alpha dan hasil pemetaannya - uksw
TRANSCRIPT
Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/292615759
Pemetaan(1/z)^\alphadanhasilpemetaannya
ConferencePaper·December2009
CITATION
1
READS
46
1author:
HannaAriniParhusip
UniversitasKristenSatyaWacana
61PUBLICATIONS21CITATIONS
SEEPROFILE
AllcontentfollowingthispagewasuploadedbyHannaAriniParhusipon02February2016.
Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.
ISBN : 978-979-16353-3-2
“PPeenneelliittiiaann ddaann PPeennddiiddiikkaann MMaatteemmaattiikkaa sseerrttaa kkoonnttrriibbuussiinnyyaa
ddaallaamm UUppaayyaa PPeennccaappaaiiaann WWCCUU ((WWoorrlldd CCllaassss UUnniivveerrssiittyy)) ””
Yogyakarta, 5 Desember 2009
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta 2009
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Kerjasama dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) wilayah Jateng dan DIY
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
pada tanggal 5 Desember 2009 di Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Tim Penyunting Artikel Seminar :
1. Prof. Dr. Rusgianto 2. Dr. Hartono 3. Dr. Jailani 4. Sahid, M.Sc
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta 2009
1
DAFTAR MAKALAH
kode Nama pemakalah Judul Hal A.1 Imam Fahcruddin
Spectrum Pada Graf Star ( ) Dan Graf Bipartisi Komplit ( )
Dengan
1
A.2 M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung 12 A.3 Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto
KOMPLEMEN GRAF FUZZY
22
An.1 Muslim Ansori
RUANG LINEAR BERNORMA ( )( )2, [ , ]ESSC H L a b 31
An.2 Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si
Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue 38
An.3 Rudianto Artiono Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan Setelah Vesting Period
49
An.4 Sujito, S.T., M.T
Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming
57
An.5 Hairur Rahman Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang Euclide Rn
72
P.1 Drs. M. Nur Yadil, M.Si
Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep Bangun- Bangun Segiempat
81
P.2 Drs. Syaiful, M.Pd
Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Pada Guru SMP
92
P.3 Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang Hudiono
Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat
107
P.4
Budiyono
Kompetensi Guru Sekolah Dasar Dalam Memahami Matematika SD
119
P.5 Budiyono /Wanti Guspriati
Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo
131
P.6 Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S. Pd
PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009
141
P.7 Dra. Sulis Janu Hartati, M.T
Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat Melakukan Aktivitas Membagi
153
P.8
Drs. Hamdani, M.Pd.
Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama
163
P.9
Dra. Tina Yunarti, M.Si
Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan Dalam Pembelajaran
174
P.10 Supratman
Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran
185
P.11 Akhmad Jazuli Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika 209 P.12 Agustin Ernawati, S.Pd./
Sitti Maesuri Patahuddin Pemanfaatan Internet dalam Mempersiapkan Guru mengajar di Kelas RSBI 221
2
P.13 Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri Patahuddin
Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika
234
P.14 Darmadi, S.Si, M.Pd.
Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun Tahun Akademik 2008/2009
247
P.15 Endang Rahayu, S.Si, M.Pd. Pembelajaran Konstruktivisme Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa
252
P.16 Armiati Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional
270
P.17 Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/ Mohamad Nur
Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI
281
P.18 Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora MS
Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep
295
P.19 Drs.Dwikoranto,M.Pd
MENINGKATKAN KOMPETENSI GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY
310
P.20 Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin / Mohamad Nur LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis 325
P.21 Agustin Debora MS, Drs. Mustangin, MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D
Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian
336
P.22 Kartini, S.Pd. M.Si
Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika
361
P.23 Ariyadi Wijaya, M.Sc
Hypothetical Learning Trajectory dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang
373
P.24 Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah, S.Pd
PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO
388
P.25 Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si
KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA
402
P.26 Sugiman, M.Si
PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA DAMPAK PEMBELAJARANNYA
414
P.28 Kadir, S.Pd., M.Si. Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir
428
P.30 Risnanosanti
PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU
441
P.31 Abdul Qohar
PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING
453
P.32 Ali Mahmudi, M.Pd
Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika 466
P.33 Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd.
Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah
473
P.34 Dra. Nila Kesumawati, M. Si
Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik
484
P.35 Eri Satria
Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL)
494
S.1 Pika Silvianti, Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya
Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi (Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model)
503
S.2 I Gede Nyoman Mindra Jaya Analisis Interaksi Genotipe � Lingkungan Menggunakan Partial Least Square
Path Modeling 514
S.3 H. Bernik Maskun *)
Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik)
530
S.4 Zulhanif , Yadi Suprijadi Perbandingan Mekanisme Data Hilang Pada Model Normal
544
3
S.5 Mohammad Masjkur
Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor
551
S.6 Enny Supartini
Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan
560
S.7 Neneng Sunengsih
Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel 567
S.8 Liana Kusuma Ningrum / Winita Sulandari, M.Si
Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI)
581
S.9 Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari, M.Si
Pemodelan Tarch Pada Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah
591
S.10 Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra. Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc.
Aplikasi Multidimensional Scalling (Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta)
599
S.11 Anindya Apriliyanti Pravitasari
Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni)
623
S.12 Wahyu Wibowo
METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE
633
S.13 Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/ Resa Septiani Pontoh
SELEKSI VARIABEL KUALITATIF MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU)
646
S.14 Lisnur Wachidah
Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi
653
S.15 Danang Teguh Qoyyimi Model Suku Bunga Multinomial
666
S.16 Hery Tri Sutanto
MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK
676
S.17 Hery Tri Sutanto
Cluster Analysis 681
S.18 Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat)
690
S.19 Siti Sunendiari
Model Regresi Linier Dalam Melihat Keberhasilan Belajar Siswa SMU
731
S.20 Anik Djuraidah
Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia
746
S.21 Anik Djuraidah
Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan 756
S.22 Isnani, M.Si
Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging
772
S.23 Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA
786
S.24 Indahwati / Dian Kusumaningrum / Wiwid Widiyani
APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA
796
S.25 Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri Sastuti
PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG
816
S.26 Yusep Suparman
Perlukah Cross Validation dilakukan? Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model
833
S.27 Ridha Ferdhiana, M.Sc
Uji Alternatif Data Terurut Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya
840
4
S.28 Bertho Tantular
Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel Pada Galat Level yang Lebih Tinggi
849
S.30 Dien Sukardinah SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL
862
S.31 Lienda Noviyanti SUATU MODEL HARGA OBLIGASI 871 S.32 Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa
DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function)
879
S.33 Iqbal Kharisudin Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik 895 S.35 Heri Retnawati Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran
terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0)
910
S.36 Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR
933
T.1 Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum 950 T.2 Gumgum Darmawan, Okira Mapanta ,
Trifandi Lasalewo Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal
960
T.3 Totok Yulianto
Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas 979
T.4 John Maspupu
ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET
993
T.5 John Maspupu
PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET
1000
T.6 Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si.
RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING
1010
T.7 Bachtiar Anwar
Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s Magnetosphere
1021
T.8 Sangadji
FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK
1033
T.9 Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold 1040
T.10 Renny, M.Si
MODEL MATEMATIKA DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN
1051
T.11 Rubono Setiawan
Analisa Kestabilan Ekuilibrium Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit
1064
T.12 I Made Sulandra
Algoritma Groebner Walk Lambat? 1078
T.13 Dwi Ertiningsih, Widodo
Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy
1093
T.14 M. Navi’ Jauhari Ulinnuha
Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal 1109
T.15 Habirun
ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET BERDASARKAN POSISI MATAHARI
1116
T.16 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Sulistyono
PEMETAAN α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
DAN HASIL PEMETAANNYA
1127
T.17 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Siska Ayunani
METODE FINALTI UNTUK MENENTUKAN BERAT SAPI OPTIMAL
1139
T.18 Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
Metode Levenberg-Marquardt Untuk Masalah Kuadrat Terkecil Nonlinear
1152
5
T.19 Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si
Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound 1162
T.20 Fitriana Yuli Saptaningtyas
Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai
1174
T.21 Nikenasih Binatari
Model SIR untuk Ketahanan Behavioural
1187
T.22 Kuswari Hernawati
Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan unsur Visibility dalam Webometric
1198
T.23 Isnaini Rosyida
PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF) MELALUI BILANGAN KROMATIK PADA CUT Gα(V,Eα)
1210
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1127
T-16
PEMETAAN α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
DAN HASIL PEMETAANNYA
Oleh : H. A. Parhusip1 dan Sulistyono2
Program Studi Matematika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matematika (FSM)
Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW) (www.uksw.edu) [email protected]
2mahasiswa S1, matematika –FSM‐UKSW Abstrak : Pemetaan α)/1( zw = , dengan α −∈ Z (himpunan bulat negatif) dan α )1,0(∈ serta hasil pemetaannya ditunjukkan pada makalah ini. Dapat ditunjukkan pemetaan ini konformal. Hasil pemetaan diperoleh dengan melakukan transformasi geometri. Kata kunci : pemetaan konformal, fungsi analitik, persegi 1. Pendahuluan
Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mempertahankan besaran dan
arah sudut diantara sebarang dua kurva yang berpotongan di suatu titik tertentu. Pada
makalah terdahulu (Parhusip dan Sulisyono, 2009) ditunjukkan hasil pemetaan
α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
untuk 1=α dan 2=α . Hasil pemetaan ditunjukkan dengan terlebih dahulu
ditunjukkan untuk pemetaan garis vertikal dan garis horizontal secara terpisah.
Selanjutnya dilakukan pemetaan untuk 1 bidang persegi. Untuk persegi lebih dari 1
dilakukan dengan menggunakan transformasi geometri seperti pencerminan. Pada
makalah ini akan ditunjukkan pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
untuk berbagai nilai α .
Pada Bab II ditunjukkan pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya
yang merupakan hasil penelitian sebelum ini (Parhusip dan Sulisyono, 2009) . Pada Bab
III dijelaskan cara melakukan penelitian ini. Hasil dan Pembahasan ditunjukkan pada
Bab IV. Selanjutnya kesimpulan ditunjukkan pada Bab terakhir.
2. Pemetaan konformal w=1/z dan hasil pemetaannya
Pemetaan garis vertikal dan garis horizontal
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1128
Telah diketahui bahwa pemetaan garis vertikal dan haris horisontal oleh w=1/z
merupakan persamaan lingkaran (Parhusip dan Sulisyono, 2009). Beberapa hasil
pemetaan untuk garis vertikal dan horizontal ditunjukkan pada Gambar 1‐3.
Sedangkan untuk y = a dan garis x = b (a,b 0≠ ) dengan fungsi pemetaan w = 1/z
untuk berbagai nilai a dan b yang berbeda, yaitu a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b
> 0 dan a,b < 0 berturut‐turut ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 1. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran , c,d > 0
Gambar 2. Persamaan garis x=c, x=d dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran ,c,d < 0.
Gambar 3. Persamaan garis x=c dan x=d dan bayangannya untuk c>0 dan d<0
Gambar 4. Persamaan garis y=a, x=b dipetakkan dengan w=1/z menjadi lingkaran dengan a,b > 0, a > 0 dan b <0, a < 0 dan b > 0 dan a,b < 0.
Bayangan persegí untuk 1 persegi
Gambar 4a menunjukkan bahwa a,b > 0 dan bayangan digambarkan dalam
lingkaran penuh. Bayangan pada Gambar 4a ini dapat dibatasi (tidak sebagai lingkaran
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1129
penuh) jika kita juga membatasi persegí yang terbentuk pada Gambar 4a, yaitu
Gambar 4a diubah sedemikian sehingga terbentuk Gambar 5.
Gambar 5. Persegi ABCO dan bayangannya dengan pemetaan w=1/z.
Bayangan pada Gambar 5b diperoleh pertama kali mencari batas dari bayangannya
yaitu titik 'A , 'B dan 'C dan kemudian menghubungkan titik‐titik tersebut. Untuk titik
asal tetap dipetakkan ke titik asal, karena titik asal O(0,0) adalah titik singular atau
kesingularan dari w=1/z. Untuk titik A(0,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi
w=1/z ke titik )1,0('a
A − pada bidang w. Hal ini karena titik A(0,a) pada bidang z dapat
ditulis sebagai z = 0+ia, sehingga aiaz
w 10
11−=
+== dan karena w = u + iv maka
diperoleh titik )1,0('a
A − .
Untuk titik B(b,a) pada bidang z akan dipetakkan oleh fungsi pemetaan w=1/z
ke titik ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+ 2222 ,'ba
aba
bB pada bidang w. Titik 'B diperoleh dengan menuliskan titik
B sebagai z = b + ia , sehingga diperoleh 22 baiabw
+−
= sehingga diperoleh koordinat 'B
tersebut. Untuk selanjutnya titik C(b,0) pada bidang z dipetakkan ke titik ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0,1'
bC
pada bidang w oleh fungsi pemetaan w=1/z Kemudian titik‐titik tersebut dihubungkan
untuk memperoleh Gambar 5b. Untuk selanjutnya kita dapat menyusun hasil
pemetaan untuk tiap persegi pada kuadran yang lain dengan cara melakukan
pencerminan.
Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu u
adalah
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1130
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=10
01RX (3)
sehingga jika koordinat suatu titik A dinyatakan dalam notasi vektor posisi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
A
A
yx
dengan koordinat bayangannya adalah 'A sebagai vektor posisi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡''
A
A
yx
maka dapat
ditulis
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
A
AR
A
A
yx
Xyx
'
' .
Kita dapat melakukan transformasi pencerminan untuk titik B dan C untuk
mendapatkan koordinat pencerminannya berturut‐turut 'B dan 'C . Kita dapat
melakukan pencerminan dengan cara serupa sehingga dapat diperoleh berbagai hasil
pemetaan yang ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 diperoleh dengan melakukan
pencerminan Gambar 5a dan Gambar 5b terhadap Sumbu y dan sumbu v secara
berturut‐turut menggunakan matriks transformasi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=10
01RX dan
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1001
RX .
Gambar 6. Pemetaan 1 persegi dan hasil pemetaannya melalui pencerminan.
2.3 Bayangan persegí untuk n x n persegi
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1131
Dengan menggabungkan hasil gambar‐gambar yang diperoleh pada subbab
sebelum ini beserta bayangannya, diperoleh beberapa hasil pemetaan sebagaimana
ditunjukkan pada Gambar 7. Untuk persegi dengan jumlah yang lebih banyak,
bayangannya dapat diperoleh dengan langkah‐langkah yang sama.
Gambar 7a. Ilustrasi perseguí 4 x 4 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Gambar 7b. Ilustrasi perseguí 14 x 14 yang dipetakkan (kiri) dan hasil pemetaannya (kanan) oleh w=1/z.
Modifikasi pemetaan w=1/z dan hasil pemetaannya
Modifikasi yang ditunjukkan pada makalah ini adalah menyusun pemetaan
α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dan N∈α (himpunan bilangan asli). Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan ini
merupakan pemetaan konformal dengan menyatakan w dalam koordinat polar dan
memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Untuk persegi yang dibentuk dari persegi 14
x14 yang dipetakkan oleh 21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw ditunjukkan pada Gambar 10.
Gambar 10. Pemetaan persegi 14 x 14 (kiri) oleh 2
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw dan hasil pemetaannya
(kanan).
3. METODE PENELITIAN Dalam tahap ini dibagi dalam beberapa kasus, yaitu:
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1132
3.1 Menunjukkan bahwa pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan −∈ Zα (himpunan bulat negatif)
adalah pemetaan konformal
3.2 Mengilustrasikan hasil pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
, βα −= dan 2=β untuk bidang
persegi yang dipetakkan.
3.3 Menunjukkan bahwa pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan )1,0(∈α adalah pemetaan
konformal.
3.4 Mengilustrasikan hasil pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
, 5.0=α untuk bidang persegi yang
dipetakkan. 4. HASIL & PEMBAHASAN
4.1 Pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan −∈ Zα (himpunan bulat negatif)
Untuk −∈ Zα maka dapat dituliskan sebagai βα −= dengan N∈β (himpunan bilangan asli) sehingga
α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
= ββ
zz
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−1. Sebutlah 1wzw == β dengan ivuw +=1 .
(4.1)
Teorema 4.1. Pemetaan ββ
zz
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−1dengan N∈β merupakan pemetaan konformal.
Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa 1wzw == β merupakan pemetaan analitik yang dapat ditunjukkan 2 cara yaitu dengan Koefisien Binomial (cara I) dan koordinat kutub (cara II). Pada bagian ini ditunjukkan kedua cara. Cara 1. Karena z = x + iy maka βzw =1 = β)( iyx + . Dengan menggunakan koefisien Binomial diperoleh
βzw =1 = β)( iyx + = jj
jj iyxC )(
0
−
=∑ β
ββ
= ...555
444
333
222
110 +++−−+ −−−−− yxiCyxCyxiCyxCyxiCxC ββββββββββββ . (4.a)
Dengan menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari persamaan (4.a) berturut‐turut diperoleh
jjj
k
j
j yxCyxCyxCyxCxu 222
0
666
444
222 )1(... −
=
−−− ∑ −=+−+−= βββββββββ ,
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1133
12)12(12
0
555
555
333
1 )1(... ++−+
=
−−−− ∑ −=+++−= jjj
k
j
j yxCyxCyxCyxCyxu ββββββββββ
Sehingga
jjj
k
j
j yxCjxu 212
20
)2()1( −−
=
−−=∂∂ ∑ βββ (5.a)
1222
02)1( −−
=∑ −=
∂∂ jj
j
k
j
j yxjCyu ββ (5.b)
12)1(212
0)12()1( ++−
+=
−−−=∂∂ ∑ jj
j
k
j
j yxCjxv βββ , (5.c)
jjj
k
j
j yxCjyv 2)1(2
120
)12()1( +−+
=
+−=∂∂ ∑ ββ (5.d)
dengan ⎥⎦⎥
⎢⎣⎢=
2βk . Dari persamaan (5.a)‐(5.b) belum terlihat bahwa
persamaan tersebut memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
xv
yu
yv
xu dan . Oleh karena itu masing‐masing turuna parsial
pada persamaan (5.a)‐(5.d) dijabarkan diperoleh
( ) ( ) ...,42 454
232
10 +−+−−=
∂∂ −−− yxCyxCxC
xu ββββββ βββ (6.a)
...,6420 566
344
22 +++−=
∂∂ −−− yxCyxCyxC
yu ββββββ (6.b)
...,)5()3()1( 565
343
21 +−+−−−=
∂∂ −−− yxCyxCyxCxv ββββββ βββ (6.c)
...,53 455
233
11 ++−=
∂∂ −−− yxCyxCxCyv ββββββ (6.d)
Dengan menggunakan identitas 0!=1, maka 10 == aa
a CC , aC a =1 dan aba
ab CC −= .
Selain itu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=)!(!
)!))(1()...(2)(1()!(!
!bab
babaaaabbab
abbC ab
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−−−=
)!1(!))1()...(3)(2)(1(
bbbaaaaab
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−−−−−=
)!1())1()...(3)(2)(1())1((
bbaaaaaba
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1134
Maka didapatkan ( ) ( ) ( ) ββββββ βββ 342312 34,23,12 CCCCCC −=−=−= dan
seterusnya sehingga persamaan (6.a)‐(6.d) diperoleh ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
xv
yu
yv
xu dan .
Yang berarti 1w memenuhi persamaan Cauchy‐Riemann. Cara 2. Dalam koordinat polar 1w dapat ditulis sebagai
)sin(cos1 βθβθββ irzw +== . Denan menuliskan bagian riil dan bagian khayal 1w
diperoleh βθθ β cos),( rru = dan βθθ β sin),( rrv = . Sehingga
θβθββθβ ββ
∂∂
===∂∂ − v
rr
rr
ru 1cos1cos1
dan rurrrr
rv
∂∂
−=−==∂∂ − βθββθβ ββ sinsin1 . Jadi memenuhi persamaan Cauchy‐
Riemann. Karena 1w merupakan polinom berderajat β atau dapat juga disebut sebagai fungsi
pangkat, maka turunan 1w yaitu 1'1
−= ββzw ada untuk setiap Cz ∈≠ 0 . Jadi 1w merupakan pemetaan konformal. Untuk 1=β maka diperoleh 1w = z . Hasil pemetaan adalah gambar yang sama karena fungsi pemetaan ini tidak mengubah bentuk gambar tetapi hanya menggantu sumbu‐sumbu koordinat, yaitu sumbu x menjadi sumbu u dan sumbu y menjadi sumbu v berturut‐turut untuk bidang z dan bidang w. Pada bagian selanjutnya ditunjukkan untuk 2=β .
4.2 Hasil pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
, βα −= dan 2=β
Untuk nilai 2=β diperoleh 21 zw = dan ini merupakan fungsi parabolik atau
fungsi kuadrat. Berdasarkan persamaan (4.1) maka 221 2 yixyxw −+= . Dengan
menuliskan bagian riil dan bagian khayal dari 1w berturut‐turut diperoleh 22 yxu −= dan xyv 2= . (7)
Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan garis ax ±= pada bidang –z dipetakkan sebagai keluarga parabola pada bidang‐w, yang ditunjukkan oleh persamaan (8.). Yaitu karena
ayv 2±= sehingga avy
2±= dan 22 yau −= maka 2
22
22
42 ava
avau −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±−= .
(8.a) Untuk persamaan garis by ±= pada bidang‐z dipetakkan sebagai suatu keluarga parabola pada bidang‐w, yaitu
bxv 2±= sehingga bvx
2±= dan 22 bxu −= maka 2
2
22
2
42b
bvb
bvu −=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±= . (8.b)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1135
Keluarga parabola persamaan (8.a)‐(8.b) merupakan sistem ortogonal (Gordon,1963). Masing‐masing dari bayangan garis ax ±= dan by ±= dan persegi ditunjukkan pada Gambar 4.1‐4.3.
Gambar 11. Bayangan garis ax ±= dan by ±= beserta bayangan persegi ABCD
dengan fungsi 2zw = .
Gambar 12. Bayangan garis ax ±= dan by ±= untuk a=1,2 dan b=a,2 serta 2zw = .
Gambar 13. Bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14 dengan fungsi 2zw = .
4.3 Pemetaan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan )1,0(∈α
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1136
Karena )1,0(∈α , maka dapat dituliskan ba
=α dengan a,b N∈ , a<b, sehingga
diperoleh
ba
zzw ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
11 α
.
Dalam koordinat polar dapat diperoleh ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−θθθ b
aibar
rew b
aba
i sincos1. Dengan
menuliskan bagian riil dan khayalnya diperoleh θbaru b
a
cos−
= , θbarv b
a
sin−
−= .
Sehingga
θbar
ba
ru b
a
cos1−−
−=∂∂
; θθ b
arbau b
a
sin−
−=∂∂
; (9.a)
θbar
ba
rv b
a
sin1−−
=∂∂
; θθ b
arbav b
a
cos−
−=∂∂
. (9.b)
Jadi persamaan Cauchy‐Riemann dipenuhi. Karena Czzb
awba
∈∀≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
,01'1
maka
terbukti α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan )1,0(∈α merupakan pemetaan konformal.
Untuk 21
=α , maka diperoleh bentuk pemetaan z
w 1= . Dengan
menggunakan koordinat polar diperoleh
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==−
22sin
22cos12/1 πθπθθ kik
rrew i , k = 0,1. (10)
Sehingga untuk k = 0 diperoleh nilai utama ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== 2
sin2
cos10
θθ ir
wk dan untuk
nilai k = 1 diperoleh ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==−
= 22sin
22cos12/1
1πθπθθ i
rrew i
k . Dengan
mengingat bahwa sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan cos(a+b)=cos a cos b – sin a sin b , maka
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−== 2
sin2
cos11
θθ ir
wk = 0=− kw .
Dengan menuliskan ivuwk +==0 , maka bagian riil dan bagian khayal dapat ditulis
sebagai
2
cos1 θr
u = dan 2
sin1 θr
v −= . (11)
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1137
Dengan menuliskan persamaan (11) dalam x dan y diperoleh 2cos11 θ+
=r
u .
Karena 2
2cos1cos2 θθ += diperoleh
21
21
21
2
11 22
22
xyx
yxxr
rrxr
rrx
ru
++
+=
+=
+=
+= .
Secara sama, karena 2
2cos1sin 2 θθ −= diperoleh
21
21
21
2
11 22
22
xyx
yx
xrrr
xrr
rx
rv
−+
+−=
−−=
−−=
−−= .
Sehingga untuk setiap titik (a,b) pada bidang‐z akan dipetakkan menjadi titik
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
+−
++
+ 21,
21 22
22
22
22
aba
ba
bba
ba pada bidang‐w. Dengan mengambil
nilai utama 0=kw yaitu πθ 20 <≤ maka bayangan sejumlah persegi berukuran 14 x 14
ditunjukkan pada Gambar 14 pada dua cabang.
Gambar 14 Hasil pemetaan 0=kw =z
1 untuk 14 x14 persegi.
Kita dapat melakukan pemetaan untuk berbagai nilai α yang lain dan menyusun aspek
matematis sebagaimana di atas. Untuk nilai 21
−=α dapat ditunjukkan hasil pemetaan
yang ditunjukkan pada Gambar 15.
Gambar 15. Hasil pemetaan persegi 14x14 dengan α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
dengan 21
−=α .
5 KESIMPULAN DAN SARAN
PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1138
Pada makalah ini telah ditunjukkan hasil pemetaan persegi n x n dari α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
zw 1
untuk −∈ Zα (himpunan bilangan bulat negatif) dan )1,0(∈α .
Diperoleh bahwa hasil pemetaan persegi n x n untuk 2=α merupakan keluarga
parabola. Sedangkan pemetaan persegi n x n dengan 21
=α merupakan bentuk
lemniscate yang terpotong‐potong. Beberapa pengembangan dapat dilakukan dengan melakukan pemetaan tak konformal untuk bidang persegi.
DAFTAR PUSTAKA
Churchill, R. V. 1960. Complex Variables and Applications,2nd Edition. McGraw‐Hill Book Company. New York. Gordon, L. I dan Sim Lasher. 1963. Elements of Complex Variables. Holt, Rinehart and Winston, Inc. Parhusip H. A., dan Sulistyono, Pemetaaan Konformal dan Modifikasinya untuk suatu Bidang Persegi, Prosiding Seminar Nasioanal Matematika UNPAR 5 September 2009, hal.MT 250‐259, Vol 4. Th. 2009, ISSN 1907‐3909.
Pustaka Web
web1. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html
View publication statsView publication stats