analise de variaveis canonicas

5/21/2018 Analise de Variaveis Canonicas

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Anlise de Variveis CannicasCarlos Alberto Alves Varella

Dimensionalidade das variveis cannicasVetores cannicosPorcentagem de variao das cannicas

Exemplo de aplicao

ANLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CINCIAS AGRRIASPS-GRADUAO EM AGRONOMIA CINCIA DO SOLO: CPGA-CS


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Introduo

A anlise de variveis cannicas permite a

reduo da dimensionalidade de dados; semelhante a componentes principais e

correlaes cannicas.

especialmente empregada em anlisesdiscriminantes realizadas a partir de amostrascom observaes repetidas.


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Objetivo da anlise

A anlise procura, com base em um grande

nmero de caractersticas originaiscorrelacionadas, obter combinaes linearesdessas caractersticas denominadas variveis

cannicas de tal forma que a correlao entreessas variveis seja nula (KHATTREE & NAIK,2000).


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Vantagem da tcnica

A utilizao dessa tcnica permite capturar o

efeito simultneo de caractersticas originais; Pode capturar variaes no percebidas

quando do uso de caractersticas originais

isoladamente; A primeira varivel cannica a funo

discriminante linear de Fisher;

So funes discriminantes timas, ou seja,maximizam a variao entre tratamentos emrelao variao residual


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A variao cannica

A variao de tratamentos, nesta anlise,

expressa por uma matriz denominada H,composta pela soma de quadrados e produtosde tratamentos;

A variao residual expressa pela matriz E,composta pela soma de quadrados e produtosdo resduo;

As matrizes He Eso obtidas de uma anlisede varincia multivariada: MANOVA.


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Dimensionalidade das variveis

A dimensionalidade o nmero de variveis

cannicas obtidas na anlise; Pode tambm ser entendida como o nmero de

razes no nulas da Equao1.

(1)

EH

H= matriz de soma de quadrados e produtos detratamentos;

= autovalores da Equao 1;

ne= graus de liberdade do resduo;

=matriz de covarincia.


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Teste de dimensionalidade

Numa anlise de varincia varinica

multivariada com k tratamentos, usualmentetestamos a hiptese:

Esta hiptese equivalente ao teste de queno h diferena entre os vetores de mdias

de tratamentos, isto :


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A importncia da dimensionalidade

Se H0 verdadeira, conclumos que os vetores

so idnticos. Ento H0verdadeira implica emd=0.

Se H0 rejeitada, de importncia se

determinar a real dimensionalidade d; Se d=t no h nenhuma restrio sobre os

vetores de mdias;

Em qualquer caso tem-se que:


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Nmero de variveis cannicas

Em uma anlise de varincia multivariada o

nmero de variveis estudas normalmente maior que nmero de tratamentos;

A regra significa que: o nmero de variveis

cannicas ser no mximo igual ao nmero degraus de liberdade de tratamentos (q).

d= dimenso mxima;

p= nmero de variveis;

q= nmero de graus de liberdade de tratamentos;

k= nmero de tratamentos.


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Porque existe a necessidade do teste

Quando trabalhamos com dados observados,

um autovalor pode ser muito pequeno sempropriamente ser nulo;

Um teste de verificao da dimensionalidade

torna-se necessrio; A aproximao mais adequada, nesse caso,

segundo REGAZZI (2000), aquela proposta

por BARTLETT (1947).


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Teste proposto por BARTLETT (1947)

O teste feito sequencialmente para d=0, d=1, etc,

at que um resultado no significativo aparea; Se at d-1 se obtiver resultados significativos, mas em

d no, infere-se que a dimensionalidade d;

A estatstica proposta por BARTLETT (1947) obtida

atravs da Equao 3.

A estatstca , assintoticamente tem distribuio qui-quadrada 2f com

(3)


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Vetores cannicos

Vetores cannicos so os autovetores j associadosaos autovalores jno nulos da matriz determinante;

L o j-simo vetor cannico obtido na anlise; L normalizado de modo que:

A projeo de um ponto X (observaes) sobre ohiperplano estimado pode ser representada em

termos de coordenadas cannicas d-dimensional:


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Mdias cannicas

As mdias cannicas dos k tratamentos so:

As mdias cannicas representam a projeodo grupo de mdias sobre o hiperplanoestimado e podem ser usadas para estudar asdiferenas entre grupos (tratamentos).


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Varivel cannica

A j-sima varivel cannica representada por:

j-sima varivel cannica; j-simo vetor cannico;

vetor de caractersticas originais.

P t d i


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Porcentagem de variao

A porcentagem de variao entre tratamentos

explicada pelas primeiras d variveis cannicas o resultado da diviso da soma dosautovalores dpela soma dos autovalores p,isto :

d= nmero de variveis cannicas; p= nmero de variveis originais.

P di t CANDISC SAS


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Procedimento CANDISC - SAS O exerccio abaixo exemplifica o uso do procedimento

CANDISC do SAS para anlise de variveis cannicas.dataexemplo;

title'Exemplo de Anlise de Variveis Cannicas DIC';input trat rep X1 X2;

cards;

1 1 4.63 0.95

1 2 4.38 0.89

1 3 4.94 1.01

1 4 4.96 1.23

1 5 4.48 0.94

2 1 6.03 1.08

2 2 5.96 1.19

2 3 6.16 1.08

2 4 6.33 1.19

2 5 6.08 1.08

3 1 4.71 0.96

3 2 4.81 0.93

3 3 4.49 0.87

3 4 4.43 0.82

3 5 4.56 0.91

;

P di t CANDISC SAS


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Procedimento CANDISC - SAS

proccandiscdata=exemplo out=can all;

classtrat;varX1 X2;

run;

procplot;plotcan2*can1 = trat / vpos=20;

run;

P di t G fi


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Procedimento para Grficos

%let plotitop = gopts = gsfmode = replace

gaccess = gsasfile device = gif

hsize = 8.00 vsize = 6.00

cback = white,

cframe = ligr,

color = black,colors = green blue red,

options = noclip expand, post=myplot.gif;

%plo ti t(data=can, plo tvars=Can2 Can1,

labelvar=_blank_, symvar=symbol, typevar=symbol,symsize=1, sym len=4, exttypes=symbo l, ls=100,

tsize=1.0, extend=c lose);


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Interpretao dos resultados do S S

Exemplo de Anlise de Variveis Cannicas DIC 16

21:59 Thursday, March 28, 2007

The CANDISC Procedure O Procedimento CANDISCObservations 15 DF Total 14 GL total

Variables 2 DF Within Classes 12 GL de resduo

Classes (trat) 3 DF Between Classes 2 GL de tratamentos

Class Level Information Probabilidades a priori

Variabletrat Name Frequency Weight Proportion

1 _1 5 5.0000 0.3333332 _2 5 5.0000 0.333333

3 _3 5 5.0000 0.333333

M t i E H A


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Matrizes E, H e AExemplo de Anlise de Variveis Cannicas DIC 18


The CANDISC Procedure

Pooled Within-Class SSCP Matrix MatrizE Resduo

Variable X1 X2

X1 0.4579600000 0.1512000000

X2 0.1512000000 0.0975200000

Between-Class SSCP Matrix Matriz HTrat

Variable X1 X2

X1 7.247640000 0.870100000

X2 0.870100000 0.127853333

Total-Sample SSCP Matrix MatrizATotal

Variable X1 X2

X1 7.705600000 1.021300000

X2 1.021300000 0.225373333

M t i d i i


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Matrizes de covarinciasExemplo de Anlise de Variveis Cannicas DIC 19



Within-Class Covariance Matrices Matrizes Covdentro de trat

trat = 1, DF = 4

Variable X1 X2

X1 0.0696200000 0.0286350000

X2 0.0286350000 0.0177800000--------------------------------------------------------------------

trat = 2, DF = 4

Variable X1 X2

X1 0.0201700000 0.0018150000

X2 0.0018150000 0.0036300000

--------------------------------------------------------------------

trat = 3, DF = 4

Variable X1 X2

X1 0.0247000000 0.0073500000

X2 0.0073500000 0.0029700000

C fi i t d l


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Coeficiente de correlaoExemplo de Anlise de Variveis Cannicas DIC 21



Within-Class Correlation Coefficients / Pr > |r|trat = 1

Variable X1 X2

X1 1.00000 0.81389 Correlao

0.0936 Significncia

X2 0.81389 1.00000

0.0936

trat = 2

Variable X1 X2

X1 1.00000 0.21211Correlao

0.7320Significncia

X2 0.21211 1.00000

0.7320

trat = 3Variable X1 X2

X1 1.00000 0.85814Correlao

0.0628Significncia

X2 0.85814 1.00000

0.0628

R lt d d MANOVA


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Resultado da MANOVAMultivariate Statistics and F Approximations MANOVA

S=2 M=-0.5 N=4.5

Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr > F

Wilks' Lambda 0.03142928 25.52 4 22


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Proporo acumulada de varinciaLikelihood Approximate

Eigenvalue Difference Proportion Cumulative Ratio F Value Num DF Den DF Pr > F

1 22.6963 22.3536 0.9851 0.0314 25.52 4 22


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Vetores cannicos

Raw Canonical Coefficients Vetores cannicos

Variable Can1 Can2

X1 7.16645900 -1.52496137

X2 -8.80246974 13.21432007

Mdias cannicas


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Mdias cannicas

Class Means on Canonical Variables Mdias cannicas

trat Can1 Can2

1 -3.198161274 0.627615714

2 6.022244556 0.026539512

3 -2.824083283 -0.654155226

analise de variaveis canonicas

Documents

variaveis canonicas

teste de dimensionalidade

nmero derazes

anlise procura

nmero degraus de liberdade

variao cannica

k tratamentos

tratamentos a regra