1. Рівняння з відокремлюваними змінними та однорідні рівняння 1-го порядку.Розглянемо рівняння M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 (1), де M(x),N(y),P(x),Q(y)–задані функції.Тоді ДР, в яких змінні можна розділити за допомогою множення обох частин рівняння на один і той же вираз, називаються рівняннями з відокремлюваними змінними. Для знаходження розв'язків застосуємо алгоритм: 1) ділимо на N(y)P(x) 0 (?!) 2) M(x)dx/P(x)+Q(y)dy/N(y)=0 - ДР з відокремленими змінними 3) ∫M(x)dx/P(x)+∫Q(y)dy/N(y)=С – заг. інт. 4) знаходимо можливі роз-ки з умови N(y)P(x) = 0Однорідні рівняння 1-го порядку мають вигляд : y' =f(y/x) . Заміною y=ux (u=u(x) - нова невідома функція) зводиться до ДРВЗ. Справді, y' = u'x+u. u'x+u=f(u) xdu/dx=f(u)-u xdu-(f(u)-u)dx=0 - ДРВЗ. Симетрична форма ОДР1п.: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, де M і N - однорідні функції одного степеня однорідності.Рівняння які зводяться до однорідних: 1)Квазі-однорідні рів-ня. Рів-ня y’=f(x,y) – наз. квазі-однорідним, якщо за допомогою заміни невідомої функ. типу y=z цого можна звести до однорідного рівняння. 2)y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)) ; a)тоді заміна t–нова незележна змінна z–нова шукана функція. при 0 с-ма має єдиний розв’язок. y’=dy/dx=dz/dt f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))=f((a1t+a1x0+b1z+b1y0+c1)/(a2t+a2x0+b2z+b2y0+c2))= (сумма підкреслених членів перетворюється в 0)=f((a1t+b1z)/(a2t+b2z))=f((a1+b1z/t)/(a2+b2z/t))=f(z/t) Відносно нових змінних рівняння має вигляд z’=F(z/t) – однорідне рівняння, z’=dz/dt.б)=0 а2=ka1, а2=ka1 (k – кіл-т пропорційності) y’=f((a1x+b1y+c1)/(k(a1x+b1y)+c2))

Заміною z=a1x+b1y це рівняння зводиться до рв-ня з відокремленими змінними z-нова шукана функція y=(1/b1)(z-a1x), (1/b1)(z’-a1)=f((z+c1)/(kz+c2))

2. Лінійні рівняння першого порядку та рівняння типу Бернуллі. Метод Бернуллі та Лагранжа (варіації довільної сталої). Рівняння Ріккатті.Лінійне рівняння 1-го порядку має вигляд – y'+P(x)y=Q(x) - канонічний вигляд, P, Q є CI (I = (a,b)). Якщо Q(x)0, то це – лінійне неоднорідне рівняння 1-го порядку (ЛНР1п), Q(x)0 - тоді y'+P(x)y=0 – лінійне однорідне рівняння 1-го порядку (ЛОР1п). 1) Метод Лагранжа: загальний розв'язок ЛОР має вигляд y0=Cexp(-∫P(x)dx) , C-const. Для ЛНР y=exp(-∫P(x)dx)(C+∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx), або y=y0+ŷ, де yo – загальний розв'язок ЛОР, ŷ=exp(-∫P(x)dx)∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx – частинний розв'язок ЛНР. 2) Метод Бернуллі. Розв'язок ЛНР шукається у вигляді y=uv, тоді u'v+uv'+P(x)uv=Q(x), де u=exp(-∫P(x)dx), v= C+∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx . Рівняння типу Бернуллі має вигляд – y'+P(x)y=Q(x)yn, P,Q є CI, 1) Заміною y1-n=z зводиться до ЛНР1п; 2) Розв'язок шукається методом Бернуллі: y=uv v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x)unvn. u вибираємо з умови u'+P(x)u=0.Рівняння Ріккатті має вигляд –y’+P(x)y+Q(x)y2=R(x) P,Q,RCy Відомо, що у

загальному випадку (при довільному P,Q,R) це рівняння у квадратурах не інтегрується. Нвприклад y’=y2+x2. Якщо відомий один частинний розв’язок рівняння Ріккартті, то з допомогою заміни y=z+y0 де z – нова невідома ф-я можна знайти загальний розв’язок рівняння Ріккартті: z’+y0’+P(z+y0)+Q(z2+2zy0+y0

2)=R(x); y0’+Py0+Qy0

2+z’+Pz+Qz2+2Qzy0=R(x); z’+(P+2Qy0)z=-Qz2 – рівняння Бернулі, яке інтегрується в квадратурах

3. Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) - це РПД, якщо така ф-ція u=u(x,y), що du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Якщо це так, то du=0 u(x,y)=C().Теорема 1. Якщо P,Q – диф-ні ф-ції, то ота бадяга трошечки вище за текстом є РПД Q/x=P/y(2).Доведення: 1)Необхідна: нехай (1) в ПД dU=Pdx+Qdy P=U/x ,Q=U/y

P/y=2U/xy=Q/x=2Uxy Q/x=P/y; 2)Достатня: Нехай виконується умова (2)Знайдемо ф-ю U з умови U/x=P(x,y)(3) U/y=Q(x,y)(4). З (3) , тоді ;; ;;;:

, отже ф-я U має вигляд Якщо Q/x≠P/y , то рівняння вже не є рівнянням у повних диференціалах. Існує μ=μ(x,y): така, що μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0 – Э рівнянням у повних диференціалах. Тоді μ-Інтегрувальний множник. Рівняння інтегрувального множника: за означенням рів-ня μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0 є рів-ня у повних дифер., тому для нього виконується умова : (μQ)/x=(μP)/y ; Q∂μ/∂x+μ∂Q/∂x=P∂μ/∂y+μ∂P∂y; Q∂μ/∂x-P∂μ/∂y=μ(∂P/∂y-∂Q∂x)(4) – рів-ня інтегрувального множника. Інтегрування рів-ня (4) – не легша задача ніж інтегрування вхідного рівняння.Частинні випадки рівн. інтегрувального множника:1) μ=μ(x) (4) dμ/dx=μ(∂P/∂y-∂Q/∂x)/Q {(∂P/∂y-∂Q/∂x)/Q – повинно залежати лише від х}2) μ=μ(y) (4) dμ/dy=μ(∂P/∂y-∂Q/∂x)/P {(∂P/∂y-∂Q/∂x)/Q – повинно залежати лише від y}3) μ=μ((x,y)) (4) (dμ/d)(d/dx)Q-(dμ/d)(d/dy)P=μ(∂P/∂y-∂Q/∂x); dμ/d=μ(∂P/∂y-

∂Q/∂x)/(Q∂/∂x-P∂/∂y) {(∂P/∂y-∂Q/∂x)/(Q∂/∂x-P∂/∂y) – повинно залежати лише від }

-

4. Неявні ДР 1-го п-ку. Метод введення параметра. Рівняння Лагранжа і Клеро.Неявне скалярне р-ня I п. має вигляд: F(x,y,y')= 0 (1) Якщо дане рівняння можна

розв'язувати відносно y', то отримаємо явне рівняння.Метод параметризації застосовують тоді, коли р-ня (1) неможливо роз-ти відносно y'.Типи рівнянь які можна розв'язати за домопогою методу параметризаціі:Наприклад

F(y,y')=0 Припустимо що рів-я (2) можна розв'язати відносно y хоча б параметрично: dy = y'dx dx = dy/y' заст це до наших даних. dx= dy = y'dx dy= Загальний метод параметризації проілюструємо на рівняннях Лагранжа і Клеро. Рів.Лагранжа Де хоча я одна функція ,або є нелінійною. Параметр вводимо за формулою: y'=p dy = pdx(2) (*) : dp 0 (!?) данне рівняння є лінійним відносно x = x(p). Заув: При діленні на dp можлива втрата розв'язку p=pi=const; p=pi ,буде роз-ком, якщо Pi)+(Pi) вони можуть бути особ. Р-ня Клеро: . y')=y' . Аналог попередньому (*) (; x+'=0;()dp=0; p=C; y=xC+'(С)-заг. роз-к р. Клеро. Можна показати, що роз-к () є

особл. роз-ком Клеро.

-

5. Теорема Коші-Пікара, теореми про неперервну залежність розв`язку від параметра, початкових умов. Розглянемо задачу Коші: , (x, y) є D = [x0-a, x0+a]x[y0-b, y0+b]. Якщо виконуються умови: 1) f є CD i ; 2) 3) h < min {a, b/M, 1/L}. Тоді на проміжку I = [x0-h, x0+h] (|x-x0|<=h) розв'язок задачі Коші (1), (2).Доведення. 1) (Існування) Задача Коші (1), (2) еквівалентна інтегр. р-ню . Справді, якщо y = y(x) - роз-зок задачі Коші (1), (2), то y'(x) = f(x,y(x)), y(x0) = y0- проінтегруємо: , . Нехай тепер y(x) - роз-зок інтегр. р-ня (3). Продиф-ємо р-ня (3): 2) (Єдиність) . Припустимо, що оп-р F діє на просторі Y={y(x)}, де y(x) - неп-ні диф-ні ф-ції, визначені на I, і задов. умові |y(x)-y0|<=b. Простір - повний як замкн. підпростір повного простору. Оскільки р-ня (3) можна записати у вигляді y = F(y), то роз-ок задачі Коші є нерухомою точкою оператора F. Перевіримо умови теореми Пікара-Банаха: 1) Y - повний (виконується); 2) Покажемо: F(Y) - неп-на диф-на на I (випл. з (4)). 3) Таким чином, F - стискаючий. Отже, за т-мою Пікара-Банаха (принцип стискаючих

відображень) оператор F у прсторі Y має єдину нерухому точку y=(x) - єдиний роз-ок р-ня (3) - єдиний роз-ок задачі Коші (1), (2).

- 6. Класи ДР вищих порядків, які інтегруються у квадратурах.ДРВП мають вигляд: F(x,y,y',…y(n))=0 (1) - неявне скал р-ня 1 пор. y(n)=f(x,y,y',…y(n-1)) (2) - явне ДР 1 п. (n2). F і f - неп-ні ф-ції своїх арг-тів в деяких областях.ДРВП, інтегровні в квадратурахI. F(x,y(n))=0 а) явна форма: y(n)=f(x), , інтегруємо, поки не отримаємо y. б) параметрична форма: , d(y(n-1))=y(n)dx=(t)'(t)dt - заг. роз-ок у параметр. формі. II. F(y(n-1),y(n))=0 а) y(n)=f(y(n-1)) Заміна: y(n-1)=u, u' =f(u), du/f(u)=dx (f(u)0 (?!)) - ДРВЗ, з якого знаходимо u=y(n-1) -тип I. б) - с/рIII. F(y(n-2),y(n))=0 а) y(n)=f(y(n-2)) Заміна: y(n-2)=u; u'' =f(u) |=2u' - інтегр множник

2u'u''=(u')2' =2f(u)u' Ф(x,y(n-2),C1)=0 - р-ня типу I. б) - с/р

-

7. Класи ДР вищих порядків, які допускають зниження порядку.

I. ДР, що явно не залежать від шуканої ф-ції та кількох послідовн. похідних: F(x, y(k),y(k+1),…y(n))=0. Заміна: y(k)=u F(x,u,u',…u(n-k))=0.II. Р-ня, які явно не залежать від незал змінної. F(y,y',y'',…y(n))=0. Заміною y'=p(y), де y

- нова незал змінна, порядок р-ня можна понизити на 1: y''=d(y')/dx=d(p(y))/dx=p'(y)dy/dx=p'p; y'''=d(p'p)/dx=d(p'p)/dydy/dx=(p''p+p'2)p F1(y,p,p',…p(n-1))=0.

III. Р-ня, однорідні відносно y, y', y(n). F(x,y,y',…y(n))=0. Ф-ція F однорідна відн. y,y',…y(n), тобто F(x,ty,ty',…ty(n))=tnF(x,y,y',…y(n)). Заміною y'=yu понижаємо порядок на 1.IV. Узагальнено однор р-ня. Це р-ня типу III, у якому ф-ція F - узагальнено однорідна, тобто F(etx,ekty,e(k-1)ty',…e(k-n)ty(n)=emtF(x,y,y',…y(n)). Заміною x=et, y=uekt, де u - нова невідома ф-ція, р-ня зводиться до типу II.V. Р-ня у точних похідних - такі р-ня, ліва частина яких - точна похідна диф виразу чи

стає нею при множенні на інт множник. F(x,y,y',…y(n))=0, де F=d(F1(x,y,y',…y(n-1)))/dx.

8. Загальні властивості лінійних скалярних рівнянь n-го порядку.Озн. Лінійним ДР n-го порядку наз. рівняння виду (1). a0(x)0 на I=(a;b) i F, akCI,

k1,...n. Канонічна форма: (2). h1,...hn, CI. L – лінійний диференціальний оператор n-го порядку. Якщо (x)0 на І, то L(y)=0 – ЛОР. Якщо на І, то L(y)= - ЛНР.

Заг вл-ті ЛР. 1. Задача Коші для (1) з початковими умо-ми. (i=0,....,n) Завжди має ! який на всьому I. 2. Заміна незалеж. змінних за формулою () переводить ЛР у ЛР, причому ЛОР переходить в ЛОР. 3. Лінійна заміна шуканої ф-ції за ф-ю (P(x)0 на I), p,qCI

n переводить ЛР в ЛР, причому при q0 ЛОР в ЛОР

-

\

9. Властивості лінійних однорідних ЛОР. Необхідна (достатня) умови ЛНЗ.функцій. Критерій ЛНЗ розв`язків ЛОР. Матриця і визначник Вронського.ЛОР має вигляд L(y)=0 (2). ЛОР (2) завжди має тривіальний роз-ок у0 – це єдиний

роз-ок (2), який задов умову y(x0)=y’(x0)=...=y(n-1)(x0)=0, x0(a,b). Якщо у1 – роз-ок ЛОР (2) і у2 – роз-ок (2), а с1 і с2 – константи, то с1у1+с2у2 – роз-ок ЛОР (2). (L(с1у1+с2у2)=с1L(у)1+с2L(у2)=0). Наслідок. Множина Y={y(x)} роз-ків ЛОР (2) утв. лін. векторний простір (ЛВП). Озн. Система ф-цій 1(х),...m(x) (3) наз. лінійно залежною на I=(a,b), якщо 1,...m (), такі, що на І. Озн. (3) наз. лін. незал. на І, якщо з тотожності . Якщо m=2, то з умови 1/2=const на І випливає лінійна залежність функцій 1 і 2. З умови 1/2const випливає лінійна незалежність функцій. Якщо m>2, то використ. критерій Грамма лінійної незалежності: граміан , де. Він застосовується до непер. на [a,b] системи ф-цій. Озн. Матрицею Вронського системи ф-цій (3) наз. матриця . W(x)=W[1,...m]=detФ – Вронскіан системи ф-цій.

Теорема 1. 1. Якщо система (3) ЛЗ на І, то W(x)0 на І. 2. Якщо x0I, таке, що W(x0)0, то с-ма ф-цій (3) ЛНЗ на І. Доведення. 1. Якщо с-ма (3) ЛЗ, то одна з ф-цій є лін. комбінацією інших, тобто det Ф=0. 2. Припустимо, що с-ма (3) ЛЗ, тоді W(x)0 на І (?!). Протиріччя – отже, с-ма (3) ЛНЗ. Критерій лінійної незалежності n роз-ків ЛОР (2) (Теорема 2). Для того, щоб n роз-ків y1, y2, ...yn (4) ЛОР (2) були ЛНЗ на І, необх. і дост., щоб W(x)=W(y1, y2, ...yn)0 на І. Доведення. 1) Нехай W0. Тоді за теоремою 1 система (4) ЛНЗ. 2) Нехай (4) – ЛНЗ. Припустимо від супротивного, що W(x)0. Виберемо x0I і складемо систему рівнянь: (5). Її головний визначник =W(x0)=0, тому с-ма (5) має нетривіальний роз-ок 1,...n :. - роз-ок ЛОР (2). Цей роз-ок задов нульовим початковим умовам (x0)=0, ’(x0)=0, ... (n-

1)(x0)=0. Єдиним розв’язком має бути тривіальний (x)0 і , тому y1, y2, ...yn - лінійно залежні. Прийшли до протиріччя. Тому W(x) 0. Заув. Можна показати, зо для вронскіану n роз-ків ЛОР має місце формула Остроградського-Ліувілля , де x0(a,b) (6). Тому для ЛОР виконується альтернатива: або W(x0)=0W(x)0 система роз-ків (4) лінійно залежна; або W(x0)0 W(x)0система роз-ків (4) лінійно незалежна на І.

- 10. ФСР лінійного однорідного рівняння. Метод Лагранжа. Структура загального розв`язку ЛНР. ФСР називається будь-яка система з n ЛНЗ розвязків ЛОР. Множина Y усіх р-в ЛОР утворює n-вимірний лінійний векторний простір. Базисом цього простору служить фунд сис-ма р-в {yi} . Заг р-к має таку структуру : y=c1y1+…+ cnyn Покажемо що сi завжди можна підібрати щоб задовольнити будь-яким початковим умовам.=W(x0)0 => ! C1,…..,cn Означення:Якщо відома фундаментальна система розв’язків у1,у2,...,уn, то частинний розв’язок завжди можна знайти методом варіацій довільних сталих (метод Лагранжа). Дов: (n=2) метод Лагранжа;(виберемо так С1 та С2 так, щоб =0)=;; то що розв’язки ЛОСР. (10)система Лагранжа

для визначення функцій С1 та С2. Ця система має єдиний розв’язок, оскільки . Розв’язавши систему (10) істанемо:

. Для випадку n>2 частинний розв’язок шукається у вигляді: . Система Лагранжа:Структура заг р-ку ЛНР:Т: Якщо відома ФСР ЛОР то ЛНР завжди можна розвязати методом варіації довільних сталих (Лагранжа). Заг р-к має так структуру: Доведення: будемо шукати р-к у вигляді y=Ciyi де ci=ci(x) з методу Лагранжа отримуємо системусистема Лагранжа.=> =>! отже

- 11. Зниження порядку ЛОР. Формули Остроградського-Ліуввілля і Абеля.

Типи ДРВП, що допускають зниження порядку.I. ДР, що явно не залежать від шуканої ф-ції та кількох послідовн. похідних: F(x, y(k),y(k+1),…y(n))=0. Заміна: y(k)=u F(x,u,u',…u(n-k))=0.II. Р-ня, які явно не залежать від незал змінної. F(y,y',y'',…y(n))=0. Заміною y'=p(y), де y - нова незал змінна, порядок р-ня можна понизити на 1: y''=d(y')/dx=d(p(y))/dx=p'(y)dy/dx=p'p; y'''=d(p'p)/dx=d(p'p)/dydy/dx=(p''p+p'2)p F1(y,p,p',…p(n-1))=0.III. Р-ня, однорідні відносно y, y', y(n). F(x,y,y',…y(n))=0. Ф-ція F однорідна відн. y,y',…y(n), тобто F(x,ty,ty',…ty(n))=tnF(x,y,y',…y(n)). Заміною y'=yu понижаємо порядок на 1.IV. Узагальнено однор р-ня. Це р-ня типу III, у якому ф-ція F - узагальнено однорідна,

тобто F(etx,ekty,e(k-1)ty',…e(k-n)ty(n)=emtF(x,y,y',…y(n)). Заміною x=et, y=uekt, де u - нова невідома ф-ція, р-ня зводиться до типу II.

V. Р-ня у точних похідних - такі р-ня, ліва частина яких - точна похідна диф виразу чи стає нею при множенні на інт множник. F(x,y,y',…y(n))=0, де F=d(F1(x,y,y',…y(n-1)))/dx.*) Критерій л.з. і л.н.з.Нех. -р-ки с-ми(2).-М. Вронського Det(X(t)) = W(t) - Вронськіан си-ми р-ів(3).Теорема: Для того, щоб с-ма роз-ів (3) була л.н.з. на І W(t)0 на І;Наслідок: для с-ми р-ів (3) має місце така альтернатива:1)або W(t)0 на І (3) – л.н.з.,2)або W(t)=0 на І (3) – л.з.Зауваження: має місце така ф-ла Остроградського – Ліувілля :

-

12. Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами . Метод Ейлера. Комплексна та дійсна ФСР. L(y)y(n)+a1y(n-1)+...+a--ny=0 (1), де а1,а2,...,аn=const.Лема1 . L(eλx)=λneλx+a1λn-1eλx+...+aneλx=eλx(λn+a1λn-1+...+an); D(λ) λn+a1λn-1+...+an (2)-характеристичний многочлен оператора L. Отже L(eλx)= eλx D(λ).Лема2 . Функція у=eλ0x є розв’язком ЛОР (1) лише тоді, коли D(λ0)=0.Приклад: y''-4y=0: D(λ)=λ2–4=0 => λ=±2 ; y0=C1e2x+C2e–2x.! Якщо коефіцієнти ЛОР(1) дійсні, то завжди можна побудувати дійсну фундаментальну систему розв’язків. Нехай рівняння D(λ)=0 має комплексний корінь α+βі тоді воно має і спряжений корінь α–βі. Цим кореням відповідають розв’язки: е(α+іβ)х=еλх(Cosβx+iSinβx) та е(α–іβ)х=еλх(Cosβx–iSinβx). Оскільки дійсна та уявна частини комплексних розв’язків також є розв’язками, то дане рівняння матиме таки розв’язки: еλхCosβx; еλхSinβx; –еλхCosβx; –еλхSinβx. Отже парі комплексно спряжених корені відповідає два лінійно незалежні дійсні корені.Приклад. λ1,2=±2і => у0-

=С1Cos2x+C2Sin2x.Означення1 : Число λ0-корінь многочлена D(λ) кратності n, якщо D(λ)=(λ–λ0)nD1(λ), причому D1(λ0)≠0.Означення2 : Число λ0-корінь кратності n многочлена D(λ), якщо D(x0-)=0, D'(x0-)=0, D''(x0)=0,..., D(n)(x0-)≠0.Лема3 . Якщо D(λ)=0 має корінь λ0 кратності n, то ЛОР має рівно n лінійно незалежних розв’язків виду еλ0х,λеλ0х,...,λn-1еλ0х.Доведення. Тотожність L(eλx)=eλx D(λ) по λ : L(хкeλx)=(eλx D(λ))(к)= L(хкeλx)= (4) λ=λ0 : L(xkeλ0x)= . Нехай k буде 0≤k≤r-1,тоді D(i)(λ)=0 i L(xkeλ0x)=0.Наслідок : Нехай характеристичне рівняння D(λ)=0має такі корені : λ1-кратний r1, λ2-кратний r2,...,λm-кратний rm, тоді ЛОР(1) має таку систему лінійно незалежних розв’язків : еλ1х,хеλ0х,...,хn-

1еλ0х,..., еλmх,xеλmх,...,xn-1еλmх,...(5). Ця система є комплексною. Якщо коефіцієнти рівняння (1) дійсні, то завжди можна побудувати дійснуфундоментальну систему розв’язків.! Якщо дійсні частини усіх коренів характеристичного рівняння від’ємні, то кожна з функцій системи (5)→0 при х→+∞, а отже у0→0 при х→+∞.!! якщо корені характеристичного рівняння часто уявні та прості (однократні), то загальний розв’язок представляє собою тригонометричну функцію (комбінацію синусів та косинусів).

-

13. Метод побудови частинного розв’язку ЛНР з правою частиною – квазіполіномом. Резонансний та нерезонансний випадки.

Оскільки ФСР ЛОР завжди можна знайти, то ЛНР завжди можна роз-ти викор. метод Лагранжа. У випадку прав. частини –квазіполінома заг. р-ок можна зн-ти не викор-чи метод Лагранжа : , сума заг. р-ку ЛОР і частинного р-ку неоднор. р-ня. І , P- многочлен ст. L, - контрольне число.Нехай n=2 : . Нехай , Q(x) - ? Підставимо ці значення у наше р-ня : Отримуємо : А) D()=0, D’()0; ( - корінь характерист. р-ня крат-ті 1)Б) D()=0, D’()=0 Висновок : Теорема: якщо контр. число правої частини є кор-ем хар-го р-ня крат-ті r, то ЛНДР з правою частиною має єдиний частин. р-ок вигляду , де Q- многочлен ст L з невизнач. коеф-ми. Якщо r=0 то має місце нерезонансний випадок, в іншому випадку – резонансний. ІІ

ІІІ Ф-ія може бути представлена : Тоді . Складемо ці два р-ки:Якщо контр. число є коренем хар-го р-ня кратності r,то ЛНР з правою частиною (ІІ)

має єдиний частинний р-ок : Щоб знайти невідомі коефіц-ти треба заг. р-ок підставити у поч. р-ня і прирівняти коеф. при однакових лін. незалежних ф-ях .

14. Рівняння, звідні до рівнянь зі сталими коефіцієнтами (Ейлера, Лагранжа, Чебишева). 1) Р-ня типу Ейлера. xny(n)+ a1 xn-1y(n-1)+….+ an y=0; a1,…=const; заміною x=et (x>0); x=e-t (зводяться до р-нь зі сталими коефіціентами. Розвязки р-ня Ейлера можна одразу

шукати у вигляді y=xS,де S – параметр.2) Р-ня типу Лагранжа (ax+b)ny(n) + a1 (ax+b)ny(n) + ..... + an y=0 заміна ax+b=et 3) Р-ня Чебишева.(1-x2)y’’-xy’+w2y=0 |x|<1 заміна x=Cost

15. Система ДР у нормальній формі Коші. Розв’язок, перший та загальний інтеграли системи ДР. Теорема Коші-Пікара (формулювання).

С-ми ДР у нормальній формі Коші: .Де, х- незалежна змінна, а у1=у1(х).... уn=уn(х)- шуканы функції. Системою звичайних ДР є запис: . І системою у диференціальній (векторній) формі Коші: . Задача Коші для системими (2) полягає в знаходженні такого розв”язку , що при x=x0 приймає значення .

Означення : функція , називається загальним розв”язком системи (2) в D, якщо: 1) f – є розв”язком при доп. значенні с; 2) в області D виконуються умови теореми Коші-Пікара; 3) поч. точок (x0, у0)D: , має єдиний розв”зок відносно с. Означення : рівність типу , де yi- розв”язки системи (2) називаються проміжними інтегралами системи (2). Для проміжних інтегралів має місце рівність: , в D. Означення : f(x, y1, y2,.., yn)= C1 назив першим інтегралом системи: , якщо повна похідна в силу системи (1) = 0. Перші інтеграли виникають при інтегруванні системи (1). Якщо відомо n незалежних перших інтегралів, то вони утворюють загальний інтеграл системи. Теорема Коші-Пікара для системи (2): Нехай виконуються умови: 1) f-неперервна по всім змінним у замкненій області D, m=||f|| 2) f по y задовільняэ умові Лібшиця: , де L=const, у`, та у`` - точка з D: тоді в деякому околі х0 : , де , розв”язок задачі Коші (2);

16. Методи виключення та інтегровних комбінацій для систем ДР.Метод інтегровних комбінацій: за допомогою арифметичних операцій над рядками системи утворюють інтегровні комбінації (тобто рівняння відносно деяких нових функцій, що легко інтегруються):

Приклад: Означення : (x, y1, y2,.., yn)= C1 назив першим інтегралом системи , якщо повна похідна в силу с-ми (1) = 0. Перші інтеграли виникають при інтегруванні системи (1). Якщо відомо n незалежних перших інтегралів, то вони утворюють загальний інтеграл системи.Пр: - другий інтеграл системи.Метод виключення: базується на зведенні системи до одного або кількох скалярних

рівнянь вищих порядків. Алгоритм: Застосовується процес виключення x2 і x3. Рівняння (1) диференціюємо двічі: , отримаємо: Розв”язки (4) і (5) відносно x2 і x3 і підставляємо у (6). Далі знаходимо відповідні р-ки. Приклад: . Знаходимо x і y.

-

17. Загальні властивості лінійних систем.Система лінійних ДР: , , - матриця . Припустимо , якщо - то це лінійна однорідна

система (ЛОС), якщо , то лінійна неоднорідна система (ЛНР). Загальна

властивість лінійних систем (1). Задача Коші для (1), з початковими умовами , , (2), має єдиний розв”язок який існує на I.

Властивості ЛОС : 1) Система (3) має тривіальний розв”язок - це єдиний розв”язок з початковими нульовими умовами ; 2) Якщо А(t) – дійсна матриця, а (3) має комплексний розв”язок , то Re(w), Im(w)- також розв”язки системи (3); 3) Якщо , - розв”язки (3), а , то - також розв”язок; Що множина усіх розв”язків системи (3) утворює лінійний векторний простір.

18. Необхідна (достатня) умова ЛНЗ системи вектор-функцій. Критерій ЛНЗ системи розв’язків ЛОС. Метод Лагранжа. Структура загального розв’язку ЛНР. Якщо відома ФСР у1…уm то частинний розвязок завжди ьожна знайти методом варіацій довільних сталих (методом Лагранжа):(1) => , так виходить то му що ми певним чином вибираємоС1 С2. Тоді . Підставивши

всі отримані вирази у р-ня (1) отримаємо . Ті величини, що біляС1 С2 дорівнюють нулю, тому що це розвязки ЛОСР. => це бля система Лагранжа для визначення ф-кцій С1 С2 вона має єдиний розвязок, оскільки

Розвязавши систему дістанемо Розглянутий випадок стосується випадку n=2, якщо ж р-ня вищого порядку, то отримаємо аналогічно і відповідну систему Лагранжа:

19. ЛОС зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера та матричний метод побудови фундаментальної матриці. Залежність асимптотичних (при t → + ∞) властивостей матрицанта від власних чисел матриці системи. ЛОс зі сталими коефіцієнтами має вигляд Матриця вимірна Метод Ейлера Розвязування системи (1) : Будемо шукати роз-ок у вигляді Підставимо (2) в (1) - це система n лінійних алг. рівнянь з n невідомими. Вона має нетривіальний роз-ок тоді і тільки тоді коли -Характеристичне рівняння матриці A (рівняння n-ого степеня відносно )Алгоритм метода Ейлера: 1. Складаемо Хар рівняння (4) ш знаходимо власні числа

матриці А 2 -власне число матриці А Складаемо систему (3) відносно h:власний вектор матриці А, який відповідае вл. числу (Ненульовий вектор називається власним вектором матриці А, якщо ) -Розвязок ЛОС (1) Розглянемо випадки 1. Хар рів-ня (4) Має n-різних власних коренів матриці А Тоді загальний роз-ок має вигляд , Х –фунд. матр. 2. Коли хар. рів-ня. А має кратні корені . Тоді загальний роз-ок : де -частина загального роз-ку що відповідае кореню хар рів-ня

21. Спектральні задачі. Задача Штурма-Ліуввілля. Властивості власних чисел і власних функцій задачі Штурма-Ліуввілля.

Загальна постановка спектральної задачі Розглянемо ЛОКЗ: (2) х – n-вим. вектор , A(t),B(t) – (n*n) вим матр. - параметр. При будь якому задача (1-2) має тривіальний роз-ок Х=0Спектральна задача: полягає у знаходженні нетривіальних роз-ків КЗ (1-2) і тих

значень параметрів при яких вони існують Нетрив. роз-ок – власна функція СЗ(спектр. задачі) А відповідне - власне число СЗ сукупність усіх власних функцій і чисел – спектр СЗ. Позн: - сукупність усіх власних чисел - сукупність усіз власних функцій. Схема розвязання СЗ - фундаментальня матриця системи тоді заг роз-ок системи 1 має вигляд : Підстав заг роз-ок в край умови (2) (3) - характер. рівняння СЗ - корень (4)

- знаходимо - власна функція що відповідає числу . Властивості: 1. Існує счисленна множина власних чисел і влас функцій З. Ш-Л, Множина власних чисел обмежена знизу. 2. Якщо дві власні функціі відпов одному вл числу то вони ЛЗ. Висновок: Спектр ВЛ З.Ш-Л. є простим 3. Якщо Y1 власна функція що відп. а Y2 - … - і що Y1 і Y2 – ЛНЗ і взаємно ортогональні з ваговою функцією 4. Власні числа і Власні функціі З.Ш-Л. є дійсними. 5. Теорема Стеклова: Система вл. Функцій З.Ш-Л. (1-2) утворює повну ортогональну систему функцій в просторі з ваговою функцією Задача Ш-Л. – є частинним випадком СЗ. ЗШЛ складається з р-ння :Де L(y)- специфічний ЛД оператор : L(y)=(p(x)y’)’-g(x)y(3) Припускається що p,q,, ,p >0 на [a,b]

22. Інтегральне представлення розв’язку лінійної диференціальної задачі. Функції Гріна і Коші, їх фізичний смисл.Мета: дістати залежність р-ку Л.Д.З. від вхідного сигналу (від )

1.Задача Коші.Нехай Y(x)–фундоментальна матриця. Якщо шукати розв. Неод. Системи методом Лагр. У вигляді Таким чином р-к (3),(4) представлени у формі: – матриця Коші системи (3)Властивості K(x,s): 1) K’=a(x)K– К також фундоментальна матриця при кожному S. 2) K(s,s)=EN

Зауваження: Якщо в системі (3) матриця А-стала: А(х)=А=const то тоді Y(x,)=eAx, Y-

1(s)=e-As; тоді функ-ія Коші має такий вигляд K(x,s)=eA(x-s)

Побудова функцій Коші для скалярного рівняння n-го порядку., нехай y1(x),… yn(x)- фундоментальна система розв”язків ЛОР. Тоді функція Коші К(х,s) шукається у вигляді: (Хули (7) не знаю..), Коефіціент Ck(s) визначається з рівняння: , Як => з рівняння (7): , (8)- це лінійна алгебраічна неоднорідна система відносно Ck(x). Причому головний визначник системи (бо система фундоментальна). Тому система (8) має єдиний розв”язок. Висновок: Розв”язок такої залачі має вигляд: 2.Побудова функ. впливу крайових задач. а00 ,а1,а2, f-неп.:С[a,b] .|bi1|+|bi2|0 i=1,2. Теорома:Нехай однорідна крайова задача (1), (2) (f0)має лише тривіальний роз-ок. Тоді неоднорідна крайова задача для неп. Ф-цій f має єдиний роз. , який можна представити у формі: Ф-ція G(x,s) наз. Функ. впливу (Гріна) задачі (1),(2) : визначається з умов: 1)G(x,s) визначена при axb, a<s<b. 2)При xs фун. G задов.однор. р-ня.:L(G)=0 (xs, max). 3)G(x,s) як функ від х задов. Крайовим умовам (3). 4) G’x(s+0,s) max по х при x=s має розрив першого роду Стрибок 1/(a0(s)).Система побудови матриці Гріна: Нехай Y(x)- фундоментальна матриця ЛОС. Матриця Гріна C1(S), C2(S)- покищо невідомі матриці (nxn). Ці матриці шукаються з умови: G(s+0,s)-G(s-0,s)=Em (3), і з границних умов (2), Для С1 і С2 маємо таке рівняння: Y(s)C2(s)- Y(s)C1(s)=Em; С2(S)-C1(S)=y-1(S)=>C2(S)=C1(S)+Y-1(S). Матриця С1 визн. Після підстановки в краєаві умови (2).-

23. Означення стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості (за Ляпуновим). Лема про систему збурень.

У всій цій шпорі символ => ` <= що стоїть після якоїсь букви, заміняє горизонтальну черту (тобто знак вектора ) над ціею буквою. , а символ => `` <= відповідно: . Позначення: x`(t)-розв”язок задачі задачі Коші (1) і (3). х'-невідома функція. t-змінна. Нехай маємо: (1) Припустимо, що в облаті t>=t0, f – задовільняє теоремі Коші-Пікара (про иснування і єдигість розв”язку задачі Коші). Розглянемо початкові умови: x`(t0)=x0

` (2) Розв”язок задачі Коші (1), (2) позначимо: Поруч з задачею (1), (2) будемо розглядати задачу Коші з початковою умовою: x`(t0)=x0

`` (3) Розв”язок задачі Коші (1), (3) позначимо: . (Хто не згоден всі претензії в письмовій формі приймає Кривошея Сергій Арсентьович ). А це х...я яку преба було знати ще з курсу матана (на всякий випадок): Нехай , де НОРМОЮ називаеться така х...я: Декілька означень: Def: Той розв”язок який досліджуеться на стійкість – незбурений розв”язок. Def: Розв”язок - незбурений розв”язок. Def: Розв”язок - збурений розв”язок, бо породжений збуреними початковими умовами. Def: Різниця --збурення розв”язку. Def: Різниця x0

``-x0`-

збурення початкових умов. Припустимо, що якщо || x0-x0``||- мала, то виникае питання

чи буде малою норма різниці відповідних розв”язків, на нескінченному інтервалі t<=t0 ? ( If ..true then -

стійкий за Ляпуновим ). Def: Розв”язок системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо виконуються умови: 1) Цей розв”язок існує при всіх t<=t0 .(Тобто на [t0 ; +]); 2)таке >0, що розв”язку з початковою умовою x`(t0)=x0

``, для яких || x0`-x0

``||>, також існує на [t0 ; +]. 3)>0, що для >0:

||- ||<, при t>=t0, як тільки || x0`-x0

``||>. (Нормально кажучи, незбурений розв”язок називається стійким за Ляпуновим, якщо малим збуренням початкових умов, відповідають малі збурення розв”язку на +) Def: Якщо ж крім умов (1),(2),(3) виконуеться:, (4) то -асмптотично стійкий за

Ляпуновим. (Короче: Якщо на + збурений розв”язок не можна відрізнити від незбуреного, то цей розв”язок можна назвати асмптотично стійким за Ляпуновим). Def: Розв”язок називаеться нестійким за Ляпуновим, якщо він не є стійким за Ляпуновим. (Якщо порушена одна з умов (1),(2),(3)). Лема про систему збурень : виявляється, що досліджування на стійкість розв”язку , системи (1), еквівалентне досліджуванню на стійкість нульового розв”язку, деякої допоміжної системи, що називаеться ситемою збурень (6): дов. :, це система (1), тепер замінюємо в ній , де - новий шуканий розв. і розписуємо диференціал, маємо: Отже дослідження розв”язку звелося до дослідження тривіального нульового розв”язку , де ( ) (6) Таким чином, проблема стійкостірозв”язку зводиться до стійкості нульового розв”язку.

-

24. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійних систем зі сталими коефіцієнтами. Критерій Гурвіца.

Стійкість лінійних систем: Нехай (1), де A(t)- (nxn) вимірна матр. непер. на ; - n вимірна векторна ф-ія непер. на . Складемо систему збурень: (2) – (ЛОС) . Оскільки система збурень (2) не залежить від розв’язку , то має місце теорема 1: Усі розв. сист. (1) є стійкими, ас. Стійкими, або не стійкими залежно від того чи є ст. , ас. ст. Чи нест. тривіальний розв сист. збурень (2). розв. має таку структуру: (3), де X(t)- фунд. матр. ; Y(t) – матрицант. Розглянемо (4) , при Покажемо що коли фунд. матр. системи (2) обмежена на , то кожний розв. сист. (1) має ст. розв. за Ляпуновим. Якщо при то з (4) випл. що при .Отже трив. розв є ас. ст. Отже 1) для того щоб розв. (1) були ст. необх. і дост. щоб фунд матр (2) була обм. 2) для того щоб розв (1) були ас. ст. фунд матр (2) при 3) щоб розв (1) – нест. фунд матр.(2) не обмеж на . Ст лін сист з сталими коеф: нехай

(5) A – стала (дійсна) (nxn) вимірна матр. Згідно з мет. Ейлера заг. розв (5) має структуру:(6) - різні вл. числа матр А. -век. многочл. степеня де -вл.ч. Тоді має місце така теор.: 1) для того щоб розв. ас.ст. 2) якщо хоча б одне то сист. (5) нест. 3) Якщо і ті є простими (однократними), то сист (5) – стійка. Критерій Гурвіца: нехай хар-не р-ня матр А має вигляд: (7) Запишемо матр Гурвіца: (в оригіналі матр (nxn)) Короче, по діаг. Повинні йти всі індекси по-порядку а решта стовпчиків зміщуються вниз а тих ел котрих немає зам. нулями. Тоді для того щоб дійсні част. всіх вл.чис. матр А були <0 щоб усі головні діагональні мінори Н були >0. 1) нех тоді аналогічні роздуми можна провести і для р-нянь вищих порядків

- 25. Критерій стійкості за першим наближенням. Розміщення траєкторій в околі точки спокою системи (n=2). Типи точок спокою.Критерій стійкості за першим наближенням: (1) . Складемо систему збурень: (2) : , - гладка; лінеаризуємо в околі точки . : де при ; Знехтуємо : Озн. Система лін. диф. р-нянь: (3) наз. системою першого наближення для сист. (1) побудованої в околі розв. .Т. (Ляпунова) Якщо тривіальний розв. сист. першого набл.(3) – асимпт. стійкий то розв. сист. (1) також асимпт. стійкий. Нехай A(t)=A – стала; Тоді критерій Ляпунова має вигляд: 1. - ас. стійка (), то розв. -

ас. стійкий. 2. якщо серед власн. чисел матр. А є хоча б одне власне число з дод. дійсною частиною,

тосистема першого наближення – нестійка, а разом з нею нестійкий і розв. . 3. якщо власні числа А задов. умові і є такі , то теорема не вирішує питання про стійкість . Розм траєкт в ок т спок сист: Класифікація точок спокою проводиться за власними числами матриці коефіцієнтів системи: , - власні числа; I 1) , - стійкий вузол. 2) , - нестійкий вузол; 3) - сідло. II 4) - асимптотично стійкий фокус; 5) - нестійкий фокус; 6) - (центр) стійке положення; якщо мають місце вироджені випадки Приклади: 1) Точка спокою стійка. оск при зб t зменш. x I y (тобто стілочки прямують до нуля) 2) Сідло:

-

26. Методи (регулярний і сингулярний) степеневих рядів.

Короче, пацан, те крупно не повезло. Просто немеряно ибо я ебу как писать эту шпору ибо п-ц. (Stopa) Надеюсь на экзамене я этого читать не буду . Но все-же что-то напишу (все что нашел): Для інтегрування диф. р-нянь використовують аналітичні та чисельні наближені методи. Одним із методів аналітичного наближеного інтегрування є метод степеневих рядів. Покажемо його застосування на прикладі ЛР 2-го порядку. (1) називається звичайною точкою (1) якщо аналітичні в околі цієї точки: (2) - сп. радіус зб. Озн. Якщо є точкою розриву то вона наз. особливою т-кою.Озн. Нехай такі, що та p(x),q(x) аналітичні в околі т. і та

Тоді називається регулярною особливою т-кою. Теорема: нехай - рег. особл. т-ка (1) та , Тоді (1) має хоча б один розв., який можна представити у вигляді узагальненого ряду:

-

27. Рівняння і функції Бесселя.

Рівнянням Бесселя наз р-ня виду x2y’’+xy’+(x2-2)y=0 (5), де 0 – параметр. Поділимо на x2:y’’+(1/x)y’+(x2-2)/x2y=0; h1(x)=1/x, p(x)=1; h2(x)= (x2-2)/x2, q(x)= (x2-2); r= - спільний радіус збіжності. x0=0 – регулярна особлива точка рівняння Бесселя. Озн. Довільний нетривіальний роз-ок р-ня (5) наз. ф-цією Бесселя порядку або циліндр. ф-цією пор. . Знайдемо роз-ок р-ня Бесселя у вигл. степен. ряду: (6), c00, m-?. (6) підст. в (5): . (7). Прирівняємо суму коефіцієн-тів при однакових степенях х до 0: (8). В рамці визначальне рівняння. З визнач. рівняння маємо m=. Виберемо з початку m=. З другої рівності c1=0c3=0...c2k+1=0,... .Таким чином, роз-ок (6) має вигляд (9). У (9) параметр с0 виберемо в такому вигляді .

Г(+1)=Г(). (10). Ф-ція, яка визн. ф-лою (10), наз. ф-цією Бесселя 1-го роду порядку . Можна показати, що ряд (10) рівномірно збігається на всій числовій осі. Якщо вибрати m=-, то формально дістанемо такий роз-ок (11). Розглянемо такі випадки: 1) Z. Тоді розки I(x) i I-(x) – лін. незал. . Тоді . 2) Z. Можна показати, що в цьому випадку I(x) i I-(x) – лін. зал. (=0 I0(x)=I-0(x)). =n0Z. Оск. Г-ф-ція у недодатніх цілих точках має полюси, то Г(-n+k+1)= при k=0,1,...n-1. Тому - лін. зал. з In(x). У цьому випадку заг. роз-ок р-ня Бесселя не можна побудувати, викоритовуючи ф-ції Бесселя 1-го роду: . Використовуючи формулу Абеля і взявши у ролі у1=In(x), можна побудувати роз-ок Yn(x) р-ня Бесселя, лін. незал. з роз-ком In(x). Цей роз-ок наз. ф-цією Бесселя 2-го роду або ф-цією Вебера порядку n. . В околі точки 0 ф-ція Бесселя 2-го роду має логарифмічну особливість. Отже, у випадку, коли =nZ заг роз-ок має вигляд y=C1In(x)+C2Yn(x). Зауваження. Рівняння виду x2y’’+xy’+(k2x2-2)y=0 заміною незал. змінної t=kx можна звести до рівняння Бесселя. Властивості ф-цій Бесселя описані в конспекті лекцій.

-

28. Лінійні однорідні та квазілінійні рівняння з частинними похідними 1-го порядку. Метод характеристик.

Озн. ...... Озн. Квазілінійне р-ня (КЛР) (2). P1,...Pn,Q – неперервні, . Озн. Система ЗДР (СЗДР) (3) – це с-ма, характеристична для ЛОР (1). Кожна траекторія с-ми (3) – характеристика р-ня (1). Симетр. форма с-ми характеристик (3): dx1/P1=...=dxn/Pn (3’). Лема 1. Якщо (x1,...xn)=С – перший інтеграл с-ми характеристик (3), то ф-ція U=(x1,...xn) – роз-зок ЛОР (1). Справдливе й обернене твердження. Дов. 1) (x1,...xn)=С – перший інтеграл с-ми (3) d=0 (в наслідок с-ми (3)). (dxi=pidt) U=(...) – роз-ок (1). 2) U=(x1,...xn) – роз-ок ЛОР (1). . Теорема 1. (Про заг. роз-ок ЛОР (1)). Нехай - система n-1-ого незалежних інтегралів (3’), тоді заг. роз-ок ЛОР (1) буде U=F(1,2,...n-1) (4), де F – диференційовна ф-ція. Дов. 1) Покажемо, що (4) – роз-ок. . Підставимо це в (1): . Отже, (4) – роз-ок ЛОР (1). 2) Покажемо, що (4) – заг. роз-ок. Нехай - дов. роз-ок ЛОР (1). Покажемо, що його можна дістати з (4). (5).

Це лін. однор. алгебр. с-ма відн. р1,...рп, оскільки , то: - якобіан. Відомо, що в такому випадку 0,1,...n – функціонально залежні 0=Ф(1,...n). Метод характеристик розв'язання ЛОР (1). 1. Складемо систему характеристик для

ЛОР. 2. Шукаємо систему n-1-го незалежного інтегралу системи (3). 3. За ф-лою (4) записуємо заг роз-ок ЛОР (1). Лема 2. КЛР (2) за допомогою заміни невідомої ф-ції можна звести до ЛОР (1), у якому кількість аргументів та компонент вектора р збільшується на 1. Дов. Введемо у р-ня (2) невідому ф-цію (6). (Будемо вважати невідомою ф-цією не ф-цію U, а ліву частину того р-ня, яке неявно задає ф-цію U. Похідна від неявної ф-ції (7). Підставимо у (2): . Домножимо на : (8) – ЛОР. Метод характеристик для КЛР (2). 1. Зводимо КЛР до ЛОР або одразу записуємо систему характеристик для КЛР, що матиме вигляд: (9). 2. Знаходимо с-му n незал. інтегралів с-ми (9): . 3. Записуємо загальний інтеграл КЛР (2): . Приклад. . С-ма характеристик: . . F(U, x-aUt)=0.

-29. Задача Коші для лінійних та квазілінійних рівнянь.Нехай у просторі Rn задана гладка гіперповерхня S (гладка херня розмірності n-1): .

Задача Коші для ЛОР (1) (див. шпаргалку 28) допомагає у знаходженні такого роз-ку , який на гіперпверхні S приймає задані значення: (10) – початкова умова, де - задана непер. диф-на ф-ція. Алгоритм розв’язання задачі Коші. 1. Складаємо систему харакеристик і знаходимо n-1 незалежних інтегралів 1=C1, ..., n-1=Cn-1. 2. Складемо систему задачі Коші: . 3. З цієї системи виключаємо С1,...Сn.

Отримаємо , підставивши цей вираз в останнє рівняння, маємо: - роз-ок задачі Коші. Приклад. . 1. dx/y=dy/-x -> dx-ydy=0. 2. ; 2x2=C1-1, y2=(1/2)(C1-1).u=(1/2)(C1-1)=(1/2)(x2+y2-1)

-

30. Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Основні теореми операційного числення.

Озн. 1. Оригіналом наз. функція f (взагалі кажучи, комплексна f=u+iv) дійсної змінної t, яка задовольняє умови: 1) f0 при t<0; 2) f – кусково-неперервна на будь-якому скінченому інтервалі; 3) існують числа М>0 і >0 такі, що (1). Клас всіх функцій-оригіналів позначимо буквою О. Якщо fO, то число 0=inf{} (точна нижня межа по всім >0, для яких виконується (1)) називається показником зростання функції f. Запис означає, що f є оригіналом з показником зростання 0. Якщо ф-ція f задов умови 2 і 3, але не задов. умову 1, то ф-ція f(t)h(t), де - ф-ція Хевісайда, цю умову задовольняє, і, співпадаючи з f при t0, є оригіналом. Далі множник h(t) опускатимемо, припускаючи, що виконується умова 1. Озн. 2. Нехай fO[0]. Зображенням (перетворенням Лапласа) даної ф-ції наз. ф-ція F комплексної змінної p=+i, яка визначається інтегралом Лапласа (2). Це позначається так: fF (далі fF). Приклади: ; ; . Осн. вл-сті перетв. Лапласа. Теорема 1. Нехай fO[0] і f(t)F(p). Тоді: 1) інтеграл Лапласа (2) збігається абсолютно і рівномірно в області Rep=00; 2) зображення F(p) має похідні всіх порядків в області Rep=00, причому (3); 3) (4). Основні теореми операційного числення. Т.1. (Лінійність перетв. Лапласа). Нехай fkO[0k], fk(t)Fk(p), ak=constC (k=1,2,...n). Тоді (2.1). Т.2. (Диференціювання оригіналу). Нехай f,f’O[0], fF(p). Тоді (2.2).

Наслідок. Якщо f,f’,...f(n)O[0], fF(p), то (2.3). Т.3. (Інтегрування оригінала). Нехай fO[0], fF(p). Тоді (2.4). Т.4. (Диференціювання зображення). Нехай fO[0], fF(p). Тоді (2.5). Т.5. (Інтегрування зображення). Нехай f(t),f(t)/tO[0], fF(p). Тоді (2.6). В теорії ф-ції компл. зміннї доводиться, що в (2.6) інтегрування можна вести по q від p>0 до + вздовж дійсної осі. Т.6. (Зміна масштабу). Нехай fO[0], fF(p) і c=const>0. Тоді f(ct)(1/c)F(p/c), Re p>0c. (2.7). Т.7. (Зміщення зображення). fO[0], fF(p), =constC. Тоді etf(t)F(p-), Re p>0+Re . (2.8). Т.8. (Теорема запізнення). Нехай fO[0], =const>0, f(t)=f(t-)h(t-) і fF(p). Тоді f(t)e-pF(p), Re p>0. (2.9). Т.9. (Зображення згортки двох оригіналів). Нехай f1O[01], f2O[02], f1F1(p), f2F2(p). Тоді згортка ф-цій f1 і f2 – ф-ція має вл-сті: 1) О[0], де 0=max{01, 02}; 2) =f1*f2F1(p)F2(p), Re p>0 (2.11). Т.10. (Граничні співвідношення). 1) Нехай f, f’ O, fF(p), . Тоді (2.11); 2) Нехай f, f’ O[0], fF(p) і . Тоді (2.12). Т.11. (Зв’язок між перетворенням Лапласа і перетв. Фур’є). Нехай f(t) задов достатнім умовам існування перетворення Фур’є (наприклад, f абсолютно інтегровна на R і кусково-гладка на кожному скінченному проміжку R). Тоді (2.14), де , . Якщо fO, то , де F(p)f(t).

-

31. Обернення перетворення Лапласа. Формула Рімана-Мелліна, відшукання оригінала раціонального зображення, метод степеневих рядів.

Обернене перетворення Лапласа здійснюється за формулою Рімана-Мелліна: нехай fO[0] і f(t)F(p), а ф-ція при >0 може бути предсавлена інтегралом Фур’є. Тоді має місце формула (теорема 1.2) (1). Інтеграл слід розуміти як криволінійний в компл. площині вздовж прямої Re p=>0 від -i до +i. Заув. З теореми випливає теорема єдиності оригінала: якщо f1F і f2F, то f1=f2 скрізь, за можливим винятком точок розриву хоча б однієї з функцій f1, f2. Дійсно, в цьому випадку f1 і f2 виражаються через F(p) за допомогою того самого інтеграла (1), і, крім того, f*(t)=f(t), якщо t є точкою неперервності f. Методи обчислення інтегралів типу (1) вивчаються в теорії ф-цій компл змінної. Відшукання оригінала раціональної ф-ції. Нехай F(p)=K(p)/M(p) (2), де K(p)=a0pm+a1pm-1+...+am,M(p)=b0pn+b1pn-1+...+bn – многочлени степеня m i n відповідно, a00, a1, ...am, b00,

b1, ...bn – комплексні коеф-ти. Дріб F(p) – правильний (m<n), інакше не викон. умова , необхідна для зображення. Цей дріб можна представити у вигляді суми правильних раціональних дробів. Оскільки коеф-ти многочленів K(p) i M(p) компл., то в цьому представленні будуть лише елементарні дроби першого і другого типів і (3). Їх оригінали , (4). Елементарні дроби виду і (5) зустрічаються лише якщо розглядати дійсні коеф-ти.

В загальному випадку компл. коеф-тів ці дроби можуть бути представлені у вигляді (3) з комплексними А і .Зауваження. 1. Доведено, що правильний рац. дріб F(p) є зображенням лінійної комбінації ф-цій виду tnetcost, tnetsint (n=0,1,2,...). 2. Коеф-ти розкладання дробу F(p) на елементарні дроби не обов’язково шукати за допомогою методу невизначених коеф-тів. Формули для цих коеф-тів дають наступні дві теореми. Теорема 1. Нехай F(p) – правильний раціональний дріб, знаменник якого М(р) має лише прості корені k (k=1, 2, ...n). Тоді (6). Теорема 2. Нехай F(p)=K(p)/M(p) – правильний раціональний дріб, знаменник якого М(р) має корені 1, 2, ...l кратностей m1, m2, ...ml відповідно. Тоді (7), де (8).Відшукання оригіналів за допомогою степеневих рядів. У випадку, коли зображення

F(p) преставлено степеневим рядом за степенями 1/р, оригінал f(t) можна знайти у вигляді степеневого ряду за степенями t. Теорема 3. Нехай (9), причому ряд (9) збігається при |p|R0>0. Тоді оригіналом для F(p) є ф-ція (10).

-

32. Застосування операційного методу до розв’язання ЛДР зі сталими коефіцієнтами.

Розв’ язання задачі Коші для звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіціентами. Застосування опраційного числення до розв’язання цього класу задач розгланемо на прикладі задачі Коші для лінійного рівняння другого порядку (задача l(x)): (t>0) (4.1), x(0)=x0, x’(0)=x0’ (4.2) (a1, a2, x0, x0’=constR, f0) Умови (4.2) називаються початковими умовами задачі Коші. В теорії диф. рів. доводиться, що роз-ок задачі Коші (4.1) (4.2) існуе при tR і единий. Шукатимемо цей роз-ок в класі функцій-оригіналів (x,x’,x’’0). Нехай , Тоді (теорема 2.2 (вопрос 30, т2) , . Застосовуючи властивості лінійності перетворення Лапласа, дістанемо лінійне алгебраічне рішення відносно X(p) ( задача L(X)): (4.3) Розв’язок задачі L(X) запишемо у вигляді X(p)=X0(p)+Xf(p),(4.4) де , , - зарактеристичний многочлен рівняння (4.1) - корень D(p). Перейшовши в (4.4) до оригіналів, дістанемо шуканий розв’язок x(t). Розгланемо частинні випадки. Нехай f(t)0 (в цілому випадку рівняння (4.1) називаеться лінійним однорідним). Тоді F(p)0 і X(p)=X0(p)x0(t). Отже, перший доданок X0(p) в (4.4) є зображенням роз-ку x0(t) задачі Коші з початковими умовами (4.2) для лінійного

однорідного рівняння. Нехай тепер x0=x0’=0. Тоді X0(p)0 і отже, другий доданок Xf(p) в (4.4) є зображенням розвєязку xf(t) задачі Коші (4.1) (4.2) з нульовими умовами (4.2). Якщо f(t)0, то F(p)0 і xf 0. Якщо f(t)0 (в цьому випадку рівняння (4.1) називаеться лінійним неоднорідним), то оригінал xf(t) можна знайти за теоремою 2.9(вопрос 30 т9) про зображення згортки. Позанчимо . Тоді і (4.7) Формула (4.7) має назву формули інтеграла накладання. Функці називаеться функцією впливу або функцією Кошь задачі (4.1)(4.2). В ілектро- і радіотехнічній літературі функції g(t) і G(p) називається імпульсною характеристикою і передаточною функцією відповідно. Метод інтеграла накладання застосовують, як правило, тоді коли знаходження зображення F(p) в явному вигляді утруднене, а також тада, када нада мати явну залежність розв’язку задачі Коші від функції f(t), яка має смисл вхідного сигналу лінійної фізичної системи. З (4.4) (4.5) (4.6.) випливає, що . Якщо , то з (4.7) маємо (4.8). Формула (4.8) виражає одну з основних властивостей лінійних фізичних систем, яка називаеться принципом суперпозиції. Как меня (Макса) задолбал этот вопрос это просто конченость.

33. Лінійні інтегральні рівняння ( ІР ) ті їх класифікація . Розв’язування лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра типу згортки.

ІР наз. рівняння, у яке невідома ф-ція входить як безпосередньо, так і під знакоі інтеграла (або тільки під знаком інтеграла). Класичними прикладами ІР є рівняння типу Фредгольма і типу Вольтерра. Лінійні рівняння типу Фредгольма: (1); (2). (1) – лін. рівняння Фредгольма ІІ роду; (2)

– лін. рівняння Фредгольма І роду. (3) – лін. рівняння Вольтерра ІІ роду; (4) – лін. рівняння Вольтерра І роду. Ф-ція k(t,) наз .ядром ІР. Розв’язання лінійних інтегральних рівнянянь Вольтера типу згортки. Розглянемо рівняння, в яких невідома ф-я x(t) входить під знак інтеграла , (4.17) l(x): (4.18). Рівін-я (4.17) (4.18) називаються рівняннями Вольтера типу згортки першого та другого роду відповідно. Функція k(t) називається ядром інтегрального рівняння. Нехай k(t), f(t)0. Роз-ки рівнянь (4.17) (4.18) шукатимемо в класі функцій-оригіналів. Враховуючи, що рівняння (4.17) і (4.18) можна записати відповідно у вигляді x(t)k(t)=f(t) і x(t)=x(t)k(t)+f(t), дітанемо X(p)K(p)=F(p) (4.19) L(X):X(p)=X(p)K(p)+F(p) (4.20). звідси X(p)=F(p)/K(p)(4.21), X(p)=F(p)/(1-K(p)) (4.22). Перейшовши, якщзо це можливо, в (4.21) і (4.22) до оригіналів дістанемо шукані розв’яки x(t) інт. р-нь. Розгланемо детальніше інт. рів-ня 2-го роду (4.18). З (4.22) -

X(p) можна представити увигляді X(p)=F(p)G(p)+F(p), де G(p)=K(p)/(1-K(p)) (4.23). Можна довести що ф-я G

завжди є зображенням деякого оригіналу g(t). доведемо цей факт для частинного випадку, коли K(p) є правильним раціональним дробом: K(p)=Ml(p)/Mn(p) (Ml(p), Mn(p)- многочлени степеня l і n відповідно причом l<n). Дісно тоді ф-я G(p)=Ml(p)/(Mn(p)-

Mn(p)) є очевидно правильним раціональним дробом і отже зображенням деякого оригіналу g(t) (див §3 методички з операційного числення). тому в (4.23) завжди можна перейти до оригіналів. Використовуючи теорему про згортку ділтанемо інтегральне проедставлення роз-ку інт. рівн-ня Вольтерра(4.18). (4.24), де g(t) G(p). Інт. рів-я першого роду (4.17) незавждо має розв’язок. Це випливає наприклад з формули (4.21). Дісно оскільки K(p)0 при р, то для X(p)=F(p)/K(p) може не виконуватись необхідна умова зображення X(p)0 при р. Приклад: . Це інтегральне рівн. 2-го роду: . Застосуемо інт. формулу (4.24). Маємо: . Тому

-

34. Лінійні інтегральні р-ня Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. Майже вироджені ядра. Альтернатива Фредгольма .

Лінійні інтегральні р-ня Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. .Розв-ня таких р-нь зводиться до розв-ня с-ми лінійних алгебраїчних р-нь. . Розв-ня Альтернатива Фредгольма : Або лін. Неоднорідне р-ня (5) (f0) має єдиний р-ок

для f(t), або відповідне л.о.р (f0) має нетривіальний р-ок. Інтегральні р-ня Ф 2р з достатньо малим ядром (надеюсь что это тоже что и с “майже виродженим” ) (1) (2).

З (2) випливає, що р-ок x(t) є нерухомою точкою оператора Ф. Перевіримо чи задовольняє Ф умовам теореми Пікара-Банаха.1)- повний метричний простір. 2) 3) , (3)Якщо параметр у р-ні (1) задовольняє умові (3), то р-ня (1) має диний р-ок для f(t).

Цей р-ок можна знайти методом послідовних наближень так: . Приклад : р-ти інтегральне р-ня. Р-ок : K=t, n=1 Відповідь :

36. Основна лема варіаційного числення.Нехай виконується: 1. f(x) є С[a;b], 2. для h є С1[a;b] (*) ; Тоді f(x) 0 на [a;b];

Доведення (від супротивного): нехай x0 [a;b] : f(x0) 0 (x0-, x0+) : f(x)>0 x (x0-,x0+); (За теор. про локальну знакосталість.)

(?!!) Зауваження: основна лема справедлива і тоді, коли (*) викон. для неперервної ф-ії

h ;

37.Загальна неодхідна умова екстремуму функціоналу.Кажуть, що I(y) у точці y0 має max(min) якщо приріст цього функціоналу I(y0, h) < 0

(>0) для h {деяка функція}: //h//<. Теорема: якщо функціонал I(y) має екстремум у точці y0 і диференційовний у т. у0, то I(y0,h) =0 - тотожньо по h(4). Доведення: (t)=I(y0+th); y0 – точка min; (0) = (t)-(0) = I(y0, th)0; (0) 0 при t=0 має min; ’(0) = 0 I(y0,h) = 0;

38. Рівняння Ейлера-Лагранжа для деяких задач варіаційного числення.I.Необхідна уиова екстремуму функціоналу у задачі з нерухомими кінцями. Так

називається задача : Шук-ся такі ф-ії, шо дають extr функ-лу (5) при вик-ні крайових умов 6) Геометричний смисл: шукають y=y(x), які з’єднують A і B та дають extr функ-лу (1). Необхідна умова extr фу-лу : I(y,h)=0; За основною лемою варіацайного числення: Р-ня Ейлера-Лагранжа для задачі з нерухомими кінцями.

У загальноми випадку (7) є звичайним диф. р-ям 2-го порядку. Ф-ія y=y0(x),що дає extr ф-лу (5) є р-ом р-ня Ейлера (7) і повинна задовольняти крайові умови (6). II Задача про брахістохрону (лінія найшвидшого спуску). Нехай в момент t точка перебувала у M(x,y) і за цей час (t) вона пройшла відстань L(t); За законом Галілея : Запишемо одразу перший інтеграл: (Тута було опущено декілька стандартних диф-их переходівпо впадло писати.)

Отримана система є параметричними р-ми заг. р-ку рів-ня Ейлера. Вони описують сім’ю циклоїд, а константи С та С2 знаходять із крайових умов. Є ще декілька типів р-нь Ейлера для інших типів задач, та їх писати впадло, лише назвемо їх: 1. Випадок векторної ф-ії 2,3 Випадки коли Лагранжіан залежить від старших похідних та від ф-ії кількох змінних. Удачі на іспиті і не дай Бог вам взяти цей білет…….

1. Рівняння з відокремлюваними змінними та однорідні рівняння 1-го порядку.

2. Лінійні рівняння першого порядку та рівняння типу Бернуллі. Метод Бернуллі та Лагранжа (варіації довільної сталої). Рівняння Ріккатті.3. Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.4. Неявні ДР 1-го п-ку. Метод введення параметра. Рівняння Лагранжа і Клеро.5. Теорема Коші-Пікара, теореми про неперервну залежність розв`язку від параметра, початкових умов.6. Класи ДР вищих порядків, які інтегруються у квадратурах.7. Класи ДР вищих порядків, які допускають зниження порядку.8. Загальні властивості лінійних скалярних рівнянь n-го порядку.9. Властивості лінійних однорідних ЛОР. Необхідна (достатня) умови ЛНЗ.функцій. Критерій ЛНЗ розв`язків ЛОР. Матриця і визначник Вронського.10. ФСР лінійного однорідного рівняння. Метод Лагранжа. Структура загального розв`язку ЛНР. 11. Зниження порядку ЛОР. Формули Остроградського-Ліуввілля і Абеля.12. Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Комплексна та дійсна ФСР.13. Метод побудови частинного розв’язку ЛНР з правою частиною – квазіполіномом. Резонансний та нерезонансний випадки.14. Рівняння, звідні до рівнянь зі сталими коефіцієнтами (Ейлера, Лагранжа, Чебишева).15. Система ДР у нормальній формі Коші. Розв’язок, перший та загальний інтеграли системи ДР. Теорема Коші-Пікара (формулювання).16. Методи виключення та інтегровних комбінацій для систем ДР.17. Загальні властивості лінійних систем.18. Необхідна (достатня) умова ЛНЗ системи вектор-функцій. Критерій ЛНЗ системи розв’язків ЛОС. Метод Лагранжа. Структура загального розв’язку ЛНР.19. ЛОС зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера та матричний метод побудови

фундаментальної матриці. Залежність асимптотичних (при t → + ∞) властивостей матрицанта від власних чисел матриці системи.

20. Лінійні диференціальні задачі. Класифікація. Теореми існування.21. Спектральні задачі. Задача Штурма-Ліуввілля. Властивості власних чисел і власних функцій задачі Штурма-Ліуввілля.22. Інтегральне представлення розв’язку лінійної диференціальної задачі. Функції Гріна і Коші, їх фізичний смисл.23. Означення стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості (за Ляпуновим). Лема про систему збурень.24. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійних систем зі сталими коефіцієнтами. Критерій Гурвіца.25. Критерій стійкості за першим наближенням. Розміщення траєкторій в околі точки спокою системи (n=2). Типи точок спокою.26. Методи (регулярний і сингулярний) степеневих рядів.27. Рівняння і функції Бесселя.28. Лінійні однорідні та квазілінійні рівняння з частинними похідними 1-го порядку. Метод характеристик.29. Задача Коші для лінійних та квазілінійних рівнянь.30. Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення. Основні теореми операційного числення.31. Обернення перетворення Лапласа. Формула Рімана-Мелліна, відшукання оригінала раціонального зображення, метод степеневих рядів.32. Застосування операційного методу до розв’язання ЛДР зі сталими коефіцієнтами.

33. Лінійні інтегральні рівняння ті їх класифікація. Розв’язування лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра типу згортки.34. Лінійні інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. Майже вироджені ядра. Альтернатива Фредгольма.35. Неоднорідні рівняння Фредгольма 2-го роду. Метод послідовних наближень (ітерацій). Існування та єдиність розв’язку.36. Основна лема варіаційного числення.37. Загальна необхідна умова екстремуму функ-лу.38. Рівняння Ейлера-Лагранжа для деяких задач варіаційного числення.