Mecanica dos Solidos I – MAC-005

Unidade 02Luis Paulo S. BarraLeonardo Goliatt

Departamento de Mecanica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

v. 14.10

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 1 / 56

Livro Texto

Livro texto:I Introduction to Continuum MechanicsI W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 2 / 56

Programa

1 Cinematica I

2 Cinematica II

3 Cinematica III

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 3 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 4 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 4 / 56

Descricao do Movimento

Equacoes Cinematicas do Movimento

O vetor posicao de uma partıcula em umtempo t pode ser escrito como:

x = x(X, t) com x(X, t0) = X

Fixando X tem-se a trajetoria da partıcula.

Em componentes se escreve:

x1 = x1(X1,X2,X3, t)x2 = x2(X1,X2,X3, t)x3 = x3(X1,X2,X3, t)

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Descricao do Movimento

Equacoes Cinematicas do Movimento

O vetor posicao de uma partıcula em umtempo t pode ser escrito como:

x = x(X, t) com x(X, t0) = X

Fixando X tem-se a trajetoria da partıcula.

Em componentes se escreve:

x1 = x1(X1,X2,X3, t)x2 = x2(X1,X2,X3, t)x3 = x3(X1,X2,X3, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 4 / 56

Descricao Material e Descricao Espacial

Quando um contınuo esta em movimento, sua temperatura θ, sua velocidade v, e seutensor de tensoes T (sera definido nas proximas secoes), podem mudar com o tempo.

Descricao Material (ou Lagrangeana)Seguindo as partıculas:

θ = θ(X1,X2,X3, t)v = v(X1,X2,X3, t)T = T(X1,X2,X3, t)

Descricao Espacial (ou Euleriana)Observando mudancas em locais (pontos no espaco) fixos:

θ = θ(x1, x2, x3, t)v = v(x1, x2, x3, t)T = T(x1, x2, x3, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 5 / 56

Descricao Material e Descricao Espacial

Quando um contınuo esta em movimento, sua temperatura θ, sua velocidade v, e seutensor de tensoes T (sera definido nas proximas secoes), podem mudar com o tempo.

Descricao Material (ou Lagrangeana)Seguindo as partıculas:

θ = θ(X1,X2,X3, t)v = v(X1,X2,X3, t)T = T(X1,X2,X3, t)

Descricao Espacial (ou Euleriana)Observando mudancas em locais (pontos no espaco) fixos:

θ = θ(x1, x2, x3, t)v = v(x1, x2, x3, t)T = T(x1, x2, x3, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 5 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 6 / 56

Derivada Material

DefinicaoTaxa de variacao no tempo de uma quantidade em uma partıcula fixa: D/Dt.

Descricao Material

θ = θ(X1,X2,X3, t)

Logo:DθDt

=

(∂θ

∂t

)Xi fixos.

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Derivada Material

DefinicaoTaxa de variacao no tempo de uma quantidade em uma partıcula fixa: D/Dt.

Descricao Material

θ = θ(X1,X2,X3, t)

Logo:DθDt

=

(∂θ

∂t

)Xi fixos.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 6 / 56

Derivada Material

Descricao Espacial

θ = θ(x1, x2, x3, t)

Logo:

DθDt

=∂θ

∂x1

∂x1

∂t+∂θ

∂x2

∂x2

∂t+∂θ

∂x3

∂x3

∂t+∂θ

∂t

= v1∂θ

∂x1+ v2

∂θ

∂x2+ v3

∂θ

∂x3+∂θ

∂t

Em notacao direta

DθDt

=∂θ

∂t+ v · ∇θ

Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).

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Derivada Material

Descricao Espacial

θ = θ(x1, x2, x3, t)

Logo:

DθDt

=∂θ

∂x1

∂x1

∂t+∂θ

∂x2

∂x2

∂t+∂θ

∂x3

∂x3

∂t+∂θ

∂t

= v1∂θ

∂x1+ v2

∂θ

∂x2+ v3

∂θ

∂x3+∂θ

∂t

Em notacao direta

DθDt

=∂θ

∂t+ v · ∇θ

Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).

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Derivada Material

Descricao Espacial

θ = θ(x1, x2, x3, t)

Logo:

DθDt

=∂θ

∂x1

∂x1

∂t+∂θ

∂x2

∂x2

∂t+∂θ

∂x3

∂x3

∂t+∂θ

∂t

= v1∂θ

∂x1+ v2

∂θ

∂x2+ v3

∂θ

∂x3+∂θ

∂t

Em notacao direta

DθDt

=∂θ

∂t+ v · ∇θ

Ficando implıcito que θ = θ(x1, x2, x3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 7 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56

Aceleracao de uma Partıcula

Definicao

a =

(∂v∂t

)Xi fixos

≡DvDt

Portanto:DvDt

=D(viei)

Dt=

Dvi

Dtei

Logo:

ai =Dvi

Dt=∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

E finalmente:

a =∂v∂t

+ (∇v)v

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Aceleracao de uma Partıcula

Definicao

a =

(∂v∂t

)Xi fixos

≡DvDt

Portanto:DvDt

=D(viei)

Dt=

Dvi

Dtei

Logo:

ai =Dvi

Dt=∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

E finalmente:

a =∂v∂t

+ (∇v)v

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56

Aceleracao de uma Partıcula

Definicao

a =

(∂v∂t

)Xi fixos

≡DvDt

Portanto:DvDt

=D(viei)

Dt=

Dvi

Dtei

Logo:

ai =Dvi

Dt=∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

E finalmente:

a =∂v∂t

+ (∇v)v

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56

Aceleracao de uma Partıcula

Definicao

a =

(∂v∂t

)Xi fixos

≡DvDt

Portanto:DvDt

=D(viei)

Dt=

Dvi

Dtei

Logo:

ai =Dvi

Dt=∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

E finalmente:

a =∂v∂t

+ (∇v)v

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 8 / 56

Campo de Deslocamentos

Definicao

u = x(X, t) − X

Uma vez conhecida a trajetoria de uma partıcula, x(X, t), o campo de deslocamentostambem fica determinado.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 9 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 10 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Translacao

x = X + c(t)

onde c(0) = 0Logo u = x − X = c(t) e independente de X.

RotacaoEm torno do ponto b:

x − b = R(t)(X − b)

onde R(t) representa um tensor rotacao, com R(0) = I.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 10 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Translacao

x = X + c(t)

onde c(0) = 0Logo u = x − X = c(t) e independente de X.

RotacaoEm torno do ponto b:

x − b = R(t)(X − b)

onde R(t) representa um tensor rotacao, com R(0) = I.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 10 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Movimento GeralTranslacao e Rotacao (em torno de b)

x = R(t)(X − b) + c(t)⇐⇒ (X − b) = RT (x − c)

onde R(0) = I e c(0) = b

Velocidade de um PontoTomando a derivada material:

v =

R (X − b)+c (t)

e usando (X − b) = RT (x − c) vem

v =

R RT (x − c)+c (t)

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Cinematica do Corpo Rıgido

Movimento GeralTranslacao e Rotacao (em torno de b)

x = R(t)(X − b) + c(t)⇐⇒ (X − b) = RT (x − c)

onde R(0) = I e c(0) = b

Velocidade de um PontoTomando a derivada material:

v =

R (X − b)+c (t)

e usando (X − b) = RT (x − c) vem

v =

R RT (x − c)+c (t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 11 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:

v =

R RT (x − c)+c (t)

Uma vez que

R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):

v = ω × (x − c)+c (t)

Ou ainda:v = ω × r+

c (t)

onde r = (x − c)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 12 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:

v =

R RT (x − c)+c (t)

Uma vez que

R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):

v = ω × (x − c)+c (t)

Ou ainda:v = ω × r+

c (t)

onde r = (x − c)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 12 / 56

Cinematica do Corpo Rıgido

Velocidade de um Ponto (cont.)Assim:

v =

R RT (x − c)+c (t)

Uma vez que

R RT e antisimetrico (Ex. 2C1.2, pag.48):

v = ω × (x − c)+c (t)

Ou ainda:v = ω × r+

c (t)

onde r = (x − c)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 12 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 13 / 56

Gradiente de Deslocamentos

Em um ponto P:

x = X + u(X, t)

Em um ponto vizinho Q:

x + dx = X + dX + u(X + dX, t)

Subtraindo as equacoes anteriores:

dx = dX + u(X + dX, t) − u(X, t)

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Gradiente de Deslocamentos

Em um ponto P:

x = X + u(X, t)

Em um ponto vizinho Q:

x + dx = X + dX + u(X + dX, t)

Subtraindo as equacoes anteriores:

dx = dX + u(X + dX, t) − u(X, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 13 / 56

Gradiente de Deslocamentos

E portanto:dx = dX + ∇u dX

onde:

[∇u] =

∂u1

∂X1

∂u1

∂X2

∂u1

∂X3

∂u2

∂X1

∂u2

∂X2

∂u2

∂X3

∂u3

∂X1

∂u3

∂X2

∂u3

∂X3

.

Se ∇u = 0, entao dx = dX e o movimento da vizinhanca do ponto P e uma translacaode corpo rıgido.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 14 / 56

Gradiente de Deslocamentos

E portanto:dx = dX + ∇u dX

onde:

[∇u] =

∂u1

∂X1

∂u1

∂X2

∂u1

∂X3

∂u2

∂X1

∂u2

∂X2

∂u2

∂X3

∂u3

∂X1

∂u3

∂X2

∂u3

∂X3

.

Se ∇u = 0, entao dx = dX e o movimento da vizinhanca do ponto P e uma translacaode corpo rıgido.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 14 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Considerando:

dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)

dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +

+∇u dX(1) · ∇u dX(2).

E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)

(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Considerando:

dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)

dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +

+∇u dX(1) · ∇u dX(2).

E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)

(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 15 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Considerando:

dx(1) = dX(1) + ∇u dX(1)

dx(2) = dX(2) + ∇u dX(2).

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u dX(2) + dX(2) · ∇u dX(1) +

+∇u dX(1) · ∇u dX(2).

E tambem:dX(2) · ∇u dX(1) = dX(1) · ∇uT dX(2)

(∇u)dX(2) · (∇u)dX(1) = dX(1) · ∇uT ∇u dX(2).

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Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Colocando-se em evidencia o termo dX(1):

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u + ∇uT + ∇uT ∇u dX(2)

E, para pequenas deformacoes:

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + 2dX(1) · EdX(2)

Definido o tensor de deformacoes infinitesimais como:

E =12

∇u + ∇uT

.

Em outras palavras E e a parte simetrica de ∇u.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 16 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Colocando-se em evidencia o termo dX(1):

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + dX(1) · ∇u + ∇uT + ∇uT ∇u dX(2)

E, para pequenas deformacoes:

dx(1) · dx(2) = dX(1) · dX(2) + 2dX(1) · EdX(2)

Definido o tensor de deformacoes infinitesimais como:

E =12

∇u + ∇uT

.

Em outras palavras E e a parte simetrica de ∇u.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 16 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Componentes

Eij =12

(∂ui

∂Xj+∂uj

∂Xi

)

ou ainda

[E] =

∂u1

∂X1

12

(∂u1

∂X2+∂u2

∂X1

)12

(∂u1

∂X3+∂u3

∂X1

)12

(∂u1

∂X2+∂u2

∂X1

)∂u2

∂X2

12

(∂u2

∂X3+∂u3

∂X2

)12

(∂u1

∂X3+∂u3

∂X1

)12

(∂u2

∂X3+∂u3

∂X2

)∂u3

∂X3

.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 17 / 56

Tensor de Deformacoes Infinitesimais

Componentes

Eij =12

(∂ui

∂Xj+∂uj

∂Xi

)ou ainda

[E] =

∂u1

∂X1

12

(∂u1

∂X2+∂u2

∂X1

)12

(∂u1

∂X3+∂u3

∂X1

)12

(∂u1

∂X2+∂u2

∂X1

)∂u2

∂X2

12

(∂u2

∂X3+∂u3

∂X2

)12

(∂u1

∂X3+∂u3

∂X1

)12

(∂u2

∂X3+∂u3

∂X2

)∂u3

∂X3

.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 17 / 56

Programa

1 Cinematica IDescricao do MovimentoDerivada MaterialAceleracao de uma PartıculaCinematica do Corpo RıgidoGradiente de DeslocamentosDeformacoes InfinitesimaisInterpretacao Geometrica

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:

ds2 − dS2 = 2dS2n · En.

Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:

(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)

E finalmente:ds − dS

dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)

Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:

ds2 − dS2 = 2dS2n · En.

Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:

(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)

E finalmente:ds − dS

dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)

Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:

ds2 − dS2 = 2dS2n · En.

Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:

(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)

E finalmente:ds − dS

dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)

Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos da DiagonalConsiderando dX = dSn, com n unitario e ds = |dx|:

ds2 − dS2 = 2dS2n · En.

Para pequenas deformacoes: (ds − dS)2 = (ds2 − 2dsdS + dS2) ≈ 0, logo:

(ds2 − 2dsdS + dS2 + dS2 − dS2) ≈ 0 −→ ds2 − dS2 ≈ 2dS(ds − dS)

E finalmente:ds − dS

dS= n · En = E(n)(n) (sem soma em n)

Logo E11 e o alongamento relativo (unitario) de um segmento inicialmente na direcaode x1.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 18 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:

dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1

dS1

ds2

dS2cos(θ) = 2m · En

Fazendo:θ =

π

2− γ −→ cos

(π

2− γ

)= senγ

Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2

dS2≈ 1, entao:

γ = 2m · En

Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:

dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1

dS1

ds2

dS2cos(θ) = 2m · En

Fazendo:θ =

π

2− γ −→ cos

(π

2− γ

)= senγ

Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2

dS2≈ 1, entao:

γ = 2m · En

Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:

dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1

dS1

ds2

dS2cos(θ) = 2m · En

Fazendo:θ =

π

2− γ −→ cos

(π

2− γ

)= senγ

Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2

dS2≈ 1, entao:

γ = 2m · En

Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56

Interpretacao Geometrica

Elementos Fora da DiagonalConsidere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unitarios m e n saoperpendiculares entre si.Logo:

dx(1) · dx(2) = ds1ds2 cos(θ) = 2dS1dS2m · En⇒ds1

dS1

ds2

dS2cos(θ) = 2m · En

Fazendo:θ =

π

2− γ −→ cos

(π

2− γ

)= senγ

Para pequenas deformacoes senγ ≈ γ, ds1dS1≈ 1, ds2

dS2≈ 1, entao:

γ = 2m · En

Logo E12 fornece o decrescimo no angulo entre os dois elementos inicialmente nasdirecoes de x1 e x2.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 19 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56

Deformacoes Principais

Uma vez que E e simetrico:

[E]ni =

E1 0 00 E2 00 0 E3

Autovalores Deformacoes principais, incluem os valores extremos dos

alongamentos.Autovetores Direcoes principais, permanecem perpendiculares apos a deformacao.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 20 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 21 / 56

Dilatacao Especıfica

∆(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) − (dS1)(dS2)(dS3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)

+ termos de ordem superior

Logo:

e ≡∆(dV)

dV= E1 + E2 + E3

= E11 + E22 + E33

E tambem:

e = Eii =∂ui

∂Xi= div u

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 21 / 56

Dilatacao Especıfica

∆(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) − (dS1)(dS2)(dS3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)

+ termos de ordem superior

Logo:

e ≡∆(dV)

dV= E1 + E2 + E3

= E11 + E22 + E33

E tambem:

e = Eii =∂ui

∂Xi= div u

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 21 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Tensor de Rotacao Infinitesimal

A equacao:dx = dX + ∇u dX

Pode ser reescrita como:

dx = dX + (E +Ω) dX

Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:

ΩdX = tA × dX

ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3

Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Tensor de Rotacao Infinitesimal

A equacao:dx = dX + ∇u dX

Pode ser reescrita como:

dx = dX + (E +Ω) dX

Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:

ΩdX = tA × dX

ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3

Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Tensor de Rotacao Infinitesimal

A equacao:dx = dX + ∇u dX

Pode ser reescrita como:

dx = dX + (E +Ω) dX

Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:

ΩdX = tA × dX

ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3

Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Tensor de Rotacao Infinitesimal

A equacao:dx = dX + ∇u dX

Pode ser reescrita como:

dx = dX + (E +Ω) dX

Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:

ΩdX = tA × dX

ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3

Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.

Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Tensor de Rotacao Infinitesimal

A equacao:dx = dX + ∇u dX

Pode ser reescrita como:

dx = dX + (E +Ω) dX

Logo Ω e a parte anti-simetrica de ∇u o que leva a:

ΩdX = tA × dX

ondetA = Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3

Para dX em uma direcao principal, a mudanca de direcao se deve exclusivamente a Ω.Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotacoes infinitesimais destessegmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 22 / 56

Taxa de Variacao Temporal de um Elemento Material

DDt

dx

Como:dx = x(X + dX, t) − x(X, t)

Pode-se escrever a derivada material como:( DDt

)dx =

( DDt

)x(X + dX, t) −

( DDt

)x(X, t)

Entretanto, ( DDt

)x = v(X, t) = v(x, t)

Logo: ( DDt

)dx = v(X + dX, t) − v(X, t)

= v(x + dx, t) − v(x, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 23 / 56

Taxa de Variacao Temporal de um Elemento Material

DDt

dx

Como:dx = x(X + dX, t) − x(X, t)

Pode-se escrever a derivada material como:( DDt

)dx =

( DDt

)x(X + dX, t) −

( DDt

)x(X, t)

Entretanto, ( DDt

)x = v(X, t) = v(x, t)

Logo: ( DDt

)dx = v(X + dX, t) − v(X, t)

= v(x + dx, t) − v(x, t)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 23 / 56

( DDt

)dx

Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt

)dx = ∇XvdX e

( DDt

)dx = ∇xvdx

Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.

Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:

( DDt

)dx = ∇vdx e [∇v] =

∂v1

∂x1

∂v1

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

∂v2

∂x3

∂v3

∂x1

∂v3

∂x2

∂v3

∂x3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56

( DDt

)dx

Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt

)dx = ∇XvdX e

( DDt

)dx = ∇xvdx

Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:

( DDt

)dx = ∇vdx

e [∇v] =

∂v1

∂x1

∂v1

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

∂v2

∂x3

∂v3

∂x1

∂v3

∂x2

∂v3

∂x3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56

( DDt

)dx

Da definicao de gradiente, tem-se:( DDt

)dx = ∇XvdX e

( DDt

)dx = ∇xvdx

Respectivamente na descricao material e na descricao espacial.Representando ∇xv simplesmente como ∇v, pode-se escrever:

( DDt

)dx = ∇vdx e [∇v] =

∂v1

∂x1

∂v1

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

∂v2

∂x3

∂v3

∂x1

∂v3

∂x2

∂v3

∂x3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 24 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:

D =∇v + ∇vT

2e W =

∇v − ∇vT

2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.

Fazendo dx = dsn com n unitario entao:

dx · dx = ds2

e tomando a derivada material:

2dx ·DDt

(dx) = 2dsDDt

ds

Logo:

dx ·DDt

(dx) = dx · ∇vdx

= dx · Ddx + dx ·Wdx

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:

D =∇v + ∇vT

2e W =

∇v − ∇vT

2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:

dx · dx = ds2

e tomando a derivada material:

2dx ·DDt

(dx) = 2dsDDt

ds

Logo:

dx ·DDt

(dx) = dx · ∇vdx

= dx · Ddx + dx ·Wdx

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:

D =∇v + ∇vT

2e W =

∇v − ∇vT

2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:

dx · dx = ds2

e tomando a derivada material:

2dx ·DDt

(dx) = 2dsDDt

ds

Logo:

dx ·DDt

(dx) = dx · ∇vdx

= dx · Ddx + dx ·Wdx

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:

D =∇v + ∇vT

2e W =

∇v − ∇vT

2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:

dx · dx = ds2

e tomando a derivada material:

2dx ·DDt

(dx) = 2dsDDt

ds

Logo:

dx ·DDt

(dx) = dx · ∇vdx

= dx · Ddx + dx ·Wdx

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

O gradiente da velocidade ∇v pode ser decomposto em sua parte simetrica eanti-simetrica:

D =∇v + ∇vT

2e W =

∇v − ∇vT

2respectivamente o tensor de taxa de deformacao e o tensor de spin.Fazendo dx = dsn com n unitario entao:

dx · dx = ds2

e tomando a derivada material:

2dx ·DDt

(dx) = 2dsDDt

ds

Logo:

dx ·DDt

(dx) = dx · ∇vdx

= dx · Ddx + dx ·Wdx

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 25 / 56

Taxa de Deformacao

Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:

dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx

Logo:dx ·Wdx = 0

E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:

dx ·DDt

(dx) = dx · Ddx = dsDDt

ds

Com dx = dsn :

1ds

DDt

ds = n · Dn = Dnn sem soma em n

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56

Taxa de Deformacao

Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:

dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx

Logo:dx ·Wdx = 0

E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:

dx ·DDt

(dx) = dx · Ddx

= dsDDt

ds

Com dx = dsn :

1ds

DDt

ds = n · Dn = Dnn sem soma em n

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56

Taxa de Deformacao

Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:

dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx

Logo:dx ·Wdx = 0

E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:

dx ·DDt

(dx) = dx · Ddx = dsDDt

ds

Com dx = dsn :

1ds

DDt

ds = n · Dn = Dnn sem soma em n

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56

Taxa de Deformacao

Da definicao de transposto e usando que W e antisimetrico:

dx ·Wdx = dx ·WTdx = −dx ·Wdx

Logo:dx ·Wdx = 0

E portanto, usando a relacao anteriormente obtida:

dx ·DDt

(dx) = dx · Ddx = dsDDt

ds

Com dx = dsn :

1ds

DDt

ds = n · Dn = Dnn sem soma em n

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 26 / 56

Taxa de Deformacao

Logo pode-se dar interpretacao geometrica aos coeficientes de D analoga aoscoeficientes de E.Analogamente, tambem:

D11 + D22 + D33 =1

dVD(dV)

Dt

Em termos das componentes de velocidade:

1dV

D(dV)Dt

=∂vi

∂xi= div v

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 27 / 56

Taxa de Deformacao

Logo pode-se dar interpretacao geometrica aos coeficientes de D analoga aoscoeficientes de E.Analogamente, tambem:

D11 + D22 + D33 =1

dVD(dV)

Dt

Em termos das componentes de velocidade:

1dV

D(dV)Dt

=∂vi

∂xi= div v

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 27 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx

= (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx = (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx = (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx = (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.

Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx = (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular

Uma vez que W e anti-simetrico:

Wa = ω × a

Logo:

DDt

(dx) = ∇vdx = (D + W)dx

= Ddx + ω × dx

Interpretacao GeometricaW rotaciona dx de uma velocidade angular ω.Devido ao efeito de D, so os elementos materiais nas direcoes principais giramcom velocidade angular ω.

Na mecanica dos fluidos 2W e conhecido como tensor de vorticidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 28 / 56

Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56

Conservacao da Massa

Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:

DDt

(ρdV) = 0

Logo:

ρDDt

(dV) + dVDDt

(ρ) = 0

Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV

D(dV)Dt =

∂vi∂xi

= div v:

ρ∂vi

∂xi+

DDt

(ρ) = 0

Ou em notacao direta:

ρ div v +DρDt

= 0

que e conhecida como equacao de continuidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56

Conservacao da Massa

Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:

DDt

(ρdV) = 0

Logo:

ρDDt

(dV) + dVDDt

(ρ) = 0

Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV

D(dV)Dt =

∂vi∂xi

= div v:

ρ∂vi

∂xi+

DDt

(ρ) = 0

Ou em notacao direta:

ρ div v +DρDt

= 0

que e conhecida como equacao de continuidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56

Conservacao da Massa

Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:

DDt

(ρdV) = 0

Logo:

ρDDt

(dV) + dVDDt

(ρ) = 0

Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV

D(dV)Dt =

∂vi∂xi

= div v:

ρ∂vi

∂xi+

DDt

(ρ) = 0

Ou em notacao direta:

ρ div v +DρDt

= 0

que e conhecida como equacao de continuidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56

Conservacao da Massa

Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = ρdVtem-se:

DDt

(ρdV) = 0

Logo:

ρDDt

(dV) + dVDDt

(ρ) = 0

Usando a relacao obtida anteriormente, 1dV

D(dV)Dt =

∂vi∂xi

= div v:

ρ∂vi

∂xi+

DDt

(ρ) = 0

Ou em notacao direta:

ρ div v +DρDt

= 0

que e conhecida como equacao de continuidade.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 29 / 56

Conservacao da Massa

Se for utilizada a descricao espacial para ρ:

DρDt

=∂ρ

∂t+ v · ∇ρ

Logo, em componentes cartesianas 1:

ρdiv v +∂ρ

∂t+ v · ∇ρ = 0

ρ

(∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3

)+∂ρ

∂t+ v1

∂ρ

∂x1+ v2

∂ρ

∂x2+ v3

∂ρ

∂x3= 0

Para materiais incompressıveis temos ρ constante, logo 2:

div v = 0

ou∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3= 0

1E se ρ depender da temperatura θ(x(t), t), onde ρ = ρ( t, x(t), θ(x(t), t) )?2http://goo.gl/f02dxK

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 30 / 56

Conservacao da Massa

Se for utilizada a descricao espacial para ρ:

DρDt

=∂ρ

∂t+ v · ∇ρ

Logo, em componentes cartesianas 1:

ρdiv v +∂ρ

∂t+ v · ∇ρ = 0

ρ

(∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3

)+∂ρ

∂t+ v1

∂ρ

∂x1+ v2

∂ρ

∂x2+ v3

∂ρ

∂x3= 0

Para materiais incompressıveis temos ρ constante, logo 2:

div v = 0

ou∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3= 0

1E se ρ depender da temperatura θ(x(t), t), onde ρ = ρ( t, x(t), θ(x(t), t) )?2http://goo.gl/f02dxK

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Programa

2 Cinematica IIDeformacoes PrincipaisDilatacao EspecıficaTensor de Rotacao InfinitesimalTaxa de DeformacaoTensor SpinConservacao da MassaCondicoes de Compatibilidade

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Condicoes de Compatibilidade

Dadas tres funcoes u1, u2 e u3 e sempre possıvel determinar Eij, mas o inverso nao.Para que isto se verifique e necessario que:

∂2E11

∂X22

+∂2E22

∂X21

= 2∂2E12

∂X1∂X2

∂2E11

∂X23

+∂2E33

∂X21

= 2∂2E13

∂X1∂X3

∂2E22

∂X23

+∂2E33

∂X22

= 2∂2E23

∂X2∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 31 / 56

Condicoes de Compatibilidade

E tambem:

∂2E11

∂X2∂X3=

∂

∂X1

(−∂E23

∂X1+∂E13

∂X2+∂E12

∂X3

)∂2E22

∂X1∂X3=

∂

∂X2

(−∂E13

∂X2+∂E12

∂X3+∂E23

∂X1

)∂2E33

∂X1∂X2=

∂

∂X3

(−∂E12

∂X3+∂E23

∂X1+∂E13

∂X2

)

Condicoes de compatibilidade para DAnalogamente podem ser escritas condicoes de compatibilidade para o tensor de Taxade Deformacao, D.Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estascondicoes sao implicitamente satisfeitas.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 32 / 56

Condicoes de Compatibilidade

E tambem:

∂2E11

∂X2∂X3=

∂

∂X1

(−∂E23

∂X1+∂E13

∂X2+∂E12

∂X3

)∂2E22

∂X1∂X3=

∂

∂X2

(−∂E13

∂X2+∂E12

∂X3+∂E23

∂X1

)∂2E33

∂X1∂X2=

∂

∂X3

(−∂E12

∂X3+∂E23

∂X1+∂E13

∂X2

)

Condicoes de compatibilidade para DAnalogamente podem ser escritas condicoes de compatibilidade para o tensor de Taxade Deformacao, D.Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estascondicoes sao implicitamente satisfeitas.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 32 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

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Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t)

= ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx

ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx ou F = ∇0x

ou F = Gradx ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx

ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Lembrando que x = x(X, t), pode-se obter:

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) = ∇XxdX

Definindo o tensor Gradiente de Deformacao como:

F = ∇Xx ou F = ∇0x ou F = Gradx ou F = ∇x

Em componentes cartesianas:

[F] =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 33 / 56

Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56

Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56

Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

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Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56

Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano.

E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 34 / 56

Gradiente de Deformacao F

Pode se escrever entao:dx = FdX

E lembrando que x = X + u, obtem-se :

F = I + ∇u

FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I + ∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u= I + 2E∗

Onde E∗ e o tensor de deformacao Lagrangeano. E para pequenas deformacoes:

FTF = I + 2E

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Gradiente de Deformacao F

Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:

FTF = I e det F = 1

Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.

Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:

dx(1) = λ1dX(1)

dx(2) = λ2dX(2)

dx(3) = λ3dX(3)

Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56

Gradiente de Deformacao F

Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:

FTF = I e det F = 1

Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.

Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:

dx(1) = λ1dX(1)

dx(2) = λ2dX(2)

dx(3) = λ3dX(3)

Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56

Gradiente de Deformacao F

Movimentos de Corpo Rıgido LocaisEm um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:

FTF = I e det F = 1

Nestes pontos ocorre uma rotacao de corpo rıgido.

Alongamento PuroEm pontos em que F e simetrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direcoesprincipais, nas quais:

dx(1) = λ1dX(1)

dx(2) = λ2dX(2)

dx(3) = λ3dX(3)

Nao ha mudanca de direcao e |dx(1)|/|dX(1)| = λ1.Se U e constante o movimento e dito homogeneo.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 35 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 36 / 56

Caso Geral de F

Teorema da Decomposicao PolarUm tensor qualquer F inversıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto noproduto:

F = RU ou F = VR

onde R e um tensor ortogonal proprio (rotacao) e U e V sao tensores simetricos epositivos definidos.

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 36 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF

= (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU)

= UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU

= UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Dado F e sabendo que F = RU:

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

LogoU2 = FTF

Atraves da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:

U =(FTF

)1/2

R = FU−1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 37 / 56

Decomposicao de F

Da expressao anterior:

RTR =(FU−1

)T (FU−1

)

= U−1FTFU−1

= U−1U2U−1

= I

o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:

V = RURT

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56

Decomposicao de F

Da expressao anterior:

RTR =(FU−1

)T (FU−1

)= U−1FTFU−1

= U−1U2U−1

= I

o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:

V = RURT

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56

Decomposicao de F

Da expressao anterior:

RTR =(FU−1

)T (FU−1

)= U−1FTFU−1

= U−1U2U−1

= I

o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:

V = RURT

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56

Decomposicao de F

Da expressao anterior:

RTR =(FU−1

)T (FU−1

)= U−1FTFU−1

= U−1U2U−1

= I

o que mostra que R e ortogonal, como esperado.

O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:

V = RURT

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56

Decomposicao de F

Da expressao anterior:

RTR =(FU−1

)T (FU−1

)= U−1FTFU−1

= U−1U2U−1

= I

o que mostra que R e ortogonal, como esperado.O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RUcomo:

V = RURT

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 38 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2)

= FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1)

= dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Tambem conhecido como tensor de deformacao de Green:

C ≡ FTF = U2

Interpretacao Geometrica: DiagonalConsiderando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)

Pode-se escrever:

dx(1) · dx(2) = FdX(1) · FdX(2) = FdX(2) · FdX(1) = dX(1) · FTFdX(2)

= dX(1) · CdX(2)

Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 edx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos

ds21 = dS2

1e1 · Ce1 = dS21C11 −→ C11 =

(ds1

dS1

)2

para o elemento material dX = dS1e1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 39 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m edx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:

ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2e1 · Ce2

ou, de outra forma:

C12 =ds1ds2

dS1dS2cos(dx(1), dx(2))

Da mesma forma para as demais componentes.

am e n sao vetores unitarios que fazem um angulo β = cos(dx(1), dx(2)) entre si

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 40 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Direito

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m edx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:

ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2e1 · Ce2

ou, de outra forma:

C12 =ds1ds2

dS1dS2cos(dx(1), dx(2))

Da mesma forma para as demais componentes.

am e n sao vetores unitarios que fazem um angulo β = cos(dx(1), dx(2)) entre si

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 40 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 41 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF

= (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 41 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u)

= I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 41 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 41 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

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Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

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Tensor de Deformacao Lagrangeano

Lembrando o caso geral do tensor de deformacao infinitesimal:

E∗ =12

(∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇u

)e tambem que

C = FTF = (I + ∇u)T (I + ∇u) = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u)T (∇u)

Pode-se escrever:E∗ =

12

(C − I)

que leva a:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dX(1) · (C − I) dX(2)

= 2dX(1) · E∗dX(2)

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Tensor de Deformacao Lagrangeano

Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:

ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.

Logo:

E11 =12

ds2 − dS2

dS2para dX = dSe1

e analogamente para os demais termos da diagonal.

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:

E∗12 =12

ds1ds2

dS1dS2cos

(dx(1), dx(2)

)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 42 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:

ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.

Logo:

E11 =12

ds2 − dS2

dS2para dX = dSe1

e analogamente para os demais termos da diagonal.

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:

E∗12 =12

ds1ds2

dS1dS2cos

(dx(1), dx(2)

)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 42 / 56

Tensor de Deformacao Lagrangeano

Interpretacao Geometrica: DiagonalDeforma analoga ao caso linear:

ds2 − dS2 = 2dS2e1 · E∗e1.

Logo:

E11 =12

ds2 − dS2

dS2para dX = dSe1

e analogamente para os demais termos da diagonal.

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalFazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:

E∗12 =12

ds1ds2

dS1dS2cos

(dx(1), dx(2)

)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 42 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT

= VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T

= V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT

= (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T

= I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Seja:B = FFT = VR(VR)T = V2

Substituindo F = RU, chega-se a:

B = RCRT e C = RTBR

Pode-se verificar que se n e autovetor de B com autovalor λ, entao Rn e autovetor deC com o mesmo autovalor.

Relacao com ∇uPode-se expressar B em termos de ∇u, como:

B = FFT = (I + ∇u) (I + ∇u)T = I +[∇u + (∇u)T

]+ (∇u) (∇u)T

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 43 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn

= dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: DiagonalFazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:

ds2 = dS2n · Cn = dS2RTe1 · CRTe1

= dS2e1 ·(CRT

)TRTe1

= dS2e1 · RCRTe1

= dS2e1 · Be1

Logo:

B11 =

(dsdS

)2

para dX = RTe1

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 44 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:

ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2

(RTe1

)· CRTe2

= dS1dS2e1 · Be2

Logo:

B12 =ds1ds2

dS1dS2cos(dx(1), dx(2)) para

dX(1) = dS1RTe1

edX(2) = dS2RTe2

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 45 / 56

Tensor Deformacao de Cauchy-Green Esquerdo

Interpretacao Geometrica: Fora da DiagonalConsiderando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:

ds1ds2 cos(dx(1), dx(2)) = dS1dS2

(RTe1

)· CRTe2

= dS1dS2e1 · Be2

Logo:

B12 =ds1ds2

dS1dS2cos(dx(1), dx(2)) para

dX(1) = dS1RTe1

edX(2) = dS2RTe2

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 45 / 56

Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Tensor de Deformacao Euleriano

Seja o Tensor de deformacao Euleriano:

e∗ ≡12

(I − B−1

)

Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0

F−1

Partindo de dx = FdX pode-se escrever:

dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj

Logo:

F−1ij =

dXi

dxj

onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Tensor de Deformacao Euleriano

Seja o Tensor de deformacao Euleriano:

e∗ ≡12

(I − B−1

)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0

F−1

Partindo de dx = FdX pode-se escrever:

dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj

Logo:

F−1ij =

dXi

dxj

onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Tensor de Deformacao Euleriano

Seja o Tensor de deformacao Euleriano:

e∗ ≡12

(I − B−1

)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0

F−1

Partindo de dx = FdX pode-se escrever:

dX = F−1dx

e ainda dXi = F−1ij dxj

Logo:

F−1ij =

dXi

dxj

onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Tensor de Deformacao Euleriano

Seja o Tensor de deformacao Euleriano:

e∗ ≡12

(I − B−1

)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0

F−1

Partindo de dx = FdX pode-se escrever:

dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj

Logo:

F−1ij =

dXi

dxj

onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Tensor de Deformacao Euleriano

Seja o Tensor de deformacao Euleriano:

e∗ ≡12

(I − B−1

)Sem deformacao: B−1 = I e e∗ = 0

F−1

Partindo de dx = FdX pode-se escrever:

dX = F−1dx e ainda dXi = F−1ij dxj

Logo:

F−1ij =

dXi

dxj

onde Xi = Xi(x1, x2, x3, t) e a funcao inversa de xi = xi(X1,X2,X3, t).

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 46 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

Fazendo:

dX(1) · dX(2) = F−1dx(1) · F−1dx(2)

= F−1dx(2) · F−1dx(1)

= dx(1) ·(F−1

)TF−1dx(2)

= dx(1) ·(FFT

)−1dx(2)

Isto edX(1) · dX(2) = dx(1) · B−1dx(2)

Logo:

dx(1) · dx(2) − dX(1) · dX(2) = dx(1) ·(I − B−1

)dx(2)

= 2dx(1) · e∗dx(2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 47 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:

B−111 =

dS2

ds2

e tambem e∗11 =12

(ds2 − dS2

)ds2

Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:

B−112 =

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

e tambem2e12 = 1 −

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 48 / 56

Interpretacao Geometrica de e∗

DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:

B−111 =

dS2

ds2 e tambem e∗11 =12

(ds2 − dS2

)ds2

Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:

B−112 =

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

e tambem2e12 = 1 −

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

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Interpretacao Geometrica de e∗

DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:

B−111 =

dS2

ds2 e tambem e∗11 =12

(ds2 − dS2

)ds2

Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:

B−112 =

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

e tambem2e12 = 1 −

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

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Interpretacao Geometrica de e∗

DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:

B−111 =

dS2

ds2 e tambem e∗11 =12

(ds2 − dS2

)ds2

Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:

B−112 =

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

e tambem2e12 = 1 −

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

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Interpretacao Geometrica de e∗

DiagonalFazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obtem-se:

B−111 =

dS2

ds2 e tambem e∗11 =12

(ds2 − dS2

)ds2

Fora da DiagonalFazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obtem-se:

B−112 =

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

e tambem2e12 = 1 −

dS1dS2

ds1ds2cos(dX(1), dX(2))

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Relacoes com ∇u

Lembrando que x = X + u pode-se obter:

X = x − u(x1, x2, x3, t)

onde se utiliza uma descricao espacial para u.

Logo:∂Xi

∂xj= δij −

∂ui

∂xj

ou

F−1 = I − ∇xu

com[∇xu]ij =

∂ui

∂xj

[∇Xu]ij =∂ui

∂Xj

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Relacoes com ∇u

Lembrando que x = X + u pode-se obter:

X = x − u(x1, x2, x3, t)

onde se utiliza uma descricao espacial para u.Logo:

∂Xi

∂xj= δij −

∂ui

∂xj

ou

F−1 = I − ∇xu

com[∇xu]ij =

∂ui

∂xj

[∇Xu]ij =∂ui

∂Xj

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Relacoes com ∇u

Lembrando que x = X + u pode-se obter:

X = x − u(x1, x2, x3, t)

onde se utiliza uma descricao espacial para u.Logo:

∂Xi

∂xj= δij −

∂ui

∂xj

ou

F−1 = I − ∇xu

com[∇xu]ij =

∂ui

∂xj

[∇Xu]ij =∂ui

∂Xj

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Relacoes com ∇u

Portanto:

B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)

= I −[∇xu + (∇xu)T

]+ (∇xu)T ∇xu

e tambem:

e∗ =

[∇xu + (∇xu)T

]2

−(∇xu)T ∇xu

2

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Relacoes com ∇u

Portanto:

B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)

= I −[∇xu + (∇xu)T

]+ (∇xu)T ∇xu

e tambem:

e∗ =

[∇xu + (∇xu)T

]2

−(∇xu)T ∇xu

2

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Relacoes com ∇u

Portanto:

B−1 = (I − ∇xu)T (I − ∇xu)

= I −[∇xu + (∇xu)T

]+ (∇xu)T ∇xu

e tambem:

e∗ =

[∇xu + (∇xu)T

]2

−(∇xu)T ∇xu

2

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Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 51 / 56

Resumo das Medidas de Deformacao

Gradiente de deformacao F = RU = VR

Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2

Tendor Cauchy-Green Esquerdo(Finger Tensor) b = FFT = V2

Tensor de deformacao de GreenTensor de deformacao Lagrangiano E = 1

2 (C − I)

Tensor de deformacao de AlmansiTensor de deformacao Eulerian e = 1

2

(I − b−1

)

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Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 52 / 56

Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 52 / 56

Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n

= dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.Em t0 a area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:

dA0 = dX(1) × dX(2)

= dS1dS2e3

= dA0e3

e, analogamente, durante a deformacao no tempo t:

dA = dFdX(1) × FdX(2)

= dS1dS2Fe1 × Fe2

= dA0Fe1 × Fe2

Sendo n o vetor unitario de direcao Fe1 × Fe2, com n =dA0dA (Fe1 × Fe2):

dA = dA n = dA0 (Fe1 × Fe2)

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0

⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒

Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0

⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒

e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA

= Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA =

Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn

= Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn =

Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2)

= dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) =

dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3

= det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.10 53 / 56

Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F

⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒

Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F

⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒

Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F

⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒

FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

Logo:

Fe1 · dA n = Fe2 · dAn = 0⇒ Fe1 · n = Fe2 · n = 0⇒ e1 · FTn = e2 · FTn = 0

com isso temos que FTn e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:

Fe3 · dA = Fe3 · dAn = Fe3 · dA0 (Fe1 × Fe2) = dA0 (Fe3 · Fe1 × Fe2)

Lembrando que a · b × c = det [abc]T = det [abc]:

Fe3 · Fe1 × Fe2 = Fe1 · Fe2 × Fe3 = det F

Desta forma

Fe3 · dA = dA0 det F⇒ Fe3 · dAn = dA0 det F⇒ Fe3 · n =dA0

dAdet F

Usando agora a · Tb = b · TTa, a expressao anterior resulta em

e3 · FTn =dA0

dAdet F⇒ FTn =

[dA0

dAdet F

]e3

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣onde

J = |det F|

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣

Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣onde

J = |det F|

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0

⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣onde

J = |det F|

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒

dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣onde

J = |det F|

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣

ondeJ = |det F|

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Mudanca de Area

A area na configuracao deformada e realacionada com a area na configuracaodeformada da seguinte maneira

dA = dA0(det F)∣∣∣(F−1)Te3

∣∣∣Para derivar a expressao acima escolhemos uma area retangular cujo vetores eramparalelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a areaindeforamada tem normal n0

dAn = dA0(det F)(F−1)Tn0 ⇒ dA = dA0J∣∣∣(F−1)Tn0

∣∣∣onde

J = |det F|

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Programa

3 Cinematica IIIGradiente de Deformacao FDecomposicao do Tensor FTensor CTensor de Deformacao LagrangeanoTensor BTensor de Deformacao EulerianoResumoMudanca de AreaMudanca de Volume

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X.

O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um pontomaterial X. O volume formado no tempo t0 e dado por

dV0 = dS1dS2dS3

No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) edx(3) = FdX(3), e o volume e

dV =∣∣∣FdX(1) · FdX(2) × FdX(3)

∣∣∣ = dS1dS2dS3 |Fe1 · Fe2 × Fe3|

Ou seja,

dV = dV0 |det F| = dV0 J ⇒ J =dVdV0

Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto

det C = det B = (det F)2,

e entao temosdV =

√det C dV0 =

√det B dV0

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Mudanca de Volume

Para materiais incompressıveis, dV = dV0 e entao

det C = det B = det F = 1

Podemos observar tambem que da conservacao da massa ρdV = ρ0dV0, que pode serescrita como

ρ =ρ0

det F= ρ =

ρ0√

det C= ρ =

ρ0√

det B.

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