240745314 aplicaciones de la derivada en electronica

7/26/2019 240745314 Aplicaciones de La Derivada en Electronica

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Aplicaciones de las derivadas en ingeniera Electrnica y deTelecomunicaciones:

Como sabemos la Ingeniera electrnica y deTelecomunicacioneses una rama de la ingeniera, que resuelveproblemas de transmisin y recepcin de seales e interconexin deredes, as como la solucin a problemas de circuitos de pequeaescala, as como su diseo.

El trmino telecomunicacin se refere a la comunicacin a distanciaa travs de la propagacin de ondas electromagnticas. Esto incluyemuchas tecnologas, como radio, televisin, telono, comunicacionesde datos y redes inorm!ticas.

"l resolver problemas de trasmisin y recepcin de seales einterconexin de redes, estamos hablando de ondas# el an!lisis delas ormas de onda a travs de las series de $ourier se utili%a en todala ingeniera elctrica, electrnica, de telecomunicaciones, deprocesamiento de seales de redes.

&na serie de $ourier es una serie infnita que converge puntualmentea una uncin peridica y continua a tro%os.

'as series de $ourier constituyen la herramienta matem!tica b!sicadel an!lisis de $ourier empleado para anali%ar unciones peridicas atravs de la descomposicin de dicha uncin en una suma infnita deunciones senoidales mucho m!s simples. "lgunas de las"plicaciones de las Series de Fourierque se aplican a nuestracarrera son(

) "n!lisis en el comportamiento armnico de una seal. ) *eneracin de ormas de onda de corriente o tensin elctrica pormedio de la superposicin de senoidales generados por osciladoreselectrnicos de amplitud variable cuyas recuencias ya est!ndeterminadas.

En cuanto a las derivadas, e integrales de lnea suelen usarse paraan!lisis de curvas, m!ximos y mnimos o ormas de onda y sobre todopara an!lisis de potenciales elctricos y magnticos en diseos dealto volta+e y antenas.

El clculo en la ingeniera en Electrnica.


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abemos la utilidad que pueden tener las integrales, la integraldefnida es un mtodo r!pido para calcular !reas, vol-menes,longitudes, etc. 'e+os de los procesos lentos y laboriosos queempleaban los griegos. "hora vamos a ilustrar las distintasaplicaciones que tiene el c!lculo integral, el lgebra y la

/rigonometra sirven para estudiar los ob+etos que se mueven convelocidad constante, pero si la velocidad es variable y la trayectoriaes irregular se necesita el C!lculo. &na descripcin rigurosa delmovimiento requiere defniciones precisas de velocidad y aceleracin,usando uno de los conceptos fundamentales de clculo: laderivada.

El poder y la 0exibilidad del C!lculo hacen ste -til en muchoscampos de estudio. Entre algunas de las casi infnitas aplicaciones dela derivada en el campo de la 1ngeniera Electrnica y de/elecomunicaciones, se pueden mencionar(

'os cambios instant!neos de una corriente elctrica. 2ariaciones del 0u+o magntico. 2ariaciones de los campos elctricos y magnticos. 'as leyes de 3ax4ell 5 u compresin , requieren un amplio

dominio del c!lculo dierencial 6 El an!lisis gr!fco de unciones complicadas. En la ormulacin de conceptos b!sicos de Control. Conversin de energa. Circuitos Elctricos 'as leyes del electromagnetismo en general, hacen uso de las

derivadas 5'a ley de ampere, la ley de *auss, la ley de $araday,etc.6

En electrnica, hay un programa muy usado denominado3"/'"7, dicho programa, puede ser utili%ado combinando uncorrecto dominio de su lengua+e de programacin y mtodosnumricos basados en el c!lculo, para dar origen a programascapaces de calcular, aproximar e interpolar unciones, para

poder plantear la derivada en programacin, todo lomencionado se derivan del polinomio de /aylor y otros como elmtodo de ne4ton8rapshon, etc.

e puede crear un modelo de ecuaciones dierenciales paraproponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento deactivos de empresas, comportamiento de partes mec!nicas deun automvil, y muchas aplicaciones m!s en ingeniera y sica.

$abricacin de chips 5obleas de microprocesadores6 3iniaturi%acin de componentes internos. "dministracin de las compuertas de los circuitos integrados.

Compresin y digitali%acin de im!genes, sonidos y videos.


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Puede armarse !ue el clculo se aplica en casi todas lasramas del conocimiento ciencias Fsico"#atemticas y$ conparticular %nfasis$ en las Ingenieras y profesiones anes.

En los sistemas elctricos y en general los sistemas din!micos depar!metros concentrados e invariantes en el tiempo se puedenrepresentar por medio de una Ecuacin 9ierencial 'ineal o unistema de Ecuaciones 9ierenciales 'ineales, as que para su r!pidaresolucin se utili%a la /ransormada de 'aplace, pues convierte alsistema en una Ecuacin "lgebraica de !cil solucin.

:ara encontrar respuestas or%adas de los sistemas elctricos seutili%a el an!lisis de $ourier en su orma m!s sencilla, conocido comoel mtodo asorial y consiste en transormar las Ecuaciones

9ierenciales en ecuaciones algebraicas con coefcientes comple+osde !cil resolucin.

Todo lo mencionado$ nos da a entender$ !ue si no conocemosni sa&emos aplicar correctamente una derivada$ 'amspodramos plantear una ecuacin diferencial y porconsiguiente resolver los pro&lemas mencionados

anteriormente. (E)isten tam&i%n e'ercicios !ue resultan de ladenicin de ra*n de cam&io de la derivada$ !ue porelectromagnetismo &sico y el uso de derivadas se resuelven$pero ca&e destacar !ue ms importante es la presencia de lasderivadas en las ecuaciones diferenciales+

;ablar de aplicaciones de las derivadas en la electrnica es hablar delas aplicaciones de las ecuaciones diferencialesen dicha rama5pues una ecuacin dierencial no es m!s que una ecuacin que tiene

como elementos variables independientes, dependientes y susderivadas6, por ello, a continuacin se tratar! dicho tema,especfcamente( 'a solucin de circuitos elctricos tanto decorriente continuacomo corriente alterna.

2eamos el siguiente e+emplo de solucin de un circuito


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En *eneral es evidente, que la derivada aparece m!s de una ve% encuestiones de circuitos elctricos, a continuacin enunciaremos lassiguientes rmulas, en las que se puede apreciar ecuaciones dierenciales,-tiles en la solucin de circuitos.


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Circuitos Elctricos.

dt

dQi=

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Caida de Tension fem caida de Tension

V iR E t iR Ldi

dt

Q

CiR L

di

dt Cidt

V Ldi

dtE t R

dQ

dtL

d Q

dt

Q

C

V Q CC

idt E t Rdi

dtL

d i

dt

i

CSi E t

R

L

C

:

............

=

= = + + = + +

= = + +

= = = + +

1

1

12

2

2

2

2


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9atos del circuito(( ) ( ) 0001050

3002005.050

21

6

21

===

==== iiFC

RRHLVE

3alla@(

( ) (3.18)502111 =+ iiR

dt

diL

3alla ?(

( ) 0121222 =++ iiRiRC

Q

( ) (3.19)02003001050

1226

2 =++

iiiQ

9e 5A.@B6(

(3.20)502002005.0 211 =+

dt

dQi

dt

di

9e 5A.@6@DD (

01050

5002006

221 =

++

Q

dt

dQi

5A.?@6

En notacin operacional(

( )

( )

=++

=+

020052

100400400

21

21

QDi

DQiD

:ara hallar la ecuacin dierencial en i@(


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42 1081400520052

400400++=

+

+= DD

D

DD

'uego ( .i@

410220050

400100=

+

D

D

5 Este e+ercicio se desarroll por el mtodo de notacin operacional6.

En electrnica, la dierencia de potencial 5volta+e6, es muy utili%ada, y su

defnicin nos permite entender por qu la derivada


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En electromagnetismo, las leyes de $araday y la de 'en%, se ormularongracias a las derivadas, como herramientas matem!ticas muy poderosas.


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'a defnicin de 1nductancia 3utua , utili%a derivadas en su rmula (


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"qu tenemos m!s e+emplos de aplicacin ( en ecuaciones dierenciales

1. Se tiene el circuito elctrico como en la fig. 3. Se pide allar:

a. !cuaci"n diferencial del circuito elctrico:

E ( t)=di

dt

+30i+ Q

5x103

que se puede escribir como(

t e2 t=d

2Q

d t2+30

dQ

dt +200Q

>esolviendo la ecuacin caracterstica( m1=10,m2=20

olucin transitoria( Qh=A e10 t+B e

20 t

,

olucin particular(Qp=Ct e

2 t+D e

2 t

, derivando y reempla%ando

en la ecuacin dierencial se hallan( C= 1

144 ,D=

26

1442

olucin completa( Q=A e10 t+B e

20 t+

t

144e2 t

26

1442e2 t

>eempla%ando las condiciones iniciales, se hallan A= D.DD@?,

B8D.D@.


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'a corriente en D.@ seg es( 8D.D?F"

#. n=

1

LC=14.142

Z=30+j

(2

1

25103=30j98

)1.Se tiene el circuito elctrico de la fig.1, con E(t)=100 sin(10t), con== 521 10RR , FC 1= , 0)0()0( 21 ==qq .

Determine:

(6p)

a. Las ecuaciones diferenciales del circuitoEcuaciones dierenciales

0

)(

1222

21

11

=

+

=

+

C

QQiR

tEC

QQiR

(( ) 0101010

10100101010

2

65

1

6

2

6

1

65

=++

=+

QDQ

tsenQQD

b.Las corrientes)(1 ti e )(2 ti .

Fig.1oluciones

( )( )

DDD

D 11210656

665

10210101010

101010+=

+

+=

Ecuacin dierencial para Q@(

( ) ( )tsent

D

tsenQ 1010co$10

10100

1010100 865

6

1 +=+

=

olucin homognea(

>aces de la ecuacin caracterstica( 20%0 21 == mm

t

h eCCQ 20

211

+=


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olucin particular(tBtAsenQ p 10co$101 += , derivando y

reempla%ando en la ecuacin dierencial se obtiene(55 106%102 == BA

olucin completa( ( )ttseneCCQ t

10co$310102520

211 ++=

,5@6

9erivando se obtiene la corriente(( )tsenteCi t 10310co$10220 42021 ++=

9e la ecuacin ( ) tsenQQD 10100101010 26

1

65=+ , se despe+a 2Q ,

entonces(

( )ttseneCCQ t 10co$210102 520212 +=

5?6

>eempla%ando las condiciones iniciales 0)0()0( 21 == QQ en 5@6

y 5?6, se hallan(5

2

5

1 10%105

== CC

oluciones para las corrientes(

( )

( )tsentei

tsentei

t

t

10210co$102102

10310co$102102

4204

2

4204

1

+=

++=

1. Se tiene un circuito elctrico como en la &ig. 1 al 'ue $e le aplica una ten$i"n

ttetE 2)( =. Se pide: (5p)

a. allar la corriente en t0.1 $eg% $i0)0( =i

*coulom#io$01.0)0( =Q

!cuaci"n diferencial: Q' '+30Q

'+200Q=t e

2 t

1+, !cuaci"n caracter-$tica: m2+30m+200=(m+10 ) (m+20 )=0

$ig. @


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Qh(t)=C1 e10 t

+C2 e20 t

2+, Qp(t)=At e2 t+Be

2 t

% reemplaando en la ecuaci"n diferencial $e

o#tiene:A=

1

144

=0.00694;B=26

1442=0.00125

Soluci"n completa:

Q (t)=C1 e10 t+C2 e

20 t+0.00694 t e

2 t0.00125 e

2t

9erivando (

i ( t)=10C1 e10 t

20C2 e20 t

0.01388 t e2 t+0.0025 e

2t

>eempla%ando las condiciones iniciales(

Q (0 )=0.01=C1+C

20.00125 C1+C2=0.01125

i (0 )=0=10C120C2+0.0025 C1+2C2=0.00025

'uego C2=0.011,C1=0.02225

i (t)=0.2225 e10 t+0.22e20 t0.01388t e2 t+0.0025 e2 t

i (0.1)=

0.051

b. GCu!l es la recuencia natural y la impedancia comple+a en

condiciones de rgimen estacionario contsentE 22)( =H

n= 1

LC=

1

5 103=14.142

Zc=30+

j

(2

1

2 5 103

)=30

j 98

,onclusin:

En general, las derivadas, tienes m-ltiples aplicaciones en el campode la electrnica, por el mismo motivo en que el electromagnetismolas incorpora, como herramientas matem!ticas para medir unamagnitud que se origina como la variacin de otra magnitud con

respecto a una variable independiente. :or Ello, cuando traba+amoscon magnitudes que se describen usando ecuaciones que no son del


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tipo lineal, es necesario 9E>12">, pues de esta manera podemosobtener mucha inormacin de dicha magnitud.

En general, se ha visto, que las derivadas aparecen m!s de una ve%en numerosas leyes y rmulas, as como en el planteo de ecuaciones

5Ecuaciones 9ierenciales6, o el c!lculo de expresiones que resultanrequerir el uso de derivadas, y dichas expresiones se plantean porproblemas cotidianos o cientfcos. :or ello es importante recordar quela derivada es >"I

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