program matrikulasi s2 pendidikan matematika

PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SYIAH KUALA Banda Aceh, 28 Agustus 2012

PENGANTAR ANALISIS REALDR. MARWAN RAMLI

BILANGAN REALSifat aljabar dan urutan dalam bilangan realNilai mutlak dan garis realSifat kelengkapan bilangan realInterval dalam bilangan real

BARISAN DAN DERETBarisan dan limit barisanBeberapa teorema limit barisanDeret tak hingga

outline

OPERASI BINERMisalkan A adalah himpunan tak kosong. Operasi biner * atas A adalah pemetaan setiap pasangan berurutan x,y A ke tepat satu anggota x*y A

* : A x A A (x,y) x*y

Contoh : Operasi + pada himpunan bilangan bulat Z + : (3,5) 3+5 =8

Himpunan A dikatakan tertutup terhadap biner * apabila setiap x,y A memberikan x*y A

Contoh : Operasi - pada himpunan bilangan asli N - : (3,5) 3-5 =-2 N

INDUKSI MATEMATIKAPRINSIP PERTAMA INDUKSI BERHINGGAMisalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian :1. Tunjukkan berlaku untuk n0

2. Asumsikan berlaku untuk n=k3. Tunjukkan berlaku untuk n=k+n0

PRINSIP KEDUA INDUKSI BERHINGGAMisalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian :1. Tunjukkan berlaku untuk n0

2. Asumsikan berlaku untuk n=k, n0≤ k < m3. Tunjukkan berlaku untuk n=m

GRUPSuatu grup {G,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi :1. Tertutup : a*b G a,bG2. Hukum asosiatif : (a*b)*c=a*(b*c), a,b,cG3. Unsur identitas : !eG a*e= e*a=a, aG

4. Unsur invers : !a-1G a* a-1 = a-1 *a=e, aG

Grup {G,*} dikatakan grup abel apabila a*b= b*a, a,bGGrup {G,*} dikatakan grup siklik asalkan G=<a> (baca : G dibangun

oleh a) untuk suatu aGG={an| nZ}

Z himpunan anggota bilangan bulat. Contoh {Z4,+}.

{Z4,+} = <1> atau <3>

GRUP BAGIANSuatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan bagian dari G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dengan G yang dibatasi pada S.

Contoh :1. {Z,+} adalah grup bagian dari {R,+}2. {S,+} dengan S={0,2,4} adalah grup bagian dari {Z6,+}3. {Z6,+} bukan grup bagian dari {Z12,+}

Teorema : Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian G jika dan hanya jika memenuhi :1. eS2. S tertutup di bawah operasi G3. Untuk sebarang sS, invres s ditulis s-1S

GELANGGANGSuatu Ring {R,+,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner “+”, “*” yang didefinisikan pada R dan memenuhi :1. {R,+} grup komutatif2. {R,*} bersifat asosiatif3. R distributif : a,b,cR, a*(b+c)=a*b+a*c dan (a+b)*c=a*c+b*c

Contoh :{Z,+,.}, {R,+,.}, {Q,+,.} {C,+,.}, {M2,+,.}

Suatu Gelanggang Komutatif {R,+,*} dikatakan integral domain apabila tidak memuat pembagi nol.

Contoh : {Z,+,.}, {Zp,+,.} integral domain

{Zn,+,.} bukan integral domain

BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL

Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian

BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL

Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian

Dapat ditunjukkan bahwa1. Himpunan bilangan real adalah grup atas operasi penjumlahan 2. Himpunan bilangan real tanpa nol adalah grup atas operasi

perkalian

BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REALAlgoritma PembagianMisalkan a,b Z dengan a>0, ! q,r Z b = qa + r, 0 ≤ r < a

Contoh :

1. 38 dibagi 7 ; 38 = (5) 7 + (3), jadi q=5 dan r=32. -38 dibagi 7 ; -38 = (-6) 7 + 4, jadi q=-6 dan r = 4

BILANGAN REALBilangan Rasional dan IrrasionalHimpunan bilangan rasional yang dinotasikan dengan Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya dapat dituliskan dalam bentuk :

a/b, a,bZ, b≠0

Himpunan bilangan irrasional yang dinotasikan dengan R-Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya tidak dapat dituliskan dalam bentuk :

a/b, a,bZ, b≠0

Contoh (Buktikan !)

BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL

Sub himpunan P R disebut sebagai himpunan bilangan real positif apabila memenuhi :1. a+b P, a,bP2. a.b P, a,bP3. Untuk suatu aP, maka akan memenuhi salah satu kondisi :

a P, a=0 dan -aP (sifat trikotomi)

Akibat sifat trikotomi a,bR, a<b, a=b, a>b.Apabila a≤b dan b≤a, maka a=ba<b<c artinya a<b dan b<c

BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL

Teorema : Untuk sebarang a,b,c R.1. Apabila a<b dan b<c, maka a<c2. Apabila a>b, maka a+c > b+c3. Apabila a>b dan c>0, maka ac > bc, apabila a>b dan c<0, maka

ac < bc4. Apabila a>0, maka 1/a > 0, apabila a<0, maka 1/a < 0

Teorema : 1. Apabila aR dan a≠0, maka a2>02. 1 > 03. Apabila n N, maka n>0

Teorema : Apabila a,bR dan a<b, maka a < (a+b)/2 < b

BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL

Teorema : Misalkan a,b R, apabila ab > 0 maka berlaku1. a>0 dan b>0, 2. a<0 dan b<0

Teorema : Misalkan a,b R, apabila ab < 0 maka berlaku1. a>0 dan b<0, 2. a<0 dan b>0

Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari suatu bilangan real a dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai

BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REALTeorema : Misalkan a,b,c R1. |ab|=|a||b|2. |a|2=a2

3. Apabila c≥0, maka |a|≤ c jika dan hanya jika -c ≤ a ≤c4. -|a|≤a ≤|a|

Teorema : Untuk a,b R berlaku 1. |a+b|≤|a|+|b|2. ||a|-|b|| ≤ |a-b|3. |a-b| ≤ |a|+|b|

Akibat : Untuk a1,a2,…,an R berlaku

|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|

BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL

Contoh : Diberikan suatu fungsi yang didefinisikan oleh

dengan x[2,3]. Tentukan M sedemikian rupa sehingga f(x)≤ M

Solusi :

|2x2-3x+1| ≤ 2x2+3|x|+1=28

sementara itu|2x-1|≥ 2|x|-1=3.

Dengan demikian |f(x)|≤ 28/3. Jadi M = 28/3

BILANGAN REALGARIS BILANGAN REALSalah satu interpretasi geometris yang cukup dikenal adalah garis bilangan real. Pada garis real nilai mutlak |a|, aR, adalah jarak dari titik a ke titik 0. Secara umum jarak dari suatu titik a ke titik b, dengan a,bR, di R adalah |a-b|.

Diberikan aR dan >0. Persekitaran- dari a didefinisikan sebagai himpunan

V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+)

|2-(-1)|=3

BILANGAN REALSIFAT KELENGKAPAN HIMPUNAN BILANGAN REALSupremum dan Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. 1. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas apabila terdapat suatu

bilangan uR, sedemikian sehingga s≤u,sS2. Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah apabila terdapat

suatu bilangan wR, sedemikian sehingga s≥w,sS3. Himpunan S dikatakan terbatas apabila terbatas ke atas dan

terbatas ke bawah

Supremum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke atas, suatu bilangan uR dikatakan supremum dari S apabila u adalah batas atas terkecil untuk SInfimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke bawah, suatu bilangan wR dikatakan infimum dari S apabila w adalah batas bawah terbesar untuk S

Terima Kasihsampai Jumpa

2D Wave Generation Simulations