le modèle de black & litterman

Le modle de Black & LittermanEquilibre et croyances

Les motivations du modle de Black-Litterman La performance limite des exercices doptimisation.In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?

Mixer diverses informationsLes fondements statistiques

Les fondations statistiquesLa rponse statistique :Theil and Goldberger (1961) On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.Combiner une information a priori avec un chantillon.mixed estimation

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiquesExemples de seconde source dinformation :La thorie conomique Pour Fischer Black, le CAPM dcrivait ltat autour duquel devait graviter lconomie relle.

Les fondations statistiquesExemples de seconde source dinformation (suite) :Des opinions informes (views) Sur les niveaux des rendementsSur les diffrences des rendements.

Exemples de viewsUn univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions danalystes financiers :Le rendement moyen du titre 1 est de 5%Celui du titre 3 de -2%Comment entrer ces opinions dans un modle conomtrique?

Exemples de views

Exemples de views

Exemples de viewsDont la matrice P dcrit les portefeuilles associes aux viewsSi lon a N views et J titres alors P sera une matrice (N,J)Dans lexemple, P sera alors

Exemples de viewsLquation sera donc :

Exemples de viewsUn exemple de views relatives 2 opinions danalystes financiers :Le rendement moyen du titre 2 dpassera celui du titre 3 de 2%Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera infrieur de 2% celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

Exemples de views

Exemples de viewsLquation sera donc :

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiques

Les fondations statistiquesPour le systme :

Les fondations statistiquesPour le systme :

Les fondations statistiquesPour le systme :

Le modle de B & L

Black & Litterman (1992)Black and Litterman (1992) Global Portfolio Optimization use the same formula to combine a prior, Equilibrium with an investors Views

Le modle de B&LLobjectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des donnes et les opinions,Notamment pour grer les erreurs destimation

B & L : un a prioriL information additionnelle de Black & Litterman : la priori que lconomie doit graviter autour du CAPM,Donc les rendements des titres doivent tre lies ceux du CAPM

B & L : un outilLestimation mixteTheil and Goldberger (1961) On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.Combiner une information a priori avec un chantillon.mixed estimation

La formule de B&LLa dtermination du rendement espr: un scalaire mesurant le poids accord au rendement dquilibreP la matrice des opinions (KxJ) dfinissant les actifs impliqus dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinionsQ le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L

B&L Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

Les rendements du CAPMLes rendements implicites Sharpe (1974) Imputing expected security returns from portfolio composition, Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

Deux approches pour dterminer le rendement implicite le CAPM le rendement implicite = le rendement thorique dfini notamment par le bta loptimisation inverse (Sharpe (1974))

Loptimisation inverseLes conditions marginales (avec actif sans risque)

O est le portefeuille de march

Loptimisation inverse (suite)Le coefficient daversion au risque

Le portefeuille de march

Feuil1

US Bonds$8,360,741,000,00020.16%

Global Bonds xUSD$11,583,275,710,00027.93%

World Equity xUS$9,212,460,000,00022.21%

Emerging Equity$964,647,000,0002.33%

US Large Cap Growth$5,217,844,438,50012.58%

US Large Cap Value$5,217,844,438,50012.58%

US Small Cap Growth$459,897,061,5001.11%

US Small Cap Value$459,897,061,5001.11%

Total$41,476,606,710,000100.00%

Feuil2

Feuil3

Le point de la frontire efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus lev est suppos tre le benchmark efficient.Les rendements implicites constituent les valeurs de rfrence de Black & Litterman.

Quelles views ?

Par exemple : les rendements historiques (bruits)La contribution de B & L :ancrer les donnes observes la thorie pour filtrer le bruit.

Un exempleA partir dun chantillon initialResampling des donnes pour crer des chantillons artificielsEt comparaison des rsultats obtenus en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en slectionnant le portefeuille equipondr.

nompriodicitdbutfinobserv.capitalisationUS LARGE CAP VALUEmensuelledc-92sept-0717721,74%US MID CAP VALUEmensuelledc-92sept-071773,02%US SMALL CAP VALUEmensuelledc-92sept-071771,61%US LARGE CAP GROWTHmensuelledc-92sept-0717718,01%US MID CAP GROWTHmensuelledc-92sept-071771,61%US SMALL CAP GROWTHmensuelledc-92sept-071771,85%EM ASIAmensuelledc-92sept-071773,19%EM EUROPEmensuelledc-92sept-071771,61%EM LATIN AMERICAmensuelledc-92sept-071772,12%EMUmensuelledc-92sept-0717719,25%JAPANmensuelledc-92sept-0717715,62%UNITED KINGDOMmensuelledc-92sept-0717710,36%

MarkowitzEuratio de SharpeErvolatilitVAR 5%TEequipondr5,47%0,5611,51%15,55%-14,06%2,53%march5,76%0,5610,29%13,47%-11,86%2,43%optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83%moyenne3,10%0,5512,23%18,40%-18,03%3,58%cart-type5,28%0,202,80%5,18%8,37%1,84%5,00%-6,84%0,176,67%12,75%-32,53%0,47%25,00%-1,22%0,4211,26%13,61%-25,17%1,98%50,00%4,65%0,5712,73%17,23%-16,16%3,61%75,00%7,60%0,7014,21%22,10%-10,38%4,96%95,00%9,65%0,8516,25%29,50%-7,90%6,65%

BLEuratio de SharpeErvolatilitVAR 5%equipondr5,47%0,5611,51%15,55%-14,06%march5,76%0,5610,29%13,47%-11,86%optimal9,78%0,8614,30%13,45%-7,83%moyenne7,30%0,6711,59%13,10%-9,96%cart-type0,25%0,020,22%0,28%0,45%5,00%6,95%0,6511,16%12,58%-10,48%25,00%7,22%0,6711,54%13,01%-10,17%50,00%7,30%0,6711,64%13,16%-10,02%75,00%7,40%0,6811,70%13,26%-9,80%95,00%7,60%0,7011,80%13,39%-9,23%

Au-del du problme derreurs destimation,La richesse de B & L : sa capacit intger nimporte quel type de views.

Le mcanisme de B&Lvaluation des rendements du march par loptimisation inversePrise en compte des opinions : opinion absolue : lactif A aura un rendement de x% opinion relative : lactif A sur-performera lactif B par x points de %

Le mcanisme de B&LLa nature des opinionsDes intuitions dinvestisseursDes donnes empiriques (valeurs des rendements moyens rcents)Des prvisions conomtriques des rendements

Un exemple (Idzorek)

Feuil1

Implied

Equilibrium

CAPMReturn

Asset ClassHistoricalCAPM GSMIPortfolioVector

US Bonds3.15%0.02%0.08%0.08%

Intl Bonds1.75%0.18%0.67%0.67%

US Large Growth-6.39%5.57%6.41%6.41%

US Large Value-2.86%3.39%4.08%4.08%

US Small Growth-6.75%6.59%7.43%7.43%

US Small Value-0.54%3.16%3.70%3.70%

Intl Dev. Equity-6.75%3.92%4.80%4.80%

Intl Emerg. Equity-5.26%5.60%6.60%6.60%

Weighted Average-1.97%2.41%3.00%3.00%

Standard Deviation3.73%2.28%2.53%2.53%

High3.15%6.59%7.43%7.43%

Low-6.75%0.02%0.08%0.08%

Weight

Based on

WeightImplied

WeightBased onEquilibriumMarket

Based onCAPM GSMIReturnCapitalization

Asset ClassHistoricalwGSMIVectorWeight

US Bonds1144.32%21.33%19.34%19.34%

Intl Bonds-104.59%5.19%26.13%26.13%

US Large Growth54.99%10.80%12.09%12.09%

US Large Value-5.29%10.82%12.09%12.09%

US Small Growth-60.52%3.73%1.34%1.34%

US Small Value81.47%-0.49%1.34%1.34%

Intl Dev. Equity-104.36%17.10%24.18%24.18%

Intl Emerg. Equity14.59%2.14%3.49%3.49%

High1144.32%21.33%26.13%26.13%

Low-104.59%-0.49%1.34%1.34%

Feuil2

Feuil3

Feuil1

Implied

Equilibrium

CAPMReturn

Asset ClassHistoricalCAPM GSMIPortfolioVector

US Bonds3.15%0.02%0.08%0.08%

Intl Bonds1.75%0.18%0.67%0.67%

US Large Growth-6.39%5.57%6.41%6.41%

US Large Value-2.86%3.39%4.08%4.08%

US Small Growth-6.75%6.59%7.43%7.43%

US Small Value-0.54%3.16%3.70%3.70%

Intl Dev. Equity-6.75%3.92%4.80%4.80%

Intl Emerg. Equity-5.26%5.60%6.60%6.60%

Weighted Average-1.97%2.41%3.00%3.00%

Standard Deviation3.73%2.28%2.53%2.53%

High3.15%6.59%7.43%7.43%

Low-6.75%0.02%0.08%0.08%

Weight

Based on

WeightImplied

WeightBased onEquilibriumMarket

Based onCAPM GSMIReturnCapitalization

Asset ClassHistoricalwGSMIVectorWeight

US Bonds1144.32%21.33%19.34%19.34%

Intl Bonds-104.59%5.19%26.13%26.13%

US Large Growth54.99%10.80%12.09%12.09%

US Large Value-5.29%10.82%12.09%12.09%

US Small Growth-60.52%3.73%1.34%1.34%

US Small Value81.47%-0.49%1.34%1.34%

Intl Dev. Equity-104.36%17.10%24.18%24.18%

Intl Emerg. Equity14.59%2.14%3.49%3.49%

High1144.32%21.33%26.13%26.13%

Low-104.59%-0.49%1.34%1.34%

Feuil2

Feuil3

Un exemple3 opinions : Intern Developped Equity va avoir un rendement excdentaire de 5.25% (confiance = 25%) Intern Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%) US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Val