บทที่ 1...

บทท่ี 1

เรขาคณิตวิเคราะห์

1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)

1.1.1 สูตรระยะทาง

สมมติให้ (x1, y1) และ (x2, y2) เป็นจุด 2 จุดในระบบพิกัดฉาก ระยะทางระหว่างจุดท้ังสองสามารถหาได้ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ดังนี้

b(x1, y1)

b(x2, y2)

d

x

y

a = |x2 − x1|

b = |y2 − y1|

ให้ d แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได้

d2 = a2 + b2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

∴ d = ±√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

เนื่องด้วยระยะทางมีค่าเป็นบวก ดังนั้น

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

สูตรระยะทาง

ระยะทาง d ระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) คือ

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

1

เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 2

จงหาระยะทางระหว่างจุด (−2, 3) และ (4,−1)

ตัวอย่าง 1.1

วิธีทำ

1.1.2 ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวยถูกค้นพบในยุคกรีกโบราณช่วง 600 ถึง 300 ก่อนคริสตกาล ภาคตัดกรวย (con-ic section) เกิดจากการตัดกันของระนาบแบนและผิวกรวยกลม จากรูป A1 จะเห็นภาคตัดกรวย4 ชนิด ท่ีระนาบไม่ตัดผ่านจุดยอดของกรวย

รูป A1: ภาคตัดกรวย

แต่ถ้าระนาบตัดผ่านจุดยอดของกรวย จะได้ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conic) ดังรูป A2

b

รูป A2: ภาคตัดกรวยลดรูป


ในท่ีนี้เราจะศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละชนิด โดยการให้บทนิยามในรูปของเซตของจุดท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขทางเรขาคณิต เร่ิมด้วยการศึกษาวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด พาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด วงรีและไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด สำหรับกรณีท่ัวไปของภาคตัดกรวยจะศึกษาในหัวข้อถัดไป

วงกลม

วงกลม (circle) คือเซตของจุด (x, y) ทุกจุดในระนาบท่ีห่างจากจุดคงท่ีจุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงท่ีนั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลมซ่ึงเขียนแทนด้วย r เมื่อ r > 0

bจุดศูนย์กลาง

(x, y)

r

b

บทนิยาม 1.1

สมมติให้วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี r การหาสมการของวงกลมสามารถหาได้โดยใช้สูตรระยะทาง ดังนี้ ให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนวงกลม จากบทนิยามของวงกลม ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และจุด (x, y) เท่ากับ r นั่นคือ

√

(x− 0)2 + (y − 0)2 = r

x2 + y2 = r2

สมการมาตรฐานของวงกลม (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)

สมการมาตรฐานของวงกลม ท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี r นิยามโดย

x2 + y2 = r2 เมื่ิอ r > 0


พาราโบลา

พาราโบลา (parabola) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงอยู่ห่างจากเส้นตรงคงท่ีเส้นหนึ่งและจุดคงท่ีจุดหนึ่งท่ีไม่ใช่จุดบนเส้นตรงเป็นระยะทางเท่ากันเส้นตรงคงท่ีเรียกว่า เส้นไดเรกตริกซ์ (directrix) และจุดคงท่ีเรียกว่า จุดโฟกัส(focus) จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์เรียกว่า จุดยอด (ver-tex) และเส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสและจุดยอด เรียกว่า แกน (axis) ของพาราโบลา

b

จุดยอดb

จุดโฟกัส

เส้นไดเรกตริกซ์

แกนd1

d1 d2

d2 b

b

b


สมการมาตรฐานของพาราโบลา (จุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด)

รูปแบบมาตรฐานของสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมี y = −p

เป็นเส้นไดเรกตริกซ์นิยามโดย

x2 = 4py แกน y เป็นแกนของพาราโบลา

ถ้า x = −p เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ แล้วสมการของพาราโบลานิยามโดย

y2 = 4px แกน x เป็นแกนของพาราโบลา

จุดโฟกัสจะอยู่บนแกนของพาราโบลา โดยมีระยะทางห่างจากจุดยอด p หน่วย ดังรูป

พาราโบลาท่ีมีแกน y เป็นแกนของพาราโบลา

x

y

bจุดโฟกัส(0, p)

bจุดยอด(0, 0)

เส้นไดเรกตริกซ์ y = −p

b (x, y)

x2 = 4py, p > 0

x

y

bจุดโฟกัส(0, p)

bจุดยอด(0, 0)

เส้นไดเรกตริกซ์ y = −p

b (x, y)

x2 = 4py, p < 0


พาราโบลาท่ีมีแกน x เป็นแกนของพาราโบลา

x

y

b

จุดโฟกัส(p, 0)b

จุดยอด(0, 0)

ไดเรกตริกซ์ x = −p

b (x, y)

y2 = 4px, p > 0

x

y

b

จุดโฟกัส(p, 0)b

จุดยอด(0, 0)

ไดเรกตริกซ์x = −p

b(x, y)

y2 = 4px, p < 0

จงหาจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา x2 = −6y พร้อมท้ังเขียนกราฟ


วิธีทำ


(a) จงหาสมการพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด เปิดด้านขวาและผ่านจุด P (7,−3)

(b) จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลาในข้อ (a)


วิธีทำ

วงรี

วงรี (ellipse) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดคงท่ีสองจุดมีค่าคงตัว โดยท่ีค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะทางระหว่างจุดคงท่ีท้ังสองจุดคงท่ีท้ังสองจุดเรียกว่า จุดโฟกัส (foci) ของวงรี

bจุดโฟกัส

bจุดโฟกัส

b(x, y)

d1 d2

d1 + d2 มีค่าคงตัว

แกนโท

แกนเอก

bจุดยอด b จุดยอด

b

b

bจุดศูนย์กลาง


เส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสจะตัดวงรีท่ีจุด 2 จุด เรียกว่า จุดยอด (vertices) ส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมจุดยอดท้ังสองจุดเรียกว่า แกนเอก (major axis) และจุดกึ่งกลางของแกนเอกเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงรี ส่วนของเส้นตรงท่ีตั้งฉากกับแกนเอกท่ีจุดกึ่งกลางเรียกว่า แกนโท (minor axis) ของวงรี จุดปลายของแกนโทของวงรีเรียกว่า จุดยอดร่วม(co-vertices)


สมการมาตรฐานของวงรี (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)

รูปแบบมาตรฐานของสมการของวงรีท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด แกนเอกและแกนโทมีความยาว 2a และ 2b ตามลำดับ (เมื่อ 0 < b < a) นิยามโดย

x2

a2+

y2

b2= 1 หรือ

x2

b2+

y2

a2= 1

x

y

bb(−a, 0)

b(a, 0)

b

(−c, 0)b

(c, 0)

b (0, b)

b(0,−b)

x2

a2+

y2

b2= 1

x

y

b

b(0,−c)

b (0, c)

b (0, a)

b(0,−a)

b

(−b, 0)b

(b, 0)

x2

b2+

y2

a2= 1

จุดยอดและจุดโฟกัสอยู่บนแกนเอก และมีความยาว a และ c หน่วย ตามลำดับ จากจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้ a, b และ c สัมพันธ์กันโดยสมการ c2 = a2 − b2

ค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity) ของวงรี คือความแบนของวงรีท่ีนิยามโดย

e =c

a, เมื่อ 0 < e < 1.

ถ้าวงรีมีลักษณะเกือบเป็นวงกลม แล้ว e มีค่าเข้าใกล้ 0 แต่ถ้าวงรีมีลักษณะยืดยาว แล้ว e มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังรูป

x

y

b b

ab

c

e =c

a: มีค่าเข้าใกล้ 0

x

y

b b

ab

c

e =c

a: มีค่าเข้าใกล้ 1


จงเขียนกราฟของสมการวงรี 4x2 + 18y2 = 36


วิธีทำ

จงหาสมการวงรีท่ีมีจุดโฟกัสอยู่ท่ีจุด (0,±2) และมีจุด (0,±4) เป็นจุดปลายของแกนเอก


วิธีทำ


ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงผลต่างของระยะทางจากจุดคงท่ีสองจุดมีค่าคงตัว โดยท่ีค่าคงตัวนี้มีค่าน้อยกว่าระยะทางระหว่างจุดคงท่ีท้ังสอง จุดคงท่ีท้ังสองเรียกว่าจุดโฟกัส (foci)

b (x, y)

d2 d1

bจุดโฟกัส b จุดโฟกัส

d2 − d1 เป็นค่าคงตัว

bจุุดศูนย์กลางb

จุดยอด

b

จุดยอด

แกนตามขวางb b

ac

ก่ิง ก่ิง


กราฟของไฮเพอร์โบลาประกอบด้วยส่วน 2 ส่วนท่ีไม่เช่ือมกันเรียกว่า กิ่ง (branches)ของไฮเพอร์โบลา เส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสจะตัดไฮเพอร์โบลาท่ีจุด 2 จุด เรียกว่า จุดยอด (ver-tices) ส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมระหว่างจุดยอดท้ังสองจุดเรียกว่า แกนตามขวาง (transverseaxis) และจุดกึ่งกลางของแกนตามขวางเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของไฮเพอร์โบลา


สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)

รูปแบบมาตรฐานของสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด (เมื่อa 6= 0 และ b 6= 0) นิยามโดย

x2

a2− y2

b2= 1 หรือ

y2

a2− x2

b2= 1

x

y

b−c

bc

b−a

ba

x2

a2− y2

b2= 1

x

y

bc

b−c

ba

b−a

y2

a2− x2

b2= 1

จุดยอดและจุดโฟกัสมีความยาว a และ c หน่วย ตามลำดับ จากจุดศูนย์กลางนอกจากนี้ a, b และ c สัมพันธ์กันโดยสมการ b2 = c2 − a2

จงหารูปแบบมาตรฐานของสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดโฟกัส (−3, 0) และ (3, 0)

และจุดยอด (−2, 0) และ (2, 0)


วิธีทำ


ส่ิงสำคัญท่ีช่วยในการเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลาคือ เส้นกำกับ (asymptotes) ดังรูปแต่ละไฮเพอร์โบลาจะมีเส้นกำกับ 2 เส้น ท่ีตัดกันท่ีจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา นอกจากนี้เส้นกำกับจะผ่่านจุดมุมของรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าขนาด 2a × 2b ส่วนของเส้นตรงความยาว 2b ท่ีเช่ือมจุด (0,−b) และ (0, b)

[

หรือ (−b, 0) และ (b, 0)]

เรียกว่า แกนสังยุค (con-jugate axis) ของไฮเพอร์โบลา

x

y

bb(−a, 0)

b(a, 0)

b(0, b)

b(0,−b)

เส้นกำกับy = b

ax

เส้นกำกับy = − b

ax

x2

a2− y2

b2= 1

x

y

b

b(0, a)

b

(0,−a)

b(−b, 0)

b(b, 0)

เส้นกำกับy = a

bx

เส้นกำกับy = −a

bx

y2

a2− x2

b2= 1

เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)

y =b

ax และ y = − b

ax แกน x เป็นแกนตามขวาง

y =a

bx และ y = −a

bx แกน y เป็นแกนตามขวาง

จงเขียนกราฟของสมการไฮเพอร์โบลา 9x2 − 4y2 = 36 พร้อมท้ังหาจุดยอด จุดโฟกัสและสมการของเส้นกำกับ


วิธีทำ


จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดยอด (0,±8) และ y = ±4

3x เป็นสมการของ

เส้นกำกับ


วิธีทำ

1.1.3 ภาคตัดกรวยและการเลื่อนแกน

การเล่ือนแกนขนานแนวนอนและแนวตั้งของภาคตัดกรวย

ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาสมการของภาคตัดกรวยท่ีมีการเล่ือนแกนขนานแนวนอนและแนวตั้งในระนาบสมการของภาคตัดกรวยท่ีเกิดจากการเล่ือนแกนสามารถสรุปได้ดังนี้

รูปแบบมาตรฐานของภาคตัดกรวย

วงกลม: จุดศูนย์กลาง = (h, k); รัศมี = r

x

y

b(h, k)r

(x− h)2 + (y − k)2 = r2


พาราโบลา: จุดยอด = (h, k); ระยะทางระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส = p

x

y

bจุดยอด(h, k)

b

จุดโฟกัส(h, k + p)

(x− h)2 = 4p(y − k), p > 0

x

y

bจุดยอด(h, k)

bจุดโฟกัส(h+ p, k)

(y − k)2 = 4p(x− h), p > 0

วงรี : จุดศูนย์กลาง = (h, k); ความยาวแกนเอก = 2a; ความยาวแกนโท = 2b

x

y

b(h, k)

2a

2b

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

x

y

b(h, k)

2a

2b

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

ไฮเพอร์โบลา: จุดศูนย์กลาง = (h, k); ความยาวแกนตามขวาง = 2a; ความยาวแกนสังยุค = 2b

x

y

2a

2b

(h, k)b

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

x

y

2b

2a

b(h, k)

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1


จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดยอด V (−4, 2) และเส้นไดเรกตริกซ์ y = 5


วิธีทำ

บางคร้ังสมการของภาคตัดกรวยท่ีเกิดจากการเล่ือนแกนอาจเขียนในรูปของสมการกำลังสองของx และ y:

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

ข้ันตอนพ้ืนฐานในการพิจารณาว่าสมการกำลังสองข้างต้น เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใดนั้นเราสามารถหาคำตอบได้โดยการเขียนสมการกำลังสองในรูปกำลังสองสัมบูรณ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จงแสดงว่าเส้นโค้ง y = 6x2 − 12x+ 8 เป็นพาราโบลา


วิธีทำ


จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใด พร้อมท้ังเขียนกราฟ

16x2 + 9y2 + 64x− 18y − 71 = 0


วิธีทำ

จงแสดงว่าเส้นโค้ง 9x2−4y2−54x−16y+29 = 0 เป็นไฮเพอร์โบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา และหาจุดโฟกัส จุดยอด และเส้นกำกับ


วิธีทำ


แบบฝึกหัด 1.1

1− 8 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟ

1. x = 2y2 2. 4y + x2 = 0

3. 4x2 = −y 4. y2 = 12x

5. (x+ 2)2 = 8(y − 3) 6. x− 1 = (y + 5)2

7. y2 + 2y + 12x+ 25 = 0 8. y + 12x− 2x2 = 16

9− 10 จงหาสมการของพาราโบลา พร้อมท้ังหาจุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์

9.

x

y

1

−2

10.

x

y

1

2

11− 16 จงหาสมการของพาราโบลาท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้

11. จุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0,−2)

12. จุดยอด (0, 0) เส้นไดเรกตริกซ์ x = −5

13. จุดโฟกัส (−4, 0) เส้นไดเรกตริกซ์ x = 2

14. จุดโฟกัส (3, 6) จุดยอด (3, 2)

15. จุดยอด (0, 0) แกนของพาราโบลา y = 0 ผ่านจุด (1,−4)

16. แกนของพาราโบลา y = 0 ผ่านจุด (−2, 3), (0, 3) และ (1, 9)

17− 22 จงหาจุดยอด และจุดโฟกัสของวงรี พร้อมท้ังเขียนกราฟ

17.x2

9+

y2

5= 1 18.

x2

64+

y2

100= 1

19. 4x2 + y2 = 16 20. 4x2 + 25y2 = 25

21. 9x2 − 18x+ 4y2 = 27 22. x2 + 2y2 − 6x+ 4y + 7


23− 24 จงหาสมการของวงรี พร้อมท้ังหาจุดโฟกัส

23.

x

y

0

1

1

24.

x

y

1

2

25− 32 จงหาสมการของวงรีท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้

25. จุดโฟกัส (±2, 0) จุดยอด (±5, 0)

26. จุดโฟกัส (0,±5) จุดยอด (0,±13)

27. จุดโฟกัส (0, 2), (0, 6) จุดยอด (0, 0), (0, 8)

28. จุดโฟกัส (0,−1), (8,−1) จุดยอด (9,−1)

29. จุดศูนย์กลาง (2, 2) จุดโฟกัส (0, 2) จุดยอด (5, 2)

30. จุดโฟกัส (±2, 0) ผ่านจุด (2, 1)

31. จุดปลายแกนเอก (0,±6) ผ่านจุด (−3, 2)

32. จุดโฟกัส (−1, 1) และ (2,−3) ความยาวแกนโท 4

33− 38 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟ

33.x2

144− y2

25= 1 34.

y2

16− x2

36= 1

35. y2 − x2 = 4 36. 9x2 − 4y2 = 36

37. 2y2 − 3x2 − 4y + 12x+ 8 = 0 38. 16x2 − 9y2 + 64x− 90y = 305

39− 46 จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้

39. จุดโฟกัส (0,±3) จุดยอด (0,±1)

40. จุดโฟกัส (±6, 0) จุดยอด (±4, 0)


41. จุดโฟกัส (1, 3) และ (7, 3) จุดยอด (2, 3) และ (7, 3)

42. จุดโฟกัส (2,−2) และ (2, 8) จุดยอด (2, 0) และ (2, 6)

43. จุดยอด (±3, 0) เส้นกำกับ y = ±2x

44. จุดโฟกัส (2, 2) and (6, 2) เส้นกำกับ y = x− 2 และ y = 6− x

45. จุดยอด (0, 6) และ (6, 6) จุดโฟกัสห่างกัน 10 หน่วย

46. เส้นกำกับ y = x− 2 และ y = −x+ 4 ผ่านจุดกำเนิด

47− 52 จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใด พร้อมท้ังหาจุดยอดและจุดโฟกัส

47. x2 = y + 1 48. x2 = y2 + 1

49. x2 = 4y − 2y2 50. y2 − 8y = 6x− 16

51. y2 + 2y = 4x2 + 3 52. 4x2 + 4x+ y2 = 0

คำตอบแบบฝึกหัด 1.1

1. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส:(

1

8, 0)

; เส้นไดเรกตริกซ์: x = −1

8

2. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส: (0,−1); เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1

3. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส:(

0,− 1

16

)

; เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1

16

4. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส: (3, 0); เส้นไดเรกตริกซ์: x = −3

5. จุดยอด: (−2, 3); จุดโฟกัส: (−2, 5); เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1

6. จุดยอด: (1,−5); จุดโฟกัส:(

5

4,−5

)

; เส้นไดเรกตริกซ์: x = 3

4

7. จุดยอด: (−2,−1); จุดโฟกัส: (−5,−1); เส้นไดเรกตริกซ์: x = 1

8. จุดยอด: (3,−2); จุดโฟกัส:(

3,−15

8

)

; เส้นไดเรกตริกซ์: y = −17

8

9. x = −y2; จุดโฟกัส:(

−1

4, 0)

; เส้นไดเรกตริกซ์: x = 1

4

10. (x− 2)2 = 2(y + 2); จุดโฟกัส:(

2,−3

2

)

; เส้นไดเรกตริกซ์: y = −5

2

11. x2 = −8y 12. y2 = 24(x− 1) 13. y2 = −12(x+ 1)

14. (x− 3)2 = 16(y − 2) 15. y2 = 16x 16. 2x2 + 4x− y + 3 = 0

17. จุดยอด: (±3, 0); จุดโฟกัส: (±2, 0)


18. จุดยอด: (0,±10); จุดโฟกัส (0,±6)

19. จุดยอด: (0,±4); จุดโฟกัส:(

0,±2√3)

20. จุดยอด:(

±5

2, 0)

; จุดโฟกัส:(

±√

21

2, 0)


1,±√5)

22. จุดยอด: (1,−1) และ (5,−1); จุดโฟกัส:(

3±√2,−1

)

23.x2

4+

y2

9= 1; จุดโฟกัส:

(

0,±√5)

24.(x− 2)2

9+

(y − 1)2

4= 1; จุดโฟกัส:

(

2±√5, 1

)

25.x2

25+

y2

21= 1 26.

x2

144+

y2

169= 1 27.

x2

12+

(y − 4)2

16= 1

28.(x− 4)2

25+

(y + 1)2

9= 1 29

(x− 2)2

9+

(y − 2)2

5= 1

30.2x2

9 +√17

+2y2

1 +√17

= 1 31.x2

81/8+

y2

36= 1 32.

(x+ 4)2

4+

(y − 2)2

5= 1

33. จุดยอด: (±12, 0); จุดโฟกัส: (±13, 0); เส้นกำกับ: y = ± 5

12x


0,±2√13)

; เส้นกำกับ: y = ±2

3x


0,±2√2)

; เส้นกำกับ: y = ±x

36. จุดยอด: (±2, 0); จุดโฟกัส:(

±√13, 0

)

; เส้นกำกับ: y = ±3

2x

37. จุดยอด:(

2±√6, 1

)


2±√15, 1

)

; เส้นกำกับ: y− 1 = ±(√

6/2)

(x− 2)

38. จุดยอด: (−5,−5) และ (1,−5); จุดโฟกัส: (−7,−5) และ (3,−5);

เส้นกำกับ: y + 5 = ±4

3(x+ 2)

39. y2 − 1

8x2 = 1 40. 1

16x2 − 1

20y2 = 1 41.

(x− 4)2

4− (y − 3)2

5= 1

42. 1

9(y−3)2− 1

16(x−2)2 = 1 43. 1

9x2− 1

36y2 = 1 44. 1

2(x−4)2− 1

2(y−2)2 = 1

47. พาราโบลา; จุดยอด: (0,−1); จุดโฟกัส:(

0,−3

4

)

48. ไฮเพอร์โบลา; จุดยอด: (±1, 0); จุดโฟกัส:(

±√2, 0

)

49. วงรี; จุดยอด:(

±√2, 1

)

; จุดโฟกัส: (±1, 1)

50. พาราโบลา; จุดยอด: (0, 4); จุดโฟกัส:(

−3

2, 4)

51. ไฮเพอร์โบลา; จุดยอด: (0, 1), (0,−3); จุดโฟกัส:(

0,−1±√5)

52. วงรี; จุดยอด:(

−1

2,±1

)


−1

2,±

√3/2

)


1.2 สมการกำลังสอง

จากตัวอย่าง 1.10 ถึง 1.12 สมการท่ีอยู่ในรูป

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.1)

เป็นสมการของภาคตัดกรวย โดยท่ัวไปสมการ (1.1) เป็นกรณีเฉพาะของสมการในรูป

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.2)

ถ้า A, B และ C ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ซ่ึงเรียกสมการนี้ว่า สมการกำลังสอง (quadraticequation) ของ x และ y

• ถ้า B = 0 แล้วสมการ (1.2) จะลดรูปเป็นสมการ (1.1) และแกนของภาคตัดกรวยจะขนานกับแกนพิกัด นั่นคือขนานกับแกน x หรือแกน y

• ถ้า B 6= 0 แล้วสมการ (1.2) จะมี พจน์ผลคูณไขว้ (cross-product term)xy และกราฟของภาคตัดกรวยจะมีแกนของภาคตัดกรวยทำมุมกับแกนพิกัด

ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะช่วยในการพิจารณาว่ากราฟของสมการกำลังสองเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด

กราฟของสมการ

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.3)

เป็นกราฟของภาคตัดกรวย หรือกราฟของภาคตัดกรวยลดรูป ถ้ากราฟเป็นกราฟของภาคตัดกรวย แล้วจะเป็นกราฟ

(i) วงกลม ถ้า B2 − 4AC < 0, B = 0 และ A = C

(ii) วงรี ถ้า B2 − 4AC < 0 และ B 6= 0 หรือ A 6= C

(iii) พาราโบลา ถ้า B2 − 4AC = 0

(iv) ไฮเพอร์โบลา ถ้า B2 − 4AC > 0

ทฤษฎีบท 1.1

หมายเหตุ: นิพจน์ B2 − 4AC เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการในทฤษฎีบท 1.1


จงพิจารณาว่ากราฟของสมการต่อไปนี้เป็นภาคตัดกรวยชนิดใด

(a) 4xy − 9 = 0 (b) 2x2 − 3xy + 2y2 − 2x = 0

(c) x2 − 6xy + 9y2 − 2y + 1 = 0 (d) 3x2 + 8xy + 4y2 − 7 = 0


วิธีทำ

แบบฝึกหัด 1.2

จงใช้ดิสคริมิแนนต์พิจารณาว่ากราฟของสมการต่อไปนี้เป็นกราฟของวงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา

1. xy = −9

2. x2 + 4xy − 2y2 − 6 = 0

3. x2 + 2√3xy + 3y2 + 2

√3x− 2y = 0

4. 9x2 − 24xy + 16y2 − 80x− 60y + 100 = 0

5. 52x2 − 72xy + 73y2 + 40x+ 30y − 75 = 0

6. x2 + 2xy + y2 + 4√2x− 4

√2y = 0

7. 31x2 + 10√3xy + 21y2 − 32x+ 32

√3y − 80 = 0

8. x2 − 10√3xy + 11y2 + 64 = 0

คำตอบแบบฝึกหัด 1.2

1. ไฮเพอร์โบลา 2. ไฮเพอร์โบลา 3. พาราโบลา 4. พาราโบลา 5. วงรี

6. พาราโบลา 7. วงรี 8. ไฮเพอร์โบลา

บทที่ 1...

Documents