, CALCULO YGEOMETRAANALTICA Sextaedicin ROLAND E. LARSON ROBERT P. HOSTETLER ThePennsylvania StateUniversity TheBehrend College BRUCE H. EDWARDS University of Florida Traduccin Volumen1 Conla colaboracin de DA VID E. HEYD ThePennsylvania StateUniversity TheBehrend College LORENZO ABELLANAS RAPN Catedrtico deMtodosMatemticosdela Fsica UniversidadComplutense deMadrid Consultores JOS LUISPREZ LPEZ Profesor Titular delDepartamento deMatemticas ORLANDO LEAL SNCHEZ Docente jubilado Politcnico Jaime lsaza Cadavid Medelln,Colombia MADRID BUENOS AIRESCARACAS GUATEMALA LISBOA MXICO NUEVA YORKPANAM SAN JUAN SANTAF DEBOGOT SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRESMILNMONTREAL NUEVA DELHI PARSSANFRANCISCOSIDNEY SINGAPURST.LOUISTOKIOTORONTO Contenido L__n_d_i_c_e_d_e__a_p_li_c_a_c_o_n_e_s_______________________________________________________________ Captulo P.Preparacinpara elClculo P. l.Grficasymodelosmatemticos4 P.2.Modeloslinealesy ritmosdecambio14 P.3.Funcionesysusgrficas24 P.4.Ajustedemodelosacoleccionesdedatos37 Ejerciciosderepaso43 Captulol.Lmitesy suspropiedades 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. Unamirada previasobre elClculo48 Clculodelmitesgrfica ynumricamente Clculoanalticodelmites65 Continuidadylmiteslaterales78 Lmitesinfinitos92 Ejerciciosderepaso101 Captulo 2.La derivada 55 2.1.La derivaday elproblema delarectatangente106 2.2.Reglasbsicasdederivaciny ritmosdecambio118 2.3.Lasreglasdel productoy delcocientey derivadasdeorden superior130 2.4.La regla dela cadena141 2.5.Derivacinimplcita152 2.6.Ritmosrelacionados160 Ejerciciosderepaso171 ! a 51 .2

o

:::: 850 800 750 700 650 t: 1' 1: d 40120200280360 Da (ODiciembre 21) 'il ,

''' ll -tx b 4 48 106 xvii XVlllContenido Captulo3.Aplicacionesdeladerivada 3.1.Extremosenunintervalo178 3.2.Teorema deRolleyteoremadelvalor medio187 3.3.Funcionescrecientesy decrecientesy elcriteriode la primera derivada194 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. Concavidadyelcriteriodelasegunda derivada Lmitesenelinfinito214 Anlisisdegrficas225 Problemasdeoptimizacin236 ElmtododeNewton248 Diferenciales255 Aplicacionesala economa yalcomercio263 Ejerciciosderepaso271 1 Captulo 4.Integracin 4.1.Primitivaseintegracinindefinida278 4.2.rea291 4.3.SumasdeRiemanneintegralesdefinidas304 4.4.Elteorema fundamentaldelClculo315 4.5.Integracinpor sustitucin328 4.6.Integracinnumrica342 Ejerciciosderepaso350 205 178 x=aXh Constante 278 X Captulo5.Funcioneslogartmicas,exponencialesyotrasfuncionestrascendentes356 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. Funcinlogaritmonaturalyderivacin356 La funcinlogaritmonaturalylaintegracin367 Funcionesinversas376 Funcionesexponenciales:derivacineintegracin386 Bases distintasdee yaplicaciones396 Ecuaciones diferenciales:crecimientoydesintegracin407 Ecuacionesdiferenciales:separacindevariables416 Funcionestrigonomtricasinversasy derivacin429 Funcionestrigonomtricasinversas eintegracin438 Funcioneshiperblicas446 Ejerciciosderepaso456 1,25 l 1.20 i1.15 1,10 a :g1,05 :;; ; 1,00 y 12345678910 Tiempo (en horas) Contenido Captulo6.Aplicacionesdelaintegral 6.1.Area deuna reginentredoscurvas462 y 6.2.Volumen:elmtododelosdiscos472 6.3.Volumen:elmtododelascapas483 6.4.Longitud dearcoysuperficies derevolucin492 6.5.Trabajo503 6.6.Momentos,centrosdemasa ycentroides513 6.7.Presin yfuerzadeunfluido526 X Ejerciciosderepaso533 Captulo7.Mtodosdeintegracin,regladeL'Hopital eintegrales impropias 7.1.Reglasbsicasdeintegracin538 7 .2.Integracinpor partes545 7.3.Integralestrigonomtricas555 7.4.Sustituciones trigonomtricas564 7.5.Fraccionessimples575 7.6.Integracin por tablasyotras tcnicasdeintegracin585 7.7.Formasindeterminadasylaregla deL'Hopital592 7.8.Integralesimpropias604 Ejerciciosderepaso615 Captulo8.Series 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. Sucesiones620 Series yconvergencia633 Elcriteriointegralylas p-series645 Comparacin deseries652 Seriesalternadas660 Elcriteriodelcocientey elcriteriodela raz667 Aproximacin por polinomiosdeTaylor676 Series depotencias687 Representacindefuncionespor seriesdepotencias SeriesdeTaylor yMaclaurin706 Ejerciciosderepaso718 698 -3 -] D 6 ;4 :\ :, ,: \,.\ ''' 11i,,:;r\, 2:;11.... u\:: i\ /\,.,..._ 111 \i\t/1 1\A +lf l\:1\\1 - *"+161'.._+4- O y a#O,lagrfica dey= ax2 + bx + e tienedosx-intersecciones. Verdadero o falso?En los Ejercicios 59-62, determinar si laafirmacinesverdaderaofalsa.Siesfalsa,explicarpor qu odarunejemplo quedemuestrequeloes. 62.Sib2 - 4ae = O y a#O,la grfica de y= ax2 + bx + e tieneslouna x-interseccin. CONTENIDO Pendiente deunarecta Ecuaciones delasrectas Razonesy ritmosdecambio Representacingrfica demodeloslineales Rectasparalelasy perpendiculares 1 1 1 ____.........L..... __.....,. X y2- y1 en y .x =x1- x1 =cambio en x x, FIGURAP.l2 SiMSOLO DELAPENDJENTE Eluso.de la letra mpara denotirla pan dientedeUfll!reet francs montar. bir,ascender. D linealesy ritmosdecambio Pendiente deunarecta La pendiente de una recta no verticalmide el nmero deunidades que la recta asciende (o desciende)verticalmente por cada unidad dedesplazamiento hori-zontaldeizquierda a derecha.Consideremos los dospuntos(x1,y1)y (x2,y2) delarectadelaFiguraP.l2.Aldesplazamosdeizquierdaaderechaporla recta,seproduceuna variacinverticalde Yz- Y1 Cambio eny unidadespor cadavariacinhorizontalde Cambio enx unidades.laletra griega deltamayscula y leedeltadex.) DEFINICIN DE LA PENDrENTa 1234567 y ++-t+++-..- X 123567 EnlosEjercicios7y8dibujarlasrectasquepasanporel punto dadoconlapendienteindicada.Hacer losdibujosen unmismosistema decoordenadas. PuntoPendientes 7.(2, 3)a)Ob)e)-2d)Indefinido 8.(-4,1)a)3b)-3e)!d)o EnlosEjercicios 9-12, dibujar elpar depuntosy calcular la pendiente delarectaquepasa por ellos. 9.(3,-4),(5,2) 11.(1,2),(-2,4) 10.(2,1).(2,5) 12. l),Ci-!l En los Ejercicios13-16, utilizar el punto de la recta y la pen-dientepara determinar otrostrespuntospor losquepasela recta.(Haymsdeunarespuesta correcta.) PuntoPendiente 13.(2,1)m= O 15.(1,7)m=-3 PuntoPendiente 14.(-3, 4)mindefinido 16.(-2, -2)m= 2 21 17.Unmodelo matemticoLa siguiente tabla proporcio-na los dividendos por accin ordinaria de General Milis durantelosaos1987a1994.Eltiempoenaosse representaport,correspondiendot=O a1990,ylos dividendosserepresentanpory.(Fuente:General Milis1994 Annual Report.) t-3-2-1o y$1,25$1,63$2,53$2,32 t1234 y$2,87$2,99$3,10$2,95 a)Representar a mano los datos y unir mediante seg-mentoslospuntosadyacentes. b)Usar lapendienteparadeterminarlosaosenlos que los dividendos decrecieron y crecieron ms r-pidamente. 18.Diseo deuna cinta transportadoraSe quiere cons-truir una cinta transportadora que ascienda1 metro por cadatresdeavancehorizontal. a)Calcular lapendientedelacintatransportadora. b)Supongamos que la cinta se instala entre dos pisos deuna fbrica.Hallar sulongitud sabiendo quela distanciaverticalentrepisosesde10pies. 19.RedaccinExplicar enunaslneas siesonoposible utilizardospuntoscualesquieradeunarectaparade-terminar supendiente. 20.Ritmo de cambioCada uno de los siguientes datos es lapendientedeunarectaquerepresentalosingresos diariosy,entrminosdeltiempoendas x.Utilizarla pendienteparainterpretarlavariacinenlosingresos correspondienteaunincrementodetiempode1 da. a)m= 400b)m=100e)m= O EnlosEjercicios21-24,hallarlapendienteyla y-intersec-cin(siesposible)dela recta. 21.X- 5y = 20 23.X= 4 22.6x- 5y= 15 24.y=-1 EnlosEjercicios25-30,encontrarunaecuacindelarecta quepasaporlosdospuntosy dibujarlarecta. 25.(2,1),(0,-3) 27.(0,0),(-1,3) 29.(!' -2), (3,-2) 26.(-3, -4), (1,4) 28.(-3, 6),( 1'2) 30.(i' l).el' -!) 22CaptuloPPreparacinparaelClculo EnlosEjercicios31-36,encontrarunaecuacindelarecta quepasaporelpuntodadoytienelapendienteindicada. Dibujar larecta. PuntoPendientePuntoPendiente 31.(0,3) m = ~ 32.(-1,2)mindefinido 33.(0,0) m = ~ 34.(-2, 4)m = - ~35.(0,2)m=436.(0,4)m=O 37.Determinarunaecuacin delarectaverticalcon x-in-terseccinen3. 38.Probar que larecta deintersecciones con los ejes (a,O) y(0,b)admitelasiguienteecuacin. ~ + :>'= 1a#O,b#O ab' EnlosEjercicios39-42,usarelresultadodelEjercicio38 paraescribirunaecuacindelarecta. 39.x-interseccin:(2,0) y-interseccin:(0,3) 40.x-interseccin: - ~ 0) y-interseccin:(0,-2) 41.Puntodelarecta:(1,2) x-interseccin:(a,0) y-interseccin:(0,a) (a#0) 42.Puntodelarecta:(-3, 4) x-interseccin:(a,O) y-interseccin:(0,a) (a=FO) EnlosEjercicios 43-48, escribir una ecuacin de la recta que pasa por elpunto yes a) paralela a la recta dada yb)perpen-dicularalarectadada. PuntoPendiente 43.(2,1)4x- 2y=3 44.(-3, 2)x+y=7 45. e ~ al 5x + 3y=O 46.( -6, 4)3x+ 4y=7 47.(2,5)x=4 48.( -1, O)y= -3 EnlosEjercicios 49-54,esbozar unagrfica de laecuacin. 49.y= -3 51.2x- y- 3= o 53.y= -2x +1 50.X= 4 52.X+ 2y + 6= 0 54.y- 1 = 3(x + 4) 4RedaccinEnlos Ejercicios 55y56, representar enla cal-culadora la ecuacinen cada una delasventanasindicadas. Describir ladiferenciaentreambasimgenes. 55.y= 0,5x- 3 Xmin=-5 Xmax= 10 Xscl= 1 Ymin=-1 Ymax= JO Yscl= 1 56.y= -8x + 5 Xmin=-2 Xmax=2 Xscl = 1 Ymin=-5 Ymax=5 Yscl= 1 Xmin=-2 Xmax= 10 Xscl= 1 Ymin=-4 Ymax= 1 Yscl= 1 Xmin=-5 Xmax= JO Xscl= 1 Ymin=-80 Ymax=80 Yscl=20 Ritmo decambioEnlosEjercicios57-60,se danelvalor en dlares de un producto en1998 y el ritmo al que se espera quevaresuvalor durante los prximos 5 aos.Utilizar esta informacin para escribir una ecuacin lineal que proporcio-neelvalor endlaresVdelproducto entrminosdelaot. (Represntese1998por t=8.) Valor1998Ritmo 57.$2.540$125crecimientoanual 58.$156$4,50 crecimientoanual 59.$20.400$2.000 decrecimientoanual 60.$245.000$5.600 decrecimientoanual ~ En losEjercicios 61y 62,usar lacalculadora para represen-tar lasparbolasy hallar suspuntos deinterseccin.Encon-trar una ecuacin de la recta que pasa por los puntos de inter-seccinydibujarsugrficaenlamismaventanade representacin. 61.y= x2 y= 4x- x2 62.y= x2 - 4x + 3 y= -x2 + 2x + 3 EjerciciosdelaSeccinP.2 EnlosEjercicios63y 64,determinar silospuntosson coli-neales.(Se diceque trespuntosson colineales sipertenecen aunamismarecta.) 63.(-2,1),(-1, 0),(2,-2) 64.(0,4),(7,-6), (-5,11) LosEjercicios65-68serefierenaltringulodelafigura. y t L::S' .. (a,O)(a.O) 65.Hallarelpuntodeinterseccindelasmediatricesde loslados. 66.Hallar elpunto deinterseccin delasmedianas. 67.Hallar elpuntodeinterseccindelasalturas. 68.ProbarquelospuntosdeinterseccindelosEjerci-cios65,66y 67soncolineales. 69.ConversindetemperaturasHallarlaecuacinli-nealqueexpresalarelacinentrelatemperaturaen grados Celsius e y la temperatura en grados Fahrenheit F.UsarelhechodequeelaguasecongelaaO "C (32F)yhiervea100 oc(212 nF)para escribir72 OF engradosCelsius. 70.Gastos reembolsadosUna compaa reembolsa a sus representantesdeventas$150diariosporalojamiento ycomidasms30\tpormillarecorrida.Escribiruna relacinlinealqueexpreseelcostediarioeparala compaa entrminosdex,elnmerodemillasreco-rridas. (\;71.EleccinprofesionalUnempleadodisponededos opcionesapuestosenunagrancorporacin.Enun puesto lepagan $12,50 por hora ms unsuplemento de $0,75por unidad producida.Enelotro,$9,20 por hora msunsuplementode$1,30. a)Encontrar relacioneslineales que expresenlossa-lariospor hora W entrminos dex,elnmerode unidades producidas por hora, para cada una de las opciones. b)Representar conuna calculadora grficalasecua-cioneslinealesyhallarelpunto deinterseccin. e)Interpretar elsignificado delpunto deinterseccin delasgrficasdelapartadob).Cmousaraesta informacinparaseleccionar la opcin correctasi suobjetivofueraobtenerelmayorsueldopor hora? 23 f'v72.DepreciacinlinealUnpequeonegocioadquiere unequipopor$875.Transcurridos5aoselequipo estar obsoleto,carentedevalor. a)Escribir una relacin lineal queproporcione elvalor ydelequipo entrminosdeltiempo x,O :::;x:::;5. b)Representar la ecuacin conuna calculadora gr-fica. e)Usar la funcintracepara estimar (conuna preci-sindedoscifrasdecimales)elvalordelequipo cuando x= 2. d)Usar la funcintracepara estimar (conuna preci-sindedoscifrasdecimales)elmomentoenque elvalor delequipo es$200. 73.Alquiler deapartamentosUnaagenciainmobiliaria maneja un complejo de 50 apartamentos. Cuando el al-quiler es de $580 mensuales, los 50 apartamentos estn ocupados.Sin embargo, cuando elalquiler es de$625, elnmeromedio deapartamentosocupados desciende a47.Supongamosquelarelacinentreelalquiler mensualy la demanda xeslineal.(Nota:Aqu usamos eltrmino demandapara referirnos alnmero de apar-tamentosocupados.) a)Escribirunaecuacinlinealqueproporcionela demanda xentrminosdelalquiler p. b)ExtrapolacinlinealConayudadeunacalcula-dora, representar la ecuacin de la demanda y usar la funcin trace para predecir el nmero deaparta-mentosocupadossisesubeelalquilera$655. e)InterpolacinlinealPredecir elnmero de apar-tamentosocupadossisebajaelalquilera$595. Verificar elresultadogrficamente. 74.Unmodelo matemticoUnprofesor reparte cuestio-nariosde20puntosyexmenesde100puntosalo largodeuncursodeMatemticas.Lascalificaciones mediasdeseisestudiantes,dadascomoparesordena-dos (x,y) donde xesla calificacinmedia enlas cues-tioneseylacalificacinmediaenlosexmenes,son (18, 87), ( 1O,55), (19, 96), (16, 79), (13, 76)y ( 15, 82). a)Empleandounacalculadoraprogramadaparael clculo de regresiones,hallar la recta deregresin pormnimoscuadrados para losdatos. b)Usandounacalculadoragrfica,representarlos puntos ylarecta de regresin enuna misma ven-tana. e)Utilizar larecta deregresinparapredecirlacali-ficacinmedia enlosexmenesdeunestudiante cuyacalificacinmediaenlascuestioneses17. d)Interpretar elsignificado dela pendiente dela rec-taderegresin. e)Sielprofesoraadiera4puntosalacalificacin media enlos exmenes de cada alumno de la clase, describir elcambio deposicindelospuntostra-zados y lamodificacin dela ecuacin delarecta. 24CaptuloPPreparacinparaelClculo DistanciaEn los Ejercicios 75-80, calcular la distancia en-tre el punto y la recta o entre las rectas,utilizando la siguien-tefrmula paraladistancia entre elpunto(x1,y) ylarecta Ax +By+ e= O. 83.Demostrarquelasdiagonalesdeunrombosecortan perpendicularmente. 84.Demostrarquelafiguraqueseobtieneuniendolos puntosmediosdelosladosconsecutivosdecualquier cuadrilteroesunparalelogramo. 75.Punto:(0,O)76. Recta:4x + 3y= 10 77.Punto:(-2,1)78. Recta:x- y- 2 = O 79.Punto:x+ y= 180. Recta:x+ y= 5 Punto:(2,3) Recta:4x + 3y = 10 Punto:(6,2) Recta:x= -1 Punto:3x- 4y= 1 Recta:3x- 4y = 10 85.Probar quesilos puntos (x1,y1)y (x2,Y2)pertenecen a lamismarectaque(xf,yf) y(x!,y!),entonces y!- YTY2-y x! -xtx2 -x1 Supngase quex1 "#x2 y xt"#x!. 86.Demostrar quesilaspendientes dedosrectassonuna opuesta delainversa dela otra, entonces lasrectasson perJendiculares. 81.Demostrar queladistanciaentreelpunto(x 1,y 1)y la recta Ax + By+ e = O es Verdadero o falso?EnlosEjercicios 87y 88, determinar silaafirmacinescorrecta.Sinoloes,explicarporquo darunejemploquepruebesufalsedad. ('..,82.Expresar ladistanciadentreelpunto(3,1)ylarecta y= mx + 4 entrminos dem.Emplear una calculadora grficapararepresentarlaecuacin.CundoesO la distancia?Explicar geomtricamenteelresultado. 87.Las rectas de ecuaciones ax +by= c1 y bx- ay= c2 son perpendiculares.Supngase quea"#O y b"#O. 88.Dos rectas conpendientes positivas pueden ser perpen-dicularesentres. CONTENIDO Funcionesy notacindefunciones Dominioy recorridodeunafuncin Grfica deunafuncin Transfonnaciones defunciones Clasificacionesy combinacionesdefunciones D. _PJ ___________________ Funcionesy susgrficas Funcionesy notacindefunciones UnarelacinentredosconjuntosXeY esunconjuntodeparesordenados, cadaunodelaforma(x,y)dondexesunelementodeXey,unodeY.Una funcindeXaY esuna relacinentreXeY conlapropiedaddequesidos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces tambin tienen elmismo valor de y.La variable xse denomina variable independiente, mientras que la variableysedenominavariable dependiente. Muchas situaciones dela vida realpueden describirse mediantefunciones. Por ejemplo,elrea Adeuncrculoesunafuncindesuradior. Aesunafuncinder Enestecaso,r eslavariableindependientey A,lavariabledependiente. SeccinP.J FIGURAP.22 Unafuncinrealdeunavariablereal. primero quea eh1694, para... . .. Ulla wrv&; iSlldasd(funo de J)ehd!ente, m:t&fde,keonhard patfbra. fuOOIQn .para d. .. ... . expresi6n eonstruda conl quien lnf:tOdujo fay.. 1{X); Funcionesy sus grficas25 }!UNCINREAU>E.UNA VARIABLE REAL SanX de.nmerosreales.Una fuqcinreal f deuna v*'rjable fel x X a unaque asigna a cada nmero x de X exactamente un nmero y deY. Bl conjunto X se llama dominio de fEl nmero y se denomina la ima-gen dCx .po;r fy se denotaporj(x)..Blrecorridodef sedefinecomoel subconjuptodeY formadoportodaslasimgenesdelosnmerosdeX (vase,Figlll'aLasfimcionespuedenespecificarsedemuchasformas.Noobstante,eneste textonosconcentraremosfundamentalmenteenfuncionesdadaspor ecuaciones que involucran las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuacin x2 + 2y =1Ecuacinenformaimplcita define y, la variable dependiente, como funcin de x, la variable independiente. Para evaluar esta funcin(esto es,para hallar elvalor de y correspondiente a unvalor de xdado)resulta convenientedespejar y. 12 y=-(1-x) 2 Ecuacinenformaexplcita Denotando por f lafuncin,sepuedeescribiresta ecuacincomo Notacin defunciones La ecuacinoriginalx2 + 2y =1 defineimplcitamente ycomo funcinde x. Cuando despejamosy,estamosescribiendolaecuacinen forma explcita. La notacindefuncionestienelaventaja dequepermiteidentificarclara-mentelavariabledependientecomo f(x),informndonosalmismotiempode que la variable independiente es x y de que la propia funcin se denota por f. El smbolo f(x)se lee!de X.La notacin de funcionespermite ahorrar pala-bras.En lugar de preguntar cul es elvalor de y que corresponde a x= 3? se puedepreguntar cuntovale f(3)? En la ecuacin que defineuna funcin,el papel dela variable xessimple-menteel de unhuecoallenar.Por ejemplo,la funcindadapor f(x)=2x2 - 4x +1 puededescribirsecomo =2(- 4(+1 dondeseusanparntesisenlugar dex.Para evaluar f(-2),bastacolocar -2 entrecada par de parntesis. f(-2) = 2(-2)2- 4(-2) + 1 =2(4)+ 8 + 1 =17 Sustituir xpor -2 Simplificar Simplificar 26CaptuloPPreparacinparaelClculo 1Nota.Aunque es frecuente usar f como smbolo conveniente para denotar una funcin y x para lavariable independiente,se pueden utilizar otrossmbolos. Amodo deejem-plo,lassiguientes ecuacionesdefinentodaslamismafuncin. Elnombredelafuncines .t:eldelavariableindependienteesx Elnombredelafuncines f,eldelavariableindependienteest f(x)= x2 - 4x + 7 f(t)= t2 - 4t + 7 g(s) =s2 - 4s+ 7Elnombredelafuncinesg,eldelavariableindependienteess EJEMPLO1Evaluandouna funcin Paralafuncin! definida por f(x)=x2 + 7,calcular: a)f(3a)b)f(b-1)e) j(x+fu)- f(x) Solucin: a) b) e) j(3a) =(3a)2 +7Sustituir xpor3a = 9a2 + 7Simplificar j(b- 1)= (b- 1)2 +7Sustituir xpor b- 1 = b2- 2b+1 +7Desarrollarelbinomio = b2- 2b+8Simplificar f(x +fu)-f(x) fu [(x + fu)2 + 7]- (x2 + 7) fu x2 + 2xfu+(fu)2 + 7 -x2 -7 fu 2xfu+(fu)2 fu M(2x+fu) M =2x +fu,fu#O ' D 1 Nota.La expresin delEjemplole sellama cociente de incrementos y tiene unsigni-ficadoespecialen elClculo.HablaremosmssobrelenelCaptulo2. Dominioy recorridodeunafuncin Eldominio de una funcinpuede describirse explcitamente,o bien implcita-mente mediantela ecuacin empleada para definir la funcin.Eldominio im-plcito esel conjunto de todoslos nmerosrealespara los queest definidala ecuacin,mientrasqueundominiodefinidoexplcitamenteeselqueseda junto conlafuncin.Por ejemplo,lafuncindada por 1 f(x)=-2--4 x 5 X-4 SeccinP.J -+--+---+--+---+-- X 234 Donilil!f1! !f Jil a)Eldominio de fes [1,oo)y el recorrido [0,oo) y.Jtl}\"'t!x }" 1 1 1 1 1 1 1 .g 1 11 :: 1 13-+-- ----1-->-X ~1Drl 1 if 1 1 1 1 1 1 1 1 :1 1 Dominio b)Eldominio de flo construyen todos los n valores de x tales quex "' 2+ nn y elrecorrido es (-oo,oo) FIGURAP.23 FIGURAP.24 Eldominio dejes (-oc,oc)yelrecorrido es[0,oc). Funcionesy sus grficas27 tieneundominiodefinidoexplcitamentecomo{x:4~ x~ 5}.Porotra parte,la funcin 1 g(x)= ---z---4 X-tieneeldominioimplcito{x:x#2}. EJEMPLO2Clculodeldominioy elrecorrido deuna funcin a)Eldominiodela funcin b) j(x) =Jx=l es elconjunto de los valores de xtales que x- 1 *"O,es decir el intervalo [1,oo).Para hallar elrecorrido,observemosquef(x) =Jx=l nunca es negativo. As pues, el recorrido es el intervalo [0,oo ), como se ilustra en la Figura P.23a. Eldominiodela funcintangente,mostrada enla Figura P.23b, f(x)=tgx eselconjunto delosvaloresde xtalesque TC x# 2 + nrc,conn entero.Dominiodelafuncintangente Elrecorridodeestafuncinestodalarectareal.Puedeconsultarseel apndice para una revisinde lascaractersticas de sta y otras funciones trigonomtricas.D EJEMPLO3Unafuncindefinidapor ms deunaecuacin Determinar eldominioyelrecorrido dela funcin { 1XsiXJfxl Encontrar elvalor delaconstanteeencadacaso,demodo quelafuncinseajustealosdatosdelatabla. 29. 1:1 11:1_,1_:,1 30. 1:1:1-;1 11 4 1 31. 1:1:1

1lo:d1 32 1:1 32. 1:1:1:1:1 3 1:1 33.ParapensarElaguafluyedentrodeunavasijade 30 centmetros de altura avelocidadconstante,llenn-dola en5segundos.Usar estainformacinylaforma delavasijaquemuestra lafigurapararesponderalas siguientescuestiones,dondedeslaprofundidaddel agua encentmetrosyteseltiempoensegundos. a)Explicarpor qudesunafuncindet. h)Determinar eldominio y elrecorrido de dicha fun-cin. e)Esbozarunaposiblegrficadelafuncin. 81 30cm rl l-34.Para pensarUnestudiante queviaja 27millas cada da para asistir alauniversidad seda cuenta, trasllevar unos minutosconduciendo,dequehaolvidado untrabajo que debaentregar.Conduciendomsrpidodelohabitual, regresa a casa,recoge eltrabajo y parte de nuevo haciala universidad.Dibujarunaposiblegrficadeladistancia delestudianteasucasa enfuncindeltiempo. 35. EjerciciosdelaSeccinPJ Seleccionarlaventanadecalculadoragrfica quemuestreunagrficamscompletadelafuncin f(x)= 10xJ400-x2 Xmin=-5Xmin=-20Xmin=-25 Xmax=50Xmax=20Xmax =25 Xscl=5Xscl=2Xscl =5 Ymin=-5.000Ymin=-500Ymin = -2.000 Ymax=5.000Ymax=500Ymax=2.000 Yscl=500Yscl=50Yscl =200 36.Usando la grfica de f mostrada enla figura,dibujar la grficadecadauna delassiguientesfunciones. a)f(x- 4)b)f(x + 2)e)j(x) + 4 d)f(x)- 1e)2f(x)f)Y> x ~ lEsta discusin conduce a una descripcin informal delmite.Sif(x) se acerca arbitrariamenteaunnmero Lcuandoxtiendeaepor cualquieradelosdos lados,entoncesellmitede f(x),cuando xtiendeae,es L.Estoseescribe lmf(x)= L x ~ 56Captulo1 (no est definida enx--=- O""' Lmitesy sus propiedades ,,: Laprecedente csltillarun; lmite O:gf{lfliimitit"tei.di'&ujando U:il grafica; In:-tente estiillar n1lmricamente el Umite. .. . X ? A continu-acin, estitne gracamente. el lmite usandouna calculadora. EJEMPLO1Estimacinnumricadeunlmite Evaluar la funcinf(x) =1)envarios puntos cerca de x=O yusar elresultadopara estimar ellmite lmx -1 Solucin:La siguiente tabla recoge los valores def(x) para diversos valores de x -...xcercadeO. --1

'-ovi+l1 FIGURA1.6 Ellmitede j(x) cuandox tiendea Oes2. X-0,01-0,001-0,0001o0,00010,0010,01 f(x)1,99501,99951,9999?2,00012,00052,0050 __c 2.Suma o diferencia:Iri [f(x) :g(x)J= t::1::K ' 3.Producto: 4.Cociente: s,Potencias: EJEMPLO2Ellmitedeunpolinomio ,X,..,C' Ini[/(x)g(J:)) =LK lm f(x)tsupuesto que K#O x-:-ig(x) . [f(x)]" = Ln lm(4x2 + 3)=lm4x2 +lm3Propiedad2 x--+2x--+2x-2 =4(lm x2)+lm3 x-2x--+2 Propiedad1 Ejemplo1 SimplificarD Observemos que,en elEjemplo2,ellmite(cuando x->2)delafuncin polinmica p(x)= 4x2 + 3essimplemente elvalorde pen x= 2. lm p(x)= p(2)= 4(22)+ 3= 19

Esta propiedad de sustitucin directa es vlida para todas las funciones polin-micasytodaslasracionalescuyosdenominadoresnoseanulenenelpunto considerado. Seccin/.3Clculoanalticodelmites EJEMPLO3Lmitedeuna funcinracional x2 + x+ 2 Hallar ellmitelm---- ~ 1X+1 67 Solucin:Puesto queeldenominador noesO cuando x =1,sepuede aplicar el Teorema1.3paraobtener x2 + x+ 2 Im---- ~ 1X+1 D 4 -=2 2 Lasfuncionespolinmicasyracionalesconstituyendosdelostrestipos bsicosdefuncionesalgebraicas.Elprximoteoremaconcierneallmitedel tercer tipodefuncinalgebraica,aquella enla queintervieneuna raz. El siguiente teorema extender notablemente su capacidad de evaluar lmi-tes,yaquemuestra cmotratar ellmitedeuna funcincompuesta. 68Captulo1Lmites y sus propiedades EJEMPLO4Lmitedeuna funcincompuesta a)De lm(x2 +4)= 02 +4= 4ylmJx = 2 x ~ o x--+4 sesigue que lmy?+4 = J4 = 2 x ~ ob)De lm(2x2 - 10)=2(32)- 10 =8ylm$= 2 x--+3x-+8 sesigue que lm.Y2x2 - 10 =.y8 =2 x ~ D Sehavistoqueloslmitesdemuchasfuncionesalgebraicassepueden calcular por sustitucin directa. Cada una de las seis funciones trigonomtricas bsicastambinposeeestadeseablepropiedad,comoestableceelsiguiente teorema(presentadosindemostracin). EJEMPLO5Lmitesde funcionestrigonomtricas a)lmtgx=tg(O)=O x ~ ob)lm(xcos x)=(lm x)(lm cosx) =n cos(n)=-n x-+nx-+1tx-+1t e)lmsen2 x=lm(sen x)2 = 02 =OD x-Ox-+0 -2 -2 Seccin1.3 y --+------ --- .. --+----X -11 y -1 FIGURAl.l6 f y g coincidensalvoenunpunto. Clculoanaltico delmites69 Estrategia para elclculo delmites En las ves pginas previas, se han estudiado diversos tipos de funciones cuyos lmites pueden calcularse por sustitucin directa.El conocimiento de estas fun-ciones, junto con el siguiente teorema,permiten desarrollar una estrategia para calcular lmites. EJEMPLO6Clculodellmitedeuna funcin x3- l Hallar el lmitelm x ~ l X- 1 Solucin:Seaf(x)=(x3- 1)/(x- 1).Factorizandoycancelandofactores,se puedeescribir fcomo ~ x2+x+1) f(x) =~ x2 + x+1 = g(x),x=1- 1 Aspues,paratodoslosvaloresdexdistintosdex=1,lasfunciones fyg coinciden, como ilustra la Figura 1.16. Como lmg(x) existe,se puede aplicar x ~ lelTeoremal. 7yconcluir que fygtienenelmismolmiteen x=l. ,x3 - 1,(x- 1)(x2 + x+1) hm--- = hm-------x ~ 1X- 1x ~ 1X- 1 Factorizar ,.(,x..---f)(x2 + x+1) =hm~ - ~ - - - ~ Cancelar factoresidnticos x ~ l ~=lm(x2 + x+1)Aplicar elTeorema1.7 x ~ lUsar sustitucindirecta =3Simplificaro 70Captulo1 ADVERTENCIACuando aplique esta estrategia alclculo de lmites,recuerdequealgunas funcionesnotienenlmite(cuando xtiendea e).Por ejemplo,el siguientelmitenoexiste x3 +1 lm-- X- 1 FIGURA1.17 f noest definidaparax =-3. Lmites y suspropiedades Tcnicasdecancelacin y deracionalizacin EnlosEjemplos7y8seexhibendostcnicaspara calcular lmitesanaltica-mente.La primera supone la cancelacin defactorescomunes, yla segunda la racionalizacindelnumerador deuna fraccin. EJEMPLO7Tcnicadecancelacin x2 + x- 6 Hallar ellmitelm X+3 Solucin:Aunque se trata dellmite de una funcinracional,no sepuedeapli-car elTeorema1.3porque ellmitedeldenominador esO. 2 lm(x2 + x- 6)=O X+X-lmLa sustitucindirecta falla 3X+3lm(X+3)=0 x----+-3 DadoqueellmitedelnumeradortambinesO,numeradorydenominador tienen el factor comn (x + 3).Por tanto,para todo x=F-3, podemos cancelar estefactorpara obtener x2 + x- 6 - 2) x+3X- 2,X#-3 Del Teoremal. 7,sesigueque x2 + x- 6 lm=lm(x- 2) X+3 Aplicar elTeorema1.7 =-5Usarsustitucin directa Este resultadosemuestra grficamenteen la Figura1.17.Observemosquela grfica dela funcin f coincide con la dela funcin g(x)=x- 2,salvo que la grfica de ftieneunhuecoenelpunto( -3, -5).D -5 +r 3 -rl -5- [ Seccin1.3 1 Clculoanalticodelmites71 En elEjemplo 7,la sustitucin directa produce la forma 0/0,que carece de significado.Talexpresin sedenomina formaindeterminada porque noes po-sible (a partir slo de esa forma)determinar ellmite.Sialintentar evaluar un lmitesellega a esta forma,debe escribirselafraccindemodo queelnuevo denominador no tenga lmite O.Una manera de conseguirlo consiste encance-lar factores idnticos, como se muestra en el Ejemplo 7.Otra manera esracio-nalizar el numerador,comoilustra elEjemplo8. 1 Nota.En la solucin del Ejemplo 7, asegrese de que capta la utilidad del Teorema de Factorizacindellgebra.Esteteoremaestablecequesieesuncerodeuna funcin polinmica, entonces (x-e) esunfactordelpolinomio.Por tanto,siaplica sustitucin directaaunafuncinracionaly obtiene p(c)O r(e)=- =-q(c)O puedeconcluir que(x- e)esunfactorcomnde p(x) yq(x). EJEMPLO8Tcnicaderacionalizacin Calcular ellmitelm Jx+l- 1 x---+0X Solucin:Por sustitucindirecta,seobtienela formaindeterminada 0/0. ::--;--lm( Jx+l - l )=O -r1- lm xlmx=O

La sustitucindirectafalla 72 -] y Captulo1 FIGURA1.19 Ellmitedef(x)cuando x tiendea Oesl/2. Lmitesy sus propiedades En este caso,podemos escribir la fraccinracionalizando eldenominador. Jx+l- 1=(fi+1- 1)(fi+1 +1) XXJx+l+1 (x+1)- 1 x(Jx+l +1) f t O.Cul es el dominio de f! Cmo sepuede definir f en x= O demanera tal que fseacontinua en esepunto? 100.Seanf1(x)y f2(x)funcionescontinuasenelintervalo [a,b]. Probar que sif1 (a) f2(b), enton-cesexistee entreaybtalque !1 (e)=j2(c). 1: Sea f la funcindada por 61 4t 3 f(x)=-2x-+--- -+----6-4 2Tl ---1---- --1------+-+--x r46 Con ayuda dela Figura1.37y dela tabla de la pginasiguiente,puedeverse que f(x) decrecesin cota cuando xtiende a 2 por la izquierda y crece sin cota cuando xtiendea2 por laderecha.Estecomportamientosedenota _3___ 00 x-2' comox -2 ' ' ' ' ' l ;,' ' FIGURA1.37 f(x)crecey decrecesincota cuandox tiendea 2. y 1,3 lm--=-00 X- 2 1,3 lm--= 00 X- 2 f(x)decrecesincota cuandoxtiendea2porla izquierda j(x) crece sincotacuandoxtiendea2 por laderecha Seccin1.5 FIGURA1.38 Lmitesinfinitos. Lmites infinitos93 X1,51,91,991,99922,0012,012,12,5 f(x)-6-30-300-3.000?3.000300306 Todo lmite en el quej(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a e sellama lmiteinfinito. Ojo! El smbolo de igualdad en la expresin lmj(x) =Cf)no significa que ellmiteexista.Bienalcontrario,nosindicalarazndesunoexistencia:el comportamientonoacotadodef(x) cuando xtiendea c. 94Captulo1 -2 a)b) 1Nota.Siuna funcin fposeeuna asntota vertical en x =e, entonces! noescontinuaenc. Lmitesy sus propiedades EJEMPLO1Determinacindelmitesinfinitosa partir deunagrfica Usando la Figura 1.39, determinar el lmite de cada funcin cuando x tiende a1 porlaizquierdaopor la derecha. y Solucin: a) b) e) d) 1 lm--= -oo X- 1 1 lm 2 =oo (X- 1) -1 lm--= oo X- ] -1 lm 2 =-oo (X- 1) Asntotasverticales yy J -2-1i -1 -z+ -3l : .1 1 !(' zf ,11-r-r2+- X 1 1 1 : tl e) y y d) FIGURA1.39 Lascuatrogrficastienenunaasntotaverticalenx = l. lm--= oo X- J Ellmitepor ambosladoses'fJ -1 lm--= -oo X- 1 Ellmitepor ambosladoses-oco Sifuera posible extender las grficas de la Figura 1.39 hacia el infinito,positi-vo onegativo,veramos que ambasse acercan arbitrariamentea la recta verti-cal x=l. Esta rectaesuna asntota verticaldelagrficade f Observemos que, en el Ejemplo 1, cada una de las funciones es un cociente y la asntota vertical aparece en el nmero que anula el denominador pero no el numerador.Elsiguienteteoremageneralizaesta observacin. Seccin1.5 a) y

iL h) e) - *- -42: --4 6 y ' ' ' ' ' ' ' ' :24 ' ' ' ' ' ' ' ' FIGURA140 Funcionesconasntotasverticales. Lmitesinfinitos95 EJEMPLO2Determinacindeasntotasverticales Hallar todaslasasntotasverticalesdela grfica decada una de lassiguientes funciones. 1 a)f(x)=2(x +l) x2 +l b)f(x)= -2-1X-e)f(x)=ctgx Solucin: a)Cuando x= -1, eldenominador de b) l f(x)=2(x +l) esO yelnumeradornoesO.Portanto,porelTeorema1.14,sepuede concluir que x=-1esunaasntotavertical(vase Figura1.40a ). Factorizandoeldenominador como x2 +lx2 +1 f(x)= = -(x---1)-(x_+_l_) puedeversequeseanulaenx= -1yenx= l.Adems,dadoqueel numerador noesO enninguno de estos puntos, del Teorema1.14 sesigue quela grfica tiene dosasntotasverticales,como ilustra la Figura1.40b. e)Escribiendolafuncincotangentedela forma COSX f(x)=ctgx=--senx podemosaplicarelTeorema1.14yconcluirquelasasntotasverticales tienen lugar en todos los valores de x tales que e os xi=O y sen x = O (vase Figura1.40e).Por consiguiente,la grficadeestafuncintieneinfinitas asntotasverticales.Estasasntotasaparecencuando x=nn,siendon un entero.D 96Captulo1 Asntota vertical enx=-2 FIGURA1.41 j(x)crecey decrecesincotacuando x tiendea -2. -46 FIGURA1.42 f poseeunaasntotaverticalen x = l. Lmitesy sus propiedades El Teorema 1.14 exige que el valor del numerador en x =e no sea nulo.Si tanto el numerador como eldenominadorsonO en x= e,seobtienela forma indeterminada 0/0,ynoes posible conocer elcomportamiento lmite en x = e sinuna investigacinadicional. EJEMPLO3Unafuncinracionalcon factorescomunes Determinar todaslasasntotasverticalesdela grfica de /( x2 + 2x- 8 x) = ---;;---x2- 4 x2 + 2x- 8 f(x)=x2- 4 (x+= x+4 =X+ 2' X#- 2 Entodoslos xi=2,la grfica de fcoincide con la de g(x)= (x + 4)/(x + 2).De modoquepodemosaplicarelTeorema1.14agparaconcluirqueexisteuna asntota vertical en x= -2 (vase Figura1.41).A partir de la grfica, vemos que y x2 + 2x- 8 lm=oo x2- 4 Observemosque x=2noesunaasntota vertical. EJEMPLO4Determinacindelmitesinfinitos Hallar lossiguienteslmites. 1,x2- 3x Im---X- 1 y x2- 3x lm--- +X- 1 o Solucin:Puesto que eldenominador esO cuando x= 1 (yel numerador nose anula),sabemosquela grficade x2- 3x f(x)=x- 1 tiene una asntota vertical en x =l. Estosignifica que cada uno de loslmites dados esooo -oo. Una grfica en la calculadora puede ayudar a determinar el Seccin1.5 ADVERTENCIACuandose utilizacalculadora,hayqueser cuidadosoparainterpretar correctamentelagrficadeuna funcinconunaasntotavertical, yaquelascalculadorastienena menudodificultadesparadibujar estetipodegrficas. Lmites infinitos97 resultado.En la grfica de fdela Figura1.42,vemosquela grfica tiende a ooporlaizquierdadex=1ya-ooporladerecha.Aspues,podemos concluir que y x2- 3x lm--- =oo x ~ l - X- 1 x2- 3x lm---=-oo x ~ l X- 1 Ellmitepor laizquierdaesinfinito Ellmitepor laderechaesmenosinfinitoD Demostracin:Para probar que ellmite def(x) + g(x)es infinito,escojamos un M> O.Necesitamos entonces encontrar unb > O talque [f(x)+ g(x)]> M siempre que O< lx-el< J.Para simplificar,podemos suponer L >O y hacer M1 =M+ l. Como el lmite def(x) es infinito,existe un M1 siempre que O < lx - e 1< b 1.Y como el lmite de g(x) es L, existe un b 2 tal que lg(x)- Ll c Las demostraciones de las dems propiedades se dejan como ejercicios (vase Ejercicio 60).D 98Captulo1Lmitesy suspropiedades EJEMPLO5Clculodelmites 1 a)Comolm1 = 1 ylm 2 = co,sesigueque x--+0x--+0X lm(1+ =co X Propiedad1,Teoremal. 15 b) 1 Delm(x2 +1)= 2ylm--= -co, deducimosque x2 +1 lm=O 1/(x- 1) Propiedad3,Teorema],]5 e)Alserlm3= 3 ylfi1ctgx= oo,setiene x-+0+x-+0 lm3ctg x=coPropiedad 2,Teorema],]5 EjerciciosdelaSeccin1.5 EnlosEjercicios1-4,averiguarsi f(x)tiendeaoooa-oo cuando xtiendea -2 por laizquierda oporladerecha, 1 :(x)1-3,51-3,1 1 1 :(x)1-2,91-2,51 11 l. f(x)=(x+ 2)2 2.f(x)=-x+2 Jll, y

:zl '' :+ +--+--+--!--+- X ,i-ITI : -54-3:-]t1 1X S.f(x)=zg6. f(x)=--zg X- X-nx1!X 3.f(x)= tg- 4.f(x)=sec-44 xz nx 7. f(x)=--zg 8.f(x)=sec-X- 6 y D / ) w \ 1111111..11 :::; :: 1. 1En los Ejercicios 9-24, hallar lasasntotas verticales (si exis-tealguna)delafuncin, X frTx ,n,f\ 1111 : + :: 11 1! 1111 Anlisisnumrico ygrficoEnlosEjercicios5-8,deter-minar, completando la tabla,sif(x) tiende aooo a -oo cuan-do xtiende a -3 por la izquierda y por la derecha, respectiva-mente,Representarlafuncinconunacalculadorapara confirmar larespuesta, 9. 11. 13. 15. 1 f(x)= 2 X x2- 2 h(x)= x2-x-2 x3 f(x)= -2-1X-f(x)=tg2x 4 10. f(x)=(x- 2)3 2+x 12.g(x)= --1-x -4x 14. f (X)= ---z-;: X+ 16.f(x)=secnx Ejercicios de laSeccin1.5 4-2 17.T(t)=1 -- 18.V(s)-(2 - (s- 2)2 X1 19.f(x)= x2 +x- 2 20. f(x)=(x+3/ x3 +1x2- 4 21.x(x)=-- 22.h(x)= x3 +2x2 +x+2x+l ttgo 23.s(t)=24.g(O)=-sento (>.,EnlosEjercicios25-28,determinarsilafuncintieneuna asntota vertical o una discontinuidad evitable en x =-l. Re-presentarlafuncinenunacalculadoraparaconfirmarla respuesta. x2- 1x2- 6x- 7 25.f(x)=-- 26.f(x)= X +1X+1 x2 +1sen(x+1) 27.f(x)=-- 28.f(x)= X +1X +1 EnlosEjercicios29-40,hallarel lmite. x-32+x 29.lm-- 30.lm-- x- 2x-i+1 -X 31. xz lm---x-4x2- 16 32. xz lm---x-4- x2 +16 x2 +2x- 36x2 + x- 1 33.lm x2 + x- 6 34.lm 2 X---'>--3x-(-1/2)+4x- 4x- 3 35. lm(136. lm

x-o- Xx---.o- X 2-2 37.lm-- 38.lm x-o+senXx-(rr/2)"COSX x2- xx-2 39.lm 2 40.lm-2-x-i(x+l)(x- 1)x-3X f\c.EnlosEjercicios 41-44, representar la funcinen una calcu-]adoraydeterminarellmitelateral. x2 +x+1x3- 1 41.f(x)= x3- 1 42..f(x)= x2 +x+1 lm.f(x)lm .f(x) x--+1+x---+1-1nx 43. f(x)=xz- 25 44..f(x)=sec-6 lmf(x)lm .f(x) x-s- 45.Unasumadadaesinversamenteproporcionala1 - r, donde O< 1rl 1 -. 99 46.Ley deBoyleEnungasatemperaturaconstante,la presin P esinversamenteproporcional alvolumenV. Calcular ellmitedePcuandoV-->O+. 47.Ritmo de cambioUna escalera de 25 pies est apoya-da enuna casa (vase figura).Si se tira dela base de la escalera alejndolade la casa aunritmo de2 piespor segundo, la parte superior descender por la pared a un ritmode 2x r =pies/s J625- x2 donde x esladistancia entre labase de la escaleray la casa. a)Hallar elritmorcuando xes7 pies. b)Hallar elritmorcuando xes15pies. e)Hallar ellmiteder cuando x-->25-. l("fP 50 pies 1 FIGURAE.47FIGURA E.48 t 48.Ritmo decambioUn cochepatrulla est aparcadoa 50 pies de ungran almacn (vase figura).La luz gira-toria de la parte superior delcoche gira a un ritmo de 1 revolucin por segundo. Elritmoalquese desplaza el hazdeluzalolargodela pared es r = SOnsec2 O pies/s a)Hallar elritmorcuandoO esn/6. b)Hallar elritmor cuandoe esn/3. e)Hallar ellmitedercuandoO -->(n/2)-. 49.Drogas ilegalesEl coste en millones de dlares que le suponeauna agenciagubernamentalincautarsedeun x% deciertadrogailegales 528x

100-x a)Hallar el costede laincautacindel25%. b)Hallar elcoste de la incautacindel50%. e)Hallar elcostedelaincautacindel75 %. d)Hallar ellmitedee cuando X-->100-. 50.Velocidad mediaEnunviajededmillasaotra ciu-dad,lavelocidad media deuncamionerofuedexmi-llas por hora.En elviaje devuelta,lavelocidadmedia fuede ymillaspor hora.La velocidadmedia delviaje deidayvueltafuede50 millaspor hora. 100Captulo1Lmites y sus propiedades 25x a)Comprobar que y=--- Cul es el dominio? X- 25 b)Completar latabla. Difieren los valores de y de los esperados? Expli-car la respuesta. e)Hallar ellmitede ycuando x--->25 +. 51.RelatividadDeacuerdoconlateoradelarelativi-dad,la masa mde unapartcula depende desuveloci-dadv.Estoes, m o m= ------==:.::::;=;==::;= Jl - (v2/e2) donde m0 es la masa cuando la partcula est en reposo yeeslavelocidaddelaluz.Calcularellmitedela masacuandoe-. 52.Para pensarUsandola grfica de la funcin! (vase figura), esbozar la grfica de g(x) = llf(x) en el interva-lo[-2,3]. y

53.RazonamientonumerzcoygrficoUnacorreaen cruz conecta un disco de 20 cm (10 cm de radio)situa-doen unmotor elctrico con otrode 40 cm (20 cm de radio)enunasierracircular.El motor elctricogira a 1.700 revolucionespor minuto. a)Hallar el nmero de revoluciones por minuto de la sierra. b)Cmoafectaelcrucedelacorreaalasierra en relacinconelmotor? e)Sea Lla longitud totaldela correa.Expresar Len funcinde ,donde se mide en radianes.Cul eseldominiodelafuncin?[Ayuda:Sumarlas longitudesdelostramosrectosdela correa ylas longitudesdela correa alrededordecadadisco.] d)Completar la tabla conayuda deuna calculadora. 1 :1 0,310,610,911,211,51 e)Usando una calculadora, representar la funcin en undominio apropiado. f)Hallar g) lmL Dar unsegundo mtodo,detipo geomtrico,para calcular estelmite. HallarlmL

54.Anlisis numrico y grficoConsideremos la regin sombreada que queda fuera delsector de crculo dera-dio10m y dentro del tringulo rectngulo de la figura. a)Expresar elrea A=f(O)delareginenfuncin dee.Determinar eldominiodeesta funcin. b)Completar la tabla con ayuda deuna calculadora. 1;(O)1 0,310,610,911,211,51 e)Usando una calculadora, representar la funcin en un dominioapropiado. d)Calcular ellmitede Acuando()--->n/2-. (} lOm Verdadero o falso?En los Ejercicios 55-58, determinar si la afirmacin es cierta o falsa.Si es falsa,explicar por qu o dar unejemplo que demuestresufalsedad. 55.Si p(x)esunpolinomio, entoncesla funcindada por f(x)=p(x) X- 1 posee una asntotaverticalen x=l. 56.Toda funcin racionaltiene almenos una asntota ver-tical. 57.Lasfuncionespolinmicascarecendeasntotasverti-cales. EjerciciosderepasodelCaptulo1 58.Si f tieneunaasntotaverticalen x=O,entonces fno estdefinida en x=O. 59.Encontrar dosfunciones fygtalesque lmf(x) =ooylmg(x)=oo x-+cx-+c perolm[f(x)- g(x)]'1O. x-e 60.Demostrar las propiedades restantes del Teorema1,15. 61.Probar quesi entonces 62.Probar quesi lmf(x) =oo x-e 1 lm-= O x-e f(x) 1 lm-=0 x-ef(x) entonceslmf(x)noexiste. x-e 1't O existeuno> O talque x+2 --->M (x- 1)2 siempreque O< Jx- 1J2 X ~ o Llx =0 EJEMPLO1Aplicacindelaregladelaconstante FuncinDerivada a)y=7 dy=o dx b)f(x)=Of'(x) =O e)s(t)=-3s'(t)=O d)y=kn2,k esconstantey'= o D D Seccin2.2 FIGURA2.15 Lapendientedelarecta y =x esl. Reglasbsicasdederivaciny ritmo.sde cambio119 Laregladelaspotencias Antes de demostrar la prxima regla,vamos a revisar elproceso dedesarrollo deunbinomio. (x+Llx)2 =x2 +2xLlx+(&)2 (x+&)3 =x3 +3x2 Llx+3x(Ax)2 +(Llx)3 Eldesarrollopara unenteropositivonarbitrarioes n(n- l)xn-2 (x+Llx)n=Xn+nxn-1 (Llx)+(Llx)2 + +(Llxt. 2 (Ax)2 esfactorcomnenestostrminos Este desarrollo del binomio se va a utilizar para demostrar un caso especial dela regla delaspotencias. Demostracin:Sin es unentero mayor que1,deldesarrollo delbinomio resulta d(x+ Axt- xn -=lm-----dx Ax =lm =lmnxn-1 +(Llx)+...+(Llxt-1 [ n(n- l)xn-2 J 2 =nxn-1 +0+ +0 Esto demuestra elteorema para n>l.Dejamosallector la demostracin del caso n =1.ElEjercicio 59 de la Seccin 2.5 demuestra elcaso en que nes racional.(EnlaSeccin 5.5seextender la regla delaspotenciasacualquier valor realden).D Enla regla delas potencias, conviene separar el caso n=1 como otra regla distinta dederivacin,asaber 1 [x]=1 Regla delaspotenciaspara n=1 Esta regla es consistente con el hecho deque la pendiente de la recta y = x es1 (vaseFigura2.15). 120Captulo2 FIGURA 2.16 La pendiente de una grfica en un punto es el valor de laderivadaenesepunto. y FIGURA2.17 La recta tangentey= -4x - 4 estangentea la grfica def(x) =x2 enelpunto(-2,4). Laderivada EJEMPLO2Aplicacindelaregladelas potencias FuncinDerivada a)f(x)= x3 f'(x)=3x2 g(x)= ifx d11 b) g'(x)= _[xl/3]= _ x-2/3= __ dx33x213 1 dyd-2-32 o e)y=- -=-[x]=(-2)x=--x2 dxdxx3 EnelEjemplo2e,antesdederivar hemosreescrito1/x2 comox-2Pues bien,enmuchosproblemasdederivacinelprimer pasoesreescribir la fun-cindada. EJEMPLO 3Pendientedeunagrfica Calcular lapendientedela grfica de f(x)= x4 cuando a)x=-1b)X= 0e)x=l. Solucin:La derivada de fes f'(x)= 4x3. a)Para x= -1, lapendientees j'(-1) = 4(-1)3 =-4. b)Para x=O,la pendiente esf'(O)= 4(0)3 =O. e)Para x=1,lapendientees f'(l) = 4(1) 3 =4. HagamosnotarqueenlaFigura2.16lapendienteesnegativaenelpunto (-1,1),cero enel(0,O)y positiva enel(1,1). EJEMPLO4Ecuacindeunarectatangente Hallar una ecuacindela recta tangentea la grfica de f(x)= x2 en x= -2. Solucin:Parahallarelpuntosobrelagrficade fevaluamoslafuncinen X=-2. (-2,f(-2)) =(-2,4)Puntodela grfica Paracalcularlapendientedelagrficaenx=-2,evaluamosladerivada, f(x)=2x,en x= -2. m=f'(-2) =-4Pendientedela grfica en ( -2, 4) Secci6n2.2Reglas bsicas de derivacin y ritmos de cambio121 Ahora, usando la forma punto-pendiente dela ecuacin deuna recta, podemos escribir y- y1 = m(x- x1) y- 4 = -4[x- (-2)] y= -4x- 4 (Vase Figura 2.17.) Forma punto-pendiente Sustituir y 1,m,yx 1 Simplificar Laregladelmltiploconstante Demostracin: d[f()] 1,ef(x +Ax)- ef(x) - ex=1m-------dx x ~ o Ax =lme[f(x + Ax)- f(x)J x ~ o Ax = e[lm f(x + Ax)- f(x)J x ~ o Ax =ef'(x)D Esta reglavieneaafirmarquelasconstantessepuedensacarfueradela derivada,inclusocuandoaparecenenundenominador. dd-- [efix)]= e- [()f(x)]= ef'(x) dx~df(x)Jd[(1)J(1)d- (1) dxL-;- =dx~ f(x)=~ -;;[(J)f(x)] =~ f'(x) EJEMPLO 5Usandolaregladelmltiploconstante Funcin 2 a)y=-X 4t2 b)f(t)= 5 e)y= 2Jx Derivada dy=!__[2x-1]= 2 !__[x-1]=2(-l)x-2 = ~dxdxdx~f'(t)=- - t2 =-- [t2]=- (2t)=- t d[4J 4d48 dt55 dt55 dyd(1)1 _= _[2xll2]= 2 _x-112= x-112=-:_ dxdx2yX 122Captulo2Laderivada d)

e) 3x y=--2 dx= Gx-2!3] = (

=- 3x1513 y'= D 1NotaLa regla delmltiplo constante y la de las potencias se pueden combinar en una sola como D x[ ex"]= cnx"-1 EJEMPL06Usodeparntesisalderivar FuncinoriginalReescribirDerivarSimplificar 55 (-3x-4) 115 a) y= 2x3 y=-(x-3) y=- 2x4 22 55 (-3x-4) 115 b) y= (2x)3 Y=- (x -3) y=--888x4 77 (2x) ,14x e) y= 3x- 2 y=- (xz)y=-333 7 y= 63(x2)y' =63(2x)y'=126xDd) y= (3x)-2 Lasreglasdesumay diferencia Demostracin:Una demostracin de la regla de la suma sesigue del Teorema 1.2 (la deladiferenciasedemuestra demaneraanloga). d[],[f(x +Ax)+g(x +Ax)]- [f(x)+g(x)] - f(x)+ g(x)=hm-------------dx Ax ,f(x+Ax)+g(x+Ax)- f(x)- g(x) =hm------------- Ax =hm+ .:___-----=---,[f(x + Ax)- f(x)g(x + Ax)- g(x)J AxAx ,f(x+Ax)- f(x),g(x +Ax)- g(x) =hm+ hm=-------=--- Ax Ax =f'(x)+ g'(x)D Seccin2.2 PARAMS INFORMACIN Elesbozo deuna demostracin geomtrica de las derivadas de seno y cosenopuedeconsultarseenel artculoaproxima-cin defcuando xesprximo a>>4.Qu ocurre con la precisin de esta aproximacincuando nos alejamosdelpuntodetangencia? d)Ilustrar la conclusin del apartado e)completando latabla. Ax-3-2-l-0,5-0,1o f(x) T(x) Ax0,10,5123 f(x) T(x) 60.AproximacinlinealRepetirelEjercicio59con j(x) = x3,siendo ahora T(x) la recta tangente en el pun-to(1,1).Explicar por qu la precisin delaaproxima-cinlinealdecrecemsdeprisa queen el ejercicio an-terior. Verdadero o falso?En los Ejercicios61-64,decidir siel enunciado es cierto.En caso deser falso,explicar por quo dar unejemploquemuestresufalsedad. 61.Si f'(x)= g'(x),entonces j(x) = g(x).' 62.Sif(x) = g(x)+e, entoncesf'(x) =g'(x). 63.Siy= n2,entoncesdy/dx=2n. 64.Siy= xjn,entoncesdy/dx=1/n. En los Ejercicios 65-68, calcular el ritmo de cambio medio de lafuncinenelintervalodado.Compararloconlosritmos instantneos de cambio en los puntos terminales delintervalo. 65. 66. 67. 68. 69. FuncinIntervalo f(t)=2t + 7[1,2] f(t)=t2- 3[2,2,1] -1 f(x)=- [1,2] X f(x)=sen x [ o ~ ]ParapensarUsarlagrficadefparacontestarlas cuestiones. y NI e E ____..,.X a)Entre qu par de puntos consecutivos es mayor el ritmomediodecambiode f? b)El ritmo de cambio medio defentre A y Bes mayor o menor queelritmo instantneo decambio en B? e)Trazarunarectatangentealagrficaentrelos puntose y Dcuya pendiente sealamisma queel ritmodecambiomediode fentree yD. d)Dar dos puntos consecutivos enlos que los ritmos decambiode fseanaproximadamenteiguales. 70.Para pensarDibujar la grfica deuna funcin fcon f' > O para todo x y talque elritmodecambio de f sea decreciente. Movimiento verticalEn los Ejercicios 71y 72, usar la fun-cin de posicin s(t) = -16t2 + v0t + s0 para objetos en cada libre. 71. Ejerr:iciosdelaSeccin2.2 Se deja caer una moneda desde lo alto del World Trade Center,quetieneunaalturade1.362pies.Hallar a)lasfuncionesquedescribenla posicinylavelo-cidaddelamoneda. b)suvelocidadmedia enelintervalo[1,2] e)susvelocidadesinstantneascuando1y t= 2. d)eltiempoquetarda en llegar alsuelo e)lavelocidadalimpactar enelsuelo. 72.Selanzahaciaabajounaboladesdeunaalturade 220pies con una velocidad inicial de -22 pies/s. Cul essuvelocidadtras3segundos?Ytrasdescender 108pies? MovimientoverticalEn los Ejercicios 73y 74, usar la fun-cinposicins(t)= -16t2 + v0t+ s0 paraobjetosencada libre. 73.Selanzaunproyectilhaciaarribadesdelasuperficie terrestre con una velocidad inicial de120 m/s. Cul es suvelocidadtras5segundos?Ytras10 segundos? 74.Paraestimar laalturadeunedificiosedejacaeruna piedra desde lo ms alto.Sila piedra golpea en el suelo 6,8segundosdespus,culeslaalturadeledificio? Para pensarEn losEjercicios 75y76,seda lagrfica de una funcin posicin. Representar la distancia, en millas, re-corrida por un conductor que va a su trabajo en un tiempo de 10minutos.Esbozar lacorrespondientefuncinvelocidad. 75. a10 ~ 8 ~ 6 .!!4 ~ 2 ,i!J 0(0,0) Tiempo (en minutos) 76. Tiempo (en minutos) Para pensarEn losEjercicios 77y78, seda lagrfica de unafuncinvelocidad,enmillasporhora,deunapersona que conduce durante10 minutos para ir a su oficina. Esbozar lacorrespondientefuncinposicin. 77. 246810 Tiempo (en minutos) 78. Tiempo (en minutos) 79. 129 Unmodelo matemticoLa distancia total defrenada de un automvil que viaja a v,kmlh, es la distancia que recorreduranteeltiempodereaccindelconductor msladistancia B,en metros,querecorredespusde ser accionados los frenos.La tabla muestra losresulta-dosdeunexperimentosobre esta situacin. V20406080100 R3,36,710,013,316,7 B2,38,920,235,956,7 a)Usar regresinenlacalculadoraparaobtenerun modelolinealpara eltiempodereaccin. b)Obtener anlogamenteunmodelocuadrtico. e)Determinar elpolinomioqueexpresa ladistancia totalT recorridahasta queelvehculose detiene. d)Dibujar lasfunciones R,By Ten una misma ven-tanadela calculadora. e)Hallar la derivada de Ty elritmo de cambio de la distanciatotaldefrenadaparav = 40,v = 80y V=100. /)Apartirdelosresultadosdeesteejercicio,sacar conclusiones acerca del comportamiento de la dis-tanciatotaldefrenadaalcrecer lavelocidad. 80.VelocidadComprobar quelavelocidadmediaenel intervalo [t0- !J.t,t0 +t es la misma que la velocidad instantnea en t= t0 parala funcinposicin s(t)= -! at2 + e 81.reaElreadeun cuadrado con ladosde longitud s esA= s2Hallar elritmodecambio delreaconres-pecto as cuando s= 4metros. 82.VolumenElvolumen deun cubo de lados es V= s3 Hallar el ritmo de cambio del volumen con respecto as cuandos = 4centmetros. 83.InventarioElcosteanualdeinventariodeunfabri-cante es 1.088.000 e=+ 6,3Q Q dondeQ eseltamaodelpedidocuandosereponen existencias.Hallar el cambio del coste anual cuando Q crece de 350 a 351y compararlo con elritmo instant-neodecambiopara Q = 350. 84.Coste de combustibleUn automvil viaja15.000 mi-llasalaoyrecorrexmillaspor galn.Supongamos que el coste medio delcombustible es $1,25 por galn. HallarelcosteanualCdelcombustibleconsumido 130Captulo2Laderivada como funcindexyusar esta funcinpara completar la tabla. XJO152025303540 e dC -dx Discutirquconductorsebeneficiaramsdeun aumento en1 milla por galn en la eficiencia delveh-culo:unoque hace15millaspor galn ouno que hace 35millasporgaln?Explicarlarespuesta. 85.LeydeenfriamientodeNewtonEstaleyestablece que el ritmo de cambio de la temperatura deun cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura T y la temperaturaambienteTa.Escribir una ecuacinque describaesta ley. 86.Hallar una ecuacin y=ax2 + bx + epara laparbola que pasa por (0,l) y es tangente a la recta y= x- 1 en (1,0). 87.Sea(a,b)unpunto arbitrariodelagrfica dey=1/x, x> O.Demostrar que elrea del tringulo formado por la recta tangente en(a,b)ylosejescoordenados es2. 88.Hallar la recta o rectastangentes a la curva y= x3 -9x enelpunto( 1,-9). 89.Hallarlaecuacindelarectaorectastangentesala parbola y= x2 enelpunto dado. 90. a)(0,a)b)(a,0) Hayalgunarestriccinsobre la constantea? Hallar a ybdemanera que {ax3 f(x)=z,b X+' ~ 2 X>2 sea derivableentodosJospuntos. 91.Dndesonderivableslasfunciones f 1 (x)=lsenxly /2(x)=senlxl? d 92.Demostrar que- [cos x]=-sen x. dx PARA MSINFORMACINUna interpretacin geomtricadelasderivadasdelasfunciones trigonomtricaspuedeverseenelartculoSinesand Cosinesof theTimes>>,deVictor J.Katz,enMath Horizons,abril1995. CONTENIDO Laregladelproducto Laregladelcociente Derivadasdelasfuncionestrigonomtricas Derivadasdeordensuperior 1>1~ ~ s reglasdelproductoy delcocientey derivadasdeordensuperior Laregladelproducto En la Seccin 2.2 hemos visto que la derivada de una suma de dos funciones es lasuma desusderivadas.La regla para derivarunproducto dedos funciones noestansimple. Demostracin:Algunas demostraciones, la dela regla de la suma entre ellas, son directas.Otras exigenpasosingeniosossin motivacinaparente.Esta demos-tracinpresenta unodeesospasos,sumar yrestar unamisma cantidad. Seccin2.3Las reglasdel producto y del cociente y derivadasdeordensuperior131 !!_[f(x)g(x)]=lmf(x +Ax)g(x + Ax)- f(x)g(x) dx Ax ,f(x +Ax)g(x + Ax)- f(x +Ax)g(x)+f(x + Ax)g(x)- f(x)g(x) =hm----------------------------------------------- Ax ,[A__ g(x + Ax)- g(x)f(x + Ax)- f(x)l =hmf(x +L.U)+g(x)Ax Ax =lml(x + Ax)g(x + Ax)- g(x)l +lm[g(x)f(x + f(x)l AxL.U 1,f(A--) 1,g(x + Ax)- g(x) 1,() 1,f_(_x _+_Ax_)_-_::f_(x_) =lillX+ L.Ulill+liDgXliD- Ax Ax = f(x)g '(x)+ g(x)f'(x)D La regla delproductoseextiende a productos demsdedos factores.As, sif,gyhsonfuncionesderivables,entonces ! [f(x)g(x)h(x)]=f'(x)g(x)h(x)+ f(x)g'(x)h(x)+ f(x)g(x)h'(x) Por ejemplo,la derivada dey= x2 senxcosxes dy - =2x sen xcosx+ x2 cos xcosx+ x2 senx(-sen x) dx La derivada del producto de dos funciones no viene dado, en general, por el producto de sus derivadas. Para convencerse de ello, basta comparar el produc-to de las derivadas de f(x)= 3x- 2x2 yg(x)= 5 + 4x conla derivada obtenida enelEjemplol. EJEMPLO1Aplicandolaregladel producto Hallar la derivada deh(x) =(3x- 2x2)(5+ 4x). Solucin: DerivadaDerivada PrimeradelasegundaSegundadelaprimera ,-----A----,,-----A-------,,---A----.dd h'(x)=(3x- 2x2)- [5+ 4x]+ (5+ 4x)- [3x- 2x2] dxdx =(3x- 2x2)(4)+ (5+ 4x)(3- 4x) =(l2x- 8x2)+ (15- 8x- l6x2) =-24x2 +4x +15D En el Ejemplo1 se tiene la opcin de calcular la derivada con o sin la regla delproducto.Sinella,haramos 132Captulo2Laderivada Dx[(3x- 2x2)(5+ 4x)]=Dx[ -8x3 +2x2 +15x] =-24x2 + 4x + 15. Enelprximo ejemplo,por el contrario,esnecesarioutilizarlaregladel producto. EJEMPLO2Aplicandolaregladel producto ddd - [ xsen x J = x- [sen x]+sen x - [ x] dxdxdx = xcosx +(sen x)(l) = xcosx+sen xD EJEMPLO3Aplicandolaregladelproducto Hallar laderivada dey= 2x cos x- 2senx. Solucin: Regladel Regladelproductomltiploconstante dy=x]) +(cos[2x])- dxdxdxdx =(2x)(-sen x)+(cos x)(2)- 2(cos x) =-2x sen xD 1Nota.ObservemosqueenelEjemplo3seusalaregladelproductocuandoambos factoressonvariables,yladelmltiploconstantecuandounodeellosesconstante. La regladelcociente Demostracin:Aligual queen la delTeorema 2.7,el trucoconsisteensumar y restar una misma cantidad. Seccin2.3Las reglasdel producto y del cociente y derivadasdeordensuperior133 f(x +Llx)f(x) !!_[f(x)J =lmg(x +Llx)g(x) dxg(x)l h ~ o Llx ,g(x)f(x +Llx)- f(x)g(x+Llx) =hm~ ~ ~ - - ~ ~ ~ ~ - - - - ~l h ~ o Llxg(x)g(x+Llx) ,g(x)f(x +Llx)- f(x)g(x)+f(x)g(x)- f(x)g(x+Llx) =hm-------------------------------------L h ~ o Llxg(x)g(x+Llx) ,g(x)[f(x + Llx)- f(x)] 1,f(x)[g(x+Llx)- g(x)] hm- 1m ~ o Llx ~ o Llx lm[g(x)g(x+ Llx)] ~ og(x)[lmf(x + Llx)- f(x)J_ f(x)[lmg(x + Llx)- g(x)J ~ o Llxl h ~ o Llx lm[g(x)g(x+ Llx)] ~ og(x)f'(x)- f(x)g '(x) [g(x)]2 EJEMPLO 4Usandolaregladelcociente dd [ J (x2 +1)- [5x- 2]- (5x- 2)- [x2 +1] d5x- 2dxdx dxx2 +1=(x2 +1)2 (x2 +1)(5)- (5x- 2)(2x) (x2+ 1)2 (5x2 + 5)- (10x2 - 4x) (x2+1)2 -5x2 + 4x + 5 (x2+1)2 o o Obsrvese eluso de losparntesisen elEjemplo 4.Esrecomendableusar parntesis en todos los problemas de derivacin.Por ejemplo, cuando seusa la regladelcocienteesconvenienteencerrarcada factory cadaderivadaenun parntesisyprestar especialatencinala restaexigida en elnumerador. Alintroducirlasreglasdederivacinenlaseccinprecedente,hicimos nfasis en la necesidad de reescribir antes de derivar. El prximo ejemplo ilus-tra esteaspectoenrelacinconlaregla delcociente. EJEMPLO 5Reescribiendoantes dederivar .3- (1/x) Hallarladen vada dey= x+5 134Captulo2 1 Nota.Para comprender la ventaja delaregladelmltiploconstante enciertoscocientes,intentehallar lasderivadasdelEjemplo6me-diante la regla del cociente. Llegar almismo resultado, pero con un es-fuerzomuchomayor. Laderivada Solucin: y= 3 - (1/x) x+5 (3x- 1)/x x+5 3x- 1 x(x +5) 3x - 1 x2 + 5x dy(x2 + 5x)(3)- (3x- 1)(2x + 5) dx(x2 + 5x)2 (3x2 +15x)- (6x2 +13x- 5) (x2 + 5x)2 -3x2 +2x + 5 (x2 +5x)2 Funcinoriginal Reescribir Regladelcociente SimplificarD No todo cociente requiereser derivado mediante la regla delcociente.Sin ir ms lejos, cada uno de los cocientes del ejemplo siguiente puede ser conside-rado como el producto de una constante por una funcin,de modo que es ms sencilloaplicarla regla delmltiploconstante. / EJEMPLO 6Usandolaregladelmltiploconstante FuncinoriginalReescribirDerivarSimplificar x2 + 3x11 '2x+ 3 a)y= 6 y= (5(x2 + 3x)y'=- (2x+ 3)y=--66 5x4 55 '53 b)y=-y= -x4y'=- (4x3)y=-x 8882 -3(3x- 2x2)3 '32 y' 6 e)y= 7x y=--(3-2x)y=--(-) 777 9 9-y = ~ (-2x-3) '18 Dd) y= 5x2 y=- (xz)y=--555x3 En la Seccin 2.2 sedemostr la regla de las potenciasslo para exponen-tesenterosmayoresquel.Elprximoejemploextiendeesademostracina exponentesenterosnegativos. Seccin2.3Lasreglasdel producto y delcociente y derivadasdeordensuperior135 EJEMPLO7Demostracindelaregladelaspotencias (exponentesenterosnegativos) Si n es unentero negativo, existe un entero positivo k tal que n = -k. Por tanto, usandola regla delcociente,obtenemos xk(O)- (l)(kxk-1) (xk)z 0-kxk-1 x2k =-kx-k-1 =nX'-1 Regla delcociente n=-k As pues,la regladelaspotencias Regladelaspotencias es vlida para cualquier entero.(En el Ejercicio 59 de la Seccin 2.5se pedir demostrarlapara cualquier potenciaracional.)O Derivadasdelasfuncionestrigonomtricas Conocidaslasderivadasdelasfuncionessenoy coseno,la regla delcociente permitehallarlasdelascuatro restantesfuncionestrigonomtricas. Demostracin:Considerandotgx=(senx)/(cos x)yaplicandola regladelco-cienteseveque d[](cos x)(cos x)- (sen x)(-sen x) - tgX= ---------=-------dxcos2 x cos2 x+ sen2 x cos2 x La demostracindelasotrastressepideenelEjercicio69. 136Capitulo2 1 Nota.A causadelasidentidades trigonomtricas,la derivada deuna funcintrigonomtrica puedeadop-tardiversasformas.Estosupone unadificultadcuandosetratade compararlassolucionesobtenidas porellectorconlaspropuestasal tina!dellibro. Laden'vada EJEMPLO8Derivacinde trigonomtricas Funcin a)y= X- tgX b)y=xsecx Derivada dy=1- sec2 x dx y'= x(sec x tgx)+ (sec x)(l) = (sec x)(l+ xtgx) EJEMPLO9Diferentes formasdeunaderivada 1 - COSX Derivarambasformasde y== cosecx- ctgx. senx Solucin: 1 - COSX Primera forma:y= ---senx ,(senx)(sen x)- (1- cos x)(cos x) y= sen2 x sen 2 x+ cos 2 x- cosx = -----:::-----sen2x 1 - COSX = ---:::---sen2x Segunda forma:y= cosecx - ctgx y' = -cosec xctgx+ cosec2 x Para probar quelasdosderivadassonidnticas,basta escribir _1_---:c2,.--0_s_x= -1-2-- (-1-)(-co_s_x) = cosec2 x- cosec xctg x senxsenxsen xsen x D D Elresumenquesiguemuestraquegranpartedeltrabajorequeridopara llegaraunaformasimplificadadeunaderivadasehadehacerdespusde derivar. Ntese que dos caractersticas de una forma simplificada son la ausen-cia deexponentesnegativosyelagrupamientodetrminosanlogos. f'(x) tras derivarf' (x)trassimplificar Ejemplo1(3x- 2x2)(4)+ (5+ 4x)(3- 4x)-24x2 + 4x+ 15 Ejemplo 3(2x)(-sen x)+ (cos x)(2)- 2(cos x)-2x sen x Ejemplo 4 (x2 +1)(5)- (5x- 2)(2x)-5x2 + 4x + 5 (x2+1)2(x2+ 1)2 Ejemplo 5 (x2 + 5x)(3)- (3x- 1)(2x + 5)-3x2 + 2x+ 5 (x2 + 5x)2 (x2 + 5x)2 Ejemplo 9(senx)(senx)- (1- cos x)(cos x)J- COSX sen2 xsen2 x Seccin2.3Las reglasdel producto y del cociente y derivadasdeordensuperior137 Derivadasdeordensuperior Ascomoderivandounafuncinposicinseobtieneunafuncinvelocidad, derivandoestaltimaseobtieneunafuncinaceleracin.Enotraspalabras, derivandodosvecesla funcinposicinsellegaalafuncinaceleracin. s(t) v(t)= s'(t) a(t)=v'(t)= s"(t) Funcinposicin Funcinvelocidad Funcinaceleracin La funcina(t) esla segunda derivada des(t)ysedenotapor s"(t). La segunda derivada es un ejemplo dederivada de orden superior. Pode-mosdefinir derivadasdecualquier orden enteropositivo.Por ejemplo,la ter-ceraderivada esla derivada delasegunda derivada.Lasderivadasdeorden superiorsedenotancomosigue. dyd Dx[Y]Primera derivada:y',f'(x), d.x' dx[J(x)], d2yd2 D;[y]Segundaderivada:y",f"(x), dx2, dx2[f(x)], d3yd3 ~ [ y ] Terceraderivada: y"',f'"(x), d.x3, dx3[f(x)], yf4l, O y f' < O paratodoslosnmeros reales x. 71.Para pensarDibujar la grfica deunafuncinderi-vable ftal que f(2) = O,f' O para todoxdelintervalo(a,b)y seanx1 < x2 dospuntosarbitrariosdelintervalo. Porelteoremadelvalormedio,sabemosqueexistealgnetalquex 1 O y x2 - x1 >O,sabemos que dedondesededuce que f(x1)< f(x2).As pues,f es crecienteenelintervalo. Elsegundocasosedemuestrademaneraanloga(vaseEjercicio69),yel terceroenelEjercicio52delaSeccin3.2.D Seccin3.3 \' ,j{x)=x'-}x2 -1 FIGURA3.16 a)Funcin estrictamente montona b)Noestrictamente montona FIGURA3.17 Funcionescrecientesy decrecientesy el criteriodelaprimeraderivada EJEMPLO1Intervalosdecrecimientoo decrecimiento Hallarlosintervalosabiertosenlosque 3 f(x) = x3- -xz 2 escrecienteo decreciente. 195 Solucin:Ntese que fes continua entoda la recta real.Con elfindehallar los nmeroscrticosde f,igualamosacerosuderivada. f'(x) =3x2 - 3x =O 3(x)(x- 1)=O X= 0,1 Hacer f'(x)=O. Factorizar Nmeroscrticos Como f' est definida en todos los puntos, los nicos nmeros crticos sonx =O yx=l.Latablarecogevalorespruebaenlosintervalosdeterminadospor ellos. Intervalo-00of"(O)O. 46.Para pensarConsideremos una funcinftal que f' es decreciente. Esbozar grficas defpara las que a)f' O sixOsix+ .) 25. 1 lmxsen-X---J.::JJX 26. 1 lmx tg-x--+rJJX (\_,EnlosEjercicios27-30,hallarellmite.(Ayuda:Tratarla expresin como una fraccindedenominador1 yracionali-zar el numerador.) Verificar elresultado mediante una grfi-ca enlacalculadora. 27.lm(x+J?"+35 x---+- 'L 28.lm(2x- J4x2 +1) x---+CG 29.lm(x- Jx2 + x) x--+,XJ 30.lm(3x+J9x2 - x) x-+- oc Investigacin numrica, grfica y analticaEnlos Ejerci-cios 31-34, usar la calculadora para completar la tabla y para estimar ellmite en el infinito. Representar a continuacin la grfica defy estimar el lmite grficamente. Finalmente, cal-cularloanalticamenteycomparar elresultadocon lasesti-maciones. X 100101102103 104 105106 f(x) 31.f(x)= x- Jx(x- 1)32.f(x)= x2- xJx(x- 1) 1 33.f(x)==xsen-2x X+1 34.j(x) =r.. x,.x EnlosEjercicios35-52,esbozarlagrficadelafuncin. Buscarextremos,interseccionesconlosejesyasntotas. Comprobar elresultado con la grfica que da una calculadora. 2+x 35.y=--1- X X 37.y= x2- 4 x2 39.y=--x2+ 9 2x2 41.y= x2- 4 43.xy2 =4 2x 45.y=--1- X 3 47.y= 2--xz 2 49.y= 3+-X x-3 36.y=x-2 2x 38.Y= 9- xz 2x2 42.y=--x2+ 4 y= 1 - x 2 1 48.y=1+-x X 52.y= -----=== P-=4 En los Ejercicios 53-60,usar derivacinsimblica para ana-lizar la grfica dela funcin.Indicar los extremos y las asn-totas. 1 53.f(x)= 5--x2 X SS. X-xz 54.j(x) = -2-1X-1 56.f(x)= x2- x- 2 x-2 57.f(x)= 2 43X- X+ 3x 59.f(x)= ---=== J4x2+1 EjerciciosdelaSeccin3.5 X+1 58.f(x)= ---=---x2+ x+1 2sen2x 60.f(x)= ---X ('jv61. Representarenunacalculadoracadafuncinycom-probar quetienentodasdosasntotashorizontales. a)f(x)= J1_ X+1 2x b)f(x)=~.yx2 +1 62.Dadala funcinf(x)= 5x3 - 3x2 +10, hallarlmh(x),siesposible. x ~ C X Jfl.,En los Ejercicios 63y 64, a) representar en la calculadorafy gen una misma ventana, b) verificar algebraicamente quefy g representan la misma funcin,ye) ampliar cuanto sea ne-cesario hasta ver la grfica como recta.Qu ecuacin pare-cetener esa recta?(Ntese quelos puntos en los que la fun-cinnoescontinua nosonfcilesdeveralhacer zoom.) x3- 3x2 + 2 63.f(x) = ----x(x- 3) 2 g(x)=x +---x(x- 3) 64.f(x)= 11 g(x)= x +1 --2x2 65.Para pensarDada la grfica de f adjunta a)Esbozar ladef'. b)Estimar,medianteesas grficas,lmf(x)ylmf'(x). x-+oox-+oo e)Explicar lasrespuestasdelapartadob). 223 66.Eficiencia de un motorLa eficiencia de unmotor de combustininternaes Eficiencia(%)=100 [1---1-] (v1jv2Y donde v1/v2 es elcociente entre el gassin comprimir y elgascomprimido,yeesunaconstantepositivade-pendiente del diseo del motor.Calcular ellmite de la eficienciacuandoelcocientedecompresintiendea infinito. 67.CostemedioUncomercio tieneuncostee= 0,5x + + 500 enla produccinde xunidades.Elcostemedio por unidades - e e=-x Hallar ellmitedee cuando Xtiendea infinito. 68.Una rectacon pendientempasapor elpunto(0,4). a)Expresar la distanciad delpunto (3,1)a esa recta como funcindem. b)Representar la grfica dela ecuacin delapartado a)enunacalculadora. e)Calcularlmd(m)ylmd(m).Interpretarlos x--+-rox---+-w resultadosgeomtricamente. 69.Unmodelo matemticoLa tabla recogelos datosde temperaturaqueproduceunciertohornodurantelos dosprimerosminutos. to15304560 T25,236,945,SO51,456,0 t7590105120 T59,662,064,065,0 a)Usar regresin en la calculadora para obtener un mo-delodela formaT1 = at2 + bt + epara esos datos. b)Representar enlacalculadoraT1. e)Un modelo racional para esos datos viene dado por 2.468+155t T-----2- 2(50+ t) Representar estenuevomodelo. 224Captulo3Aplicacionesdeladerivada d)HallarT1 (0)yT2(0). e)Hallar T2 .f)Interpretarelresultadodelapartadoe)enelcon-textodelproblema.Esposiblerealizarestetipo deanlisisutilizandoT1? Explicarlarespuesta. ('v70.UnmodelomatemticoLosdatosdelatabladanel nmeroN(enmiles)degraduadossuperioresalfinal decada dcadaentre1900 y1990.(Fuente:U. S.De-partment of Education.) Ao19001910192019301.940 N621112315921.140 Ao19501960197019801990 N1.0631.6272.5892.7482.505 Unmodeloparaajustar esosdatosvienedadopor 68.436,82+ 4.731 ,82t N=Oocdesussumas inferioress(n)ysuperio-resS(n)existeny soniguales. 65.MtododeMontecarloElprograma adjuntoaproxi-ma elrea dela reginlimitada por una grficamon-tona y por el eje x, entre x=a y x= b.Correr el progra-macona= O yh= n/2paravariosvaloresdeN2. Explicar por qu elmtodo deMontecarlo funciona co-rrectamente.(AdaptacindelprogramadeJamesM. Sonyers,Approximationof AreaUnderaCurve>>, MATHEMAT!CSTEACHER77,nm.2(febrero 1984).Copyright1984 del Nationa/ Council ofTea-chersof Mathematics.Copiadoconpermiso.) 10DEFFNF(X)=SIN(X) 2 O,=O 30B=1. 570796 40PRINT"InputNumberofRandomPoints" 50INPUTN2 60N1=O 70IFFNF(A)>FNF(B)THENYMAX=FNF(A)ELSE YMAX=FNF(B) 80FORI=1TON2 90X=A+(B-A)*RND(1) 100Y=YMAX*RND(1) 110IFY>=FNF(X)THENGOTO130 120N1=N1+1 130NEXTI 140AREA=(N1/N2)*(B-A)*YMAX 150PRINT"ApproximateArea: ";AREA 160END 66.RazonamientogrficoConsideremosunpolgono regulardenladosinscritoenuncrculoderadior. Unimossusvrticesalcentrodelcrculo,formandon tringuloscongruentes(vasefigura). a)Expresar elngulocentralO entrminosden. b)Probar que elrea decada tringulo e s ~ r2 senO. e)SeaA"lasumadelasreasdelosntringulos. CalcularlmAn. n ____. x ~67.RedaccinUsar la figura para escribir unprrafo ex-plicandopor qu esvlidaparatodonentero positivo lafrmula 1 + 2 +.. + n=! n(n+1) 68.Verificar la frmula I2 = n(n+1)(2n+1) 6 ~ 1 demostrandolosiguiente: a)( 1 + i)3 - i3 = 3i2 + 3i +1 b)-1+ (n+1)3 = I(3i2 + 3i+1l i= 1 e) I2 = n(n+1)(2rz+1) 6 i= 1 69.Unmodelo matemticoLa tablarecogelasmedidas deun terreno acotado por unro y dos carreteras rectas quesecortanenngulorecto(vasefigura). Xo50lOO150200250300 y450362305268245156o 304Captulo4Integracin a)Usandoregresin enla calculadora,ajustar a esos datosunmodelodelaforma 450 360 270 180 90 y= ax3 + bx2 + ex + d b)Representar enella losdatosyelmodelo. e)Usarelmodelopara estimar elreadelterreno. CONTENIDO SumasdeRiemann Integralesdefinidas Propiedadesdelasintegralesdefinidas Vj{x).; + 1r-------------ll..:..ln r------n n' 50100150 200 250300 1 i1 deRiemanne integralesdefinidas SumasdeRiemann En la definicin de rea de la Seccin 4.2, las particiones se hacan en subinter-valos de igual longitud.Pero era slo por facilitar los clculos. El ejemplo que abre esta seccin muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud. EJEMPLO1Unaparticinconsubintervalosdelongitudes diversas La Figura 4.18 muestra la regin acotada por la grfica def(x) =Jx y el eje x enO ,::;x,::;l.Evaluar ellmite lmL f(cJAx; n-+ooi=l donde e;eselpunto terminalderecho delaparticin dada por X;= i2 jn2 yAx; eslaanchura deli-simosubintervalo. FIGURA 4.18 Lossubintervalosnotienentodoslamismalongitud. Solucin:Lalongituddeli-simosubintervaloes 2(i-1)2 Ax;=--z nn2 Por tanto,ellmitees lmL f(c)Ax;=lmL nnlz2 (21) n---+ooi=ln--+wi=lnn 1n =lm 3 I(2i2 - i) n-+ooni= 1 _lm2_[2(n(n +1)(2n+1)) _n(n +1)] - n3 6y A Seccin4.3 1 (1,1) 1 1 1 11 1 1 111 1 -+---x 1 FIGURA 4.19 Elrea de la reginlimitada por la grfica de x =ly elejey,paraOy1 est. Sumas deRiemanne integralesdefinidas 4n3 + 3n2- n lm 3 C6n 2 3 305 D Por el Ejemplo 7 dela Seccin 4.2 sabemos que la regin dela Figura 4.19 tienerea j-.Como el cuadro acotado por Ox 1 y Oy 1 tiene rea1, concluimos que el rea de la regin de la Figura 4.18 es i. Esto coincide con el lmitecalculadoenelEjemplo1,aunqueeneseejemplosehautilizadouna particin consubintervalos delongitudes diversas. La razn dequeesta parti-cin particular proporcione elrea correcta esquealcrecer n,lalongitud del subintervalo ms grande tiende a cero.ste es un hecho clave enel desarrollo delasintegralesdefinidas. En la seccin precedente se us el lmite de una suma para definir el rea de una reginplana.sta esslounadelasmltiples aplicacionesdeloslmites de sumas. Unprocedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tandistintascomo longitudes dearco,valoresmedios,centroides,volmenes, trabajosyreassuperficiales.Eldesarrolloquevamosapresentarllevael nombre de Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien la integracin definida se us mucho antes de Riemann, ste generaliz el concepto y lo hizo aplicable a clasesmuyampliasdefunciones. En la definicin que sigue debe hacerse notar que la nica restriccin sobre fes queestdefinida enelintervalo[a,b].(Enlaseccinanterior sesupona que fera continuaynonegativa,porquetratbamoselreabajounacurva.) .'' ',:'': ',; J':',,,,,':''e';,,'::,,''" a*.adq[a, b] y sea 8una particin de[a, bJ dada.wr l>deA.Shenitzer yJ. SrepransenTheAmerican MathematicalMonthly,enerode 1994. TBOREMA4.4 i.'>1 1/' j Sumas deRiemanne integralesdefinidas 307 No escoincidencia que la notacin para laintegral definida sea similar a la delaintegralindefinida.Veremoselporquenlaprximaseccin,cuando estudiemoselteoremafundamentaldelClculo.Por elmomento,bastedecir que las integrales definidas e indefinidas sonentes distintos.Una integraldefi-nida esunnmero, mientras que una integralindefinida esuna familiade fun-ciones. La continuidadescondicinsuficienteparaqueunafuncinseaintegra-bleen[a,b ],sibienla demostracindeesteresultadoescapa alniveldeeste libro. CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD Siuna funcin/ es continua en el intervalo cerrado [a,bJ,entonces fes inte-grableen[a,b]. EXPLORACIN El recproco del Teorema 4.4Es cierto elrecproco del Teorema 4.4? O sea, si una funcines integrable, tiene que ser necesariamente continua? Explicar la res-puesta e ilustrarla conejemplos. Describirla relacinentre continuidad,derivabilidad eintegrabilidad.Cules lacondjpin ms :l'uerte?Y la ms dbil?Culde ellas implica otras? EJEMPLO2Clculodeunaintegral definidacomolmite Calcular laintegraldefinidaf2 2x dx Solucin:Lafuncinf(x)==2xesintegrableenelintervalo[-2,1J,porser continua. Adems, la definicin deintegrabilidad afirma quepodemos utilizar cualquierparticinconnormatendiendoaceroparacalcularellmite.Por conveniencia,definimosA dividiendo[-2,1J ennsubintervalos de iguallon-gitud b-a3 Ax;==Ax ==--==-nn Eligiendocomo e;elpuntoterminalderechodecadasubintervalo,setiene 3i c1 ==a+ i(Ax)==-2 +-n Por tanto,laintegraldefinidavienedadapor 308Captulo4 FIGURA4.21 Comola integral es negativa,no representa elrea de laregin. FIGURA4.22 Sepuede usar una integral definidapara hallar elrea dela reginacotada por lagrfica def,eleje x y las rectasx =a, x = b. FIGURA4.2:l rea= r(4x- i) dx. Integracin fln 2x dx =lmIf(c)Ax;=lmIf(c)Ax -2 i=li=l n(3i)(3) =lmI2-2 +- -n-----tooi=lnn 6n(3i) =lm- I-2 +-n-tooni=ln =lm {-2n+[n(n+ 1)]} nn2 =lmn--+00n =-3D Como la integral definida delEjemplo2 esnegativa,norepresenta elrea dela regin de la Figura 4.21.Una integral definida puede ser positiva, negati-va o cero.Para que pueda ser interpretada como un rea (tal como se ha defini-doen laSeccin 4.2),la funcinfdebeser continuaynonegativa en[a,b], como establece el prximo teorema.(La demostracin esdirecta;basta usar la definicinderea delaSeccin4.2.) ......fb/(x) ,.Ja ComoejemplodelTeorema4.5,consideremoslareginacotadaporla grficade f(x)=4x- x2 yeleje x(Figura 4.23).Alser f continua ynonegativa en[0,4],elrea dela regines Una tcnica directa para evaluar una integral definida como sta sediscute en la Seccin 4.4.Por ahora,no obstante, se puede hacer dedos maneras,usando la definicin como lmite o bien viendo si la integral definida representa el rea deuna reginsimple,comounrectngulo,tringuloosemicrculo. Seccin4.3 1 Nota.Lavariabledeintegracin enunaintegraldefinida se dice que esunavariablemudaporquese puedereemplazarporcualquier otrasinqueelloafectealvalorde laintegral.As,lasintegralesdefi-ni das f (x + 2) dx y L3 (t+ 2) dt tienenelmismovalor. SumasdeRiemanne integrales definidas 309 EJEMPLO3reas de figurassencillas Esbozar lagrfica asociada acada integraldefinida y,a continuacin,evaluar cada integralmediantealgunafrmulageomtrica. b)I3 (x + 2) dx Solucin:La Figura4.24muestra lasgrficassolicitadas. a)Esta reginesunrectngulodealtura 4ybase2. l3 4dx =(readelrectngulo)=4(2)=8 b)Estareginesuntrapeciodealtura3ybasesdelongitudes2y5.La frmulapara el readeuntrapecioes

+ b2). e) f3'121 (x + 2)dx=(Areadeltrapecio)=- (3)(2 + 5) =-o22 Esta reginesunsemicrculoderadio2,demodoquesurea nr2 dx=(Area delsemicrculo)=- n(22)=2n f2'1 -22 y 4l 3trxl*" '141- x

-2-11 12 FIGURA4.24 o Propiedadesdelasintegralesdefinidas La definicindelaintegraldefinida defenel intervalo[a,b]especificaque a< b.Ahora,noobstante,esconveniente extender la definicinasituaciones cona= bocon a> b.Geomtricamente,lasdosdefinicionesespecialesque siguen parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir como cero el rea deuna regindealtura finitaydeanchuracero. :noCaptulo4 TEOREMA4.6 y AJ')tx) dx

111 1 '1 '1 - ab fJtx) O,entonces fes nonegativa para todo x en[a,h]. 53.Hallar la suma de Riemann asociada af(x) = x2 + 3x en elintervalo [0, 8], dondex0 =0,x1 =l,x2 = 3,x3 =7, y x4=8,ydondee1 =l,e2=2,c3=5,yc4=8. 54.Hallarlasuma deRiemannasociadaa.f(x)=sen xen elintervalo[0,2n], dondex0 =O, x1 =n/4,x2 =n/3, x3 =n,yx4 =2n,ydondec1 =n/6,e2 =n/3, c3 = 2n/3,yc4 = 3n/2. EnlosEjercicios55y56,usarelEjemplo1 comomodelo para evaluar ellmite lmIf(e)Ax; fl-+,x_,i= 1 sobrelareginacotadapor lasgrficasdelasecuaciones. SS..f(x)=Jx,y=O,x=O,x=2 (Ayuda:Tomar e=2i2jn2.) 56..f(x)= .;;,y= O,x=O,x=1 (Ayuda:Tomar e=i3jn3.) 57.Para pensarDeterminar silafuncin 1 f(x)=--x-4 esintegrableenelintervalo[3,5].Explicarlares-puesta. 58.Para pensarDeterminar silafuncin { 1,x esracional f(x)=O.. ,xestrracwnal esintegrableenelintervalo[0,1].Explicarlares-puesta. 59.Para pensarDar un ejemplo de funcinintegrable en r-1'1]quenoseacontinuaeneseintervalo. 60.Calcular,sielloesposible,laintegral I2 [x]dx. 1 61.Calcularlm 3 [ 12 + 22 + 32 + + n2]utilizando la x-+ 'Xn suma deRiemannadecuada. 62.Supongamos.fintegrable en[a,b]con m,::.f(x),::M paratodoxenla,b],m> O yM>O.Demostrar que m(b- a),::rf(x)dx,::M(b- a) Usar ese resultadopara estimarJ01 Jl+7 dx. 63.Demostrar quesifes continua en[a,h],entonces lf .f(x) dxl,::f lf(x)l dx Seccin4.4 CONTENIDO ElteoremafundamentaldelClculo Elteoremadelvalormedioparaintegrales Valormediodeunafuncin ElsegundoteoremafundamentaldelClculo EXPLORACIN IntegracinyantilhrlVIICin Enestecaptulovenimos utili-zando el sigfio integral para de-rtotarunaantiderivad(una. fa miliadefunciones)yuna integral definida(unnmero). Antiderivac:in:ft(,x1dx Integracin definida:f f(x)dx Elusodeunmismosmbolo paraambasoperacionesparece sugerirqueestnrelacionadas. Sin embargo, enlos albores del Clculo nose saba que estaban relacionadas.El smbolof,que proviene dela letra S y sedebe a Leibniz,para cu,lde las dos operaciones creeque fueusado originalmente?Razonesures-puesta. Tl30REMA 4.9 El teoremafundamentaldelClculo315 04_.4 ___________________ ElteoremafundamentaldelClculo ElteoremafundamentaldelClculo Ya hemos introducido las dos grandes ramas delClculo: el clculo diferencial (de la mano delproblema dela recta tangente)y el clculo integral (de la mano delproblema delrea).Enestemomento,ambosproblemas parecensinrela-cin entres.Pero existe entre ellos una ntima conexin, descubierta indepen-dientementepor Isaac Newtony Gottfried Leibniz, que constituye elllamado, contoda justicia,teorema fundamental delClculo. Informalmente,elteorema afirmaqueladerivaciny laintegracin(defi-nida)sonoperaciones mutuamente inversas.Para ver cmoNewtony Leibniz sedieroncuenta deello,consideremoslasaproximacionesquemuestralaFi-gura4.27.Cuandodefinimoslapendientedelarectatangente,utilizamosel cocientet1y/!'u(pendientedelarectasecante).Anlogamente,aldefinirel rea deuna reginbajounacurva,usamoselproductot1y!'u(readeunrec-tngulo).As pues, en suprimer paso derivacin e integracin son operaciones inversas.Elteorema fundamentaldelClculo establece que elproceso delmite usadoparadefinirambasoperacionespreservaesarelacininicialdeinversas.

1 . Pendiente a)Derivacin Pendiente="'' ELTI30REMAPT)Nl)AMENTAL DEL CLCULO tu

: rectngulo1 1 1 h)Integracindefinida rea=FIGURA4.27 Derivacine integracinsonmutuamenteinversas>>. Sij(x) e$ continuaen elintervalo cerrado[a,b] y Fes una primitiva defen [a,b];. entonces.. Demostracin:LaclaveresideenescribirladiferenciaF(b)- F(a)deforma adecuada.SeaLlla siguienteparticinde[a,h]. a= x0 < x1 < x2 O enelintervalo[0,2]. rea =I02 (2x2 - 3x + 2)dxIntegrar entre x= O y x= 2 -- [2x3- 3x2+ 2x]2 32o Hallarunaprimitiva,F(x) =c36 - 6+ 4) - (0- 0+ 0)Evaluar F(2) - F(O) 10 3 Simplificaro 318 y Captulo4 X b AGURA4.30 Rectngulocuyaaltura eselvalormedio: f(c)(b- a)=ff(x)dx. Integracin Elteoremadelvalormedioparaintegrales En la Seccin 4.2 vimos que el rea deuna regin bajo una curva es mayor que el rea de un rectngulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema delvalor medioparaintegralesafirma queexiste,entreelinscritoy elcir-cunscrito, un rectngulo cuya rea es precisamente la misma que la de la regin (vaseFigura 4.30). Demostracin: Caso1:Sifesconstanteenelintervalo[a,b],elteoremaesobviamente cierto,yaquee puedeser cualquier punto de[a,b]. Caso 2:Si fno es constante en [a, b], por el teorema de los valores extremos podemos elegir f(m)y f(M)como losvaloresmnimo y mximo de fen[a,b ]. Puestoquef(m)~ f(x)~ j(M)paratodoxen[a,b],podemosaplicarel Teorema 4.8yobtenemos: f j(m) dx~ f j(x) dx~ f f(M)dx Vase Figura4.31 f(m)(b- a)~ f f(x)dx~ f(M)(b- a) f(m)~ ~~ fb f(x)dx~ f(M) b- aa Delaterceradesigualdad,porelteoremadelvalorintermedio,sesigueque existealgne en[a,b]para elcual 1fbfb f(e)=~ ~ f(x)dxof(e)(b- a)=f(x)dx b- aaa ab Rectngulo inscrito (menor que el rea de la regin) .f:r(m) dx =f(m)(b- a) f ab Rectngulo devalor medio (igual alrea de la regin) ff(x)dx f ab Rectngulo circunscrito (mayor que elrea dela regin) f/(M)dx= f(M)(h-a) FIGURA4.31 D y y t 40t 130t 20j 110 a 1(1,1 j--I1 Seccin4.4 Valor medio b X FIGURA 4.32 1fb Valormedio=- f(x)dx. b- a, 16 '~ ......,.X 4 FIGURA 4.33 El teoremafundamentaldelClculo319 1Nota.El Teorema 4.1 O no especifica cmo hallar c.Se limita a garantizar suexistencia en[a,b]. Valor mediodeunafuncin Elvalor def(c),anunciadopor elteorema delvalor medio para integrales,se llamavalor mediodefenelintervalo[a,b]. 1Nota.La figura muestra que el rea de la regin bajo la grfica de fes igual alrea del rectngulocuyaalturaeselvalormedio. Para ver por qu elvalor mediode fsedefineas,supongamosqueparti-mos[a,b] en nsubintervalos de igual anchura Ax = (b- a )In. Si eescualquier punto del i-simo subintervalo, la media aritmtica de la funcin en los e; viene dadapor 1 an=- [f(c1)+ j(c2)+...+ f(cn)]Valormediodef(c1),... ,f(c") n Multiplicando y dividiendo por (b- a) sepuede reescribir esevalor promedio como 1 n(b-a)1n(b- a) a"=- L f(c)-_- =-- L f(c)-n;=1 bab-ai=ln 1 =-- L f(c)Ax b- ai=l Finalmente, sise toma ellmite r n ~ oo,se obtiene elvalor antes definido. Esta nocin devalor medio no essino una detantasaplicaciones prcticas de la integracina la horaderepresentarprocesosdesuma.EnelCaptulo6 tendremos ocasin de analizar otras, como elvolumen, la longitud dearco,los centrosdemasay eltrabajo. EJEMPLO4Clculodelvalor mediodeuna funcin Hallar elvalormediodef(x) =3x2- 2x enelintervalo[1,4]. Solucin:Elvalor mediovienedadopor -1- fb f(x) dx =~ I4 (3x2 - 2x)dx b-aa3 1 =~ [x3_xzi 148 =- [64- 16- (1- 1)]=- =16 33 (Vase Figura 4.33.) 320Captulo4 Laprimera petsona16a unavelocidadque la def sopido f!J!e .. C})ar"'. . El: de ;t,vol a ,, " tud:d&12,8 kit\,... . e,n ... pf;F' deb.!i'iP de los altitud,.esavelocidadno' habraio 20. f(x)dx,f(x)=-x-, o1,X=o EnlosEjercicios21y22,aplicarlasfrmulasdeerror del Teorema 4.19para estimar el mximo error posiblealapro-ximar la integral, con n =4, mediante la regla a) de los trape-cios,b)deSimpson. J11 22.--dx oX+1 EnlosEjercicios23y24,aplicarlasfrmulasdeerror del Teorema 4.19parahallarunntalqueelerror cometidoal aproximarlaintegralseamenorque0,00001,usandoa)la regladelostrapeciosyb)laregladeSimpson. f31 23.- dx 1X 24.f1_l_dx o1+X Ejercicios de 1a Seccin4. 6 !'j.,Enlos Ejercicios 25-28, usar clculo simblico en la calcula-doray lasfrmulasdeerror para encontrar n demanera tal queelerror enlaaproximacindelaintegralseamenor que0,00001alusarlareglaa)delostrapecios,b)de Simpson. 25.J: J1+x dx 27.J:tgx2 dx 26.J: (x+ 1)213 dx ol 28.J(senx2 dx 29.Demostrar que la regla de Simpson es exacta cuando se usa para aproximar la integral deun polinomio cbico. Verificar elresultadopara J: x3 dx,n= 2 !\,30.Escribir un programa para aproximar integrales defini-dasmediantelaregladelostrapeciosylareglade Simpson. Partir del programa escrito en la Seccin 4.3, Ejercicios35-38,y observar quela regladelostrape-ciossepuedeexpresar como 1 T(n)=- [L(n)+ R(n)] 2 y ladeSimpson como 1 S(n)=- [T(n/2)+ 2M(n/2)] 3 [Recordemos que L(n), M(n) y R(n)denotanlassumas deRiemannconstruidasconlospuntosterminaliz-quierdo,medio y terminalderecho desubintervalos de igualanchura.] EnlosEjercicios31-34,usar elprogramadelEjercicio30 paraaproximar la integraly completar latabla. XL(n)M(n)R(n)T(n)S(n) 4 8 10 12 16 20 31.J: j2 +3x2 dx 33.J: senJx dx 32.J: ~ xf2 senx 34.--dx 1X 349 35.reaUsar la regla de Simpson con n = 14 para apro-ximar elrea dela reginacotada por lasgrficasde y=Jx cos x,y=O,x= O yxn/2. 36.Longitud deuna elipseLa integral elptica n/2J2 sJ3 Jo1-3 sen2 ()d() da la longitud de una elipse.Usar laregla deSimpson, con n=8,para aproximarsuvalor. 37.TrabajoUna empresa desea conocer eltrabajo nece-sario para mover linealmente 5 pies un objeto mediante unaprensa.La fuerzaFrequerida,en libras,es F(x)=100xJ125- x3 donde xda laposicin enpies.Aproximar,utilizando la regla de Simpson, con n = 12, eltrabajo W (en libras-pies)efectuadoenunciclo,quevienedadopor W=J:F(x) dx 38.Aproximacin denUsar laregla deSimpson,con n = 6,para aproximar nusando la ecuacin (EnlaSeccin5.9veremoscmosepuedecalcular estaintegralgraciasalafuncininversadelatan-gente.) 39.reaPara estimar la superficie de un estanque se han realizadolasmedidasquemuestralafigura.Estimar esa superficie mediante a) la regla delos trapecios y b) la regladeSimpson. 350Captulo4Integracin 40.Latablarecogevariasmedidastomadasenunexperi-mentosobre una funcindeconocida y=j(x). Aproxi-mar la integralusando a)laregladelostrapeciosyb) laregladeSimpson. X0,000,250,500,751,00 y4,324,364,585,796,14 X1,251,501,752,00 y7,257,648,088,14 reaEnlosEjercicios 41y 42,estimar con la regla de los trapecioselnmerodemetroscuadradosdetierraenun campo como el dela figura,con xe ymedidos en metros. El campo est acotadopor unroy dos caminosrectos perpen-diculares. 41. Xy y 150 o125 100125 100 200120 50 300112 400902004006008001.000 50090 60095 70088 80075 90035 1.000o EjerciciosderepasodelCaptulo4 En los Ejercicios 1 y 2, usar la grfica de f' para esbozar la de f l.y2.y t !!' ~ 42. Xy y o75 80 1081 60 2084 40 20 3076 4067 20406080100120 5068 6069 7072 8068 9056 10042 11023 120o 43.Utilizar la regla deSimpson con n= 10y una calcula-dora dotada de clculo simblico para aproximar ten la ecuacinintegral LsenJx dx =2 44.Determinarsilaregladelostrapeciosaproximapor excesoopordefectounaintegraldefinida,supuesto quelagrfica delintegrando escncava a)hacia arri-ba,b)haciaabajo. fx1 45.Sea L(x)=- dt para todo x> O. 1t a)Calcular L(1). b)Hallar L'(x)y L'(l). e)Aproximar,con la regladelostrapecios,elvalor dex(contresdecimales)para el cualL(x) = l. d)Demostrar que L(x1x2)= L(x1)+ L(x2), para x1 >O y x2 >O. EnlosEjercicios3-8,hallar laintegralindefinida. 3.f(2x2 +X- 1)dx4.-dx f 2 ~fx3+1 fx3- 2xz+1 5.--dx6. 2 dx xz X 7.f(4x- 3sen x)dx8.f(5cos x- 2sec2 x)dx EjerciciosderepasodelCaptulo4 9.Hallar lasolucinparticular de la ecuacindiferencial f'(x)= -2x cuya grfica pasapor elpunto( -1, 1). 10.Hallar la solucin particular dela ecuacin diferencial f"(x) = 6(x- 1)cuya grfica pasa por elpunto (2,1)y estangenteenesepuntoalarecta3x - y- 5=O. 11.Velocidad y aceleracinUn avin recorre3.600 pies por lapista antes de despegar. Si parte delreposo, lleva aceleracin constante y hace ese recorrido en 30 segun-dos,cul essu velocidad en el momento del despegue? 12.Velocidad y aceleracinLa velocidad de un autom-vil,queviaja por una carretera recta, se reduce de 45a 30millas/henunadistanciade264pies.Calcularla distanciarecorridasihubiera hecho esa reduccincon deceleracinconstante. 13.Velocidad yaceleracinSelanzaverticalmenteha-cia arriba una bola desde el suelo con 96 pies/s de velo-cidadinicial. a)Cuntotardaenllegar asumximaaltura? b)Culesesamximaaltura? e)Cundoessuvelocidadlamitaddelainicial? d)Culeslaalturaeneseinstante? 14.Velocidad y aceleracinRehacer el Ejercicio 13para unavelocidadinicialde40 mis. 15.Escribir ennotacinsigma a)lasuma delosdiezpri-merosenterosimparespositivos, b) la suma deloscu-bosdelosn primerosenterospositivos,ye)6+10+ + 14+ 18+... + 42. 16.Calcular cada una de estassumas para x 1 = 2,x 2 = - 1, x3 = 5,x4 = 3,y x5 = 7 15 a)- Ix si=!' 51 b)I-i=lX 55 e)I(2x- xf)d)L(X-X-) i:::::::l i=2 17.Consideremos la regin limitada por y= mx,y =O, x=O y x= b.Hallar: a)Lassumasinferioresysuperiorespara aproximar surea cuandoAx= b/4. b)Lassumasinferioresysuperioresparaaproximar sureacuandoAx= bln. e)El rea de la regin,haciendo tender na infinito en lassumasdelapartadob).Probar queseobtiene en cada caso la frmula para el rea de un tringulo. d)Elrea de la regin, usando el teorema fundamen-taldelClculo. 18.a)Calcular el rea de la reginacotada por las grfi-casdey=x3,y=O,x=1,yx=3,usandola definicincomo lmite. b)Calcular esa misma rea usando elteorema funda-mentaldelClculo. 351 En losEjercicios19y20,usar losvaloresdadospara hallar elvalor decadaintegraldefinida. 19.Sirf(x)dx= lOy rg(x)dx=3,calcular a)r[f(x) + g(x)] dx e)r [2f(x)- 3g(x)]dx b)r[f(x)- g(x)]dx d)r5f(x) dx 20.SiJ: f(x)dx = 4yf f(x)dx =-1, calcular a)f f(x)dxb)J: f(x)dx e)rf(x)dxd)f -IOf(x) dx EnlosEjercicios21-34,calcularlaintegraldefinida. 21.J(x2+l)3dx22. 23.fxzdx p-:;:3 24. 25.fx(1- 3x2)4 dx26. 27.f sen 3 xcos xdx 28. fsen(} d829.30. JI - cos (} 31.f tg"xsec2 xdx,n=P-1 32.f sec2x tg2x dx f X+3 ---,,--------ce dx (x2 +6x- 5)2 fxsen3x2 dx ---dx f COSX

33.f(l+ secnx)2 secnx tgnx dx 34.fctg4 C(cosec2 C(da EnlosEjercicios35-46,usarelteoremafundamentaldel Clculo para evaluar la integralyuna calculadora para veri-ficarelresultado. 35. J: (2+x) dx 36. fl (t2+2)dt 37. fl (4t3- 2t)dt 38. fX 33Jx2=8' dx 39. r1 40. J: x2(x3 +1)3 dx 352Captulo4Integracin 41. f xJxdx 42. re--_!_)dx 1xzx3 43.2nI (y+l)ji=Y dy 44. 2n J: 1 x2 Jx+l dx r X r/4 45.cos- dx46.sen2xdx o2 -n/4 En los Ejercicios 47-52, dibujar la regin cuya rea represen-tala integralycalcularla. 47.f (2x- 1)dx 49.J: (x2 - 9)dx 51.I (x - x3)dx 48.J:(x+ 4)dx 50.r 1 (-x2 +X+2)dx 52.I Jxo_x)dx EnlosEjercicios53-56,dibujarlareginacotadaporlas grficasdelasecuacionesycalcularsurea. 4 53.y =Jx+l, y=O,X=O,X=8 54.y=X,y=x5 27r SS.y =secx,y=O,x=Ox=-.,3 56. 7r7r }, =COSXy=0X=- - X=-,,4'4 En los Ejercicios 57-60, calcular el valor medio de la funcin en elintervalo quese especifica.Calcular los valores de x en los que la funcin tiene como valor ese valor medio y repre-sentar sugrfica. FuncinIntervalo 1 57. f(x)=[5,lO] X- 1 58.f(x)=x3[0,2] so.f(x)=x[0,4] 1 60.f(x)= xz-- [1,2] xz ('}..,EnlosEjercicios61y62,usarla regla delostrapeciosyla deSimpson,conn=4,ylaintegracinenuna calculadora paraaproximarlaintegraldefinida.Compararlosdiversos resultados. 61. f21 ---dx 11+x3 62. 63.Coste del aire acondicionadoLa temperatura en gra-dos Fahrenheit es T = 72 + 12 sen[n(t- 8)/12], donde t es el tiempo en horas, y t =O corresponde a la mediano-che.Supongamosqueelcostedeenfriaruna casaes, por cada hora,de$0,1 O por grado. a)Calcular elcostealenfriar lacasasisecolocael termostato en72 F,calculandolaintegral e= 0,1 f:o [72 +12senn(t 1; 8)- 72l dt (Vase figura.) \;-< 84 78 T 72 ;..;,. 66 60

Tiempo (en horas) b)Evaluarelahorroconseguidosisecolocaelter-mostato en78 F,calculandolaintegral C=O,lf18 [72 +12senn(t-8) 1012 78l dt (Vase figura.) T xar.o . 1 s

Tiempo (en horas) 64.Programa de produccinUn fabricante de fertilizan-tesestima que lasventassiguen elesquema estacional dadopor F=100.000[1+sen -2-n(_t_-_60_)l 365 donde Fse mide en libras y ten das (t =1 corresponde al1 deenero).Desea establecerunprogramadepro-duccin constante cada da. Cul debe ser esa produc-cin di1ria? 65.Ciclo respiratorioPara una persona en reposo, el rit-mo de inspiracin deaire v,en litros/s, durante unciclo respiratorio,es nt v=0,85sen-3 EjerciciosderepasodelCaptulo 4 donde tes el tiempo en segundos. Calcular el volumen, deaireenlitros,inhaladoenunciclo,integrandola funcinsobre elintervalo[0,3]. 66.CiclorespiratorioTrasunosminutosdeejercicio, el ritmodeinspiracindeairev,enlitros/s,duranteun ciclorespiratoriodeunapersona,es nt v = 1,75sen-3 dondet es eltiempo en segundos. Calcular el volumen deaire,enlitros,inhaladoenunciclo,integrandola funcinsobreelintervalo[0,2].Cuntoaumentala capacidad pulmonar deuna persona a causa del ejercicio fsico?(Comparar la respuesta con la delEjercicio 65.) 67.La gasolina est aumentando de precio segn la ecuacin p= 1,20+ 0,04t donde pes elprecio en dlares por galn y t= O repre-senta elao1990.Siunautomvilrecorre15.000 mi-llasalao y hace Mmillas por galn, el coste anual de combustible es 15.000ft+l C=-- pds M' Estimar el costeanual para los aos a) 2000 y b) 2005. ProbabilidadEnlosEjercicios68y69,lafuncin f(x)= kx"(1- x)m,O~ X~ 1 donden> O,m> O yk esuna constante,sepuedeusar para representarvariasdistribucionesdeprobabilidad.Sikse tomatalque la probabilidad de que x est entre a y b (0~ a~ b~ 1) es Pa,h= f f(x)dx 68.La probabilidadderecordarenciertoexperimentode psicologa es p=-X~ d xfb15 a,ba4V1- X dondexrepresentaelporcentajedecosasrecordadas. (Vasefigura.) a)Para unindividuo elegidoalazar,culesla pro-babilidad dequerecuerdeentreel50 por100 y el 75por100delascosas? 353 b)Cul es el porcentaje medio de cosas recordadas? esdecir,para qu valor de bocurre que la proba-bilidaddeO abes 0,5? ~ 4 ~ ......f--- .. f ..+ .. + ...... X 1,01,5 69.La probabilidad de encontrar hierro enmuestrasmine-ralesdeciertazonaes P=--x\1 - x)312 dx fb1.155 a,ba32 (ver figura).Hallar la probabilidad de queuna muestra contenga entre a)O por100y25por100 b)50 porlOOy100 por100 Verdadero o falso?EnlosEjercicios70-74,decidir sila afirmacinplanteada escorrecta.Sinoloes,explicar la ra-zno