สมการและอสมการ

สมการและอสมการเชงเสนตวแปรเดยวนยาม 1 สมการเชงเสนตวแปรเดยว คอ สมการทม

ตวแปรหรอตวไมทราบคา (unknow) และเลขชกำาลงของตวแปรเปน 1 ตวแปรอาจปรากฎเพยงขางใดขางหนงของเครองหมาย “ = ” หรอ ปรากฏทงสองขางแตเมอจดรปใหอยในรปผลสำาเรจโดยม x เปนตวแปร a , b เปนคาคงตว และ a 0 จะอยในรปแบบสมการเปน

ax + b = 0

สมการเชงเสนตวแปรเดยว จะมคาคำาตอบเพยงคาเดยวเทานน คอ จำานวนทเมอนำาไปแทนคาตวแปรในสมการแลวทำาใหสมการนนเปนจรง บางครงจะเรยกคำาตอบของสมการวา รากของสมการ

คำาสงของโจทยประเภทนมกใชคำาวา จงแกสมการ จงหาคา x (ตวแปรในสมการ) จงหารากของสมการหรอจงหารคำาตอบของสมการ

สมการ 2 สมการจะสมมลกนกตอเมอคำาตอบของสมการ ทงสองตองเทากน

1. การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยวการแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว ตองอาศยสมบต

การเทากนของจำานวนทวา จำานวน 2 จำานวน ทเทากนเมอเพมหรอตดออกเทากนยอมเทากนตวอยางท 1 จงหาคำาตอบของสมการ 2x – 5 = 8วธทำา จากสมการ 2x – 5 = 8

จะได 2x – 5 + 5 = 8+5 (นำา 5 ไปบวกทงสองขาง) x + 7 = 9จะได x + 7 – 7 = 9 –7 (นำา -7 ไปบวกทงสองขาง)

3x = 15 .3x = 15.

(นำา ไปคณทงสองขาง) (1)x = 5

x = 5 นนคอ x = 5 ขอแนะนำาในการแกสมการเชงเสนตวแปรเดยวมดงน

1.ทำาใหเปนผลสำาเรจโดยการจดใหตวแปรและคาคงตวอยคนละขางของเครองหมาย

“ = ” ตวอยางเชน 3x + 4 = 10 3x + 4 – 4 = 10 – 4

(นำา 4 ลบออกทงสองขาง)

3x = 6 3x = 6 (นำา

ลบออกทงสองขาง)ดงนน x = 2

2. ถาพบวงเลบในสมการ เชน ( ) . [ ] หรอ { } ตองถอดวงเลบทงไป โดยถอดทละวงเลบ และตองระมดระวงอยางยงหนาวงเลบใดมเครองหมาย .”-“ เมอถอดวงเลบออกแลวตองเปลยนเครองหมายทกจำานวนภายในวงเลบนนเปนจำานวนตรงขาม

ตวอยางเชน 1+2{5 – (3x – 2)} = 3จะได 1+2{5 – (3x – 2)} – 1 = 3

– 1 (นำา 1 ลบออกทงสองขาง)

2{5 - 3x + 2 } = 2 อยาลม! เปลยนเครองหมาย

(นำา คณทงสองขาง)

7 – 3x – 7 = 1 – 7 (นำา 7 ลบออกทงสองขาง)

- (นำา คณทงสองขาง)

ดงนน x = 2

3. การแกสมการเมอจำานวนในสมการสวนมากอยในรปเศษสวน

จะไมสะดวกในการทำาใหเปนผลสำาเรจ อาจทำาให สวน“ ” หมดไปโดยการนำา ค.ร.น. ของสวนทงหมดคณตลอดสมการนน

ตวอยางเชน

ค.ร.น. ของ 2, 3, 4 และ 12 คอ 12 คณตลอด จะได ;

(นำา บวกทงสองขาง)

(นำา คณทงสองขาง)

ดงนน

ตวอยางเชน

(เปนการนำา ค.ร.น.ของสวน

คอ 12 คณตลอด)

ดงนน

ในบางกรณทมเศษสวนบางจำานวนไมมากนก อาจไมตองนำา ค.ร.น. คณตลอด

ตวอยางเชน

ดงนน

ตวอยางท 1 จงแกสมการ

วธทำา จาก

ดงนน ตอบ

ตวอยางท 2 จงหารากของสมการ

วธทำา

ดงนน ตอบ

ตวอยางท 3 จงหาคำาตอบของสมการ

วธทำา

นำา ค.ร.น. ของ 3, 2 และ 4 คอ 12 คณตลอด จะได;

ดงนน ตอบ

ตวอยางท 4 จงแกสมการ

วธทำา

นำา ค.ร.น. ของ 4, 3, 5 คอ 60 คณตลอด จะได;

ดงนน ตอบ

ตวอยางท 5 จงแกสมการ

วธทำา

นำา ค.ร.น. ของสวน (2, 4, 6) คอ 12 คณตลอด จะได;

ดงนน ตอบ

2. โจทยสมการเชงเสนตวแปรเดยวโจทยประเภทนจะมขอความทไมทราบคาปรากฏอย และ

ขอความทเกยวของกบขอความอน ๆ อกหลายขอความในโจทยนน ซงอาจมความสมพนธกบขอความนน ๆ โดยตรงหรอโดยออม การแกปญหาเกยวกบโจทยสมการกคอการหาคำาตอบของโจทยนนเอง โดยวธการกำาหนดตวแปรแทนขอความทไมทราบคานน (นยมใช x เปนตวแปร) แลวเขยนขอความอน ๆ ในรปของ x น สรางสมการขนมา

ตวอยางเชน ก มเงนมากกวา ข อย 12 บาท ก กบ ข มเงนรวมกน 88 บาท ก มเงนเทาไหร

วธทำา ให ก มเงน x บาท จะได ข มเงน x – 12 บาท

ก และ ข มเงนรวมกน 88 บาทสมการคอ

นนคอ ก มเงน 50 บาท

ขอแนะนำาในการแกปญหาเกยวกบโจทยปญหาสมการทวๆ ไป มดงน

1) เมออานปญหาโจทยแลวจะตองกำาหนดตวแปรแทนขอความทยงไมทราบคาในโจทยซงอาจมหลายขอความโดยทวไปมกจะกำาหนดตวแปรแทนขอความทโจทยถาม แตไมจำาเปนตองทำาเชนนทกครง ทงนเนองจากบางครงการทำาเชนนจะทำาใหเขาสมการ (เขยนความสมพนธระหวางตวแปรกบขอความอนๆ ทปรากฎในโจทย) ไมสะดวกหรออาจทำาไดยากกวาการกำาหนดตวแปรแทนขอความอน (ทโจทยมไดถาม) ซงมความคลองในการเขยนสมการสมพนธกบขอความตาง ๆ ทปรากฏในโจทย แตตองระวงเวลาตอบตองไมตอบคาของตวแปรนน จะตองนำาคาตวแปรไปแทนขอความทโจทยถาม

ตวอยางเชน สเหลยมผนผารปหนงมเสนรอบรปยาว 14 นว มดานยาวยาวกวาสองเทาของดานกวางอย 1 นว สเหลยมนมพนทเทาใด

วธทำา กำาหนดตวแปร (x) แทนขอความทโจทยถามจะไมสะดวก จงควรกำาหนดใหสเหลยมมดานกวาง x นว

2x + 1

x x

2x + 1

ดานยาวจะยาว 2x + 1 นวเสนรอบรปยาว 14 นว

เขาสมการได

x = 2ดานกวางยาว เทากบ 2 นวดานยาวยาว เทากบ 2(2)+1 =

5 นวนนคอ สเหลยมผนผามพนทเทากบ 2(5) =

10 ตารางนว

ขอสงเกต ยงนยมใช x เปนตวแปรแทนขอความทไมทราบคาหลงคำาวา ของ เชน ในขอแนะนำาขอท “ ” 1 มขอความวา

ดานยาวยาวกวาสองเทาของดานกวางอย 1 นว ให ดานกวางยาว x นว ดงนน ดานยาวจะยาว 2x + 1 นว

อกวธ ให ดานยาวยาว x นวดานยาวยาวกวาสองเทาของดานกวางอย 1 นว

X – 2(ดานกวาง) = 1จะได ดานกวาง

จะเหนวา วธแรกสะดวกกวาวธหลงและรวดเรวกวา

2) นยมกำาหนดตวแปรแทนขอความทไมทราบคาซงปรากฎหลายครงในโจทย

ตวอยางเชน ปมเงนมากกวากง 320 บาท แตกงมเงนนอยกวาปลา 125 บาท ทงสามคนมเงนรวมกน 1,000 บาท แตละคนมเงนเทาใด

วธทำา ให กงมเงน x บาท ปมเงน x + 320 บาท ดงนน ปลามเงน x+125 บาท

เนองจากโจทยขอนถามจำานวนเงนของทกคน ให x เปนจำานวนเงนของใครกได แตใหกงจะสะดวกทสดแตถาโจทยถามเงนของปลาคนเดยว การให x เปนจำานวนเงนของปลาจะดกวาเนองจากเมอหาคา x ไดจะไดคำาตอบเลย

นนคอ ใหปลามเงน x บาท กงมเงน x – 125 บาท ดงนน ปมเงน (x - 125)+320 บาท

3) เครองหมาย “=” มกจะสรางจากขอความ เปน, อย, จะได(ได), เทากบ, รวมกบ, ตางกน, หรอมาจากการสรางความสมพนธระหวางขอความ

ตงอยางเชน กำาไร = ราคา ตนทน–รายได = จำานวนสงทขาย x ราคา

ขายตอหนวย

4) บางครงอาจพลงเผลอเขาสมการผด ตองระวง ตวอยางเชน ขอความวา 3 ใน 4 ของเงนของฉนนอยกวา 1 ใน 2 ของเงนของเพอนอย 80 บาท ถาเรา 2 คนมเงนรวมกน 500 บาท ฉนมเงนเทาใด

ให ฉนมเงน x บาท เพอนจะม 500 – x บาท

สมการจะเปน

ตองระวงขอความ นอยกวา ตองนำาจำานวนมาก “ ” –จำานวนนอย นำาขอความขางหลงขนกอน จะไดจำานวนแรก –จำานวนหลง ไมได

5) ระลกเสมอวา โจทยถามอะไร เมอใหตวแปรแทนขอความใดแลวใหใสหนวยของตวแปร (x) ดวย แลวนำา x ไปสรางความสมพนธเพอนำามาสรปสมการ เมอไดคำาตอบของ x แลว ใหพจารณากอนตอบสกเลกนอยวาสอดคลองกบโจทยหรอไม เนองจากบางคำาตอบในรปจำานวนเตมบวก จะอยในรปเศษสวนหรอทศนยมไมไดจำานวนเหลานมกมหนวยวา อน, ตว, เลม, คน หรอบางครงคา x อาจไดคาลบซงสวนมากคา x ในสมการเชงเสนตวแปรเดยว จะไดคาเดยวทเปนบวก เมอมกรณผดพลาดดงกลาวเกดขนอาจเนองมาจาก

ก. อานโจทยไมเขาใจความเกยวของระหวางขอความตาง ๆ ทำาใหเขาสมการไมถกตอง

ข. รบรอนทำาโดยไมระวงเทาทควร เกยวกบการบวกหรอลบกนตองเปนจำานวนในหนวยเดยวกน แตละเลยไมระวงอาจกอปญหาได ดงนนควรระบหนวยของตวแปร (x) ใหแนนอน ถาเปนหนวยเดยวกบหนวยทโจทยถามจะดมาก

ค. ขาดทกษะในการแกสมการมากอน ทำาใหมปญหาเกยวกบการแกโจทสมการ

ง. คดเลขผดพลาด ซงเปนขอผดพลาดพนฐาน บางครงอาจเกดจากความเลนเลอหรอเกดจากความไมรจรง

ตวอยางเชน นำา 2 ไปหาร 4 แตไม

หาร 5

หรอผดอยางน นำา 2 คณในวงเลบไมตลอด

หรอผดอกอยาง ถอดวงเลบไมระวง

6) ถามเวลาอาจตรวจคำาตอบทไดวาถกตองแนนอน โดยการนำาไปแทนในโจทยวาสอดคลองกบโจทยปญหาขอนน ๆ หรอไม และเปนทางออกทางหนงเมอโจทยขอสอบเปนแบบเลอกตอบ ถาทำาไมไดหรอไดคำาตอบไมตรงกบตวเลอกเลย อาจแกปญหาโดยการไลหาคำาตอบจากตวเลอกโดยนำาไปตรวจสอบทละคาในโจทยกได

7) พงระลกเสมอวา ทกษะการเขาสมการตองใชอกมาก ดงนนควรฝกใหเปนในบทเรยนบทแรกน ในชนนจะพบ

อกในเรองสมการกำาลงสองและสมการเชงเสนสองตวแปร อกทงตองใชทกษะนในชนมธยมศกษาตอนปลายอกดวย

8) ตรวจสอบตนเองอกครงวามความรเรองตอไปนหรอไม

1. ระยะทาง เวลา และอตราเรว มความสมพนธดงน

2. อายกบอดต ปจจบน อนาคต

3. การ หาร เกยวกบ ตวตง ตวหาร และผลหาร รวมทงเศษดวย (ถาม)

4. รอยละหรอเปอรเซนต (%)

ระยะทาง = อตราเรว x เวลา

เวลา = ระยะทาง อตราเรว

อายในอดต = อายในปจจบน จำานวนป–ทลวงมาแลว อายในอนาคต = อายในปจจบน +

= ผลหาร

ตวตง –เศษตวหาร

ราคาทงหมดราคาตอหนวย

ราคาของทงหมด = จำานวนสงของ x ราคาตอหนวย

จำานวนสงของ =

5. ตวเลข

6. แสตมปหรอเหรยญ

7. จำานวนสงของ ราคาทงหมด ราคาตอหนวย

ตวอยาง 6 หมกบไกรวมกนอย 32 ตว นบขารวมกนได 68 ขา ถามวามหมอยกตว

กำาไร หรอขาดทน รอยละเทาใด ตองคดจากตนทนหนงรอยเสมอประกาศลดราคากเปอรเซนต (%) ตองคดจาก

เลขสามจำานวนเรยงกนจะหางกนจำานวนละหนง อาจกำาหนด x, x+1,x+2 หรอ x-1, x, x+1 กไดจำานวนคเรยงกนหรอจำานวนคเรยงกนจะหางกนทละสอง อาจกำาหนด x,

มลคาทงหมด = ผลบวกของมลคารวมของแสตมปหรอเหรยญแตละชนด

วธทำา ใหจำานวนหมม x ตว จำานวนขาหมจะม 4x ขา

จำานวนไกม 32 – x ตว ( หมกบไขรวมกนม 32 ตว)

จำานวนขาไกจะม 2(32 – x) ขา หมและไกมขารวมกน 68 ขาสมการคอ 4x + 2(32 – x) = 68 ขา

4x + 64 – 2x = 68

2x = 68 – 64

x = = 2ดงนน มหมทงหมด 2 ตว

ตอบ

ตวอยาง 7 รถยนตโดยสารคนหนงแลนจากเมองหนงไปยงอกเมองหนงเปนประจำาทกวน คนขบสงเกตเหนวา ถาเขาขบรถดวยความเรวชวโมงละ กโลเมตร จะถงปลายทางชาไป 10 นาท แตจะชาไปเพยง 1 นาท 20 วนาท เทานน ถาเขาขบรถชวโมงละ 54 กโลเมตร จงหาวาเมองทงสองอยหางกนเทาไร

วธทำา ใหเมองทงสองอยหางกน x กโลเมตร

ตอนแรก: รถวง = กโลเมตร ใชเวลา 1ชวโมง

ถารถวง X กโลเมตร ใชเวลาชวโมง

ตอนหลง: รถวง 54 กโลเมตร ใชเวลา 1ชวโมง

ถารถวง x กโลเมตร ใชเวลาชวโมง

เวลาทใชไปตอนแรก เวลาทใชไปตอนหลง

เนองจาก ตอนแรกชาไป 10 นาท หรอ ชวโมง

ตอนหลงชาไป 1 นาท 20 วนาท หรอ ชวโมง

เวลาพอด = เวลาในตอนแรก หรอเวลาในตอนหลง

สมการคอ

นำา ค.ร.น. ของ 105, 54, 6, 45 คอ 1,890 คณตลอด;

จะได

ดงนน เมองทงสองหางกน 273 กโลเมตร ตอบ

ตวอยาง 8 สมชายอายแกกวาสมหญง 8 ป อก 8 ปขางหนาอายคนทงสองรวมกนได 68 ป จงหาอายปจจบนของเขาทงสอง

วธทำา ให ปจจบนสมหญงอาย x ป สมชายจะอาย x + 8 ป

อก 8 ปขางหนาสมหญงอาย x + 8 ป อก 8 ปขางหนาสมชายอาย (x+8)+8 =

x+16 ป

สมการคอ (x+8)+(x+16) = 68

2x+24 = 68

2x = 68 – 24

x =

ดงนน ปจจบนสมหญงอาย 22 ป และปจจบนสมชายอาย 30 ป ตอบ

ตวอยางท 9 ซอสมดฉกมา 72 เลม ราคาโหลละ 30 บาท แลเลอกเอาแตเลมด ๆ ขายไปเลมละ 3 บาท สวนพวกทชำารดเกบไวยงไดกำาไรถง 10% จงหาจำานวนสมดฉกทชำารด

วธทำา ใหจำานวนสมดฉกทชำารดม x เลม ขายสมดฉกไปเพยง 72 – x เลม

ขายในราคาเลมละ 3 บาท ไดเงน 3(72 – x) บาท

ลงทน 12 เลม ราคา 30 บาท

ลงทน 72 เลม บาท

ขายไปไดกำาไร 3(72 – x) – 180 บาท

คดเปนกำาไร 10 % จากการลงทน 180 บาท

กำาไรทงหมดเปน บาทสมการคอ 3(72 – x) – 180 = 18

72 – x =

72 – x = 66

x = 72 – 66 = 6

ดงนน สมดฉกทชำารดม 6 เลมตอบ

ตวอยาง 10 ระหวางเมอง ก กบเมอง ข มถนนสองสายซงยาวเทากน 20 กโลเมตร ถาขบรถยนตไปตามถนนสายยาวดวยความเรว 45 กโลเมตรตอชวโมงโดยตลอด แตหยดพกเตมนำามนเสย 5 นาท จะไปถงพรอมกบรถยนตไปตามถนนสายสนดวยความเรว 40 กโลเมตรตอชวโมงโดยไมหยดเลย จงหาความยาวของถนนทงสองสาย

วธทำา ใหถนนสายยาวมความยาว x กโลเมตร

ถนนสายสนจะยาว x – 20 กโลเมตร

ถาขบรถรถยนตไดทาง 45 กโลเมตร ใชเวลา 1 ชวโมง

ถนนสายยาว x กโลเมตร ใชเวลา กโลเมตร

ถาขบรถยนตไดทาง 40 กโลเมตร ใชเวลา 1 ชวโมง

ถนนสายสน กโลเมตร จะใชเวลา ชวโมง

ขณะขบไปตามถนนสายยาวไดหยดเตมนำามน 5 นาท ชวโมง

ไปตามถนนสายยาวหรอสายสนกถงพรอมกน ใชเวลาเทากน

สมการคอ

นำา ค.ร.น. คอ 360 คณตลอด ;

ดงนน ถนนสายยาว 210 กโลเมตร และถนนสายสนยาว 210 – 20 = 190 กโลเมตร ตอบ

ขอสงเกตถาขอสอบเปนแบบเลอกตอบมกปองกนนกเรยนหาคำาตอบ ดวยการตรวจสอบตวเลอกทละตว อาจถามวาถนนสองสายรวมกนเทาใด

ตวอยางท 11 ในการจดงานใหคนกลมหนงทำาพบวา ถาจดใหทำาคนละงาน จะเหลอคนถง 12 คนทไมมงานทำา แตถาจดใหทำางานละ 3 คน จะมงานเหลออก 2 งาน อยากทราบวามงานทงหมดกงาน

วธทำา ให แสตมปดวงละ 2 บาท มจำานวน xดวง

แสตมปดวงละ 5 บาท จะม x + 12 ดวง

แสตมปดวงละ 1.25 บาท จะม x - 21 ดวง

มลคาของแสตมปดวงละ 2 บาท ทงหมดเปนเงน 2 x บาท

มลคาของแสตมปดวงละ 5 บาท ทงหมดเปนเงน 5( x + 12) บาท

มลคาของแสตมปดวงละ 1.25 บาท ทงหมดเปนเงน 1.25 (x - 12) บาท

แสตมปทงหกลองมมลคา 2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) บาท

สมการคอ2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) = 446.25

2x + 5x + 60 + 1.25 - 26.25= 446.25

8.25x + 33.75 = 446.25

x = 412.50

มแสตมปดวงละ 2 บาท จำานวน50 ดวงวธทำา ให แสตมปดวงละ 2 บาท มจำานวน x

ดวง แสตมปดวงละ 5 บาท จะม x +

12 ดวง แสตมปดวงละ 1.25 บาท จะม x

- 21 ดวง มลคาของแสตมปดวงละ 2 บาททงหมด

เปนเงน 2 x บาท มลคาของแสตมปดวงละ 5 บาททงหมดเปน

เงน 5( x + 12) บาท มลคาของแสตมปดวงละ 1.25 บาท

ทงหมดเปนเงน1.25 (x - 12) บาท แสตมปทงหกลองมมลคา 2 x + 5 (x +

12) + 1.25 (x -21) บาท

สมการคอ2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) = 446.25

2x + 5x + 60 + 1.25 - 26.25= 446.25

8.25x + 33.75 = 446.25

x = = 50

มแสตมปดวงละ 2 บาทจำานวน50 ดวง มแสตมปดวงละ 5 บาทจำานวน62 ดวง มแสตมปดวงละ 1.25 บาทจำานวน29 ดวงดงนน มแสตมปทงหมด เทากบ 50 + 62

+29 = 141 ดวง

3. อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

นยาม 2 อสมการ เปนประโยคสญลกษณทมเครองหมาย

> , < , ≤ , ≥ หรอ ≠ เชน 3x - 2 < 5 , 2x - 1 ≠ 8 - 5 ≤ 2x + 1 < 3

คำาตอบของสมการคอ จำานวนทกจำานวนทนำาไปแทนคาตวแปรในอสมการนน แลวทำาใหอสมการนนเปนจรง อสมการทสมมลกน จะตองมคำาตอบเหมอนกนทกคา

สมบตเกยวกบการไมเทากน สำาหรบการบวก และ การคณ จะนำามาใชในการแกอสมการ ดงน

เมอกำาหนด a , b , c เปนจำานวนจรงใด ๆ 1. ถา a < b แลว a + c < b + c2. ถา a < b แลว a - b < 03. ถา a < b แลว ac < bc เมอ c

> 0 แตถา a < b แลว ac > bc เมอ c

< 04. ถา a > b แลว a + c > b + c5. ถา a > b แลว a - b > 06. ถา a > b แลว ac > bc เมอ c >

0ac < bc เมอ c < 0

ขอควรระวง เมอนำาจำานวนลบคฯตลอดอสมการ ตองเปลยนเครองหมาย “ < ” เปน

“ > ” หรอเปลยนเครองหมาย “ > ” เปน “ < ”เชน 3x - 8 < 1 + 5x

3x - 5x < 1 + 8

-2x < 9นำา คณตลอดอสมการ จะได ;

สมการและอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยาง 16 จงแกอสมการ 3(x + 4) – 2 (1 - x) ≤ 15

วธทำา 3(x + 4) – 2 (1 - x) ≤ 15

3x 12 – 2 + 2x ≤ 15

5x ≤ 15 – 10

ดงนน x ≤ ≤ 1ตอบ

ตวอยาง 17 จงแกอสมการ x – 1 - 2 + 3x ≤ 1

3 4

-

2

วธทำา x – 1 - 2 + 3x ≤ 1

3 4

นำา 12 คณตลอดอสมการ จะได ; 4 (x - 1) – 3 (2 + 3x) ≤ 6

4x – 4 – 6 – 9x ≤ 6

- 5x ≤ 6 + 10

ดงนน x ≥ ตอบ

ตวอยาง 18 จงแกอสมการ - 7 < 3x – 2 ≤ 5

วธทำา - 7 < 3x – 2 ≤ 5

นำา 2 บวกตลอดอสมการ จะได ; - 7 + 2 < 3x ≤ 5 + 2

- 5 < 3x ≤ 7

นนคอ ≤ x ≤ ตอบ

2

ตวอยาง 19 จงแกอสมการ 1 – x ≤ 3x - 2 < x - 1

วธทำา เนองจาก 1 – x ≤ 3x - 2 และ 3x - 2 < x - 1 ดวย

ดงนน 1 + 2 ≤ 3x + xและ 3x - 2x < x - 1

3 ≤ 4x และ x < 1

≤ x และ x < 1

นนคอ ≤ x < 1 ตอบ

ตวอยาง 20 พมอายมากกวานอง 3 ป แตพนองคนมอายรวมกนไมถง 25 ป นองจะมอายมากทสดกป

วธทำา ใหนองอาย x ป พอาย x + 3 ป พนองอายรวมกนไมถง 25 ป อสมการคอ x – (x + 3) < 25

2x < 25 – 3

x <

x < 11

ดงนน นองอายมากทสด 10 ป ตอบ

ตวอยาง 21 จำานวนคบวก 2 จำานวนเรยงกนรวมกนไดไมเกน 100 จำานวนมากมคานอยทสดและมากทสดเทาใด

วธทำา ให จำานวนคบวกจำานวนมากเปน x จำานวนคบกจำานวนนอยจะเปน x + 2

สองจำานวนรวมกนไมเกน 100 แตจำานวนคบวกทนอยทสดคอ 2 จำานวนถดไป

คอ 4 อสมการคอ 6 ≤ x + (x - 2) ≤

100

6 + 2 ≤ 2x ≤ 100 + 2

≤ x ≤

4 ≤ x ≤ 51

ดงนน จำานวนคบวกจำานวนมากจะมคานอยทสดเปน 4 และมคามากทสดเปน 50 ตอบ

ตวอยาง 22 เสอกบกางเกงรวมกนแลวมมากกวา 12 ตว แตไมถง 20 ตว ราคาเสอและ กางเกงรวมกนทงหมด 2,400 บาทถาเสอราคาตวละ 240 บาท สวนกางเกง ราคาตวละ 480 บาท จะซอเสอนอยทสดกตว

วธทำา ใหซอเสอทงหมด x ตว ราคาเสอตวละ 240 บาท

เสอทงหมดราคา 240xบาท

ราคาเสอและกางเกงทงหมด 2,400บาท

ราคากางเกงทงหมดเปนเงน 2,400 – 240xบาท

แตกางเกงราคาตวละ 480บาท

จะมกางเกงทงหมด ตว

เสอกบกางเกงรวมกนมากกวา 10 ตว แตไมถง

20 ตวอสมการคอ

12 < x + < 20

12 < x + 5 - < 20

12 - 5 < x - < 20 – 5

7 < < 15

14 < x < 30

ดงนน มเสออยางนอย 15 ตวตอบ

แบบฝกหดท 1

คำาชแจง จงเลอกคำาตอบทถกตองทสดเพยงคำาตอบเดยว

1. คา x จากสมการ เปนเทาใด

1. 3 2. 43. 6 4. 6

2. รากของสมการ 4(2x - 9) – 3 (1 - x) = 5x +3 คอขอใด

1. 1.5 2. 2.253. 5.75 4. 7.0

3. คำาตอบของสมการ

1. 8 2. 9

3. 11 4. 15

4. จงแก

1. -1 2. 3. 4. 1

5. จงหาคา x จากสมการ 1.2 (x - 2) + 0.5 (1 - x) = 2.3

1. 5.5 2. 6.53. 6.0 4. 7.0

6. ชนกบชมมเงนรวมกน 400 บาท ถาชนใหเงนชมอก 10 บาท ชนจะมเงนมากกวาชมอย 40 บาท เดมชมมเงนอยกบาท

1. 150 2. 1603. 170 4. 180

7. ปลาตวหนงทอนหวของมนยาว 9 นว สวนทอนหางยาวเทากบทอนหวกบอกครงหนงของลำาตว และทอน ลำาตวของปลาตวนกยาว เทากบสวนยาวของทอนหว และทอนหางรวมกน ปลาทงตวยาว เทาใด

1. 36 2. 483. 64 4. 72

8. ซอเสอยดมาทงหมด 20 ตว ราคารวมกน 1,500 บาท เสอมสองชนด ชนดหนงราคาตวละ 60 บาท อกชนดหนงราคาตวละ 110 บาท ฉนซอซอสองชนดตางกนกตว

1. 6 2. 83. 14 4. 18

9. สเหลยมจตรสและสเหลยมผนผา มความยาวของเสนวดโดยรอบรปเทากน ถาดานหนงของ จตรสยาวเปนสองเทาของดานกวางของสเหลยมผนผา และดานยาวของสเหลยมผนผาเทากบ 27 นว ดานหนงของสเหลยมจตรสจะยาวเทาไร

1. 18 2. 203. 24 4. 25

10. ปนพอมอายเปน 2 เทาของอายของพ แตพโตกวาผม 3 ป อก 14 ปขางหนา อายของพอกบอายของผมจะเปน 7: 4 เมอ 2 ปกอน อายของพอรวมกบอายของพ และอายของผมเปน เทาใด

1. 62 2. 733. 75 4. 78

11. แมคาซอไกมาจำานวนหนง ในราคาฟองละ 1.50 บาท แลวเอามาขายฟองละ 2 บาท ไขเนา เสย 13 ฟอง ขายทเหลอไปหมดไดกำาไรทงสน 16 % แมคาซอไขมาทงหมดกฟอง

1. 70 2. 803. 90 4. 100

12. ชายคนหนงมเงน 2,020 บาท จายใหบตรทกคนโดยใหบตรสาวคนละ 150 บาท และใหบตรชายคนละ 280 บาท ถาเขามบตรรวม 10 คน จะมบตรสาวมากกวาบตรชายกคน

1. 2 2. 33. 4 4. 5

13. นดแกกวานอย 4 ป เมอ 8 ปทแลว เทาของอายนดมากกวา เทาของอายของนอยอย 6 ป อายของนดกบนอยรวมกนกปในปจจบนน

1. 44 2. 543. 64 4. 68

14. ดำากบแดงอยหางกน 72 กโลเมตร ตางออกเดนเขาหากนโดยดำาออกเดนดวยฝเทา ของฝเทาของแดง และดำาออกเดนทางกอนแดง 45 นาท ปรากฏวาเขาสวน

กนทกง กลางทางพอด จงหาอตราเรวของการเดนทางของแดง (กโลเมตร / ชวโมง)

1. 9.3 2. 9.4 3. 9.6 4. 9.8

15. จงแกอสมการ

1. x ≥ 2. x ≥

3. x ≥ 4. x ≥

16. จงแกอสมการ 0 < 3 (x - 1) – 40 (x - 3) < 6x + 1

1. 8 < x < 9 2. < x < 9

3. 8 < x < 15 4. < x < 8 17. หนงสอเลมหนงม 500 หนา ถาอานวนละไมถง 25 หนา ตองอานอยางนอยกวนจงจะจบ

1. 20 2. 21 3. 25 4. 30

18. หนงสอและสมดกองหนงรวมกนนบจำานวนแลวปรากฏวามหนงสอนอยกวาสมดอย 10 เลม ถาหนงสอราคาเลมละ

25 บาท สวนสมดราคาเลมละ 5.50 บาท และราคาหนงสอรวมกบสมดกองนรวมกนไมถง 500 บาท จะมหนงสออยางมากกเลม

1. 12 2. 13 3. 14 4. 15

1. 4 2. 4 3. 2 4. 1 5. 3 6. 3 7. 4 8. 2 9. 1 10. 3

11. 4 12. 1 13. 1 14. 3 15. 216. 2 17. 2 18. 3

เฉลยพรอมวธทำา

1. ตอบขอ 4 วธทำา

เ ฉ ล ย

นำา ค.ร.น. ของ 4 , 5 , 6 คอ 60 คณตลอด ; จะได

15 (6 -x) – 12 (1 -x) = 10x

90 – 15x -12 + 12x = 10x

13x = - 78

ดงนน x = 6 ตอบ

2. ตอบขอ 4 วธทำา 4(2x - 9) – 3 (1 -x) = 5x + 3

8x -36 – 3 + 3x = 5x +3 11x – 5x = 39 + 3

6x = 42ดงนน x = 7

ตอบ

3. ตอบขอ 2 วธทำา

นำา ค.ร.น. ของ 3 , 3 ,5 คอ 15 คณตลอด ; จะได

35 – 10x +100 = 9x – 36

- 10x – 9x = - 36 – 135

- 19x = - 171

ดงนน x = 9ตอบ

4. ตอบขอ 1 วธทำา

นำา ค.ร.น. ของ 3 , 5 , 6 , 2 คอ 30 คณตลอด จะได ;

10 (x - 2) + 6 (x - 4) – (x + 7)= 15 (x - 5)

10x – 20 + 6x – 24 – 5x – 35= 15x – 75

11x – 15x = 79 – 75

- 4x = 4

ดงนน x = 9 ตอบ

5. ตอบขอ 3 วธทำา 1.2 (x - 2) + 0.5 (1 -x) = 2.3

1.2x – 2.4 + 0.5 – 0.5x = 2.3

0. 7x = 2.3 +1.9

ดงนน x = = 6ตอบ

6. ตอบขอ 3 วธทำา ใหชมมเงน x บาท

ชมมเงน 400 – x บาทชนใหเงนชม 10 บาท ชมจะมเงน x + 10

บาทแตชนจะเหลอเงน (400 -x) – 10 = 390

– x บาททำาใหชนมเงนมากกวาชมอย 40 บาท

สมการคอ (390 -x) – (x + 10) = 40

390 – x – x 10 = 40

- 2x = 40 – 380

x = = 170

ดงนน ชมมเงน 170 บาท ตอบ

7. ตอบขอ 4 วธทำา ใหทอนลำาตวของปลาตวนยาว x นว

ทอนหางยาวเทากบ ทอนหวครงหนงของลำาตวทอนหวยาว 9 นว ทอนหางจะยาว 9

+ นว ทอนลำาตวยาวเทากบสวนยาวของทอนหวและทอนหางรวมหน

สมการคอ x = 9 + (9 + )

x - = 18

= 18 x = 36

ดงนน ปลาทงตวยาว = ทอนหว + ทอนลำาตว + ทอนหาง

= 9 + 36 + (9 + )

= 72 นวตอบ

8. ตอบขอ 2 วธทำา ใหซอเสอชนดทหนงมา x

ตว

อกชนดหนงจะซอเสอเพยง 20 – x ตว

เสอตวแรกราคาตวละ 60 บาท

เสอชนดแรกราคารวมกน 60x บาท

เสอชนดหลงราคาตวละ 110 บาท

เสอชนดหลงราคารวมกน 110 (20 - x)บาท

เสอทงสองชนดราคารวมกน 1,500 บาทสมการคอ60x + 110 (20 - x) = 1,500

60x + 2,200 – 110x = 1,500

- 50x = 1,500 – 2,200

x =

= 14

ซอเสอชนดแรกมา 14 ตว ซอเสอชนดหลงมา 20 -14 = 6 ตว

ดงนนซอเสอมาตางกน 14 – 6 = 8 ตวตอบ

9. ตอบขอ 1 วธทำา ใหดานหนงของสเหลยมจตรสยาว x นว

ดานของสเหลยมจตรสยาวเปน 2 เทาของดานกวางของสเหลยมผนผา

ดานกวางของสเหลยมจตรสผนผาจะยาว นว

สวนดานยาวของสเหลยมผนผาจะยาว 27นว

เสนรอบรปของสเหลยมจตรสเทากบเสนรอบรปของสเหลยมผนผา

สมการคอ 4x = 2 ( + 27)

4x = x + 54

3x = 54

x = 18

ดงนน ดานของสเหลยมจตรสยาว 18 นวตอบ

10. ตอบขอ 3 วธทำา ใหปจจบนพอาย x ป

ปจจบนพออาย 2x ปปจจบนผมอาย x – 3 ป

อก 14 ปขางหนา พออาย 2x + 14 ป

อก 14 ปขางหนา ผมอาย (x - 3) +14 = x + 11 ป

อก 14 ปขางหนา อายพอกบอายผมเปน 7: 4

สมการคอ =

8x + 56 = 7x + 77

8x - 7x = 77 - 56

x = 21ปจจบนพอาย 21 ป และเมอ 2 ปกอนอาย

19 ปปจจบนพออาย 2 (21) = 42 ป และ

เมอ 2 ปกอนอาย 40 ปปจจบนผมอาย 21 – 3 = 18 ป

และเมอ 2 ปกอนอาย 16 ป

ดงนน เมอ 2 ป กอนอายทงสามคนรวมกน 19 + 40 + 16 = 75 ป ตอบ

11. ตอบขอ 4

วธทำา ใหแมคาซอไขมาทงหมด xฟอง

ซอมาในราคาฟองละ 1.50บาท

ไขเนาเสย 13 ฟอง

ขายไปเพยง x - 13 ฟอง

ขายในราคาฟองละ 2 บาท

ขายไปไดเงน 2(x - 13) บาท

ขายไดกำาไร 2(x - 13) – 1.50x= 0.50x – 26 บาท

ขายไดกำาไร 16 % จากราคาทน 1.50x บาท

ไดกำาไร = 0.24xบาท

สมการคอ 0.50x – 26 = 0.24x

0.50x – 0.24x = 26

0.26x = 26

x =

= 100

ดงนน แมคาซอไขมาทงหมด 100 ฟองตอบ

12. ตอบขอ 1 วธทำา ใหชายคนนมบตรสาว x

คน

จะมบตรชายเพยง 10 - x คน

ใหเงนบตรสาวคนละ 150 บาท

ใหบตรสาวทงหมดเปนเงน150x บาท

ใหเงนบตรชายคนละ 280 บาท

ใหบตรชายทงหมดเปนเงน 280(10 - x)บาท

ชายผนจายเงนใหบตรทงหมด 2,020บาท

สมการคอ 150x + 280 (10 - x) =2,020

150x + 2,800 – 280x =2,020

- 130x =2,020 – 2,800

x = = 6

ชายคนนมบตรสาว 6 คน และมบตรชายเพยง 10 - 6 = 4 คน

ดงนน มบตรสาวมากกวาบตรชาย 6 – 4 = 2 คน ตอบ

13. ตอบขอ 1 วธทำา ใหนอยอายปจจบนเปน x ป

นดอายปจจบนจะเปน x + 4

เมอ 8 ปทแลว นอยอาย x - 8

เมอ 8 ปทแลว นดอาย x + 4 – 8 = x - 4

เมอ 8 ปทแลว อายนดมากกวาอายนอย 6 ป

สมการคอ = 6 15( x - 4) – 14 (x -8) = 72

15x – 60 14x +112 = 72

x = 72 -52

= 20

นอยอาย 20 ปนดอาย 24 ป

ดงนน อายสองคนรวมกน 44 ปตอบ

14. ตอบขอ 3 วธทำา ใหแดงเดนดวยอตราเรว xกโลเมตร / ชวโมง

ดำาออกเดนดวยฝเทา ของฝเทาแดง

ดำาเดนดวยอตราเรว กโลเมตร / ชวโมง

ระยะทางทงหมด 72 กโลเมตร

ดำาและแดงเดนสวนกนทกงกลางพอด

นนคอ ดำาและแดงตางเดนไดทางเทากบ 36กโลเมตร

ดำาเดน กโลเมตร ใชเวลา 1 ชวโมง

ดำาเดน 36 กโลเมตร ใชเวลา ชวโมง

แดงเดน x กโลเมตร ใชเวลา 1ชวโมง

แดงเดน 36 กโลเมตร ใชเวลาชวโมง

ดำาออกเดนทางกอนแดง 45 นาท

ดำาใชเวลามากกวาแดงอย ชวโมง

สมการคอ

, , x = 9.6

ดงนน แดงเดนเรว 9.6 กโลเมตร / ชวโมงตอบ

15. ตอบขอ 2 วธทำา ≥

6 (x - 7) – 9 (1 - x) ≥ 10

6x -42 -9 + 9x ≥ 10

15x ≥ 10 +51 x ≥

ตอบ

16. ตอบขอ 2 วธทำา 3(x -1) – 4 (x – 3) < 6x + 1

3x – 3 – 4x +12 < 6x +1

-x – 6x < 1 -9

-7x < - 8

x >

และ 3(x - 1) – 4 (x -3) > 0

3x – 3 – 4x +12 > 0

-x + 9 > 0

-x > - 9

x < 9

< x < 9ตอบ

17. ตอบขอ 2 วธทำา ใหอานนาน x วนจงจบเลม

หนงสอม 500หนา

ตองอานวนละ

อานวนละไมเกน 25 หนา

อสมการคอ < 25

< x

20 < x

ดงนน ตองอานอยางนอย 21 วนตอบ

18. ตอบขอ 3 วธทำา ใหหนงสอกองนม x เลม

มสมดอย x + 10เลม

หนงสอราคาเลมละ 25 บาท

หนงสอทงหมดราคา 25x

สมดราคาเลมละ 5.50

สมดทงหมดราคา 5.50 (x + 10)

หนงสอและสมดราคารวมกนไมถง 500บาท

อสมการคอ 25x + 5.50 (x +10) < 500

25x + 5.50 + 55 < 500

30.50x < 500 – 55

30.50x < 445

x <

x < 14

ดงนน มหนงสออยางมาก 14 เลมตอบ

ระบบสมการเชงเสนระบบสมการเชงเสน คอ สมการเชงเสนมากกวา 1

สมการขนไป แตละสมการจะมตวแปรมากกวา 1 ตว ถาตวแปร 2 ตวจะเรยกวา สมการเชงเสนสองตวแปร ซงในระบบนจะมสมการอยางนอย 2 สมการ จงจะหาคาคำาตอบของตวแปรทงสองได เชนเดยวกบสมการเชงเสน 3 ตวแปร กตองมสมการอยางนอย 3 สมการ จงจะหาคำาตอบของตวแปรได โดยตวแปรทกตวในสมการ จะตองอยในรปกำาลงหนง และอยในรปผลบวก หรอผลตางระหวางตวแปรเหลานน

1. สมการเชงเสนสองตวแปรรปแบบระบบสมการสองตวแปร คอ

a 1 x + b 1 y = c 1 เมอ a 1 และ b 1 ไมเปนศนยพรอมกน

a 2 x + b2 y = c 2 เมอ a 2 และ b 2 ไมเปนศนยพรอมกน

สวนระบบสมการเชงเสนมากกวาสองตวแปร จะกลาวถงเลกนอยเทานน

ในชนนจะศกษาเกยวกบการหาคาตวแปร 2 ตวแปรจากระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ซงถานำาสมการทงสองมาเขยนกราฟเสนตรง และจดทกราฟทงสองตดกน จะเปนคำาตอบของสมการนตวอยางเชน ระบบสมการ 2x – 5y = 1

………….(1) x – 3y = 6

…………..(2)

x 0 3 6y = 2x -1

5

- 0.2 1 2.2

y = 6 – x3

2 1 0

ดงนน คำาตอบของระบบสมการคอ x = 3 และ y = 1

การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปรโดยใชวธเขยนกราฟ จะไมสะดวก เนองจากเสยเวลามาก บางครงคำาตอบทไดจากกราฟ อาจพจารณาหาคำาตอบไดยาก เพราะคำาตอบอาจไมใชจำานวนเตม บางครงเปนเศษสวน (จำานวนตรรกะ) จงยากทจะระบจำานวนใดเปนคำาตอบของระบบสมการน

การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ยงคงใชสมบตการเทาเทยมกนกบการบวกและการคณเชนเดยวกบ การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว

นนคอ สมบตเกยวกบการบวก และการคณดวยจำานวนทเทากนยอมเทากน

หลกการสำาคญทใชแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร1.โดยวธแทนคาตวแปรตวหนงในรปตวแปรอกตวหนง2.โดยการเขยนตวแปรตวหนงในรปของตวแปรอกตว

หนงทงสองสมการ แลวนำามาเทากน เขาสมการใหม3.โดยการทำาสมประสทธตวแปรตวใดตวหนงทงสอง

สมการใหเทากน เทากบ ค.ร.น. ของสมประสทธ

เดม ของตวแปรนทงสองสมการ แลวนำามาบวกหรอลบกน

ตวอยาง 1 จงแกระบบสมการ 2x + y = 23………(1)

4x – y = 19 ………(2)

วธทำา 1 โดยการแทนคา y ในรปของ xจาก (1) y = 23 -2x

4x – (23 -2) = 19 4x + 2x = 19 +23

6x = 42

x = 42 = 7 6

y = 23 -2 (7) = 9x = 7 และ y = 9

วธท 2 โดยการเขยน y ในรปขง x ทงสองสมการ จะได

y = 23 -2xy = 4x - 1923 -2x = 4x - 19

- 2x – 4x = - 19 – 23

- 6x= - 42x = = 7

และ y = 23 - 2(7) = 9

ตวอยางท 2 จงแกสมการ 5x + 6y= 71

7x – 5y = 19

วธทำา ทำาสมประสทธ y ใหเทากนกบ ค.ร.น

นนคอ นำา 5 และ 6 คณกน

5 x (1) 25x + 30y = 355

6 x (2) 42x – 30y = 114

(3) + (4) 67x = 469

x = = 7

5(7) + 6y = 71

6y = 71 – 35

y = = 6

x = 7 , y = 6ขอสงเกต ถงแมวาโจทยขอนจะทำาสมประสทธของ x

ใหเทากน แลวนำามาลบกนกได แตไมนยมนำาสมการมาลบกน เนองจากอาจผดพลาดเรองเครองหมาย

35x + 42y = 49735x – 25y = 95 67y = 402

ตองระวง 42y – (-25y) บางครงอาจผดพลาดเรองเครองหมาย จงนยมทำาสมประสทธตวแปรเดม ทมเครองหมายตรงกนขามกน แลวนำามาบวกกน จะไดไมตองกงวลเรองเครองหมาย

ตวอยางท 3 จงแกระบบสมการ x + 2y – 1 =10 = x + y + 2

วธทำา x +2 -1 = 10x + y + 2 = 10y – 3 = 0y = 3x + 3 +2 = 10x = 10 – 5 = 5

x = 5 , y = 3

ตวอยางท 4 2(x - y) = 7(y + 2 x)

วธทำา 2(x - y) = 7(y + 2x)

2x – 2y = 7y + 14x

- 12x = 9y

x =

1 + 5x +7y = 0

= 0

4 – 15y + 28y= 013y = -4

y =

x = = 3

x = , y =

ตวอยาง 5

วธทำา ค.ร.น. คอ 3010(2x - 1) = 18(y +1) + 15(3)

20x – 18y = 18 +45 +1020x - 18y = 73

ค.ร.น คอ 1240(y -1) = 6(2x -y) – 494y – 12x +6x = 4 – 4910y – 12x = - 4560x -54y = 21950y – 60x = - 225- 4y = - 6y = 20x – 18 = 7320x – 27 = 7320x = 73 +27x = 100

=x = 5 , y =

ตวอยางท 6 2a + b = 33 และ 7b - 5a = 3

วธทำา 2a + b = 33

7b - 5a = 3

14a + 7b = 231

19a = 228

a =

= 12

2(12) + b = 33

b = 33 -24 = 9

a =

a =

a เปน เทาของ b บางครงอาจพบการแกระบบเชงสมการเชง

เสนทมตวแปรมากกวา 2 ตว มกทำาโดยการจำากดตวแปรทละตวอาจโดยการแทนคาหรอทำาสมประสทธของตวแปร

ตวอยาง 7 จงแกระบบสมการ 3x – y + 4z =-1 ……(1)

2x +4y – z = 17……(2)

4x + 2y – z = 15……(3)

วธทำา 4 x (2) 8x + 16y + 4z =68 ……(4)

(1) + (4) 11x + 154= 67……(5)

(3) - (2) 2x – 2y = -2……(6)

(6) x 15x – 15y = -15……(7)(5) + (7) 26x = 52

x = = 2

แทนคา ป ใน (6) จะได ; 2(2) – 2y = 4 + 2

y = = 3

แทนคา x, y ใน (2) จะได ; 2(2) + 4(3)- z =17

4 + 12 – z = 17

z = 16-17 = -1

x, y, z = 2, 3, -1 ตามลำาดบ ตอบ

ตวอยาง 8 จงแกระบบสมการ = x - ……(1)

5x + 2z = y + ……(2)

2x + y = 7……(3)

วธทำา จาก (3) y = 7 – 2x……(4)

แทนคา y ใน (1) จะได ; = y +

นำา ค.ร.น. คอ 9 คณตลอด จะได ; 3x-6(7-2x)+3z = 9x-34

3x+12x+3z-9x = 42-34

6x+3z = 8…….(5)

แทนคา y ใน (2) จะได ; 5x+2z =(7-2x) +นำา 3 คณตลอด จะได ; 15x + 6z =21-6x+13

21x + 6z = 34……(6)

2 x (5) 12x + 6z =16 ……(7)

(6) - (7) 9x = 18

x = = 2

แทนคา x ใน (4) y = 7-2(2) = 3

แทนคา x ใน (5) 6(2) + 3z = 8

z = = -

x, y, z = 2, 3, - ตามลำาดบ ตอบ