cálculo diferencial e integral de una variable 1 funciones vectoriales de una variable real

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Funciones Vectoriales

de una Variable

Real

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Contenidos

• Habilidades• Funciones Vectoriales de Variable Real• Límite• Continuidad

• Curvas en el Espacio R3

• Derivadas• Curvas regulares• Integrales

ir

ir

ir

ir

ir

ir

ir

ir

33


Habilidades

• Define el concepto de función vectorial. Su extensión.• Calcula el límite de una función vectorial y determina si

es continua en un punto.• Determina la función vectorial de una curva en el

espacio.• Describe geométricamente las curvas definidas por

funciones vectoriales. • Determina la derivada de una función vectorial, su

vector tangente unitario.• Interpreta geométricamente la derivada y determina la

ecuación paramétrica de la recta tangente.

44


Habilidades

inicio

• Representa geométricamente una curva en R2, graficando su vector posición y vector tangente.

• Define curva suave (regular) y determina la suavidad de la misma.

• Calcula integrales de funciones vectoriales.

55


0 0 0P x ; y ; z

r t

a a ;a ;a 1 2 3

r( t ) P t a 0

r( t ) x ta ; y ta ; z ta 0 1 0 2 0 3

Funciones Vectoriales

66


Definición

Nota: Esto significa que para cada número t, del dominio de r, hay un vector único V, denotado por r(t).

1 2

:

; ; ...

n

n

r I

t r t f t f t f t

Es una función vectorial, donde son las coordenadas de r.

niRIfi ,...,,,: 21

77


a)

b) t

r t t ; t ; t

r( t ) ln t; ;et

2 1 5

11

Encuentre el dominio de r(t).

Ejemplo

Dadas las funciones:

inicio

Nota: El dominio de una función vectorial, está determinado por el mayor conjunto de la variable t, para la cual la expresión r(t) esté definida.

88


Dada

¿Es posible encontrar ?

Límite de una función en un punto.

2

cos1;;

t

t

t

sentttr

trt

0

lim

99


O

x

y

z r(t)

1 2 3r (t ) f (t ), f (t ), f (t )

0 0 0 0

1 2 3 t t t t t t t tlim r(t ) lim f (t ), lim f (t ), lim f (t )

)( 0tr

0tt

Límite

1010


Ejemplo

Halle los siguientes límites:

inicio

tt -1

t-1t +3

t

tan t;

1lim

2;

tlim t - 1(e-t ; ; atan(t))

t + 1

1111


¿Es ?

Ejemplo

trrt

0

lim0

2

10

10 1 0

2

sent cos tt; ; , t

t tr t

; ; , t

1212


x

Es continua en t0 , si: 0

0 t tLim r(t ) r t

O

y

z

r(t)

)( 0tr

0tt

Continuidad

inicio

3

1 2 3

r : I

t r t f t ; f t ; f t

x

1313


Curvas en el espacio R2 y R3

Ejemplo 1: Trace e identifique la curva definida por lasecuaciones paramétricas x=t2-2t; y= t + 1 y t perteneceA los reales.

Ejemplo 2: Halle una función vectorial que representea la curva de intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el Plano y + z = 2.

1414


El conjunto C de todos los puntos del espacio (x,y,z) donde x=f(t); y= g(t); z=h(t) y t varía el intervalo I.

Curvas en el espacio R3

It

x= f(t)

C

;: y = g(t)

z = h(t)

Nota 1: Las ecuaciones x=f(t); y= g(t); z=h(t), son funciones continuas, y se denominan ecuaciones paramétricas de C; t es el parámetro.

Nota 2: Las ecuaciones x=f(t); y= g(t); z=h(t) se pueden interpretar como un vector de posición de la función vectorial r(t).

1515


a) 2

b) 3

r t t; t; t

r (t ) sent; ; cos t

Ejemplo

Dadas las funciones:

Describa geométricamente la curva y trace las mismas

1616


z

Curva C

y2yx 22

zy

y

x

z

Ejemplo

Describaanalíticamentela curvagenerada porcilindro y elplano.

1717


2 2

2 2 2

31) 1

32 4

z x y ; z y

z x y ; y x

Ejemplo, 31 Pág. 842

Encuentre una función vectorial que represente la curva de intersección de las dos superficies:

1818


x t cos t ; y tsent ; z t

Ejemplo

¿Es cierto que la curva con ecuacionesparamétricas

se encuentra en el cono 2 2 2 ?z x y

Si es cierto utilice este dato para trazar dicha curva.

inicio

1919


C

P Q

x

z

y

Derivadas

) ( )0

lim 000

-+h

trhtrhtr

0tr

0r t h

0r t

2020


1 2 3 en r (t ) f (t ), f (t ), f (t ) I

Teorema

1 2 3r t f t ; f t ; f tSea , cuando f, g, y h son

funciones derivables en I, entonces:

Ejemplo 1:

a) Encuentre la función derivada de

b) Halle el vector tangente unitario en el punto donde t = 0

ktsenjteittr t

21 3

Ejemplo 2: Dada la ecuación vectorial

a) Trace la curva plana.

b) Halle

c) Trace el vector de posición y el vector tangente para el valor de .

2 3r t sent i cos t j

r t

r t r t

3t

2121


Velocidad y acelaración

Vector Tangente Unitario

Vector Normal Unitario

Vector Velocidad

Rapidez

Vector Aceleración

trtr

tT

T tN t

T t

trtv

v t r t

v t r t

2222


Ejemplo

1. Una partícula se mueve describiendo la curva dada por . Halla la velocidad y la aceleración en cada instante.

2. Calacular

tsentttr ,,cos

2323


a) Dt u(t) + v(t) = u(t) + v(t)

b) Dt cu(t)=c u(t)

c) Dt u(t) v(t)= u(t) v(t) + u(t) v(t)

d) Dt u(t) v(t)= u(t) v(t) + u(t) v(t)

Regla de Derivación Pág.846

2424


30 0 TL P / P r t t r t , t

Ejemplo : Sea r(t) = ( 2cos t; sen t; t ).

a) Hallar r(t).b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto en P(0, 1, /2).

Recta Tangente

inicio

2525


Dado

Curvas Regulares

Se dice que C es regular, si son continuas y no se anulan excepto quizás en los extremos de I.

;1f

2f

3f

;

Nota: El texto usa término suave en lugar de regular.

It

tfz

tfy

tfx

C

;:

3

2

1

2626


Ejemplo

Determine si la curva dada por medio de la función vectorial, r(t)=(1+t3; t2) es regular (suave).

2727


A

BC

x

y

z

t z

tsen(t) y

(t) x

C : 2;0;3

cos3

a) Verificar que es curva regular (suave)

b) Trace la curva como intersección de dos superficies

Ejemplo

Dada las ecuaciones:

inicio

2828


Integrales

kdtthjdttgidttfdttrb

a

b

a

b

a

b

a

1 1 1 1

n n n n

i i i i in ni i i i

lim r t t lim f t t i g t t j h t t k

1

b n

i inia

r t dt lim r t t

FIN

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