Algebraic number theoryFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abels irreducibility theorem 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Abelian extension 22.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Abhyankars inequality 33.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Abhyankars lemma 44.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Abstract analytic number theory 55.1 Arithmetic semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.1 Additive number systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3 Methods and techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.3.1 Arithmetical formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 Additive polynomial 86.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Adele ring 107.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 Idele group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Adelic algebraic group 138.1 Ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.2 Tamagawa numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.3 History of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Adjunction (eld theory) 159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10 AlbertBrauerHasseNoether theorem 1710.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Algebraic closure 1911.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.2 Existence of an algebraic closure and splitting elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.3 Separable closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12 Algebraic extension 2112.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13 Algebraic function eld 2313.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2 Category structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CONTENTS iii

13.4 Number elds and nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.5 Field of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.6 Valuations and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14 Algebraic number eld 2514.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.1.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.3 Algebraicity and ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.3.1 Unique factorization and class number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.3.2 -functions, L-functions and class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.4 Bases for number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.1 Integral basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.2 Power basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.5 Regular representation, trace and determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.6 Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.1 Archimedean places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.2 Nonarchimedean or ultrametric places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.3 Prime ideals in OF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.7 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.7.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.7.2 Dedekind discriminant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14.8 Galois groups and Galois cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.9 Local-global principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.9.1 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.2 Hasse principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.3 Adeles and ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15 Algebraic number theory 3615.1 History of algebraic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15.1.1 Diophantus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.2 Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.4 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv CONTENTS

15.1.6 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.7 Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.1.8 Modern theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15.2 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.1 Unique factorization and the ideal class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.2 Factoring prime ideals in extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.3 Primes and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.5 Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.3 Major results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.1 Finiteness of the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.2 Dirichlets unit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.3 Reciprocity laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.4 Class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15.4 Related areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.7.1 Introductory texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.2 Intermediate texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.3 Graduate level accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

16 Algebraically closed eld 4416.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2 Equivalent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16.2.1 The only irreducible polynomials are those of degree one . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.2 Every polynomial is a product of rst degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.3 Polynomials of prime degree have roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.4 The eld has no proper algebraic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.5 The eld has no proper nite extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.6 Every endomorphism of Fn has some eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.7 Decomposition of rational expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.8 Relatively prime polynomials and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17 All one polynomial 4717.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

CONTENTS v

17.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18 AnkenyArtinChowla congruence 4918.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

19 Archimedean property 5019.1 History and origin of the name of the Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.2 Denition for linearly ordered groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19.2.1 Ordered elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119.3 Denition for normed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

19.4.1 Archimedean property of the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4.2 Non-Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5219.4.3 Non-Archimedean valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.4.4 Equivalent denitions of Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

20 Arithmetic and geometric Frobenius 5520.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

21 Arithmetic dynamics 5621.1 Denitions and notation from discrete dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.2 Number theoretic properties of preperiodic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5621.3 Integer points in orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.4 Dynamically dened points lying on subvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.5 p-adic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.7 Other areas in which number theory and dynamics interact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.9 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

22 Artin L-function 6022.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.3 The Artin conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6122.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

23 Artin reciprocity law 63

vi CONTENTS

23.1 Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6323.2 Finite extensions of global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

23.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6423.2.2 Relation to quadratic reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

23.3 Cohomological interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6423.4 Alternative statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6523.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6523.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

24 Artin transfer (group theory) 6724.1 Transversals of a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6724.2 Permutation representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6724.3 Artin transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

24.3.1 Independence of the transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6824.3.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6824.3.3 Wreath product of H and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.5 Wreath product of S(m) and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6924.3.6 Cycle decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3.7 Normal subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

24.4 Computational implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.4.1 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.4.2 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

24.5 Transfer kernels and targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7124.6 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7224.7 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

24.7.1 First layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.2 Second layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.3 Transfer kernel type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7324.7.4 Connections between layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

24.8 Inheritance from quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424.8.1 Passing through the abelianization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424.8.2 TTT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7524.8.3 TKT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.8.4 TTT and TKT multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.8.5 Inherited automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

24.9 Stabilization criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.10Structured descendant trees (SDTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8124.11Pattern recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

24.11.1 Historical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.12Commutator calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8324.13Systematic library of SDTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CONTENTS vii

24.13.1 Coclass 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.13.2 Coclass 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8724.13.3 Coclass 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

24.14Arithmetical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9124.14.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9124.14.2 Comparison of various primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

24.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

25 Artins conjecture on primitive roots 9725.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9725.3 Proof attempts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9825.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9825.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

26 Bauerian extension 9926.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

27 Biquadratic eld 10027.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

28 Brauer group 10128.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.3 Brauer group and class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.5 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10428.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

29 BrauerSiegel theorem 10529.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

30 BrauerWall group 10630.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

31 BrumerStark conjecture 108

viii CONTENTS

31.1 Statement of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.2 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.3 Function eld analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

32 Carlitz exponential 11032.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.2 Relation to the Carlitz module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

33 Characteristic (algebra) 11233.1 Other equivalent characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233.2 Case of rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.3 Case of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

34 Chebotarevs density theorem 11534.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11534.2 Relation with Dirichlets theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.3 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.4 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

34.4.1 Eective Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.4.2 Innite extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34.5 Important consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

35 Chebotaryov theorem on roots of unity 11935.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11935.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

36 Class eld theory 12136.1 Formulation in contemporary language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12236.2 Prime ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12336.3 Generalizations of class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12336.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12336.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

37 Class formation 12537.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12537.2 Examples of class formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12537.3 The rst inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

CONTENTS ix

37.4 The second inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12637.5 The Brauer group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12737.6 Tates theorem and the Artin map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12837.7 The Takagi existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12837.8 Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12937.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12937.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

38 Class number formula 13138.1 General statement of the class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13138.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13138.3 Dirichlet class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.4 Galois extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.5 Abelian extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

39 Class number problem 13439.1 Gausss original conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13439.2 Status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13439.3 Lists of discriminants of class number 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13539.4 Modern developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13539.5 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13539.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13639.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13639.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13639.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

40 CM-eld 13740.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

41 Compatible system of -adic representations 13941.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13941.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13941.3 Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13941.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13941.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

42 Complete eld 14042.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

x CONTENTS

43 Complex multiplication 14143.1 Example of the imaginary quadratic eld extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14143.2 Abstract theory of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.3 Kronecker and abelian extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.4 Sample consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14343.5 Singular moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14443.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14443.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14543.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14543.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

44 Composite eld (mathematics) 14644.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

45 Conductor (class eld theory) 14745.1 Local conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

45.1.1 More general elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14745.1.2 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

45.2 Global conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14845.2.1 Algebraic number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

45.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14845.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

46 Conductor of an abelian variety 15046.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15046.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15046.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

47 Conductor-discriminant formula 15247.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15247.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15247.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15247.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

48 Conjugate element (eld theory) 15448.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15448.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15448.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15548.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

49 Cubic eld 15649.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15649.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15649.3 Galois closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

CONTENTS xi

49.4 Associated quadratic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15749.5 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15749.6 Unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15849.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15849.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

50 Cubic reciprocity 16150.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16150.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

50.2.1 Primes 1 (mod 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16250.2.2 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16250.2.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16350.2.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16350.2.5 Other theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

50.3 Eisenstein integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16450.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16450.3.2 Facts and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16550.3.3 Cubic residue character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16650.3.4 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

50.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16750.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16750.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

50.6.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16950.6.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16950.6.3 Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16950.6.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17050.6.5 Modern authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

50.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

51 Cyclotomic character 17151.1 p-adic cyclotomic character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17151.2 As a compatible system of -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17151.3 Geometric realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17251.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17251.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17251.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

52 Cyclotomic eld 17352.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17352.2 Relation with regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17352.3 Relation with Fermats Last Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

52.3.1 List of Class Numbers to Cyclotomic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

xii CONTENTS

52.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17452.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17452.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

53 Cyclotomic unit 17653.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17653.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

54 Dedekind domain 17854.1 The prehistory of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17854.2 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17954.3 Some examples of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17954.4 Fractional ideals and the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18054.5 Finitely generated modules over a Dedekind domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18154.6 Locally Dedekind rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18254.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18254.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18254.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18254.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

55 Dedekind zeta function 18355.1 Denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

55.1.1 Euler product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18355.1.2 Analytic continuation and functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

55.2 Special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18455.3 Relations to other L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18455.4 Arithmetically equivalent elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18555.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18555.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

56 Degree of a eld extension 18656.1 Denition and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18656.2 The multiplicativity formula for degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

56.2.1 Proof of the multiplicativity formula in the nite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18756.2.2 Proof of the formula in the innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

56.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18856.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18856.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

57 Dierent ideal 18957.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18957.2 Relative dierent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18957.3 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

CONTENTS xiii

57.4 Local computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19057.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19057.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

58 Dierential Galois theory 19258.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19258.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19258.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19258.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

59 Dirichlets unit theorem 19459.1 The regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

59.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19559.2 Higher regulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.3 Stark regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.4 p-adic regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19659.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

60 Discrete valuation 19860.1 Discrete valuation rings and valuations on elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19860.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19860.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

61 Discriminant 20061.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20061.2 Formulas for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20161.3 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20261.4 Quadratic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20461.5 Discriminant of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20461.6 Nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

61.6.1 Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20661.6.2 Cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20661.6.3 Higher degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

61.7 Discriminant of a polynomial over a commutative ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20661.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

61.8.1 Discriminant of a conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20761.8.2 Discriminant of a quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20761.8.3 Discriminant of an algebraic number eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

61.9 Alternating polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20861.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20861.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xiv CONTENTS

62 Discriminant of an algebraic number eld 21062.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21162.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21162.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21262.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21262.5 Relative discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

62.5.1 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21462.6 Root discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21462.7 Relation to other quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21462.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21462.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

62.9.1 Primary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21562.9.2 Secondary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

62.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

63 Drinfeld module 21763.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

63.1.1 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21763.1.2 Denition of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21763.1.3 Examples of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

63.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21863.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21863.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

63.4.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21963.4.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

64 Dual basis in a eld extension 220

65 Eisenstein reciprocity 22165.1 Background and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

65.1.1 Primary numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22165.1.2 m-th power residue symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

65.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.2.1 First supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.2.2 Second supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.2.3 Eisenstein reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

65.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

65.5.1 First case of Fermats last theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22365.5.2 Powers mod most primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

65.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

CONTENTS xv

65.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22365.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

66 Eisenstein sum 22566.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22566.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

67 Eisensteins criterion 22667.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

67.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22767.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22767.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22867.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

67.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23067.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23067.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

68 Elementary number 23168.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

69 Elliptic Gauss sum 23269.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23269.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

70 Elliptic unit 23470.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23470.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

71 Embedding problem 23571.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

72 Equally spaced polynomial 23772.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

73 Equivariant L-function 23873.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

74 Euclidean eld 23974.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23974.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23974.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

xvi CONTENTS

74.4 Euclidean closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23974.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24074.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

75 Euler system 24175.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24175.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

75.2.1 Cyclotomic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24175.2.2 Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.2.3 Elliptic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.2.4 Heegner points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.2.5 Katos Euler system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

75.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24275.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

76 Explicit reciprocity law 24476.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24476.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

76.2.1 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24476.2.2 Unramied case: the tame Hilbert symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24476.2.3 Ramied case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

76.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24576.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24576.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24576.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

77 Exponential eld 24777.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24777.2 Trivial exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24777.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24877.4 Exponential rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24877.5 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24877.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24877.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

78 Exponentially closed eld 25078.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25078.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25078.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25078.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

79 Extension and contraction of ideals 252

CONTENTS xvii

79.1 Extension of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25279.2 Contraction of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25279.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25279.4 Extension of prime ideals in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25379.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25379.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

80 FerreroWashington theorem 25480.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.2 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25480.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

81 Field (mathematics) 25681.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

81.1.1 First example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25781.1.2 Second example: a eld with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25881.1.3 Alternative axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

81.2 Related algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25881.2.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

81.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25981.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

81.4.1 Rationals and algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25981.4.2 Reals, complex numbers, and p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25981.4.3 Constructible numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26081.4.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26081.4.5 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26181.4.6 Field of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26181.4.7 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

81.5 Some rst theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26181.6 Constructing elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

81.6.1 Closure operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26281.6.2 Subelds and eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26281.6.3 Rings vs elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26381.6.4 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

81.7 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26381.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

81.8.1 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26481.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26481.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26481.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26581.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26581.13Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

xviii CONTENTS

81.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

82 Field extension 26782.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26782.2 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26782.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26882.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26882.5 Algebraic and transcendental elements and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26882.6 Normal, separable and Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26982.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27082.8 Extension of scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27082.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27082.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27082.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27082.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

83 Field norm 27183.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27183.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27183.3 Properties of the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27283.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27283.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27383.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27383.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27383.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

84 Field of fractions 27484.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27484.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27484.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27584.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27584.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

85 Field trace 27685.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27685.3 Properties of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27785.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

85.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27785.5 Trace form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27885.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27885.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27885.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

CONTENTS xix

85.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

86 Finite extensions of local elds 28086.1 Unramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28086.2 Totally ramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28086.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28086.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

87 Formal group 28287.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28287.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28387.3 Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28387.4 The logarithm of a commutative formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28487.5 The formal group ring of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28487.6 Formal group laws as functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28587.7 The height of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28587.8 Lazard ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28587.9 Formal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28687.10LubinTate formal group laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28787.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28787.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

88 Formally real eld 28988.1 Alternative Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28988.2 Real Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28988.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28988.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

89 Fractional ideal 29189.1 Denition and basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29189.2 Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29189.3 Divisorial ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29189.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29289.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29289.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

90 Frobenius endomorphism 29390.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29390.2 Fixed points of the Frobenius endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29490.3 As a generator of Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29490.4 Frobenius for schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

90.4.1 The absolute Frobenius morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29590.4.2 Restriction and extension of scalars by Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

xx CONTENTS

90.4.3 Relative Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29790.4.4 Arithmetic Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29790.4.5 Geometric Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29890.4.6 Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

90.5 Frobenius for local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29990.6 Frobenius for global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30090.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30090.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30190.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

91 Function eld sieve 30291.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

92 Fundamental discriminant 30392.1 Connection with quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30392.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30492.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30492.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

93 Fundamental theorem of algebra 30593.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30593.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

93.2.1 Complex-analytic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30693.2.2 Topological proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30893.2.3 Algebraic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30893.2.4 Geometric proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

93.3 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31093.4 Bounds on the zeros of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31193.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31193.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

93.6.1 Historic sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31293.6.2 Recent literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

93.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

94 Fundamental theorem of Galois theory 31594.1 Explicit description of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31594.2 Properties of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31594.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31694.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31794.5 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31894.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31894.7 Innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31894.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

CONTENTS xxi

95 Fundamental unit (number theory) 31995.1 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31995.2 Cubic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32095.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32095.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32095.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

96 Galois cohomology 32196.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32196.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

97 Galois extension 32397.1 Characterization of Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32397.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32397.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32497.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

98 Galois module 32598.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

98.1.1 Ramication theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32598.2 Galois module structure of algebraic integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32598.3 Galois representations in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

98.3.1 Artin representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.3.2 -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.3.3 Mod representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32698.3.4 Local conditions on representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

98.4 Representations of the Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32798.4.1 WeilDeligne representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

98.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32898.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32898.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32898.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

99 Generic polynomial 32999.1 Groups with generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32999.2 Examples of generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33099.3 Generic Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33099.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

100Genus character 331100.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

101Genus eld 332101.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

xxii CONTENTS

101.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

102Global eld 333102.1Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333102.2Analogies between the two classes of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333102.3Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

102.3.1 Hasse-Minkowski theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334102.3.2 Artin reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

102.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334102.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

103Glossary of eld theory 336103.1Denition of a eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336103.2Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336103.3Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337103.4Types of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337103.5Field extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338103.6Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339103.7Extensions of Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340103.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

104GolodShafarevich theorem 342104.1The inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342104.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342104.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

105Gras conjecture 344105.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

106GrossKoblitz formula 345106.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345106.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

107Grothendiecks Galois theory 346107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

108Ground eld 348108.1Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348108.2In linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

108.2.1 In algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348108.2.2 In Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348108.2.3 In Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348108.2.4 In Diophantine geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

108.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

CONTENTS xxiii

109Group cohomology 350109.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350109.2Formal constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

109.2.1 Long exact sequence of cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351109.2.2 Cochain complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351109.2.3 The functors Extn and formal denition of group cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . 352109.2.4 Group homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

109.3Functorial maps in terms of cochains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354109.3.1 Connecting homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

109.4Non-abelian group cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354109.5Connections with topological cohomology theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354109.6Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

109.6.1 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355109.6.2 H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355109.6.3 H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355109.6.4 Change of group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355109.6.5 Cohomology of nite groups is torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

109.7History and relation to other elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356109.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356109.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

110GrunwaldWang theorem 358110.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358110.2Wangs counter-example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

110.2.1 An element that is an nth power almost everywhere locally but not everywhere locally . . . . 358110.2.2 An element that is an nth power everywhere locally but not globally . . . . . . . . . . . . . 359

110.3A consequence of Wangs counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359110.4Special elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359110.5Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359110.6Explanation of Wangs counter-example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360110.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360110.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360110.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

111Hardy eld 361111.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361111.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361111.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361111.4In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362111.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

112Hasse invariant of an algebra 363

xxiv CONTENTS

112.1Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363112.2Global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363112.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364112.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

113Hasse norm theorem 365113.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365113.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .