distritaciÓn electoral y optimizaciÓn combinatoria david romero instituto de matemáticas - unam...
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DISTRITACIÓN ELECTORAL y
OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA
David RomeroInstituto de Matemáticas - UNAM
Cuernavaca, Morelos
COLOQUIO INTERNACIONAL DE DISTRITACIÓN ELECTORAL
México, D.F., 8-9 noviembre 2012
Michael Balinski• Programación entera (optimización combinatoria)• Matemáticas para las ciencias políticas
Tesis doctoral sobre Teoría matemática de votos
IFE
Aplicaciones de la Optimización Combinatoria• Ingeniería eléctrica, química, industrial• Finanzas• Transporte y distribución• Logística• Física
ANTECEDENTES
DISTRITACIÓN ELECTORAL
Criterios frecuentemente en conflicto mutuo:
• Representatividad
• Contigüidad
• Compacidad
• Accesibilidad (compacidad temporal)
• Integración territorial de comunidades indígenas
Explosión combinatoria → dificultad de obtener escenarios satisfactorios¿Computadoras? … no bastan → modelos y métodos matemáticos
Problema realProblema real
METODOLOGÍA
Ciencia, industria, finanzas, transporte, economía, etc.
Modelo matemáticoModelo matemático
Método de resoluciónMétodo de resolución
Implantación de la soluciónImplantación de la solución
Polinomiales
NP-completosProblemas
Optimización • Programación lineal, no-lineal, entera, dinámica• Redes y grafos
Simulación (estocástica, determinista)
exactoheurístico
Recocido simuladoBúsqueda tabúAlgoritmos genéticos
fuerza brutaotros
El problema• Subdividir las AGEBs en UPMs
Modelación• Grafo de adyacencia• Función objetivo
Método de resolución• Recocido simulado
Implantación computacional
EJEMPLO de APLICACIÓN (INEGI)
Determinar Unidades Primarias de Muestreo (UPM)
32 Entidades federativas
2443 municipios
más de 190 mil localidades rurales
17,288 AGEB rurales
4,028 Localidades urbanas40,089 AGEB urbanas
1’096,946 manzanas
vecindario
Calle alondra
Av Gina
Calle Lirio
Av Fermat
Calle Amistad
grafo de adyacencia de manzanas
MODELO. De la geometría a la combinatoria
vecindario
Calle alondra
Av Gina
Calle Lirio
Av Fermat
Calle Amistad
grafo de adyacencia de manzanas
MODELO. De la geometría a la combinatoria
• Procesar las AGEB de manera independiente y secuencial
• En cada AGEB encontrar una partición S = {U1, …, Um } que minimice la función objetivo Z(S )
y donde cada Uk sea conexa
Estrategia
Función objetivo (caso urbano)
Ak = área de manzanas en la UPM Uk
Ak = área de manzanas fuera de Uk y dentro del círculo mínimo que contiene a Uk
Vk = número de viviendas en
Uk
V = número “ideal” de
viviendas
m = número de UPMs en la
AGEB
-
m
kAA
Am
m
kVV
m kk
kk PPSZ1
12
1
21
1 1)(
No se conoce un método exacto y eficiente
Métodos heurísticos
Método de resolución
Recocido simulado (simulated annealing)
Cálculo de centros
Adyacencia entre manzanas mediante
Diagrama de Voronoi
Triangulación de Delaunay
Adyacencia de manzanas
Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
S0
S1
Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
S2
Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el
grafo generamos particiones vecinas
...pasar de una partición a una partición vecina…
iteraciones
z
Método de Mejoras Sucesivas
Se utiliza el concepto de vecindad
Se cambia de una partición a otra vecina de acuerdo con las reglas del “recocido” (algoritmo)
Se tiene un criterio de paro(criterio)
El método de Recocido Simulado (simulated annealing)
IMPLANTACIÓN COMPUTACIONAL
GRACIAS
temperatura inicialto
factor de enfriamiento temperatura de congelación tc
tamaño del lote
1. Dados
2. Generar una solución inicial So => Z(So ) haciendo t = to (inicio de la temperatura)
mientras no haya equilibrio dinámico
generar solución S vecina de So
si Z( S ) < Z( So ) + t entonces
reducir la temperatura t = ×t
So = S (acepta nueva solución)
Mientras t tc (no hay congelación)
Algoritmo de Recocido Simulado
Soluciones aceptadas
z
= 10
Equilibrio dinámico
Recocido Simulado a temperatura fija
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