6-5 탄성계수와 전단탄성계수와의...
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6-5 탄성계수와 전단탄성계수와의 관계
++=
++=+=′+=′ )1(1)1(1)1( ντνσε
EOa
EOaOaaaOaaO x
+−=−=′−=′ )1(1)1( ντε
EOcOcccOccO y
)1(1
)1(1
)1()1(
24tantan
ντ
ντ
εεγπ
++
+−=
+
−=
′′
=
−=′′
E
EOaOc
aOcOcaO
x
y
21
21
2tan
4tan1
2tan
4tan
24tan γ
γ
γπ
γπγπ
+
−≈
+
−=
−
( )νττγτγγντ
ντ
ντ
γ
γ
+====+++
+−=
+
−1
22,,
2)1(,
)1(1
)1(1
21
21
EGGEE
E
)1(2 ν+=∴
EG
(6-11)
(6-12)
< 그림 6-9 >
(6-13)
Ex) 철강의 경우
E = 2.1 × 104kgf/mm2, υ = 0.3 ⇒ G = 0.8 × 104kgf/mm2
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[예제 6-4] 예제 6-1과 같은 응력상태에서 모어의 원을 작도하고, 주응력과 최대 전단응력을 구하라.
1) (σx,-τxy)를 σ – τ 좌표상에 점 A로 정한다.
2) y면 응력상태 (-σy,τxy)를 점 B로 정한다.
3) 선분 AB를 그어 모어원의 중심 O1을 구한다.
MPaOO yx 202
105021 =
−=
+=
σσ
MPaEO 3020501 =−= MPaAE 40= ( ) MPaAOR 50)40(30 221 =+==
MPaCOOOOC 705020111 =+=+==σ
MPaDOOOOD 305020112 −=−=−==σ
34
30402tan
1
===EO
AEnθ
6.261.532 == nn θθ
주응력)
최대전단응력) 주응력과 수직을 이루는 O1G가 된다.즉, O1G=60MPa, 이때,
수직응력은 σ=OO1=20MPa 이 된다.
풀이
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[예제 6-5] 일반적으로 연성재료는 전단에 약하고 취성재료는 인장에 약하다. 취성 재료의 원형 단면봉을 비틀었을 때 축과 45° 방향으로 파단면이 생긴다. 그 이유를 알아보라.
1) σ – τ 좌표면에 x면의 응력상태 (0,τxy)를 점 A로 정한다.
2) y면의 응력상태 (0,-τxy)를 점 B로 정한다.
3) AB를 지름으로 하는 원을 그리면 (b)처럼 모어의 응력원이다.
4) 주응력 σ1=τxy, σ2=-τxy, σ1과σ2는 점 A에서 90°, 따라서 A에서 σ1
쪽으로, (c)처럼 x축에서 45° 방향에 σ1이 있다. 취성재료는 인장에
약하므로 σ1의 방향으로 σ1 이 커지면 파단이 생긴다.
따라서 그림 (d)의 점선에 따라 파단면이 생긴다.
풀이
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6-6 얇은 원통 및 구형의 압력용기
(1) 내압을 받는 원통형 압력용기
< 그림 6-10 얇은 원통의 응력 >
내압을 받는 원통의 경우, 축 대칭으로 균일하게
팽창하므로 전단응력은 없고 사각형 요소에는
원주방향응력 σ1과 축방향응력 σ2 모두 인장응력
으로 그림 (b)와 같이 있게 된다.
• 원주방향응력 σ1 1) 그림(c)와 같이 FBD 작성
2) 평형방정식 적용
tpr
tpr
AS
=×
==12
1σ
∑ =∴=⋅= prSprddSPn θθ:0
(6-14)
2sin θdS ⋅ θθ dSdS ⋅≈⋅×
2sin2여기서, n방향분력= , dθ 는 미량이므로
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앞에서 구한 σ1은 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.
< 그림 6-11 >
FBD에서 z축에 관한 힘의 평형을 고려하면,
0)2()2(:0 1 =−=∑ rdxptdxFz σ
tpr
trrp
AP
22
2
12 =
⋅==
ππσ
21 2σσ =
앞의 그림(d)에서 힘의 평형관계를 고려하면,
즉,
따라서 고압으로 작동되는 원통형 보일러나 압력용기의 설계에서 반드시
원주방향의 응력이 축방향 응력의 2배가 되도록 제작하게 된다.
(6-15)
(6-16)
tpr
=∴ 1σ (6-14)
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tpr
z 442)( 121
max ==−
=σσστ
tpr
tpr
yx 42)(,
22)( 2
max1
max ====στστ
tpr22
1max ==∴
στ
z축에 작용하는 세 번째 주응력은 평면응력이므로 σ3=0 이다.
평면내의 최대전단응력은 요소가 z축을 중심으로 46° 회전할 때 발생한다.
x와 y 축에 대해서 46° 회전하여 구한 최대전단응력은 다음과 같다.
따라서 최대전단응력은
1) 원통형 용기의 외면에서의 응력상태
< 참고 2 > 원통형 압력용기에서의 응력
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pt
prtpr
−=== 321 ,2
, σσσ
tprp
tprpp
tprp
zyx 42)(,
242)(,
222)( 21
max2
max1
max =−
=+=+
=+=+
=σστστστ
2) 원통형 용기의 내면에서의 응력상태
참고 3에는 응력상태가 나타나 있고, 그 수직응력들은
각 축에 대하여 46° 회전하여 구한 세 개의 최대전단응력은
위의 응력에서 (τmax)x가 가장 크다. 그러나 r/t가 충분히
크면 p/2항을 무시할 수 있다. 위의 응력관계를 모어원
으로 나타내면 좌측 그림과 같고, 평면내의 최대전단응
력은 AB/2가 되고 최대전단응력은 OA/2가 된다.
< 참고 3 > 원통형 압력용기에서의 응력
< 참고 4 >
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(2) 구형의 압력용기
(6-17)
<그림 6-12(b)>와 (b)로부터 FBD에서 수평방향의 힘의 평형을 취하면 다음을 얻는다.
따라서 구형 압력용기는 원통형 압력용기보다 2배의 큰 힘을 견딜 수 있으므로, 고압형 가스 저장고, LNG수송선에는 구형의 용기가 널리 사용되고 있다.
(6-18)
<그림 6-12> 구형의 압력용기
0)()2(:0 22 =−=∑ rprtPx ππσ
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구형 용기의 외면에서는 주응력이 같기 때문에
모어원에서는 한 점으로 된다. 따라서 평면내
의 최대전단응력은 0 이다. 그러나 요소가 3차
원이고 세 번째 주응력이 0 이라는 사실로부터
그림 6-16과 같은 모어원으로 되고 최대전단
응력은 다음 식과 같이 된다.
< 참고 5 > tpr42
1max ==
στ
2421
maxp
tprp
+=+
=στ
용기 내면에서는 압축응력p(σ3=-p)가 작용하므로 평면내의 최대전단응력은 0 이
지만 평면 외의 (x축, 혹은 y축에 대한 45° 회전하여 구한) 최대전단응력은 다음
식으로 표현된다.
r/t가 상당히 크면 p/2항은 무시할 수 있고 위 식과 동일하게 된다.
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(3) 얇은 원통이 회전하는 경우
< 그림 6-13 얇은 원통의 회전 >
( f : 원심력, ω : 각속도, γ : 비중량, g : 중력가속도 )
2ωγ rgtf =
2221 v
gr
gtfr γωγσ ===
gnr
900
222
1γπσ =
γσ algv ⋅
= γσ
πalg
rn ⋅=
30
(6-19)
(6-20)
sec)/(602 radnπω =
sec)/(30
cmrnrv πω =⋅=
(6-21)
& (6-22)
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(4) 외압을 받는 얇은 원통
< 그림 6-14 얇은 원통의 압궤형태 >
외압 p의 크기가 커지면 σ의 값이 비록 탄성한계 이하일지라도 탄성변형을
일으켜 일부는 회복되지만 나머지는 남아서 그림 6-14과 같은 형태로 원형
이 찌그러지는 좌굴(buckling) 현상이 생긴다. 이러한 얇은 원통의 좌굴을
압궤(collapse) 라 하며,이 때의 외압의 한계값은 압궤압력(pk)라 한다.
(6-22)
단, t : 원통 두께(cm), l = 원통 길이(cm), D : 원통 지름(cm) pk : 압궤 압력(kgf/cm2), υ : 푸아송의 비
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3
138
−=
DtEpk ν
)6(700,519.2
DllDtpk <=
(Unwin-Morley의 식)
(Fair-Bairn의 식)
pk를 구하는 방법은 여기서는 생략하고 결과식만 소개한다.
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얇은 원통 및 구형의 압력용기의 실제 적용 예
< LNG 수송선 -고압용>
< 탱크로리 -저압용>