信号処理論第二 第11回( 1/17)kameoka/sp2/sp13_11.pdf · 2014-12-12 ·...

信号処理論第二第11回 ( 1/17)

情報理工学系研究科システム情報学専攻

亀岡弘和

kameoka@hil.t.u-tokyo.ac.jp

講義予定

10/04: 第1回

10/11: 第2回

10/18: 第3回

10/25: 第4回

11/01: 休講

11/08: 第5回

11/15: 第6回

11/22: 休講

11/29: 第7回

12/06: 第8回

12/13: 第9回

12/20: 休講

01/10: 第10回

01/17: 第11回

01/24: 第12回

01/31: 期末試験

講義内容

δ関数再考

δ関数を含む関数のフーリエ変換

相関関数とスペクトル

線形システム

特性関数

正規不規則信号

線形自乗平均推定

ウィーナーフィルタ

ヒルベルト変換

カルマンフィルタ

講義資料と成績評価

講義資料

http://hil.t.u-tokyo.ac.jp/~kameoka/sp2/

成績評価

出席点

学期末試験

第9章カルマンフィルタ

信号の推定問題

雑音が重畳する観測信号からどうやって信号成分を推定するか？

Filter

Wiener Filter

観測信号y(t)から信号x(t)を推定する枠組み

線形時不変推定器：

最小二乗規範：

y(t)、x(t)に対する定常性の仮定が必要

直交原理 (The Orthogonality Principle)

線形推定値 が平均二乗誤差を最小とするとき，以下の直交原理が成り立つ

直交原理Ⅰ： 誤差は観測値と直交する

直交原理Ⅱ： 誤差は最適推定値と直交する

観測データで張られる平面

Kalman Filter

観測信号 から状態 を推定する枠組み

線形時変推定器：

最小二乗規範：

実際には、上記の時変インパルス応答を畳み込むことはなく、逐次的な推定が可能

測定対象に対するモデルの導入

例）バネマスダンパ系の質点位置の推定

バネマスダンパ系の質点が、ランダムな外力F(t)により駆動されている

質点の位置は、観測雑音を含む測定器によって観測される

観測雑音

状態空間表現への変形

1変数高階微分方程式表現から多変数１階微分方程式表現へ

状態空間表現

駆動雑音

観測雑音

Kalman Filterの問題設定

仮定

v(t)、w(t)は互いに独立な正規白色雑音

システムパラメータ：A(t),B(t),C(t)と、雑音共分散W,Vは既知

Wは逆行列をもつ

駆動雑音

観測雑音

状態方程式:

観測方程式:

Kalman Filterの導出

1) Wiener-Hopf-Kalmanの積分方程式の導出

2) 微分方程式への変形

3) ｘの逐次推定式の導出

4) Kalman ゲインの決定

5) 誤差共分散の更新式

Wiener-Hopf-Kalmanの積分方程式

1. Wiener-Hopf-Kalmanの積分方程式の導出

直交原理

2. 微分方程式への変形：方針

Wiener-Hopf-Kalmanの積分方程式

両辺をtで微分し，システムのモデル(状態方程式)：

を適用して変形することを考える

WHK方程式を適用

2. 微分方程式への変形：左辺の微分

左辺を t で微分

=0

Leibniz’ Rule

2. 微分方程式への変形：右辺の微分

右辺を t で微分

WHK方程式

WHK方程式

2. 微分方程式への変形：右辺の微分（続）

2. 微分方程式への変形：導出

左辺の微分＝右辺の微分より

より

も、WHK方程式を満たす

2. 微分方程式への変形：導出

再びWHK方程式に着目

2. 微分方程式への変形：導出

よって以下の２つはどちらも最適推定値

これらの二乗誤差は０にならなければならない

よってこれが成り立つためには H(t,σ)の微分方程式

2. 微分方程式への変形：導出

半正定値

正定値

の推定式

両辺を t で微分

3. の逐次推定式の導出

３. ｘの逐次推定式の導出（続）

の2式より

Kalman-Bucy Filter

あるいは

4) Kalmanゲインの決定

Wiener-Hopf-Kalmanの積分方程式

方針：観測方程式

に基づき、WHK方程式を変形

を決定したい

4) Kalmanゲインの決定：WHK方程式の変形

4) Kalmanゲインの決定：誤差共分散による表現

5) 誤差共分散の更新式：方針

誤差e(t)の微分方程式を導出

誤差共分散行列P(t)の微分方程式を導出

これを解いて更新式を導出

5) 誤差共分散の更新式：推定誤差の微分方程式

e(t)の微分方程式

（参考） 行列微分方程式の解

解：

遷移行列は下記の微分方程式の基本解

遷移行列

5) 誤差共分散の更新式：推定誤差の導出

5) 誤差共分散の更新式：誤差共分散の微分方程式

と は無相関と仮定

と は互いに無相関なので

5) 誤差共分散の更新式：誤差共分散の微分方程式

両辺をｔで微分

Leibniz’ Ruleの適用

を代入

5) 誤差共分散の更新式：誤差共分散の微分方程式

5) 誤差共分散の更新式：誤差共分散の微分方程式

先に求めたKalmanゲインを代入

この微分方程式をRiccati方程式という

5) 誤差共分散の更新式：誤差共分散の微分方程式

Kalmanゲインと誤差共分散

Kalmanゲイン

Riccati方程式