derivada en un punto.docx

8/15/2019 Derivada en un punto.docx

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Derivada en un punto

La derivada de una func ión f ( x) en un punto x = a e s e l valor del

l ímite , s i e x i s t e , de l cociente incremental cuando e l incremento de la

variable t iende a cero .

Ejemplos

Ca lcu la r la derivada de la func ión f (x ) = 3x 2 en e l punto x = 2.



Hal la r la derivada de la func ión f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = .

Ca lcu la r la derivada de en x = −5.

Ha l la r la derivada de en x = .



!eter"inar la derivada de en x = 2.

Ca lcu la e l #a lor de la derivada en x = 2.



Hal la r la derivada de en x = 3.

Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

$na función es derivable en un punto s i , % só lo s i , es der i#a& le por

l a i ' ui e rda % po r l a der e ca e n d i co pun to % l a s derivadas laterales

coinciden .



Ejemplo

*stud iar e l #a lor de la derivada de en x =

C o" o n o c oi nc id en l as der ivadas l a tera les la f un ci ón n o t ie ne

der i#ada en x = .

Interpretación de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada



C ua nd o t ie nd e a , e l p un to t ie nd e a c on fu nd i rs e c on e l -.

*nt onc e s l a recta secante t i e nde a s e r l a recta tangente a l a f unc ión

f(x) en -, % por tanto e l ngulo ! t iende a ser " .

La pendiente d e l a t anen t e a l a c u r# a e n un pun t o e s i ual a l a

derivada de la func ión en ese punto.

m t = f # $a%

Ejemplos

!ada f ( x ) = x 2 , c a l cu la r l o s pun tos en l os ue l a r e c t a t anen te e s

para le la a la &isectr i' de l pr i"er cuadrante.

La ecuac ión de la & isec t r i ' de l pr i"er cuadrante es % = x , por tanto

su pendiente es "= .



Co"o l a s dos r e c t as son pa ra l e l a s t endr/n l a " i s"a pend ien te , a s 0

ue1

f # $a% = & .

! ad o ue l a p en di en te d e l a t an e nt e a l a c ur #a e s i u al a l a

der i#ada en e l punto x = a.

!ada la cur#a de ecuac ión f (x ) = 2x 2 − 3x − , a l la las coordenadas

de los puntos de d ica cur#a en los ue la tanente for"a con e l e e un

/nu lo de 45.



!eter"inar los #a lores de l par/"etro &, para u6 las tanentes a la

cur#a de la func ión f (x ) = & 2x 3 + &x 2 + 3x + 7 en los puntos de a&sc isas x

= , x = 2 sean para le las.

-ara ue sean para le las se t iene ue cu"pl i r ue las der i#adas en x

= % x = 2 sean iuales.

f 8 () = f 8 (2)

f 8 (x ) = 3& 2x 2 + 2&x + 3

f 8 () = 3& 2 + 2& + 3

f 8 (2) = 2& 2 + 4& + 3

3& 2 + 2& + 3 = 2& 2 + 4& + 3

7& 2 + 2& =

b = ' b = ()*+



Interpretación física de la derivada

,elocidad media

La velocidad media es e l coc iente ent re e l espacio recorr ido $-e%

% e l t iempo transcurrido $-t% .

,elocidad instantnea

La velocidad instantnea es e l l 0" i te de la #e loc idad "edia cuando

9t t iende a cero, es dec i r , la derivada del espacio respecto al t iempo .



Ejemplo

La r e l a c i ón en t re l a d i s t ancia r e co r r i da en "e tros po r un "ó# i l % e l

t ie"po en seundos es e(t) = :t 2 . Ca lcu la r 1

& la #e loc idad "edia entre t = % t = 4.

La #e loc idad "edia es e l coc iente incre"ental en e l inter#alo ;, 4< .

) La #e loc idad instant/nea en t = .

La #e loc idad instant/nea es la der i#ada en t = .



Cu /l e s l a # el oc id ad ue l le #a u n # e 0c ul o s e " ue #e s e >n l a

ecuac ión e(t) = 2 − 3t 2 en e l u in to seundo de su recor r ido? * l espac io se

"ide en "etros % e l t ie"po en seundos.

$na po& la c i ón &ac te r i ana t i ene un c re c i" ien to dado por l a f unc ión

p(t) = 5 + t@ , s iendo t e l t ie"po "et ido en oras. Ae pide1

&. La #e loc idad "edia de crec i"iento.

). La #e loc idad instant/nea de crec i"iento.



/. La #e loc idad de crec i"iento instant/neo para t = oras.

Derivadas de funciones

0a f u nc i ón de ri vada de u n a f u n c ión f $x% e s u n a f u n ci ón qu e

asocia a cada n1mero real su derivada , s i ex iste. Ae expresa por f # $x% .

Ejemplos

!eter"inar la func ión der i#ada de f(x) = x 2 − x + .

Ca lcu la r f 8 (−) , f 8 () % f 8 ()



f 8 (−) = 2(−) − = (/

f 8 () = 2() − = (&

f 8 () = 2() − = &

Derivada de las funciones a trozos

*n las funciones def in idas a t rozos e s n e ce sa r io e s tud ia r l a s

derivadas laterales en los puntos de separac ión de los dist intos t rozos .

*s tud iar la derivabi l idad de la func ión f(x) = BxB .

- ue st o u e l a s derivadas laterales en x = ' son dist intas , la

func ión no es derivable en d ico punto.



L as derivada laterales no co inc iden en l os p i cos n i en l os pun tos

anulosos de las func iones. -or tanto en esos puntos no ex iste la der i#ada.

o es der i#a&le en x = .

Ha l l a r e l pun to en ue % = B x + 2 B no t i ene de r i # ada . D us t i f i c a r e l

resu l tado representando su r/ f i ca .



La func ión es cont inua en toda .

f #$()% ( = (&f#$()% 2 = &

o ser/ der i#a&le en1 x= E2.

*n x = E2 a% un pico, por lo ue no es der i #a&le en x= E2.

H al la r l o s p u nt os e n u e % = B x 2 − 5x + : B n o t i ene de r i# ada .

Dust i f icar e l resultado representando su r/f ica.



La func ión es cont inua en toda .

f #$)% 3 = (&f#$)% 2 = &

f #$/% 3 = (&f#$/% 2 = &

C o" o n o c oi nc id en l as d er i# ad as l at er al es l a f un ci ón n o s er /

der i#a&le en1 x=2 % x=3.

-ode " os o& s e r # a r ue e n x = 2 % e n x = 3 t e ne " os do s pun t o s

anu losos , por lo ue la func ión no se r/ der i#a& le en e l los .

4abla de derivadas

Derivadas inmediatas

Derivada de una constante

Derivada de x



Derivada de función af ín

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de suma

Derivada de de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de constante part ida por una función



Derivada de un cociente

Derivadas exponenciales 5 logarítmicas

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivadas trigonométricas

Derivada del seno



Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcoseno



Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada la función potencial3exponencial

6egla de la cadena



7órmula de derivada implícita

Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero .

Ejemplo

Derivada de x

La der ivada de x e s i u al a & . * s dec i r , l a de r i # ada de l a f unc ión

ident idad es iua l a la un idad.

Derivada de una potencia de base x

Derivada de una raíz de radicando x



Derivadas exponenciales 5 logarítmicas

Derivada de la función exponencial de exponente x

Derivada del logaritmo de x

Derivadas trigonométricas

Derivada del seno de x

Derivada del coseno de x



Derivada de la tangente de x

Derivada de la cotangente de x

Derivada de la secante de x

Derivada de la cosecante de x

Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcoseno de x

Derivada del arcocoseno de x

Derivada del arcotangente de x



Derivada del arcocotangente de x

Derivada del arcosecante de x

Derivada del arcocosecante de x

Derivada de una potencia

La der ivada de una potenc ia o func ión potenc ial 8 e s i ua l a l

exponente por la &ase e le#ada a l exponente "enos uno % por la der i#ada

de la &ase.

A i la &ase es la func ión ident idad, la der i#ada es iua l a l exponente

por la &ase e le#ada a l exponente "enos uno.

f$x% = x 9 f # $x%= 9 : x 9 ( &



Ejemplos



Derivada de una raíz

La de ri vada de l a ra íz e n és im a d e u n a f u nc ió n e s i u al a l a

der i#ada de l rad icando par t ida por la n #eces la ra 0' en6s i"a de la func ión

radicando e le#ada a n "enos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La d er iv ad a d e l a r aí z c ua dr ad a d e u na f un ci ón e s i u al a l a

der i#ada de l rad icando par t ida por e l dup lo de la ra 0' .

Ejemplos



Derivada de una suma



La derivada de una suma de dos func iones e s i ua l a l a suma de

las derivadas de dicas func iones.

* st a r e l a s e e xt i ende a c ual ui e r n>"e ro de s u"andos , % a s ean

pos it i#os o neat i#os.

Ejemplos

Derivada de un producto



La derivada del producto de dos func iones es iua l a l pr i"er fac tor

por l a de r i # ada de l s eundo "/s e l s eundo f a c to r po r l a de r i # ada de l

pr i"ero.

Derivada de una constante por una función

La derivada d el p ro du ct o d e u n a constante por una func ión es

iua l a l producto de la constante por la der i#ada de la func ión .

Ejemplos



Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos func iones es iua l a la der i#ada de l

nu"erador por e l deno"inador "enos la der i#ada de l deno"inador por e l

nu"erador, d i# id idas por e l cuadrado de l deno"inador.

Derivada de una constante part ida por una función

Ejemplos



Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea iua l a la " is"a func ión

por e l loar i t"o neper iano de la &ase % por la der i#ada de l exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La der ivada de l a func ión exponenc ia l de base e e a i ua l a l a

"is"a func ión por la der i#ada de l exponente.

Ejemplos



Derivadas logarítmicas



La derivada de un logari tmo en &ase a es iua l a la der i#ada de la

func ión d i# id ida por la func ión , % por e l loar i t"o en &ase a de e .

Co"o , ta"&i6n se puede expresar as 01

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logari tmo neperiano e s i ua l a l a de r i # ada de l a

func ión d i# id ida por la func ión .

*n a lunos e e rc ic ios es con#en iente u t i l i 'a r las prop iedades de los

loar i t"os antes de der i#ar, %a ue s i"pl i f ica"os e l c/ lcu lo.



Ejemplos

Fpl i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1

Fp l i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1




Fp l i cando las prop iedades de l os loar 0 t"os o&tene"os1



Fpl i cando las prop iedades de l os loar i t"os tene"os1

Fp l i cando las prop iedades de l os loar i t"os tene"os1



Derivación logarítmica

Co n d eter "i nad as f unc i one s, e sp eci al "ent e p ara l a función

potencial3exponencial , es aconse a& le el e"pleo de l a derivación

logarítmica , %a ue fac i l i tan &astante e l c/ lcu lo.

.

.

.

.

.

Ejemplos

.

.

.

.



Fpl i ca"os la def inición de logaritmo 1

http://www.vitutor.net/1/12.html

http://www.vitutor.net/1/12.html



Derivada del seno



La derivada del seno de una func ión es iua l a l coseno de la func ión

por la der i#ada de la func ión.

Ejemplos



Derivada del coseno

La derivada del coseno de una func ión es i ua l a "enos e l seno de

la func ión por la der i#ada de la func ión .

Ejemplos



Derivada de la tangente



La der ivada de l a función tangente e s i ual a l c u adr ado de l a

secante de la func ión por la der i#ada de la func ión .

Ejemplos

Derivada de la cotangente

La derivada de la función cotangente es iua l a "enos e l cuadrado

de la cosecante de la func ión por la der i#ada de la func ión .



Ejemplos

Derivada de la secante

La derivada de la secante de una func ión es iua l a la secante de la

func ión por la tanente de la func ión, % por la der i#ada de la func ión.



Ejemplos

Derivada de la cosecante

La der ivada de l a cosecante de una f un c i ón e s i ua l a " e nos l a

cosecante de la func ión por la cotanente de la func ión , % por la der i#ada

de la func ión .

Ejemplo



Derivada del arcoseno

La derivada del arcoseno de una func ión e s i ua l a l a de r i # ada de

la func ión d i # i d ida po r l a r a 0 ' cuadrada de uno "enos e l cuadrado de l a

func ión.

Ejemplos



Derivada del arcocoseno

La derivada del arcocoseno d e una f un ci ón e s i ua l a " enos l a

der i #ada de l a f u nc i ón d i #i d ida po r l a r a0 ' c uad r ada de uno " enos e l

cuadrado de la func ión.

Ejemplos



Derivada del arcotangente

La derivada del arcotangente de una func ión es iua l a l a der i#ada

de la func ión d i# id ida por uno "/s e l cuadrado de la func ión .

Ejemplos



Derivada del arcocotangente

La derivada del arcotangente de una func ión e s i ua l a "enos l a

der i#ada de la func ión di# id ida por uno "/s e l cuadrado de la func ión.

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