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Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica Contınua

ANALISE LINEAR DE SISTEMAS

JOSE C. GEROMEL

DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,

[email protected]

Campinas, Novembro de 2006

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NOTA AO LEITOR

Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto :

Jose C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Analise Linear de

Sistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exercıcios,ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,SP, 2004.

onde o leitor podera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados.

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Conteudo

1 Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica ContınuaSistemas linearesEquacoes diferenciais lineares

Solucao temporalTransformada de LaplaceSolucao via transformada de LaplaceRepresentacao de estado

Sistemas dinamicos linearesFuncao de transferenciaResposta em frequencia

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema dinamico a tempo contınuo definido para todot ∈ R e um dispositivo que converte um sinal de entrada g(t)(definido para todo t ∈ R) em um sinal de saıda y(t)(definido para todo t ∈ R), atraves da relacao

y = S[g ]

onde S[·] indica um ente matematico que associa sinais deentrada com sinais de saıda. Por exemplo :

S [g ] = 3g → y(t) depende apenas de g(t).

S [g ] =∫ t

−∞g(τ)dτ → y(t) depende de g(τ),−∞ ≤ τ ≤ t.

S [g ] =∫∞

−∞g(t − τ)2dτ → y(t) depende de

g(τ),−∞ ≤ τ ≤ ∞.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema dinamico pode ser qualificado como :

Causal quando y(t) depende de g(τ) apenas para τ ≤ t. Ouseja, em qualquer instante a saıda depende apenas da entradaocorrida no passado e no presente.Linear quando y(t) =

∑

i αiyi (t) for a saıda correspondente aentrada g(t) =

∑

i αigi(t) para todo escalar αi .Invariante no tempo quando y(t − τ) for a saıdacorrespondente a entrada g(t − τ) para todo τ ∈ R.

⇓

Sistemas inteiramente definidos atraves de sua resposta a umaentrada particular, o impulso unitario g(t) = δ(t).

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

O impulso unitario permite decompor sinais contınuos notempo. Sendo g(t) definido em t ∈ R, vale a igualdade :

g(t) =

∫ ∞

−∞

g(τ)δ(t − τ)dτ

Um sistema LIT com entrada g(t) tem como saıda :

y(t) = S

[∫ ∞

−∞

g(τ)δ(t − τ)dτ

]

=

∫ ∞

−∞

g(τ)S[δ(t − τ)]dτ

=

∫ ∞

−∞

g(τ)h(t − τ)dτ

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Da primeira para a segunda igualdade usamos a linearidade eda segunda para a terceira a invariancia no tempo aplicada aresposta ao impulso

h(t) = S[δ(t)]

Fato (Sistema LIT)

A sua resposta y(t) e dada pela convolucao de sua resposta ao

impulso h(t) pela entrada g(t), isto e :

y(t) = g(t) ∗ h(t)

=

∫ ∞

−∞

g(τ)h(t − τ)dτ

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Propriedades importantes :

A convolucao e uma operacao associativa, distributiva ecomutativa.Um sistema LIT e Causal se

h(t) = 0 , ∀ t < 0

pois h(t − τ) = 0 para todo τ > t fazendo com que suaresposta seja dada por

y(t) =

∫ t

−∞

g(τ)h(t − τ)dτ

e assim y(t) depende apenas de g(τ) para τ ≤ t.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Resposta ao degrau unitario g(t) = υ(t) de um sistema LTI :

y(t) =

∫ ∞

−∞

υ(τ)h(t − τ)dτ

=

∫ ∞

0h(t − τ)dτ

=

∫ t

−∞

h(ξ)dξ

Para sistemas LIT causais

y(t) =

∫ t

0h(τ)dτ

e a integral da resposta ao impulso unitario.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Resposta a funcao exponencial g(t) = eλt de um sistema LTI :

y(t) =

∫ ∞

−∞

eλτh(t − τ)dτ

=

∫ ∞

−∞

eλ(t−τ)h(τ)dτ

=

(∫ ∞

−∞

e−λτh(τ)dτ

)

eλt

Para sistemas LIT causais

y(t) =

(∫ ∞

0e−λτh(τ)dτ

)

eλt

e proporcional a entrada, por um fator que depende de λ.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Sistemas LIT causais de grande interesse sao descritos porequacoes diferenciais do tipo

n∑

i=0

aid iy

dt i(t) =

m∑

i=0

eid ig

dt i(t) , t ∈ R

onde ai e ei sao escalares e n ≥ m. Note que especificar afuncao de entrada g(t) nao e condicao suficiente para que aresposta y(t) correspondente seja unica. Dentre muitas, umasolucao especıfica pode ser individualizada impondo-sealgumas condicoes suplementares sobre y(t). Por exemplo, oseu valor e de suas derivadas em alguns instantes de tempopreviamente selecionados.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Sendo t = 0 adotado como instante inicial a funcao deentrada so e definida para t ≥ 0. Para selecionar uma solucaoespecıfica pode-se impor os valores de

y(0),dy

dt(0), · · · ,

dn−1y

dtn−1(0)

que caracterizam as condicoes iniciais do sistema.

Uma resposta especıfica y(t) correspondente a uma entradag(t) dada, pode ser determinada observando que se y(t)satisfaz a equacao diferencial entao h0(t) + y(t) onde

n∑

i=0

aid ih0

dt i(t) = 0

tambem a satisfaz.12 / 69


Sistemas lineares

Sistemas lineares

O seguinte resultado e fundamental no presente contexto :

Fato (Solucao geral)

Qualquer solucao da equacao diferencial em estudo, definida para

todo t ≥ 0, pode ser unicamente individualizada pela escolha

adequada de h0(t) e e dada por

y(t) = h0(t) +

∫ t

0h(t − τ)g(τ)dτ

As funcoes h0(t) e h(t), definidas para todo t ≥ 0, precisamser determinadas com o devido cuidado. Este aspecto seraabordado em seguida.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Exemplo : A figura abaixo mostra um pendulo oscilando nointerior de uma caixa

x

ℓ

M

mθ

κ

A determinacao do modelo matematico que descreve o seucomportamento dinamico e um dos objetivos deste curso.Para pequenos deslocamentos, trata-se de um sistema LITcausal.

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Equacoes diferenciais lineares

Solucao temporal

Considere a equacao diferencial com coeficientes constantes

n∑

i=0

aid iy

dt i(t) = g(t) , ∀ t ≥ 0

onde g(t) e uma funcao dada e ai ∈ R para i = 0, · · · , n saoescalares, com an 6= 0. Adotamos a notacao mais compactaD[y ] = g onde D[·] denota o operador diferencial

D[y ] =

n∑

i=0

aid iy

dt i(t)

com polinomio caracterıstico

∆D(λ) =

n∑

i=0

aiλi

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Solucao temporal

Os seguintes aspectos sao relevantes :

O operador D[·] e linear.Para a funcao exponencial verifica-se que

D[eλt]

=n∑

i=0

aiλieλt

= ∆D(λ)eλt

ou seja D[eλt]

e eλt sao colineares. Por este motivo, eλt edenominada auto funcao do operador D[·].A equacao algebrica ∆D(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica. Tem grau n e todos os seus coeficientes saoreais. Assim sendo, ela admite n raızes em pares complexosconjugados.

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Solucao temporal

O seguinte resultado e fundamental no estudo de equacoesdiferenciais lineares :

Teorema (Existencia e unicidade)

Seja g(t) uma funcao contınua para todo t ≥ 0. A equacao

diferencial D[y ] = g sujeita as condicoes iniciais

y(0),dy

dt(0), · · · ,

dn−1y

dtn−1(0)

admite uma unica solucao y(t) para todo t ≥ 0.

Observe que para qualquer conjunto de condicoes iniciais asolucao existe e e unica. Portanto, sem especificar ascondicoes iniciais a unicidade deixa de ocorrer.

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Solucao temporal

Fato (Independencia Linear)

O conjunto de funcoes f1(t), · · · , fm(t), definidas para todo t ≥ 0,e linearmente independente - LI se a igualdade

fα(t) :=

m∑

i=1

αi fi(t) = 0 ,∀ t ≥ 0

for satisfeita apenas com todos os escalares α1, · · · , αm nulos.

Caso contario o conjunto e dito linearmente dependente - LD.

E preciso estabelecer um teste para classificar conjuntos comoLI ou LD. Assumimos que as funcoes sejam continuamentediferenciaveis, isto e, as suas derivadas de qualquer ordemexistem e sao contınuas em t > 0.

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Solucao temporal

A funcao fα(t), bem como as suas derivadas sucessivas,devem ser nulas para todo t > 0, ou seja

f1 f2 · · · fm

f(1)1 f

(1)2 · · · f

(1)m

...... · · ·

...

f(m−1)1 f

(m−1)2 · · · f

(m−1)m

︸︷︷︸

W (t)

α1

α2...

αm

︸︷︷︸

α

= 0

Para a classe de funcoes consideradas temos :

det(W (t)) 6= 0 para algum t > 0 =⇒ LI.det(W (t)) = 0 para todo t > 0 =⇒ LD. Sem a continuidadeda funcao e de suas derivadas sucessivas, isto pode nao ocorrer.

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Solucao temporal

A solucao geral da equacao diferencial em estudo pode serdecomposta na forma

y(t) = yh(t) + yp(t) , ∀ t ≥ 0

onde :

yh(t) satisfaz a equacao homogenea D[yh] = 0.yp(t) e uma solucao particular que satisfaz D[yp] = g .

poisD[y ] = D[yh + yp] = D[yh] + D[yp] = g

Assim sendo, resta verificarmos como podemos impor as n

condicoes iniciais dadas. Isto e feito atraves da determinacaode um conjunto de n solucoes homogeneas LI.

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Solucao temporal

Equacao homogenea : Sao obtidas a partir da relacao

D[eλt ] = ∆D(λ)eλt , ∀ t ≥ 0

a qual indica que todas as fucoes do tipo eλi t , definidas paratodo t ≥ 0, com λi sendo uma das raızes de ∆D(λ) = 0, saosolucoes da equacao homogenea. Como ∆D(λ) e umpolinomio de grau n, com coeficientes reais, ele admite n

raızes em C em pares complexos conjugados. Supondo que asn raızes sejam distintas, as funcoes

eλi t , ∀ t ≥ 0 , i = 1, · · · , n

formam um conjunto LI.

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Solucao temporal

De fato, a matriz W (t) e dada por

W (t) =

1 · · · 1... · · ·

...

λn−11 · · · λn−1

n

︸︷︷︸

W0

eλ1t · · · 0... · · ·

...0 · · · eλnt

onde W0 e uma matriz de Vandermonde cujo determinante ediferente de zero tendo em vista que todos os λi , i = 1, · · · , nsao diferentes entre si. Consequentemente, det(W (t)) 6= 0para todo t ≥ 0. A solucao geral e dada por

y(t) =

n∑

i=1

cieλi t + yp(t)

onde ci , i = 1, · · · , n sao constantes determinadas com as n

condicoes iniciais dadas.22 / 69



Solucao temporal

Quando duas ou mais solucoes da equacao caracterıstica naosao distintas um conjunto de solucoes homogeneas pode serobtido observando-se que a igualdade

teλt =deλt

dλ

permite verificar que

D[teλt ] = D

[deλt

dλ

]

=d

dλ∆D(λ)eλt

=

[d

dλ∆D(λ) + t∆D(λ)

]

eλt

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Solucao temporal

Por exemplo, considerando que λj seja uma raiz commultiplicidade dois da equacao caracterıstica entao∆D(λ) = (λ − λj)

2d(λ) para algum polinomio d(λ) de ordemn − 2. Portanto

∆D(λj ) = 0 ,d

dλ∆D(λj ) = 0

fazem com que as funcoes eλj t e teλj t , definidas para todot ≥ 0 sejam solucoes da equacao homogenea. Alem disso,calculando-se a matriz W (t) verificamos que o conjunto defuncoes eλ1t , · · · , eλj t , teλj t , · · · , eλnt e LI. Neste caso,

y(t) =

n∑

i 6=j=1

cieλi t + cj te

λj t

+ yp(t)

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Solucao temporal

Este procedimento e valido para raızes com qualquermultiplicidade. Se λj for uma raiz com multiplicidade m ≤ n

entao

∆D(λj), · · · ,dm−1

dλm−1∆D(λj) = 0

e, com raciocınio analogo, verificamos que as funcoes t ieλj t ,definidas para todo t ≥ 0 e todo i = 0, · · · ,m− 1 sao solucoesda equacao homogenea e formam um conjunto de funcoes LI.Podemos assim determinar as n solucoes da equacaohomogenea que formam um conjunto de funcoes linearmenteindependentes. Estas funcoes sao denominadas ModosProprios da equacao diferencial.

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Solucao temporal

Solucao particular : O chamado Metodo dos Coeficientes aDeterminar se aplica para a classe de funcoes g(t) que emconjunto com suas derivadas sucessivas, ate uma certa ordemm, formam um conjunto LD. Portanto, existe um operadordiferencial com polinomio caracterıstico ∆N(λ) de ordem m

tal queN[g ] = 0

Neste caso, uma solucao particular de D[y ] = g pode sercalculada atraves da equacao homogenea definida pelooperador diferencial composto

N[D[y ]] = 0

que nada mais e que uma equacao diferencial homogenea deordem n + m.

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Solucao temporal

Verificando que

N[D[eλt ]] = ∆D(λ)∆N(λ)eλt

a sua equacao caracterıstica e dada por ∆D(λ)∆N(λ) = 0 ecomo ja sabemos (supondo que todas as raızes sejamdistintas)

y(t) =

n∑

i=1

cieλi t

︸︷︷︸

∆D(λ)=0=⇒yh(t)

+

m∑

i=1

dieλi t

︸︷︷︸

∆N(λ)=0=⇒yp(t)

sendo que os coeficientes d1, · · · , dm sao determinadosimpondo-se D[yp] = g . No caso da eventual ocorrencia deraızes multiplas o tratamento anterior deve ser adotado.

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Exemplos

A equacao diferencial y(t) + y(t) = e−2t com y(0) = 1admite ∆D(λ) = λ + 1 e ∆N(λ) = λ + 2. Portanto

y(t) = c1e−t

︸︷︷︸

yh(t)

+ d1e−2t

︸︷︷︸

yp(t)

substituindo yp(t) obtem-se d1 = −1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 2. A solucao geral e

y(t) = 2e−t − e−2t , ∀ t ≥ 0

A equacao diferencial y(t) + y(t) = e−t com y(0) = 1 admite∆D(λ) = λ + 1 e ∆N(λ) = λ + 1. Portanto

y(t) = c1e−t

︸︷︷︸

yh(t)

+ d1te−t

︸︷︷︸

yp(t)

substituindo yp(t) obtem-se d1 = 1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 1.

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Exemplos

A equacao diferencial y(t) + y(t) = sen(t) e tal que∆D(λ) = λ2 + 1 e ∆N(λ) = λ2 + 1. Portanto

y(t) = c1ejt + c2e

−jt

︸︷︷︸

yh(t)

+ d1tejt + d2te

−jt

︸︷︷︸

yp(t)

Uma equacao diferencial com ∆D(λ) = (λ + 1)(λ − 1) eentrada tal que ∆N(λ) = λ + 1 tem a solucao geral

y(t) = c1e−t + c2e

t

︸︷︷︸

yh(t)

+ d1te−t

︸︷︷︸

yp(t)

Uma equacao diferencial com ∆D(λ) = (λ + 1)2 e entrada talque ∆N(λ) = λ − 1 tem a solucao geral

y(t) = c1e−t + c2te

−t

︸︷︷︸

yh(t)

+ d1et

︸︷︷︸

yp(t)

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Transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma funcao f (t) definida paratodo t ∈ R, denotada por f (s) ou L(f (t)), e uma funcao devariavel complexa

f (s) : D(f ) → C

onde D(f ) e o seu domınio e

f (s) :=

∫ ∞

−∞

f (t)e−stdt

D(f ) := {s ∈ C : f (s) existe}

E importante ressaltar que f (s) existe indica que a integralacima converge e e finita.

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Geralmente D(f ) nao coincide com C. Nestes casos existem

pontos s ∈ C tais que s /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinacao do domınio da transformada de Laplace.

Importante : O domınio D(f ) da transformada de Laplacedepende fortemente do domınio da funcao f (t). Comoverificaremos em seguida :

t ∈ [0, +∞) =⇒ Re(s) ∈ (α, +∞)

t ∈ (−∞, 0] =⇒ Re(s) ∈ (−∞, β)

t ∈ (−∞, +∞) =⇒ Re(s) ∈ (β, α)

para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domıniode f (t), menor o domınio de f (s) e vice-versa.

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Os seguintes exemplos ilustram os domınios das transformadasde Laplace de algumas funcoes :

f (t) = e−at : R → C e D(f ) = ∅.f (t) = e−at : [0, +∞) → C e

f (s) =1

s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) > −Re(a)}

f (t) = e−at : (−∞, 0] → C e

f (s) = −1

s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) < −Re(a)}

f (t) = e−a|t| : (−∞, +∞) → C e

f (s) =−2a

s2 − a2, D(f ) = {s ∈ C : |Re(s)| < Re(a)}

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A funcao exponencial eλt : R → C com λ ∈ C qualquer naoadmite a transformada de Laplace. Portanto, para funcoesdefinidas em todo t ∈ R a transformada de Laplace e muitorestritiva. Para contornar esta dificuldade vamos restringirnosso interesse a funcoes definidas no intervalo t ∈ [0,+∞) eassim :

f (s) :=

∫ ∞

0f (t)e−stdt

que admite o domınio na forma generica

D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}

para algum α ∈ R a ser adequadamente determinado.

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Classe importante : Definida pela existencia de sf ∈ C talque o limite

limτ→∞

∫ τ

0|f (t)e−sf t |dt

existe e e finito.

Lema (Domınio)

Para as funcoes da classe acima, e valido que :

Qualquer s ∈ C satisfazendo Re(s) ≥ Re(sf ) pertence a D(f ).

Existe M finito tal que |f (s)| ≤ M para todo s ∈ D(f ).

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Forma geral : Para funcoes definidas para todo t ≥ 0 :

D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}

Determinacao do domınio : Para a funcao f (t) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que

limτ→∞

∫τ

0

|f (t)e−αt |dt < ∞

Determinacao do domınio : Para a funcao f (s) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que ela permanecaanalıtica e portanto finita em todo s ∈ D(f ).

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A funcao f (s) = e−s

snao e analıtica em s = 0. A sua serie de

Laurent e

f (s) =1

s− 1 +

s

2−

s2

6+ · · ·

e portantoD(f ) := {s ∈ C : Re(s) > 0}

A funcao f (s) = 1−e−s

se analıtica em s = 0. A sua serie de

Taylor e

f (s) = 1 −s

2+

s2

6− · · ·

e portanto

D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > −∞} = C

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Uma funcao racional e da forma

f (s) :=N(s)

D(s)=

∑mi=0 ei s

i

∑ni=0 ais i

onde m ≤ n, ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R paratodo i = 1, · · · , n. Se n = m ela e chamada propria, casocontrario ela e dita estritamente propria. Ela deixa de seranalıtica nos seus polos, raızes de D(s) = 0. Assim sendo

α = maxi=1,··· ,n

Re(pi )

O impulso unitario (Dirac) :

δ(s) = 1 , D(δ) = C

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Varios calculos envolvendo a transformada de Laplacedependem da determinacao correta do seu domınio :

Integral : A integral de uma funcao em todo o seu domınio edada por

∫ ∞

0

f (t)dt = f (0)

desde que 0 ∈ D(f ).Limite : O limite de uma funcao definida em t ≥ 0 satisfaz

limt→∞

f (t) = lims→0

sf (s)

desde que 0 ∈ D(sf ).

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No estudo de equacoes diferenciais via transformada deLaplace, as seguintes propriedades sao importantes parafuncoes definidas em t ≥ 0 e escalares θ1, θ2, · · ·

Combinacao linear :

L

(∑

i

θi fi (t)

)

=∑

i

θi fi (s)

Convolucao a tempo contınuo :

L(f (t) ∗ g(t)) = f (s)g (s)

Derivada em relacao ao tempo :

L(f (t)) = sf (s) − f (0)

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Como as funcoes que estamos considerando sao definidasapenas para t ≥ 0, a sua derivada em t = 0 deve ser melhorqualificada (note que f (t) pode nao existir para t < 0).

Derivada em relacao ao tempo :

h(t) :=

{

f (t) , t > 0valor finito , t = 0

geralmente adota-se h(0) = limt→0+ f (t) = f (0+) < ∞.

Lema (Derivada temporal)

A transformada de Laplace de h(t) definida acima e dada por :

h(s) = sf (s) − f (0) , D(h) = D(sf )

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Infelizmente, a definicao anterior nao permite levar em contaa possibilidade de f (t) variar arbitrariamente rapido em t = 0.Ou seja, considerar f (t) descontınua em t = 0, o que ocorrequando f (0) 6= 0. Vamos analisar esta situacao peculiar com asequencia de funcoes :

fn(t) := f (t) − f (0)

(

1 +t

τn

)

e−t/τn , ∀ t ≥ 0

onde τn > 0 tende a zero quando n tende a infinito.

fn(0) = 0 para todo n ∈ N.limn→∞ fn(t) = f (t) para todo t > 0, portanto

limn→∞

fn(s) = f (s) , ∀ s ∈ D(f )

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Notando como h(t) e hn(t) a derivada em relacao a t > 0 dasfuncoes f (t) e fn(t) respectivamente, com o lema anteriorobtemos hn(s) = sfn(s) − fn(0) para todo n ∈ N e

limn→∞

hn(s) = sf (s)

= (sf (s) − f (0)) + f (0)

= h(s) + f (0)

levando alim

n→∞hn(t) = h(t) + f (0)δ(t)

A quantidade limn→∞ hn(t) e denominada derivadageneralizada de f (t). Ela coincide com f (t) para todo t > 0mas e diferente em t = 0 sempre que f (0) 6= 0.

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A transformada de Laplace da derivada generalizada e obtidamultiplicando-se a transformada da funcao por s. Para ilustrareste conceito vamos considerar a funcao degrau unitariodefinida por υ(t) = 1 para todo t ≥ 0.

υ(s) =1

s, D(υ) = {s ∈ C : Re(s) > 0}

Derivada temporal : h(s) = sυ(s) − 1 = 0 de acordo com ofato de que h(0) = 0 e h(t) = υ(t) = 0 para todo t > 0.Derivada generalizada : limn→∞ hn(s) = sυ(s) = 1 de acordocom o fato de que limn→∞ hn(t) = δ(t) para todo t ≥ 0.

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Para funcoes racionais, a inversa da transformada de Laplacepode ser obtida via Decomposicao em Fracoes Parciais com aqual determinamos os escalares αi tais que

∑mi=0 ei s

i

∑ni=0 ai s i

= α0 +

M∑

i=1

αi

(s − pi)ni

onde pi sao seus polos e∑M

i=1 ni = n. Observe que estamosconsiderando que cada polo pi tenha multiplicidade ni paratodo i = 1, · · · ,M. A inversa e determinada com a relacao

L−1

(1

(s − p)r+1

)

=1

r !

d r

dprept =

tr

r !ept , ∀ t ≥ 0

valida para todo r ≥ 0.

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Solucao via transformada de Laplace

Considere a equacao diferencial anterior dada na forma

n∑

i=0

aid iy

dt i(t) =

m∑

i=0

eid ig

dt i(t) , ∀t ≥ 0

com condicoes iniciais d i y

dt i (0), para todo i = 0, · · · , n − 1.Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros elevando em conta o efeito de impulsos na entrada (derivadageneralizada), obtemos

y(s) = H0(s)︸︷︷︸

cond. iniciais

+ H(s)g (s)

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Solucao via transformada de Laplace

Os aspectos mais importantes sao :

h0(t) := L−1(H0(s)) e a parte da solucao que dependeexclusivamente das condicoes iniciais.h(t) := L−1(H(s)) e a resposta ao impulso (obtida a partir decondicoes nulas). A funcao h(t) ∗ g(t) obtida pelatransformada de Laplace inversa, e a parte da solucao quedepende exclusivamente da funcao de entrada.

⇓

y(t) = h0(t) +

∫ t

0

h(t − τ)g(τ)dτ , ∀ t ≥ 0

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Exemplo

Aplicando a transformada de Laplace na equacao diferencialy + 3y + 2y = g − 3g com condicoes iniciais y(0) = 1 ey(0) = 0 determinamos

H0(s) =s + 3

(s + 2)(s + 1), H(s) =

s − 3

(s + 2)(s + 1)

Sendo g(t) o degrau unitario temos :

y(s) =s2 + 4s − 3

s(s + 2)(s + 1)=

6

s + 1−

7/2

s + 2−

3/2

s

ou seja

y(t) = 6e−t − (7/2)e−2t − 3/2, ∀ t ≥ 0

Note que y(0+) = 1 e y(0+) = 1 6= y(0) = 0. A derivada dey(t) sofreu uma variacao brusca em t = 0.

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Representacao de estado

Qualquer equacao diferencial linear de ordem n pode serconvertida em um sistema de n equacoes diferenciais deprimeira ordem. Este sistema de equacoes diferenciais,geralmente acoplado, denominado representacao de estado daequacao original e expresso na forma matricial:

x(t) = Ax(t) + Bg(t) , x(0) = x0

y(t) = Cx(t) + Dg(t)

onde A ∈ Rn×n, B ∈ R

n×1, C ∈ R1×n e D ∈ R

1×1.As matrizes (A,B ,C ,D) e a condicao inicial x0 ∈ R

n devemser determinadas de tal forma que a funcao produzida pelarepresentacao de estado y(t) coincida com a solucao daequacao diferencial em estudo para todo t ≥ 0.

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Para a equacao D[y ] = g com an = 1, definimos as variaveisde estado

x(t) =

x1(t)...

xn(t)

, xi (t) := y (i−1)(t), i = 1, · · · , n

e obtemos

A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

...... · · ·

...−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

, B =

00...01

C =[

1 0 0 · · · 0]

, D =[

0]

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A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadordiferencial de ordem m ≤ n − 1 pode ser reescrita na forma

D[ξ] = g , y = E [ξ]

Definindo como no caso anterior as variaveis de estado

x(t) =

x1(t)...

xn(t)

, xi (t) := ξ(i−1)(t), i = 1, · · · , n

as matrizes A e B nao se alteram. Ademais

y(t) = E [ξ] =

m∑

j=0

ejξ(j)(t) =

m∑

j=0

ejxj+1(t)

permite determinar as matrizes restantes

C =[

e0 e1 e2 · · · 0]

, D =[

0]

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A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadordiferencial de ordem m = n pode ser reescrita na forma

D[ξ] = g , y = E [ξ] + eng

onde E [ξ] := E [ξ] − enD[ξ] com coeficientes ei = ei − enai

para i = 0, · · · , n − 1 e um operador diferencial de ordemn − 1. Definindo as mesmas variaveis de estado do casoanterior, as matrizes A e B nao se alteram. Ademais

y(t) = E [ξ] + eng =n−1∑

j=0

ejxj+1(t) + eng

permite determinar as matrizes restantes

C =[

e0 e1 e2 · · · en−1

], D =

[en

]

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Para qualquer matriz quadrada A ∈ Rn×n define-se a funcao

exponencial de matriz:

eAt =∞∑

k=0

(At)k

k!

sendo que a soma indicada converge para todo t ≥ 0.

Lema (Transformada de Laplace)

A transformada de Laplace da funcao F (t) = eAt definida para

todo t ≥ 0 e dada por

F (s) = (sI − A)−1 , D = {s ∈ C : Re(s) > maxRe(λi )}

onde λi , i = 1, · · · , n sao os autovalores de A.

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Aplicando a transformada de Laplace nas equacoes de estadodeterminamos

H0(s) = C (sI − A)−1x0 , H(s) = C (sI − A)−1B + D

e, com o lema anterior, as funcoes

h0(t) = CeAtx0 , h(t) = CeAtB + Dδ(t)

Teorema (Solucao da equacao de estado)

A solucao da equacao de estado e dada por

x(t) = eAtx0 +

∫ t

0eA(t−τ)Bg(τ)dτ

y(t) = Cx(t) + Dg(t) , ∀ t ≥ 0

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Para completarmos o calculo da representacao de estado deuma equacao diferencial, resta determinarmos o vetor decondicoes iniciais x0 ∈ R

n. Neste sentido, derivandosucessivamente a parte da solucao que depende das condicoesiniciais

y(t) = CeAtx0

em t = 0 obtemos:

y(0)

y (1)(0)...

y (n−1)(0)

= Ox0 , O :=

C

CA...

CAn−1

A matriz O ∈ Rn×n e chamada Matriz de Observabilidade e e

inversıvel sempre que o sistema for de ordem mınima.

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Finalmente, deve ser notado que a representacao de estadonao e unica. Unica e a funcao H(s) e, dada as condicoesiniciais, unica tambem e a funcao H0(s). Com umarepresentacao de estado (A,B ,C ,D) e uma matriz naosingular T ∈ R

n×n, a chamada Transformacao de Similaridadepermite obter uma nova representacao de estado(T−1AT ,T−1B ,CT ,D) mas ambas representando a mesmafuncao H(s). De fato, simples calculos levam a

H(s) = C (sI − A)−1B + D

= CT (sI − T−1AT )−1T−1B + D

Ademais, observe que det(sI − A) = det(sI − T−1AT ).

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Exemplo

A funcao de transferencia do deslocamento angular do elorotacional de uma junta robotica e

H(s) =s2 + 0.12s

s2 + 0.12s + 9.4

A representacao de estado aqui considerada e

x =

[0 1

−9.4 −0.12

]

︸︷︷︸

A

x +

[01

]

︸︷︷︸

B

g

y =[−9.4 0

]

︸︷︷︸

C

x + [1]︸︷︷︸

D

g

Note que os autovalores de A sao iguais aos polos de H(s).Isto e sempre verdade!

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Sistemas dinamicos lineares

Funcao de transferencia

De maneira generica, um sistema dinamico LIT ecaracterizado por ter seu comportamento, no decorrer dotempo, descrito por uma equacao diferencial linear comcoeficientes constantes. A partir das condicoes iniciaisdefinidas em t = 0 e de uma funcao de entrada g(t) definidapara todo t ≥ 0, a sua saıda e dada por

y(s) = H0(s) + H(s)g (s)

onde

Definicao (Funcao de transferencia)

A funcao H(s) e denominada funcao de transferencia do sistema e

h(t) = L−1(H(s)) definida para todo t ≥ 0 e a sua resposta ao

impulso.

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Funcao de transferencia

A funcao de transferencia de um sistema torna explıcito comoa entrada influencia a saıda. Para condicoes iniciais nulasH0(s) = 0 e a relacao entrada / saıda torna-se :

y(s) = H(s)g(s)⇐⇒y(t) = h(t) ∗ g(t)

Definicao (Estabilidade)

A funcao de transferencia H(s) e denominada assintoticamente

estavel se ela for analıtica em todos os pontos da regiao Re(s) ≥ 0.

Como consequencia :

Todos os polos de H(s) estao localizados na regiao Re(s) < 0.limt→+∞h(t) = 0.

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Resposta em frequencia

A resposta em frequencia de um sistema com funcao detransferencia H(s) e simplesmente dada por H(jω) para todoω ∈ R. Isto exige que todos os pontos do eixo das ordenadasdo plano complexo estejam no domınio de H(s), isto e

s = jω ∈ D(H) , ∀ ω ∈ R

Desta forma, devemos nos restringir ao calculo da respostaem frequencia apenas para sistemas assintoticamente estaveis.Para esta classe de sistemas, o efeito das condicoes iniciaisdesaparece no decorrer do tempo pois H0(s) e H(s) tem osmesmos polos e portanto limt→+∞h0(t) = 0. A sua saıdatende a uma funcao que depende exclusivamente da entrada,denominada solucao de regime permanente.

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Considerando a entrada g(t) = ejωt para t ≥ 0 temos comoresposta

y(s) = H0(s) + H(s)1

(s − jω)

cuja decomposicao em fracoes parciais resulta em

y(s) = H0(s) + R(s) +H(jω)

(s − jω)

onde R(s) denota os demais termos da decomposicao. Comoos polos de R(s) sao aqueles de H(s) tem-se limt→+∞r(t) = 0de tal forma que para t suficientemente grande

y(t) ≈ H(jω)ejωt := yperm(t)

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Exemplo : A figura abaixo mostra yperm(t) e a resposta y(t),a partir de condicoes iniciais nulas, de uma suspensao

H(s) =6s + 100

s2 + 6s + 100, g(t) = (1/4)sen(10t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

Mesmo com H0(s) = 0 ambas coincidem so apos um certotempo.

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A resposta em frequencia de um sistema pode ser representadagraficamente atraves de diagramas. Os mais utilizados edisponıveis em varios pacotes computacionais sao :

Diagramas de Bode de Modulo e de Fase : Definidosrespectivamente por

A(ω)dB × log(ω) , ∀ ω > 0

φ(ω) × log(ω) , ∀ ω > 0

onde A(ω)dB e o modulo de H(jω) expresso em decibeis eφ(ω) e a fase de H(jω) expressa em graus ou radianos.

Definicao (Decibel)

O modulo de H(jω) expresso em decibeis e dado por

A(ω)dB := 20log(|H(jω)|) onde log denota o logaritmo na base dez.

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Os diagramas de Bode sao calculados numericamente semgrandes dificuldades. E importante ressaltar que diagramasaproximados podem ser obtidos atraves do calculo deassıntotas gerando entao os chamados Diagramas de BodeAssintoticos. Considere a funcao de transferencia racional

H(s) =

∑mi=0 ei s

i

∑ni=0 ais i

que pertence a classe de funcoes de fase mınima, para asquais nao so os seus polos mas tambem os seus zeros estaolocalizados no semiplano esquerdo complexo (Re(s) < 0).Assim sendo, todos os seus coeficientes sao positivos.

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As assıntotas sao assim determinadas :Baixa frequencia : Com ω > 0 suficientemente pequeno

H(jω) ≈ Kb , Kb =e0

a0> 0

e assim

A(jω)dB ≈ 20log(Kb)

φ(ω) ≈ 0

Alta frequencia : Com ω > 0 suficientemente grande

H(jω) ≈ Ka(jω)m−n , Ka =em

an

> 0

e assim

A(jω)dB ≈ 20log(Ka) + 20(m − n)log(ω)

φ(ω) ≈ (m − n)π

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Note que se n 6= m as assıntotas do diagrama de modulo seinterceptam em uma frequencia ωc denominada frequencia decorte

ωc =

(Kb

Ka

) 1m−n

Estes calculos levam aos diagramas assintoticos :

A(ω)dB =

{20log(Kb) ω ≤ ωc

20log(Ka) + 20(m − n)log(ω) ω ≥ ωc

φ(ω) =

{0 ω < ωc

(m − n)π/2 ω > ωc

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As seguintes consideracoes sao relevantes :

Geralmente os diagramas assintoticos nao fornecem resultadosprecisos para frequencias proximas a ωc . Para melhorar aprecisao podemos decompor H(s) = ΠN

i=1Hi (s) e aplicar oprocedimento anterior em cada parcela

A(ω)dB =

N∑

i=1

Ai (ω)dB , φ(ω) =

N∑

i=1

φi (ω)

Para sistemas de fase mınima apenas o seu diagrama demodulo define H(s). Com as assıntotas que variam apenas emmultiplos de ±20dB por decada (intervalo de frequencias [a, b]com b = 10a) e as frequencias de corte de cada parcela Hi (s)e importante saber como obter H(s), dada na formaH(s) = ΠN

i=1Hi (s), a partir do seu diagrama assintotico demodulo.

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Exemplo

Diagramas de magnitude com assıntotas obtidos com

H1(s) = s + 1 , H2(s) =10

s2 + s + 100

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20

40

10−1

100

101

102

−30

−20

−10

0

10

20

30

H1

H2

H = H1H2

Mag. [dB] × Freq. [rad/s]

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Exemplo

Diagramas de fase com assıntotas obtidos com

H1(s) = s + 1 , H2(s) =10

s2 + s + 100

10−1

100

101

102

−200

−150

−100

−50

0

50

100

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

H1

H2

H = H1H2

Fase [graus] × Freq. [rad/s]

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Exemplo

Na figura abaixo vemos a saıda em regime permanente(dividida por 10) de H(s) correspondente a entrada

g(t) = cos(10t) + cos(100t) , ∀t ≥ 0

Observe a filtragem da componente de alta frequencia.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t[s]

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analise linear de sistemas´ - dt - home pagegeromel/alin_cont.pdf · sistemas lineares sendo t = 0...

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