Mecânica e Ondas: Problemas

Ana M. MartinsInstituto Superior Técnico

2008

Contents

1 Revisões matemáticas 2

2 Movimento rectiĺıneo 5

3 Movimento curviĺıneo 7

4 Leis de Newton 10

5 Trabalho e energia 15

6 Momentos linear e angular. Colisões 20

7 Sistemas de part́ıculas. Corpo ŕıgido 23

8 Movimento oscilatório 26

9 Campo grav́ıtico 29

10 Movimento ondulatório 32

1

Chapter 1

Revisões matemáticas

I. Cáculo diferencial integral e vectorial

1.1 - Sabendo que f(x) = 2x3 � 3x+ 5, determine(a)f(�1), (b) f(0), (c) f(x+ h).

R: a) f(�1) = 6. b) f(0) = 5. c) f(x+ h) = 2(x+ h)3 � 3(x+ h).

Recorde a definção de derivada e o seu significado geométrico.1.2 - Use a fórmula ddx(kx

n) = nkx(n�1) (k constante) para calcular aderivada em ordem a x das seguintes funções:

1. f(x) = 3x5

2. f(x) = 3� 5x+ 6x33. f(x) = k

R: a) df/dx = 15x4. b) df/dx = �5 + 18x2. c) df/dx = 0.

1.3 - Use a regra de derivaçao do quociente ddx(u/v) =vu0�uv0

v2 , (onde se fezu0 = du/dx e v0 = (dv/dx) para calcular as derivadas das seguintes funções:

1. f(x) = x/(1 + x)2. f(x) = 1/x

R: a) df/dx = 1/(1 + x)2. b) df/dx = �1/x2.

2

II - Problemas de máximos e mı́nimos

1.4 - Um corpo é projectado verticalmente de baixo para cima com avelocidade de 24m/s, num lugar da Terra onde a aceleração da gravidade ég = 9.6m/s2. A expressão da altura h (em metros), atingida pelo corpo aofim de t segundos é h = 24t� 4.8t2. Determine a altura máxima que o corpopode atingir e o tempo gasto nesse percurso.

R: t = 2.5s ; hmax = 30m.

1.5 - Pretende-se construir uma caldeira ciĺındrica, fechada com um dadovolume V , de modo que a sua área total seja mı́nima. Determinar o raio dabase r, e a altura h, da caldeira em tais condições.

Sugestão: Repare que a área e o volume são, respectivamente: S =2⇡r2+2⇡rh e V = ⇡r2h, tendo sido dito que V é fixo. Substitua h = V/(⇡r2)em S, transformando essa expressão em S(r) = 2⇡r2 + 2V/r.

R: h = 2r, a área total da caldeira é mı́nima quando a altura é igual aodiâmetro da base.

1.6 - Obtenha a série de Taylor da função sinx em torno do ponto x = 0.

1.7 - Calcule os seguintes integrais:

a)Re2xdx. b)

R R2R1

drr . c)

Rxndx

1.8 - Dados dois vectores ~A = 4~i + 3~j e ~B = 2~i � 3~j, onde ~i e ~j são osversores das direcções X e Y , determine e esboce no papel:

a) A soma e a diferença dos dois.b) O produto interno e externo de ambos.

R: a) ~A+ ~B = 6~i; ~A� ~B = 2~i+ 6~j. b) ~A · ~B = �1.

1.9 - Considere um cubo em que três das suas arestas coincidem comos eixos X, Y, Z de um sistema de coordenadas cartesiano e sendo o vérticeO comum às três arestas, coincidente com a origem do sistema. O cuboencontra-se no primeiro octante. Determine a posição do vértice do cubodiametralmente oposto ao vértice O e a distância que se encontra da origem

3

sendo, l é o comprimento das arestas.

R: Seja A o vértice diametralmente oposto a O, então ~rA = l(~i+~j + ~k).O comprimento deste vector é |~rA| =

p3 l.

4

Chapter 2

Movimento rectiĺıneo

2.1 - Suponha que no instante t = 0 se deixa cair uma bola A do cimo deum ed́ıficio e que, 1s depois, se deixa cair outra bola B. Diga justificando sea separação entre as duas bolas:

a) Aumenta com o tempo.b) Diminui com o tempo.c) Se mantém constante no tempo.Sugestão: Tome t = 0 para o instante em que a bola A é largada e

determine as posições yA(t) e yB(t) de cada bola a partir do conhecimentoda aceleração g da gravidade a que as bolas estão submetidas.

R: Escolhendo o eixo OY segundo a vertical do lugar e situando a origemno solo, o movimento das bolas A e B é rectiĺıneo, uniformemente aceler-ado segundo OY , com posição inicial y

0A = y0B = h e velocidade inicialv0A = v0B = 0. Tomando t = 0 como o instante em que a primeira bola élargada temos para equações de movimento das bolasA eB: yA(t) = h�gt2/2e yB(t) = h � (t � 1)2/2. No instate t > 1 a distância entre as duas bo-las é d(t) = yB(t) � yA(t) = g(t � 1/2) > g/2. ` medida que t aumentaaumenta a distância entre as duas bolas. Quando a bola A atinge o solo

yA(tf ) = 0 ) tf =q2h/g and yB(tf ) = g(

q2h/g � 1/2).

2.2 - Uma part́ıcula desloca-se sobre uma recta com velocidade v(t) dadapor v(t) = 7t2 � 5 (m.s�1), onde t está em segundos. Se no instante t = 0sa part́ıcula estiver em x

0

= 0 m, determine a posição da part́ıcula num in-stante genérico t.

5

R: x(t) = 7t3/3� 5t m

2.3 - A aceleração de um foguetão vem dada por, a = bt, onde b é umaconstante positiva. Determine:

a) A posição x(t) no instante genérico t.b) A posição e a velocidade em t = 5s sabendo que no instante t = 0s, a

posição e a velocidade são dadas respectivamente por v0

= 0m.s�1 e x0

= 0me que b = 3m.s�1.

R: a) x(t) = t3/2 m

2.4 - Suponha que uma part́ıcula se desloca em linha recta de tal formaque, em cada instante t as suas, posição e velocidade, têm o mesmo valornumérico expresso em unidades SI.

a) Exprima a posição x em função do tempo.b) Mostre que a aceleração a, da part́ıcula em cada instante t, tem o

mesmo valor numérico que a velocidade e que a posição.

R: a) A posição e velocidade de uma part́ıcula estão relacionadas porv = dxdt . Por hipotese v = ax onde a = 1m.s

�1b), logo dxx = adt. Integrandoobtemos x(t) = x

0

eat = x0

et. b) derivando a posição duas vezes em ordemao tempo obtemos d

2xdt2 = x(t), c.q.d.

2.5 - Uma bola A é deixada cair do cimo de um ed́ıficio de altura h, nomesmo instante em que uma bola B é atirada verticalmente a partir do chãocom velocidade inicial vB0. Sabe-se que as bolas colidem quando se deslocamem sentidos opostos e quando a velocidade de A, em módulo, é o dobro dade B. Determine a que altura ocorre a colisão.

R: A velocidade das part́ıculas A e B em qualquer instante é: vA = �gt evB = vB0� gt e a posição é: yA = h� gt2/2 e yB = vB0t� gt2/2. No instanteda colisão |vA| = 2vB. Daqui conclúımos que as bolas colidem ao fim detc =

2vB03g . Substituindo tc em yB, obtemos a altura da colisão hc =

4v2B09g .

6

Chapter 3

Movimento curviĺıneo

3.1 - Uma part́ıcula tem aceleração constante ~a = 6 ~i + 4 ~j (m.s�2). Noinstante t = 0, a velocidade é nula e o seu vector posição é ~r

0

= 10 ~i(m).Determine

a) A velocidade ~v e a posição ~r em qualquer instante.b) A equação da trajectória da part́ıcula no plano xy e faça um esboço

da mesma.

R: a) Trata-se de um movimento uniformemente acelerado. A velocidadeem qualquer instante t é ~v(t) = ~v

0

+ ~at = 6t~i + 4t~j m.s�1. b) A posição é~r = ~v

0

t+~at2/2 = (103t2)~i+2t2~j, i.e., x(t) = 10+3t3 e y(t) = 2t2. Eliminandoo parâmetro t entre estas duas equações paramétricas obtemos a equação datrajectória y = 2x/3� 20/3.

3.2 - Um canhão é colocado numa rampa cujo declive é dado pelo ângulo�. Projecta-se uma bala numa direcção que faz um ângulo ✓

0

com a horizon-tal e com uma velocidade inicial de módulo v

0

. Mostre que o alcance R, da

bala (medido ao longo da rampa) é dado por R = 2v20cos

2✓0 (tg✓0�tg�)g cos� .

R: A equação de um projéctil lanccdo com uma velocidade inicial ~v0

=v0

(cos ✓0

+ sin ✓0

) é dada pela equaa̧o y = tag✓0

x � g2v20 cos

2 ✓0x2. A equação

da rampa é y = tg�x. A intercepção destas duas funcções dá-se no ponto

de coordenadas xP = (tg✓0 � tg�)2v20 cos

2 ✓0g cos� e yP = tg�xP . O alcance será

R =qx2p + y

2

P .

7

3.3 - Os ponteiros dos minutos (A) e das horas (B), de um relógio deparede medem, respectivamente, LA = 0.50 m e LB = 0.25 m. Tomando ocentro do relógio como origem de um referencial adequadamente escolhido, edesignando por ~rA e ~rB as extremidades dos referidos ponteiros, determine

a) ~rA e ~rB nos instantes: t1 = 12h00m, t2 = 3h30m, t3 = 7h30m.b) Determine, ~rA(t)� ~rB(t), nos instantes referidos na aĺınea anterior.c) Calcule o vector velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos

em função do tempo t e prove que é tangente à circunferência descrita pelareferida extremidade.

d) Qual a aceleração da extremidade do ponteiro dos minutos? Exprima-a como fracção da aceleração da gravidade g.

R: As velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e das horas sãorespectivamente !A = ⇡/30 e !b = ⇡/360. A posição dos ponteiros A e Bem cada instante t contado a partir do momento em que os ponteiros estãocoincidentes e apontando para as 12 horas é ~rA = LA[cos(!At)~i+sin(!At)~j] e~rB = LB[cos(!At)~i+sin(!At)~j]. ~rA(t1) = 0.5~j, ~rA(t2) = 0.5~j, ~rA(t3) = �0.5~j,~rB(t1) = 0.25~j, ~rB(t2) = 0.25~i, ~rB(t3) = 0.25

p2/2~i+~j. d) ~aA = !2A~rA.

3.4 - Um disco de raio R rola sem escorregar num plano horizontal. Oseu centro move-se com velocidade constante v.

a) Mostre que a posição de qualquer ponto P da sua periferia é dada pelasequacções

x(t) = R(!t� sin(!t))y(t) = R(1� cos(!t))onde ! é a velocidade angular do disco e t é o tempo medido a partir do

instante em que P está em contacto com o plano, ponto esse que é tomadocomo origem das coordenadas.

b) Obtenha as componentes da velocidade e da aceleração do ponto P .c) Verifique que em cada instante a velocidade de P é perpendicular à

recta que une P com o ponto do disco que está em contacto com o plano.

R: b) vx(t) = R!(1 � cos(!t), vy(t) = R! sin(!t), ax(t) = R!2 sin(!t),ay(t) = R!2 cos(!t).

3.5 - Um barco aponta para um porto que se encontra a 32 km a NW dasua posição, quando de repente cai um denso nevoeiro. O capitão mantéma mesma direcção de movimento. A sua velocidade em relação à água é de

8

10 km.h�1. O nevoeiro levanta 3h depois e o capitão repara que se encontraa 4 km a Sul do porto.

a) Qual foi a velocidade média da corrente de água durante aquelas 3h?b) Em que direcção deveria ter o barco apontado para alcançar o seu

destino, deslocando-se em linha recta?c) Qual seria o tempo de viagem se tivesse seguido ao longo do percurso

referido na aĺınea b)?

3.6 - Duas bolas são atiradas do cimo de um edif́ıcio de altura h, comvelocidades ~vA0 = v0[cos↵ ~i + sen↵ ~j] e ~vB0 = v0[cos� ~i + sen� ~j], ⇡/2 >↵, � > 0.

a) Mostre que são iguais os módulos das velocidades das bolas, quandoestas chegam ao solo.

b) Admita agora que as bolas são atiradas do mesmo ponto de um campohorizontal com as seguintes velocidades iniciais: ~vA0 = v0[cos(⇡/4 + ↵) ~i +sen(⇡/4+↵) ~j] e ~vB0 = v0[cos(⇡/4�↵) ~i+ sen(⇡/4�↵) ~j]. Mostre que asduas bolas têm o mesmo alcance.

9

Chapter 4

Leis de Newton

4.1 - Um rapaz de massa m = 65kg resolve pesar-se sobre uma balança as-sente num skate que desliza sobre um plano inclinado fazendo um ângulo⇡/6 com a horizontal do lugar, fig.4.1. Admita que não há atrito entre oplano inclinado e o skate. Qual será a leitura da massa do rapaz na balança?

R: As forças que actuam o rapaz são o seu pesom~g e a reacção do skate ~N .Num referencial com o eixo OX paralelo ao plano e apontando para baixo eo eixo OY perpendicular a este e apontando para fora deste, as componentesX e Y das equações de Newton são: (N � mg cos ✓ = 0emg sin ✓ = ma,onde ma é a aceleração do rapaz. Donde N = 552N . A balança lê a forçanormal a esta e converte-a em massa dividindo por g, pois as balanças sãopara ser usadas paralelamente à horizontal do lugar. Assim a massa lida serám0 = N/g = 56, 3Kg.

4.2 - Um bloco de massa M está suspenso de um dinamómetro, calibradoem Newtons e que por sua vez está suspenso do tecto de um elevador. Qualo peso indicado no dinamómetro quando:

a) O elevador se desloca para cima com velocidade constante v?b) O elevador se desloca para baixo com velocidade constante v?c) O elevador se desloca para cima com aceleração constante a?Dados: v = 30 m.s�1, M = 2 kg.d) Entre os instantes t = 0s e t = 5s o elevador desloca-se para cima

com velocidade v = 10 m.s�1. Nos 4s seguintes o elevador desacelera uni-formemente até parar no instante t = 9s. Descreva a leitura no dinamómetrodurante o intervalo de tempo 0s t 9s e faça um esboço do peso do bloco

10

em função do tempo.

R: a) A massa m está suspensa do dinamómetro que por sua vez estásuspenso no tecto de um elevador, que está ligado á estrutra do prédio porintermédio de um cabo. A força ~F exercida sobre o cabo é igual à forç que esteexerce sobre o elevador e este, por sua vez exerce na massa. Num referencial Ssolidrio com o solo um observador verá a massa deslocar-se com a aceleração~a. Neste referencial a equação de movimento é F�mg = ma. Se a velocidadedo elevador em relação a S for constate então a = 0 e F = mg = 19, 6N . b)racioćınio igual ao anterior. c) Se ~a = a~j, então F = m(g � a) = 25, 6N.

4.3 - O dispositivo representado na fig.4.2, é uma máquina de Atwoodque é usada para medir a aceleração da gravidade g, a partir da medida daaceleração dos dois blocos. Desprezando a massa da roldana e da corda,

a) Mostre que a aceleração de cada um dos blocos e a tensão na cordasão dados por: a = m1�m2m1+m2 g e T =

2m1m2m1+m2

g

b) Admitindo que, m1

> m2

, mostre que a tensão máxima posśıvel nacorda é Tmax = 2m2g. Explique fisicamente este resultado.

c) Imprime-se uma aceleração aR, para cima, à roldana da máquina deAtwood. Determine a aceleração de cada uma das massas m

1

e m2

e a tensãona corda que as liga.

R: As forças que actuam os blocos i = 1, 2 são o peso mig e a tensão T .As equações de movimento de cada bloco são T�mig = miai (i = 1, 2). Sejal = �l

1

� l2

+ c o comprimento da corda e li é a posição da massa i ao eixoda rodana. d

2ldt2 = 0 pois a corda é inextenśıvel. Logo a1 = a2 = a. Substi-

tuindo nas equações de movimento de cada massa obtemos para a e para Tas expressões acima indicadas. c) a

1

= (m2�m1)g+2m2aRm1+m2 , a2 =(m1�m2)g+2m1aR

m1+m2,

T = 2m1m2m1+m2 (g + aR).

4.4 - Uma pequena bola de massa m, inicialmente no ponto A, deslizasobre uma superfcie circular, ABD sem atrito, ver fig. 4.3. Demonstre quequando a bola passa pelo ponto C a sua velocidade angular e a força exercida

pela superf́ıcie são ! =q

2gr sin↵ e N = 3mg sin↵, respectivamente.

4.5 - Um bloco de massa mA desliza ao longo de uma superf́ıcie sem

11

atrito. O bloco está ligado por um fio de massa desprezável a outro de massamB, como mostra a fig. 4.4. Determine:

a) Qual a distância percorrida pelo bloco A quando o bloco B se deslocade �xB.

b) A aceleração de cada bloco e a tensão na corda.Dados: mA = 20kg, mB = 5kg e �xB = 10cm.

R: a) �xA = 1/2�xB. b) aA = aB/2, aB =4mB

mA+4mBg, T = mAmBmA+mB g.

4.6 - Um bloco de massa m está assente sobre uma superf́ıcie horizontal.Aplica-se ao bloco uma força ~F que faz angulo ✓ com a superf́ıcie, como semostra na fig. 4.5. Seja µs o coeficiente de atrito estático.

a) Mostre que a força mı́nima ~Fm, necessária para deslocar o bloco, devefazer com o plano horizontal um ângulo ✓m = arctg(µs).

b) Mostre que o módulo da força mı́nima é Fm =µsp1+µ2s

mg.

c) Admita que o bloco já se está a deslocar e diga o que deve fazer sepretender aplicar a menor força necessária para o manter em movimento:aumentar ou diminuir o ângulo.

R: c) Diminuir.

4.7 - Um bloco de massa m2

desliza sobre uma mesa sem atrito por acçãode uma força ~F , como se mostra na fig.4.6. Os coeficientes de atrito estáticoe cinético entre m

1

e m2

são µs e µk.a) Qual a força horizontal máxima, FM , que se pode aplicar a m2 de

forma a m1

não deslizar sobre m2

?b) Suponha que FM tem metade daquele valor. Determine qual a acel-

eração em cada bloco e a força de atrito entre eles.c) Supondo que FM é o dobro do valor encontrado em a), determine a

aceleração em cada bloco..Dados: m

1

= 4 kg ; m2

= 2 kg ; µs = 0, 3 e µk = 0, 2.

R: 17.7N b) 1.47m/s2; 7.87m/s2.

4.8 - Um engenheiro civil pretende projectar uma secção curva de umaautoestrada que obedeça às seguintes especificações: um carro em repousonao deve deslizar para baixo quando a estrada estiver coberta de gelo e ainda

12

um carro deslocando-se a menos de 60km/h não deve sair da curva, ver fig.4.7. Qual deverá ser o raio de curvatura mı́nimo e qual deverá ser o ângulo deinclinação da curva? O atrito estático entre a estrada com gelo e a borrachados pneus é µs = 0, 08?

R: 354m e 4.6 rad.

13

n6'304

OíA- =" 3

Frb"3" Z

Ft4..2. L(ü

.ât

,"* B

-+)r

q ,4,

í,5.3.ç V,A 3,6

14

Chapter 5

Trabalho e energia

5.1 - Considere uma part́ıcula que se desloca, por acção da força da gravidade.num fluido onde a força de atrito é proporcional à velocidade. Despreze aforça de impulsão na part́ıcula.

a) Mostre que a velocidade limite é vL = mg/k.a) Mostre que se a força deixar de actuar quando a part́ıcula atingir a

velocidade limite então, a velocidade será v(t) = vLe�(k/m)t, e a distânciapercorrida será x(t) = (m/k)vL(1� e�(k/m)t), num instante genérico t.

c) Verifique que a distância percorrida até parar é vL(m/k) e mostreque a velocidade da part́ıcula fica reduzida a 1/e após o intervalo de tempo⌧ = m/k.

R: A equação de movimento da part́ıcula é: mdv/dt = mg � kv. Sepa-rando as variáveis e integrando:

R vv0

dvmg/k�v =

km

R t0

dt.

Se a part́ıcula partir do repouso v0

= 0 e temos fazendo a integração:

v(t) = mgk (1� e�kt/m)

que é a velocidade em qualquer instante. No limite t ! 1, v ! vL =mg/k

5.2 - Uma part́ıcula deslocando-se ao longo do eixo OX, está submetidaà força Fx = �ax2 onde a é uma constante positiva.

15

a) Determine o trabalho realizado por esta força sobre a part́ıcula, quandoesta se desloca de de x

1

= 1.5 m para x2

= 3.0 m.b) Calcule a energia potencial U(x) tomando U(0) = 0. Discuta qual o

equiĺıbrio no ponto x = 0 e esboce o gráfico da função U(x).

R: a) O trabalho realizado pela força F é W =R x2x1 Fdx = �

R x2x1 ax

2dx =�a(x3

2

�x31

). b) Como a força F é conservativa então existe uma função ener-gia potencial U(x) tal que F = �@U/@x, ou seja, U(x) =

R x0

ax2dx = ax3/3,onde fizemos U

0

= 0. b) A part́ıcula está em equiĺıbrio quando F = 0 queacontece no ponto x = 0. Se x > 0 ) d2U/dx2 > 0 Se x < 0 ) d2U/dx2 < 0,logo o eqúılibrio instável.

5.3 - Considere o sistema representado na fig.5.1. Sabendo que a massam

1

é tal que faz elevar o bloco de massa m2

sem aceleração, determine:a) Qual deve ser a relação entre m

1

e m2

para que tal se verifique.b) O trabalho realizado pelo bloco 1 para elevar o bloco 2 de uma altura

h e compare com o trabalho que teria de ser realizado se se elevasse o bloco2 sem a ajuda das roldanas.

R: a) m1

= m22

. b) Trabalho realizado pelo bloco (1) W1

= 2m1

gh. Tra-balho realizado sem a ajuda das roldanas W = 4m

1

gh.

5.4 - Uma vareta rectiĺınea de massa desprezável, está montada numpivot sem atrito, como mostra a fig.5.2. As massas m

1

e m2

estão ligadas àvareta.

a) Determine a expressão da energia potencial grav́ıtica em função doângulo ✓, entre a vareta e a horizontal.

b) Determine as condições de equiĺıbrio estável do conjunto das duasmassas. Diga o que acontece quando m

1

l1

6= m2

l2

e a barra não estiver naposição vertical.

c) Mostre que para m1

l1

= m2

l2

o equiĺıbrio é indiferente.

R: a) U(✓) = (m2

l2

� m1

l1

)g sin(✓). b) Equiĺıbrio estável: (✓ = ⇡/2 em

2

l2

�m1

l1

< 0) ou (✓ = 3⇡/2 e m2

l2

�m1

l1

> 0).

5.5 - Seja ~F = � br3 (x~i + y~j) a força que se exerce sobre uma part́ıculaque se desloca no plano XY , sendo b uma constante e r = (x2 + y2)1/2.

a) Mostre que a intensidade da força varia com o quadrado do inverso

16

da distância à origem e que a seu sentido é oposto ao do vector posição,~r = x~i+ y~j, da part́ıcula.

b) Sendo b = 3N/m2, determine o trabalho realizado pela força quandoa part́ıcula se desloca em linha recta de P

1

= (2, 0)m a P2

= (5, 0)m.c) Determine o trabalho realizado pela força quando a part́ıcula se desloca

numa trajectória circular de raio r = 7m em torno da origem.d) Sabendo que a massa da part́ıcula é m = 2kg diga qual será a sua

velocidade quando ela descrever a trajectória da aĺınea anterior.

R: a) A intensidade da força é |~F | = b(x2+y2)1/2

r3 = b/r2 o que mostra

que varia com o inverso do quadrado da distância. b) Os pontos P1

eP2

encontram-se sobre o eixo OX. Assim dy = 0 e W =R x2x1~F .d~r =

�bR x2x1 x

~i + y~j.dx~i = �0.9 Joule. c) Como a força é central não realizatrabalho. d) v = 0.82m.s�1.

5.6 - Uma montanha russa está constrúıda de forma a que uma pessoade peso mg, sentada num dos seus carrinhos, se sinta imponderável quandoatinge o ponto mais alto do ”loop (ver fig.5.3). Determine qual será a reacçãodo carrinho sobre a pessoa no ponto mais baixo do ”loop”. Exprima a re-sposta em função do peso da pessoa. Admita que o ”loop” é completamentecircular e que não há forças de atrito actuando no carro.

R: As forças que actuam sobre a pessoa são o seu peso m~g e a reacçãonormal ~N . Por acção destas duas forças ela descreve um movimento circu-lar de raio R. A sua equação de movimento no ponto mais alto do ”loop”, A, é : NA + mg = mv2A/R onde mv

2

A/R é a força centŕıpeta a que apessoa está sujeita. Esta sentir-se-á imponderável quando N = 0: Nestecaso vA =

pRg, que é a velocidade mı́nima com que a pessoa chega a

A. A energia mecânica total da pessoa para atingir o ponto A será as-sim EA = 1/2(mv2A) + 2mgR = 5mRg/2. Sendo as forças conservativas,a energia total no ponto mais baixo da trajectória, B, é EB = EA. sendoEB = 1/2(mv2B) = 5Rg/2. Em B, tem-se N � mg = mv2B/R. DondeNB = 6mg

5.7 - Um menino de massa m está sentado sobre um monte de gelo deforma hemisférica, como mostra a fig.5.4. Admita que ele começa a deslizara partir do repouso. Em que ponto P perderá ele o contacto com o monte?

17

Despreze o atrito entre o menino e o gelo.

R: A energia mecânica total em A é: EA = mgR e em P é, EP =mgR sin ✓ + mv2P/2. Pela conservação da energia mecânica total teremosEA = EP , donde v2P = 2gR(1�sin ✓). A equação de movimento do menino é:mg sin ✓�N = mv2/R, onde N é a reacã0 normal do gelo sobre o menino. Eleperderá ele o contacto com o monte quandoN = 0, i.e., quando v2p = Rg sin ✓.Comparando com o valor de vP já encontrado obtemos sin ✓ = 2/3 correspon-dendo a uma altura h = 2R/3.

5.8 - Um corpo de massa igual a m está em repouso numa supperf́ıciehorizontal e em contacto com a extremidade de uma mola de constante k.A mola tem a outra extremidade presa a uma parede vertical. Quando ocorpo é empurrado contra a parede, a mola é comprimida de xA. Larga-seo corpo que é depois lançado horizontalmente pela acção da mola. Sabe-seque a força de atrito, ~Fa, entre o corpo e o plano é constante.

a) Qual a velocidade do corpo no instante em que a mola volta ao seucomprimento original?

b) Calcule a distância percorrida pelo corpo até parar, supondo que aacção da mola sobre o corpo cessa quando esta passa pela posição original?

c) Discuta a variação de energia cinética e potencial do sistema corpo-mola durante todo o processo.

Dados: m = 8kg; k = 103 N.m�1; xA = 15 cm; Fa = 5 N .

5.9 - Uma part́ıcula está submetida à força ~F = (y2 � x2)~i + 3xy~j(N)Determine o trabalho realizado pela força quando a part́ıcula é deslocada doponto (0, 0) ao ponto (2, 4) ao longo de cada um dos seguintes caminhos:

a) Ao longo de OX de (0, 0) a (2, 0) partindo em seguida até ao ponto(2, 4) por uma recta paralela ao eixo OY .

b) Ao longo da recta que passa por ambos os pontos.c) Ao longo da parábola y = x2.d) Será a força conservativa?

18

fu'u'e

{ÁiL

+ ' t . 4.4

Fr64'3 *6'o '"

19

Chapter 6

Momentos linear e angular.Colisões

6.1 - Uma part́ıcula colide elasticamente com outra de igual massa e que seencontra inicialmente em repouso. Mostre que depois da colisão as part́ıculasse afastam uma da outra de tal forma que as suas velocidades são ortogonais.

R: A resultante de todas as forças exteriores ao sistema é nula logoconserva-se o momento linear na colisão, i.e.,

m~v1

= m~v01

+m~v02

. (6.1)

Como a colisão é elástica também se conserva a energia cinética, i.e.,

m~v21

= m~v021

+m~v022

(6.2)

Daqui vem v21

= v021

+ v022

. Mas

~v21

= ~v1

.~v1

= (~v01

+ ~v02

)2 = ~v021

+ ~v022

+ ~v01

.~v02

(6.3)

Comparando eq.(6.3) com eq.(6.2), conclúımos que ~v01

.~v02

= 0 ! ~v01

? ~v02

.

6.2 - Um corpo A de massa m e velocidade v0

~i colide frontalmente comoutro corpo B de massa 2m, cuja velocidade é 1

2

v0

~j. Depois da colisão a

velocidade do corpo B é 14

v0

~j.a) Determine a velocidade do corpo A depois da colisão.b) Terá sido a colisão elástica? Em caso negativo exprima a variação de

energia cinética em termos de m e v0

.

20

R: a) Pela conservaçãodo momento linear

mv0

~i+ 2mv0

~j = m~v0A + 2mv0~j. (6.4)

Logo a velocidade do corpo A depois da colisão é ~v0A = v0(~i� (3/2)~j).

b) A variação de energia cinética antes e depois da colisão é �E = Ef�Ei

6.3 - Um projéctil de massa m = 3 kg é lançado com uma velocidadeinicial v

0

= 120ms�1, fazendo um ângulo ✓0

= ⇡/6 rad com a horizontal.No ponto mais alto da trajectória o projéctil explode em dois fragmentos demassas m

1

= 1 kg e m2

= 2 kg. O segundo fragmento cai verticalmente eatinge o solo 3.6s depois da explosão. Determine:

a) A velocidade do fragmento (1) imediatamente após a explosão.b) A distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do frag-

mento (1).c) A energia libertada na explosão.

6.7 - Uma mulher de massa mm = 60 kg está de pé sobre uma jangada de6m de comprimento e massamj = 120kg. A jangada flutua em repouso sobrea água de um lago. Despreze o atrito entre a jangada e a água. Inicialmenteesta encontra-se à distância d

0

= 0.5m de um pontão, como se mostra na fig.6.1.

a) A mulher desloca-se para a parte da frente da jangada e pára. Qual adistância a que a jangada fica do pontão depois do deslocamento da mulher?

b) Sabendo que a mulher se deslocou com velocidade constante de v =3m.s�1 com respeito à jangada, determine a energia cinética total do sistema(mulher mais jangada) e compare com a energia cinética da mulher se ela sedeslocasse com a mesma velocidade no caso da jangada estar amarrada aopontão.

c) De onde vem esta energia e para onde vai?d) Sabe-se que quando a mulher está em terra, lança uma bola de chumbo

a uma distância de 6m. Suponha que a velocidade de lançamento da bolaem relação à jangada, quando a mulher está na jangada, não se altera. De-termine onde vai cair a bola.

21

t / ! t'>-o'?t'a ó-4=#

-q2ô€.Ê

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0)d0

dl,-1-./-

1-V

22

Chapter 7

Sistemas de part́ıculas. Corpoŕıgido

7.1 - a) Estabeleça a relação entre o momento angular de duas part́ıculasrelativamente ao seu CM, designado por momento angular interno, e o mo-mento angular das mesmas relativo à origem O de um referencial S fixo noLaboratório.

b) Relacione o torque ou momento da força do sistema das duas part́ıculasrelativo a O, com a resultante das forças externas aplicadas às part́ıculas.Analise o comportamento deste sistema quando este torque for nulo.

R: a) ~LO = ~LCM +M ~RCM ^ ~VCM . b) ~⌧O = ~⌧CM +M ~RCM ^ ~Fext.

7.2 - Duas part́ıculas de massas m1

= 4 kg e m2

= 2 kg, ligadas poruma haste de massa desprezável, estão em repouso sobre uma superf́ıciehorizontal, como mostra a fig.5.1. Uma terceira part́ıcula de massa m

3

=0.5 kg aproxima-se do sistema com velocidade ~v

3i = 2 ~i(m.s�1) e colide comm

2

.a) Qual será a velocidade do CM das duas part́ıculas (1) e (2), depois da

colisão, sabendo que m3

depois da colisão tem velocidade ~v3f = 1 ~j(m.s�1).

b) Determine o momento angular do conjunto das massas m1

e m2

emrelação à origem O do referencial de laboratório depois da colisão?

c) Qual o momento angular das part́ıculas (1) e (2) depois da colisão, emrelação ao seu CM?

d) Mostre que as part́ıculas (1) e (2), depois da colisão, descrevem ummovimento de rotação em torno do seu centro de massa caracterizado por

23

uma velocidade angular !, constante. Determine ! e ainda as velocidadeslineares de cada part́ıcula em relação ao referencial de laboratório.

R: a) ~vCM = 1/122~i�~j(m.s�1). b) ~LO = �0.205~k. c) ~LCM = 0.093~k.d) ! = �0.025rad.s�1.

7.3 - A razão entre a massa da Terra e da Lua é MT/ML = 81.3. Oraio da Terra é cerca de 6370 km e a distância da Terra à Lua é cerca de384000 km.

a) Localize o CM do sistema Terra-Lua. Está abaixo ou acima da su-perf́ıcie da Terra?

b) Quais as forças externas que agem no sistema Terra-Lua?c) Em que direcção é a aceleração do CM deste sistema?d) Admita que o CM deste sistema descreve uma trajectória circular em

torno do Sol. De quanto se deve deslocar o centro da Terra na direcçãoradial (aproximando-se ou afastando-se do Sol) durante os catorze dias quemedeiam entre os instantes em que a Lua está mais afastada do Sol (LuaCheia) e aquele em que ela está mais próxima (Lua Nova)?

R: a) 1708 km abaixo da superf́ıcie terreste. b) São as forças de atracçãograv́ıtica do Sol sobre a Terra e sobre a Lua. c) �r = 3410 km.

7.4 - a) Mostre que o momento de inércia de duas part́ıculas de massasm

1

e m2

separadas por uma distância r, em relação a um eixo que passa peloseu centro de massa e que é perpendicular ao segmento que as une, é I = µr2

onde µ é a massa reduzida do sistema.b) Mostre que o momento de inércia de uma placa rectangular, ho-

mogénea, de dimensões a⇥ b e massa m, em torno de um eixo perpendicularao seu plano e que passa por um dos vértices é I = m

3

(a2 + b2). Sugestão:parta da definição de momento de inércia

R:7.5 - Sejam m

1

= 500g e m2

= 510g, as massas de dois blocos ligadospor um fio de massa desprezável que desliza na roldana de uma máquina deAtwood. Sabe-se que a roldana é um disco de massa mr = 50g e de raior = 4cm que roda sem atrito em torno de um eixo. Não há escorregamentodo fio sobre a roldana.

a) Determine a aceleração dos blocos.

24

b) Qual a tensão do fio sobre os blocos ?c) Compare os resultados das aĺıneas anteriores com os resultados que

obteria despezando a massa da roldana.

7.6 - Um cilindro de massa M e raio R tem um fio enrolado à sua volta.Mantém-se fixa uma das extremidades do fio e o cilindro cai verticalmente(como um yo-yo). Mostre que:

a) A aceleração do cilindro é para baixo e o seu valor é a = 2g/3.a) A tensão no fio é T = mg/3.

7.7 - Uma bola maciça de massa m e raio r roda sem deslizar num planoinclinado que faz um ângulo � com a horizontal. Mostre que:

a) A aceleração do CM é aCM =mgsin�

m+ICM/R2.

b) A força de atrito é estática e vem dada por fs =ICMmgsin�R2m+ICM

.

25

Chapter 8

Movimento oscilatório

8.1 - Um corpo de massa m1

= 0.12kg está suspenso de uma mola vertical.É adicionada uma pequena massa m

2

= 30g à mola e verifica-se que estadistende de �x = 5cm. Sabe-se que o conjunto destas duas massas suspensasna mola oscila com uma amplitude de A = 12cm.

a) Qual a frequência de oscilação do movimento?b) Qual a energia potencial e total do conjunto das duas massas, em

função da posição x? Tome para energia potencial da mola, no seu ponto deeqúılibrio, U(xeq) = 0?

b) Mostre que o intervalo de tempo que medeia entre os pontos mais alto

e mais baixo da trajectória das massas é T/2 = ⇡qm/k ?

R: As forças que actuam a massa são o seu peso mg e a força elástica damola F . Quando a massa m

1

está em equiĺıbrio tem-se F = �m1

g, onde F =�kx e x é o deslocamento em realação á extremidade da mola na ausênciade massa. Suspendo mais uma massa m

2

teremos (m1

+m2

)g = k(x + �x).Logo a constante elástica da mola é k = m

2

g/�x. A frequẽcia angular deoscilação

! =q

m2g�x(m1+m2)

.

8.2 - Um pêndulo simples amortecido e de peŕıodo T = 2s e massam = 200g, tem inicialmente uma amplitude de ✓

0

= 2. Após 10 oscilaçõescompletas a amplitude reduz-se a ✓ = 1.5

a) Calcule a constante � de amortecimento e o comprimento l do pêndulo.b) Admita agora que aplica ao pêndulo uma força oscilante, de frequência

26

angular !f = 2⇡/3s�1 e de intensidade F0 = 1N . Determine a nova ampli-tude de oscilação do pêndulo e a sua fase na origem ↵.

R: a) A amplitude de um pêndulo amortecido é ✓(t) = ✓0

e��t. Ao fim de10 oscilações completas ✓(10)/✓

0

= e�10� = 1.5/2, logo � = 120

ln(2/1.5)s�1

e l = g/(!2 + �2).

8.3 - Um haltere é formado por duas part́ıculas de massas pontuais eiguais a m = 0.5kg, ligadas por um bastão de massa desprezável e compri-mento L = 20m. Coloca-se o haltere a oscilar no plano vertical, em torno deum eixo que passa por um ponto P , compreendido entre as duas massas.

a) Mostre que o peŕıodo deste pêndulo f́ısico é mı́nimo quando o ponto Pcoincide com uma das massas.

b) Mostre que quando o ponto P se encontra à distância L/4 da massa

situada na posição superior o peŕıodo é T = ⇡q5L/g.

8.4 - Um pêndulo simples de comprimento l = 2m e massa m = 1kg,é colocado a oscilar num local em que a aceleração da gravidade é g =9, 80m.s�2. O pêndulo oscila com uma amplitude de ✓

0

= 2� Escreva emfunção do tempo as expressões de:

a) Deslocamento angular.b) Velocidade angular.c) Aceleração angular.d) Velocidade linear.e) Aceleração centŕıpeta.f) Tensão na corda.

8.5 - O pêndulo de um relógio tem um peŕıodo de T = 2s quandog = 9.8 m.s�2. Se o comprimento for aumentado de �l = 1mm, de quantose atrasará o relógio em 24 horas?

R: O peŕıodo de um pẽndulo simples é: T = 2⇡q

lg .

Se o comprimento passar a l+�l o peŕıodo passa a ser T 0 = 2⇡q

l+�lg < T .

O peŕıodo aumentará de �T = T 0 � T = 2⇡(pl +�l � (

pl+)/g1/2 .

8.6 - Suponha que para um oscilador amortecido, �

a) Verefique que a energia do oscilador amostecido pode ser escrita naforma E = m!2

0

A2e�2�t/2.b) A dissipação média de energia é definida por P = �dE/dt. Prove que

P = 2�E = E/⌧ .c) Prove que esta dissipação de energia é igual ao trabalho médio efectu-

ado pela força amortecedora, por unidade de tempo.

8.7 - a) Calcule os valores médios das energias cinética e potencial dasoscilações forçadas de um oscilador amortecido.

b) Obtenha o quociente entre a soma destas duas energias e o trabalhorealizado pela força aplicada num peŕıodo. Este factor é útil para indicar odesempenho do oscilador.

c) Prove que este factor é igual a Q/2⌧ para pequenos amortecimentos.

28

Chapter 9

Campo grav́ıtico

Dados: Constante de gravitação universal G = 6.670 ⇥ 10�11N.m2.kg�2,massa da Terra MT = 5.98⇥ 1024kg, raio da Terra RT = 6.37⇥ 106m.

9.1 - Um corpo é deixado cair de uma altura h = 4⇥ 106m acima da su-perf́ıcie terreste. Determine qual a velocidade de chegada ao solo. Desprezea resistência do ar.

R: Um corpo de massa m que se encontra a uma distância r acima daTerra está submetido á força grav́ıtica

~F = �G mMT(RT + r)2

~er (9.1)

que é conservativa e portanto a variação de energia cinética do corpo entredois pontos é igual ao trabalho realizado pela força grav́ıtica para trans-portar o corpo entre os mesmos pontos, i.e., Wif = (1/2)mv2f � (1/2)mv2i . Avelocidade inicial ~vi é nula porque o corpo é deixado cair. Tem-se:

Wif =Z f

i

~F .d~r = �GmMTZ RT

h

dr

(RT + r)2=

GmMTh

RT (RT + h)(9.2)

Logo vf =q2GMT

hR(R+h) = 6.95km.s

�1.

9.2 - Uma part́ıcula é projectada da superf́ıcie da Terra com uma ve-locidade que é o dobro da velocidade de escape ve. Determine qual a suavelocidade para r >> RT , onde r e RT são respectivamente a distância da

29

part́ıcula ao centro da Terra e o raio da Terra.

R: Entende-se por velocidade de escape vE, a velocidade mı́nima, necessáriapara que um corpo lançado da superf́ıcie de um planeta atinja o infinito. Doproblema anterior conclúımos que um corpo lançado da Terra com veloci-dade vi, chega ao infinito com velocidade vf tal que: (1/2)mv2f � (1/2)mv2i =GmMT h

RT. A velocidade, vi = vE, será mı́nima quando vf = 0. Neste caso vem

vE =q2GMT/RT .

Se a velocidade inicial for vi = 2vE, a velocidade para r >> RT i.e.,r ! 1 então v1 = 2ve = 19.4km.s�1.

9.3 - Uma part́ıcula move-se sob a acção de uma força atractiva que variacom o inverso do quadrado da distância, i.e., F = �k/r2. A trajectória é umcirculo de raio r. Mostre que:

a) A energia total é E = �k/2r.b) A velocidade é v =

qk/mr.

c) O momento angular é L =pmkr

9.4 - Muitos satélites orbitam em torno da Terra em órbitas circularesde raio r

1

que distam 1000 km da superf́ıcie da Terra. Os satélites geoesta-cionários orbitam à distância de rg = 4.22 ⇥ 107m do centro da Terra. De-termine a energia adicional que é necessário fornecer a um satélite de massam = 500 kg para o fazer passar de uma órbita de raio r

1

para uma órbitageoestacionária.

R: �E = GMTmrg�r12r1rg

= 11.1GJ .

9.5 - Prove que para pequenas altitudes, i.e., h ⌧ RT , onde RT é oraio da Terra, é uma boa aproximação tomar a força de atracção grav́ıticaterreste F , exercida sobre um corpo de massa m, como sendo independenteda distância deste à superf́ıcie terreste, i.e., F = mg. Prove ainda que aconstante de proporcionalidade g, denominada aceleração da gravidade, édefinida por g = GMT/R2T , onde G é a constante de gravitação universal eMT é a massa da Terra.

9.6 - Duas massas iguais aM = 6.40kg estão separadas por uma distância

30

a = 0.16m. Uma terceira massa m = 0.1kg, é colocada num ponto P equidis-tante daquelas duas massas e a uma distância d = 0.06m do segmento queas une, e largada. Determine:

a) O módulo da força a que m está submetida em função da sua distância|y| ao segmento que une as outras duas massas.

b) A velocidade e a aceleração da massa m no instante em que ela inter-cepta o segmento que une as outras duas.

R: F = 8GmM |y|(a2+4d2)3/2

, v = 8GMq

1

a �1

(a2+4d2)1/2, a = 0.

31

Chapter 10

Movimento ondulatório

Neste caṕıitulo FT representa a tensão, L o comprimento, m a massa e µ adensidade linear de massa.

10.1 - Mostre que ⇠(x, t) = f(x ⌥ vt) é solução da equação de onda@2⇠@t2 = v

2

@2⇠@x2 .

10.2 - Um caso particular de solução da equação de ondas referida em (1)é ⇠(x, t) = sin[k(x � vt)], designada por solução harmónica. Mostre que opeŕıodo espacial desta onda é � = 2⇡/k,designado por comprimento de onda,e que o seu peŕıodo temporal é T = 2⇡/kv.

10.3 - Um diapasão oscila com frequência ⌫ = 440Hz. Determine o c.d.o.do som, sabendo que a velocidade deste no ar é vs = 340 m.s�1.

R: � = 0.772 m.

10.4 - A luz propaga-se no vácuo com velocidade c = 3⇥ 108m.s�1. De-termine o c.d.o. da onda cuja frequência é ⌫ = 5 ⇥ 1014Hz, correspondenteà luz na região vermelha do espectro viśıvel.

R: � = 6⇥ 10�7 m.

10.5 - Seja (x, t) = 10sin[2⇡(2x�100t)]m, a função de onda, onde x estáem metros e t em segundos. Determine: a amplitude, o c.d.o., a frequência ea velocidade de propagação da onda. Faça um esboço da onda representando

32

a amplitude e o c.d.o..

10.6 - Uma onda harmónica com frequência de ⌫ = 80 Hz e amplitudeA = 0.025 m, propaga-se numa corda para a direita, com velocidade v =12m.s�1.

a) Qual a função de onda que a descreve?b) Qual a velocidade máxima de cada ponto na corda?c) Qual a aceleração máxima de cada ponto na corda?

10.7 - Mostra-se que a propagação de uma força numa barra de aço desecção S e densidade ⇢, constante, obedece à seguinte equação de propagaçãode ondas:

@2F@t2 =

Y⇢@2F@x2 onde Y é o módulo de Young.

a) Mostre que F (x, t) = F0

sin(kx�!t) é solução da equação de ondas, edetermine a velocidade de propagação da onda.

b) Sabendo que F (x, t) = Y S @⇠@x , é a relação entre a força sentida no pontox da barra, no instante t, e a deformação nesse ponto, obtenha a expressãoda deformação ⇠(x, t) em cada secção da barra.

c) Mostre que as ondas ⇠ e F estão desfasadas de 1/4 de comprimento deonda.

10.8 - Mede-se a velocidade v0

de propagação de ondas transversais numfio com uma extremidade presa a uma parede e que é mantido esticado pelopeso de um bloco suspenso da outra extremidade, como mostra a figura. Emseguida mergulha-se o bloco na água até 2/3 da sua altura e verifica-se que avelocidade de propagação cai para v0 = 0.955v

0

. Qual a densidade do blocoem relação à água?

10.9 - Ondas transversais propagam-se com uma velocidade de 150 m.s�1

num fio de 80 cm de comprimento e que se encontra sob a tensão de 550 N .Determine a massa do fio.

R: m = FTL/v2 = 0, 020Kg.

10.10 - Sabe-se que uma perturbação se propaga através de um fio comvelocidade de 20m.s�1 na direcção positiva do eixo OX. Qual seria a veloci-dade de perturbação:

33

a) Se duplicassemos o comprimento do fio mantendo constante a densi-dade linear do mesmo?

b) Se duplicassemos a tensão mantendo constante a densidade lineardeste.

R: a) L0 = 2L e µ = m/L = cte ) m0 = 2m, como v =qFT/µ a veloci-

dade não se altera. b) F 0T = 2FT ) v0 =p2qFT/µ =

p2v = 28, 28 m.s�1.

b)

10.11 Mostre que as seguintes funções obedecem à equação de ondas:a) y(x, t) = k(x+ vt)2.b) y(x, t) = Ln(kx� vt).c) y(x.t) = A sin(kx) cos(!t).

R: Calcular as segundas derivadas de cada função em ordem a x e a t emostrar que @

2y@2x �

@2yv2@2t = 0 que é a equação de ondas unidimensional.

10.12 - A extremidade de uma corda vibra para baixo e para cima comuma frequência de 60Hz. As ondas atingem a outra extremidade em 0, 5s.Qual o c.d.o. da corda?

R: Se a onda se propaga de uma extremidade à outra no intervalo detempo t então v = t/L = 12m.s�1 e o c.d.o. da onda é � = v/f = 0, 2m.

10.13 Uma onda harmónica de 5cm de amplitude e de frequência 10HZpropaga-se numa corda submetida à tensão de 80N . Determine a potênciatransmitida através de qualquer secção recta da corda.

R: A velocidade é v =qFT/µ = 126m.s � 1. A potência média trans-

mitida por unidade de secção recta da corda é < P >= v < ⌘ > onde ⌘ éa densidade média de energia por unidade de comprimento. Como a ondaé harmónica < ⌘ >= µ !2y2

0

, sendo y0

a amplitude da onda. Finalmente< P >= 3, 12Watt.

10.14 - Mostre que se duplicarmos a intensidade de uma onda sonora ońıvel de intensidade de som aumenta de 3 db.

34

R: O ńıvel da intensidade de som � é medido em decibéis da seguinteforma: � = 10Log(I/I

0

), sendo I a intensidade do som e I0

a intensi-dade mı́nima de som aud́ıvel pelo ouvido humano. Se I = nI

0

então �0 =10Log(I/I

0

) = 10Logn+10Log(I/I0

) = 10Log(n)+� e�� = �0�� = 3, 0db:c.q.d.

10.15 - Uma fonte esférica de som emite som uniformemente em todas asdirecções. A uma distância de 10m, o ńıvel de intensidade de som é de 80db.

a) A que distância da fonte é o ńıvel de intensidade de som de 60db?b) Qual a potência mdia radiada pela fonte?

R: Sejam I e I 0 as intensidades da onda sonora às distâncias r e r0 dafonte. A variação do ńıvel de intensidade sonora é �� = 10[Log(I/I

0

) �Log(I 0/I

0

) = Log(I/I 0 = 80�60 = 20db. Então I = 100I 0. A relação entre apotência radiada por uma fonte esférica uniformemente em todas as direcçõese a intensidade da onda sonora à distância r da fonte é: I =< P > /4⇡r2.Logo I/I 0 = (r0/r)2 e r0 = 10r = 100 m.

10.16 - Um observador desloca-se com uma velocidade de 80m.s�1 emrelação ao ar, aproximando-se de uma fonte emissora de ondas sonoras.Sabendo que estas são emitidas pela fonte a uma frequência de 200Hz, de-termine qual a frequência das mesmas ondas, medida pelo observador. Avelocidade do som no ar é v = 340m.s�1.

R: Devido ao efeito Doppler a frequência do som medida pelo observador⌫ 0 está relacionada com a frequência ⌫ da fonte pela expressão: ⌫ 0 = v�vOv�vF ⌫,onde vO é a velocidade do observador em relação ao ar e vF a da fonte. Oobsevador desloca-se com velocidade vO = �80m.s�1 em relação ao ar poisestá a aproximar-se da fonte. A fonte está em repouso em relação ao ar, logovF = 0m.s�1. Logo ⌫ 0 =

v�(�80)v ⌫ = 247, 1Hz.

10.17 - Dois diapasões começam simultâneamente a vibrar. Detectam-se4 batimentos por segundo. A frequência de um deles é de 500Hz.

a) Quais são os valores posśıveis para a frequência do outro diapasão?b) Encosta-se uma borracha ao diapasão de 500Hz de forma a baixar

lentamente a sua frequência. Explique como pode usar a medida da frequênciados batimentos para determinar qual a frequência do outro diapasão.

35

R : |f1

�f2

| = 4s�1. Se f2

= 500Hz então f1

= 504Hz ou f2

= 496Hz. Sebaixarmos lentamente f

2

e os batimentos desaparecerem então f1

= 496Hze se eles aumentarem então f

1

= 504Hz.

10.18 - Um fio de aço de 1, 4m de comprimento e 5g de massa, está fixoem ambas as extremidades e submetido a uma tensão de 968N .

a) Determine a velocidade das ondas transversais no fio e o c.d.o. domodo fundamental de oscilaa̧o.

b) Qual deverá ser o comprimento do fio para que a freqência do modofundamental se reduza a de 1/3?

R: A energia média contida numa coroa esférica de espessura dr e com-preendida entre as superf́ıcies esféricas de raios r

1

e r1

+ dr1

é < dE >=<⌘ > dV , onde < ⌘ > é a densidade volúmica de energia e dV = 4⇡r2

1

dr =4⇡r2

1

vdt é o volume elementar da dita coroa. A transferência de energiamédia através da superf́ıcie esférica de raio r

1

, por unidade de tempo, é< dE > /dt = 4⇡r2

1

v < ⌘ >.

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