AULA IT- MOMENTO ANGULAR EM

MECENICA QUINTIC A

Come

samosapartin data aula um estado sistema -

tico do momento angular em mecoinicaquiantica I MQ ) .

Este i um assunta entrancement important , ayiosresultsdos scio amplamente una dos em voiriosdominiesda Fi si ca : ma classification do respects ato -

mice,

molecular e nuclear,

no spin de particularelementals

, no magnetism ,etc . . .

Jet stake

mosqueo memento angular desem pen ha

important papel ma mecianica classica; o memento

angular total de um sistema isola do i uma cons -

tante de movimento.

As proprietordes Ioissicas do

momento angular deum ter suis equivalents em

MQ,

mas tram bin bra fendmemos em M Q reliance -

& fisioa do momento angular que mio possum

analogies Icissicos leg . spin ) .

Denotaremos o momento angular orbital ( que pros sui

anatogo claim co ) por Te o momento angular intrinsic

( spin ) de uma particular por 5.

Usa remos I para

de motor o momento angular total de um determinate

sistema .

^ Re tacos de cornuta ciao

Para obiter as observoiveis Lx, Ly e Lz associates em

MQ com as components do momento angular Le

de uma particular seem spin ( spin - o ),

no 'ssimples -

mentpromo remos as fun gins classsicas a opera dores

que age on no espace de Hilbert.

Ou seja , para a

component Lx do operator momento angular I

Lx = y pz - 2- Py

e de forma geralI = I x F

on de as opera doses de posigiao e momentum satisfazem

[ Xi, pj ] = it sij .

As sin.

names determiner I Li, Lj ] come cyando por

[ Lx, Ly ] = I ypz - zpy , Zpx - Xpz ]

= [ ypz , zpx ] - I ypz , xpz ] - [ Zpy ,2- Px ] t [ Zpy , xpz ]

- -= O =D

= y Tpz ,2-Tpx - [ xpz , Zpy ] = - it ypx - x I pz ,

2- Jpy= - it ypx t it xp y = it ( xp ,

- ypx ) = it Lz-

L z

Catches and logos mostra m que as components do

momento angular I d even satisfazer

[ Li, Lj ] = it Eijk Lk

On de E izz = Ez iz = E 231= I

,E 213 = E 321 = E 132 = - I

e E ijk Sij = O .

2 GeneralizationsOs ties opera dores associates ias components do

momento angular Ioissico

satisfy- u ma relocate

de cornuta .cat que ,mais radiant

,mostra remos tu

origen was proprietordes geometries das rotagois

no espa.co tridimensional. Adotaremos a partin de

agora um ponto de visita mais genal de fini n do

Momento angular I como qual quoi conjunto de

this observiaveis Jx, Jy e JI que satisfazem

[ Ji,

Jj ] = it Eijk Jk .

Into dvzimosentao o operator hermitian

J'

= Jx'

t Jy'

t Jz'

que rats fray I nai fi car de exercicio mortar )

I 52,

I ] -- o

Vamos pennon numa particular seem spin mm

potencial central . Como were mos,

as tri's components

do memento angular E da particular comutam com o

hamiltonians H,

been come L' cornuta com H

.Porin

as components de E new cornuta m entire ri,

de forma

que podemos construe in autostradas simultaneous de

H,

L2 e uma das components de I ( e.g .Lz )

.

Esta situac.ae i igualmentevoilida para o caso

genal I.

Assia,

mono objetivo agora e- determiner

as auto vetoes que vivo simultaneous in J2 e Jz .

Para is so,

i convenient intro dugin as opera dores

Wao hermit anos

Jt = Jx t i

Jy

J - = Jx - i

Jy

e moi- los no lugar de Jx e Jy .

Vamos agora determiner as relaxes de cornuta ai

para os operadores Jt e J - :

[ Jz,

Jt ] = [ Jz,

Jx t i

Jy ] = I Jz,

Jx ] t i I Tz , Ty ]

= it

Jy t i C - ith Jx = hi ( i

Jy t Jx ) = hi

Jt

I Jz ,J - ] = I Jz

,J x - i

Jy ) = [ Jz,

Jx ] - i I Jz, Jy ]

= it

Ty - i f - i ) t

Jx =- t ( J x - i

Jy ) = - hi J -

[ Jt,

I ] = [ Jx ti

Ty,

Jx - i

Ty ] = - i I Jx, Jy ] ti I J

y ,Jx ]

= - i r i th J z t i f - i ) A

J z = 2 t Jz

I J ? Jt ] = [ J'

,J - ] = I 52

,Jz ] = O

Os pro duties Jt J- e J

- Jt Scio dados por

Jt J - = ( Jx t i

Jy ) ( Jx - i

Ty ) = Jx'

- i

Jx Ty t i

Jy Jx t Ty'

= Jx 't Ty

2- i I Jx

, Ty ] = Jx'

t Jy'

t ti

Jz

J-

J t = f J x - i

Jy ) f Jx t i

Ty ) = Jx 't Jy

't i

I Jx, Ty ]

= 5×2 t Ty2

- k

Jz

Jt J - = Jx'

t Jy'

t hi

Jz

J- Jt = Jit Ty

2- A

Jz+

Tt J-

t J - Jt = 2 ( Jx 't Ty'

t JI - JI )-

J2

J2 = I ( Jt J -t J - Jt ) t JI .

3 Automatons e auto vetoes de Tz e J '

Vamos su por

J2 la,

b > = a I a,

b >

Jz I a,

b > = b la,

b >

Veja mos o significand fi si co de Jt .

Jz ( J ± la , D) = ( JI Jz t[ Jz,

J ± ] ) la,

b )

= ( b JI It Jt ) la ,b ) = ( b th ) ( J ± la ,

b > )

ou sipa , se atrium Jt men auto estado de Jz thermos

um outro auto estado de Jz, porin com auto valor

modificado f t ) de una unida de de t .

Joi one atuormos mm auto ertado de J'

nada

acontea,

i. e.

,.

- O-

J ' ( Jt la, D) = f Jt J't I J

'

,Jt ] ) la , b) = a ( J± la , b) )

Podemos escrever

JI la ,b) = C± la

,b It >

on de c ± semi determined a partin de con dicots de

normalizer.cat apropriadcs aos auto estados do momento

angular .

• Auto values de Tze J '

Como J '= Jx 't Ty 't JI e- a soma do modulo

are quadrado de opera dores hermitic nos.

entcio

< 4152143 = (415×214)+54155/43 t Ctl It' 14 ) so .

A scrim a 3 b'

. Gto sign f ca que hairier um

memento que Jt la,bmcix ) = O

que implica que J -Jt la

,bmoix ) = O

Mas J- Jt = Jit Ty

'- A

Jz = J'

- JI - t

Jz.

Portanto

( J2 - JI - b- Jz ) la,

bmcix > = O

a - bZmcix- t b mais = O

,una veg que la

,bmcix ) to .

a = b mais ( bma ; tt )

De mancino ancilogaJ . la ,

b min > = O i. Jt J - la ,

b min > = O

Jt J - = J2

- JE t t

Iz

( J2 - JE th Jt ) la,b min > = ( a - Emin th b min ) la

,b min ) -

- O

: a = b min ( b min- hi )

Assia, podemos inferior que

bmix t t b ma-

x - a --

o ⇒ b mais = - Is tIaFETA'

b min = that Eta

bmcix t b win = O ⇒ bmoix = - b min

:.

- b wax f b S b mail

Alcangaremos bmcix por s cassius aplicagois de Jt

a la,

b min ) .Entao bmoix = b min tnh com he IN

bmoix - b min = n t ⇒bmoix - f - bma

-

x ) = ht

⇒ bma

-

×= hat .

Por convene,ai ,trabalhamos

com j = I , portanto j i inturo on semi - inter ro .

Assim,

a = bmcixlbmax th ) = jt l j t + th )

a =hi 2

j f j t I )

Definimos m tal queb =mt

,de forma que

se j for inter.ro,

todos as valores de m tram bein revoir .

Joi se j for semi - interim,

entao todos as valores de m

tambim serious .Os valores permit dos de m para um

dado j ro-ro

- b ma-

x f b f t bmcix ⇒ - j t f m t f tjt

- j s m s j

Portanto, agora e- convenient esuever as equators

de automatons para J'

e Jz come

J2 I j ,

m > = j I j ti ) hi I j ,m >

Jz I j ,m > = m hi I j ,

m )

com j > o intro on semi . inter ro e - j s m s t j

⇒ m = - j ,- j ti

,. . .

, j - I, j .

Na proxima aula determinate mos os bets normal -

zados

,a representative matricide dos opera dores de

momento angular .

etc . . .