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Analise Complexa e Equacoes Diferenciais — Resumo

Joao Teixeira, Maria Joao Borges

1o¯ Semestre de 2019/2020

Indice

1 Analise Complexa 7

1.1 Notas Historicas Sobre Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Estrutura Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Inexistencia de relacao de ordem total em C . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3 Potencias de Expoente Inteiro e Polinomios Complexos . . . . . . . . . . 17

1.2.4 Estrutura Geometrica: Representacao Polar e Formula de Euler . . . . . 18

1.2.5 Raızes Indice n de um Numero Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Funcoes Complexas de Variavel Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Definicao e Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Funcoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.4 Continuidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Derivada Complexa e Funcoes Analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.1 Equacoes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.2 Teorema de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.3 Demonstracao do Teorema de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.4 Propriedades das Funcoes Analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.5 Condicoes de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares . . . . . . . . . 43

1.4.6 Nocoes Basicas da Topologia em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.7 Funcoes harmonicas em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5 Integracao em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5.1 Curvas em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5.2 Integral complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.3 Primitivacao em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.4 Teorema de Cauchy e suas consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6 Series de Potencias em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.6.1 Sucessoes de Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.6.2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.6.3 Analiticidaddede de uma Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.6.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.6.5 Zeros de uma Funcao Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.7 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.7.1 Definicao de Serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.7.2 Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.8 Singularidades, Resıduos e Teorema dos Resıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3

1.8.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.8.2 Classificacao das Singularidades Isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.8.3 Resıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.8.4 Teorema dos Resıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.9 Aplicacoes do Teorema dos Resıduos ao Calculo de Integrais Reais . . . . . . . . 91

1.9.1 Integrais Trigonometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.9.2 Integrais Improprios de 1a especie de Funcoes Racionais . . . . . . . . . . 931.9.3 Integrais Improprios de 1a especie envolvendo funcoes Trigonometricas . . 95

1.10 Apendice A - Series Numericas (Reais ou Complexas) . . . . . . . . . . . . . . . 991.10.1 Serie Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.10.2 Resultados Gerais de Convergencia de Series Complexas . . . . . . . . . 1001.10.3 Serie Harmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.10.4 Series de Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.10.5 Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.10.6 Series Reais de Termos Nao Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.10.7 Series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.10.8 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2 Equacoes Diferenciais Ordinarias 1092.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.1.1 Notacao e Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.1.2 Ordem e Solucoes de uma Equacao Diferencial Ordinaria . . . . . . . . . 1102.1.3 Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . 111

2.2 Equacoes Escalares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2.1 Determinacao da Solucao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2.2 Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.2.3 Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.2.4 Equacoes Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.2.5 Equacoes Redutıveis a Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.3 Equacoes Diferenciais Ordinarias de ordem n.Equacoes Vectoriais. . . . . . . . . 123

2.3.1 Equacoes Lineares de ordem n. Caso Homogeneo. . . . . . . . . . . . . . 123

2.3.2 Equacoes Lineares de Coeficientes Constantes. Caso Homogeneo. . . . . 1242.3.3 Equacoes Vectoriais Lineares — Caso Homogeneo . . . . . . . . . . . . . 129

2.4 Equacoes Vectoriais de 1a¯ Ordem (ou Sistemas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.4.1 Equacoes Vectoriais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.4.2 Equacoes vectoriais Lineares — Caso Nao Homogeneo . . . . . . . . . . 135

2.4.3 Equacoes Vectoriais Lineares de Coeficientes Constantes: . . . . . . . . . 1372.4.4 Calculo de uma Matriz Solucao Fundamental no caso A diagonalizavel . . 146

2.5 Equacoes Lineares de ordem n > 1 — Caso Nao Homogeneo . . . . . . . . . . . 151

2.5.1 Calculo da Solucao da Equacao — Formula da Variacao das Constantes . 1512.5.2 Metodo dos Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.6 Existencia, Unicidade e Prolongamento de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . 1582.6.1 Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.6.2 Exemplo de nao unicidade de solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.6.3 Condicao de Lipshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.6.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.6.5 Prolongamento de Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.6.6 Comparacao de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.7 Apendice 1 - Calculo da Matriz eAt por diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . 1762.8 Apendice 2 -Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2.8.1 Definicao e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832.8.2 Aplicacoes da Transformada de Laplace as equacoes diferenciais . . . . . 1872.8.3 Distribuicao Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.8.4 Inversao da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3 Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais 1953.1 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3.1.1 Definicao e convergencia pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.1.2 Serie de Fourier de Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.1.3 Serie de Fourier de Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

3.2 Introducao ao estudo de quacoes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . 2013.2.1 Metodo de Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

3.3 Problema de Dirichlet Homogeneo para a Equacao do Calor Unidimensional . . . 2053.3.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.3.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.4 Problema de Dirichlet nao Homogeneo para a Equacao do Calor Unidimensional . 2073.5 Problema de Neumann Homogeneo para a Equacao do Calor Unidimensional . . 2083.6 Unicidade de Solucao do Problema de Dirichlet para a Equacao do Calor . . . . 2113.7 A Equacao das Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.7.1 Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.8 Equacao de Laplace Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3.8.1 Problema de Dirichlet Semi-homogeneo para a Equacao de Laplace . . . 2173.8.2 Problema de Dirichlet Nao Homogeneo para a Equacao de Laplace . . . . 2193.8.3 Problema de Dirichlet para a Equacao de Laplace num Domınio Circular . 2203.8.4 A equacao de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . 2203.8.5 Equacao de Laplace no Cırculo com condicoes de Dirichlet . . . . . . . . 221

5

Capıtulo 1

Analise Complexa

1.1 Notas Historicas Sobre Numeros Complexos

A introducao do conceito de numero complexo esta relacionada com as tentativas de resolucaode equacoes algebricas, que tiveram lugar durante a Idade Media.

No seu compendio de Algebra, Al-Khawarizmi (780-850) apresenta a solucao de varios tiposde equacoes quadraticas, que estao de acordo com a “formula resolvente” que hoje consta dosprogramas do ensino secundario, quando restrita a solucoes positivas. Sob o califa al-Ma’mun,cujo reinado ocorreu entre os anos 813 e 833, em Bagdad, al-Khawarizmi tornou-se membro da“Casa da Sabedoria” (Dar al-Hikma), uma especie de academia cujos estudos incidiam sobre aalgebra, geometria e astronomia. Aı foram efectuadas as traducoes em arabe de obras do perıodogreco-romano, e que salvaram algumas delas da destruicao.

O compendio de Al-Khawarizmi e um manual eminentemente pratico, em estilo retorico (semformulas) seguindo a tradicao babilonia e hindu da resolucao de problemas praticos de agrimensurae contabilidade, mas contendo tambem demonstracoes geometricas das solucoes dos problemas,inspiradas pelos metodos gregos. Al-Khwarizmi enunciou seis casos distintos de equacoes dosegundo e primeiro grau; em notacao moderna, temos: (1) ax2 = bx, (2) ax2 = c, (3) bx = c,(4) ax2 + bx = c, (5) ax2 + c = bx e (6) bx + c = ax2. Isto tornou-se necessario pelo facto deos matematicos desse tempo nao reconhecerem coeficientes nulos nem numeros negativos. Al-Khwarizmi apresentou sistematicamente as solucoes de cada um desses problemas algebricos, e queeram conhecidas desde o tempo dos babilonios, mas acrescentou-lhes demonstracoes geometricas,inspiradas nos Elementos de Euclides. Visto que nao considerava numeros negativos, o seu estudonao levou a introducao de

√−1, como hoje e feito quando se define esse numero como sendo

uma das solucoes de x2 = −1.

Os metodos da algebra conhecidos pelos arabes foram difundidos em Italia pela traducaoem latim da obra de al-Khawarizmi, por Gerard de Cremona (1114-1187). Mas foi o trabalhomatematico de Leonardo Pisano (1170-1250), mais conhecido pelo seu pseudonimo, Fibonacci,que mais efectivamente difundiu a notacao numerica e a algebra em uso pelos arabes.

Ao tempo, Pisa era uma importante cidade comercial e servia de no a muitas rotas comerciaisdo Mediterraneo. Guglielmo Bonacci, o pai de Fibonnaci, era um despachante (ou, segundooutros, um oficial aduaneiro) numa cidade hoje situada na Argelia, de nome Bejaıa, anteriormenteconhecida por Bugia ou Bougie, e de onde velas de cera eram exportadas para a Europa. EmFranca, as velas ainda hoje sao denominadas bougies. Fibonacci foi assim educado no norte deAfrica, pelos mouros, e mais tarde viajou extensivamente por todo o Mediterraneo, tendo tidoa oportunidade de conhecer muitos mercadores e aprender o sistema de numeracao arabe, bem

7

CAPITULO 1. ANALISE COMPLEXA

como a algebra. Tornara-se entao obvio o facto de a aritmetica e a algebra elementar serembastante relevantes para a contabilidade e as financas.

Nos tres seculos seguintes, o trabalho de Fibonnaci dominou quer os aspectos teoricos daAlgebra quer as tecnicas de resolucao de problemas praticos. Com a ascencao da classe mercantilem Italia, particularmente acentuada nos seculos XIV e XV, o ambiente matematico foi bastanteinfluenciado pela expansao do negocio dos maestri d’abbaco. Esta maior enfase comercial gerougrande procura por livros de matematica simplificados, escritos em linguagem comum e muitodiferentes dos longos tratados em latim com demonstracoes geometricas, que os precederam.No final do seculo XV, os maestri d’abbaco haviam acrescentado muito pouco aos resultadosconhecidos no seculo XII. Mas a atmosfera cultural mais exigente do Renascimento fez os textosregressar paulatinamente a tradicao teorica, representada pelos Elementos de Euclides e peloLibber Abbaci de Fibbonaci.

Merece especial destaque o livro Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportiona-lita, de Luca Pacioli (1445-1517) que, por ser o primeiro texto impresso (e nao manuscrito, comoanteriormente) de matematica, teve larga difusao e tornou-se popular por condensar num volumetoda a matematica conhecida ate entao. Se e certo que o conteudo matematico da Summa acres-centava pouco ao que ja se conhecia, a sua apresentacao diferia, de forma substancial, da dassuas fontes. Como vimos, as obras dos seculos XIII e XIV tinham um estilo puramente retorico,com todo o conteudo (excepto os numeros) descrito em linguagem verbal. Porem, a Summade Paccioli apresenta pela primeira vez os calculos algebricos em forma abreviada, utilizando ospercursores das modernas formulas matematicas.

Com isto, a algebra inicia nova evolucao. As equacoes do terceiro grau tornam-se alvo degrande interesse, particularmente porque o maior rigor permitiu descobrir varios erros de quepadeciam os trabalhos dos maestri d’abbaco, e que foram transmitidos acriticamente de geracaoem geracao.

Como sabemos, da equacao generica do 3o grau,

x3 + ax2 + bx+ c = 0,

pode-se ser facilmente obter a equacao cubica reduzida,

y3 + py + q = 0,

atraves da mudanca de variavel y = x+ a3 . Scipione del Ferro conseguiu, provavelmente em 1504,

resolver um dos casos irredutıveis de coeficientes positivos,

(a) x3 + px = q.

Admitindo apenas p, q > 0, os outros dois casos possıveis da equacao reduzida (aparentementenao resolvidos por del Ferro) sao:

(b) x3 = px+ q,

(c) x3 + q = px.

A data exacta da descoberta nao se conhece, por causas que em seguida se explicam.Naquela epoca, em Italia, o mundo dos matematicos era extremamente competitivo. Os

estudantes pagavam directamente ao professor cada disciplina que frequentavam. Assim, casoficassem descontentes com o nıvel ou a qualidade do ensino, podiam suspender sumariamenteo pagamento. Um professor que caısse em desgraca podia ser forcado a deixar a escola, ou

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1.1. NOTAS HISTORICAS SOBRE NUMEROS COMPLEXOS

mesmo a cidade. Para lutar pela sua reputacao, assegurando assim a subsistencia, os professoresparticipavam em competicoes publicas em que o vencedor ganhava prestıgio e, presumivelmente,um maior numero de alunos. O formato destas competicoes era a de um duelo: o desafianteiniciava a contenda propondo uma lista de problemas a um professor mais famoso, enquanto odesafiado ripostava com uma lista de problemas de dificuldade comparavel. Ela declarado vencedoraquele que conseguisse um maior numero de respostas correctas. Em tal atmosfera, o guardiao deuma nova solucao ou tecnica de demonstracao dispunha de uma vantagem consideravel sobre osseus potenciais concorrentes. O segredo era, assim, muito importante, sendo que um matematiconunca sentia grande interesse pela publicacao das suas mais importantes descobertas.

Deste modo, a descoberta de del Ferro nao foi comunicada a comunidade matematica, peloque as ideias novas que introduzia (e suscitava) nao tiveram impacto imediato. A morte dedel Ferro, em 1526, permitiu a um seu discıpulo, Fiore, libertar-se da promessa de sigilo quehavia contraıdo. Fiori nao perdeu muito tempo e, em 1530, desafiou Tonini da Coi para umacompeticao. Incapaz de resolver os problemas, Tonini da Coi desafiou por sua vez um seu rival,Niccolo Tartaglia. Nessa ocasiao, Tartaglia respondeu que esses problemas eram impossıveis. Masquando, em 1535, Fiori o desafiou directamente, Tartaglia descobriu sozinho a solucao e ganhoumesmo a competicao, ao conseguir resolver tambem a equacao reduzida no caso (b).

Uma dificuldade com estas equacoes, que e visıvel no caso (b) mas que nao aparece nocaso (a), e a possibilidade de aparecer a raiz quadrada de um numero negativo como resultadointermedio do calculo de uma solucao real positiva. Utilizando notacao moderna, a deducao esimples. Substituindo x = u+ v em x3 = px+ q obtem-se:

(u+ v)3 = u3 + v3 + 3uv(u + v) = p(u+ v) + q

Fazendo 3uv = p na equacao acima 1 obtem-se o sistema:

u3 + v3 = q e u3v3 =(p

3

)3.

Deste sistema resulta uma equacao quadratica em u3, (u3)2 +(p3

)3= qu3, de cuja solucao se

obtem:

x = u+ v = 3

√q

2+ w + 3

√q

2−w,

onde

w =

√(q

2

)2−(p

3

)3.

O denominado casus irreducibilis ocorre quando o valor sob o sımbolo da raiz quadrada, em w, enegativo.

Cardano soube do feito de Tartaglia e pediu-lhe para partilhar a sua descoberta, por formaa que a mesma pudesse ser publicada, com o devido reconhecimento de autoria, no livro queCardano estava a escrever. Tartaglia, incialmente relutante em aceitar o pedido de Cardano, antea insistencia deste ultimo acabou por comunicar-lhe a descoberta apenas em 1539. Em 1545,Cardano publicou finalmente o seu tratado, intitulado Ars Magna. Com a meticulosidade queevidencia nas questoes matematicas, Cardano indicou del Ferro como primeiro autor e Tartagliacomo tendo descoberto o resultado independentemente, o que deu origem a uma das mais intensascontroversias sobre a prioridade de uma descoberta.

1A equacao original so tem uma incognita, portanto podemos adicionar esta relacao entre as variaveis u e v,que apenas fixa uma delas como funcao da outra.

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Em Ars Magna (1545), Cardano apresenta as solucoes de del Ferro e Tartaglia dos varioscasos de equacoes do 3o grau com coeficientes positivos. Isto torna-se possıvel, em parte, acusta do estabelecimento de identidades algebricas. Porem, permaneciam os metodos de prova deEuclides. Ora, as consideracoes geometricas necessarias para obter as demonstracoes criavam umproblema: que significado se devia dar a um numero negativo? O que significava um segmentode comprimento negativo, um quadrado de area negativa, ou um cubo de volume negativo?O que significava a diferenca a − b, quando a < b? Ora Euclides, os arabes, Fibonacci, osmaestri d’abaco, Pacioli, e Cardano contornaram sempre o problema da mesma forma: paranao admitirem coeficientes negativos consideraram varios casos para uma mesma equacao (daforma que vimos); pois so assim lhes era possıvel interpretar as equacoes do segundo grau comoproblemas geometricos envolvendo comprimentos de segmentos e areas de polıgonos.

Alem disso, os numeros negativos introduziam uma enorme dificuldade quando apareciamsob o sımbolo de raiz quadrada. Cardano estava ciente do problema e evitou discutir o casusirreducibilis em Ars Magna. Para uma equacao do 2o grau, ele explica assim a dificuldade 2: “seax = x2 + b entao:

x =a

2±√(a

2

)2− b. (1.1)

[...] Se nao se pode subtrair b de(a2

)2[no caso em que (a/2)2 − b < 0] entao o problema e

um falso problema, e a solucao que foi proposta nao se verifica”. Esta impossibilidade apenassignificava que a interpretacao geometrica da epoca (requerida pelos metodos de prova disponıveis)invalidava, a partida, os casos que poderiam levar a introducao de

√−1.

No entanto, no capıtulo 37 de Ars Magna, Cardano enuncia o problema{x+ y = 10xy = 40

(1.2)

afirmando depois:

“E evidente que este caso e impossıvel. No entanto, procederemos como se segue: dividimos10 em duas partes iguais, cada uma igual a 5. Estas elevamos ao quadrado, o que da25. Subtraia 40 do 25 anteriormente obtido, como eu mostrei no capıtulo sobre operacoes[aritmeticas] no livro VI, de onde resulta -15, a raiz quadrada do qual adicionada ou subtraidade 5 da as solucoes do problema. Estas sao 5 +

√−15 e 5−

√−15.”

Como o problema (1.2) e equivalente a equacao quadratica x2 + 40 = 10x, ele resolveu-o com aformula (1.1), o que pode hoje ser considerado como obvio mas decerto nao o era na epoca. Defacto, o uso de propriedades algebricas como meio de demonstracao estava ainda na sua infancia.Quando calculou (10/2)2 − 40 = −15, ele comentou que “como tal resultado e negativo, o leitortera que imaginar

√−15” e concluiu admitindo que “isto e verdadeiramente sofisticado, pois com

isto pode-se fazer as operacoes que nao se pode fazer no caso de um numero negativo e deoutros [numeros]”. Assim, a rejeicao das limitacoes da interpretacao geometrica vigente produziauma nova entidade algebrica cujas propriedades eram bem distintas de tudo o que ate entao eraconhecido, uma entidade cuja interpretacao geometrica escapava ao conhecimento da epoca. Porisso, Cardano viu-se na obrigacao de escrever “e assim progride a subtileza da aritmetica sendo odesıgnio da mesma, como se diz, tao refinado quanto inutil”.

Em 1463, o humanista Johannes Muller, mais frequentemente designado pelo pseudonimo Re-gimontanus, comunicou que havia descoberto “os optimos livros de Diofanto”, o maior algebrista

2traduzimos as formulas em notacao moderna

10


grego e que viveu em Alexandria provavelmente na segunda metade do seculo III da nossa era. Olivro mais importante que escreveu e a Aritmetica, onde introduz uma notacao simbolica similar aque fora sido desenvolvida ate ao seculo XVI, com sımbolos diferentes para uma incognita, para oquadrado de uma incognita, para o cubo, etc, e onde resolvia equacoes e inequacoes utilizando oque ele designou por formulas inderminadas, e que sao de facto propriedades algebricas genericas,hoje descritas atraves de formulas com quantificadores. Ate ao Renascimento, a Aritmetica deDiofanto fora descoberta e traduzida varias vezes, a primeira das quais realizada por al-Karaji,em Bagdad, no seculo X. Porem, nunca ate entao a obra tinha conseguido impor-se aos metodosgeometricos de Euclides, largamente difundidos por al-Khwarizmi e, no Ocidente, por Fibonacci.

Considere-se, por exemplo, o seguinte problema do tomo II desse tratado: “Encontrar tresnumeros tais que o quadrado de qualquer um deles menos o seguinte da um quadrado”. Usandonotacao moderna para descrever a solucao de Diofanto, ele tomou x+ 1, 2x+ 1, e 4x+ 1 comoos tres numeros pretendidos e verificou que satisfaziam as seguintes condicoes:

(x+ 1)2 − (2x+ 1) = x2, (1.3)

ou seja, um quadrado, e(2x+ 1)2 − (4x+ 1) = 4x2,

tambem um quadrado, e ja agora

(4x+ 1)2 − (4x+ 1) = 16x2,

igualmente um quadrado. O facto de este problema ter uma infinidade de solucoes permitiu aDiofanto enunciar uma propriedade generica que os numeros em questao satisfazem. Em notacaomoderna, a propriedade escreve-se:

Para qualquer x, (x+ 1)2 − (2x+ 1) = x2

A sua tecnica de demonstracao usa os metodos algebricos, tıpicos da analise matematica moderna;alem disso, Diofanto nao procurou posteriormente qualquer demonstracao geometrica da validadedo resultado, como era norma.

Durante a segunda metade da decada de 1560, Antonio Maria Pazzi descobriu uma copiamanuscrita da Aritmetica de Diofanto na Biblioteca do Vaticano e mostrou-a a Rafael Bombelli.Convencidos dos seus meritos, os dois homens iniciaram a traducao da obra, tendo completado otrabalho em cinco dos volumes. Esta descoberta provocou uma mudanca significativa no ambientematematico. Numa altura em que a vantagem dos metodos geometricos na solucao de questoesalgebricas tinha sido enfraquecida pelas descobertas das solucoes das equacoes do quarto grau edos numeros negativos e complexos como solucoes dessas equacoes, a abordagem nao geometricade Diofanto encontrou finalmente um ambiente favoravel a sua difusao. Em 1572, quando Bom-belli publica uma nova e mais completa edicao o seu longo tratado L’Algebra parte maggioredell’Arithmetica divisa in tre libri, os termos de inspiracao arabe cosa (para incognita) e census(para o seu quadrado) sao substituıdos pelas traducoes tanto e potenza da terminologia diofan-tina usada para representar numero (arithmos, em grego) e potencia (dynamis, em grego). Alemdisso, Bombelli removeu quase todos os problemas praticos originarios dos maestri d’abbaco,substituindo-os pelos problemas abstractos de Diofanto. Na sua introducao ao tomo III, ele anun-ciou que havia quebrado com o costume usual de enunciar problemas “... sob o desfarce de accoeshumanas (compras, vendas, trocas directas, cambios, juros, desfalques, emissao de moeda, ligas,pesos, sociedades, lucro e prejuızo, jogos e outras inumeras transaccoes e operacoes baseadas na

11


vida diaria)”. Ele pretendia ensinar “a aritmetica [algebra] avancada, a maneira dos antigos”. Avariacao introduzida pela algebra de Bombelli, o seu tratamento de problemas cuja solucao eraimpossıvel pelos metodos geometricos constituia, ao mesmo tempo, o reconhecimento de que asolucao dos problemas algebricos nao requeria justificacao geometrica.

Assim, em “l’Algebra” Bombelli segue Cardano mas oferece uma discussao completa do casusirreducibilis, introduzindo a notacao

√−1 nas operacoes com numeros complexos. Por exemplo,

ele considera a equacao

x3 = 15x + 4,

para a qual a formula de Cardano da a solucao:

x =3

√

2 +√−121 +

3

√

2−√−121

Definindo3

√

2 +√−121 = a+ b

√−1

e3

√

2−√−121 = a− b

√−1,

e elevando ao cubo ambos os membros das igualdades acima, ele conclui facilmente que a = 2 eb = 1, pelo que a solucao

x = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4,

apesar de ser real e positiva, so pode ser obtida por intermedio de numeros complexos.

Rene Descartes (1596-1650), que foi essencialmente um filosofo, produziu tambem importanteobra cientıfica. Instado pelos seus amigos a comunicar as suas ideias filosoficas, publicou em 1537o “Discours de la method pour bien conduire sa raison et chercheur la verite dans les sciences”.Esta obra tem tres apendices cientıficos: “La Dioptrique, “Les Meteores” e “La Geometrie”.Em La Geometrie, Descartes introduz ideias que estao na base da moderna geometria analıtica.Porem — e infelizmente para a analise complexa — o filosofo considerava os numeros complexoscomo uma impossibilidade geometrica. Por exemplo, no metodo que usou para resolver a equacaox2 = ax − b2, com a e b2 positivos, Descartes introduz a palavra imaginario: “Para qualquerequacao podemos imaginar tantas raizes [quanto o seu grau determina], mas em muitos casosnao existe a quantidade que correponde a que imaginamos”.

John Wallis (1616-1703), na sua “Algebra”, fez notar que os numeros negativos — a existenciados quais se havia tambem colocado objeccoes filosoficas durante varios seculos – tem umainterpretacao fısica perfeitamente razoavel, cuja base era uma recta com uma marca designandoo ponto zero e os numeros positivos sendo aqueles que estao a uma correspondente distanciado zero para a direita, enquanto os negativos estao a uma distancia correspondente (em valorabsoluto) para a esquerda. Assim surgiu o conceito moderno de recta real.

Abraham de Moivre (1667-1754) nasceu em Franca mas refugiou-se em Londres, aos dezoitoanos de idade, segundo se cre por motivos religiosos. Em 1698, mencionou que Newton descobrira,em 1676, um caso particular da formula que, em notacao moderna, se escreve:

(cos θ + i sen θ

)n= cos(nθ) + i sen(nθ).

Abraham de Moivre conhecia este resultado e usou-o varias vezes, mas coube a Euler o primeiroenunciado explıcito do mesmo.

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Leonhard Euler (1707-1783) nasceu em Basileia, na Suica, mas viveu a maior parte da suavida em S. Petersburgo e em Berlim. Privou com figuras importantes da historia mundial comoFrederico II (o Grande) da Prussia e a czarina Catarina (a Grande) da Russia.

Euler e considerado um dos melhores e mais produtivos matematicos de todos os tempos. Asua obra tocou tantas areas distintas que e impossıvel descreve-la em poucas linhas. Seguindoa tradicao que estivera na base da genese do calculo diferencial e integral, desenvolveu novasferramentas matematicas e aplicou-as a problemas da vida real, ao mesmo tempo que tornou osfundamentos do calculo mais simples de compreender e de aplicar.

Euler introduziu a notacao abreviada i =√−1; alem disso, muita da notacao da analise

matematica moderna como, por exemplo, a representacao de uma funcao generica por f(x), anotacao actual das funcoes trigonometricas, o sımbolo

∑usado em somatorios e series, a ele se

deve. Euler vizualizava correctamente os numeros complexos como pontos do plano, da mesmaforma que hoje o fazemos, embora nao tenha explicitado uma construcao dos numeros complexosbaseada nessa ideia. Tambem introduziu a representacao polar, x + iy = r(cos θ + i sen θ);descobriu que as solucoes da equacao zn = 1 sao vertices de um polıgono regular de n lados;definiu a exponencial complexa a partir de

eiθ = cos θ + i sen θ

Um caso particular desta identidade,eiπ = −1,

foi considerada por Richard P. Feynman a “formula mais notavel da matematica”, por relacionarde forma simples os tres numeros nao racionais, π, e e i, mais conhecidos. O seu estudo daexponencial permitiu-lhe definir logaritmos de numeros reais negativos, e mostrar que so podiamser numeros complexos.

A primeira definicao consistente de numero complexo e devida ao noruegues Caspar Wessel(1745-1818). Em 1799, Wessel publicou o artigo “On the Analitic Representation of Direction:An Attempt” nas Memoirs da Royal Danish Society of Mathematics. Wessel’s paper, escritoem dinamarques, passou despercebido, e a sua importancia so foi reconhecida um seculo depois,em 1897. A abordagem de Wessel recorre a vectores no plano: ele usou a soma de vectorese definiu o produto de forma equivalente ao que hoje fazemos quando somamos os argumentose multiplicamos os modulos. Independentemente de Wessel, Jean-Robert Argand (1768-1822),um bibliotecario parisiense que se pensa nao ter tido educacao formal em matematica, mandouimprimir numa grafica comum, em 1806, uma brochura anonima com o tıtulo “Ensaio sobre aIntepretacao Geometrica de Quantidades Imaginarias”. A. Legendre obteve uma copia deste texto,que o mencionou numa carta a um irmao de Jacques Francais; este ultimo publicou, em 1813, umartigo nos Annales de Mathematiques com a definicao basica dos numeros complexos. No ultimoparagrafo do seu artigo, Jacques reconheceu a importancia da carta de Legendre, e pediu ao autoranonimo que se identificasse. Argand tomou conhecimento disto, e a sua resposta encontra-se nonumero seguinte da revista.

E porem sabido que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) conhecia a representacao geometricados numeros complexos desde 1796 mas nao a publicou ate 1831. Entretanto William RowanHamilton (1805-1865), um importante fısico e matematico, cujas descobertas mais importantessao a mecanica hamiltoniana e os quaternioes, publicou em 1831 um importante trabalho onde os(mais tarde designados por) numeros complexos sao definidos como pares ordenados de numerosreais, (a, b). A sua soma foi definida por (a, b) + (c, b) = (a + b, c + d) e o seu produto por(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad). Isto constitui, com efeito, a definicao algebrica moderna dos

13


numeros complexos. Finalmente, em 1831, Gauss decide-se a publicar um artigo onde introduz adesignacao numero complexo, Gauss sumariza assim as dificuldades enfrentadas:

“Se este assunto tem ate agora sido tratado de um ponto de vista errado, e logoenvolto em misterio e obscurecido, e em grande medida o uso de uma terminologiadesadequada que deve ser culpado. Tivessem +1, −1 e

√−1, em vez de sido chama-

dos de unidade positiva, negativa e imaginaria (ou, pior ainda, impossıvel), recebidoos nomes, por exemplo, de unidade directa, inversa e lateral, entao dificilmente teriaexistido qualquer contexto para tal obscuridade.”

1.2 Numeros Complexos

1.2.1 Estrutura Algebrica

Define-se o conjunto dos numeros complexos como sendo

C ={z = x+ iy tal que x, y ∈ R, em que i2 = −1

}

x e denominado parte real do complexo z, x = Re z, e y e denominado parte imaginaria docomplexo z, y = Im z.

Podemos considerar os numeros reais como sendo os complexos cuja parte imaginaria e 0.Por outro lado, os complexos com parte real nula denominam-se imaginarios puros. De formasimplificada

Im z = 0 ⇔ z ∈ R , Re z = 0 ⇔ z ∈ iR

• Conjugado de um complexo:

Se z = x+ iy, define-se o seu conjugado por

z = x− iy (Re z = Re z e Im z = − Im z)

E obvio que¯z = z , ∀z ∈ C

• Igualdade de complexos:

Se z = x+ iy, w = a+ ib ∈ C

z = w ⇔ x = a e y = b

Exemplo:

1. O 0 (complexo) e o numero cujas partes real e imaginaria sao 0 (real)

z = 0 ⇔ Re z = Im z = 0

2. z = z se e so se Im z = 0, ou seja

z = z ⇔ z ∈ R

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1.2. NUMEROS COMPLEXOS

• Soma/Produto de complexos:

Se z = x+ iy, w = a+ ib ∈ C

z + w = (x+ a) + i(y + b) , zw = (xa− yb) + i(xb+ ya)

O conjunto C munido destas operacoes diz-se um corpo, isto e

– A soma tem as seguintes propriedades:

∗ a soma de quaisquer numeros complexos e tambem um numero complexo (fechadopara a soma)

Se z, w ∈ C ⇒ z + w ∈ C

∗ prorpiedade associativa

z + (w + u) = (z + w) + u = z +w + u

∗ propriedade comutativaz + w = w + z

∗ existencia de elemento neutro, 0

z + 0 = z

∗ existencia de inverso aditivo (simetrico), representado por −z

z + (−z) = 0

– O produto tem as seguintes propriedades:

∗ o produto de quaisquer numeros complexos e tambem um numero complexo (fe-chado para o produto)

Se z, w ∈ C ⇒ zw ∈ C

∗ propriedade associativaz(wu) = (zw)u = zwu

∗ propriedade comutativazw = wz

∗ existencia de elemento neutro, 1

1z = z

∗ existencia de elemento absorvente 0

0z = 0

∗ todos os complexos diferentes de 0 tem inverso multiplicativo (inverso), represen-tado por 1

z

z(1

z) = 1

– verifica-se a propriedade distributiva do produto relativamente a soma

z(w + u) = zw + zu

15


• Simetrico/Diferenca de complexos: Se w = a+ ib ∈ C

−w = −a− ib ou seja Re (−w) = −Rew , Im (−w) = −Imw

Como consequencia da existencia de simetrico, podemos definir a subtraccao de dois com-plexos como sendo a soma pelo simetrico, se z = x+ iy, w = a+ ib ∈ C

z − w = (x− a) + i(y − b)

• Inverso/Quociente de complexos:

Se w = a+ ib ∈ C \ {0}w−1 =

1

w==

w

ww=

a− ib

a2 + b2

Como consequencia da existencia de inverso para todo o complexo nao nulo, podemosdefinir o quociente de dois complexos como sendo o produto pelo inverso. Se z = x + iy,w = a+ ib ∈ C e w 6= 0

z

w=

(x+ iy)(a− ib)

a2 + b2

E facil de mostrar que para z = x+ iy ∈ C, se tem

Re z =z + z

2; Im z =

z − z

2i

e se alem disso w = a+ ib ∈ C

z +w = z + w ; zw = z w ; w−1 = (w)−1 (w 6= 0)

Pelas propriedades de corpo, os numeros complexos verificam as mesmas propriedades algebricasdos numeros reais. Em particular a importante lei do anulamento do produto:

zw = 0 ⇔ z = 0 ∨ w = 0

1.2.2 Inexistencia de relacao de ordem total em C

Uma relacao de ordem total (estrita) num conjunto M e uma relacao, <, que verifica:

(1) Dados a, b ∈M entao verifica-se uma e so uma das seguintes proposicoes: a < b ou b < aou a = b. (tricotomia)

(2) Dados a, b, c ∈M tais que a < b e b < c entao a < c. (transitividade)

Se M for um corpo, a relacao diz-se compativel com a soma e o produto se

(3) Dados a, b, c ∈M , se a < b entao a+ c < b+ c.

(4) Dados a, b, c ∈M , se a < b e c > 0 entao que ac < bc.

16


Um corpo munido de uma relacao de ordem compatıvel com a sua soma e produto diz-se umcorpo ordenado. Os numeros racionais e os numeros reais, com a soma, o produto e a relacao deordem usuais, constituem dois bem conhecidos exemplos de corpos ordenados.

Dados quaisquer a, b ∈ M , diz-se que a > b se b < a. A partir das propriedades de corpo edos axiomas de ordem prova-se que se a < 0 entao −a > 0 (basta usar o axioma 3. com b = 0 ec = −a), de onde resulta que:

(5) Dados a, b, c ∈M , se a < b e c < 0 entao que ac > bc.

Isto implica, em particular, que 1 > 0 (e que −1 < 0). 3

A partir destes resultados prova-se entao que nao existe qualquer relacao de ordem em C

que seja compatıvel com a soma e o produto (isto e, que satisfaca as propriedades 1-4). Poissupondo que existia, entao, pela propriedade tricotomica, ou i > 0 ou i < 0. Mas se i > 0entao i2 = i ∗ i > i ∗ 0 = 0 (propriedade (4)) o que contradiz i2 = −1 < 0. Se i < 0 entaoi2 = i ∗ i > i ∗ 0 = 0 (propriedade (5)) o que tambem contradiz i2 = −1 > 0.

1.2.3 Potencias de Expoente Inteiro e Polinomios Complexos

Se n ∈ Z e z ∈ C

zn =

z · z · · · · z︸︷︷︸

n vezes

se n > 0

1 se n = 0

1

z−nse n < 0

Como consequencia das propriedades comutativa e associativa do produto, verificam-se as propri-edades

zn wn = (zw)n , zn zp = zn+p

Podemos entao definir um polinomio como sendo

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a1z + a0

em que ao, a1, ... an sao constantes complexas. Mais tarde demonstraremos o seguinte resultado:

Teorema Fundamental da Algebra

Se P (z) e um polinomio de grau n ∈ N entao P admite exactamente n raızes (contando commultiplicidades).

Isto significa, que se P e um polinomio de grau n ∈ N, existem n complexos z1, ..., zn tal queP (zk) = 0 para todo k = 1, ..., n e como tal podemos escrever o polinomio na forma factorizada

P (z) = an(z − z1)...(z − zn)

3Note que o que provamos aqui nao e auto-evidente: vimos que em qualquer corpo ordenado (e nao apenas emR) se verifica 1 > 0, etc.

17


1.2.4 Estrutura Geometrica: Representacao Polar e Formula de Euler

Cada elemento x+ iy ∈ C, pode ser identificado com o ponto (x, y) do plano R2.

Na figura (1.1) pode ser vista uma representacao geometrica de C. Nela, as rectas verticaisrepresentam os complexos com a mesma parte real, Re z = α, e as rectas horizontais representamos complexos com a mesma parte imaginaria, Im z = β. Assim cada complexo z = α + iβ, eunicamente representado pela interseccao de duas rectas Re z = α e Im z = β.

Re z = α

Im z = β

α

β z = α+ iβ

Re z

Im z

Figura 1.1: O Plano Complexo.

Em particular, Im z = 0 e o eixo real, Re z = 0 e o eixo imaginario e a sua interseccao e aorigem.

Tal como em R2, podemos tambem usar as coordenadas polares para representar um numero

complexo. Assim, se z = x+ iy ∈ C, denomina-se por modulo de z, o numero real

|z| =√

x2 + y2.

Por outro lado, denomina-se por argumento de z qualquer numero real θ que verifique as igualdades

x = |z| cos θ e y = |z| sen θ.

Isto implica que

tg θ =y

x.

para x 6= 0. Desta forma, o complexo z pode ser escrito na forma polar por:

z = |z|(

cos(arg z) + i sen(arg z))

.

Por simplificacao de escrita (para ja) denotarmos

cos(arg z) + i sen(arg z) = eiarg z

Assim a representacao de um complexo na forma polar e |z|eiarg z. Na figura (1.2) encontra-sea representacao geometrica de um complexo em coordenadas polares. Nestas coordenadas, as

18


Re z

Im z

θ

r

z = reiθ

|z| = r

Arg z = θ

Figura 1.2: Representacao geometrica de um complexo.

semi-rectas com origem em 0 representam os complexos com o mesmo argumento, arg z = θ, eas circunferencias centradas na origem representam os complexos com o mesmo modulo, |z| = r.Assim, cada complexo z = reiθ, e representado pela interseccao de uma semirecta com umacircunferencia.

Euler definiu a exponencial de um numero imaginario por

eiθ = cos θ + i sen θ para qualquer θ ∈ R.

Trata-se da famosa formula de Euler. Esta definicao justifica-se pelo facto de cos θ+i sen θ ter aspropriedades que se esperam de uma funcao exponencial. Usando apenas trigonometria, pode-seprovar facilmente que para quaisquer θ, ϕ ∈ R e k ∈ Z:

ei(θ+ϕ) = eiθeiϕ

eiθe−iθ = 1

e−iθ =1

eiθ

eikθ =(

eiθ)k.

Recorrendo entao a formula de Euler, a forma polar de um numero complexo escreve-se, simples-mente:

z = |z| ei arg z. (1.4)

Tomando z = −1 em (1.4) obtem-seeiπ = −1,

formula tambem devida a Euler e que relaciona os tres numeros nao racionais mais conhecidos daMatematica.

O valor do argumento de um complexo nao e unico:

se θ verifica a igualdade (1.4) entao θ + 2kπ, com k ∈ Z, tambem verifica (1.4).

19


No entanto e unico em cada intervalo de comprimento 2π, isto e, para cada z 6= 0 e α ∈ R existeum unico θ ∈ [α,α+ 2π[ ou a ]α,α + 2π], tal que θ e o argumento de z.

• θ e o Argumento Principal se verifica (1.4) e pertence ao intervalo ]− π, π].

• θ e o Argumento Mınimo Positivo se verifica (1.4) e pertence ao intervalo [0, 2π[.

• Para certo α ∈ R, θ pertence ao Ramo α do Argumento se verifica (1.4) e pertence aointervalo [α,α + 2π[.

Dados z, w ∈ C, verifica-se que:

|z + w| ≤ |z|+ |w| (desigualdade triangular)

Geometricamente a desigualdade triangular e consequencia do facto de que num triangulo ocomprimento de qualquer dos lados e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outrosdois lados. Analiticamente, podemos demonstra-la assim:

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z +w)

= zz + zw + wz + ww = |z|2 + zw + zw + |w|2= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|zw|+ |w|2

= |z|2 + 2|z| |w| + |w|2 = (|z| + |w|)2

Como consequencia desta desigualdade tem-se que

∀ z, w ∈ C |z − w| ≥∣∣∣|z| − |w|

∣∣∣

A partir da representacao polar e da formula de Euler e facil de obter algumas propriedadesadicionais que melhor especificam a estrutura geometrica do conjunto dos numeros complexos, eque nao se podem obter no espaco vectorial R2. Assim, se z = reiθ e w = ρeiϕ entao:

z = |z|e−iθ , zw = r ρei(θ+ϕ) ,z

w=r

ρei(θ−ϕ)

pelo que

zz = |z|2 , |zw| = |z||w| ,∣∣∣z

w

∣∣∣ =

|z||w|

arg (z) = −arg (z) , arg (zw) = arg (z) + arg (w) , arg (z

w) = arg (z)− arg (w)

20


1.2.5 Raızes Indice n de um Numero Complexo

A partir da expressao do produto de numeros complexos na forma polar, obtem-se a formula deDe Moivre:

zn = |z|neinθ , ∀n ∈ N.

Daqui se deduz que qualquer complexo z = |z|eiθ nao nulo admite n raızes ındice n distintasdadas por:

n√z = n

√

|z|ei θ+2kπn , k = 0, 1, ..., n − 1.

Para o caso n = 2 (raızes quadradas), a expressao anterior e equivalente a:

√z = ±

√

|z| ei θn .

Para n ≥ 3, as raızes ındice n de um numero complexo formam um polıgono regular de n lados.

E de notar que as propriedades das raızes reais 4 nao sao satisfeitas pelas raızes complexas,mesmo se interpretadas no sentido da igualdade de conjuntos.

Exemplo:

1. Determinar todos os valores de 4√−1 e

√i. Por um lado

4√−1 =

4√eiπ = ei

π+2kπ4 , k = 0, 1, 2, 3 ,

pelo que as raızes quartas de −1 estao representadas no conjunto

R1 ={

eiπ4 , e

3iπ4 , e

5iπ4 , e

7iπ4

}

.

Por outro lado

√i =

√

eiπ/2 = eiπ2 +2kπ

2 = ei(π4+kπ) , k = 0, 1 ,

e assim as raızes quadradas de i estao representadas no conjunto

R2 ={

eiπ4 , e

5iπ4

}

.

E obvio que R2 ⊂ R1 pelo que 4√−1 6=

√i. No entanto, a igualdade verifica-se para 2 das

raızes: eiπ4 e a sua simetrica, e

5iπ4 = −e iπ

4 .

4Se x ∈ R+, n, m e p ∈ N entao

nm

√xmp = n

√xp e n

√xp =

(

n

√x)p

.

21


2. Determinar todos os valores de 4√

(1 + i)2 e(

4√1 + i

)2. Por um lado

4√

(1 + i)2 =4√2i =

4√2 ei

π2 +2kπ

4 , k = 0, 1, 2, 3 ,

pelo que os valore possıveis de 4√

(1 + i)2 sao os elementos do conjunto

R1 = { 4√2e

iπ8 ,

4√2e

5iπ8 ,

4√2e

9iπ8 ,

4√2e

13iπ8 } .

Por outro lado

(4√1 + i

)2=(

4

√√2 eiπ/4

)2=(

8√2 ei

π4 +2kπ

4

)2=

4√2 ei

π4 +2kπ

2 , k = 0, 1, 2, 3

e assim os valore possıveis de(

4√1 + i

)2estao representados no conjunto

R2 = { 4√2e

iπ8 ,

4√2e

9iπ8 ,

4√2e

17iπ8 ,

4√2e

25iπ8 } = { 4

√2e

iπ8 ,

4√2e

17iπ8 }

Mais uma vez se conclui que R2 ⊂ R1, pelo que 4√

(1 + i)2 6=(

4√1 + i

)2.

3. Determinar todos os valores de 3

√

(√3− i)2 e

(3√√

3− i)2

. Por um lado

3

√

(√3− i)2 =

3

√(

2e−iπ/6)2

=3√

4e−iπ/3 =3√4 ei

−π3 +2kπ

3 , k = 0, 1, 2 ,

pelo que os valores possıveis de 3

√

(√3− i)2 sao os elementos do conjunto

R1 = { 3√4e−

πi9 ,

3√4e

5πi9 ,

3√4e

11πi9 }

Por outro lado

(3

√√3− i

)2=(

3√

2e−iπ/6)2

=(

3√2e

−iπ6 +2kπ

3

)2=

3√4e

−iπ3 +4kπ

3 , k = 0, 1, 2

e assim os valore possıveis de(

3√√

3− i)2

estao representados no conjunto

R2 = { 3√4e−

πi9 ,

3√4e

11πi9 ,

3√4e

23πi9 }

Verifica-se neste caso que R1 = R2. Pelo que neste caso se verifica que 3

√

(√3− i)2 =

(3√√

3− i)2

.

De facto podemos enunciar a seguinte propriedade:

Se z ∈ C, n, p sao numeros naturais primos entre si, sentao

n√zp =

(n√z)p

onde a igualdade deve ser interpretada como igualdade entre conjuntos.

22

1.3. FUNCOES COMPLEXAS DE VARIAVEL COMPLEXA

1.3 Funcoes Complexas de Variavel Complexa

1.3.1 Definicao e Notacao

f : D ⊂ C → C diz-se uma funcao complexa de variavel complexa se a todo z ∈ D fizercorresponder um e um so w = f(z) ∈ C. Nesse caso

D ∋ z = x+ yi 7−→ w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C

Seja D ⊂ R2 o conjunto em R

2 que “corresponde geometricamente” a D ⊂ C, isto e:

(x, y) ∈ D ⇔ x+ iy ∈ D

As funcoes u : D ∈ R2 → R e v : D ∈ R

2 → R sao denominadas respectivamente, a parte reale a parte imaginaria de f . O conjunto D e denominado o domınio de f . Quando nada se dizacerca de D, subentende-se que:

D ={z ∈ C : f(z) esta bem definido (em C)

}

e corresponde, em R2, a:

D ={(x, y) ∈ R

2 : u(x, y) e v(x, y) estao bem definidos (em R)}

(D e a interseccao dos domınios de u e v).

Exemplos:

1. Consideremos a funcaoo f(z) = z2 + 3. Entao

f(x+ yi) = (x+ yi)2 + 3 = x2 + 2xyi− y2 + 3 = x2 − y2 + 3 + 2xyi

Pelo queRe f = u(x, y) = x2 − y2 + 3 e Im f = v(x, y) = 2xy

E obvio que o domınio de f e C.

2. A funcao f(z) = zz2+1 , tem por domınio o conjunto

D = {z ∈ C : z2 + 1 6= 0} = C \ {i,−i}

3. A funcao definida por f(z) = z2 − 4z +Re z tem domınio C e

f(x+ yi) = (x+ yi)2 − 4(x+ yi) + x = (x2 − y2 − 3x) + (2xy − 4y)i

pelo que

Re f = u(x, y) = x2 − y2 − 3x e Im f = v(x, y) = 2xy − 4y..

4. Sendo n ∈ N, considere-se f(z) = n√z (com −π < argz ≤ π) e escolhendo o valor da raiz

de tal forma a que n√1 = 1. Note que se escolhermos apenas uma das n raızes ındice n,

entao obtemos um unico valor para n√z. Desta forma, seja:

f(z) = n√

|z| ei arg zn com π < argz ≤ π

Trata-se de uma funcao cujo valor e uma raiz ındice n de z e que satisfaz f(1) = 1. Alemdisso, o seu domınio e C e

Re n√z = n

√

|z| cos arg zn

e Im n√z = n

√

|z| sen arg z

n

23


1.3.2 Funcoes Elementares

Funcoes Polinomiais e Racionais

Uma funcao polinomial e definida atraves de um polinomio complexo:

P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn,

onde n e o grau do polinomio e a0, a1, . . . an ∈ C os seus coeficientes. O domınio das funcoespolinomiais e C. Tal como no caso real, se z0 for uma raiz de P (z) entao existe Q(z) (de graun− 1) tal que a factorizacao P (z) = (z − z0)Q(z) e valida.

Uma funcao racional e dada por

f(z) =P (z)

Q(z),

onde P (z) e Q(z) sao polinomios. O domınio de f(z) e

D ={z ∈ C : Q(z) 6= 0

}

Admitindo que P (z) e Q(z) nao tem raızes comuns, entao se z0 e uma raiz de Q(z) resulta que

|f(z)| =∣∣∣P (z)Q(z)

∣∣∣→ ∞ quando |z − z0| → 0. Este e o exemplo mais simples de uma singularidade

isolada de uma funcao complexa, conforme veremos mais tarde.

Exponencial Complexa

Para z ∈ C, define-se exponencial complexa por

ez = eRe z(

cos(Im z) + i sen(Im z))

isto e, se z = x+ iy

ez = exeiy = ex(cos y + i sen y

)

A exponencial complexa e uma extensao da exponencial real ao plano complexo. O domınio daexponencial complexa e C, e

Re ez = ex cos y , Im ez = ex sen y , |ez| = eRe z , arg ez = Im z

Desta forma podemos observar que as imagens por f(z) = ez de complexos com parte real cons-tante (rectas verticais) sao complexos com modulo constante (circunferencias centradas na origem)e a imagem de complexos com parte imaginaria constante (rectas horizontais) sao complexos comargumento constante (semi rectas com origem em 0) - ver Figura 1.3

Propriedades Elementares da Exponencial Complexa

• Para todos z, w ∈ C,

ez+w = ezew

24


Re z = a0Re z = a1

Im z = b0

Im z = b1

ez

|z| = ea0

|z| = ea1

Arg z = b0

Arg z = b1

Figura 1.3: Transformacao de rectas horizontais e verticais por f(z) = ez.

• Para todo z ∈ C

ez+2kπi = ez , k ∈ Z

o que significa que a exponencial complexa e periodica de perıodo 2πi.

• Para qualquer w ∈ C \ {0}, a equacao ez = w pode sempre ser resolvida e tem umainfinidade de solucoes, que sao dadas por:

ez = w ⇔ z = log |w| + i(argw + 2kπ) , k ∈ Z

(porque?)

Funcoes Trigonometricas

A partir da formula de Euler tem-se, para qualquer y ∈ R:

eiy = cos y + i sen y

e−iy = cos y − i sen y

Somando e subtraindo as identidades anteriores obtem-se, respectivamente, cos y = 12

(eiy+e−iy

)

e sen y = 12i

(eiy − e−iy

).

Podemos entao generalizar as funcoes trigonometricas reais a funcoes complexas de variavelcomplexa, definindo-as, para todo o z ∈ C, por:

cos z =eiz + e−iz

2, sen z =

eiz − e−iz

2i, tg z =

sen z

cos z, cotg z =

cos z

sen z

E obvio que as funcoes sen z e cos z tem domınio C, enquanto que o domınio da funcao tg z eC \ {z : cos z = 0} e o domınio da funcao cotg z e C \ {z : sen z = 0}.

As propriedades das funcoes trigonometricas complexas sao analogas as das funcoes trigo-nometricas reais, e podem ser facilmente justificadas a partir das suas definicoes. Em particular,para quaisquer z, w ∈ C e k ∈ Z:

25


• sen2 z + cos2 z = 1

• sen(z + 2kπ) = sen z e cos(z + 2kπ) = cos z

• tg(z + kπ) = tg z

• cotg(z + kπ) = cotg z.

• sen(z ± w) = sen z cosw ± senw cos z

• cos(z ± w) = cos z cosw ∓ sen z senw

• sen(−z) = − sen z

• cos(−z) = cos z .

O contadomınio das funcoes sen z e cos z e C. Isto significa que quando as funcoes reais senoe coseno sao estendidas ao plano complexo, tanto as equacoes cos z = w como sen z = w passama ter solucao para qualquer w ∈ C. Por periodicidade, essas equacoes tem uma infinidade desolucoes — pois se z e solucao de cos z = w ou sen z = w, entao z + 2kπ tambem o e, paraqualquer k ∈ Z. Chama-se a atencao que este facto implica, entre outras coisas, que as funcoessen z e cos z nao sao limitadas em C.

Funcoes Hiperbolicas

Para z ∈ C definem-se:

ch z =ez + e−z

2, sh z =

ez − e−z

2, tgh z =

sh z

ch z, cotgh z =

ch z

sh z.

E obvio que as funcoes sh z e ch z tem domınio C, enquanto que o domınio da funcao tgh z eC \ {z : ch z = 0} e o domınio da funcao cotgh z e C \ {z : sh z = 0}.

Todas as igualdades verificadas pelas funcoes hiperbolicas reais sao tambem verificadas pelasfuncoes hiperbolicas complexas. Em particular, para quaisquer z, w ∈ C e k ∈ Z

• ch2 z − sh2 z = 1

• sh(z + 2kπi) = sh z

• ch(z + 2kπi) = ch z

• sh(z ± w) = sh z chw ± shw ch z

• ch(z ± w) = ch z chw ± sh z shw

• sh(−z) = − sh z e ch(−z) = ch z .

Logaritmo Complexo

Define-se logaritmo complexo por

w = Log z ⇔ ew = z ⇔ w = log |z|+ i(arg z + 2kπ) k ∈ Z

26


Observa-se que o logaritmo complexo esta bem definido em C \ {0}.Atendendo a que os argumentos de z formam um conjunto infinito, da forma {θ+2kπ, k ∈ Z},

em que θ ∈ R e um argumento particular de z, entao tambem Log z tera uma infinidade de valores.Como tal, Log designa aquilo que em analise complexa se chama uma funcao multivalente.

De forma a definir funcoes logaritmo complexo, log : C \ {0} → C (que tomam um unicovalor, log z ∈ C) ha que restringir o valor do argumento a um intervalo de comprimento 2π,intervalo esse onde o argumento de z e unico. Sendo assim, para qualquer z ∈ C e qualquerα ∈ R, define-se o ramo α do logaritmo (resp. o valor α do logaritmo) por:

log z = log |z|+ i arg z , arg z ∈ [α,α + 2π[

(Resp., arg z ∈]α,α + 2π] para o valor α de log). O caso particular em que se considera oargumento principal, isto e

log z = log |z|+ i arg z , arg z ∈]− π, π]

denomina-se valor principal do logaritmo.

Os ramos do logaritmo verificam algumas propriedades algebricas da funcao logaritmo realapenas a menos de multiplos de 2πi. Mais rigorosamente, isto significa que para quaisquerz, w ∈ C e m ∈ Z:

• log(zw) = log z + logw + 2pπi para certo p ∈ Z.

• log(z/w) = log z − logw + 2pπi para certo p ∈ Z.

• log(zm) = m log z + 2pπi para certo p ∈ Z.

Exemplo:

1. Determinar o valor principal de log(2√3− 2i)+ log(−1− i) e de log

[

(2√3− 2i)(−1− i)

]

.

Por um lado

log[

(2√3− 2i)(−1 − i)

]

= log[

(4e−iπ/6)(√2e5πi/4)

]

= log[

(4√2e13 iπ/12)

]

= log[

(4√2e−11 iπ/12)

]

=5

2log(2)− 11 i π

12

Por outro lado

log(2√3− 2i) + log(−1− i) = log(4e−iπ/6) + log(

√2e−3πi/4)

= log 4− iπ

6+ log(

√2)− 3iπ

4=

5

2log(2) − 11 i π

12

Verifica-se, neste exemplo, que para o valor principal do logaritmo,

log(2√3− 2i) + log(−1− i) = log

[

(2√3− 2i)(−1 − i)

]

27


2. Determinar o valor principal de log[

(−√3− 3i)5

]

e de 5 log(−√3− 3i). Por um lado

log[

(−√3− 3i)5

]

= log[

(√12e4πi/3))5

]

= log[

(√12)5e20πi/3)

]

= log[

(√12)5e2πi/3)

]

=5

2log(12) +

2πi

3

Por outro lado

5 log(−√3− 3i) = 5 log[

√12e−2πi/3] =

5

2log(12) − 10πi

3

Verifica-se, neste exemplo, que para o valor principal do logaritmo

log[

(−√3− 3i)5

]

= 5 log(−√3− 3i) + 4πi

Potencia de Expoente Complexo

Para z ∈ C \ {0} e w ∈ C fixo, define-se ramo-α da potencia de expoente w por:

zw = ew log z , arg z ∈ [α,α+ 2π[

O caso especial em que se considera o valor principal do logaritmo, isto e

zw = ew log z , arg z ∈]− π, π]

denomina-se valor principal da potencia de expoente w.Como exemplo, calculemos o valor principal de iw, onde w e um numero complexo de modulo

1 ou seja, w = eiθ, para certo θ ∈]− π, π[. Temos:

wi = ei logw = ei log(eiθ) = ei(log 1+iθ) = ei

2θ = e−θ.

Se quisessemos determinar o valor multivalente de wi, entao terıamos que considerar todos ospossıveis valores do argumento de w, que sao θ + 2kπ, com k ∈ Z. Neste caso, o resultado e:

{

e−θ−2kπ : k ∈ Z

}

={

e−θ+2jπ : j ∈ Z

}

1.3.3 Limites

Sendo f : D → C e z0 ∈ D, define-se

L = limz→z

f(z) ⇔ ∀ǫ > 0 ∃δ > 0 |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < ǫ

ProposicaoSe f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0 e L = A+ iB entao

L = limz→z0

f(z) ⇔

lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = A

lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = B

28


isto e, se os limites existirem

limz→z0

f(z) = lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) + i lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y)

Demonstracao:Em primeiro lugar, assumindo que existem os limites

lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = A e lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = B

Por definicao, para cada ǫ > 0 existem numeros positivos δ1 e δ2 tais que

(x− x0)2 + (y − y0)

2 < δ1 ⇒ |u(x, y) −A| < ǫ

2

e(x− x0)

2 + (y − y0)2 < δ2 ⇒ |v(x, y) −B| < ǫ

2

Considere-se δ = min{δ1 , δ2} Tem-se entao que se (x− x0)2 + (y − y0)

2 < δ

|u(x, y) + iv(x, y) − (A+ iB)| = |u(x, y)−A+ i(

v(x, y)−B)

|

≤ |u(x, y)−A|+ |v(x, y) −B|

<ǫ

2+ǫ

2= ǫ

o que demonstra que o limite limz→z0

f(z) = A+ iB.

Reciprocamente, supondo que existe limz→z0

f(z) = A + iB, dados ǫ > 0 sabemos que existe

δ > 0 tal que

0 < |(x+ yi)− (x0 + iy0)| < δ ⇒ |u(x, y) + v(x, y)i− (A+ iB)| < ǫ

Atendendo a que para qualquer numero complexo z se verifica que

|Re z| ≤ |z| e |Im z| ≤ |z|

demonstra-se facilmente que se√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ se tem

|u(x, y) −A| < ǫ e |v(x, y) −B| < ǫ

�

O resultado anterior permite mostrar que, se existirem limz→z0

f(z) e limz→z0

g(z), tem-se que

limz→z0

(f ± g)(z) = limz→z0

f(z)± limz→z0

g(z);

limz→z0

(fg)(z) = limz→z0

f(z) limz→z0

g(z);

limz→z0

(f/g)(z) = limz→z0

f(z)/ limz→z0

g(z),

29


sendo esta ultima propriedade valida desde que limz→z0

g(z) 6= 0.

Exemplo:

1. limz→i

eπz = −1.

2. limz→1

z2 − (i+ 1)z + i

z2 + (i− 1)z − i= lim

z→1

(z − 1)(z − i)

(z − 1)(z + i)= −i

E de observar que enquanto o calculo algebrico de limites em C e semelhante ao de R, a nocaode limite em C e identica a de R

25.

Exemplo:

Observa-se que limz→0

Re (z)

zrepresenta uma indeterminacao do tipo 0/0. Escrevendo z = |z|eiθ

obtem-seRe (z)

z=

|z| cos(θ)|z|eiθ = e−iθ cos(θ)

Fazendo |z| → 0 verifica-se Re (z)/z converge para um valor que depende de θ (ou seja doargumento de z) e como tal o seu valor dependera da forma como z esta a convergir para 0.Assim, por exemplo, se z esta a convergir para 0 ao longo do semi eixo real positivo (θ = 0)tem-se

limz→0 , z∈R+

Re (z)

z= 1 ,

enquanto que se z esta a convergir para 0 ao longo do semi eixo imaginario positivo (θ = π/2)tem-se

limz→0 , z∈iR+

Re (z)

z= 0 .

Conclui-se que limz→0

Re (z)

znao existe.

1.3.4 Continuidade:

Sendo f : D → C e z0 ∈ D, diz-se que f e contınua em z0 se

limz→z0

f(z) = f(z0)

Se f e contınua em todos z0 ∈ D diz-se que f e contınua em D. Demonstra-se que, se f = u+iv,z0 = x0 + iy0 entao f e contınua em z0 se e so se u(x, y) e v(x, y) sao contınuas em (x0, y0).

Sendo assim, se f e g sao contınuas em z0 entao f + g, f − g, fg e no caso de g(z0) 6= 0,f(z)g(z) sao contınuas em z0. Se g e contınua em z0 e f e contınua em g(z0) entao f ◦ g e contınuaem z0.

5As vizinhancas de um ponto em C e R2 sao discos centrados nesse ponto; ou seja sao geometricamente iguais.

30


Estudo da Continuidade das Funcoes Elementares

1. A funcao f(z) = z = x + iy e contınua em C, dado que Re f(z) = x e Im f(z) = y saocontınuas em R

2.

2. Para cada n ∈ N, a funcao f(z) = zn e contınua em C, dado que e o produto de funcoescontınuas em C.

3. Uma funcao polinomial e contınua em C dado que se obtem a partir da soma e produto defuncoes contınuas em C.

4. Uma funcao racional P (z)/Q(z) e contınua em C \ {z : Q(z) = 0}.

5. A funcao exponencial f(z) = ez e contınua em C, dado que Re f(z) = ex cos y e Im f(z) =ex sen y sao contınuas em R

2.

6. As funcoes sen z, cos z ch z e sh z sao contınuas em C (obtidas por composicao e soma defuncoes contınuas em C).

7. Considere-se a funcao valor principal do log z, isto e,

log z = log |z|+ i arg z , arg z ∈ ]− π, π]

Por um lado, Re log z = log |z| e uma funcao contınua em R2 \ {(0, 0)} (consequencia da

continuidade da funcao logaritmo real em R+. Por outro lado, Im log z = arg z e contınua

para todos os z tais que arg z ∈ ] − π, π[ (continuidade da funcao arctg num dos seusramos). Falta entao estudar a continuidade do valor principal do log z em qualquer pontoz tal que arg z = π. Para isso, considere-se z0 6= 0 tal que arg z0 = π. Entao

limz→z0

arg z =

{π se Im z > 0−π se Im z < 0

Conclui-se que nao existe limz→z0

arg z para qualquer z0 6= 0 com arg z0 = π (pelo que a

funcao arg z nao e contınua nestes pontos). Consequentemente o domınio de continuidadedo valor principal de log z e

C \ {z ∈ C : arg z = π} = C \ {xeiπ : x ∈ R+0 } = C \ R−

0

O conjunto{xeiπ : x ∈ R

+0 }

e denominado corte do valor principal do logaritmo (complexo).

8. De modo analogo se mostra que, para cada α ∈ R, o domınio de continuidade do ramo αdo logaritmo

log z = log |z|+ i arg z , arg z ∈ ]α,α+ 2π]

eC \ {z = xeiα : x ∈ R

+0 }

O conjunto{z = xeiα : x ∈ R

+0 }

e denominado corte do ramo α do logaritmo (complexo).

31


1.4 Derivada Complexa e Funcoes Analıticas

Diz-se que uma funcao f : D ⊂ C → C tem derivada complexa (ou que e diferenciavel no sentidode C) em z0 ∈ D se existe

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0= lim

h→0

f(z0 + h)− f(z0)

h

Se o limite existir, define-se

f ′(z0) = limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

Define-se Domınio de Diferenciabilidade como sendo conjunto de pontos do domınio de f para osquais existe derivada.

Exemplo:

1. Para f(z) = 2z − z2, de domınio C, verifica-se que

limh→0

f(z + h)− f(z)

h= lim

h→0

2(z + h)− (z + h)2 − (2z − z2)

h

= limh→0

(

2− 2z − h)

= 2− 2z

Conclui-se que f e diferenciavel em C e

f ′(z) = 2− 2z , ∀z ∈ C

2. Para f(z) = f(x+ iy) = 2x+ 3iy, de domınio C, verifica-se que

limh→0

f(z + h)− f(z)

h= lim

h1+ih2→0

2(x+ h1) + 3i(y + h2)− (2x+ 3iy)

h

= limh→0

2h1 + 3ih2h1 + ih2

Observe-se que

• se h1 + ih2 → 0 ao longo do eixo real, ter-se-a que h2 = 0 e o valor do limite(direccional) e

limh→0, h∈R

f(z + h)− f(z)

h= lim

h1→0

2h1h1

= 2

• se h1 + ih2 → 0 ao longo do eixo imaginario, ter-se-a que h1 = 0 e o valor do limite(direccional) e

limh→0, h∈iR

f(z + h)− f(z)

h= lim

h2→0

3ih2ih2

= 3

pelo que este limite nao existe. Conclui-se que para qualquer z ∈ C, limh→0

f(z + h)− f(z)

hnao existe e como tal o domınio de diferenciabilidade de f e o conjunto vazio.

32

1.4. DERIVADA COMPLEXA E FUNCOES ANALITICAS

3. Para f(z) = zRe z, de domınio C, verifica-se que

limh→0

f(z + h)− f(z)

h= lim

h→0

(z + h)Re(z + h)− zRe z

h

= limh→0

zReh+ hRe z + hReh

h

= Re z + limh→0

(z + h) limh→0

Reh

h

= Re z + z limh→0

Reh

h

Observe-se que, escrevendo o numero complexo h na forma polar, se tem

limh→0

Reh

h= lim

|h|→0

|h| cos θ|h|eiθ = eiθ cos θ

pelo que este limite nao existe. Se z = 0

limh→0

f(0 + h)− f(0)

h= 0

e como tal f e diferenciavel em 0 e f ′(0) = 0. Por outro lado se z 6= 0, limh→0

f(z + h)− f(z)

hnao existe (porque?) pelo que a funcao nao e diferenciaavel em C \ {0}. Assim, o domıniode diferenciabilidade de f e {0}.

Nota: Os casos anteriores (2 e 3), mostram que nao e suficiente que u e v sejam diferenciaveisem (x0, y0) para que f = u + iv tenha derivada em z0 = x0 + iy0. Por exemplo para f(z) =f(x+ iy) = 2x+ 3iy

Re f = u(x, y) = 2x , Im f = v(x, y) = 3y

admitem derivada (no sentido de R2) em todos os pontos, e no entanto a funcao f = u+ iv nao

admite derivada (no sentido de C) em ponto algum de C.

Tal como para as funcoes reais de variavel real, e valido o seguinte resultado (que tem de-monstracao analoga).

Proposicao Se a funcao f : D → C e diferenciavel em z0 entao f e contınua em z0.

Notemos que, tal como no calculo real, o recıproco nao pode nao ser verdade: existem funcoescontınuas num determinado ponto do seu domınio que nao tem derivada nesse ponto (casos 2 e3 do exemplo anterior. E no entanto muitas vezes utilizado na forma de contra-recıproco: se fnao e contınua em z0 entao f nao e diferenciavel em z0.

Exemplo:O valor principal do logaritmo complexo nao admite derivada no conjunto

{z = reiπ : r ≥ 0}

33


Para facilitar a notacao, definimos o disco centrado em z0 ∈ C e de raio ǫ > 0 como sendo osubconjunto de C dado por:

D(z0, ǫ)def={z ∈ C : |z − z0| < ǫ

}.6

A analise complexa estuda essencialmente as funcoes complexas de variavel complexa que saodiferenciaveis nalguma regiao do seu domınio.

Definicao: (Funcao Analıtica ou Holomorfa)

Uma funcao diz-se analıtica ou holomorfa em z0 se

Existe um disco centrado em z0 tal que f admite derivada em todos os pontos desse disco,ou seja, existe ǫ > 0 tal que f admite derivada em todos os pontos de D(z0, ǫ).

Define-se domınio de analiticidade ou domınio de holomorfia ao maior conjunto onde f eanalıtica. Uma funcao cujo domınio de analiticidade e C diz-se inteira. Observe-se que o domıniode analiticidade esta sempre contido no domınio de diferenciabilidade.

Exemplo:

1. Para f(z) = 2z − z2 vimos que o domınio de diferenciabilidade e C, pelo que o domınio deanaliticidade e tambem C. Esta funcao e um exemplo de funcao inteira.

2. Para f(z) = f(x + iy) = 2x + 3iy vimos que que o domınio de diferenciabilidade e oconjunto vazio, pelo que o domınio de analiticidade e tambem o conjunto vazio.

3. Para f(z) = zRe z vimos que o domınio de diferenciabilidade e {0}, pelo que o domınio deanaliticidade e o conjunto vazio.

Nota: O domınio de analiticidade de uma funcao e sempre um conjunto aberto. Um conjuntoD ⊂ C e aberto se para qualquer z ∈ D existe pelo menos um disco centrado em z que estacontido em D.

1.4.1 Equacoes de Cauchy-Riemann

Considere-se a funcao complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e um ponto z0 = x0 + iy0 pertencenteao domınio de f . Vamos estudar qual (ou quais) as propriedades de uma funcao complexa queadimite derivada num ponto.

• Condicao necessaria a existencia de derivada

Se f admite derivada em z = x+ iy entao sao verificadas as equacoes de Cauchy-Riemannem (x, y), isto e

se f ′(z) existe entao

∂u

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y)

∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y)

(1.5)

6O disco D(z0, ǫ) e tambem uma bola, Bǫ(z0), centrada em z0 e de raio ǫ.

34


No caso de existir derivada em z, tem-se que

f ′(z) =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y)− i

∂u

∂y(x, y)

Demonstracao:

Sabendo, por hipotese, que existe o limite que define a derivada complexa,

f ′(z) = limw→0

f(z + w)− f(z)

w, (1.6)

entao calculando esse limite segundo as direccoes do eixo real (fazendo w = t → 0) e doeixo imaginario (fazendo w = it e t→ 0), obtem-se os limites:

limt→0

f(x+ iy + t)− f(x+ iy)

t= lim

t→0

(u(x+ t, y)− u(x, y)

t+ i

v(x+ t, y)− v(x, y)

t

)

=∂u

∂x+ i

∂v

∂x

limt→0

f(x+ iy + it)− f(x+ iy)

it= lim

t→0

(u(x, y + t)− u(x, y)

it+ i

v(x, y + t)− v(x, y)

it

)

=∂v

∂y− i

∂u

∂y

(1.7)Resulta assim que os dois limites em (1.7) sao iguais ao limite em (1.6), ou seja,

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i

∂u

∂y,

de onde resultam imediatamente as equacoes de Cauchy-Riemann (1.5). �

E de salientar que as condicoes de Cauchy-Riemann nao sao suficientes para a existencia dederivada num ponto. Estudemos entao, com mais detalhe, a questao da aplicabilidade desteresultado.

• (Contra-Recıproco) Se as condicoes de Cauchy-Riemann nao se verificam em (x, y) entaof ′(x+ iy) nao existe.

Exemplo:

Para a funcao f(z) = z +Re z tem-se que

Ref(x+ iy) = u(x, y) = 2x , Imf(x+ iy) = v(x, y) = y

pelo que∂u

∂x(x.y) = 2 ,

∂u

∂y(x.y) = 0 ,

∂v

∂x(x.y) = 1 ,

∂v

∂y(x.y) = 0

E obvio que as condicoes de Cauchy-Riemann nao se verificam em qualquer (x, y) ∈ R2.

Podemos concluir que f(z) = z +Re z nao admite derivada em qualquer z ∈ C.

35


• Se as condicoes de Cauchy-Riemann sao verificadas em (x0, y0) entao nada se pode con-cluir sobre a existencia de f ′(x0 + iy0).

Exemplo;

— Para a funcao definida em C por

f(z) = f(x+ iy) =

x3(1 + i)− y3(1− i)

x2 + y2se z 6= 0

0 se z = 0

tem-se que

Ref(x+ iy) = u(x, y) =

x3 − y3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)e

Imf(x+ iy) = v(x, y) =

x3 + y3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Entao

∂u

∂x(0.0) = lim

h→0

u(h, 0) − u(0, 0)

h= 1 ,

∂u

∂y(0.0) = lim

h→0

u(0, h) − u(0, 0)

h= −1

e

∂v

∂x(0.0) = lim

h→0

v(h, 0) − v(0, 0)

h= 1 ,

∂v

∂y(0.0) = lim

h→0

v(0, h) − v(0, 0)

h= 1

pelo que e obvio que se verificam as condicoes de Cauchy-Riemann no ponto (0, 0). Poroutro lado, e escrevendo o incremento ∆z = ρeiθ, tem-se que

f ′(0) = lim∆z→0

f(∆z)− f)0)

∆z

= limρ→0

ρ3 cos3 θ(1 + i)− ρ3 sen3 θ(1− i)

ρ3eiθ

=cos3 θ(1 + i)− sen3 θ(1− i)

eiθ

Dado que o calculo do limite depende do argumento de ∆z, conclui-se que f ′(0) nao existe.

— Para a funcao f(z) = 2z − z2 tem-se que

Ref(x+ iy) = u(x, y) = 2x− x2 + y2 , Imf(x+ iy) = v(x, y) = 2y − 2xy

pelo que

∂u

∂x(x, y) = 2− 2x ,

∂u

∂y(x, y) = 2y ,

∂v

∂x(x, y) = −2y ,

∂v

∂y(x, y) = 2− 2x ,

E obvio que as condicoes de Cauchy-Riemann se verificam para qualquer (x, y) ∈ R2. Vimos

na seccao anterior que f ′(z) existe para todo z ∈ C. Este e o exemplo de uma funcao queverifica as condicoes de Cauchy-Riemann e e diferenciavel.

36


1.4.2 Teorema de Cauchy-Riemann

O seguinte Teorema fornece uma condicao suficiente a existencia de derivada complexa.

Teorema de Cauchy-Riemann

Seja f : D → C uma funcao complexa de variavel complexa, dada por f(z) = u(x, y)+iv(x, y)num conjunto aberto D e z0 = x0 + iy0 ∈ D. Se as funcoes u e v sao contınuas, tem derivadasparciais contınuas numa vizinhanca de (x0, y0) e satisfazem as equacoes de Cauchy-Riemann noponto (x0, y0),

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) ,

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0) ,

entao a derivada f ′(z0) existe (ou seja, f e diferenciavel em z0 no sentido complexo) e

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i

∂v

∂x(x0.y0) =

∂v

∂y(x0, y0)− i

∂u

∂y(x0, y0)

Exemplo:

(1) Para a funcao f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) = ey cos x− iey senx tem-se que

∂u

∂x(x, y) = −ey senx , ∂u

∂y(x, y) = ey cos x ,

∂v

∂x(x, y) = −ey cos x , ∂v

∂y(xy) = −ey senx

Verifica-se facilmente que:

(A) As funcoes u e v e as suas derivadas parciais sao contınuas em R2;

(B) as condicoes de Cauchy-Riemann sao validas em R2.

Por (A) e (B), o Teorema de Cauchy-Riemann permite-nos concluir que f e diferenciavelem C, e para todo z ∈ C

f ′(z) =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) = −ey senx− iey cos x

Note que f(z) = f(x+ iy) = eye−ix = e−i(x+iy) = e−iz e f ′(z) = −if(z) = −ie−iz.

(2) Para a funcao f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) = x3 + i(y − 1)3 tem-se que

∂u

∂x(x, y) = 3x2 ,

∂u

∂y(x, y) = 0 ,

∂v

∂x(x, y) = 0 ,

∂v

∂y(x, y) = 3(y − 1)2

(A) as funcoes u e v e as suas derivadas parciais sao contınuas em R2;

(B) as condicoes de Cauchy-Riemann sao validas sse x2 = (y − 1)2, isto e para os pontosdo plano, (x, y) pertencentes a pelo menos uma das rectas de equacao x = 1 − y oux = y − 1.

Podemos entao concluir que, dado z ∈ C:

– se z 6∈ {z = x + iy : x = 1 − y} ∪ {z = x + iy : x = y − 1}, por (B) nao existef ′(z);

37


– se z ∈ {z = x+ iy : x = 1 − y} ∪ {z = x + iy : x = y − 1} por (A) e (B) existef ′(z) = 3x2 (ou f ′(z) = 3(y − 1)2).

Como tal o domınio de diferenciabilidade de funcao e

{z = x+ iy : x = 1− y} ∪ {z = x+ iy : x = y − 1}

e o domınio de analiticidade e vazio.

1.4.3 Demonstracao do Teorema de Cauchy-Riemann

Esta seccao, embora numa primeira passagem seja de leitura opcional, e no entanto muitoimportante para o aluno compreender a relacao entre a derivada complexa e a derivacao no sentidode R2. Vamos por isso enunciar e provar um teorema que implica a condicao necessaria e suficienteanteriormente descrita mas que, alem disso, clarifica a nocao de derivada complexa.

Se convencionarmos representar i ∈ C pelo o ponto (0, 1) ∈ R2 e 1 ∈ C pelo ponto (1, 0) ∈ R

2,podemos identificar cada ponto de C com um e um so ponto de R

2 por:

C ∋ α1 + iα2 = α1(1, 0) + α2(0, 1) = (α1, α2) ∈ R2

Como tal, qualquer funcao complexa, f : A ⊂ C → C, com f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), podeser interpretada como o campo vectorial (u, v) : A ⊂ R

2 → R2.

Recordamos que a funcao f e diferenciavel no sentido de R2 em a ∈ A (com A aberto) se e

so se existe uma transformacao linear Df(a) tal que

f(z + h)− f(z)−Df(a)h

h−→ 0 quando h→ 0 (1.8)

Se f e diferenciavel no sentido de R2 em a entao:

a) f e contınua em a.

b) Existem as derivadas parciais ux =∂u

∂x, uy =

∂u

∂y, vx =

∂v

∂xe vy =

∂v

∂yem a.

c) Df(a) e representada pela matriz jacobiana de f em a:

Jf (a) =

[ux(a) uy(a)vx(a) vy(a)

]

(na base canonica de R2).

Se existem e sao contınuas as derivadas parciais de u e v numa vizinhanca de a, entaof = (u, v) tem derivada no sentido de R

2 em a.

Lema (relacao entre derivada complexa e derivada no sentido de R2):

Seja f : A → C, onde A ⊂ C e aberto e a ∈ A. Entao a derivada de f em a existe nosentido complexo se e so se ela existe no sentido de R

2 e e representada por um produtocomplexo; mais concretamente, dado α ∈ C, sao equivalentes as seguintes propriedadesde α:

38


(i) A derivada complexa, f ′(a), existe e e igual a ξ:

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= ξ (1.9)

(ii) f tem derivada no sentido de R2 em a dada por Df(a)h = ξh, para qualquer h, ondeξh designa o produto complexo de ξ por h.

Demonstracao: De facto, (1.9) e valida se e so se

f(z + h)− f(z)− ξh

h−→ 0 quando h→ 0,

o que, atendendo a (1.8), e equivalente a (ii). �

Teorema de Cauchy-Riemann-Goursat

Seja f : A→ C, onde A ⊂ C e aberto e a = a1 + ia2 ∈ A. Sao equivalentes as seguintesproposicoes:

(a) f tem derivada (complexa) em a, f ′(a) ∈ C.

(b) f e diferenciavel em a no sentido de R2 e existe f ′(a) ∈ C tal que Df(a)h = f ′(a)h,

para qualquer h ∈ R2.

(c) f e diferenciavel em a (no sentido de R2) e f verifica as equacoes de Cauchy-Riemann,∂u∂x = ∂v

∂y e ∂u∂y = − ∂v

∂x , em (a1, a2).

Se f tem derivada complexa em a, entao

f ′(a) =∂u

∂x(a1, a2) + i

∂v

∂x(a1, a2) =

∂v

∂y(a1, a2)− i

∂u

∂y(a1, a2)

Demonstracao:

Prova de que (a) ⇔ (b):

f tem derivada complexa em a, f ′(a), se e so se:

f(z + h)− f(z)

h−→ f ′(a) quando h→ 0

Pelo Lema isto e equivalente a dizer que f tem derivada no sentido de R2 em a dada

por Df(a)h = f ′(a)h, para qualquer h.

Prova de que (b) ⇔ (c):

Seja h = h1 + ih2 ∈ C, que identificamos com (h1, h2) ∈ R2. Vamos provar que a

equacaoDf(a)h = f ′(a)h para qualquer h ∈ R

2

e equivalente as equacoes de Cauchy-Riemann em (a1, a2).

Seja ξ = α+ iβ tal que, para qualquer h = h1 + ih2,

Df(a)h = ξh

39


(onde ξh representa um produto complexo). A equacao anterior e equivalente a

[ux uyvx vy

] [h1h2

]

= (α+ iβ) (h1 + ih2) =

[αh1 − βh2βh1 + αh2

]

⇔

uxh1 + uyh2 = αh1 − βh2

vxh1 + vyh2 = βh1 + αh2

para qualquer h (com as derivadas parciais calculadas no ponto a). As identidadesanteriores sao ambas verdadeiras para qualquer h se e so se:

ux = αuy = −βvx = βvy = α

(1.10)

Isto prova que existe ξ ∈ C tal que Df(a)h = ξh para todo o h ∈ C se e so seux = vy e uy = −vx no ponto a. Assim sendo, e usando de novo o Lema, (b) eequivalente a (c).

Se f ′(a) existir, entao pela equivalencia de (a) e (c) e pelas equacoes (1.10):

f ′(a) = ξ = α+ iβ = ux(a) + ivx(a) = vy(a)− iuy(a).

�

A demonstracao do teorema de Cauchy-Riemann e consequencia imediata do teorema deCauchy-Riemann-Goursat.

Matriz Jacobiana de uma Funcao com Derivada Complexa

Vimos acima que se f : A→ C, com A ⊂ C aberto, tem derivada complexa em a = a1+ia2 ∈A entao e diferenciavel no sentido de R

2 e satisfaz o teorema de Cauchy-Riemann em (a1, a2),de onde se conclui que

α = Re f ′(a)

β = Im f ′(a)

verificam α = ux(a) = vy(a) e β = −uy(a) = vx(a).Assim sendo, a matriz jacobiana de f e igual a

Jf (a) =

[ux uyvx vy

]

=

[α −ββ α

]

.

Por outro lado, podemos escrever f ′(a) = α+ iβ na forma polar:

α = r cos θ ,

β = r sen θ ,

40


com r = |f ′(a)| e θ = arg f ′(a). Assim:

Jf (a) =

[r cos θ −r sen θr sen θ r cos θ

]

= r

[cos θ − sen θsen θ cos θ

]

Conclui-se que Jf (a) tem a forma de uma matriz de rotacao multiplicada pelo escalar |f ′(a)|,sendo que o angulo de rotacao e, precisamente, o argumento de f ′(a).

O aluno pode facilmente verificar que

[cos θ − sen θsen θ cos θ

] [h1h2

]

= eiθ(h1 + ih2)

qualquer que seja h = h1 + ih2 ∈ C;

1.4.4 Propriedades das Funcoes Analıticas

O Teorema de Cauchy-Riemann permite demonstrar que, para as funcoes analıticas sao validas asregras de derivacao ja conhecidas do calculo de funcoes reais de variavel real. Mais concretamente:

Soma, produto e quociente

Se f e g sao analıticas num conjunto D ⊂ C, entao:

• f ± g e analıtica em D e (f ± g)′ = f ′ ± g′;

• f g e analıtica em D e (fg)′ = f ′g + fg′;

• f/g e analıtica em D \ {z : g(z) = 0} e (f/g)′ =f ′g − fg′

g2.

Funcao composta

Se g e analıtica num conjunto D ⊂ C e f e analıtica no contradomınio de g, g(D), entao

• f ◦ g e analıtica em D e (f ◦ g)′ = f ′(g) g′.

Funcao Inversa

Seja f uma funcao analıtica e bijectiva em D tal que

• f ′(z) 6= 0 para qualquer z ∈ D,

• f−1 e contınua em D e f(D) e aberto.

Entao:

f−1 e analıtica em f(D) e (f−1)′(b) =1

f ′(a), onde b = f(a).

Demonstracao: Sendo b ∈ f(D), cosidere-se a ∈ D tal que b = f(a). Se z ∈ D ew = f(z) ∈ f(D), entao z = f−1(w) e:

f−1(w)− f−1(b)

w − b=

z − a

f(z)− f(a)

41


Como f ′(z0) 6= 0, entao o limite seguinte existe e, pela mudanca de variavel definida pela funcaocontınua z = f−1(w):

limw→b

f−1(w) − f−1(b)

w − b= lim

z→a

z − a

f(z)− f(a)=

1

f ′(a)(1.11)

Como f(D) e aberto e f−1 tem derivada complexa em f(D) entao f−1 e analıtica e a sua derivadaem f(D) e dada por (1.11).

Estudo da Analiticidade das Funcoes Elementares

1. A funcao f(z) = z = x+ iy admite derivada em todo z ∈ C, dado que u =Re f(z) = x ev =Im f(z) = y verificam:

(A) tem derivadas parciais contınuas em R2;

(B) as condicoes de Cauchy-Riemann em R2.

Assim f(z) = z e inteira e para todo z ∈ C

f ′(z) = f ′(x+ iy) =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) = 1

2. Para cada n ∈ N, a funcao f(z) = zn e inteira, dado que e o produto de funcoes inteiras.Para todo z ∈ C, usando a regra da derivada do produto e a funcao f(z) = z

(zn)′ = nzn−1

3. A funcao polinomial e inteira dado que e a soma de funcoes inteiras.

4. A funcao racional P (z)/Q(z) e analtica em C \ {z : Q(z) = 0} dado que e o quociente defuncoes inteiras.

5. A funcao exponencial f(z) = ez admite derivada em todo z ∈ C, dado que u(x, y) =Re f(z) =ex cos(y) e v(x, y) =Im f(z) = ex sen(y) verificam:

(A) tem derivadas parciais contınuas em R2;

(B) as condicoes de Cauchy-Riemann em R2.

Assim f(z) = ez e inteira e para todo z ∈ C

(ez)′ =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) = ex cos y + iex sen y = ez

6. As funcoes sen z, cos z sao inteiras (compostas e somas de funcoes inteiras), tendo-se

(

sen z)′

=(eiz − eiz

2i

)′= cos z e

(

cos z)′

=(eiz + eiz

2

)′= − sen z

As funcoes tg z e cotg z, por serem o quociente de funcoes inteiras, sao analıticas respecti-vamente em

Dtg = C \ {z =2k + 1

2π : k ∈ Z} , Dcotg = C \ {z = kπ : k ∈ Z}

tendo-se nos seus domınios(

tg z)′

=(sen z

cos z

)′=

1

cos2 ze(

cotg z)′

=( cos z

sen z

)′= − 1

sen2 z

42


7. As funcoes ch z e sh z sao inteiras (somas de funcoes inteiras), tendo-se

(

sh z)′

=(ez − ez

2

)′= ch z e

(

ch z)′

=(ez + ez

2

)′= sh z

As funcoes tgh z e cotgh z, por serem o quociente de funcoes inteiras, sao analıticas res-pectivamente em

Dtgh = C \ {z =2k + 1

2πi : k ∈ Z} , Dcotgh = C \ {z = kπi : k ∈ Z}

tendo-se nos seus domınios

(

tgh z)′

=(sh z

ch z

)′=

1

ch2 ze(

cotgh z)′

=(ch z

sh z

)′= − 1

sh2 z

8. Considere-se a funcao valor principal do logaritmo:

log z = log |z|+ i arg z, onde arg z ∈ ]− π, π[

Trata-se da inversa da restricao funcao exponencial, f(z) = ez definida na faixa (aberta)do plano complexo:

D ={x+ iy : x ∈ R e − π < y < π

}

Note que f e analıtica e bijectiva em D, f ′(z) = ez 6= 0. Alem disso, f(D) = C \ K,onde K = {z ∈ C : arg z = π} e o corte do valor principal do logaritmo (o semi-eixo realnegativo) e f−1 e contınua em f(D). Pelo teorema da analiticidade da funcao inversa, ovalor principal de log z e uma funcao analıtica no conjunto aberto C \K e, para qualquerb = f(a) = ea ∈ C \K:

(log b)′ =1

(ea)′=

1

b(1.12)

Da mesma forma se pode obter que o ramo α do logaritmo e uma funcao analıtica emC \ K, onde K = {z ∈ C : arg z = α} e o respectivo corte, e que (1.12) e valida paraqualquer z ∈ C \K

A seguinte seccao e de leitura opcional. Nela pode encontrar outra forma de estudar a analiticidadedos ramos do logaritmo.

1.4.5 Condicoes de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares

Como ja vimos, qualquer z ∈ C pode ser escrito ou na forma z = x+iy ou na forma polar z = reiθ,sendo x = r cos θ e y = r sen θ. Assim, tambem uma funcao complexa pode ser caracterizada por

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) ou f(z) = f(reiθ) = U(r, θ) + iV (r, θ)

Assim, utilizando a regra da derivacao da funcao composta, as formulas acima escritas e ascondicoes de Cauchy-Riemann ja deduzidas, obtem-se por um lado

∂U

∂r=∂u

∂x

∂x

∂r+∂u

∂y

∂y

∂r=∂u

∂xcos θ +

∂u

∂ysen θ

43


e por outro lado

∂V

∂θ=∂v

∂x

∂x

∂θ+∂v

∂y

∂y

∂θ= −r ∂v

∂xsen θ + r

∂v

∂ycos θ = r

∂u

∂ysen θ + r

∂u

∂xcos θ

Conclui-se que, se r 6= 0∂U

∂r=

1

r

∂V

∂θ

De igual modo∂U

∂θ=∂u

∂x

∂x

∂θ+∂u

∂y

∂y

∂θ= −r∂u

∂xsen θ + r

∂u

∂ycos θ

e∂V

∂r=∂v

∂x

∂x

∂r+∂v

∂y

∂y

∂r=∂v

∂xcos θ +

∂v

∂ysen θ = −∂u

∂ycos θ +

∂u

∂xsen θ

concluindo-se que, se r 6= 0∂U

∂θ= −r∂V

∂r

Condicao suficiente a existencia de derivadaSe as derivadas parciais de u(r, θ) e v(r, θ) sao contınuas em (r0, θ0) (com r0 6= 0) e se

verificam as condicoes de Cauchy Riemann em coordenadas polares

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ

∂u

∂θ= −r∂v

∂r

no ponto (r0, θ0), entao f admite derivada em z0 = r0eiθ0 .

Estudo da Analiticidade do Valor Principal do Logaritmo

Considere-se a funcao valor principal do log z, ie,

log z = log(reiθ) = log r + iθ , θ ∈]− π, π]

Vimos que a funcao nao e contınua na semirecta

{z = xeiπ , x ∈ R+0 }

pelo que neste comjunto nao existira derivada. Para estudar a analiticidade no restante domınio,considere-se

Re log z = u(r, θ) = log r , Im log z = v(r, θ) = θ

Assim∂u

∂r=

1

r,

∂u

∂θ= 0 ,

∂v

∂r= 0 ,

∂v

∂θ= 1

verificam

(A) sao contınuas em todo r > 0 e θ ∈]− π, π[;

(B) verificam as condicoes de Cauchy-Riemann no mesmo conjunto.

44


Conclui-se que o valor principal do log z e analıtica em C \ {z = xeiπ , x ∈ R+0 }. Para z no

domınio de analiticidade, utilizando a regra da derivacao da funcao inversa e o facto de w = log ze equivalente ew = z, tem-se que

(

log z)′

=1

(ew)′=

1

ew=

1

z

De modo analogo se mostra que, para cada α ∈ R, o domınio de analiticidade do ramo α dologaritmo

log z = log |z|+ iarg z , arg z ∈]α,α + 2π]

e analıtica

C \ {z = xeiα , x ∈ R+0 }

tendo-se a mesma regra de derivacao.

1.4.6 Nocoes Basicas da Topologia em C

O conjunto dos complexos C e topologicamente identico a R2, isto e, as nocoes topologicas em C

sao inteiramente equivalentes as ja introduzidas no estudo de R2. Assim, dado D ⊂ C, e z ∈ C

diz-se que z e um:

• ponto interior de D se existe ǫ > 0 tal que D(z, ǫ) ⊂ D (note que D(z, ǫ) = Bǫ(z));

• ponto exterior se for um ponto interior do complementar de D, C \D.

• ponto fronteiro se nao for nem interior nem exterior, ou seja, se para qualquer ǫ > 0, o discoD(z, ǫ) intersecta tanto D como o complementar de D. O conjunto de todos os pontosfronteiros de D designa-se por fronteira de D e representa-se por ∂D;

• ponto aderente se for interior ou fronteiro. O conjunto de todos os pontos aderentes de Ddenomina-se por aderencia de D e representa-se por D. Note que D = D ∪ ∂D.

Diz-se que D e

• aberto se todos os pontos de D sao pontos interiores, isto e:

∀z ∈ D ∃ǫ > 0 : D(z, ǫ) ⊂ D.

• fechado se o conjunto C \D for aberto ou, equivalentemente, se todos os pontos aderentesa D estao em D, isto e D = D.

• conexo se nao existirem subconjuntos de D, A e B, n ao vazios, que verifiquem

– A ∪B = D;

– A ∩B = ∅ e A ∩ B = ∅. 7

• Um conjunto aberto e conexo se e so se nao pode ser escrito como a uniao de dois conjuntosabertos e disjuntos.

7Dois conjuntos tais que cada um deles e disjunto da aderencia do outro, dizem-se separados. Entao D e conexose e so se nao pode ser escrito como a uniao de dois conjuntos separados.

45


• simplesmente conexo se for conexo e qualquer curva fechada for homotopica a um ponto,isto e, qualquer curva fechada em D pode ser deformada continuamente num ponto semsair do conjunto. 8

• multiplamente conexo se for conexo e nao for simplesmente conexo.

1.4.7 Funcoes harmonicas em R2

Seja U ⊂ R2 aberto, e u : U → R. A funcao u diz-se harmonica em U sse u ∈ C2(U) e para todo

(x, y) ∈ U∆u

def=

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

∆ designa o operador laplaciano (por vezes tambem representado por ∇2).

Relacao entre funcoes harmonicas (em R2) e funcoes analıticas (em C)

• Se f : U ⊂ C → C e analıtica em U e f = u+ iv entao u e v sao funcoes harmonicas emU ⊂ R

2. Nestas condicoes, u e v denominam-se harmonicas conjugadas.

Observa-se que as partes real e imaginaria de uma funcao analıtica verificam a equacao deLaplace. Esta ligacao entre funcoes analıticas e a equacao de Laplace reforca a importanciadas funcoes de variavel complexa e abre caminho para numerosas aplicacoes da matematica.

• Reciprocamente, seja u : U ⊂ R2 → R uma funcao harmonica e U ⊂ C um conjunto aberto

e simplesmente conexo. Entao e sempre possıvel determinar (a menos de uma constante) asua harmonica conjugada v : U → R atraves das equacoes de Cauchy-Riemann.

Exemplo:Considere a funcao u : R2 → R definida por:

u(x, y) = y(x− 3) .

Vamos comecar por mostrar que u e uma funcao harmonica em R2. Por ser uma funcao polinomial,

u ∈ C2(R2). Por outro lado,

∂u

∂x= y ,

∂u

∂y= x− 3 ,

∂2u

∂x2=∂2u

∂y2= 0 ⇒ ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

concluindo-se o pretendido e, consequentemente, que u e a parte real (ou imaginaria) de umafuncao inteira f . Para determinar f = u+ iv recorde-se que se f e inteira entao as condicoes deCauchy-Riemann sao verificadas em todos os pontos (x, y) ∈ R

2. Assim

∂u

∂x=∂v

∂y⇒ v(x, y) =

∫

y dy + c(x) =y2

2+ c(x)

8Intuitivamente, um conjunto D e simplesmente conexo se for um “conjunto conexo sem buracos”; “D nao temburacos” descreve-se rigorosamente pela proposicao: para qualquer z : [0, 1] → D contınua, com z(0) = z(1) existez0 ∈ D e uma funcao contınua H : [0, 1]× [0, 1] → D tal que H(0, t) = z(t) ∀t ∈ [0, 1] e H(1, t) = z0, ∀t ∈ [0, 1].A funcao H diz-se uma homotopia (de z(t) em z0) e deforma continuamente, sem sair de D, a curva parametrizadapor z(t) no ponto z0.

46

1.5. INTEGRACAO EM C

e∂u

∂y= −∂v

∂x⇒ x− 3 = −c′(x) ⇒ c(x) = −x

2

2+ 3x+ c

Entao v(x, y) = y2

2 − x2

2 + 3x+ c, c ∈ R e

f(z) = f(x+ iy) = y(x− 3) + i(y2

2− x2

2+ 3x+ c

)

, c ∈ R

Note que:

f(z) = − i

2

(x2 + 2x(iy) + (iy)2

)+ 3i(x+ iy) + ic = − i

2z2 − 3iz + ic.

1.5 Integracao em C

1.5.1 Curvas em C

Sendo z(t) uma funcao complexa contınua de domınio [a, b] ⊂ R, define-se caminho ou curvaorientada em C como sendo o conjunto de pontos:

γ ={

z(t) = x(t) + iy(t) : t ∈ [a, b]}

que se convenciona percorrida no sentido especificado por z(t). Os pontos z(a) e z(b) denominam-se respectivamente o ponto inicial e o ponto final do caminho. A aplicacao z(t) diz-se umaparametrizacao de γ9

Exemplos:

1. Parametrizacao de um segmento de recta

O segmento de recta que une z0 a z1 pode ser parametrizado por:

z(t) = z0 + t(z1 − z0) = tz1 + (1− t)z0 onde 0 ≤ t ≤ 1

2. A circunferencia de centro na origem e de raio 1 pode ser parametrizada por

z(t) = cos t+ i sen t = eit , t ∈ [0, 2π]

De facto, nao ha duvida que x2(t) + y2(t) = cos2 t+ sen2 t = 1.

3. Parametrizacao de uma circunferencia

Os pontos, z, de uma circunferencia centrada em z0 ∈ C de raio r > 0 verificam |z−z0| = r.Assim sendo, z− z0 = reiθ, onde θ e o argumento de z− z0. Desta forma, podemos tomar:

z(t) = z0 + reit, onde 0 ≤ t ≤ 2π,

(se a circunferencia for percorrida uma vez no sentido directo), e

z(t) = z0 + re−it, onde 0 ≤ t ≤ 2π,

(se a circunferencia for percorrida uma vez no sentido inverso).

9Um caminho e pois uma curva a qual se acrescenta uma orientacao. Neste sentido, quando nos referirmos auma curva percorrida de uma certa forma, estamos a caracterizar um caminho.

47


4. A funcaoo z(t) = x(t) + iy(t) definida por

{x(t) = ty(t) = t2

, t ∈ [−1, 2]

e uma parametrizacao da porcao da parabola y = x2 unindo o ponto z(−1) = −1 + i aoponto z(2) = 2 + 4i.

O caminho γ (e a respectiva curva) diz-se

• regular se z(t) e continuamente diferenciavel e nao se anula em ]a, b[, isto e se x′(t) e y′(t)existem, sao contınuas e nao se anulam simultaneamente em ]a, b[). Nesse caso tem-se que

z′(t) = x′(t) + iy′(t)

O vector z′(t) designa-se por vector tangente a curva no instante t.

Todas as curvas do exemplo anterior sao curvas regulares. Tendo-se que

– se z(t) = eit tem-se que z′(t) = ieit;

– se z(t) = z0+t(z1−z0) = tz1+(1−t)z0 tem-se que z′(t) = z1−z0 (que e constante);– se z(t) = t+ it2 tem-se que z′(t) = 1 + 2it.

• seccionalmente regular se z(t) e regular para t ∈]a, b[\{t1, ..., tk};A curva γ parametrizada por

z(t) =

{t+ it2 se −1 ≤ t ≤ 2t+ 4i se 2 ≤ t ≤ 3

e seccionalmente regular. E facil de observar que γ e a uniao da porcao da parabola y = x2

unindo −1+ i a 2+ 4i com o segmento de recta horizontal Imz = 4 unindo 2+ 4i a 3+ 4i.Ambas as curvas sao regulares. No entanto a curva γ nao e regular visto nao existir z′(2).

• simples se z(t) e injectiva em ]a, b] e em [a, b[, isto e, se t1 6= t2 entao z(t1) 6= z(t2) ou(t1 = a e t2 = b). 10.

• fechada se z(a) = z(b);

• curva de Jordan se for simples e fechada.

Teorema da Curva de Jordan:

Qualquer curva de Jordan, γ, divide C em duas regioes disjuntas, ambas com fronteira γ, umadas quais e limitada e que denotaremos por interior de γ, int (γ).

10Ou seja, um caminho simples apenas se pode autointersectar nos extremos.

48


1.5.2 Integral complexo

Se γ ⊂ C e um caminho seccionalmente regular, parametrizado por z : [a, b] → C, e f umafuncao complexa contınua em γ, define-se

∫

γf(z) dz =

∫ b

af(z(t))z′(t) dt (1.13)

Note-se que o integral do 2o membro da igualdade (1.13) pode ser interpretado como o integralda funcao vectorial, F : [a, b] → C dada por F (t) = f(z(t))z′(t) para t ∈ [a, b], e que e obtido acusta do integral de Riemann das funcoes reais de variavel real por:

∫ b

aF (t) dt

def=

∫ b

aReF (t) dt+ i

∫ b

aImF (t) dt (1.14)

Exemplo:Pretende-se determinar

∫

γ ez dz em que γ e o segmento de recta que une −i a 1 + i. Uma

possıvel parametrizacao de γ e

z(t) = (1 + i)t− i(1− t) = t+ i(2t− 1) , t ∈ [0, 1]

Assim∫

γez dz =

∫ 1

0et+i(2t−1)(t+ i(2t− 1))′dt =

∫ 1

0et+i(1−2t)(1 + 2i)dt =

−3 + 4i

5(e1−i − ei)

As propriedades elementares do integral de Riemann (por exemplo, a linearidade) verificam-separa o integral (1.14). Torna-se, no entanto, necessario provar propriedades envolvendo desigual-dades. Em particular, queremos verificar que

∣∣∣∣

∫ b

aF (t) dt

∣∣∣∣≤∫ b

a|F (t)| dt,

(esta desigualdade sera necessaria para majorar integrais complexos). Para tal, escreva-se

I =

∫ b

aF (t) dt = reiθ,

com r = |I| e θ = arg I. Entao:

|I| = r = e−iθI =

∫ b

ae−iθF (t) dt

=

∫ b

aRe(

e−iθF (t))

dt+ i

∫ b

aIm(

e−iθF (t))

dt

︸︷︷︸

= 0 pois |I|∈R

≤∫ b

a

∣∣∣e−iθF (t)

∣∣∣ dt =

∫ b

a|F (t)|dt

49


Invariancia por reparametrizacao. Seja γ um caminho simples, e f contınua em γ. Se z(s),com s ∈ [a, b], e w(t), com t ∈ [α, β] sao duas parametrizacoes distintas de γ, entao

∫ b

af(z(t))z′(t) dt =

∫ β

αf(w(t))w′(t) dt

Demonstracao:Consideremos primeiro o caso de uma curva aberta. Dado que a curva e aberta e simples,

z(s) e w(t) sao injectivas em, respectivamente, [a, b] e [α, β]. Entao ϕ : [α, β] → [a, b], que podeser definida por

w(t) = z(ϕ(t)) ∀t ∈ [α, β] ⇔ w = z ◦ ϕ ⇔ ϕ = z−1 ◦ w

e injectiva em [α, β]. Em consequencia:

∫ β

αf(w(t)

)w′(t) dt =

∫ β

αf(z(ϕ(t))

)z′(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt =

∫ b

af(z(s)

)z′(s) ds

A ultima igualdade decorre da substituicao de variavel s = ϕ(t).O caso de uma curva fechada prova-se agora facilmente, escrevendo-a como a uniao de duas

curvas abertas. �.Vemos assim que o integral esta bem definido no caso de o caminho ser simples, pois o seu

valor e independente da parametrizacao utilizada. A partir da definicao, mostram-se facilmenteas seguintes propriedades:

Propriedades do integral

• (Linearidade) Se f e g sao funcoes contınuas em γ, e α, β constantes complexas, entao

∫

γ

(α f(z) + β g(z)

)dz = α

∫

γf(z) dz + β

∫

γg(z) dz

• (Aditividade) Se γ e a concatenacao de duas curvas regulares, γ = γ1 + γ2, entao

∫

γf(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz

Note que se o extremo final de γ1 coincide com o extremo inicial de γ2, a concatenacaodos caminhos γ1 com γ2, γ1 + γ2, consiste na uniao das curvas, percorrendo primeiro γ1 edepois γ2.

Exemplo:

Considere-se a funcao f(z) = f(x+iy) = x2+y2i, e a curva γ que une 0 a 2+i atraves dossegmentos de revta unindo 0 a 1 + i e 1 + i a 2.+ i, Definindo γ1 como sendo o segmentode recta que une 0 a 1 + i e γ2 como sendo o segmento de recta que une 1 + i a 2 + i,tem-se que γ = γ1 ∪ γ2 e usando a aditividade do integral

∫

γf(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz.

50


Uma parametrizacao possıvel para γ1 e

z1(t) = (1 + i)t , t ∈ [0, 1]

pelo que

∫

γ1

f(z) dz =

∫ 1

0f((1 + i)t)

(

(1 + i)t)′dt = (1 + i)

∫ 1

0(t2 + it2)dt =

(1 + i)2

3=

2i

3

Por outro lado, uma parametrizacao possıvel para γ2 e

z2(t) = t+ i , t ∈ [1, 2]

pelo que∫

γ2

f(z) dz. =

∫ 2

1f(t+ i)

(

t+ i)′dt =

∫ 2

1(t2 + i)dt =

7

3+ i

Concluimos que ∫

γf(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz. =7

3+

5i

3

• (Simetria) Se denotarmos por −γ o caminho γ percorrido em sentido inverso ao de γ,entao ∫

−γf(z) dz = −

∫

γf(z) dz

• (Majoracao do Integral) Se f e contınua no caminho regular γ, e z(t), com t ∈ [a, b] euma parametrizacao de γ, entao

∣∣∣

∫

γf(z) dz

∣∣∣ ≤

∫

γ|f(z)| |dz| def=

∫ b

a|f(z(t))||z′(t)|dt ≤ML(γ)

onde M ≥ 0 e um majorante de |f(z)| em γ.

Note que o comprimento da curva γ e dado por:

L(γ) =

∫

γ|dz| =

∫ b

a|z′(t)|dt

Exemplo:

Vamos determinar um valor maximo para

∣∣∣

∫

γ

ez

z2 + 1dz∣∣∣

sendo γ a circunferencia |z| = 2 percorrida uma vez em sentido directo. Pela propriedadeenunciada acima temos que

∣∣∣

∫

γ

ez

z2 + 1dz∣∣∣ ≤

∫

γ

∣∣∣

ez

z2 + 1

∣∣∣|dz| ≤M

∫

γ|dz|

51


em queM e um majorante do modulo da funcao ez

z2+1 em γ. Para o determinar, e escrevendoz = x+ iy, tem-se que

|ez | = |ex+iy| = ex ≤ e2 pois na curva x ≤ |z| =√

x2 + y2 = 2

e como consequencia da desigualdade triangular

|z2 + 1| ≥∣∣∣|z|2 − 1

∣∣∣ = |4− 1| = 3 pois na curva |z| = 2

Entao, para z ∈ γ∣∣∣

ez

z2 + 1

∣∣∣ ≤ |ez |

|z2 + 1| ≤e2

3

e assim∣∣∣

∫

γ

ez

z2 + 1dz∣∣∣ ≤ e2

3

∫

γ|dz| = 4πe2

3

visto sabermos que∫

γ |dz| = comprimento (γ) = 4π.

1.5.3 Primitivacao em C

Sendo f : D → C, onde D e um subconjunto aberto de C, diz-se que f tem uma primitiva (ou eprimitivavel) em D se existe F : D → C tal que

F ′ = f.

Esta definicao implica, em particular, que F tem derivada em qualquer ponto do conjunto abertoD e, consequentemente, f e analıtica em D.

Exemplo:

1. A funcao F (z) = − cos z e uma primitiva de f(z) = sen z, visto que (− cos z)′ = sen z.Dado que (− cos z + C)′ = sen z, qualquer que seja C ∈ C, − cos z + C e a expressao geral dasprimitivas de sen z em C.

2. Se f e g sao funcoes analıticas, vimos que o seu produto e tambem uma funcao analıticae (fg)′ = f ′g + fg′. Entao podemos deduzir a formula da primitivacao por partes

P (fg′) = fg − P (f ′g)

3. A funcao f(z) = 1z e uma primitiva do valor principal do logaritmo no conjunto D = {z :

Re z > 0}. Dado que (log z)′ = 1z , qualquer que seja C ∈ D, log z + C e a expressao geral das

primitivas de 1z em D.

52


O seguinte Teorema (ja conhecido no caso dos integrais de linha em R2), por um lado,

caracteriza as funcoes primitivaveis em C e, por outro lado, permite concluir a independencia docaminho de integracao.

Teorema Fundamental do Calculo

Sendo D ⊂ C aberto e f : D → C contınua em D, sao equivalentes as seguintes proposicoes:

a) f tem primitiva em D.

b) Se γ e qualquer caminho fechado em D (nao necessita de ser simples), entao∫

γf(z) dz = 0.

c) O integral complexo e independente do caminho de integracao: se γ1 e γ2 sao dois caminhosque tem o mesmo ponto inicial e final, entao:

∫

γ1

f(z) dz =

∫

γ2

f(z) dz.

Em consequencia, se γ e um caminho em A com ponto inicial z1 e ponto final z2 e a primitiva def em A existe e e igual a F , entao:

∫

γf(z) dz = F (z2)− F (z1). (1.15)

Dem.:

a) ⇒ b) (e formula (1.15)): Sendo γ : [a, b] → C tal que γ(a) = γ(b) e, usando desde jaa), resta-nos provar que

∮

γf(z) dz =

∮

γF ′(z) dz = 0

Comecamos por mostrar que

d

dtF(γ(t)

)= F ′(γ(t)

)γ′(t)

Usando a notacao F (x+ iy) = U(x, y) + iV (x, y) e γ(t) = x(t) + iy(t), temos:

d

dtF(x(t) + iy(t)

)=∂U

∂xx′(t) +

∂U

∂yy′(t) + i

∂V

∂xx′(t) + i

∂V

∂yy′(t),

onde as derivadas parciais de U e V sao calculadas em(x(t), y(t)

). Como F e analıtica em

A, usando as equacoes de Cauchy-Riemann:

d

dtF(x(t) + iy(t)

)=

∂U

∂xx′(t)− ∂V

∂xy′(t) + i

∂V

∂xx′(t) + i

∂U

∂xy′(t)

=∂U

∂x

(x′(t) + iy′(t)

)+∂V

∂x

(−y′(t) + ix′(t)︸︷︷︸

=i(iy′(t)+x′(t)

)

)

=

(∂U

∂x

(x(t), y(t)

)+ i

∂V

∂x

(x(t), y(t)

))(x′(t) + iy′(t)

)

= F ′(γ(t))γ′(t)

53


Usando agora o teorema fundamental do calculo para funcoes reais de variavel real:∮

γF ′(z) dz =

∫ b

aF ′(γ(t))γ′(t) dt =

∫ b

a

d

dtF(γ(t)

)dt = F

(γ(b)

)− F

(γ(a)

)= 0.

Para provar a formula (1.15), tendo em conta que neste caso γ nao e (em geral) uma curvafechada, temos simplesmente:

∫

γF ′(z) dz = F

(γ(b)

)− F

(γ(a)

).

b) ⇒ c): Sejam γ1 : [a1, b1] → C e γ2 : [a2, b2] → C dois caminhos com o mesmo pontoinicial e final, isto e, γ1(a1) = γ2(a2) e γ1(b1) = γ2(b2). Entao −γ1 + γ2 e uma curvafechada; usando b) e a aditividade do integral complexo:

0 =

∮

−γ1+γ2f(z) dz = −

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz.

c) ⇒ a): Por hipotese, o integral complexo nao depende do caminho de integracao. Comotal, fixando um z0 ∈ D, podemos definir a funcao F : D → C por

∫ z

z0

f(w) dw =

∫

γf(w) dw

em que γ e qualquer caminho regular unindo z0 a z e tomando valores em D. Note que c)garante que o valor de F (z) esta bem definido para qualquer z ∈ D.

Considere-se tambem r > 0 para o qual D(z, r) ⊂ D, z1 ∈ D(z, r) e s o segmento de rectaunindo z a z1. Entao

F (z) =

∫

γf(w) dw , F (z1) =

∫

γ+sf(w) dw

E entao facil verificar que

F (z)− F (z1)

z − z1− f(z) =

1

z − z1

(∫

sf(w) dw − f(z)(z − z1)

)

=1

z − z1

∫

s

(

f(w)− f(z))

dw

Por continuidade de f em D, para qualquer ǫ > 0 existe r > 0 para o qual se tem|f(w)− f(z)| < ǫ sempre que |z − w| < r. Assim

∣∣∣F (z)− F (z1)

z − z1− f(z)

∣∣∣ ≤ ǫ

|z − z1|

∫

s|dw| = ǫ

Conclui-se que

limz1→z

F (z)− F (z1)

z − z1= f(z)

ou seja, para qualquer z ∈ D tem-se que F ′(z) = f(z). Conclui-se que F e analıtica e euma primitiva de f em D.

54


�

Exemplo:

Vamos calcular o valor do integral

∫

C

( 1

z − 2+ zez

2)

dz, sendo C a curva parametrizada por

γ(t) = 3 cos(t) + 2i sen(t), com t ∈ [0, 3π/2].Observe-se em primeiro lugar que a funcao zez

2e primitivavel em C, pelo que o Teorema

Fundamental do Calculo e aplicavel. Assim∫

Czez

2dz = P

(

zez2) ∣∣∣

γ(3π/2)

γ(0)=

1

2ez

2∣∣∣

−2i

3=e−4 − e9

2,

onde P(

zez2)

designa uma primitiva da funcao f(z) = zez2. Por outro lado, dado que todos os

ramos de log(z − 2) sao primitivas da funcao 1z−2 num dado conjunto, ha que ter o cuidado de

escolher um ramo que seja uma funcao analıtica num conjunto aberto que contenha a curva C.Para esse efeito, considere o ramo do logaritmo tal que −π

4 ≤ arg (z− 2) < 7π4 ; o seu domınio de

analiticidade e:

D = {z ∈ C : z = 2 + reiθ onde −π4< θ <

7π

4e r > 0}.

Para z ∈ D, vamos entao usar o ramo11:

log(z − 2) = log |z − 2|+ i arg (z − 2), onde − π

4≤ arg (z − 2) <

7π

4.

Trata-se de uma funcao analıtica em D, com a curva C contida em D e ddz log(z−2) = 1

z−2 paraqualquer z ∈ D. Pelo Teorema Fundamental do Calculo:

∫

C

1

z − 2dz = log(z − 2)

∣∣∣

γ(3π/2)

γ(0)= log(−2i− 2)− log(3− 2) =

3

2log 2 + i

5π

4.

Finalmente: ∫

C

( 1

z − 2+ zez

2)

dz =e−4 − e9

2+

3

2log 2 + i

5π

4

1.5.4 Teorema de Cauchy e suas consequencias

Na seccao anterior vimos, em particular, que qualquer funcao, f , primitivavel num conjunto abertoD ⊂ C, verifica ∮

γf(z) dz = 0

para qualquer curva fechada contida em D. A generalizacao deste resultado a qualquer funcaoanalıtica e feita atraves seguinte teorema.

Teorema de CauchySe γ e uma curva de Jordan seccionalmente regular e f e analıtica num aberto simplesmente

conexo contendo γ, entao ∮

γf(z) dz = 0.

11Deve esbocar o domınio de analiticidade deste ramo de log(z − 2) e a curva C.

55


“Dem.:” (com uma hipotese adicional)

Vamos assumir como provado que (no sentido de R2) uma funcao analıtica, f , e de classe C1

12. Assim, sendo f = u+ iv analıtica em D, u e v sao funcoes continuamente diferenciaveis emD. Tem-se entao que

∮

γf(z) dz =

∮

γ

(

u(x, y) + iv(x, y))(dx+ idy

)

=

∮

γu(x, y) dx − v(x, y) dy + i

∮

γv(x, y) dx + u(x, y) dy

Atendendo as condicoes do Teorema (γ uma curva de Jordan definida num aberto simplesmenteconexo D) e a hipotese adicional (u e v continuamente diferenciaveis em D) podemos aplicar oTeorema de Green13 aos dois integrais de linha da expressao anterior, obtendo-se

∮

γf(z) dz =

∫∫

intγ

(∂(−v)∂x

− ∂u

∂y

)

dx dy + i

∫∫

intγ

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)

dx dy

Visto a regiao int γ ⊂ D (porque D e simplesmente conexo) e f e analıtica em D, verificam-seas condicoes de Cauchy-Riemann na regiao int γ e, como tal,

∮

γf(z) dz = 0.

�

Exemplos:

1. Considere-se a funcao complexa f(z) = sh(cos2 z)). Dado que f e uma funcao inteira, oTeorema de Cauchy permite concluir que

∮

γsh(cos2 z)) dz = 0

para qualquer curva de Jordan em C.

2. Dados z0 e z1 ∈ C fixos, considere-se a funcao complexa f(z) = 1z−z0 . Por ser o quociente

de funcoes inteiras, f e analıtica em C\{z0}. Assim, sendo γ a circunferencia de centro emz1 e de raio R < |z1 − z0| (isto e, z0 pertence ao exterior da circunferencia), conseguimosdeterminar um conjunto D aberto e simplesmente conexo que contem a curva e ao qual z0

12A conclusao do teorema de Cauchy pode ser provada sem recurso a esta hipotese adicional. A demonstracaocompleta do teorema — devida a Goursat — e, contudo, bem mais elaborada do que esta, que apresentamos.

13 Teorema de Green: Sendo γ uma curva de Jordan contida em D ⊂ R2 aberto e simplesmente conexo, e

sendo P e Q duas funcoes reais de classe C1 em D, entao:

∮

γ

Pdx+Qdy =

∫∫

intγ

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dx dy

56


nao pertence (por exemplo D = {z : |z − z1| < R + ǫ} com ǫ tao pequeno quanto sejanecessario). Pelo Teorema de Cauchy

∮

γ

1

z − z0dz = 0

Considerando agora z0 = z1 e R > 0 arbitrario, e obvio que nao se consegue determinar Dnas condicoes do teorema, visto que para que f seja analıtica em D z0 nao pode pertencera D. Mas para que D seja simplesmente conexo z0 ∈int γ ⊂ D. Assim o Teorema deCauchy nao e aplicavel.

Para calcular o integral, e assumindo que a curva esta a ser percorrida em sentido directo,considere-se a parametrizacao de γ dada por z(t) = z0 +Reit, com t ∈ [0, 2π]. Entao

∮

γ

1

z − z0dz =

∫ 2π

0

1

z0 +Reit − z0(z0 +Reit)′dt =

∫ 2π

0

iReit

Reitdt =

∫ 2π

0i dt = 2πi

Se γ e percorrida no sentido inverso, entao:

∮

γ

1

z − z0dz = −

∮

γ−

1

z − z0dz = −2πi.

Consequencias do Teorema de Cauchy

• Independencia do caminho de integracao

Se f e analıtica num aberto simplesmente conexo, D ⊂ C, z1, z2 ∈ D e γ1, γ2 duas curvasseccionalmente regulares em D unindo z1 a z2. Entao

∫

γ1

f(z) dz =

∫

γ2

f(z) dz

Como consequencia, no caso de f ser analıtica podemos definir

∫ z2

z1

f(z) dz =

∫

γf(z) dz

em que γ e qualquer curva regular unindo z1 a z2 definida em D.

• Teorema Fundamental do Calculo(para funcoes analıticas em conjuntos simplesmente conexos)

Se f e analıtica num conjunto aberto aberto e simplesmente conexo, D ⊂ C, e z0 ∈ D,entao a funcao

F (z) =

∫ z

z0

f(w) dw (1.16)

57


esta bem definida, e analıtica e e uma primitiva de f em D. Adicionalmente, se z1, z2 ∈ D,entao ∫ z2

z1

f(z) dz = F (z2)− F (z1)

em que F ′ = f e qualquer primitiva de f em D.

Demonstracao:

Dado que f e analıtica num aberto simplesmente conexo, D, O integral complexo naodepende do caminho de integracao e, como tal, F (z) esta bem definida para z ∈ D. Paraz ∈ D arbitrario considere-se γ uma curva regular e simples em D unindo z0 a z. Defina-setambem r > 0 para o qual B(z, r) ⊂ D, z1 ∈ B(z, r) e s o segmento de recta unindo z az1. Entao

F (z) =

∫

γf(w) dw , F (z1) =

∫

s∪γf(w) dw

E entao facil verificar que

F (z) − F (z1)

z − z1− f(z) =

∫

s f(w) dw − f(z)(z − z1)

z − z1

=

∫

s(f(w)− f(z)) dw

z − z1

Por continuidade de f em D, para qualquer ǫ > 0 existe r > 0 para o qual se tem|f(w)− f(z)| < ǫ sempre que |z − w| < r. Assim

∣∣∣F (z)− F (z1)

z − z1− f(z)

∣∣∣ ≤ ǫ

|z − z1|

∫

s|dw| = ǫ

Conclui-se que

limz1→z

F (z)− F (z1)

z − z1= f(z)

ou seja, para qualquer z ∈ D tem-se que F ′(z) = f(z), pelo que F e analıtica e e umaprimitiva de f em D. �

Observe-se que, na demonstracao do teorema fundamental do calculo, a analiticidade de fe necessaria apenas para estabelecer a independencia do integral do caminho de integracao;desse facto resulta que a formula (1.16) define uma primitiva de f em D.

• Teorema de Cauchy Generalizado

Seja D ⊂ C um conjunto aberto e simplesmente conexo, γ uma curva de Jordan em D, γ1,... γn curvas de Jordan contidas no interior de γ e verificando para i 6= j

– int (γj) ∩ int (γi) = ∅;– todas as curvas tem orientacao igual a orientacao de γ.

58


Sendo ainda, f uma funcao analıtica em int (γ) \(

int (γ1) ∪ ... ∪ int (γn))

, entao

∮

γf(z) dz =

n∑

i=1

∮

γi

f(z) dz

Exemplo:

1. Sendo z0 um ponto qualquer de C e γ uma curva de Jordan tal que z0 6∈ γ. Entao

∮

γ

1

z − z0dz =

{0 se z0 6∈ int γ±2πi se z0 ∈ int γ

Num exemplo anterior, ja tinhamos concluido que o integral e 0 se z0 e um pontoexterior a curva e, efectuando o calculo pela definicao, que

∮

|z−z0|=R

1

z − z0dz = 2πi

onde a curva e percorrida em sentido positivo. O Teorema de Cauchy generalizado per-mite concluir que se γ for percorrida positivamente e estiver nas condicoes enunciadas,se tem ∮

γ

1

z − z0dz =

∮

|z−z0|=R

1

z − z0dz = 2πi

sendo R > 0 escolhido de forma a que D(z0, R) ⊂ int γ. Idem para o sentido negativo.

2. Sendo γ uma curva de Jordan percorrida em sentido directo e tal que ±1 6∈ γ. Entao

∮

γ

1

z2 − 1dz =

0 se ±1 6∈ int γπi se 1 ∈ int γ e − 1 6∈ int γ−πi se −1 ∈ int γ e 1 6∈ int γ0 se ±1 ∈ int γ

De facto:

∗ se ±1 nao pertencem a regiao interior a γ o resultado e uma consequencia imediatado Teorema de Cauchy;

∗ para o caso em que 1 pertence a regiao interior a γ e −1 pertence a sua regiaoexterior, observa-se que 1

z+1 e analıtica num conjunto aberto simplesmente conexocontendo γ e, como tal e aplicavel a Formula Integral de Cauchy

∮

γ

1

z2 − 1dz =

∮

γ

1z+1

z − 1dz = 2πi

1

z + 1

∣∣∣z=1

= πi

∗ para o caso em que −1 pertence a regiao interior a γ e 1 pertence a sua regiao ex-terior, observa-se que 1

z−1 e analıtica num conjunto aberto e simplesmente conexocontendo γ e, como tal, e aplicavel a Formula Integral de Cauchy

∮

γ

1

z2 − 1dz =

∮

γ

1z−1

z + 1dz = 2πi

1

z − 1

∣∣∣z=−1

= −πi

59


∗ por ultimo, se tanto 1 como -1 pertencem a regiao interior a curva γ, pelo teoremade Cauchy generalizado

∮

γ

1

z2 − 1dz =

∮

γ1

1

z2 − 1dz +

∮

γ2

1

z2 − 1dz = 0

em que γ1 e qualquer curva de Jordan percorrida em sentido positivo e tal que 1 ∈int γ1 e −1 6∈ int γ1 ∪ γ1, e γ2 e qualquer curva de Jordan percorrida em sentidopositivo e tal que −1 ∈ int γ2 e 1 6∈ int γ2 ∪ γ2.

• Generalizacao do Teorema de Cauchy

Sejam D ⊂ C um aberto simplesmente conexo, γ uma curva de Jordan em D, z0 um pontopertencente a regiao interior a γ e f uma funcao analıtica em D \ {z0} verificando

limz→z0

(z − z0)f(z) = 0

Entao ∮

γf(z) dz = 0

Dem:

Pelo Teorema de Cauchy generalizado, tem-se que para ǫ suficientemente pequeno

∮

γf(z) dz =

∮

|z−z0|=ǫf(z) dz , ∀ǫ > 0

tendo a circunferencia a mesma orientacao que γ. Por outro lado, dada a hipotese limz→z0

(z−z0)f(z) = 0 podemos determinar δ tao pequeno quanto se necessite, de forma a que

|z − z0| < δ ⇒ |(z − z0)f(z)| < ǫ ⇒ |f(z)| < ǫ

|z − z0|

Assim

∣∣∣

∮

γf(z) dz

∣∣∣ =

∣∣∣

∮

|z−z0|=ǫf(z) dz

∣∣∣ ≤

∮

|z−z0|=ǫ|f(z)||dz|

≤∮

|z−z0|=ǫ

ǫ

|z − z0||dz| =

∮

|z−z0|=ǫ|dz| = 2πǫ ∀ǫ > 0

Fazendo ǫ→ 0 obtem-se

∣∣∣

∮

γf(z) dz

∣∣∣ ≤ 0 ⇒

∮

γf(z) dz = 0

�

60


• Formula Integral de Cauchy

Se γ e uma curva de Jordan e f e analıtica num aberto simplesmente conexo contendo γ,entao para qualquer z0 ∈ int (γ)

f(z0) =1

2πi

∮

γ

f(z)

z − z0dz

onde γ e percorrida uma vez no sentido directo.

Dem.

Dado que f e analıtica em z0, tem-se que

limz→z0

(z − z0)f(z)− f(z0)

z − z0= 0

Assim estamos nas condicoes da generalizacao do teorema de Cauchy, e

∮

γ

f(z)− f(z0)

z − z0dz = 0

Entao ∮

γ

f(z)

z − z0dz =

∮

γ

f(z)− f(z0)

z − z0dz +

∮

γ

f(z0)

z − z0dz = 0 + 2πif(z0)

�

Exemplo:

1. Vamos calcular∮

γ

e−z

z − π2

dz

sendo γ qualquer curva de Jordan em C orientada positivamente e tal que π2 ∈ int γ.

Dado que f(z) = e−z e inteira, estamos nas condicoes da formula integral de Cauchye podemos concluir que

∮

γ

e−z

z − π2

dz = 2πif(π

2) = 2πie−π/2

2. Vamos calcular ∮

γ

z

2z + 1dz

sendo γ qualquer curva de Jordan em C orientada positivamente e tal que −12 ∈int γ.

Atendendo a que a funcao f(z) = z e inteira, por aplicacao da formula integral deCauchy, obtem-se

∮

γ

z

2z + 1dz =

1

2

∮

γ

z

z + 12

dz =1

22πif

(

− 1

2

)

= −πi2

61


3. Vamos calcular ∮

γ

cos z

z3 + 9zdz

em que γ e a circunferencia |z| = 1 percorrida uma vez em sentido directo. A funcaointegranda e analıtica em C \ {0, −3i, 3i}; dos pontos onde a funcao nao e analıticaapenas 0 pertence a regiao |z| < 1. Assim

∮

γ

cos z

z3 + 9zdz =

∮

γ

cos zz2+9

zdz = 2πi

cos z

z2 + 9

∣∣∣z=0

=2πi

9

onde utilizamos a formula integral de Cauchy e o facto de a funcao f(z) = cos zz2+9

seranalıtica num aberto, simplesmente conexo contendo γ (por exemplo |z| < 2),

• Derivada de uma funcao analıtica

Sendo f uma funcao analıtica num aberto simplesmente conexo D. Entao a sua derivadaf ′ e uma funcao analıtica em D.

Demonstracao:

Sendo z ∈ D arbitrario e f analıtica em D, para qualquer curva de Jordan, γ, contida emD, percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ, tem-se que

f(z) =1

2πi

∮

γ

f(w)

w − zdw

Em particular, para r > 0 tao pequeno que D(z, r) ⊂ D, tem-se que

f(z) =1

2πi

∮

|w−z|=r

f(w)

w − zdw

onde a circunferencia e percorrida uma vez em sentido directo. Entao

f ′(z) = limh→0

f(z + h)− f(z)

h

= limh→0

1

2πhi

∮

|w−z|=r

( f(w)

w − (z + h)− f(w)

w − z

)

dw

= limh→0

1

2πi

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − (z + h))(w − z)dw

Vamos mostrar que

limh→0

1

2πi

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − (z + h))(w − z)dw =

1

2πi

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − z)2dw

Para tal∣∣∣1

2πi

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − (z + h))(w − z)dw − 1

2πi

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − z)2dw∣∣∣

≤ 1

2π

∮

|w−z|=r|f(w)| |h|

|w − z|2|w − (z + h)| |dw|

≤ M |h|2πr2

∮

|w−z|=r

1

|w − (z + h)| |dw|

62


onde M denota o maximo de |f | na circunferencia |w − z| = r. Atendendo a que

|w − (z + h)| ≥∣∣∣|w − z| − |h|

∣∣∣

conclui-se que

1

2π

∣∣∣

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − (z + h))(w − z)dw −

∮

|w−z|=rf(w)

1

(w − z)2dw∣∣∣

≤ M |h|2πr2

∣∣∣r − |h|

∣∣∣

∮

|w−z|=r|dw|

=M |h|

r∣∣∣r − |h|

∣∣∣

→ 0 quando h→ 0

Demonstramos assim que se f e analıtica em D, a sua derivada satisfaz a formula

f ′(z) =1

2πi

∮

γ

f(w)

(w − z)2dw

para qualquer curva de Jordan γ em D percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ.Repetindo o argumento anterior verifica-se que para qualquer z ∈ D

f ′′(z) =2

2πi

∮

γ

f(w)

(w − z)3dw

para qualquer curva de Jordan γ em D percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ.Conclui-se que a derivada de f ′ esta bem definida e existe em D pelo que f ′ e analıtica emD. �

• Formula Integral de Cauchy Generalizada

Nas mesmas condicoes da Formula integral de Cauchy, tem-se que para qualquer n ∈ N0,f (n) esta bem definida, e analıtica em D e staisfaz a formula

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

γ

f(z)

(z − z0)n+1dz

para qualquer z0 ∈ int γ.

Exemplo:

1. Pretendemos calcular o valor do integral

∮

|z|=2

ez

(z − 1)4dz

onde se supoe que a curva e percorrida uma vez em sentido directo. Comecamos por observarque a funcao ez

(z−1)4 e analıtica em C \ {1}, pelo que nao e analıtica na regiao interior a

curva, e como tal nao e aplicavel o Teorema de Cauchy. Consideremos a funcao f(z) = ez,

63


que e uma funcao inteira; para z0 = 1 (que pertence a regiao interior a curva) estamos emcondicoes de aplicar a formula integral de Cauchy generalizada para a derivada de ordemn = 3. Assim ∮

|z|=2

ez

(z − 1)4dz =

2πi

3!

(

ez)′′′∣∣∣∣z=1

=eπi

3


∮

|z|=2

log(z + 3)

z2(z2 + 9)dz

onde se supoe que a curva e percorrida uma vez em sentido directo e log z representa ovalor principal do logaritmo. A funcao f(z) = log(z+3)

z2(z2+9)esta definida em C\{−3i, 3i,−3, 0}

e e analıtica emC \

(

{0, 3i,−3i} ∪ {xeiπ : x ≤ −3})

Considere-se D = {z : |z| < 52}. Verifica-se que D e aberto, simplesmente conexo, contem

a curva no seu interior. Definindo-se

f(z) =log(z + 3)

z2 + 9,

pelo que vimos acima, f e analıtica em D. Entao, e usando a formula integral de Cauchypara a derivada de ordem 1,

∮

|z|=2

log(z + 3)

z2(z2 + 9)dz =

∮

|z|=2

log(z+3)z2+9

z2= 2πi

( log(z + 3)

z2 + 9

)′∣∣∣z=0

=2πi

27


∮

|z|=1

f(z)

z3dz

em que f : C → C e uma funcao de domınio C tal que

Re f(x+ iy) = u(x, y) = y3 − x3 + 3xy2 − 3x2y ,

e a curva e percorrida uma vez em sentido horario. Atendendo a que

– u ∈ C2(R2) .

– para quaisquer x, y ∈ R2

∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=

∂

∂x

(

− 3x2 + 3y2 − 6xy)

+∂

∂y

(

3y2 + 6xy − 3x2)

= 0

concluimos que u e harmonica em R2 pelo que f = u+ iv e uma funcao inteira sendo

v uma harmonica conjugada de u em R2. Por outro lado, visto que 0 pertence a regiao

interior da circunferencia |z| = 1, estamos em condicoes de aplicar a formula integralde Cauchy para a derivada de ordem 2

∮

|z|=1

f(z)

z3dz = −2πi

2!f ′′(0)

64


sendo que o sinal decorre da orientacao da curva. Note-se que a analiticidade def permite, utilizando as equacoes de Cauchy-Riemann, determinar f ′′(0) sem ter deconhecer explicitamente a parte imaginaria de f . De facto, para qualquer z ∈ C

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂u

∂x− i

∂u

∂y=(

− 3x2 + 3y2 − 6xy)

− i(

3y2 + 6xy − 3x2)

Usando as notacoes u =Re f ′ e v =Im f ′, entao

f ′′(z) =(

f ′(z))′

=∂u

∂x+ i

∂v

∂x

=∂

∂x

(

− 3x2 + 3y2 − 6xy)

+ i∂

∂x

(

− 3y2 − 6xy + 3x2)

= −6x− 6y + i(−6y + 6x)

Finalmente

∮

|z|=1

f(z)

z3dz = −πi

(

− 6x− 6y + i(−6y + 6x))∣∣∣(x,y)=(0,0)

= 0

Consequencias da Formula Integral de Cauchy

1. Teorema de Morera

Se D ⊂ C e aberto e f : D → C e contınua e

∮

γf(z) dz = 0

para qualquer curva fechada seccionalmente regular, γ, contida em D, entao f e analıticaem D.

Demonstracao:

Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo (a) e equivalente a b)), a funcao f e pri-mitivavel em D. Assim existe uma funcao analıtica, F , tal que F ′(z) = f(z) para todoz ∈ D. A formula integral de Cauchy permite concluir que, sendo F analıtica em D, F ′ etambem analıtica em D. Conclui-se que f e analıtica em D.

�

2. Teorema de Liouville

Se f e uma funcao inteira e limitada entao f e constante.

Demonstracao:

Dado que f e inteira, a Formula integral de Cauchy permite concluir que f ′ e inteira e paratodo z ∈ C se tem

f ′(z) =1

2πi

∮

|w−z|=R

f(w)

(w − z)2dw

65


onde a circunferencia de centro em z e raio R > 0 arbitrario, e percorrida uma vez emsentido positivo. Entao

|f ′(z)| =∣∣∣1

2πi

∮

|w−z|=R

f(w)

(w − z)2dw∣∣∣

≤ 1

2πi

∮

|w−z|=R

∣∣∣f(w)

(w − z)2

∣∣∣dw

Por outro lado, visto f ser limitada, existe M > 0 para o qual

|f(z) ≤M , ∀z ∈ C

Entao

|f ′(z)| ≤ 1

2πi

∮

|w−z|=R

M

R2dw =

M

r

Visto R ser arbitrario, podemos considera-lo tao grande quanto se queira (R → ∞), e assimconcluir

|f ′(z)| ≤ 0 ⇒ |f ′(z)| = 0 ⇒ f ′(z) = 0

pelo que f e constante em C.

�

3. Teorema Fundamental da Algebra

Seja P (z) um polinomio nao constante em C. Entao existe χ ∈ C tal que P (χ) = 0.

Demonstracao:

Argumentando por contradicao, vamos supor que tal χ nao existe, isto e

∀z ∈ C P (z) 6= 0

o que implica de imediato que a funcao 1/P (z) e inteira. Por outro lado, visto |P (z)| → ∞quando |z| → ∞, existe R > 0 tal que

∣∣∣

1

P (z)

∣∣∣ < 1 se |z| > R (1.17)

e, tendo em conta que 1/P (z) e contınua no conjunto compacto {z ∈ C : |z| ≤ R} — poisP (z) nao tem zeros — o teorema de Weierstrass assegura a existencia de M > 0 tal que

∣∣∣

1

P (z)

∣∣∣ < M se |z| ≤ R (1.18)

As desigualdades (1.17) e (1.18) permitem afirmar que 1/P (z) e limitada em C. PeloTeorema de Liouville conclui-se que 1/P (z) e constante, o que contradiz a hipotese doteorema.

�

4. Desigualdade de Cauchy

Se f e uma funcao analtica num conjunto aberto e simplesmente conexo D ⊂ C, z0 ∈ D eescolha-se r > 0 tal que {z : |z − z0| = r} ⊂ D. Entao

|f (n)(z0)| ≤M n!

rn∀n ∈ N0

sendo M ∈ R+ o maximo de |f(z)| em Br(z0).

66

1.6. SERIES DE POTENCIAS EM C

1.6 Series de Potencias em C

1.6.1 Sucessoes de Numeros Complexos

Uma sucessao de numeros complexos, (zn)n∈N e uma aplicacao

N ∋ n 7→ zn = xn + iyn ∈ C,

ou seja, uma aplicacao (ou funcao) que a cada numero natural, n, faz corresponder um e umso numero complexo zn = xn + iyn. E costume representar uma sucessao por (zn) ou ainda,mais abreviadamente, pelo seu termo geral, zn. As sucessoes xn = Re zn (a parte real de zn) eyn = Im zn (a parte imaginaria de zn) sao sucessoes reais.

A sucessao zn diz-se limitada se existe um numero real positivo M tal que |zn| ≤ M paratodo n ∈ N.

• Se zn = xn + iyn entao

zn e limitada em C sse xn e yn sao limitadas em R.

Exemplos:

1. A sucessao zn =1

ine limitada, visto |zn| = 1

n ≤ 1, para todo n ∈ N.

2. A sucessao zn =(n+ 2i)

ne limitada, visto |zn| =

√n2+4n2 ≤

√5, para todo n ∈ N.

3. A sucessao zn = ein e limitada, visto |zn| = 1, para todo n ∈ N.

Limite de uma sucessao. Sucessao convergente:

A sucessao zn diz-se convergente para L ∈ C, e denota-se

L = limn→∞

zn = lim zn ⇔ zn → L

se e so se para qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que

se n ≥ N entao |zn − L| < ǫ.

Esta definicao significa que dado qualquer erro ǫ > 0, existe uma ordem N ∈ N a partir da qualtodos os termos da sucessao (os termos zN+1, zN+2, . . .) sao aproximacoes do limite, L, com erroinferior a ǫ.

Exemplos:

1. A sucessao zn =in

n3e convergente e o seu limite e 0, visto que para qualquer ǫ > 0

∣∣∣in

n3

∣∣∣ =

1

n3< ǫ para n >

13√ǫ

A definicao de convergencia verfica-se para N > 1/ 3√ǫ.

67


2. A sucessao zn =(n+ 2i)

ne convergente e o seu limite e 1, visto que para qualquer ǫ > 0

∣∣∣n+ 2i

n− 1∣∣∣ =

∣∣∣2i

n

∣∣∣ =

2

n< ǫ para n >

2

ǫ

A definicao de convergencia e verficada para N > 2/ǫ.

As propriedades seguintes sao consequencias quase imediatas das definicoes anteriores.

Teorema:

Sendo (zn)n ⊂ C uma sucessao convergente, entao

1. A sucessao (zn)n e limitada.

2. O seu limite e unico.

3. Se (wn)n e uma sucessao limitada e limnzn = 0 entao lim

n(znwn) = 0.

Diz-se que zn e uma sucessao de Cauchy se e so se para qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que

se n,m ≥ N entao |zn − zm| < ǫ.

Esta definicao e equivalente a:

limn,m→+∞

(zn − zm

)= 0

Prova-se que uma sucessao complexa e convergente se e so se e uma sucessao de Cauchy.

Listamos em seguida algumas propriedades dos limites de sucessoes complexas convergentes,que nos permitem utilizar a ’algebra de limites conhecida das sucessoes de termos reias conver-gentes.

Propriedades:

Se (zn) e (wn) sao sucessoes complexas convergentes, entao

1. Se zn = xn + iyn e L = A+ iB entao

L = limn→∞

zn ⇔ A = limn→∞

xn e B = limn→∞

yn

2. (zn) e convergente e lim zn = lim zn;

3. A sucessao real (|zn|) e convergente e lim |zn| = |lim zn|.

4. (zn + wn) e convergente e lim(zn + wn) = lim zn + limwn;

5. (zn − wn) e convergente e lim(zn − wn) = lim zn − limwn;

6. (znwn) e convergente e lim(znwn) = lim zn limwn;

7. se adicionalmente limwn 6= 0, (zn/wn) e convergente e lim(zn/wn) = lim zn/ limwn.

68


Limite infinito

Se (zn)n e uma sucessao complexa, definimos

limnzn = ∞ sse ∀M > 0 ∃N ∈ N : |zn| > M ∀n > N

Nao entraremos em detalhe acerca do significado de limite infinito em C, no entanto e facil dedemonstrar que lim

nzn = ∞ e equivalente a cada uma das afirmacoes:

• limn

|zn| = ∞

• limn

1

zn= 0

Observa-se que se pelo menos uma das sucessoes (Re zn) ou (Im zn) diverge para infinito, entaoa secessao (zn) tera tambem limite infinito. Porem, o recıproco pode nao ser verificado.

Tal como no caso real, a agebra de limites nao e aplicavel quando pelo menos uma dassucessoes seja divergente para infinito.

Exemplo:

Ex. 1 As sucessoes (neiπn) e (n+ in) sao divergentes para ∞, dao que

limn

|neiπn| = limnn = ∞ e lim

nRe (n+

i

n) = lim

nn = ∞

Ex. 2 Progressao Geometrica de razao z

Para z ∈ C fixo, define-se a progressao geometrica de razao z como sendo a sucessao cujotermo geral e zn; ou seja, o seu conjunto de termos e:

{z, z2, z3, . . . , zn, . . .}

Escrevendo os termos da progressao na forma trigonometrica, zn = |z|nein arg z, pode-seconcluir que:

limn→+∞

zn =

0 se |z| < 1∞ se |z| > 11 se z = 1

Se |z| = 1 e z 6= 1, entao zn nao tem limite (finito ou infinito).

1.6.2 Series de Potencias

Para o estudo de alguns dos conceitos e resultados essenciais sobre series numericas de termosreais ou complexos aconselha-se a leitura do Apendice A.

Para z0 ∈ C e an uma sucessao de termos complexos define-se a serie de potencias de z − z0(ou serie de potencias centrada em z0) por:

∞∑

n=0

an(z − z0)n = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)

2 + · · ·+ an(z − z0)n + · · · (1.19)

69


Os termos da sucessao an denominam-se coeficientes da serie e z0 e o seu centro. Para cadaz ∈ C a serie podera ou nao convergir, pelo que sera adequado definir o conjunto:

{

z ∈ C :

∞∑

n=0

an(z − z0)n converge

}

,

Este conjunto e denominado regiao de convergencia de (1.19).

Pela mudanca de variavel w = z − z0, podemos reduzir o estudo da natureza de (1.19) aocaso em que z0 = 0, que e:

∞∑

n=0

anzn = a0 + a1z + a2z

2 + · · · + anzn + · · ·

Qual e a forma do domınio de convergencia de uma serie de potencias? O seguinte resultadopermite obter uma resposta para esta questao.

Teorema de AbelConsidere-se a serie de potencias centrada em z0 e de coeficientes cn. Entao:

a) Se existe ξ ∈ C \ {z0} tal que∞∑

n=0

cn(ξ − z0)n converge, a serie

∞∑

n=0

cn(z − z0)n converge

absolutamente em todos os valores de z para os quais |z − z0| < |ξ − z0|.

b) se existe ξ ∈ C tal que

∞∑

n=0

cn(ξ − z0)n diverge, a serie

∞∑

n=0

cn(z− z0)n diverge em todos os

valores de z para os quais |z − z0| > |ξ − z0|.

Demonstracao:Como foi observado, basta demonstrar o resultado para o caso z0 = 0, isto e, para as series

do tipo∑anz

n.

a) Supondo que existe um ponto ξ onde a serie∑anξ

n converge, entao limn→∞

anξn = 0. A

existencia deste limite implica, em particular, que anξn e uma sucessao limitada, ou seja:

existe M > 0 tal que |anξn| ≤M para qualquer n ∈ N.

Escolhendo qualquer valor de z verificando |z| < |ξ|, defina-se r =|z||ξ| (que verificara

0 < r < 1). Entao

|anzn| = |an||z|n = |an||ξ|n|z|n|ξ|n = |anξn|

( |z||ξ|

)n

≤Mrn para qualquer n ∈ N.

Dado que a serie∑

n

rn e convergente (pois e uma serie geometrica de razao r < 1), pelo

criterio geral de comparacao, a serie∑ |anzn| tambem converge, logo

∑anz

n convergeabsolutamente para |z| < |ξ|.

70


b) Supondo que existe z = ξ onde a serie∑anz

n diverge, entao a serie tera que divergir para|z| > |ξ|. Pois, caso contrario — se existisse z, com |z| > |ξ|, onde a serie convergisse —como |ξ| < |z|, pela alınea (a) a serie

∑anz

n convergiria absolutamente em z = ξ, o quecontradiz a hipotese. �

O raio de convergencia, R, de uma serie de potencias∑∞

n=0 an(z − z0)n define-se por:

R = sup

{

ρ ∈ [0,+∞[ :

∞∑

n=0

an(z − z0)n converge em |z − z0| < ρ

}

R esta bem definido, pois o conjunto acima nunca e vazio e R ≥ 0. De notar que esse conjuntopode ser nao limitado; nesse caso, R = ∞.

Utilizando o teorema de Abel, conclui-se facilmente o seguinte (porque?):

Teorema: (regiao de convergencia de uma serie de potencias)

Considere-se a serie de potencias∞∑

n=0

an(z− z0)n e seja R o seu raio de convergencia. Entao:

a) A serie converge absolutamente no disco {z : |z − z0| < R}.

b) A serie diverge na regiao {z : |z − z0| > R}.O disco de convergencia da serie de potencias e definido como sendo o interior da sua regiao deconvergencia, ou seja, a regiao dada por |z − z0| < R.

Apoiando-nos nos criterios de convergencia das series de termos nao negativos e no teoremade Abel, podemos obter formulas para o calculo do raio de convergencia de (1.19). Assim:

O raio de convergencia da serie

∞∑

n=0

an(z − z0)n e dado por:

• R = limn→∞

∣∣∣anan+1

∣∣∣, caso este limite exista.

• 1R = limn→∞ n

√

|an|, caso este limite exista.

• 1

R= lim sup

n→∞n√

|an| (Teorema de Cauchy-Hadamard).

Para mostrar que, caso o limite exista, R = limn→∞

∣∣∣anan+1

∣∣∣,, e uma consequencia do criterio de

D’Alembert. Mais uma vez estudaremos o caso z0 = 0. Assim

|an+1 zn+1|

|an zn|= |z|

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

|z|∣∣∣anan+1

∣∣∣

Supondo que existe Rdef= lim

∣∣∣∣

anan+1

∣∣∣∣, entao:

L = limn→∞

|an+1 zn+1|

|an zn|=

|z|lim∣∣∣anan+1

∣∣∣

=|z|R.

71


Para se ter L < 1— caso em que, pelo criterio de D’Alembert a serie de potencias e absolutamenteconvergente — entao e necessario que |z| < R. Tomando L > 1 conclui-se que para |z| > R aserie nao converge absolutamente.

Alem disso, a serie diverge sempre para |z| > R. Caso contrario, isto e, se convergisse paracerto z, com |z| > R, entao pelo teorema de Abel convergiria absolutamente em qualquer z talque R < |z| < |z|, o que contradiz a conclusao do paragrafo anterior!

Conclui-se que o raio de convergencia da serie∑anz

n e R.

Por outro lado, e se o limite existir, 1R = lim

n→∞n√

|an| e uma consequencia do criterio da raiz,

e a demonstracao deste facto e anaaloga a anterior.

Note-se que, em teoria, a formula do Teorema de Cauchy-Hadamard e de aplicabilidade geral.Pode, contudo, nao ser facil de utilizar na pratica; basta pensar em exemplos onde os sublimitesde n√

|an| sao difıceis de determinar.

Exemplo:

1. Considere-se a serie

∞∑

n=0

(z − 2i)n

n(5i)n. Por ser uma serie de potencias de centro em 2i e

coeficientes an = 1n(5i)n , o seu disco de convergencia sera

{z ∈ C : |z − 2i| < R}

em que R e dado por (porque o limite existe)

R = limn

∣∣∣anan+1

∣∣∣ = lim

n

5(n+ 1)

n= 5

ou seja o disco de convergencia e {z ∈ C : |z − 2i| < 5}.

2. Considere-se a serie

∞∑

n=1

(in)nzn. Por ser uma serie de potencias de centro em 0 e coeficientes

an = (in)n, o seu disco de convergencia sera

{z ∈ C : |z| < R}

em que R e dado por (porque o limite existe)

R =1

limnn√

!an|= lim

n

1

n= 0

Conclui-se que a serie converge apenas em 0, ou seja a sua regiao de convergencia e {0}.(observe-se que para esta serie o disco de convergencia e vazio.)

3. Considere-se a serie∞∑

n=0

n(−i)n(z + i)2n Mais uma vez o seu disco de convergencia sera

{z ∈ C : |z + i| < R}

72


dado que o centro da serie e −i. Visto que no desenvolvimento so ocorrem potencias deexpoente par, os coeficientes da serie sao dados por

an =

{n(−i)n para n par

0 para n impar

e e facil de perceber que nao existem limn

∣∣∣an/an+1

∣∣∣ e lim

n1/ n√

|an|. Entao

R =1

lim sup n√

|an|=

1

sup{limn

n√n, lim

n0} = 1

Conclui-se que o disco e {z ∈ C : |z + i| < 1}. Em alternativa, poderemos considerar

w = −i(z + i)2 e estudar o disco de convergencia da serie

∞∑

n=0

nwn. Dado que

limn

∣∣∣n

n+ 1

∣∣∣ = 1

podemos concluir que esta serie converge em {w ∈ C : |w| < 1}, o que implicara que aserie inicial e convergente para todos os valores de z tais que

| − i(z + i)2| < 1 ⇔ |z + i| < 1 .

Propriedades da Soma de uma serie de funcoes uniformemente convergente

Considere-se f(z) =∑

n

fn(z) uniformemente em D ⊂ C aberto. Entao

• se para todo n ∈ N, fn e contınua em D, tem-se que f e contınua em D e

∫

γf(z) dz =

∑

n

∫

γfn(z) dz

qualquer que seja a curva γ regular contida em D.

• se para todo n ∈ N, fn e analıtica em D e D e simplesmente conexo, tem-se que f eanalıtica em D e

f ′(z) =∑

n

f ′n(z) , ∀z ∈ D

No caso particular das series de potencias, o Teorema de Abel e o Criterio de Weierstrassimplicam o seguinte resultado.

Teorema: (Convergencia uniforme de uma serie de potencias)

Seja∞∑

n=0

an(z − z0)n uma serie de potencias de raio de convergencia R. Entao a serie e

uniformemente convergente em todos os cırculos

D(z0, r) ={

z : |z − z0| ≤ r}

73


em que r < R. Dado que, para todo n ∈ N a funcao fn(z) = an(z − z0)n e inteira, pode-se

entao concluir que a serie f(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n e analıtica em {z : |z − z0| < R}, e para todo

z no interior do cırculo de convergencia

f ′(z) =∞∑

n=1

nan(z − z0)n−1

∫

γf(w) dw =

∞∑

n=0

an

∫

γ(w − z0)

n dw =

∞∑

n=0

ann+ 1

((z − z0)

n+1 − (a− z0)n+1)

para qualquer curva regular γ em D(z0, R) onde a e z sao os pontos inicial e final de γ, respec-tivamente. Em consequencia, as primitivas de f(z) sao dadas por

C +

∞∑

n=0

ann+ 1

(z − z0)n+1,

onde C ∈ C e uma constante arbitraria.

1.6.3 Analiticidaddede de uma Serie de Potencias

Nesta seccao vamos estudar a relacao que existe entre uma funcao analıtica (no sentido de admitirderivada num aberto nao vazio) e uma funcao definida por uma serie de potencias.

Teorema:(Analiticidade de uma serie de potencias)Seja

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n em |z − z0| < R

isto e, f e uma serie de potencias de centro z0 convergente em |z − z0| < R.

Entao f e analıtica no seu domınio de convergencia e

• para todo z no interior do cırculo de convergencia

f ′(z) =∞∑

n=1

nan(z − z0)n−1

•∫

γf(w) dw =

∞∑

n=0

an

∫

γ(w − z0)

n dw =

∞∑

n=0

ann+ 1

((z − z0)

n+1 − (a− z0)n+1)

para qualquer curva regular γ em D(z0, R) onde a e z sao os pontos inicial e final de γ,respectivamente. Em consequencia, as primitivas de f(z) sao dadas por

C +

∞∑

n=0

ann+ 1

(z − z0)n+1,


74


1.6.4 Teorema de Taylor

O recıproco do resultado anterior (se f e analıtica pode ser escrita como serie de potencias) edado pelo seguinte resultado.

Teorema de Taylor:

Seja f uma funcao analıtica num conjunto aberto D ⊂ C. Se z0 ∈ D, entao f admite odesenvolvimento em serie de potencias de z − z0 dado por

f(z) =

∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n quando |z − z0| < R

R e o supremo dos numeros reais positivos, ρ, para o quais o disco D(z0, ρ) esta contido nodomınio de analiticidade de f , isto e, R e a distancia de z0 a fronteira de D.

Nota: conclui-se dos teoremas anteriores que afirmar que uma funcao f e analıtica (ouholomorfa) num ponto z0 ∈ C e equivalente a afirmar que f(z) admite uma representacao emserie de potencias de z − z0 valida numa vizinhanca de z0.

A serie ∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n

denomina.se serie de Taylor de f em torno de z0.No caso particular z0 = 0 a serie

∞∑

n=0

f (n)(0)

n!zn

denomina-se serie de Maclaurin de f .

Por ser uma serie de potencias, pode ser integrada e derivada termo a termo, isto e, sez ∈ D(z0, R)

• f ′(z) =∞∑

n=1

f (n)(z0)

(n− 1)!(z − z0)

n−1

•∫

γf(w) dw =

∞∑

n=0

f (n)(z0)

(n+ 1)!

((z − z0)

n+1 − (a− z0)n+1)

onde γ e uma curva seccionalmente regular contida em D(z0, R) e z,a sao o extremo inicial efinal (resp.) de γ. Em consequencia, as primitivas da serie de Taylor de f(z) em torno de z0 sao

C +

∞∑

n=0

f (n)(z0)

(n+ 1)!(z − z0)

n+1,


Demonstracao (do Teorema de Taylor):

75


Pretende-se mostrar que, dado z0 no domınio de analiticidade de f , existe R > 0, tal que paratodo z em BR(z0) se tem

f(z) =

∞∑

n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n

Sendo D o domınio de analiticidade de f , considere-se R o maior real positivo para o qual se temD(z0, R) ⊂ D. Para qual quer z ∈ D(z0, R), defina-se R0 = |z − z0| e escolha-se R1 ∈]R0, R[.Sendo γ = {w : |w− z0| = R1} percorrida em sentido directo, por aplicacao da formula Integralde Cauchy, tem-se que

f(z) =1

2πi

∮

γ

f(w)

w − zdw

Por outro lado, e recorrendo a soma da serie geometrica, temos quer

1

w − z=

1

w − z0 − (z − z0)=

1

w − z0· 1

1− z−z0w−z0

=

∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1

dado que, pela escolha que fizemos de R1:

∣∣∣z − z0w − z0

∣∣∣ =

R0

R1< 1.

Assim:

f(z) =1

2πi

∮

γf(w)

∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1dw

Atendendo a que a serie geometrica pode ser integrada termo a termo em D(z0, R1) (pois R1 <R), podemos integrar a serie termo a termo e obter:

f(z) =

∞∑

n=0

[ 1

2πi

∮

γ

f(w)

(w − z0)n+1dw]

(z − z0)n

Usando a formula integral de Cauchy generalizada, obtem-se o resultado. �

Exemplos de Series de Mac-Laurin/Taylor:

• f(z) = ez. Dado que para qualquer n ∈ N se tem f (n)(z) = ez, os coeficientes da serie deMac-Laurin da funcao exponencial sao

an =f (n)(0)

n!=

1

n!

Como o domınio de analiticidade de ez e C temos entao quebrado

ez =

∞∑

n=0

zn

n!, ∀z ∈ C

• No caso mais geral, para p ∈ N e c ∈ C \ {0} uma constante, a serie de Taylor centrada emz0 da funcao ec(z−z0)

pe

ec(z−z0)p

=∞∑

n=0

cn

n!(z − z0)

pn , ∀z ∈ C .

76


• Para qualquer z ∈ C

sen z =eiz − e−iz

2i=

1

2i

∞∑

n=0

znin(1− (−1)n)

n!=

1

i

∞∑

n=0 , n ımpar

znin

n!=

∞∑

n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!

• No caso mais geral, para p ∈ N e c ∈ C \ {0} uma constante, a serie de Taylor centrada em

z0 da funcao sen(

c(z − z0)p)

e

sen(

c(z − z0)p)

=

∞∑

n=0

(−1)nc2n+1

(2n+ 1)!(z − z0)

p(2n+1) , ∀z ∈ C .

• De igual modo se obtem, que para qualquer z ∈ C

cos z =

∞∑

n=0

(−1)nz2n

(2n)!

• No caso mais geral, para p ∈ N e c ∈ C \ {0} uma constante, a serie de Taylor centrada em

z0 da funcao cos(

c(z − z0)p)

e

cos(

c(z − z0)p)

=∞∑

n=0

(−1)nc2n

(2n)!(z − z0)

p(2n) , ∀z ∈ C .

• Para |z| < 1,

1

1− z=

∞∑

n=0

zn .

No caso mais geral, para p ∈ N e c ∈ C \ {0} uma constante, a serie de Taylor centrada emz0 da funcao 1

1−c(z−z0)P e

1

1− c(z − z0)p=

∞∑

n=0

cn(z − z0)pn

para qualquer z verificando |c(z − z0)| < 1.

• Para |z| < 1

1

(1− z)2=

d

dz

1

1− z=

d

dz

∞∑

n=0

zn =∞∑

n=0

d

dz

(

zn)

=∞∑

n=1

nzn−1

• Considerando o valor principal do logaritmo

log(1− z) = −∫

1

1− zdz = −

∫ ∞∑

n=0

zndz = −∞∑

n=0

∫

zndz = −∞∑

n=0

zn+1

n+ 1+ C

este desenvolvimento sera valido no maior cırculo centrado em 0 onde a funcao (valorprincipal) log(1−z) e analtica. Como o seu demınio de analiticidade e C\{x ∈ R : x ≥ 1}

77


o domınio de convergencia da serie e |z| < 1. Atendendo a que o valor principal de log 1 = 0tem-se que

log(1− z)∣∣∣z=0

= −∞∑

n=0

zn+1

n+ 1+ C

∣∣∣z=0

⇔ C = 0

pelo

log(1− z) = −∞∑

n=0

zn+1

n+ 1, |z| < 1

• Pretende-se desenvolver a funcao definida em C \ {−i} por

f(z) = sen(πiz) +z

z + i

em serie de Taylor em torno de z0 = i. Para isso, note-se que

sen(πiz) = sen(πi(z − i + i)) = sen(πi(z − i)− π)

= sen(πi(z − i)) cos(−π)

= −∞∑

n=0

(−1)nπ2n+1i2n+1

(2n+ 1)!

= −i∞∑

n=0

π2n+1

(2n+ 1)!(z − i)2n+1

sendo a igualdade valida em C. Por outro lado

1

z + i=

1

(z − i) + 2i=

1

2i(

1 + z−i2i

) =1

2i

∞∑

n=0

(−1)n

(2i)n(z − i)n

sendo a igualdade valida em |z − i

2i| < 1, ou seja em |z − i| < 2. Por ultimo

z = (z − i) + i

obviamente para todo z ∈ C. Entao, para todo z ∈ D(i, 2)

f(z) = −i∞∑

n=0

π2n+1

(2n + 1)!(z − i)2n+1 +

(

(z − i) + i) 1

2i

∞∑

n=0

(−1)n

(2i)n(z − i)n

= −i

∞∑

n=0

π2n+1

(2n + 1)!(z − i)2n+1 +

∞∑

n=0

(−1)n

(2i)n+1(z − i)n+1 + i

∞∑

n=0

(−1)n

(2i)n+1(z − i)n

78

1.7. SERIES DE LAURENT

1.6.5 Zeros de uma Funcao Analıtica

Seja f uma funcao analıtica em D ⊂ C aberto. Diz-se que z0 ∈ D e um zero de ordem p sse

f(z0) = f ′(z0) = · · · = f (p−1)(z0) = 0 e f (p)(z0) 6= 0

Como consequencia do Teorema de Taylor, podemos afirmar que:

z0 e um zero de ordem p ∈ N

⇔f(z) = ap(z − z0)

p + ap+1(z − z0)p+1 + · · ·

= (z − z0)p(ap + ap+1(z − z0)

p+1 + · · ·)

para |z − z0| < ǫ,

e onde ap =1p!f

(p)(z0) 6= 0. Sendo assim, z0 e um zero de ordem p de f se e so se f admite umafactorizacao da forma

f(z) = (z − z0)pg(z)

num disco |z − z0| < ǫ, onde g e uma funcao analıtica em z0 e g(z0) 6= 0.

Exemplos:

• A funcao f(z) = z3 − 3z2 + 3z − 1 tem um zero de ordem 3 em z0 = 0. De facto

z3 − 3z2 + 3z − 1 = (z − 1)3g(z) , g(z) ≡ 1

• A funcao ez − 1 tem um zero de ordem 1 em z0 = 0. De facto

ez − 1 = zg(z) , g(z) = 1 +z

2+z2

3!+z3

4!+ · · ·

• A funcao ez − 1 tem um zero de ordem 1 em z0 = 2kπi, para qualquer k ∈ Z. De facto

ez − 1 = (z − 2kπi)g(z) , g(z) = 1 +z − 2kπi

2+

(z − 2kπi)2

3!+

(z − 2kπi)3

4!+ · · ·

• A funcao (ez − 1)2 tem um zero de ordem 2 em z0 = 0. De facto

(ez − 1)2 = z2g(z) , g(z) =(

1 +z

2+z2

3!+z3

4!+ · · ·

)2

(Qual a razao porque a funcao g e analıtica?)

1.7 Series de Laurent

1.7.1 Definicao de Serie de Laurent

Sendo z0 ∈ C, a serie

∞∑

n=−∞an(z − z0)

n = · · ·+ a−2

(z − z0)2+

a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)

2 + · · ·

=

∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

+

∞∑

n=0

an(z − z0)n

(1.20)

79


diz-se uma serie de Laurent em torno do ponto z0.

Nesse caso, diz-se que

∞∑

n=1

a−n(z − z0)n

=a−1

z − z0+

a−2

(z − z0)2+ · · ·+ a−n

(z − z0)n+ · · ·

e a parte principal do desenvolvimento (1.20).

1.7.2 Teorema de Laurent

Teorema de Laurent:Se f e analıtica na regiao anular A(z0, r, R) = {z ∈ C : r < |z− z0| < R}, entao f pode ser

desenvolvida em serie de Laurent em torno de z0

f(z) =

∞∑

n=−∞an(z − z0)

n

onde para todo n ∈ Z

an =1

2πi

∮

γ

f(z)

(z − z0)n+1dz

e γ qualquer curva de Jordan seccionalmente regular contida em A(z0, r, R), percorrida uma vezno sentido positivo, e tal que z0 ∈ int γ.

No teorema de Laurent, podemos tomar os raios interior, r (resp. exterior, R) da regiao anularA(z0, r, R) como sendo o ınfimo de todos os σ ∈ R

+0 (resp., o supremo de todos os ρ ∈ R

+∪{∞})para os quais f e analıtica em A(z0, σ, ρ). Em particular, podemos ter r = 0 e R = ∞.

Demonstracao:Escolha-se z ∈ A(z0, r, R) arbitrario, e sejam r1, r2 numeros reais positivos para os quais

r < r1 < |z − z0! < r2 < R. Considerem-se ainda γ1 e γ2 as circunferencias de centro em z0 ede raios respectivamente r1 e r2, percorridas em sentido directo. Sendo l um segmento de rectaunindo γ1 a γ2, defina-se

C = γ2 ∪ l ∪ γ−1 ∪ l−

Aplicando a Formula Integral de Cauchy, tem-se que

f(z) =1

2πi

∮

C

f(w)

w − zdw =

1

2πi

∮

γ2

f(w)

w − zdw − 1

2πi

∮

γ1

f(w)

w − zdw

Para w ∈ γ2

1

w − z=

1

w − z0 − (z − z0)=

1

(w − z0)(

1− z−z0w−z0

) =∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1

onde tivemos em conta que |z− z0| < r2 pelo que∣∣∣z − z0w − z0

∣∣∣ < 1. De modo analogo, para w ∈ γ1

1

w − z=

1

w − z0 − (z − z0)=

−1

(z − z0)(

1− w−z0z−z0

) = −∞∑

n=0

(w − z0)n

(z − z0)n+1

80

1.7. SERIES DE LAURENT

onde tivemos em conta que |z − z0| > r1 pelo que∣∣∣w − z0z − z0

∣∣∣ < 1. Entao

f(z) =1

2πi

∮

γ2

f(w)∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1dw +

1

2πi

∮

γ1

f(w)∞∑

n=0

(w − z0)n

(z − z0)n+1dw

=1

2πi

∮

γ2

f(w)∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1dw +

1

2πi

∮

γ1

f(w)−1∑

j=−∞

(z − z0)j

(w − z0)j+1dw

=

∞∑

n=−∞

∮

γ

( 1

2πi

f(w)

(w − z0)n+1dw)

(z − z0)n

onde, pelo Teorema de Cauchy Generalizado, γ1 e γ2 foram substituidas por qualquer curva deJordan em sentido positivo em A(z0, r, R) com z0 no seu interior. �

Exemplos de Series de Laurent:

1. Para z ∈ A(0, 0,∞) (ou seja |z| > 0)

cos1

z=

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!z2n= 1− 1

2z2− 1

4!z4+

1

6!z6− · · ·

2. Para z ∈ A(0, 1,∞) (isto e para |z| > 1)

1

1− z=

1

−z(1− 1z )

= −1

z

∞∑

n=0

(1

z

)n= −

∞∑

n=0

(1

z

)n+1= −

(1

z+

1

z2+

1

z3+ · · ·

)

Note-se que o desenvolvimento em serie e convergente, pois |z| > 1 implica que |1/z| < 1.

3. Sendo f(z) = z(z−i)(z+2i) , vamos determinar todos os desenvolvimentos em serie possıveis

de f em torno de z0 = i. Dado que f e analıtica em C \ {i, 2i} e z0 = i iremos ter doisdesenvolvimentos; em A(i, 0, 1) e em A(i, 1,∞). Observe-se que, como f nao e analıticaem i nenhum dos desenvolvimentos sera em serie de Taylor.

Para z ∈ A(i, 0, 1) tem-se

f(z) =z

(z − i)(z + 2i)= z · 1

z − i· 1

z − 2i= (z − i + i)(z − i)−1 1

z − i + i− 2i

= (z − i + i)(z − i)−1 1

(z − i)− i=

(

1 + i(z − i)−1)

i

1

1− (z−i)i

Dado que estamos a efectuar o desenvolvimento na regiao z ∈ A(i, 0, 1) tem-se que |z− i| <1 e como tal

1

1− (z−i)i

representa a soma da serie geometrica de razao (z−i)i , e assim

f(z) =

(

1 + i(z − i)−1)

i

∞∑

n=0

((z − i)

i

)n=

∞∑

n=0

(z − i)n

in−1+

∞∑

n=0

(z − i)n−1

in

81


Para z ∈ A(i, 1,∞) tem-se (usando as mesmas manipulacoes)

f(z) =

(

1 + i(z − i)−1)

i

1

1− (z−i)i

No entanto, para z ∈ z ∈ A(i, 1,∞) tem-se que |z − i| > 1 e ao contrario do caso anterior1

1− (z−i)i

nao representa a soma da serie geometrica de razao (z−i)i . Porem, tem-se que

i

|z − i| < 1, por isso manipularemos a funcao de modo a tirar partido deste facto. Assim

f(z) =

(

1 + i(z − i)−1)

i· −1(z−i)

i

· 1

1− iz−i

e e agora facil de concluir que para z ∈ A(i, 1,∞), a funcao1

1− iz−i

representa a soma da

serie geometrica de razaoi

z − i. Finalmente

f(z) =

(

1 + i(z − i)−1)

i· −1(z−i)

i

·∞∑

n=0

( i

z − i

)n= −

∞∑

n=0

in

(z − i)n+1−

∞∑

n=0

in+1

(z − i)n+2

1.8 Singularidades, Resıduos e Teorema dos Resıduos

1.8.1 Singularidades

Seja f uma funcao complexa, com domınio de analiticidade A ⊂ C. Diz-se que f tem umasingularidade em z0 ∈ C, se z0 6∈ A (f nao e analıtica em z0) e para todo ǫ > 0 verifica-se queD(z0, ǫ) ∩A 6= ∅ (existem pontos numa vizinhanca de z0 onde f e analıtica).

A singularidade z0 diz-se isolada se existe ǫ > 0 para o qual f e analıtica em

A(z0, 0, ǫ) = D(z0, ǫ) \ {z0} = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < ǫ}.Isto significa que f e uma singularidade isolada se e so se f e analıtica em todos os pontos deuma vizinhanca de z0 com excepcao de z0. A partir daqui, trataremos apenas deste tipo desingularidades.

Exemplo:

1. A funcao f(z) = 1z e analıtica em C \ {0}, pelo que 0 e uma singularidade isolada de f .

2. A funcao f(z) = 1ez−1 e analıtica em C \ {2kπi : k ∈ Z}. Assim as singularidades de

f sao todos os complexos da forma 2kπi com k ∈ Z. Atendendo a que para cada k ∈ Z

existe ǫ > 0 tal que f e analtica na regiao 0 < |z − 2kπi| < ǫ (basta tomar para ǫ qualquernumero real positivo menor que 2π) todas as singularidades sao isoladas.

3. A funcao f(z) = log z (valor principal) e analıtica em C \ {x ∈ R : x ≤ 0}. Assimas singularidades de f sao todos os numeros reais nao positivos. E obvio que todas assingularidades de f nao sao isoladas, pois qualquer vizinhnca de qualquer numero real naopositivo contem outros numeros nao positivos.

82

1.8. SINGULARIDADES, RESIDUOS E TEOREMA DOS RESIDUOS

1.8.2 Classificacao das Singularidades Isoladas

Se z0 e uma singularidade isolada de f , o Teorema de Laurent garante que f admite desenvolvi-mento em serie de Laurent centrada em z0

f(z) = · · ·+ a−2

(z − z0)2+

a−1

z − z0+ ao + a1(z − z0) + a2(z − z0)

2 + · · · (1.21)

valido sempre que 0 < |z − z0| < ǫ.

Com base na parte principal desta serie, podemos classificar as singularidades isoladas.

• z0 diz-se removıvel se a serie (1.21) tem parte principal nula, ou seja, se:

a−n = 0 , ∀n ∈ N .

Exemplo;

A funcao f(z) = sen zz tem uma singularidade isolada em z = 0. Desenvolvendo em serie de

Laurent em torno de z0 = 0, obtem-se

sen z

z= 1− z2

3!+z4

5!− z6

7!+ · · · , ∀z 6= 0 (1.22)

E entao obvio que a parte principal da serie e nula e como tal 0 e uma singularidade removıvelde f . Note-se que a serie que representa a funcao sen z

z e uma funcao inteira (porque?).Usando esse facto, podemos entao prolongar por analiticidade sen z/z a zero da seguinteforma

F (z) =

sen zz se z 6= 0

1 se z = 0

em que o valor F (0) = 1− z2

3! +z4

5! − z6

7! + · · ·∣∣∣z=0

= 1.

(1.21), reduz-se a serie de potencias de z − z0:

f(z) = ao + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + · · · para 0 < |z − z0| < ǫ.

A funcao

F (z) = ao + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + · · · =

{f(z) se z 6= z0a0 se z = z0

diz-se a extensao analıtica de f a z0, e entao limz→z0 f(z) existe (e igual a a0). Podemosentao enunciar o seguinte resultado:

Proposicao (Criterio para classificar uma sing. removıvel)

z0 e singularidade removıvel de f sse limz→z0

f(z) existe (em C).

83


Demonstracao:

Pelo que vimos acima, se z0 e uma singularidade removıvel entao o limz→z0 f(z) existe.Reciprocamente, se existe o limz→z0 f(z) entao f(z) e limitada numa vizinhanca de z0, D;ou seja, existe M > 0 tal que |f(z)| ≤M para z ∈ D. Seja δ > 0 suficientemente pequenopara que a regiao anular 0 < |z−z0| ≤ r esteja contida em D e no domınio de analiticidadede f . Tomando n ≥ 1 e 0 < δ ≤ r, e utilizando o teorema de Laurent, os coeficientes daserie (1.21) valida em 0 < |z − z0| < r sao dados por:

a−n =1

2πi

∮

|z−z0|=δ

f(z)

(z − z0)−n+1dz =

1

2πi

∮

|z−z0|=δf(z)(z − z0)

n−1 dz.

Desta forma:

|a−n| ≤ 1

2π

∮

|z−z0|=δ|f(z)||z − z0|n−1 |dz| ≤ Mδn−1

2π

∮

|z−z0|=δ|dz|

=Mδn−12πδ

2π=Mδn → 0 quando δ → 0

Assim a−n = 0 para n ≥ 1, pelo que z0 e uma singularidade removıvel de f(z). �

Exemplo:

A funcao f(z) = zsen z tem singularidades nos pontos kπ, k ∈ Z. Dado que

limz→0

f(z) = limz→0

z

z − z3

3! +z5

5! − · · ·= lim

z→0

1

1− z2

3! +z4

5! − · · ·= 1

a singularidade 0 e removıvel. Por outro lado, para k 6= 0

limz→kπ

z

sen z= ∞ /∈ C

pelo que as singularidades kπ, k ∈ Z \ {0} nao sao removıveis.

• z0 e um polo de ordem p ∈ N, se a serie de Laurent (1.21) e da forma

f(z) =a−p

(z − z0)p+ · · ·+ a−1

z − z0+ ao + a1(z − z0) + a2(z − z0)

2 + · · ·

em que a−p 6= 0. Neste caso, a−n = 0 para todo n > p, pelo que a parte principal daserie de Laurent tem apenas um numero finito de termos nao nulos. Se p = 1 o polo diz-sesimples.

Exemplo:

A funcao f(z) = sen zz4

tem uma singularidade isolada em z = 0. Desenvolvendo em serie delaurent em torno de z0 = 0, obtem-se

sen z

z4=

1

z3− 1

3!z+z

5!− z3

7!+ · · · , ∀z 6= 0 (1.23)

84


E entao obvio que a parte principal da serie tem apenas dois termos nao nulos, pelo que 0e um polo, e dado que a potencia de menor expoente da serie e z−3, a sua ordem e 3.

Podemos entao enunciar o seguinte resultado:

Proposicao (Criterio para classificacao de uma sing. tipo polo)

z0 e polo de ordem p de f sse limz→z0

(z − z0)pf(z) existe (em C) e nao e zero.

Demonstracao:

Pela forma da serie de Laurent, e facil de concluir que se z0 e um polo de ordem p, entao

F (z)def= (z − z0)

pf(z) = a−p + a−p+1(z − z0) + · · ·+ a−p+n(z − z0)n + · · ·

para 0 < |z−z0| < ǫ. Assim sendo, F (z) e uma funcao analıtica em z0 e F (z0) = a−p 6= 0,donde se conclui que limz→z0(z − z0)

pf(z) = F (z0) 6= 0.

Reciprocamente, se o limite anterior existe e e nao nulo entao F (z) = (z − z0)pf(z) tem

uma singularidade removıvel em z0, pelo que o seu desenvolvimento em serie de Laurent emtorno de z0 e da forma:

(z − z0)pf(z) = F (z) = b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0)

2 + · · · .Note que b0 = limz→z0(z − z0)

pf(z) 6= 0. Assim,

f(z) =b0

(z − z0)p+

b1(z − z0)p−1

+ · · · + bp + bp+1(z − z0) + bp+2(z − z0)2 + · · ·

onde b0 6= 0, donde segue que z0 e um polo de ordem p de f(z). �

Exemplo:

A funcao f(z) = z1−cos z tem singularidades nos pontos 2kπ, k ∈ Z. Atendendo a que

o numerador se anula em 0 e nao se anula em 2kπ, para k 6= 0 vamos estudar estassingularidades separadamente. Assim, para classificar a singularidade 0, note-se que

f(z) =z

1−∑∞n=0

(−1)nz2n

(2n)!

=z

z2

2 − z4

4! +z6

6! + · · ·=

z

z2(12 − z2

4! +z4

6! + · · ·) =

1

zG(z),

em que G(z) = 112− z2

4!+ z4

6!+···

e analıtica numa vizinhanca de 0 e G(0) = 2 6= 0. Conclui-

se que 0 e um polo simples. Para 2kπ, k 6= 0, note-se em primeiro lugar que classificar asingularidade 2kπ de f(z) e equivalente a classificar a singularidade 0 de f(z+2kπ). Assim,e mais uma vez utilizando a serie de MacLaurin de cos z,

f(z + 2kπ) =z + 2kπ

1− cos(z + 2kπ)=

z + 2kπ

1− cos z=

1

z2H(z)

em que H(z) = z+2kπ12− z2

4!+ z4

6!+···

e analıtica numa vizinhanca de 0 e H(0) = 4kπ 6= 0. Conclui-

mos que 0 e um polo de ordem 2 de f(z + 2kπ) pelo que 2kπ, k 6= 0 e um polo de ordem2 de f(z).

85


• z0 diz-se uma singularidade essencial de f , se a parte principal do seu desenvolvimentoem serie de Laurent em torno de z0, valido em A(z0, 0, ǫ), tem uma infinidade de termosnao nulos.

Exemplo:

A funcao f(z) = z3e1/z tem uma singularidade isolada em 0. Note-se que limz→0 f(z) naoexiste dado que a exponencial complexa e perioodica e nao e limitada. Assim, suspeita-seque a singularidade e essencial. De facto, fazendo o desenvolvimento em serie de Laurentde f em torno de 0

f(z) = z3 + z2 +z

z+

1

3!+

1

4!z+

1

5!z2+ · · · (1.24)

e facil de verificar que a parte singular da serie (termos a vermelho) tem um numero infinitode termos, pelo que se confirma que 0 e uma singularidade essencial.

1.8.3 Resıduos

Se z0 e uma singularidade isolada de f , define-se Resıduo de f em z0, Res(f, z0), como sendo ocoeficiente a−1 do desenvolvimento em serie de Laurent (com centro em z0) valida em A(z0, 0, r).

Exemplo:

Sendo

1. f(z) =sen z

z, por (1.22), Res(f, 0) = 0.

2. f(z) =sen z

z4, por (1.23), Res(f, 0) = − 1

3! .

3. f(z) = z3e1/z , por (1.24), Res(f, 0) = 14! .

Proposicao: (calculo de resıduos em singularidades nao essenciais)

• se z0 e uma singularidade removıvel, entao e obvio que

Res(f, z0) = 0

• se z0 e um polo de ordem p, entao:

Res(f, z0) =1

(p − 1)!limz→z0

dp−1

dzp−1

[

(z − z0)pf(z)

]

Demonstracao:

Por hipotese

f(z) =a−p

(z − z0)p+ · · ·+ a−2

(z − z0)2+

a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + · · ·

86


sendo a serie de Laurent uniformemente convergente numa regiao 0 < |z − z0| < r. Assim:

(z−z0)pf(z) = a−p+ · · ·+a−2(z−z0)p−2+a−1(z−z0)p−1+a0(z−z0)p+a1(z−z0)p+1+ · · · .

Derivando p− 1 vezes (note que dp−1

dzp−1 (z − z0)k = 0 para k < p− 1) resulta que:

dp−1

dzp−1

[

(z − z0)pf(z)

]

= a−1 (p − 1)! + a0(p(p− 1) · · · 3 · 2

)(z − z0)

+a1((p + 1)p · · · 4 · 3

)(z − z0)

2 + · · · .

Tomando o limite quando z → z0 obtem-se:

limz→z0

dp−1

dzp−1

[

(z − z0)pf(z)

]

= (p− 1)! a−1

�

Exemplo:

Sendo

• f(z) =z

sen z, vimos anteriormente que 0 e uma singularidade removıvel pelo que Res(f, 0) =

0.

• f(z) =z

1− cos zvimos que 0 e um polo simples, pelo que

Res(f, 0) = limz→0

zf(z) = G(0) = 2

e para k 6= 0, 2kπ sao polos de ordem 2, pelo que

Res(f, 2kπ) = limz→2kπ

(

(z − 2kπ)2f(z))′

= 2π

O seguinte resultado e um caso particular do calculo de o resıduo num polo simples,

Proposicao:Se f(z) = φ(z)

ψ(z) , com φ(z) e ψ(z) analıticas em z0, φ(z0) 6= 0, ψ(z0) = 0 e ψ′(z0) 6= 0 entaoz0 e um polo simples de f e

Res(f, z0) =φ(z0)

ψ′(z0)

Demonstracao:

Como φ(z) e ψ(z) sao analıticas em z0, existem as series de Taylor daquelas funcoes validasnuma vizinhanca de z0. Assim sendo, e atendendo a que ψ(z0) = 0

φ(z)

ψ(z)=

φ(z0) + a1(z − z0) + · · ·ψ′(z0)(z − z0) + b2(z − z0)2 + · · · =

1

z − z0

φ(z0) + a1(z − z0) + · · ·ψ′(z0) + b2(z − z0) + · · · ,

pelo que

limz→z0

(z − z0)φ(z)

ψ(z)=

φ(z0)

ψ′(z0)6= 0.

87


�

Se aplicarmos este resultado a funcao do exemplo anterior, f(z) = z1−cos z , o calculo do resıduo

e bastante mais facil.

De forma identica se pode provar a seguinte versao da regra de Cauchy, que pode ser util naclassificacao das singularidades nao essenciais e calculo dos respectivos resıduos.

Teorema:

Se f(z) = φ(z)ψ(z) , com φ(z) e ψ(z) analıticas em z0 e tais que φ(z0) = ψ(z0) = 0 e ψ′(z0) 6= 0

entao:

limz→z0

φ(z)

ψ(z)=φ′(z0)ψ′(z0)

.

1.8.4 Teorema dos Resıduos

Por aplicacao directa do teorema de Cauchy generalizado e do teorema de Larent obtem-se oresultado seguinte, que se revelou muito importante do ponto de vista das aplicacoes.

Teorema dos Resıduos

Seja D ⊂ C aberto e simplesmente conexo, e considere-se

f uma funcao analıtica num aberto D \ {z1, ..., zk};

γ uma curva de Jordan em D percorrida em sentido directo e tal que z1,...,zk ∈ int γ.

Entao∮

γf(z) dz = 2πi

k∑

j=1

Res(f, zj)

Exemplos:

(1.) Pretendemos determinar o valor do integral∮

|z−i|=2

2z + 6

z2 + 4dz

onde a curva e percorrida uma vez em sentido positivo. Sendo

f(z) =2z + 6

z2 + 4=

2z + 6

(z + 2i)(z − 2i)

e obvio que f e analıtica em C \ {−2i, 2i}. Dado que

| − 2i− i| = 3 > 2 , |2i− i| = 1 < 2

temos, por aplicacao do Teorema dos Resıduos que∮

|z−i|=2

2z + 6

z2 + 4dz = 2πiRes (f, 2i) .

88


Assim

limz→2i

(z − 2i)f(z) =4i + 6

4i

concluimos que 2i e polo simples e Res (f, 2i) = i+32i . Conclui-se que

∮

|z−i|=2

2z + 6

z2 + 4dz = π(2i + 3) .


|z|=1e

3z dz

onde a curva e percorrida uma vez em sentido positivo. Sendo f(z) = e3z , e obvio que f e

analıtica em C \ {0}. A singularidade nao e tipo polo nem removıvel pelo que vamos escrever aserie de Laurent em torno de z0 = 0 para verificarmos que e essencial e determinat o respectivoresıduo. Para 0 < |z| <∞

e3z =

∞∑

n=0

3n

n!zn= 1 +

3

z+

9

2z2+

27

6z3+ · · ·

pelo que se confirma que 0 e singularidade essencial e que Res (f, 0) = 3. Entao∮

|z|=1e

3z dz = 6πi .


|z|= 32

z − 1

z sen(πz)dz

onde a curva e percorrida uma vez em sentido inverso. Denominando

f(z) =z − 1

z sen(πz),

e facil de verificar que as singularidades de f sao os inteiros, k ∈ Z. No entanto so as singularidades0, ±1 pertencem a regiao interior a curva, pelo que, aplicando o Teorema dos Resıduos (tendoatencao a orientacao da curva), se tem que

∮

|z|= 32

z − 1

z sen(πz)dz = −2πi

(

Res (f, 0) + Res (f, 1) + Res (f,−1))

Atendendo a que

sen(πz) =

∞∑

n=0

(−1)nπ2n+1

(2n+ 1)!z2n+1 = πz − (πz)3

3!+

(πz)5

5!− · · · = z

(

π − π3z2

3!+π5z4

5!− · · ·

)

e a que para qualquer k ∈ Z se tem

sen(

π(z + k))

= ± sen(πz)

podemos concluir quesen(πz) = (z − k)gk(z)

em que, para cada k, a funcao gk e analıtica no ponto k e gk(k) 6= 0. Isto significa que os numerosinteiros, k, sao todos zeros de primeira ordem da funcao sen(πz). Assim:

89


• k = 0 e um polo de segunda ordem, visto que

limz→0

z2f(z) = limz→0

z(z − 1)

sen(πz)= − 1

πlimz→0

πz

sen(πz)= − 1

π.

Como consequencia

Res (f, 0) = limz→0

(

z2f(z))′

= limz→0

(

z(z − 1)

sen(πz)

)′

= limz→0

(2z − 1) sen(πz)− z(z − 1)π cos(πz)

sen2(πz)

=3

π

(Aconselha-se o uso da serie de Mac-laurin de sen(πz) para o calculo do limite acimaindicado).

• k = 1 e uma singularidade removıvel, visto que

limz→1

f(z) = limz→1

z − 1

z sen(πz)= lim

w→0

w

(w + 1) sen(πw + π)= − 1

πlimw→0

πw

sen(πw)= − 1

π

Como consequencia Res (f, 1) = 0.

• k = −1 e um polo de primeira ordem, visto que

limz→−1

(z + 1)f(z) = limz→−1

(z + 1)(z − 1)

z sen(πz)= 2 lim

z→−1

z + 1

sen(πz)= 2 lim

w→0

w

sen(πw − π)= − 2

π

Como consequencia Res (f, 1) = − 2π .

Finalmente ∮

|z|= 32

z − 1

z sen(πz)dz = −2πi

( 3

π+ 0− 2

π

)

= −2i

(4.) Prtendemos calcular o valor do integral

∮

σ

(1

sen z+ sen

1

z+ sen2

1

z

)

dz

onde σ e a curva descrita por |z + i| + |z − i| = 4, percorrida duas vezes em sentido directo.Denominando a funcao integranda por f(z), vamos comecar por calcular

∮

γf(z) dz

em que γ e a curva descrita por |z + i| + |z − i| = 4, percorrida uma vez em sentido directo.Sendo

f1(z) =1

sen z

90

1.9. APLICACOES DO TEOREMA DOS RESIDUOS AO CALCULO DE INTEGRAIS REAIS

f1 e analıtica em C \ {kπ ; k ∈ Z}, tendo-se que

|kπ + i|+ |kπ − i| < 4 ⇔ k = 0

pelo que 0 e a unica singularidade na regiao interior a curva. Atendendo a que

limz→0

zf1(z) = 1

0 e um polo simples e Res(f1, 0) = 1. Sendo

f2(z) = sen1

z

f2 e analıtica em C \ {0} e atendendo a que para z 6= 0

f2(z) =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!z2n+1

conclui-se que 0 e uma singularidade essencial e Res(f2, 0) = 1. Finalmente, sendo

f3(z) = sen21

z

f3 e analıtica em C \ {0} e atendendo a que para z 6= 0

f3(z) =( ∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!z2n+1

)2=(

z − 1

3!z3+

1

5!z5− ...

)(

z − 1

3!z3+

1

5!z5− ...

)

e analisando o produto, conclui-se que o e uma singularidade essencial e Res(f3, 0) = 0. Entao,aplicando o teorema dos resıduos

∫

γf(z) dz = 2πi(Res(f1, 0) + Res(f2, 0) + Res(f3, 0)) = 4πi .

Finalmente ∮

σf(z) dz = 2

∫

γf(z) dz = 8πi .

1.9 Aplicacoes do Teorema dos Resıduos ao Calculo de IntegraisReais

1.9.1 Integrais Trigonometricos

Pretende-se calcular o integral

I =

∫ 2π

0F (cos θ, sen θ) dθ

onde F (u, v) e uma funcao real dependendo das duas variaveis reais u e v. Como consequenciada formula de Euler

cos θ =eiθ + e−iθ

2e sen θ =

eiθ − e−iθ

2i

91


Temos entao que, fazendo z = eiθ (o que implica que |z| = 1 e dzdθ = iz), o integral pode ser

escrito na forma

I =

∮

|z|=1

F (z+z−1

2 , z−z−1

2i )

izdz =

∮

|z|=1f(z) dz

onde f(z) =1

izF

(z + z−1

2,z − z−1

2i

)

. Por aplicacao do teorema dos resıduos:

I = 2πik∑

j=0

Res (f, zj)

sendo zj , j = 0, ..., k, as singularidades de F interiores ao cırculo unitario.

Exemplo:Vamos calcular o integral

Idef=

∫ 2π

0

dθ

2 + sen2 θ

Considerando a parametrizacao z = eiθ, com θ ∈ [0, 2π] (da circunferencia |z| = 1, percorridauma vez no sentido directo), o integral pretendido pode ser escrito como:

I =

∮

|z|=1

1

2 +(z−z−1

2i

)2

dz

iz= 4i

∮

|z|=1

z

z4 − 10z2 + 1dz

A funcao

f(z) =z

z4 − 10z2 + 1

e analıtica em C \{√

5 + 2√6,−

√

5 + 2√6,√

5− 2√6,−

√

5− 2√6}

, sendo claro que:

∣∣∣∣

√

5 + 2√6

∣∣∣∣> 1 e

∣∣∣∣

√

5− 2√6

∣∣∣∣< 1.

Assim sendo, utilizando o teorema dos resıduos:

I = 4i · 2πi(

Res(

f,

√

5− 2√6)

+Res(

f,−√

5− 2√6))

.

Sendo z0 uma qualquer singularidade de f entao z0 e polo simples, pelo que:

Res (f, z0) =z

ddz (z

4 − 10z2 + 1)

∣∣∣∣∣z=z0

=z

4z3 − 20z

∣∣∣∣z=z0

=1

4z2 − 20

∣∣∣∣z=z0

.

Assim:

Res(

f,

√

5− 2√6)

=1

4z2 − 20

∣∣∣∣z=

√5−2

√6

= − 1

8√6

e

Res(

f,−√

5− 2√6)

=1

4z2 − 20

∣∣∣∣z=−

√5−2

√6

= − 1

8√6.

Resulta entao que:∫ 2π

0

dθ

2 + sen2 θ= −8π

(

− 2

8√6

)

=2π√6= π

√

2

3

92


1.9.2 Integrais Improprios de 1a especie de Funcoes Racionais

Pretende-se calcular o integral improprio

I =

∫ ∞

−∞

P (x)

Q(x)dx = lim

R→∞

∫ R

−R

P (x)

Q(x)dx

em que

(C1) P e Q sao polinomios reais;

(C2) Q(x) 6= 0 para todo x ∈ R;

(C3) Grau(Q)−Grau(P ) ≥ 2.

Observe-se que a condicao (C2) faz com que a funcao P (x)/Q(x) seja limitada em R e a condicao(C3) faz com que o integral improprio seja convergente.

Considera-se a funcao complexa auxiliar F (z) = P (z)/Q(z), e para R suficientemente grandea curva ΓR como sendo a fronteira do semi-cırculo centrado na origem e de raio R definido nosemiplano {z : Im z ≥ 0}. Por aplicacao do Teorema dos resıduos

∮

ΓR

P (z)

Q(z)dz = 2πi

k∑

j=0

Res (P

Q, zj)

def= α

sendo zj , j = 0, ..., k os zeros de Q com parte imaginaria positiva. Por outro lado

ΓR = IR ∪ SR = {z = x : x ∈]−R,R[} ∪ {z = Reiθ : θ ∈ [0, π]}

Entao

α =

∫

IR

P (z)

Q(z)dz +

∫

SR

P (z)

Q(z)dz =

∫ R

−R

P (x)

Q(x)dx+

∫

SR

P (z)

Q(z)dz

Fazendo R→ ∞,

α = I + limR→∞

∫

SR

P (z)

Q(z)dz

Dado que existe M ∈ R+ tal que para |z| = R suficientemente grande

∣∣∣P (z)

Q(z)

∣∣∣ ≤ M

|z|k−l ,

onde k e l sao os graus de Q(z) e P (z), respectivamente. Assim sendo, para R suficientementegrande

∣∣∣

∫

SR

P (z)

Q(z)dz∣∣∣ ≤

∫

SR

M

|z|k−l |dz| =MπR

Rk−l=

Mπ

Rk−l−1,

Por aplicacao da condicao (C3) podemos concluir que k − l − 1 ≥ 2− 1 = 1, pelo que

limR→∞

∫

SR

P (z)

Q(z)dz = 0

Conclui-se que∫ ∞

−∞

P (x)

Q(x)dx = α = 2πi

k∑

j=0

Res (P

Q, zj)

93


sendo zj , j = 0, ..., k os zeros de Q(z) com parte imaginaria positiva.Exemplo:Determinar o valor de

I =

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 4)(x2 + 9)

Considere-se a funcao complexa de variavel complexa

F (z) =1

(z2 + 4)(z2 + 9)

e para R suficientemente grande a curva γR como sendo a fronteira da regiao

DR = {z = reiθ ∈ C : 0 < r < R, 0 < θ < π}

a qual se atribui a orientacao positiva (ou sentido directo).As singularidades de F (z) sao ±2i e ±3i. Dado que 2i, 3i ∈ DR e −2i, −3i 6∈ DR, por

aplicacao do teorema dos resıduos∮

γR

F (z) dz = 2πi(

Res (F, 2i) + Res (F, 3i))

Visto que

F (z) =1

(z + 2i)(z − 2i)(z − 3i)(z + 3i)(1.25)

ve-se que todas as singularidades de (1.25) sao zeros de ordem 1 do denominador e nao anulamo numerador, pelo que sao polos simples de F (z). Como tal:

Res (F, 2i) = limz→2i

(z − 2i)F (z) = limz→2i

1

(z + 2i)(z2 + 9)=

1

20i

e

Res (F, 3i) = limz→3i

(z − 3i)F (z) = limz→3i

1

(z + 3i)(z2 + 4)= − 1

30i

Entao ∮

γF (z) dz =

π

30.

Por outro lado, atendendo ao facto de que a curva γR e composta pelo segmento

IR = {z ∈ C : z = x , x ∈ [−R,R[}

e pela semicircunferencia

SR = {z ∈ C : z = Reiθ , θ ∈ [0, π[}

podemos escreverπ

30=

∫

IR

F (z) dz +

∫

SR

F (z) dz

Em IR, z = x com x ∈ [−R,R], pelo que

π

30=

∫ R

−RF (x) dx+

∫

SR

F (z) dz

94


e, fazendo R tender para +∞π

30=

∫ ∞

−∞F (x) dx+ lim

R→∞

∫

SR

F (z) dz

Por outro lado∣∣∣

∫

SR

F (z) dz∣∣∣ ≤

∫

SR

|F (z)| |dz| ≤∫

SR

|dz|(|z|2 − 4)2 (|z|2 − 9)2

=πR

(R2 − 4)2(R2 − 9)2

Temos entao que

limR→∞

∣∣∣

∫

SR

F (z) dz∣∣∣ ≤ lim

R→∞πR

(R2 − 4)2(R2 − 9)2= 0

o que implica

limR→∞

∫

SR

F (z) dz = 0

e como tal ∫ ∞

−∞F (x) dx =

π

30

1.9.3 Integrais Improprios de 1a especie envolvendo funcoes Trigonometricas

Pretende-se calcular integrais improprios do tipo∫ ∞

−∞f(x) cos(ax) dx ,

∫ ∞

−∞f(x) sen(ax) dx

em que a ∈ R+ e

(C1) f e analıtica em C excepto num conjunto finito de singularidades.

(C2) f nao tem singularidades no eixo real;

Para ambos os casos, considera-se a funcao complexa auxiliar

F (z) = f(z) eiaz

e para R suficientemente grande a curva ΓR como sendo a fronteira do semi-cırculo centrado naorigem e de raio R definido no semiplano {z : Im z ≥ 0}. Por aplicacao do Teorema dos resıduos

∮

ΓR

f(z)eiaz dz = 2πik∑

j=0

Res (F, zj) ≡ α

sendo zj , j = 0, ..., k os zeros de Q com parte imaginaria positiva. Por outro lado

ΓR = IR ∪ SR = {z = x : x ∈]−R,R[} ∪ {z = Reiθ : θ ∈ [0, π]}Entao

α =

∫

IR

f(z)eiaz dz +

∫

SR

f(z) dz =

∫ R

−Rf(z)eiaz dx+

∫

SR

f(z)eiaz dz

Fazendo R→ +∞,

α =

∫ ∞

−∞f(z)eiax dx+ lim

R→∞

∫

SR

f(z)eiaz dz

Lema de Jordan Seja a > 0 e f uma funcao analıtica em C excepto num conjunto finito desingularidades. Seja SR a semicircunferencia |z| = R, com Im z > 0.

95


a) Para qualquer R > 0:∫

SR

|eiaz||dz| < π

a

b) Seja f(z) analıtica em |z| > r, para algum r > 0 e tal que:

max|z|=R

|f(z)| → 0, quando R→ +∞

entao:

limR→∞

∫

SR

f(z)eiaz dz = 0

Dem.:

a) Parametrizando a semicircunferencia por z(θ) = Reiθ = R cos θ+iR sen θ, com 0 ≤ θ ≤ π,entao

√R2 cos2 θ +R2 sen2 θ = R, pelo que:

∫

SR

∣∣eiaz

∣∣|dz| =

∫ π

0

∣∣eiaR cos θ

∣∣∣∣e−aR sen θ

∣∣Rdθ =

∫ π

0e−aR sen θ Rdθ (1.26)

Como sen(π − θ) = sen(θ), para θ ∈ [0, π], entao θ = π2 e um eixo de simetria do grafico

da funcao g(θ) = e−aR sen θ. Desta forma, e atendendo tambem a que sen θ ≥ 2πθ para

qualquer θ ∈ [0, π/2]:

∫

SR

∣∣eiaz

∣∣|dz| ≤ 2

∫ π/2

0e−aR sen θ dθ ≤ 2

∫ π/2

0e−

2aRπθ dθ =

π

a

(1− e−aR

)<π

a(1.27)

b) Como M(R)def= max

|z|=R|f(z)| → 0 quando R→ +∞,

∣∣∣∣

∫

SR

f(z)eiaz dz

∣∣∣∣≤M(R)

∫

SR

|eiaz ||dz| ≤ M(R)π

a→ 0 quando R→ +∞

�

Exemplo importante: Se f(x) = P (x)Q(x) , onde P (x) e Q(x) sao polinomios reais (isto e, os

seus coeficientes sao reais), tem-se que se

Grau Q(z) > Grau P (z) ⇔ Grau Q(z)−Grau P (z) ≥ 1

entao∣∣∣P (z)Q(z)

∣∣∣ ≤ C

R para |z| = R, pelo que:

∣∣∣∣

P (z)

Q(z)

∣∣∣∣→ 0, em |z| = R quando R→ +∞

Pelo lema de Jordan:

limR→∞

∫

SR

P (z)

Q(z)eiaz dz = 0

�

96


Com f satisfazendo (C1) e a > 0, o lema de Jordan determina que:

limR→∞

∫

SR

f(z)eiaz dz = 0

Conclui-se que∫ ∞

−∞f(x)eiax dx = α

Dado que ax ∈ R, resulta da formula de Euler que

∫ ∞

−∞f(x)eiax dx =

∫ ∞

−∞f(x) cos(ax) dx+ i

∫ ∞

−∞f(x) sen(ax) dx

pelo que

∫ ∞

−∞f(x) cos(ax) dx = Reα e

∫ ∞

−∞f(x) sen(ax) dx = Imα

Exemplo:

Vamos determinar o integral∫ ∞

−∞

cosx

4x2 + 1dx

utilizando o Teorema dos Resıduos. Para tal considere-se a funcao complexa

F (z) =eiz

4z2 + 1

e, para R ∈ R+ suficientemente grande, a curva γR como sendo a fronteira do semi-cırculo

{z : |z| ≤ R e Im z ≥ 0}

com orientacao positiva (percorrida em sentido directo). Visto F ser analıtica em C \ { i2 ,− i2},

aplicando o Teorema dos Resıduos obtem-se

∮

CR

F (z) dz = 2πi Res (F (z), i2)

Dado que

F (z) =eiz

4(z − i

2

) (z + i

2

) , (1.28)

como i/2 e zero de ordem 1 do denominador de (1.28) e nao anula o numerador de (1.28),conclui-se que i/2 e polo simples de F . Consequentemente:

Res (F, i2) = lim

z→i/2

(

z − i

2

)

F (z) =e−1/2

4i

Sendo assim∮

CR

F (z) dz = πe−1/2

2

97


Por outro lado

γR = IR ∪ SR = {z = x ∈ [−R,R]} ∪ {z : |z| = R , Im z > 0}

pelo que

πe−1/2

2=

∮

γR

F (z) dz =

∫

IR

F (z) dz +

∫

SR

F (z) dz

e atendendo a definicao de IR

πe−1/2

2=

∫ R

−RF (x) dx+

∫

SR

F (z) dz

Fazendo R→ ∞πe−1/2

2=

∫ ∞

−∞F (x) dx + lim

R→∞

∫

SR

F (z) dz

Atendendo a que Grau(4z2 + 1)-Grau(1)=2, tem-se que para |z| = R

lim|z|=R→∞

∣∣∣

1

4z2 + 1

∣∣∣ = 0

Por aplicacao do lema de Jordan, podemos concluir que

limR→∞

∫

SR

F (z) dz = 0

e como tal ∫ ∞

−∞F (x) dx = π

e−1/2

2=

π

2√e

Finalmente, visto x ∈ R

∫ ∞

−∞

eix

4x2 + 1dx =

∫ ∞

−∞

cos x

4x2 + 1dx+ i

∫ ∞

−∞

senx

4x2 + 1dx =

π

2√e

concluindo-se que ∫ ∞

−∞

cos x

4x2 + 1dx =

π

2√e

98

1.10. APENDICE A - SERIES NUMERICAS (REAIS OU COMPLEXAS)

1.10 Apendice A - Series Numericas (Reais ou Complexas)

Dada uma sucessao de numeros complexos, zn, define-se formalmente serie de numeros complexosou serie numerica como a “soma”:

∞∑

n=1

zn = z1 + z2 + . . . + zn + . . . (1.29)

Os numeros z1, z2 , ..., denominam-se termos da serie (1.29); a sucessao zn ∈ C diz-se otermo geral (ou termo de ordem n) da serie (1.29). Note-se que (1.29) designa uma “soma deuma infinidade de termos”. Atraves da definicao de limite de sucessoes, introduzida na seccaoanterior, e possıvel dar um significado concreto a este tipo de “somas”.

Define-se, associada a serie

∞∑

n=1

zn, a sucessao das somas parciais (SN )N∈N, por

S1 = z1

S2 = z1 + z2

S3 = z1 + z2 + z3...

SN = z1 + z2 + ...+ zN =

N∑

n=1

zn

...

Note-se que, no termo geral escrito na forma SN =

N∑

n=1

zn, n e variavel muda.

Definicao: (Natureza da serie)

• Se a sucessao das somas parciais SN e convergente em C, isto e, se existe S ∈ C tal que

limN→∞

SN = S

a serie∞∑

n=1

zn diz-se convergente e

S =

∞∑

n=1

zn

S e denominado por a soma da serie.

• Se a sucessao das somas parciais SN nao converge em C (SN nao tem limite ou tem limite

infinito) a serie

∞∑

n=1

zn diz-se divergente.

ProposicaoA natureza de uma serie nao depende de um segmento inicial de termos, no sentido de que:

∀p, q ∈ N0, as series

∞∑

n=p

zn e

∞∑

n=q

zn tem a mesma natureza.

99


1.10.1 Serie Geometrica

Para cada z ∈ C, a serie

∞∑

n=0

zn denomina-se serie geometrica de razao z. Para z = 1, a serie

diverge. Para z 6= 1, a correspondente sucessao das somas parciais e dada por:

SN =N∑

n=0

zn =1− zN+1

1− z.

Como zN+1 → 0 para |z| < 1 e zN+1 nao converge em C quando |z| ≥ 1 (com z 6= 1), conclui-seque:

• Se |z| < 1 a serie geometrica de razao z e convergente e

∞∑

n=0

zn =1

1− z

( ∞∑

n=p

zn =zp

1− z

)

• Se |z| ≥ 1 a serie geometrica de razao z e divergente.

1.10.2 Resultados Gerais de Convergencia de Series Complexas

• Condicao necessaria a convergencia de uma serie

Se a serie∞∑

n=0

zn e convergente entao limn→∞

zn = 0.

• Como consequencia directa desta propriedade (tomando o contra-recıproco), tem-se:

Se limn→∞

zn 6= 0 entao a serie

∞∑

n=0

zn e divergente.

Chama-se a atencao para o facto de que zn → 0 nao implica que a serie de termo geral znseja convergente.

• A serie complexa

∞∑

n

zn e convergente sse as series reais

∞∑

n

Re zn e

∞∑

n

Im zn sao ambas

convergentes e∞∑

n

zn =

∞∑

n

Re zn + i

∞∑

n

Im zn.

• Linearidade. Se as series

∞∑

n

zn e

∞∑

n

wn sao convergentes para as somas S e T , respecti-

vamente, entao

– a serie

∞∑

n

(zn + wn) e convergente e a sua soma e S + T .

100


– para qualquer λ ∈ C, a serie

∞∑

n

(λzn) e convergente e a sua soma e λS.

• Criterio de Cauchy.

A serie

∞∑

n

zn e convergente

ssea sucessao das somas parciais associada e uma sucessao de Cauchy

ssepara qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que:

para todos os n,m > N , |zn+1 + zn+2 + · · · + zm| < ǫ.

1.10.3 Serie Harmonica

A serie harmonica e dada por:∞∑

n=1

1

n

Note-se que a sucessao das somas parciais desta serie verifica:

S2N − SN =1

N + 1+ · · ·+ 1

2N>

1

2N+ · · ·+ 1

2N= N

1

2N=

1

2,

para qualquer N ∈ N. Em consequencia, (SN ) nao satisfaz o criterio de Cauchy (basta tomarǫ < 1

2). Por isso, a serie harmonica e divergente.

1.10.4 Series de Mengoli

Uma serie de Mengoli (ou serie telescopica) e uma serie da forma

∞∑

n=1

(zn − zn+1

)

em que zn ∈ C, para todo o n ∈ N. A sua sucessao das somas parcias reduz-se a

SN = z1 − zN+1,

pelo que a serie converge sse existe limn→∞

zn. Nesse caso:

∞∑

n=1

(zn − zn+1

)= z1 − lim

n→∞zn

1.10.5 Convergencia Absoluta

A serie∑

zn diz-se absolutamente convergente se a serie real∑

|zn| convergir. Costuma-se

designar∑

|zn| como a serie dos modulos (de∑

zn).

101


A serie∑

zn diz-se simplesmente convergente se for convergente e a serie dos seus modulos

for divergente i.e., se a serie∑

zn convergir e a serie∑

|zn| divergir. A partir do criterio de

Cauchy, deduz-se a:

Proposicao: (criterio da convergencia absoluta)

Toda a serie absolutamente convergente e convergente.

1.10.6 Series Reais de Termos Nao Negativos

Considere-se un uma sucessao de termos reais nao negativos. Sendo assim, a sucessao das somasparciais associada a serie de termos geral un, (SN ) e monotona (crescente) e minorada (S1 ≤ SNpara qualquer N ∈ N). Conclui-se entao que neste caso

∑

un e convergente sse (SN ) e majorada.

Criterios de Convergencia

• Criterio geral de comparacao

Se un e vn sao sucessoes reais tais que para todo n ∈ N se verifica 0 ≤ un ≤ vn, entao:

a) Se∑

vn e convergente tambem∑

un e convergente.

b) Se∑

un e divergente tambem∑

n

vn e divergente.

Demonstracao:

a) Se SN = u1+u2+· · ·+uN e TN = v1+v2+· · ·+vN entao como∑vn e convergente,

TN e convergente, logo limitada. Como, para todo o N ∈ N, 0 ≤ SN ≤ TN , SNtambem e limitada; como tambem e monotona, logo e convergente.

b) Caso contrario (isto e, se∑vn fosse convergente), entao pela alınea a)

∑un seria

convergente, o que contradiz a hipotese. Logo,∑vn tem que ser divergente. �

Nota: a conclusao do criterio geral de comparacao permanece valida se 0 ≤ un ≤ vn severifica apenas a partir de certa ordem pois, como vimos, a natureza das series nao dependede um segmento inicial de termos.

Exemplo:

Considere-se a serie

∞∑

n=2

1

log n. Dado que para todo n ∈ N se tem log n < n, teremos que,

para n > 1

1

log n>

1

ne

∞∑

n=2

1

ndiverge

pelo primeiro criterio geral de comparacao a serie

∞∑

n=2

1

log nsera tambem divergente.

102


• Corolario do Criterio Geral de Comparacao

Se un e vn sao sucessoes reais e a < b sao numeros reais positivos tais que

0 ≤ avn ≤ un ≤ bvn para todo o n ∈ N,

entao∑un e

∑vn tem a mesma natureza.

Nota: este resultado e consequencia simples do criterio geral de comparacao (porque?).

• 2o¯ Criterio de Comparacao

Sejam un e vn sucessoes reais de termos nao negativos tais que limunvn

= l. Entao, se

l ∈]0,+∞[ conclui-se que as series∑

un e∑

vn tem a mesma natureza.

Demonstracao: Considere-se ǫ < l, ou seja, tal que l − ǫ > 0. Pela definicao de limite,existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessao un/vn verificam

l − ǫ <unvn

< l + ǫ,

pelo que (como vn ≥ 0):

0 ≤ (l − ǫ)vn < un < (l + ǫ)vn.

Usando agora o corolario do criterio geral de comparacao, obtem-se o resultado. �

Exemplo:


∞∑

n=1

2n+ 1

n√n

. Dado que

limn

2n+1n√n

1√n

= 2 <∞ e

∞∑

n=1

1√n

diverge

pelo segundo criterio geral de comparacao a serie∞∑

n=1

2n+ 1

n√n

e divergente.

• Criterio de D’Alembert

Seja un uma sucessao real de termos positivos tal que existe

l = limn→∞

un+1

un

Entao:

a) Se l < 1 a serie∑

n

un e convergente.

b) Se l > 1 a serie∑

n

un e divergente.

Nota: No caso l = 1, o criterio de D’Alembert e inconclusivo.

103


Demonstracao: A ideia generica desta prova e estabelecer uma comparacao da serie∑un

com uma serie geometrica de razao, r, apropriada. Para tal:

a) Dado ǫ > 0 tao pequeno que l+ǫ < 1 (como l < 1, basta tomar ǫ < 1− l), a definicaode limite da sucessao un+1/un garante-nos que a partir de certa ordem:

un+1

un< l + ǫ < 1.

Seja r = l + ǫ. Entao:un+1

un< l + ǫ = r =

rn+1

rn

Multiplicando ambos os membros da desigualdade anterior por unrn+1 obtem-se:

un+1

rn+1<unrn.

Assim, un/rn e decrescente, logo majorada por um certo M > 0:

unrn

≤M ⇒ un ≤Mrn

Alem disso, un > 0 para qualquer n ∈ N. Do criterio geral de comparacao, como∑Mrn e convergente (r < 1), entao

∑un tambem e uma serie convergente.

b) Dado ǫ > 0 tao pequeno que l−ǫ > 1 (como l > 1, basta tomar ǫ < l−1), a definicaode limite da sucessao un+1/un garante-nos que a partir de certa ordem:

un+1

un> l − ǫ > 1

Seja r = l + ǫ. Procedendo com em a) (exercıcio), resulta que, para algum M > 0:

0 < Mrn < un

Do criterio geral de comparacao, como∑Mrn e divergente (r > 1), entao

∑un e

tambem divergente. �

Exemplo:


∞∑

n=1

n2

en3 . Sendo un = n2

en3 tem-se que

limn

un+1

un= lim

n

(n+1)2

e(n+1)3

n2

en3

= limn

(n+ 1

n

)2en

3−(n+1)3 = 0 < 1

pelo que, por aplicacao do Criterio de D’Alembert, a serie∞∑

n=1

n2

en3 e convergente.

• Criterio da Raiz

Seja un sucessao real de termos nao negativos, tal que existe

l = limn→∞

n√un

Entao

104


– se l < 1 a serie∑

n

un e convergente.

– se l > 1 a serie∑

n

un e divergente.

Notas:

– No caso l = 1, o criterio da raiz e inconclusivo.

– Se quiser justificar este resultado, use a ideia da prova do criterio de D’Alembert. Osdetalhes sao um pouco mais simples, neste caso.

Exemplo:

Considere-se a serie∞∑

n=0

2n+(−1)n . Comecamos por observar que o Criterio de D’Alembert

nao e aplicavel visto que sendo un = 2n+(−1)n se tem

limn

un+1

un=

2n

2n+1 para n par

2n+2

2n−1 para n impar

podendo-se facilmente concluir que o limite nao existe. No entanto

limn

n√un = lim

n21+

(−1)n

n = 2 > 1

pelo que, por aplicacao do Criterio da raz, a serie

∞∑

n=0

2n+(−1)n e divergente.

• Criterio da Raiz de Cauchy

Seja un uma sucessao real de termos nao negativos e defina-se

lim sup n√un = l (finito ou infinito).

Entao

a) se l < 1 a serie∑

n

un e convergente;

b) se l > 1 a serie∑

n

un e divergente;

Notas:

– Define-se lim sup n√un como o maior dos sublimites de un. Um sublimite de un e um

limite de uma subsucessao de un.

– Este resultado generaliza o criterio da raiz as situacoes onde o lim n√un nao existe.

– No caso l = 1, o criterio da raiz e inconclusivo.

105


Exemplo:


∞∑

n=0

5

(3 + (−1)n)n. Comecamos por observar que o Criterio da raz

nao e aplicavel (e consequentemente o de D’Alembert tambem nao) visto que sendo un =5

(3+(−1)n)n se tem

limn

n√un =

n√54 para n par

n√52 para n impar

podendo-se facilmente concluir que o limite nao existe. No entanto a sucessao n√un tem

duas subsucessoes convergentes, pelo que o conjunto dos sublimites e

{limn

n√5

4, lim

n

n√5

2} = {1

4,1

2}

e assim

lim sup n√un =

1

2< 1

pelo que, por aplicacao do Criterio da raz de Cauchy, a serie∞∑

n=0

5

(3 + (−1)n)ne convergente.

• Criterio do Integral

Seja f : [1,∞[→ R uma funcao contınua, positiva e decrescente. Se, para qualquer n ∈ N,se tem f(n) = un, entao

∞∑

n=1

un e convergente sse existe (em R) o limN→∞

∫ N

1f(x) dx.

Demonstracao: Seja SN a sucessao das somas parciais de

∞∑

n=1

un. Atendendo a que f e

decrescente, para qualquer n ∈ N se n ≤ x ≤ n + 1 entao un+1 = f(n + 1) ≤ f(x) ≤f(n) = un, o que implica que

un+1 ≤∫ n+1

nf(x) dx ≤ un. (Porque?)

Somando as desigualdades anteriores para n = 1, 2, . . . N − 1, obtem-se:

SN − u1 =

N∑

n=2

un ≤∫ N

1f(x) dx ≤

N−1∑

n=1

un = SN−1, (1.30)

Note que, como f e uma funcao positiva, a sucessao TN =∫ N1 f(x) dx e crescente. Das

desigualdades (1.30) conclui-se que TN e convergente sse SN e convergente, o que e equi-valente a conclusao que querıamos obter. �

106


1.10.7 Series de Dirichlet

Uma serie de Dirichlet e uma serie da forma

∞∑

n=1

1

nα, α ∈ R

Se α ≤ 1, entao 0 < nα ≤ n, pelo que

0 <1

n<

1

nα,

para todo o n ∈ N. Pelo criterio geral de comparacao, como a serie harmonica,∑ 1

n , diverge, aserie

∑ 1nα tambem diverge.

No caso α > 1, seja f(x) = 1xα = x−α. Como

limN→∞

∫ N

1x−α dx = lim

N→∞x1−α

1− α

∣∣∣∣

N

1

=1

1− αlimN→∞

(1

Nα−1− 1

)

=1

α− 1,

pelo criterio do integral, a serie converge.Podemos entao concluir que:

• A serie de Dirichlet converge sse α > 1.

• A serie de Dirichet diverge sse α ≤ 1.

1.10.8 Series Alternadas

Uma serie de termos reais diz-se alternada se os seus termos forem alternadamente positivos enegativos. Se assumirmos que o primeiro termo de uma serie alternada e negativo (respectivamentepositivo), entao a serie pode ser escrita na forma

∞∑

n=1

(−1)nan (1.31)

(

resp.∑∞

n=1(−1)n+1an = −∑∞n=1(−1)nan

)

, em que an > 0. Basta entao estudar (1.31).

Criterio de Leibnitz: Se (un) e uma sucessao de termos reais positivos, decrescente e tal

que limn→∞

un = 0, entao a serie alternada

∞∑

n=1

(−1)nun e convergente.

O erro que se comete ao aproximar a serie (1.31) pela sua sucessao das somas parcias −a1 +a2 + · · ·+ (−1)NaN e menor que aN+1.

A serie harmonica alternada,∞∑

n=1

(−1)n

n,

e um exemplo de uma serie que converge mais nao converge absolutamente. Trata-se do exemplomais simples de uma serie simplesmente convergente.

107


108

Capıtulo 2

Equacoes Diferenciais Ordinarias

2.1 Introducao

2.1.1 Notacao e Definicoes

Designa-se por equacao diferencial uma relacao de igualdade entre termos envolvendo uma funcaoy(x), as suas derivadas e a variavel independente x. A equacao podera tambem depender deparametros nao directamente relacionados com a variavel independente x. E talvez mais simplespensar numa equacao diferencial como uma equacao cuja incognita pertence a um espaco defuncoes

Rn ⊃ D ∋ x = (x1, x2, . . . xn) 7−→ y(x) =

(

y1(x), . . . , ym(x))

∈ Rm

(pode-se ter C em vez de R). Desta forma, x1, . . . xn sao as variaveis independentes (e a dimensaodo domınio de y, n ∈ N, o seu numero) e y1, . . . , ym as variaveis dependentes (e a dimensao docontradomınio de y, m ∈ N, o seu numero). Note que os (eventuais) parametros nao sao contadoscomo variaveis independentes ou dependentes da equacao.

As equacoes diferenciais dizem-se ordinarias se o domınio da funcao y(x) esta contido em R,caso em que as derivadas que nela surgem sao totais (em ordem a x ∈ R). Dizem-se parciais setem mais do que uma variavel independente (o domınio de y(x) esta contido em R

n) e envolvemderivadas parciais de y (em ordem a x1, x2, . . .).

As equacoes diferenciais classificam-se como escalares ou vectoriais consoante tenham umaou mais do que uma variavel dependente (ou seja, o contradomınio de y(x) esta contido em R

no caso escalar e Rm no caso vectorial). Neste ultimo caso e costume considerar que a variavel

dependente e o vector y(x) =(y1(x), . . . ym(x)

)∈ R

m.

Por exemplo, a equacaody

dx+ 2ayx = 0

e ordinaria, x e a variavel independente e y = y(x) a variavel dependente, enquanto a e umparametro. Ja a 2a Lei de Newton para o movimento de uma partıcula em R

3

F (t, r) = mr, (2.1)

e uma equacao ordinaria vectorial, pois r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Aqui utilizou-se a notacaode Newton

r =dr

dtr =

d2r

dt2

109

CAPITULO 2. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

para representar as 1a e 2a derivadas em ordem a t. A massa da partıcula, m, e apenas umparametro.

Como exemplos de equacoes diferencias parciais escalares, podemos indicar a equacao deLaplace num domınio bidimensional,

∂2u

∂x2+∂2u

∂x2= 0,

(ja introduzida na Analise Complexa), onde u : D ⊂ R2 → R; a equacao do calor unidimensional,

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2

onde u : R× [0, L] → R; a equacao das ondas unidimensional

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

onde u : R× [0, L] → R. Tambem poderemos ter versoes tridimensionais destas equacoes como,por exemplo, a equacao do calor no espaco:

∂u

∂t= k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)

def= k∇2u

onde u = u(t, x, y, z), com t ∈ R e (x, y, z) ∈ D ⊂ R3 e ∇2 e o operador laplaciano.

Alguns problemas de equacoes diferencias parciais sao de estudo muito difıcil. Um dos maisconhecidos exemplos consiste nas equacoes de Navier-Stokes

∂u

∂t− (u · ∇)u = ν∇2u+ f(t, x)

div u = 0

onde u = u(t, x, y, z) ∈ D ⊂ R3, com t ∈ R, (x, y, z) ∈ D ⊂ R

3. As suas solucoes descrevem ocampo de velocidade, u, de um fluıdo incompressıvel de viscosidade ν que ocupa o domınio D eesta sujeito a uma forca exterior f . Trata-se, pois, de uma equacao diferencial parcial vectorial,que e bem conhecida pelas suas aplicacoes a hidrodinamica e aerodinamica. Para uma descricaode um problema em aberto relacionado com estas equacoes ver

http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations

Dedicaremos o que resta deste capıtulo ao estudo das equacoes diferenciais ordinarias.

2.1.2 Ordem e Solucoes de uma Equacao Diferencial Ordinaria

Uma equacao diferencial (ordinaria ou parcial) diz-se de ordem n se a maior ordem das derivadasdas suas variaveis dependentes y1, · · · ym e n. Representamos o espaco vectorial das funcoescontınuas y : I → R

m (com I um intervalo aberto) por C(I,Rm), que abreviaremos para C(I). Oespaco vectorial das funcoes contınuas e com derivadas contınuas ate a ordem n sera representadopor Cn(I,Rm) ou, abreviadamente, Cn(I). Assim:

Cn(I) ={

y ∈ C(I) : y′, y′′, · · · y(n) ∈ C(I)}

110

2.1. INTRODUCAO

Uma funcao f e de classe Cn em I se e so se f ∈ Cn(I).Diz-se que uma funcao y ∈ Cn(I), onde I e um intervalo aberto, e uma solucao da equacao

diferencial (em I) se satisfaz a equacao para qualquer t ∈ I, ou seja, se substituindo y1(t) · · · yn(t)na equacao diferencial se obtem uma identidade, qualquer que seja t ∈ I.

Consideraremos equacoes diferenciais ordinarias de 1a ordem (escalares ou vectoriais) quepodem ser explicitadas na forma:

dy

dt= f(t, y),

onde f : I ×D, e onde D e um subconjunto aberto de Rm. Uma solucao da equacao (1) e uma

funcao y ∈ C1(I,Rm) tal que y(t) ∈ D e y′(t) = f(t, y(t)) para qualquer t ∈ I.

Como veremos posteriormente, o estudo de alguns tipos de equacoes ordinarias de ordem n(escalares ou vectoriais) pode ser reduzido ao das equacoes vectoriais de 1a ordem. Por exemplo,na 2a Lei de Newton (2.1), introduzindo como variavel dependente a quantidade de movimento,p = mr, obtem-se a equacao vectorial de 1a ordem:

r =1

mp

p = F (t, r)

2.1.3 Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem

Como exemplo, escrevemos a mais simples equacao diferencial de 1a ordem, no caso escalar:

y′ = g(t).

A solucao geral desta equacao, que se obtem por primitivacao, e

y(t) =

∫

g(t)dt + C,

estando bem definida em qualquer intervalo onde g e contınua. Note-se que existe uma infinidadede solucoes para a equacao diferencial; o mesmo se passa com qualquer equacao diferencialordinaria de 1a ordem, y′ = f(t, y), desde que f seja uma funcao contınua num conjunto aberto.

Acrescentando a equacao de 1a ordem uma condicao inicial, obtem-se um problema de valorinicial (ou problema de Cauchy):

y′ = f(t, y)

y(t0) = y0

(2.2)

Em certas condicoes (veremos isso mais tarde) um problema de valor inicial tem solucao unica.

O intervalo maximo de solucao, Imax, do problema de valor inicial e o “maior intervalo” ondeo problema (2.45) tem solucao. Mais exactamente, Imax e o intervalo maximal de existencia desolucao 1.

1O intervalo Imax diz-se maximal no sentido em que existe uma solucao de (2.45) em Imax e qualquer outrointervalo onde uma solucao de (2.45) esta definida esta contido em Imax

111


2.2 Equacoes Escalares de Primeira Ordem

2.2.1 Determinacao da Solucao Geral

Muitos metodos de determinacao da solucao geral de equacoes diferenciais escalares de 1a ordembaseiam-se na reducao da equacao a uma igualdade do tipo

d

dt

(

G(t, y(t)

))

= g(t), (2.3)

onde G = G(t, y), g = g(t) e a derivada no 1o membro da equacao e uma derivada total emordem a t. Por primitivacao, a solucao geral de (2.3), escrita na forma implıcita, e:

G(t, y(t)) =

∫

g(t)dt +C

2.2.2 Equacoes Lineares

Uma equacao escalar de primeira ordem diz-se linear, se pode ser escrita na forma

y + a(t)y = b(t) (2.4)

A equacao diz-se homogenea se b(t) ≡ 0. Nesse caso, ela e equivalente a

y′

y= −a(t) ⇔ d

dt

(

log |y|)

= −a(t)

Primitivando, obtem-se:

log |y| = −∫

a(t)dt+ C ⇔ |y| = eC exp

(

−∫

a(t)dt

)

⇔ y(t) = ±D exp

(

−∫

a(t)dt

)

onde D = eC > 0. Fazendo K = ±D e notando que y(t) ≡ 0 tambem e solucao, obtemos asolucao geral da equacao linear homogenea

y(t) = K exp

(

−∫

a(t)dt

)

, t ∈ I

onde I e qualquer intervalo aberto onde a(t) e contınua e K ∈ R.

Resolvamos agora a equacao nao homogenea. Multiplicando a equacao (2.4) por uma funcaoµ(t) tal que µ = a(t)µ, por exemplo, tomando

µ(t) = exp

(∫

a(t)dt

)

obtem-se a equacao equivalente 2:

µ(t)y + µ(t)a(t)y = µ(t)b(t) ⇔ µy + µy = µ(t)b(t) ⇔ d

dt

(

µy)

= µ(t)b(t)

2As equacoes sao equivalentes pois µ(t) = e∫a(t)dt 6= 0, para qualquer t

112

2.2. EQUACOES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM

Assim, a solucao geral de (2.4) e dada pela expressao:

y(t) =1

µ(t)

[ ∫

µ(t)b(t)dt+ C]

Teorema: (Existencia de solucao de um PVI com equacao linear)Seja I ⊂ R, a e b funcoes contınuas em I e t0 ∈ I. Entao, para qualquer y0 ∈ R, o PVI

y + a(t)y = b(t)

y(t0) = y0

admite solucao unica

y(t) =1

µ(t)

[ ∫ t

t0

µ(s)b(s)ds+ µ(t0)y0

]

definida para todo t ∈ I.

Exemplo

(1) Determinar a solucao do seguinte problema de valor inicial, indicando o intervalo maximode existencia de solucao:

{w + w = e−2t

w(0) = 3

A equacao w+w = e−2t e linear, com a(t) ≡ 1 e b(t) = e−2t obviamente contınuas em R.Um factor integrante (em I = R) para a equacao e:

µ(t) = e∫1dt = et

Sendo assim

w +w = e−2t ⇔ d

dt

(

etw)

= e−t ⇔ w(t) = e−t(−e−t + C) , C ∈ R

Dado que w(0) = 3 conclui-se que C = 4 e a solucao do PVI e

w(t) = e−t(−e−t + 4)

O intervalo maximo de solucao corresponde ao maior intervalo onde y(t) esta bem definidae e continuamente diferenciavel. Neste caso, Imax = R. Note que solucao esta definida (ee continuamente diferenciavel) em I = R, pois a(t) e b(t) sao contınuas em R.

(2) Determinar a solucao do (PVI)

2xyy′ + (1 + x)y2 = ex , x > 0 e y(1) = 2

efectuando a mudanca de variavel v = y2.

Usando a sugestao, sendo v = y2 tem-se que v′ = (y2)′ = 2yy′. Substituindo na equacao

xv′ + (1 + x)v = ex ⇔ v′ +(1

x+ 1)

v =ex

x

113


Trata-se de uma equacao linear, com a(x) = 1x +1 e b(x) = ex

x obviamente contınuas parax > 0. Um factor integrante para a equacao e:

µ(x) = e

∫(

1x+1

)

dx= xex

Sendo assim

v′ +(1

x+ 1)

v =ex

x⇔ xexv′ +

( 1

x+ 1)

xexv = e2x ⇔ d

dx

(

xexv)

= e2x

pelo que

v(x) =e2x + c

xex, c ∈ R

Dado que v = y2, tem-se que

y(x) =

√

e2x + c

xexou y(x) = −

√

e2x + c

xex

tendo-se o primeiro caso se a condicao inicial for positiva e o segundo se a condicao inicialfor negativa. Assim e dado que y(1) = 2 > 0, tem-se que a solucao do (PVI) e

y(x) =

√

e2x + 4e− e2

xex

2.2.3 Equacoes Separaveis

Uma equacao escalar de primeira ordem, diz-se separavel se pode ser escrita na forma

f(y)dy

dt= g(t) (2.5)

Para se poder encontrar a sua solucao geral, e necessario que f e g estejam definidas e sejamcontınuas em subconjuntos abertos de R.

Se F (y) =∫f(y)dy entao:

d

dtF (y) = F ′(y)

dy

dt= f(y)

dy

dt= g(t).

Em consequencia, a solucao geral da equacao (2.5) e dada implicitamente por

∫

f(y)dy =

∫

g(t)dt+ C

Note que a equacao anterior e da forma

Φ(t, y) = C onde Φ(t, y) = F (y)−∫

g(t)dt

Considere-se uma condicao inicial generica, y(t0) = y0. Se C for escolhido por forma a que (t0, y0)verifique a equacao implıcita, isto e, C = Φ(t0, y0), entao o grafico da solucao do PVI e umacurva de nıvel da funcao Φ(t, y). Para ser possıvel definir uma funcao S(t) tal que y = S(t) seja

114


a unica solucao da equacao implıcita numa vizinhanca de t0, isto e, para que, para (t, y) numavizinhanca de (t0, y0),

Φ(t, y) = C ⇔ y = S(t)

entao e obviamente necessario que a equacao Φ(t, y) = C tenha uma e uma so solucao pois, casocontrario, nao se pode definir a funcao S(t). Neste caso, S(t) diz-se uma solucao explıcita (local)de Φ(t, y) = C. Para poder concluir da existencia de solucao explıcita local da equacao, e util oseguinte teorema:

Teorema da funcao implıcita (em R2):

Seja G : D → R uma funcao de classe C1 num conjunto aberto D ⊂ R2 tal que (t0, y0) ∈ D,

G(t0, y0) = 0 e∂G

∂y(t0, y0) 6= 0.

Entao a equacao

G(t, y) = 0

define uma unica funcao y de classe C1 numa vizinhanca de t0 tal que y(t0) = y0 e:

G(t, y(t)) = 0

para t nessa vizinhanca.

No caso presente, temos G(t, y) = Φ(t, y)− C, pelo que:

∂

∂y

(Φ− C

)(t0, y0) = F ′(y0) = f(y0).

Consequentemente, basta verificar que f(y0) 6= 0 para garantir a existencia de solucao explıcitado PVI numa vizinhanca de t0.

Teorema: (Existencia de solucao (local) do PVI para a equacao separavel)

Sejam f e g funcoes reais de variavel real contınuas em vizinhancas de y0 e t0 respectivamente.Se f(y0) 6= 0, entao o PVI

f(y)dy

dt= g(t)

y(t0) = y0

admite solucao unica definida numa vizinhanca de t0. A solucao e definida implicitamente pelaequacao

∫ y

y0

f(u)du =

∫ t

t0

g(s)ds

ou, equivalentemente, ∫

f(y)dy −∫

g(t)dt = C,

com C determinado pela condicao inicial y(t0) = y0.

115


Exemplo

(1) Determinar a solucao do PVI{

dy

dx= y(x− 3)

y(0) = 5

Para determinar solucoes tais que y(t) 6= 0, para qualquer t:

dy

dx= y(x− 3) ⇔ 1

y

dy

dx= x− 3 ⇔ d

dx

∫1

ydy = x− 3 ⇔ log|y| = x2

2− 3x+ C

pelo que a solucao geral da equacao e dada por

y(x) = Kex2

2−3x, com K ∈ R

(Note que y(t) ≡ 0 tambem e solucao da equacao diferencial). Atendendo a que y(0) = 5tem-se que K = 5 e como tal a solucao do PVI e

y(x) = 5ex2

2−3x

O domınio de diferenciabilidade da funcao y e R, pelo que o intervalo maximo de existenciade solucao e Imax = R. (Observe-se tambem que y(t) 6= 0, para todo o t ∈ R, pelo que asequivalencias acima sao sempre validas).

(2) Determinar a solucao do PVI{

dy

dx= −3y

y(0) = y0

Note-se em primeiro lugar que a equacaody

dx= −3y admite a solucao de equilıbrio (ou

constante) y(x) ≡ 0, mas esta solucao so verifica a condicao inicial no caso em que y0 = 0.Para determinar solucoes nao constantes,

dy

dx= −3y ⇔ 1

y

dy

dx= −3 ⇔ d

dx

∫1

ydy = −3 ⇔ log|y| = −3x+ C

pelo que a solucao geral da equacao e dada por

y(x) = Ke−3x

Atendendo a que y(0) = y0 tem-se que K = y0 e como tal a solucao do PVI e

y(x) = y0e−3x

Na Figura (2.1) encontra-se o tracado de algumas destas solucoes. Note-se, em particular,que a solucao constante, y(x) ≡ 0, tem a seguinte propriedade:

1. Todas as outras solucoes se aproximam de y(x) ≡ 0 quando x→ +∞.

2. Todas as outras solucoes se afastam de y(x) ≡ 0 quando x→ −∞.

Devido a propriedade 1, dizemos que a solucao y(x) ≡ 0 e assimptoticamente estavel quandox→ +∞.

116


-0.45 -0.33 -0.21 -0.09 0.03 0.15 0.27 0.39−6

−4

−2

0

2

4

6

K=0

K=-1/2

K=-1/2

K=1/2

K=1

Figura 2.1: A solucao de equilıbrio y(t) ≡ 0 e as solucoes correspondentes a y0 = ±1/2, y0 = ±1..

2.2.4 Equacoes Exactas

Seja A ⊂ R2 aberto e M,N : A→ R. Uma equacao diferencial do tipo

M(t, y) +N(t, y)dy

dt= 0 (2.6)

diz-se exacta se e so se e equivalente a

d

dt

(

φ(t, y))

= 0, (2.7)

onde φ : A→ R e de classe C1.

A solucao geral, na forma implıcita, da equacao exacta e, entao:

φ(t, y) = C, com C ∈ R.

Em que condicoes existe uma tal funcao φ, de forma a que a equacao (2.6) seja equivalentea (2.7)? Comecamos por notar que a equacao (2.7) se pode escrever:

∂φ

∂t+∂φ

∂y

dy

dt= 0 (2.8)

Comparando a equacao (2.6) com (2.8), concluımos que para (2.6) ser exacta e necessario esuficiente que:

M =∂φ

∂te N =

∂φ

∂y,

117


ou seja, (M,N) = ∇φ, para certa funcao φ ∈ C1(A,R). Isto e equivalente a dizer que o campo(M,N) e um campo gradiente 3.

Exemplo: as equacoes separaveis, como vimos, podem-se escrever na forma

−g(t) + f(y)dy

dt= 0,

onde g : A → R e f : B → R sao contınuas 4 sao exactas. De facto, basta tomar um potencialφ : A×B → R dado por:

φ(t, y) =

∫

f(y)dy −∫

g(t)dt.

Este exemplo nao parece muito interessante, pois obtivemos o potencial a partir do conhecimentoprevio da solucao geral da equacao exacta.

Problemas mais interessantes – no sentido em que nao podem ser facilmente resolvidos poroutros metodos – podem-se abordar tomando como ponto de partida a seguinte (e ja vossaconhecida) condicao necessaria para que um campo seja gradiente.

Proposicao: se A ⊂ R2 e aberto e simplesmente conexo, M,N : A→ R sao de classe C1 e

∂M

∂y=∂N

∂tem A

entao existe φ : A → R de classe C2 tal que (M,N) = ∇φ. Em particular, isto implica que aequacao M(t, y) +N(t, y)y′ = 0 e exacta.

Exemplo

(1) Determinar a solucao geral da equacao

e4x + 2xy2 + (cos y + 2x2y)dy

dx= 0

SendoM(x, y) = e4x + 2xy2 e N(x, y) = cos y + 2x2y

e facil de verificar que

(i) M e N sao continuamente diferenciaveis em U = R2;

(ii)∂M

∂y= 4xy =

∂N

∂xpara todo (x, y) ∈ R

2.

Conclui-se que (M,N) e um campo gardiente em R2, isto e, existe Φ : R2 → R tal que

∇Φ = (M,N).

Calculo de Φ

∂Φ

∂x=M ⇒ Φ(x, y) =

∫

(e4x + 2xy2) dx+ C(y) ⇒ Φ(x, y) =e4x

4+ x2y2 + C(y)

3(M,N) : A → R e um campo gradiente com um potencial φ ∈ C1(A,R).4A,B ⊂ R sao conjuntos abertos

118


e, por outro lado

∂Φ

∂y= N ⇒ 2x2y + C ′(y) = cos y + 2x2y ⇒ C(y) = sen y +D

pelo que

Φ(x, y) =e4x

4+ x2y2 + sen y +D , D ∈ R

Resolucao da equacao

Nestas circunstancias

e4x + 2xy2 + (cos y + 2x2y)dy

dx= 0 ⇔ d

dx

(e4x

4+ x2y2 + sen y +D

)

= 0

pelo que a solucao geral da equacao e definida implicitamente por

e4x

4+ x2y2 + sen y = K , K ∈ R

2.2.5 Equacoes Redutıveis a Exactas

Qualquer equacao escalar de primeira ordem e redutıvel a exacta, ou seja, pode ser transformadanuma equacao exacta, multiplicando-a por uma funcao µ(t, y) apropriada. A funcao µ denomina-se por um factor integrante da equacao, e pode ser calculado resolvendo a equacao diferencialparcial

∂(µM)

∂y=∂(µN)

∂t

No geral e impossıvel de obter uma solucao (explıcita) para esta equacao. Pode ser resolvida noscasos em que o factor integrante, µ depende apenas de uma variavel.

- A equacao diferencial

M(t, y) +N(t, y)dy

dt= 0

e redutıvel a exacta, com factor integrante so dependendo de t, µ = µ(t), se a funcao

∂M∂y − ∂N

∂t

N

depender apenas de t. Se esta condicao se verificar, o factor integrante e uma das solucoesda equacao diferencial

µ =

∂M∂y − ∂N

∂t

Nµ

- A equacao diferencial

M(t, y) +N(t, y)dy

dt= 0

e redutıvel a exacta, com factor integrante so dependendo de y, µ = µ(y), se a funcao

∂N∂t − ∂M

∂y

M

depender apenas de y. Se esta condicao se verificar, o factor integrante e uma das solucoesda equacao diferencial

µ =

∂N∂t − ∂M

∂y

Mµ

119


Em qualquer dos casos, a solucao da equacao inicial sera dada por

Φ(t, y) = C

em que Φ satisfaz∂Φ

∂t= µM ,

∂Φ

∂y= µN

Exemplos:

1. Considere a equacao diferencial

3x2y + 2xy + y3 + (x2 + y2)dy

dx= 0

SendoM(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 , N(x.y) = x2 + y2

e facil de concluir que M e N tem derivada contınua em R2 (sao funcoes polinomiais) e

∂M

∂y= 3x2 + 2x+ 3y2 ,

∂N

∂x= 2x

pelo que a equacao nao e exacta. Admitindo que e redutıvel a exacta, existe um factorintegrante µ tal que a equacao

(3x2y + 2xy + y3)µ + (x2 + y2)µdy

dx= 0

e exacta. Pelo que

(3x2y + 2xy + y3)∂µ

∂y+ (3x2 + 2x+ 3y2)µ = (x2 + y2)

∂µ

∂x+ 2xµ

Supondo que µ = µ(x) (o que implica ∂µ/∂y = 0) tem-se que

(3x2 + 2x+ 3y2)µ = (x2 + y2)µ′(x) + 2xµ ⇔ µ′(x)µ(x)

=3x2 + 2x+ 3y2 − 2x

x2 + y2= 3

Pod-se entao verificar que a equacao µ′(x)/µ(x) = 3 e possıvel de resolver (o segundomembro nao depende de y), e como tal o factor integrante e µ(x) = e3x.

Considere-se entao a equacao

e3x(3x2y + 2xy + y3) + e3x(x2 + y2)dy

dx= 0

que por construcao e exacta: observe-se que as funcoes e3x(3x2y+2xy+y3) e e3x(x2+y2)sao diferenciaveis em R

2, e

∂

∂y

[

e3x(3x2y + 2xy + y3)]

=∂

∂x

[

e3x(x2 + y2)]

Sendo assim (µM,µN) e um campo gardiente em R2, isto e, existe Φ : R2 → R tal que

∇Φ = (µM,µN).

120


Calculo de Φ

∂Φ

∂x=Mµ ⇒ Φ(x, y) =

∫ [

e3x(3x2y + 2xy + y3)]

dx+ C(y)

⇒ Φ(x, y) = x2ye3x +y3

3e3x + c(y)

e, por outro lado

∂Φ

∂y= µN ⇒ (x2 + y2)e3x + C ′(y) = e3x(x2 + y2) ⇒ C(y) = const.

pelo que

Φ(x, y) = x2ye3x +y3

3e3x + const. , const. ∈ R


Nestas circunstancias

3x2y + 2xy + y3 + (x2 + y2)dy

dx= 0 ⇔ e3x(3x2y + 2xy + y3) + e3x(x2 + y2)

dy

dx= 0

⇔ d

dx

(

x2ye3x +y3

3e3x + const.

)

= 0


x2ye3x +y3

3e3x = k , k ∈ R

2. Considere a equacao diferencial

y + (2xy − e−2y)dy

dx= 0

Sendo

M(x, y) = y , N(x.y) = 2xy − e−2y

e facil de concluir que M e N tem derivada contınua em R2 e

∂M

∂y= 1 ,

∂N

∂x= 2y

pelo que a equacao nao e exacta. Admitindo que e redutıvel a exacta, existe um factorintegrante µ tal que a equacao

yµ+ (2xy − e−2y)µdy

dx= 0

e exacta. Pelo que

y∂µ

∂y+ µ = (2xy − e−2y)

∂µ

∂x+ 2yµ

121


Supondo que µ = µ(x) (o que implica ∂µ/∂y = 0) tem-se que

µ = (2xy − e−2y)µ′(x) + 2yµ ⇔ µ′(x)µ(x)

=1− 2y

2xy − e−2y

E facil de verificar que a funcao1− 2y

2xy − e−2ynao depende apenas da variavel x, pelo que

nao existe factor de integracao dependendo apenas de x.

Supondo agora que µ = µ(y) (o que implica ∂µ/∂x = 0) tem-se que

yµ′ + µ = 2yµ ⇔ µ′(y)µ(y)

=2y − 1

y

Pode-se entao verificar que a equacao µ′(y)/µ(y) = (2y − 1)/y e possıvel de resolver (o

segundo membro depende apenas de y), e como tal o factor integrante e µ(y) =e2y

y.

Considere-se entao a equacao

e2y +

(

2xe2y − 1

y

)dy

dx= 0

que por construcao e exacta: observe-se que as funcoes e2y e 2xe2y − 1y sao diferenciaveis

em R2 \ {(x, 0) : x ∈ R}, e

∂

∂y

[

e2y]

=∂

∂x

[

2xe2y − 1

y

]

Sendo assim (µM,µN) e um campo gradiente em {(x, y) ∈ R2 : y > 0} (ou em {(x, y) ∈

R2 : y < 0}), isto e, existe Φ : {(x, y) ∈ R

2 : y > 0} → R (ou Φ : {(x, y) ∈ R2 : y <

0} → R) tal que ∇Φ = (µM,µN).

Calculo de Φ

∂Φ

∂x=Mµ ⇒ Φ(x, y) =

∫ [

e2y]

dx+ C(y) ⇒ Φ(x, y) = xe2y + c(y)

e, por outro lado

∂Φ

∂y= µN ⇒ 2xe2y + C ′(y) = 2xe2y − 1

y⇒ C(y) = −log|y|+ const.

pelo queΦ(x, y) = xe2y − log|y|+ const. , const. ∈ R


Nestas circunstancias, para y 6= 0

y + (2xy − e−2y)dy

dx= 0 ⇔ e2y + (2xe2y − 1

y)dy

dx= 0

⇔ d

dx

(

xe2y − log |y|+ const.)

= 0


xe2y − log |y| = k , k ∈ R

122

2.3. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS DE ORDEM N .EQUACOES VECTORIAIS.

2.3 Equacoes Diferenciais Ordinarias de ordem n.Equacoes Vectoriais.

Uma equacao diferencial ordinaria de ordem n e uma equacao da forma

y(n)(t) = f(

t, y(t), y′(t), · · · , y(n−1)(t))

ou seja e uma equacao que relaciona uma funcao, y(t), e as suas primeiras n derivadas. A suasolucao e uma funcao real pertencente ao espaco vectorial

Cn(R) = {f : R → R : f e contınua e com todas as derivadas ate a ordem n contınuas}

que verifica a equacao diferencial. A solucao geral de uma equacao diferencial de ordem ndependera de n constantes arbitrarias. Um problema de valor inicial para esta equacao sera daforma

y(n)(t) = f(

t, y(t), y′(t), · · · , y(n−1)(t))

y(t0) = y0 , y′(t0) = y1 , y

′′(t0) = y2 , · · · , y(n−1)(t0) = yn−1

No caso das equacoes de ordem 2 e tambem comum a resolucao de problemas de valor na fronteira.Por exemplo no problema

y′′(t) = f(

t, y(t), y′(t))

para t ∈ [a, b]

y(a) = α , y(b) = β

sao conhecidos os valores da funcao y(t) na fronteira do domınio.

2.3.1 Equacoes Lineares de ordem n. Caso Homogeneo.

Uma equacao de ordem n ∈ N diz-se linear se puder ser escrita na forma

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y

′ + a0(t) y = b(t) (2.9)

onde a0(t), a1(t),..., an−1(t) e b(t) sao funcoes reais definidas e contınuas num intervalo I ⊂ R.Exemplo: As equacoes de ordem 2

y′′ + 5y′ = et , y′′ − 5

ty′ = 1

sao equacoes lineares, a equacao de ordem 3

y′′′ = y y′ y′′

nao e linear.

Nesta Seccao estudaremos o caso homogeneo, isto e vamos resolver a equacao (2.38) no casoem que b(t) ≡ 0,

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y

′ + a0(t) y = 0 . (2.10)

Iremos agora enunciar algumas propriedades importantes das solucoes de (2.10).

123


Princıpio da Sobreposicao de Solucoes

Se u(t) e v(t) sao solucoes (reais ou complexas) de (2.10), entao c1u(t) + c2v(t) e tambemsolucao de (2.10), para quaisquer constantes (reais ou complexas) c1, c2.

Deixaremos a demonstracao como um exercıcio.

E de notar que esta propriedade e consequencia da linearidade da derivada, e e verificada portodas as equacoes lineares homogeneas (diferenciais ou de outro tipo).

Observe-se que a funcao nula, y(t) ≡ 0 e solucao da equacao (2.10). Atendendo ao Princıpioda Sobreposicao podemos concluir que o espaco de solucoes da equacao (2.10) e um subespacolinear de Cn(R). Veremos no capıtulo seguinte que se trata de um subespaco de dimensao n.

Assim sendo, a sua solucao geral e da forma

y(t) = α1y1 + ...+ αnyn

em que α1, ... , αn sao constantes reais, e y1,..., yn sao n solucoes linearmente independentes daequacao.

Com esta generalidade nao ha forma sistematica de determinar uma base para o espaco desolucoes da equacao linear homogenea.

2.3.2 Equacoes Lineares de Coeficientes Constantes. Caso Homogeneo.

Uma equacao de ordem n ∈ N diz-se linear de coeficientes constantes, se puder ser escrita naforma

y(n) + an−1 y(n−1) + ...+ a1 y

′ + a0 y = h(t) (2.11)

em que a0, a1,..., an sao constantes reais, e b : I ⊆ R → R uma funcao contınua em I. Nestaseccao estudaremos o caso homogeneo, isto e, vamos resolver a equacao (2.11) no caso em queh(t) ≡ 0,

y(n) + an−1 y(n−1) + ...+ a1 y

′ + a0 y = 0 . (2.12)

Usando a notacao Dy = y′ (e consequentemente D2y = y′′, ..., Dn = y(n)), a equacao (2.12)pode ser escrita na forma

(

Dn + an−1Dn−1 + ...+ a1D + a0

)

y = 0

e definindo P (D) = Dn + an−1Dn−1 + ... + a1D + a0, a equacao pode ser escrita na forma

abreviada

P (D)y = h(t)

E preciso notar que P (D) e um operador, isto e, uma funcao cujo domınio e um conjunto defuncoes de classe Cn, sendo n o grau de P . O termo P (D) designa um polinomio diferenciale em consequencia da linearidade da derivada, demonstra-se que pode ser factorizado da mesmaforma que um polinomio numerico. Por exemplo, se y e uma funcao de classe C2:

(D2 − 4)y = (D − 2)(D + 2)y = (D + 2)(D − 2)y

124


Calculo de uma base do espaco de solucoes da equacao

Dada a equacao

y(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y = 0 ⇔(

Dn + an−1Dn−1 + ...+ a1D + a0

)

y = 0

define-se o seu polinomio caracterıstico por

P (R) = Rn + an−1Rn−1 + ...+ a1R+ a0

Trata-se do polinomio real com os mesmos coeficientes do polinomio diferencial associado aequacao diferencial. Tem-se entao que, se λ1, ...,λk sao raızes distintas do polinomio caracterıstico(reais ou pares de complexos conjugados) de multiplicidades m1,...,mk, respectivamente, entaopor factorizacao

P (R) = (R − λ1)m1 ...(R − λk)

mk

A equacao (2.12) pode ser escrita na forma

(D − λ1)m1 ... (D − λk)

mky = 0 .

Teorema:Se a e b sao numeros (reais ou complexos) distintos e

y(t) e solucao de (D − a)my = 0 ou y(t) e solucao de (D − b)ny = 0

entaoy(t) e solucao de (D − a)m(D − b)ny = 0

Pelo que (desde que os λj sejam distintos uns dos outros), iremos resolver as equacoes

(D − λ1)m1y = 0 , · · · , (D − λk)

mky = 0 .

a fim de obter uma base para o espaco de solucoes da equacao (2.12).

• Calculo de uma base do espaco de solucoes de (D − λ)my = 0 no caso em que λ euma raiz real do polinomio caracterıstico.

m = 1 Se a multiplicidade da raiz λ e 1, estamos a resolver a equacao (D − λ)y = 0. Assim

y′ − λy = 0 ⇔ y′

y= λ ⇔ y(t) = keλt , k ∈ R

e uma base do espaco de solucoes de (D − λ)y = 0 e (por exemplo) < eλt >.

Exemplo:

Resolver a equacao y′′ − 4y = 0. Usando a notacao y′ = Dy, a equacao pode serescrita na forma (D2 − 4)y = 0. O polinomio caracterıstico associado a equacao eP (R) = R2 − 4 = (R− 2)(R + 2). Entao

(D2 − 4)y = 0 ⇔ (D− 2)(D + 2)y = 0 ⇔ (D − 2)y = 0 ou (D − 2)y = 0

Assim

125


∗ uma base do espaco de solucoes de (D − 2)y = 0 e < e2t > ;

∗ uma base do espaco de solucoes de (D + 2)y = 0 e < e−2t > ,

pelo que

∗ uma base do espaco de solucoes de (D − 2)(D + 2)y = 0 e < e2t, e−2t >.

e a solucao geral da equacao y′′ − 4y = 0 e c1e2t + c2e

−2t, c1, c2 ∈ R.

m = 2 Se a multiplicidade da raiz λ e 2, estamos a resolver a equacao (D − λ)2y = 0. Pararesolver esta equacao, vamos determinar uma base para as equacoes

v = (D − λ)y pelo que (D − λ)v = 0

Para (D − λ)v = 0 podemos considerar (caso m = 1) v = eλt. Assim, substituindona outra equacao obtemos y′ − λy = eλt que teremos que resolver. Observe-se quese trata de uma equacao linear de primeira ordem, em que a(t) = −λ, isto e, umaequacao linear de coeficientes constantes. O seu factor integrante e µ(t) = e−λt, eassim

y′−λy = eλt ⇔ e−λt(

y′−λy)

= 1 ⇔(

e−λty)′

= 1 ⇔ y(t) = teλt+ceλt

e uma base do espaco de solucoes de (D − λ)2y = 0 e (por exemplo) < eλt, teλt >.

Exemplo:

Resolver a equacao y′′ − 9y′ + 6y = 0. Usando a notacao y′ = Dy, a equacao podeser escrita na forma (D2 − 6D + 9)y = 0. O polinomio caracterıstico associado aequacao e P (R) = R2 − 6R+ 9 = (R− 3)2. Entao

∗ uma base do espaco de solucoes de (D − 3)2y = 0 e < e3t, te3t > ,

e a solucao geral da equacao y′′ − 6y′ + 9y = 0 e c1e3t + c2te

3t, c1, c2 ∈ R.

m = 3 Se a multiplicidade da raiz λ e 3, estamos a resolver a equacao (D − λ)3y = 0. Pararesolver esta equacao, vamos determinar uma base para as equacoes

v = (D − λ)y pelo que (D − λ)2v = 0

Para (D − λ)2v = 0 podemos considerar (caso m = 2) v = aeλt + bteλt. Assim,substituindo na outra equacao obtemos y′ − λy = aeλt + bteλt. Dado que o nossoestudo se destina apenas a determinar uma base do espaco de solucoes, podemosconsiderar (por exemplo) a = 0 e b = 1. Pelo que iremos resolver y′ − λy = teλt.Mais uma vez, trata-se de uma equacao linear de coeficientes constantes. O seu factorintegrante e µ(t) = e−λt, e assim

y′−λy = teλt ⇔ e−λt(

y′−λy)

= t ⇔(

e−λty)′

= t ⇔ y(t) =t2

2eλt+ceλt

e uma base do espaco de solucoes de (D−λ)3y = 0 e (por exemplo) < eλt, teλt, t2eλt >.

Podemos entao concluir (usando inducao) que uma base do espaco de solucoes da equacao

(D − λ)my = 0

e por exemploeλt , teλt , , ..., tm−1eλt

126


• Calculo de uma base do espaco de solucoes de (D − λ)my = 0 no caso em queλ = a+ ıb e uma raiz complexa do polinomio caracterıstico.

Comecamos por recordar que se P (R) e um polinomio de coeficientes reais entao

se P (a+ ib) = 0 entao P (a− ib) = 0

isto e, num polinomio de coeficientes reais as raızes complexas ocorrem em pares de conjuga-dos. Entao, se (R−(a+ib))m e um dos factores do polinomio caracterıstico, (R−(a− ib))m

tambem sera. Determinaremos em simultaneo as bases do espaco de solucoes das equacoes

(D − (a+ ib))my = 0 e (D − (a− ib))my = 0 .

m = 1 Se a multiplicidade das raızes a+ib e a−ib e 1, de forma identica ao caso real poderemosafirmar que uma base do espaco de solucoes da equacao (D − (a + ib))y = 0 e, porexemplo, < e(a+ib)t > e uma base do espaco de solucoes da equacao (D−(a−ib))y = 0e, por exemplo, < e(a−ib)t >. Obtivemos entao < e(a+ib)t, e(a−ib)t > como sendo umabase complexa do espaco de solucoes da equcao (D − (a + ib))(D − (a − ib))y = 0.Atendendo ao princıpio da sobreposicao, as suas partes real e imaginaria tambem saosolucoes da equacao. Assim

e(a+ib)t = eat cos(bt) + ieat sen(bt) , e(a−ıb)t = eat cos(bt)− ieat0 sen(bt)

e facil de concluir que, por exemplo, < eat cos(bt), eat sen(bt) > e uma base (real) doespaco de solucoes da equacao (D − (a+ ib))(D − (a− ib))y = 0.

Exemplo:

Resolver a equacao y′′ + 16y = 0. Usando a notacao y′ = Dy, a equacao pode serescrita na forma (D2 + 16)y = 0. O polinomio caracterıstico associado a equacao eP (R) = R2 + 16 = (R − 4i)(R + 4i). Entao Assim

∗ uma base complexa do espaco de solucoes de (D − 4i)(D + 4i)y = 0 e < e4iit, <e−4iit > ;

pelo que

∗ uma base real do espaco de solucoes de (D−4i)(D+4i)y = 0 e< cos(4t), sen(4t) >.

e a solucao geral da equacao y′′ + 16y = 0 e c1 cos(4t) + c2 sen(4t), c1, c2 ∈ R.

No caso geral, usando inducao (e imitando o caso real), podemos concluir que uma base doespaco de solucoes da equacao

(D − (a+ ib)m(D − (a− ib)my = 0

e constituida pelas 2m solucoes linearmente independentes

eat cos(bt) , teat cos(bt) , ... , tm−1eat cos(bt)

eat sen(bt) , teat sen(bt) , ... , tm−1eat sen(bt)

127


Exemplo 1:Determinar a solucao geral da equacao

y′′′ + 4y′′ + 4y′ = 0 (2.13)

Fazendo y′ = Dy, a equacao pode ser escrita na forma

(D3 + 4D2 + 4D)y = 0 ⇔ D(D + 2)2y = 0 ⇔ Dy = 0 ou (D + 2)2y = 0

Uma solucao da equacao Dy = 0 e e0t. Por outro lado a equacao (D + 2)2y = 0 tem comosolucoes, por exemplo, e−2t e te−2t. Como tal a solucao geral de (2.13) e

y(t) = c1 + c2e−2t + c3te

−2t , c1, c2 c3 ∈ R

Exemplo 2:Determinar a solucao geral da equacao

y′′ + 2y′ + 2y = 0 (2.14)

Fazendo y′ = Dy, a equacao pode ser escrita na forma

(D2 + 2D + 2)y = 0 ⇔ (D − (−1 + i))(D − (−1− i)))y = 0

As solucoes complexas da equacao sao e(−1+i)t e e(−1−i)t, pelo que Re e(−1+i)t e Im e(−1+i)t seraosolucoes reais de (2.14). Assim, a solucao geral de (2.14) e

y(t) = c1e−t cos t+ c2e

−t sen t , c1, c2 ∈ R

Exemplo 3:Determinar a solucao do PVI

y′′ + 8y′ + 12y = 0 , y(0) = 3 , y′(0) = −14 (2.15)

Comecemos por determinar a solucao geral da equacao. Fazendo y′ = Dy, a equacao pode serescrita na forma

(D2 + 8D + 12)y = 0 ⇔ (D + 2)(D + 6)y = 0 ⇔ (D + 6)y = 0 ou (D + 2)y = 0

Uma solucao da equacao (D+6)y = 0 e e−6t. Por outro lado a equacao (D+2)y = 0 tem comosolucao e−2t. Como tal a solucao geral da equacao e dada por

y(t) = c1e−6t + c2e

−2t , c1, c2 ∈ R

Para que as condicoes iniciais se verifiquem

{y(0) = 3y′(0) = −14

⇒{c1 + c2 = 3−6c1 − 2c2 = −14

⇒{c1 = 2c2 = 1

Finalmente a solucao de (2.15) ey(t) = 2e−6t + e−2t

128


2.3.3 Equacoes Vectoriais Lineares — Caso Homogeneo

Como caso particular das equacoes que estudamos na seccao anterior, vamos agora resolver aequacao vectorial de primeira ordem, no caso linea, caso homogeneo. Isto e vamos resolver aequacao

Y′(t) = A(t)Y(t) (2.16)

com Y ∈ Rn, A(t) =

[

aij(t)]n

i,j=1, isto e uma matriz n× n, cujas entradas sao funcoes reais de

variavel real.

A equacao vectorial pode ser escrita na forma de sistema

y′1(t) = a11 y1(t) + ...+ a1n yn(t)...

......

y′n(t) = an1 y1(t) + ...+ ann yn(t)

Usando o metodo de substituicao, em regra geral, esta equacao pode ser reduzida a uma equacaode ordem n, linear, homogenea numa das componentes yi, i = 1, · · · n. Observe-se que se asfuncoes aij(t) forem constantes para todo i, j ∈ {1, · · · , n} , a equacao de ordem n que se obtemao resolver o sistema e tambem de coeficientes constantes.

Exemplo 1:

Determinar a solucao geral da equacao

Y ′ =

[1 −33 1

]

Y

Fazendo Y = (x, y), a equacao pode ser escrita na forma

[x′

y′

]

=

[1 −33 1

] [xy

]

⇔{x′ = x− 3yy′ = 3x+ y

Resolvendo (por exemplo) a primeira equacao em ordem a y, obtem-se

y = −1

3

(x′ − x

)

pele que, substituindo na segunda equacao

(

− 1

3

(x′ − x

))′= 3x+

(

− 1

3

(x′ − x

))

que e uma equacao de segunda ordem (linear, de coeficientes constantes, homogenea) em x.Simplificando e resolvendo

x′′ − 2x′ + 10x = 0 ⇔ (D2 − 2D + 10)x = 0

O polinomio caracterıstico associado P (R) = R2 − 2R + 10 tem raızes complexas conjugadas1±3i pelo que uma base do espaco de solucoes sera (por exemplo) Ree(1+3i)t e Ime(1+3i)t. Tem-seentao que

x(t) = aet cos(3t) + bet sen(3t)

129


e tornando a substituir

y = −1

3

(x′ − x

)= −bet cos(3t) + aet sen(3t)

Finalmente, a solucao da equacao vectorial e dada por

Y (t) = et[

a cos(3t) + b sen(3t)−b cos(3t) + a sen(3t)

]

Exemplo 2:Vamos agora determinar a solucao geral da equacao

Y ′ =

2 0 00 2 10 0 2

Y ⇔

x′ = 2xy′ = 2y + zz′ = 2z

Neste caso nao vamos conseguir reduzir o sistema a uma equacao de ordem 3 em qualquer umadas variaveis, consequencia de nas duas ultimas equacoes nao haver dependencia em x e naprimeira nao haver depndencia nas variaveis y e z. No entanto conseguiremos aplicar o metodoaos “sub-sistemas”

x′ = 2x e

{y′ = 2y + zz′ = 2z

Para o primeirox′ = 2x ⇔ x(t) = c1e

2t

Para o outro sistema, podemos utilizar dois metodos: ou reduzir a uma equacao de ordem 2(forcosamente em y) e resolve-lo como no exemplo anterior, ou como metodo alternativo queresulta sempre que a matriz associada ao sistema e triangular, e que consiste em resolver aequacao em z′ (dado que so depende de z) substituir na equacao em y′ (dado que, conhecida zso depende de y). Assim

z′ = 2z ⇔ z(t) = c2e2t

Substituindo na equacao em y′

y′ = 2y + c2e2t ⇔ y′ − 2y = c2e

2t ⇔ d

dt

(

e−2ty)

= c2 ⇔ y(t) = e2t(c2t+ c3)

e substituindo na equacao em x′ Finalmente, a solucao da equacao vectorial e dada por

Y (t) = e2t

c1c2t+ c3c2

2.4 Equacoes Vectoriais de 1a¯ Ordem (ou Sistemas)

Sendo I ⊂ R, A ⊂ Rn e, para i = 1, ..., n, fi : I × A→ R, denomina-se por equacao diferencial

vectorial de primeira ordem um sistema de equacoes do tipo

y′1(t) = f1(t, y1(t), . . . , yn(t)

)

...y′n(t) = fn

(t, y1(t), . . . , yn(t)

)

130

2.4. EQUACOES VECTORIAIS DE 1A¯ ORDEM (OU SISTEMAS)

onde as solucoes sao funcoes y1(t), ..., yn(t) : I → R de classe C1 em I. Utilizando notacaovectorial, este sistema pode entao ser escrito de forma abreviada como a equacao vectorial

Y ′(t) = F (t, Y (t)) ,

sendo

Y (t) =

y1(t)...

yn(t)

e F (t, Y (t)) =

f1(t, y1(t), . . . , yn(t)

)

.

.

.fn(t, y1(t), . . . , yn(t)

)

Tal como no caso escalar (n = 1), sendo t0 ∈ I, denomina-se problema de valor inicial a

Y ′(t) = F(t, Y (t)

), t ∈ I

Y (t0) = Y0

onde se supoe que t0 ∈ I e Y0 =(y1(t0), . . . , yn(t0)

)∈ A.

Funcao Vectorial, F (t, Y ), diferenciavel relativamente a Y

Uma funcao vectorial, F (t, Y ) : D ⊂ Rn+1 → R

n, contınua em D, diz-se diferenciavel relativa-mente a Y em D, se cada uma das funcoes escalares fi(t, y1, ..., yn), i = 1, ..., n, tiver derivadasparciais contınuas relativamente a y1,..., yn em D.

Funcoes matriciais

No seguimento, sera necessario estudar funcoes X cujo domınio e um intervalo real e cujo conjuntode chegada e um espaco vectorial de matrizes reais (ou complexas) de dimensao n×m, que aquidenotaremos por Mn×m(R) (ou C).

Genericamente, um funcao X : I ⊂ R → Mn×m(R), com

X(t) =[

xij(t)]

i=1...nj=1...m

pode, de facto, ser interpretada como uma funcao vectorial com as n×m componentes:

x11(t), . . . , x1m(t), x21(t), . . . , x2m(t), . . . . . . , xn1(t), . . . , xnn(t).

Sendo assim, pode-se neste contexto utilizar os conceitos e resultados ja discutidos quando seestudou as funcoes vectoriais. A derivada de X(t) e, entao, dada por

dX

dt=

[dxijdt

]

i=1,...nj=1...m

,

e esta bem definida se as funcoes componentes forem diferenciaveis em I. Analogamente, ointegral de X entre t0, t ∈ I e dado por:

∫ t

t0

X(s) ds =[∫ tt0xij(s) ds

]

i=1,...nj=1...m

,

131


sempre que as funcoes componentes sejam seccionalmente contınuas em I. Desta forma, alinearidade da derivada e do integral ficam asseguradas.

Relativamente a derivada do produto de duas matrizes,

X(t) =[

xik(t)]

i=1...nk=1...m

por Y (t) =[

ykj(t)]

k=1...mj=1...k

,

o resultado tem que ser deduzido (porque?). No entanto isso, e tarefa relativamente facil: calcu-lando a derivada da componente (i, j) de X(t)Y (t), obtem-se:

d

dt

m∑

k=1

xik(t)ykj(t) =

m∑

k=1

x′ik(t)ykj(t) +m∑

k=1

xik(t)y′kj(t) ,

Resulta assim que(X(t)Y (t)

)′= X ′(t)Y (t) +X(t)Y ′(t).

2.4.1 Equacoes Vectoriais Lineares

A equacao vectorial denomina-se linear se a funcao F (t, Y ) for linear em Y , isto e, se for da forma

y′1(t) = a11(t)y1(t) + · · ·+ a1n(t)yn(t) + b1(t)...

......

y′n(t) = an1(t)y1(t) + · · ·+ ann(t)yn(t) + bn(t)

ou, na forma vectorial:

Y ′(t) = A(t)Y (t) +B(t) (2.17)

sendo

Y (t) =

y1(t)...yn(t)

, A(t)

a11(t) . . . a1n(t)...

...an1(t) . . . ann(t)

e B(t) =

b1(t)...bn(t)

.

Caso Homogeneo e Matriz Solucao Fundamental

Fazendo B(t) ≡ 0 na equacao (2.17), obtem-se a equacao linear homogenea associada

Y ′(t) = A(t)Y (t) (2.18)

com Y ∈ Rn e A(t) =

[

aij(t)]n

i,j=1, onde as funcoes aij(t) : I ⊆ R → R sao contınuas.

Definicao (Matriz Solucao Fundamental): Uma matriz S(t) denomina-se matriz solucao fun-damental de (2.18) se e so se

(i) detS(t) 6= 0 para todo t ∈ I, o que significa que as colunas de S(t) sao linearmenteindependentes (S(t) e nao singular) para qualquer t ∈ I;

(ii) as colunas de S(t) sao solucoes da equacao Y ′(t) = A(t)Y (t).

132


Exemplo:No Exemplo 1 da Seccao 2.4.1, resolvemos a equacao vectorial

Y ′ =

[1 −33 1

]

Y (2.19)

tendo obtido como solucao

Y (t) = et[


]

= et[

cos(3t) sen(3t)sen(3t) − cos(3t)

] [ab

]

def= S(t)C,

E agora facil de verificar que a matriz S(t) acima definida e uma matriz solucao fundamentalassociada a equacao (2.19). De facto

(i) A matriz S(t) e nao singular em R, pois

detS(t) = −1 6= 0 ∀t ∈ R

(ii) Verifica-se que Y ′i (t) = AYi(t), i = 1, 2 em que Yi(t) representa a coluna i de S(t). De

facto, para i = 1

Y ′1(t) =

d

dt

[et cos(3t)et sen(3t)

]

=

[et(cos(3t) − 3 sen(3t))et(sen(3t) + 3 cos(3t))

]

e

AY1(t) =

[1 −33 1

] [et cos(3t)et sen(3t)

]

=

[et(cos(3t)− 3 sen(3t))et(sen(3t) + 3 cos(3t))

]

enquanto que para i = 2

Y ′2(t) =

d

dt

[et sen(3t)−et cos(3t)

]

=

[et(3 cos(3t) + sen(3t))et(3 sen(3t)− cos(3t)

]

e

AY2(t) =

[1 −33 1

] [et sen(3t)−et cos(3t)

]

=

[et(sen(3t) + 3 cos(3t))et(3 sen(3t)− cos(3t))

]

Observe-se que nao ha uma unica matriz solucao fundamental da equacao — por exemplo,se S(t) e uma matriz solucao fundamental qualquer matriz obtida por troca de colunas de S(t) etambem uma matriz solucao fundamental.

Exemplo: No problema anterior, a solucao tambem pode ser escrita na forma:

Y (t) = et[


]

= et[

sen(3t) cos(3t)− cos(3t) sen(3t)

] [ba

]

=def= S1(t)C

pelo que S1(t) e tambem uma matriz solucao fundamental. (A verificacao e obvia).

Proposicao (Caracterizacao da Matriz Solucao Fundamental): S(t) e uma matriz solucaofundamental da equacao (2.18) se e so se:

(i) Existe um t0 ∈ I tal que S(t0) e nao singular.

133


(ii) S’(t) = A(t) S(t)

Demonstracao: (ii) e apenas outra forma de escrever a alınea (ii) da definicao de S(t).Quanto a (i), suponhamos que existe um t ∈ I tal que S(t) e singular, isto e, para certo b ∈Rn \ {0}, S(t)b = 0, e derivemos uma contradicao. Como

S′(t)b = A(t)S(t)bfb; ,

Considerando Y (t) = S(t)b entao das equacoes anteriores:

{Y ′ = A(t)Y

Y (t) = S(t)b = 0

Por unicidade de solucao deste PVI, Y (t) ≡ 0. Conclui-se entao que S(t)b = 0 para todo o t ∈ I,pelo que S(t) e singular para todo o t ∈ I; logo, em particular, tambem S(t0) e singular, o quecontradiz a hipotese. �

Como corolario da proposicao anterior, obtemos:

Teorema (Matriz Solucao Fundamental): S(t) e uma matriz solucao fundamental daequacao (2.18) se e so se e a solucao do problema de valor inicial

{S′ = AS

S(0) = S0

para alguma matriz nao singular, S0 ∈ Mn×n(R).

Exemplo: Para obter uma matriz solucao fundamental, S(t), da equacao Y ′ = A(t)Y ,podemos resolver os n problemas

{Y ′ = A(t)YY (t0) = ei

com i = 1, 2, . . . n.

onde e1, e2 . . . en sao os vectores da base canonica de Rn. As colunas de S(t) serao as solucoes

desses n problemas.

Resulta da definicao que a matriz S(t) e invertıvel para todo o t. Sendo assim

0 =d

dt

(

S(t)S−1(t))

= S′(t)S−1(t) + S(t)d

dt

(

S−1(t))

,

pelo que S(t) d

dt

(S−1(t)

)= −S′(t)S−1(t). Desta forma:

d

dt

(

S−1(t))

= −S−1(t)S′(t)S−1(t)

Atendendo a que S′(t) = A(t)S(t) implica A(t) = S′(t)S−1(t), entao a inversa da matriz solucaofundamental verifica:

d

dt

(

S−1(t))

= −S−1(t)A(t) (2.20)

134


Caracterizacao das Solucoes da Equacao Homogenea

Teorema: Considere-se I ⊂ R e A(t) =[

aij(t)]n

i,j=1, com aij(t) : I → R contınuas, e o problema

de valor inicial: {Y ′(t) = A(t)Y (t)Y (t0) = Y0

(2.21)

onde t0 ∈ I e Y0 ∈ Rn. Seja S(t) uma matriz solucao fundamental da equacao diferencial. Entao

o problema (2.21) tem uma unica solucao dada por Y (t) = S(t)S−1(t0)Y0. Alem disso, assolucoes da equacao diferencial formam um espaco vectorial de dimensao n, sendo uma sua baseconstituida pelas colunas de S(t); ou seja, a sua solucao geral e:

Y (t) = S(t)C com C = (c1, ..., cn) ∈ Rn

Demonstracao: Seja Y (t) uma solucao arbitraria da equacao Y ′ = A(t)Y e considere-sez(t) = S−1(t)Y (t). Queremos mostrar que z(t) e constante. Entao, usando a equacao (2.20):

z′(t) =(S−1(t)

)′Y (t) + S−1(t)Y′(t)

= −S−1(t)A(t)Y(t) + S−1(t)Y′(t)

= S−1(t)(

Y′(t)−A(t)Y(t))

= 0

Temos entao que S−1(t)Y (t) = z(t) = C, com C ∈ Rn, o que nos permite concluir que:

(1) a solucao geral da equacao diferencial e Y (t) = S(t)C;

(2) se Y (t0) = Y0 entao C = S−1(t0)Y (t0) = S−1(t0)Y0, pelo que a solucao do PVI (2.21) eY (t) = S(t)S−1(t0)Y0.

�

2.4.2 Equacoes vectoriais Lineares — Caso Nao Homogeneo

Dada uma matriz solucao fundamental de Y ′ = A(t)Y , pretendemos obter as solucoes da equacaonao homogenea Y ′ = A(t)Y +B(t)

Teorema (Formula de Variacao das Constantes): Sendo A =[

aij(t)

]n

i,j=1, com componentes

aij : I ⊂ R → R contınuas, b : I ⊆ R → Rn tambem contınua, Y0 ∈ R

n e S(t) uma matrizsolucao fundamental de Y ′ = A(t)Y , entao a solucao do problema de valor inicial

{Y ′ = A(t)Y + b(t)Y (t0) = Y0

(2.22)

e dada pela formula de variacao das constantes:

Y (t) = S(t)S−1(t0)Y0 + S(t)

∫ t

t0

S−1(s)b(s)ds (2.23)

135


Demonstracao: Escrevendo a equacao diferencial (2.22) na forma Y ′ − A(t)Y = b(t), e multi-plicando ambos os membros por S−1(t), obtem-se:

S−1(t)Y ′ − S−1(t)A(t)Y = S−1(t)b(t)

Atendendo a que(

S−1(t))′

= −S−1(t)A(t) (equacao (2.20)), resulta pois que

S−1(t)Y ′ +(

S−1(t))′(t)Y = S−1(t)b(t),

ou sejad

dt

(

S−1(t)Y (t))

= S−1(t)b(t) (2.24)

Integrando entre t0 e t, e considerando que Y (t0) = y0, temos que:

S−1(t)Y (t)− S−1(t0)Y0 =

∫ t

t0

S−1(s)b(s) ds

Multiplicando agora a direita por S(t) obtem-se:

Y (t)− S(t)S−1(t0)Y0 = S(t)

∫ t

t0

S−1(s)b(s) ds.

�

Corolario (Formula de Variacao das Constantes para a Solucao Geral): Nas mesmascondicoes do teorema anterior, a solucao geral da equacao

Y ′ = A(t)Y + b(t)

e dada por:

Y (t) = S(t)C + S(t)

∫ t

S−1(s)b(s) ds , C ∈ Rn; (2.25)

(onde∫ t

x(s)ds representa uma primitiva da funcao vectorial x(t)).

Demonstracao: Repita a prova do teorema anterior, primitivando ambos os membros da igual-dade (2.24) em vez de os integrar entre t0 e t (exercıcio). Note que a constante de primitivacao,C, pertence a R

n. �

Exemplo:Determine a solucao da equacao

Y ′(t) =

[t 1

−t2 −t

]

Y +

[01

]

(2.26)

Comecemos por determinar uma matriz solucao fundamental, resolvendo o sistema homogeneoassociado

Y ′(t) =

[t 1

−t2 −t

]

Y ⇔{

x′ = tx+ yy′ = −t2x− ty

136


onde Y = (x, y). Pela primeira equacao y = x′ − tx, pelo que substituindo na segunda equacao(

x′ − tx)′

= −t2x− t(

x′ − tx)

⇔ x′′ − tx′ − x = −t2x− tx′ + t2x ⇔ x′′ − x = 0

Fazendo Dx = x′ esta ultima equacao pode ser escrita na forma (D2 − 1)x = 0 e entao e facilde concluir que

x(t) = aet + be−t

e consequentementey = x′ − tx = aet − be−t − atet − bte−t

Obtem-se a solucao (da equacao homogenea

YH(t) =

[x(t)y(t)

]

=

[aet + be−t

aet − be−t − atet − bte−t

]

=

[et e−t

et − tet −e−t − te−t

] [ab

]

E a matriz

S(t) =

[et e−t


]

e uma matriz solucao fundamental. Podemos entao aplicar a formula da variacao das constantespara obter a solucao da equacao (2.26)

Y (t) = S(t)C + S(t)

∫

S−1(t)B(t)dt

= S(t)

[ab

]

+ S(t)

∫1

2

[e−t(1 + t) e−t

et(1 + t) −et] [

01

]

= S(t)

[ab

]

+1

2S(t)

[ ∫e−tdt

−∫etdt

]

=

=

[et e−t


] [ab

]

+1

2

[et e−t


] [−e−t−et

]

=

[aet + be−t − 1

a(1 + t)et + b(−1− t)e−t + t

]

2.4.3 Equacoes Vectoriais Lineares de Coeficientes Constantes:

A equacao vectorial linear denomina-se de coeficientes constantes se a matriz A(t) tiver entradasconstantes, isto e, se for da forma

y′1(t) = a11 y1(t) + ...+ a1n yn(t) + b1(t)...

......

y′n(t) = an1 y1(t) + ...+ ann yn(t) + bn(t)

ou, na forma vectorial,Y ′(t) = AY (t) +B(t), (2.27)

sendo

Y (t) =

y1(t)...yn(t)

, A(t) =

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

e B(t) =

b1(t)...bn(t)

137


Caso Homogeneo

Tal como anteriormente, o caso homogeneo corresponde a tomar B(t) ≡ 0 na equacao (2.27).Vamos assim estudar a equacao

Y ′(t) = AY (t) (2.28)

onde t ∈ R, Y (t) ∈ Rn e A =

[

aij

]n

i,j=1com aij ∈ R.

Exponencial de uma Matriz

Dados uma matriz A ∈ Mn×n(R), convenciona-se que:

A0 def= I,

onde I representa a matriz identidade de Mn×n(R).Recordamos o problema de valor inicial escalar,

{y′ = ayy(0) = 1

,

tem por unica solucao y(t) = eat. Procedendo por analogia, definimos a exponencial de tA, quedenotamos por etA, da forma que se segue.

Definicao (Exponencial de uma Matriz): Seja t ∈ R e A ∈ Mn×n(R). Entao eAt e a(unica) matriz solucao fundamental de (2.28) que e igual a matriz identidade em t = 0. Istoequivale a dizer que X(t) = eAt e a solucao do problema de valor inicial:

{X ′ = AXX(0) = I

(2.29)

Resulta imediatamente da definicao anterior que:

Proposicao: Se A ∈ Mn×n(R) e S e uma matriz solucao fundamental de Y ′ = AY entao:

etA = S(t)S−1(0)

Exemplo 3:

Sendo A =

[1 −33 1

]

, pretendemos calcular eAt para t ∈ R. Revisitando o Exemplo 1 da

seccao 2,4.1 (resolucao da equacao diferencial (2.19)), e concluimos num exemplo posterior queuma matriz solucao fundamental e

S(t) = et[


]

138


No entanto, e dado que S(0) 6= Id2, S(t) nao e eAt. Mas pela proposcao anterior

eAt = S(t)S−1(0) = et[


] [1 00 −1

]−1

= et[

cos(3t) − sen(3t)sen(3t) cos(3t)

]

Note que a exponencial da matriz tA, X(t), tem uma propriedade importante — e a unica matrizsolucao fundamental que verifica X(0) = I.

Para obter solucoes linearmente de Y ′ = AY , podemos usar o seguinte resultado.

Proposicao: Seja A ∈ Mn×n(R). Se λ ∈ C e um valor proprio de A e V ∈ Cn um vector proprio

associado a λ entao Y (t) = etλV e uma solucao da equacao Y ′ = AY . Alem disso, u = ReY eV = ImY sao solucoes reais de Y ′ = Y .

Demonstracao: Para provar a primeira parte, basta ver que:

dY

dt=

d

dt

(eλtV

)= eλt λv = eλtAV = A

(etλV

)= AY (t).

Tendo em conta que

(u+ iv)′ = u′ + iv′ = Au+ iAv = Au+ iAv,

tomando a parte real e parte imaginaria em ambos os membros desta igualdade obtem-se u′ = Aue v′ = Av. �

Se A for uma matriz n × n real diagonalizavel, entao existe um conjunto de n vectoresproprios de A linearmente independentes V1, V2, . . . , Vn. Se λ1, λ2, . . . , λn forem os respectivosvalores proprios associados, podemos construir uma matriz solucao fundamental — e daı obtereAt — colocando nas colunas de S as solucoes de Y ′ = Ay dadas pela proposicao anterior; istoe:

eλ1tV1, eλ2tV2, . . . , e

λntVn.

Note que S(0) e nao singular.Se λ for um valor proprio complexo de uma matriz real A, com vector proprio associado

V ∈ Cn, entao o procedimento anterior da-nos uma matriz solucao fundamental complexa; no

entanto, podemos utilizar as funcoes reais Re eλtV e Im eλtV , no lugar de eλ1tV e eλ1tV 5

Serie da Exponencial de uma Matriz

Para encontrar um desenvolvimento em serie para a exponencial de At, procuremos uma solucaoda equacao (2.29) atraves das iteradas de Picard:

X0(t) = I

Xn+1(t) = I +

∫ t

t0

AXn(s) ds para n ∈ N

5Se A e uma matriz real, entao A = A. Se (λ, V ) e um par valor proprio, vector proprio (complexo) de A,entao (λ, V ) e tambem um par valor proprio, vector proprio de A, pois AV = AV = AV = λV = λV . Neste caso,

Re eλtV = Re eλtV e Im eλtV = − Im eλtV . Por cada par de vectores proprios conjugados, V e V , produzem-sedesta forma duas (nao quatro!) funcoes reais linearmente indendentes, Re eλtV e Im eλtV .

139


Calculando as primeiras 3 iteracoes, obtem-se:

X0(t) = I

X1(t) = I +

∫ t

t0

Ads = I + tA

X2(t) = I +

∫ t

t0

(A+ sA2

)ds = I +

∫ t

t0

Ads+

∫ t

t0

sA2 ds = I + tA+t2

2A2

X3(t) = I +

∫ t

t0

(

A+ sA2 +s2

2A3

)

ds = I + tA+t2

2!A2 +

t2

3!A3

Resulta entao que6:

Xn(t) = I + tA+t2

2!A2 + · · ·+ tn

n!An

Isto sugere que a forma da solucao de (2.29) e o “limite” da expressao anterior, ou seja:

X(t) = I + tA+t2

2!A2 + · · ·+ tn

n!An + · · · =

∞∑

n=0

tn

n!An =

∞∑

n=0

1

n!(tA)n .

Esta formula e analoga a que define a serie de McLaurin da funcao exponencial, eat =∑∞

n=0(at)n

n! , para a, t ∈ R. No nosso caso trata-se de uma serie de potencias de matrizes onde,em cada termo, aparece tA no lugar de ta. Isto leva-nos a conjecturar o seguinte:

Teorema (Serie da Exponencial de uma Matriz): Sendo A uma matriz n× n de compo-nentes reais e t ∈ R, a exponencial de tA, etA, e dada por:

etA =

∞∑

n=0

(tA)n

n!= I + tA+

t2

2A2 +

t3

3!A3 + · · ·+ tn

n!An + · · · (2.30)

Alem disso, a serie (2.30) converge uniformemente para t em intervalos do tipo [−R,R] (paraqualquer R > 0) e verifica AeAt = eAtA, para todo o t ∈ R.

Demonstracao: Para provar este teorema, precisaremos em primeiro lugar de saber produzirestimativas de matrizes. Sendo A = [aij]

ni,j=1, consideramos:

‖A‖ = n maxi,j=1,...,n

|aij | .

Note que qualquer componente aij de A verifica:

|aij | ≤1

n‖A‖. (2.31)

De facto, esta funcao tem as propriedades de uma norma 7; mas vamos aqui apenas provar apropriedade de ‖A‖ de que efectivamente precisamos.

6Pode-se facilmente provar este resultado por inducao. No entanto, neste contexto isso sera desnecessario, poisestamos apenas a usar as iteradas de Picard para formular uma conjectura cuja veracidade sera depois comprovadapor outro metodo.

7E facil provar que para quaisquer duas matrizes reais, A,B, de dimensao n×n, se tem: (a) ‖A‖ = 0 ⇔ A = 0;(b) ‖cA‖ = |c| ‖A‖, para c ∈ R; (c) ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖; (d) ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖.

140


Se B = [bij ]ni,j=1 e outra matriz real, entao as componentes do produto AB verificam:∣∣∣∣∣

n∑

k=1

aikbkj

∣∣∣∣∣≤

n∑

k=1

|aik| |bik| ≤n∑

k=1

1

n2‖A‖‖B‖ =

1

n‖A‖‖B‖

Ou seja, o modulo de cada componente de AB e majorado pelo mesmo valor: 1n ‖A‖‖B‖. Desta

forma:

‖AB‖ ≤ n

(1

n‖A‖‖B‖

)

= ‖A‖‖B‖

Pela desigualdade anterior, ‖Ak‖ ≤ ‖A‖‖Ak−1‖ ≤ ‖A‖2‖Ak−2‖ ≤ · · · ≤ ‖A‖k, para k =1, 2, 3, . . . . Como tambem ‖A0‖ = ‖I‖ = 1 = ‖A‖0, resulta pois que:

‖Ak‖ ≤ ‖A‖k para k = 0, 1, 2, . . . (2.32)

Passamos agora a demonstracao da convergencia da serie. Para tal, basta provar que todasas componentes da soma da serie (2.30) existem (em R).

Sendo δii = 1 e δij = 0 se i 6= j , e denotando cada componente (i, j) de Ak por a(k)ij , entao

as componentes de eAt sao as somas das series reais 8:

δij + tai,j +t2

2!a(2)ij + · · · + tk

k!a(k)ij + · · · =

∞∑

k=0

tk

k!a(k)ij com i, j = 1, 2, . . . n. (2.33)

Vamos agora provar a convergencia uniforme destas series, para t num intervalo do tipo[−R,R], com R > 0. Para |t| ≤ R, e usando (2.31) e (2.32), podemos majorar cada um dostermos das series anteriores como se segue:

∣∣∣∣

tk

k!a(k)ij

∣∣∣∣=

|t|kk!

∣∣∣a

(k)ij

∣∣∣ ≤ Rk

k!

∣∣∣a

(k)ij

∣∣∣ ≤ Rk

k!

‖Ak‖n

≤ Rk

k!

‖A‖kn

=

(‖A‖R

)k

n k!

Como a serie real1

n

n∑

k=0

(‖A‖R

)k

k!

e convergente — a sua soma e 1ne

‖A‖R — entao, pelo criterio de Weierstrass, as series (2.33)convergem uniformemente para t em intervalos do tipo [−R,R]; isto vale para qualquer R > 0.Em particular, as series (2.33) convergem pontualmente para qualquer t ∈ R. Isto prova que etA

esta bem definida por (2.30), e diferenciavel em R e pode ser derivada termo a termo.Usando o resultado anterior, podemos agora calcular a derivada de etA:

d

dtetA =

d

dt

(

I + tA+t2

2!A2 +

t3

3!A3 + · · ·+ tn

n!An + · · ·

)

= 0 +A+2t

2!A2 +

3t2

3!A3 + · · · + ntn−1

n!An + · · ·

= A

(

I + tA+t2

2!A2 +

t3

3!A3 + · · ·+ tn

n!An + · · ·

)

= AetA

=

(

I + tA+t2

2!A2 +

t3

3!A3 + · · · + tn

n!An + · · ·

)

A = etAA

8O sımbolo δij , designado na literatura por delta de Kronecker, representa as componentes da matriz identidade.

Note que a(0)ij = δij .

141


Assim sendo:d

dtetA = AetA = etAA

Note tambem que e0A = I. Isto conclui a demonstracao do teorema. �

Algumas propriedades de eAt

Dado t ∈ R e A ∈ Mni,j=1(R), listamos aqui algumas das propriedades de eAt:

(a) e0 e a matriz identidade em Rn;

(b) S(t) = eAt e a unica matriz solucao fundamental de Y ′ = AY que verifica S(0) = I.

(c) eAt e uma funcao diferenciavel em qualquer t ∈ R e:

d

dt

(

eAt)

= AeAt = eAtA

(d) A matriz eAt e invertıvel para qualquer t ∈ R e

(

eAt)−1

= e−At

(e) Se A, B sao quaisquer matrizes n× n verificando AB = BA, entao:

eAtB = BeAt

(f) Se A, B sao quaisquer matrizes n× n verificando AB = BA, entao:

e(A+B)t = eAteBt

Demonstracao:

(d) Atendendo a que:

d

dt

(

eAt e−At)

= eAtAe−At + eAt(−A)e−At = eAtAe−At − eAtAe−At = 0,

entao eAt e−At e constante. Em particular:

eAt e−At = eA 0 e−A 0 = I2 = I.

(e) (Exercıcio)

(f) Considere X(t) = eAteBt. Entao X(0) = I e (usando (e)):

X ′(t) = AeAteBt + eAtBeBt = AeAteBt +BeAteBt = (A+B)eAteBt = (A+B)X(t).

Isto prova que X(t) = e(A+B)t. �

142


Como consequencia da teoria desenvolvida para o caso geral em que A(t) e uma funcaomatricial e as propriedades de eAt podemos deduzir o seguinte:

Teorema (Solucao de uma equacao vectorial linear de coeficientes constantes)

— Caso Homogeneo

Se A = [ai,j] e uma matriz n× n, com ai,j ∈ R, o problema de valor inicial

{Y = AYY (t0) = Y0

tem solucao unica, dada por:

Y (t) = eA(t−t0)Y0 , t ∈ R

Alem disso, as solucoes da equacao Y ′ = AY formam um espaco vectorial de dimensao n,sendo dadas por Y (t) = eAtC, onde C ∈ R

n.

Exemplo:

Dada a matriz

A =

2 4 0−1 −2 01 2 0

vamos determinar a matriz eAt e a solucao do (PVI)

x′ = 2x+ 4yy′ = −x− 2yz′ = x+ 2y

, (x(0), y(0), z(0)) = (1, 1, 1)

Comecemos por determinar uma matriz solucao fundamental associada ao sistema (ho-mogeneo). Assim

x′ = 2x+ 4y ⇒ y =x′ − 2x

4

Substituindo na segunda equacao, obtemos

y′ = −x−2y ⇒(x′ − 2x

4

)′= −x−2

(x′ − 2x

4

)

⇒ x′′ = 0 ⇒ x(t) = c1+c2t

Assim

y(t) =x′ − 2x

4=c2 − 2c1 − 2c1t

4e z =

∫

(x+ 2y)dt =c2t

2+ c3

Entao

x(t)y(t)z(t)

=

c1 + c2tc2−2c1−2c1t

4c2t2 + c3

=

1 t 0−1

214 − t

2 00 t

2 1

c1c2c3

A matriz

S(t) =

1 t 0−1

214 − t

2 00 t

2 1

143


e uma matriz solucao fundamental associada ao sistema mas nao e eAt (dado que para t = 0nao iguala a matriz identidade. Tem-se que

eAt = S(t)S−1(0) =

1 t 0−1

214 − t

2 00 t

2 1

1 0 0−1

214 0

0 0 1

−1

=

1 + 2t 4t 0−t 1− 2t 0t 2t 1

Finalmente, a solucao do (PVI) e dada por

x(t)y(t)z(t)

=

1 + 2t 4t 0−t 1− 2t 0t 2t 1

111

=

1 + 6t1− 3t1 + 3t

— Caso Nao Homogeneo Se a equacao

Y ′(t) = AY (t) + b(t) (2.34)

com Y ∈ Rn, A =

[

aij

]n

i,j=1, aij ∈ R e b : I ⊆ R → R

n. aplicarmos a formula (2.25),

concluımos que a solucao geral da equacao (2.34) e dada por

Y (t) = eAtC + eAt∫ t

e−As b(s) ds , C ∈ Rn

Se adicionalmente for dada a condicao inicial Y (t0) = Y0, a solucao do PVI sera neste casodada por

Y (t) = eA(t−t0)Y0 + eAt∫ t

t0

e−As b(s) ds

para todo t ∈ I.

Exemplo:

Determinar a solucao do PVI

Y ′ = AY + b(t) , Y (0) = (1.− 1.0)

em que

A =

−2 0 10 −3 −10 1 −1

, b(t) =

10

2e−2t

Vamos em primeiro lugar determinar a matriz eAt resolvenso o sistema homogeneo associado, istoe determinar a solucap geral de

x′ = −2x+ zy′ = −3y − zz′ = y − z

144


Para tal, determinemos a solucao do sistema em y e z, e conhecidas estas funcoes determinaremosa funcao x resolvendo a equacao correspondente. Assim

{y′ = −3y − zz′ = y − z

⇔{ (

z′ + z)′

= −3(

z′ + z)

− z

y = z′ + z⇔

{z′′ + 4z′ + 4z = 0y = z′ + z

O polinomio caracterıstico associado a equacao (em z) e

P (R) = R2 + 4R + 4 = (R + 2)2

pelo que z(t) = ae−2t + bte−2t e consequentemente

y = z′ + z = (−a+ b)e−2t − bte−2t

Finalmente, substituindo na equacao em x

x′ + 2x = ae−2t + bte−2t ⇔ d

dt

(

e2tx)

= a+ bt ⇔ x = e−2t(

c+ at+ bt2

2

)

Tem-se entao que a solucao do sistema homogeneo

x(t)y(t)z(t)

H

= e−2t

c+ at+ b t2

2−a+ b− bta+ bt

= e−2t

t t2

2 1−1 1− t 01 t 0

abc

≡ S(t)C

e S(t) e uma matriz solucao fundamental. Entao

eAt = S(t)S−1(0) = e−2t

1 t2

2 t+ t2

20 1− t −t0 t 1 + t

Assim, a solucao da equacao e dada pela formula da variacao das constantes (versao com aexponencial da matriz A)

x(t)y(t)z(t)

= eAt

1−10

+ eAt∫ t

0e−As

10

2e−2s

ds

= eAt

1−10

+ eAt∫ t

0e2s

1 s2

2 −s+ s2

20 1 + s s0 −s 1− s

10

2e−2s

ds

= e−2t

12 (e

2t − 1) + 1 + t2

2 + t3

3−1 + t− t2

t+ t2

145


2.4.4 Calculo de uma Matriz Solucao Fundamental no caso A diagonalizavel

Uma matriz A, n × n, diz-se diagonalizavel se admite n vectores linearmente independentes.Observa-se que, se a matriz A admitir n valores proprios distintos entao A e necessariamentediagonalizavel. Se A admite valores proprios repetidos (com multiplicidade algebrica, ma, maiordo que 1), a matriz sera diagonalizavel se a multiplicidade geometrica, mg, for igual a ma, e naosera diagonalizavel se a multiplicidade geometrica, mg, for menor do que ma.

No caso em que a matriz e diagonalizavel, podemos obter solucoes linearmente independentesde y′ = Ay usando o seguinte resultado.

Proposicao: Seja A ∈ Mn×n(R). Se λ ∈ C e um valor proprio de A e v ∈ Cn um vector proprio

associado a λ entao Y (t) = etλv e uma solucao da equacao y′ = Ay. Alem disso, u = Rey eu = Imy sao solucoes reais de y′ = Ay.

Demonstracao: Para provar a primeira parte, basta ver que:

dy

dt=

d

dt

(eλtv

)= eλt λv = eλtAv = A

(etλv

)= Ay(t).

Tendo em conta que

u′ + iu′ = (u+ iu)′ = y′ = Ay = A(u+ iu) = Au+ iAu,

tomando a parte real e a parte imaginaria de ambos os membros desta igualdade obtem-se u′ = Aue u′ = Au. �

Se A for uma matriz n × n real diagonalizavel, entao existe um conjunto de n vectoresproprios de A linearmente independentes v1,v2, . . . ,vn. Se λ1, λ2, . . . , λn forem os respectivosvalores proprios associados, podemos construir uma matriz solucao fundamental — e daı obtereAt — colocando nas colunas de S as solucoes de y′ = Ay dadas pela proposicao anterior; isto e:

eλ1tv1, eλ2tv2, . . . , e

λntvn.

Note que S(0) e nao singular. Se λ for um valor proprio complexo de uma matriz real A, comvector proprio associado v ∈ C

n, entao o procedimento anterior da-nos uma matriz solucaofundamental complexa; no entanto, podemos utilizar as funcoes reais Re eλtv e Im eλtv, no lugarde eλ1tv e eλ1tv 9

Exemplo 1:Seja

A =

[3 51 −1

]

.

Vamos calcular uma (MSF) associada a Y ′ = AY comecando por calcular os valores proprios deA:

det(A− λI) = 0 ⇔ (3− λ)(−1− λ)− 5 = 0 ⇔ λ2 − 2λ− 8 = 0 ⇔ λ = 4 ∨ λ = −2

9Se A e uma matriz real, entao A = A. Se (λ,v) e um par valor proprio, vector proprio (complexo) de A,entao (λ, v) e tambem um par valor proprio, vector proprio de A, pois Av = Av = Av = λv = λv. Neste caso,

Re eλtv = Re eλtv e Im eλtv = − Im eλtv. Por cada par de vectores proprios conjugados, v e v, produzem-sedesta forma duas (nao quatro!) funcoes reais linearmente independentes, Re eλtv e Im eλtv.

146


Conclui-se de imediato que a matriz A e diagonalizavel. Como tal vamos calcular os vectorespropios associados.

• λ = 4, o vector proprio associado e uma solucao nao nula de

(A− 4I)v = 0 ⇔[−1 51 −5

] [v1v2

]

=

[00

]

⇔ v1 − 5v2 = 0

Entao podemos escolher (por exemplo) v2 = 1) e o vector proprio associado a 4 serav = (5, 1).

• λ = −2, o vector proprio associado e uma solucao nao nula de

(A+ 2I)v = 0 ⇔[5 51 1

] [v1v2

]

=

[00

]

⇔ v1 + v2 = 0

Entao podemos escolher (por exemplo) v2 = 1) e o vector proprio associado a 4 seraw = (−1, 1).

Como tal, a matriz

S(t) =

[

e−2t

[−11

]

e4t[51

] ]

e uma (MSF) associada a equacao Y ′ = AY . Dado que

S(0) =

[−1 51 1

]

nao e a matriz identidade, tem-se que

eAt = S(t)S−1(0) =−1

6

[−e−2t 5e4t

e−2t e4t

] [1 −5−1 −1

]

isto e

eAt =−1

6

[−e−2t − 5e4t 5e−2t − 5e4t

e−2t − e4t −5e−2t − e4t

]

E importante calcular as solucoes do problema de valor inicial

Y ′ = AY , Y (0) = Y0 (2.35)

para alguns valores especiais de Y0 ∈ R2. Comecemos por analisar a solucao de (2.35) quando

Y0 = (0, 0). Neste caso, a solucao do sistema e constante e, igual a (0, 0), pelo que a origem e ounico ponto de equilıbrio do sistema.

Se Y0 = (−5,−1), isto e, quando a condicao inicial pertence ao espaco prooprio associado aovalor proprio 4,

Y (t) = eAtY0 =−1

6

[−e−2t − 5e4t 5e−2t − 5e4t

e−2t − e4t −5e−2t − e4t

] [−5−1

]

=

[−5e4t

−e4t]

= −e4t[51

]

Escrevendo Y (t) = (x(t), y(t)), obtemos as equacoes parametricas da solucao do (2.35)

{x(t) = −5e4t

y(t) = −e4t

147


Eliminando o parametro t, no espaco R2 ∋ (x, y) a equacao cartesiana da solucao e x = 5y; isto

e, se a condicao inicial pertence ao espaco proprio de λ = 4, a solucao do (2.35) nele permanecerapara todo t. Mais se observa que, neste caso

limt→+∞

e4t = +∞ . (2.36)

Nesta direccao, quando t → +∞, a solucao do (PVI) afasta-se do ponto de equilıbrio.Se Y0 = (−1, 1), isto e, quando a condicao inicial pertence ao espaco proprio associado ao

valor proprio −2,

Y (t) = eAtY0 =−1

6

[−e−2t − 5e4t 5e−2t − 5e4t

e−2t − e4t −5e−2t − e4t

] [−11

]

=

[−e−te−t

]

= e−t[−11

]

Fazendo Y (t) = (x(t), y(t)), obtemos entao as equacoes parametricas da solucao do (2.35)

{x(t) = −e−ty(t) = e−t

Eliminando o parametro t, no espaco (x, y) a equacao cartesiana da solucao e x = −y; isto e, sea condicao inicial pertence ao espaco proprio de λ = −2, a solucao do (2.35) nele permanecerapara todo t. Mais se observa que, neste caso

limt→+∞

e−2t = 0 . (2.37)

Nesta direccao, quando t → +∞, a solucao do (PVI) aproxima-se do ponto de equilıbrio. Poreste facto, (2.36) e (2.37), dizenos que o equilıbrio e um ponto de sela.

Em qualquer outra situacao, a solucao nao e constante nem esta confinada a uma recta. Porexemplo, se Y0 = (1, 1), a solucao de (2.35) e dada por

Y (t) = eAtY0 =−1

6

[−e−2t − 5e4t 5e−2t − 5e4t

e−2t − e4t −5e−2t − e4t

] [11

]

=1

3

[−2e−t + 54t

2e−t + e4t

]

Fazendo Y (t) = (x(t), y(t)), obtemos as equacoes parametricas da solucao do (2.35)

{3x(t) = −2e−t + 5e4t

3y(t) = 2e−t + e4t

Eliminando o parametro t, no espaco (x, y) a equacao cartesiana da solucao e

x+ y = 2( 4

5x− y

)2.

De um modo geral, se Y0 = (α, β) ∈ R2 \ {(0, 0)}, a solucao de (2.35) e dada por

Y (t) = eAtY0 =−1

6

[−e−2t − 5e4t 5e−2t − 5e4t

e−2t − e4t −5e−2t − e4t

] [αβ

]

=−1

6

[−δe−t + 5γe4t

−δe−t − γe4t

]

em que, para facilitar a escrita, fizemos γ = α+ β e δ = −α+ 5δ. Fazendo Y (t) = (x(t), y(t)),obtemos as equacoes parametricas da solucao do (2.35)

{−6x(t) = −2e−t + 5e4t

−6y(t) = 2e−t + e4t

148


−4 −2 0 2 4x

−4

−2

0

2

4

y

Figura 2.2: Retrato de fase da equacao Y ′ = AY .

Eliminando o parametro t, a equacao cartesiana da solucao e

x+ y =γδ2

((6 + 5γ)x+ 5γy)2.

Exemplo 2:Vamos determinar eAt, sendo

A =

2 0 10 −1 01 0 2

.

Comecemos por calcular uma matriz solucao fundamental S(t). Os valores proprios de A sao assolucoes da equacao

det(A− λI) = 0 ⇔ (−1− λ)((2 − λ)2 − 1) = 0 ⇔ λ = −1 , λ = 1 , λ = 3

Conclui-se de imediato que a matriz A e diagonalizavel. Como tal vamos calcular os vectorespropios associados. Para λ = −1, o vector proprio sera v = (a, b, c) ∈ R

3 \ {(0, 0, 0)} tal que

(A+ I)v = 0 ⇔

3 0 10 0 01 0 3

abc

=

000

⇔ a = c = 0

Tem-se entao quev = (a, b, c) = (0, b, 0) = b(0, 1, 0)

donde podemos escolher v1 = (0, 1, 0). Para λ = 1,

(A− I)v = 0 ⇔

1 0 10 −2 01 0 1

abc

=

000

⇔ a+ c = 0 , b = 0

149


Tem-se entao que

v = (a, b, c) = (a, 0,−a) = a(1, 0,−1)

donde podemos escolher v2 = (1, 0,−1). Para λ = 3,

(A− 3I)v = 0 ⇔

−1 0 10 −4 01 0 −1

abc

=

000

⇔ a− c = 0 , b = 0

Tem-se entao que

v = (a, b, c) = (a, 0, a) = a(1, 0, 1)

donde podemos escolher v3 = (1, 0, 1).

Entao a matriz

S(t) =

e−t

010

et

10−1

e3t

101

e uma (MSF) associada a equacao Y ′ = AY . Dado que

S(0) =

0 1 11 0 00 −1 1

nao e a matriz identidade, tem-se que

eAt = S(t)S−1(0) =1

2

0 e−t e3t

e−t 0 00 −e−t e3t

0 2 01 0 −11 0 1

isto e

eAt =1

2

e−t + e3t 0 −e−t + e3t

0 2e−t 0−e−t + e3t 0 e−t + e3t

Se quisermos determinar a solucao do problema de valor inicial

dY

dt= AY +H(t) , Y (0) = [0 1 0]T

sem que

H(t) =

et

0et

a solucao e dada pela formula da variacao das constantes (usando a exponencial da matriz A)

y(t) = eAtY (0) + eAt∫ t

0e−AsH(s) ds .

150

2.5. EQUACOES LINEARES DE ORDEM N > 1 — CASO NAO HOMOGENEO

Entao

Y (t) = eAt(

010

+1

2

∫ t

0

e−s + e−3s 0 e−3s − e−s

0 2es 0e−3s − e−s 0 e−3s + e−s

es

0es

ds)

=

0e−t

0

+1

4

et + e3t 0 e3t − et

0 2e−t 0e3t − et 0 et + e3t

e−2t − 10

e−2t − 1

=

−12et

e−t

−12et

2.5 Equacoes Lineares de ordem n > 1 — Caso Nao Homogeneo

Vamos agora resolver a equacao

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y

′ + a0(t) y = b(t) (2.38)

em que a0, a1,..., an e b, sao funcoes contınuas em I ⊆ R. Como em qualquer equacao linearnao- homogenea, a solucao geral de ( 2.38) e dada por

y(t) = yG(t) + yP (t)

em que yG denota a solucao geral da equacao homogenea associada

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y

′ + a0(t) y = 0 ,

e yP uma solucao particular da equacao (2.38). Iremos estudar dois metodos para determinar yP :um em que se “adivinha” a solucao particular da equacao (especıfico para equacoes de coeficientesconstantes e casos particulares de b(t)) - o Metodo dos coeficientes indeterminados - e outro ondese aplica uma formula (de aplicacao geral) - Formula da Variacao das Constantes.

2.5.1 Calculo da Solucao da Equacao — Formula da Variacao das Constantes

A equacao escalar de ordem n, (2.38), pode ser escrita na forma de uma equacao vectorial deordem 1 em R

n da forma que em seguida se descreve. Considera-se

X = (x0, x1, ..., xn−1)def= (y, y′, ..., y(n−1))

E assim

X ′ = (x′0, x′1, ..., x

′n−1) = (y′, y′′, ..., y(n))

= (x2, x3, . . . , xn−1,−a0(t)x0 − a1(t)x1 − ...− an−1(t)xn−1 + b(t))

onde se utilizou o facto de pela equacao diferencial

y(n) = −a0(t)y − a1(t)y′ − ...− an−1(t)y

(n−1) + b(t)

151


Assim

x0x1...

xn−2

xn−1

′

=

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .0 0 0 . . . 1

−a0(t) −a1(t) −a2(t) . . . −an−1(t)

x0x1...

xn−2

xn−1

+

00...0b(t)

(2.39)

A matriz

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .0 0 0 . . . 1

−a0 −a1 −a2 . . . −an−1

e denominada matriz companheira da equacao

y(n) + an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y = 0

Observa-se que se a equacao (2.38) tiver coeficientes constantes (caso em que ai, i = 1, · · · n− 1sao constantes) a matriz companheira da equacao sera tambem de entradas constantes.

Exemplo 1:Considere-se a equacao de ordem 2

y′′ + a(t)y′ + b(t)y = h(t)

Fazendo X = (x0, x1) = (y, y′) tem-se que

{x′0 = y′ = x1x′1 = y′′ = −b(t)y − a(t)y′ + h(t) = −b(t)x0 − a(t)x1 + h(t)

pelo que a equacao de ordem 2 pode ser escrita como a equacao vectorial de ordem 1 em R2

[x0x1

]′=

[0 1

−b(t) −a(t)

] [x0x1

]

+

[0h(t)

]

Exemplo 2:Considere-se a equacao de ordem 3

y′′′ + a(t)y′′ + b(t)y′ + c(t)y = h(t)

Fazendo X = (x0, x1, x2) = (y, y′, y′′) tem-se que

x′0 = y′ = x1x′1 = y′′ = x2x′2 = y′′′ = −c(t)y − b(t)y′ − a(t)y′′ + h(t) = −c(t)x0 − b(t)x1 − a(t)x2 + h(t)

152


pelo que a equacao de ordem 3 pode ser escrita como a equacao vectorial de ordem 1 em R3

x0x1x2

′

=

0 1 00 0 1

−c(t) −b(t) −a(t)

x0x1x2

+

00h(t)

Matriz Wronskiana

Sendo y1,...,yn solucoes linearmente independentes da equacao homogenea associada (de-terminadas na Seccao 2.4. no caso das equacoes de coeficientes constantes), define-se matrizWronskiana associada como sendo a matriz n× n

W (t) =

y1 ... yny′1 ... y′n. ... .. ... .

y(n−1)1 ... y

(n−1)n

Como as colunas da matrizW (t) sao solucoes da equacao homogenea associada a (2.39), a matrizW (t) e uma matriz solucao fundamental da equacao vectorial (2.39) pelo que, por aplicacao daformula da variacao das constantes para equacoes vectoriais, tem-se que uma solucao de (2.39)sera dada por

yy′

y′′

.

.

.

y(n−1)

=W (t)C +W (t)

∫ t

W−1(s)

000...

b(s)

ds .

Conclui-se que a solucao da equacao (2.38) e dada por

y(t) = c1y1 + · · ·+ cnyn +[y1(t) ... yn(t)

]∫ t

W−1(s)

0..0b(s)

ds

Exemplo 1:

Determinar a solucao geral da equacao

y′′ + 2y′ + 2y = 2e−t (2.40)

Comecemos por determinar uma base do espaco de solucoes da equacao homogenea associad, istoe resolver a equacao

y′′ + 2y′ + 2y = 0 ⇔(

D2 + 2D + 2)

y = 0 ⇔(

(D + 1)2 + 1)

y = 0

153


pelo que uma base do espaco de solucoes sera e−t cos t e e−t sen t, e a sua solucao geral e

yH(t) = c1e−t cos t+ c2e

−t sen t , c1, c2 ∈ R

Uma matriz Wronskiana e dada por:

W (t) =

[e−t cos t e−t sen t

(e−t cos t)′ (e−t sen t)′

]

=

[e−t cos t e−t sen t

−e−t(cos t+ sen t) e−t(− sen t+ cos t)

]

e assim, por aplicacao da formula da variacao das constantes, a solucao particular e

yP (t) =[e−t cos t e−t sen t

]∫

W−1(t)

[0

2e−t

]

= 2e−t

Finalmente a solucao geral de (2.40) e

y(t) = c1e−t cos t+ c2e

−t sen t+ 2e−t , c1, c2 ∈ R

Exemplo 2:

A formula da variacao das constantes e tambem aplicavel no caso em que a equacao naotem coeficientes constantes. Desde que se conheca uma base de solucoes da equacao homogeneaassociada, o calculo da solucao e analogo ao que fizemos no exemplo anterior. Assim, considere-sea equacao diferencial

y′′ +(

t− 3

t

)

y′ − 2y = t4 , t > 0

E facil de verificar que as funcoes

y1(t) = e−t2/2 , y2(t) = t2 − 2

sao solucoes linearmente independentes da equacao homogenea associada e como tal formam umabase do seu espaco de solucoe. Assim podemos construir a matriz Wronskiana associada

W (t) =

[

e−t2/2 t2 − 2

−te−t2/2 2t

]

e pela formula da variacao das constantes a solucao geral da equacao e dada por

y(x) =[

e−t2/2 t2 − 2

] [ c1c2

]

+[

e−t2/2 t2 − 2

] ∫

W−1(t)

[0t4

]

dt

ou seja

y(t) = c1e−t2/2 + c2(t

2 − 2) + 4− 2t2 +t4

2

154


2.5.2 Metodo dos Coeficientes Indeterminados

Aplicavel apenas nos casos em que a equacao tem coeficientes constantes, e h(t) e uma funcaoda forma

tpeλt ou tpeat cos(bt) ou tpeat sen(bt) , p ∈ N0 (2.41)

ou suas combinacoes lineares.

Dada uma funcao f(t), define-se polinomio aniquilador de f ao polinomio diferencial de menorordem, PA(D), que verifica

PA(D)f = 0

Se f(t) e uma combinacao linear de funcoes do tipo descrito em (2.41), entao existe um polinomioaniquilador, e, pela seccao 2.4.1, concluimos que

se b(t) = tpeλt, entao o seu polinomio aniquilador e

PA(D) = (D − λ)p+1

se b(t) = tpeat cos(bt) ou b(t) = tpeat sen(bt), entao o seu polinomio aniquilador e da forma

PA(D) = (D − (a+ ib))p+1(D − (a− ib))p+1 = ((D − a)2 + b2)p+1y

O metodo dos coeficientes indeterminados para resolver a equacao P (D)y = b(t) consiste em:

1. Determinar o polinomio aniquilador, PA(D), de b(t). Seja k o seu grau.

2. Aplicar PA(D) a ambos os membros da equacao inicial, donde resulta:

P (D)y = h(t) ⇒ PA(D)P (D)y = PA(D)h(t) ⇔ PA(D)P (D)y = 0

Note que a aplicacao de PA(D) nao produz uma equacao equivalente a inicial. Emboraqualquer solucao de P (D)y = h(t) seja solucao de PA(D)P (D)y = 0, nem todas assolucoes da segunda equacao resolvem a primeira.

Assim obtivemos uma equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantes deordem n+ k.

3. A solucao geral da equacao PA(D)P (D)y = 0 e dada por

y(t) = α1y1 + ...+ αnyn + β1w1 + ...+ βpwp

em que y1, ..., yn sao as solucoes linearmente independentes da equacao P (D)y = 0determinadas previamente, ou seja:

yG(t) = α1y1 + ...+ αnyn

Tem-se entao que existem β1, ..., βk ∈ R tais que

yP = β1w1 + ...+ βpwp

e uma solucao particular de P (D)y = b.

155


4. Determinam-se os coeficientes β1, ..., βp de modo a que w = β1w1 + ... + βpwp verifiqueP (D)w = b.


y′′ + 3y′ + 2y = e−x , y(0) = 0 , y′(0) = 1 (2.42)

A solucao da equacao diferencial e da forma

y(x) = yH(x) + yP (x)

em que yH e a solucao geral da equacao homogenea associada, e yP e uma solucao particular daequacao completa.

• Calculo de yH

A equcao homogenea associada e

y′′ + 3y′ + 2y = 0

Fazendo y′ = Dy, obtem-se

(D2 +3D+2)y = 0 ⇔ (D+1)(D+2)y = 0 ⇔ (D+1)y = 0 ou (D+2)y = 0

Uma solucao da equacao (D+1)y = 0 e e−x. Por outro lado a equacao (D+2)y = 0 temcomo solucao e−2x. Como tal

yH(x) = c1e−x + c2e

−2x , c1, c2 ∈ R

• Calculo de yP

Dado que h(x) = e−x, podemos utilizar o metododos coeficientes indeterminados paradeterminar a solucao particular yP . O polinomio aniquilador de h(x) e

PA(D) = D + 1

Assim, e utilizando a factorizacao do polinomio caracterıstico feito anteriormente:

(D + 1)(D + 2)y = e−x ⇒ (D + 1)(D + 1)(D + 2)y = (D + 1)e−x

Ou seja(D + 1)2(D + 2)y = 0

Resolvendo a equacao homogenea obtem-se que

y(x) = c1e−x + c2xe

−x + c3e−2x

Dado que c1e−x + c3e

−2x representa a solucao geral da equacao homogenea associadaa (2.42), conclui-se que a forma da solucao particular e w(x) = αxe−x. Seguidamenteteremos que determinar o valor da constante α de modo a que w seja solucao da equacaoy′′ + 3y′ + 2y = e−x. Tem-se entao que

(αxe−x)′′ + 3(αxe−x)′ + 2(αxe−x) = e−x ⇔ α = 1

Conclui-se queyP (x) = xe−x

156


• Calculo da solucao geral de (2.42)

Como ja foi referido

y(x) = yH(x) + yP (x) = c1e−x + c2e

−2x + xe−x , c1, c2 ∈ R

• Calculo da solucao de (2.42)


{y(0) = 0y′(0) = 0

⇒{c1 + c2 = 0−c1 − 2c2 + 1 = 1

⇒{c1 = 0c2 = 0

Finalmente a solucao de (2.15) ey(x) = xe−x


y′′ + 16y = sen(4t) , y(0) = 1 , y′(0) = 0 (2.43)

A solucao da equacao diferencial e da forma

y(t) = yH(t) + yP (t)

em que yH e a solucao geral da equacao homogenea associada, e yP e uma solucao particular daequacao completa.

• Calculo de yH

A equcao homogenea associada ey′′ + 16y = 0

Fazendo y′ = Dy, obtem-se (D2 + 16)y = 0, pelo que

yH(x) = c1 sen(4t) + c2 cos(4t) , c1, c2 ∈ R

• Calculo de yP

Dado que b(t) = sen(4t), podemos utilizar o metododos coeficientes indeterminados paradeterminar a solucao particular yP . O polinomio aniquilador de b(t) e

PA(D) = (D − 4i)(D + 4i) = D2 + 16

Assim

(D2 + 16)y = sen(4t) ⇒ (D2 + 16)(D2 + 16)y = (D2 + 16) sen(4t)

Ou seja(D2 + 16)2y = 0

Resolvendo esta equacao homogenea obtem-se que

y(t) = c1 sen(4t) + c2 cos(4t) + c3t sen(4t) + c4t cos(4t)

157


Dado que c1 sen(4t)+c2 cos(4t) representa a solucao geral da equacao homogenea associadaa (2.43), conclui-se que a forma da solucao particular e w(t) = c3t sen(4t) + c4t cos(4t).Seguidamente teremos que determinar as constantes c3ec4 de modo a que w seja solucaoda equacao y′′ + 16y = sen(4t). Tem-se entao que

(c3t sen(4t)+ c4t cos(4t))′′+16(c3t sen(4t)+ c4t cos(4t)) = sen(4t) ⇔

{c3 = 0c4 = −1/8

Conclui-se que

yP (t) = − t cos(4t)8

• Calculo da solucao geral de (2.43)

Como ja foi referido

y(t) = yH(t) + yP (t) = c1 sen(4t) + c2 cos(4t) −t cos(4t)

8, c1, c2 ∈ R

• Calculo da solucao de (2.43)


{y(0) = 1y′(0) = 0

⇒{c2 = 14c1 − 1

8 = 0⇒

{c1 =

132

c2 = 1

Finalmente a solucao de (2.43) e

y(t) =1

32sen(4t) + cos(4t) − t cos(4t)

8

2.6 Existencia, Unicidade e Prolongamento de Solucoes

Consideramos o problema de valor inicial (PVI)

dy

dt= f(t, y)

y(t0) = y0

(2.44)

onde a funcao f : D → R tem domınio aberto D ⊂ R2. E costume designar f(t, y) por campo de

direccoes da equacao diferencial em (2.45); isto deriva do facto de a recta tangente ao graficodas solucoes da equacao diferencial ter, em cada ponto (t, y) desse grafico, declive igual af(t, y). Note que se y(t) e solucao da equacao diferencial entao f(t, y(t)) = dy

dt (t).Nesta seccao estudamos as condicoes que a funcao f(t, y) deve verificar para que a solucao

do PVI:

• exista;

• seja unica;

• esteja definida num intervalo maximal I =]a, b[.

158

2.6. EXISTENCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUCOES

Estas questoes matematicas sao muito importantes do ponto de vista das aplicacoes. Osmetodos numericos que na pratica sao aplicados no calculo aproximado de solucoes de umaequacao diferencial ordinaria exigem, como hipotese, que a solucao do PVI exista, seja unica eque dependa continuamente das condicoes iniciais — isto e, que seja um problema bem posto. Esabido que quando um PVI falha uma daquelas propriedades as solucoes dos esquemas numericoscorrespondentes podem exibir comportamentos que as tornam inuteis, na optica das aplicacoes.

2.6.1 Teorema de Peano

Se exigirmos apenas continuidade de f(t, y), podemos provar o:

Teorema de Peano (Existencia de solucao local)

Considere-se D ⊆ R2, e f : D → R, contınua em (t, y) ∈ D. Se (t0, y0) ∈ D, o problema de

valor inicial {y = f(t, y)y(t0) = y0

admite pelo menos uma solucao, y(t), num intervalo ]t0 − α, t0 + α[ para certo α > 0.

Pode-se entao colocar a questao de saber se a continuidade de f(t, y) e suficiente para provarunicidade de solucao. A subseccao seguinte mostra que a resposta a esta questao e negativa.

2.6.2 Exemplo de nao unicidade de solucao

Considere-se o problema de valor inicial:

dy

dt= |y|1/2

y(0) = 0 ,

Vamos construir um conjunto infinito de solucoes para este PVI.

Comecamos por notar que a solucao constante y(t) ≡ 0 e solucao do PVI.

Por outro lado, admitindo que y(t) > 0, a equacao pode ser escrita na forma

y−1/2 dy

dt= 1 ⇔ d

dt

(∫

y−1/2dy)

= 1 ⇔ 2y1/2 = t+ c

Desta forma, para t+ c > 0 ⇔ t > −c, a funcao

y(t) =1

4(t+ c)2

e continuamente diferenciavel e satisfaz a equacao diferencial para t > −c.Podemos agora utilizar o metodo de “cortar” e “colar” a partir das solucoes y(t) ≡ 0 e

y(t) = 14(t + c)2, para t > −c, para criar novas solucoes do PVI. Sera necessario, obviamente,

que que no “ponto de colagem” a nova solucao seja uma funcao contınua, diferenciavel e queverifique a equacao diferencial.

159


Figura 2.3: A solucao de equilıbrio y(t) ≡ 0 e a solucao y(t) = t2/4.

Figura 2.4: As solucoes do PVI quando c = 0.

Para t1 > 0, defina-se

yt1(t) =

0 se t ≤ t1

1

4

(t− t1

)2se t > t1

Verifica-se que yt1 e diferenciavel e verifica a equacao diferencial em R\{t1}, pois foi construıdaa custa das solucoes y(t) ≡ 0 e y(t) = 1

4 (t + c)2, com c = −t1. Note que esta escolha de c fazprecisamente com que

limt→t−1

yt0(t) = limt→t+1

yt1(t) ⇔ 0 =( t12− k)2

,

ou seja, que yt1 seja contınua em t1 e yt1(t1) = 0. Tambem as derivadas laterais de yt1 em t1existem e sao nulas, pelo que yt1 satisfaz a equacao diferencial em t1.

O facto de existirem uma infinidade de solucoes mostra que a continuidade da funcao f(t, y) =√y no seu domınio nao e suficiente para garantir unicidade de solucao para o PVI.

160


Figura 2.5: As solucoes yt1 com t1 = 1/5, t1 = 1/2 e t1 = 6/5.

De facto, temos que

|f(t, x)− f(t, y)| =∣∣∣∣∣

√

|x| −√

|y|x− y

∣∣∣∣∣|x− y|,

onde o termo ∣∣∣∣∣

√

|x| −√

|y|x− y

∣∣∣∣∣,

nao e limitado para x, y num vizinhanca qualquer da origem. Isto implica, em particular, quefixando y = 0 as taxas medias de crescimento da funcao f nao sao limitadas. Ora, foi precisamentenos pontos onde a solucao da equacao e nula que se observou a bifurcacao de solucoes!

2.6.3 Condicao de Lipshitz

Nesta Seccao, definiremos uma classe de funcoes contınuas que nao sao necessariamente dife-renciaveis relativamente a y, mas para as quais o Teorema de Picard e valido. O exemplo anteriorsugere que se introduza a seguinte condicao adicional sobre f , que e devida a Lipshitz.

Considere-se f : D → R, onde D ⊂ R2. Diz-se que

• f e Lipschitziana relativamente a y em D sse

|f(t, y)− f(t, w)| ≤ K|y − w| . ∀(t, y), (t, w) ∈ D

A constante K ∈ R+ e denominada a constante de Lipschitz. Observe-se que se a funcao

f e Lipschitziana relativamente a y em D, verificara

∣∣∣f(t, y)− f(t, w)

y − w

∣∣∣ ≤ K . ∀(t, y), (t, w) ∈ D

o que significa que a taxa de crescimento de f relativamente a segunda coordenada, elimitada em D. Em particular isto significa que:

161


– Se ∂f/∂y existe (em D), entao ∂f/∂y e uma funcao limitada em D;

– Se ∂f/∂y nao existe em todos os pontos de D (porque nao existe limh→0

f(t,y+h)−f(t,y)h ,

para algum (t, y) ∈ D), ainda assim a razao incremental f(t,y)−f(t,y+h)h sera semprelimitada, para todo h numa vizinhanca de 0.

• f e localmente lipschitziana relativamente a y em D sse for lipschitziana relativamentea y em todo o subconjunto compacto de D.

• Criterio

Se f e contınua num aberto D ⊂ R2 e

∂f

∂yexiste e e contınua em D ⊂ R

2 entao f e

localmente lipschitziana relativamente a y em D.

2.6.4 Teorema de Picard

Enunciaremos, de seguida, o resultado que estabelece existencia e unicidade de solucao de umproblema de valor inicial relativo a uma equacao diferencial ordinaria e escalar de primeira ordem.Veremos mais tarde que este teorema pode ser generalizado as equacoes vectoriais de primeiraordem, garantindo nessa versao a existencia e unicidade de problemas de valor inicial envolvendoessas equacoes e (como sua consequencia) tambem envolvendo equacoes lineares de ordem n.

Teorema de PicardConsidere-se D ⊆ R

2 e f : D → R, D contınua em (t, y) ∈ D e localmente lipschitzianarelativamente a y em D. Se (t0, y0) ∈ D, o problema de valor inicial

{y = f(t, y)y(t0) = y0

admite uma unica solucao, y(t), para t pertencente a ]t0 − α, t0 + α[ para certo α > 0.

Equivalencia entre o Problema de Valor Inicial e um Problema Integral

E facil verificar que o problema de valor inicial

dy

dt= f(t, y)

y(t0) = y0

(2.45)

e equivalente a equacao integral

y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s)

)ds (2.46)

para y ∈ C1(I), sendo I qualquer intervalo aberto contendo t0.De facto, se y ∈ C1(I) satisfaz o PVI (2.45) entao, integrando ambos os membros da equacao

diferencial entre t0 e t e usando o teorema fundamental do calculo:∫ t

t0

y′(s) ds =∫ t

t0

f(s, y(s)

)ds ⇔ y(t)− y(t0) =

∫ t

t0

f(s, y(s)

)ds

162


Usando agora a condicao inicial do PVI (2.45), obtem-se a equacao integral (2.46).

Reciprocamente, admitindo que y ∈ C(I) e solucao da equacao integral (2.46) entao, apli-cando o teorema fundamental do calculo ao integral do membro direito da equacao conclui-se quey(t) e diferenciavel e que:

dy

dt= f(t, y(t)) ∀t ∈ I.

Assim sendo, y(t) e solucao da equacao diferencial. Por outro lado, substituindo t por t0 naequacao integral (2.46), obtem-se y(t0) = y0.

A equacao integral e, do ponto de vista da Analise Matematica, muito util pois a estimacaode integrais e mais facil que a das derivadas.

Iteradas de Picard

Derivamos agora a partir da equacao integral uma sucessao de aproximacoes — as iteradas dePicard. Trata-se de uma sucessao de funcoes contınuas yn : I → R definida recursivamente por:

y0(t) = y0

y1(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y0(s)

)ds

y2(t) = y0 +

∫ t

t0

f(t, y1(s)

)ds

...

yn+1(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, yn(s)

)ds

...

Exemplo 1: Considere-se o PVI

y′ = 2xy

y(0) = 1(2.47)

A solucao do PVI (2.47) e

y(x) = ex2

, IMax = R

163


Por outro lado a sucessao (yn)n∈N0 das iteradas de Picard associadas ao (PVI) e

y0(x) = y0 = 1

y1(x) = 1 +

∫ t

02sy0(s) ds = 1 +

∫ x

0(2s) ds = 1 + x2

y2(x) = 1 +

∫ x

0(2sy1(s)) ds = 1 +

∫ x

02s(1 + s2) ds = 1 + x2 +

x4

2

y3(x) = 1 +

∫ x

0(2sy2(s)) ds = 1 +

∫ x

02s(1 + s2 +

s4

2) ds = 1 + x2 +

x4

2+x6

6

...

Na Figura (2.5) estao representadas as primeiras iteradas de Picard assim como a solucao do(PVI).

-0.05 0.07 0.19 0.31 0.43 0.55 0.67 0.79 0.910.5

1

1.5

2

2.5

3

y_1y_2y_3y(t)

Figura 2.6: Algumas iteradas de Picard e a solucao do (PVI) (2.47).

Pode-se verificar, por inducao matematica, que:

yn(x) = 1 +x2

1!+x4

2!· · · + x2k

k!+ · · · =

n∑

k=0

x2k

k!.

Neste caso, a sucessao das iteradas de Picard, yn, e precisamente igual a sucessao das somasparciais da serie de McLaurin da solucao do (PVI), y(x) = ex

2. No entanto, e conforme se ilustra

no exemplo seguinte, tal tipo de identidade pode nao se verificar mesmo em casos simples.

164


Exemplo 2: Considere-se o (PVI)

{y′ = y2

y(0) = 1(2.48)

Vamos construir a sucessao (yn)n∈N0 das iteradas de Picard associadas ao (PVI). Assim:

y0(x) = y0 = 1

y1(x) = 1 +∫ x0 (y0(s))

2ds = 1 +∫ x0 1 ds = 1 + x

y2(x) = 1 +∫ x0 (y1(s))

2ds = 1 +∫ x0 (1 + s)2 ds = 1 + x+ x2 + x3

3

y3(x) = 1 +∫ x0 (y2(s))

2ds = 1 +∫ x0 (1 + s+ s2 + s3

3 )2 ds =

= 1 + x+ x2 + x3 + 2x4

3 + x5

3 + x6

9 + x7

63

...

Por outro lado, resolvendo a equacao diferencial, obtem-se

y′ = y2 ⇔ d

dx

∫

y−2dy = 1 ⇔ y(x) =1

c− x.

A solucao do (PVI) sera entao

y(x) =1

1− x, IMax =]−∞, 1[

Na Figura (2.6) estao representadas as primeiras iteradas de Picard, bem como a solucao do (PVI).E de observar que quando nos aproximamos do ponto x = 1 (onde a solucao do (PVI) explode)a convergencia das iteradas de Picard torna-se cada vez mais lenta.

Pode-se provar (a demonstracao nao e inteiramente trivial) que as iteradas de Picard desteproblema verificam

yn(x) = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn +Rn+1(x) = Sn(x) +Rn+1(x) (2.49)

onde Rn+1(x) e uma funcao polinomial com um zero de ordem n + 1 em x = 0. Note queSn(x) = 1 + x + x2 + · · · + xn e a sucessao das somas parciais da serie geometrica, cuja somae precisamente a solucao do (PVI), y(x) = 1

1−x , mas somente em ] − 1, 1[. Em casos menos

simples que estes dois exemplos — quando f(t, y) nao e uma funcao polinomial — as iteradasde Picard nao sao polinomiais; no entanto, e mesmo sem se conhecer a forma explicita dessasiteradas, pode-se usar a analise matematica para provar a sua convergencia local.

Para proceder ao resto da demonstarcao do Teorema de Picard, teremos que mostrar quea sucessao das iteradas de Picard associada, yn(t), converge uniformente, num certo intervaloI = [t0 − α, t0 + α] para uma funcao contınua y(t) entao tomando o limite quando n → ∞em ambos os membros da formula que define as iteradas de Picard obtem-se que y(t) satisfaz aequacao integral em I, pelo que e solucao do PVI no intervalo aberto ]t0 − α, t0 + α[.

165


-0.95 -0.75 -0.55 -0.35 -0.15 0.05 0.25 0.45 0.65 0.85−5

0

5

10

15

y_0y_1y_2y_3y(t)

Figura 2.7: Algumas iteradas de Picard e a solucao do (PVI) (2.48).

Convergencia Uniforme das Iteradas de Picard

Vamos entao demonstrar que a sucessao das iteradas de Picard, yn(t), converge uniformementenum intervalo [t0 − α, t0 + α], para certo α > 0 a determinar (o seu valor ira depender de t0, y0e f).

Comecamos por estimar a diferenca entre duas iteradas de Picard consecutivas 10:

|yn+1(t)− yn(t)| =

∣∣∣∣y0 +

∫ t

t0

f(s, yn(s)

)ds− y0 −

∫ t

t0

f(s, yn−1(s)

)ds

∣∣∣∣

≤∫ t

t0

∣∣∣f(s, yn(s)

)− f

(s, yn−1(s)

)∣∣∣ |ds|

Vamos estimar a funcao integranda atraves da condicao de Lipshitz. Considere-se um rectanguloR = {(t, y) ∈ R

2 : t0 − a ≤ t ≤ t0 + a e y0 − b ≤ y ≤ y0 + b} contido no domınio, D, de f .

Seja K a constante de Lipshitz de f (relativamente a y) no conjunto compacto R, ou seja, Kverifica:

|f(t, y)− f(t, x)| ≤ K|y − x| ∀(t, y), (t, x) ∈ R (2.50)

Para que o grafico das iteradas de Picard permaneca no interior de R (por forma a que a estimativade Lipshitz (2.50) seja valida quando aplicada a pontos (t, yn(t)), e necessario que:

1o) t ∈]t0 − a, t0 + a[, pelo que devemos ter α < a.

10Se f : I → R e contınua no intervalo I e a, b ∈ I (sem que se tenha, necessariamente, b ≥ a) entao obtem-se,como caso particular da propriedade de majoracao do integral complexo (Subseccao 1.5.2):

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|f(t)| |dt|.

Note que∫ b

a|f(t)| |dt| e igual a

∫ b

a|f(t)| dt se b ≥ a e a

∫ a

b|f(t)|dt se b < a. Em particular,

∫ b

a|dt| = |b− a|.

166


R

y

tt0

y0

t0 − a t0 + a

y0 − b

y0 + b

(t0, y0)

Figura 2.8: O rectangulo R.

2o) Seja

M = max {|f(t, y)| : (t, y) ∈ R}

Para que(t, yn(t)

)esteja no interior de R para t ∈ [t0 − α, t0 + α], e necessario que

|yn(t)− y0| < b. Como

|yn(t)− y0| ≤∫ t

t0

∣∣f(s, yn(s)

)∣∣ |ds| ≤M

∫ t

t0

|ds| =M |t− t0| ≤Mα,

isso implica que devemos ter Mα < b. Para tal, e preciso exigir α < b/M .

Assim, para qualquer t ∈ [t0 − α, t0 + α]def= Iα:

|yn+1(t)− yn(t)| ≤∫ t

t0

∣∣∣f(s, yn(s)

)− f

(s, yn−1(s)

)∣∣∣ |ds|

≤∫ t

t0

K |yn(s)− yn−1(s)| |ds|

≤ K maxs∈Iα

∣∣∣yn(s)− yn−1(s)

∣∣∣

∫ t

t0

|ds|

≤ Kα maxs∈Iα

∣∣∣yn(s)− yn−1(s)

∣∣∣

Isto implica que:

maxt∈Iα

∣∣∣yn+1(t)− yn(t)

∣∣∣ ≤ Kα max

t∈Iα

∣∣∣yn(t)− yn−1(t)

∣∣∣

≤ (Kα)2 maxt∈Iα

∣∣∣yn−1(t)− yn−2(t)

∣∣∣

...

≤ (Kα)n maxt∈Iα

∣∣∣y1(t)− y0

∣∣∣

167


Como y1(t)− y0 =∫ tt0f(s, y0) ds, resulta entao da desigualdade anterior que:

maxt∈Iα

∣∣∣yn+1(t)− yn(t)

∣∣∣ ≤ (Kα)n max

t∈Iα

∣∣∣∣

∫ t

t0

f(s, y0) ds

∣∣∣∣


∫ t

t0

|f(s, y0)| |ds|


∫ t

t0

M |ds|

= (Kα)nMα < (Kα)nb

Definindo r = Kα, entao

maxt∈Iα

∣∣∣yn+1(t)− yn(t)

∣∣∣ < brn. (2.51)

Utilizando somas telescopicas:

yn(t) =(yn(t)− yn−1(t)

)+(yn−1(t)− yn−2(t)

)+ . . .

. . .+(y2(t)− y1(t)

)+(y1(t)− y0

)+ y0

= y0 +

n∑

k=1

(

yk(t)− yk−1(t))

Isto significa que yn(t) e a sucessao das somas parciais da serie

y0 +

n−1∑

k=0

(

yk(t)− yk−1(t))

(2.52)

A terceira restricao que introduzimos ao valor de α e r = Kα < 1, ou seja α < 1/K . Assim,

como |r| < 1,∑∞

k=m brk e uma serie geometrica convergente. Por outro lado, o termo geral da

serie (2.52) verifica∣∣∣yk(t)− yk−1(t)

∣∣∣ ≤ brk,

para k ≥ 1. Pelo Criterio de Weierstrass, yn(t) converge uniformemente em Iα, e o limite e asoma da serie de funcoes contınuas (2.52). Resulta assim que y : Iα → R existe e e contınuadesde que tomemos:

α < min

{

a,b

M,1

K

}

(2.53)

Utilizando somas telescopicas, e para n > m:

yn(t)− ym(t) =(yn(t)− yn−1(t)

)+(yn−1(t)− yn−2(t)

)+ . . .

. . .+(ym+2(t)− ym+1(t)

)+(ym+1(t)− ym

)

=

n−1∑

k=m

yk+1(t)− yk(t)

Assim, usando a estimativa (2.51):

∣∣∣yn(t)− ym(t)

∣∣∣ ≤

n−1∑

k=m

∣∣∣yk+1(t)− yk(t)

∣∣∣

≤n−1∑

k=m

brk ≤∞∑

k=m

brk

168


A terceira restricao que introduzimos ao valor de α e r = Kα < 1, ou seja α < 1/K. Assim,

como |r| < 1,∑∞

k=m brk e uma serie geometrica convergente e a sua soma e brm

1−r . Desta forma,para qualquer t ∈ Iα:

∣∣∣yn(t)− ym(t)

∣∣∣ ≤ brm

1− r→ 0 quando m,n → ∞,

o que implica que yn(t) verifica o criterio de Cauchy para convergencia uniforme em Iα. Assim,yn(t) converge uniformemente em Iα para uma funcao contınua y : Iα → R, desde que tomemos:

α < min

{

a,b

M,1

K

}

(2.54)

Existencia e Regularidade da Solucao

Considerando agora as iteradas de Picard,

yn+1(t) = y0 +

∫ t

t0

f(t, yn(t)

)dt (2.55)

e usando a convergencia uniforme de yn(t) para y(t) em Iα, entao tomando o limite em ambosos membros de (2.55) conclui-se que que y(t) satisfaz a equacao integral:

y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(t, y(t)

)dt

Como y(t) e contınua em Iα, entao f(t, y(t)

)e contınua em Iα. Por aplicacao do teorema

fundamental do calculo ao 2o membro da equacao integral, podemos concluir que y ∈ C1(Iα).

Unicidade de Solucao

Supondo que y(t) e z(t) sao duas solucoes do PVI, entao verificam

y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(t, y(t)

)dt

z(t) = y0 +

∫ t

t0

f(t, z(t)

)dt

em Iα = [t0 − α, t0 + α], onde α satisfaz (2.54). Assim:

|y(t)− z(t)| ≤∫ t

t0

∣∣∣f(s, y(s)

)− f

(s, z(s)

)∣∣∣ |ds|

≤∫ t

t0

K |y(s)− z(s)| |ds|

≤ K maxs∈Iα

∣∣y(s)− z(s)

∣∣

∫ t

t0

|ds|

≤ Kα maxs∈Iα

∣∣y(s)− z(s)

∣∣

169


Como α < 1/K, ou seja, Kα < 1,

|y(t)− z(t)| ≤ maxs∈Iα

∣∣∣y(s)− z(s)

∣∣∣,

sendo a igualdade apenas verificada quando maxs∈Iα

∣∣y(s) − z(s)

∣∣ = 0. Como e impossıvel que se

verifique a desigualdade estrita para todo o t ∈ Iα (pois o maximo de |y(t)− z(t)| e atingido numponto t1 ∈ Iα) concluimos que max

s∈Iα

∣∣y(s)− z(s)

∣∣ = 0, ou seja:

y(t) = z(t) ∀t ∈ [t0 − α, t0 + α]

�

Exemplos:

(1) Considere-se o problema de valor inicial

d y

dx= 3√

1− xy , y(0) = 0 (2.56)

Comecemos por observar que f(x, y) = 3√1− xy

• esta definida e e contınua em R2;

• ∂f/∂y esta definida e e contınua em R2 \ {(x, y) : xy = 1}, consequntemente, f e

localmente lipschitziana neste conjunto.

Conclui-se que f(x, y) verifica as condicoes do Teorema de Picard em D = R2\{(x, y) : xy = 1}.

Dado que (x0, y0) = (0, 0) ∈ D o problema de valor inicial (2.56) admite uma unica solucao, y(x)definida numa vizinhanca de x0 = 0.


d y

dx= 3√

1− xy , y(1) = 1 (2.57)

Como vimos no exemplo anterior f(x, y) = 3√1− xy verifica as condicoes do Teorema de Picard

em D = R2 \ {(x, y) : xy = 1}. Em primeiro lugar, e dado que f(x, y) e contınua em R

2,o Teorema de Peano garante que o PVI (2.57) admite pelo menos uma solucao definida numavizinhanca de x0 = 1. No entanto neste exemplo tem-se que (x0, y0) = (1, 1) 6∈ D. Observe-seque este facto nao implica de imediato que f(x, y) nao verifique as condicoes do Teorema de Picardnum conjunto que contenha (1, 1), pois o facto de ∂f

∂y (1, 1) nao existir nao implica que f(x, y)nao seja lipschtziana em conjuntos contendo (1, 1). Teremos entao que verificar directamente estefacto. Assim, seja B qualquer subconjunto fechado e limitado de R

2, e (x, y1), (x, y2) ∈ B.

|f(x, y1)− f(x, y2)| = | 3√

1− xy1 − 3√

1− xy2| =∣∣∣

3√1− xy1 − 3

√1− xy2

y1 − y2

∣∣∣|y1 − y2|

Para que f seja lipschitziana em B, a quantidade

L(x, y1, y2) =∣∣∣

3√1− xy1 − 3

√1− xy2

y1 − y2

∣∣∣

170


tem que ser limitada para todos (x, y1), (x, y2) ∈ B. Considere-se (x, y2) = (1, 1) e (x, y1) =(1, 1 + h) para h ∈ R. Temos entao que

L(1, 1, 1 + h) =∣∣∣

3√−hh

∣∣∣ = |h|−2/3

E entao facil de observar que para valores de h proximos de 0 (o que corresponde a estarmos empontos (x, y) proximos de (1, 1)), |h−2/3| aproxima-se de ∞ pelo que L(1, 1, 1+h) nao e limitada.Concluimos que f nao e lipschtziana em qualquer conjunto contendo o ponto (1, 1), pelo que naose verificam as condicoes do Teorema de Picard numa vizinhanca de (1, 1). Concluimos entao quenao se pode garantir unicidade de solucao para (2.57).


d y

dx= |x+ y| , y(1) = −1 (2.58)

Comecemos por observar que f(x, y) = |x + y| esta definida e e contınua em R2 o Teorema de

Peano garante que o PVI (2.58) admite pelo menos uma solucao definida numa vizinhanca dex0 = 1. Por outro lado, ∂f/∂y esta definida e e contınua em D = R

2 \ {(x, y) : x + y = 0}.Visto (x0, y0) 6∈ D, teremos que averiguar directamente se f(x, y) e lipsctziana numa vizinhancado ponto (x0, y0) = (1,−1). conjunto limitado e fechado que contenha (1,−1). Assim, seja Bqualquer subconjunto fechado e limitado de R

2, e (x, y1), (x, y2) ∈ B.

|f(x, y1)− f(x− y2)| = | |x+ y1| − |x+ y2| | ≤∣∣∣(x+ y1)− (x+ y2)

∣∣∣ = |y1 − y2|

Tem-se entao que f(x, y) e lipschitziana em B (com constante de Lipschitz L = 1, pelo que f elocalmente lipsichitziana em R

2. O Teorema de Picard garante entao unicidade de solucao para(2.58).

2.6.5 Prolongamento de Solucao

Sem acrescentar mais condicoes a f , a conclusao do teorema de Picard pode ser substancialmentemelhorada da forma que em seguida se descreve.

Teorema (Prolongamento de Solucao):Seja D ⊂ R

2 aberto, (t0, y0) ∈ D, f : D → R contınua e localmente lipshitziana relativamente ay em D. Entao a solucao unica do problema de valor inicial

dy

dt= f(t, y) , y(t0) = y0

esta definida num intervalo maximo de definicao, Imax =]a, b[, cujos extremos, a, b ∈ R,verificam

(i) b = +∞ ou

(ii) b < +∞ e(t, y(t)

)→ ∂D quando t→ b− ou

(iii) b < +∞ e limt→b−

|y(t)| = +∞e

171


(i) a = −∞ ou

(ii) a < −∞ e(t, y(t)

)→ ∂D quando t→ a+ ou

(iii) a < −∞ e limt→a+

|y(t)| = +∞

Note que os casos do tipo (iii) significam que a solucao explode (respectivamente, quandot→ b ou t→ a). Quanto aos casos do tipo (ii), por exemplo

(t, y(t)

)→ ∂D quando t→ b−

significa que qualquer ponto limite do grafico de y(t) para t ∈ [t0, b[ (este grafico e o conjunto{(t, y(t)) : t ∈ [t0, b[} ⊂ R

2) pertence a fronteira de D, ∂D. Isto e equivalente a dizer quequalquer sucessao tn ∈ ]a, b[ tal que tn → b e y(tn) e convergente verifica:

limn→+∞

(tn, y(tn)

)∈ ∂D

(e, analogamente, quando t→ a+).

Dem.:Vamos provar a conclusao do teorema para o prolongamento para a direita, isto e, ate b.Seja J o conjunto dos τ ∈ R tais que existe solucao y : [t0, τ ] → R do problema de valor

inicial 11. Pelo teorema de Picard, J 6= ∅. Se J nao for majorado, entao a conclusao do teoremae satisfeita pois verifica-se o caso (i). Por outro lado, se J e majorado, como J 6= ∅ entao existeb = supJ < +∞. Pelo teorema de Picard, J 6= ∅. Se J nao for majorado, entao a conclusaodo teorema e satisfeita pois verifica-se o caso (i). Por outro lado, se J e majorado, como J 6= ∅entao existe b = supJ < +∞.

Admitamos que tanto (ii) como (iii) nao se verificam. Como limt→a+

|y(t)| = +∞ nao e verdade,

entao existe uma sucessao sn → b− tal que y(sn) e limitada; sendo limitada, tal sucessao temuma subsucessao convergente. Isto mostra que existem sucessoes tn ∈ ]a, b[ tais que tn → b ey(tn) e convergente. Mas como (ii) nao se verifica, entao para pelo menos uma dessas sucessoes,(tn, y(tn)

)converge para um certo (b, ω) ∈ intD.

Seja δ < 13dist

((b, ω), ∂D

); assim sendo, B3δ(b, ω) e um subconjunto compacto de D. Seja

K a constante de Lipshitz de f em B3δ(b, ω) e

α = min

{

δ,δ

M,1

K

}

. (2.59)

Seja (t, y) um termo da sucessao(tn, y(tn)

)tal que

∥∥(t, y)− (b, ω)

∥∥ < α (2.60)

Entao o quadrado

R ={

(t, y) : t ∈ [t− δ, t + δ] e y ∈ [y − δ, y + δ]}

11Note que se y : I → R e y : I → R (onde I ⊂ I sao intervalos), entao a solucao y restrita a I e uma solucaodo PVI em I . Resulta da unicidade de solucao do PVI que y(t) = y(t) para qualquer t ∈ I ; ou seja, a restricao dey ao domınio de y, I , coincide necessariamente com y.

172


∂D

2δ

2δ(t, y)

(b, w)

Figura 2.9

verifica

R ⊂ Bδ√2(t, y) ⊂ Bδ

√2+α(b, ω) ⊂ B3δ(b, ω),

pois, tendo em conta (2.59), δ√2 + α ≤ δ

√2 + δ < 3δ.

Pela demonstracao do teorema de Picard e (2.59), concluimos que a solucao y(t) admiteextensao ao intervalo [t0, t+ α] e que, tendo em conta (2.60), b− t < α, o que implica que:

t+ α > b

Mas isto e absurdo, pois contradiz o facto de que b = supJ .

A demonstracao do prolongamento para a esquerda (ate a) e analoga a anterior. �

Em qualquer um dos casos, verificar que a solucao nao pode ser prolongada ate t = ∞(ou t = −∞) porque a fronteira do conjunto D e atingida pode ser facil de constatar pois afuncao f(t, y) e dada e, consequentemente, conhecemos os subconjuntos de R

2 onde o graficoda solucao nao pode entrar. Para mostrar que a solucao explode (ou que nao explode) ou, maisgenericamente, que o seu grafico esta confinado a uma certa regiao de R2, e muito util o seguintecriterio.

2.6.6 Comparacao de Solucoes

Considere-se D ⊆ R2, f , g : D → R verificando as condicoes do Teorema de Picard e (t0, y0) ∈ D.

Sejam ainda, y(t) a solucao do PVI

dy

dt= f(t, y) , y(t0) = y0

e u(t) a solucao do PVIdu

dt= g(t, u) , u(t0) = y0

173


Sef(t, y) ≤ g(t, y) , ∀(t, y) ∈ D

entao

y(t) ≤ u(t) para todo t ≥ t0

y(t) ≥ u(t) para todo t ≤ t0

Consequencias:

• Mostrar que a solucao explode

Seja u(t) a solucao do PVI

du

dt= g(t, u) , u(t0) = α

definida em Iumax =]t0 − ǫ, T [, tendo-se que limt→T−

u(t) = +∞. Se y(t) e solucao do PVI

dy

dt= f(t, y) , y(t0) = α

e f(t, y) ≥ g(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condicaoimplica que y(t) ≥ u(t) para todo t ≥ α), entao y(t) explode no intervalo ]t0, T ], isto e,

existe Θ ∈]t0, T ] tal que limt→Θ−

y.(t) = +∞ e consequentemente sup Iymax = Θ

• Mostrar que a solucao nao explode

Seja u(t) a solucao do PVI

du

dt= g(t, u) , u(t0) = α

definida em Iumax =]a,+∞[ para certo a < t0. Se y(t) e solucao do PVI

dy

dt= f(t, y) , y(t0) = α

e f(t, y) ≤ g(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condicaoimplica que y(t) ≤ u(t) para todo t ≥ α), entao y(t) nao explode para +∞ em ]t0,+∞[.Analogamente, seja v(t) a solucao do PVI

dv

dt= h(t, v) , v(t0) = α

definida em Ivmax =]a1,+∞[ para certo a1 < t9. Se y(t) e solucao do PVI

dy

dt= f(t, y) , y(t0) = α

e f(t, y) ≥ h(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condicaoimplica que y(t) ≥ v(t) para todo t ≥ α), entao y(t) nao explode para −∞ em ]t0,+∞[.Conclui-se que y(t) nao explode no intervalo ]t0,+∞[.

174


Exemplo 1

Considere-se o (PVI)y′ = (1 + y2)f(ty) , y(0) = 0

em que f e uma funcao de classe C1(R), verificando f(x) ≥ 1 para qualquer x ∈ R.Como a funcao (1 + y2)f(ty) e contınua em R

2, e a funcao

∂

∂y

((1 + y2)f(ty)

)= 2yf(ty) + (1 + y2)f ′(ty)t

e tambem contınua em R2, o teorema de Picard garante a existencia de uma solucao unica

y = φ(t) num vizinhanca aberta da origem tal que φ(0) = 0.Pretendemos agora mostrar que o intervalo maximo de definicao da solucao do problema de

valor inicial e majorado.

y = (1 + y2)f(ty) ⇒ y

1 + y2= f(ty)

Integrando em t obtem-se∫ t

0

y(s)

1 + y2(s)ds =

∫ t

0f(s y(s)) ds

pelo que

arctg y(t)− arctg y(0) =

∫ t

0f(s y(s)) ds

Visto y(0) = 0

y(t) = tg( ∫ t

0f(s y(s)) ds

)

Se f(x) ≥ 1 e atendendo a que a funcao tangente e monotona crescente em ]− π2 ,

π2 [, podemos

escrever

y(t) ≥ tg(∫ t

01 ds

)

= tg t

Como limt→π

2

tg t = ∞ a solucao explode e como tal o intervalo maximo de definicao da solucao do

problema de valor inicial e majorado.

Exemplo 2

Considere-se o problema de valor inicial

y′ = −2(sen(ety) + 2)y , y(0) = 1 (2.61)

Sendof(t, y) = −2(sen(ety) + 2)y

e facil de verificar que tanto f como ∂f/∂y sao contınuas em R2. Isto implica que f verifica

as condicoes do Teorema de Picard em D = R2 e assim (2.61) tem uma solucao unica numa

vizinhanca de t0 = 0. Temos agora que mostrar que a solucao pode see prolongada a R. Observe-se que para y0 6= 0, a equacao e equivalente a:

y′

y= −2(sen(ety) + 2)

175


Integrando esta igualdade de 0 a t, obtem-se:

log y(t)− log y(0) =

∫ t

0(−2(sen(esy(s)) + 2))ds

Como, para quaisquer (s, y) ∈ R22,

−6 ≤ −2(sen(esy(s)) + 2) ≤ −2

pode-se concluir que

−6t ≤∫ t

0(−2(sen(esy(s)) + 2))ds ≤ −2t

se t > 0 e

−2t ≤∫ t

0(−2(sen(esy(s)) + 2))ds ≤ −6t

se t < 0. Desta forma (e como log y(0) = log 1 = 0):

−6t ≤ log y(t) ≤ −2t

Em primeiro lugar, isto implica que y(t) nunca atinge o valor 0, pelo que a desigualdade estima ovalor de y(t) para qualquer t ∈ R. A mesma desigualdade implica tambem que y(t) nao explodeem tempo finito, pois log y(t) e sempre finito para qualquer t ∈ R. Como o domıınio de f e R

2,o teorema do prolongamento de solucao garante a existencia de uma solucao global.

2.7 Apendice 1 - Calculo da Matriz eAt por diagonalizacao

• A e uma matriz diagonal:

Se A =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0

..

0 0 ... λn

⇒ eAt =

eλ1t 0 ... 00 eλ2t ... 0

..

0 0 ... eλnt

• A e uma matriz diagonalizavel:

Uma matriz A, n×n, diz-se diagonalizavel se admite n vectores linearmente independentes.Demonstra-se que,

se A e diagonalizavel entao A = SΛS−1

em que

Λ =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0

..

0 0 ... λn

e S =

| ... |v1 ... vn

| ... |

176

2.7. APENDICE 1 - CALCULO DA MATRIZ EAT POR DIAGONALIZACAO

sendo λ1, ..., λn os valores proprios de A e v1, ...,vn os correspondentes vectores proprios.

Nao e dıficil de demonstrar que para matrizes A e B semelhantes, se tem

A = SBS−1 ⇒ eAt = SeBtS−1

Podemos entao concluir que, se A e diagonalizavel, isto e

A = S

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0

..

0 0 ... λn

S−1 ⇒ eAt = SeΛtS−1 = S

eλ1t 0 ... 00 eλ2t ... 0

..

0 0 ... eλnt

S−1

Observacoes:

– Como consequencia dos teoremas anteriores, dado que a matriz eAt e uma matrizsolucao fundamental da equacao Y = AY, a sua solucao e da forma Y(t) = eAtC,com C ∈ R

n. Atendendo a que eAt = SeΛtS−1, entao

Y(t) = SeΛtS−1C ≡ SeΛtC1

pelo que a matriz S(t) = SeΛt e tambem uma matriz solucao fundamental associadaa equacao. No entanto, a nao ser que a matriz S seja a matriz identidade, S(t) nao ea matriz eAt, visto que S(0) nao e a matriz identidade.

– Dada qualquer matriz A, a matriz eAt e a unica matriz solucao fundamental associadaa equacao Y = AY, S(t), que verifica S(0) = I.

– Conhecida qualquer matriz solucao fundamental, S(t), associada a equacao Y = AY,tem-se que

eAt = S(t)S−1(0)

Exemplo 1

Determinar a solucao do seguinte PVI:

{x′ = x+ yy′ = 3x− y

,

[x(0)y(0)

]

=

[01

]

Podemos escrever a equacao na forma matricial

Y′ = AY ⇔[x(t)y(t)

]′=

[1 13 −1

] [x(t)y(t)

]

e ja sabemos que a solucao do PVI e dada por

Y(t) = eAtY(0) ⇔[x(t)y(t)

]

= eAt[01

]

Calculo de eAt

177


Os valores proprios da matriz A sao ±2 (pelo que podemos concluir desde ja que a matrizA e diagonalizavel).

O vector prorpio associado ao valor proprio λ1 = 2 e uma solucao nao nula da equacao

(A− 2I)v = 0 ⇔[−1 13 −3

] [ab

]

= 0 ⇔ a = b

pelo que podemos escolher, por exemplo v1 = (1, 1).

O vector proprio associado ao valor proprio λ2 = −2 e uma solucao nao nula da equacao

(A+ 2I)v = 0 ⇔[3 13 1

] [ab

]

= 0 ⇔ b = −3a

pelo que podemos escolher, por exemplo v2 = (1,−3). Assim teremos

A = SΛS−1 =

[1 11 −3

] [2 00 −2

]

S−1

pelo que

eAt = SeΛtS−1 =1

4

[1 11 −3

] [e2t 00 e−2t

] [3 11 −1

]

=1

4

[3e2t + e−2t e2t − e−2t

3e2t − 3e−2t e2t + 3e−2t

]

Calculada a matriz eAt, a solucao do PVI e

Y(t) = eAtY(0) ⇔[x(t)y(t)

]

=1

4

[3e2t + e−2t e2t − e−2t

3e2t − 3e−2t e2t + 3e−2t

] [01

]

=1

4

[e2t − e−2t

e2t + 3e−2t

]

Tal como foi observado, a matriz

SeΛt =

[1 11 −3

] [e2t 00 e−2t

]

=

[e2t e−2t

e2t −3e−2t

]

e tambem uma matriz solucao fundamental, pelo que poderıamos escrever a solucao geralda equacao

[x(t)y(t)

]

=

[e2t e−2t

e2t −3e−2t

] [c1c2

]

e a posteriori calcular as constantes c1, c2 de modo a que seja verificada a condicao inicial (oque na pratica corresponde a determinar a matriz S−1 e multiplica-la pela condicao inicial).

• A e uma matriz nao diagonalizavel:

A matriz A (n×n) diz-se nao diagonalizavel, se A nao admite n vectores proprios linearmenteindependentes. Neste caso, A nao e semelhante a uma matriz diagonal, isto e, nao existemuma matriz diagonal Λ e uma matriz nao singular S tais que A = SΛS−1.

Para determinar a matriz eAt, vamos precisar de algumas definicoes e resultados parciais.

178


Matriz Diagonal por Blocos

Uma matriz n× n, e diagonal por blocos, se for da forma

A =

A1 0 0

0 A2 0

..

0 0 Ak

(2.62)

em que A1,...,Ak sao matrizes quadradas de dimensoes m1 ×m1,..., mk ×mk, res-pectivamente, tendo-se m1 + ...+mk = n.

Exemplo:

A matriz

A =

−1 0 0 0 0 00 1 2 0 0 00 2 3 0 0 00 0 0 −1 3 00 0 0 3 2 10 0 0 −1 −1 1

e uma matriz diagonal por blocos A1, A2, A3, em que

A1 =[−1

], A2 =

[1 22 3

]

, A3 =

−1 3 03 2 1−1 −1 1

Exponencial de uma matriz diaginal por blocos

Se A e diagonal por blocos, como em (2.62), entao

eAt =

eA1t 0 0

0 eA2t 0

..

0 0 eAkt

Bloco de Jordan

Uma matriz k × k di-se um bloco de Jordan se for da forma

Jkλ =

λ 1 0 00 λ 1 0

. .. .

0 λ 10 0 λ

179


Exemplo:

J2−1 =

[−1 10 −1

]

; J32 =

2 1 00 2 10 0 2

; J40 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Exponencial de um Bloco de Jordan

Se Jλ e um bloco de Jordan de dimensao k × k, entao

eJλ t =

eλt teλt t2

2!eλt . . . . tk−1

(k−1)!eλt

0 eλt teλt t2

2!eλt . . . tk−2

(k−2)!eλt

. . . . . .. . . . .

0 eλt teλt t2

2!eλt

0 eλt teλt

0 0 0 eλt

isto e, os elementos aij, i, j = 1, ..., k da matriz eJλt sao da forma:

aij =

eλt se i = j (diagonal principal)teλt se i+ 1 = j (diagonal acima da principal)t2

2!eλt se i = j + 2 (2a¯ diagonal acima da principal)

.

.

.tk−1

(k−1)!eλt se i+ k − 1 = j ((k − 1) esima diagonal acima da principal)

0 se i < j (abaixo da diagonal principal)

Exemplo:

Para os blocos de Jordan do exemplo anterior tem-se que

exp(

J2−1t)

= e−t[1 t0 1

]

; exp(

J32 t)

= e2t

1 t t2

20 1 t0 0 1

; exp(

J40 t)

=

1 t t2

2t3

3!

0 1 t t2

20 0 1 t0 0 0 1

180


Exponencial de uma matriz nao diagonalizavel

Seja A uma matriz, n× n, nao diagonalizavel. Demonstra-se que,

se A e nao diagonalizavel entao A = SJS−1

em que J e uma matriz diagonal por blocos de Jordan, isto e

J =

Jm1λ1

0 0

0 Jm2λ2

0

..

0 0 Jmk

λk

em que λ1, . . . , λk sao valores proprios de A com multiplicidades algebricas m1, . . . ,mk, respecti-vamente, (multiplicidade enquanto raızes do polinomio caracterıstico) e multiplicidade geometrica1 (cada valor proprio λ1, . . . λk tem um unico vector proprio associado v1, . . . , vk, respectivamente)12.

A matriz S e tambem formada por k “blocos” de colunas

S =

| . . . |S1 . . . Sk| . . . |

em que, para i = 1, ..., k

Si =

| | . . |vi vG1

i . . vGmi−1

i

| | . . |

sendo vi o vector proprio associado ao valor proprio λi, e vGj

i , j = 1, ...,mi − 1, vectores propriosgeneralizados, i.e., verificando as equacoes

(A− λiI)vG1i = vi

(A− λiI)vG2i = vG1

i

(A− λiI)vG3i = vG2

i . . .

ate se calcularem mi − 1 vectores proprios generalizados.

Exemplo:

Determinar eAt sendo

A =

−2 0 10 −3 −10 1 −1

12A lista de valores proprios, λ1, . . . λk, pode conter repeticoes. Nesse caso se, por exemplo, λ2 = λ1 (e λj 6= λ1,para j ≥ 3) entao λ1 tem dois vectores proprios associados linearmente independentes, v1 e v2 (multiplicidadegeometrica igual a 2) e m1 +m2 e a multiplicidade algebrica de λ1.

181


Dado que a matriz nao e nem diagonal, nem um bloco de Jordan (ou afim) nem diagonal porblocos, teremos que determinar eAt pelo processo usual de calculo de valores e vectores proprios.Os valores proprios de A sao as solucoes de

det(A− λ I) = 0 ⇔ (λ+ 2)3 = 0

Tem-se entao que −2 e o valor proprio de A com multiplicidade algebrica 3. Note-se que so depoisde calcular a sua multiplicidade geometrica (numero de vectores proprios linearmente independen-tes associado a −2) poderemos concluir se A e diagonalizavel (se a mult. geom. for = 3) ou naodiagonalizavel (se a mult. geom. for = 2 ou = 1). Os vectores proprios associados a −2 sao assolucoes nao nulas de

(A+ 2I)v = 0 ⇔

0 0 10 −1 −10 1 1

abc

=

000

⇔{b = c = 0a ∈ R

Entao

v = (a, b, c) = (a, 0, 0) = a(1, 0, 0)

Conclui-se que a multiplicidade geometrica do valor proprio e 1, ou seja admite apenas um vectorproprio independente, que por exemplo pode ser v = (1, 0, 0). Sendo assim a matriz A e naodiagonalizavel, pelo que e semelhante a uma matriz formada por um unico bloco de Jordan, ouseja:

A = SJS−1

em que

J =

−2 1 00 −2 10 0 −2

e S =

1 | |0 v1 v20 | |

sendo v1 e v2 vectores proprios generalizados de v. O primeiro vector proprio generalizado esolucao nao nula de

(A+ 2I)v1 = v ⇔

0 0 10 −1 −10 1 1

abc

=

100

⇔

c = 1b = −1a ∈ R

Entao

v1 = (a, b, c) = (a,−1, 1) = a(1, 0, 0) + (0.− 1, 1)

Podemos entao escolher, por exemplo, v1 = (0. − 1, 1). O segundo vector proprio generalizado esolucao nao nula de

(A+ 2I)v2 = v1 ⇔

0 0 10 −1 −10 1 1

abc

=

0−11

⇔

c = 0b = 1a ∈ R

Entao

v1 = (a, b, c) = (a, 1, 0) = a(1, 0, 0) + (0.1, 0)

182

2.8. APENDICE 2 -TRANSFORMADA DE LAPLACE

Podemos entao escolher, por exemplo, v2 = (0.1, 0). Em consequencia

S =

1 0 00 −1 10 1 0

Por ser um bloco de Jordan tem-se que

eJt = e−2t

1 t t2

20 1 t0 0 1

e finalmente

eAt = SeJtS−1 = e−2t

1 t2

2 t+ t2

20 −t+ 1 −t0 t t+ 1

Pela teoria das equacoes vectoriais lineares, o espaco de solucoes da equacao X ′ = AX, temdimensao n, pelo que existem n funcoes vectoriais linearmente independentes X1, ..., Xn (quesao as colunas de uma matriz solucao fundamental) e como tal a solucao geral de X ′ = AX e daforma

X(t) = c1X1 + ...+ cnXn , c1, ...cn ∈ R

ou seja

yy′

.

.

.

y(n−1)

= c1

x10x11...

x1n−1

+ ...+ cn

xn0xn1...

xnn−1

Dado que para escrever a solucao da equacao P (D)y) = 0 apenas precisamos de conhecer y,entao a solucao geral da equacao homogenea P (d)y = 0 e uma combinacao linear das primeirascomponentes das funcoes vectoriais X1, ..., Xn.

Podemos entao concluir que o espaco das solucoes da equacao

P (D)y = 0 (2.63)

tem dimensao n, e como tal, a sua solucao geral e da forma

y(t) = α1y1 + ...+ αnyn

em que α1, ... , αn sao constantes reais, e y1,..., yn sao n solucoes linearmente independentes daequacao.

2.8 Apendice 2 -Transformada de Laplace

2.8.1 Definicao e Propriedades

Definicao da Transformada de Laplace

Seja f : [0,∞[→ R. Define-se a Transformada de Laplace de f , como sendo a funcao de variavelcomplexa

L{f}(s) = F (s) =

∫ ∞

0e−stf(t) dt (2.64)

183


Por vezes usa-se a notacao L{f(t)}(s) para representar L{f}(s), em situacoes em que se designaa funcao f pela formula que a define.

Domınio da Transformada de Laplace

Se a funcao f for seccionalmente contınua em qualquer [0, T ], com T ∈ R+ e verificar

|f(t)| ≤Meαt , ∀t ≥ 0 (2.65)

para certas constantes M > 0 e α ∈ R, entao a transformada de Laplace de f esta bem definidano semi-plano complexo Re s > α.

Demonstracao: Para qualquer t > 0 e s ∈ C tal que Re s > α⇔ α−Re s < 0:∣∣e−stf(t)

∣∣ =

∣∣∣e(−Re s)t

∣∣∣

∣∣∣e−i(Im s)t

∣∣∣ |f(t)| ≤ e(−Re s)tMeαt =Me(α−Re s)t

Entao, para Re s > α:

∣∣∣∣

∫ ∞

0e−stf(t) dt

∣∣∣∣≤∫ ∞

0Me(α−Re s)t dt =M lim

R→∞e(α−Re s)t

α− Re s

∣∣∣∣∣

R

0

=M

Re s− α

�

Nota: Se f : [0,∞[→ C, entao podemos definir a transformada de Laplace de f pela equacao(2.64), e a mesma estara bem definida para Re s > α, onde α ∈ R

+ e obtido a partir da condicaode convergencia (2.65).

Exemplo:

Sendo f(t) = eat, a ∈ R, (ou a ∈ C) tem-se que

L{eat}(s) =∫ ∞

0e−steatdt = lim

R→∞e(a−s)t

a− s

∣∣∣∣∣

R

t=0

=1

s− a, Re s > a

Como caso particular

L{1}(s) = L{e0t}(s) = 1

s, Re s > 0

Funcao de Heaviside

Sendo c ∈ R, define-se a funcao de Heaviside (centrada em c) por

Hc(t) =

{0 se t < c1 se t ≥ c

Se c = 0, escreve-se simplesmente H(t)def= H0(t). Para qualquer c ∈ R, Hc(t) = H(t− c).

Exemplo: (Transformada de Laplace da funcao de Heaviside)

Se c ≥ 0

L{Hc(t)}(s) =∫ ∞

0H(t− c)e−tsdt =

∫ ∞

ce−tsdt = lim

N→∞−e

−ts

s

∣∣∣∣

N

c

=e−cs

s, Re s > 0

184


Propriedades Elementares da Transformada de Laplace:

Assumindo que as funcoes f e g admitem transformadas de Laplace bem definidas numa regiaoRe s > a (para algum a ∈ R):

(1) Linearidade

L{f + g}(s) = L{f}(s) + L{g}(s)

e para α ∈ R

L{αf}(s) = αL{f}(s)

Em consequencia, para quaisquer α, β ∈ R

L{αf + βg} (s) = αL{f}(s) + βL{g}(s)

(2) Translacao da Transformada de Laplace Para a ∈ R,

L{e−atf(t)}(s) = L{f(t)}(s + a)

(3) Transformada de Laplace da Translacao Para c ∈ R+,

L{H(t− c)f(t− c)}(s) = e−csL{f(t)}(s)

(4) Derivada da Transformada de Laplace Para n ∈ N

dn

dsn

(

L{f(t)}(s))

= (−1)nL{tnf(t)}(s)

(5) Transformada de Laplace da Derivada

Se f admite derivada seccionalmente contınua em [0,∞[ e Re s > 0 entao:

L{f ′(t)}(s) = −f(0) + sL{f(t)}(s)

Entao, aplicando n ∈ N vezes a propriedade anterior, se f admite derivadas seccionalmentecontınuas ate a ordem n em [0,∞[:

L{f (n)(t)}(s) = −f (n−1)(0)− sf (n−2)(0)... − sn−2f ′(0) − sn−1f(0) + snL{f(t)}(s)

Demonstracao:

(1) A propriedade e verdadeira devido a linearidade dos integrais improprios.

(2) L{e−atf(t)}(s) =∫ ∞

0e−ste−atf(t) dt =

∫ ∞

0e−(s+a)tf(t) dt = L{f(t)}(s + a)

185


(3) Vamos provar o resultado por inducao. No caso n = 1:

d

dsL{f(t)}(s) =

d

ds

∫ ∞

0e−stf(t) dt =

∫ ∞

0

d

ds

(e−stf(t)

)dt =

∫ ∞

0e−st(−t)f(t) dt

= −L{tf(t)}(s)

Admitindo que a propriedade e valida para n− 1, entao (e usando o caso n = 1):

dn

dsnL{f(t)}(s) =

d

ds

(dn−1

dsn−1L{f(t)}(s)

)

=d

ds

(

(−1)n−1L{tn−1f(t)}(s))

= (−1)n−1 d

dsL{tn−1f(t)}(s) = (−1)n−1(−1)L

{

t(tn−1f(t))}

(s)

= (−1)nL{tnf(t))}(s)

(4) Como H(t− c) = 0 para t ∈ [0, c]:

L{H(t− c)f(t− c)}(s) =∫ ∞

0e−stH(t− c)f(t− c) dt =

∫ ∞

ce−stf(t− c) dt

Fazendo θ = t− c no ultimo integral, obtem-se:

L{H(t− c)f(t− c)}(s) =∫ ∞

0e−s(θ+c)f(θ) dθ = e−cs

∫ ∞

0e−sθf(θ) dθ = e−csL{f(t)}(s)

(5) Integrando por partes (e atendendo a que, por hipotese, Re s > 0):

L{f ′(t)}(s) =∫ ∞

0e−stf ′(t) dt = e−stf(t)

∣∣∞0

+ s

∫ ∞

0e−stf(t) dt = −f(0) + sL{f(t)}(s)

Exemplos

a) Para b ∈ R, e usando a linearidade da transformada de Laplace:

L{cos(bt)}(s) = L{eibt + e−ibt

2}(s) = 1

2

( 1

s− ib+

1

s+ ib

)

=s

s2 + b2, Re s > 0

L{sen(bt)}(s) = L{eibt − e−ibt

2i}(s) = 1

2i

( 1

s− ib− 1

s+ ib

)

=b

s2 + b2, Re s > 0

b) Para a e b ∈ R, e usando a propriedade da translacao da transformada de Laplace:

L{e−at cos(bt)}(s) = L{cos(bt)}(s + a) =s+ a

(s+ a)2 + b2, Re s > −a

L{e−at sen(bt)}(s) = L{sen(bt)}(s + a) =b

(s+ a)2 + b2, Re s > −a

186


c) Se n ∈ N e a ∈ R, e usando a propriedade da derivada da transformada de Laplace:

L{tneat}(s) = (−1)ndn

dsn

(

L{eat}(s))

=n!

(s − a)n+1, Re s > a

Particularizando o resultado anterior para a = 0, obtem-se:

L{tn}(s) = n!

sn+1, Re s > 0

d) Por aplicacao da propriedade da transformada de Laplace da translacao, determinar f(t) tal

que L{f(t)}(s) = e−2s

s2 .

L{f(t)}(s) = e−2s 1

s2= e−2sL{t}(s) = L

{H(t− 2)(t − 2)

}(s)

2.8.2 Aplicacoes da Transformada de Laplace as equacoes diferenciais

Vamos introduzir um metodo que permite resolver um problema de valor inicial para uma equacaolinear de ordem n, de coeficientes constantes. Para tal, vamos usar a Transformada de Laplacepara obter a solucao de problemas de valor inicial do tipo:

yn + an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y = b(t)

y(0) = b0 , y′(0) = b1 , ..., y

(n−1)(0) = bn−1

(2.66)

1. Aplicar a Transformada de Laplace a ambos os membros da equacao diferencial do problema(2.66):

L{yn + an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y}(s) = L{b(t)}(s)

2. Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, e com

Y (s) = L{y(t)}(s)

obtem-se

Y (s) =1

P (s)

(B(s) +Q(s)

)

onde P (s) e o polinomio caracterıstico associado a (2.66), B(s) a transformada de Laplacede b(t) e Q(s) um polinomio de grau menor ou igual que n−1. Quando as condicoes iniciaissao nulas, Q(s) = 0.

3. Finalmente, determinar a funcao y(t) tal que

L{y(t)}(s) = Y (s).

Em consequencia:

y(t) = L−1{Y (s)}(t)Diz-se que y(t) e a transformada de Laplace inversa de Y (s). Utilizando este metodo,obtem-se a solucao, y(t), do PVI (2.66).

187


Exemplo:

Determinar a solucao (para t ≥ 0) do problema de valor inicial:

y + y = b(t) , y(0) = y(0) = 0.

onde b(t) e definida pela expressao

b(t) =

{t2 se 0 ≤ t < 10 se t ≥ 1

=(1−H(t− 1)

)t2 = t2 −H(t− 1) t2

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equacao diferencial, obtem-se

L{y + y} (s) = L{b(t)} (s).

Pela propriedade da transformada de Laplace da translacao:

L{b(t)} (s) = L{t2}(s)− L

{H(t− 1)t2

}(s) =

2

s3− L

{

H(t− 1)((t− 1) + 1)

)2}

(s)

=2

s3− e−sL

{(t+ 1)2

}(s) =

2

s3− e−sL

{t2 + 2t+ 1

}(s)

=2

s3− e−s

(2

s3+

2

s2+

1

s

)

Por outro, usando a linearidade:

L{y + y} (s) = L{y} (s) + L{y} (s) = 2

s3− e−s

( 2

s3+

2

s2+

1

s

)

Pela propriedade da transformada de Laplace da derivada,

−y(0) − sy(0) + s2L{y} (s) + L{y} (s) = 2

s3− e−s

( 2

s3+

2

s2+

1

s

)

Usando a notacao Y (s) = L{y(t)} (s), e atendendo a que y(0) = y(0) = 0, tem-se entao:

(s2 + 1)Y (s) =2

s3− e−s

( 2

s3+

2

s2+

1

s

))

,

ou seja:

Y (s) =1

s2 + 1

(2

s3− e−s

( 2

s3+

2

s2+

1

s

))

Sejam F1(s) e F2(s) tais que:

Y (s) =2

s3(s2 + 1)︸︷︷︸

+ e−s(

1

s2 + 1

( 2

s3+

2

s2+

1

s

))

︸︷︷︸

F1(s) F2(s)

188


Em F1(s), fazendo separacao em fraccoes simples e aplicando as propriedades da Transformadade Laplace:

F1(s) =−2

s+

0

s2+

2

s3+

2s+ 0

s2 + 1

=−2

s+

d2

ds21

s+ 2

s

s2 + 1

= −2L{1}(s) + L{t2}(s) + 2L{cos t}(s)

= L{−2 + t2 + 2cos t}(s)

Tratando F2(s) de forma similar:

F2(s) = e−s(−1

s+

2

s2+

2

s3+

s− 2

s2 + 1

)

= e−s(−1

s− 2

d

ds

1

s++

d2

ds21

s+

s

s2 + 1− 2

1

s2 + 1

)

= e−s(

− L{1} (s) + 2L{t} (s) + L{t2}(s) + L{cos t} (s)− 2L{sen t} (s)

)

= e−sL{−1 + 2t+ t2 + cos t− 2 sen t

}(s)

= L{

H(t− 1)(

− 1 + 2(t− 1) + (t− 1)2 + cos(t− 1)− 2 sen(t− 1))}

(s)

Conclui-se que

Y (s) = L{

−2 + t2 + 2cos t+H(t− 1)(

− 1 + 2(t− 1) + (t− 1)2 + cos(t− 1)− 2 sen(t− 1))}

(s)

e assim a solucao do PVI e

y(t) = −2 + t2 + 2cos t+H(t− 1)(

− 1 + 2(t− 1) + (t− 1)2 + cos(t− 1)− 2 sen(t− 1))

=

−2 + t2 + 2cos t se 0 ≤ t < 1

−3 + t2 + 2cos t+ 2(t− 1) + (t− 1)2 + cos(t− 1)− 2 sen(t− 1) se t ≥ 1

2.8.3 Distribuicao Delta de Dirac

A delta de Dirac e a distribuicao que verifica

δ(t) = 0 ∀t ∈ R \ {0}∫ ∞

−∞δ(x) dx = 1

189


Se f e contınua em t = 0 entao:

∫ ∞

−∞δ(t)f(t) dt = f(0)

Mais genericamente, podemos definir a distribuicao delta de Dirac centrada em um dado c ∈ R

por:

δc(t) = δ(t− c)

A distribuicao δc(t) verifica, entao:

a) δc(t) = 0 para qualquer t ∈ R \ {c}.

b)

∫ ∞

−∞δc(t) dt = 1

c) Se f e contınua em c entao

∫ ∞

−∞δc(t)f(t) dt = f(c)

Desta forma:

L{δc(t)} =

∫ ∞

−∞δc(t)e

−st dt = e−cs.

Exemplo:

Determinar a solucao (para t ≥ 0) do problema de valor inicial:

y + 2y + y = 2δ(t − 2) , y(0) = y(0) = 0.

Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os membros da equacao diferencial, obtem-se

L{y + 2y + y} (s) = L{2δ(t)} (s) = 2e−2s

Usando a linearidade, a propriedade da transformada de Laplace da derivada e a notacao Y (s) =L{y(t)} (s)

−y(0) − sy(0) + s2Y (s) + 2 (−y(0) + sY (s)) + Y (s) = 2e−2s,

o que e equivalente a

(s2 + 2s+ 1)Y (s) = 2e−2s,

ou seja

Y (s) = e−2s 2

(s+ 1)2= e−2sL

{2tet

}(s) = L

{

2H(t− 2)(t− 2)e−(t−2)}

(s)

Consequentemente, a solucao do problema de valor inicial e:

y(t) = 2H(t− 2)(t− 2)e−(t−2).

190


2.8.4 Inversao da Transformada de Laplace

Teorema de Inversao da Transformada de Laplace

Seja F (s) uma funcao analıtica em C excepto num conjunto finito de singularidades (isoladas),{s1, s2, . . . , sn} ⊂ C. Seja α ∈ R tal que F (s) e analıtica no semi-plano Re s ≥ α (isto e, αe maior que qualquer um dos valores Re s1,Re s2, . . . ,Re sn). Suponhamos tambem que F (s)verifica, para certos M,β, R ∈ R

+:

|F (s)| ≤ M

|s|β , se |s| ≥ R (2.67)

Entao

f(t) =n∑

j=1

Res(estF (s), sj

)(2.68)

satisfaz L{f(t)} (s) = F (s) para Re s > α.Demonstracao: Seja R > |α| tal que todas as singularidades de F (s) estao no interior da

circunferencia |s| = R (isto e, |sj| < R, para j = 1, 2, . . . , n).

s1

s2

s3

sn−1

sns

IR −IR

Re s

Im s

α

γ−R

γ+R

α+ i√R2 − α2

α− i√R2 − α2

Figura 2.10: Demonstracao do teorema de inversao da transformada de Laplace.

Sejam

γ+R = {s ∈ C : |s| = R e Re s ≥ α}γ−R = {s ∈ C : |s| = R e Re s ≤ α}

(em que a circunferencia e sempre percorrida no sentido directo) e IR o segmento que une osextremos de ambas as curvas, com inıcio em α−i

√R2 − α2 e fim em α+i

√R2 − α2. Considere-se

as curvas de Jordan:Γ+R = γ+R + (−IR) , Γ−

R = γ−R + IR

191


Note que ambas as curvas sao percorridas no sentido directo.Aplicando o teorema dos resıduos a funcao estF (s), que e analıtica em C \ {s1, s2, . . . , sn}

(considera-se t ∈ R como parametro):

∫

Γ−

R

estF (s) ds = 2πi

n∑

j=1

Res(estF (s), sj

)= 2πif(t) (2.69)

A transformada de Laplace de f (nos pontos s ∈ C onde o limite que define o integral improprioconverge) sera entao dada por:

2πiL{f(t)} (s) = limN→∞

∫ N

0e−st

(∫

Γ−

R

eztF (z) dz

)

dt.

Pelo teorema de Fubini:

2πiL{f(t)} (s) = limN→∞

∫

Γ−

R

(∫ N

0e(z−s)t dt

)

F (z) dz = limN→∞

∫

Γ−

R

e(z−s)N − 1

z − sF (z) dz.

Para Re s > α e notando que, para z ∈ Γ−R, Re z ≤ α:

limN→∞

∣∣∣e(z−s)N

∣∣∣ ≤ lim

N→∞e(α−Re s)N = 0,

pelo que, para esses valores de s, o limite que define L{f(t)} (s) existe e:

2πiL{f(t)} (s) = −∫

Γ−

R

F (z)

z − sdz.

Considera-se agora R suficientemente grande, de tal forma que — para alem das sigularidadess1, s2, . . . , sn — tambem s esta no interior da circunferencia |z| = R, e a estimativa (2.67) evalida para |z| = R (ou seja, R ≥ R). Aplicando a formula integral de Cauchy a curva Γ+

R e afuncao F (que e analıtica nessa curva e no seu interior):

2πiL{f(t)} (s) = −∫

Γ−

R

F (z)

z − sdz −

∫

Γ+R

F (z)

z − sdz + 2πiF (s)

︸︷︷︸

= 2πiF (s) −∫

|z|=R

F (z)

z − sdz.

= 0

Como:∣∣∣∣∣

∫

|z|=R

F (z)

z − sdz

∣∣∣∣∣≤∫

|z|=R

|F (z)||z − s| |dz| ≤

M/Rβ

R− |s|

∫

|z|=R|dz| = 2πRM

Rβ(R− |s|) → 0

quando R→ ∞, concluımos que,

2πiL{f(t)} (s) = limR→∞

2πiF (s) −∫

|z|=R

F (z)

z − sdz = 2πiF (s),

ou seja,

L{f(t)} (s) = F (s).

192


�.

Este teorema de inversao pode ser util quando F (s) e uma funcao racional, isto e, F (s) = P (s)Q(s) ,

onde P (s) e Q(s) sao polinomios. Neste caso, e como vimos na subseccao 1.9.3, basta que ograu de Q(s) seja maior que o de P (s) para a condicao (2.67) seja satisfeita.

Exemplo 1:

Determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =s+ 1

s2 + s− 6.

Como s2 + s − 6 = (s + 3)(s − 2), estF (s) = est s+1(s+3)(s−2) tem por singularidades s = 2 e

s = −3, sendo ambas polos simples. Note que o grau de s2 + s− 6 e maior que o de s− 1. Peloteorema de inversao da transformada de Laplace:

L−1{F (s)} = L−1

{s+ 1

(s+ 3)(s − 2)

}

= Res(estF (s), 2

)+Res

(estF (s),−3

)

Os resıduos dos polos simples sao:

Res(G(s), 2

)= lim

s→2

s+ 1

s+ 3est =

3

5e2t

Res(G(s),−3

)= lim

s→−3

s+ 1

s− 2est =

2

5e−3t.

Assim sendo,

L−1{F (s)} =3

5e2t +

2

5e−3t.

Exemplo 2:

Sendo F (s) uma funcao que verifica as condicoes do teorema de inversao da transformada deLaplace, provar que

f(t) = L−1{F (s)}(t) = 1

2πi

∫ α+i∞

α−i∞estF (s) ds para t > 0. (2.70)

Notamos em primeiro lugar que a equacao (2.69) e valida para qualquer R muito grande;tomando o limite em ambos os membros de (2.69) quando R→ ∞, entao:

2πif(t) = limR→∞

(∫

IR

estF (s) ds +

∫

γ−R

estF (s) ds

)

=

∫ α+i∞

α−i∞estF (s) ds + lim

R→∞

∫

γ−R

estF (s) ds

Resta provar que limR→∞∫

γ−RestF (s) ds = 0.

193


A curva γ−R e o arco de circunferencia parametrizado por s(θ) = Reiθ, com π2 −κ ≤ θ ≤ 3π

2 +κe κ = arctg α√

R2−α2. Podemos escrever γ−R = C1

R + SR + C2R

13 onde o parametro θ satisfaz:

π2 − κ < θ < π

2 para z(θ) ∈ C1R ;

π2 < θ < 3π

2 para z(θ) ∈ SR ;

3π2 < θ < 3π

2 + κ para z(θ) ∈ C2R .

Para estimar os integrais ao longo de C1R+C2

R, tendo em conta que∣∣ets∣∣ = etRe s ≤ etα para

s ∈ γ−R : ∣∣∣∣∣

∫

C−

R+C+R

estF (s) ds

∣∣∣∣∣≤ Metα

Rβ

∫

C−

R+C+R

|ds| = Metα

Rβ2R|κ|

Como | arctg x| ≤ |x|, entao R|κ| = R∣∣∣arctg α√

R2−α2

∣∣∣ ≤ R |α|√

R2−α2= |α|√

1−α2/R2, pelo que:

∣∣∣∣∣

∫

C−

R+C+R

estF (s) ds

∣∣∣∣∣≤ 2Metα|α|Rβ√

1− α2/R2−→ 0 quando R→ ∞

O integral ao longo de SR pode ser estimado usando o metodo da prova do lema de Jordan.Em primeiro lugar,

∫

SR

∣∣ets∣∣|ds| =

∫ 3π2

π2

∣∣etR cos θ

∣∣∣∣eitR sen θ

∣∣Rdθ

=

∫ 3π2

π2

etR cos θ Rdθ =

∫ π

0etR cos(ω+π

2 )Rdω =

∫ π

0e−tR senω Rdω.

Usando agora as estimativas da subseccao 1.9.3 (equacoes (1.26) e (1.27)), obtem-se:

∫

SR

∣∣ets∣∣|ds| ≤ π

tpara t > 0.

Entao, para t > 0,

∣∣∣∣

∫

SR

f(z)ets ds

∣∣∣∣≤ M

Rβ

∫

SR

|ets||ds| ≤ Mπ

Rβt−→ 0 quando R→ ∞

13A ideia desta decomposicao baseia-se no facto de os comprimentos das curvas C1R e C2

R nao tenderem para∞ quando R → ∞, o que permite uma majoracao mais simples dos integrais correspondentes. Por outro lado, ointegral ao longo de SR pode ser estimado pelo metodo que foi usado na prova do lema de Jordan.

194

Capıtulo 3

Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais

3.1 Series de Fourier

3.1.1 Definicao e convergencia pontual

Para qualquer L ∈ R+ , considere-se uma funcao f : [−L,L] → R. Pode-se associar a f a sua

Serie de Fourier, ou serie trigonometrica

SFf (x) =a02

+

∞∑

n=1

(

an cos(nπx

L) + bn sen(

nπx

L))

em que

a0 =1

L

∫ L

−Lf(x) dx , an =

1

L

∫ L

−Lf(x) cos(

nπx

L)dx

e

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sen(

nπx

L)dx

Teorema: (convergencia pontual da serie de Fourier)

Se f : [−L,L] → R e uma funcao seccionalmente contınua e de derivada seccionalmentecontınua em ] − L,L[, entao para cada x ∈ [−L,L], a serie de Fourier associada e uma serieconvergente, tendo-se que

SFf (x) =

f(x) sendo x um ponto de continuidade de f

f(x+) + f(x−)2

sendo x um ponto de descontinuidade de f

f(L−) + f(−L+)

2sendo x = −L ou x = L

(3.1)

Se f e contınua em x = −L e em x = L tem-se, simplesmente 1:

SFf (±L) =f(L) + f(−L)

21Na maior parte das aplicacoes, f e contınua em x = ±L; nos casos em que a continuidade em x = ±L

nao se verifica, pode-se de qualquer modo alterar a definicao da funcao f de forma a que f(L) = f(L−) ef(−L) = f(−L+).

195

CAPITULO 3. INTRODUCAO AS EQUACOES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Note-se que a serie de Fourier SFf esta bem definida em R, e periodica de perıodo 2L e estarelacionada, no sentido descrito em (3.1)) com a extensao periodica, f , de f a R, isto e:

SFf (x) =


f(x+) + f(x−)2


Exemplo:Determinar a serie de Fourier da funcao f : [−1, 1] → R definida por

f(x) =

{−π se x ∈ [−1, 0[π se x ∈ [0, 1]

A serie de Fourier associada a f sera

SFf (x) =a02

+

∞∑

n=1

(

an cos(nπx) + bn sen(nπx))

Atendendo a que a funcao f e uma funcao ımpar, ter-se-a

a0 =

∫ 1

−1f(x)dx = 0 e an =

∫ 1

−1f(x) cos(nπx)dx = 0 ∀n ∈ N

Por outro lado

bn =

∫ 1

−1f(x) sen(nπx)dx = 2

∫ 1

0π sen(nπx)dx =

2

n

(

1− (−1)n)

Concluimos que

SFf (x) =

∞∑

n=1

2

n

(

1− (−1)n)

sen(nπx)

Atendendo a que, para n par, 1− (−1)n = 0, os termos de ordem par da serie anterior sao nulos:

SFf (x) =

∞∑

k=1

4

2k − 1sen((2k − 1)πx

)

Dado que tanto f como f ′ sao funcoes seccionalmente contınuas em [−1, 1] o teorema anteriorpermite-nos concluir que SFf (x) esta bem definida para x ∈ [−1, 1]. Pela periodicidade dasfuncoes sen(nπx), e facil de compreender que SFf esta bem definida para todo x ∈ R e que eperiodica de perıodo 2. De seguida mostra-se alguna graficos das aproximacoes da serie de Fourierda funcao f , isto e, o grafico de alguns termos da sucessao das somas parciais

SNf(x) =N∑

k=1

4

2k − 1sen((2k − 1)πx

)

(para alguns valores de N ∈ N).

Grafico da funcao (S1f)(x) = 4 sen(πx)

196

3.1. SERIES DE FOURIER

-0.9 -0.57 -0.24 0.09 0.42 0.75

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 3.1: Aproximacao N = 1

Grafico da funcao (S2f)(x) = 4 sen(πx) + 43 sen(3πx)

-0.9 -0.57 -0.24 0.09 0.42 0.75

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


Grafico da funcao (S3f)(x) = 4 sen(πx) + 43 sen(3πx) +

45 sen(5πx)

197


-0.9 -0.57 -0.24 0.09 0.42 0.75

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


Grafico da funcao (S5f)(x) = 4 sen(πx) + 43 sen(3πx) +

45 sen(5πx) +

47 sen(7πx) +

49 sen(9πx)

-0.9 -0.68 -0.46 -0.24 -0.02 0.2 0.42 0.64 0.86

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


Grafico da funcao (S12f)(x) =∑12

n=14

2n−1 sen((2n − 1)πx)

Em [−1, 1] a soma da serie de Fourier da funcao f sera dada por:

SFf (x) =

−π se x ∈]− 1, 0[π se x ∈]0, 1[0 se x = ±1 ou x = 0

(3.2)

Por ser uma funcao periodica de perıodo 2, em R a soma da serie de Fourier da funcao f seradada pela extensao periodica de perıodo 2 da funcao definida em (3.2).

198

3.1. SERIES DE FOURIER

-0.9 -0.68 -0.46 -0.24 -0.02 0.2 0.42 0.64 0.86

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4


3.1.2 Serie de Fourier de Senos

Sendo L > 0 e f : [0, L] → R uma funcao seccionalmente contınua e de derivada seccionalmentecontınua em ]0, L[, pode-se associar a f a serie de senos

Ssenf(x) =∞∑

n=1

bn sen(nπx

L)

em que

bn =2

L

∫ L

0f(x) sen(

nπx

L)dx

Esta serie e obtida, efectuando a extensao ımpar de f ao intervalo [−L,L], e calculando a suaserie de Fourier. Observe-se que se uma dada funcao g e ımpar, os coeficientes da serie de Fourierverificam:

an =1

L

∫ L

−Lg(x) cos(

nπx

L)dx = 0 , ∀n ≥ 0

bn =1

L

∫ L

−Lg(x) sen(

nπx

L)dx =

2

L

∫ L

0g(x) sen(

nπx

L)dx

Pelo Teorema da convergencia pontual das series de Fourier e atendendo que se esta a utilizar aextensao ımpar de f a [−L,L], conclui-se que para x ∈ [0, L]

Ssenf(x) =


f(x+) + f(x−)2


0 se x = L

0 se x = 0

199


Exemplo:

Determinar a serie de Fourier de senos da funcao f : [0, 2] → R definida por

f(x) =

{1− x se x ∈ [0, 1[0 se x ∈ [1, 2][

A serie de senos da funcao f em [0, 2] sera da forma

Ssenf(x) =∞∑

n=1

bn sennπx

2

em que

bn =

∫ 2

0f(x) sen

nπx

2dx =

∫ 1

0(1− x) sen

nπx

2dx =

2

nπ− 4

n2π2sen

nπ

2

Conclui-se que

Ssenf(x) =

∞∑

n=1

( 2

nπ− 4

n2π2sen

nπ

2

)

sennπx

2

Pelo Teorema da convergencia pontual das series de Fourier, tem-se que em [−2, 2]

Ssenf(x) =

f(x) se x ∈]0, 2]0 se x = 0−f(−x) se x ∈ [−2, 0[

(3.3)

e em R a soma da serie de senos da funcao f sera a extensao periodica de perıodo 4, de (3.3) aR.

3.1.3 Serie de Fourier de Cosenos

Sendo L > 0 e f : [0, L] → R uma funcao seccionalmente contınua e de derivada seccionalmentecontınua em ]0, L[, pode-se associar a f a serie de Cosenos

Scosf(x) =a02

+∞∑

n=1

an cos(nπx

L)

em que

a0 =2

L

∫ L

0f(x)dx , an =

2

L

∫ L

0f(x) cos(

nπx

L)dx

Esta serie e obtida, efectuando a extensao par de f ao intervalo [−L,L], e calculando a suaserie de Fourier. Observe-se que se uma dada funcao g e par os coeficientes da serie de Fourierverificam:

a0 =1

L

∫ L

−Lg(x)dx =

2

L

∫ L

0g(x)dx

an =1

L

∫ L

−Lg(x) cos(

nπx

L)dx =

2

L

∫ L

0g(x) cos(

nπx

L)dx

bn =1

L

∫ L

−Lg(x) sen(

nπx

L)dx = 0 ∀n ≥ 0

200

3.2. INTRODUCAO AO ESTUDO DE QUACOES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Pelo Teorema da convergencia pontual das series de Fourier e atendendo que se esta a utilizar aextensao par de f a [−L,L], conclui-se que para x ∈ [0, L]

Scosf(x) =


f(x+) + f(x−)2


f(L) se x = L

f(0) se x = 0

Exemplo: Determinar a serie de Fourier senos da funcao g : [0, π] → R definida por

g(x) =

{0 se x ∈ [0, π4 [1 se x ∈ [π4 , π]

A serie de cosenos da funcao g em [0, π] sera da forma

Scosg(x) =a02

+

∞∑

n=1

an cos(nx)

em que

a0 =2

π

∫ π

0g(x)dx =

2

π

∫ π

π4

dx =3

2

e para n ∈ N

an =2

π

∫ π

0g(x) cos(nx)dx =

2

π

∫ π

π4

cos(nx)dx = − 2

nπsen

nπ

4

Conclui-se que

Scosg(x) =3

4−

∞∑

n=1

2

nπsen

nπ

4cos(nx)

Pelo Teorema da convergencia das series de Fourier, tem-se que em [−π, π]

Scosg(x) =

0 se x ∈]− π4 ,

π4 [

1 se x ∈ [−π,−π4 [∪]π4 , π]

1/2 se x = ±π4

(3.4)

e em R a soma da serie de cosenos da funcao g sera a extensao periodica de perıodo 2π, de (3.4)a R.

3.2 Introducao ao estudo de quacoes Diferenciais Parciais

O objectivo de resolver uma equacao diferencial parcial e determinar uma funcao u(x1, ..., xn) queverifica uma relacao de igualdade envolvendo as suas derivadas (que serao derivadas parciais).

Centraremos o nosso estudo nas equacoes diferenciais parciais lineares de segunda ordem emdomınios (espaciais) rectangulares, em que as equacoes sao afins aos tres tipos seguintes:

201


• Equacao do Calor

∂u

∂t= K

(∂2u

∂x21+ ...+

∂2u

∂x2n

)

em que t > 0, x1 ∈ [0, L1],..., xn ∈ [0, Ln], e K > 0 e a condutividade termica do material.Este tipo de equacoes esta associado a processos envolvendo conducao termica e difusao2.

• Equacao de Laplace

∂2u

∂x21+ ...+

∂2u

∂x2n= 0

em que x1 ∈ [0, L1],..., xn ∈ [0, Ln]. Este tipo de equacoes esta associado a processosestacionarios de conducao termica e difusao, a electrostatica e ao movimento dos fluıdos.

• Equacao das Ondas

∂u2

∂t2= c2

(∂2u

∂x21+ · · ·+ ∂2u

∂x2n

)

em que t > 0, x1 ∈ [0, L1],..., xn ∈ [0, Ln], e c uma constante. Este tipo de equacoes estaassociado a processos envolvendo propagacao de ondas.

Para resolver estas equacoes, necessitaremos de estabelecer

• Condicoes de Fronteira

Que predefinem o comportamento da funcao u na fronteira de R = [0, L1]× ...× [0, L1], eque poderao ser de varios tipos:

– Condicoes de Dirichlet

se definem o valor de u na fronteira de R;

– Condicoes de Neumann

se definem o valor de ∂u∂x na fronteira de R (ou seja, definem o fluxo de u na fronteira

de R);

Poderao ainda ser mistas se existirem condicoes dos dois tipos.

As condicoes de fronteira dizem-se homogeneas se forem nulas.

• Condicoes Iniciais

que definem o estado inicial, isto e, para a equacao do calor

u(0, x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn) , ∀(x1, ..., xn) ∈ R

e para a equacao das ondas

{u(0, x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn)∂u∂t (0, x1, ..., xn) = g(x1, ..., xn)

, ∀(x1, ..., xn) ∈ R

2No caso de de tratar da equacao de difusao, ∂u∂t

= D(

∂2u

∂x2

1

+ ... + ∂2u∂x2

n

)

, D > 0 e o coeficiente de difusao da

susbtancia.

202

3.2. INTRODUCAO AO ESTUDO DE QUACOES DIFERENCIAIS PARCIAIS

3.2.1 Metodo de Separacao de Variaveis

Para descrever o metodo de separacao de variaveis, vamos aplica-lo ao problema de Dirichlethomogeneo para a equacao do calor.

A equacao do calor unidimensional modela a propagacao de calor (ou a difusao de umasubstancia) atraves de um corpo unidimensional (por exemplo uma barra) de comprimento L. Afuncao u(t, x) mede a temperatura da barra no ponto x no instante t e verifica a equacao do calor

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2, ∀t > 0 , x ∈]0, L[

sendo K > 0 a condutividade termica (ou o coeficiente de difusao). Assumiremos condicoes defronteira de Dirichlet homogeneas, isto e

u(t, 0) = u(t, L) = 0 , ∀t > 0

e a condicao inicial

u(0, x) = f(x) , ∀x ∈]0, L[

em que f e uma funcao seccionalmente contınua e com derivada seccionalmente contınua definidano intervalo [0, L].

Resolveremos entao o problema de valores na fronteira e inicial

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈]0, L[

u(t, 0) = u(t, L) = 0 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈]0, L[

(3.5)

Comecamos por notar que se f(x) ≡ 0 entao a solucao de (3.5) e u(t, x) ≡ 0. Se f nao eidenticamente nula entao u tambem nao o sera.

Vamos utilizar o metodo de separacao de variaveis para determinar solucoes do problema (3.5)da forma

u(t, x) = T (t)X(x)

Pela observacao acima feita, nem T (t) nem X(x) poderao ser identicamente nulas. Substituindona equacao diferencial obtem-se

∂

∂t

(

T (t)X(x))

= K∂2

∂x2

(

T (t)X(x))

⇔ T ′(t)X(x) = KT (t)X ′′(x) ⇔ T ′(t)KT (t)

=X ′′(x)X(x)

Observe-se que, separadas as variaveis, pretende-se que para todos t > 0 e x ∈]0, L[ uma funcao

de t ( T′(t)

KT (t)) iguale uma funcao de x (X′′(x)X(x) ). Para que tal se verifique e necessario que ambos

igualem uma constante, isto e, para λ ∈ R

T ′(t)KT (t)

= λ eX ′′(x)X(x)

= λ

Por outro lado, atendendo as condicoes de fronteira

203


• u(t, 0) = 0 implica T (t)X(0) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX(0) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se queX(0) = 0.

• u(t, L) = 0 implica T (t)X(L) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX(L) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer, tem-se que X(L) = 0.

E conveniente notar que, se nao exigıssemos condicoes de fronteira nulas, o metodo de se-paracao de variaveis falharia neste ponto. A razao e muito simples — a lei do anulamento doproduto nao seria aplicavel.

Temos entao dois problemas para resolver - correspondentes a duas equacoes diferenciaisordinarias

(P1)

{X ′′ − λX = 0X(0) = X(L) = 0

, (P2) T ′ = λKT

Comecamos por resolver o problema (P1). Trata-se duma equacao diferencial linear homogenea,cuja solucao tem que verificar condicoes de fronteira nulas. Nesta situacao, a funcao nula e sempresolucao de (P1). Existem no entanto alguns valores de λ para os quais essa nao e a unica solucaode (P1).

Definicao: λ diz-se um valor proprio de (P1). associado a funcao propria ϕ(x), sse ϕ(x) foruma solucao nao nula de (P1).

Para continuar a nossa resolucao, teremos que encontrar os valores propios de (P1) a fim dedeterminar as suas solucoes nao nulas. Assim

X ′′ − λX = 0 ⇔ (D2 − λ)X = 0

Teremos entao tres casos possıveis:

λ = 0 — A equacao e D2X = 0 o que implica X(x) = Ax+B, A, B ∈ R;

λ > 0 (λ = µ2) — A equacao e (D−µ)(D+µ)X = 0 o que implica X(x) = Aeµx+Be−µx;

λ < 0 (λ = −ω2) — A equacao e (D + iω)(D − iω)X = 0 o que implica X(x) =A sen(ωx) +B cos(ωx);

Os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as condicoes de fronteira, produzem apenas a solucaonula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0 nao e valor proprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que

X(0) = 0 ⇒ B = 0

X(L) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0

pelo que,

A = 0 ⇒ X(x) ≡ 0

ou

sen(ωL) = 0 ⇒ ω =nπ

L⇒ X(x) = sen

nπx

L, com n ∈ Z

Temos assim que λ = −ω2 = −n2π2

L2 e X(x) = sen nπxL , para n ∈ Z, sao os valores proprios

e as correspondentes funcoes proprias associadas. Note que para os ındices n inteiros negativos

204

3.3. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO PARA A EQUACAO DO CALORUNIDIMENSIONAL

repetem-se os valores proprios e as funcoes proprias (a menos de combinacao linear). Conclui-se

que qualquer λ que nao seja da forma −n2π2

L2 (para algum n ∈ N) nao e valor proprio de (P1), e

para cada n ∈ N, λ = −n2π2

L2 e valor proprio de (P1) associado a funcao propria Xn(x) = sen nπxL .

Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores proprios de (P1), dado quepara outros valores de λ a unica solucao de (P1) e a nula. Assim, para cada n ∈ N

T ′ = −n2π2

L2KT ⇒ Tn(t) = e−

n2π2KL2 t

Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as solucao da equacao do calor unidimensional, daforma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condicoes de fronteira de Dirichlet nulas sao as funcoesda forma

un(t, x) = Tn(t)Xn(x) = e−n2π2K

L2 t sennπx

L, , n ∈ N (3.6)

Princıpio da Sobreposicao

Qualquer combinacao linear de solucoes de equacoes diferenciais lineares homogeneas (in-cluindo de um numero infinito, se houver convergencia), verificando condicoes de fronteira ho-mogeneas, e tambem solucao da equacao e verifica as mesmas condicoes de fronteira.

Observa-se que, relativamente a sobreposicoes com um numero infinito de termos, sera ne-cessario verificar adicionalmente que a serie obtida e uniformemente convergente em subconjuntoscompactos do domınio onde a equacao diferencial e satisfeita.

Entao, atendendo a (3.21)

u(t, x) =∞∑

n=1

cnun(t, x) =∞∑

n=1

cne−n2π2K

L2 t sennπx

L, , cn ∈ R

e solucao da equacao do calor unidimensional que verifica condicoes de fronteira de Dirichlet nulas.Para determinar as constantes cn teremos que utilizar a condicao de fronteira u(0, x) = f(x).Resulta entao que:

∞∑

n=1

cn sennπx

L= f(x) (3.7)

3.3 Problema de Dirichlet Homogeneo para a Equacao do Calor

Unidimensional

Vamos resolver o problema de valores na fronteira e inicial

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈]0, π[

u(t, 0) = u(t, π) = 0 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈]0, π[

(3.8)

205


em que f e uma funcao seccionalmente contınua em ]0, π[. Tal como deduzimos na Seccao 3.2.1,a solucao do problema (3.8) e dada por

u(t, x) =

∞∑

n=1

cne−n2Kt sen(nx) , cn ∈ R

e para determinar as constantes (cn)n∈N usaremos a condicao inicial, pelo que

∞∑

n=1

cn sen(nx) = f(x) (3.9)

3.3.1 Exemplo 1

Se a condicao inicial for

f(x) = sen(2x)− 3 sen(5x)

por (3.9),∞∑

n=1

cn sen(nx) = sen(2x)− 3 sen(5x)

e e entao facil de deduzir que

c2 = 1 , c5 = −3 e cn = 0 ∀n ∈ N \ {2, 5}

Concluimos que a solucao de (3.8) quando f(x) = sen(2x)− 3 sen(5x) e dada por

u(t, x) = e−4Kt sen(2x)− 3e−25Kt sen(5x)

3.3.2 Exemplo 2

Se a condicao inicial for

f(x) =π

2−∣∣∣x− π

2

∣∣∣ =

{x se 0 ≤ x ≤ π

2π − x se π

2 < x ≤ π

por (3.9),∞∑

n=1

cn sen(nx) =π

2−∣∣∣π

2− x∣∣∣

pelo que para determinar as constantes (cn) precisamos de determinar a serie de senos da funcaof(x) em [0, π]. Assim

Ssenf(x) =

∞∑

n=1

bn sen(nx)

em que

bn =2

π

∫ π

0f(x) sen(nx) dx =

2

π

[ ∫ π/2

0x sen(nx) dx+

∫ π

π/2(π − x) sen(nx) dx

]

=4

πn2sen

nπ

2

206

3.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NAO HOMOGENEO PARA A EQUACAO DO CALORUNIDIMENSIONAL

Dado que a extensao periodica (de perıodo 2π) a R da extensao ımpar de f ao intervalo [−π, π]e contınua, tem-se que para todo x ∈ [0, π]

π

2−∣∣∣x− π

2

∣∣∣ =

∞∑

n=1

4

πn2sen

nπ

2sen(nx)

pelo que se conclui que para todo n ∈ N se tem

cn =4

πn2sen

nπ

2

e a solucao de (3.8) quando f(x) = π2 −

∣∣∣x− π

2

∣∣∣ e dada por

u(t, x) =∞∑

n=1

4

πn2sen

nπ

2e−n

2Kt sen(nx)

3.4 Problema de Dirichlet nao Homogeneo para a Equacao doCalor Unidimensional

Vamos resolver o problema

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈]0, L[

u(t, 0) = T1 , u(t, L) = T2 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈]0, L[

(3.10)

em que T1. T2 sao constantes. No contexto da equacao do calor unidimensional, estas condicoesde fronteira significam que as extremidades da barra, 0 e L, sao mantidas a temperatura constante,T1 e T2 respectivamente, durante todo o processo. Sendo estas constantes diferentes de zero, naopodemos aplicar directamente o metodo de separacao de variaveis. Temos entao que considerar

u(t, x) = ue(x) + v(t, x) (3.11)

em que ue(x) e solucao do problema de valores na fronteira

u′′e = 0 , ue(0) = T1 e ue(L) = T2

e v(t, x) e solucao do problema de valores iniciais e de fronteira

∂v

∂t= K

∂2v

∂x2t > 0 , x ∈]0, L[

v(t, 0) = 0 , v(t, L) = 0 t > 0

v(0, x) = f(x)− ue(x) x ∈]0, L[

(3.12)

207


Vamos verificar em primeiro lugar que se u(t, x) e da forma dada em (3.11) entao e solucao de(3.10). De facto, utilizando a linearidade da derivada

K∂2u

∂x2= K

∂2ue∂x2

+K∂2v

∂x2= Ku′′e +K

∂2v

∂x2= 0 +

∂v

∂t=∂ue∂t

+∂v

∂t=∂u

∂t

pelo que verifica a equacao diferencial de (3.10). Por outro lado

u(t, 0) = ue(0) + v(t, 0) = T1 + 0 = T1 e u(t, L) = ue(L) + v(t, L) = T2 + 0 = T2

pelo que verifica as condicoes de fronteira de (3.10). Finalmente

u(0, x) = ue(x) + v(0, x) = ue(x) + f(x)− ue(x) = f(x)

pelo que verifica a condicao inicial de (3.10). Conclui-se que u(t, x) dada em (3.11) e solucao de(3.10). A funcao ue(x) e denominada uma solucao estacionaria de (3.10), pois nao depende de t.

A equacao u′′e = 0 tem como solucao ue(x) = Ax+ B. Dado que ue(0) = T1 e ue(L) = T2conclui-se que

ue(x) =T2 − T1L

x+ T1

Por outro pela Seccao 1, dado que (3.12) e o problema da equacao do calor com condicoes defronteira de Dirichlet homogeneas

v(t, x) =∞∑

n=1

cne−n2π2K

L2 t sennπx

L

em que para todo n ∈ N, (cn) sao os coeficientes da serie de senos da funcao f(x)− T2−T1L x−T1

em [0, L], isto e

cn =2

L

∫ L

0

(

f(x)− T2 − T1L

x− T1

)

sennπx

Ldx (3.13)

Concluimos que a solucao de (3.10) e dada por

u(t, x) =T2 − T1L

x+ T1 +

∞∑

n=1

cne−n2π2K

L2 t sennπx

L

com (cn) dados por (3.13).

3.5 Problema de Neumann Homogeneo para a Equacao do CalorUnidimensional

Resolveremos o problema de valores na fronteira e inicial

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈]0, L[

∂u∂x(t, 0) =

∂u∂x(t, L) = 0 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈]0, L[

(3.14)

208

3.5. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO PARA A EQUACAO DO CALORUNIDIMENSIONAL

isto e, vamos estudar a propagcao de calor numa barra de comprimento L em que nao ha troca decalor com o exterior pelas suas extremidades (o significado das condicoes de Neumenn ∂u

∂x(t, 0) =∂u∂x(t, L) = 0 e que o fluxo de calor atraves da fronteira do corpo, que neste caso sao os pontosx = 0 e x = L, e nulo).

Observa-se que se f(x) ≡ 0 entao a solucao de (3.14) e u(t, x) ≡ 0. Se f nao e identicamentenula entao u tambem nao o sera.

Vamos utilizar o metodo de separacao de variaveis para determinar solucoes do problema(3.14) da forma

u(t, x) = T (t)X(x)

Pela observacao acima feita, nem T (t) nem X(x) poderao ser identicamente nulas. Substituindona equacao diferencial, tal como nos casos anteriores

∂

∂t

(

T (t)X(x))

= K∂2

∂x2

(

T (t)X(x))

⇔ T ′(t)KT (t)

=X ′′(x)X(x)


de t ( T′(t)

KT (t)) iguale uma funcao de x (X′′(x)X(x) ). Para que tal se verifique e necessario que ambos


T ′(t)KT (t)

= λ eX ′′(x)X(x)

= λ

Por outro lado, atendendo as condicoes de fronteira

• ∂u∂x(t, 0) = 0 implica T (t)X ′(0) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX ′(0) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se queX ′(0) = 0.

• ∂u∂x(t, L) = 0 implica T (t)X ′(L) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX ′(L) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer, tem-se que X ′(L) = 0.

Temos entao dois problemas para resolver — correspondentes a duas equacoes diferenciais or-dinarias

(P1)

{X ′′ − λX = 0X ′(0) = X ′(L) = 0

, (P2) T ′ = λKT

Comecamos por resolver o problema (P1). Trata-se de um problema de valores proprios e paraos determinar teremos que encontra as solucoes nao nulas de (P1). Assim

X ′′ − λX = 0 ⇔ (D2 − λ)X = 0




λ < 0 (λ = −ω2) — A equacao e (D + iω)(D − iω)X = 0 o que implica X(x) =A sen(ωx) +B cos(ωx);

209


O caso λ > 0 combinado com as condicoes de fronteira, produz apenas a solucao nula.Conclui-se que qualquer λ > 0 nao e valor proprio de (P1).Para o caso λ = 0 obtem-se X(x) = Ax + B que combinado com as condicoes de fronteira,produz X(x) = B. Pelo que λ = 0 e valor proprio de (P1) associado a funca propria X0(x) = 1Para o caso λ < 0, tem-se que

X ′(0) = 0 ⇒ A = 0

X ′(L) = 0 ⇒ Bω sen(ωx) = 0

pelo que,

B = 0 ⇒ X(x) ≡ 0

ou

sen(ωL) = 0 ⇒ ω =nπ

L⇒ X(x) = cos

nπx

L, com n ∈ N

Temos assim que λ = 0, com X(x) = 1 e λ = −ω2 = −n2π2

L2 e X(x) = cos nπxL , para n ∈ N, saoos valores proprios e as correspondentes funcoes proprias associadas.

Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores proprios de (P1), dado quepara outros valores de λ a unica solucao de (P1) e a nula. Assim, para λ = 0

T ′ = 0 ⇒ T0(t) = 1

e para cada n ∈ N

T ′ = −n2π2

L2KT ⇒ Tn(t) = e−

n2π2KL2 t

Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as solucao da equacao do calor unidimensional, daforma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condicoes de fronteira de Dirichlet nulas sao as funcoesda forma

u0(t, x) = T0(t)X0(x) = c0 e un(t, x) = Tn(t)Xn(x) = e−n2π2K

L2 t sennπx

L, , n ∈ N

Entao

u(t, x) =

∞∑

n=0

cnun(t, x) = c0 +

∞∑

n=1

cne−n2π2K

L2 t cosnπx

L, , cn ∈ R

e solucao da equacao do calor unidimensional que verifica condicoes de fronteira de Neumann nulas.Para determinar as constantes cn teremos que utilizar a condicao de fronteira u(0, x) = f(x).Resulta entao que:

c0 +

∞∑

n=1

cn cosnπx

L= f(x) (3.15)

Concluindo-se que as constantes cn sao os coeficientes da serie de cosenos de f em [0, L], ou seja

c0 =a02

=1

L

∫ L

0f(x)dx

e para cada n ∈ N

cn = an =2

L

∫ L

0f(x) cos

nπx

Ldx

210

3.6. UNICIDADE DE SOLUCAO DO PROBLEMA DE DIRICHLET PARA A EQUACAO DOCALOR

3.6 Unicidade de Solucao do Problema de Dirichlet para a Equacaodo Calor

Admitamos agora que u(t, x) e u(t, x) sao duas funcoes de classe C1 na variavel t e de classe C2

na variavel x 3 que satisfazem o problema:

∂u

∂t= K

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈ ]0, L[

u(t, 0) = T1 , u(t, L) = T2 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈ ]0, L[

Entao v(t, x) = u(t, x)− u(t, x) satisfaz o problema homogeneo:

∂v

∂t= K

∂2v

∂x2t > 0 , x ∈ ]0, L[

v(t, 0) = v(t, L) = 0 t > 0

v(0, x) = 0 x ∈ ]0, L[

(3.16)

Multiplicando a equacao do calor (3.16) por v e integrando em x no intervalo [0, L], obtem-se:

∫ L

0v∂v

∂tdx = K

∫ L

0v∂2v

∂x2dx

Integrando o segundo membro por partes, e usando as condicoes iniciais 4 em (3.16), obtem-se:

∫ L

0v∂2v

∂x2dx = K

(

v(t, 0) ∂v∂x(t, 0) − v(t, L) ∂v∂x(t, L)−∫ L

0

(∂v

∂x

)2

dx

)

= −K∫ L

0

(∂v

∂x

)2

dx ≤ 0

Quanto ao primeiro membro:

∫ L

0v∂v

∂tdx =

1

2

∫ L

02v∂v

∂tdx =

1

2

∫ L

0

∂

∂t

(

v(t, x))2dx =

d

dt

1

2

∫ L

0

(

v(t, x))2dx

Definido E(t) = 12

∫ L0

(v(t, x)

)2dx, entao conclui-se dos resultados anteriores que

dE

dt≤ 0. Por

outro lado, pela condicao inicial E(0) = 0; alem disso, E(t) ≥ 0, para qualquer t ≥ 0. Assimsendo, teremos necessariamente que E(t) ≡ 0, donde se conclui que:

v(t, x) ≡ 0 ⇔ u(t, x) ≡ u(t, x).

3Dizemos, por exemplo, que u(t, x) e de classe C1 na variavel t se para qualquer x0 ∈ [0, L], a funcao ϕ(t) =u(t, x0) e de classe C1.

4Este mesmo argumento pode ser usado para provar unicidade de solucao para o problema de Neumann; no casode condicoes de fronteira de Neumann, teremos ∂v

∂x(t, 0) = ∂v

∂x(t, L) = 0 em vez de v(t, 0) = v(t, L) = 0.

211


3.7 A Equacao das Ondas

Um outro exemplo de equacao diferencial parcial de extrema relevancia fısica e a equacao das ondas(linear). No mundo da fısica, os fenomenos ondulatorios sao comuns: os exemplos obvios sao asperturbacoes na superfıcie de um fluıdo, as vibracoes de cordas em instrumentos musicais, a asperturbacoes de pressao no ar que consistem na propagacao de som, e a radiacao electromagnetica.Se a amplitude das perturbacoes for suficientemente pequena e regular, a variavel de perturbacaou(x, t) associada as ondas verifica a equacao das ondas (linear)

∂2v

∂t2= c2∆u

onde u(t, x) e uma funcao da posicao e do tempo que descreve o comportamento da onda e c ea velocidade de propagacao da onda no meio em questao.

3.7.1 Problema da Corda Vibrante

A equacao das ondas unidimensional pode ser usada como modelo matematico de uma cordavibrante.

Considere-se o problema de ondas (nao forcadas) numa corda de comprimento finito L, composicao e velocidade inicial dadas e extremidades fixas.

xx0 L

u

u(t, x)

Figura 3.6: Problema da corda vibrante

Pretende-se entao encontrar o deslocamento u(t, x) verificando o problema de valores na

212

3.7. A EQUACAO DAS ONDAS

fronteira e inicial

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2t > 0 , x ∈]0, L[

u(t, 0) = u(t, L) = 0 t > 0

u(0, x) = f(x) x ∈]0, L[

∂u∂t (0, x) = g(x) x ∈]0, L[

(3.17)

Comecamos por notar que se f(x) ≡ 0 e g(x) ≡ 0 entao a solucao de (3.17) e u(t, x) ≡ 0. Se fou g nao sao identicamente nulas entao u tambem nao o sera.

Tal como para a resolucao da equacao do calor unidimensional, e dado que estamos a consi-derar condicoes de fronteira homogeneas, vamos utilizar o metodo de separacao de variaveis paradeterminar solucoes do problema (3.17) da forma

u(t, x) = T (t)X(x)

Pela observacao acima feita, nem T (t) nem X(x) poderao ser identicamente nulas. Substituindona equacao diferencial obtem-se

∂2

∂t2

(

T (t)X(x))

= c2∂2

∂x2

(

T (t)X(x))

⇔ T ′′(t)X(x) = c2T (t)X ′′(x) ⇔ T ′′(t)c2T (t)

=X ′′(x)X(x)


de t ( T′′(t)

c2T (t)) iguale uma funcao de x (X

′′(x)X(x) ). Para que tal se verifique e necessario que ambos


T ′′(t)c2T (t)

= λ eX ′′(x)X(x)

= λ

Por outro lado, atendendo as condicoes de fronteira e possıveis condicoes iniciais nulas (note quepelo que ja foi referido apenas uma delas o podera ser)

• u(t, 0) = 0 implica T (t)X(0) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX(0) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se queX(0) = 0.

• u(t, L) = 0 implica T (t)X(L) = 0 e como tal ou T (t) e a funcao identicamente nula ouX(L) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer, tem-se que X(L) = 0.

Temos entao dois problemas para resolver - correspondentes a duas equacoes diferenciaisordinarias

(P1)

{X ′′ − λX = 0X(0) = X(L) = 0

, (P2) T ′′ = λc2T

Comecamos por resolver o problema (P1), que e um problema de valores proprios. Assim:

X ′′ − λX = 0 ⇔ (D2 − λ)X = 0


213




λ < 0 (λ = −ω2) — A equacao e (D − iω)(D + iω)X = 0 o que implica X(x) =A sen(ωx) +B cos(ωx);

Os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as condicoes de fronteira, produzem apenas a solucaonula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0 nao e valor proprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que

X(0) = 0 ⇒ B = 0

X(L) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0

pelo que,A = 0 ⇒ X(x) ≡ 0

ousen(ωL) = 0 ⇒ ω =

nπ

L⇒ X(x) = sen

nπx

L, com n ∈ Z


L2 e X(x) = sen nπxL , para n ∈ Z, sao os valores proprios

e as correspondentes funcoes proprias associadas. Note que para os ındices n inteiros negativosrepetem-se os valores proprios e as funcoes proprias (a menos de combinacao linear). Conclui-se


L2 (para algum n ∈ N) nao e valor proprio de (P1), e


L2 e valor proprio de (P1) associado a funcao propria Xn(x) = sen nπxL .


T ′′ +n2π2

L2c2T = 0 ⇒ (D2 +

n2π2

L2c2)T = 0 ⇒ Tn(t) = αn sen

nπct

L+ βn cos

nπct

L

Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as solucoes da equacao das ondas unidimensional,da forma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condicoes de fronteira de Dirichlet nulas sao asfuncoes da forma

un(t, x) = Tn(t)Xn(x) = sennπx

L

(

αn sennπct

L+ βn cos

nπct

L

)

, n ∈ N (3.18)

Por sobreposicao, a solucao da equacao diferencial que satisfaz as condicoes de fronteira sera:

u(t, x) =

∞∑

n=1

sennπx

L

(

αn sennπct

L+ βn cos

nπct

L

)

.

Utilizando a condicao inicial u(0, x) = f(x), resulta que:

βn =2

L

∫ L

0f(x) sen

nπx

Ldx.

Utilizando a condicao inicial ∂u∂t (0, x) = g(x), resulta que

nπc

Lαn =

2

L

∫ L

0g(x) sen

nπx

Ldx,

214

3.7. A EQUACAO DAS ONDAS

ou seja:

αn =2

nπc

∫ L

0g(x) sen

nπx

Ldx.

Procuremos agora as denomihadas solucoes de D’Alembert para a equacao das ondas. Aten-dendo as igualdades trigonometricas

sen(a) sen(b) =1

2

(

cos(a− b)− cos(a+ b))

, sen(a) cos(b) =1

2

(

sen(a− b) + sen(a+ b))

podemos escrever

∞∑

n=1

βn sennπx

Lcos

nπct

L=

∞∑

n=1

βn2

(

sennπ

L(x− ct) + sen

nπ

L(x+ ct)

)

e∞∑

n=1

αn sennπx

Lsen

nπct

L=

∞∑

n=1

αn2

(

cosnπ

L(x− ct)− cos

nπ

L(x+ ct)

)

Pela definicao dos coeficientes das series de Fourier de senos (αn) e (βn) se, em [0, L], f e gforem funcoes contınuas com derivadas seccionalmente contınuas, teremos

f(x) =∞∑

n=1

βn sennπx

Le g(x) =

∞∑

n=1

nπc

Lαn sen

nπx

L

onde f : R → R e g : R → R sao as extensoes perioducas das extensoes impares de f e g a[−L,L]. Resulta entao que:

∞∑

n=1

βn sennπx

Lcos

nπct

L=

1

2

(

f(x− ct) + f(x+ ct))

.

Da mesma forma:

∞∑

n=1

αn sennπx

Lsen

nπct

L=

∞∑

n=1

αn2

∫ x+ct

x−ct

nπ

Lsen

nπs

Lds

=1

2

∫ x+ct

x−ct

( ∞∑

n=1

nπαnL

sennπs

L

)

ds

=1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s)ds

Finalmente, a solucao do problema pode ser escrita na forma

u(t, x) =1

2

(

f(x− ct) + f(x+ ct))

+1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s)ds

215


3.8 Equacao de Laplace Bidimensional

A equacao de Laplace bidimensional e a equacao diferencial parcial de segunda ordem, linear

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

assim chamada em homenagem ao influente matematico frances do seculo XVIII, Pierre-SimonLaplace. Esta equacao, assim como as suas versoes em dimensoes superiores, e sem duvida umadas mais importantes equacoes diferenciais da fısica e da matematica. Como vimos, as solucoesreais desta equacao sao denominadas funcoes harmonicas.

A versao nao homogenea da equacao de Laplace

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= f(x, y)

e conhecida como a equacao de Poisson, em homenagem Simeon-Denis Poisson, que foi aluno deLaplace.

Para alem da sua importancia teorica, as equacoes de Laplace e Poisson surgem como assolucoes estacionarias numa grande variedade de modelos fısicos. Por exemplo, u(x, y) pode serinterpretada como o deslocamento de uma membrana e f(x, y) representa uma forca externa queactua sobre a superfıcie da membrana. Outro exemplo e o equilıbrio termico de placas: neste caso,u(x, y) representa a temperatura e f(x, y) uma fonte de calor externa. Na mecanica de fluidos,u(x, y) representa a funcao potencial cujo gradiente v = ∇u e o vector velocidade do um de umfluido cujo fluxo e invariante por translacoes segundo uma certa direccao. Esta mesma teoria dopotencial e aplicavel a electrostatica bidimensional e aos potenciais gravitacionais.

Uma vez que a equacao de Laplace — e, tambem, a de Poisson — descrevem situacoesestacionarias, elas surgem associadas a problemas de valor na fronteira. Note-se que as equacoesdo calor e das ondas — que descrevem sistemas fısicos que evoluem com o tempo — estaoassociadas a problemas de valor na fronteira e de valor inicial.

Procuramos uma solucao, u(x, y), para a equacao de Laplace — definida para (x, y) numaregiao aberta e limitada, D ⊂ R

2 — que satisfaz certas condicoes quando (x, y) pertence afronteira do conjunto D. Observamos que no caso bidimensional a fronteira de D e constituıdapor uma ou mais curvas simples e fechadas. Como ja referido, os tipos mais importantes decondicoes de fronteira sao

• Condicoes de Dirichlet: que especificam o valor de u(x, y) na fronteira do domınio

u(x.y) = h(x, y) , para (x, y) ∈ ∂D

para certa funcao h conhecida.

• Condicoes de Neumann: na qual e especificada a derivada de u segundo a normal nafronteira do domınio

∂u

∂n= ∇u · n = k(x, y) , para (x, y) ∈ ∂D

para certa funcao j conhecida, e n representa a normal unitaria exterior a fronteira de D.

216

3.8. EQUACAO DE LAPLACE BIDIMENSIONAL

3.8.1 Problema de Dirichlet Semi-homogeneo para a Equacao de Laplace

Vamos resolver o problema

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = f(x) , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[

u(0, y) = u(a, y) = 0 y ∈]0, b[

(3.19)

Observa-se que se f(x) ≡ 0 a solucao de (3.19) e u(x, y) ≡ 0. Por outro lado, pode-se provar quese f nao for identicamente nula entao u tambem nao o sera. Tal como nos exemplos anteriores,e tendo em conta que este problema tem 3 condicoes de fronteira homogeneas e um domıniorectangular, o metodo de separacao de variaveis consiste na determinacao de solucoes nao nulasdo problema (3.19) da forma:

u(x, y) = X(x)Y (y) (3.20)

Note que nemX(x) nem Y (y) poderao ser identicamente nulas, pois caso contrario u(x,y) tambemo sera. Substituindo (3.20) na equacao diferencial obtem-se

∂2

∂x2

(

X(x)Y (y))

+∂2

∂y2

(

X(x)Y (y))

= 0 ⇔ X ′′(x)Y (y) +X(x)Y ′′(y) = 0

⇔ X ′′(x)X(x)

= −Y′′(y)Y (y)

Observe-se que as variaveis aparecem separadas: pretende-se que para todos os x ∈]0, a[ e

y ∈]0, b[, X′′(x)X(x) , que e funcao apenas de x, iguale −Y ′′(y)

Y (y) , que e funcao apenas de y. Para quetal se verifique e necessario que ambos os membros sejam iguais a uma constante; isto e, paraλ ∈ R:

X ′′(x)X(x)

= λ e − Y ′′(y)Y (y)

= λ

Por outro lado, atendendo as condicoes de fronteira nulas

• u(0, y) = 0 implica X(0)Y (y) = 0 e como tal ou Y (y) e a funcao identicamente nula ouX(0) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se queX(0) = 0.

• u(a, y) = 0 implica X(a)Y (y) = 0 e como tal ou Y (y) e a funcao identicamente nula ouX(a) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer, tem-se que X(a) = 0.

• u(x, b) = 0 implica X(x)Y (b) = 0 e como tal ou X(x) e a funcao identicamente nula ouY (b) = 0. Dado que a primeira hipotese nao pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se queY (b) = 0.

Temos entao dois problemas para resolver, envolvendo cada um deles uma equacao diferencialordinaria de 2a ordem:

(P1)

{X ′′ − λX = 0X(0) = X(a) = 0

, (P2)

{Y ′′ + λY = 0Y (b) = 0

217


Comecamos por resolver o problema (P1), que e um problema de valores proprios. Assim:

X ′′ − λX = 0 ⇔ (D2 − λ)X = 0




λ < 0 (λ = −ω2) — A equacao e (D − iω)(D + iω)X = 0 o que implica X(x) =A sen(ωx) +B cos(ωx);

Como vimos no estudo da equacao do calor, os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as duascondicoes de fronteira nulas, produzem apenas a solucao nula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0nao e valor proprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que

X(0) = 0 ⇒ B = 0

X(a) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0

pelo que,A = 0 ⇒ X(x) ≡ 0

ousen(ωa) = 0 ⇒ ω =

nπ

a⇒ X(x) = sen

nπx

a, com n ∈ Z


a2e X(x) = sen nπx

a , para n ∈ Z, sao os valores propriose as correspondentes funcoes proprias associadas. Note que para os ındices n inteiros negativosrepetem-se os valores proprios e as funcoes proprias (a menos de combinacao linear). Conclui-se


a2(para algum n ∈ N) nao e valor proprio de (P1), e


a2 e valor proprio de (P1) associado a funcao propria Xn(x) = sen nπxa .


Y ′′ − n2π2

a2Y = 0 ⇒

(

D2 − n2π2

a2

)

Y = 0 ⇒ Yn(y) = anenπya + bne

−nπya ,

onde an, bn ∈ R. As solucoes que satisfazem a condicao Y (b) = 0 sao as solucoes de

anenπba + bne

−nπba = 0 ,

ou seja,

bn = −ane2nπb

a

Entao, para cada n ∈ N, as solucoes de (P2) sao:

Yn(y) = an

(

enπya − e

2nπba e−

nπya

)

= anenπba

(

e−nπb

a enπya − e

nπba e−

nπya

)

= 2anenπba

(12e

nπ(y−b)a − 1

2e−nπ(y−b)

a

)

= αn shnπ(y − b)

a, onde αn = 2ane

nπba ∈ R.

218


Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que um conjunto de solucoes linearmente independentesda equacao de Laplace bidimensional, da forma u(x, y) = X(x)Y (y), que verificam as condicoesde fronteira homogeneas, e constituıdo pelas funcoes:

un(x, y) = Xn(x)Yn(y) = sennπx

ashnπ(y − b)

a, n ∈ N (3.21)

Podemos agora procurar uma solucao da equacao diferencial que satisfaca todas as condicoesde fronteira recorrendo ao princıpio da sobreposicao:

u(x, y) =

∞∑

n=1

αn sennπx

ashnπ(y − b)

a

Da condicao de fronteira nao nula, u(x, 0) = f(x), resulta que:

f(x) =

∞∑

n=1

αn sh

(

−nπba

)

sennπx

a= −

∞∑

n=1

αn shnπb

asen

nπx

a.

Entao, para cada n ∈ N, os coeficientes αn sao obtidos a custa dos coeficientes da serie de senosde f em [0, a] por

−αn shnπb

a=

2

a

∫ a

0f(x) sen

nπx

adx.

ou

αn = − 2

a sh(nπb/a)

∫ a

0f(x) sen

nπx

adx.

3.8.2 Problema de Dirichlet Nao Homogeneo para a Equacao de Laplace

Consideremos agora o problema de valores na fronteira relativo a equacao de Laplace comcondicoes de Dirichlet nao homogeneas. Pretende-se determinar uma solucao de

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = f1(x) , u(x, b) = f2(x) x ∈]0, a[

u(0, y) = f3(y) , u(a, y) = f4(y) y ∈]0, b[

(3.22)

Pelo princıpio da sobreposicao, a solucao de (3.22) pode ser escrita na forma

u(x, y) =4∑

i=1

u1(x, y)

em que u1 e solucao de

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = f1(x) , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[

u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0 y ∈]0, b[

219


u2 e solucao de

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = 0 , u(x, b) = f2(x) x ∈]0, a[

u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0 y ∈]0, b[u3 e solucao de

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[

u(0, y) = f3(y) , u(a, y) = 0 y ∈]0, b[e u4 e solucao de

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 x ∈]0, a , y ∈]0, b[

u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[

u(0, y) = 0 , u(a, y) = f4(y) y ∈]0, b[A solucao de cada um destes problemas e obtida pelo metodo utilizado na resolucao de (3.19).

3.8.3 Problema de Dirichlet para a Equacao de Laplace num Domınio Circular

3.8.4 A equacao de Laplace em Coordenadas Polares

Quando estamos a resolver um problema para a equacao de Laplace bidimensional num domıniocircular, e conveniente efectuar uma mudanca de coordenadas cartesianas para coordenadas pola-

res. E entao util saber qual a expressao do Laplaciano ∆u = ∂2y∂x2

+ ∂2y∂y2

em coordenadas polares.

Recorde-se que as solucoes da equacao de Laplace num subconjunto de R2 sao denominadas

funcoes harmonicas. Visto que, para qualquer α > 0 o conjunto D = {(x, y) : x2 + y2 < α2} esimplesmente conexo, designe-se por v(x, y) uma funcao harmonica conjugada de v em D. Tem-se entao que u e v verificam as condicoes de Cauchy-Riemann, que vamos considerar escritas emcoordenadas polares. Assim, para todo (x, y) ∈ D e assumindo a mudanca das coordenadas (x, y)para as coordenadas (r, θ) definida como usualmente por por

x = r cos θ , y = r sen θ

tem-se

∂u∂r = 1

r∂v∂θ

∂u∂θ = −r ∂v∂r

(3.23)

Derivando ambos os membros da equacao (3.23) em ordem a r e a segunda equacao em ordema θ obtem-se

∂2u

∂r2=

1

r

∂2v

∂r∂θ− 1

r2∂v

∂θ,

∂2u

∂θ2= −r ∂

2v

∂θ∂r

220


pelo que∂2u

∂r2=

1

r

∂2v

∂r∂θ− 1

r2∂v

∂θ,

1

r2∂2u

∂θ2= −1

r

∂2v

∂θ∂r

Somando as duas expressoes anteriores obtemos a equacao de Laplace em coordenadas polares

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂θ2= 0

3.8.5 Equacao de Laplace no Cırculo com condicoes de Dirichlet

Considere-se α > 0 e o problema de valore na fronteira

{∆u = 0 para x2 + y2 < α2

u(x, y) = f para x2 + y2 = α2

onde f e uma funcao real de variavel real periodica de perıodo 2π. Observe-se que nao podemosaplicar a separacao de variaveis a este problema pois o domınio nao e rectangular. Para ultrapassareste problema, vamos efectuar a mudanca para coordenadas polares. Obtemos assim o problemade valores na fronteira

∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2∂2u

∂θ2= 0 para r ∈]0, α[ , θ ∈]− π, π[

u(α, θ) = f(θ) para θ ∈]− π, π[

(3.24)

Vamos procurar solucoes nao nulas de (3.24) da forma

u(r, θ) = R(r)Θ(θ)

que sejam periodicas na variaavel θ e limitadas no ’irculo (particularmente quendo r → 0)5.Substituinda na equacao diferencial, obtemos

R′′(r)Θ(t) +1

rR′(r)Θ(t) +

1

r2R(r)Θ′′(t) = 0

ou sejar2R′′(r)Θ(t) + rR′(r)Θ(t) +R(r)Θ′′(t) = 0

Temos entao queΘ′′

Θ= −r

2R′′ + rR′

R, ∀r, θ

Para que a igualdade se verifique para todos os valores de r e θ no domınio considerado, enecessario que ambos os membros da igualdade anterior sejam constantes. Assim, para todoλ ∈ R

Θ′′ − λΘ = 0 e r2R′′ + rR′ + λR = 0

Usando a condicao de fronteira de Dirichlet u(α, θ) = f(θ), e assumindo a periodicidade u(r, θ) =u(r, θ + 2π), obtem-se que

Θ(−π) = Θ(π) e Θ′(−π) = Θ′(π)

5Para que u seja contınua na origem e necessario que R(r) seja limitada numa vizinhanca de r = 0

221


Temos entao que resolver os problemas

(P1)

Θ′′ − λΘ = 0Θ(−π) = Θ(π)Θ′(−π) = Θ′(π)

(P2) r2R′′ + rR′ + λR = 0

O problema (P1) e um problema de valores proprios para a equacao Θ′′−λΘ = 0 com condicoesde fronteira periodicas no intervalo [−π, π]. Resolvendo a equacao

Θ′′ − λΘ = 0 ⇔ (D2 − λ)Θ = 0

Se λ = 0, a solucao geral da equacao e

Θ(θ) = aθ + b a, b ∈ R

Aplicando as condicoes de fronteira, obtemos que a = 0 e como tal 0 e valor proprio de (P1)associado a solucao constante.

Se λ > 0 (λ = µ2), a solucao geral da equacao e

Θ(θ) = a sh(µθ) + b ch(µθ)

e e facil de concluir que as condicoes de fronteira obrigam a que a = b = 0, pelo que pata qualquerλ > 0, λ nao e valor proprio de (P1).

Se λ < 0 (λ = −µ2), a solucao geral da equacao e

Θ(θ) = a sen(µθ) + b cos(µθ)

Para que esta funcao seja periodica de perıodo 2π e necessario que µ seja um numero inteiro(positivo). Assim, as condicoes de fronteira sao verificadas apenas no caso em que µ = n, n ∈ N.Nesse caso os valores proprios de (P1) sao λ = −n2 associados as solucoes

Θn(θ) = cn cos(nθ) + dn sen(nθ) .

Vamos agora resolver o problema (P2) para os casos λ = −n2, n ∈ N0, ou seja, vamos resolvera equacao

r2R′′ + rR′ − n2R = 0 (3.25)

Trata-se de uma equacao diferencial linear de segunda ordem, de coeficientes nao constantes — aequacao de Euler. Devido a sua forma (cada termo e o produto de uma derivada de ordem k poruma potencia rk) podemos conjecturar que existe solucoes particulares da forma rk para certosvalores k ∈ R. Substituindo na eqiacao, para r > 0, obtemos

r2(rk)′′ + r(rk)′ − n2rk = 0 ⇔ (k2 − n2)rk = 0 , ∀r > 0

Ou seja, dado n ∈ N, duas solucoes linearmente independentes da equacao (3.25) sao R(r) = rn

e R(r) = r−n, pelo que a solucao geral e da forma

Rn(r) = cnrn + dnr

−n

Atendendo a que pretendemos que R(r) seja limitada quando r → 0 escolhemos dn = 0 paratodo n ∈ N, e consequentemente

Rn(r) = cnrn , n ∈ N

222


Por outro lado, para n = 0, a equacao k2−n2 = 0 tem apenas uma raız, pelo que o procedimentoanterior apenas permite encontrar a solucao constante. No entanto verifica-se que para n = 0 aequacao

r2R′′ + rR′ = 0

nao depende de R, pelo que podemos fazer a mudanca de variavel S(r) = R′(r) e assim reduzi-laa uma equacao de primeira ordem

rS′ + S = 0

Trata-se de uma equacao separavel que pode ser resolvida da forma usual

S′

S= −1

r⇔ logS = − log r + d0 ⇔ S =

d0r

pelo que

R′ =d0r

⇔ R(r) = d0 log r + c0

Mais uma vez, atendendo a que a solucao deve ser limitada, teremos que escolher d0 = 0.Concluimos assim, que para qualquer n ∈ N0

un(r, θ) = Rn(r)Θ(θ) = rn(

cn cos(nθ) + dn sen(nθ))

e uma solucao periodica da equacao diferencial, pelo que qualquer combinacao linear destasfuncoes tambem o sera. Ou seja, a solucao formal da equacao tem a forma

u(r, θ) = c0 +∞∑

n=1

rn(

cn cos(nθ) + dn sen(nθ))

Aplicando a condicao fronteira u(α, θ) = f(θ), conclui-se que

f(θ) = c0 +

∞∑

n=1

αn(cn cos(nθ) + dn sen(nθ))

para θ ∈ [−π, π]. Pelo que as constantes (cn)n∈N0 e (dn)n∈N podem ser determinadas pela seriede Fourier associada a f no intervalo [−π, π], isto e

c0 =2

π

∫ π

−πf(θ)dθ , cn =

1

π

∫ π

−πf(θ) cos(nθ)dθ

e

dn =1

π

∫ π

−πf(θ) sen(nθ)dθ

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