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Table of Surveying, from the 1728 ''Cyclopaedia'', Volume 2.

TOPOGRAFIA

[Unidade II – Revisão da matemática aplicada]

Prof.: David Gurion Tiago

david.guriont@gmail.com

T O P O G R A F I A

[Unidade II] Prof.: David Gurion Tiago

NOTAS GERAIS:

a. Este material foi desenvolvido tomando como referência as bibliografias informadas no plano de ensino desta disciplina, monografias, trabalhos de conclusão de curso, dissertações, teses entre outras referências que podem ser acessadas na Internet. Sobretudo, é pautada na experiência profissional do professor, adquirida no decorrer de vários anos de trabalho;

b. Àqueles que também fazem parte de um corpo docente e queiram adotar este material como referência, podem entrar em contato solicitando este material em forma de apresentação (slides);

c. Este material está em constante processo de aperfeiçoamento, e consequentemente, sofre constantes revisões. Mantenha-se informado quanto ao número da revisão expresso na capa desta apostila e, se necessário, o item “b” deve ser reiterado;

d. Espera-se fielmente que este material possa ser útil à todos.

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ÍNDICE

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA

4.1 ÂNGULOS

4.1.1 Definição

4.1.2 Variação angular

4.1.3 Equivalência

4.1.4 Forma escrita

4.1 ÂNGULOS

4.1.5 Classificação

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ÍNDICE

4.1.6 Operações

a) Adição

b) Subtração

c) Multiplicação

d) Divisão

4.2 TRIGONOMETRIA PLANA

4.2.1 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

4.2.2 Teorema de Pitágoras

4.2.3 Exercícios

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ÍNDICE

4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO

4.4 TRIÂNGULO QUALQUER

4.4.1 Lei dos Senos

4.4.2 Lei dos cossenos

4.4.3 Exercícios

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.1 Definição

Chama-se ângulo a região compreendida entre duas semi-retas de mesma origem não contidas numa mesma reta. O ângulo (α) tem como vértice o ponto O. As semirretas r e s são os lados do ângulo.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.2 ÂNGULOS – Variação angular

. Os ângulos são medidos geralmente por (°) graus, (′) minutos e (″) segundos e variam de 0° a 360°, sendo

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.3 ÂNGULOS – Equivalência

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.4 ÂNGULOS – Forma escrita dos ângulos

Forma escrita: . Sexagesimal (Graus, Minutos, Segundos) . Decimal (Graus)

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.4 ÂNGULOS – Forma escrita dos ângulos (cont...)

Forma escrita: . Sexagesimal (Graus, Minutos, Segundos) . Decimal (Graus)

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.5 Classificação

a) Agudo b) Reto c) Raso d) Obtuso e) Nulo

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.6 Operações

a) Adição b) Subtração c) Multiplicação d) Divisão

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.6 Operações| Exercícios a) Adição

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Exercício 2

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.6 Operações| Exercícios

b) Subtração

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Exercício 3

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.6 Operações| Exercícios

c e d) Multiplicação/Divisão

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Exercício 4

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.1 ÂNGULOS 4.1.6 Operações| Exercícios propostos Exercício 5) a) Escreva os ângulos abaixo na forma decimal:

b) Faça a soma dos seguintes ângulos:

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c) Faça a subtração dos seguintes ângulos:

d) Faça a multiplicação dos seguintes ângulos por números naturais, e após, divida por 3:

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA

A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegação, Agrimensura e Astronomia.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 4.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é iguala 180°. A partir da figura apresentada ao lado podem ser estabelecidas as seguintes relações:

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 4.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo (Continuação ...)

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“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 4.2.2 Teorema de Pitágoras

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Exercício 1 – Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º00’00”. Afastando-se de 20,00m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio:

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 4.2.3 Exercícios

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Exercício 2 – No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 4.2.3 Exercícios

4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...)

a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...)

b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...)

d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...)

Exercício: A partir da primeira relação métrica, deduzir o Teorema de Pitágoras:

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...)

“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 4.3.1 Lei dos Senos

“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”.

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 4.3.1 Lei dos Cossenos

Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20 m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de um teodolito. Calcule a distância entre as balizas:

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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 4.3.1 Exercício