EvaluareaactivelornanciareBogdanNEGREADoctor n stiinte economice al universit atii Paris I Panthon-Sorbonne. Lector la Catedra de Moned a,ASE Bucuresti. Cercet ator asociat TEAM/CNRS, Universit Paris I Panthon-Sorbonne.12EvaluareaactivelornanciareBogdanNEGREACopyright c 20063CuprinsCapitolulI:Optiunile. Denitii,propriet ati siprincipiifundamentale. . . . . . . 71.1. Denitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Optiunea de cump arare european a (optiuneacall european a) . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Optiunea de vnzare european a (optiunea puteuropean a). . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.3. Optiuni americane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4. Optiuni in the money, at the money si out of money . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5. Piata optiunilor si activele-suport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Evaluarea optiunilor si arbitrajul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Valoarea teoretic a a unei optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Arbitrajul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Paritatea call-putpentru optiunile europene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Limita superioar a si inferioar a a pretului unei optiuni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.4.1. Limita superioar a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2. Limita inferioar a a unuicall european . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. Limita inferioar a a unuiputeuropean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. Factorii care determin a valoarea unei optiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21CapitolulII:Procesestocastice. LemaluiIt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Miscarea brownian a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442.1.1. Miscare brownian a generalizat a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Integrala stocastic a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1. Propriet ati ale integralei stocastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Procesul It. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Lema lui It. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.4.1. Un exemplu: miscarea brownian a geometric a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34CapitolulIII:ModelulBlack-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1. Valoarea teoretic a a pretului actiunii-suport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. Evaluarea optiunilor europene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Formula pretului teoretic a lui Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46CapitolulIV:Curbaratelordobnzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1. Rata dobnzii determinist a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Evaluarea obligatiunilor zero-cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Un model simplu de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4. Modelul Vasicek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.1. Procesul stocastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2. Pretul obligatiunii zero-cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. Modelul Cox - Ingersoll - Ross. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6454.5.1. Procesul stocastic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5.2. Pretul obligatiunii zero-cupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Bibliograe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Capitolul I: Optiunile. Denitii, pro-priet ati siprincipiifundamentale1.1. DenitiiO optiune reprezint a un contract ntre dou a p arti: cump ar ator - numit si detin ator - sivnz ator.Acest contract confer a detin atorului optiunii dreptul, dar nu si obligatia, de a cump ara(optiune de cump arare) sau de a vinde (optiune de vnzare) un bun dat, numit activ-suport,launpretx, numitpretdeexercitare, laodat aviitoarespecicat a(ncazul optiuniieuropene) sau n orice moment nainte de aceast a dat a (n cazul optiunii americane).1.1.1. Optiuneadecump arareeuropean a(optiuneacall european a)S a examin am o optiune de cump arare (call ) european a asupra a 100 de actiuni Volkswa-gen, cu scadenta la sfrsitul lunii decembrie 2004, la un pret de exercitare de 120 euro/actiune(presupunem c a ast azi ne a am n data de 10 septembrie 2004 si actiunea Volkswagen estecotat a la 140 euro). Aceast a optiune de cump arare european a d a dreptul detin atorului de acump ara la sfrsitul lunii decembrie 2004, 100 de actiuni Volkswagen la pretul de exercitare(xatlamomentul ncheierii contractului deoptiune), de120euro/actiune, dac adoresteacestlucru. Lascadentaoptiunii, lanelelunii decembrie2004, detin atorul optiunii decump arare nu este obligat s a cumpere actiunile Volkswagen la un pret de 120 euro. El are78 Evaluareaactivelornanciareposibilitatea de a alege ntrea cump ara la pretul de 120 euro sau a nu cump ara deloc. ncazul n care cump ar a, spunem c a si-a exercitat optiunea de cump arare.La scadent a, respectiv la sfrsitul lunii decembrie 2004, detin atorul optiunii de cump araresi va exercita optiunea dac a are interesul s a fac a acest lucru,adic a n cazul n care cursulactiuniiVolkswagen,la acea dat a,estesuperior pretuluideexercitarede120 euro (nu amluat n calcul cheltuielile de tranzactie). De exemplu,dac a la scadent a cursul actiunii estede130, detin atorul optiunii si vaexercitaoptiunea, adic avacump ara(delacel carei-avndut optiunea la data de 10 septembrie) cele 100 actiuni la pretul de 120 si le va revindeinstantaneu la burs a la pretul de 130. El va realiza un cstig net (payo ) de 10 euro/actiune,adic a 1000 euro n total.Dac a, la scadent a, cursul actiunii Volkswagen este inferior pretului de exercitare de 120,atunci detin atorul optiunii nu si va exercita optiunea,adic a nu va cump ara. n acest caz,cstigul net la scadent a (payo ) va 0.Lundncalculnumaiuxurilemonetarecarepots aaib aloclascadent a,detin atoruloptiunii decump ararenupoates arealizezeuncstignet (payo ) negativ; el poates arealizeze doar un cstig net nul sau pozitiv. Dac a not am cu Wdata scadentei, cu VWcursulaleator al actiunii n ziua scadentei, cuNpretul de exercitare al optiuniicall (120 euro nexemplu), atuncipayo -ul la scadent a al optiuniicall este:max (VW N> 0) (1)Pentru detin atorul optiunii de cump arare niciodat a nu rezult a pierderi la scadent a. Acestlucru este posibil deoarece detin atorul optiunii de cump arare a pl atit o prim a n ziua ncheieriicontractului deoptiune, adic aaintrat nposesiaacestui avantaj decarebeneciaz alascadent a.n ziua ncheierii contractului de optiune, cele dou a p arti sunt:- cump ar atorul avantajului dat de contractul de optiune la scadent a (cump ar atorul opti-Capitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 9unii);-vnz atorulacestuiavantajdecarevabeneciacump ar atorullascadent a(vnz atoruloptiunii).nmomentul ncheierii contractului, primaestepl atit adec atrecump ar atorul optiuniivnz atorului acestui contract.n momentul scadentei, cump ar atorul beneciaz a de avantajul unui payonul sau pozi-tiv, n timp ce vnz atorul suport a inconvenientul unuipayonul sau negativ.Lascadent a, vnz atorul optiunii estelegatdemini si depicioare, neputnds a-simanifeste vointa. El trebuie s a urmeze decizia cump ar atorului, executnd cerinta acestuia.nschimbul primei pecareoprimestenmomentul ncheierii contractului vatrebui, lascadent a, s a asigure contrapartida a ceea ce doreste cump ar atorul. Dac a acesta nu si exercit aoptiunea, vnz atorul vaobtineunpayo nul. Inconvenientul seproducencazul ncarecump ar atorul optiunii si exercit a optiunea.n cazul optiunii de cump arare european a din exemplu, exercitarea const a n a cump aracele 100 de actiuni Volkswagen la pretul de 120 euro, n timp ce pe piat a cursul este de 130euro. Dac a vnz atorul nu posed a cele 100 de actiuni Volkswagen,el trebuie s a le cumperede pe piat a la pretul de 130 euro pentru a le revinde imediat la 120 euro contrapartidei dincontractul deoptiune. Astfel, el obtineunpayo negativde10euro/actiune, adic a100euro pertotal,egalcu unpayopozitiv ncasatdecump ar ator (presupunem c a nu exist acheltuieli de tranzactie).Nutrebuie confundat acump arareaoptiunii cucump arareaactivului-suport pe careestebazat aoptiunea. nexempluldemaisus, estevorbadespreooptiunedecump arare(call ). Cele dou a p arti ale contractului de optiune sunt cump ar atorul optiunii de cump arare(cump ar ator decall ) si vnz atorul optiunii de cump arare (vnz ator decall ).10 Evaluareaactivelornanciare1.1.2. Optiuneadevnzareeuropean a(optiuneaput european a)Optiuneadevnzareeuropean a confer a detin atoruluidreptul,darnu siobligatia,deavinde la scadent a activul-suportla un pret convenit nainte(pret de exercitare). Pentru aobtine acest drept,cump ar atorul optiunii pl ateste o prim a vnz atorului. n contrapartid a,acesta din urm a, se angajeaz a s a cumpere, la scadent a, activul-suport la pretul de exercitare,dac a detin atorul optiunii doreste s a vnd a.Ca sincazuloptiuniidecump arare(saucall ), silaoptiuneadevnzare(sauput)sereg asescceledou ap arti dincontractul deoptiune. Unadintrep arti pl atesteoprim anfavoarea celeilalte p arti n momentul ncheierii contractului, pentru ca aceasta s a accepte, lascadent a, s a se supun a vointei sale. La scadent a, avantajele sunt de partea cump ar atoruluioptiunii (payo nul saupozitiv)iarinconvenientelesuntdeparteavnz atorului optiunii(payonul sau negativ).Avantajul pentrudetin atorconst andreptul, darnusi obligatia, deavindeactivul-suport la pretul de exercitare. El si va exercita acest drept dac a pretul activului-suport pepiat a este inferior pretului de exercitare. n acest caz, a exercita un putnseamn a a cump araactivul-suport de pe piat a la pretul pietei si a-l revinde imediat la pretul de exercitare celuicare s-a angajat nainte s a accepte tranzactia.Folosind aceleasi notatii,payo -ul pentru detin atorul deput, la scadent a, este:max (N VW> 0) (2)Payo -ul optiunii ncasat de c atre cump ar ator si suportat de c atre vnz ator, n functiede preturile posibile ale activului-suport n ziua scadentei, este reprezentat de patru grace,numite diagramele Bachelier (dup a numele autorului).Matematicianul francez Bachelier a publicat n 1900 teza de doctorat intitulat a Teoriaspeculatiei, n care a propus o modelare a evolutiei aleatoare a pretului actiunilor n timp.Diagramele Bachelier arat a c a, la scadent a, payo -ul cump ar atorului este nul sau pozitiv siCapitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 11cel al vnz atorului este nul sau negativ. Acest lucru este valabil att pentru o optiune call ctsi pentru o optiuneput. n cazul optiuniicall, cump ar atorul obtine unpayopozitiv dac apretul activului-suport este superior pretului de exercitare, n timp ce n cazul unei optiuniput, acestaobtineunpayo pozitivdac apretul activului-suportesteinferiorpretului deexercitare.Graficul 1.1 Payoff la scaden (opiuni europene) Payoff Cumprtor de call PayoffCumprtor de put ST- reprezint preul activului-suport n ziua scadenei T K -reprezint preul de exercitare PayoffVnztor de call Vnztor de put KPayoffK450 450450 0 ST 0 ST0 ST0ST45qKK1.1.3. OptiuniamericaneOptiunile americane se aseam an a cu cele europene, singura diferent a considerabil a con-stnd n faptul c a ele pot exercitate n orice moment ntre ncheierea contractului de optiunesi datascadentei. Termenii european si americannuauniciosemnicatieprecis a siajut adoarladistinctiantreceledou atipuri deoptiuni (spreexemplu, multeoptiuni de12 Evaluareaactivelornanciarestil americansuntnegociatenEuropa). Exist a si optiuni cepotexercitatenaintedescadent a, dar nu n orice moment. Specialistii le-au numit, n jargonul lor, optiuni Bermude,ind la limita ntre America si Europa. Exist a si optiuni asiatice si exotice; (termenulasiatic nu semnic a faptul c a aceste optiuni au leg atur a cu Asia; ele sunt doar diferite fat adeceleeuropenesau americane). Optiunileeuropene siamericane(celemaisimple simaides ntlnite) mai sunt denumite de specialisti drept optiunile vanilie.1.1.4. Optiuniinthemoney,atthemoney sioutofmoneyOcaracteristic aaoptiunilorcall si put (europenesauamericane)estereprezentat adenivelulpretuluide exercitareraportatla cursulzileialactivului-suport. Dac a optiunea arajunge azi la scadent a, ar trebui s a e exercitat a?Dac a ea trebuie exercitat a, se spune c a optiunea este in the money. n cazul unui call,nseamn a c a avem un curs al zilei superior pretului de exercitare:VA Nn cazul unuiput, cursul zilei este inferior pretului de exercitare:V? NDac a optiunea aajunsla scadent aast azi(dataw) sinu trebuieexercitat a,sespunec aoptiunea este out of money.n cazul unuicall, avem:V? Nn cazul unuiput, avem:VA NO optiunecall sau puteste at the money dac a:V= NCapitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 131.1.5. Piataoptiunilor siactivele-suportContractele pe optiuni sunt n cea mai mare parte produse standardizate si fac obiectultranzactiilor n burs a. Activele-suport sunt formate din actiuni, din devize, din indici bursieripe actiuni (Standard and Poors 100, Standard and Poors 500, CAC 40. . . ), din contractela termen (futures options).Ceamai important apiat adeoptiuni peactiuni (stockoptions) esteChicagoBoardOptionsExchange(CBOE). nStateleUniteexist apatrupieteimportantedeoptiuni peactiuni, printrecareNewYorkStockExchange(NYSE). Peacestepieteamericanesuntnegociate peste 500 de actiuni-suport diferite (IBM, Kodak, General Motors, Ford, GeneralElectric etc).n Europa, pe piata francez a, sunt negociate optiuni pe MATIF (March terme interna-tional de France) si pe MONEP (March des options ngociables de Paris). Pe prima piat asunt negociate optiuni pe rata dobnzii si pe devize. Pe MONEP sunt negociate optiuni peindicele CAC 40 si optiuni pe cele mai tranzactionate actiuni (Carrefour, Michelin, Peugeotetc).Exist a si optiuni nestandardizate, sau pe m asur a realizate direct ntre b anci si societ atiavnd ca active-suport devizele sau ratele dobnzii. Aceast a piat a extra-bursier a este numit aover-the-counter (OTC).1.2. Evaluareaoptiunilor siarbitrajul1.2.1. Valoareateoretic aauneioptiuniTranzactiile cu optiuni care se realizeaz a pe pietele bursiere de tipul CBOE sau MONEPconduc la determinarea unui pret pentru ecare optiune n functie de cerere si ofert a. Acestareprezint a suma pe care trebuie s a o pl ateasc a cump ar atorul optiunii vnz atorului acesteia nmomentul ncheierii contractului pentru a obtine avantajele viitoare procurate de contract.14 EvaluareaactivelornanciareValoarea primei pl atite de cump ar ator vnz atorului este egal a cu valoarea optiunii pe piat a.Cum se poate evalua acest pret al optiunii?Dac a piata functioneaz a corect, dac a volu-multranzactiilor estesucientde mare,dac a nu exist a distorsiuniprovocate de costuridetranzactie enorme, pretul teoretic al optiunii trebuie s a tind a spre pretul realizat n ecaremoment la burs a. Acest pret teoretic serveste drept reper pentru cei care intervin n burs asau pentru cei care vor s a ncheie un contract de optiune pe piata over-the-counter.Cunoastereavaloriiteoreticeauneioptiuniofer aposibilit atideutilizareconsiderabile,care dep asesc sfera evalu arii optiunile negociabile pe o piat a. Un proiect de investitie zic aal unei ntreprinderi prezint auxuri monetareviitoarecuaceleasi caracteristici ca si celeprocurate de detinerea unei optiuni nanciare particulare;deci,posibilitatea evalu arii uneioptiuni permite, prin analogie, evaluarea unui proiect de investitie.La scadent a,valoarea uneioptiuniestesimplu dededus: eaesteegal acupayo -ulpecare-l produce aceast a optiune. Notnd cu FWvaloarea unui call la scadent a (momentul W),cu VWvaloarea activului-suport la acea dat a si cu Npretul de exercitare:FW= max (VW N> 0) (3)Valoarea unuiputla scadent a este:SW= max (N VW> 0) (4)Valoarea unei optiuni nainte de scadent a, este compus a din dou a p arti: valoarea intrinsec a: este valoarea pe care ar avea-o optiunea dac a ar exercitat aimediat; valoareatimp: estecomplementul necesarpentruaajungelavaloareatotal aaoptiunii.1.2.2. ArbitrajulArbitrajul esteprincipiul fundamental pecaresebazeaz amulterationamenteprivindCapitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 15evaluarea optiunilor.O situatie de arbitraj se creaz a cnd este posibil a realizarea unui prot f ar a risc si f ar aaport de fonduri prin combinarea a dou a sau mai multe tranzactii. De exemplu, o singur aactiunecotat aladou abursediferite, ladou apreturi diferite. Cump ararealapretul celmaisc azut sivnzareasimultan alapretulcelmairidicataduceunprotf ar arisc sif ar adepunere de fonduri.O asemenea situatie nu poate dura dac a pietele functioneaz a corect (dac a informatia estedifuzat a rapid, dac a costurile de tranzactie nu sunt excesive, dac a pietele sunt eciente). Unux de ordine de cump arare determin a cresterea pretului cel mai sc azut, n timp ce un uxde ordine de vnzare determin a sc aderea pretului cel mai ridicat, pn a se obtine egalitateantre cele dou a preturi, adic a disparitia situatiei de arbitraj.nevaluareaoptiunilor, sepleac adelaipotezafundamental ac anuexist asituatiedearbitraj. Recurgndlauntipderationament prinarbitraj, avem: unactivtrebuies avalorezeI,altfel ar exista o posibilitate de arbitraj. Dac a pe piat a nu exist a oportunit atide arbitraj, atunci activul are valoareaI.Exemplu: Consider amdou aportofolii Dsi Esi dou adatewsi W(cuWposteriorluiw). Lamomentul w, se stiecucertitudinec aceledou aportofolii voraveaaceeasi valoarecnd vor ajunge la scadenta W, oricare ar circumstantele (adic a indiferent de conjuncturaeconomic a, politic a etc). Astfel, la scadenta W, avem:YD (W) = YE (W) (5)Putem concluziona c a cele dou a portofolii au aceeasi valoare la momentul w:YD (w) = YE (w) (6)Rationamentulesteurm atorul: dac aceledou aportofoliinuaraveaaceeasivaloarenw, deexempluYD (w)?YE (w), atunci arexistaooportunitatedearbitraj. Adic a, pentruun arbitrajist ar exista posibilitatea de a mprumuta nwportofoliulE,pentru a-l revinde16 Evaluareaactivelornanciareimediatlapretul YE(w). Aceastasenumestevnzarescurt a(short sale). Pozitiacelui cemprumut a portofoliul E se numeste pozitie scurt a (short position) pe E. Exist a intermediaripe piata bursier a (brokers) care organizeaz a licitatia preturilor titlurilor. n mod evident,celcaremprumut a titlurileestedebitor sitrebuies a lerestituiemaitrziu proprietaruluiacestora. El va trebui s a le cumpere n burs a pentru a putea s a le remit a.S a consider am c a la momentul w are loc mprumutul portofoliului E, revnzarea imediat ala pretul YE(w) si refolosirea acestei sume pentru cump ararea portofoliului D la pretul YD(w).Dac a YD (w) ? YE (w), arbitrajistul r amne cu suma disponibil a P:P= YE (w) YD (w) (7)Aceast a sum a P, poate plasat a la o rat a a dobnzii f ar a risc u, cu capitalizare continu a,avnd n momentulW, o valoare egal a cu Phu(W3w).La dataW,arbitrajistulrevinde portofoliul D la pretulYD(W). Cum la aceast a dat a sestie c a YD (W) = YE (W), atunci arbitrajistul este sigur c a poate r ascump ara portofoliul E, curezultatul obtinut n urma vnz arii portofoliuluiD, pentru a-l putea restitui proprietarului.Astfel, arbitrajistul realizeaz a un prot f ar a risc, Phu(W3w), f ar a a depune fonduri n prealabil.Deci, dac alamomentul w celedou aportofolii Dsi Enuaraveaaceeasi valoare, arexista o oportunitate de arbitraj. Cum aceast a oportunitate este imposibil a ntr-o situatiede echilibru, rezult a c a portofoliile D siEau aceeasi valoare n w:YD (w) = YE (w) (8)Un rationament de acest gen va utilizat de nenum arate ori n evaluarea optiunilor.De asemenea, se poate demonstra c a dac a:YD (W) A YE (W) (9)n absenta oportunit atilor de arbitraj (AOA), trebuie s a avem:YD (w) A YE (w) (10)Capitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 171.3. Paritateacall-put pentruoptiunileeuropeneVom face o aplicatie bazat a pe rationamentul AOA (absenta oportunit atii de arbitraj).Vomstabili orelatiefundamental aexistent alaodat aw, ntrevaloareaFaunei optiunicall europene si valoareaSa unei optiuniput europene, avnd aceeasi actiune-suport f ar adividend, acelasi pret de exercitare N si aceeasi dat a a scadenteiW.S a constituim dou a portofoliiD siE, n momentulw. Ar atnd c a, la scadentaW, porto-foliile au, n orice circumstante, aceeasi valoare, vom putea aplica rationamentul AOA ceeace ne va permite s a concluzion am c a cele dou a portofolii au aceeasi valoare n w.Portofoliul A: 1 call + lichidit ati n valoare de Nh3u(W3w);Portofoliul B: 1 put+ 1 actiune cu valoarea Vn momentulw.n portofoliulD, lichidit atile reprezint a valoarea actual a nw a pretului de exercitareNnmomentul W. Aceast asum a,plasat anmomentul wlaorat aadobnziif ar ariscu,cucapitalizare continu a, va avea valoarea Nla data W.Actiunea care gureaz a n portofoliul E este actiunea care reprezint a activul-suport attpentruoptiuneacall, ct si pentruoptiuneaput. LascadentaW, celedou aportofolii voravea aceeasi valoare.Portofoliul A:YD (W) = max (VW N> 0) +N= max (VW> N) (11)Portofoliul B:YE (W) = max (N VW> 0) +VW= max (VW> N) (12)Cele dou a portofolii au aceeasi valoare n W. Deci trebuie s a aib a aceeasi valoare n w; n cazcontrar,ar nsemna c a exist a oportunit ati de arbitraj,ceea ce este imposibil n situatie deechilibru pe piat a. Astfel, la momentulw avem relatia:F +Nh3u(W3w)= S+V (13)denumit a relatia de paritate put-call.18 EvaluareaactivelornanciareAceast arelatieestefoarteimportant a. Cunoscndvaloareauneioptiuni call europenepeo actiunef ar a dividend,ea permitedeterminarea imediat a a valoriiuneioptiuniput laacelasi pret de exercitare si la aceeasi scadent a.S= F +Nh3u(W3w)V (14)Deasemenea,relatia permiterealizareadeop tiunisintetice. S a ne imagin am o situatiencare, pentru o actiune dat a, optiunea call reprezint a obiectul tranzactiilor, dar nu si optiuneaput. Se poate obtine un putsintetic n w constituind un portofoliu care contine: un call cu aceeasi scadent a Wsi acelasi pret de exercitare N; o obligatiune f ar a risc zero-cupon, pentru o sum a Nn W; o pozitie shortpe o actiune ce constituie activul-suport.1.4. Limitasuperioar a siinferioar aapretuluiuneioptiuni1.4.1. Limitasuperioar aOoptiunenupoatevaloramai multdectdreptul pecareil contine. Ooptiunecall,indiferent dac a este european a sau american a, d a dreptul de cump arare a unei actiuni la unanumit pret (pret de exercitare): aceast a optiune nu poate valora niciodat a mai mult dectactiunea n sine.Ooptiuneput, indiferentdac aesteeuropean asauamerican a, d adreptuldeavindeoactiune la un anumit pret N(pret de exercitare): aceast a optiune nu poate valora niciodat amai mult dect pretul de exercitareN. Se poate spune c a optiuneaputnu poate niciodat avalora mai mult dect valoarea actual a a pretului s au de exercitare. Dac a este vorba de unput american,aceast avaloareactual anupoateprecizat a,deoarecenuse stiemomentulcnd va exercitat a. Dar, n cazul unuiputeuropean se poate scrie:SNh3u(W3w)(15)Capitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 191.4.2. Limitainferioar aaunuicall europeanAceast a limit a inferioar a este VNh3u(W3w), adic a valoarea actiunii diminuat a cu valoareaactual aapretului deexercitare. Considerndceledou aportofolii, Dsi E, constituitelamomentulw: Dcontine1call european silichidit atinsum adeNh3u(W3w),lichidit aticevorplasate la o rat a a dobnzii f ar a risc u, cu capitalizare continu a.YD (w) = F +Nh3u(W3w)(16) Econtine o actiune.YE (w) = V (17)Ct va valora portofoliulD la scadenta W?1) dac a VWA N, optiunea va exercitat a si vom avea FW= VW N.2) dac a VW? N, optiunea nu va exercitat a si vom avea FW= 0, de unde YD (W) =N.Deci, la scadenta W, portofoliulD va valora max (VW> N). n momentulW, portofoliulEva valora VW.n momentulW, vom avea:YD (W)YE (W) (18)Prin urmare, putem concluziona c a n situatia de AOA:F +Nh3u(W3w) V (19)sauFV Nh3u(W3w)(20)Putem s apreciz am chiarmaimulteaspectedespreaceast alimit ainferioar apentruuncall european pe o actiune f ar a dividend. Acest call trebuie s a aib a o valoare pozitiv a:F0 (21)20 EvaluareaactivelornanciareDe fapt, la scadent a, optiuneacall trebuie s a produc a e unpayopozitiv, e nimic n celmair aucaz. Deci valoareasalaodat acareprecedescadentaestepozitiv a. Avemdou aconditii simultane:;A?A=FV Nh3u(W3w)F0Se poate astfel concluziona c a:FmaxV Nh3u(W3w)> 0(22)1.4.3. Limitainferioar aaunuiput europeanAceast alimit ainferioar aaoptiunii put esteNh3u(W3w) V, adic avaloareaactual aapretului de exercitare diminuat a cu pretul actiunii. Considernd din nou cele dou a portofoliiconstituite n w: D cuprinde 1 puteuropean si 1 actiune:YD (w) = S+V (23) Ecuprindeosum alichid anvaloaredeNh3u(W3w)carevaplasat alaorat aadobnzii f ar a risc u.La scadenta W, valoarea portofoliuluiD va :1) dac a VW? N, optiunea putva exercitat a si vom avea:YD (W) = N VW+VW= N (24)2) dac a VWA N, optiunea putnu va exercitat a si vom avea SW= 0, de unde:YD (W) = VW(25)Deci, la scadenta W, portofoliulD va avea valoarea:max (VW> N) (26)Capitolul I:Optiunile. Denitii,proprietatisi principii fundamentale 21La momentulW, portofoliulEva valora N. Prin urmare, la scadenta W, vom avea:YD (W)YE (W) (27)Putem concluziona c a, pentru cazul n care exist a o situatie de AOA, trebuie s a avem n w:YD (w)YE (w) (28)eSNh3u(W3w)V (29)1.5. Factoricaredetermin avaloareauneioptiuniFactorii care determin a pretul unei optiuni sunt: pretul curent al activului-suport, pretulde exercitare, ratadobnzii f ar arisc, timpul pn alascadent asi volatilitateapretuluiactivului-suport. Tabelul 1.1 rezum a inuenta celor cinci factori asupra cursului unei opti-uni, indiferent dac a este de tip european sau de tip american. Inuenta unui factor dat estedeterminat a prin variatia acelui factor n timp ce restul r amn constanti.Tabelul 1.1 Factori ce determin preul opiunilor de tip european i american Factor care determinvariaia (ceilali raman constani)Variaia preului opiuniicall (de tip european sau american) Variaia preului opiunii put (de tip european sau american) Cursul aciunii Preul de exercitare Rata dobnzii fr risc Timpul pn la scadenVolatilitate CretereScdereCretereCretereCretereScdere Cretere Scdere Cretere Cretere 22 EvaluareaactivelornanciareCapitolulII:Procesestocastice. LemaluiItSpunem c a o variabil a urmeaz a un proces stocastic atunci cnd schimb arile, n decursultimpului, alevalorii acestei variabilesunt, cel putinnparte, aleatoare. Cei doi termeni,aleatorsi stocastic, suntsinonime. ns a, pentruadesemnaovariabil a, estepreferabil autilizareatermenului aleator. Pentruadesemnaunprocescaresederuleaz antimp,estepreferabil a utilizarea termenuluistocastic.Atunci cnd schimb arile valorii luate de variabil a nu se realizeaz a dect n puncte discretedetimp,se foloseste termenul deprocesstocasticntimpdiscret. Atunci cnd schimb arilese produc n orice moment, este vorba despre un processtocasticntimpcontinuu.Se face distinctie si ntre procesul cu variabiladiscreta si procesul cu variabilacontinua.Caracterul discretsaucontinuual timpului secombin acucel al variabilei. Ovariabil acare are o distributie de probabilitate stabil a pe tot parcursul timpului urmeaz a unprocessta tionar. n schimb, dac a distributia sa de probabilitate se schimb a (n particular, media sivarianta sa), atunci ea urmeaz a un procesnesta tionar.Traiectoria reprezint a ansamblul de realiz ari ale variabilei (discrete sau continue) ntr-uninterval de timp.Untipdeprocesstocasticcuomareimportant annanteesteprocesul lui Markov.Valorile viitoare ale unei variabile care urmeaz a un proces Markov:2324 Evaluareaactivelornanciaredepind de valoarea variabilei n momentul prezent;depind doar de aceast a valoare si nu de valorile anterioare.Dac a presupunem c a pietele reect a, n general, o ecient a n form a slab a, adic a cursulactiunilor reect a, ntr-un moment oarecare t, toate informatiile publice pn a n acel moment,atunci distributia de probabilitate a pretului activului cotat pe aceast a piat a, n orice momentviitor, depinde doar de pretul activului din momentul t si nu de pretul anterior sau de evolutiaanterioar a a pretului.S a consider am c a o variabil a urmeaz a un proces Markov si c a valoarea acestei variabileestecunoscut anmomentulprezent. Diferentantrevaloareaimediatviitoare sivaloareaactual a se numeste varia tiealeatoare. Aceast a variatie aleatoare:se va ad auga la valoarea variabilei din momentul prezent;este independent a fat a de variatiile aleatoare anterioare.Procesele Markov n timp continuu si cu variabil a continu a se numesc procese de difuzie.2.1. Miscareabrownian aMiscareabrownian astandard(sausimpl a)semai numeste si procesWiener. EaesteunprocesMarkovntimpcontinuu si cuvariabil acontinu a. Variatiilealeatoarealeuneivariabile ce urmeaz a o miscare brownian a sunt independente unele fat a de celelalte. Variatiacare se produce n cursul unui interval de timp nit are o distributie normal a a c arei variant acreste cu lungimea intervalului.Fie1omiscarebrownian astandard. Fie{1variatialui 1ntr-uninterval scurtdetimp {t. {1are dou a propriet ati:1){1= _{tCapitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 25Variatia{1depindedecider ad acinap atrat aaintervaluluipecareseproduce. esteovariabil a aleatoare care are o distributie normal a normat a, adic a:- speranta matematic a a lui este egal a cu 0;- abaterea medie p atratic a a lui este egal a cu 1.Pentru a indica faptul c aurmeaz a o distributie normal a normat a, not am: ~ ` (0. 1)Propriet atile luine permit deducerea celor ale variatiei {1. Astfel, variatia {1urmeaz aodistributienormal a1desperant amatematic a0si devariant a{t (cuoabateremediep atratic a egal a cu_{t):{1 ~ `0._{tPrin urmare, variatia {1 este normal distribuit a si are o variant a care este egal a cu lungimeaintervalului pe care se produce.2) Variatiile{1relative la dou a intervale de timp{t oarecare (ce nu se acoper a ntreele) sunt independente.Aceast a proprietate determin a faptul ca, la un moment dat, variatia urm atoare a lui 1 s ae independent a fat a de variatiile anterioare, iar valorile viitoare ale lui1s a depind a doardevaloarealui 1dinmomentul prezent si nudevalorilesaletrecute. Aceastasemnic afaptul c a 1urmeaz a un proces Markov.Pentru a verica dac a aceste propriet ati r amn valabile si n cazul unui interval lung detimp, lu am n considerare intervalul 1care se ntinde ntre dou a date. Not am prima dat a cu0 si cea de-a doua cu 1. Aceasta nseamn a c a 1reprezint a att data de la sfrsitul perioadei1Reamintimoteorem adestatistic aprobabilistic a: Dac a[esteovariabil aaleatoarecareurmeaz aolegenormal a sidac anesteoconstant a, atunci n[esteovariabil aaleatoareceurmeaz a, deasemenea, olege normal a de sperant a matematic anH([) si de variant an2Y DU([).26 Evaluareaactivelornanciaredetimpconsiderate, ct si ntreagadurat aaacestei perioade. Utiliz amnotatiile1(0) si1(1) cu semnicatiile urm atoare:-1(0) = valoarea lui1la momentul 0;-1(1) = valoarea lui1la momentul1.Variatia lui1n timpul perioadei de lungime 1se scrie:1 (1) 1 (0)S a consider am c a durata de timp 1este divizat a n : mici intervale egale {t: :{t = 1.n ecare mic interval se produce o variatie:{1= _{t ~ `0._{tS apresupunemc a, nprimul interval scurt{t, serealizeaz aovaloare1avariabileialeatoare. nintervalul scurt i, valoarearealizat aavariabilei aleatoareeste1. nintervalul scurt :, seproduceovaloareqavariabilei aleatoare. Cele:realiz ari alevariabilei aleatoare sunt independente. Atunci, variatia lui1pe perioada 1este egal a cusuma celor : variatii care se produc n timpul celor : intervale scurte {t.1 (1) 1 (0) =qXl=1

l_{tPrinurmare, putemconcluzionac avariatia1 (1) 1(0)estedistribuit adup aolegenormal a a c arei sperant a matematic a este egal a cu suma sperantelor matematice a celor:componente si a c arei variant a este egal a cu suma variantelor celor : componente2. Adic a,[1 (1) 1 (0)] ~ `0._1(1)2O alt a teorem a a statisticii probabilistice spune: Dac a o variabil a aleatoare\este suma aq variabilealeatoare independente care urmeaz a ecare n parte o lege normal a, atunci \urmeaz a o lege normal a undesperanta matematic a este egal a cu suma sperantelor matematice individuale, iar varianta este egal a cu sumavariantelor individuale.Capitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 27Este usor acum s a determin am variabila ns asi n functie de variatia ei aleatoare:1(1) = 1 (0) + [1 (1) 1(0)]| {z }VariatiealeatoareLa data prezent a (data 0),1(0) este cunoscut cu certitudine. Astfel, putem trage con-cluzia3c a1(1) urmeaz aolegenormal acuosperant amatematic aegal acu1 (0)si ovariant a egal a cu 1. Pe o perioad a de timp foarte lung a (ce tinde la innit), varianta lui1poate tinde spre innit. Deci putem spune c a 1urmeaz a un proces nestationar.Omiscarebrownian astandardsauprocesul Wienerestelimitaprocesului descrismaisus, atunci cnd intervalul de timp este foarte mic. Scriem atunci:d1= _dt (2)unde1 [d1] = 0 (3)\ 1[d1] = dt (4)S a remarc am faptul c a 1nu admite derivat a n raport cu timpul, deoarece:d1dt=

_dtdt=

_dtcare este egal cu innit, c acidt este un interval foarte mic.2.1.1. Miscarebrownian ageneralizat aMiscareabrownian astandardajut alaconstruireaproceselorstocasticemai complexe.Unul dintre acestea este miscarea brownian a cu tendint a4, numit a si procesul Wiener gene-ralizat sau miscare brownian a generalizat a.3Dac a[esteovariabil aaleatoarecareurmeaz aolegenormal a, atunci d + [(dindoconstant a)urmeaz a, de asemenea, o lege normal a cu speranta matematic ad +H([) si variantaY DU([).4Drift(engl.)saudrive(fran.).28 EvaluareaactivelornanciareOvariabil arurmeaz aomiscarebrownian acutendint adac avariatiasadr, careseproduce ntr-un intervaldt, are ca ecuatie:dr = cdt + /d1 (5)unde c si / sunt doi parametri constanti, iar d1 este variatia innitezimal a a unui brownianstandard;d1= _dt si ~ ` (0. 1).Ecuatia dinamicii variabileir are dou a componente: o component a determinist a (cdt)si o component a aleatoare (/d1). Prima component a (cea determinist a) nu contine nici untermen aleator. Parametrul c reprezint a tendinta pe unitatea de timp si indic a cu certitudineo crestere regulat a pe ecare perioad a. Parametrul/ reprezint a volatilitatea pe unitatea detimpavariabilei. Deci, lavariatiadeterminist asaucert a, seadaug aovariatiealeatoarepentru a determina variatia total a a variabileir:dr = cdt|{z}partedeterminist a+ /_dt| {z }partealeatoaren consecint a, variatia dr este normal distribuit a cu speranta matematic a cdt si varianta/2dt:dr ~ `cdt. /_dtVariabila r, ce urmeaz a o miscare brownian a generalizat a, este, la rndul ei, distribuit a dup ao lege normal a. Dac a not am cut data prezent a si cu1o oarecare dat a n viitor, variabilar(1) r(t) urmeaz a o lege de distributie normal a:[A (1) A (t)] ~ `c (1 t) . /_1 t(6)2.2. Integralastocastic aS astudiem, pentrumoment, unmodel ncarepretul owal unei actiuni ardatdeomiscare brownian a, adic aow= 1w. Dac a am detineo (t) actiuni la datat si am face o serieCapitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 29de tranzactii la datele tn, valoarea portofoliului de actiuni la data tNva :\wN= \+NXn=1o (tn31) [1(tn) 1 (tn31)]unde\reprezint a valoarea initial a a portofoliului de actiuni. Dac a vrem s a realiz am tran-zactii la orice momentt, trebuie s a denim un instrument matematic ce permite nlocuireasumelor precedente (asem an atoare unor sume Riemann) cu o cantitate unde timpul intervinen mod continuu. n aceste conditii, putem utiliza integrala:1 (o) =ZW0o (:) d1 (:) (7)pecareonumimintegralastocasticaalui onraportcu1si pecareodenimcaindlimitasumelorprecedente5. ovpoatedenitcaofunctiedeterminist asaucaunprocesstocastic6. Exist aoclas adestul demaredeprocesestocasticepentrucareputemdeniintegrala stocastic a a lui o n raport cu 1. Pentru a deni integrala stocastic a, avem nevoiede realizarea unor conditii de integrabilitate ale lui o. Conditia de integrabilitate este:ZW0o2(:) d: < (8)Dac a conditia de integrabilitate este respectat a, spunem c a integrala stocastic a exist a si estedenit a. Avem, desigurZvwd1 (n) = 1(:) 1 (t) (9)2.2.1. Propriet atialeintegraleistocasticeS a enunt am principalele propriet ati ale integralelor stocastice:5Faptul c a brownianul nu este derivabil interzice interpretarea simboluluigEwprinE0w si face imposibil adenirea integralei stocastice prin metodele obisnuite, de genulgEw= E0(w)gw.6Integrala stocastic a a unei functii deterministe n raport cu miscarea brownian a se mai numeste integral aWiener. Integrala stocastic a a unui proces n raport cu miscarea brownian a se mai numeste integral a It.30 Evaluareaactivelornanciarea)Dac aoesteofunctiedeterminist a, atunciintegralastocastic a1 (o)esteovariabil aaleatoare gaussian a de sperant a matematic a nul a si de variant a egal a cu\ 1[1 (o)] =ZW0o2(:) d: (10)De fapt, 1 (o) este o variabil a gaussian a deoarece procesul 1 este gaussian. Ea este centrat apentru c a 1este centrat. n plus,\ 1[1 (o)] =NXn=1o2n31\ 1[1 (tn) 1(tn31)] =NXn=1o2n31 (tntn31) =ZW0o2(:) d:De regul a, dac a o este un proces, se pierde caracterul gaussian al integralei.b) Fie ow un proces stocastic Fw m asurabil si integrabil la p atrat si e integrala stocastic a1 (o). Urm atoarele propriet ati sunt vericate:(i)procesul(1w (o) . t _ 0) este o martingal a continu a;(ii)procesul12w(o) Rw0 o2(:) d:. t _ 0 este o martingal a continu a;(iii) 1 [12w(o)] = 1hRw0 o2(:) d:i.c) Fie ) si q dou a procese Fw m asurabile si integrabile la p atrat. Fie 1w ()) =Rw0 ) (n) d1x.Propriet atile urm atoare sunt vericate:(i)Proprietatea de martingal a. 1w ()) este o martingal a:1Zw0) (n) d1x|Fv =Zv0) (n) d1x\: _ t (11)sau1Zwv) (n) d1x|Fv = 0n particular, 1 [1w ())] = 0.(ii)ProcesulZw0) (n) d1x2Zw0)2(n) d1x. t _ 0Capitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 31este o martingal a. Se poate deduce c a varianta lui1w ()) este Rw0 1 [)2(:)] d: si c a1Zw0) (n) d1xZw0q (n) d1x = 1Zw0) (n) q (n) d1x(12)Corolar. FieowunprocesstocasticFwm asurabil siintegrabillap atrat sieintegralastocastic a 1 (o). Speranta matematic a a lui1 (o) este nul a:1 [1w (o)] = 0 (13)iar varianta este egal a cu:\ 1[1w (o)] =Zw01o2(:)d: (14)2.3. ProcesulItUnprocesstocasticA=(Aw. t [0. 1])esteunprocesItcuvalori realedac aexist aj(A. t) sio (A. t) ce veric aZW0|j(A. :)| d: < siZW0o2(A. :) d: < astfel nctAw= A0 +Zw0j(A. :) d: +Zw0o (A. :) d1v(15)undet [0. 1], iar (1w. t _ 0) este un brownian standard real.Putem s a rescriem aceast a egalitate ntr-o form a mai concis a:dAw = j(A. t) dt + o (A. t) d1w(16)pentru a putea dezvolta un calcul formal, analog calculului diferential.Coecientul j(A. t) senumeste tendint a instantanee a procesului It, iar coecientul o (A. t) se numeste volatilitateinstantanee a procesului It sau coecient de difuzie. Tendinta si volatilitatea variaz a si suntfunctii ce depind de timp si de variabila de stare. n familia proceselor It, cel mai cunoscutprocesestemiscareabrownian ageometric a. Miscareabrownian ageometric aesteutilizat an nante pentru modelizarea cursului bursier.Trebuie remarcat faptul c a un proces It nu este o martingal a dect dac a j(A. t) = 0.32 Evaluareaactivelornanciare2.4. LemaluiItDac a presupunem c a pretul activelor nanciare sunt procese It, avem nevoie s a calcul amcantit ati de tipul) (Aw. t) si de a le preciza dinamica. Metoda de calcul este dat a de lemalui It. S a enunt am aceast a lem a.LemaluiIt. Fie ): [0. 1] R R o functie continu a si e Aun proces It:dAw = j(A. t) dt + o (A. t) d1wFie 1w= ) (Aw. t). Atunci1weste un proces It ce veric a ecuatia:d1w=J)Jt+J)JAj(A. t) +12J2)JA2o2(A. t)dt +J)JAo (A. t) d1w(17)sau, ntr-o form a mai concis a,d1w=J)Jt dt +J)JAdAw +12J2)JA2o2(A. t) dt (18)Demonstra tie.Esteimportant desubliniat c adtsi d1wsunt cantit ati mici, dar deordindiferit,deoarecestimc a1 [d1w] =0si 1 [d1w]2=dt. Acestmoddeavizualizaprocesulstocastic are un avantaj: atunci cnd aplic am formula lui Taylor si vrem s a p astr am termeniin dt, termenii n d12wau un rol important.FiedAw = j(A. t) dt + o (A. t) d1wDac aconsider amfunctia) (Aw. t)astfel nct1w=) (Aw. t), putemaplicadezvoltareanserie Taylor:d)=J)Jt dt +J)Jt dA +12J2)Jt2 dt2+J2)JtJAdtdAw +12J2)JA2dA2w+ ...undedAw = j(A. t) dt + o (A. t) d1wCapitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 33dA2w= j2(A. t) dt2+ 2j(A. t) o (A. t) dt32+ o2(A. t) 2dtAcest ultim rezultat se bazeaz a pe faptul c ad1w=_dt. Termenii de ordin superior lui 1pot neglijati (dt2- 0 sidt32 - 0). Astfel,dA2w= o2(A. t) 2dtS a studiem propriet atile lui2dt:\ 1[] = 1

2[1 ()]2Cum 1 () = 0, se obtine:1

2 = 11

2dt = dt (19)S a calcul am varianta lui2dt:\ 1

2dt = dt2\ 1

2(20)Aceast a variant a este de ordinul doi ndt. Deci ea tinde spre zero,c aci intervalul de timpeste foarte mic. Prin urmare, speranta matematic a a lui2dt este egal a cudt, iar variantalui 2dttindesprezero. Asadar,putem concluzionac a,pentruunintervaldetimpfoartemic,2dt tinde spredt. Astfel, putem scrie:dA2w= o2(A. t) dt (21)ncalcululstocastic,seutilizeaz a,cutitluderegul ageneral a,urm atoareatabl aan-multirii.Tabelul2.1. Tablanmul tiriidt d11wd12wdt 0 0 0d11w0 dt jdtd12w0 jdt dt34 Evaluareaactivelornanciareunde 11wsi 12wsunt dou amisc ari brownienestandard. jreprezint acoecientul decorelatie instantanee ntre cele dou a browniene.Dac a misc arile browniene sunt independente,j = 0.S a sintetiz am rezultatele obtinute:dtdAw= 0;dt2= 0;dA2w= o2(A. t) dtAstfel, dinamica lui)se scrie:d)=J)Jt dt +J)Jt dA +12J2)JA2o2(A. t) dtsau, nlocuind n ecuatie dinamica luiA si notnd 1w= ) (Aw. t):d1w=J)Jt+J)JAj(A. t) +12J2)JA2o2(A. t)dt +J)JAo (A. t) d1wTermenulCiCw+CiC[j(A. t) +12C2iC[2o2(A. t)reprezint atendintainstantaneealui 1w, iartermenulCiC[o (A. t) reprezint a volatilitatea instantanee a lui1w.2.4.1. Unexemplu: miscareabrownian ageometric aS a consider am o miscare brownian a geometric a. Aceasta este un proces It n care:j(A. t) = jAw(22)o (A. t) = oAw(23)undej sio sunt constante. Atunci, ecuatia misc arii browniene geometrice se scrie:dAw= jAwdt + oAwd1w(24)Fie o functie 1w = lnAw. Aplicnd lema lui It:d1w=J)Jt+J)JAjAw + 12J2)JA2o2A2wdt +J)JAoAwd1w=0 +1AwjAw +121A2wo2A2wdt +1AwoAwd1w=j 12o2dt + od1wCapitolul II:Procesestocastice. Lemalui It 35Deci dinamica lui1weste:d1w=j 12o2dt + od1w(25)de unde:1(1) = 1(0) +ZW0j 12o2d: +ZW0od1v= 1(0) +j 12o21+ o1(1)Astfel,A (1) este dat de:lnA (1) = lnA (0) +j 12o21+ o1 (1) (26)sau, direct:A (1) = A (0) expj 12o21+ o1(1)(27)n concluzie, variabila 1(1) este normal distribuit a:1(1) ~ `lnA (0) +j 12o21. o_1(28)cu speranta matematic a conditionat a de 1(0) = ln A (0):1 [1(1) |1(0)] = lnA (0) +j 12o21 (29)si cu varianta conditionat a de 1(0) = ln A (0):\ 1[1(1) |1(0)] = o21 (30)Deoarece logaritmul variabilei A (1) urmeaz a o distributie normal a, miscarea brownian ageometric asemai numestesi proceslog-normal. nplus, teoriastatisticii probabilisticespunec a,dac alogaritmuluneivariabileareo distributienormal a,variabilans asivaaveaodistributielog-normal a. Stiindastfel c aA (1)estedistribuit alog-normal, sperantaeimatematic a conditionat a de A (0) va egal a cu:1 [A (1) |A (0)] = A (0) cW(31)36 Evaluareaactivelornanciareiar varianta sa conditionat a de A (0) va :\ 1[A (1) |A (0)] = A2(0) c2Wc

2W1(32)CapitolulIII:ModelulBlack-ScholesDezvoltarea pietelor nanciare a permis aparitia unei noi generatii de produse nanciaresi acestprocesdecreatiecontinu ainexorabil, departedeasestinge, ntr-uncontextdeinternationalizare.Ratiunea de a a acestei inovatii este, f ar a ndoial a, riscul: obiectivul c autat este de aproteja investitorul contra variatiilor importante ale parametrilor nanciari ce inuenteaz aavutia acestuia. Poate vorba de un risc de rat a a dobnzii, de curs de schimb sau, pur sisimplu, de un risc de pierdere a valorii activelor.Dac a astfel de contracte de partajare a riscului exist a ntre terti de mult timp, noutateaconst a n institutionalizarea si transformarea acestor acorduri n titluri nanciare, negociabilepe piat a, f acnd obiectul unor cotatii periodice, precum n cazul actiunilor si obligatiunilor.Volatilitatea cresc atoare, observat a pe pietele nanciare, a jucat un rol de catalizator naparitia acestor noi instrumente de protectie. Conceptual, aceste produse pot mp artite ndou a categorii: contractele la termen, ce permit nalizarea unei tranzactii la o dat a viitoare,pe baza unor conditii xate initial, si op tiunile, ce dau dreptul, dar nu obligatia, de a nalizao tranzactie la o dat a viitoare, pe baza unor conditii xate initial.Simultan cu aceast a dezvoltare f ar a precedent a pietelor nanciare, modeliz arile teoreticeau nceput s a aib a un rol important. Acestea au vizat att noile produse nanciare ce nece-sitau un suport teoretic de taricare, ct si activele nanciare clasice care, prin volatilitatealor cresc atoare, par s a se supun a, din ce n ce mai mult, unor scheme aleatoare.Teoriaprobabilit atilor siaproceselorstocasticereprezint a, nmodnatural, uninstru-3738 Evaluareaactivelornanciarement extrem de util pentru a modeliza aceast a incertitudine ce pare a lovit ntreg mediulnanciar. Complexit atiisituatiilornanciarei-ar aspunsastfelvarietateainstrumentelorstocastice de analiz a.Problemaevalu ariiuneioptiuniestefascinant a,iaristoriasaesterelativlung apentrudomeniul nantelor. n1900, LouisBachelierpropuneaomodelizareacursului bursiersiobtineaestim arialecump ar arilorlatermenprinrationamenteprobabilisticefondatepejocul de hazard. Ipoteza principal a pe care se fondeaz a argumentatia lui este c a pretul unuiactivxatdec atrepiat a seprezint a,matematic,precum averea unuijuc atorla un jocdehazard. Printr-un rationament innitezimal, ce spune c a variatiile cursului bursier, n timpulunor momente succesive, sunt independente, el obtine o ecuatie cu derivate partiale identic a,formal, cu cea obtinut a de Fourier aproape un secol mai devreme pentru a descrie propagareac aldurii n corpurile omogene.Totusi, abordarea lui Bachelier a fost privit a cu nencredere de la nceput pentru c a ideileteoriei utilit atii si ale aversiunii pentru risc reprezentau, la acel moment, fundamentul teorieieconomice. Dac a majoritatea investitorilor au o aversiune pentru risc,aceasta poate inu-enta pretul unei optiuni?Aceast a problem a a fost rezolvat a de Black - Scholes (1973) careconsider a un univers n care preturile actiunilor evolueaz a ca un proces brownian geometriccu o volatilitate constant a. Aceast a solutie elegant a dat a pentru evaluarea optiunilor este,neasteptat, independent a de atitudinea investitorilor fat a de risc.3.1. Valoareateoretic aapretuluiactiunii-suportAsimilarea cursului activelor-suport (materii prime, actiuni, devize) unor misc ari brown-ieneesteunfaptabsolutnatural. Atunci cndunoperatorspeculeaz a, el revizuiestenecaremomentstrategiasadeinvestitienfunctiedeevolutiacursuluibursier. Astfel, elva ncerca s a cumpere mai mult cnd cursul este sc azut si s a vnd a atunci cnd cursul esteridicat. Deci cursurilebursiereseaseam an acumisc arilebrowniene, darnusestiedac aCapitolul III:Modelul Black-Scholes 39acesteasuntmartingalesaunu. Black siScholessauMertonaufostprimiicareauf acutreferint a la cursul instantaneu dat de piat a si au exploatat propriet atile misc arii brownienegratie calculului lui It. Dar ceea ce va permite stabilirea unui pret teoretic al optiunii estenotiuneadeportofoliudeacoperire(hedging)si deabsent aaoportunit atilordearbitraj.Astfel, exist a un pret unic al optiunii ce este capabil s a suprime toate oportunit atile de arbi-traj att pentru institutia nanciar a, ct si pentru client. n plus, este posibil a construireaunui portofoliu ce asigur a o acoperire exact a mpotriva riscului.Black- Scholesaupresupusc apietelesuntperfecte, c aratadobnziisi volatilitateaactivului-suport sunt constante n timp si c a activul-suport nu distribuie dividende. Sub oprobabilitateistoric aQ, pretul actiunii ourmeaz aodinamic acuovolatilitateconstant ao. Mai precis, exist aomiscarebrownian a1astfel nct overic aecuatiadiferential astocastic a:dot = jotdt +od1t(1)Parametrulj este constant si reprezint a randamentul instantaneu al actiuniio.Aplicnd lema lui It, logaritmul luiourmeaz a o miscare brownian a generalizat a:d (lnot) =j o22dt +od1t(2)Prin integrare, se obtine:ln oT lno=j o22t+ZTtod1&(3)undet =1t, oestepretul curental actiunii, iaroTestepretul actiunii laodat anviitor, 1. Stiindc aintegralastocastic a RTtod1&esteovariabil agaussian acuosperant amatematic a nul a si cu variantao2t, logaritmul pretului actiunii la data1are o distributienormal a cu speranta matematic a ln o +j o22tsi cu varianta o2t:ln oT`ln o +j o22t; ost(4)40 EvaluareaactivelornanciareFaptul c a logaritmul pretului viitor al actiunii este normal distribuit, ne permite determinareaunui interval de ncredere1pentru lnoTsi, implicit, pentru oT. Astfel, cu o probabilitate de95%, pretul viitor al actiunii variaz a ntre limitele:o expj o22t 1. 96ost oTo expj o22t+ 1. 96ost(5)Cunoastereadistributiei logaritmului pretului actiunii ladata1 implic adirectdeter-minareadistributiei pretului viitoral actiunii. Pretul viitoral actiunii areodistributielog-normal a2cu speranta matematic a1 (oT) = ocjt(6)si cu varianta\ 1(oT) = o2c2jtco2t1(7)Asadar, functia de densitate teoretic a (log-normal a) a pretului actiunii este dat a de:) (oT) =1oTos2:texp;A?A=

hln oT lno j o22ti22o2t, oT 0 (8)O variabil a care urmeaz a o distributie log-normal a nu poate s a aib a valori negative, ceeacenseamn ac aaceast adistributieesteadaptabil apretului actiunii careestentotdeaunapozitiv.1Sefolosesteurm atoareateorem ade statistic aprobabilistic a: Dac a[esteovariabil agaussian acusperanta matematic ap si variantay,[Q (p> y), atunci Probah1> 96 [psy 1> 96i = 0> 95.2Seutilizeaz ateoremaurm atoare: Dac a[ Q (p> y), atunci \ =h[OQ (p0> y0), undesperantamatematic a si varianta sunt denite de:p0= expp+y2y0= exp(2p+ 2y) exp(2p+y)Capitolul III:Modelul Black-Scholes 413.2. EvaluareaoptiuniloreuropeneS a ne imagin am c a am vrea s a evalu am o optiune call (o optiune de cump arare) european ape o actiune ce nu distribuie dividende. Cunoastem urm atoarele elemente: cursul curent alactiunii, datascadentei, pretul deexercitare, comportamentul avutntrecutal actiunii.Scopul este de a determina care este valoarea de ast azi a optiunii, adic a care este prima cetrebuie pl atit a ast azi pentru a deveni detin atorul optiunii. A detin atorul optiunii nseamn aa avea posibilitatea de a obtine un payola scadent a.Metoda clasic a folosit a n astfel de cazuri, pentru a determina care este valoarea, ast azi,a posibilit atii de a obtine un cash-owla o dat a viitoare, este de a calcula valoarea actual a aacestui cash-owviitor. Pentru aceasta, este necesar s a cunoastem dou a elemente: sperantamatematic aacash-ow-ului viitorsi, respectiv, orat adeactualizareconvenabil a, adic aratarandamentuluidepepiatananciar acecorespundeaceleiasiclasederisccaaceeaacash-ow-ului ce urmeaz a a dobndit.ncazuluneioptiuni,acestedou aelementesunt, apriori,imposibils aedeterminaten mod direct. Principiul de evaluare al lui Black - Scholes este, initial,total diferit: el nudepinde explicit de variatiile cursului actiunii si de speranta matematic a a payo -ului.Black explic a3, mult timp dup a descoperirea sa (partajat a cu Scholes), principiul care astat la baza rationamentului s au. S a presupunem c a formula pretului optiunii call europenedepindedeoseriedevariabile,printrecare sipretulactiunii. S aneimagin am c aaceast aformul a indic a faptul c a, dac a n decursul unui interval scurt de timp, pretul actiunii crestecu1, atunci pretul optiunii crestecu0,5 si dac apretul actiunii scadecu1, atunci pretuloptiuniiscadecu0,5. Atunci, esteposibil aconstituireaunuiportofoliuf ar ariscutilizndstrategiaurm atoare: vnzareaadou aoptiuni (pozitiescurt a) si cump arareaunei actiuni(pozitie lung a). n decursul unui interval scurt de timp, pierderea realizat a din pozitia avut a3Ase vedeaBlackF., (1989), Howwe came up with the OptionFormula, Journal of PortofolioManagement.42 Evaluareaactivelornanciareasupra unuia dintre cele dou a active este compensat a de cstigul obtinut din pozitia opus aavut a asupra celuilalt activ. Acest portofoliu de acoperire (hedging), ind f ar a risc, are unrandament egal cu rata f ar a risc. n caz contrar, ar exista oportunit ati de arbitraj.nconsecint a, posibilitateadeaformaunportofoliudeacoperire(sauunportofoliuf ar a risc) reprezint a baza principiului de evaluare a produselor derivate. Acest principiu alportofoliului de acoperire, la care se adaug a principiul absentei oportunit atilor de arbitraj,a permis lui Black - Scholes s a obtin a formula pretului optiuniicall sau puteuropene.Relatia ntre variatia pretului actiunii si variatia pretului optiunii se modic a n ecaremoment. Portofoliuldeacoperire, pentruaputeaefectivf ar arisc, trebuiemodicatnmod continuu. n acestcaz,spunem c a portofoliuldeacoperireesteinstantaneu f ar arisc.Altfel spus, portofoliul de acoperire este f ar a risc doar ntr-un interval de timp foarte scurt.S aconsider amc apretul optiunii call europene, notatcuC, esteofunctiedepretulactiunii, o si de timp, C= C(o. t). Stiind care este denitia procesului stocastic ce denesteevolutiacursuluiactiunii,putem aplica lema luiIt pentru a determina dinamicapretuluioptiunii.dC=JCJt+joJCJo+12o2o2J2CJo2dt +ooJCJod1 (9)unde0C0t+ jo0C0S+12o2o2 02C0S2reprezint a tendinta instantanee a pretului optiunii, iaroo0C0Sreprezint a volatilitatea instantanee a optiunii.S a constituim portofoliul f ar a risc. n ecuatia dinamicii pretului actiunii, termenul aleatoresteood1, n timp ce, n cazul dinamicii pretului optiunii, termenul aleator esteoo0C0Sd1.Pentru ca acesti doi termeni s a se anuleze, trebuie ca pozitia luat a pe o optiune s a e opus apozitieipe0C0Sactiuni. Astfel,strategia f ar a riscadoptat aesteurm atoarea: vnzarea uneioptiuni(pozitiescurt apeoptiune) sicump arareaa0C0Sactiuni(pozitielung apeactiuni).Valoarea portofoliului este: = C +JCJoo (10)Capitolul III:Modelul Black-Scholes 43Variatia valorii portofoliului ntr-un interval de timp foarte scurt este:d = dC +JCJodo (11)nlocuind n expresia de mai sus dinamicile celor dou a active dC sido, se obtine:d =

JCJt 12o2o2J2CJo2dt (12)Acest portofoliu este f ar a risc si, prin urmare, randamentul s au este egal cu rata f ar a risc.Dac a randamentul portofoliului ar diferit fat a de rata f ar a risc, investitorii ar prota de ooportunitate de arbitraj. Aceast a oportunitate ar putea exploatat a n dou a modalit ati:1)Dac arentabilitateaportofoliuluiestesuperioar arateif ar arisc,investitorulmprumut acapital la rata f ar a risc pentru a-l reinvesti cump arnd portofoliul ce ofer a un randa-ment mai bun.2)Dac a portofoliul genereaz a o rentabilitate inferioar a ratei f ar a risc, investitorul l va vindef ar a s a-l aib a (vnzare pe descoperit) si va plasa capitalul obtinut la rata f ar a risc.Asadar,d = :dt (13)unde: reprezint a rata dobnzii f ar a risc. nlocuind expresiile lui d si, se obtine:

JCJt 12o2o2J2CJo2dt =:C +:oJCJodtsauJCJt+:oJCJo+12o2o2J2CJo2 :C= 0 (14)Pretul optiunii calleuropene veric a o ecuatie cu derivate partiale, avnd conditia nal a:C (1) = max (oT 1. 0), unde 1 este pretul de exercitare. Aceast a ecuatie mai este cunos-cut a sub numele de ecuatia cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton. Se remarc afaptul c a n ecuatia cu derivate partiale nu intervine nici o variabil a ce depinde de gradul de44 Evaluareaactivelornanciareaversiune fat a de risc al investitorilor. Singurele variabile sunt: timpul, volatilitatea actiuniisau rata dobnzii f ar a risc. Nici una dintre ele nu depinde de preferinta pentru risc a investi-torilor. Cursulactiuniieste presupusa un cursdeechilibru si,prin urmare,preferintelepentru risc ale investitorilor sunt deja incluse n valoarea acestei variabile.Ecuatiacuderivatepartialenuarindependent adegradul deaversiunefat aderiscdac aeaarncorporarentabilitateainstantaneeaactiunii, j. Acest avariabil adepindedeaversiunea pentru risc a investitorilor.Pentru c a ecuatia cu derivate partiale este independent a de gradul de aversiune fat a derisc, un rationament ingenios poate folosit. Dac a parametrul riscului nu apare n ecuatie,atunci acesta nu are nici un impact asupra solutiei ecuatiei. Astfel, arbitrar, se poate alegeabsolut orice nivel de aversiune fat a de risc. n mod evident, ipoteza cea mai simpl a este dea presupune c a investitorii sunt neutri fat a de risc.ntr-un univers neutru la risc, speranta matematic a a rentabilit atii oric arui titlu nanciaresteratadobnziif ar arisc. nconsecint a, suboprobabilitateneutr alariscQW, valoareaoptiunii esteegal acusperantamatematic aapayo -ului optiunii actualizat alarataf ar arisc:C= c3vt1QW [max (oT 1. 0)] (15)Astfel, plasarea ntr-un univers neutru la risc este un simplu articiu de calcul ce conducela o rezolvare facil a a ecuatiei cu derivate partiale a lui Black - Scholes - Merton.3.3. TeoremadereprezentarealuiFeynman-KacSolutia probabilistic a a ecuatiei cu derivate partiale:JCJt+:oJCJo+12o2o2J2CJo2 :C= 0 (16)este dat a de teorema de reprezentare a lui Feynman - Kac.Capitolul III:Modelul Black-Scholes 45TeoremaFeynman-Kac. Fieqofunc tiecuvaloripozitive. q,q0 si q00suntfunc tiilipschitziene4. Atuncifunc tiaC (t. o) = 1QWc3vtq (CT)(17)esteunicasolu tielipschitzianaaecua tieicuderivatepar tiale(16).S a demonstr am acest rezultat.ntr-un univers neutru la risc, ecuatia cu derivate partiale (16) se poate scrie:;A?A=L(C) = :CC (oT. 1) = (oT 1)+(18)undeL(C) este operatorul Dynkin asociat procesului de difuzie dat de urm atoarea ecuatiediferential a stocastic a:dC=JCJt+:oJCJo+12o2o2J2CJo2dt +ooJCJod1Wt(19)S a reamintim expresia operatorului Dynkin dat de dinamica precedent a.L(C) =JCJt+:oJCJo+12o2o2J2CJo2(20)Ecuatia diferential a stocastic a vericat a de pretul optiunii se poate scriedC= L(C) dt +ooJCJod1Wt(21)Utiliznd ecuatia cu derivate partiale,L(C) = :C, ecuatia de mai sus se scrie:dC= :Cdt +c(o. t)d1Wt(22)undec(o. t) este un proces continuu si adaptat la ltratia Ftdenit de:c(o. t) = ooJCJo(23)4O functie este lipschitzian a peR dac a exist anA 0 astfel nct|j ({) j (|)|n |{ ||, oricare ar {si|.46 EvaluareaactivelornanciareEcuatia diferential a stocastic a (22) are o solutie unic a dat a de:C (oT. 1) = C (o. t) exp(:t) +ZTtc (o. n) exp(:t) d1W&(24)de unde pretul optiunii la data curent a este denit de:C= exp(:t)C (oT. 1) ZTtc (o. n) exp (:t) d1W&(25)S aaplic am, suboprobabilitateneutr alarisc, operatorulsperant amatematic aasupraacestei egalit ati. Admitnd c a speranta matematic a a integralei stocasticeZTtc (o. n) exp (:t) d1W&este nul a, pretul optiuniicall europene este dat de:C= 1QWc3vtC (oT. 1)(26) Stiind c a C (oT. 1) = (oT 1)+= max (oT 1. 0), pretul optiunii la data curent a se poatescrie:C= c3vt1QW [max (oT 1. 0)] (27)3.4. FormulapretuluiteoreticaluiBlack-Scholesn acest paragraf, vom prezenta calculul explicit al formulei pretului teoretic al optiuniidup amodelul Black-Scholes. Amv azutnmetodeleprezentatec a, suboprobabilitateneutr alarisc, pretul optiunii estedatdesperantamatematic aavalorii naleaoptiuniiactualizat alaratadobnziif ar arisc. Maiprecis,pentruooptiunecall european a,pretulteoretic este denit de:C= c3vt1QW [max (oT 1. 0)]Aplicnd denitia sperantei matematice, pretul optiunii se scrie:C= c3vtZ"3"max (oT 1. 0) ) (oT) doT(28)Capitolul III:Modelul Black-Scholes 47unde )(oT) este functia de densitate a pretului nal al actiunii ntr-un univers neutru la risc.Aceast a densitate este dat a de legea log-normal a:) (oT) =1oTos2:texp;A?A=

hln oT ln o : o22ti22o2t(29)Astfel, pretul optiuniicall se scrie:C= c3vtZ"3"max (oT 1. 0)1oTos2:texp;A?A=

hlnoT ln o : o22ti22o2tdoT(30)Prin schimbarea de variabil a: AT= lnSWS , se obtine doT= oTdAT, iar pretul optiunii poate rescris n termeni de randament (ATse interpreteaz a ca ind randamentul activului-suportla scadent a):C= c3vtZ"3"maxocAW1. 01os2:texp;A?A=

hAT : o22ti22o2tdAT(31)unde)(AT)estefunctiadedensitatealegiinormalecedescriedistributiarandamentuluiactiunii la scadent a:) (AT) =1os2:texp;A?A=

hAT : o22ti22o2tdAT(32)Pentruaeliminafunctiamaxdinexpresiapretului optiunii, seutilizeaz afaptul c aocAW 1 +,ATln1S . Prin urmare, pretul optiunii se scrie:C = c3vtZ"lnNVocAW11os2:texp;A?A=

hAT : o22ti22o2tdAT= o11c3vt112unde11=Z"lnNVcAW3vt1os2:texp;A?A=

hAT : o22ti22o2tdAT(33)48 Evaluareaactivelornanciare12=Z"lnNV1os2:texp;A?A=

hAT : o22ti22o2tdAT(34)S a determin am ecare termen ce apare n expresia pretului. n cazul termenului12, facemschimbarea de variabil a . =AW3

v3

22

toIt:12=Z"3J21s2:exp

.22d. (35)unded2=lnS1+: o22tost(36)Dar)(.) =1I2 exp

:22reprezint afunctiadedensitatealegii normalenormate. Ex-ploatnd simetria acestei legi de distributie, avemZ"3J2) (.) d.=ZJ23") (.) d. (37)Termenul12se va scrie:12=ZJ23") (.) d.= ` (d2) (38)unde`(d2) reprezint a functia de repartitie a legii normale normate.n cazul termenului11, f acnd aceeasi schimbare de variabil a, se obtine:11=Z"3J2exp:t o22t+.ost :t1s2:exp

.22d.=Z"3J21s2:exp"

(. ost)22#d.Fie = . ost. Termenul11devine:11=Z"3J23oIt1s2:exp

22d =ZJ2+oIt3"1s2:exp

22dAsadar, acest termen este egal cu:11=ZJ13"1s2:exp

22d = ` (d1) (39)Capitolul III:Modelul Black-Scholes 49unde`(d1) reprezint a functia de repartitie a legii normale normate, iar d1este denit de:d1= d2 +ost=lnS1+: +o22tost(40)n aceste conditii, formula pre tului teoretic al optiunii call europene a lui Black - Scholeseste urm atoarea:C= o` (d1) 1c3vt` (d2) (41)unded1=lnS1+: +o22tost(42)d2=lnS1+: o22tost= d1ost (43)iar `(d)estefunctiaderepartitiealegii normalenormate. Aceastaesteprobabilitateacaovariabil arceurmeaz aolegenormal anormat a, r ` (0. 1), s aeinferioar alui d,`(d) = 1:o/c(rd). Principalele propriet ati ale lui`(d) sunt:1. ` (0) =122. ` (4) = 13. ` (d) = 1 ` (d)`(d2) si `(d1) se mai numesc impropriu probabilit ati neutre la risc, cnd, de fapt, numai`(d2) este probabilitatea neutr a la risc.Utiliznd aceeasi metod a, se poate determina pretul teoretic al unei optiuni put europene,stiind c a valoarea acesteia la scadent a este: P (1) = max (1 oT. 0). Mai simplu, se poateutiliza rela tiadeparitatecall-put:P +o= C +1c3vt(44)unde P reprezint a pretul optiunii put.nlocuind n aceast a relatie formula teoretic a a pretuluioptiuniicall, se obtine formula Black - Scholes a pretului optiuniiputeuropene:P= 1c3vt` (d2) o` (d1) (45)50 Evaluareaactivelornanciareunded1 sid2sunt deniti de relatiile (42) si (43).CapitolulIV:CurbaratelordobnziiRatiunea existentei studiilor privind evaluarea obligatiunilor este c autarea unui r aspunslaontrebareresc a: careestepretulcetrebuiepl atitemitentuluidec atrecump ar atorulobligatiunii ladebutul contractului, astfel nctacestas aeunpretcorectattpentruemitent, ct si pentru detin atorul obligatiunii?Dintr-o anumit a perspectiv a,valoarea (sau pretul)uneiobligatiunieste,pur sisimplu,valoareaactual aauxurilormonetarepecaredetin atorul obligatiunii seasteapt as aserealizeze pe durata de viat a a titlului de creant a. n mod evident, aceast a perspectiv a estecriticabil a pentru c a nu este deloc realist s a se presupun a c a rata dobnzii r amne constant ape ntreaga durat a de viat a a obligatiunii. Dup a ce obligatiunea a fost emis a, valoarea ei seschimb a n decursul timpului pn a la scadent a datorit a uctuatiilor ratei dobnzii.Mai nti, s a presupunem c a rata dobnzii este o functie determinist a de timp, iar apois a consider am c a rata dobnzii este un proces stocastic, pentru a determina pretul teoretical unei obligatiuni.4.1. Ratadobnziideterminist aFie :(t) rata dobnzii determinist a denit a pentru t 5 [0. 1], unde t este data prezent a si1este data scadentei obligatiunii. Firesc, pretul obligatiunii este o functie de timp si de ratadobnzii. n acest punct,s a presupunem c a rata dobnzii nu este o variabil a de stare,darc a ea este o functie cunoscut a de timp. Prin urmare, pretul obligatiunii poate considerat5152 Evaluareaactivelornanciareca ind o functie numai de timp. Fie1 (t) si/ (t), ce semnic a pretul obligatiunii, respec-tivvaloareacuponului. Conditianal aeste: 1 (1)=1, unde1estevaloareanominal a.Ecuatia ce guverneaz a pretul obligatiunii, 1(t), t < 1, este o ecuatie diferential a ordinar a deordinul nti. Fiedt un interval foarte mic de timp de la data prezent a,t. Atunci, variatiavalorii obligatiunii esteJ1Jt dt, iar cuponul consumat este/ (t) dt. n absenta oportunit atilordearbitraj, sumaacestordou acomponentetrebuies aeegal acuratadobnzii f ar arisc: (t) 1 (t) dt n intervalul de timp dt. Astfel,d1dt+/ (t) = : (t) 1 (1) Stiind conditia nal a 1(1) = 1,t < 1, aceast a ecuatie are ca solutie analitic a:1 (t) = c3UTIv(c)Jc1+ZTt/ (n) cUTuv(c)Jcdn(2)nlimbaj nanciar, pretul obligatiunii estevaloareaprezent aavalorii nominalesi acuponului consumat. n raport cu valorile luate de :(t) si /(t), pretul obligatiunii poate ofunctie cresc atoare sau descresc atoare de timp.4.2. Evaluareaobligatiunilorzero-cuponnacest paragraf, vomar atacumse obtine ecuatiace guverneaz apretul obligatiu-nii folosindprincipiul absentei oportunit atilordearbitraj. S apresupunemc arataspotadobnzii urmeaz aunprocesstocasticcontinuucareestedescrisdeurm atoareaecuatiediferential a stocastic a:d:t= n(:. t) dt + (:. t) d1t(3)unde1treprezint a o miscare brownian a standard, iarn(:. t) si2(:. t) reprezint a tendinta,respectivvariantainstantaneearateidobnzii :(t). naceast aanaliz a,pretulobligatiuniidepinde numai de rata spot a dobnzii :(t), de data curent a t si de data scadentei 1. Astfel,Capitolul IV:Curbaratelordobnzii 53vorbim demodeledeevaluarecuun singurfactoratuncicndvaloarea activuluinanciardepinde de o singur a variabil a stocastic a1, rata dobnzii spot:(t).Dac a scriem pretul obligatiunii ca o functie de rata spot si de timp, 1(:. t), putem aplicalema lui It, care ne va da dinamica pretului obligatiunii:d1t =J1Jt+nJ1J:+122J21J:2dt +J1J: d1t(4)Dac a scriem:d1t = j11tdt +o11td1t(5)atuncij1=11tJ1Jt+nJ1J:+122J21J:2(6)o1=11tJ1J:(7)undej1si o1reprezint arandamentul (sautendinta)instantaneu, respectivvolatilitateainstantanee a obligatiunii. Pentru a obtine ecuatia pretului obligatiunii, putemutiliza diferitemetode de evaluare.Pentru a acoperit mpotriva variatiilor pretului obligatiunii cauzate de variatiile unuialt activ, agentul economic poate s a adopte o pozitie scurt a sau lung a asupra acestui activdeclansator de variatii. Deoarece rata dobnzii nu este un activ negociabil, aceast a operati-une de hedging este imposibil a. n aceste conditii, agentul economic este obligat s a pl ateasc ao prim a de risc pentru a acoperit mpotriva variatiilor ratei dobnzii.S a vedem n ce modalitate putem realiza o operatiune dehedgingpentru obligatiuni dematurit ati diferite. Vomconstrui urm atorul portofoliu: vomcump araoobligatiunedeounitatemonetar anvaloarede\1cumaturitatea11sivomvindeoalt aobligatiunedeounitate monetar a n valoare de \2 cu maturitatea 12. Valoarea portofoliuluieste dat a de: = \2\1(8)1O singur a variabil a de stare.54 Evaluareaactivelornanciaren raport cu dinamica (5) pretului obligatiunii, variatia valorii portofoliului n timpul dt estedat a de:d = [\2j1 (:. t. 12) \1j1 (:. t. 11)] dt + [\2o1 (:. t. 12) \1o1 (:. t. 11)] d1 (9)S a presupunem c a \1 si\2sunt denite de relatiile urm atoare\1=o1 (:. t. 12)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11) (10)\2=o1 (:. t. 11)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11) (11)astfelncttermenulstocasticdinecuatiaportofoliuluis adispar a. Ecuatiaceguverneaz avaloarea portofoliului devine:d =o1 (:. t. 11) j1 (:. t. 12)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11) o1 (:. t. 12) j1 (:. t. 11)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11)dt (12)ncazul ncareinvestitorii auoatitudineneutr afat aderisc, pepiatananciar aseproduceunfenomenfundamental: toateactivelenanciareauacela si randament sperat,egal curatadobnziifarariscnabsen taoportunita tilordearbitraj. n consecint a, ntr-ununivers neutru la risc, exist a o singur a rat a de actualizare, aplicabil a la oricare ux monetar:rata dobnzii f ar a risc. S a d am o denitie riguroas a: sub ipoteza absentei oportunit atilor dearbitraj si a unui univers neutru la risc, dac a exist a un activ f ar a risc, exist a o probabilitate: pentru st arile posibile ale naturii la care speranta matematic a a randamentului unui activnanciar este egal a cu randamentul activului f ar a risc.Atunci cndportofoliul deobligatiuni estef ar arisc, pentruablocaoportunit atiledearbitraj, randamentul s autrebuies aeegal curatadobnzii f ar arisc, d=: (t) dt.Asadar, n absenta oportunit atilor de arbitraj:o1 (:. t. 11) j1 (:. t. 12)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11) o1 (:. t. 12) j1 (:. t. 11)o1 (:. t. 12) o1 (:. t. 11)dt = : (t) dtde unde, prin combinarea termenilor,j1 (:. t. 12) : (t)o1 (:. t. 12)=j1 (:. t. 11) : (t)o1 (:. t. 11)(13)Capitolul IV:Curbaratelordobnzii 55Relatia de mai sus r amne valabil a pentru orice date de scadent a arbitrare 11 si12. Astfel,raportuljT(v,t)3v(t)oT(v,t)artrebuies aeindependentdeoricematuritate1. S anot amacestraport cu `(:. t):`(:. t) =j1 (:. t) : (t)o1 (:. t)(14)Cantitatea`(:. t)senumestepre tul depia taal riscului derataadobnzii. Acestaseadaug arateidobnzii f ar arisc si conducelaocrestereasperanteimatematicearateiderandament instananee a obligatiunii.Dac a nlocuim expresiile luij1sio1n formula pretului de piat a al riscului, se obtine:11tJ1Jt+nJ1J:+ 122J21J:2: = `11tJ1J:(15)Prin urmare, n absenta oportunit atilor de arbitraj, pretul obligatiunii este solutia urm atoareiecuatii cu derivate partiale:J1Jt+ (n `) J1J:+ 122J21J:2 :1= 0 (16)avndconditianal a: 1 (1. 1) =1. Deoareceratadobnzii nuesteunactivnegocia-bil, nupoteliminatepreferinteleinvestitorilorpentrurisccuanticateprin`(:. t). nconsecint a, sepoateobtineformulapretului obligatiunii prinrezolvareaacesteiecuatiicuderivate partiale.4.3. UnmodelsimpludeevaluareS anepozition amncadrul unui universneutrularisc. Amv azut c a, nacestcaz,dinamica ratei dobnzii este dat a de ecuatia:d:t= [n(:. t) `(:. t) (:. t)] dt + (:. t) d1Wt(17)si c a pretul obligatiunii este solutia unei ecuatii cu derivate partiale:J1Jt+ (n `) J1J:+ 122J21J:2 :1= 0 (18)56 EvaluareaactivelornanciarePentruadeterminapretul obligatiunii, sepotfacectevaipotezesimplicatoare. Sianume, s a presupunem c a tendinta instantanee si volatilitatea instantanee a ratei dobnziisunt constante. S a not am acesti parametri cu:j = n ` = constant si o = = constantastfel nctd:t= jdt +od1Wt(19)Ecuatia cu derivate partiale se va scrie:J1Jt+jJ1J:+ 12o2J21J:2 :1= 0 (20)Pentruadeterminasolutiaacestei ecuatii, s anot amduratadeviat aaobligatiunii cut= 1 t si s a consider am apriori c a pretul obligatiunii este egal cu:1 (t. 1) = exp[:t+1 (t)] (21)Prin urmare, derivatele partiale sunt egale cu:;AAAA?AAAA=010t=0 exp[3vt+1(t)]0t=h: 01(t)0ti1010v=0 exp[3vt+1(t)]0v= t10210v2=02exp[3vt+1(t)]0v2= t21(22)Ecuatia cu derivate partiale devine:: jt+12o2t2: J1 (t)Jt1= 0 (23)n consecint a,1 (t) este solutia urm atoarei ecuatii diferentiale ordinare:d1 (t)dt= jt+12o2t2(24)avnd conditia initial a: 1 (0) = 0. Expresia lui1 (t) va :1 (t) =16o2t3

12jt2(25)Capitolul IV:Curbaratelordobnzii 57nlocuind expresia lui1 (t),formulapre tuluiobliga tiunii este dat a de:1 (t. 1) = exp:t 12jt2+16o2t3(26)Avnd expresia pretului obligatiunii, putem deduce formula randamentului la scaden ta (yieldtomaturity):1(t. 1) = : +12jt 16o2t2(27)siformularateiforward(sau rata la termen):) (t. 1) = : +jt 13o2t2(28)Prin integrare, ecuatia diferential a stocastic a (19) are urm atoarea solutie::T= : +jt+oZTtd1Wc(29)Deoarece speranta matematic a a integralei stocastice este nul a, speranta matematic a a rateiviitoare a dobnzii conditionat a de rata curent a a dobnzii este egal a cu:1[:T|:t= :] = : +jt (30)Deci,) (t. 1) = 1[:T|:t = :] 13o2t2(31)Prin urmare, rata forward nu este cel mai bun estimator al ratei viitoare a dobnzii. Eroareadeestimareesteegal a cu13o2t2. Dac a viitorulestecunoscutcu certitudine,termenulsto-casticdispare,volatilitatearateidobnziivanul a, o=0, iarrataforwardvacelmaibunestimatoralrateiviitoare. Mediaratelordobnziiasteptates aserealizezepeduratade viat a a obligatiunii este1tZTt1 [:c|:t= :] d: =1tZTt[: +j(: t)] d: = : +12jt (32)de unde concluzia c a aceasta difer a de randamentul la scadent a cu16o2t2.58 EvaluareaactivelornanciarePentru j0, se asteapt a ca rata dobnzii s a scad a, iar curba randamentului la scadent asi aratei forwardsuntmonotondescresc atoarenraportcumaturitatea. Pentruj 0,acestea cresc si apoi descresc atunci cnd efectul incertitudinii ncepe s a domine. n ambelecazuri, curbelesi mentinntotdeaunaaceeasi form andecursul timpului. Numai nivelullorseschimb adup acumuctueaz aratadobnzii. Comportamentul-limit aalrateloresteurm atorul: 1(t. 1) $4si) (t. 1) $4 atunci cnd 1 $4.Pentru obligatiunile pe termen scurt, pretul acestora scade cu maturitatea 1. n punctulncarerataforwarddevinenegativ a, t =j +pj2+ 2o2:,o2,derivataJ1,J1devinepozitiv a. Spreexemplu,pentruj=0, o=0. 02 si :=10%,pretulminim alobligatiuniise obtine ntre 22 si 23 ani ceea ce nseamn a c a modelul nu ofer a o bun a calibrare a datelorreale. Comportamentul-limit a este: 1 (t. 1) $4, atunci cnd 1 $4.Evident c a aceste slabe calit ati ale modelului provin din ipoteza f acut a, si anume c a ratadobnzii esteunprocesbrowniangeneralizat(merslantmplare). Presupunndc aratadobnzii urmeaz a un mers la ntmplare, varianta lui:Tcreste f ar a limit a. Astfel, aparitiaunorvalorimaripozitive, dar sinegativealeratei dobnziidevin, prinurmare, destuldeprobabile. Vasicek (1977) si Cox, Ingersoll si Ross (1985) au contribuit prin modelele lor larezolvarea acestor probleme.4.4. ModelulVasicekVasicekpropuneunmodel ncarerataspotadobnzii urmeaz aunprocesOrnstein-Uhlenbeck:d:t= / (o :t) dt +od1t(33)unde/, o, osuntparametriconstanti, strictpozitivi. Parametrul /senumestevitezaderevenirelamedie, osenumestemediapetermen lunga rateidobnzii,iaroestevolatili-tateainstantaneearatei dobnzii. Mediainstantaneearatei dobnzii esteproportional acu diferenta ntre valoarea ratei dobnzii si media ei pe termen lung. Astfel, exist a o fort aCapitolul IV:Curbaratelordobnzii 59ce actioneaz a ntotdeauna asupra valorii ratei dobnzii pentru a determina-o s a se ntoarc aspre media ei pe termen lung. Procesul Ornstein - Uhlenbeck se mai numeste si proces derevenire la medie2.S aexplic amacestfenomenderevenirelamedieceguverneaz aevolutiarateidobnzii.Exist aargumentemacroeconomicenfavoareaacestuicomportament. Atuncicndrateledobnzii sunt ridicate, economia tinde s a ncetineasc a si cererea de fonduri din partea celorce se mprumut a este slab a. n consecint a, ratele vor ncepe s a scad a. Cnd ratele dobnziisuntsc azute, cerereadefonduri sinum arulcelorcesemprumut avormari, ceeacevaduce la o crestere a ratelor. Utiliznd denitia general a a dinamicii ratei dobnzii,d:t= n(:. t) dt + (:. t) d1tavemn(:. t) = / (o :t) si (:. t) = o. Sub o probabilitate neutr a la risc, ecuatia diferential astocastic a se scrie:d:t = [/ (o :t) `o] dt +od1Wt(34)4.4.1. ProcesulstocasticS a determin am speranta matematic a si varianta ratei viitoare a dobnzii, plecnd de ladenitia procesului Ornstein - Uhlenbeck urmat de variabila de stare. Utiliznd lema lui Itpentru At = (:to) cIt, obtinem:dAt= /cIt(o :t) dt +cIt/ (o :t) dt +cItod1t(35)ceea ce implic a:dAt = cItod1t(36)Prin integrare:AT At = oZTtcIcd1c(37)2Meanrevertingprocess(engl.).60 Evaluareaactivelornanciarede unde(:T o) cIT= (:to) cIt+oZTtcIcd1c(38)sau:T= o + (:to) c3I(T3t)+oZTtc3I(T3c)d1c(39)ceea ce reprezint a forma explicit a a solutiei ecuatiei diferentiale stocastice.Aplicnd operatorul sperant a matematic a conditional fat a de rata dobnzii la data curent at, obtinem:1 [:T|:t= :] = o + (:to) c3I(T3t)(40)S adetermin amvariantaconditionat aaratei viitoareadobnzii. Astfel, stiindcareestevarianta unei integrale stocastice, obtinem:\ 1[:T|:t = :] = o2ZTtc32I(T3c)d: = o2c32ITZTtc2Icd:= o2c32ITc2ITc2It2/ =o22/1 c32I(T3t)Deci,\ 1[:T|:t = :] =o22/1 c32I(T3t)(41)n concluzie,dac a rata curent a a dobnzii, :t,estecunoscut a,rata viitoarea dobnzii,:T, esteovariabil agaussian adesperant amatematic ao + (:to) c3I(T3t)si devariant ao22I1 c32I(T3t).Mai general, dac a:c, t : 1esteovariabil aaleatoaregaussian aindependent ademiscarea brownian a 1, familia :Teste un proces gaussian de sperant a matematic a:1[:T] = o1 c3I(T3c) +1[:c] (42)si de variant a:\ 1[:T] = c32I(T3c)\ 1[:c] +o22/1 c32I(T3c)(43)Capitolul IV:Curbaratelordobnzii 61Mai mult, media temporal a a ratelor spot ale dobnzii este o variabil a aleatoare gaussian ade sperant a matematic a:1ZTt:&dn|Ft=ZTt1[:&|Ft] dn =ZTto + (:to) c3I(T3&)dn= o (1 t) +:tc3ITcITcIt/oc3ITcITcIt/= o (1 t) + (:to) 1 c3I(T3t)/(44)si de variant a:\ 1ZTt:&dn|Ft = o22/31 c3I(T3t)2+o2/2(1 t) 1 c3I(T3t)/(45)4.4.2. Pretulobligatiuniizero-cuponPrin urmare, am v azut care sunt propriet atile procesului Ornstein - Uhlenbeck. Astfel,stim c a att rata viitoare a dobnzii, ct si media temporal a a ratelor dobnzii sunt variabilegaussiene. S aevalu ampretul obligatiunii atunci cndratadobnzii urmeaz aunprocesdetipOrnstein-Uhlenbeck. S arescriemecuatiacuderivatepartialevericat adepretulobligatiunii, cnd n(:. t) = / (o :t) si (:. t) = o:J1Jt+ [/ (o :) `o] J1J:+12o2J21J:2 :1= 0 (46)S aconsider amc apretul depiat aal riscului, `, esteconstantsi s arezolv amaceast aecuatiepentruaobtinepretul teoretical obligatiunii. S apresupunemc asolutiaestedetipul:1 (t. 1) = exp [:G(t) +1 (t)] (47)nlocuind aceast a solutie n expresiile derivatelor partiale, se obtine:;AAAA?AAAA=010t= :10G(t)0t101(t)0t010v= G(t) 10210v2= G2(t) 1(48)62 Evaluareaactivelornanciarede unde1:JGJt

J1Jt+ [/ (o :) `o] G+12o2G2: = 0e::

JGJt/G1 =J1Jt (/o `o) G 12o2G2(49)Aceast a ecuatie este vericat a pentru orice valoare a lui :. Pentru aceasta, termenul carese multiplic a cu: si cel independent de:trebuie s a e nuli. Deci avem un sistem de dou aecuatii diferentiale ordinare:dGdt= /G1 (50)d1dt= (/o `o) G+12o2G2(51)cu conditia initial a: G(0) = 0 si1 (0) = 0 care provine din 1 (t. 1) = 1. Solutiile sunt:G(t) = 1 c3It/(52)1 (t) = o `o/

o22/2t+o `o/

o22/2 1 c3It/+o24/31 c32It= 1"t+1"1 c3It/

o24/31 c3It2(53)undet =1t. Asadar, rezolvndsistemuldeecuatiidiferentiale, seobtineurm atoareaformulaapre tuluiobliga tiunii:1 (t. 1) = exp1"t+1":/1 c3It

o24/31 c3It2(54)n care 1" reprezint a randamentul unei obligatiuni zero-cupon de maturitate innit a. Acestaeste egal cu:1" = o `o/

o22/2(55)Folosind ecuatia diferential a stocastic a (??), dinamica pretului obligatiunii se scrie:d1t= (:t +`oG(t)) 1tdt +oG(t) 1td1t=:t`o1 c3It/1tdt o1 c3It/1td1t(56)Capitolul IV:Curbaratelordobnzii 63Ratarandamentului instantaneual obligatiunii zero-cuponsi volatilitateasainstantaneesunt egale cu:j1= : `o1 c3It/(57)o1= o1 c3It/(58)n modelul Vasicek,formularateiforwardeste urm atoarea:) (t. 1) = 1"(1":) c3It+o22/21 c3Itc3It(59)iar primadelichiditateeste denit a de:) (t. 1) 1[:T|Ft] = 1"(1":) c3It+o22/21 c3Itc3Ito (: o) c3It=1"o +o22/2c3It1 c3It(60)Acest model este criticabil din mai multe puncte de vedere: coecientii sunt constanti ntimp, iar rata lung a de maturitate innit a, ) (t. 4), este constant a, ceea ce nu se observ a npractic a.Volatilitatea obligatiunii este o1= o13c3I:I. Prin urmare, cu ct maturitatea este mare,cu att volatilitatea este ridicat a. De asemenea,j1 (t. 4) = : +`o/(61)o1 (t. 4) =o/(62)Formula randamentului la scaden ta se determin a usor, stiind c a 1(t. 1) = 1tln 1 (t. 1):1(t. 1) = 1" + (: 1") 1 c3It/t+o24/3t1 c3It2(63)Dac a studiem curba1 $1(t. 1), observ am c a:1(t. t) = : (t) si 1(t. 1) $T T(ctig fr risc) Inpracticexistposibilitidearbitraj(nspecialpepiaavalutar),nsaceste oportuniti sunt de scurt durat i dispar repede. De aceea teoria financiar presupune c nu existoportunitidearbitraj.Aceastipotezestecunoscutsubnumeledeprincipiul arbitrajului. OconsecinaacestuiprincipiuestecdacdouactivefinanciareAiBauacelai payoff la momentul T ( ( ) ( ) T TB A = ) ele vor avea aceeai valoare pentru fiecare moment de timpT t < .Intr-adevrdacampresupunecexistunmomentdetimptastfelnct ( ) ( )0 0t tB A > atunciamputeaconstruiunportofoliudearbitraj.Astfelamputeaconsidera portofoliulformatdintr-opoziieLONGpeounitatedinactivulB,opoziieSHORTpeo unitate din activul A i dintr-o poziie LONG pe un numr de ( ) ( )( )00 0t T rB Aet t obligaiuni zero cupon fr risc cu scadena T. La momentul 0tavem: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )0000 00 0 0= + = t T rt T rB AA Beet tt t tiar la momentul T: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )0 10 00 0 0 0> = + = t T rB At T rB AA Bet tet tT T T5Deciportofoliulesteportofoliudearbitraj,nclcndu-seastfelprincipiul arbitrajului. In consecin ( ) ( ) t tB A = pentru orice moment de timpT t < . 1.4 Principiul evalurii neutre la risc Principiul evalurii neutre la risc se refer la faptul c, n lipsa oportunitilor de arbitraj, valoarea unui activ financiar se poate calcula ca o medie (fa de aa-numita probabilitate neutr larisc)acash-flow-urilorviitoaregeneratedeacestactivfinanciaractualizatelamomentulla care se face evaluarea. ConformacestuiprincipiudacunactivfinanciarareunpayofflamomentulTdatde ( ) T atunci valoarea sa la momentul zero este: ( ) ( ) [ ] T e ErT = *0(1.1) unde am notat cu *Emedia fa de probabilitatea neutr la risc, iar pentru actualizare s-a folosit rata instantanee a dobnzii ( r ) presupus ca fiind constant pe perioada 0-T.In cazul unei aciuni care nu pltete dividende pe perioada 0-T dac notm cuScursul la momentul 0 i cu TScursul la momentul T vom avea c[ ]TrTS e E S=*. DeasemeneadacconsidermoobligaiunezerocuponfrrisccuscadenTi valoarenominal1u.m,aplicndprincipiulevaluriineutrelariscobinemcvaloareala momentul 0 a acestui activ financiar este( ) [ ]rT rTe e E T B = = 1 , 0*. 1.5 Produse financiare derivate Un produs financiar derivat este un activ financiar a crui valoare depinde de cursul unui altactivnumitactivulsuport.Activulsuportpoatefioaciune,unindicebursier,ovalut,o obligaiune sau un alt instrument derivat. 1.5.1 Contract forward i futures Uncontractforwardesteonelegereprincareoparteseobligscumpere,iar cealalt parte s vnd un activ financiar la un moment viitor (scadena contractului) la un pre stabilitnmomentulncheieriicontractului(preulforward).Investitorulcareseobligs cumperesespunecaareopoziieLONGpecontractulforward,iarcelcareseobligas cumpere are o poziie SHORT pe respectivul contract.6Ocaracteristicimportantaunuicontractforwardestecvaloareasainiialeste zero.Astfelniciunadinprileimplicatencontractnutrebuiesplteascceleilalteprio sum de bani n momentul ncheierii contractului.Payoff-ul la scaden (momentul T) pentru o poziie LONG pe un contract forward este egal cuF ST unde TSeste cursul activului suport la momentul T, iarFeste preul forward stabilitnmomentulncheieriicontractului.Intr-adevrinvestitorulcarearepoziialongpe contractulforwardesteobligatprincontractscumpereactivulsuportlaunpreegalcuF . Dupcumprareaactivuluisuportinvestitorulvaaveaopoziielongpeactivulsuport.Ins valoareapepiaarespectivuluiactivsuporteste TS .Prinnchidereaacesteipoziiilongse genereazunfluxdeveniturisaucheltuieliegalcuF ST .Deoarecevaloareainiiala contractuluiforward este zerofuncia de profit sau pierdereesteidentic cu funciade payoff. Poziia SHORT pe contractul forward va avea un payoff egal cu TS F . Trebuiesubliniatfaptulcpreulforwardnureprezintvaloareacontractului forward.Aacumamspusvaloareainiialacontractuluiforwardestezero.Preulforward (stabilitnmomentulncheieriicontractului)estecursullacaresevaefectuatranzaciala momentul T (scadena contractului). Fie( ) T t F ,preul forward pentru un contract ncheiat la momentul t i cu scaden T, iar ( ) T t s f , ,valoarea la momentul s a unui contract forward iniiat la momentul t i avnd scadena T. tim c( ) 0 , , = T t t f . Sdeterminmpentrunceputpreulforwardpentruoaciunecarenupltete dividendpeperioadadeexistenacontractuluiforward.Vomnotacu tS cursulaciuniila momentul t. Aplicmprincipiularbitrajului.ConsidermdouportofoliiAiB.PortofoliulAeste formatdintr-opoziieLONGpeuncontractforwardncheiatlamomentultiscadenTio poziieLONGpeunnumregalcu( ) T t F , deobligaiunizerocuponfrrisccuscadenaT (prescurtatecuozc).PortofoliulBesteformatdintr-opoziieLONGpeounitatedinactivul suport. Avem c la scaden: ( ) ( ) ( )Tul payoffT AS T t F T t F S T = + = 1 , ,forward ui contractul 43 42 1 ( )T BS T = . 7Deciceledouportofoliiauacelaipayofflascadenicaurmarevoraveaaceeai valoare si la momentul t ( ( ) ( ) t tB A = ). Avem c: ( ) ( )( )tt T rS e T t F T t t f = + , , ,innd seama de faptul ca valoarea iniial a contractului forward este zero obinem c preul forward la momentul t pentru scadena T al unei aciuni este dat de relaia: ( )( ) t T rte S T t F= ,(1.2) Evidentc( )TS T T F = , ceeacenseamncpreulforwardtindectrecursulspotpe msur ce ne apropiem de scaden. Carevafinsvaloareacontractuluiforwardlaunmomentdatt s > .Celedou portofolii vor avea datorit principiului arbitrajului aceeai valoare pentru orice moment de timp t s > .Caurmarevomaveac(preulforward( ) T t F , pentrucontractulforwardncheiatla momentul t rmne constant pentru ntreaga perioad t-T): ( ) ( )( )svaloareas T rS e T t F T t s f = + 3 2 1s momentul laozc, , , Deci: ( ) ( )( )0 , , , = s T rse T t F S T t s fInconcluzievaloareainiialacontractuluiforwardestezero,nspeparcursvaloarea contractului este diferit de zero.

Sdeterminm ncontinuarepreul forwardpentru o valut. Vom notacu tScursul valutar la momentul t exprimat astfel: interna valuta de unitati straina valuta unitate 1tS =Deasemeneamainotmcu fr ratainstantaneeadobnziintaradeproveniena valutei strine. ConsidermdouportofoliiAiB.PortofoliulAareaceeaicomponencancazul unei aciuni. Portofoliul B este format dintr-o poziie LONG pe un numr de ( ) t T rfe uniti din valuta extern. Spre deosebire decazulanterior, deinerea de ctreinvestitor a unei uniti din valutaexternimreteposibilitiledeinvestiiielputnd-odepunelaobancdincealalt arisfieremuneratcuratainstantaneeadobnzii fr .Astfellascadenpayoff-ul portofoliului B, exprimat n valut intern, va fi: 8( )( ) ( )Tt T r t T rT BS e e S Tf f= = 4 43 4 42 1interna in valuta exprimatare fructifica din obtinuta suma Payoff-urilecelordouportofoliisuntegalelascaden,deciilaunmomentanterior vor avea aceeai valoare: ( ) ( )( )( ) t T rtt T r fe S e T t F F t t f = + , , ,Ca urmare: ( )( )( ) t T r rtfe S T t F = ,(1.3) Sepoateartacpreulforwardncazulncareactivulsuportareorat instantanee a dividendului egal cuq(i.e. in fiecare moment t acest activ pltete un dividend egal cu tqS , undetSeste cursul spot al activului la momentul t) este: ( )( )( ) t T q rte S T t F = ,(1.4) Contractul futures este o nelegere prin care o parte se oblig s cumpere, iar cealalt parte s vnd un activ financiar la un moment viitor (scadena contractului) la un pre stabilit n momentulncheieriicontractului(preulfutures).Incondiiilencareseconsidercrata dobnziiesteconstantpeperioadaanalizatsepoateartacpreulforwardesteegalcu preul futures. 1.5.2 Opiuni 1.5.2.1 Proprieti Opiunilesuntprodusefinanciarecareoferdreptul(neexistndnsiobligaia)dea cumprasaudeavindeunactivsuport.Acesteinstrumentefinanciaresetranzacioneazin special la burs, ins unele contracte cu caracteristici mai complexe pot fi achiziionate pe piaa OTC. Opiunile pot fi de tip CALL (de cumprare) sau de tip PUT (de vnzare). Opiunea CALL este un contract prin care se specific c partea LONG (cumprtorul contractului)aredreptulscumperelascaden(T)activulsuportalcontractuluilaunpre stabilitnmomentulncheieriicontractuluinumitpredeexerciiu(E).Cumprtorulopiunii 9nuarensiobligaiadeacumpraactivulsuportcumerancazulunuicontractforward. Vnztorul opiunii se spune c are poziie SHORT. OpiuneaPUTesteuncontractprincaresespecificcparteaLONG(cumprtorul contractului) are dreptul s vnd la scaden (T) activul suport al contractului la un pre stabilit nmomentulncheieriicontractuluinumitpredeexerciiu(E).Cumprtorulopiuniinuare ns i obligaia de a vinde activul suport. Dac partea LONG pune n aplicare dreptul specificat n contract se spune c opiunea a fost exercitat. Dup momentul n care pot fi exercitate opiunile pot fi: de tip european pot fi exercitate doar la scaden; de tip american pot fi exercitate n orice moment pn la scaden; de tip bermudan pot fi exercitate la anumite mo