CURSO DEALGEBRAVOLUME II(Versao Preliminar)AbramoHefez12denovembrode20022Sumario1 POLINOMIOS 71.1 SeriesdePotenciasePolinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 DivisaodePolinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 PolinomioscomCoecientesemCorpos. . . . . . . . . . . . . 251.4 PolinomiossobreCesobreR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 PolinomiosemVariasIndeterminadas. . . . . . . . . . . . . . 322 DERIVAC AOEMULTIPLICIDADE 412.1 DerivadaPrimeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 DivisaoporX a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Derivadasdeordemsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFU 573.1 RazesemKdepolinomiosemD[X] . . . . . . . . . . . . . . 573.2 OTeoremadeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 MetododeKroneckerparafatora caoemZ[X] . . . . . . . . . 663.4 CriteriosdedivisibilidadeemQ[X] . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 AResultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 ASEQUAC OESDEGRAU 4 814.1 AEqua caodoSegundoGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 AEqua caodoTerceiroGrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 AEqua caodoQuartoGrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 OGRUPOSIMETRICO 955.1 Rela coesEntreCoecienteseRazes . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.1 Ano caodegrupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10134 SUMARIO5.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.3 GruposCclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3 EstruturadeOrbitasdeumaPermuta cao . . . . . . . . . . . . 1145.3.1 Decomposi caodeumapermuta caoemumprodutodeciclos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4 OGrupoAlternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5 Fun coesSimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 Conjuga caoemSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296 OMETODODELAGRANGE 1337 EXTENSOESDECORPOS 1477.1 AAlgebraLineardaExtensaodeCorpos. . . . . . . . . . . . 1477.2 Constru coescomReguaeCompasso . . . . . . . . . . . . . . 156SUMARIO 5NOTAC OESAnel=AnelcomutativocomunidadeN = 1, 2, 3, . . . =Conjuntodosn umerosnaturaisZ = . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . =Aneldosn umerosinteirosZ+= 0, 1, 2, 3, . . .=Subconjuntodosn umerosinteirosnaonegativosQ =Corpodosn umerosracionaisR =Corpodosn umerosreaisC =Corpodosn umeroscomplexosYX=Conjuntodafun coesdeXemYA=ConjuntodoselementosinvertveisdoanelAKern =n` ucleodohomomorsmo6 SUMARIOCaptulo1POLINOMIOSNesteCaptuloiniciaremosoestudodaspropriedadesalgebricasbasicasdospolinomioscomcoecientesnumanelcomutativocomunidade.Nas disciplinas de Calculo os polinomios sao vistos como fun coes particu-lares de variavel real e como tal sao estudados. A necessidade de se distinguiros polinomios das fun coes polinomiais surge pela considera cao de polinomioscom coecientesem corpos nitos,de usocada vezmais freq uente por causadesuasin umerasaplica coespraticas.Muito do estudo das propriedades dos polinomios em uma indeterminadaesta relacionado com o desenvolvimentoda Teoria das Equa coes Algebricas `aqual estao associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Runi, Gauss, Abel,culminandocomascontribui coesfundamentaisdeAbeleGalois.Aspropriedadesdospolinomiosemvariasindeterminadasforampesqui-sadasinicialmenteporsuasconexoescomaGeometriaAnaltica, evoluindonoquehojesechamaGeometriaAlgebrica.Atualmenteospolinomiosdesempenhampapelrelevanteemmuitaspar-tesdaMatematica.1.1 SeriesdePotenciasePolinomiosSeja Aum anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade,esejaXumaindeterminadasobreA. Umaseriedepotencias f(X)comcoecientesemA eumasomaformalinnitadotipo:f(X) =

i=0aiXi= a0X0+a1X1+ a2X2+78 CAPITULO1. POLINOMIOScomai A, paratodoi Z+. OsXisaoprovisoriamentevistosapenascomosmbolosindicadoresdeposi cao.Duas series de potencias f(X) =

i=0aiXie g(X) =

i=0biXisao con-sideradasiguaisseai= biparatodoi Z+. Oselementosaisaochamadosde coecientes e a parcela aiXide monomio de grau i. Convenciona-se omitiromonomioaiXiquandoai=0ecostuma-sedenotara0X0pora0ea1X1pora1X.OconjuntodetodasasseriesdepotenciascomcoecientesemAede-notadoporA[[X]]eneledenimosasseguintesopera coes:Adi cao:

i=0aiXi+

i=0biXi=

i=0(ai +bi)Xi.Multiplica cao:_

i=0aiXi_

_

i=0biXi_=

i=0_i

j=0ajbij_Xi.Notequecomestadeni caodeproduto, temosqueXi Xj=Xi+j, paratodoiej,dandoassimumsentidodepotenciaaosmboloXi.PROPOSIC AO1.1. OconjuntoA[[X]]comasoperacoesacimadenidaseumanel.DEMONSTRACAO:A associatividade e a comutatividade da adi cao saodeverica coes imediatas. Oelementoneutrodaadi caoe0=

i=0 0Xi,enquantoqueosimetricodef(X)=

i=0aiXie f(X)=

i=0(ai)Xi.Acomutatividadedamultiplica caoeimediataeapropriedadedistributivae facil de ser vericada. A unicapropriedade que merece verica caoe aassociatividadedamultiplica cao. Sejamf(X) =

i=0aiXi, g(X) =

i=0biXie h(X) =

i=0ciXi.1.1. SERIESDEPOTENCIASEPOLINOMIOS 9Temosque(f(X)g(X))h(X) =

i=0diXi,ondedi=i

k=0_k

j=0ajbkj_cik=

++=iabc.Poroutrolado,f(X)(g(X)h(X)) =

i=0eiXi,ondeei=i

k=0ak_ik

j=0bjcikj_=

++=iabc.Portanto,di = ei,paratodoi,provandoassimaassociatividadedamul-tiplica cao.EclaroqueA A[[X]], poistodoelementoa Apodeservistocomoa0 + 0X+ 0X2+eportantocomoelementodeA[[X]]. Alemdisso, sef(X) = aeg(X) = b,temosquef(X) +g(X) = a +b e f(X)g(X) = ab,ondeasopera coesnosprimeirosmembrossaoefetuadasemA[[X]]easdossegundosmembrososaoemA. Vemoscomistoqueasopera coesdenidasemA[[X]] estendemasopera coesdenidasemA, fazendocomqueAsejaumsubaneldeA[[X]].Umoutro subanelde A[[X]] quese destaca e oanel A[X] dos polinomiosemumaindeterminadacomcoecientesemA. Comoconjunto, esteaneledescritocomoA[X] =_a0 +a1X +a2X2+ A[[X]] [ n talque ai= 0 se i > 0_TodoelementodeA[X] echamadodepolinomioepodeser representadocomosomanita,p(X) =

ni=0aiXi,paraalgumn Z+.10 CAPITULO1. POLINOMIOSPROPOSIC AO1.2. A[X]eumsubaneldeA[[X]].DEMONSTRACAO: Basta, de acordo com I-7, Proposi cao 1, mostrar que1 A[X], oqueeobvio; equesep(X)q(X) A[X], entaop(X) q(X) A[X]ep(X)q(X) A[X].Defato,sep(X) =

ni=0aiXieq(X) =

ni=0biXi,entaop(X) q(X) =max{n,m}

i=0(ai bi)Xi A[X]ep(X)q(X) =n+m

j=0cjXj A[X] onde cj=

i+k=jaibk.Dado um polinomio p(X) = a0 +a1X + anXn A[X] 0, dene-segraudep(X)comosendoointeirogr(p(X)) = maxi Z+; ai ,= 0.Note que o polinomio nulo e o unico polinomio que nao possui grau e quegr(p(X)) > 0 se,esomentese, p(X) A[X] A.O coeciente do termo de grau igual ao gr(p(X)) e chamado de coecientelder dep(X). Umpolinomiocujocoecienteldereigual a1echamadodepolinomiomonico. Umpolinomionulooudegrauzeroserachamadodepolinomioconstante.VejamosagoracomoahipotesesobreAdeserdomniosereetesobreA[X].PROPOSIC AO1.3. SejaAumdomnio. Sep(X), q(X) A[X] 0,entaop(X)q(X) ,= 0egr(p(X)q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).DEMONSTRACAO: Considereospolinomiosp(X), q(X) A[X]dadosporp(X) = a0 +a1X + +anXne q(X) = b0 +b1X + +bmXmondean ,= 0ebm ,= 0. Entao,p(X)q(X) = a0 b0 + (a0b1 +a1b0)X + +an bmXn+m.ComoA edomnio,seguequeanbm ,= 0,logop(X)q(X) ,= 0 e gr(p(X)q(X)) = n +m = gr(p(X) +q(X)).1.1. SERIESDEPOTENCIASEPOLINOMIOS 11COROLARIO1.1. SeAeumdomnio,entaoA[X]edomnio.Emparticular,seKeumcorpoentaoK[X] eumdomnio.COROLARIO1.2. SejaAumdomnio. Sep(X), q(X) A[X] 0saotaisquet(X)dividep(X),entaogr(t(X)) gr(p(X)).DEMONSTRACAO: Existeporhipotese, umpolinomionaonuloq(X)emA[X] tal quet(X)q(X)=p(X). LogopelaProposi cao3, seguequegr(p(X)) gr(t(X)) = gr(q(X)) 0. Dasegueadesigualdadedesejada.COROLARIO1.3. SejaAumdomnio. Umelementop(X) A[X] einvertvelse,esomentese,p(X) AeeinvertvelemA. Emsmbolos,(A[X])= A.DEMONSTRACAO: Se p(X) A[X] e invertvel, entaop(X) ,=0eexisteq(X) A[X] 0 tal quep(X)q(X) = 1. Tomandograus e usandoaProposi cao3temos que gr(p(X))+gr(q(X)) =0. Logogr(p(X)) =gr(q(X)) =0e, portantop(X), q(X) Ae p(X) e invertvel emA. Arecproca eimediata.Umfatoquemereceser evidenciadoeadiferen caaexistenteentrepo-linomiosefun coespolinomiais, doisconceitosquefreq uentementesaoinde-vidamenteconfundidos.Aumpolinomiop(X) A[X] associa-seumafun caop AAchamadafuncaopolinomial, denidaporp : A Aa p(a) = a0 +a1a + +an an.Oelementop(a)deAechamadodevalor dep(X)ema.Eevidentequeadoispolinomiosiguaissaoassociadasduasfun coespolinomiaisiguais. Emcontrapartida, dois polinomios distintos podem dar origem a duas fun coes po-linomiais iguais. Por exemplo,p(X) = X2Xe q(X) = 0, como polinomiosdeZ2[X] saodistintos, porem, asfun coespolinomiaisaelesassociadassaoiguais. Maisgeralmente, sepeumn umeroprimopositivo, decorredoPe-quenoTeoremadeFermat(I-6, Problema1.10)queospolinomiosXp X12 CAPITULO1. POLINOMIOSe0deZp[X]determinamamesmafun caopolinomial. Veremosnaproximase cao2,Corolario4doTeorema1,queseA einnitotalfatonaoocorre.Uma tecnica muito util ao lidarmos com polinomios e o chamado metododoscoecientesadeterminarqueutilizabasicamenteasdeni coesdaigual-dadeedas opera coes noanel depolinomios. Ilustraremos ometodocomalgunsexemplos.EXEMPLO1: MostraremosnesteexemploqueX4+ 4podeserescritocomoprodutododoispolinomiosdesegundograucomcoecientesinteiros.De fato, escreva,X4+4 = (aX2+bX +c)(aX2+bX +c). Efetuandooproduto,tem-sequeX4+4 = aaX4+(ab+ab)X3+(ac+bb+ca)X2+(bc+cb)X+cc.Pelaigualdadedepolinomiosacima,obtem-seosistemadeequa coes:___aa= 1ab +ab = 0ac +bb +ca= 0bc +c+cb= 0cc= 4Procuremosassolu coesinteirasdestesistemadeequa c oes. Daprimeiraequa cao, obtem-sequea=a= 1. Dasegunda, seguequeb + bedaquarta,b(cc) = 0,logob = 0 ou c = c.Caso1: b = 0. Da terceiraequa caotem-se que c +c= 0, donde c = c.Substituindonaquintaequa caotem-sec2= 4,oque eimpossvel.Caso2: c = c. Daquintaequa caotem-sequec = c= 2. Dasegunda,seguequeb +b= 0,logodaterceiraobtem-sebb= 2ac = 4. Dondeb = b= 2. TestandoosvaloresobtidostemosqueX4+4 = (X22X+2)(X2+2X+2) = (X2+2X2)(X22X2).EXEMPLO2: DeterminaremosaebemZ7demodoqueX4+ 4X3+aX24X +b Z7[X]sejaoquadradodeumpolinomiodeZ7[X].Daigualdade,X4+ 4X3+aX24X +b = (X2+cX +d)2= X4+ 2cX3+ (2d +c2)X2+ 2cdX +d21.1. SERIESDEPOTENCIASEPOLINOMIOS 13obtemososistema:___2c = 42d +c2= a2cd = 4d2= bqueresolvido,nosfornecec = 2,d = 1,b = 1ea = 2. Portanto,X4+bar4X3+ 2X24X + 1 = (X2+ 2X 1)2PROBLEMAS1.1.1. Umelementoa ,= 0deumanelcomutativocomunidadeA e chamadoregularou nao divisor de zeroemA se a b ,= 0, para todo b A0.Emparticular,todoelementoinvertvel deA eregular.(a) Sep(X), q(X) A[X],comcoecientelderdep(X)oudeq(X)regular,entaogr(p(X)q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).(b) Sep(X), t(X) A[X], comcoecientelderdet(X)regulareset(X) [ p(X),entaogr(t(X)) gr(p(X)).(c) Calculegr(p(X)q(X))ondep(X) =3X3+ 2X+ 1eq(X) =2X2+ 3X + 1emZ6[X].(d) Mostreque(2X2+ 2X + 1) [ 3emZ6[X].2. Determinea Ztalque(a) O polinomio X4aX3+8X2+a seja o quadrado de um polinomiodeZ[X].(b) OpolinomioX4+X3+aX2+X+1sejaoprodutode doispolinomiosdosegundograuemZ[X].3. Determinea, b Z7taisque(a) OpolinomioX4+ 3X3+ 5X2+ aX+ bsejaoquadradodeumpolinomiodeZ7[X].(b) O polinomio X3+aX+5 seja divisvel por X2+5X+6 em Z7[X].14 CAPITULO1. POLINOMIOS4. Mostrequeafun caoavalia caoema A:Ava: A[X] Ap(X) p(a)eumhomomorsmodeaneis.5. Sejap umn umero primopositivoe f(X) Zp[X]. Mostrequef(X) ef(Xp)determinamamesmafun caopolinomial.Sugestao: UseoPequenoTeoremadeFermat.6. Sejamp(X) C[X]eumaraizn-esimaprimitivadaunidadeemC.(a) Segr(p(X)) < n,mostrequep(X) + p(X) + p(2X) + + p(n1X) = np(0).(b) Deduzaumaformulaparaestasomasegr(p(X)) n.7. Mostre quef(X) =

i=0 aiXi A[[X]] e invertvel emA[[X]]se,esomentese,a0einvertvel emA[X].Sugestao: Sejag(X) =

i=0 biXi. Tem-sequef(X)g(X) = 1se,esomentese,a0b0=1e

ij=0 ajbij=0, paratodoi 1. Mostrequeseb0=a10, ent aoaequa c aoacimadeterminabiemfun c aodosajsedeb0, b1, . . . , bi1, determinandoassimg(X) = (f(X))1.8. SejaKumcorpo. Mostreque1 Xeinvertvel emK[[X]]eque(1 X)1=

i=0Xi.Sea K 0,determine(a X)1.9. Sejaf(X) =

i=0 aiXi A[[X]] 0.Denaaordemdef(X)comsendoord(f(X)) =mini [ ai ,= 0.MostrequeseA eumdomnioesef(X), g(X) A[[X]] 0,ent aoord(f(X)g(X)) =ord(f(X)) + ord(g(X)).IstoprovaqueseA eumdomnio,ent aoA[[X]]tambem eumdomnio.10. SejaKumcorpo.(a) Dadof K[[X]] K, mostrequeexistemm NeuinvertvelemK[[X]]taisquef= Xm u.1.2. DIVISAODEPOLINOMIOS 15(b) Mostre que K[[X]] e um domnio principal. Conclua que K[[X]] e um domniodefatora c ao unica(DFU).Sugestao: VejaI-Teorema2,Captulo4.(c) Descrevaocorpodefra c oesdeK[[X]].11. Sejamfi(X) A[[X]], i Z+, taisqueord(fi(X)) i. Mostreque

i=0 fiXiebemdenidocomoelementodeA[[X]]. Mostrequesef(X), g(X) A[[X]] comf(X) =

i=0 aiXi,ent ao

i=0aiXi g(X) = f(X)g(X).12. SuponhaqueBsejaumsubanel deA. MostrequeB[[X]] eB[X] s aorespectiva-mentesubaneisdeA[[X]]edeA[X].1.2 DivisaodePolinomiosMostraremosnestase caoquesobcertascondi coes,`asemelhan cadosin-teiros, e possvelefetuar a divisaocom restopequenodeumpolinomio poroutro.TEOREMA1.1. (ALGORITMODADIVISAO)SejaAumanel esejamp(X) e t(X) polinomios emA[X]. Se t(X) ,=0 possui coeciente lderinvertvel,entaoexistemq(X)er(X)emA[X]taisquep(X) = t(X)q(X) +r(X), comr(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)).Alem disso, q(X) e r(X) sao univocamente determinados por estas condicoes.DEMONSTRACAO:Sejamp(X) = a0 +a1X + +anXne t(X) = b0 +b1X + +bmXm,coman ,= 0ebminvertvel.Existencia: Sep(X) =0oun Segue entao que para certo s N, tem-se rs(X) = 0 ou gr(rs(X)) < gr(t(X)).Levandoemconta(1), (2), (3), . . . temosquep(X) = (q1(X) +q2(X) + +qs(X))t(X) +rs(X)bastando entao tomar q(X) = q1(X)) +q2(X) + +qs(X)) e r(X) = rs(X).Unicidade: Suponhaquet(X)q(X) +r(X) = t(X)q1(X) +r1(X)com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)) e r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)).Daigualdadeacima,obtemosquet(X)[q(X) q1(X)] = r1(X) r(X) (1.4)Pelascondi coesimpostasar(X)er1(X)temosquer1(X) r(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)).1.2. DIVISAODEPOLINOMIOS 17Ser1(X) r(X) ,= 0,seguede(1.4)edoProblema1.1(b)quegr(r1(X) r(X)) gr(t(X)),oqueeumacontradi cao. Portantor1(X)=r(X)econseq uentementede(1.4)temosqueq1(X) = q(X).OBSERVAC AO1: Seguindo os passos dademonstra cao doTeorema,obtemosoalgoritmodadivisaolongadedoispolinomios:anXn+ an1Xn1+ +a0bmXm+ +b0anXnb1mbm1anXn1 b1mb0anXnmb1manXnm+r1(X)...OBSERVAC AO2: SeAeumcorpoentaoesemprepossvel efetuaradivisaoporqualquerpolinomiot(X) ,= 0.OBSERVAC AO3: Suponhaquep(X), t(X) B[X] ondeBeumsu-banel deAeocoecientelderdet(X)einvertvel emB. Entaoq(X)er(X)calculadospeloalgoritmodadivisaoemA[X] teraonecess`ariamentecoecientesemB.OBSERVAC AO4: Ospolinomiosp(X), t(X), q(X) er(X)noalgoritmodadivisaosaochamadosrespectivamentededividendo,divisor,quocienteeresto.EXEMPLO1:E possvelefetuar a divisaode 3X5+2X3+X25X +7por2X3+ 3X + 1emQ[X]masnao epossvelfaze-loemZ[X].18 CAPITULO1. POLINOMIOS3X5+ 2X3+ X25X + 7 2X3+ 3X + 13X592X332X2 32X25452X312X25X + 752X3+154 X +5412X254X +334Nestecasoq(X) =32X254er(X) = 12X254X +334 .EXEMPLO2: Ofatodebmnaoserinvertvel naoquerdizerquenaosepossaefetuaradivisao. Porexemplo,sejamdados p(X) = 2X33X2+ 1et(X) = 2X + 1,temosemZ[X]:2X3 3X2+ 1 2X + 12X3X2X22X + 14X2+ 14X2+ 2X2X + 12X 10Nestecasoq(X) = X22X + 1er(X) = 0.Damos aseguir alguns corolarios doTeorema, cujaimportanciacaramaisclaranaproximasec cao.COROLARIO1.4. Sejama, b Acomainvertvel ep(X) A[X]. Orestodadivisaodep(X)poraX +bep_ba_.1.2. DIVISAODEPOLINOMIOS 19DEMONSTRACAO: PeloTeorema1, existemq(X), r(X) A[X] taisquep(X)=(aX+ b)q(X) + r(X)comr(X)=0ougr(r(X)) 2 eumn umeroprimo,mostreque(X 1)(X21)(Xp11) pedivisvel por1 +X + +Xp1.1.3 PolinomioscomCoecientesemCorposNo que segue estudaremos propriedades especcas do anel de polinomioscomcoecientesnumcorpoK. Nestecaso, oTeorema1nosgarantequeadivisaocomrestopodeser efetuada, tendocomodividendoumpolinomioqualquer ecomodivisor umpolinomionaonuloarbitrario. Notetambemque,nestecaso,de acordocom oCorolario3daProposi cao 2, u(X) K[X]einvertvel se, esomentese, u(X) K 0, ousejagr(u(X))=0. Por-tanto, doispolinomiosp(X)eq(X)saoassociadosse, esomentese, existec K 0=Ktal queq(X)=cp(X). SeguedistoquetodopolinomionaonulodeK[X] eassociadoaum unicopolinomiomonico.TEOREMA1.2. Todoideal I deK[X] eprincipal. SeI ,=0entaoI egeradoporqualquerumdosseuselementosdemenorgrau.DEMONSTRACAO: SeI = 0, nadatemos aprovar. SuponhaqueI ,=0e seja p(X),=0 umpolinomio emI de graumnimo. Comop(X) I seguequeI(p(X)) I. Por outrolado, seg(X) I, peloal-goritmo da divisao, existem polinomios q(X) e r(X) em K[X] com r(X) = 0ougr(r(X)) < gr(p(X)) taisqueg(X) = p(X)q(X) +r(X). Seguedaquer(X) I ecomop(X)temgraumnimoemI, conclui-sequer(X)=0eportantog(X) I(p(X)). IstoacabademostrarqueI= I(p(X)).26 CAPITULO1. POLINOMIOSOfato queK[X] e umanelprincipaltem varioscorolarios quepassamosaenunciar.COROLARIO1.9. Sejamdadosospolinomiosp1(X), . . . , ps(X) K[X].EntaoexisteumMDCdesteselementos. Alemdisso,todoMDCdeles edaformap1(X)q1(X) + +ps(X)qs(X)paraelementosq1(X), . . . , qs(X) K[X].DEMONSTRACAO:IstodecorredoTeorema2edeI-4,Corolario1daProposi cao6.Como todo associado de um MDCde dados elementos e um MDCdesteselementos(cf. I-4, CorolariodaProposi cao4), seguequedadoselementosp1(X), . . . , ps(X) K[X] nao todos nulos, estes elementos possuem um unicoMDCmonico que sera chamado de o MDCdestes elementos e denotado por(p1(X), . . . , ps(X)).DofatodeK[X] serprincipal seguetambemqueexisteMMCdeele-mentosquaisquerdeK[X](VejaI-4,Problema2.8)COROLARIO1.10. Ospolinomiosp1(X)ep2(X)emK[X] saoprimosentresi, seesomentese, existemq1(X), q2(X) K[X], tais quep1(X) q1(X) +p2(X)q2(X) = 1.DEMONSTRACAO:Comop1(X)Ep2(X)saoprimosentresi,se,eso-mente se, (p1(X), p2(X)) =1, arela caoentre p1(X), p2(X) e 1segue doCorolario1.COROLARIO1.11. EmK[X] umelementoeprimoseesomenteseeleeirredutvel.DEMONSTRACAO: Istodecorre do Teorema2e de I-4, Proposi coes8 e9.COROLARIO1.12. K[X]eumdomniodefatoracao unica.DEMONSTRACAO:IstodecorredoTeorema2edeI-4,Teorema2.1.3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESEMCORPOS 27COROLARIO1.13. Todoelementop(X) K[X] Kpodeserescritodemodo unico,amenosdaordemdosfatores,sobaformap(X) = c(p1(X))1 (pr(X))rondec K 0ep1(X), . . . , pr(X) saopolinomiosmonicosirredutveisdistintosemK[X]ei N, para i = 1, 2, . . . , r.Observeque o Corolario 5 nao e construtivo,pois garante a existenciadafatora caodeumpolinomioempolinomiosirredutveissementretantoindi-car como obte-la. O problema de determinar algortmos rapidos para fatorarpolinomios eimportanteeatual.Tal comonocasodos inteiros, pelofatodeexistir emK[X] umalgo-ritmo para efetuar divisoes com resto pequeno, pode-se calcular efetivamenteoMDCdedoispolinomiosusandooalgoritmodeEuclides.EXEMPLO1: DeterminaremosoMDCemQ[X]dospolinomios2X5+ 2X4+X32X2X 4 e X32X2+X 2.EfetuandooalgoritmodeEuclides,temos2X5+ 2X4+X32X2X 4 == (X32X2+X 2)(2X2+ 6X + 11) + 18X2+ 18X32X2+X 2 =_18X2+ 18_

_118X 19_+ 0.LogoumMDCdestespolinomios e18X2+ 18eportantoMDC_2X5+ 2X4+X32X2X 4, X32X2+X 2_= X2+ 1Sejam Ke Fcorpos tais que K e um subcorpo de F. Sejam p1(X), p2(X)em K[X]. Em princpio, o MDCdestes elementos em F[X] tem coecientesem F. Seguindo porem, atraves do algoritmo de Euclides, o calculo do MDCdesteselementos, efacil convencer-sequetal MDCestaemK[X]. Seguedestaobserva caoquedois polinomios deK[X] temumfator comumnaoconstante em F[X] se, e somente se, eles tem um fator comum nao constanteemK[X].28 CAPITULO1. POLINOMIOSEXEMPLO2: Considereohomomorsmodeaneis : A[X] AAp(X) fun caopolinomialassociadaa p(X)denidanoparagrafo2. SuponhaqueA=Zpondepeumn umeroprimopositivo. NotequeXp X N(). NotetambemqueXp Xtemgraumnimo em N() pois qualquer polinomio nao nulo de N(), em se anulandoemtodososelementosdeZp, temquetergraumaiorouigual ap. SegueentaodoTeorema2queN() = I(XpX).PROBLEMAS1.3.1. DetermineoMDCdosseguintesparesdepolinomiosdeQ[X]:(a) X5+ 4X3+ 3X2+X + 1 e X3+X + 1.(b) X5+10X4+40X3+80X2+80X +32 e X3+6X2+12X +8.(c) X4+X3+ 2X2+X + 1 e X4+ 3X3+ 5X2+ 3X + 4.(d) X3X2X 2 e X33X 2.2. SejaFumaextensaodeumcorpoK. Sejamp1(X), p2(X) K[X] e F. Mostrequeeraizcomumdep1(X)ep2(X)seesomenteseeraizde(p1(X), p2(X)). AcheasrazescomunsemCdosparesdepolinomiosdoproblema3.1.3. ResolvaemQ[X]aseguinteequa caodiofantina:(X3+3X2+3X+2)u+(X3+2X2+2X+1)v = X4+X3+2X2+X+1.4. SejaKumcorpo.(a) Mostrequetodopolinomiodegrau1 eirredutvelemK[X].(b) Sejama, b Kcoma ,=b. Mostrequeparatodosn, m N, ospolinomios(X a)ne(X a)msaoprimosentresi.(c) SeKealgebricamentefechado,os unicospolinomiosirredutveisdeK[X]saoosdegrau1.1.4. POLINOMIOSSOBRECESOBRER 295. (a) Mostre que se um polinomio de grau maior do que 1 em K[X] temumaraizemK, entaoeleeredutvel emK[X]. Deumexemplomostrandoquenaovalearecproca.(b) Mostrequeumpolinomiodegrau 2ou3emK[X] eredutvelse,e somentese,elepossuiumaraiz emK. Esteresultadovale paragrausmaioresdoque3?(c) Determinetodosospolinomiosirredutveisdegraus2, 3e4emZ5[X].6. Mostre que aX2+bX +c R[X] e irredutvelse,e somentese,tem-se < 0onde = b24ac < 0.7. DecomponhaemC[X]eemR[X]osseguintespolinomios:a) X41 b) X4+ 1 c) X61 d) X6+ 18. Paraquevaloresdep, q RX4+ 1edivisvel porX2+ pX+ qemR[X]?Sugest ao: DecomponhaX4+ 1emC[X]).9. MostrequeemK[X] hainnitospolinomiosirredutveis doisadoisnaoassociados.Sugestao: Fa caumareprodu c aoademonstra c aode Euclides daexistenciadeinnitosn umerosprimos(cf. I-5,Teorema1).10. Sejamp(X), q(X) K[X] comp(X)irredutvel. SuponhaqueexistenumaextensaodeKtal quep()=q()=0. Mostrequeq(X)em ultiplodep(X). Seq(X)etambemirredutvel, entaop(X)eq(X)saoassociados.1.4 PolinomiossobreCesobreRPelo fatode Cser algebricamente fechado (Teorema Fundamental daAlgebra, Apendice1)epeloCorolario5doTeorema1, seguequetodopo-linomiop(X) C[X]seescrevedemodo uniconaforma,p(X) = a(X 1)n1 (X r)nr(1.5)coma, 1, . . . , r C, i ,= jse i ,= j e n1, . . . , nr N.30 CAPITULO1. POLINOMIOSAs razes de p(X) sao os 1, . . . , re o inteiro ni, i = 1, . . . , r, e chamadode multiplicidadedaraizi. Como gr(p(X)) = n1 + +nr, segue que todopolinomioemC[X]degrauntemexatamentenrazes,desdequecontadascomsuasmultiplicidades.Sejap(X) =a0+a1X++anXnC[X]. Dene-se opolinomioconjugadodep(X)comosendo p(X) = a0 + a1X + anXn C[X]onde aieoconjugadodeai, i = 0, 1, . . . , n.Aconjuga caodepolinomiosgozadasseguintespropriedades,cujasveri-ca coesdeixamosacargodoleitor.1. Sep(X) = p1(X) +p2(X)entao p(X) = p1(X) +p2(X).2. Sep(X) = p1(X)p2(X)entao p(X) = p1(X)p2(X).3. p(X) = p(X)se,esomentese,p(X) R[X].4. Sea C[X]entao p( a) = p(a)Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que e raiz p(X) se, e somentese, eraizde p(X).PROPOSIC AO1.6. Seja p(X) R[X]. Se C eraiz demultiplicidademdep(X). entao, eraizdemultiplicidademdep(X).DEMONSTRACAO:Se C e raizde multiplicidademde p(X) entaop(X) = (X )m q(X), com q(X) C[X] e q() ,= 0. Comop(X) R[X],temos que p(X) = p(X) = (X )m q(X). Note agora que q( ) = q() ,= 0eportanto eraizdemultiplicidademdep(X).COROLARIO1.14. Todopolinomiodegrau mparcomcoecientesreaistempelomenosumaraizreal.DEMONSTRACAO: Asrazescomplexasaparecemaosparesecomoopolinomio edegrau mpar,oresultadosegue.1.4. POLINOMIOSSOBRECESOBRER 31PROPOSIC AO 1.7.i) aX+b com a, b R e a ,= 0 e irredutvel emR[X].ii)aX2+bX +ccoma, b, c Rea ,= 0 eirredutvelemR[X]se,esomentese, = b24ac < 0.iii)Todopolinomiodegraumaiordoque2eredutvel emR[X].DEMONSTRACAO:i)Eevidenteevaleemqualquercorpo.ii)aX2+bX +c e irredutvelse, e somente se,nao possui fatores do 10grauemR[X] e isto equivale a dizer que aX2+bX+c nao possui razes emR queporsuavezeequivalenteaofatoque < 0.iii) Seja p(X) um polinomio emR[X] de grau maior do que 2. Seja C umaraiz de p(X). Se R, entao p(X) e divisvel em R[X] por (X), portantoele e redutvel. Se CR, entao e raiz de p(X), logo (X) (X ) =X2 2Re()X+ [[2estaemR[X] edividep(X)emR[X] comquocientenaoconstante,portantop(X) eredutvel.COROLARIO1.15. Todopolinomiop(X) R[X] 0seescrevedemodo unico,amenosdaordemdosfatorescomop(X) = a(X 1)(X r)(X2+b1X +c1)(X2+bsX +cs)coma, 1, . . . , r, b1, . . . , bs, c1, . . . , csreaisebi24ci < 0, i = 1, . . . , s.PROBLEMAS1.4.1. Sejamp(X) = a0 +a1X + +anXneq(X) = b0 +b1X + +bnXnpolinomios emC[X]. Suponhaqueeles tenhammesmas razes commesmasmultiplicidades.Provequeexistea C 0talqueaj= abj, j= 1, . . . , n.2. UmaraizdeX4+ 3X330X2+ 366X 340 e3 + 5i,acheasdemaisrazes.3. 1 +i eraizm ultipladeX63X5+ 5X44X3+ 4X2 4X + 4 = 0.Acheamultiplicidadedestaraizeasdemaisrazes.4. FatoreemR[X]osseguintespolinomiosa) X4+ 4X2+ 3 b) X4+ 4X2+ 4c) X4X2+ 1 d) X4+pX2+q com p, q R32 CAPITULO1. POLINOMIOS5. Mostrequesen N,entao(a) X2n1 = (X 1)(X + 1)

n1k=1_X22X coskn+ 1_.(b) X2n+11 = (X 1)

n1k=1_X22X cos2k2n+1+ 1_.6. Fatore emR[X]osseguintespolinomiosa) X241 b) X121 c) X131.1.5 PolinomiosemVariasIndeterminadasSejaA[X1] oanel dospolinomiosacoecientesemAnaindeterminadaX1. SeX2eumaindeterminadasobreoanelA[X1],dene-se:A[X1, X2] = (A[X1]) [X2].Pode-seentaodenirrecorrentemente,A[X1, X2, . . . , Xn] = (A[X1, X2, . . . , Xn1]) [Xn].SeA eumdomniodeintegridade,peloCorolario1daProposi cao3,temosque A[X1] tambem e um domnio de integridade. Usando o mesmo argumentoiteradamente, conclui-se que A[X1, X2, . . . , Xn] e um domnio de integridade.Todoelementop(X1, . . . , Xn) A[X1, . . . , Xn]podeserescritonaformap(X1, . . . , Xn) =

ai1...inXi11Xinn,0i1r1...0inrnonder1, . . . , rn Z+eai1,...,in Aeechamadopolinomioemnindetermi-nadas.Cada termo da forma ai1,...,inXi11Xinne chamado monomioe o seu grauedenidocomosendoi1 + i2 ++ in. Doismonomiossaosemelhantesseelestemomesmograu. Ograudeumpolinomioemnindeterminadaseomaiordosgrausdeseusmonomiosnaonulos. Umpolinomioechamado1.5. POLINOMIOSEMVARIASINDETERMINADAS 33homogeneodegraumsetodososseusmonomiostemgraum. Dadoumpolinomio em A[X1, . . . , Xn], a soma dos seus monomios de grau m e um po-linomio homogeneo de grau m chamado componente homogeneo de grau m dopolinomio. Entao todo polinomio e soma de polinomios homogeneos de grausdois a dois distintos, pois ele e a soma das suas componentes homogeneas. Ograudeumpolinomiop(X1, . . . , Xn) esimbolizadoporgr(p(X1, . . . Xn)).Exemplo1: Sejap(X1, X2, X3) = 3 + 5X1 + 3X2 +X1X2 +X32+X23X3 + 7X15.Estepolinomio edegrau5,suascomponenteshomogeneassao:degrauzero: 3;degrauum: 5X1 + 3X2;degraudois: X1X2 +X32;degrautres: naotem;degrauquatro: X23X3;degraucinco: 7X15.PROPOSIC AO1.8.

ai1...inXi11Xinn= 00i1r1...0inrnse,esomentese,ai1...,in= 0paracada0 i1 r1, . . . , 0 in rn.DEMONSTRACAO: Emumadire caovamosprovarporindu caoemn.Sen = 1,aasser caoeverdadeirapeladeni caodaigualdadedepolinomiosemumaindeterminada. Vamossuporaasser caovalidaparan 1. Seja

ai1...inXi11Xinn= 0,0i1r1...0inrn34 CAPITULO1. POLINOMIOSpodemosescrever,0 =

ai1...inXi11Xinn=0i1r1...0inrn= (ai1...inXi11Xin1n1 )Xinn.0inrn 0i1r1...0in1rn1Peladeni caodaigualdadeem(A[X1, . . . , Xn1])[Xn],segueque

ai1...inXi11Xin1n1= 00i1r1...0inrnparatodoin, 0 in rn. Pelahipotesedeindu cao,seguequeai1,...,in= 0paracada0 i1 r1,. . . , 0 in rn.Arecproca eimediata.SejaA umdomniodeintegridade. Pode-severicarfacilmentequeparap(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) A[X1, . . . , Xn],tem-segr(p(X1, . . . , Xn)q(X1, . . . , Xn)) = gr(p(X1, . . . , Xn)) + gr(q(X1, . . . , Xn)).Portantoeimediatose checar que opolinomiop(X1, . . . , Xn) e invertvelemA[X1, . . . , Xn] se, e somente se, p(X1, . . . , Xn) Aee umelementoinvertvel deA.EclaroqueospolinomiosX1, . . . , XnsaoirredutveisemK[X1, . . . , Xn],ondeKeumcorpo.1.5. POLINOMIOSEMVARIASINDETERMINADAS 35Seja A um domnio de integridade. O corpo de fra coes (cf. I-2) do domnioA[X1, . . . , Xn] eocorpoA(X1, . . . , Xn) =_p(X1, . . . , Xn)q(X1, . . . , Xn) [p(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) A[X1, . . . , Xn] e q(X1, . . . , Xn) ,= 0_EfacilverqueseKeocorpodefra coesdeA,entaoA(X1, . . . , Xn) = K(X1, . . . , Xn).Dadoumpolinomiop(X1, . . . , Xn) =

ai1...inXi11Xinn A[X1, . . . , Xn],0i1r1...0inrnpodemosdenirafun caopolinomial:p : An A(1, . . . , n)

ai1,...,ini11inn= p(1, . . . n).0i1r1...0inrnDois polinomios iguais determinam a mesma fun cao polinomial, mas doispolinomiosdistintospodemdeniramesmafun caopolinomial. Istonova-mentenaoocorreseA eumdomnioinnito,comoveremosadiante.PROPOSIC AO1.9. SejamAeumdomnioinnitoep(X1, . . . Xn)umpolinomio em A[X1, . . . , Xn]0. Entao existem innitos (1, . . . , n) Antaisquep(1, . . . , n) ,= 0.DEMONSTRACAO: Vamos provar por indu caoem n. Se n = 1, o resul-tadoseguedoCorolario3doTeorema1. Suponhaoresultadovalidoparan 1esejap(X1, . . . , Xn) =

ai1...inXi11Xinn=0i1r1...0inrn36 CAPITULO1. POLINOMIOS= (ai1...inXi11Xin1n1 )Xnin.0inrn 0i1r1...0in1rn1Comop(X1, . . . , Xn) ,= 0,paraalgumintemosque,

ai1...inXi11Xin1n1,= 0,0i1r1...0in1rn1logo,pelahipotesedeindu cao,existem1, . . . n1 Ataisque,

ai1...ini11in1n1,= 0,0i1r1...0in1rn1logoopolinomiop(1, . . . , n1, Xn) == _ai1...ini11in1n1_Xinn A[Xn]0inrn 0i1r1...0inrne nao nulo e logo possui um n umero nito de razes. Para innitos valores den A (oselementosdeAquenaosaorazesdep(1, . . . , n1, Xn))temosquep(1, . . . , n) ,= 0,oqueprovaoresultado.COROLARIO1.16. SejaAumdomnioinnito. Sejamaindaos po-linomiosp(X1, . . . , Xn)eq(X1, . . . , Xn)emA[X1, . . . Xn]taisquep(1, . . . , n) = q(1, . . . , n) (1, . . . , n) An.Entaop(X1, . . . , Xn) = q(X1, . . . , Xn).1.5. POLINOMIOSEMVARIASINDETERMINADAS 37DEMONSTRACAO:Suponhaporabsurdoquep(X1, . . . , Xn) q(X1, . . . , Xn) ,= 0,logopelaproposi cao9,existem(1, . . . , n) Antaisquep(1, . . . , n) q(1, . . . , n) ,= 0.Mas,pelaproposi cao,existem1, . . . , n Ataisquep1(1, . . . , n) p2(1, . . . , n) ,= 0,oque eumacontradi cao.PROPOSIC AO1.10. SejaKumcorpoalgebricamentefechadoesejaf(X1, . . . , Xn) K[X1, . . . , Xn] Kcomn 2.EntaooconjuntoVK(f) = (1, . . . , n) Kn[ f(1, . . . , n) = 0einnito.DEMONSTRACAO: Comof(X1, . . . , Xn) naoestaemK, entaopelomenosumadasindeterminadasguraemf(X1, . . . , Xn). Semperdadege-neralidade,podemossuporquesejaXn. Escrevemosf(X1, . . . , Xn) =f0(X1, . . . , Xn1) +f1(X1, . . . , Xn1)Xn + +fd(X1, . . . , Xn1)Xdncomo polinomio em(K[X1, . . . , Xn1])[Xn], comfd(X1, . . . , Xn1) ,=0 ed 1. PelaProposi cao9, existeminnitoselementos(1, . . . , n) Kn1tais que fd(1, . . . , n1) ,= 0 e para cada escolha de tais (1, . . . , n1) existen Kn1raiz da equa cao f(1, . . . , n1, Xn) = 0, pois K e algebricamentefechado,oqueprovaaasser cao.38 CAPITULO1. POLINOMIOSPROBLEMAS1.5.1. SejamAumdomniodeintegridadeep, q A[X1, . . . , Xn].Mostreque,(a) gr(pq) = gr(p) + gr(q).(b) Sepeqsaohomogeneos,entaopqehomogeneo.(c) Sepehomogeneoep=p1p2emA[X1, . . . , Xn], entaop1ep2saohomogeneos.2. SejaKumcorpo. SeFm, Fm+1 K[X1, . . . , Xn] saohomogeneosdegrausrespectivamentemem + 1, semfatoresnaoconstantesemco-mum,mostrequeFm +Fm+1eirredutvelemK[X1, . . . , Xn].3. Seja Kum corpo. Mostre que Y2+p(X1, . . . , Xn) K[X1, . . . , Xn, Y ],ondep(X1, . . . , Xn) K[X1, . . . , Xn], eirredutvel se, esomente se,p(X1, . . . , Xn)naoeoquadradodeumpolinomioemK[X1, . . . , Xn].Emparticular, mostre queY2 X(X 1)(X ), com K, eirredutvelemK[X, Y ].4. SejaKumcorpoalgebricamentefechado. Sejap(X1, X2) K[X1, X2]umpolinomiohomogeneodegraum 1.Mostrequeexistemi, i K, i = 1, . . . , mtaisque,p(X1, X2) = (1X1 +1X2)(2X1 +2X2)(mX1 +mX2).5. (a) SejaAumanel. Sejamp(X1, . . . , Xn) A[X1, . . . , Xn] eY umaindeterminadasobreA[X1, . . . , Xn]. Mostrequep(X1, . . . , Xn)eumpolinomiohomogeneodegraumse,esomentese,p(Y X1, . . . , Y Xn) = Ymp(X1, . . . , Xn)(ComopolinomioemA[X1, . . . , Xn]).(b) Seja p(X1, X2, X3) R[X1, X2, X3]. Mostre que VR(p) e um conecom verticena origem deR3se,e somentese,p(X1, X2, X3) e umpolinomiohomogeneo.6. O polinomio f(X1, X2) = X21 +X22e irredutvelemR[X1, X2] ?Deter-mineVR(f). Responda`asmesmasperguntasemC[X1, X2].1.5. POLINOMIOSEMVARIASINDETERMINADAS 397. Seja K um corpo algebricamente fechado e f(X1, . . . , Xn) um polinomioemK[X1, . . . , Xn]. MostrequeVK(f)enaovaziose, esomentese,f(X1, . . . , Xn) K. DeumexemploondenaovaleoresultadoseK= R.40 CAPITULO1. POLINOMIOSCaptulo2DERIVAC AOEMULTIPLICIDADE2.1 DerivadaPrimeiraSejaKumcorpo. Dene-seooperadorDX1emK[[X]](i.e. D1Xeumaaplica caodeK[[X]]emsiproprio)comosegueD1X: K[[X]] K[[X]]f(X) =

i=0aiXi D1Xf(X) =

i=0iaiXi1Esteechamadooperadordederivacaodeordem1 etempropriedadesnotaveisqueotornammuito util. AseriedepotenciasD1Xechamadaderi-vada primeiraou simplesmente derivadade f(X). Usa-se tambem a nota caoD1X= f(X). Segueclaramentedadeni caoqueD1X(K[X]) k[X].PROPOSIC AO2.1. Sejamf(X), g(X) K[X], a Ke m N. Temosque1. D1X(f(X) +ag(X)) = f(X) +ag(X).2. D1X(f(X)g(X)) = f(X)g(X) +f(X)g(X).3. D1X((f(X))m= m(f(X))m1 f(X).Demonstracao:4142 CAPITULO2. DERIVACAOEMULTIPLICIDADE1. Ademonstra caodesteitemseguediretamentedadeni cao.2. EmvirtudedoProblema1.4doCaptulo1, bastaprovar af ormulaparaprodutosdaformaXng(X). Sejag(X) =

i=0biXi,temosqueD1X(Xng(X)) = D1X_

i=0biXn+i_=

i=0(n +i)biXn+i1== nXn1

i=0biXi+Xn

i=0ibiXi=_D1XXn_g(X) +XnD1Xg(X)3. Ademonstra caopodeser feitaporindu caosobremeadeixamos acargodoleitor.Oproximoresultadovai caracterizar aquelas seriesde potencias quetemderivadanula.PROPOSIC AO2.2. 1. Secar(K)=0entao, D1Xf(X)=0se, eso-mentese,f(X) K.2. Suponhacar(K) =p >0. EntaoD1Xf(X) =0se, e somente se,f(X) = b0 +b1Xp+b2X2p+, combi K, i Z+Demonstracao: Sejaf(X)=

i=0aiXiK[[X]]. D1Xf(X)=0se, esomentese, iai=0paratodoi Z+. PorI-7, Problema3.1, esta ultimacondi cao eequivalenteai 0 modcar(K)ouai= 0.1. Se car (K) =0, istoe equivalente a0 =a1=a2= , istoe,f(X) = a0 K.2. Secar(K) = p > 0,isto eequivalenteai 0 mod pseai ,= 0. Assim,D1Xf(X)=0se, esomentese, f(X)=a0 + apXp+ a2pX2p+. Oresultadoseguedenindobj= ajp, j Z+.Seumpolinomiop(X)edivisvel por(X )m, onde Kem N,enaoedivisvel por (X )m+1, dizemos queeraizdemultiplicidademdep(X). Sem 2, dizemosqueeraizm ultipladep(X). Notequese (X)ldivide p(X), entao e raiz de multiplicidade pelo menos l de p(X).Damosaseguirumacaracteriza caodaquelespolinomiosquetemrazesm ultiplasemtermosdederivadas.2.1. DERIVADAPRIMEIRA 43PROPOSIC AO2.3. Umelemento Keraizm ultiplade p(X) K[X]se,esomentese,p() = p() = 0.Demonstracao: Porumlado,suponhaquep(X) = (X )m q(X)comm 2. Logo, pelaProposi cao1,(2)e(3)temosquep(X) = (x )m q(X) +m(X )m1 q(X).Como m 2 e claro que p() = p() = 0. Reciprocamente, Como p() = 0,temos que p(X) = (X) q(X). Derivando ambos os lados desta igualdade,temos p(X) = q(X) +(X)q1(X). Desta igualdade e de p() = 0 seguequeq() =0edaqueq(X) =(X )q1(X)paraalgumq1(X) K[X].Conseq uentemente p(X) = (X)2 q1(X) e portanto e uma raiz m ultipladep(X).COROLARIO2.1. SejaKumcorpoalgebricamente fechado. p(X)K[X]naotemrazesm ultiplasemKse,esomentese,(p(X), p(X)) = 1.Demonstracao: Sendo K um corpo algebricamente fechado, os polinomiosp(X)ep(X)temraizcomumse,esomentese,elestemumfatornaocons-tantecomum. OresultadosegueentaodaProposi cao3.COROLARIO2.2. Secar(K) = 0esep(X) K[X]eirredutvel,entaop(X)naopodeterraizm ultiplaemnenhumaextensaoFdeK.Demonstracao: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(X) e irredutvelentaop(X) ,=0e(p(X), p(X))=1. Aprimeiradestasasser coesseguedaProposi cao2. Paraasegunda,suponhaporabsurdoque(p(X), p(X)) ,= 1,logop(X)ep(X)temumfatornaoconstanteemcomumecomop(X)eirredutvel este fator comum e um associado de p(X), o que e impossvel poisgr(p(X)) 0.10. (a) Mostreque(Xi)(n)=_0, se i < ni(i 1)(i n + 1)Xin, se i n.(b) Mostrequesen car(K),entao(p(X))(n)= 0 p(X) K[X].(c) Concluaquesecar(K) = 2,entao(p(X))(n)= 0 p(X) K[X], n 2.2.2. DIVISAOPORX A 472.2 DivisaoporX aFreq uentementedividiremospolinomiosporX a, porissodesenvolve-mosummetodopraticoparaefetuartaisdivisoes.Sejap(X)=a0 + a1X++ anXnA[X], vamosusarometododoscoecientes a determinar para achar q(X) = b)+b1X++bn1Xn1 A[X]er Ataisquep(X) = (X a)(b0 +b1X + +bn1Xn1) +r= bn1Xn+ (bn2abn1)Xn1+ (bn3 abn2)Xn2+ ++ (b0 ab1)X +r ab0Igualandooscoecientescorrespondentes,obtem-sebn1= anbn2= an1 +abn1bn3= an2 +abn2...b0= a1 +ab1r = a0 +ab0Destasigualdades,deduz-seoseguintedispositivopratico:anan1an2 a1a0a anan1 +abn1an2 +abn2 a1 +ab1a0 +ab0 bn1bn2bn3 b0r = p(a)Exemplo1: Dividamosp(X)=8X6 7X5+ 4X4+ X3 3X2+ 1porX + 28 7 4 1 3 0 12 8 23 50 99 195 390 78148 CAPITULO2. DERIVACAOEMULTIPLICIDADEPortanto q(X) = 8X523X4+50X399X2+195X390 e r = p(2) = 781.Exemplo2: Dividamosp(X) = X5+ 4X4+ 2X2+X + 1por2X + 11 4 0 2 1 1121929425841167332Portantop(X) =_X 12_

_X4+92X3+94X2+258X +4116_+7332,seguedaquep(X) = (2X 1) _12X4+94X3+98X2+2516X +4132_+7332,logoq(X) =12X4+94X3+98X2+2516X +4132e r = p_12_+7332.Exemplo3: Dividamosp(X) = XnanporX a1 0 00 ana 1 a a2 an10Portanto q(X) = Xn1+aXn2+a2 Xn3+ +an1e r = p(a) = 0.Sejamp(X) A[X] umpolinomiodegraunea A. Considere asseguintesigualdades:p(X) = (X a)q1(X) +r0q1(X) = (X a)q2(X) +r1q2(X) = (X a)q3(X) +r2... =qn1(X) = (X a)qn(X) +rn12.2. DIVISAOPORX A 49Porconsidera caodegraus, temosqueqn(X) A. Pondorn=qn(X)esubstituindoumaequa caonaoutra,nosistemaacima,obtemosp(X) = r0 +r1 (Xa) +r2 (X a)2+ rn1 (X a)n1+rn (X a)n.Esta eaexpressaodep(X)empotenciascrescentesde(X a). Asdivisoessucessivaspor(X a)nosfornecemumalgoritmopraticoparadeterminartalexpressao.Sejap(X)=a0 + a1X+ a2X2++ anXn. Obtemosr0, r1, r2, . . . , rncomosegueanan1 a1a0ana Coecientesde q1(X) r0a Coecientesde q2(X) r1...a Coecientesde qn(X) rn1a rnExemplo4: VamosexpandirX51empotenciascrescentesdeX 1.1 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 01 1 2 3 4 51 1 3 6 101 1 4 101 1 51Assim, X51 = 5(X1)+10(X1)2+10(X1)3+5(X1)4+(X1)5.Exemplo 5: Vamos expandir p(X) = X6+4X5+7X43X3+X22X+1empotenciascrescentesdeX + 2.50 CAPITULO2. DERIVACAOEMULTIPLICIDADE1 4 7 3 1 2 12 1 2 3 9 17 36 732 1 0 3 15 47 1302 1 2 7 29 1052 1 4 15 102 1 6 272 1 81Assim,p(X) = 73 130(X + 2) + 105(X + 2)259(X + 2)3++27(X + 2)4(X + 2)5+ (X + 2)6.SejamKumcorpo,p(X) K[X]ea K. Derivandosucessivamenteaigualdadep(X) = r0 +r1 (Xa) +r2 (Xa)2+ rn1 (Xa)n1+rn (Xa)n.temosque,p(X) = r1 + 2r2(X a) + 3r3(X a)2+ +nrn1(X a)n1p(X) = 2r2 + 32r3(X a) + 43r4(X a)2+...pi(X) = i! ri + (i + 1)i! ri+1(X a) +...p(n)(X) = n! rnAvaliandoestepolinomiosema,obtemosquer0= p(a),r1= p(a),r2=12!p(a),...ri=1i!p(i)(a),...rn=1n!p(n)(a).Portantosecar(K) = 0oucar(K) > n,temosaformuladeTaylor,2.2. DIVISAOPORX A 51p(X) = p(a) +p(a)(X a) +p(a)2! (X a)2+ +p(n)(a)n!(X a)n.Observetambemqueasderivadas sucessivas p(a), p(a), . . . , p(n)(a) po-demsercalculadasapartirder0, r1, . . . , rnmediantedivisoessucessivaspor(X a).Exemplo6: Sejap(X) = X6+4X5+7X43X3+X22X +1 Q[X].PeladiscussaoacimaepeloscalculosdoExemplo5,temosquep(2) = 73, p(2) = 130,p(2) =12!1051052, p(2) =13!(59) = 596 ,p(4)(2) =14!27 =98, p(5)(2) =15!(8) =115p(6)(2) =16!=1720.PROBLEMAS2.2.1. Divida:(a) X4+ 7X34X2porX + 3,(b) X4+ 5X3+ 7X 1porX 3,(c) 10X32X2+ 3X 1por2X 3,(d) X4+X3X2+ 1por3X + 2.2. Sejan N. Acheoquocienteeorestodadivisaode(a) nXn+1(n + 1)Xn+ 1por(X 1)2,(b) nXn+2(n + 2)Xn+1+ (n + 2)X npor(X 1)3.3. Resolvaaequa cao2X3+ 3X2 4X 6=0, sabendo-sequeelatemumaraiz = 32.4. Resolvaaequa cao2X4+ 5X3+ 5X2 2=0sabendo-sequeelatemuma = 1eoutraraiz=12.5. Sejap(X)=X7+ 2X6+ X5+ 3X4 X3+ 4X22X+ 5 Z13[X].Desenvolvap(X)segundoaspotenciascrescentes deX 1. Calculep(i)(1)parai = 0, 1, 2, . . . , 7.52 CAPITULO2. DERIVACAOEMULTIPLICIDADE2.3 DerivadasdeordemsuperiorSeja Kum corpo e seja f(X) K[[X]]. Se Ye uma indeterminada sobreK[[X]], podemos considerar f(X +Y ) como elementode K[[X]][[Y ]] e comotaltemumaexpressao unicadaformaf(X +Y ) = f0(X) +f1(X)Y+f2(X)Y2+ +fm(X)Ym+,comf0(X), f1(X), f2(X), . . . , K[[X]].Denimos uma famlia innita de operadores emK[[X]] como segue, m Z+:DmX: K[[X]] K[[X]]f(X) DmXf(X) = fm(X)PROPOSIC AO2.5. DmXXn=_nm_Xnm m, n Z+.Sef(X) =

i=0aiXi K[[X]],entaoDmXf(X) =

i=0aiDmXXi.Demonstracao: PelaformuladobinomiodeNewtontemosque(X +Y )n=n

m=0_nm_XnmYm,de onde segue aprimeira arma cao. Asegunda arma cao segue daob-serva cao que o coecientede Ymem f(X +Y ) =

i=0ai(X +Y )ie a soma,i Z+, doscoecientesdeYmemai(X+ Y )i(queeigual aaivezesocoecientedeYmem(X +Y )i).Segue imediatamente da Proposi cao 5 que DmX(K[X]) K[X] m Z+.TEOREMA2.1. Sejamf(X), g(X) K[[X]] e cK. Afamliadeoperadores(DmX)mZ+possuiasseguintespropriedades:1. D0X= Id; D1X=derivacaodeordem1;DmXc = 0 m N.2. DmX(f(X) +cg(X)) = DmXf(X) +cDmXg(X) m Z+.3. DmX(f(X)cg(X)) =

mi=0DiXf(X)DmiXg(X) m Z+.2.3. DERIVADASDEORDEMSUPERIOR 534. DmX DnX=_m+nn_Dm+nX m Z+.Demonstracao:1. DaProposi cao5temos que D0XXn=Xne D1XXn=nXn1. Dasegunda arma cao da Proposi cao 5 temos que D0Xf(X) =f(X) eD1Xf(X) =f(X). AigualdadeDmXc =0 m Nseguedireta-mentedadeni cao.2. SeguefacilmentedaProposi cao5.3. Denotandopor (f g)(X+Y ) a serie de potencias emK[[X]][[Y ]]correspondente a f(X)g(X) onde se substitui X por X+Y , o resultadoseguedaseguinteigualdadeemK[[X]][[Y ]]:(fg)(X +Y ) = f(X +Y )g(X +Y ).4. PelaProposi cao5, DmXf(X)ecalculavel porlinearidadeapartirdosvalores de DmXXi, i Z+. Portanto para provar (4) basta vericar quevaleaigualdadequandoosdoisoperadoressaoaplicadosaXi, paratodoi Z+. Defato,DmX DnXXi= DmX_in_Xin=_in_

_im +n_e_m+nn_Dm+nXXi=_m+nn_

_im +n_Xi(m+n)Umaverica caodiretamostraque_in_

_i nm_=_m+nn_

_im+n_,oqueprovaoresultado.Os operadoresDmXpermitemgeneralizar paracacatersticapositivaal-gunsdosresultadosdaSe cao1provadosparacar(K) = 0.Usaremosaseguintenota cao,se K, f(X) K[X]em Z,DmXf() = Av(DnXf(X))54 CAPITULO2. DERIVACAOEMULTIPLICIDADEondeAveafun caoavalia caointrodizidanoCaptulo1,Problema1.8.Oproximoresultado eumageneraliza caodoCorolariodaProposi cao4.PROPOSIC AO2.6. Sejap(X) K[X]. Umelemento Keraizdemultiplicidadem 2dep(X)se,esomentese,p() = D1Xp() =Dm1Xp() = 0 e DmXp() ,= 0.Demonstracao: Naexpressaof(X +Y ) = f(X) +D1Xf(X)Y+ +DmXf(X)Ym+,substituindoXporeYpor(X ),temosquef(X) = f() +D1Xf()(X ) + +DmXf()(X )m+.Oresultadosegueimediatamentedaexpressaoacima.DoTeorema1(4)eporindu cao,seguefacilmenteque(D1X)m= D1X D1X D1X= m! DmX.Portanto, secar(K)=0, temosqueDmX=1m!(D1X)m, m Z+econ-seq uentemente, osoperadoresDmXsaotodosdeterminadosporD1Xatravesdeitera coes.Secar(K)=p>0, oquadroebemdiferente. Porexemplo, sep0esejam Z.Considere a expansao p-adica de m, isto e, m =

si=0mipi, com 0 mi< p.Tem-sequeDmX=1m0!ms!(DpsX)ms (D1X)m0.2.3. DERIVADASDEORDEMSUPERIOR 55Demonstracao: Se0 1 0em, n Z+. MostrequesempneDnXf(X) = 0entaoDmXf(X) = 0.3. Sejacar(K) = pesejas Z+,determineKer(DpsX) = f(X) K[X] [ DpsXf(X) = 0.4. Sejaf(X) K[T] comcar(K)=p>0esejaqumapotenciadep.MostrequeDnXf(Xq) =___(DjTf(T)(Xq)), se n = jq0, se n ,= 0 mod qonde(DjTf(T))(Xq) eopolinomioqueseobtemsubstuindoTporXqnopolinomioDjTf(T).Captulo3POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUDecidirseumpolinomioeirredutvel ounaoemQ[X]ebemmaiscom-plicadodo que decidir se e ou nao irredutvelemC[X] ou emR[X]. Mostra-remosaindanestecaptuloqueexistempolinomiosirredutveisdetodososgrausemQ[X]. UmprimeiropassonosentidodeestudarairredutibilidadedeumpolinomioemQ[X] seradetentardeterminarassuasrazesemQ.Como esta teoria se desenvolvenaturalmente em situa cao mais geral, e nestecontextoquenoscolocamos.EmtodoestecaptuloDseraumD.F.U.eKoseucorpodefra coes.3.1 RazesemKdepolinomiosemD[X]TEOREMA3.1. SejamDumD.F.U.eKoseucorpodefracoes. Sejamaindap(X)=a0 + a1X+anXnD[X] er, s Dprimosentresi coms ,= 0. Serseumaraizdep(X),entaor [ a0es [ an.Demonstracao: Sendorsraizdep(X),tem-sequea0 +a1rs+ +an1rn1sn1+anrnsn= 0.Multiplicandoambososmembrosdestaigualdadeporsnseguequesna0 +sn1ra1 + srn1an1 +rnan= 0.5758 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUEsta ultimaigualdadepodeserreescritanasduasformasseguintes:s(sn1a0 +sn2ra1 + +rn1an1) = rnan(3.1)er(rn1an +srn2an1 + +sn1a1) = sna0(3.2)Comoressaoprimosentresi, omesmoocorrecomresneparasnern.Comode(5)e(6)temosques [ rnaner [ sna0, segueques [ aner [ a0(vejaI-4,Problema3.2(i)).COROLARIO3.1. Sep(X) D[X] emonico, entaotodaraizdep(X)emK,encontra-seemDedividea0= p(0).Exemplo1: Determinaremostodasasrazesracionaisdopolinomiose-guinte: p(X) = 4X3+ 11X2+ 45X 12 Z[X].De acordo com o Teorema 1 toda raiz racionalrsde p(X) com r, s Z[X]eprimos entresi etal quer [ 12es [ 4. Portantoaspossibilidades saoasseguintes: r = 1, 2, 3, 4, 6, 12 esupondosemperdadegeneralidades>0, s=1, 2, 4. Emprincpioteramos36valorespossveispararsaseremtestados. Eliminandoasrepeti coes, camosreduzidosa20possibilidades:rs _1, 2, 3, 4, 6, 12, 12, 32, 14, 34_.Aposalgumastentativas, podendosernumerosas, chega-se`aconclusaoquep(X)possuiuma unicaraizracionalque e14.OExemploacimanossugerequepodesermuitotrabalhosodeterminarasrazesracionaisdeumpolinomio. Existemvarioscriteriosparaexcluirvaloresquenaosaorazes.Ometodoquedescreveremos aseguireparticularmentesimplesebas-tanteeciente.3.1. RAIZESEMKDEPOLINOMIOSEMD[X] 59Sejap(X) = a0 +a1X + +anXn D[X]. PondoX=Yanobtem-se,p_Yan_= a0 +a1Yan++anYnann==1an1n(a0an1n+a1an2nY+ +Yn) ==1an1nq(Y ).As razes emK(logoemD) dopolinomiomonicoq(Y ) D[Y ], quandodivididasporannosfornecemasrazesemKdep(X). PodemosentaonoslimitaraospolinomiosmonicoscomcoecientesemD.Sejamq(Y ) D[X], Dumaraizdeq(Y )ec Dumelementoqualquer. Como q(Y ) =(Y) t(Y ) comt(Y ) D[Y ], temos queq(c) = (c )t(c),eportanto(c ) [ q(c).Estaobserva caonosforneceoseguintemetododeexclus ao:ParaacharasrazesemKdeumpolinomiop(X) D[X], bastaacharasrazesemDdopolinomiomonicoq(Y ) D[Y ]edivid-lasporan. PelocorolariodoTeorema1,oscandidatosarazesemK(eportantoemD)deq(Y )saoodivisoresdocoecientedoseutermoindependentea0an1n.Escolhe-se um candidato c a raiz em D de q(Y ) e calcula-se q(c) usando ometodo pratico de divisao de q(Y ) por Y c. Dois casos podem se apresentar:1. Umsucesso, istoe, q(c) =0. Tem-seentaoumaraizcdeq(Y )eaprocuradas outras razes de q(Y ) se reduz `aprocuradas razes dopolinomiomonico.2. Um insucesso, isto e, q(c) ,= 0. Deve-se excluir c dentre os candidatos arazes de q(Y ). Pela observa cao feita acima, devem ser excludos dentreoscandidatosaraizemDoselementostaisquec naodivideq(c). Istotransformaofracassoemalgoextremamente util.Daremosaseguirumexemplodaaplica caodestemetodo.Exemplo 2: Seja p(X) = X4X313X2+16X48. Procuremos as razesracionaisdestepolinomio. Comoopolinomiojaemoniconaonecessitamosefetuarnenhumatransforma caonele. Asrazesracionaisdep(X)devemserprocuradasentreosinteirosquedividem 48quesao:60 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFU1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48.Calculemosp(1)ep(1):1 1 13 16 481 1 0 13 3 45 = p(1)1 1 2 11 27 75 = p(1)1devemserexcludospoisnaosaorazes. Sefosseraiz, deveramoster(1 ) [ p(1)e(1 ) [ p(1). Istonospermiteexcluirosseguintesvalores:8, 16, 3, 6, 12, 24, 48.Restasomentetestarosseguintescandidatos: 2, 4. Calculemososvaloresp(2)ep(2):1 1 13 16 482 1 2 11 6 60 = p(2)2 1 3 7 30 108 = p(2)2devemserexcludospoisnaosaorazes. Sefosseraiz, deveramoster(2 ) [ p(2)e(2 ) [ p(2). Istonaonospermiteexcluirnenhumoutrocandidato. Restaentaovericarse 4saorazesdep(X). Defato,1 1 13 16 484 1 3 1 12 04 1 1 3 0Portanto4e 4saorazesdep(X). Temosquep(X) = (X 4)(X + 4)(X2X + 3).Istonospermiteachartodasasrazesdep(X)quesao4, 4,12+112i e12 112i.3.1. RAIZESEMKDEPOLINOMIOSEMD[X] 61Exemplo3: SejamanNtais que anaoe potencian-esimade umn umeronatural. Vamosmostrar quenanaoeumn umeroracional. Defato, pondo b =na, temos que b e raiz do polinomio Xna. Se b fosse raci-onal, pelo Corolario do Teorema 1, b seria inteiroe portanto a seriapotencian-esimadon umeronaturalb,oque eumacontradi cao.Exemplo4: Sejap(X)=X5+ 4X4+ 2X3 13X2 19X 5. Vamosdeterminar, seexistirem, asrazesemZ[i]. PeloTeorema1, taisrazessaodivisoresde5emZ[i], quesao 1,(12i)e (12i). Dentreesteselementos basta vericar se sao razes os n umeros 1, 1+2i, 12i, 2+ie2 ipoisosoutrossaoconjugadosdestes(lembre-sequep()=0se, esomentesep( ) = 0). Testandoestesvalores,verica-seque:p(1) ,= 0, p(1 + 2i) ,= 0, p(1 2i) ,= 0, p(2 +i) = 0 e p(2 i) = 0.Logoasrazesdep(X)emZ[i]sao 2 +ie 2 i.PROBLEMAS3.1.1. Acheasrazesracionaisdosseguintespolinomios:a) X4X3X2+ 19X 42 b) X39X2+ 22X 24c) 2X3X2+ 1 d) 10X3+ 19X230X + 9e) 6X5+X414X3+ 4X2+ 5X 22. Determinese eredutvelounaoemQ[X]cadapolinomioabaixo:a) 2X23X + 1 b) X22c) X2+X + 1 d) 4X3+ 3X2+ 3X 1e) X3+ 5X2+ 4X + 1 f) X3+ 6X2+ 8X 13. (a) Mostreque=2 +3eraizdopolinomioX4 10X2+ 1eproveque eirracional.(b) Mostreque5 +7 eirracional.(c) Mostreque32 3 eirracional.4. (a) Mostrequecos20satisfazaequa cao8X36X 1 = 0.(Sugest ao: VejaI-9,Problema3.5).62 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFU(b) Provequecos20eirracional.5. Determineosinteirostparaosquaisaequa caoX43X3+tX24X +t 1 = 0tenhaumaraizracional.6. (a) Sejap(X) Z[X], a, b Zem N. Mostrequesea b mod mentaop(a) p(b) mod m.(b) Seja r1, r2, . . . , rmumsistemacompletoderesduosmodulom.Mostreque, sep(X)temumaraizemZ, entaopelomenosumdosseguintesn umeros edivisvel porm: p(r1), p(r2), . . . , p(rm).(c) Prove que se p(X) Z[X] e se p(0) e p(1) sao mpares, entao p(X)naotemrazesinteiras.(d) Mostrequesep(X) Z[X] esenenhumdos n umeros inteirosp(1), p(0) e p(1)edivisvel por3, entaop(X)naotemrazesinteiras.3.2 OTeoremadeGaussSeja D um domnio de fatora cao unica e seja Xuma indeterminada sobreD. Sejap(X) D[X]. Umconte udodep(X) eummaximodivisorcomumdosseuscoecientes. Opolinomiop(X) D[X]serachamadoprimitivoseosseuscoecientessaoprimosentresi, ouseja, seelepossui umconte udoinvertvel.LEMA3.1. SejaDumD.F.U. e Koseucorpode fracoes. Dadoumpolinomiop(X) D[X], existema K 0eq(X) D[X] primitivo, unicos,amenosdefatoresinvertveisemD,taisquep(X) = aq(X).Demonstracao: Multiplicandop(X)porumelementod D 0con-veniente, demodoaeliminarosdenominadoresdosseuscoecientes, temosquedp(X) D[X] 0. Pondoemevidenciaummaximodivisorcomumcdoscoecientesdecp(X),obtemosp(X) =1ddp(X) =cdq(X),3.2. OTEOREMADEGAUSS 63comcd K 0eq(X) D[X]umpolinomioprimitivo.Provaremosagoraaunicidade. Suponhaquec1d1q1(X) =c2d2q2(X) (3.3)ondec1, c2, d1, d2 D 0eq1(X), q2(X) D[X] saoprimitivos. Entaotemos que c1d2q1(X) =c2d1q2(X), ecomoq1(X) e q2(X) saoprimitivos,temosquec1d2eumconte udodec1d2q1(X)ec2d1eumconte udodec2d1q2(X). Comoestespolinomiossaoiguais, seguequec1d2ec2d1saoassociados em D, isto e, existeu Dinvertveltal que c1d2= uc2d1, ou sejac1d1= uc2d2(3.4)Substituindo (7) em (8) obtemos que q2(X) = uq1(X), o que termina a provadoLema.Observe no Lema anterior que se p(X) D[X] 0, entao a D0.LEMA3.2(Gauss). Sef(X), g(X) D[X] saoprimitivosentaof(X) g(X) eprimitivo.Demonstracao: Escrevamosf(X) = a0 +a1X + +anXne g(X) = b0 +b1X + +bmXm.Suponha,porcontradi cao,quef(X)g(X) = c0 +c1X +c2X2+ +cn+m1Xn+m1+cn+mXn+mnaosejaprimitivoesejadumdivisorprimodec0, c1, c2, . . . , cn+m1, cn+m.Comof(X)eg(X) saoprimitivostemosqueA = i N [ 0 i n e d naodivide ai , = e B = j N [ 0 j m e d naodivide bj , = .Sejamr =minA,s =minBecr+s= ar+sb0 + ar+1bs1 +arbs +ar1bs+1 + +a0br+s.Como por deni cao de r e s temos que d [ cr+s, segue da igualdade acima qued [ arbs. Como d e primo, segue que d [ arou d [ bs, o que e umacontradi caocomadeni caoderes.64 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUCOROLARIO3.2. Sejamf(X), g(X) D[X]. Entaotodoconte udodef(X)g(X) e associado ao produto de um conte udo de f(X) por um conte udodeg(X).Demonstracao: Escrevamos f(X) =a1q1(X) eg(X) =a2q2(X), ondeq1(X), q2(X) D[X] e a1, a2 Dsao os conte udos de f(X) e g(X) respecti-vamente. Temosentaoquef(X)g(X) =a1a2q1(X)q2(X). Poroutrolado,podemos escrever f(X) g(X) = aq(X), onde a e um conte udo de f(X) g(X)e q(X) e primitivo e portanto, pelo Lema 1, temos que a e a1a2 sao associadosemD,oqueprovaoresultado.LEMA3.3. Sejap(X) D[X]primitivoesejaKocorpodefracoesdeD.Entaop(X)eredutvelemD[X]se,esomentese,eleeredutvel emK[X].Demonstracao: Suponhaquep(X)sejairredutvel emD[X]. Sep(X)eredutvelemK[X],temosquep(X) = p1(X)p2(X), comp1(X), p2(X) K[X] K.PeloLema1,existema1, a2 Keq1(X), q2(X) D[X]primitivostaisquep1(X) = a1q1(X)ep2(X) = a2q2(X). Portanto,p(X) = a1a2q1(X)q2(X) (3.5)ondea1, a2 Keq1(X)q(X)eprimitivo(Lema2). Comop(X)epri-mitivo, peloLema1, temos que a1a2e associadode 1emDe portantoestaemD. Temos entaode (9) que p(X) e redutvel emD[X] oqueeumacontradi cao. Reciprocamente, Suponhaquep(X)sejairredutvel emK[X]. Sep(X)eredutvel emD[X], existiriamp1(X), p2(X) D[X] taisquep(X) = p1(X)p2(X)comp1(X), p2(X)naoinvertveisemD[X]. Temosquep1(X), p2(X) / D[X], poiscasocontrario, pelomenos umdeles teriaconte udo nao invertvel e portanto um conte udo de p(X) seria nao invertvel,oquecontradiriaofatodep(X)serprimitivo.TEOREMA3.2(Gauss). SejamDumD.F.U. eXumaindeterminadasobreD. EntaoD[X]eumD.F.U.Demonstracao: Seja p(X) D[X]D. Podemos escrever p(X) = aq(X)coma D0eq(X) D[X] primitivo. Sejaa=a1 arumadecom-posi caodeaemfatoresirredutveis emD. SejaKocorpodefra coesde3.2. OTEOREMADEGAUSS 65D. ComoK[X] e umD.F.U. (Corolario2doTeorema2,Captulo1),pode-mosescreverq(X)=t1(X)ts(X), ondet1(X), . . . , ts(X)saoirredutveisemK[X]. PeloLema1, podemosescreverq(X)=b1 bsq1(X)qs(X)ondeb1, . . . , bs K 0eq1(X), . . . , qs(X) D[X] Dsaoprimitivos(Lema2), logoirredutveis (Lema3). Comoq(X) D[X] eprimitivo, eq1(X)qs(X)eprimitivo(Lema2), entaodaigualdadeacimaedaunici-dadegarantidapeloLema1, seguequeb1, . . . , bs D. Temosentaoquep(X) = a1 ar (b1 bs)q1(X)qs(X) e uma decomposi cao de p(X) emfatoresirredutveisemD[X]. Vamosagorademonstraraunicidadedetalfatora cao. Suponhaquea1 arq1(X)qs(X) = c1 clg1(X)gm(X)onde os elementos de a1, . . . , ar, c1, . . . , clde D sao irredutveis em D e os po-linomiosq1(X), . . . , qs(X), g1(X), . . . , gm(X)saoirredutveisemD[X](por-tantoprimitivos). UsandooLema1,temosquea1 arec1 clsaoasso-ciados,ecomoDeumD.F.U.,temosquer= lecadaaieassociadoaumcjereciprocamente. Poroutrolado,pelaunicidadedafatora caoemK[X],sabe-sequecadaq(X) eassociadoemK[X]aumq(X)ereciprocamente.Como estes polinomios sao primitivos eles diferem por um elemento invertveldeD. Dasegueaunicidadedafatora caoemD[X].COROLARIO3.3. Z[X]eumD.F.U.COROLARIO3.4. SeDeumD.F.U. eX1, . . . XnsaoindeterminadassobreD,entaoD[X1, . . . Xn]eumD.F.U.Demonstracao: PeloTeorema,D[X1] e um D.F.U. , logo novamentepeloTeorema,D[X1, X2] = (D[X1])[X2] eumD.F.U.etc.COROLARIO3.5. SeKe umcorpoe X1, . . . , XnsaoindeterminadassobreK,entaoK[X1, . . . , Xn]eumD.F.U.PROBLEMAS3.2.1. QuaisdosseguintespolinomiosemZ[X]saoprimitivos?66 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFU(a) 2 + 3X +p(X)ondep(X) Z[X], gr(p(X)) > 1.(b) (3 + 5X + 7X2+ 5X3)54.(c) 2 + 4X + 6X2+ 14X3.2. QuaisdosseguintespolinomiosdeZ[X]saoirredutveis?a) 2 + 2X b) X3+X2+X + 1 c) X32 d) X4+ 6X2+ 93. Seja D um D.F.U. com corpo de fra coes K. Mostre que se p(X) D[X]temumaraizemKentaop(X) eredutvelemD[x].4. DetermineumM.D.C.emZ[X]paracadapardepolinomiosabaixo(a) 2X + 4 e 6X2+ 4X + 2(b) 4X + 12 e 2X4+ 12X2+ 18(c) 3X33 e 2X2+ 2X + 23.3 MetododeKroneckerparafatoracaoemZ[X]Nase caoanterior vimos queZ[X] eumD.F.U. Nadaporemdissemossobre fatorar um polinomio p(X) emZ[X] nos seus fatores irredutveis. Des-creveremosabaixoummetododevidoaKroneckerpararealizarestatarefa.Tal metodo apesar de conceitualmente simples, na pratica e muito trabalhosoe,portantonadaeciente. Existeatualmenteumalgoritmomuitoeciente,mas nao totalmente determinstico envolvendo uma parte probabilstica. Sejaumpolinomiocomcoecientesinteiros. Paradecomporp(X)emfatoresir-redutveisbasta supor p(X) primitivoe determinar um divisor seu de menorgrau, em seguidaaplica-se o metodo ao polinomio quocientede p(X) por taldivisor.a)Procuradosdivisoresdoprimeirograu.SuponhaqueaX+ b Z[X] sejaumfator dep(X). Portantoexisteq(X) Z[X]talquep(X) = (aX +b)q(X) (3.6)3.3. METODODEKRONECKERPARAFATORACAOEMZ[X] 67Sejaumn umerointeiroqualquer. Entaop() = (a +b)q() (3.7)eportanto(a + b) [ p(). Oproblemaedeterminar aebdemodoque(10)sejavericado. Portantobastaprocuraraebentreosinteirosparaosquaisa + bdividep()paraarbitrariamenteescolhidoemZ. Pode-seentaodeterminar possveis valoresdeaebescolhendodoisinteirosecom ,=, taisquep() ,=0ep() ,=0eemseguidaresolvendotodosossistemasdeequa coes_a +b = d1a +b = d2variandod1(respectivamente d2) dentreos divisores dep() (respective-mentedep()). Assimobtemos todosos possveis candidatos adivisoreslinearesaX +bdep(X).Aescolhadeeacimadeveserfeitacomcertaast uciapoisquantomenores foremos n umeros dos divisores dep() edep(), menor seraon umerodesistemasdeequa coesqueteremosqueresolver.b)Procuradosdivisoresdosegundograu.Para determinar os divisores quadraticos aX2+bX+c de p(X) em Z[X],escolhatresinteiros, e, doisadoisdistintos, etaisquenenhumdelessejaraiz dep(X). Se aX2+bX +c e um divisorde p(X) emZ[X],devemoster,___a2+b +c = d1a2+b +c = d2a2+b +c = d3onded1eumdivisordep(), d2eumdivisordep()ed3eumdivisordep(). Aresolu caodesten umeronitodesistemasdetresequa coeslinearesnastresincognitasa, bec,nosfornecemospossveiscandidatosadivisoresquadraticosaX2+ bX+ cdep(X). Aqui tambemvalearecomenda caodaescolhaastuciosade, e.c)Paraadetermina caodosdivisoresdegraumaiordoque2procede-sedemodointeiramenteanalogoaoquefoifeitonoscasosa)eb).68 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUExemplo: Vamosfatoraropolinomiop(X)=X4+ 2X3+ X2 1pelometododeKronecker. Aprocuradosfatoreslineares dep(X) sereduz`aprocuradas razes racionais dep(X).Efacil ver queestepolinomionaoadmiterazesracionais. Resta-nosagoradeterminarosfatoresquadraticosdep(X). Tomemos = 0, = 1e= 1,temosentaoossistemas:___a0 +b0 +c = d1a +b + c = d2a b + c = d3onded1= 1, d2= 1, 3 e d3= 1. Istonos fornece16sis-temaslinearesdetresequa coes nastresincognitasa, bec, cujassolu coesapresentamosnaseguintetabela:d1d2d3a b c1 1 1 1 0 0 12 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 2 0 15 1 3 1 1 1 16 1 3 0 2 17 1 3 1 2 2 18 1 1 1 0 2 110 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 112 1 1 1 0 0 113 11 3 1 3 1 114 1 3 1 2 2 115 1 3 1 0 2 116 1 3 1 1 1 1Comop(X)emonicodevemostera= 1, dondeosvaloresdaslinhas1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14e15devemser excludos. Restamaspossibilidadescorrespondentes`aslinhas2, 3, 5, 10, 11 e16. Amenosdeumsinal,alinha2fornece o mesmo resultado que a linha 11, a linha 3 fornece o mesmo resultadoquealinha10ealinha5forneceomesmoresultadoquealinha16. Temosentaosomenteostresseguintescasosaanalisar:X2+X + 1, X2X 1 e X2+X 1 .3.4. CRITERIOSDEDIVISIBILIDADEEMQ[X] 69Experimentando estes tres polinomios, achamos que X2+X+1, e X2+X1dividemp(X)eportantop(X) = (X2+X + 1)(X2+X 1).PROBLEMAS3.3.1. DecomponhaemfatoresirredutveisemZ[X]osseguintespolinomios:a) 2X5+ 3X4+ 3X32X21 b) X5+X3+X2+ 1.3.4 CriteriosdedivisibilidadeemQ[X]TEOREMA3.3(CriteriodeEinsenstein). Sejaq(X) = a0 +a1X + +anXn Z[X].Suponhaqueparaalgumn umerointeiroprimop,setenhap [ a0, p [ a1, . . . , p [ an1,pnaodivideanp2naodividea0.Entaoq(X)eirredutvel emQ[X].Demonstracao: Podemos supor semperda de generalidade que q(X) sejaprimitivo. Suponhaqueexistaumn umeroprimopcumprindoasexigenciasdas hipoteses do Teorema. Suponha, por contradi cao, que q(X) seja redutvelemQ[X]. Logopodemossuporqueq(x) = q1(X)q2(X),comq1(X) = b0 +b1X + +brXre q2(X) = c0 +c1X + +csXspolinomiosprimitivos(Lema4,se cao3).Comoa0= b0c0ep [ a0masp2naodividea0,seguequep [ b0oup [ c0edividesomenteumdosdois. Suponhamosquep [b0epnaodividec0(o70 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUoutrocaso eanalogo).Comop [ a1, a1= c1 b0 +c0 b1e p [ b0,seguequep [ c0 b1maspnaodividec0,logop [ b1.Comop [ a2, a2=c2b0 + c1b1 + c0b2, p [ b0e p [ b1, seguequep [ c0 b2maspnaodividec0,logop [ b2.Assimsucessivamente, atechegarmos`aconclusaoquep [ biparacadai =0, . . . , r. Istoeumacontradi caopois q1(X)eprimitivo, logoq(X)eirredutvelemQ[X].Exemplo 1: X4+4X2+8X2 e irredutvel em Q[X] pois 2 [ (2), 2 [ 8,2 [ 4, 2 [ 0 ,2naodivide1e4 = 22naodivide(2).Exemplo2: OpolinomioXn p, ondepeumn umerointeiroprimo, eirredutvelemQ[X]poisp [ (p), pnaodivide1ep2naodivide(p).EsteexemplonosmostraqueemQ[X]hapolinomiosirredutveisdeto-dososgraus.AlgumasvezesocriteriodeEinsensteinnaoseaplicadiretamente, porexemplo,seq(X) = X4+X3+X2+X +1, naoexitenenhumprimopquesatisfa caashipotesesdoTeorema. Noentanto,considereopolinomioq(X+1) = (X+1)4+(X+1)3+(X+1)2+(X+1)+1 = X4+5X3+10X2+5X+5Trata-sedeumpolinomioirredutvel. Paraconcluirqueq(X)eirredutvelnosbaseamosnaseguinteobserva caocujademonstra caodeixamosacargodoleitor.Observacao: Sejamq(X) Z[X]ea Z. Tem-sequeq(X) eirredutvelemZ[X]se,esomentese,q(X +a) eirredutvelemZ[X].Exemplo3: Sep eumn umeroprimo,entaoopolinomioq(X) = Xp1+Xp2+ +X + 1eirredutvel.3.4. CRITERIOSDEDIVISIBILIDADEEMQ[X] 71Defato,temosqueq(X) =Xp1X1 ,logoq(X + 1) =(X+1)p1X= Xp1+_p1_Xp2+ +_pp 2_X +_pp 1_.Sendo p primo, e facil ver que p divide_pi_para todo i = 1, . . . , p1 (VejaCap 3 - Problema...). Logo o criterio de Einsenstein nos mostra que q(X+1)e irredutvel e pela observa cao acima podemos concluir que q(X) e irredutvel.AlemdocriteriodeEinsensteintemos umoutrocriteriodeirredutibi-lidadeparapolinomiosemZ[X]. Estecriteriofazusodasclassesresiduaismodulo um n umero primo p. Seja q(X) = a0+a1X++anXn. Considere opolinomio, q(X) = a0+ a1X+ + anXn Zp[X] onde ai e a classe residualmodulopdeai, i = 0, . . . , n. Estapassagemdeumpolinomioq(X) Z[X]aopolinomio q(X) Zp[X]gozadasseguintespropriedadesfaceisdeseremvericadas:a) Se q(X) = q1(X) +q2(X) entao q(X) = q1(X) + q2(X).b) Se q(X) = q1(X)q2(X) entao q(X) = q1(X) q2(X).TEOREMA 3.4.Sejam q(X) = a0+a1X++anXn Z[X] e um n umeroprimopquenaodividean. Se q(X)eirredutvel emZp[X], entaoq(X)eirredutvel emQ[X].Demonstracao: Podemos suporsemperdadegeneralidadequeq(X)eumpolinomioprimitivo. Suponha,porcontradi cao,queq(X)sejaredutvelemQ[X], logoexistemdois polinomiosq1(X) =b0+ b1X++ brXreq2(X) =c0+ c1X++ csXsemZ[X] tais queq(X) =q1(X)q2(X).Passandoestaigualdademodulopobtemos q(X) = q1(X) q2(X)ecomoan=brcsepnaodividean, seguequepnaodividebrepnaodividecs,conseq uentementebr ,=0e cs ,=0eportanto q(X)eredutvel emZp[X], oquecontradizahipotese.Exemplo4: Seja q(X)=X4+ X3+ 3X2+ 18X+ 2. Reduzindoq(X)modulo3temos q(X)=X4+ X3+ 2. Observeque q[X] naoseanulaemZ3[X]eportantonaopossuifatoreslinearesemZ3[X]. Vamosvericarque q(X)tambemnaopossuifatoresquadraticos.72 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUSuponha q(X)=(X2+ aX+ b)(X2+ cX+ d)coma, b, c, d Z3. Entaoteramos:___a +c = 1b +d +ac = 0ad +bc = 0bd = 2Daprimeiraedaquartaequa coesacima, obteramososseguintespossveisvaloresparaa, b, c, dqueorganizamosnatabelaabaixo:b d a c111011011122221022012222Nenhum desses valores acima e compatvel com as demais equa coes. Con-clumosassimque q(X)eirredutvel emZ3[X] econseq uentementeq(X)eirredutvelemQ[X].PROBLEMAS3.4.1. MostrequeosseguintespolinomiossaoirredutveisemQ[X]:a) X22X + 6 b) X42X3+ 6X2+ 8X 14c) Xn12, n N d) X3+ 9X2+ 3X + 92. Mostrequeparatodon Z, osseguintespolinomiossaoirredutveisemQ[X]:a) X4+ 4n + 1 b) X4+ 4nX + 13.5. ARESULTANTE 733. Sejamm, n Ncomm n. MostrequeopolinomioXn+ (1 +X)m+ (1 X)meirredutvelemQ[X].4. Sejap>2umn umeroprimo. MostrequeXp+ pX+ 1eirredutvelemQ[X].5. Mostrequesep eumn umeroprimo,entaoopolinomio1 +X +X22!+ +Xpp!eirredutvelemQ[X].6. Sejaq(X)=a0 + a1X++ anXnZ[X]. Suponhaqueexisteumprimoptalquep [ an, p [ an1, . . ., p [ a1,pnaodividea0p2naodividean.Mostrequeq(X)eirredutvel. Apliqueestecriterioparaopolinomio2X4+ 6X34X + 1.7. MostrequeX3+ 2X+ 1eirredutvel emZ3[X]. Concluaquetodopolinomio da forma X3+3X2X+3+1, onde , Z, e irredutvelemZ[X]eemQ[X].8. MostrequeX4+ X2+ 2eirredutvel emZ3[X]. ConcluaquetodopolinomiodaformaX4+ 3X3+X2+ 3X 1, com, Z, eirredutvelemZ[X].3.5 AResultanteNestase caodamos umcriterionumericoparadecidir quandodois po-linomiostem, ounao, fatoresnaoconstantesemcomum. Estecriteriocon-siste emtransformar aquestaoemumproblemadesistemas lineares ho-mogeneosereduzindoassim, em ultimaanalise, `aquest aodeanulamento,ounao,deumcertodeterminante.74 CAPITULO3. POLINOMIOSCOMCOEFICIENTESNUMDFUPROPOSIC AO3.1. SejamKumcorpoep(X), q(X) K[X]degrausnemrespectivamente. Saoequivalentes:1. p(X)eq(X)temumfatornaoconstanteemcomum.2. Existempolinomios(X)e(X)degrausnemrespectivamentetaisque(X)p(X) = (X)q(X).Demonstracao: Suponhaquep(X)eq(X)tenhamumfatornaocons-tante emcomumh(X). Entaoexistem(X) e (X) emK[X] tais quep(X)=h(X)(X)eq(X)=h(X)(X). Observeque, sendoh(X)naoconstante, entaogr((X))