le modèle de black & litterman

Le modèle de Black & Litterman

Equilibre et croyances

Les motivations du modèle de Black-Litterman

La performance limitée des exercices d’optimisation.

In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black:

o “Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?”

Mixer diverses informations

Les fondements statistiques

Les fondations statistiques

La réponse statistique :Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed

Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Exemples de seconde source d’information : La théorie économique 

Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle.

Les fondations statistiques

Exemples de seconde source d’information (suite) : Des opinions informées (views) 

Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

Exemples de views

Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions d’analystes financiers :

Le rendement moyen du titre 1 est de 5% Celui du titre 3 de -2%

Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique?

Exemples de views

Exemples de views

Exemples de views

Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Si l’on a N views et J titres alors P sera

une matrice (N,J) Dans l’exemple, P sera alors

Exemples de views

L’équation sera donc :

Exemples de views

Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers :

Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2%

Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

Exemples de views

Exemples de views

L’équation sera donc :

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Pour le système :

Les fondations statistiques

Pour le système :

Les fondations statistiques

Pour le système :

Le modèle de B & L

Black & Litterman (1992)

Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views”

Le modèle de B&L

L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions,

Notamment pour gérer les erreurs d’estimation

B & L : un a priori

L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM,

Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

B & L : un outil

L’estimation mixteTheil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed

Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

La formule de B&L

La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au

rendement d’équilibreP la matrice des opinions (KxJ) définissant

les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans

les opinionsQ le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L

PP

QPT

T

RE 11

11

)(

)(][

B&L

Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

Les rendements du CAPM

Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected

security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

Deux approches pour déterminer le rendement implicite

le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta

l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

L’optimisation inverse

Les conditions marginales (avec actif sans risque)

Où est le portefeuille de marché

mktw mktw

L’optimisation inverse (suite)

Le coefficient d’aversion au risque

2B

fB rR

US Bonds $8,360,741,000,000 20.16%Global Bonds xUSD $11,583,275,710,000 27.93%World Equity xUS $9,212,460,000,000 22.21%Emerging Equity $964,647,000,000 2.33%

US Large Cap Growth $5,217,844,438,500 12.58%US Large Cap Value $5,217,844,438,500 12.58%

US Small Cap Growth $459,897,061,500 1.11%US Small Cap Value $459,897,061,500 1.11%

Total $41,476,606,710,000 100.00%

Le portefeuille de marché

Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient.

Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

Quelles views ?

Par exemple : les rendements historiques (bruités) La contribution de B & L : « ancrer » les données observées à la

théorie pour filtrer le bruit.

Un exemple

A partir d’un échantillon initial Resampling des données pour créer

des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus

en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré.

nom périodicité début fin observ.capitalisati

on

US LARGE CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 21,74%

US MID CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 3,02%

US SMALL CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

US LARGE CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 18,01%

US MID CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

US SMALL CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,85%

EM ASIA mensuelle déc-92 sept-07 177 3,19%

EM EUROPE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

EM LATIN AMERICA mensuelle déc-92 sept-07 177 2,12%

EMU mensuelle déc-92 sept-07 177 19,25%

JAPAN mensuelle déc-92 sept-07 177 15,62%

UNITED KINGDOM mensuelle déc-92 sept-07 177 10,36%

Markowitz  Euratio de Sharpe Er volatilité VAR 5% TE

equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% 2,53%

marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86% 2,43%

optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%  

moyenne 3,10% 0,55 12,23% 18,40% -18,03% 3,58%

écart-type 5,28% 0,20 2,80% 5,18% 8,37% 1,84%

5,00% -6,84% 0,17 6,67% 12,75% -32,53% 0,47%

25,00% -1,22% 0,42 11,26% 13,61% -25,17% 1,98%

50,00% 4,65% 0,57 12,73% 17,23% -16,16% 3,61%

75,00% 7,60% 0,70 14,21% 22,10% -10,38% 4,96%

95,00% 9,65% 0,85 16,25% 29,50% -7,90% 6,65%

BL  Euratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%

equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%

marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%

optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%

moyenne 7,30% 0,67 11,59% 13,10% -9,96%

écart-type 0,25% 0,02 0,22% 0,28% 0,45%

5,00% 6,95% 0,65 11,16% 12,58% -10,48%

25,00% 7,22% 0,67 11,54% 13,01% -10,17%

50,00% 7,30% 0,67 11,64% 13,16% -10,02%

75,00% 7,40% 0,68 11,70% 13,26% -9,80%

95,00% 7,60% 0,70 11,80% 13,39% -9,23%

Au-delà du problème d’erreurs d’estimation,

La richesse de B & L : sa capacité à intéger n’importe quel type de views.

Le mécanisme de B&L

Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse

Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un

rendement de x% » opinion relative : « l’actif A sur-

performera l’actif B par x points de % »

Le mécanisme de B&L

La nature des opinions Des intuitions d’investisseurs Des données empiriques (valeurs des

rendements moyens récents) Des prévisions économétriques des

rendements

Un exemple (Idzorek)

ImpliedEquilibriumReturn

Asset Class Historical CAPM GSMI Portfolio VectorUS Bonds 3.15% 0.02% 0.08% 0.08%Int’l Bonds 1.75% 0.18% 0.67% 0.67%US Large Growth -6.39% 5.57% 6.41% 6.41%US Large Value -2.86% 3.39% 4.08% 4.08%US Small Growth -6.75% 6.59% 7.43% 7.43%US Small Value -0.54% 3.16% 3.70% 3.70%Int’l Dev. Equity -6.75% 3.92% 4.80% 4.80%Int’l Emerg. Equity -5.26% 5.60% 6.60% 6.60%

Weighted Average -1.97% 2.41% 3.00% 3.00%Standard Deviation 3.73% 2.28% 2.53% 2.53%

High 3.15% 6.59% 7.43% 7.43%Low -6.75% 0.02% 0.08% 0.08%

CAPM

WeightBased on

Weight ImpliedWeight Based on Equilibrium MarketBased on CAPM GSMI Return Capitalization

Asset Class Historical wGSMI Vector WeightUS Bonds 1144.32% 21.33% 19.34% 19.34%Int’l Bonds -104.59% 5.19% 26.13% 26.13%US Large Growth 54.99% 10.80% 12.09% 12.09%US Large Value -5.29% 10.82% 12.09% 12.09%US Small Growth -60.52% 3.73% 1.34% 1.34%US Small Value 81.47% -0.49% 1.34% 1.34%Int’l Dev. Equity -104.36% 17.10% 24.18% 24.18%Int’l Emerg. Equity 14.59% 2.14% 3.49% 3.49%

High 1144.32% 21.33% 26.13% 26.13%Low -104.59% -0.49% 1.34% 1.34%

Un exemple

3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un

rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)

Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)

US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

Mise en oeuvre

321

225,025,5

Q

32

1

000000

La matrice de covariance des erreurs des opinions

La matrice de « participation »

Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

P0 0 0 0 0 0 1 0

-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,5 -0,5 0,5 -0,5 0 0

Idzorek

0 0 0 0 0 0 1 0-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,9 -0,9 0,1 -0,1 0 0

Variances des « individual portfolio view »

%836,211 pp

%563,022 pp

%462,333 pp

et ? La solution de He & Litterman (1999)

kkk pp /

Numériquement :

025,0

000866,0000000141,0000000709,0

New ImpliedCombined Equilibrium Difference MarketReturn Return New Capitalization Difference

Asset Class Vector Vector Weight WeightUS Bonds 0.07% 0.08% -0.02% 29.88% 19.34% 10.54%Int’l Bonds 0.50% 0.67% -0.17% 15.59% 26.13% -10.54%US Large Growth 6.50% 6.41% 0.08% 9.35% 12.09% -2.73%US Large Value 4.32% 4.08% 0.24% 14.82% 12.09% 2.73%US Small Growth 7.59% 7.43% 0.16% 1.04% 1.34% -0.30%US Small Value 3.94% 3.70% 0.23% 1.65% 1.34% 0.30%Int’l Dev. Equity 4.93% 4.80% 0.13% 27.81% 24.18% 3.63%Int’l Emerg. Equity 6.84% 6.60% 0.24% 3.49% 3.49% 0.00%

Sum 103.63% 100.00% 3.63%

Propriété de BL:

La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite)

Exemple de l’opinion 3

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalizationRelative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Growth $5,174 90.00% 6.41% 5.77%US Small Growth $575 10.00% 7.43% 0.74%

$5,749 100.00% Total 6.52%

Opinon 3 : actifs sur-performants

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalization Relative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Value $5,174 90.00% 4.08% 3.67%US Small Value $575 10.00% 3.70% 0.37%

$5,749 100.00% Total 4.04%

Opinon 3 : actifs sur-performants

Un exemple

Mêmes données que précédemment L’opinion : US Equity sur-performera

World Equity par 150 pts Avec une confiance de 75%

Les fondements de B&L

La statistique bayésienne A priori sur les paramètres +

vraissemblances C. Robert La décision bayésienne

Les modèles bayésiens de choix de portefeuille Scherer & McDouglas