Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Integrazione numerica dell’equazione del moto

per un sistema lineare viscoso a un grado di libertà

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 2

Introduzione 1/2

L’equazione del moto di un sistema viscoso a un grado di libertà non può essere risolta analiticamente se l’eccitazione varia con legge arbitraria, oppure se il sistema non è lineare. In questi casi la risposta può essere calcolata integrando numericamente l’equazione del moto. Il carico applicato p(t) viene descritto da un insieme di valori discreti pi = p(ti), con i = 0, 1, 2, …, N.

Di solito, gli intervalli di tempo

detti passi di integrazione, si assumono di ampiezza costante, indicata con .

Δti+1 = ti+1 − ti

Δt

t1 tN!t

p(t)

t2 t3 tit0

p1p2p3

pi

p0

t

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 3

Introduzione 2/2

Per ogni passo di integrazione, il procedimento di integrazione numerica consente di calcolare la risposta all’istante finale ti+1, nota la risposta all’istante iniziale ti. Applicando il procedimento in sequenza si ottiene la risposta ui = u(ti) per tutti gli istanti di tempo ti considerati. Poiché, a differenza del metodo dell’integrale di convoluzione, non è necessario ricorrere al principio di sovrapposizione degli effetti, il procedimento di integrazione numerica può essere impiegato anche per sistemi non lineari. Un metodo di integrazione numerica deve possedere due importanti requisiti:

(i) convergenza: al diminuire dell’ampiezza degli intervalli la risposta deve convergere a quella esatta; (ii) stabilità: la soluzione numerica deve essere stabile nei

confronti degli errori di arrotondamento.

t1 tN!t

p(t)

t2 t3 tit0

p1p2p3

pi

p0

t

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 4

Il metodo di Newmark Il metodo di Newmark si basa sulle seguenti equazioni integrali

ui+1 = ui + u τ( )dτ

0

Δti+1∫ ui+1 = ui + u τ( )dτ

0

Δti+1∫che consentono di calcolare la velocità e lo spostamento al termine del passo di integrazione, sommando ai loro valori iniziali un’espressione integrale. La variazione di velocità dipende dall’integrale dell’accelerazione, mentre la variazione di spostamento dipende dall’integrale della velocità. Queste relazioni possono essere utilizzate se si assume arbitrariamente nota la legge di variazione dell’accelerazione ü(τ) all’interno del passo di integrazione. Una tale ipotesi, infatti, permette di definire anche la legge di variazione della velocità, consentendo di passare così al successivo intervallo di integrazione. Nella formulazione di Newmark le relazioni assumono la forma

ui+1 = ui + 1− γ( )Δt⎡⎣ ⎤⎦ ui + γΔt( ) ui+1

ui+1 = ui + Δt( ) ui + 0.5 − β( )Δt 2⎡⎣ ⎤⎦ ui + βΔt 2( ) ui+1

in cui l’ampiezza del passo di integrazione, Δt, è stata assunta costante. I parametri β e γ definiscono la variazione dell’accelerazione all’interno del passo e controllano le caratteristiche di stabilità del metodo. Di solito si pone 1

6≤ β ≤ 1

4 e γ = 1

2

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 5

Accelerazione costante nel passo

Se si assume che l’accelerazione sia costante nel passo e pari alla media dei valori iniziale e finale

u τ( ) = 1

2ui + ui+1( )

sostituendo nelle relazioni precedenti e integrando due volte si ha

da cui si ottengono i seguenti valori finali della velocità e dello spostamento

Confrontando queste relazioni con quelle di Newmark, si può osservare che assumere una variazione costante dell’accelerazione nel passo corrisponde a porre in queste ultime

u τ( ) = ui + u τ( )dτ

0

τ

∫ = ui +τ2ui + ui+1( )

u τ( ) = ui + u τ( )dτ

0

τ

∫ = ui +τ ui +τ 2

4ui + ui+1( )

ui+1 = ui +

Δt2ui + ui+1( )

ui+1 = ui + Δt( ) ui +

Δt 2

4ui + ui+1( )

β = 14

e γ = 12

u(t)

t0 ti ti+1

ui+1

ui

! = 1/4

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 6

Accelerazione lineare nel passo

Se si assume che l’accelerazione sia lineare nel passo di integrazione

sostituendo nelle relazioni precedenti e integrando due volte si ha

da cui si ottengono i seguenti valori finali della velocità e dello spostamento

Confrontando queste relazioni con quelle di Newmark, si può osservare che assumere una variazione costante dell’accelerazione nel passo corrisponde a porre in queste ultime

β = 16

e γ = 12

u τ( ) = ui +

τΔtui+1 − ui( )

u τ( ) = ui + u τ( )dτ

0

τ

∫ = ui +τ ui +τ 2

2Δtui+1 − ui( )

u τ( ) = ui + u τ( )dτ

0

τ

∫ = ui +τ ui +τ 2

2ui +

τ 3

6Δtui+1 − ui( )

ui+1 = ui + Δt( ) ui + Δt 2 1

3ui +

16ui+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ui+1 = ui +Δt2ui + ui+1( )

u(t)

t0 ti ti+1

ui+1

ui

! = 1/6

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 7

Il metodo di Newmark in forma esplicita 1/6 Così come è stato formulato, il metodo di Newmark è implicito. Infatti, i valori della velocità e dello spostamento al termine del passo di integrazione dipendono dal valore finale dell’accelera- zione, inizialmente incognito. Di conseguenza, il calcolo deve essere effettuato iterativamente a partire da un valore iniziale di tentativo. Dal punto di vista computazionale è preferibile trasformare le relazioni di Newmark in modo da rendere esplicito il metodo. In questo caso, poiché la risposta finale dipende solo dai valori iniziali, non sono richieste iterazioni ed è possibile passare direttamente da un passo di integra- zione al successivo. Le relazioni di Newmark possono essere convertite in forma esplicita nel caso di sistemi lineari. A tale scopo si considerino le equazioni del moto al termine e all’inizio del passo di integrazione

mui+1 + c ui+1 + kui+1 = pi+1

mui + c ui + kui = pi

Sottraendo membro a membro si ha

m ui+1 − ui( ) + c ui+1 − ui( ) + k ui+1 − ui( ) = pi+1 − pi

che si può scrivere nella forma incrementale

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 8

Il metodo di Newmark in forma esplicita 2/6 …

mΔui + cΔ ui + kΔui = Δpi

in cui Δui = ui+1 − ui , Δ ui = ui+1 − ui , Δui = ui+1 − ui , Δpi = pi+1 − pi

Anche le relazioni

possono essere scritte in forma incrementale. Si ha

Δ ui = Δt( ) ui + γΔt( )Δui Δui = Δt( ) ui +

Δt 2

2ui + βΔt 2( )Δui

ui+1 = ui + 1− γ( )Δt⎡⎣ ⎤⎦ ui + γΔt( ) ui+1 ui+1 = ui + Δt( ) ui + 0.5 − β( )Δt 2⎡⎣ ⎤⎦ ui + βΔt 2( ) ui+1

Dalla seconda si può ricavare l’incremento di accelerazione

Δui =

1βΔt 2

Δui −1βΔtui −

12βui

Sostituendo nella prima si ottiene

Δ ui =

γβΔt

Δui −γβui − Δt γ

2β−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ui

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 9

Il metodo di Newmark in forma esplicita 3/6 Sostituendo le relazioni

mΔui + cΔ ui + kΔui = Δpi

nell’equazione del moto in forma incrementale Δui =

1βΔt 2

Δui −1βΔtui −

12βui

Δ ui =

γβΔt

Δui −γβui − Δt γ

2β−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ui

dopo alcuni passaggi si ha

1βΔt 2

m + γβΔt

c + k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Δui = Δpi +

1βΔt

m + γβc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ui +

12β

m + Δt γ2β

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ui

Ponendo k̂ = 1

βΔt 2m + γ

βΔtc + k

Δp̂i = Δpi +

1βΔt

m + γβc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ui +

12β

m + Δt γ2β

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ui

si ottiene

k̂Δui = Δp̂i

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 10

Il metodo di Newmark in forma esplicita 4/6 … k̂Δui = Δp̂ida cui si ricava l’incremento di spostamento nel passo di integrazione

Δui =Δp̂ik̂

Noto Δui, gli incrementi di velocità e di accelerazione nel passo possono essere calcolati mediante le relazioni

Δui =

1βΔt 2

Δui −1βΔtui −

12βui

Δ ui =

γβΔt

Δui −γβui − Δt γ

2β−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ui

La risposta al tempo ti+1 può infine essere determinata attraverso le relazioni

In alternativa, l’accelerazione può essere anche ottenuta dall’equazione del moto scritta al tempo ti+1, cioè

ui+1 =

1m

pi+1 − c ui+1 − kui+1( )

ui+1 = ui + Δui ui+1 = ui + Δ ui ui+1 = ui + Δui

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 11

Il metodo di Newmark in forma esplicita 5/6 …

ui+1 =

1m

pi+1 − c ui+1 − kui+1( )Per iniziare il procedimento, questa relazione deve essere utilizzata per la valutazione dell’accelerazione iniziale in funzione delle condizioni iniziali del moto, cioè

u0 =

1m

p0 − c u0 − ku0( )

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 12

Il metodo di Newmark in forma esplicita 6/6 Stabilità e convergenza Si può dimostrare che il metodo di Newmark è stabile se risulta

ΔtT

≤ 1π 2

1γ − 2β

in cui T è il periodo naturale di vibrazione del sistema. Ponendo β = 1/4 e γ = 1/2, risulta ΔtT

< ∞

che implica che il metodo dell’accelerazione costante nel passo è incondizionatamente stabile. Inoltre, ponendo nella β = 1/6 e γ = 1/2, si ha che il metodo dell’accelerazione lineare nel passo è stabile se risulta Δt

T≤ 0.551

Questa condizione è poco rilevante perché, al fine di ottenere una rappresentazione sufficiente- mente accurata dell’eccitazione e della risposta, è necessario scegliere un intervallo di integra- zione sicuramente più piccolo di 0.551T. Il metodo dell’accelerazione lineare nel passo è preferibile a quello dell’accelerazione costante per la sua maggiore velocità di convergenza.

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 13

Il metodo di Newmark: sommario del procedimento Note le condizioni iniziali in termini di spostamento e di velocità, si determina l’accelerazione iniziale attraverso la relazione

u0 =

1m

p0 − c u0 − ku0( )Scelti i valori da assegnare a β e γ, e assegnata l’ampiezza Δt dell’intervallo di integrazione, si calcolano le costanti

k̂ = 1βΔt 2

m + γβΔt

c + k a = 1βΔt

m + γβc b = 1

2βm + Δt γ

2β−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟c

Per ogni intervallo di integrazione si calcolano le quantità

Δp̂i = Δpi + a ui + bui Δui =Δp̂ik̂

Δ ui =

γβΔt

Δui −γβui − Δt γ

2β−1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ui

Δui =

1βΔt 2

Δui −1βΔtui −

12βui

ui+1 = ui + Δui ui+1 = ui + Δ ui ui+1 = ui + Δui

Sostituendo i con i+1, si ripete il procedimento per il successivo intervallo di integrazione, e così via.

da cui si ottiene