bogdan negrea-evaluarea activelor financiare
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
1/107
Evaluarea activelor financiare
Bogdan NEGREA
Doctor n stiinte economice al universitatii Paris I Panthon-Sorbonne. Lector la Catedra de Moneda,
ASE Bucuresti. Cercetator asociat TEAM/CNRS, Universit Paris I Panthon-Sorbonne.
1
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
2/107
2
Evaluarea activelor financiare
Bogdan NEGREA
Copyright c 2006
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
3/107
3
Cuprins
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale . . . . . . . 7
1.1. Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Optiunea de cumparare europeana (optiunea calleuropeana) . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Optiunea de vnzare europeana (optiuneaputeuropeana ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
1.1.3. Opt i uni ameri cane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Optiuni in the money, at the moneysi out of money . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5. Piata optiunilorsi activele-suport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.2. Evaluarea optiunilorsi arbitrajul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Valoarea teoretica a unei opt i u n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1.2.2. A r b i t r a j u l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
1.3. Paritateacall-putpentru opt iuni le europene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.4. Limita superioarasi inferioara a pretului unei opt i u n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1.4.1. Limita superioara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1.4.2. Limita inferioara a unuicalleuropean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3. Limita inferioara a unuiputeuropean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Factorii care determina valoarea unei optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
2.1. Miscarea browniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
4/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
5/107
5
4.5.1. Procesul stocastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.2. Pretul obligatiunii zero-cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
6/107
6
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
7/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, pro-
prietati si principii fundamentale
1.1. Definitii
O optiune reprezinta un contract ntre doua parti: cumparator - numitsi detinator - si
vnzator.
Acest contract confera detinatorului optiunii dreptul, dar nusi obligatia, de a cumpara
(optiune de cumparare) sau de a vinde (optiune de vnzare) un bun dat, numit activ-suport,
la un pret fix, numit pret de exercitare, la o data viitoare specificata (n cazul optiuniieuropene) sau n orice moment nainte de aceasta data (n cazul optiunii americane).
1.1.1. Optiunea de cumparare europeana (optiunea call europeana)
Sa examinam o optiune de cumparare (call) europeana asupra a 100 de actiuni Volkswa-
gen, cu scadenta la sfrsitul lunii decembrie 2004, la un pret de exercitare de 120 euro/actiune
(presupunem ca astazi ne aflam n data de 10 septembrie 2004si actiunea Volkswagen este
cotata la 140 euro). Aceasta optiune de cumparare europeana da dreptul detinatorului de a
cumpara la sfrsitul lunii decembrie 2004, 100 de actiuni Volkswagen la pretul de exercitare
(fixat la momentul ncheierii contractului de optiune), de 120 euro/actiune, daca doreste
acest lucru. La scadenta optiunii, la finele lunii decembrie 2004, detinatorul optiunii de
cumparare nu este obligat sa cumpere actiunile Volkswagen la un pret de 120 euro. El are
7
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
8/107
8 Evaluarea activelor financiare
posibilitatea de a alege ntre a cumpara la pretul de 120 euro sau a nu cumpara deloc. n
cazul n care cumpara, spunem casi-a exercitat optiunea de cumparare.
La scadenta, respectiv la sfrsitul lunii decembrie 2004, detinatorul optiunii de cumpararesi va exercita optiunea daca are interesul sa faca acest lucru, adica n cazul n care cursul
actiunii Volkswagen, la acea data, este superior pretului de exercitare de 120 euro (nu am
luat n calcul cheltuielile de tranzactie). De exemplu, daca la scadenta cursul actiunii este
de 130, detinatorul optiunii si va exercita optiunea, adica va cumpara (de la cel care i-a
vndut optiunea la data de 10 septembrie) cele 100 actiuni la pretul de 120si le va revinde
instantaneu la bursa la pretul de 130. El va realiza un cstig net (payo) de 10 euro/actiune,adica 1000 euro n total.
Daca, la scadenta, cursul actiunii Volkswagen este inferior pretului de exercitare de 120,
atunci detinatorul optiunii nu si va exercita optiunea, adica nu va cumpara. n acest caz,
cstigul net la scadenta (payo) va fi 0.
Lund n calcul numai fluxurile monetare care pot sa aiba loc la scadenta, detinatorul
optiunii de cumparare nu poate sa realizeze un cstig net (payo) negativ; el poate sa
realizeze doar un cstig net nul sau pozitiv. Daca notam cudata scadentei, cu cursul
aleator al actiunii n ziua scadentei, cu pretul de exercitare al optiuniicall(120 euro n
exemplu), atuncipayo-ul la scadenta al optiuniicalleste:
max( 0) (1)
Pentru detinatorul optiunii de cumparare niciodata nu rezulta pierderi la scadenta. Acest
lucru este posibil deoarece detinatorul optiunii de cumparare a platit o prima n ziua ncheierii
contractului de optiune, adica a intrat n posesia acestui avantaj de care beneficiaza la
scadenta.
n ziua ncheierii contractului de optiune, cele doua parti sunt:
- cumparatorul avantajului dat de contractul de optiune la scadenta (cumparatorul opti-
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
9/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 9
unii);
- vnzatorul acestui avantaj de care va beneficia cumparatorul la scadenta (vnzatorul
optiunii).
n momentul ncheierii contractului, prima este platita de catre cumparatorul optiunii
vnzatorului acestui contract.
n momentul scadentei, cumparatorul beneficiaza de avantajul unuipayonul sau pozi-
tiv, n timp ce vnzatorul suporta inconvenientul unuipayonul sau negativ.
La scadenta, vnzatorul optiunii este legat de mini si de picioare, neputnd sa-si
manifeste vointa. El trebuie sa urmeze decizia cumparatorului, executnd cerinta acestuia.
n schimbul primei pe care o primeste n momentul ncheierii contractului va trebui, la
scadenta, sa asigure contrapartida a ceea ce doreste cumparatorul. Daca acesta nu si exercita
optiunea, vnzatorul va obtine un payo nul. Inconvenientul se produce n cazul n care
cumparatorul optiunii si exercita optiunea.
n cazul optiunii de cumparare europeana din exemplu, exercitarea consta n a cumpara
cele 100 de actiuni Volkswagen la pretul de 120 euro, n timp ce pe piata cursul este de 130
euro. Daca vnzatorul nu poseda cele 100 de actiuni Volkswagen, el trebuie sa le cumpere
de pe piata la pretul de 130 euro pentru a le revinde imediat la 120 euro contrapartidei din
contractul de optiune. Astfel, el obtine un payonegativ de 10 euro/actiune, adica 100
euro per total, egal cu un payopozitiv ncasat de cumparator (presupunem ca nu exista
cheltuieli de tranzactie).
Nu trebuie confundata cumpararea optiunii cu cumpararea activului-suport pe care
este bazata optiunea. n exemplul de mai sus, este vorba despre o optiune de cumparare
(call). Cele doua parti ale contractului de optiune sunt cumparatorul optiunii de cumparare
(cumparator decall) si vnzatorul optiunii de cumparare (vnzator decall).
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
10/107
10 Evaluarea activelor financiare
1.1.2. Optiunea de vnzare europeana (optiunea put europeana)
Optiunea de vnzare europeana confera detinatorului dreptul, dar nu si obligatia, de a
vinde la scadenta activul-suport la un pret convenit nainte (pret de exercitare). Pentru a
obtine acest drept, cumparatorul optiunii plateste o prima vnzatorului. n contrapartida,
acesta din urma, se angajeaza sa cumpere, la scadenta, activul-suport la pretul de exercitare,
daca detinatorul optiunii doreste sa vnda.
Ca si n cazul optiunii de cumparare (sau call), si la optiunea de vnzare (sau put) se
regasesc cele doua parti din contractul de optiune. Una dintre parti plateste o prima n
favoarea celeilalte parti n momentul ncheierii contractului, pentru ca aceasta sa accepte, la
scadenta, sa se supuna vointei sale. La scadenta, avantajele sunt de partea cumparatorului
optiunii (payonul sau pozitiv) iar inconvenientele sunt de partea vnzatorului optiunii
(payonul sau negativ).
Avantajul pentru detinator consta n dreptul, dar nu si obligatia, de a vinde activul-
suport la pretul de exercitare. El si va exercita acest drept daca pretul activului-suport pe
piata este inferior pretului de exercitare. n acest caz, a exercita un put nseamna a cumpara
activul-suport de pe piata la pretul pieteisi a-l revinde imediat la pretul de exercitare celui
care s-a angajat nainte sa accepte tranzactia.
Folosind aceleasi notatii,payo-ul pentru detinatorul deput, la scadenta, este:
max( 0) (2)
Payo-ul optiunii ncasat de catre cumparatorsi suportat de catre vnzator, n functie
de preturile posibile ale activului-suport n ziua scadentei, este reprezentat de patru grafice,
numite diagramele Bachelier (dupa numele autorului).
Matematicianul francez Bachelier a publicat n 1900 teza de doctorat intitulata Teoria
speculatiei, n care a propus o modelare a evolutiei aleatoare a pretului actiunilor n timp.
Diagramele Bachelier arata ca, la scadenta,payo-ul cumparatorului este nul sau pozitivsi
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
11/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 11
cel al vnzatorului este nul sau negativ. Acest lucru este valabil att pentru o optiunecallct
si pentru o optiune put. n cazul optiunii call, cumparatorul obtine un payo pozitiv daca
pretul activului-suport este superior pretului de exercitare, n timp ce n cazul unei optiuni
put, acesta obtine un payo pozitiv daca pretul activului-suport este inferior pretului de
exercitare.
Graficul 1.1Payoff la scaden(opiuni europene)
Payoff Cumprtor de call Payoff Cumprtor de put
ST - reprezintpreul activului-suport n ziua scadenei T
K - reprezintpreul de exercitare
Payoff Vnztor de call Vnztor de put
K
Payoff
K 450 45
0
450
0 ST
0 ST 0 ST
0 ST
45
K
K
1.1.3. Optiuni americane
Optiunile americane se aseamana cu cele europene, singura diferenta considerabila con-
stnd n faptul ca ele pot fi exercitate n orice moment ntre ncheierea contractului de optiune
si data scadentei. Termenii european si american nu au nici o semnificatie precisa si
ajuta doar la distinctia ntre cele doua tipuri de optiuni (spre exemplu, multe optiuni de
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
12/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
13/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 13
1.1.5. Piata optiunilor si activele-suport
Contractele pe optiuni sunt n cea mai mare parte produse standardizate si fac obiectul
tranzactiilor n bursa. Activele-suport sunt formate din actiuni, din devize, din indici bursieri
pe actiuni (Standard and Poors 100, Standard and Poors 500, CAC 40. . . ), din contracte
la termen (futures options).
Cea mai importanta piata de optiuni pe actiuni (stock options) este Chicago Board
Options Exchange (CBOE). n Statele Unite exista patru piete importante de optiuni pe
actiuni, printre care New York Stock Exchange (NYSE). Pe aceste piete americane sunt
negociate peste 500 de actiuni-suport diferite (IBM, Kodak, General Motors, Ford, General
Electric etc).
n Europa, pe piata franceza, sunt negociate optiuni pe MATIF (March terme interna-
tional de France)si pe MONEP (March des options ngociables de Paris). Pe prima pia ta
sunt negociate optiuni pe rata dobnzii si pe devize. Pe MONEP sunt negociate optiuni pe
indicele CAC 40si optiuni pe cele mai tranzactionate actiuni (Carrefour, Michelin, Peugeot
etc).
Exista si optiuni nestandardizate, sau pe masura realizate direct ntre banci si societati
avnd ca active-suport devizele sau ratele dobnzii. Aceasta piata extra-bursiera este numita
over-the-counter (OTC).
1.2. Evaluarea optiunilor si arbitrajul
1.2.1. Valoarea teoretica a unei optiuni
Tranzactiile cu optiuni care se realizeaza pe pietele bursiere de tipul CBOE sau MONEP
conduc la determinarea unui pret pentru fiecare optiune n functie de cereresi oferta. Acesta
reprezinta suma pe care trebuie sa o plateasca cumparatorul optiunii vnzatorului acesteia n
momentul ncheierii contractului pentru a obtine avantajele viitoare procurate de contract.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
14/107
14 Evaluarea activelor financiare
Valoarea primei platite de cumparator vnzatorului este egala cu valoarea optiunii pe piata.
Cum se poate evalua acest pret al optiunii? Daca piata functioneaza corect, daca volu-
mul tranzactiilor este suficient de mare, daca nu exista distorsiuni provocate de costuri de
tranzactie enorme, pretul teoretic al optiunii trebuie sa tinda spre pretul realizat n fiecare
moment la bursa. Acest pret teoretic serveste drept reper pentru cei care intervin n bursa
sau pentru cei care vor sa ncheie un contract de optiune pe piata over-the-counter.
Cunoasterea valorii teoretice a unei optiuni ofera posibilitati de utilizare considerabile,
care depasesc sfera evaluarii optiunile negociabile pe o piata. Un proiect de investitie fizica
al unei ntreprinderi prezinta fluxuri monetare viitoare cu aceleasi caracteristici ca
si cele
procurate de detinerea unei optiuni financiare particulare; deci, posibilitatea evaluarii unei
optiuni permite, prin analogie, evaluarea unui proiect de investitie.
La scadenta, valoarea unei optiuni este simplu de dedus: ea este egala cu payo-ul pe
care-l produce aceasta optiune. Notnd cuvaloarea unuicallla scadenta (momentul),
cuvaloarea activului-suport la acea datasi cu pretul de exercitare:
= max( 0) (3)
Valoarea unuiput la scadenta este:
= max( 0) (4)
Valoarea unei optiuni nainte de scadenta, este compusa din doua parti:
valoarea intrinseca: este valoarea pe care ar avea-o optiunea daca ar fi exercitata
imediat;
valoarea timp: este complementul necesar pentru a ajunge la valoarea totala a
optiunii.
1.2.2. Arbitrajul
Arbitrajul este principiul fundamental pe care se bazeaza multe rationamente privind
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
15/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 15
evaluarea optiunilor.
O situatie de arbitraj se creaza cnd este posibila realizarea unui profit fara risc si fara
aport de fonduri prin combinarea a doua sau mai multe tranzactii. De exemplu, o singura
actiune cotata la doua burse diferite, la doua preturi diferite. Cumpararea la pretul cel
mai scazut si vnzarea simultana la pretul cel mai ridicat aduce un profit fara risc si fara
depunere de fonduri.
O asemenea situatie nu poate dura daca pietele functioneaza corect (daca informatia este
difuzata rapid, daca costurile de tranzactie nu sunt excesive, daca pietele sunt eficiente). Un
flux de ordine de cumparare determina cresterea pre
tului cel mai scazut, n timp ce un flux
de ordine de vnzare determina scaderea pretului cel mai ridicat, pna se obtine egalitatea
ntre cele doua preturi, adica disparitia situatiei de arbitraj.
n evaluarea optiunilor, se pleaca de la ipoteza fundamentala ca nu exista situatie de
arbitraj. Recurgnd la un tip de rationament prin arbitraj, avem: un activ trebuie sa
valoreze , altfel ar exista o posibilitate de arbitraj. Daca pe piata nu exista oportunitati
de arbitraj, atunci activul are valoarea .Exemplu: Consideram doua portofolii si si doua date si (cu posterior lui
). La momentul , se stie cu certitudine ca cele doua portofolii vor avea aceeasi valoare
cnd vor ajunge la scadenta, oricare ar fi circumstantele (adica indiferent de conjunctura
economica, politica etc). Astfel, la scadenta, avem:
() =() (5)
Putem concluziona ca cele doua portofolii au aceeasi valoare la momentul :
() =() (6)
Rationamentul este urmatorul: daca cele doua portofolii nu ar avea aceeasi valoare n
, de exemplu () (), atunci ar exista o oportunitate de arbitraj. Adica, pentru
un arbitrajist ar exista posibilitatea de a mprumuta n portofoliul , pentru a-l revinde
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
16/107
16 Evaluarea activelor financiare
imediat la pretul (). Aceasta se numeste vnzare scurta (short sale). Pozitia celui ce
mprumuta portofoliul se numeste pozitie scurta (short position) pe . Exista intermediari
pe piata bursiera (brokers) care organizeaza licitatia preturilor titlurilor. n mod evident,
cel care mprumuta titlurile este debitorsi trebuie sa le restituie mai trziu proprietarului
acestora. El va trebui sa le cumpere n bursa pentru a putea sa le remita.
Sa consideram ca la momentulare loc mprumutul portofoliului , revnzarea imediata
la pretul()si refolosirea acestei sume pentru cumpararea portofoliuluila pretul().
Daca () (), arbitrajistul ramne cu suma disponibila :
=() () (7)
Aceasta suma , poate fi plasata la o rata a dobnzii fara risc , cu capitalizare continua,
avnd n momentul , o valoare egala cu ().
La data , arbitrajistul revinde portofoliul la pretul(). Cum la aceasta data se
stie ca() =(), atunci arbitrajistul este sigur ca poate rascumpara portofoliul, cu
rezultatul obtinut n urma vnzarii portofoliului , pentru a-l putea restitui proprietarului.
Astfel, arbitrajistul realizeaza un profit fara risc, (), fara a depune fonduri n prealabil.
Deci, daca la momentul cele doua portofolii si nu ar avea aceeasi valoare, ar
exista o oportunitate de arbitraj. Cum aceasta oportunitate este imposibila ntr-o situatie
de echilibru, rezulta ca portofoliile siau aceeasi valoare n :
() =() (8)
Un rationament de acest gen va fi utilizat de nenumarate ori n evaluarea optiunilor.
De asemenea, se poate demonstra ca daca:
() () (9)
n absenta oportunitatilor de arbitraj (AOA), trebuie sa avem:
() () (10)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
17/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 17
1.3. Paritateacall-putpentru optiunile europene
Vom face o aplicatie bazata pe rationamentul AOA (absenta oportunitatii de arbitraj).
Vom stabili o relatie fundamentala existent
a la o dat
a , ntre valoarea a unei optiuni
calleuropene si valoarea a unei optiuni puteuropene, avnd aceeasi actiune-suport fara
dividend, acelasi pret de exercitare si aceeasi data a scadentei.
Sa constituim doua portofolii si , n momentul . Aratnd ca, la scadenta, porto-
foliile au, n orice circumstante, aceeasi valoare, vom putea aplica rationamentul AOA ceea
ce ne va permite sa concluzionam ca cele doua portofolii au aceeasi valoare n .
Portofoliul A
: 1call+ lichiditati n valoare de ()
;Portofoliul B: 1put+ 1 actiune cu valoarea n momentul .
n portofoliul , lichiditatile reprezinta valoarea actuala na pretului de exercitare
n momentul . Aceasta suma, plasata n momentul la o rata a dobnzii fara risc , cu
capitalizare continua, va avea valoarea la data .
Actiunea care figureaza n portofoliul este actiunea care reprezinta activul-suport att
pentru optiunea call, ct si pentru optiunea put. La scadenta , cele doua portofolii voravea aceeasi valoare.
Portofoliul A:
() = max ( 0) + = max( ) (11)
Portofoliul B:
() = max ( 0) + = max( ) (12)
Cele doua portofolii au aceeasi valoare n. Deci trebuie sa aiba aceeasi valoare n ; n caz
contrar, ar nsemna ca exista oportunitati de arbitraj, ceea ce este imposibil n situatie de
echilibru pe piata. Astfel, la momentul avem relatia:
+ () =+ (13)
denumita relatia de paritateput-call.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
18/107
18 Evaluarea activelor financiare
Aceasta relatie este foarte importanta. Cunoscnd valoarea unei optiuni call europene
pe o actiune fara dividend, ea permite determinarea imediata a valorii unei optiuniput la
acelasi pret de exercitaresi la aceeasi scadenta.
=+ () (14)
De asemenea, relatia permite realizarea de optiuni sintetice. Sa ne imaginam o situatie n
care, pentru o actiune data, optiuneacallreprezinta obiectul tranzactiilor, dar nu si optiunea
put. Se poate obtine unputsintetic n constituind un portofoliu care contine:
uncallcu aceeasi scadenta si acelasi pret de exercitare ; o obligatiune fara risc zero-cupon, pentru o suma n;
o pozitieshortpe o actiune ce constituie activul-suport.
1.4. Limita superioara si inferioara a pretului unei optiuni
1.4.1. Limita superioara
O optiune nu poate valora mai mult dect dreptul pe care il contine. O optiune call,
indiferent daca este europeana sau americana, da dreptul de cumparare a unei actiuni la un
anumit pret (pret de exercitare): aceasta optiune nu poate valora niciodata mai mult dect
actiunea n sine.
O optiune put, indiferent daca este europeana sau americana, da dreptul de a vinde o
actiune la un anumit pret(pret de exercitare): aceasta optiune nu poate valora niciodatamai mult dect pretul de exercitare . Se poate spune ca optiunea putnu poate niciodata
valora mai mult dect valoarea actuala a pretului sau de exercitare. Daca este vorba de un
putamerican, aceasta valoare actuala nu poate fi precizata, deoarece nu se stie momentul
cnd va fi exercitata. Dar, n cazul unuiputeuropean se poate scrie:
() (15)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
19/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 19
1.4.2. Limita inferioara a unui call european
Aceasta limita inferioara este (), adica valoarea actiunii diminuata cu valoarea
actuala a pretului de exercitare. Considernd cele doua portofolii, si , constituite lamomentul:
contine 1 calleuropean si lichiditati n suma de (), lichiditati ce vor fi
plasate la o rata a dobnzii fara risc , cu capitalizare continua.
() =+ () (16)
contine o actiune.
() = (17)
Ct va valora portofoliul la scadenta?
1) daca , optiunea va fi exercitatasi vom avea = .
2) daca , optiunea nu va fi exercitatasi vom avea = 0, de unde () =
.
Deci, la scadenta, portofoliul va valora max( ). n momentul , portofoliul
va valora .
n momentul , vom avea:
() () (18)
Prin urmare, putem concluziona ca n situatia de AOA:
+ () (19)
sau
() (20)
Putem sa precizam chiar mai multe aspecte despre aceasta limita inferioara pentru un
calleuropean pe o actiune fara dividend. Acestcalltrebuie sa aiba o valoare pozitiva:
0 (21)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
20/107
20 Evaluarea activelor financiare
De fapt, la scadenta, optiunea calltrebuie sa produca fie unpayopozitiv, fie nimic n cel
mai rau caz. Deci valoarea sa la o data care precede scadenta este pozitiva. Avem doua
conditii simultane:
()
0
Se poate astfel concluziona ca:
max
() 0
(22)
1.4.3. Limita inferioara a unui puteuropean
Aceasta limita inferioara a optiunii put este () , adica valoarea actuala a
pretului de exercitare diminuata cu pretul actiunii. Considernd din nou cele doua portofolii
constituite n :
cuprinde 1 puteuropeansi 1 actiune:
() =+ (23)
cuprinde o suma lichida n valoare de () care va fi plasata la o rata a
dobnzii fara risc .
La scadenta, valoarea portofoliului va fi:
1) daca , optiunea putva fi exercitatasi vom avea:
() = + = (24)
2) daca , optiunea putnu va fi exercitatasi vom avea = 0, de unde:
() = (25)
Deci, la scadenta , portofoliul va avea valoarea:
max( ) (26)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
21/107
Capitolul I: Optiunile. Definitii, proprietati si principii fundamentale 21
La momentul , portofoliul va valora . Prin urmare, la scadenta, vom avea:
() () (27)
Putem concluziona ca, pentru cazul n care exista o situatie de AOA, trebuie sa avem n :
() () (28)
fie
() (29)
1.5. Factori care determina valoarea unei optiuni
Factorii care determina pretul unei optiuni sunt: pretul curent al activului-suport, pretul
de exercitare, rata dobnzii fara risc, timpul pna la scadenta si volatilitatea pretului
activului-suport. Tabelul 1.1 rezuma influenta celor cinci factori asupra cursului unei opti-
uni, indiferent daca este de tip european sau de tip american. Influenta unui factor dat este
determinata prin variatia acelui factor n timp ce restul ramn constanti.Tabelul 1.1Factori ce determinpreul opiunilor de tip european i american
Factor care determin
variaia (ceilali raman
constani)
Variaia preului opiunii
call(de tip european sau
american)
Variaia preului opiunii
put(de tip european sau
american)
Cursul aciunii
Preul de exercitare
Rata dobnzii frrisc
Timpul pnla scaden
Volatilitate
Cretere
Scdere
Cretere
Cretere
Cretere
Scdere
Cretere
Scdere
Cretere
Cretere
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
22/107
22 Evaluarea activelor financiare
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
23/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema
lui It
Spunem ca o variabila urmeaza un proces stocastic atunci cnd schimbarile, n decursul
timpului, ale valorii acestei variabile sunt, cel putin n parte, aleatoare. Cei doi termeni,
aleator si stocastic, sunt sinonime. nsa, pentru a desemna o variabila, este preferabila
utilizarea termenului aleator. Pentru a desemna un proces care se deruleaza n timp, este
preferabila utilizarea termenuluistocastic.
Atunci cnd schimbarile valorii luate de variabila nu se realizeaza dect n puncte discretede timp, se foloseste termenul de proces stocastic n timp discret. Atunci cnd schimbarile
se produc n orice moment, este vorba despre un proces stocastic n timp continuu.
Se face distinctie si ntre procesul cu variabil a discret a si procesul cu variabil a continu a.
Caracterul discret sau continuu al timpului se combina cu cel al variabilei. O variabila
care are o distributie de probabilitate stabila pe tot parcursul timpului urmeaza unproces
stationar. n schimb, daca distributia sa de probabilitate se schimba (n particular, media si
varianta sa), atunci ea urmeaza unproces nestationar.
Traiectoriareprezinta ansamblul de realizari ale variabilei (discrete sau continue) ntr-un
interval de timp.
Un tip de proces stocastic cu o mare importanta n finante este procesul lui Markov.
Valorile viitoare ale unei variabile care urmeaza un proces Markov:
23
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
24/107
24 Evaluarea activelor financiare
depind de valoarea variabilei n momentul prezent;
depind doar de aceasta valoare si nu de valorile anterioare.
Daca presupunem ca pietele reflecta, n general, o eficienta n forma slaba, adica cursul
actiunilor reflecta, ntr-un moment oarecare, toate informatiile publice pna n acel moment,
atunci distributia de probabilitate a pretului activului cotat pe aceasta piata, n orice moment
viitor, depinde doar de pretul activului din momentul si nu de pretul anterior sau de evolutia
anterioara a pretului.
Sa consideram ca o variabila urmeaza un proces Markov si ca valoarea acestei variabile
este cunoscuta n momentul prezent. Diferenta ntre valoarea imediat viitoare si valoarea
actuala se numestevariatie aleatoare. Aceasta variatie aleatoare:
se va adauga la valoarea variabilei din momentul prezent;
este independenta fata de variatiile aleatoare anterioare.
Procesele Markov n timp continuu si cu variabila continua se numescprocese de difuzie.
2.1. Miscarea browniana
Miscarea browniana standard (sau simpla) se mai numeste si proces Wiener. Ea este
un proces Markov n timp continuu si cu variabila continua. Variatiile aleatoare ale unei
variabile ce urmeaza o miscare browniana sunt independente unele fata de celelalte. Variatia
care se produce n cursul unui interval de timp finit are o distributie normala a carei varianta
creste cu lungimea intervalului.
Fie o miscare browniana standard. Fie variatia lui ntr-un interval scurt de
timp . are doua proprietati:
1)
=
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
25/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 25
Variatia depinde deci de radacina patrata a intervalului pe care se produce. este o
variabila aleatoare care are o distributie normala normata, adica:
- speranta matematica a lui este egala cu 0;
- abaterea medie patratica a lui este egala cu 1.
Pentru a indica faptul caurmeaza o distributie normala normata, notam:
(0 1)
Proprietatile lui ne permit deducerea celor ale variatiei . Astfel, variatia urmeaza
o distributie normala1 de speranta matematica 0 si de varianta (cu o abatere medie
patratica egala cu):
0
Prin urmare, variatia este normal distribuita si are o varianta care este egala cu lungimea
intervalului pe care se produce.2)Variatiile relative la doua intervale de timp oarecare (ce nu se acopera ntre
ele) sunt independente.
Aceasta proprietate determina faptul ca, la un moment dat, variatia urmatoare a luisa
fie independenta fata de variatiile anterioare, iar valorile viitoare ale lui sa depinda doar
de valoarea lui din momentul prezent si nu de valorile sale trecute. Aceasta semnifica
faptul caurmeaza un proces Markov.Pentru a verifica daca aceste proprietati ramn valabile si n cazul unui interval lung de
timp, luam n considerare intervalulcare se ntinde ntre doua date. Notam prima data cu
0 si cea de-a doua cu. Aceasta nseamna ca reprezinta att data de la sfrsitul perioadei
1 Reamintim o teorema de statistica probabilistica: Daca este o variabila aleatoare care urmeaza o
lege normala si daca este o constanta, atunci este o variabila aleatoare ce urmeaza, de asemenea, o
lege normala de speranta matematica () si de varianta 2 ().
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
26/107
26 Evaluarea activelor financiare
de timp considerate, ct si ntreaga durata a acestei perioade. Utilizam notatiile (0) si
()cu semnificatiile urmatoare:
- (0)= valoarea lui la momentul 0;
- ()= valoarea lui la momentul .
Variatia lui n timpul perioadei de lungime se scrie:
()(0)
Sa consideram ca durata de timpeste divizata n mici intervale egale : = .
n fiecare mic interval se produce o variatie:
=
0
Sa presupunem ca, n primul interval scurt , se realizeaza o valoare 1 a variabilei
aleatoare . n intervalul scurt , valoarea realizata a variabilei aleatoare este 1. n
intervalul scurt , se produce o valoare a variabilei aleatoare . Cele realizari ale
variabilei aleatoare sunt independente. Atunci, variatia lui pe perioadaeste egala cu
suma celor variatii care se produc n timpul celor intervale scurte .
()(0) =X=1
Prin urmare, putem concluziona ca variatia () (0)este distribuita dupa o lege
normala a carei speranta matematica este egala cu suma sperantelor matematice a celor
componente si a carei varianta este egala cu suma variantelor celor componente2. Adica,
[()(0)]
0
(1)
2 O alta teorema a statisticii probabilistice spune: Daca o variabila aleatoare este suma a variabile
aleatoare independente care urmeaza fiecare n parte o lege normala, atunci urmeaza o lege normala unde
speranta matematica este egala cu suma sperantelor matematice individuale, iar varianta este egala cu suma
variantelor individuale.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
27/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 27
Este usor acum sa determinam variabila nsasi n functie de variatia ei aleatoare:
() =(0) + [() (0)]| {z }Variatie aleatoare
La data prezenta (data 0), (0)este cunoscut cu certitudine. Astfel, putem trage con-
cluzia3 ca () urmeaza o lege normala cu o speranta matematica egala cu (0) si o
varianta egala cu. Pe o perioada de timp foarte lunga (ce tinde la infinit), varianta lui
poate tinde spre infinit. Deci putem spune caurmeaza un proces nestationar.
O miscare browniana standard sau procesul Wiener este limita procesului descris mai
sus, atunci cnd intervalul de timp este foarte mic. Scriem atunci:
=
(2)
unde
[] = 0 (3)
[] = (4)
Sa remarcam faptul ca nu admite derivata n raport cu timpul, deoarece:
=
=
care este egal cu infinit, cacieste un interval foarte mic.
2.1.1. Miscare browniana generalizata
Miscarea browniana standard ajuta la construirea proceselor stocastice mai complexe.
Unul dintre acestea este miscarea browniana cu tendinta4, numita si procesul Wiener gene-
ralizat sau miscare browniana generalizata.
3 Daca este o variabila aleatoare care urmeaza o lege normala, atunci + ( fiind o constanta)
urmeaza, de asemenea, o lege normala cu speranta matematica +() si varianta ().4 Drift(engl.) sau drive(fran.).
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
28/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
29/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 29
de tranzactii la datele , valoarea portofoliului de actiuni la data va fi:
= +
X=1 (1) [ ()(1)]
unde reprezinta valoarea initiala a portofoliului de actiuni. Daca vrem sa realizam tran-
zactii la orice moment , trebuie sa definim un instrument matematic ce permite nlocuirea
sumelor precedente (asemanatoare unor sume Riemann) cu o cantitate unde timpul intervine
n mod continuu. n aceste conditii, putem utiliza integrala:
() = Z
0
() () (7)
pe care o numim integrala stocastic a a lui n raport cu si pe care o definim ca fiind
limita sumelor precedente5. poate fi definit ca o functie determinista sau ca un proces
stocastic6. Exista o clasa destul de mare de procese stocastice pentru care putem defini
integrala stocastica a lui n raport cu . Pentru a defini integrala stocastica, avem nevoie
de realizarea unor conditii de integrabilitate ale lui . Conditia de integrabilitate este:
Z 0
2 () (8)
Daca conditia de integrabilitate este respectata, spunem ca integrala stocastica exista si este
definita. Avem, desigur Z
() = ()() (9)
2.2.1. Proprietati ale integralei stocastice
Sa enuntam principalele proprietati ale integralelor stocastice:
5 Faptul ca brownianul nu este derivabil interzice interpretarea simbolului prin 0 si face imposibila
definirea integralei stocastice prin metodele obisnuite, de genul = 0().6 Integrala stocastica a unei functii deterministe n raport cu miscarea browniana se mai numeste integrala
Wiener. Integrala stocastica a unui proces n raport cu miscarea browniana se mai numeste integrala It.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
30/107
30 Evaluarea activelor financiare
a)Daca este o functie determinista, atunci integrala stocastica () este o variabila
aleatoare gaussiana de speranta matematica nula si de varianta egala cu
[()] = Z 0
2 () (10)
De fapt,()este o variabila gaussiana deoarece procesul este gaussian. Ea este centrata
pentru caeste centrat. n plus,
[()] =X=1
21 [() (1)] =X=1
21( 1) =Z 0
2 ()
De regula, daca este un proces, se pierde caracterul gaussian al integralei.
b)Fieun proces stocastic Fmasurabil si integrabil la patrat si fie integrala stocastica
(). Urmatoarele proprietati sunt verificate:
(i) procesul(() 0)este o martingala continua;
(ii) procesul
2 ()R0
2 () 0
este o martingala continua;
(iii) [
2
()] =hR02 () i.c) Fie sidoua procese Fmasurabile si integrabile la patrat. Fie() =
R0
() .
Proprietatile urmatoare sunt verificate:
(i) Proprietatea de martingala. ()este o martingala:
Z
0
() |F=
Z
0
() (11)
sau
Z
() |F
= 0
n particular, [()] = 0.
(ii) Procesul
Z
0
() 2
Z
0
2 () 0
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
31/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 31
este o martingala. Se poate deduce ca varianta lui ()esteR
0[2 ()] si ca
Z 0
()
Z 0
()
=
Z 0
() ()
(12)
Corolar. Fie un proces stocastic F masurabil si integrabil la patrat si fie integrala
stocastica (). Speranta matematica a lui ()este nula:
[()] = 0 (13)
iar varianta este egala cu:
[()] =
Z 0
2 ()
(14)
2.3. Procesul It
Un proces stocastic = ( [0 ]) este un proces It cu valori reale daca exista
( ) si ( )ce verificaZ 0
| ( )| siZ 0
2 ( )
astfel nct
=0+
Z 0
( ) +
Z 0
( ) (15)
unde [0 ], iar( 0)este un brownian standard real.
Putem sa rescriem aceasta egalitate ntr-o forma mai concisa:
= ( ) + ( ) (16)
pentru a putea dezvolta un calcul formal, analog calculului diferential. Coeficientul ( )se
numeste tendinta instantanee a procesului It, iar coeficientul ( )se numeste volatilitate
instantanee a procesului It sau coeficient de difuzie. Tendinta si volatilitatea variaza si sunt
functii ce depind de timp si de variabila de stare. n familia proceselor It, cel mai cunoscut
proces este miscarea browniana geometrica. Miscarea browniana geometrica este utilizata
n finante pentru modelizarea cursului bursier.
Trebuie remarcat faptul ca un proces It nu este o martingala dect daca ( ) = 0.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
32/107
32 Evaluarea activelor financiare
2.4. Lema lui It
Daca presupunem ca pretul activelor financiare sunt procese It, avem nevoie sa calculam
cantitati de tipul
(
) si de a le preciza dinamica. Metoda de calcul este data de lemalui It. Sa enuntam aceasta lema.
Lema lui It. Fie : [0 ] R Ro functie continua si fie un proces It:
= ( ) + ( )
Fie =( ). Atunci este un proces It ce verifica ecuatia:
=
+
( ) +1
222
2 ( )
+
( ) (17)
sau, ntr-o forma mai concisa,
=
+
+
1
2
2
22 ( ) (18)
Demonstratie.
Este important de subliniat ca si sunt cantitati mici, dar de ordin diferit,
deoarece stim ca [] = 0 si []2 = . Acest mod de a vizualiza procesul
stocastic are un avantaj: atunci cnd aplicam formula lui Taylor si vrem sa pastram termenii
n, termenii n 2 au un rol important.
Fie
= ( ) + ( )
Daca consideram functia ( ) astfel nct = ( ), putem aplica dezvoltarea n
serie Taylor:
=
+
+
1
2
2
22 +
2
+
1
2
2
22 +
unde
= ( ) + ( )
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
33/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 33
2 =2 ( ) 2 + 2 ( ) ( )
32 +2 ( ) 2
Acest ultim rezultat se bazeaza pe faptul ca =
. Termenii de ordin superior lui 1
pot fi neglijati (2
0 si3
2 0). Astfel,2 =
2 ( ) 2
Sa studiem proprietatile lui 2:
[] =
2 [()]2
Cum() = 0, se obtine:
2
= 1
2
= (19)
Sa calculam varianta lui 2:
2
= 2
2
(20)
Aceasta varianta este de ordinul doi n . Deci ea tinde spre zero, caci intervalul de timp
este foarte mic. Prin urmare, speranta matematica a lui 2este egala cu, iar varianta
lui 2tinde spre zero. Asadar, putem concluziona ca, pentru un interval de timp foarte
mic, 2tinde spre . Astfel, putem scrie:
2 =2 ( ) (21)
n calculul stocastic, se utilizeaza, cu titlu de regula generala, urmatoarea tabla a n-
multirii.
Tabelul 2.1. Tabla nmultirii
1 2
0 0 0
1 0 dt
2 0 dt
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
34/107
34 Evaluarea activelor financiare
unde 1 si 2 sunt doua miscari browniene standard. reprezinta coeficientul de
corelatie instantanee ntre cele doua browniene. Daca miscarile browniene sunt independente,
= 0.
Sa sintetizam rezultatele obtinute:
= 0; 2 = 0; 2 =2 ( )
Astfel, dinamica lui se scrie:
=
+
+
1
2
2
22 ( )
sau, nlocuind n ecuatie dinamica lui si notnd =( ):
=
+
( ) +
1
2
2
22 ( )
+
( )
Termenul
+
( ) + 1222
2 ( ) reprezinta tendinta instantanee a lui , iar
termenul
( )reprezinta volatilitatea instantanee a lui .
2.4.1. Un exemplu: miscarea browniana geometrica
Sa consideram o miscare browniana geometrica. Aceasta este un proces It n care:
( ) = (22)
( ) = (23)
unde si sunt constante. Atunci, ecuatia miscarii browniene geometrice se scrie:
= + (24)
Fie o functie = ln . Aplicnd lema lui It:
=
+
+
1
2
2
222
+
=
0 +
1
+
1
2
1
2
22
+
1
= 1
22+
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
35/107
Capitolul II: Procese stocastice. Lema lui It 35
Deci dinamica lui este:
=
1
22
+ (25)
de unde:
() = (0) +
Z 0
1
22
+
Z 0
= (0) +
1
22
+ ()
Astfel,()este dat de:
ln () = ln (0) + 1
2
2+() (26)sau, direct:
() =(0) exp
1
22
+ ()
(27)
n concluzie, variabila ()este normal distribuita:
()
ln (0) +
1
22
(28)
cu speranta matematica conditionata de(0) = ln (0):
[ () |(0)] = ln (0) +
1
22
(29)
si cu varianta conditionata de(0) = ln (0):
[ () |(0)] =2 (30)
Deoarece logaritmul variabilei ()urmeaza o distributie normala, miscarea browniana
geometrica se mai numeste si proces log-normal. n plus, teoria statisticii probabilistice
spune ca, daca logaritmul unei variabile are o distributie normala, variabila nsasi va avea
o distributie log-normala. Stiind astfel ca () este distribuita log-normal, speranta ei
matematica conditionata de(0)va fi egala cu:
[() |(0)] =(0) (31)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
36/107
36 Evaluarea activelor financiare
iar varianta sa conditionata de(0)va fi:
[() |(0)] =2 (0) 2
2 1
(32)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
37/107
Capitolul III: Modelul Black - Scholes
Dezvoltarea pietelor financiare a permis aparitia unei noi generatii de produse financiare
si acest proces de creatie continua inexorabil, departe de a se stinge, ntr-un context de
internationalizare.
Ratiunea de a fi a acestei inovatii este, fara ndoiala, riscul: obiectivul cautat este de a
proteja investitorul contra variatiilor importante ale parametrilor financiari ce influenteaza
avutia acestuia. Poate fi vorba de un risc de rata a dobnzii, de curs de schimb sau, pur si
simplu, de un risc de pierdere a valorii activelor.
Daca astfel de contracte de partajare a riscului exista ntre terti de mult timp, noutatea
consta n institutionalizarea si transformarea acestor acorduri n titluri financiare, negociabile
pe piata, facnd obiectul unor cotatii periodice, precum n cazul actiunilor si obligatiunilor.
Volatilitatea crescatoare, observata pe pietele financiare, a jucat un rol de catalizator n
aparitia acestor noi instrumente de protectie. Conceptual, aceste produse pot fi mpartite n
doua categorii: contractele la termen, ce permit finalizarea unei tranzactii la o data viitoare,
pe baza unor conditii fixate initial, sioptiunile, ce dau dreptul, dar nu obligatia, de a finaliza
o tranzactie la o data viitoare, pe baza unor conditii fixate initial.
Simultan cu aceasta dezvoltare fara precedent a pietelor financiare, modelizarile teoretice
au nceput sa aiba un rol important. Acestea au vizat att noile produse financiare ce nece-
sitau un suport teoretic de tarificare, ct si activele financiare clasice care, prin volatilitatea
lor crescatoare, par sa se supuna, din ce n ce mai mult, unor scheme aleatoare.
Teoria probabilitatilor si a proceselor stocastice reprezinta, n mod natural, un instru-
37
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
38/107
38 Evaluarea activelor financiare
ment extrem de util pentru a modeliza aceasta incertitudine ce pare a fi lovit ntreg mediul
financiar. Complexitatii situatiilor financiare i-a raspuns astfel varietatea instrumentelor
stocastice de analiza.
Problema evaluarii unei optiuni este fascinanta, iar istoria sa este relativ lunga pentru
domeniul finantelor. n 1900, Louis Bachelier propunea o modelizare a cursului bursier
si obtinea estimari ale cumpararilor la termen prin rationamente probabilistice fondate pe
jocul de hazard. Ipoteza principala pe care se fondeaza argumentatia lui este ca pretul unui
activ fixat de catre piata se prezinta, matematic, precum averea unui jucator la un joc de
hazard. Printr-un rationament infinitezimal, ce spune ca variatiile cursului bursier, n timpulunor momente succesive, sunt independente, el obtine o ecuatie cu derivate partiale identica,
formal, cu cea obtinuta de Fourier aproape un secol mai devreme pentru a descrie propagarea
caldurii n corpurile omogene.
Totusi, abordarea lui Bachelier a fost privita cu nencredere de la nceput pentru ca ideile
teoriei utilitatii si ale aversiunii pentru risc reprezentau, la acel moment, fundamentul teoriei
economice. Daca majoritatea investitorilor au o aversiune pentru risc, aceasta poate influ-enta pretul unei optiuni? Aceasta problema a fost rezolvata de Black - Scholes (1973) care
considera un univers n care preturile actiunilor evolueaza ca un proces brownian geometric
cu o volatilitate constanta. Aceasta solutie eleganta data pentru evaluarea optiunilor este,
neasteptat, independenta de atitudinea investitorilor fata de risc.
3.1. Valoarea teoretica a pretului actiunii-suport
Asimilarea cursului activelor-suport (materii prime, actiuni, devize) unor miscari brown-
iene este un fapt absolut natural. Atunci cnd un operator speculeaza, el revizuieste n
fiecare moment strategia sa de investitie n functie de evolutia cursului bursier. Astfel, el
va ncerca sa cumpere mai mult cnd cursul este scazut si sa vnda atunci cnd cursul este
ridicat. Deci cursurile bursiere se aseamana cu miscarile browniene, dar nu se stie daca
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
39/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
40/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
41/107
Capitolul III: Modelul Black - Scholes 41
3.2. Evaluarea optiunilor europene
Sa ne imaginam ca am vrea sa evaluam o optiunecall(o optiune de cumparare) europeana
pe o actiune ce nu distribuie dividende. Cunoastem urmatoarele elemente: cursul curent alactiunii, data scadentei, pretul de exercitare, comportamentul avut n trecut al actiunii.
Scopul este de a determina care este valoarea de astazi a optiunii, adica care este prima ce
trebuie platita astazi pentru a deveni detinatorul optiunii. A fi detinatorul optiunii nseamna
a avea posibilitatea de a obtine unpayo la scadenta.
Metoda clasica folosita n astfel de cazuri, pentru a determina care este valoarea, astazi,
a posibilitatii de a obtine un cash-flowla o data viitoare, este de a calcula valoarea actuala a
acestuicash-flowviitor. Pentru aceasta, este necesar sa cunoastem doua elemente: speranta
matematica a cash-flow-ului viitor si, respectiv, o rata de actualizare convenabila, adica
rata randamentului de pe piata financiara ce corespunde aceleiasi clase de risc ca aceea a
cash-flow-ului ce urmeaza a fi dobndit.
n cazul unei optiuni, aceste doua elemente sunt, a priori, imposibil sa fie determinate
n mod direct. Principiul de evaluare al lui Black - Scholes este, initial, total diferit: el nu
depinde explicit de variatiile cursului actiunii si de speranta matematica apayo-ului.
Black explica3, mult timp dupa descoperirea sa (partajata cu Scholes), principiul care a
stat la baza rationamentului sau. Sa presupunem ca formula pretului optiunii calleuropene
depinde de o serie de variabile, printre care si pretul actiunii. Sa ne imaginam ca aceasta
formula indica faptul ca, daca n decursul unui interval scurt de timp, pretul actiunii creste
cu 1, atunci pretul optiunii creste cu 0,5 si daca pretul actiunii scade cu 1, atunci pretul
optiunii scade cu 0,5. Atunci, este posibila constituirea unui portofoliu fara risc utiliznd
strategia urmatoare: vnzarea a doua optiuni (pozitie scurta) si cumpararea unei actiuni
(pozitie lunga). n decursul unui interval scurt de timp, pierderea realizata din pozitia avuta
3 A se vedea Black F., (1989), How we came up with the Option Formula, Journal of Portofolio
Management.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
42/107
42 Evaluarea activelor financiare
asupra unuia dintre cele doua active este compensata de cstigul obtinut din pozitia opusa
avuta asupra celuilalt activ. Acest portofoliu de acoperire (hedging), fiind fara risc, are un
randament egal cu rata fara risc. n caz contrar, ar exista oportunitati de arbitraj.
n consecinta, posibilitatea de a forma un portofoliu de acoperire (sau un portofoliu
fara risc) reprezinta baza principiului de evaluare a produselor derivate. Acest principiu al
portofoliului de acoperire, la care se adauga principiul absentei oportunitatilor de arbitraj,
a permis lui Black - Scholes sa obtina formula pretului optiunii callsauputeuropene.
Relatia ntre variatia pretului actiunii si variatia pretului optiunii se modifica n fiecare
moment. Portofoliul de acoperire, pentru a putea fi efectiv fara risc, trebuie modificat nmod continuu. n acest caz, spunem ca portofoliul de acoperire este instantaneu fara risc.
Altfel spus, portofoliul de acoperire este fara risc doar ntr-un interval de timp foarte scurt.
Sa consideram ca pretul optiunii call europene, notat cu , este o functie de pretul
actiunii, si de timp, =( ). Stiind care este definitia procesului stocastic ce defineste
evolutia cursului actiunii, putem aplica lema lui It pentru a determina dinamica pretului
optiunii.
=
+
+
1
222
2
2
+
(9)
unde
+
+ 1222
22
reprezinta tendinta instantanee a pretului optiunii, iar
reprezinta volatilitatea instantanee a optiunii.
Sa constituim portofoliul fara risc. n ecuatia dinamicii pretului actiunii, termenul aleator
este , n timp ce, n cazul dinamicii pretului optiunii, termenul aleator este .
Pentru ca acesti doi termeni sa se anuleze, trebuie ca pozitia luata pe o optiune sa fie opusa
pozitiei pe
actiuni. Astfel, strategia fara risc adoptata este urmatoarea: vnzarea unei
optiuni (pozitie scurta pe optiune) si cumpararea a
actiuni (pozitie lunga pe actiuni).
Valoarea portofoliului este:
=
+
(10)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
43/107
Capitolul III: Modelul Black - Scholes 43
Variatia valorii portofoliului ntr-un interval de timp foarte scurt este:
= +
(11)
nlocuind n expresia de mai sus dinamicile celor doua active si, se obtine:
=
1
222
2
2
(12)
Acest portofoliu este fara risc si, prin urmare, randamentul sau este egal cu rata fara risc.
Daca randamentul portofoliului ar fi diferit fata de rata fara risc, investitorii ar profita de o
oportunitate de arbitraj. Aceasta oportunitate ar putea fi exploatata n doua modalitati:
1) Daca rentabilitatea portofoliului este superioara ratei fara risc, investitorul mprumuta
capital la rata fara risc pentru a-l reinvesti cumparnd portofoliul ce ofera un randa-
ment mai bun.
2) Daca portofoliul genereaza o rentabilitate inferioara ratei fara risc, investitorul l va vinde
fara sa-l aiba (vnzare pe descoperit) si va plasa capitalul obtinut la rata fara risc.
Asadar,
= (13)
unde reprezinta rata dobnzii fara risc. nlocuind expresiile lui si , se obtine:
1
222
2
2
=
+
sau
+
+
1
222
2
2 = 0 (14)
Pretul optiunii calleuropene verifica o ecuatie cu derivate partiale, avnd conditia finala:
() = max ( 0), undeeste pretul de exercitare. Aceasta ecuatie mai este cunos-
cuta sub numele de ecuatia cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton. Se remarca
faptul ca n ecuatia cu derivate partiale nu intervine nici o variabila ce depinde de gradul de
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
44/107
44 Evaluarea activelor financiare
aversiune fata de risc al investitorilor. Singurele variabile sunt: timpul, volatilitatea actiunii
sau rata dobnzii fara risc. Nici una dintre ele nu depinde de preferinta pentru risc a investi-
torilor. Cursul actiunii este presupus a fi un curs de echilibru si, prin urmare, preferintele
pentru risc ale investitorilor sunt deja incluse n valoarea acestei variabile.
Ecuatia cu derivate partiale nu ar fi independenta de gradul de aversiune fata de risc
daca ea ar ncorpora rentabilitatea instantanee a actiunii, . Acesta variabila depinde de
aversiunea pentru risc a investitorilor.
Pentru ca ecuatia cu derivate partiale este independenta de gradul de aversiune fata de
risc, un rationament ingenios poate fi folosit. Daca parametrul riscului nu apare n ecuatie,atunci acesta nu are nici un impact asupra solutiei ecuatiei. Astfel, arbitrar, se poate alege
absolut orice nivel de aversiune fata de risc. n mod evident, ipoteza cea mai simpla este de
a presupune ca investitorii sunt neutri fata de risc.
ntr-un univers neutru la risc, speranta matematica a rentabilitatii oricarui titlu financiar
este rata dobnzii fara risc. n consecinta, sub o probabilitate neutra la risc , valoarea
optiunii este egala cu speranta matematica a payo-ului optiunii actualizata la rata fara
risc:
=[max( 0)] (15)
Astfel, plasarea ntr-un univers neutru la risc este un simplu artificiu de calcul ce conduce
la o rezolvare facila a ecuatiei cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton.
3.3. Teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac
Solutia probabilistica a ecuatiei cu derivate partiale:
+
+
1
222
2
2 = 0 (16)
este data de teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
45/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
46/107
46 Evaluarea activelor financiare
Ecuatia diferentiala stocastica (22) are o solutie unica data de:
( ) =( )exp() +
Z
()exp() (24)
de unde pretul optiunii la data curenta este definit de:
= exp()( )
Z
( )exp()
(25)
Sa aplicam, sub o probabilitate neutra la risc, operatorul speranta matematica asupra
acestei egalitati. Admitnd ca speranta matematica a integralei stocastice
Z ()exp()
este nula, pretul optiunii calleuropene este dat de:
=( )
(26)
Stiind ca( ) = ()+ = max( 0), pretul optiunii la data curenta se poate
scrie:
=[max( 0)] (27)
3.4. Formula pretului teoretic a lui Black - Scholes
n acest paragraf, vom prezenta calculul explicit al formulei pretului teoretic al optiunii
dupa modelul Black - Scholes. Am vazut n metodele prezentate ca, sub o probabilitate
neutra la risc, pretul optiunii este dat de speranta matematica a valorii finale a optiunii
actualizata la rata dobnzii fara risc. Mai precis, pentru o optiunecalleuropeana, pretul
teoretic este definit de:
=[max( 0)]
Aplicnd definitia sperantei matematice, pretul optiunii se scrie:
= Z
max( 0) () (28)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
47/107
Capitolul III: Modelul Black - Scholes 47
unde()este functia de densitate a pretului final al actiunii ntr-un univers neutru la risc.
Aceasta densitate este data de legea log-normala:
() = 1
2
exphln ln
2
2 i222
(29)
Astfel, pretul optiunii callse scrie:
=Z
max( 0) 1
2exp
hln ln
2
2
i2
22
(30)
Prin schimbarea de variabila: = ln
, se obtine =, iar pretul optiunii poatefi rescris n termeni de randament (se interpreteaza ca fiind randamentul activului-suport
la scadenta):
=Z
max 0
1
2exp
h
2
2
i2
22
(31)
unde () este functia de densitate a legii normale ce descrie distributia randamentului
actiunii la scadenta:
() = 1
2exp
h
2
2
i2
22
(32)
Pentru a elimina functia max din expresia pretului optiunii, se utilizeaza faptul ca
ln . Prin urmare, pretul optiunii se scrie:
= Zln
1
2exp
h 22 i2
22
= 1 2
unde
1 =
Zln
1
2exp
h
2
2
i2
22
(33)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
48/107
48 Evaluarea activelor financiare
2 =
Zln
1
2exp
h
2
2
i2
22
(34)
Sa determinam fiecare termen ce apare n expresia pretului. n cazul termenului2, facem
schimbarea de variabila=
2
2
:
2 =
Z2
12
exp
2
2
(35)
unde
2 =ln
+ 2
2
(36)
Dar () = 12
exp2
2
reprezinta functia de densitate a legii normale normate. Ex-
ploatnd simetria acestei legi de distributie, avem
Z2
() =
Z 2
() (37)
Termenul2se va scrie:
2 = Z 2
() = (2) (38)
unde (2)reprezinta functia de repartitie a legii normale normate.
n cazul termenului 1, facnd aceeasi schimbare de variabila, se obtine:
1 =
Z2
exp
2
2+
1
2exp
2
2
=
Z
2
12
exp
"(
)
2
2
#
Fie = . Termenul 1 devine:
1=
Z2
12
exp
2
2
=
Z 2+
12
exp
2
2
Asadar, acest termen este egal cu:
1 = Z 1
12
exp2
2 = (1) (39)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
49/107
Capitolul III: Modelul Black - Scholes 49
unde (1)reprezinta functia de repartitie a legii normale normate, iar 1este definit de:
1 = 2+ =
ln
++
2
2
(40)
n aceste conditii, formula pretului teoretical optiunii calleuropene a lui Black - Scholes
este urmatoarea:
=(1)(2) (41)
unde
1 =ln
++
2
2
(42)
2 =ln
+ 2
2
=1 (43)
iar () este functia de repartitie a legii normale normate. Aceasta este probabilitatea
ca o variabila ce urmeaza o lege normala normata, (0 1), sa fie inferioara lui ,
() =( ). Principalele proprietati ale lui ()sunt:
1. (0) = 12
2. () = 13. () = 1()
(2)si(1)se mai numesc impropriu probabilitati neutre la risc, cnd, de fapt, numai
(2)este probabilitatea neutra la risc.
Utiliznd aceeasi metoda, se poate determina pretul teoretic al unei optiuni puteuropene,
stiind ca valoarea acesteia la scadenta este: P() = max ( 0). Mai simplu, se poate
utilizarelatia de paritate call-put:
P+ =+ (44)
unde Preprezinta pretul optiuniiput. nlocuind n aceasta relatie formula teoretica a pretului
optiunii call, se obtine formula Black - Scholes a pretului optiunii puteuropene:
P=(2)
(1) (45)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
50/107
50 Evaluarea activelor financiare
unde 1 si2 sunt definiti de relatiile (42) si (43).
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
51/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii
Ratiunea existentei studiilor privind evaluarea obligatiunilor este cautarea unui raspuns
la o ntrebare firesca: care este pretul ce trebuie platit emitentului de catre cumparatorul
obligatiunii la debutul contractului, astfel nct acesta sa fie un pret corect att pentru
emitent, ct si pentru detinatorul obligatiunii?
Dintr-o anumita perspectiva, valoarea (sau pretul) unei obligatiuni este, pur si simplu,
valoarea actuala a fluxurilor monetare pe care detinatorul obligatiunii se asteapta sa se
realizeze pe durata de viata a titlului de creanta. n mod evident, aceasta perspectiva este
criticabila pentru ca nu este deloc realist sa se presupuna ca rata dobnzii ramne constanta
pe ntreaga durata de viata a obligatiunii. Dupa ce obligatiunea a fost emisa, valoarea ei se
schimba n decursul timpului pna la scadenta datorita fluctuatiilor ratei dobnzii.
Mai nti, sa presupunem ca rata dobnzii este o functie determinista de timp, iar apoi
sa consideram ca rata dobnzii este un proces stocastic, pentru a determina pretul teoretic
al unei obligatiuni.
4.1. Rata dobnzii determinista
Fie()rata dobnzii determinista definita pentru [0 ], undeeste data prezenta si
este data scadentei obligatiunii. Firesc, pretul obligatiunii este o functie de timp si de rata
dobnzii. n acest punct, sa presupunem ca rata dobnzii nu este o variabila de stare, dar
ca ea este o functie cunoscuta de timp. Prin urmare, pretul obligatiunii poate fi considerat
51
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
52/107
52 Evaluarea activelor financiare
ca fiind o functie numai de timp. Fie() si (), ce semnifica pretul obligatiunii, respec-
tiv valoarea cuponului. Conditia finala este: () = , unde este valoarea nominala.
Ecuatia ce guverneaza pretul obligatiunii,(), , este o ecuatie diferentiala ordinara de
ordinul nti. Fie un interval foarte mic de timp de la data prezenta,. Atunci, variatia
valorii obligatiunii este
, iar cuponul consumat este () . n absenta oportunitatilor
de arbitraj, suma acestor doua componente trebuie sa fie egala cu rata dobnzii fara risc
() () n intervalul de timp . Astfel,
+ () = () (1)
Stiind conditia finala() =, , aceasta ecuatie are ca solutie analitica:
() = ()
+
Z
() ()
(2)
n limbaj financiar, pretul obligatiunii este valoarea prezenta a valorii nominale si a
cuponului consumat. n raport cu valorile luate de () si(), pretul obligatiunii poate fi o
functie crescatoare sau descrescatoare de timp.
4.2. Evaluarea obligatiunilor zero-cupon
n acest paragraf, vom arata cum se obtine ecuatia ce guverneaza pretul obligatiu-
nii folosind principiul absentei oportunitatilor de arbitraj. Sa presupunem ca rata spot
a dobnzii urmeaza un proces stocastic continuu care este descris de urmatoarea ecuatiediferentiala stocastica:
= ( ) + ( ) (3)
undereprezinta o miscare browniana standard, iar ( ) si2 ( )reprezinta tendinta,
respectiv varianta instantanee a ratei dobnzii (). n aceasta analiza, pretul obligatiunii
depinde numai de rata spot a dobnzii (), de data curentasi de data scadentei. Astfel,
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
53/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 53
vorbim de modele de evaluare cu un singur factor atunci cnd valoarea activului financiar
depinde de o singura variabila stocastica1, rata dobnzii spot().
Daca scriem pretul obligatiunii ca o functie de rata spot si de timp, ( ), putem aplica
lema lui It, care ne va da dinamica pretului obligatiunii:
=
+
+
1
22
2
2
+
(4)
Daca scriem:
= + (5)
atunci
= 1
+
+
1
22
2
2
(6)
= 1
(7)
unde si reprezinta randamentul (sau tendinta) instantaneu, respectiv volatilitatea
instantanee a obligatiunii. Pentru a obtine ecuatia pretului obligatiunii, putem utiliza diferite
metode de evaluare.Pentru a fi acoperit mpotriva variatiilor pretului obligatiunii cauzate de variatiile unui
alt activ, agentul economic poate sa adopte o pozitie scurta sau lunga asupra acestui activ
declansator de variatii. Deoarece rata dobnzii nu este un activ negociabil, aceasta operati-
une dehedgingeste imposibila. n aceste conditii, agentul economic este obligat sa plateasca
o prima de risc pentru a fi acoperit mpotriva variatiilor ratei dobnzii.
Sa vedem n ce modalitate putem realiza o operatiune de hedgingpentru obligatiuni de
maturitati diferite. Vom construi urmatorul portofoliu: vom cumpara o obligatiune de o
unitate monetara n valoare de 1 cu maturitatea 1 si vom vinde o alta obligatiune de o
unitate monetara n valoare de2cu maturitatea2. Valoarea portofoliului este data de:
=2 1 (8)1 O singura variabila de stare.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
54/107
54 Evaluarea activelor financiare
n raport cu dinamica (5) pretului obligatiunii, variatia valorii portofoliului n timpuleste
data de:
= [2(2) 1(1)] + [2(2) 1(1)] (9)
Sa presupunem ca1 si2 sunt definite de relatiile urmatoare
1= (2)
(2) (1) (10)
2= (1)
(2) (1) (11)
astfel nct termenul stocastic din ecuatia portofoliului sa dispara. Ecuatia ce guverneaza
valoarea portofoliului devine:
=
(1) (2)
(2) (1) (2) (1)
(2) (1)
(12)
n cazul n care investitorii au o atitudine neutra fata de risc, pe piata financiara se
produce un fenomen fundamental: toate activele financiare au acelasi randament sperat,
egal cu rata dobnzii f ar a risc n absenta oportunit atilor de arbitraj. n consecinta, ntr-un
univers neutru la risc, exista o singura rata de actualizare, aplicabila la oricare flux monetar:
rata dobnzii fara risc. Sa dam o definitie riguroasa: sub ipoteza absentei oportunitatilor de
arbitraj si a unui univers neutru la risc, daca exista un activ fara risc, exista o probabilitate
pentru starile posibile ale naturii la care speranta matematica a randamentului unui activ
financiar este egala cu randamentul activului fara risc.
Atunci cnd portofoliul de obligatiuni este fara risc, pentru a bloca oportunitatile de
arbitraj, randamentul sau trebuie sa fie egal cu rata dobnzii fara risc, = ().
Asadar, n absenta oportunitatilor de arbitraj: (1) (2)
(2) (1) (2) (1)
(2) (1)
= ()
de unde, prin combinarea termenilor,
(2) ()(2)
=(1) ()
(1) (13)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
55/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 55
Relatia de mai sus ramne valabila pentru orice date de scadenta arbitrare1 si2. Astfel,
raportul ()()()
ar trebuie sa fie independent de orice maturitate . Sa notam acest
raport cu ( ):
( ) =( ) ()
( ) (14)
Cantitatea ( ) se numeste pretul de piat a al riscului de rat a a dobnzii. Acesta se
adauga ratei dobnzii fara risc si conduce la o crestere a sperantei matematice a ratei de
randament instananee a obligatiunii.
Daca nlocuim expresiile lui si n formula pretului de piata al riscului, se obtine:
1
+
+12
2 2
2 = 1
(15)
Prin urmare, n absenta oportunitatilor de arbitraj, pretul obligatiunii este solutia urmatoarei
ecuatii cu derivate partiale:
+ ( )
+
1
22
2
2 = 0 (16)
avnd conditia finala: ( ) = 1. Deoarece rata dobnzii nu este un activ negocia-bil, nu pot fi eliminate preferintele investitorilor pentru risc cuantificate prin ( ). n
consecinta, se poate obtine formula pretului obligatiunii prin rezolvarea acestei ecuatii cu
derivate partiale.
4.3. Un model simplu de evaluare
Sa ne pozitionam n cadrul unui univers neutru la risc. Am vazut ca, n acest caz,
dinamica ratei dobnzii este data de ecuatia:
= [ ( ) ( ) ( )] + ( ) (17)
si ca pretul obligatiunii este solutia unei ecuatii cu derivate partiale:
+ (
)
+1
2
22
2
= 0 (18)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
56/107
56 Evaluarea activelor financiare
Pentru a determina pretul obligatiunii, se pot face cteva ipoteze simplificatoare. Si
anume, sa presupunem ca tendinta instantanee si volatilitatea instantanee a ratei dobnzii
sunt constante. Sa notam acesti parametri cu:
= = constant si = = constant
astfel nct
= +
(19)
Ecuatia cu derivate partiale se va scrie:
+
+12
2 2
2 = 0 (20)
Pentru a determina solutia acestei ecuatii, sa notam durata de viata a obligatiunii cu
= si sa considerama priorica pretul obligatiunii este egal cu:
( ) = exp [+ ()] (21)
Prin urmare, derivatele partiale sunt egale cu:
= exp[+()]
=h
()
i
= exp[+()]
= 22
= 2 exp[+()]2
=2
(22)
Ecuatia cu derivate partiale devine:
+1
222
()
= 0 (23)n consecinta,()este solutia urmatoarei ecuatii diferentiale ordinare:
()
= +1
222 (24)
avnd conditia initiala: (0) = 0. Expresia lui ()va fi:
() =1
6
23
1
2
2 (25)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
57/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 57
nlocuind expresia lui (),formula pretului obligatiuniieste data de:
( ) = exp
1
22 +
1
623
(26)
Avnd expresia pretului obligatiunii, putem deduceformula randamentului la scadent a(yield
to maturity):
( ) =+1
2 1
622 (27)
siformula ratei forward(sau rata la termen):
( ) =+
1
3
22 (28)
Prin integrare, ecuatia diferentiala stocastica (19) are urmatoarea solutie:
=+ +
Z
(29)
Deoarece speranta matematica a integralei stocastice este nula, speranta matematica a ratei
viitoare a dobnzii conditionata de rata curenta a dobnzii este egala cu:
[|= ] =+ (30)
Deci,
( ) =[|= ]1
322 (31)
Prin urmare, rataforwardnu este cel mai bun estimator al ratei viitoare a dobnzii. Eroarea
de estimare este egala cu 13
22. Daca viitorul este cunoscut cu certitudine, termenul sto-
castic dispare, volatilitatea ratei dobnzii va fi nula, = 0, iar rata forwardva fi cel mai
bun estimator al ratei viitoare. Media ratelor dobnzii asteptate sa se realizeze pe durata
de viata a obligatiunii este
1
Z
[|= ] =1
Z
[+ ( )] = +12
(32)
de unde concluzia ca aceasta difera de randamentul la scadenta cu 1622.
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
58/107
58 Evaluarea activelor financiare
Pentru 0, se asteapta ca rata dobnzii sa scada, iar curba randamentului la scadenta
si a ratei forward sunt monoton descrescatoare n raport cu maturitatea. Pentru 0,
acestea cresc si apoi descresc atunci cnd efectul incertitudinii ncepe sa domine. n ambele
cazuri, curbele si mentin ntotdeauna aceeasi forma n decursul timpului. Numai nivelul
lor se schimba dupa cum fluctueaza rata dobnzii. Comportamentul-limita al ratelor este
urmatorul: ( ) si( ) atunci cnd .
Pentru obligatiunile pe termen scurt, pretul acestora scade cu maturitatea. n punctul
n care rata forwarddevine negativa, =
+p
2 + 22
2, derivata devine
pozitiva. Spre exemplu, pentru = 0, = 0 02 si = 10%, pretul minim al obligatiuniise obtine ntre 22 si 23 ani ceea ce nseamna ca modelul nu ofera o buna calibrare a datelor
reale. Comportamentul-limita este: ( ) , atunci cnd .
Evident ca aceste slabe calitati ale modelului provin din ipoteza facuta, si anume ca rata
dobnzii este un proces brownian generalizat (mers la ntmplare). Presupunnd ca rata
dobnzii urmeaza un mers la ntmplare, varianta lui creste fara limita. Astfel, aparitia
unor valori mari pozitive, dar si negative ale ratei dobnzii devin, prin urmare, destul deprobabile. Vasicek (1977) si Cox, Ingersoll si Ross (1985) au contribuit prin modelele lor la
rezolvarea acestor probleme.
4.4. Modelul Vasicek
Vasicek propune un model n care rata spot a dobnzii urmeaza un proces Ornstein -
Uhlenbeck:
= ( ) + (33)
unde , , sunt parametri constanti, strict pozitivi. Parametrul se numeste viteza de
revenire la medie, se numeste media pe termen lung a ratei dobnzii, iar este volatili-
tatea instantanee a ratei dobnzii. Media instantanee a ratei dobnzii este proportionala
cu diferenta ntre valoarea ratei dobnzii si media ei pe termen lung. Astfel, exista o forta
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
59/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 59
ce actioneaza ntotdeauna asupra valorii ratei dobnzii pentru a determina-o sa se ntoarca
spre media ei pe termen lung. Procesul Ornstein - Uhlenbeck se mai numeste si proces de
revenire la medie2.
Sa explicam acest fenomen de revenire la medie ce guverneaza evolutia ratei dobnzii.
Exista argumente macroeconomice n favoarea acestui comportament. Atunci cnd ratele
dobnzii sunt ridicate, economia tinde sa ncetineasca si cererea de fonduri din partea celor
ce se mprumuta este slaba. n consecinta, ratele vor ncepe sa scada. Cnd ratele dobnzii
sunt scazute, cererea de fonduri si numarul celor ce se mprumuta vor fi mari, ceea ce va
duce la o crestere a ratelor. Utiliznd definitia generala a dinamicii ratei dobnzii,
= ( ) + ( )
avem ( ) = ( ) si ( ) =. Sub o probabilitate neutra la risc, ecuatia diferentiala
stocastica se scrie:
= [ ( ) ] + (34)
4.4.1. Procesul stocastic
Sa determinam speranta matematica si varianta ratei viitoare a dobnzii, plecnd de la
definitia procesului Ornstein - Uhlenbeck urmat de variabila de stare. Utiliznd lema lui It
pentru = ( ) , obtinem:
=
(
) +
(
) +
(35)
ceea ce implica:
= (36)
Prin integrare:
=Z
(37)
2 Mean reverting process(engl.).
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
60/107
60 Evaluarea activelor financiare
de unde
( ) = ( ) + Z
(38)
sau
= + ( ) () + Z
() (39)
ceea ce reprezinta forma explicita a solutiei ecuatiei diferentiale stocastice.
Aplicnd operatorul speranta matematica conditional fata de rata dobnzii la data curenta
, obtinem:
[|= ] =+ (
) () (40)
Sa determinam varianta conditionata a ratei viitoare a dobnzii. Astfel, stiind care este
varianta unei integrale stocastice, obtinem:
[|= ] = 2
Z
2()= 22Z
2
= 22
2 22
=
2
2 1 2()
Deci,
[|= ] =2
2
1 2()
(41)
n concluzie, daca rata curenta a dobnzii, , este cunoscuta, rata viitoare a dobnzii,
, este o variabila gaussiana de speranta matematica + ( ) () si de varianta2
2 1 2()
.
Mai general, daca , este o variabila aleatoare gaussiana independenta demiscarea browniana , familiaeste un proces gaussian de speranta matematica:
[] =
1 ()
+ [] (42)
si de varianta:
[] =2() [] +
2
2 1 2() (43)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
61/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 61
Mai mult, media temporala a ratelor spot ale dobnzii este o variabila aleatoare gaussiana
de speranta matematica:
Z
|F = Z
[|F] = Z
+ ( ) () = ( ) +
= ( ) + ( )1 ()
(44)
si de varianta:
Z
|F= 2
23 1 ()2 +2
2 ( )1
()
(45)4.4.2. Pretul obligatiunii zero-cupon
Prin urmare, am vazut care sunt proprietatile procesului Ornstein - Uhlenbeck. Astfel,
stim ca att rata viitoare a dobnzii, ct si media temporala a ratelor dobnzii sunt variabile
gaussiene. Sa evaluam pretul obligatiunii atunci cnd rata dobnzii urmeaza un proces
de tip Ornstein - Uhlenbeck. Sa rescriem ecuatia cu derivate partiale verificata de pretulobligatiunii, cnd ( ) = ( ) si ( ) =:
+ [ ( ) ]
+
1
22
2
2 = 0 (46)
Sa consideram ca pretul de piata al riscului, , este constant si sa rezolvam aceasta
ecuatie pentru a obtine pretul teoretic al obligatiunii. Sa presupunem ca solutia este de
tipul:( ) = exp [ () + ()] (47)
nlocuind aceasta solutie n expresiile derivatelor partiale, se obtine:
= () ()
= ()
22
=2 ()
(48)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
62/107
62 Evaluarea activelor financiare
de unde
+ [ ( ) ] +1
222
= 0
fie:
1
=
( ) 1
222 (49)
Aceasta ecuatie este verificata pentru orice valoare a lui. Pentru aceasta, termenul care
se multiplica cu si cel independent de trebuie sa fie nuli. Deci avem un sistem de doua
ecuatii diferentiale ordinare:
= 1 (50)
= ( ) +12
22 (51)
cu conditia initiala: (0) = 0 si(0) = 0care provine din ( ) = 1. Solutiile sunt:
() = 1
(52)
() =
2
22
+
2
22
1
+
2
43 1 2
= + 1
2
43
1 2 (53)unde = . Asadar, rezolvnd sistemul de ecuatii diferentiale, se obtine urmatoarea
formul a a pretului obligatiunii:
( ) = exp
+
1
2
43
1 2
(54)
n carereprezinta randamentul unei obligatiuni zero-cupon de maturitate infinita. Acesta
este egal cu:
=
2
22 (55)
Folosind ecuatia diferentiala stocastica (??), dinamica pretului obligatiunii se scrie:
= (+ ()) + ()
= 1
1
(56)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
63/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 63
Rata randamentului instantaneu al obligatiunii zero-cupon si volatilitatea sa instantanee
sunt egale cu:
=
1
(57)
=1
(58)
n modelul Vasicek, formula ratei forwardeste urmatoarea:
( ) = ( ) + 2
22
1
(59)
iarprima de lichiditateeste definita de:
( )[|F] = ( ) + 2
22
1
( )
=
+
2
22
1
(60)
Acest model este criticabil din mai multe puncte de vedere: coeficientii sunt constanti n
timp, iar rata lunga de maturitate infinita,(), este constanta, ceea ce nu se observa n
practica.
Volatilitatea obligatiunii este = 1
. Prin urmare, cu ct maturitatea este mare,
cu att volatilitatea este ridicata. De asemenea,
() =+
(61)
() =
(62)
Formula randamentului la scadent ase determina usor, stiind ca( ) = 1ln ( ):
( ) =+ ( )1
+
2
43
1
2(63)
Daca studiem curba ( ), observam ca:
( ) = () si ( )
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
64/107
64 Evaluarea activelor financiare
n plus, daca () 242 , curba este strict crescatoare; daca 2
42 () + 222 ,
curba este, mai nti, crescatoare si apoi descrescatoare; daca + 2
22 (), curba este
strict descrescatoare.Graficul curbei de rate ale dobnzii corespunde numeroaselor curbe observate pe piata.
Cu toate acestea, exista anumite curbe ce nu pot fi descrise de modelul Vasicek. Pe de o
parte, problema de calibrare a parametrilor nu este rezolvata de o maniera satisfacatoare,
iar, pe de alta parte, () si ()nu sunt cu adevarat date observabile. n plus, exista o
probabilitate la care ratele pot fi negative.
4.5. Modelul Cox - Ingersoll - Ross
Pentru a rezolva inconvenientele modelului Vasicek, Cox - Ingersoll - Ross au propus un
model n care rata spot a dobnzii urmeaza un proces3 der ad acin a patrat ace verifica ecuatia
diferentiala stocastica urmatoare:
= (
) +
(64)
Pretul de piata al riscului este considerat a fi ( ) =
, iar este presupus constant.
Astfel, ntr-un univers neutru la risc, dinamica ratei spot a dobnzii este data de ecuatia:
= [ ( ) ] +
(65)
Cox - Ingersoll - Ross presupun ca pretul de piata al riscului face parte implicit din
structura stocastica a ratei dobnzii. Astfel, daca
=+ si =
+
ntr-un univers neutru la risc, ecuatia diferentiala stocastica se scrie:
= ( ) +
(66)
3 Square root process(engl.).
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
65/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 65
Altfel spus, n ecuatia diferentiala stocastica generala,
= [ ( ) ( ) ( )] + ( )
avem relatiile:
( ) ( ) ( ) = ( ) (67)
( ) =
(68)
( ) = ( ) (69)
4.5.1. Procesul stocastic
Sa aratam acum care sunt proprietatile statistice ale unei variabile care urmeaza un
proces de radacina patrata. Daca rata dobnzii este descrisa de un proces de radacina
patrata, speranta matematica conditionata si varianta conditionata sunt date de:
[|] =+
1
(70)
[|] =
2 2 +
2 1
2
2 (71)
Sa demonstram aceste relatii. Integrnd ecuatia diferentiala stocastica (64) ce defineste
dinamica ratei dobnzii, avem pentru
=+
Z
( ) + Z
(72)
Aplicnd formula lui It:
2 = 2 + 2Z
( ) + 2 Z
+ 2 Z
32 (73)
= 2 +
2+ 2 Z
2Z
2 + 2
Z
32
Deoarece integralele stocastice ce intervin n egalitatile de mai sus sunt de speranta
matematica nula, se obtine:
() =+ Z
() (74)
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
66/107
-
8/10/2019 Bogdan Negrea-Evaluarea Activelor Financiare
67/107
Capitolul IV: Curba ratelor dobnzii 67
Teorema. Pentru orice si pentru careRe [] 0 si Re [] 0, avem
= ()()
unde functiile () si () sunt date de
() = 22
ln
" 2
(+)2
2( 1) + + (+ )
#
si
() =[+ + ( )] + 2 ( 1)
2( 1) + + (+ )cu : = p2 + 22.
Sa dam o demonstratie a acestei propozitii.
Demonstratie. Faptul ca speranta matematica ce urmeaza a fi calculata poate sa fie
de forma ()() rezulta din proprietatea de aditivitate4 a procesului n raport cu
parametrul si cu conditia initiala . Daca, fixnd si , consideram functia ( )
definita de:
( ) =h 0 ()ivom cauta ( )ca solutie a problemei urmatoare5:
= 2
2
22
+ ( )
(0 ) =
Daca functia verifica aceste ecuatii si daca ea are derivate marginite, lema lui It implica,
pentru orice, ca procesul( 0 ), definit prin relatia urmatoar