9. assignment model (1)

Operation Research (OR)

1

November

roy-unpar

Ilustrasi

2

Outline

Ilustrasi

Istilah dasar & Asumsi model

Model matematis kasus minimasi

Matriks penugasan

Metoda Hungaria

Langkah-langkah metoda Hungaria kasusminimasi

Langkah-langkah metoda Hungaria kasusmaksimasi

Masalah Kolom/Baris boneka dan Big M3

Istilah dasar & Asumsi model

Assignee: sumber daya yang akan menjalankan tugas

Task: tugas yang akan dikerjakan oleh sumber daya

Sebagai model khusus dari masalah LP, model penugasan memiliki beberapa asumsi: Jumlah assignee = Jumlah task denote by n

Satu assignee hanya mengerjakan satu jenis task dankebalikannya

Terdapat paramater (biaya, waktu, produktivitas, pendapatan, dll) terkait dengan i…n assignee dalam mengerjakan j…n task

Tujuan utama adalah bagaimana n task dapat dikerjakan denganoptimal (minimasi atau maksimasi), contoh:

Biaya Minimasi

Pendapatan Maksimasi

Model Matematis kasus minimasi Dikenal sebagai Hungarian Method

Jika bij adalah biaya penugasan assignee i terhadap task j dan didefinisikan

maka secara matematis fungsi tujuannya

5

1 1

n

jijX

1 1

n

jijX

s.t.: , i =1,2,…,m

, j =1,2,…,n

1or 0ijX

otherwise ,0

job toassigned is worker if ,1 jixij

m

i

n

jijij XbMin

1 1

Z

Matriks Penugasannya

6

b11 b12 … b 1n

x 11 x 12 … x 1n

b21 b22 … b 2n

x 21 x 22 … x 2n

… … … …

… … … …

bn1 bn2 … b nn

X 31 x 32 … x nn

Demand 1 1 1

…

…As

sig

ne

e

A1 1

A2 1

An 1

TaskSupply

T1 T2 Tn

Metoda Hungaria

Metode yang efisien untuk menyelesaikanModel Penugasan

Dapat digunakan untuk masalah minimasidan maksimasi

Tabel awal Metode Hungaria pada kasusilustrasi:

8

Metoda HungariaMinimasi

Modified from :elearning.gunadharma.ac.id

Seorang Site Manager memiliki 4 grup tukang batu dan 4 macampekerjaan pasangan. Ke-empat orang ini berdasarkan hasilpengamatannya memiliki tingkat kecepatan yang berbeda dalammengerjakan ke-4 macam pekerjaan pasangan tersebut. Tabel di bawah memberikan hasil pencatatan kecepatan pengerjaan dalammenit.

Jika Site Manager tersebut ingin mendelegasikan pekerjaan ataspasangan terbaik (satu jenis pekerjaan pada grup terbaik). Tentukanpasangan optimal (grup dan jenis pekerjaannya) agar pekerjaandapat selesai dengan cepat.

Assignee

Task

52.4 48.3 55.6 49.5

55.4 58.2 59.1 57.3

62.7 62.5 60.9 63.2

47.7 49.1 53.5 52.1

Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Tb1 Tb2Assignee

Task

52.4 48.3 55.6 49.5

55.4 58.2 59.1 57.3

62.7 62.5 60.9 63.2

47.7 49.1 53.5 52.1

Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Tb1 Tb2

9



Kurangi setiap elemen pada masing-masing baris dengan elementerkecil pada masing-masing baris tersebut.

Assignee

Task

52.4-48.3 48.3-48.3 55.6-48.3 49.5-48.3

0 2.8 3.7 1.9

1.8 1.6 0 2.3

0 1.4 5.8 4.4

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

52.4-48.3 48.3-48.3 55.6-48.3 49.5-48.3

0 2.8 3.7 1.9

1.8 1.6 0 2.3

0 1.4 5.8 4.4

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

52.4 48.3 55.6 49.5

55.4 58.2 59.1 57.3

62.7 62.5 60.9 63.2

47.7 49.1 53.5 52.1

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

10



Jika terdapat kolom yang tidak memiliki elemen nol, tentukan nilaiterkecil pada kolom tersebut. Kurangi setiap elemen pada kolomtersebut dengan nilai terkecil tersebut.

Assignee

Task

4.1 0 7.3 1.2

0 2.8 3.7 1.9

1.8 1.6 0 2.3

0 1.4 5.8 4.4

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

4.1 0 7.3 1.2-1.2

0 2.8 3.7 0.7

1.8 1.6 0 1.1

0 1.4 5.8 3.2

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

11



Carilah jumlah minimum garis lurus yang sejajar baris dan kolomyang melalui semua nilai nol. Jika jumlah garis lurus ini samadengan jumlah baris/kolom maka solusi optimal sudah diperoleh

Assignee

Task

4.1 0 7.3 0

0 2.8 3.7 0.7

1.8 1.6 0 1.1

0 1.4 5.8 3.2

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

4.1 0 7.3 0

0 2.8 3.7 0.7

1.8 1.6 0 1.1

0 1.4 5.8 3.2

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Minimum

OPTIMAL?

12



Kurangi nilai setiap elemen matriks yang tidak dilalui garis dengannilai terkecil dari elemen matriks yang tidak dilalui garis dantambahkan nilai terkecil ini pada setiap nilai pada perpotongangaris.

Assignee

Task

4.1 0 7.3 0

0 2.8 3.7 0.7

1.8 1.6 0 1.1

0 1.4 5.8 3.2

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

4.1+0.7 0 7.3+0.7 0

0 2.8-0.7 3.7 0.7-0.7

1.8 1.6-0.7 0 1.1-0.7

0 1.40.7 5.8 3.2-0.7

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

13



Ulangi kembali mencari jumlah minimum garis lurus yang sejajarbaris dan kolom yang melalui semua nilai nol.

Assignee

Task

4.8 0 8 0

0 2.1 3.7 0

1.8 0.9 0 0.4

0 0.7 5.8 2.5

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

4.8 0 8 0

0 2.1 3.7 0

1.8 0.9 0 0.4

0 0.7 5.8 2.5

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

14



Ulangi kembali mencari jumlah minimum garis lurus yang sejajarbaris dan kolom yang melalui semua nilai nol.

Assignee

Task

4.8 0 8 0

0 2.1 3.7 0

1.8 0.9 0 0.4

0 0.7 5.8 2.5

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

4.8 0 8 0

0 2.1 3.7 0

1.8 0.9 0 0.4

0 0.7 5.8 2.5

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Jumlahgaris = Jumlah

baris/kolom

15



Solusi optimum diperoleh dengan cara mencari baris/kolom yang hanya memiliki satu nilai nol. Penentuan sebaiknya dimulai daribarus yang mengandung satu nilai nol.

Assignee

Task

4.8 0 8 0

0 2.1 3.7 0

1.8 0.9 0 0.4

0 0.7 5.8 2.5

Tb1 Tb2 Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Assignee

Task

52.4 48.3 55.6 49.5

55.4 58.2 59.1 57.3

62.7 62.5 60.9 63.2

47.7 49.1 53.5 52.1

Tb3 Tb4

Pp1

Pp2

Pp3

Pp4

Tb1 Tb2

214.2

16

Metoda HungariaMaksimasi


Tingkat penjualan sebuah merek aditif campuran beton di suatuarea pemasaran ditentukan oleh empat orang penjual T1,T2,T3 danT4. Mereka berjualan di bagian Timur, Barat, Selatan dan Utara area pemasaran. Berdasarkan catatan 15 bulan terakhir tingkatpenjualan ada pada rentang 900-1150 galon. Tabel berikutmenyajikan rata-rata penjualan rata-rata selama 15 bulan tersebut. Jika pada bulan ke 16 akan dialokasikan aditif sejumlah angka rata-rata tersebut, penempatan penjual mana yang paling optimum.

Task

Assignee

1000 900 1100 900

1100 1000 950 950

1050 950 900 1050

1150 1000 950 1000

T3

T4

D1 D2 D3 D4

T1

T2

Task

Assignee

1000 900 1100 900

1100 1000 950 950

1050 950 900 1050

1150 1000 950 1000

T3

T4

D1 D2 D3 D4

T1

T2

17



Dengan menuliskan selisih mutlaknya. Kurangkan semua nilai padasetiap baris terhadap nilai terbesar pada baris tersebut.

Task

Assignee

1000 900 1100 900

1100 1000 950 950

1050 950 900 1050

1150 1000 950 1000

T3

T4

D1 D2 D3 D4

T1

T2

Task

Assignee

1000 900 1100 900

1100 1000 950 950

1050 950 900 1050

1150 1000 950 1000

T3

T4

D1 D2 D3 D4

T1

T2

Task

Assignee

100 200 0 200

0 100 150 150

0 100 150 0

0 150 200 150

T1

T2

T3

T4

D1 D2 D3 D4

18



Jika terdapat kolom yang tidak memiliki elemen nol, tentukan nilaiterkecil pada kolom tersebut. Kurangi setiap elemen pada kolomtersebut dengan nilai terkecil tersebut.

Task

Assignee

100 200 0 200

0 100 150 150

0 100 150 0

0 150 200 150

D3 D4

T1

T2

T3

T4

D1 D2

Task

Assignee

100 100 0 200

0 0 150 150

0 0 150 0

0 50 200 150

T3

T4

D1 D2 D3 D4

T1

T2

19



Carilah jumlah minimum garis lurus yang sejajar baris dan kolomyang melalui semua nilai nol. Jika jumlah garis lurus ini samadengan jumlah baris/kolom maka solusi optimal sudah diperoleh.

Task

Assignee

100 100 0 200

0 0 150 150

0 0 150 0

0 50 200 150

T1

T2

T3

T4

D1 D2 D3 D4

Task

Assignee

100 100 0 200

0 0 150 150

0 0 150 0

0 50 200 150

D3 D4

T1

T2

T3

T4

D1 D2


baris/kolom

20



Solusi optimum diperoleh dengan cara mencari baris/kolom yang hanya memiliki satu nilai nol. Penentuan sebaiknya dimulai daribarus yang mengandung satu nilai nol.

Task

Assignee

1000 900 1100 900

1100 1000 950 950

1050 950 900 1050

1150 1000 950 1000

T1

T2

T3

T4

D1 D2 D3 D4

4300

21Modified from :elearning.gunadharma.ac.id

Metoda Hungaria hanya berlaku jika jumlah baris = jumlah kolom(assignee = task), jika tidak sama maka ditambahkan dummy (boneka) kolom atau baris

Seringkali ditemui keadaan assignee tidak bisa ditugaskan (dilarang) pada task tertentu, untuk itu digunakan metoda Big M

Masalah maksimasi pasangan assignee pada task bersangkuatan diberi –M. M adalah bilangan positif yang sangat besar. Diharapkan dengan memberikan –M, assignee tidak akan terpilih pada task yang dilarang tersebut, karena keuntunganyang di dapat adalah negatif.

Masalah minimasi pasangan assignee pada task bersangkuatan diberi M. M adalahbilangan positif yang sangat besar. Diharapkan dengan memberikan M, assignee tidak akan terpilih pada task yang dilarang tersebut, karena keuntungan yang di dapat adalah positif.

Masalah Kolom/Baris Boneka & Big M

22

Contoh BIG M

Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE

Suatu kantor akuntan memiliki 4 auditor yang akan ditugaskan untuk menangani 4 orang klien. Keuntungan yang akan diperoleh perusahaan untuk seorang klien bergantung kepada auditor mana yang akan ditugaskan. Terkait dengan batasan-batasan yang ada, tidak semua auditor dapat melayani klien yang ada. Auditor P tidak dapat menangani klien C dan auditor S tidak dapat menangani klien D. Data keuntungan (dalam juta Rp) yang dicapai oleh perusahaan untuk setiap auditor dan klien diberikan pada Tabel berikut.

A B C D[juta Rp] [juta Rp] [juta Rp] [juta Rp]

P 6 5 7

Q 2 7 6 5

R 7 8 3 9

S 2 4 6

AuditorKeuntungan terhadap klien

A B C D[juta Rp] [juta Rp] [juta Rp] [juta Rp]

P 6 5 7

Q 2 7 6 5

R 7 8 3 9

S 2 4 6

AuditorKeuntungan terhadap klien

23

Contoh BIG M


Contoh kasus adalah masalah maksimasi.

Tabel penugasan dengan Big M adalah sebagai berikut:

Task

Assignee

6 5 -M 7

2 7 6 5

7 8 3 9

2 4 6 -M

P

Q

R

S

A B C D

24

Contoh BIG M


Task

Assignee

1 2 M 0

5 0 1 2

2 1 6 0

4 2 0 M

C D

P

Q

R

S

A B

Task

Assignee

0 2 M 0

4 0 1 2

1 1 6 0

3 2 0 M

R

S

A B C D

P

Q

25

Contoh BIG M


Task

Assignee

0 2 M 0

4 0 1 2

1 1 6 0

3 2 0 M

P

Q

R

S

A B C D

Task

Assignee

0 2 M 0

4 0 1 2

1 1 6 0

3 2 0 M

C D

P

Q

R

S

A B


baris/kolom

26

Contoh BIG M


28

Task

Assignee

0 2 M 0

4 0 1 2

1 1 6 0

3 2 0 M

R

S

A B C D

P

Q

Task

Assignee

6 5 -M 7

2 7 6 5

7 8 3 9

2 4 6 -M

P

Q

R

S

A B C D

27

Kasus Kolom/Barisboneka


A B C

[hari] [hari] [hari]

P 10 5 8

Q 6 7 11

R 4 9 12

S 5 13 9

KaryawanWaktu Penyelesaian Pekerjaan

Suatu perusahaan memiliki 4 orang karyawan dan 3 macampekerjaan. Perusahaan ingin memilih 3 dari 4 karyawan tersebutuntuk ketiga jenis pekerjaan tersebut berdasarkan kemampuanmenyelesaikan pekerjaan. Waktu penyelesaian pekerjaan (hari) olehmasing-masing karyawan untuk masing-masing pekerjaan diberikanpada Tabel. Karena masing-masing pekerjaan memiliki prioritasyang sama, bagaimana memutuskan karyawan mana yang tidakakan mendapat tugas sementara waktu sementara tetapmendapatkan waktu penyelesaian yang tercepat

28


Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE & Hiller, 2005

Task

Assignee

10 5 8 0

6 7 11 0

4 9 12 0

5 13 9 0

P

Q

R

S

A B CD

(dummy)

Task

Assignee

10 5 8 0

6 7 11 0

4 9 12 0

5 13 9 0

CD

(dummy)P

Q

R

S

A B

Dikarenakan tiap baris telah memiliki nilai nol, pengurangan elemen bukan lagi berdasarkan nilai terkecil pada baris, tetapi berdasarkan elemen terkecil pada masing-masing kolom (Hiller, 2005)

29



Task

Assignee

6 0 0 0

2 2 3 0

0 4 4 0

1 8 1 0

R

S

A B CD

(dummy)P

Q

Task

Assignee

10 5 8 0

6 7 11 0

4 9 12 0

5 13 9 0

CD

(dummy)P

Q

R

S

A B

30



Task

Assignee

7 0 0 1

2 1 2 0

0 3 3 0

1 7 0 0

P

Q

R

S

A B CD

(dummy)

Task

Assignee

7 0 0 1

2 1 2 0

0 3 3 0

1 7 0 0

CD

(dummy)P

Q

R

S

A B


baris/kolom

31



Task

Assignee

10 5 8 0

6 7 11 0

4 9 12 0

5 13 9 0

P

Q

R

S

A B CD

(dummy)

KaryawanKaryawan D tidak

mendapatkantugas dan

waktupenyelesaiantercepat 18

jam

9. assignment model (1)

Documents

0 job toassigned is

biaya penugasan assignee

model penugasan memiliki

2

n1or 0ijxotherwise

tentukanpasangan optimal

memiliki elemen nol

menjalankan tugas task