calculo numerico_newton_dif_div-1

Calculo NumericoInterpolacao Polinomial

Interpolacao de LagrangeMetodo de Newton

Joao Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica

(Burden & Faires)

Sumario

Introducao a Diferencas Divididas

Notacao de Diferencas Divididas

Interpolacao Polinomial Por Diferencas Divididas (Metodo deNewton)

Sumario

Uma nova representacao algebrica para Pn(x)

Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.

As diferencas divididas de f com relacao a x0, x1, , xn saousadas para expressar Pn(x) na forma

Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+ +an(xx0) (xxn1)

para constantes apropriadas a0, a1, , an.

Suponha que Pn(x) e o n-esimo polinomio de Lagrange queinterpola uma funcao f nos pontos distintos x0, x1, , xn.

Embora este polinomio seja unico, existem representacoesalgebricas alternativas que sao uteis para certas situacoes.

Para determinar a primeira destas constantes, a0, note que sePn(x) e escrito na forma acima, entao avaliar Pn(x) em x0deixa apenas o termo constante a0, isto e:

a0 = Pn(x0) = f(x0)

Similarmente, quando P (x) e avaliado em x1, apenas ostermos nao nulos na avaliacao de Pn(x1) sao os termosconstantes e linear:

f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)

a1 = f(x1) f(x0)x1 x0

a0 = Pn(x0) = f(x0)

f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)

a1 = f(x1) f(x0)x1 x0

a0 = Pn(x0) = f(x0)

f(x0) + a1(x1 x0) = Pn(x1) = f(x1)

a1 = f(x1) f(x0)x1 x0

A notacao das Diferencas Divididas

Nos apresentaremos a notacao da Diferenca-Dividida, que estarelacionada com a notacao do 2 de Aitken

A 0-esima diferenca dividida de uma funcao f em relacao axi, denotada por f [xi] e o valor de f em xi:

f [xi] = f(xi)

As demais diferencas divididas sao calculadas recursivamente.

f [xi] = f(xi)

A primeira diferenca dividida de f com relacao a xi e xi+1 edenotada por f [xi, xi+1] e e definida por:

f [xi, xi+1] =f [xi+1] f [xi]xi+1 xi

a segunda diferenca dividida de f [xi, xi+1, xi+2] e definidacomo

f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2] f [xi, xi+1]

xi+2 xi

A notacaodas Diferencas Divididas

Similarmente, apos as (k 1) primeiras diferencas divididas

f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1] e f [xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k]

serem calculados, a k-esima diferenca dividida em relacao axk, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k e

f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k] =

=f [xi+1, xi+2, , xi+k] f [xi, xi+1, , xi+k1]

xi+k xi

A notacaodas Diferencas Divididas

Similarmente, apos as (k 1) primeiras diferencas divididas

f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1] e f [xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k]

serem calculados, a k-esima diferenca dividida em relacao axk, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k e

f [xi, xi+1, xi+2, , xi+k1, xi+k] =

=f [xi+1, xi+2, , xi+k] f [xi, xi+1, , xi+k1]

xi+k xi

Gerando a tabela de Diferencas Divididas

126 C H A P T E R 3 Interpolation and Polynomial Approximation

As might be expected from the evaluation of a0 and a1, the required constants are

ak = f [x0, x1, x2, . . . , xk],for each k = 0, 1, . . . , n. So Pn(x) can be rewritten in a form called Newtons Divided-Difference:

Pn(x) = f [x0] +n

k=1f [x0, x1, . . . , xk](x x0) (x xk1). (3.10)

The value of f [x0, x1, . . . , xk] is independent of the order of the numbers x0, x1, . . . , xk , asshown in Exercise 21.

The generation of the divided differences is outlined in Table 3.9. Two fourth and onefifth difference can also be determined from these data.

Table 3.9

First Second Thirdx f (x) divided differences divided differences divided differences

x0 f [x0]f [x0, x1] = f [x1] f [x0]

x1 x0x1 f [x1] f [x0, x1, x2] = f [x1, x2] f [x0, x1]

x2 x0f [x1, x2] = f [x2] f [x1]

x2 x1 f [x0, x1, x2, x3] =f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2]

x3 x1f [x2, x3] = f [x3] f [x2]

x4 x2f [x3, x4] = f [x4] f [x3]

x5 x3f [x4, x5] = f [x5] f [x4]

x5 x4x5 f [x5]

ALGORITHM

3.2Newtons Divided-Difference Formula

To obtain the divided-difference coefficients of the interpolatory polynomial P on the (n+1)distinct numbers x0, x1, . . . , xn for the function f :

INPUT numbers x0, x1, . . . , xn; values f (x0), f (x1), . . . , f (xn) as F0,0, F1,0, . . . , Fn,0.

OUTPUT the numbers F0,0, F1,1, . . . , Fn,n where

Pn(x) = F0,0 +n

i=1Fi,i

i1j=0

(x xj). (Fi,i is f [x0, x1, . . . , xi].)Step 1 For i = 1, 2, . . . , n

For j = 1, 2, . . . , iset Fi,j = Fi,j1 Fi1,j1

xi xij . (Fi,j = f [xij, . . . , xi].)Step 2 OUTPUT (F0,0, F1,1, . . . , Fn,n);

STOP.

Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

Polinomio Interpolador por Dif. Divididas de Newton

De volta a interpolacao polinomial, podemos usar asdiferencas divididas como:

a0 = f(x0) = f [x0]

a1 =f(x1) f(x0)

x1 x0 = f [x0, x1]

Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + ++ an(x x0)(x x1) (x xn1)

Polinomio Interpolador por Dif. Divididas de Newton

De volta a interpolacao polinomial, podemos usar asdiferencas divididas como:

a0 = f(x0) = f [x0]

a1 =f(x1) f(x0)

x1 x0 = f [x0, x1]

Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + ++ an(x x0)(x x1) (x xn1)

Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + a2(x x0)(x x1) + +

+an(x x0)(x x1) (x xn1)

Como se pode esperar do calculo de a0 e a1, as constantesrestantes sao:

ak = f [x0, x1, x1, , xk]

para cada k = 0, 1, , nLogo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton

Pn(x) = f [x0]+n

k=1

f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)

+an(x x0)(x x1) (x xn1)

ak = f [x0, x1, x1, , xk]

para cada k = 0, 1, , n

Logo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton

Pn(x) = f [x0]+n

k=1

f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)

+an(x x0)(x x1) (x xn1)

ak = f [x0, x1, x1, , xk]

para cada k = 0, 1, , nLogo Pn(x) pode ser escrito na formula das DiferencasDivididas de Newton

Pn(x) = f [x0]+n

k=1

f [x0, x1, , xk](xx0)(xx1) (xxk1)

Formula de Newton

Exemplo

Dada a tabela abaixo

x -1 0 3

f(x) 15 8 -1

Calcule uma aproximacao para f(1), usando a formula de Newtondo polinomio de interpolacao.

Formula de Newton

Solucao: Temos:

x0 = 1 f0 = f(x0) = 15x1 = 0 f1 = f(x1) = 8x2 = 3 f2 = f(x2) = 1

e portanto n = 2. O polinomio de interpolacao na forma deNewton e dado por:

P2(x) = f [x0] + (x x0)f [x0, x1] + (x x0)(x x1)f [x0, x1, x2]

Formula de Newton

Solucao: Temos:

x0 = 1 f0 = f(x0) = 15x1 = 0 f1 = f(x1) = 8x2 = 3 f2 = f(x2) = 1

e portanto n = 2. O polinomio de interpolacao na forma deNewton e dado por:

P2(x) = f [x0] + (x x0)f [x0, x1] + (x x0)(x x1)f [x0, x1, x2]

Formula de Newton

Os valores de f [x0], f [x0, x1], f [x0, x1, x2] sao:

f [x0] = f(x0) = 15

f [x0, x1] =f [x1] f [x0]x1 x0 =

f(x1) f(x0)x1 x0 =

8 150 (1) = 7

f [x0, x1, x2] =f [x1, x2] f [x0, x1]

x2 x0 =f [x2]f [x1]

x2x1 f [x1]f [x0]

x1x0x2 x0

=

f(x2)f(x1)x2x1

f(x1)f(x0)x1x0

x2 x0 =1830 8150(1)

3 (1)= 1

Formula de Newton

Logo, f [x0] = 15, f [x0, x1] = 7, f [x0, x1, x2] = 1 e

P2(x) = 15 + (x + 1)(7) + (x + 1)(x 0)(1) = x2 6x + 8.

Portanto, f(1) = P2(1) = 3.

Formula de Newton

Logo, f [x0] = 15, f [x0, x1] = 7, f [x0, x1, x2] = 1 e

P2(x) = 15 + (x + 1)(7) + (x + 1)(x 0)(1) = x2 6x + 8.

Portanto, f(1) = P2(1) = 3.

Quando usar Dif. Divididas ou os polinomios deLagrange como na Definicao?

Interpolacao de Lagrange via definicao possui vantagemcomputacional quando fixamos o grau do polinomio e os nos etemos a liberdade de alterar o valor da funcao f

Interpolacao via Diferencas Divididas possui vantagemcomputacional quando temos fixado valores de f e queremosaumentar o grau do polinomio

Fenomeno de RungeConsidere a funcao

f(x) =1

1 + 25x2.

Selecione

xi = 1 + (i 1) 2n, i {1, 2, , n + 1}

Figura: P5(x), P10(x) e P15(x)

Outros Metodos de Interpolacao

Interpolacao de Hermite (interpola simultaneamente funcao esuas derivadas)

Splines

Selecionar os pontos de controle segundo algum criterio quereduza o Fenomeno de Runge (Selecao de Pontos porChebychev)

Splines

2 de Aitken

Operador Diferenca para frente

Para uma dada sequencia {pn}n=0, a diferenca para frente pn edefinida por

pn = pn+1 pn, para n 0Operadores de alta potencia sao definidos recursivamente por:

kpn = (k1pn),para k 2

Retorno

calculo numerico_newton_dif_div-1

Documents

diferencas divididasnotacao

diferencas divididaspnx

xn saousadas

esimo polinomio

pontos distintos x0

termo constante a0

lagrange queinterpola

fx0 a1x1 x0