio de dirección del vector

velocidad.


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Ecuaciones de la aceleración total

Aceleración tangencial:

=

Aceleración radial:

= − = −

Aceleración total:

= +

• Magnitud:

• Dirección: La misma que la del vector velocidad si v esta creciendo,

opuesta si v esta decreciendo


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Consideremos el caso especial en el cual la trayectoria

es un círculo; esto es, movimiento circular . La

velocidad v, siendo tangente al círculo, es

perpendicular al radio R = CA. Cuando medimos

distancias a lo largo de la circunferencia del círculo apartir de O, tenemos que s = Rq. Como

Y considerando el hecho que R permanece constante,

obtenemos:

La cantidad se denomina velocidad angular y es igual a la

variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por

segundo, rad/s. Luego


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La velocidad angular puede expresarse como

una cantidad vectorial cuya dirección es

perpendicular al plano del movimiento en el

sentido de avance de un tornillo de roscaderecha girando en el mismo sentido en que

se mueve la partícula (ver figura anterior).

Allí se observa que R = r sen g y que w = uz

(dq/dt); por los tanto podemos escribir, en

lugar de v = w R la siguiente ecuación:

Indicando que la siguiente relación vectorial

se cumple, tanto en magnitud como en

dirección.

Notar que es válido solamente para el

movimiento circular o rotacional con R y g

constantes.


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Aceleración angular

Cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo, la

aceleración angular está definida por el vector

Como el movimiento circular es en un plano, la dirección de w permanece

invariante, y la relación anterior también se cumple para las magnitudes de

las cantidades involucradas. Esto es,

Cuando la aceleración angular es constante (movimiento circular es

uniformemente variado) tendremos al integrar la ecuación anterior:

ó


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Donde w o es el valor de w para el tiempo t o. Al realizar las sustituciones

respectivas obtenemos e integrando

nuevamente

De modo que

Esto da la posición angular para cualquier tiempo.

En el caso particular de movimiento uniforme, encontramos combinando las

ecuaciones anteriores que la aceleración tangencial (o transversal) es


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Y que la aceleración normal (o centrípeta) es

Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el movimiento circular

se ilustran en la figura:

Notar que en el movimiento circular uniforme (aceleración angular nula, a = 0).

No hay aceleración tangencial, pero si aceleración normal o centrípeta debido al

cambio de dirección de la velocidad.

En este caso de movimiento circular uniforme podemos calcular la aceleración

directamente usando , luego como w es constante:


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Ya que d r /dt = v. En la ecuaciónanterior podemos reemplazar v = w x r

y obtener

Como el movimiento circular esuniforme, la aceleración anterior dada

debe ser la aceleración centrípeta. En

la figura se observa que el vector w x v

señala hacia el centro del círculo y su

magnitud es

ya que w y v son perpendiculares y v =

w R.


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Movimiento curvilíneo en un plano

En la figura se mueve una partícula describiendo una trayectoria curvilínea en un

plano. Cuando se encuentra en A su velocidad está dada por v = d r /dt . Usando los

vectores unitarios ur (paralelo a r) yuq

(perpendicular a r) podemos

escribir:

Usando las componentesrectangulares de los vectores

unitarios


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Vemos que

Y por consiguiente podemos escribir la velocidad de la partícula como

La primera parte de esta ecuación es un vector paralelo a r y se llama la velocidad

radial; es debida al cambio de la distancia r de la partícula del punto O. La

segunda parte es un vector paralelo a r y es debido al cambio en la dirección de r ,

o la rotación de la partícula alrededor de O; se denomina la velocidad transversal.

Esto es


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Un camión ligero entra a una curva que tiene un radio de 150 m con una rapidez máxima

de 32.0 m/s. Para tener la misma aceleración, ¿a que rapidez máxima puede ir alrededorde una curva que tiene un radio de 75.0 m?

a) 64 m/s

b) 45 m/s

c) 32 m/s

d) 23 m/se) 16 m/s


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Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r con rapidez v . Luego aumenta

su rapidez a 2v mientras viaja a lo largo de la misma trayectoria circular.

i) ¿En que factor cambio la aceleración centrípeta de la partícula (elija una)?a) 0.25,

b) 0.5,

c) 2,

d) 4,

e) imposible de determinar.

ii) De las mismas opciones,¿en que factor cambió el periodo de la partícula?


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El vector de posición de una partícula varia en el tiempo de acuerdo con la expresión

a) Encuentre expresiones para la velocidad y aceleración de la partícula

como funciones del tiempo. b) Determine la posición y velocidad

de la partícula en t = 1.00 s.

En un bar local, un cliente desliza sobre la barra un tarro de cerveza vacío para que lo

vuelvan a llenar. El cantinero esta momentáneamente distraído y no ve el tarro, que se

desliza de la barra y golpea el suelo a 1.40 m de la base de la barra. Si la altura de la barra

es de 0.860 m, a) ¿con que velocidad el tarro dejo la barra? b) ¿Cual fue la dirección de la

velocidad del tarro justo antes de golpear el suelo?

j

2

006003


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Problema


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Una bola se balancea en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de1,50 de largo. Cuando la bola esta a 36,9° después del punto mas bajoen su viaje hacia arriba, su aceleración total es −22,5 + 20,2 /2. Enese instante:

a) bosqueje un diagrama vectorial que muestre las componentes de suaceleración,

b) determine la magnitud de su aceleración radial y c) determine la rapidezy velocidad de la bola.


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Un camión ligero entra a una curva que tiene un radio de 150 m con una rapidez máxima

de 32.0 m/s. Para tener la misma aceleración, ¿a que rapidez máxima puede ir alrededorde una curva que tiene un radio de 75.0 m?

a) 64 m/s

b) 45 m/s

c) 32 m/s

d) 23 m/se) 16 m/s


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Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r con rapidez v . Luego aumenta

su rapidez a 2v mientras viaja a lo largo de la misma trayectoria circular.

i) ¿En que factor cambio la aceleración centrípeta de la partícula (elija una)?a) 0.25,

b) 0.5,

c) 2,

d) 4,

e) imposible de determinar.

ii) De las mismas opciones,¿en que factor cambió el periodo de la partícula?

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