u5 aplicaciones de la derivada

8/6/2019 U5 Aplicaciones de La Derivada

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1

INSTITUTO TECNOLGICO DE AGUASCALIENTES

SUBDIRECCIN ACADMICA

DIVISIN DE EDUCACIN A DISTANCIA

MATERIA RETICULAR

Clculo Diferencial

INGENIERA INDUSTRIAL

Lectura:

Unidad 5. Aplicaciones de la Derivada


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2

AGOSTO -

ICI

B

2010

5.1 ta ta g t , ma t s d vas.

Al c c rla p d t d a ! ta y p t" d lla, la r c#

a queda

c mpletamente determ $ nada, se tiene que el pr blema de trazar una recta

tangente a una curva dada, p r un punto de sta, se reduce a encontrar la

pendiente de la recta, recordando a la unidad 4 se tiene.

Consideremos la representacin grfica de una curva con ecuacin ,

donde es una funcin continua. El problema de la derivada se reduce a

encontrar la tangente de una recta en un punto de la curva. De acuerdo a la

definicin del lmite en la unidad 2, se determinaron las siguientes relaciones

matemticas:

La definicin de la derivada se da a partirde sustituir lad%

&

'

(

'

)

0

%

a - porque se entiende como el incremento sumado a para alcanzar , o eldiferencial que igualmente significa la diferencia de con , lassiguientesrelacionesmatemticas nosdan origen a la definicin de la derivada.


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3

La derivada es un tipo especial de lmite que se define a continuacin.

Definicin de derivada

Sea una funcin real definida en un intervalo . Sea

La derivada de fen el punto , denotada , es el si este

lmite existe.

Note que, la pendiente dela recta tangente a la grfica dela curvacon

ecuacin en el punto , es precisamentela derivada de

evaluada en .


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4

Si en la definicin de derivada se sustituye por h, donde h= =

entonces cuando y .

Luego , si este lmite existe. La funcin esderivable

en si existe. Si existe para cada en un intervalo , , se

dice que la funcin esderivable en ; se escribe

Ejemplo:

Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuacin

, en el punto . La ecuacin de la recta tangente es:

. Utilizando la derivada de la funcin vamos a averiguar la pendiente

en .

Solucin: utilizando los teoremaspara derivacin de funciones.

As: Derivando ; f(x)=2x- 3, evaluamos la derivada en x=1

F(1)=2(1)-3=2-3=-1

Luego , por lo que . Para averiguarbsustituimos el punto

en como sigue: de donde .

Por tanto, la ecuacin de la recta tangente es .

La representacin grfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:


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5

Definicin

Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la lnea que

pasa porP y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Adems,

recuerde que dos lneas no verticalesson perpendiculares entre s, si y solo si

suspendientes tienen valoresrecprocos negativos.

Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal,

entonces:

Ejemplo:

Determinar la ecuacin de la recta normal a la curva con ecuacin

, en el punto

Solucin:

Como , averiguamosprimero la pendiente de la recta tangente. As:


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6

f(x)=-4/x evaluando en x=2; f(2)=-4/4=mt(2)=-1por tanto,

Como , entonces

La ecuacin de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuacin

anterior se obtiene .

Por tanto, la ecuacin de la recta normal es .

La representacin grfica de la curva y la recta normal es la siguiente:

La ecuacin de la recta tangente es

EjercicioDeterminar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la recta normal a

la curva con ecuacin , en el punto

Otros ejemplos

1. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la parbola con ecuacin

, y que esparalela a la recta con ecuacin .

Solucin:

Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces suspendientes son

iguales.


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Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva.

Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuacin ,

entonces .

Calculemos :con la derivada de

y=2x

Como se tiene que y por tanto .

Si entonces . El punto de tangencia es

La ecuacin de la recta tangente es:

Sustituimos y se obtiene que

Entonces la ecuacin de la recta tangente es

La representacin grfica es la siguiente:


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8

5.2 1 xim2 s y mnim2 s(criterio dela primera derivada).

Criterio de la primera derivada para determinar los mximos y losmnimos

deuna funcin

En el siguiente teorema se establece cmo determinar losvaloresmximos y

losvaloresmnimosde una funcin, al estudiar los intervalos en que crece o

decrece la funcin.

Teorema 1

Sea f una funcin continua en un intervalo cerrado , que es

derivable en todo punto del intervalo abierto .

Sea c en tal que o no existe.

a.

Si espositiva para todo , y negativa para todo , entonces

es un valormximo relativo de .

b.

Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces

es un mnimo relativo de .

c.

Si espositiva para todo y tambin lo espara todo ; o si

es negativa para todo y a su vez para todo , entonces

no es un valormximo relativo ni un valormnimo relativo de .


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Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse grficamente

como sigue:

Mximo relativo en

Mnimo relativo en


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En no hay ni mximo ni mnimo relativo.

En lossiguientes ejemplosdeterminaremos losvalores extremosde una funcin

cuya ecuacin se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la funcin,

luego se determinan losvalorescrticoscon y por ltimo se aplica el

teorema anterior.

1.

Note que f est definida para

Como entonces si y solo si , .

Los valores crticos son , y , x=-2. Determinemos ahora cundo

y cundo . Como , se deben resolver

las desigualdades: , . Nos ayudamos con

la tabla siguiente:


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Como para y para entonces

es un valormnimo.

Como para y para entonces es

un valormximo.

La representacin grfica de la funcin es la siguiente:

Note que es un mnimo relativo y que es un

mximo relativo, en el dominio de la funcin.

2. Para la funcin y= 2x+6x, encontrarsu mximo o mnimo relativo.

y=4x+6, susvalorescrticosson 4x+6=0; x=-6/4=-3/2; ahora determinar4x+6-3/2

Comprobacin:x=-2 y x=-1, valores a la derecha y a la izquierda de -3/2

y(-2)=4(-2)+6=-8+6=-2 ; y(-1)=4(-1)+6=-4+6=2


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De acuerdo al inciso bdel teorema tenemos:

Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces

es un mnimo relativo de .

La grfica de la funcin con su valormnimo de -4.5 es la siguiente:

5.3 3 ximos y mnimos (criterio dela segunda derivada.)

Criterio dela segunda derivada para establecerlos valores mximos y

los valores mnimos deuna funcin

Ademsde proporcionar informacin sobre la concavidadde la grfica de una

funcin, la segunda derivada permite establecersi un punto crtico es un valor

mximo o un valormnimo.

El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.


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Teorema

Sea f una funcin con dominio D. Si est definida para

donde y si con entonces:

a.

es un valormximo relativo de f si se cumple que

b. es un valormnimo relativo de f si se cumple que

Ejemplos:

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores mximos y los

valoresmnimosde lasfuncionescuyas ecuacionesson:

1. ,

Note que la funcin f no est definida en

La derivada de f est dada por ,

Losvalorescrticosde f se obtienen cuando . En este caso, si

y solo si , .

Ahora, la segunda derivada de f es

Vamos a evaluar en y en


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a. ; como entonces es un valormnimo relativo de f.

b.

; como entonces es un valormximo relativo de f.

Grficamente se tiene en el intervalo

2. . Se tiene que

La primera derivada deg estdada por

Como cuando y cuando entonces estos son los valores

crticos de g. La segunda derivada de g es

Evaluando en se tiene que que esmayor que cero,

por lo que es un valormnimo relativo de g.

5

33

( ) ( 9)( 1)

8

g x x x!

2

3( ) ( 6)( 1) g x x xd !

3(6) 35gdd !


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Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador

por lo que para este valor crtico debe utilizarse el criterio de la primera

derivada.

Analizando se obtiene que para y

para por lo que al no existircambio de signo resulta que

no es ni mximo ni mnimo. El grfico de gse muestra a continuacin.

5.4 Funciones crecientes y decrecientes.

Funciones crecientes y decrecientes y surelacinconla derivada

Sea f una funcin continua con ecuacin , definida en un intervalo

.

La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo .


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En la representacin grfica anteriorpuede observarse que la funcinf es:

1. Creciente en los intervalos ,

2. Decreciente en los intervalos ,

Tambin se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es

positiva, la funcin fcrece; y cuando la pendiente dela recta tangentees

negativa, la funcin decrece. Note adems que en los puntos ,

y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente

es cero, esdecir, la primera derivada de la funcin se anula en cada uno de

esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciacionesanteriores.

Teorema 1

Sea funa funcin continua en un intervalo cerrado y derivable en el

intervalo abierto .

1. Si para toda x en , entonces la funcin fescreciente en.

2. Si para toda x en , entonces la funcin fesdecreciente en

.


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Ejemplos:

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con

ecuacin .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como , o sea si , entoncesf escreciente para .

Como , o sea si , entonces f es decreciente para

.

En la representacin grfica de la funcin puede observarse lo obtenidoanteriormente.

2. Determinar los intervalos en que crece o decrece la funcin f con

ecuacin , con . La derivada de f es .

Como esmayor que cero para x en , , y adems

entonces para todo x en , por lo que la funcin fes

decreciente para x en . La siguiente, es la representacin grfica

de dicha funcin:


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5.5 Concavidades y puntos deinflexin.

Concavidad y puntos deinflexin

La segunda derivada de una funcin tambin proporciona informacin sobre el

comportamiento de sta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

Definicin deconcavidad

Se dice que la grfica de una funcin f es cncava hacia arriba en un

intervalo A, , si escreciente sobre A. Si esdecreciente sobre

A entoncesse dice que la grfica de f escncava hacia abajo.

Note que es la funcin derivada la que debe ser creciente o

decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representacin grfica, una funcin fescncava hacia arriba en

el intervalo y cncava hacia abajo en el intervalo .


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Teorema 5

Si fes una funcin tal que cuando , entonces la grfica de f

escncava hacia arriba sobre .

Demostracin:

Si y como , entonces se tiene que es creciente

sobre por lo que de acuerdo con la definicin de concavidad de una

funcin, se obtiene que f escncava hacia arriba sobre .

Teorema 6

Si fes una funcin tal que cuando , entonces la grfica de f

escncava hacia abajo sobre .

Demostracin:

De la hiptesis: , y como , se obtiene que es


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decreciente sobre por lo que segn la definicin dada sobre concavidad, la

grfica de la funcin f escncava hacia abajo sobre .

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la funcin f con

ecuacin

Si entonces , y,

Luego, si y, si .

Como , entonces escreciente en los intervalos ,

pues en ellos es positiva. Adems es decreciente en el intervalo

pues en el es negativa. Luego, fes cncava hacia arriba en el intervalo

y cncava hacia abajo en el intervalo . La representacin

grfica de la funcin es la siguiente:

Representacin grfica de la funcin

Observe que es creciente en y y decreciente en .

Representacin grfica de la funcin f:


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Note que fescncava hacia arriba en los intervalos y cncava

hacia abajo en el intervalo .

Damos ahora la definicin de punto de inflexin

Definicin

Se dice que es un punto de inflexin de la grfica de una funcin f,

si existe un intervalo tal que , y la grfica de fes cncava hacia

arriba sobre , y cncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Podemosrepresentar lo anterior en forma grfica como sigue:


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4 jemplos:

1.

El punto es un punto de inflexin de la curva con ecuacin

, pues espositiva si , y negativa si , de

donde fescncava hacia arriba para , y cncava hacia abajo para

.

Grficamente se tiene:

5.6 4 studio general decurvas.


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Especificaremos ahora lospasos a seguirpara hacer el anlisis y la grfica de

una funcin f cuya ecuacin se da.

1. Calcular el dominio de f.

2.Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados.

Si es la ecuacin de la curva, lospuntosde interseccin con el

eje x se determinan resolviendo la ecuacin , los puntos de

interseccin con el eje yse calculan dndole a x el valorcero.

3. Sentido de variacin.

Se hace el estudio de la primera derivada.

a. Se calcula

b. Para determinar losvalorescrticosse resuelve

c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se

resuelven lasdesigualdades , y,

4. Estudio de la segunda derivada de f.

a. Se calcula

b. Se determinan lospuntosde inflexin resolviendo

c. Para determinar los intervalos en que fescncava hacia arriba y en

los que escncava hacia abajo, se resuelven lasdesigualdades

y .Lospuntosmximos y lospuntosmnimosse pueden establecer yasea

utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.


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24

5. Estudio de los lmites.

Se calculan los siguientes lmites: ,

y donde

6. Estudio de las asntotas: Se determina si la curva posee asntotas

verticales, horizontales u oblicuas.

7. Se hace el cuadro de variacin. Este es un cuadro en el que se resume

todo el anlisis anterior.

8. Grfica de la funcin. Con losdatossealados en el cuadro de variacin

se dibuja la grfica de .

Ejemplo

1. Dominio:

2. Interseccin con los ejes

a.

eje Y: no hay interseccin, puesx debe tomar el valor de cero, pero


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25

b.

eje X: , pero , por lo que

no hay interseccin con este eje.

3. Sentido de variacin: Estudio de la primera derivada

a.

b. , estosson losvalorescrticosde

f.

c.Como:

Se tiene que si , y, si

Entoncesf escreciente si y f esdecreciente si

Luego, , es un valormximo y es un valormnimo.

4. Estudio de la segunda derivada:

a.


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26

b.

c. , entoncesf escncava hacia arriba si

d. ; luego, f escncava hacia abajo si

5. Estudio de los lmites:

a.

b.

c.

d.

6.Asntotas

De a. y b. del punto anteriorse concluye que la recta con ecuacin

es una asntota vertical.

De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asntota

horizontal.

Asntota oblicua

i.


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de donde

ii.

de donde

Luego, la recta con ecuacin es una asntota oblicua.

7. Cuadro de variacin

8. Grfica


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28

5.7Derivada comorazn decambio y aplicaciones.

Al dar la definicin de la derivada de una funcin como el ,

se utiliz para sealar un nmero distinto de cero tal que pertenece al

dominio de .

Grficamente se tiene la representacin de y la recta tangente:


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Puede decirse que es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la

grfica de . Esta diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota

por .

Para una funcin dada al sustituir por en la expresin se

obtiene de donde .

Si entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento de

, que se denota por , estdado por .

As , es el cambio en "y" debido al cambio en .

La razn recibe el nombre de razn promedio de

cambiode o de "y", respecto a , para el intervalo .

La derivada: recibe el nombre de razn

instantnea de cambio o simplemente razn de cambio de "y" o de

respecto a .

Ejemplos:

1. Si hallar en trminosde y

i.

Determinar para:s

a.


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30

b.

Solucin:s por tanto

=

a.

Para se tiene que:

Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadasdebido

a un incremento de en las abscisas.

b.

Para se tiene que:

ii.

Hallar la razn promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo

y para el intervalo

Solucin:

La razn promedio de cambio de "y" respecto a "x" estdada por:


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31

de donde

En el intervalo se tiene y el intervalo se

obtiene

iii.

Hallar la razn de cambio de "y" respecto a "x".

Determinar el valorde esta razn en 2 y en 4.

Solucin:

La razn de cambio de "y" respecto a "x" estdada por:

En esta razn instantnea es y en toma el valorde 16.

2. Demostrar que la razn de cambio del volumen de una esfera con

respecto a su radio, es igual al rea de la superficie de la esfera.

Solucin:

El volumen de una esfera de radio es

La razn de cambio del volumen con respecto al radio estdado por:


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32

expresin que corresponde precisamente al rea de la

superficie de la esfera.

5.8 Problemas de aplicacin(optimizacin y cinemtica).

5 esoluci

n

de

pro

ble

mas de

mxi

mo

s y mni

mo

s:

En la resolucin de problemas en que se debe determinar el mximo o el

mnimo de una cierta expresin, deben seguirse lossiguientespasos:

y Determinar la magnitud que debe hacerse mxima o mnima, y asignarle

una letra.


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33

y Hacer un dibujo cuando sea necesario.

y Asignar una letra a lascantidadesmencionadas en el problema y escribir

una ecuacin en la que se establezca lo que se debe hacermximo o

mnimo.

y Establecer lascondiciones auxiliaresdel problema y formar una ecuacin

(ecuacin auxiliar)

y Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en trminos

de una sola variable utilizando para ello la ecuacin auxiliar. Determinar

el dominio de esta funcin.

y Obtener la primera derivada de esta funcin para determinar losvalores

crticos.

yComprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de lasegunda derivada, si losvalorescrticosson mximos o mnimos.

y Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el

problema

y Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.

y En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geomtricas

junto con lasrespectivasfrmulassobre reas y volmenes:

Ejemplos:

1. Determinardos nmeros no negativoscuya suma sea 10 y cuyo

producto tenga el mayorvalorposible.

Solucin:

Se debe de maximizar el producto P de dos nmerospositivos.

Sean estos nmeros:x e yLuego .

Como la suma de esos nmeros es10, entonces es la ecuacin

auxiliar, de donde .

Entonces: .


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34

Se debe de determinar el valor de x que hace mxima la funcin

Derivando: . Valores crticos:

En se tiene un valorcrtico, y se debe estudiarsi es un valormnimo o un

valormximo.

Como entonces por lo que en se tiene un valor

mximo. Si entonces . Luego, los nmeros positivos cuyo

producto esmximo y cuya suma es10son ambos iguales a 5.

2. Un rectngulo tiene 120m. de permetro. Culesson lasmedidasde

los ladosdel rectngulo que dan el rea mxima?Solucin:

Se debe maximizar el rea A de un rectngulo:

Designemoscon "x", "y" las longitudesde los ladosdel rectngulo.

Luego .

Como el permetro del rectngulo es 120 m. entonces la ecuacin auxiliar

es: de donde .

Luego . Como y

entonces es un valorcrtico.


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35

Analicemossi este valor esmximo o mnimo utilizando el criterio de la

segunda derivada. Como y , entonces

es un valor mximo. Si entonces por lo que un

cuadrado de lado 30 es el rectngulo de mayorrea y permetro 120m.

3. Una recta variable que pasa por el punto corta al eje X en

y al eje Y en . Hallar el rea del tringulo de superficie

mnima, suponiendo A y Bpositivos.

Solucin:

Se debe minimizar el rea T de un tringulo.

Grficamente se tiene:

El tringulo esrectngulo y su rea estdada por .

La recta pasa por lospuntos , y , por lo que la pendiente

estdada como sigue:

i.

Tomando y :

ii.

Tomando y :


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36

Luego: es la ecuacin auxiliar, de donde (*)

Entonces

, . Como entonces

.

Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si losvalorescrticosson mximos o mnimos:

Del cuadro anterior, como Tdecrece para y crece para

entonces en se tiene un valormnimo.

Si entonces (al sustituir en (*)).

Luego el rea del tringulo es .

Adems, la ecuacin de la recta es


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37

5.9 6 egla de 7 `Hpital.

Introduccin

La regla de L'Hopital es un mtodo que se le atribuye al matemtico francs

Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribi el primer libro de

clculo conteniendo su mtodo, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este mtodo nos permite calcular ciertos lmites que con los procedimientos

estudiados anteriormente no era posible resolver. As, al evaluar lmitesde la

forma en algunoscasosse poda aplicar el teorema para el lmite de un

cociente:

siempre que

An cuando y , a veces es posible determinar

. Por ejemplo el que esde la forma puede escribirse

como

Sin embargo, existen lmites como en los que tanto el numerador

como el denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no

hemosdado ningn procedimiento que permita determinarsu valor.

El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento

adecuado para la evaluacin de tal tipo de lmites.

Teorema: 8 egla de 9 'Hpital


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38

Sean funciones que satisfacen lascondicionesdel teorema de Cauchy en

cierto intervalo y tales que .

Entonces, si existe , tambin existir y adems

Tambin, si entonces

Ejemplos:

Calculemos el utilizando el teorema anterior.

Observe que , por lo que se tiene la forma

Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las

condiciones que se especificaron para las funciones y , segn la hiptesis

de el teorema de la Regla de L'Hpital, entoncespuede aplicarse de nuevo la

Regla de L'Hpital, obtenindose que:


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39

Puede operarse assucesivamente siempre que se presente la forma .

Ejemplos:

Calculemos los lmitessiguientes:

1.

Note que ; se presenta la forma y puede

aplicarse el teorema.

Luego:

, aquse presenta de nuevo la forma por lo

que esposible aplicar otra vez el teorema.

Entonces:

2. forma:


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40

forma:

3. forma:

Ejercicio para el estudiante:

Calcule los lmites siguientes utilizando la Regla de L'Hpital.

Antesde aplicarla asegrese de tener la forma indeterminada .

1.

2.

3.

4.


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41

Teorema

Sean funcionesderivables, (y por tanto continuas), en un intervalo

, donde es una constante positiva. Sea .

Si y si entonces

Adems, si entonces

Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hpital a lmites en que se

presenta la forma , cuando la variable independiente tiende hacia .

Tambin puede aplicarse cuando al tender a menos infinito se tiene que

.

Ejemplos:

Calculemos lossiguientes lmites utilizando el teorema anterior.

1.

Cuando se tiene que por lo que .

Se presenta la forma y podemos aplicar el teorema anterior.

Luego:


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42

forma

2. forma

3. forma


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43

Aplicacin dela @ egla de A 'Hpital a otras formas indeterminadas

La Regla de L'Hpital tambin se aplica en los casos en que un cociente

presenta algunasde lasformassiguientes:

Daremos a continuacin, sin demostracin, los teoremas que permiten evaluar

tal tipo de lmites.

Teorema

Sean funcionescontinuas y derivablespara todos losvalores en un

intervalo abierto , excepto cuando .

Si para se tiene que:

i

ii

iii

iv existe el

entonces tambin existe y adems

Ejemplo:

Calcular


44/46

44

Observe que:

a.

b.

Luego, se presenta la forma por lo que puede aplicarse el teorema anterior

como sigue:

(Recuerde que) )

forma

Teorema

Sean funciones derivables para toda , donde es una

constante positiva.


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45

Adems, para se cumple que s:

i

(o )

ii

(o )

iii

Entonces el tambin existe y

El teorema tambin esvlido cuando se sustituye

Adems, si entonces

Ejemplos:

Calcular los lmitessiguientes:

1. forma: pues cuando


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u5 aplicaciones de la derivada

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