calculo simplificado de estrutura lajes

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.14, p.71-81, Outubro, 2009

Mtodo simplificado para clculo de lajes macias apoiadas em vigas flexveis: validao por meio da anlise no linear

Simplified method for calculation of solid slabs supported on

flexible beams: validation through the non-linear analysis

Jos Milton de Arajo Escola de Engenharia da FURG Rio Grande, RS

e-mail: [email protected] RESUMO: O objetivo deste trabalho demonstrar a validade do mtodo simplificado proposto pelo Autor para clculo de lajes macias de concreto armado apoiadas em vigas flexveis. Esse mtodo simplificado foi validado anteriormente, por comparao com resultados numricos obtidos atravs de uma anlise linear elaborada com o emprego do mtodo dos elementos finitos. Neste trabalho, emprega-se um modelo no linear para a anlise integrada de pisos de concreto armado, constitudos por lajes macias apoiadas em vigas. Esse modelo no linear utilizado como referncia para confirmar a validade do mtodo simplificado proposto. ABSTRACT: The subject of this work is to demonstrate the validity of the simplified method proposed by the Author for design of reinforced concrete solid slabs supported on flexible beams. This simplified method was validated previously, by its comparison with numerical results obtained through a linear analysis based on the finite element method. In this work, a non-linear model is employed for analysis of reinforced concrete floors, constituted by solid slabs supported on beams. This non-linear model is used as reference to confirm the validity of the simplified method proposed. 1. INTRODUO Em artigo anterior [1], foi feita uma anlise elstica linear de pavimentos de concreto armado, constitudos por lajes macias apoiadas em vigas deformveis. Para a realizao dessa anlise acoplada do sistema laje-vigas, foi empregado um programa de computador desenvolvido com base no mtodo dos elementos finitos (MEF). Na formulao do MEF, as lajes so discretizadas em elementos finitos isoparamtricos quadrticos de 8 ns, conforme descrito nas referncias [2,3]. A formulao do elemento baseada na teoria de placas de Mindlin. As vigas so discretizadas com elementos finitos de trs ns, formulados com base na teoria de vigas de Timoshenko, conforme descrito na referncia [4]. Nessa anlise numrica, considerou-se que as lajes estivessem no estdio I. Para as vigas, foram consideradas duas situaes: vigas no estdio I, com rigidez flexo IEcs , e vigas no estdio II com uma rigidez reduzida IEcs4,0 , conforme

sugerido na NBR-6118[5], onde I o momento de inrcia da seo de concreto simples e csE o mdulo de deformao longitudinal secante do concreto. Alm disso, foram feitas duas consideraes quanto rigidez toro das vigas: vigas sem rigidez toro e vigas com rigidez toro GJ , onde csEG 5,0= o mdulo de elasticidade transversal do concreto e J a constante de toro da seo transversal da viga. Esse modelo numrico, baseado no MEF, foi empregado para verificar a preciso de alguns processos simplificados largamente utilizados no projeto das lajes de concreto armado. Do estudo realizado em [1] conclui-se que o tradicional mtodo de clculo, que consiste em considerar as lajes isoladas perfeitamente engastadas nas lajes vizinhas, no adequado para a anlise de lajes apoiadas em vigas deformveis. Esse mtodo s satisfatrio quando as lajes so apoiadas em paredes ou em vigas muito rgidas. Quando as lajes so apoiadas em vigas


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deformveis, como usual nos pavimentos de edifcios de concreto armado, o mtodo tradicional superestima os momentos negativos e subestima os momentos positivos e as flechas das lajes. Da anlise numrica realizada com o MEF tambm foram obtidos os seguintes resultados, como sendo representativos das situaes frequentemente encontradas nos edifcios: a rigidez toro das vigas pode ser desprezada na anlise do pavimento; os momentos negativos nos apoios de extremidade das lajes so muito pequenos e podem ser desprezados; os momentos torores nos cantos simplesmente apoiados so pequenos, podendo-se omitir as armaduras de canto na face superior das lajes. Essas concluses so restritas s situaes usuais, onde as vigas so deformveis e possuem uma rigidez toro pequena. Uma vez constatado que o mtodo tradicional de clculo no satisfatrio, foi proposto um mtodo simplificado para clculo das lajes macias apoiadas em vigas deformveis. No mtodo proposto, adota-se o seguinte procedimento: consideram-se todas as lajes simplesmente apoiadas, para efeito de clculo dos momentos positivos, flecha e reaes de apoio; esse clculo feito conforme detalhado na referncia [6] para as lajes armadas em cruz e armadas em uma direo; em um bordo comum (apoio interno), adota-se um momento negativo de valor absoluto igual ao do maior momento positivo das duas lajes adjacentes, na direo considerada; as armaduras de canto e as armaduras negativas nos bordos de extremidade podem, em geral, ser omitidas. A anlise dos resultados obtidos com esse mtodo simplificado proposto mostrou total coerncia com os resultados obtidos atravs do MEF. Alm disso, tambm foi mostrado que o sistema laje-vigas, projetado de acordo com esse procedimento, satisfaz o equilbrio dos momentos totais, mesmo considerando que as reaes de apoio das lajes so uniformemente distribudas sobre as vigas, o que no ocorre no clculo tradicional. Por ltimo, em funo dos resultados numricos obtidos com o MEF, foi sugerido que as armaduras de distribuio das lajes armadas em uma direo tambm respeitem a armadura mnima.

No presente trabalho, feita uma ampliao do estudo anteriormente mencionado, para incluir a no linearidade fsica das lajes de concreto armado. As vigas do pavimento continuam sendo modeladas com uma rigidez flexo IEcs constante, onde 1 . A rigidez toro das vigas desprezada, em virtude dos resultados obtidos no trabalho anterior [1]. Para a laje, emprega-se um modelo no linear, o qual associado ao mtodo dos elementos finitos. Os detalhes desse modelo podem ser obtidos nas referncias [7,8]. Nas sees seguintes, apresenta-se uma breve descrio do modelo no linear empregado na modelagem das lajes macias de concreto armado. 2. MODELO LAMINAR PARA ANLISE DE LAJES DE CONCRETO ARMADO Na fig. 1, apresenta-se uma laje macia de concreto armado situada no plano x-y, onde a espessura h foi dividida em n camadas de concreto de espessura constante nhh = . A laje pode ter diversas camadas de armadura, orientadas arbitrariamente em relao ao sistema de eixos x-y.

h

h

n

1 As1

As2

y

xz

Fig. 1 Laje macia de concreto armado Uma armadura genrica, de rea siA por unidade de comprimento, fazendo um ngulo si com o eixo x, substituda por uma lmina contnua de espessura sii At = . Na teoria de placas de Mindlin[9], as rotaes ( )yxx , e ( )yxy , so independentes da flecha ( )yxw , da superfcie mdia da placa. Com isso,

so consideradas as deformaes por corte da placa. No caso das lajes de concreto armado,


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devem-se considerar, ainda, os deslocamentos ( )yxuo , e ( )yxvo , no plano da laje, pois, de um modo geral, a superfcie mdia no coincide com a superfcie neutra. Assim, ao empregar o mtodo dos elementos finitos, consideram-se cinco graus de liberdade para cada n do elemento: um deslocamento transversal, duas rotaes e dois deslocamentos no plano do elemento. A matriz de rigidez do elemento finito de placa,

eK , dada por

AdeA

Te = BDBK (1)

onde a integrao feita ao longo da rea eA do elemento. Na equao (1), B a matriz que relaciona as deformaes generalizadas com os deslocamentos nodais e D a matriz de constantes elsticas do material, integrada na espessura da laje. Na montagem de eK , pode-se desconsiderar a contribuio das armaduras, pois, como o equilbrio garantido atravs de um processo iterativo, a matriz de rigidez s empregada para inicializar o processo. As armaduras so includas no clculo das aes nodais no lineares, durante os ciclos iterativos. Desse modo, a matriz D inclui apenas as propriedades do concreto. A matriz D , obtida atravs de integrao exata ao longo da espessura da laje, dada por

=

33

22

11

D000D000D

D (2)

onde a submatriz 11D inclui os termos de estado plano de tenses, 22D inclui os termos de flexo e

33D inclui os termos correspondentes s deformaes por corte. Essas submatrizes dependem da espessura h da laje e das propriedades do concreto: mdulo de deformao longitudinal tangente cE e coeficiente de Poisson . Para levar em conta os efeitos da fluncia do concreto, considera-se o mdulo de deformao efetivo ( )+= 1cce EE no lugar de

cE , sendo o coeficiente de fluncia do concreto. Na submatriz 33D aparece o mdulo de

deformao transversal )1(2 +=

cece

EG .

Na obteno da matriz de rigidez do elemento finito, indicada na equao (1), adota-se um processo de integrao seletiva. Para os termos correspondentes submatriz 33D , adota-se integrao numrica com 2x2 pontos de Gauss. Os demais termos so integrados com integrao completa, adotando-se 3x3 pontos de Gauss ao longo da superfcie do elemento finito. Aps a montagem da matriz de rigidez global da estrutura e a introduo das condies de contorno, resolve-se o sistema de equaes linearizadas para a obteno da primeira aproximao para os deslocamentos nodais. O vetor de deformaes generalizadas , em um ponto de integrao situado na superfcie de um elemento finito, igual a eBU= , onde eU representa o vetor de deslocamentos nodais do elemento.

Conhecido , podem-se obter as deformaes normais x , y e a distoro xy no centro de uma camada de concreto genrica, situada ao longo da espessura da laje. As distores xz e

yz no variam na espessura da laje. As tenses de cisalhamento xz e yz so dadas

por

xzcexz G 65= ; yzceyz G 6

5= (3) onde ceG o mdulo de elasticidade transversal efetivo do concreto. Na seo seguinte, apresentam-se os modelos constitutivos para o clculo das tenses no concreto e nas armaduras, no plano x-y da laje.

3 - MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS DA LAJE Na fig. 2, representa-se o diagrama tenso-deformao do concreto, obtido em um ensaio de compresso simples. Nessa figura, cf corresponde resistncia mdia compresso do concreto.


74

fc

c

E ce

o u c

1

Fig. 2 Diagrama tenso-deformao do concreto

comprimido De acordo com o CEB/90 [10], a relao tenso-deformao para o concreto sob compresso uniaxial pode ser representada por

( )

+= 21

2

kkfcc (4)

onde coce fEk = e oc = . Para a deformao o , correspondente mxima tenso, adota-se o valor ( ) += 10022,0o , onde o coeficiente de fluncia do concreto. A deformao de ruptura ( ) += 10035,0u . O mdulo de deformao longitudinal efetivo inicial, ceE , estimado a partir da resistncia mdia compresso, cf , atravs da expresso

( ) ( ) 3110121500

cce fE += (5) com cf e ceE em MPa. De acordo com o CEB/90, a resistncia mdia dada por 8+= ckc ff MPa, onde ckf a resistncia caracterstica compresso do concreto em MPa. Para o concreto tracionado, adota-se o diagrama tenso-deformao indicado na fig. 3.

ct

ct

fct

cr

Ece1

Fig. 3 Diagrama tenso-deformao para o

concreto tracionado A tenso de trao no concreto, ct , dada por

ctcect E = , se cectcrct Ef= (6)

=

ct

crctct f , se crct > (7)

onde ctf15,0= , com ctf em MPa. A resistncia mdia trao do concreto, ctf , pode ser estimada [10] a partir da resistncia caracterstica compresso, ckf , atravs da expresso

32

1040,1

= ckct ff (8)

com ckf e ctf em MPa.

A equao (7), desenvolvida pelo Autor [7,8], leva em conta a colaborao do concreto tracionado entre fissuras. Essa equao representa um comportamento ps-fissurao tanto mais frgil, quanto maior for a resistncia trao do concreto.

Aps a obteno das deformaes normais x , y e da distoro xy em uma camada genrica,

localizada em um ponto de integrao na superfcie da laje, calculam-se as deformaes principais no concreto 1 e 2 , com 21 . Para levar em conta o efeito de Poisson, empregam-se as deformaes uniaxiais equivalentes, e1 e e2 , dadas por


75

221

11

+=e ; 2212 1

+=e (9)

onde 2,0= o coeficiente de Poisson do concreto. Entrando com as deformaes uniaxiais equivalentes nos diagramas tenso-deformao do concreto, obtm-se as tenses principais 1 e 2 . Retornando ao sistema de eixos x-y, resultam as tenses x , y e xy no concreto. Para os aos, adota-se um comportamento elasto-plstico perfeito em trao e em compresso. Assim, se s a deformao normal na direo das armaduras, a tenso s correspondente dada por

sss E = , se syks Ef


76

- carga de servio total: 0,6=+= qgp kN/m2 - carga quase permanente:

95,43,0 =+= qgpo kN/m2 Vigas: - seo transversal de todas as vigas: largura

20=b cm; altura 50=h cm (seo retangular) - carga adicional sobre as vigas, decorrente do peso prprio e de uma parede: 0,7=p kN/m Concreto: - resistncia caracterstica: 30=ckf MPa - coeficiente de Poisson: 2,0= - coeficiente de fluncia: 5,2= - resistncia mdia compresso: 38=cmf MPa - resistncia mdia trao: 9,2=ctf MPa - mdulo tangente: 33550=cE MPa - mdulo tangente efetivo: 9585=ceE MPa - mdulo secante: 28517=csE MPa Ao: - categoria: CA-50 - tenso de escoamento: 500=ykf MPa - mdulo de elasticidade: 200=sE GPa

L1 L2

L3 L4

V1

V2

V3

V4 V5 V6

P1P2 P3

P4 P5 P6

P7 P8 P9

3m 7m

7m3m

x

y

Fig. 4 Pavimento com quatro lajes

(exemplo analisado na ref. [1]) Na fig. 5, apresenta-se a discretizao da laje em elementos finitos. A malha formada por 100 elementos de placa e 60 elementos de viga.

x

y

elemento de placa

elemento de viga

n 341

Fig. 5 Malha de elementos finitos

5. CLCULO DAS LAJES COM O MTODO SIMPLIFICADO PROPOSTO No mtodo simplificado proposto, as quatro lajes so calculadas como simplesmente apoiadas. O valor absoluto do momento negativo em uma ligao admitido igual ao do maior momento positivo das duas lajes adjacentes, na direo considerada. 5.1 Flecha no centro da laje L2 A flecha calculada para a carga quase permanente 95,4=op kN/m2, empregando-se a tabela A2.1 do Volume 2 da ref.[6]. A rigidez flexo da laje dada por

( ) 6792112 23

== DhED cs kNm

Entrando na tabela A2.1 com a relao entre os vos 177 ==yx ll , obtm-se o coeficiente

06,4=cw . A flecha inicial

1,76792

795,406,44== xxWo mm

A flecha final, incluindo os efeitos da fluncia do concreto, ( ) 9,241 =+= WWW o mm


77

A flecha admissvel dada por

28250

7000 ==admW mm Como admWW


78

5.3 Armaduras das lajes As armaduras so dimensionadas, considerando-se a altura til mdia 11=d cm. Os resultados do dimensionamento so os seguintes: - para 92,7=kM kNm/m: 38,2=sA cm2/m; - para 99,12=kM kNm/m: 97,3=sA cm2/m. As armaduras positivas so passadas corridas por toda a extenso das lajes. As armaduras negativas devem penetrar ml25,0 em cada laje, a partir da face da viga interna, onde ml o maior dos menores vos das lajes adjacentes. Assim, essas armaduras sero distribudas em faixas de 4m de largura, como indicado na fig. 8.

1

1

2

2

Fig. 8 Disposio das armaduras no pavimento 6. ANLISE INTEGRADA DO PAVIMENTO COM O MODELO NO LINEAR 6.1 Flecha e fissurao do pavimento para a carga quase permanente A flecha mxima do pavimento ocorre na laje L2. Essa flecha obtida com o modelo no linear (MEF), considerando a carga quase permanente

95,4=op kN/m2 e as vigas com rigidez flexo IEcs4,0 .

A flecha inicial mxima obtida com o MEF 4,11=oW mm. Observa-se que essa flecha inicial

maior que o valor 1,7=oW mm, obtido anteriormente com o mtodo simplificado. Isto ocorre porque a laje L2 encontra-se fissurada para esse nvel do carregamento, o que no considerado no mtodo simplificado. Na fig. 9, representam-se os pontos de integrao onde se constata a ocorrncia de fissura ( cre >1 ) na face inferior do pavimento para a carga 95,4=op kN/m2. Observa-se que as fissuras ocorrem em uma grande extenso da laje L2, em sua regio central. As demais lajes encontram-se no estdio I. Na fig. 10, indicam-se os pontos de integrao onde se constatam fissuras na face superior do pavimento para a carga 95,4=op kN/m2. Observa-se que surgem fissuras apenas no entorno do pilar central. O restante do pavimento est livre de fissuras, inclusive nos cantos simplesmente apoiados.

L1

L2

L3 L4

Fig. 9 Pontos fissurados na face inferior do

pavimento para a carga quase permanente


79

L1 L2

L3 L4

Fig. 10 Pontos fissurados na face superior do

pavimento para a carga quase permanente A flecha final mxima da laje L2 obtida com o MEF, considerando o coeficiente de fluncia

5,2= , 0,24=W mm. Observa-se que esse valor quase igual flecha final 9,24=W mm, obtida anteriormente com o mtodo simplificado. Conclui-se que o mtodo simplificado para clculo da flecha final das lajes macias adequado. O erro que se comete na avaliao da flecha inicial, por no se considerar eventuais fissuras da laje, compensado pela considerao da fluncia no estdio I. Esse fato j havia sido observado pelo Autor ao analisar o comportamento das lajes nervuradas [7]. Na fig. 11, indicam-se os pontos de integrao onde se constatam fissuras na face superior do pavimento para a carga de clculo

4,864,1 == xpd kN/m2 atuando sobre as lajes. Por essa figura constata-se que as nicas armaduras superiores que so realmente necessrias so as armaduras para os momentos negativos, nas ligaes entre duas lajes adjacentes. As armaduras superiores nos apoios de extremidade, bem como as armaduras superiores de canto so desnecessrias, como j havia sido concludo no artigo anterior [1].

L1 L2

L3 L4

Fig. 11 Pontos fissurados na face superior do

pavimento para a carga de clculo pd=8,4 kN/m2 6.2 Momentos fletores nas lajes do pavimento Os momentos fletores nas lajes do pavimento so determinados empregando-se o MEF para a carga total de servio 0,6=p kN/m2. Para as vigas, considera-se a rigidez flexo IEcs4,0 . Na fig. 12, indicam-se os momentos fletores positivos mximos obtidos para as quatro lajes.

L1 L2

L4x

y

L3

1,90

4,26

12,04

0,68

Momentos em kNm/m

Fig. 12 Momentos positivos mximos obtidos

com o MEF Comparando a fig. 12 com a fig. 6, verifica-se que o mtodo simplificado fornece excelentes resultados. A relao entre os momentos fletores positivos na laje L2, obtidos com o mtodo simplificado e com o MEF, 08,104,1299,12 = . Para as demais lajes, resultam momentos menores


80

que o momento mnimo 92,7min, =kM kNm/m. Logo, essas lajes sero armadas com armadura mnima em ambos os mtodos de anlise. Da fig. 12, observa-se que o maior momento positivo nas lajes armadas em uma direo (lajes L1 e L4) ocorre segundo a direo do vo maior. Isto contraria o clculo tradicional de lajes sobre apoios rgidos, j que nesse clculo o maior momento ocorre sempre segundo a direo do vo menor. Por isso, importante que as armaduras de distribuio das lajes armadas em uma direo tambm respeitem a armadura mnima, como j foi salientado no artigo anterior [1]. Na fig. 13 indicam-se os momentos negativos mnimos obtidos com o MEF.

-7,8

2

-9,4

7

Fig. 11 Momentos negativos mnimos obtidos

com o MEF Comparando a fig. 11 com a fig. 7, constata-se que o mtodo simplificado fica a favor da segurana. 6.3 Influncia da rigidez das vigas de apoio sobre os momentos fletores das lajes Para mostrar a influncia da rigidez das vigas de apoio sobre os momentos fletores das lajes do pavimento, consideram-se os resultados obtidos com o MEF, admitindo-se que as vigas possuam rigidez IEcs . As lajes esto submetidas s cargas totais de servio 0,6=p kN/m2. Na tabela 1, indicam-se os momentos fletores positivos mximos e os negativos mnimos na laje L2 para diversos valores do coeficiente .

Tabela 1 Momentos mximos e mnimos na laje L2 em funo de

Positivo (kNm/m)

Negativo (kNm/m)

0,2 13,27 -11,00 0,4 12,04 -9,47 0,7 11,36 -10,44 1,0 11,05 -10,94 10,0 10,15 -12,43

Comparando a tabela 1 com os resultados obtidos atravs do mtodo simplificado (momentos positivos e negativos iguais a 99,12 kNm/m), conclui-se que o mtodo simplificado satisfatrio para os diversos valores de rigidez flexo das vigas. Em geral, o mtodo simplificado fornece uma soluo a favor da segurana. Na tabela 2, indicam-se os momentos fletores positivos mximos na laje L1. De acordo com o procedimento tradicional, essa laje armada segundo a direo x.

Tabela 2 Momentos mximos na laje L1 em funo de

xM (kNm/m) yM (kNm/m) 0,2 1,60 7,70 0,4 1,90 4,26 0,7 2,02 2,67 1,0 2,06 2,11 10,0 2,17 1,08

Conforme se observa na tabela 2, o momento fletor xM , segundo a direo do vo menor, s supera o momento yM quando as lajes so apoiadas em vigas muito rgidas. Nos casos usuais, o momento maior ocorre segundo a direo do vo maior, ao contrrio do que se depreende do clculo convencional. Entretanto, respeitando-se o momento mnimo

92,7min, =kM kNm/m em ambas as direes, obtm-se um projeto seguro. 7. CONCLUSES Neste trabalho foi empregado um modelo no linear para anlise de lajes macias de concreto armado apoiadas em vigas deformveis. Esse modelo no linear serviu de base para revalidar o


81

mtodo simplificado de clculo proposto pelo Autor, anteriormente [1]. O emprego do modelo no linear confirmou a validade do mtodo simplificado, o que j havia sido mostrado atravs da anlise linear. O mtodo simplificado de projeto proposto adequado para o clculo de lajes macias de concreto armado apoiadas em vigas com as dimenses usuais das vigas dos edifcios. Com base nos resultados obtidos neste trabalho e no artigo precedente [1], recomenda-se que o mtodo tradicional, que consiste em considerar as lajes isoladas perfeitamente engastadas nas lajes vizinhas, no seja adotado para o clculo de lajes apoiadas em vigas. Esse mtodo s tem validade quando as lajes so apoiadas em paredes ou em vigas de rigidez muito elevada. Nos casos correntes, recomenda-se o emprego do mtodo simplificado proposto. importante salientar, mais uma vez, que as armaduras de distribuio das lajes armadas em uma direo devem respeitar as armaduras mnimas. Isto ajuda a corrigir as imprecises no clculo dos momentos destas lajes. REFERNCIAS 1. ARAJO, J. M. Avaliao dos mtodos

simplificados para clculo de lajes macias apoiadas em vigas flexveis. Revista Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Rio Grande, outubro, 2008. Disponvel em: .

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4. ARAJO, J. M. Modelo para anlise de vigas de concreto armado. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, n. 32, p.9-14, Lisboa, julho, 1991.

5. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR-6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2003.

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. 8. ARAJO, J. M. Anlise no-linear de lajes

macias e lajes nervuradas de concreto armado. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, n.52, p. 43-52, Lisboa, Setembro, 2003. Disponvel em:

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