24. rhein ruhr workshop - fernuni-hagen.de
TRANSCRIPT
24. Rhein‐Ruhr‐Workshop Bestwig, 31. Januar‐1. Februar 2014
‐Programm, Teilnehmer und Abstracts‐
Organisation:
Prof. Dr. M. Heilmann Bergische Universität Wuppertal Prof. Dr. T. Sauer Universität PassauProf. Dr. M. Skrzipek FernUniversität in Hagen
24. Rhein-Ruhr-WorkshopBestwig, 31. Januar–1. Februar 2014
PROGRAMM
Freitag, 31. Januar 2014, Vormittag
10.20 Begrußung / Organisatorisches
Sektionsleitung: Sauer
10.30 OpferZeros of polynomials with coefficients from noncommutative algebras
11.00 SchroderGeneralized Interpolation and Image Reconstruction
11.30 Pause
Sektionsleitung: Opfer
11.40 Erb/SchniederUnconditional bases for spaces with Jacobi weights
12.10 PetersenKlassifizierung von Kanten anhand der stetigen Shearlettransformation mit-tels Shearlets mit kompaktem Trager
12.40 Gemeinsames Mittagessen
Freitag, 31. Januar 2014, Nachmittag
Sektion 1 Sektion 2
Sektionsleitung: Potts Sektionsleitung: Iske
14.00 BeinertMehrdeutigkeiten des eindimensio-nalen Phasenrekonstruktionsproblems
KumbartzkyRegularisierungs-Methoden zurSchatzung von optischen Flussen
14.30 WeimarBesov regularity for operator equationson patchwise smooth manifolds
KadrnkaEine gitterfreie Methode ho-her Ordnung fur hyperbolischeErhaltungsgleichungen
15.00 Pause mit Kaffee, Tee, Kuchen
Sektionsleitung: Filbir Sektionsleitung: Plonka
15.30 GawronskiLuckenpolynome vom Binomialtyp
EwaldHolder-Regularitat von geometri-schen Subdivisionsalgorithmen
16.00 NeuschelAsymptotiken fur Apery-Polynome
LampingMultivariate Glattungssplines,Kronecker-Produkte und Multili-nearformen
16.30 Pause
Sektionsleitung: Tasche Sektionsleitung: Gonska
16.45 NestlerNFFT basierende schnelle Ewald-Summation fur gemischt periodischeRandbedingungen
StanilaPower series of Bernstein-typeoperators
17.15 PhilippPhase Retrieval mit 4N − 4 Mes-sungen
RusuChebyshev-Gruss-type inequalitiesin the bivariate case
18.00 Gemeinsames Abendessen
Abends Prasentation der Poster
BoßmannA fast reconstruction algorithm in ul-trasonic NDT
HartmannBesov Regularity of p-harmonic functions
HeinenWavelet Shrinkage on Paths for De-noising of Scattered Data
Cuenca JimenezEfficient methods for defect classificationin non-destructive evaluation of materials
KammererSparse Fast Fourier Transforms
LoockPhase Retrieval Using a SparsityConstraint
NaglerA Lower Bound for the SchoenbergOperator
PeterTranslate von Gauss-Funktionen imRn
SauerWavelets & Pianos
SissounoInpainting mit Tensorprodukt-Splines
Zheng YiRelaxion between total Variation and per-sistence and its application in signal pro-cessing
Samstag, 1. Februar 2014
7.45 Fruhstuck
Sektionsleitung: Kunis
9.00 WannenwetschDie Prony-Methode zur Rekonstruktion strukturierter Funktionen
9.30 SchneiderL1-Smoothing-Splines. Oder: Rekonstruktion von Flugzeugpositionen
10.00 MaOptimale Sampling Rate fur Rekonstruktion anhand von Fouriermessungen
10.30 Pause mit Kaffee, Tee
Sektionsleitung: Heilmann
11.00 CzekanskyApproximative H-Basen und Bewegungsprofile
11.30 HielscherFast global optimization on the torus, the sphere and the rotation group
12.00 GonskaGruss-Voronovskaya-Abschatzungen fur Bernstein-Typ-Operatoren
12.30 Gemeinsames Mittagessen
Format der Vortrage: Dauer ca. 20 Minuten, ca. 5 Min. Diskussion, 5 Minuten fur evtl. Raumwechsel.
TEILNEHMERLISTE
Beinert, Robert, Universitat Gottingen, [email protected]ßmann, Florian, Universitat Gottingen, [email protected] Jimenez, Jose Fernando, Universitat Hamburg, [email protected], Johannes, Universitat Gießen, [email protected], Wolfgang, Universitat zu Lubeck, [email protected], Tobias, Universitat Darmstadt, [email protected], Michael, Hochschule der Medien, Stuttgart, [email protected], Frank, Helmholtz-Zentrum Munchen, [email protected], Silja, Universitat Passau/FORWISS, [email protected], Wolfgang, Universitat Trier, [email protected], Heiner, Universitat Duisburg-Essen, [email protected], Christoph, Universitat Marburg, [email protected], Margareta, Universitat Wuppertal, [email protected], Dennis, Universitat Gottingen, [email protected], Ralf, Universitat Chemnitz, [email protected], Amin, Universitat Hamburg, [email protected], Libor, Universitat Hamburg, [email protected], Daniela, Ruhr-Universitat Bochum, [email protected], Sara, Universitat Hamburg, [email protected], Lutz, Technische Universitat Chemnitz, [email protected], Conrad, Fernuniversitat in Hagen, [email protected], Marcel, Universitat Hamburg, [email protected], Stefan, Universitat Osnabruck, [email protected], Frank, Universitat Gießen, [email protected], Stefan, Universitat Gottingen, [email protected], Jackie, Technische Universitat Berlin, [email protected], Johannes, Universitat Passau, [email protected], Franziska, Technische Universitat Chemnitz, [email protected], Thorsten, Katholieke Universiteit Leuven, [email protected], Gerhard, Universitat Hamburg, [email protected], Thomas, Universitat Lubeck, [email protected], Philipp, Technische Universitat Berlin, [email protected], Friedrich, Technische Universitat Berlin, [email protected], Gerlind, Universitat Gottingen, [email protected], Daniel, Technische Universitat Chemnitz, [email protected]
Reif, Ulrich, Technische Universitat Darmstadt, [email protected], Maria-Daniela, Universitat Duisburg-Essen, [email protected], Tomas, Universitat Passau, [email protected], Thilo, Fraport AG, Frankfurt, [email protected], Jorn, Universitat Lubeck, [email protected], Kristof, Helmholtz-Zentrum Munchen, [email protected], Nada, Universitat Passau, [email protected], Michael, Fernuniversitat in Hagen, [email protected], Elena-Dorina, Universitat Duisburg-Essen, [email protected], Manfred, Universitat Rostock, [email protected], Toni, Technische Universitat Chemnitz, [email protected], Katrin, Universitat Gottingen, [email protected], Markus, Universitat Marburg, [email protected], Marius, Universitat Gottingen, [email protected], Florian, Universitat Passau, [email protected], Yi, Universitat Gottingen, [email protected]
Mehrdeutigkeiten des eindimensionalen
Phasenrekonstruktionsproblems
ROBERT BEINERT
GEORG-AUGUST-Universität Göttingen
Das Problem der Phasenrekonstruktion treffen wir in unterschiedlichen Formen in
verschiedenen Gebieten der Physik an. Hierzu zählen unter anderen die Kristallogra-
phie, die Elektronenmikroskopie, die Astronomie und die Optik.
Konkret betrachten wir das Problem der Rekonstruktion einer unbekannten kom-
plexwertigen Funktion f : R → C mit kompaktem Träger aus ihren Beträgen | f |
und den Beträgen ihrer FOURIER-Transformierten∣∣∣∣ f∣∣∣∣ an endlich vielen äquidistan-
ten Stützstellen. Weiterhin nehmen wir an, dass es sich bei der unbekannten Funktion
um eine lineare Spline-Funktion der Form
f (x) ≔
N−1∑
n=0
cn B2 (x − n) (cn ∈ C, x ∈ R)
handelt, wobei B2 (x) ≔ 1 − |x| auf [−1, 1] der zentrierte lineare B-Spline, bezie-
hungsweise die Dreiecksfunktion ist.
Die Lösungen dieses eindimensionalen Phasenrekonstruktionsproblems sind im-
mer mehrdeutig. Neben den trivialen Mehrdeutigkeiten, wie zum Beispiel die Mul-
tiplikation mit einer unimodularen Konstanten, welche wir zu einer Lösungsklasse
zusammenfassen, gibt es Phasenrekonstruktionsprobleme mit mehreren nicht-trivia-
len Lösungsklassen.
Wenn es uns gelingt die Spline-Funktion f als Faltung von elementaren Fakto-
ren zu beschreiben, können wir aus einer vorhandenen Lösung durch Konjugation,
Spiegelung und Translation der einzelnen Faktoren weitere Lösungen konstruieren.
Für eine beliebige Funktion f ist es nicht auszuschließen, dass es weitere elementare
Operationen zur Konstruktions von Mehrdeutigkeiten gibt.
Im Fall der linearen Spline-Funktionen können wir jedoch mit Hilfe der Nullstel-
len des zugehörigen Polynoms
P f (z) ≔
N−1∑
n=0
cn zn
zeigen, dass alle nicht-trivialen Mehrdeutigkeiten durch diese drei elementaren Ope-
rationen aus einer beliebigen Lösung in geeigneter Faktordarstellung konstruiert wer-
den können.
A fast reconstruction algorithm in ultrasonic NDTFlorian Boßmann, University of Gottingen
Ultrasonic non-destructive testing (NDT) methods have achieved rapidly gaining promi-nence as reliable techniques for tube inspection. Its use as inspection tool brings into lightthe challenge of developing fast and reliable data processing methods in order to be ableto characterize flaws in the material. In particular, the determination of precise positionsand dimensions of flaws is a complicated task due to the huge amount of data. Moreover,the obtained data contains strong noise caused e.g. by (multiple) reflections from modeconverted signals.In our group a new simplified physical model for the problem of tube inspection by ul-trasound waves has been developed. Using this model we are able to solve the inverseproblem of defect reconstruction in two steps. In particular, we use the sparsity of thisproblem: Normally the number and size of defects will be small compared to the tube size,i.e., a small number of reflections generates the measured data. In a first step we computethe position and amplitude of those reflections by solving a sparse representation problemwith deconvolution methods (e.g. orthogonal matching pursuit (OMP)) [1, 2]. Taking thisinformation we can solve the inverse problem of our model [2].On this poster, we will present the model and our inversion method. Special attention willbe paid to the specific structure of our algorithm that allows an efficient implementationand real time computation. This is joined work with my supervisor Gerlind Plonka-Hoch(Gottingen).
References
[1] F. Boßmann, G. Plonka, T. Peter, O. Nemitz, T. Schmitte, Sparse deconvolution me-thods for ultrasonic NDT, Journal of Nondestructive Evaluation 31(3), 2012, (225-244)
[2] F. Boßmann, Model Based Defect Reconstruction in Ultrasonic Non-Destructive Tes-ting, PhD thesis, 2013.
Efficient methods for defect classification
in non-destructive evaluation of materials
José Fernando Cuenca Jiménez
Universität Hamburg
Ultrasonic non-destructive evaluation of material involves many challenging
problems. Nowadays, the behaviour of ultrasound in material is well known and
many simulation and reconstruction methods are available from the literature.
Nevertheless, the data given by the non-destructive testing method has to be
analyzed in a fast and reliable way. In addition, the acquired data is also often very
noisy, and has missing information (missing data), because only few
measurements can be taken.
In this poster, it is discussed how topology and methods from persistent homology
can be a useful tool for clustering in a point cloud data (PCD), and could be seen as
a reasonable alternative to other methods (DBSCAN [1], k-mean, etc) for clustering
and classifying defects.
We also show an approach for signal separation and noise reduction, that
combines standard signal processing tools with geometric algebra and
dimensionality reduction [2].
REFERENCES
[1] F. Boßmann , Model based Defect Reconstruction in Ultrasonic Non-Destructive
Testing, Univ. Götingen, 2013.
[2] M. Guillermard, Some Geometrical and Topological aspects of Dimensionality
Reduction in Signal Analysis, Univ. Hamburg, 2011.
Approximative H-Basen und Bewegungsprofile
Johannes Czekansky
Justus–Liebig–Universität Gießen
Zusammenfassung
Es ist bekannt, dass Kinematiken polynomiellen Bedingungen un-terliegen. Diese Bedingungen erzeugen ein Ideal. Definieren wir denZustand einer Kinematik durch die Positionen aller Gelenke zu einemfesten Zeitpunkt, so sind alle zulässigen Zustände in der Varietät die-ses Ideals enthalten. Damit kann die kinematische Struktur bestimmtwerden, indem man die Gelenkpositionen in verschiedenen Zuständenbestimmt und daraus das einfachste Ideal generiert, dessen Varietätdiese Positionen enthält. Können die Gelenkpositionen nicht exakt be-stimmt werden, geht man zu einem approximativen Ideal über (siehe[1]) und sucht eine Basis von möglichst kleinem Grad. Aus dieser Basislassen sich die signifikanten polynomiellen Bedingungen verschiedenerGelenktypen bestimmen, was eine Klassifikation der Kinematik er-möglicht.
Literatur[1] T. Sauer, Approximate varieties, approximate ideals and dimension re-
duction, Numerical Algorithms 45 (2007), no. 1, 295–313.
1
Unconditional bases for spaces with Jacobi weights
Jörn Schnieder, Wolfgang Erb, Lübeck
December 2, 2013
Abstract
In [2], one of the authors constructed a polynomial Schauder-basis (pα,β,n)n∈N0
of optimal degree with Jacobi-orthogonality. In particular, it was shown that for allε > 0 and all α, β ≥ −1
2 with maxα, β > −12 there exists a sequence of polynomials
(pα,β,n)n∈N0 , such that
1.
∫ 1
−1pα,β,j(x)pα,β,i(x)(1− x)α(1 + x)βdx = δij ,
2. degpα,β,n ≤ n(1 + ε) for all n ∈ N0,
3. ∀f ∈ C[−1, 1] : ‖f − Snf‖∞ → 0 (n→∞),
4. ‖Sn‖C→C ≤ c(1
ε
)2maxα,β+1
,
where Snf(x) :=∑n
j=0 cj(f)pα,β,j(x) with cj(f) :=∫ 1−1 pα,β,j(t)f(t)ωα,β(t)dt.
Combining rened asymptotic estimates from [2], atomic decomposition methodsfor weighted Hardy spaces and proof structures from the works of Wojtaszczyk andWo¹niakowski [1] (rooting back to the famous H1-results from Carlson), we are ableto show that the same construction leads to an unconditional basis for the spacesLpα,β , 1 < p <∞, and BMOα,β .
References
[1] Wojtaszczyk, P. and Wo¹niakowski, K. Orthonormal polynomial bases infunction spaces.. Isr. J. Math. 75:2-3 (1991), 167191.
[2] Schnieder, J. Gradoptimale Schauder-Basen mit Jacobi-Polynomen. Dissertation,
Universität zu Lübeck (2010).
1
Holder-Regularitat von geometrischen
Subdivisionsalgorithmen
Tobias Ewald
Technische Universitat Darmstadt
Abstract
Man kann behaupten, dass die Welt der linearen Subdivisionsalgorithmen fast vollstandigverstanden ist. Bei nicht-linearen Schemata hingegen konnten allgemein-theoretische Uber-legungen bisher nur in Spezialfallen angewendet werden, sodass die Existenz und Glattheiteiner Subdivisionskurve nur fur einzelne Algorithmen oder nur fur Algorithmenklassen mitspezieller Bauart nachgewiesen werden konnten. Wir betrachten daher eine große Klasse vongeometrischen (d.h. Kommutativitat mit Ahnlichkeiten), lokalen, uniformen und aquilinearenSchemata (im Englischen kurz GLUE-schemes) und sehen fur diese einen universellen Ansatzzur Bestimmung der C1,α-Regularitat. Die Grundidee hierbei ist, wie schnell das betrachteteSchema vorgegebene, nicht-lineare Daten begradigt. Hierzu ist ein Maß der Daten fur die Ab-weichung von linearem Verhalten notig, welches im Vortrag entwickelt wird. Die vorgestellteHerangehensweise bietet ein universelles Verfahren, um mit Hilfe eines Computers und derIntervallarithmetik aus dem betrachteten Schema und gegebenen Daten die Glattheit derresultierenden Kurve zu berechnen.
1
Luckenpolynome vom Binomialtyp
Wolfgang Gawronski
Universitat Trier
Diese in der Graphentheorie bedeutsamen Polynome sind von der Form
fn(z) =n∑
k=0
(n
k
)z(
k2)
Fur festes z ∈ (0, 1), wird eine Asymptotik fur fn(z) hergeleitet, falls n → ∞;damit wird eine Vermutung von J. Brown, K. Dilcher und D. Manna
(Analysis
32 (2012))bewiesen.
Die Ergebnisse wurden in Zusammenarbeit mit Thorsten Neuschel, KU Leuven,erzielt.
Seite 1 von 1
Abstract Bestwig 2014 13.01.14 14:49
Grüss-Voronovskaya-Abschätzungen für Bernstein-Typ-Operatoren
Heiner Gonska (Duisburg-Essen)
Der Vortrag ist motiviert durch zwei Resultate für die klassischen (reellen) Bernsteinpolynome über [0,1]. Das erste stammt von Videnskij (1985):
Das zweite Ergebnis ist eine Ungleichung vom Grüss-Typ (2013):
Zunächst hat man
Für alle stetig differenzierbaren Funktionen auf [0,1] geben wir die Größenordnung von
an und zeigen, dass die Abschätzung sich in ordnungsmäßiger Hinsicht nicht verbessern lässt.
Die Ergebnisse lassen sich auf die vollständige "Păltănea-Skala" zwischen den genuinen Bernstein-Durrmeyer- und den klassischen Bernstein-Operatoren übertragen. Entsprechende Ergebnisse im Komplexen liegen ebenfalls vor.
Basisliteratur:
S.G. Gal & H. Gonska: Grüss and Grüss-Voronovskaya-type estimates for some Bernstein-type polynomials of real and complex variables. Submitted.
Besov Regularity of p-harmonic Functions
CHRISTOPH HARTMANN
We are interested in the regularity of solutions to the p-Laplace equation
div(|∇u|p−2∇u
)= 0 in Ω,
where 1 < p <∞ and Ω ⊂ Rd is a Lipschitz domain. We consider the scale Bατ (Lτ (Ω))
of Besov spaces with 1/τ = α/d+1/p which arise in connection with adaptive numericalschemes: The Besov regularity of the solution determines the approximation order ofadaptive schemes while the convergence rate of non adaptive schemes depends on theSobolev regularity. We will show that under some conditions the Besov regularity ofp-harmonic functions is higher than its Sobolev regularity. The proof of the main resultis performed by combining local Hölder regularity results (see [1]) with characterizationof Besov spaces by wavelet expansions (see [2]).
Fachbereich Mathematik und Informatik, Philipps-Universität Marburg,Hans-Meerwein-Str., 35032 Marburg
References[1] J. L. Lewis, Regularity of the derivatives of solutions to certain degenerate elliptic
equations, Indiana Univ. Math. J. 32 (1983), no. 6, 849–858 (eng).
[2] Yves Meyer, Wavelets and operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics,Cambridge University Press, 1992.
1
Wavelet shrinkage on paths fordenoising of scattered data
Dennis Heinen, Georg-August-Universitat Gottingen
Auf diesem Poster prasentieren wir einen Entstorungsalgorithmus fur mit GaußschemRauschen belegte Funktionswerte einer reellen stuckweise glatten Funktion, welche angestreuten d-dimensionalen Abtastpunkten gegeben sind. Die Entstorung von Bildernmit Funktionswerten auf einem regularen zweidimensionalen Gitter, stellt einen Spezial-fall dieser Problemstellung dar. Die vorgeschlagene Entstorungsmethode verallgemeinertdie von Plonka (2009) zur Bildapproximation eingefuhrte Easy Path Wavelet Transform(EPWT).
Fur das erste Transformationslevel konstruieren wir einen passenden Pfad durch dieMenge der Abtastpunkte. Aufeinanderfolgende Punkte des Pfades sollen dabei einegeringe Entfernung - bezuglich ihres spatialen Abstandes und bezuglich der Differenzder zugehorigen Funktionswerte - aufweisen. Wir schlagen hierzu zwei unterschiedlicheKonstruktionsmethoden vor, welche wir adaptiv deterministisch bzw. adaptiv zufallignennen. Nach der Pfadkonstruktion wenden wir eindimensionale Tief- und Hochpass-Filter auf die Funktionswerte entlang dieses Pfades an. Durch Zuordnung der Tiefpass-Koeffizienten zu einer aktualisierten Menge der Abtastpunkte erhalten wir einen aktua-lisierten Datensatz von Punkten und zugehorigen Werten.
Wir iterieren unser Vorgehen fur weitere Transformationslevel. Nach Anwendung einesShrinkage-Operators auf die Hochpass-Koeffizienten rekonstruieren wir die geglattetenFunktionswerte.
In Anlehnung an das von Coifman und Donoho (1995) propagierte Cycle-Spinningwiederholen wir den gesamten Algorithmus mit unterschiedlichen Pfaden und mittelndie Resultate, um das Entstorungsergebnis zu verbessern.
1
Fast global optimization on the torus, the sphere
and the rotation group
Ralf Hielscher
TU Chemnitz
Detecting all local extrema or the global extremum of a polynomial on thetorus, the sphere or the rotation group is a tough yet often requested numericalproblem. We present a heuristic approach that applies common descent methodslike nonlinear conjugated gradients or Newtons methods simultaneously to alarge number of starting points. The corner stone of our approach are FFT likealgorithms, i.e., algorithms that scale almost linearly with respect to the sumof the dimension of the polynomial space and the number of evaluation points.These FFT like algorithms allow us to compute one step of a descent methodsimultaneously for all staring points at almost the same cost as for one singlestarting point. The effectiveness of the proposed algorithms is demonstratedin various applications. In particular, we apply it to the Radon transform of aspherical function which allows us to detect lines in spherical patterns.
1
Eine gitterfreie Methode hoher Ordnung furhyperbolische Erhaltungsgleichungen
Libor Kadrnka, Fachbereich Mathematik, Universitat Hamburg
Rhein-Ruhr-Workshop31. Januar 2014
Abstract
Zahlreiche Anwendungen in den Ingenieurs-, Geo- und Klimawissenschaften verwendenModelle, die auf Erhaltungsgesetzen basieren. Diese physikalischen Gesetze werden ge-wohnlich durch zeitabhangige hyperbolische partielle Differentialgleichungen beschrieben.Multiskalen-Phanomene, hoherdimensionale Probleme, Probleme mit komplexer Geome-trie oder mit beweglichem Rand oder Probleme mit schnellen Veranderungen in der Losungstellen eine Herausforderung dar, kontinuerlich neue Methoden zu entwickeln. Eine dieserMethoden ist die Finite Volumen Partikel Methode (FVPM).
In diesem Vortrag werden einige Aspekte der FVPM vorgestellt. Die klassische Herleitungder Methode fuhrt zu einer Methode erster Ordnung. Es wird die Konstruktion einer Meth-ode hoherer Ordnung in einer Dimension gezeigt, die auf Kenntnissen aus dem Bereichder Finiten Volumen Methode beruht, was zu einem konservativen Schema fuhrt. Fer-ner, die Erhohung der Genauigkeitsordnung wird durch Losung des verallgemeinerten Rie-
mannschen Problems mittels des Toro-Titarev Solvers ([1],[2]) erreicht. Die dafur benotigteRekonstruktion der exakten Losung wird mittels der polyharmonischen Spline-Interpolation
und einer geeignetenWENO-Prozedur berechnet. Analytische Stabilitats-, Konsistenz- undKonvergenzergebnisse werden gezeigt und anhand von numerischen Beispielen illustriert.
Literatur
[1] E. F. Toro and V. A. Titarev. Derivative Riemann solvers for systems of conservationlaws and ADER methods. Journal of Computational Physics, 212(1):150–165, 2006.
[2] E. F. Toro and V.A. Titarev. Solution of the generalized Riemann problem foradvection–reaction equations. Proceedings of the Royal Society of London. Series A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 458(2018):271–281, 2002.
1
Sparse Fast Fourier Transforms
Lutz KammererTechnische Universitat Chemnitz, Fakultat fur Mathematik
Wir betrachten verschiedene Ansatze zur Auswertung und Rekonstruk-tion multivariater trigonometrischer Polynome
p(x) =∑k∈I
pke2πik·x, I ⊂ Zd,x ∈ [0, 1)d, d > 1.
Dabei unterscheiden wir, ob die Frequenzindexmenge I und/oder die Ab-tastmenge X = xj ∈ [0, 1)d, j = 1, . . . ,M konkret gegeben sind. Wirverfolgen folgende Ansatze:
• Zu gegebener Frequenzindexmenge I soll eine Abtastmenge X kon-struiert werden, die eine stabile und schnelle Rekonstruktion des tri-gonometrischen Polynoms ermoglicht.
• Aus gegebener Kandidatenmenge der Frequenzindizes soll die tatsachlichsehr dunne Frequenzindexmenge I des trigonometrischen Polynoms pund die entsprechenden Fourierkoeffizienten pk, k ∈ I, unter Zuhilfe-nahme geeigneter Abtastpunkte (xj , p(xj)) ermittelt werden.
• Zu geeigneter Frequenzindexmenge I kleinerer Dimensionalitat s =d − 1 und zugehoriger Abtastmenge X sollen aus den gegebenen Fre-quenzen pk, k ∈ I, die Funktionswerte p(x), x ∈ X , approximativberechnet werden.
Regularisierungs-Methoden zur Schatzung von
optischen Flussen
Marcel Kumbartzky
Fachbereich Mathematik, Universitat Hamburg
Die Bestimmung von optischen Flussen spielt in verschiedenen Anwendungeneine wichtige Rolle, z.B. in der Medizintechnik, der Roboter-Navigation oder inder Video-Kompression. Dabei beschreibt der optische Fluss ω die Projektioneiner 3D-Bewegung auf die 2D-Ebene, wobei ω aus einer Sequenz von BildernIk, zu diskreten Zeitpunkten tk, zu bestimmen ist. Unter der Annahme, dasssich die Intensitat eines Bildpunktes mit der Zeit nicht verandert, wahrend sichdas Objekt bewegt, lasst sich dabei die optische Flussgleichung herleiten, diebeschrieben werden kann als Transportgleichung
It + ω∇I = 0 mit I(t = 0) = I0.
Die Bestimmung des optischen Flusses ω fuhrt bei gegebenen I zu einem inversenProblem, das i.a. keine eindeutige Losung besitzt. Zur Losung dieses inversenProblems verwenden wir eine H1 - Regularisierung im Raum (und in der Zeit), dieden Raum der moglichen Losungen einschrankt. Dies fuhrt schließlich zu einemMinimierungsproblem mit einer PDE als Nebenbedingung, welches wir mit demGradientenverfahren losen. Abschließend folgen einige numerische Resultate.
1
Multivariate Glattungssplines, Kronecker-Produkte
und Multilinearformen
Frank Lamping
Universitat Gießen
Abstract
Bei Tensorprodukt-Glattungssplines auf gestreuten Daten treten inhoheren Dimensionen sehr große Matrizen auf. Diese Matrizen lassensich, obwohl sie dunn besetzt sind, aufgrund der Datenmenge nichtmehr vollstandig darstellen. Eine Darstellung durch eine Summe vonKronecker-Produkten ermoglicht erst die effiziente Behandlung dieserMatrizen. Zur effizienten Berechnung einer Matrix-Vektor-Multiplika-tion ist diese Darstellung von Bedeutung, da durch sie Eigenschaftendes Kronecker-Produkts verwendet werden konnen.
Es soll ein Verfahren vorgestellt werden, mit welchem diese Summevon Kronecker-Produkten komprimiert werden kann. Dazu werdendie Kronecker-Produkte in Multilinearformen umgewandelt und diesedann durch eine mehrdimensionale SVD approximiert. Das Verfahrenbasiert im Wesentlichen auf Verfahren der multilinearen Algebra zurBestimmung der SVD von Tensoren. Dieser Zusammenhang sowiemogliche Beispiele fur die Anwendung der Komprimierung sollen eben-falls vorgestellt werden.
1
Phase Retrieval Using a Sparsity Constraint
Stefan LoockGeorg-August-Universitat Gottingen
We propose the application of sparsity constraints for the problem of phase retrieval.For nanoscale photonic imaging, the wave propagation can be described by the Fresnelpropagator
[Rτf ] (ξ) =1
τ 2
∫R2
eiπ‖x−ξ‖2
τ2 f(x) dx
for some experimental parameter τ > 0. Reconstruction of the phase from measurementsm(ξ) = |[Rτf ] (ξ)| can be seen as a nonlinear ill-posed inverse problem. It is typicallysolved using projection algorithms, where a priori assumptions on the support of thefunction f , e.g. compactness, are applied. However, this support constraint often turnsout to be too strong in practice. The assumption of a sparse expansion in a shearletframe for f ∈ L2(R2) circumnavigates this problem and leads to convincing results.We present a projection algorithm to solve the phase retrieval problem while promotingsparsity in the shearlet frame by soft-thresholding.
1
Optimale Sampling Rate für Rekonstruktion anhand vonFouriermessungen
Jackie MaTechnische Universität BerlinDepartment of Mathematics
Straße des 17. Juni 135, 10623 Berlin
Abstract
In dieser Arbeit fokussieren wir uns auf die Rekonstruktion von zweidimensionalen Ob-jekten. Dafür nehmen wir an, dass die Messungen durch Fourierintegrale gegeben sind.Mittels dieser sogenannten Fouriermessungen berechnen wir, im Hinblick auf eine Rekon-struktion, entsprechende Waveletkoeffizienten. In der Anwendung können wir nur endlichviele Messungen durchführen und nur endlich viele Koeffizienten für die Rekonstruktionberechnen. Dabei gilt: je mehr Koeffizienten wir gewinnen möchten, desto mehr Messungenmüssen wir machen. Es stellt sich die Frage, wie sich diese Rate verhält. Wir werden zeigen,dass diese Rate linear ist, das heißt, dass bis auf eine Konstante genau so viele Messungengemacht werden müssen wie Koeffizienten rekonstruiert werden wollen.
1
A lower bound for the Schoenberg operator
Johannes Nagler1, Paula Cerejeiras2, Brigitte Forster1
1 Fakultat fur Informatik und Mathematik, Universitat Passau2 Department of Mathematics, University of Aveiro, Portugal
31.01.2014
For the Schoenberg operator, we prove a lower bound in terms of the secondorder modulus of smoothness. Thereby, we characterize the spectrum of theSchoenberg operator and investigate the asymptotic behavior of the iterates.Finally, we show the equivalence between the approximation error and the clas-sical second order modulus of smoothness. The method can also be extendedto the Ditzian-Totik modulus of smoothness.
References
[1] C. Badea. Bernstein Polynomials and Operator Theory. Results in Mathematics,53(3-4):229–236, June 2009.
[2] L. Beutel, H. Gonska, D. Kacso, and G. Tachev. On variation-diminishing Schoen-berg operators: new quantitative statements. Monografas de la Academia deCiencias de Zaragoza, 20:9–58, 2002.
[3] C. de Boor. The quasi-interpolant as a tool in elementary polynomial spline the-ory. Approximation Theory (GG Lorentz et al., eds), Academic Press (New York),pages 269–276, 1973.
[4] J. Nagler and U. Kahler. A lower bound for the uniform Schoenberg operator.ArXiv e-prints, Dec. 2013. Submitted to Journal of Approximation Theory.
[5] J. Nagler, P. Cerejeiras, and B. Forster. A lower bound for the Schoenberg oper-ator. Preprint Jan. 2014.
1
NFFT basierte schnelle Ewald-Summation für gemischtperiodische Randbedingungen
Franziska Nestler
Wir betrachten das Problem der Berechnung von Coulomb-Wechselwirkungen in Systemengeladener Teilchen. Im dreidimensionalen Raum werden oftmals periodische Randbedingungen inallen Koordinatenrichtungen vorausgestzt, um beispielsweise bei Simulationen von nahezu peri-odisch aufgebauten Materialien Randeffekte zu vermeiden. Grundlage vieler effizienter Verfahrenist hierbei die sogenannte Ewald-Summation, mit der die Berechnung der Wechselwirkungen ineinen kurzreichweitigen und einen langreichweitigen Anteil zerlegt wird. Die P2NFFT-Methode,welche die schnelle Fourier-Transformation für nichtäquidistante Daten (NFFT) zur Auswertungdes Fernfeldes nutzt, hat sich bereits für 3d-periodische Randbedingungen bewährt. In einigenAnwendungen ist es jedoch sinnvoll, nicht in allen drei Dimensionen periodische Randbedingun-gen zu fordern. In diesem Vortrag stellen wir einen Ansatz vor, wie das P2NFFT-Verfahrenauf den Fall für gemischt periodische Randbedingunen erweitert werden kann und zeigen erstenumerische Resultate.
1
Asymptotiken fur Apery-Polynome
Thorsten NeuschelKU LeuvenBelgien
Abstract
Die Apery-Polynome und insbesondere ihr asymptotisches Verhal-ten spielen eine wichtige Rolle im Verstandnis der Irrationalitat vonζ(3). Es wird eine Methode zur asymptotischen Beschreibung derFolge der Apery-Polynome (Bn)∞n=1 in der gesamten komplexen Ebenevorgestellt (fur n → ∞). Die Beweise basieren auf einer mehrdimen-sionalen Version der komplexen Sattelpunktmethode. Mittels loga-rithmischer Potentialtheorie werden die asymptotischen Nullstellen-verteilungen der Folge (Bn)∞n=1 und verwandter Polynome hergeleitet.Ferner erhalten wir eine Charakterisierung dieser Verteilungen anhandeines gewichteten Equilibriumproblems.
1
Author: Gerhard Opfer, University of Hamburg
Coauthor: Drahoslava Janovska, Institute of Chemical Technology, Prague
Title: Zeros of Polynomials with Coefficients from Noncommutative Algebras
Abstract: Let A be a finite dimensional algebra over the reals. Typical examples are matrix spaces orquaternions or Clifford algebras. If p is a polynomial defined by
p(z) :=
n∑
j=0
ajzj, aj , z ∈ A,
then, one essential question is what can be said about the set of zeros of p and how can one find them.
The use of the so-called companion polynomial, which is real, was very successfully applied to quaternionicpolynomials (D. Janovska & G. O.: SIAM J. Numer. Anal. 48 (2010), 244-256). The question which willbe discussed is, how far is this method reaching when applied to other algebras than quaternions.
We will see, that for algebras different from the field of quaternions, the companion polynomial will be able- in some cases - to capture a subset of the zeros of p but not all. In this case one can apply Newton’s methodand we will show that one can find the exact Jacobi matrix easily without using numerical approximations.
There will be numerical examples.
This research was supported by DFG, GZ OP 33/19-1.
Translate von Gauss-Funktionen im Rn
Thomas PeterUniversitat zu Lubeck
In [1] wurde gezeigt, wie die Prony-Methode unter Verwendung von Fouri-ertechniken effektiv eingesetzt werden kann, um Translate von Fensterfunktio-nen zu analysieren. In [2] ist die Verallgemeinerung dieser Idee auf mehrdimen-sionale Daten aufgezeigt. Die hier vorgestellte Arbeit zeigt eine neue Moglichkeitdie Prony-Methode zur Analyse mehrdimensionaler Translate von Fensterfunk-tionen zu verwenden, wobei auf den Ubergang in den Frequenzbereich verzichtetwerden kann.
References
[1] T. Peter, D. Potts, M.Tasche, Nonlinear approximation by sums of expo-nentials and translates, SIAM J. Sci. Comput. 33(4), pp. 1920–1944, (2011).
[2] G. Plonka, M. Wischerhoff, How many Fourier samples are needed for realfunction reconstruction?, Journal of Applied Mathematics and Computing 42,pp. 117–137, (2013).
1
KLASSIFIZIERUNG VON KANTEN ANHAND DER STETIGEN
SHEARLETTRANSFORMATION MITTELS SHEARLETS MIT
KOMPAKTEM TRAGER
PHILIPP PETERSEN
Wir verwenden die Shearlettransformation um Singularitaten, die implizit alsRandkurven von charakterischen Funktionen gegeben sind, zu klassifizieren.
Es wurde von Guo und Labate gezeigt, dass anhand des Abfallverhaltens derShearletkoeffizienten zwischen verschiedenen Typen von Singularitaten unterschiedenwerden kann. Diese Resultate beschranken sich jedoch auf Shearletsysteme, welchevon speziellen bandbeschrankten Generatoren erzeugt werden. Demzufolge ist dieseKonstruktion restriktiv und verwendet Generatoren, die im Zeitbereich nicht opti-mal lokalisiert sind.
Wir prasentieren daher eine Theorie fur kompakt getragene Shearletgenera-toren mittels derer eine Klassifizierung von Singularitaten anhand des Abfallver-haltens der Shearlettransformation moglich ist. Insbesondere fuhrt die optimaleLokalisierung zu verbesserten Resultaten. Wir erweitern unsere Methode um auchSingularitaten in hoheren Dimensionen zu klassifizieren. Außerdem wird gezeigt,dass dieser Ansatz erlaubt geometrische Eigenschaften von Singularitaten zu ex-trahieren.
Institut fur Mathematik, Technische Universitat Berlin, 10623 Berlin, GermanyE-mail address: [email protected]
1
Phase Retrieval mit wenigen Messungen
F. Philipp
Phase Retrieval ist ein wohlbekanntes Problem aus der mathematischen Si-gnalverarbeitung, welches in Kristallstrukturanalyse, Holografie oder auchder optischen Koharenztomografie vorkommt. Es geht dabei darum, Vekto-ren aus den Betragen von linearen Messungen zuruckzugewinnen:
Definition: Ein System vkMk=1 ⊂ CN erlaubt Phase Retrieval, wenn furalle x, y ∈ CN gilt
|〈x, vk〉| = |〈y, vk〉| ∀k = 1, . . . ,M =⇒ y = λx, |λ| = 1.
Die sogenannte (4N − 4) -Vermutung besagt nun, dass
(a) Systeme mit weniger als 4N−4 Vektoren kein Phase Retrieval erlaubenund
(b) ein generisches System mit mindestens 4N − 4 Vektoren stets PhaseRetrieval erlaubt.
Wir zeigen, dass es zumindest Systeme mit 4N − 4 Vektoren gibt, die PhaseRetrieval erlauben, und dass solche Systeme sehr leicht zu konstruieren sind.
Chebyshev-Grüss-type inequalities in the bivariate case
MARIA DANIELA RUSU
UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSEN
24. RHEIN-RUHR-WORKSHOP - BESTWIG 2014
In the last years, Grüss-type inequalities have attracted much attention becauseof their applications. The classical form of Grüss’ inequality gives an estimate ofthe difference between the integral of the product and the product of the integralsof two functions in C[a, b].
In this talk we consider some new bivariate Chebyshev-Grüss-type inequali-ties via discrete oscillations, which we apply to different tensor products of linear(positive) operators. A Chebyshev-Grüss-type inequality via discrete oscillationsfor more than two functions is also given. These results are published in a paperwith A.M. Acu (ULB Sibiu).
Wavelets und Pianos
Tomas SauerLehrstuhl fur Mathematik mit Schwerpunkt Digitale Bildverarbeitung
FORWISSUniversitat Passau
In der Musiktheorie wird die Klangfarbe eines Tons normalerweise durch das Spek-trum der zugehorigen Fourierreihe quantifiziert, wodurch sich messen lasst, ob beispiel-sweise ein Instrument so klingt, wie es soll. Leider trifft diese Annahme nur auf einesehr kleine Menge vom Instrumenten zu. Bei Klavieren haben beispielsweise die Par-tialtone nicht nur eine unterschiedliche Intensitat, sondern auch ein unterschiedlichesAbklingverhalten, was wesentlich zum spezifischen Klang eines Pianos beitragt. DasPoster zeigt einige Ergebnisse zur quantitativen Klanganalyse von Pianos mittels kon-tinuierlicher Wavelets, die in Kooperation mit dem Pianohaus Mora in Passau erzieltwurden.
1
L1-Smoothing-Splines.
Oder: Rekonstruktion von Flugzeugpositionen
Thilo SchneiderFraport AG, Frankfurt / Universitat Passau
Am Flughafen Frankfurt wird die Position jedes Flugzeuges am Boden sowieim nahen Luftraum mithilfe verschiedener technischer Systeme kontinuierlichuberwacht. Obwohl diese Informationen hauptsachlich als visuelles Hilfsmittelim operativen Betrieb verwendet werden, konnen sie auch dafur genutzt werden,in der Vergangenheit entstandene Situationen zu analysieren und zu verstehen.
Neben einer Einfuhrung in die Problemstellung soll im Vortrag ein Verfahrenvorgestellt werden, mit dem die teilweise stark verrauschten Positionsinformatio-nen geglattet und die zugrunde liegenden physikalischen Eigenschaften korrektmodelliert werden konnen. Um eine hinreichend robuste Glattung zu erreichen,wird hierzu unter anderem ein Algorithmus vorgestellt, mit dem die Losung desL1-Smoothing-Spline der Form
minx
∑|yi − aixi|+ xTBx
approximativ bestimmt werden kann.
1
Generalized Interpolation and ImageReconstruction
Kristof Schröder (TU MünchenHelmholtz-Zentrum München)
Modelling of Inverse Problems often leads to an operator equation Mf = g,where M maps between suitable Hilbert spaces, g is a given function and f has tobe determined.
But in application one does not have the whole function but samples of g, whichleads to a semi-discrete Inverse Problem. In our presentation we will discuss howthis problem can be handled with Generalized Hermite-Birkhoff Interpolation andhow this can be applied in Image Reconstruction.
We will show both the analytic considerations connected to Microlocal Analysisand numerical questions related to the topic.
1
Inpainting mit Tensorprodukt-Splines
Tomas Sauer und Nada SissounoUniversität Passau, Fakultät für Informatik und Mathematik
Der Begriff Inpainting kommt aus der Kunstrestauration und bezeichnet Me-thoden zur Rekonstruktion von Bildern. Daten über einem zerstörten oder ent-fernten Teilbereich Ω eines Bildes Ω′ werden aus den vorhandenen Daten überΩ′\Ω ermittelt. Es existiert ein breites Spektrum hierzu verwendeter Methoden,welche sich sowohl in der Wahl des Algorithmus als auch des Lösungsraumes un-terscheiden können.Tensorprodukt-Splines bestechen unter anderem durch ihre einfache Strukturund effiziente Implementierbarkeit. Dennoch wurden sie bisher nicht als Funk-tionen für die Rekonstruktion ausgenutzt. Auf diesem Poster wird ein neuerAnsatz präsentiert, welcher auf der Verwendung von Tensorprodukt-Splines ba-siert.
Power series of Bernstein-type operators ∗
Elena Dorina Stanila (Duisburg-Essen University)
Abstract
We study power series of members of a class of positive linear operators repro-ducing linear function constituting a link between genuine Bernstein-Durrmeyer andclassical Bernstein operators. Using the eigenstructure of the operators we give a non-quantitative convergence result towards the inverse Voronovskaya operators. We includea quantitative statement via a smoothing approach.
∗joint work with H. Gonska (Duisburg-Essen University) and I. Rasa (TU Cluj-Napoca)
1
Die Prony-Methode zur Rekonstruktion strukturierterFunktionen
Katrin Wannenwetsch, Georg-August-Universität Göttingen
Die verallgemeinerte Prony-Methode erlaubt die Rekonstruktion dünnbesetzter Linearkombina-tionen von Eigenfunktionen spezieller linearer Operatoren. Hierbei werden Funktionen der Form
f =
M∑j=1
cjvnj
mit unbekannten komplexen Parametern cj sowie unbekannten Eigenfunktionen vnjeines linearen
Operators A betrachtet. Diese können aus 2M gegebenen Werten F (Akf) (k = 0, . . . , 2M − 1)rekonstruiert werden, wobei F ein lineares Funktional darstellt.
Die Verallgemeinerung erweitert die Einsatzmöglichkeiten der Prony-Methode auf die Rekon-struktion von Linearkombinationen zahlreicher strukturierter Funktionen, die sich als Eigenfunk-tionen linearer Operatoren darstellen lassen. Insbesondere sind Anwendungen im Bereich derorthogonalen Polynome möglich. Im Rahmen des Vortrags soll die Rekonstruktion von dünnbe-setzten Summen von Bessel- und Hermitefunktionen aus einer Menge von gegebenen Funktions-und Ableitungswerten dargestellt werden.
Besov regularity for operator equations on patchwise smooth manifoldsMarkus Weimar(Philipps-Universitat Marburg, Fachbereich Mathematik und Informatik, AG Nu-merik und Optimierung. [email protected])
Wir untersuchen Regularitatseigenschaften der Losungen von Operatorgleichungenauf patchweise glatten Manigfaltigkeiten ∂Ω wie beispielsweise Oberflachen vonPolyedern Ω ⊂ R3. Mithilfe geeigneter biorthogonaler Wavelet-Basen Ψ definierenwir dazu zunachst eine neue Klasse von Funktionenraumen BαΨ,q(Lp(∂Ω)) vomBesov-Typ und studieren die Konvergenzrate der besten n–term Approximationfur Funktionen u : ∂Ω → C in diesen Raumen, da diese die Geschwindigkeit adap-tiver Verfahren zur numerischen Losung von Operatorgleichungen maßgeblich bes-timmt. Wir prasentieren stetige Einbettungen (gewichteter) Sobolev-Raume inBαΨ,τ (Lτ (∂Ω)) mit 1/τ = α/2 + 1/2 und schließen damit auf Regularitatsaussagenfur die zu betrachtenden Gleichungen. Abschließend wenden wir unsere Resultateauf Integralgleichungen zweiter Art an, welche in naturlicher Weise bei der Be-handlung von Dirichletproblemen der Laplacegleichung, basierend auf einem Dop-pelschichtpotentialansatz, auftreten.
Der Vortrag basiert auf aktuellen Ergebnissen einer Kooperation mit S. Dahlke [1]im Rahmen des DFG-Projekts Adaptive Wavelet and Frame Techniques for Acous-tic BEM (DA 360/19-1).
Literatur
[1] Dahlke, S. und Weimar, M.: Besov regularity for operator equations on patchwise smooth
manifolds. Manuskript, 2013.
1
Relation between total variation and persistence and itsapplication in signal processing
Yi Zheng∗
January 21, 2014
Abstract
We establish the new notion of persistence distance for discrete signals and studyits main properties. The idea of persistence distance is based on recent developmentsin topological persistence for assessment and simplification of topological features ofdata sets. Particularly, we establish a close relationship between persistence distanceand discrete total variation for finite signals. This relationship allows us to proposea new adaptive denoising method based on persistence that can also be regarded asa nonlinear weighted ROF model. Numerical experiments illustrate the ability of thenew persistence based denoising method to preserve significant extrema of the originalsignal.
∗University of Gottingen, Institute for Numerical and Applied Mathematics, Lotzestr. 16-18, 37083Gottingen, Germany. Email: [email protected]
1