戸本　誠高エネルギー物理学研究室（N研）

2016年度3年後期 素粒子物理学 1

第3回 2016年10月21日

前回の復習(1) Klein-Gordon方程式

相対論的なエネルギー・運動量の関係

微分演算子

確率密度と流れ

平面波解から負のエネルギー

負の確率密度

2

前回の復習(2)　Dirac方程式１階の微分方程式とすることで負のエネルギーと負の確率密度から逃れようとDiracが導く

平面波解から

Fermi 粒子の方程式を表す正の確率密度

負のエネルギー

ψ、uは４成分スピノール

3

前回の復習(3) 負エネルギーの解釈• Diracの解釈：空孔理論「真空」は無ではなく、負のエネルギーが詰まった状態負エネルギー電子の欠如 =正エネルギー陽電子の出現陽電子（電子の反粒子）の予言

• Feynman-Stuckelbergの解釈時間に逆行して伝搬する負エネルギー粒子の解＝時間に順行して伝搬する正エネルギー反粒子の解

p1

p2

p1

p2

q1

q2 -q2

-q1

e- e+

e- e-

e- e-

e-e+

e-(p1)+e+(q1)→e-(p2)+e+(q2)

e-(p1)+e-(-q2)→e-(p2)+e-(-q1)t相互作用 相互作用

ーの空孔=＋の出現

真空＝占有

ーの出現

4

「時間に逆行」に伴う新しい考え方 5

t

x

これまでの常識 新しい考え方

t=t1

t=t2

今日の内容

• Dirac 方程式の解に関して、もうちょっと詳しく• γ行列• スピンとヘリシティー• カイラリティー

6

Diracのγ行列Dirac方程式

に左からβをかける

を定義し、

とアインシュタインの縮約 を思い出すと

→確率密度と流れ :

電流密度と考えると Feynman-Stuckelbergの解釈との関連

7

とすると と書ける。

γ行列の性質

後の為に、

, →

各自で計算して確認して見て下さい

ディラック表示：非相対論的(m>>p,E)に便利

γ行列にはいろいろな表示が存在するならばなんでも良い

8

Dirac方程式の解ψの4成分に関して詳しく調べるエネルギー固有値が分かり易い標識平面波を考えるp=0, E=mの時 (非相対論的) の解を考える

E=m>0解の固有関数(粒子) E=-m<0解の固有関数 (反粒子)

ψ：4成分スピノール

9

Dirac方程式の解

ψ、u : 4成分、uA,uB : 2成分

p>0 の時の解

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E

uA

uB

�=

m � · p

� · p �m

� uA

uB

�=

muA + (� · p)uB

(� · p)uA �muB

�

Dirac方程式の平面波解(1) ＞０の解

E>0の2つの解の上の2成分を

とする。(独立な固有関数ならなんでも良い。)

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Dirac方程式の平面波解(2) ＜０の解

E>0の2つの解の上の2成分を

とする。(独立な固有関数ならなんでも良い。)

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４つの解は直交

スピンとヘリシティ２次元のスピン行列 の4次元的拡張を考える

の

を固有関数としてもち、固有値は±1/2であるスピン+1/2 スピン-1/2 スピン+1/2 スピン-1/2E=m>0解の固有関数(粒子) E=-m<0解の固有関数 (反粒子)

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スピンとヘリシティ

非相対論的扱い(p=0, E=m)では、固定したz軸の定義可能

相対論的扱いでは、運動方向をz軸に取った時のスピンのz成分を用いる。

ヘリシティー： (2成分) (4成分)

固有値は±1

運動方向

運動方向

固有値 + : 正のヘリシティー（右巻き）

固有値 - : 負のヘリシティー（左巻き）

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スピンとヘリシティ

HとL、sとの交換関係を考える

Lは保存しない。sも単独では保存しない。

sの他の性質

1/2の角運動量と同じ性質

→

が保存する

Dirac方程式は、内部自由度 (スピン)1/2の粒子を記述

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磁気能率電磁場中のDirac粒子 (Dirac方程式に従う粒子)を考えるシュレディンガー方程式と同じく

→

E>0の解で、非相対論近似(E=m+T, T<<m, eφ<<m)

磁気能率 とBとの相互作用Dirac粒子：g=2

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磁気能率

e-γ

B Dirac粒子 : g=2

実際は2からずれる高次の輻射の足し合わせ

実験的には、

B

e-

γ

仮想光子を測定

a=aQED+aQCD+aEW

高次の効果を入れると、

QCD, 弱い相互作用も入れると

QCDW/ZHiggs

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などの効果を考えると2からズレる

磁気能率

実験値

100万分の１の精度！

5桁まで理論と良い一致B

e-

γ

新粒子？？

Dirac方程式の大成功を示す実験

更に奥に僅かに見える新物理をも捉える段階に突入

理論予想値

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Dirac 方程式の解をまとめると

E>0解の固有関数(粒子) E<0解の固有関数 (反粒子)

p=(E、p) の自由電子の解

p=(E、p) の自由陽電子の解 (p=(-E、-p) の自由電子の解)...電子が満たすDirac方程式

...陽電子が満たすDirac方程式

スピン↑負エネルギー解＝スピン↓の正エネルギー解

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スピノールの規格化 20

s=1,2

単位体積あたり2E個の規格化を用いる

直行関係

→u†u = N2

"1 +

✓� · pE +m

◆2#= N2 2E

E +m

に対する(共役な)Dirac方程式 21

→右からγ0掛けて

（uの共役）に対するDirac方程式

u, v

完全性関係 22

同様にして

双1次共変形 23

記号 双1次形式 成分の数 パリティ変換後 パリティ

スカラー S 1 +

擬スカラー P 1 -

ベクトル V 4 -

軸性ベクトル A 4 +

テンソル T 6 +

O 双1次共変形 （Oは任意の4x4行列）ローレンツ変換に対してある決まった変換性を持つ

�µ

�µ⌫

i �5

�5�µ

�i �5

�µ

� �5�µ �µ⌫

カイラリティー

ψL、ψRは、γ5演算子の固有関数（固有値は±１）カイラリティー演算子

カイラル (ワイル)表示：相対論的(m<<p, E)に便利

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,,

Dirac表示とワイル表示は、以下の関係で結ばれている

カイラリティー

←...①

...②①+②

①-②

m=0ならば、ψLとψRは独立 (別の粒子)として振る舞う

質量mが、カイラリティー＋(ψR) 　カイラリティー- (ψL)を混ぜている。

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カイラリティーとヘリシティー

粒子・反粒子の違いも考慮したヘリシティー演算子の相対論的拡張

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今日のまとめ• Klein-Gordon 方程式は相対論的な方程式

• スピンが記述できない → ボゾンを記述

• 新たな相対論的なDirac方程式を導入

• 方程式の中にスピン内部自由度が入っている　　→フェルミオンを記述• γ行列などにも慣れて下さい

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