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7/25/2019 GEOMETRIA ANALITICA SAETA.pdf

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1. GEOMETRA ANALTICA

FELICIDADES BIENVENIDO AL MUNDO DEL ANALISISMATEMATICO !


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ANTECEDENTE HISTRICOS.La idea bsica de geometra analtica y de coordenadas es muy antigua, ya Arqumedes

(250 A C) , Apolunio de Perga (210 aos A. C) en sus estudios de las secciones cnicas

usaron para sus representaciones, las coordenadas. Transcurrieron muchos aos para

que los estudios de los griegos y otros filsofos y matemticos llegaran a crear lasherramientas que sirven para la representacin de las propiedades de las figuras y su

anlisis. Ideas que culminan con las aportaciones de Descartes (1506-1650). Anlisis de

las figuras basado en el sistema de los nmeros reales y el uso de un enfoque algebraico

sistemtico para el estudio de estas figuras y sus propiedades. Con las investigaciones

realizadas por el grupo se podr hacer una ampliacin ms detallada sobre el desarrollo

de la Geometra Analtica. Completa estos antecedentes.


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Personaje Periodode

Vida,

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometra Analtica

Menaemo Siglo IVac

Se le atribuye la invencin de la parbola, elipse, hiprbolaequiltera (tade de Menaemo)

Apolunio dePerga Siglo IIac Usa nmeros para representar puntos, considera lassecciones cnicas originadas por la interseccin del plano yel cono, definiendo las curvas originadas

Arqumedesde Siracusa

( 287212a.C.)

Fue el ms grande matemtico de la antigedad inventor ycientfico practico, invento un tornillo para elevar el agua,estableci las propiedades de las poleas y palancas,construyo un modelo mecnico que reproduca el movimientode la luna y los planetas;; aport las formulas del rea delcirculo, el segmento de la parbola y de la elipse, el volumeny rea de la esfera, del cono y de otros slidos de revolucin.Usa nmeros para representar puntos,

F. Vite 1540-1603 En sus obras hay aplicaciones del lgebra a la geometra

NicolsOresme

1323-1382

Maneja como coordenadas la latitud y la longitud(coordenadas rectangulares)Determina que en la proximidad de una curva en la cual laordenada es mxima o mnima, dicha ordenada vara mslentamente, no se considera creador, el atribuye a otraspersonas sus ieas

Johannes.Kepler

1571-1630

Alemania: estudio matemticas y astronoma en launiversidad de Tubingen. nombrado como asistente de tychobrahe. en el observatorio de Praga , adquiri datos exactos

sobre las rbitas de los planetas.las mximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes delmovimiento planetario:1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de

sus focos.2) la recta que une al sol con un planeta barre reas iguales

en tiempos iguales.3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus

cuadrados.Hace la misma observacin que Oresme.Usa nmeros para representar puntos, emplea la palabra

foco para determinar un elemento de la elipse

Personaje Periodode

Vida,


Ren 1596 - Mejor conocido como un gran filosofo moderno. Tambin fue


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Descartes 1650 un fundador de la biologa moderna, fsico y matemtico. Sutrabajo matemtico de mayor trascendencia fue la gometrie,publicado en 1637. En el, intento la unificacin de la antigua yvenerable geometra con el lgebra. En (1637 1665) tienecrdito por la unin que llamamos hoy geometra analtica o

geometra coordenada. En su obra establece una relacinentre el nmero y el espacioF. VanSchooten

1615-1660

Sugiri el uso de de coordenadas en el espacio tridimensional

Blaise Pascal 16251662

:Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 aos invento laprimera maquina de sumar. Tiene el crdito de la iniciacinde estudios serios sobre la teora de la probabilidad.Se da el nombre del tringulo de Pascal al arreglo denmeros que contienen los coeficientes del teorema delbinomio.

Pedro de

Fermat

1601-

1665

Determin el rea bajo algunas parbolas,

Hace estudios sobre de lugares planos y slidosinterpretando ecuaciones sencillas geomtricamente.Isaac Newton 1642-

1727Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crdito deldescubrimiento del Clculo, siendo el primero en concebir lasprincipales ideas del Mtodo de Fluxiones. Descubri elteorema del Binomio que lleva su nombre, los elementos delclculo integral y diferencial , la teora del color y la leyuniversal de la gravitacinConsidera el signo de las coordenadas en los diferentescuadrantesConsidera la hiprbola como una curva con dos ramas

GottfrielWilhelm.Leibniz

1646-1716 Alemania: Comparte con Newton el crdito deldescubrimiento del Clculo, descubri independientementede Newton las ideas de ste, sobre el Clculo, no recibe elmismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los msgrandes inventores de los smbolos matemticos a l se debeel nombre de Clculo integral y Clculo Diferencial y el uso dedy/dx para la derivada y para la integral el trmino defuncin y el uso de =, desarrollando con mayor rapidez elclculo con el uso de estos smbolos

JacoboBernoulli

1654-1705

Inventa las coordenadas polares que se haban usado para elestudio de espirales

Guillaume F.A. de LHpital

1661-1704 Francia: discpulo de Johann. Bernoulli de ah que en sustrabajos hay disputas entre ambos,Public el libro de texto ms importante de geometraanaltica. Introdujo los dos ejes no por fuerza perpendiculares

A Parent 1666-1716

Representa por primera vez mediante una ecuacincartesiana la superficie de una esfera y otros slidos, paraello no menciona ni ejes ni planos

J. E Herman 1678- Indic la consideracin de los tres ejes coordenados de un


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1733 sistema cartesiano, dando impulso a la geometra delespacio. Observa que un punto en cualquier eje tiene lasotras coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuacin deprimer grado con tres variables representa un plano,partiendo de esta ecuacin deduce las coordenadas de la

interseccin del plano con cada uno de los ejes de los ejescoordenados.

Personaje Periodode

Vida,


Leonard Euler 1707-1783

Suiza: Escribi 75 libros de matemticas, contribuye con susestudios a la interpretacin de las funciones trascendentes,introdujo al nmero e base de los logaritmos naturales,

demostr que e y e

2

son irracionales, Complementa dandofundamentos a la geometra analtica del espacio . Estudia lasecuaciones de segundo grado y las clasifica en 5 tipos

A. C. Clairaut 1713-1765

Amplia los trabajos de Herman y sus trabajos representan untratado de geometra analtica del espacio

MaraGaetana

Agnesi

1718-1799)

Italia. comenz su mas importante trabajo, en un libro detexto de calculo.su estudio de una curva conocida entonces como la versiera.Miln reconoci a Agnesi dndole en su honor su nombre auna calle.

Joseph-Louis.Lagrange 1736 1813 Turn Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo,domin esta ciencia. Se cree que a los 19 aos, comenz suobra mxima Mcanique Analytique. La carrera deLangrage fue ilustre. En Pars, ayudo a perfeccionar elsistema mtrico de pesas y medidas. Sus contribuciones,incluyen el mtodo de multiplicadores de Langrage.

Carl FriedrichGauss

1777 1855

Alemania: La matemtica es la reina de las ciencias y lateora de los nmeros es la reina de la aritmtica, expresinde este personaje, el ms grande matemtico despus de

Newton, Conocido como el prncipe de las matemticas,propone estratagemas para el conteo, concibe la idea degeometra no euclidiana, inventa el mtodo de mnimoscuadrados, resuelve el problema de construir con regla ycomps el polgono de 17 lados. Hace la primerademostracin del teorema fundamental del lgebra. Su obraDisquistiones Arithmeticae ha influido notablemente sobre lateora de los nmeros. En Clculo sus trabajos sobre


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superficies curvas incluye el teorema de la divergencia. Unaunidad de los campos magnticos lleva su nombre.

A: F: Mbius 1790-1868

Primero que Considera de manera sistemtica el signo de lossegmentos, ngulos y reas


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Estas a punto de comenzar un interesante tema, el cual utilizaras en el

semestre, te invitamos a que comiences resolviendo el siguiente

acertijo.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuacin y

determina si son rectas o paralelas las figuras.

Qu lineas encontraste en figura?

Qu relacin existe entre las lineas que observaste?

Qu aparente relacin observas en las lineas?

Te costo trabajo encontrar las lineas?

Ahora comprueba tus respuestas auxiliandote de una regla o una hoja de

papel.


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Existen diferencias entre las primeras observaciones y la comprobacin

realizada?

Cuales son estas diferencias.

Investiga en algunos de los mediaos que ya conoces lo siguiente:

Conceptos de punto

Concepto de segmento

Recta

Plano cartesiano

A continuacin lee el contenido de tu antologa sobre el tema que se

presenta a continuacin en tu antologa.

1.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

1.1.1 Sistema cartesiano

Este sistema se denomina cartesiano en honor a Ren Descartes, por haber sido quien loempleara en la unin de lgebra y la geometra plana para dar lugar a la geometraanaltica.

El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX y YY

llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre s; la recta horizontal sellama eje X, la recta vertical se llama eje Y; su punto de interseccin 0 es el origen delsistema


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Estos ejes coordenadas dividen en planos de cuatro regiones llamados cuadrantes, loscuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierdadel origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen sonpositivas y hacia abajo del origen son negativas.

La localizacin de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.

Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina sicontamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que la cruza; siestamos en un saln de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan slo dosdatos: el nmero de la fila y el nmero de la hilera, as mismo lo podemos hacer en unsistema de coordenadas, mediante la:

1.1.2 Localizacin de puntos en el plano

En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relacin que establece que a cadapar de nmeros reales (x ,y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto delplano le corresponde un par de nico de coordenadas (x, y).Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2 , 5) y G (-3 , -4)


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Ejemplo 2. Grafica los puntos P (3 , -5) Q (-7/2 , 11/3) y R (1.75 , 0.5)

A partir de los ejemplos anteriores realiza las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Contesta las siguientes preguntas:

1. Nombre del fundador de la geometra analtica:2. Cul fue el primer descubrimiento matemtico de Descartes?.3. Quin ya haba intentado unir el lgebra y la geometra?.4. Explica de qu manera integr Descartes el lgebra y la geometra:5. Cul es el concepto de geometra analtica?.


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6. Cul es la razn por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denominatambin cartesiano?

7. Cmo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?.8. Explica cundo las abscisas y ordenadas son negativas:9. Cul es la representacin de las coordenadas de un punto de manera general?.

II. En qu cuadrante se localizan los siguiente puntos?

a) N(3, 2) b) O(-4, -6) c) P(7, -8) d) R(-5, 6)

III. Representa grficamente los siguientes puntos:

a) A(2, -1), B(-3, 6), C(-9, -2) b) C(1, 4), M(0 -7), R(-2, 3)

IV. Representa grficamente los siguientes tringulos, formados por las coordenadas desus vrtices.

a) A(4, 5), B(-7, 0), C(-6, 4) b) A(-3, 6), B(6, 5), C(-4,-3)

V. Grafica los siguientes polgonos cuyos vrtices son:

a) A(-4, 2), B(-1,-3), C(2, -6), D(0, 4) b) A(-3, -5), B(5, -2), C(5, 5), D(1, 5) E(-4, 2)

ACTIVIDADES DE EVALUACIN

I. Grafica y di en qu cuadrantes se localizan los siguientes puntos:

1. S(-4.5,-2.5) 2. U(9/4,-4/2) 3. W(13/16,-7/3)

4. O(-8,10) 5. N(4,0) 6. A(5,-1) 7. A(0,8)

II. Localiza en el plano cartesiano un tringulo issceles, un rombo y un paralelogramo,cuyos vrtices sean los que t elijas y que queden en el primero, segundo y tercercuadrante, respectivamente.

Te has imaginado cul es la distancia que hay de tu casa a la escuela? Seguramente yalo hiciste, lo cual te servir para comprender el siguiente tema denominado:

1.1.3 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos acontinuacin.


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1. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano yque pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigidaentre los dos puntos es:

Frmula de la distancia dirigida de P1a P2o de P2a P1.P1 P2 = x2- x1P2 P1 = x1x2

La frmula de la distancia no dirigida es:P1 P2= x2- x1 = x1x2

Sean P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical(paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientesfrmulas:

P1 P2 = y2- y1P2a P1= y1y2

La frmula de la distancia dirigida es:

P1 P

2= y

2- y

1= y

1y

2


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Sean P1 (x

1 , y

1) y P

2 = (x

2 , y

2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta

horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1, paralela al eje x, otra recta quepasa por el punto P2paralela al eje y; estas rectas se intersectarn en un punto Q(x2, y1)formando as un tringulo P2 QP1en el cual identificamos:

P1P2= hipotenusa = d (distancia)P1Q = cateto adyacente = (x2- x1)QP2 = cateto opuesto = (y2- y1)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

d = y1)2-(y2x1)2-((x2

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son:

P1(-7 , 2) y P2 (8 , 2)

Si graficamos los puntos dados, tenemos:Observa que los dos puntos pertenecen a una misma recta horizontal, por lo que la

distancia dirigida


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entre los dos puntos es:

d = P1P2 = X2 - X1 d = P2P1 = X1 - X2d = P1P2 = 8 - ( -7 ) d = P1P2 = - 7 - 8d = P1P2 = 8 + 7 d = P1P2 = - 15d = P1P2 = 15

Ejemplo 2:Grfica los puntos: P1( -2, 4 ) y P2( -2, - 6 )

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que ladistancia no dirigida entre los dos puntos es:

Y

XX

Y

P1(-7, 2) P2( 8, 2)

P1( -2, 4

P1( -2, 6

XX

Y

Y


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d = P1P2 = Y2 - Y1 d = P2P1 = Y1 - Y2d = P1P2 = - 6 - 4 d = P1P2 = 4 - ( - 6 )d = P1P2 = - 10 d = P1P2 = 4 + 6

d = P1P2 = 10

Ejemplo 3:Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

A ( - 6, 3 ) y B ( 2, - 3 )

Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Observa que los puntos A y B no pertenecen a una distancia recta horizontal o vertival,por lo que su distancia se determina por la frmula:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Al sustituir los valores de las coordenadas en la ecuacin, resulta:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

XX

Y

A(-6,

B( 2, -

Y


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d = ( 2 + 6 )2 + (- 3 - 3 )2

d = ( 8 )2 + ( - 6 )2

d = 64

+ 36 = 100

d = 10ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

1. A ( 3, 5 ) y B ( 4, -1 ) 2. A ( -2, -3 ) y B (4, -2 )

II. Demuestra mediante la frmula de la distancia, que los siguientes puntos soncolineales.

1. A( -5, 6 ), B( 2, 4 ) y C( 16, 0 ) 2. A(-2, -5), B(2, -4) y C(10, -2)

III. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo issceles.

1. A( -2, 2 ), B( 3, 1 ) y C( -1, -2 ) 2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2)

IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo rectngulo.

1. A( 3, 2 ), B( -2, -3 ) y C( 0, -4 ) 2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 )

V. Demuestra que los siguientes puntos son los vrtices de un paralelogramo.

1. A( 4, 2 ), B( 2, 6 ), C( 6, 8 ) y D ( 8, 4 )

VI. Sean A(0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 4, 2 ) y D (1, 2 ) los vrtices de un paralelogramo, halla lalongitud de sus dos diagonales.



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I. Grafica y encuentra la distancia entre los dos puntos que se indican.

1. C( 2, 3/4 ), y M( -2, -3/2 ) 2. U( 9/2, -3/4 ), y V( 17/5, -3/4 )3. A( 10, 1 ), B ( 6, 1 ) y C( 2, -3 ) 4. A( -4, 2 ), B ( 4, 6 ) y C( 8, 8 )5. A( -2, -4 ), B ( -5, 1 ) y C ( -6, -5 ) 6. A( -6, 4 ), B ( -5, -3 ) y C ( -1, -1 )

7. A( 1, 4 ), B ( -2, -1 ), C ( -1, -5 ) y D (2, 1) 8. P( -2, -8 ), Q ( -6, -1 ) y C ( 0, -4 )El rea de un polgono en funcin de las coordenadas de sus vrtices.

rea de una regin triangular

Sean P1( x1 - x1 ), P2( x2 - x2 ) y P3( x3 - x3 ) los vrtices de un tringulo, su rea A sepuede obtener sumando las reas de los trapecios Q1 Q3 P3 P1 y Q3 Q2 P2 P3 yresultando el rea del trapecio Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazandoperpendiculares de los vrtices del tringulo al eje x.

El rea de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases(lados paralelos); por lo tanto el rea del tringulo P1 P2 P3 es:

A = rea del trapecio Q1 Q3 P3 P1 + rea del trapecio Q3 Q2 P2 P3 - rea deltrapecio Q1 Q2 P2 P1

A = ( x3 - x1 ) ( ) ( y1 + y3 ) + ( x2 - x3 ) ( ) ( y3 + y2 ) - ( x2 - x1 ) ( ) ( y1 + y2 )

A = ( x3 y1x1 y3 + x2 y3x3 y2 + x1 y2 - x2 y1 )

El rea resultante se expresa en una forma ms fcil por:

A =

XX

Y

Y

P1(x1, x1)

P2(x2, x2)

P3(x3, x3)

Q1(x1, 0) Q2(x2, 0) Q3(x3, 0)

( - )

( - )

( - )

( + )

( + )

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

A = ( x1 y2+ x2 y3 + x3 y1x2 y1- x3 y2 - x1 y3 )


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Esta frmula tambin se emplea para determinar el rea de cualquier polgono. Se hacenotar que el primer rengln se ha repetido al final con el fin de facilitar el clculo.

Si los vrtices se ordenan en la frmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj,el rea resultante es de signo positivo; en caso contrario ser negativa.

Ejemplo 1. Encuentra el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos: A ( 3, 2 ), B (7, 4 ) y C ( -2, 5 )

Al sustituir los datos dados en la frmula, resulta:

A = =

A = [(3)(4) + (7)(5) + (-2)(2)(3)(5)(-2)(4)(7)(2)]A = ( 12 + 35415 + 814) = 22 / 2A = 11 unidades cuadradas

Permetro. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana;matemticamente se representa por la letra P.

XX

Y

Y

C(-2, 5)

B(7, 4)

A(3, 2)

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x1 y1

3 2

7 4

-2 5

3 2


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Semipermetro. Es la mitad del permetro; se representa por la letra S ymatemticamente se hace notar por S = P / 2

Ejemplo 2:Encuentra el rea, permetro y semipermetro del polgono si las coordenadas de sus

vrtices son: A(-8, 2 ), B(-1, 5), C(7, -1) y D(-2, -6)

Con base en la grfica, los vrtices se ordenan en la frmula en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj, es decir:

A = =

Al sustituir los datos dados en la frmula, resulta:A = [(-8)(-6) + (-2)(-1) + (7)(5)(-1)(2)(-8)(5)(-1)(-1)(7)(-6)(-2)(2)]A = ( 48 + 2352 + 401 + 42 + 4) = 168 / 2A = 84 unidades cuadradas

Para determinar el permetro, se calculan las longitudes de los lados del polgono dado:

dAB= (-1+ 8)2 + (5 - 2)2 dBC= (7+ 1)2 + (-1 - 5)2

Y

C(7, -

A(-8,

YB(-1,

XX

D(-2, -

xA yA

xD yD

xC yC

xB yB

xA xA

-8 2

-2 -6

7 -1

-1 5

-8 2


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= 49 + 9 = 7.615 dBC= 64 + 36dAB= 10

dCD= (-2- 7)2

+ (-6 + 1)2

dAD= (-2 + 8)2

+ (-62)2

dAB= 81 + 9 = 10.295 dAD= 36 + 64 = 10

El permetro del polgono es:P = dAB + dBC + dCD+ dADP = 7.615 + 10 + 10.285 + 10P = 37.91 unidades de longitud

El semipermetro del polgono es:

S = P / 2 = 37.91 / 2 = 18.995 unidades de longitud


I. Encuentra el rea, permetro y semipermetro para los siguientes tringulos cuyascoordenadas de los vrtices son:

1. A (3, -3), B (-5, 2 ) y C ( 6, -4 ) 3. A (4, 9), B (-2, 1 ) y C ( -6, 2 )2. A (-4, -1), B (2, -6 ) y C ( 4, 2 ) 4. A (7, -3), B (-2, 2 ) y C ( 4, 4 )

II. Obtn el rea, permetro y semipermetro para los siguientes polgonos cuyascoordenadas de los vrtices son:

1. A (-3, 3 ), B (6, 2 ), C ( 7, 7 ) y D ( -2, 5 )2. K (-3, 1 ), L (-7, 1 ), M ( -2, 8 ), P ( 1, -5 ) y Q ( 7, 4 )

Y

0X X

Y

R2( 0, y2

R ( 0, y )

R1( 0, y1

P ( x, y )

P1( x1, y1

Q1( x1, 0 Q ( x , 0 ) Q2( x2, 0


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3. R (-5, 1 ), X (-4, 7 ), Y ( 3, 5 ), Z ( 7, 2 ) y A ( -2, -4 )

1.1.4 Localizacin de un punto que divide a un segmento de recta en una razndada.

Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyosextremos son P1( x1, y1) y P2( x2, y2 ) en la razn r = P1P / PP2se aplica el siguienteprocedimiento:

Teorema.Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son

P1( x1, y1) y P2( x2, y2) en la razn r = P1P / PP2 son:

x =

Ejemplo 1:Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por

A( 8, 2 ) y B ( -5, 7 ) en la razn = 3 / 4

Al sustituir los datos dados en las frmulas, resulta:


I. Encuentra las coordenadas de un punto P ( x, y ) que divide a un segmento de rectadeterminado por:

P2( x2, y2)

x1+ rx2

1 + r

y1+ ry2

1 + ry =

Siendo r

x1+ rx2

1 + r

y1+ ry2

1 + ry =

8 + (3/4) (-5)

1 + (3/4)

2 + ()7

1 + (3/4)y =

x =

x = = 17 / = 29 /


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1. P1( -2, 3 ) y P2( 3, -2 ) r = 2 / 52. P1( -2, 1 ) y P2( 3, -4 ) r = -8 / 3


I. Cules sern las coordenadas del punto de divisin a partir de los siguientes datos?

1. P1( 3, -1 ) y P2( 9, 7 ) r = 1 / 22. P1( 5, 3 ) y P2( -4, 3 ) r = -3 / 2

Hemos llegado a un punto en que debemos dar un giro a nuestro estado de la geometra

analtica. Hasta aqu hemos deducido algunas relaciones fundamentales y considerandomtodos generales para la construccin de curvas y la obtencin de la ecuacin de un

lugar geomtrico. Pero todava no hemos hecho ningn intento sistemtico para identificar

las ecuaciones y sus lugares geomtricos de una manera especfica. Ms an, hasta este

momento, no hemos establecido ninguna de las propiedades particulares que puede

poseer una curva. En ste y en los siguientes captulos, haremos un estudio detallado de

la lnea recta y de algunas de las curvas que son de mxima importancia en la geometra

analtica y sus aplicaciones. Naturalmente comenzaremos con el estudio de la lnea recta

debido a que su ecuacin es la ms sencilla.


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1.2 LA LNEA RECTA

Llamamos lnea rectaal lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1(1, y1) y P2(2, y2)del lugar, el valor de la pendiente m

calculado por medio de la formula resulta siempre constante.

1.2.1 PENDIENTE Y NGULO DE INCLINACIN

Sea l una recta en el plano y el ngulo que forma dicha recta con el eje x, esto es, el

ngulo ms pequeo cuyo lado movil gira en sentido positivo (contrario al del reloj) hastacoincidir con la recta dada (vase figura). S la recta est inclinada a la izquierda (o sea,desciende al avanzar uno de izquierda a derecha), es claro entonces que 90 <


24/122

31

La pendiente de una recta se representa con m y se define por:

m = tg ,

Donde

es el menor ngulo positivo desde el eje xhasta la recta. Si la lnea fuera

horizontal, m = 0, y si fuera vertical entonces su pendiente seria indefinida. El ngulo

se denomina ngulo de inclinacinde la recta.

Es fcil calcular la pendiente de una recta si se conocen las coordenadas de los puntos de

la misma. Ciertamente, sean P1(x 1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos de l. Se pueden

escoger los subndices de modo que P2 quede a la derecha de P1 y, por lo tanto, x2>

x1.

Se traza un tringulo rectngulo P1 Q P2 (como se indica en las figuras) trazando rectas

por P1 y P2 paralelas a los ejes x e y respectivamente.

y

0

= 0

P1(1, y1)

P2(2, y2)

P2Q = y2y1

Q (2 , y1)P1Q =21

y

P1Q = 2-1Q (2,y1

P2Q = y2y1

P1(x1, y1)

y

P2 (x2, y2)


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32

En el caso de una recta ascendente, como se ve en la primera figura, es obvio que el

ngulo= K QP1P2 del triangulo rectngulo, de modo

tg= QP2 P1Q y, por consiguiente.

En el caso de una lnea descendente, la frmula anterior es an vlida, pero es necesario

extender un poco la demostracin para tomar en cuenta el signo negativo. En este caso

(segunda figura)

Teorema:-

Si P1 ( x1, y1) y P2 ( x2, y2) son dos puntos de una recta( no vertical), su pendiente m

esta dada entonces por la ecuacin

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (13, 3) y (-5

, 7)

Sea (13,3) el puntoP2 y ( -5,7).el punto P1,entonces.

Puesto que la pendiente es negativa se sabe la recta inclinada a la izquierda.

m =P2QP1Q

y2- y1x2- x1

=

l

0

l

P2QP1Q

= mTg

=

m = y2- y1x2- x1

m =y2- y1x2- x1

=3 - 7

13(-5)- 4

13 + 5= = - 4

18= - 2

9


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33

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente y la inclinacin de la recta que pasa por los puntos (2,-

3) y (4,6).

4.5 = tg = tg-1 4.5 = 77 28 16

Para que no te quede nada pendiente en tus conocimientos, realiza las siguientes:


I.- Dados los puntos en cada problema siguientes, encuentre las pendientes y la

inclinacin de la recta que pase por dichos puntos.

1. P ( 2, -1 ) y Q ( 6, 5 )

2. A ( 133 ) y B ( -5, -5 )

3. M ( -5, 7 ) y N ( 1, -11 )

4. R ( -1, -2 ) y S ( 5, -5 )

5. K ( 2, 4 ) y L ( -4, 6 )


I. Encontrar la pendiente y la inclinacin de cada recta que pasa por los puntos que se

indican.

1. A ( 3, -5 ) y B ( 2, 6 )

2. C ( -2 , -8 ) y D ( 5, -2 )

3. E ( 3, 2 ) y F ( 9, 6 )

4. G (8, -5 ) y H ( -1 , -1 )

5. I ( 3, 7 ) y J ( -5, -4 )

y2y1x2x1

m = =6(-3)42 =

6 + 32 =

92 =

4.5

m = Tg


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34

Las rectas para su estudio en relacin a sus pendientes pueden ser:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Vamos a observar que pasa con las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

l1 l2

m1 m2

0

Ejemplo: Determinar las pendientes de l1, que contiene a (1 , 5) y a (3 , 8), y l2que

contiene a (-4 , 1) y a (0 , 7), determinar si l 1 y l2son paralelas, perpendiculares o si no

estan dentro de estos casos.

Dos rectas son paralelas si suspendientes son iguales:

l1 y l2son paralelas, si m1 = m2

y

x


28/122

35

m1= =

m2 = = =

m2 m1

l1 l2

Ejemplo: Determine si la recta l1 que pasa por los puntos (1,-3) y (3,1) es perpendicular a

la recta l2 que pasa por los puntos (1,-3) y (-1, -2).

m1= = = 2 Como las pendientes son recprocas y de signo

contrario, entonces, las rectas son perpendiculares

m2 = =

A partir de los siguientes ejemplos, analizados y comprendidos podrs realizar las

siguientes:


I. Determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos que se

citan en cada problema. A continuacin determina si las rectas son paralelas,

perpendiculares o no caen bajo ninguna de estas clasificaciones.

853 - 1

32

7 - 1

0 + 4

6

4

3

2

Como m1 = m2 entonces l1 y l2 sonparalelas.

Dos o ms rectas son perpendiculares sisus pendientes son recprocas y de signo

contrario o el producto de sus pendienteses igual a 1, l1y l2 son perpendicularessi m1= -1 que es lo

m2mismo que m1 .m2= -1

1 + 33 - 1

42

-2 +3-1 - 1

1-2

y

x


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36

1. (1 , -2) (-2 , -11) y (2 , 8) (0 , 2)

2. (1 , 5) (-1 , -1) y (0 , 3) (2 , 7)

3. (1 , 1) (4 , -1) y (-2 , 3) (7 , -3)

ACTIVIDADES DE EVALUACIN.

. Demuestra si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

1. (1 , 2) (3 , 2) y (4 , 1) (4 , -2)

2. (2 , 1) (5 , -1) y (3 , 3) (12 , -3)

3. (1 , 5) (-2 , -7) y (7 , -1) (3 , 0)

Basado en lo anterior podemos concluir diciendo que los elementos bsicos de una recta

son dos puntos cualesquiera sobre ella, su pendiente, su ngulo de inclinacin y sus

intercepciones, de la manera en que se usen o combinen esos elementos, la ecuacin

adopta distintas formas, que estudiaremos a continuacin:

1.2.2 ECUACIN DE LA RECTA

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE

DADA.

Geomtricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y

su direccin. Analticamente, la ecuacin de una recta puede estar perfectamente

determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ngulo de

inclinacin o su pendiente.


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37

Teorema 1.- La recta que pasa por el punto P1 ( x1, y1) y tiene la pendiente dada m,

tiene por ecuacin.

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto ( 4,-1 )y tiene un ngulo de

inclinacin de 135.

La recta cuya ecuacin se busca es la trazadaen la figura.

La pendiente de esta recta es

m= tg 135 = -1

Por lo tanto, por el Teorema 1, la ecuacin de la

recta es:

y(-1) = - 1 (x4)

O sea x + y3 = 0

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Geomtricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualquiera de sus

puntos. Analticamente, la ecuacin de la recta tambin queda perfectamente

determinado conociendo las coordenadas de sus dos puntos.

Teorema: 2.-La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1,y1) y P2(x2, y2) tiene por

ecuacin.

P( x, y )

P1 ( x1, y1)

yy1 = m ( xx1)

y

0x

P( x, y )

P1 (4,-1 )

y

0x

135

y2- y1x2 - x1

( x -x1 ) x1 x2

y

0 x


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38

5(-3)

- -

y-y1=

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1, - 3)y (-4, 5)

ean los puntos P1y P2, respectivamente. La ecuacin da:

y( -3 ) = ( x1 )

Al simplificarla nos da: 8x + 5y + 7 = 0

ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA

Sean a 0 y b 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, es

decir, sus intercecciones. Entonces (a, 0)y (0, b)son dos puntos de la recta. Por tanto, el

problema de obtener la ecuacin de una recta cuando se conocen los segmentos que

determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos

puntos y tenemos, por el Teorema 2,

Y0 = ( xa),

De donde

ay = - bx + ab

Trasponiendo - bxal primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos:

P1(x1y1)

0b

a - 0

xa

yb

+ = 1


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39

A esta igualdad se le llama ecuacin simtrica de la recta. De aqu el siguiente:

Teorema 3.- La recta cuyas intersecciones con los ejes x y y, son

a 0 y b 0, respectivamente, tiene por ecuacin:

Ejemplo: Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, son 5 y2,

respectivamente; hallar la ecuacin:x y

a b

x y

5 -2

x y

5 2

2x5y = 10

2x5y10 = 0

ECUACIN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.

Consideremos una recta lcuya pendiente es my cuya ordenada en el origen, es decir, su

interseccion con el ejeY, es b . Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0 ,

b) est sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuacin de la recta

que pasa por un punto (0 , b) y tiene una pendiente dada. Segn el teorema, la ecuacin

buscada es:

xa

yb

+ = 1

= 1+

= 1

= 1

+

-


33/122

40

yb = m (x-0)

o sea,

y = mx+b

Podemos enunciar este resultado como el :

Teorema 4.-La recta cuya pendiente es my cuya ordenada en el origen es btiene por

ecuacin y = mx+b.

Ejemplo. Determina una ecuacin para la recta de pendiente 3 que corta al eje ya -5

unidades de distancia del origen.

Si m =3 y b = -5la ecuacin buscada es y(-5) =3 (x-0)o sea y = 3x-5

Si ya comprendiste y entendiste las distintas formas de la ecuacin de la recta, podrs

realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

I. Haz una grfica para cada ejercicio:

1. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, -3) y tiene de pendiente 2.2. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto B (-4, -2) y tiene un ngulo de

inclinacin de 453. Halla la ecuacin de la recta cuya pendiente es3y cuya interseccin con el eje y

es5.

( o, b )

( x, y )

x

y

0


34/122

41

4. Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (6, 4) yB (-5, 7).

5. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2 y 4respectivamente, halla su ecuacin.

6. Los vrtices de un cuadriltero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D(6, 0),halla las

ecuaciones de sus lados.


I. Encuentra y grafica la ecuacin de la recta para cada ejercicio que se te propone.

a) Pasa por el punto M (3 , 5) y tiene un ngulo de inclinacin de 60.

b) Pasa por el punto N(-4 , 6) y tiene de pendiente 3.c) Tiene pendiente2 y su interseccin con el eje yes 5.

d) Pasa por los puntos E(-3 , 5) y L(4 , -2).

e) Si los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 4 y 6

respectivamente.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA.

En los artculos precedentes hemos visto que la ecuacin de una recta cualquiera, en el

plano coordenado, es de la forma lineal.

Ax + By + C = 0

en donde ya sea A o Bdebe ser diferente de cero y Cpuede o no ser igual a cero. La

ecuacin (1) se llama la forma general de la ecuacin de una recta.

Teorema 5.- Una ecuacin lineal en las variables x y y representan una recta y

recprocamente.

(1)


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42

Ejemplo:Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuacin general Ax +

Bx + C = 0 de una recta, para que pase por los puntos ( -1, 4 ) y ( 3, -2 ).

De ah hallar la ecuacin de la recta.

Como los dos puntos estan sobre la recta, sus coordenadas deben satisfaser la ecuacion

de dicha recta. Por tanto, para el punto ( -1, 4 ), tenemos :

-A + 4B + C = 0 (1)

y para el punto ( 32 ) Tenemos

3 A2B +C = 0 (2)

Resolviendo la ecuacion (1) y (2) para A y B en terminos de C, obtenemos.

A = -3/5 C B = -2/5C

Si sustituimos estos valores de A y B en la forma general. Obtenemos.

-3/5Cx - 2/5 Cy + C = 0

Dividiendo todas la ecuaciones por Cy simplificando, obtenemos como ecuacin de la

recta:

3x + 2y 5 = 0

cuyos coeficientes son: A = 3, B = 2, C = -5.

Posiciones relativas de dos rectas (paralelas y perpendiculares). Ahora consideramos las

posiciones relativas de la recta, cuyas ecuaciones pueden ponerse en las formas

generales:

Ax + By + C = 0 (1)

Ax + By + C = 0 (2)

En particular, determinamos las condiciones analiticas bajo las cuales estas dos rectas

son: a) paralelas y b) perpendiculares.

a) La pendiente de (1) esA/B si B 0,y la pendiente de (2) esA/B si B 0.Por un teorema de un artculo anterior, una condicion necesaria y suficiente paraque la recta (1)y (2) sean paralelas en que:

-A/B = -A/B,


36/122

43

o sea,

A/A = B/B,

Es decir , los coeficientes de x y y deben ser proporcionales.

b) Por un teorema de un articulo anterior, una condicin necesaria y suficiente paraque las rectas ( 1 ) y ( 2 ) sean perpendiculares es que.

(B/ -A) (-A/B ) = -1,

o sea,

AA + BB = 0

Podemos hacer el resumen de los resultados anteriores en el:

Teorema6. Si las ecuaciones de dos rectas son: Ax + By + C = 0 y

Ax + By + C = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

a) Paralelismo, A/A = B/B, o sea ABAB = 0;

b) Perpendicularidad, AA + BB = 0

Ejemplo: Hallar una ecuacion de la recta que pasa por el punto ( 5,1 ) y sea: a ) esparalela a la recta y = 3x +7 y b ) es perpendicular a tal recta.

a) Puesto que la linea ha de ser paralela a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5,1 )la ecuacin sera:

y1 = 3 (x 5 )

y1 = 3x15O sea

y = 3x14

b) Puesto que la lnea ha de ser perpendicular a la dada debe tener una pendiente m= -1/3, y como pasa por el punto ( 5, 1 ) la ecuacin sera:


37/122

44

y1 = - 1/3 (x5 )

3y3 = - x + 5

O sea,

- x 8

3 3

A partir de los anteriores argumentos ahora podrs realizar:


I.- En los siguientes problemas se da un punto Py una recta l. Determine unaecuacin para la recta que pasa por P y sea a) paralela a l y b) perpendicular a l.

1. P (6, -2), y = x + 10 4. P (-1,-1) 5y- 2 x = 9

2. P(0, 5) 2y = x - 7 5. P(100,200), x3y = 0

3. P(-3, 0) 3y + x = 11

II.-Hallar la ecuacin de la recta, determinando los coeficientes de la forma general;

1.-Que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a2.

2.-Si los segmentos que determinan sobre los ejes x y yes decir sus intersecciones,

son 3 y 5 respectivamente.

3.- Que es perpendicular a la recta 3x4y+11=0 y pasa por el punto

(-1,-3).

Otra de las formas de la ecuacin de la recta es:

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE LA RECTA

Consideramos una recta 0P1de longitud Py con uno de sus extremos 0siempre en el

origen, tal como pueden verse en la figura. La posicin exacta de este segmento de recta

sobre el punto coordenado, est determinada por el angulo w, que , como en

y =


38/122

45

cos w

trigonometra, en el ngulo positivo engendrado por el radio vector OPal girar alrededor

del origen. De acuerdo con esto, la longitud p se considera siempre positivo, y la variacin

de los valores del ngulo wviene dada por

0 w < 360

Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de py wla recta L trazada porP1(x1 y y1) perpendicular a OP1 queda perfectamente determinada. Ahora obtendremosla ecuacin de L por medio de la frmula de la recta que pasa por un punto y tiene unapendiente dada.

Por trigonometra, para cualquier posicin de la recta L ,

x1= p cos w, y1= p sen w.

por tanto, las coordenadas del punto P1son (p cos, p sen w)

Para las posiciones (a) y (b) en la figura; el ngulo de inclinacin del segmento OP1 es w,y por lo tanto, su pendiente es tgw.

Para las posiciones (c) y (d)de la figura: en donde es el ngulo de inclinacin de OP1,tenemos

tg w = tg (180 + ) = tg De aqu que para todas las posiciones del segmento OP1, su pendiente est dada por tgw.Como la recta L es perpendicular a OP1 su pendiente para todas las posiciones es

m = - ctg w = -

segn esto, de ( 2 ) y ( 3 ), la ecuacin de L es

yp sen w = - (xp cos w),

de donde

y sen wp sen2 w = - x cos w + p cos2w

o sea

x cos w + y sen wp (sen2w + cos2 w) = 0

(1)

(2)

(3)

cos w


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46

Como

sen2w + cos2w = 1, esta ltima ecuacin se reduce a

x cosw + y sen wp = 0

Este resultado conduce al siguiente:

Teorema 7.- La forma normal de la ecuacin de una recta es

x Cos w + y Sen w- p = 0

En donde p es un nmero positivo, mumricamente igual a la longitud de la normaltrazada desde el origen a la recta, y wes el ngulo positivo < 360medido a partir de laparte positiva del eje x a la normal

Reduccin de la forma general de la ecuacin de una recta a la forma normal.

x

l y

w

0

P1(x1 , y1)

x

(a)

P1(x1 , y1)

y l

(b)

w

0

l

x

yl

o

w

x

P1(x1 , y1)

(c)

y

oP1(x1 , y1)

w

(d)


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47

Usualmente, la ecuacin de una recta se da en la forma general:

Ax + By + C = 0

Sin embargo, la forma normal:

xcos w + y sen wp = 0,

es til para ciertos tipos de problemas. Por esto consideramos en este artculo el mtodo

de obtener la forma normal a partir de la forma general de la ecuacin.

Si las ecuaciones (1)y (2)representan la misma recta, sus coeficientes correspondientes

deben ser proporcionales. Por tanto:

cos w = KA

sen w = KB

- p = KC

si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3)y (4), y sumamos, obtenemos:

Cos2

w + Sen2

w = K2

(A2

+ B2

)

Pero como Cos2w + Sen2w = 1, esta ltima relacin nos da;

Si se sustituye este valor de Ken cada una de las ecuaciones (3) , (4) y (5), obtenemoslas relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes de las dos formas (1) y(2), estas son:

(1)

(2)

(5)

(4)

(3)

A2 +B2

1K =

,A + B 0

(6)

A2 +B2

ACos w =

,

A2 +B2

BSen w =

,

A2 +B2

Cp = -

,


41/122

48

y la recta definida por la forma general (1)tiene por ecuacin en la forma normal:

Teorema 8.- La forma general de la ecuacin de una recta;

Ax+ By + C = 0,

puede reducirse a la forma normal:

x cos w + y sen wp = 0,

dividiendo cada trmino de (1)por , en donde el signo que precede al

radical r se escoje como sigue:

a).- Si C O, res de signo contrario a C.

b).- Si C O y B O, r y B tienen el mismo signo.

c).- Si C = B = O, r y A tienen el mismo signo.

Ejemplo 1:En un crculo de centro en el origen y rdio igual a 5, hallar la forma normal dela ecuacin de su tangente en el punto ( - 3, 4 ).

Por geometra elemental sabemos que el rdio que va al punto de tangencia esperpendicular a la tangente. Por tanto p = 5, y

sen w = 4/5 y cos w = - 3/5. Luego la ecuacin de L en la forma normal es:

- 3/5x + 4/5 y - 5 = O

o tambin

3x4y + 25 = O

A +B

A

A +B

B

+ y A +B

C

+ = 0

A2 +B2


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49

Ejemplo 2:La ecuacin de una recta es 5x7y11 = O. Reducirla a la forma normal, y

hallar los valores de p y w.

Para la ecuacin dada A = 5 B = -7 y C = -11. por tanto

como C es negativo, damos al radical el signo positivo dividiendo la

ecuacin dada por obtenemos su forma normal:

Normalzate en tus estudios, realizando!


I. Dibujar una figura para cada ejercicio.

1. Hallar la ecuacin de una recta en la forma normal, siendo w = 60 y p = 5.

2. La ecuacion de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w5 = 0. Hallar el

valor de w para que la recta pase por el punto (4, -3).

3. Hallar la distancia * del origen a la recta 2x3y + 9 = 0.

ACTIVIDADES DE EVALUACIN.

1. Hallar la ecuacin de la recta en forma normal, siendo w = 45 y p = 5

2. La ecuacin de la recta en la forma normal es x cos w + y sen w-p = 0, hallar el valorde w para que la recta pase por el punto M (3, 4)

A +B 74 52+(-7)

74

74 74 74

5y -

-7 11= O


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50

3. Hallar la distancia el origen a la recta 6x4y5 = 0

4. Las rectas pueden chocar en un punto y formar ngulos opuestos por el vrtice,cundo eso sucede se le llama:

1.2.3 INTERSECCIN DE RECTAS

Sean A1 X + B1 Y + C1 = 0 y A2 X + B2 Y + C2 = 0 dos rectas cualesquiera,razonaremos as:

Si P (x , y) es el punto de interseccin y pertenece a los dos rectas, sus coordenadassatisfacen simultaneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P sonlas soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas.

Ejemplo: calcular el punto de interseccin de las rectas 3x y10 = 0 y 2x + y10 =0resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos:

3xy = 10 Sustituyendo este valor de x en cualquiera de las2x + y = 10 dos ecuaciones, tenemos:5x = 20 2x + y10 = 0

2(4) + y10 = 0x = y = -8 + 10

y = 2x = 4

Luego el punto de interseccin de las rectas es P(4 , 2)Graficamente nos queda:

3xy10 = 0

205

2x + y10 = 0

P(4 , 2)

x

y

0


44/122

51

Intersctate realizando!


I. Encuentra el punto de interseccin de las siguientes rectas y comprubalo

graficamente.

1. 3x2y = 1 2. 3x4y = 5 3. 2x + 3y = 4

6x4y = 5 x + 2y = 5 -3x + y = 54. 4x5y = 8 5. 5x2y = 5

2x + y = -10 2x + 3y = 6


I. Localiza el punto donde se intersectan los siguientes pares de rectas.

1. 3x6y13 = 0 2. 5x + 4y50 = 0

4x + 3y + 1 = 0 5x4y50 = 0

NGULO ENTRE DOS RECTAS

Dos rectas al cruzarse forman cuatro ngulos, siendo iguales los ngulos opuestospor el vrtice y se define como el ngulo que forman dichas rectas. Al ngulo positivomas pequeo que tiene su lado inicial en R1 el lado final en R2 . Este ngulo loidentificaremos con

Y R2 R1

1 2


45/122

52

x x

Y

Como la inclinacin de R1puede ser mayor o menor que la inclinacin de R2

En el caso donde Tan 1 > Tan2 se tiene que = 2-1

Y R2 R1

R1

2 1x x

Y

En este caso se observa que la inclinacin de R1 es menor que la inclinacin de R2En este caso Tan 1< Tan 2se tiene que = 180

o+(2-1)

En los dos casos se tiene una diferencia de ngulos y como una suma o una diferencia dengulos es :

Tan (ATanATanB

TanBAB

1

tan)

Por lo tanto Tan = tan (2 -- 1) =12

12

1

TanTan

TanTan

por lo tanto Tan =

12

12

1 mm

mm

for

(10)

En estos problemas m1es la pendiente del lado inicial y m2es la pendiente dellado final, el ngulo positivo (giro contrario alas manecillas del reloj


Actividad: hallar los ngulos interiores del tringulo cuyos vrtices son: A(-2,1), B(3,4),C(5,-2)

1. Se recomienda graficar el problema par ubicar los ngulos


46/122

53

B

m =5

3

m = -3A

m = -7

3 C

2. Obtener las pendientes de los lados del tringulo utilizando m =12

12

xx

yy

mAB=

)2(3

14

=

5

3 m BC= 3

2

6

35

42

mAC =

7

3

)2(5

12

3. Hallar los ngulos aplicando for (10) Tan =12

12

1 mm

mm

Tan A =13

18

)7

3(

5

31

7

3

5

3

2

Arc Tan A =13

18 < A = 54o10

Tan B = Tan B= 4.5 < B = 77o28 comprobar

Tan C = Tan C = 1.125 < C = 48o22

A + B + C = 180o2. Dos rectas se cortan formando un ngulo de 135o, sabiendo que la recta final tiene unapendiente de - 3 calcular la pendiente de la recta final3 El ngulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta quepasa por

C(-2,-4) y D(9,1) es de 1352, hallar el valor de y

4. Hallar el ngulo agudo del paralelogramo cuyos vrtices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) yD(7,3)

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN5. Encontrar los ngulos interiores de los siguientes tringulos

a) A(2,5), B(8,-1) , C(.2,1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2)d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3)


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54

LA EXPRESION Ax + By + C

En cada punto P de un plano, una expresin de primer grado, como Ax + By + C, tienen un

valor definido que se obtiene poniendo las coordenadas de P en lugar de x e y. As, en elpunto (1, 2) la expresin tiene el valor A + 2B + C. Los puntos cuyas coordenadassatisfacen dicha expresin igualada a cero, constituyen la recta cuya ecuacin es Ax + By+ C = 0. Si el punto P se mueve lentamente, el valor de la expresin cambiacontinuamente, solamente puede cambiar de signo pasando por cero. Si el punto P nocruza la recta, la expresin no se anula y por lo tanto no cambia de signo. De esto sededuce que para todos los puntos situados a un lado de la recta Ax + By + C = 0, laexpresin Ax + By + C tiene el mismo signo.

Ejemplo 1.Determnese la regin en la cualx + y -1 > 0. La ecuacin x + y -1 = 0

representa la recta LK (fig. 1). Luego entodos los puntos situados a un lado de LK, laexpresin tiene el mismo signo. En (1, 1)resulta x + y - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 que es unvalor positivo. En la figura puede verse que(1, 1) queda encima de LK. De esto resultaque todos los puntos situados por encima deLK, x + y - 1 es positiva. En el origen decoordenadas resultax + y - 1 = 0 + 0 - 1 = -1que es un valor negativo. El origen queda debajo de la recta, y por consiguiente, en todos

los puntos situados por debajo de LK, la expresin x + y - 1 es negativa, de modo que laregin en la que x + y + 1 > 0, es parte del plano por encima de la recta LK.Ejemplo 2. Determnese la regin en que x + y > 0, x + 2y - 2 < 0 y x - y - 1 < 0.

En la figura 2 las rectas x + y = 0, x + 2y - 2 = 0y x - y - 1 = 0 estn sealadas (1), (2) y (3)respectivamente. Procediendo como en elejemplo anterior se encontrar que x + y > 0queda encima de (1), x + 2 y - 2 < 0 quedadebajo de (2), y x - y - 1 < 0 queda a laizquierda de (3). Por consiguiente las tres

desigualdades subsisten en el interior deltringulo sombreado, que es la parte comn delas tres regiones.1.2.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNARECTA

X

Y

+ + + + + + + + +

+ +- + + + + + + + + +

+- + + + + + + + +

+ +- - - + + + + + + + +

+- - - + + + + + + +

L

KFig. 1

X

( 1

( -1 -

( 2

( 1, 1

( 3Y

Fi . 2


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55

A2+B2Cos = B

13

2x - 3y - 6.

Se desea encontrar la distancia de un punto P1(x1, y1) a la recta LK cuya ecuacin es Ax +By + C = 0. En la figura 3, sea MP1 perpendicular al eje de las x, y DP1perpendicular a larecta LK. Sea el ngulo formado por OX y LK. Se verifica

(a) DP1=Q P1 cos = ( MP1-MQ) cos

En la figura se ve que

(b) MP1= y1Como Q est sobre la recta LK, sus coordenadas, x1 y MQ tienen que satisfacer laecuacin de LK. Por lo tanto A x1+ B . MQ + C = 0 , y por consiguiente

(c) MQ = - A x1+ C .B

La pendiente de LK es tg = - A / B,luego

(d)

Sustituyendo los valores de (b), (c) y (d) en(a), resulta

(1)

La ecuacin (1) nos da la distancia del punto (x1, y1) a la recta cuya ecuacin es Ax + By+ C = 0. Puesto que la distancia es positiva, el signo del denominador debe ser de talnaturaleza que el resultado sea positivo.

Ejemplo 1. Bsquese la distancia del punto (1, 2) a la recta 2x - 3y = 6. La distancia decualquier punto (x1, y1) a la recta es, de acuerdo con (1)

DP =

Luego la distancia de (1, 2) es

DP =

A2+B2

DP1= Ax1 + By1+ C = 0

13 1313 1313 13

2(1) - 3(2) - 6 = 10

)

L

Y

DQ

B

X

K

M

O

Fig. 3

X

Y

( 1 )

( 3 ) A

B

C

( 2 )

O

Fi . 4


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56

2 2

Ejemplo 2. Las rectas (1) y - x - 1 = 0, (2)x + y - 2 = 0 y (3)x + 2y + 2 = 0 determinan untringulo ABC. Determnese la bisectriz del ngulo A formado por los lados (1) y (2) (fig. 4).

La bisectriz es el lugar geomtrico de los puntos equidistantes de las rectas (1) y (2). Si (x,y) es un punto de la bisectriz, x e y tienen que satisfacer la ecuacin

Deben elegirse los signos de modo que estas expresiones resulten positivas para lospuntos interiores del tringulo. En el origen de coordenadas, estas expresiones son

-1 / ( ), -2 / ( ). Por lo tanto, tiene que adoptarse el signo negativo en ambosdenominadores, y la bisectriz que se busca ser.

Simplificando esta expresin, resulta x =


I. Resuelve y grafica cada ejercicio.

1) Hallar la distancia de la recta 4x5y + 10 = 0al punto P(3, 2).

2) Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2 y + 7 = 0al punto P (-1, 4)

3) Hallar la distancia de la recta 5x + 12 y12= 0 al punto P (3, -2)

4) Hallar la distancia dirigida de la recta 12x- 5 y + 3 = 0 al punto P(6, 4)

Ahora, mide muy bien tu distancia y ubcate en un punto de tu saln de clases para

realizar:

ACTIVIDADES DE EVALUACINI. Hallar la distancia de la recta al punto que se indica.

1. 3xy + 6 = 0 , B(2 , -1)

2. 2x + y10 = 0 , C(-3 , 5)

3. x + 2y5 = 0 , D(6 , 8)

4. 2x + 3y6 = 0 , E(3 , 4)

2 22 2

y - x - 1 = x + y -

2

2 2

y - x - 1 = x + y -

2


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A continuacin estudiaremos la lnea recta y algunas curvas que son de gran importancia

en matemticas y que te servirn de apoyo para otras materias.

Iniciaremos con la lnea recta.


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TALLER No. 2. LA LINEA RECTA

Temas a cubrir:a) Pendiente y ngulo de inclinacin (Definicin, Pendiente y Angulo de inclinacin)b) Paralelismo y perpendicularidad (lneas que forman rectas paralelas,

demostracin a travs de pendientes, lneas que son perpendiculares ocruzadas)c) Ecuacin de una recta

- Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen- Caso 2: Punto-Pendiente

Metodologa: Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos Sesin de preguntas y respuestas Planteo de situaciones problemticas ideales o reales Algoritmos de solucin Repaso de conceptos anteriores

a) Pendiente y ngulo de inclinacin

Se le denomina pendiente ( m ) de una lnea recta a la relacin que existe entre laelevacin (el cambio en la variable dependientey ) y el avance ( el cambio en lavariableindependiente x )

A partir de los datos podemos hacer los siguientes clculos:

e = y2y1= 5 - 2 = 3

a = x2x1= 62 = 4

Segn la definicin anterior sera entonces:

12

12

xx

yy

avance

elevacinm

En el ejemplo anterior, la pendiente ser entonces:

m= = 0.75

Esto se puede leer as: Por cada unidad que se avance de x, se eleva tres unidades de y

Ejercicios: Calcula la pendiente de los puntos del ejercicio anterior:

1. (5, 4), (6, 14)

e

P2(x2, y2

P1(x1, y1

a


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59

2. (3, 1), (1, -6)3. (-1, -2), (-4, -7)

A partir de lo anterior, podemos construir otra definicin:

Se le llama ngulo de inclinacin a la pendiente convertida a unidades trigonomtricas dela tangenteSi estamos utilizando una calculadora cientfica, el proceso para calcular el ngulo deinclinacin, puede realizarse de la siguiente forma suponiendo que cada par de corchetesrepresenta la secuencia de teclas que debern de oprimirse:

Nota: En algunas calculadoras la tecla [Shift] es lo mismo que [2nd] y la tecla [ ' "](grados, minutos y segundos) equivale a la tecla [DMS] (degree, minutes and seconds)

b) Paralelismo y perpendicularidad

Definiciones:

Paralelas:Son dos rectas cuyas pendientes son igualesPerpediculares: Son dos rectas cuyas pendientes son inversas y con signo contrario.Dicho de otro modo, al cruzarse forman 4 angulos rectos de 90.

Con base en dichas definiciones podemos escribir con smbolos dichas condiciones:Paralelas: m1= m2

Perpendiculares:2

1 1m

m m1 m2= -1

Ejercicios:

Utilizando las frmulas anteriores determina si las rectas formadas por los pares de puntosson paralelas o perpendiculares:

,,,43 ShiftTanShift


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a) L1(-5 , 0) (0 , 5) y L2(-2,2) (0, 0)b) L1(0, 10) (0, -10) y L2(1, 2) (10, 2)c) L1(0, 3), (2 , 0) y L2(-2, 0) (0, -3)

Repaso de co nceptos ut i l izados en esta sesin:1. Pendiente2. Angulo de inclinacin3. Paralelismo: condiciones para que dos rectas sean paralelas4. Perpendicularidad: condiciones para que dos rectas sean perpendiculares


Temas a cubrir:a) Ecuacin de una recta

- Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen- Caso 2: Punto-Pendiente

Metodologa: Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnos Sesin de preguntas y respuestas Planteo de situaciones problemticas ideales o reales Algoritmos de solucin

Definicin:a) Ecuacin de una rectaSe dice as de una expresin algebraica que muestra la correspondencia o relacin entreuna variable dependiente y (la ordenada) y una variable independiente o x (la absisa),de tal forma que esta expresin permite describir toda la recta y cada uno de sus puntos.

Algebraicamente esto es:y = f(x) que se lee: Ye es una funcin de equis

Tambin, y segn sea el caso, se puede presentar la misma ecuacin igualada a cerocolocando primero a las equis, luego a las yes, y por ltimo el valor de la constante comopor ejemplo:

3x +4y -5 = 0

Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen

Se puede definir la ecuacin de una recta disponiendo simplemente de su pendiente y laordenada (b) en el origen (el valor de ypor donde pasa la lnea recta al cortar el eje de lasordenadas).


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61

Ejemplo1: Definir la ecuacin de una lnea recta dados:m= 0.75b= 3

En este caso, convertimos la fraccin decimal (0.75) en una fraccin comn ysimplificamos hasta donde sea posible:

Esta pendiente nos indica que por cada 4 unidades de avance, hay unaelevacin de 3 unidades

Por otra parte el valor de b=3 nos indica que la lnea recta corta al eje de las ordenadasen 3. Grficamente esto sera as:

Matemticamente, la pendiente nos indica quepor cada unidad que cambie el valor de y la xlo hace en 0.75 +3, es decir:

34

3 xy

Para comprobar lo anterior, simplemente damos valores a la xy los cotejamos con los dey:

Por ejemplo:

X=0 Tal como se puede comprobar en la grfica anterior

X=4

Ejemplo 2: Determine la ecuacin de la recta dados m=3, b=0.5

4

3

20

15

100

75

4 Unidades

Intersecci

3 Unidades

33)0(4

3y

6333)4(

4

3y


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62

x

y

Este caso es ms fcil si retomamos el esquema anterior. Observa de dicho ejemplo quela pendiente transformada en fraccin comn multiplicaba a la x, y el valor de ysimplemente se colocaba al final de la ecuacin respetando su signo. Si asignamos elvalor de la ordenada a la variable b, la ecuacin pendiente-ordenada al origen se simbolizaas:

Y = mx +b

Por tanto, nuestro problema ya resuelto sera: y = 3x + 0.5

Ejercicio: Sustituye algunos valores de xpara que obtengas los valores de la y . En elespacio que se d a continuacin grafica dichos puntos y comprueba si la formulacin escorrecta:

Caso 2: Ecuacin Punto-pendiente:

Similar al caso anterior, podemos definir este tipo de ecuaciones a partir de dos datos queson un punto P1(x1,y1)y la pendiente. Si utilizamos como referencia un punto cualquieraP(x,y), la pendiente entre estos dos puntos estara dada por:


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63

1

11

xx

yym

Puesto que esta pendiente es igual que la otra que es dada como dato, al

igualar dichas pendientes tendramos:

1

1

1xxyymm

Despejando dicha ecuacin se tiene entonces:

)( 11 xxmyy

que es la frmula Punto-pendiente

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta dados P(3,3) y m=5

Utilizando la frmula obtenida anteriormente, esto sera as:

y-3=5(x-3)y-3=5x-15 Ordenando trminos e igualando a cero:

5x-y-12=0 que es la ecuacin de la recta que se busca

Ejercicios:Encuentra la ecuacin de la recta para cada caso:

A)1. m=3 , b = -62. m= -5 , b= 23. m=0 , b= 34. m=7 , b= 2/35. m= -3/5 , b = -8


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B)

1. (0, 3) , m=12. (-3, -5), m=03. (0, -4), m= -2/34. (-1, -1), m= -5/7

5. (-5, -5), m= -1/2

Revisin de conceptos:

Escribe una defincin propia de los siguientes conceptos:

a) Punto-Pendienteb) Pendiente-Ordenada en el origenc) Variable independiented) Variable dependientee) Funcin de una variable

Ejercicio: Grafica las ecuaciones obtenidas en los incisos anteriores este espacio:

x

y

Aplicaciones:


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1. El gerente de un negocio, ha determinado que los costos de su empresa en el nivel deproduccin 0 Unidades, es de $200.00 (Costos Fijos). Si al vender 300 unidades loscostos se incrementan en $280.00 (Costos variables), determine la ecuacin quedefine la lnea de costos variables y calcule el costo de produccin de la empresacuando se produzcan 1000 unidades

2. Si el punto de equilibrio operativo de una empresa se alcanza cuando se producen 500unidades a $480.00, y por cada 100 unidades ms de venta los costos aumentan en 60unidades, Cul sera el nivel de costo cuando se alcance un nivel de produccin de1000 unidades?


Temas a cubrir:Ecuacin de una recta

- Caso 3: Ecuacin Cartesiana- Caso 4: Reducida a absisa y ordenada en el origen

Metodologa:b) Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnosc) Sesin de preguntas y respuestasd) Planteo de situaciones problemticas ideales o realese) Algoritmos de solucin

Conceptos nuevos:

Reducida a absisa: Se trata de una forma de expresar que un punto de referencia solocontiene dentro del parntesis el valor de la absisa ( x ) y en la mayora de los textos se lerepresenta con una letra a, en el caso anlogo, cuando solo hay un valor de y, se leconoce como ord enada al origeny se representa con una letra b.De esta forma, un parde puntos con estas caractersticas no requiere expresarse en la forma normal entreparntesis, simplemente indicando el valor de a y de b.

Caso 3: Ecuacin Cartesiana

Se le llama as a esta forma de la recta porque se utiliza como base de clculo dos puntosP1(x1, y1) y P2(x2, y2). Basados en el esquema anterior, la forma punto pendiente, bastarcon igualar las dos pendientes, m1y m2para obtener dicha ecuacin, es decir:


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P(x,y)

P x1 1

P x2 2

m2

m1

Caso 4. Reducida a absisa, ordenada al origen (Simtrica)

Este caso se presenta cuando una lnea recta corta a ambos ejes xe y, por lo que suscoordenadas contendrn al menos un valor que sea cero. Ejemplo:

Utilizando la frmula anterior:

;aybSi1

entreDividiendo

)()0(

0

00

21

21

12

21

12

1

12

2

12

2112

212

2

1

2

1

2

xyx

x

y

y

yx

xy

yx

xy

yx

yx

yx

xyxyyx

xxyyx

x

y

x

y

xx

y

1a

x

b

y

Que es la frmula para una ecuacin reducida a absisa y ordenada al origen.

12

12

1

1

21

21

1

1

21

21

21

2

1

1

1

xx

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yy

mm

xx

yym

xx

yym

P2(x2,0)


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Revisin de conceptos:

a) Reducida a absisa-ordenada en el origenb) Cartesiana

Ejercicios: Determina y grafica la ecuacin de la recta dados:a) a = 4, b=-8b) a= -3 , b= -9c) a= 3/8 , b= -9/10d) a= 36/6 , b= 48/6e) P1(-2, -6), P2(-3, -3)f) P1(1, 1100), P2(5, 1700)g) Suponiendo que los datos anteriores son la grfica de poblacion de Pantanal, y el 5

representa el ao 2003, Calcule la poblacin estimada para el 2004 y el 2005.Aplicaciones:h) Un consumidor est dispuesto a pagar $5.00 por 2 Unidades de producto. Si el costo

aumenta a $6.00, el consumidor reduce a 1 Unidad su consumo. Determine laecuacin que define la lnea de indiferencia de dicho consumidor.

i) Tericamente, canto pagara al nivel cero de producto?Cul sera el nivel mximode consumo si el precio fuese cero?

TALLER No. 5. LA LINEA RECTATemas a cubrir:

j) Ecuacin de una recta Caso 5: Ecuacin General

Caso 6: Ecuacin normal

Metodologa:

f) Lectura en grupo del material bibliogrfico aportado por los alumnosg) Sesin de preguntas y respuestash) Planteo de situaciones problemticas ideales o realesi) Algoritmos de solucin

Conceptos nuevos:

Ecuacin general de la recta: Se le denomina as a la expresin matemtica de una

recta en donde se presentan de manera ordenada los tres elementos de una recta,

representados por tres coeficientes que son A, B y C. Ecuacin n ormal d e la recta: De

forma similar, los coeficientes aparecen ahora, como una expresin trigonomtrica

calculados a partir de un segmento OP, que sale desde el orgen hasta el punto P y el

ngulo que forma est dado por la expresin 0 w < 360


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68

Caso 5: Ecuacin General

Se le llama as a esta forma de la recta porque se obtiene de las formas anteriores. Es

decir, se generaliza partiendo de una ecuacin que ha sido igualada a cero, donde se

pueden observar que existen tres tipos de coeficientes: el primero para un valor de la x,el

cual se representa por una letraA, el segundo para un valor de la y,representado por una

letra B, as como un valor que representa la ordenada cuando el valor de x=0, que se

simboliza con una letra C.

Esto es: Ax + By + C = 0

Si despejamos el valor de ypodemos deducir dos frmulas ms: una para la pendiente (m)

y otra para el valor de la ordenada (b) :

B

Cb

B

Am y

Ejercicio:

1. De los problemas planteados para los talleres 3 y 4, expresa las respectivasecuaciones en su forma general indicando el valor de sus coeficientes, sus pendientesy sus ordenadas. Grafica ahora, en funcin de m y de b

2. Qu ventajas le ves a esta forma de expresar una lnea recta?a. Para graficar

b. Para expresar una relacin elevacin-avance y posicin respecto al eje y

Caso 6. Ecuacin normal

Si tomamos el segmento dado por los puntos OP de la recta que gira en sentido contrario

a las manecillas del reloj, los valores dexe yestn dados por:


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69

P(x,Y

X1= p(Cos w)

Y1= p(Sen w)

Senw

Cosw

m

o

Si ahora utilizamos la expresin para la forma Punto-Pendiente la expresin cambia a:

y-y1=m(x-x1)

1:quePuesto

0)(

:dofactorizanyceroaIgualando

)(

22

22

22

wCoswSen

wCoswSenpySenwxCosw

wpCosxCoswwpSenySenw

pCoswxSenw

CoswpSenwy

0 pySenwxCosw

Que es la frmula para una ecuacin normal.

Nota: Conviene para este caso, recordar la identidad fundamental Sen2x + Cos2x = 1obtenida a partir de un tringulo rectngulo donde a es el cateto adyacente, b el catetoopuesto y c la hipotenusa, as:

222

2

22

22

;1

1

)(y)(

cabc

ab

ca

cb

c

axCos

c

bxSen

Que es el teorema de Pitgoras


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70

Ejercicios:

1. Hallar la ecuacin y graficar la recta en la forma normal siendo:a. W=-130 , p = -4b. W=135 , p = -1

c. W=-15 , p= 02. Transforma las ecuaciones encontradas a la forma general y encuentra las pendientes

de dichas ecuaciones y el valor de su ordenada. Grafica.

x

y


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71

CNICAS

Las cnicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinacin. Es

importante tener en cuenta que son lneas curvas y no superficies.

Las cnicas son:

Circunferencia. Es la lnea que se obtiene al cortar un cono recto con un planoparalelo a la base.

Elipse. Es la lnea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.

Parbola.- Es la lnea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paraleloa una generatriz.


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72

Hiprbola.- Es la lnea que se observa al cortar un cono recto con un planoperpendicular a la base del mismo.

Si el plano que intersecta al cono perpendicularmente a la base contiene al vrtice, se

obtienen dos semirrectas que se cortan, tambin llamadas hiprbola degenerada.


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73

En estos momentos vas a iniciar un nuevo tema en tu transitar por esta

asignatura, tema que tiene aplicacin en diversos problemas de

construccin. distancias, etc. te invitamos a que comiences observando

la siguiente figura.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuacin y

determina si las lneas curvas son circunferencias o espirales.

Qu curva identificaste en el dibujo?

Cul es tu concepto de circunferencia?

Qu es lo que ves?


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74

Cul es tu concepto de crculo?

Qu relacin encuentras en estos conceptos?

El tema que estudiars ahora es la circunferencia, con los materiales

que tienes a la mano traza una circunfera y de acuerdo a lo realizado

rectifica o ratifica tu concepto de circunferencia. Ahora consulta tu gua

de trabajo y analiza los contenidos expuestos sobre la circunferencia

A partir de este ejemplo, analizaremos una de estas curvas, la circunferencia:

1.3 LA CIRCUNFERENCIA

1.3.1 Anlisis de la circunferencia.

Circunferencia.- Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos delplano que estn a una distancia igual a rdel centro O

C (O, r) se lee: circunferencia de centro O y radio r.

Crculo.- Se llama crculo al conjunto de puntos de una circunferencia,

ms los puntos interiores a la misma.

o r

O


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75

Aunque a veces se confunden ambos conceptos, observa que geomtricamente, lacircunferencia es una lnea; en cambio el crculo es una superficie.Posiciones relativas de un punto con respecto a una circunferencia.

A pertenece a la circunferencia

B interior a la circunferenciaC exterior a la circunferencia

A

O

B

C

Para determinar la grfica y la ecuacin algebraica que representa a una circunferencia,

es suficiente conocer su centro y su radio. La representacin geomtrica y su definicin,

nos conducen a la expresin algebraica que le corresponde.

x1. Con la ayuda de un comps traza una circunferencia, llamando centro al punto fijo y

asignndole las coordenadas C(h,k).

2. Toma un punto cualquiera de la circunferencia y llmale P(x,y)

P(x,y

C(h,

0


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76

3. Traza un segmento que una al centro C(h,k) con el punto P(x,y), llamndole radio ala distancia que los separa.

4. Definidas las coordenadas del centro y del punto, sustityelas en la frmula de ladistancia entre dos puntos.

P(x, y); C(h, k)

d PC = y1)2-(y2x1)2-(x2

r = k)2-(yh)2-(x

r =

de donde

r2= ( x - h)2+ (y - k)2

Al observar esta ecuacin notars que es de segundo grado con dos variables, en la cual

se requiere conocer el centro y el radio para determinar la ecuacin de cualquier

circunferencia.

Esta ecuacin es conocida como forma ordinaria de la circunferencia.

Ejemplo 1: Determinar la ecuacin de la circunferencia con centro en C(1,2) y radio

r=3

Sustituyendo los valores conocidos C(1, 2) y r = 3 en:

r2 = (x - h)2 + (y - k)2

r= 3

x0

r= 3

C(1,


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77

Tenemos:32 = (x - 1)2+ (y - 2)29 =(x22x + 1)+(y24y + 4 )

desarrollando binomios:

9 = x

2

2x + 1 + y

2

4y + 4al pasar todo a un solo lado y ordenando, nos queda:

x2+ y22x4y4 =0

cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, h=0 y k=0, se obtiene una forma

ms sencilla:

r2= (x - h)2+ (y - k)2

r2= (x - 0)2+ (y - 0)2

r2= x2+ y2

A esta forma se le conoce como forma cannica de la circunferencia.

Ejemplo 2:

Determinar la ecuacin de la circunferencia con centro C(0, 0) y radio r = 2

Sustituyendo los datos C(0, 0) y radio r=2.

(x - h)2 + (y - k)2= r2

(x - 0)2 + (y - 0)2= 22

desarrollando los binomios:x2+ y2= 4

o bien:

x

C(0, 0)

r=2


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78

x2+ y24 = 0

Observa que al conocer el centro y el radio de la circunferencia, es muy sencillo obtener la

ecuacin que la representa. En cualquier otra situacin donde se desconozcan esos

valores, se deben analizar las condiciones planteadas para obtenerlos.

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuacin de la circunferencia que tiene por dimetro el segmento formado por

los puntos:

M(1, 2) y N(-5, 4)

0

Como el segmento MN es el dimetro, su punto medio es el centro C(h, k) de la

circunferencia; al usar la frmula de punto medio, obtenemos:

h = x1+ x22

h = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2

k = y1+ y22

k = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

El radio r es la mitad de la distancia MN,

r = d MN = (1+5)2+ (2-4)2 = 36+4 = 40 = 4 x 10 = 2 10 = 102 2 2 2 2 2

por lo tanto, la ecuacin de la circunferencia es:

(x + 2)2+ (y - 3)2 = 10

Forma general de la ecuacin de la circunferencia

Al desarrollar los binomios de la forma ordinaria, para la circunferencia (x-h)2+(y-k)2 = r2se obtiene:

n(-5, 4)

m(1, 2)

y

x


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x2+ y22hx2ky + h2+ k2r2= 0

Si se hacen las sustituciones de2h por D, -2k por E y h2+ k2r2por F; la ecuacin

queda:

x2+ y2+ Dx + Ey + F =0Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuacin a la que se

llama forma general de la ecuacin de la circunferencia.

Para conocer los elementos de una circunferencia dada su ecuacin general, necesitamos

pasar de la forma general a la forma ordinaria, desarrollando los siguientes pasos:

1.- Ordenar los trminos de la forma general, agrupando a las variables iguales:

(x2

+ Dx) + (y2

+ Ey) = -F

2.- Completar los trinomios cuadrados perfectos, agregando:

D2 + E24 4

a ambos lados de la igualdad:

(x2+ Dx + (D2/ 4)) + (y2+ Ey + (E2/ 4)) = D2+ E24F4

3.- Transformar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(x + D/2)2+ (y + E/2)2= D2+ E24F4

quedando as expresada en la forma ordinaria, donde el centro y el radio son en este caso:

C ( -D/2 , E/2) Y r = D2+ E24F4

Recuerda que todo nmero real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero,

por lo que la forma ordinaria expresada como (x-h)2+ (y-k)2= r2 o bien como:

(x- D/2)2 + (yE/2)2= D2+ E24F4


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x

C C= = C(-2,3)

Representa a la ecuacin de una circunferencia slo si el miembro del lado derecho, que

representa al radio, es mayor que cero.

En el caso en que el radio sea igual a cero, la ecuacin representa a un punto de

coordenadas (h,k).

Cuando el radio es menor que cero, la ecuacin no representa ningn punto real.Ejemplo. Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuacin a:

x2+ y2+ 4x6y3 = 0

Aplicando las frmulas anteriores:

r

0

D E 4 (-6)2 , 2 2 , 2

r = D2+ E24F = 42 + (6)24 (-3) = 16 = 44 4

Por otro lado, si seguimos los pasos empleados para transformar la forma general a laforma ordinaria, tenemos:

1. (x2+ 4x) + (y26y) = 3

2. x2+ 4x + 4 + y26y + 9 = 3 + 4 + 9

3. (x + 2)2+ (y3)2 = 16

y

C(-2,3)

r


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De donde el centro es el punto C(-2,3) y el radio es r = 4, obteniendo los mismosresultados que por el mtodo anterior.

1.3.2 Relacin entre circunferencia y recta

La geometra plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tiene un solopunto en comn con dicha curva. En general, la definicin anterior no es aplicable paratodas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente en un puntocorta a la curva en uno o ms puntos distintos.

Sea la ecuacin de una curva plana cualquiera f (x, y ) = 0. Sean P1(x1, y1), P2(x2, y2),dospuntos distintos cualesquiera de la curva, de tal manera que el arco de curva que los unesea continuo, es decir, el P2 se puede aproximar a P1permaneciendo siempre sobre lacurva.

tg Sec Sec Sec Sec

p2 p2 P2(x2,y2)

p2

0

Sea una recta secante que pasa por P1 y P2de la curva, en donde P2es el punto que semueve sobre la curva hacia P1y a medida que el punto mvil se acerca al punto fijo, larecta secante gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al punto

fijo; en general, tiende a una posicin lmite representada por la recta P1T que se definecomo la tangente a la curva en el punto P1, que particularmente se denomina punto detangencia. La pendiente de la curva f(x, y) = 0 en el punto P1se define como lapend iente de la tangent e a la curvaen P1.

(x,y)=0

P1(x1,y

y


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Tangente a una circunferencia

La tangente a una circunferencia es la perpendicular al radio trazado al punto detangencia.La ecuacin de la tangente a una circunferencia queda perfectamente determinada si se

conocen su pendiente y el punto de tangencia o algn otro de sus puntos.Cuando se conoce cualquiera de dichos datos, el otro se determinar a partir de lascondiciones dadas en el problema.

Por lo anterior, consideramos los siguientes casos.

1. Determinar la ecuacin de la tangente a una circunferencia dada en un punto dado detangencia.

2. Determinar la ecuacin de la tangente a una circunferencia dada y que tiene unapendiente dada.

3. Determinar la ecuacin de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por unpunto exterior dado.

El mtodo de solucin para cada uno de estos casos es muy semejante, en cadaproblema se presenta una condicin y con base en ello, se escribe la ecuacin de lafamilia de rectas que cumplan con dicha condicin; la ecuacin resultante contiene unparmetro que se calcula por medio de la condicin de tangencia.

Ejemplo 1. Determinar la ecuacin de la recta tangente trazada del punto A (11, 4) a lacircunferencia x2 + y28x6y = 0 (doble solucin).

Al aplicar la ecuacin punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuacin de lafamilia de rectas que pasan por el punto dado A (11, 4), es:

yy1 = m (xx1)y4 = m (x11)

En la ecuacin, mrepresenta la pendiente de la recta tangente por determinar; al despejarcon respecto a y, tenemos:

y4 = m (x11)y4 = m x11m

y = mx11m + 4

Al sustituir esta igualdad en la ecuacin de la circunferencia, resulta:

x2+ y28x6y = 0x2+ (mx11m + 4)28x6 (mx11m+ 4) = 0

x2+ m2x2+ 121m2+ 1622m2x + 8mx88m8x6mx +66 m24 = 0x2+ m2x222m2x + 2mx8x+121m222m8 = 0


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(1 + m2)x2(22m22m+ 8)x+ (121m222m8) = 0Esta ltima ecuacin est escrita en la forma ax2+ bx+ c= 0; si se aplica la condicin detangencia, debemos comprobar que b24ac= 0, es decir:

- (22m22m+ 8)24 (1 + m2) (121m222m8) = 0484m4+ 4m2 + 6488m3+ 352m232m484m2+ 88m + 32484m4

+ 88m

3

+ 32m

2

= 0-96m2+ 56m+ 96 = 0

Al simplificar tenemos:

-12m2+ 7m+ 12 = 0

Al multiplicar por (-1), tenemos:

12m27m12 = 0

Al factorizar: (4m+ 3) (3m4) = 04m+ 3 = 0 3m4 = 0

m1 = - 3 m2= 44 3

Las ecuaciones de las tangentes son:

Para m1= - 34

y4 = m1(x11)y4 = - 3 (x11)

43x+ 4y49 = 0

Para m2= 43

y4 = m2(x11)

y4 = 4 (x11)3

4x3y32 = 0

Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A(11, 4) a la circunferencia x 2+ y28x6y = 0, son: 3x + 4y49 = 0 y 4x3y32 = 0.

Ejemplo 2:


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Determinar las ecuaciones de la tangente a la circunferencia x2+ y214x10y + 49 = 0 en el punto A (4, 1).Al aplicar la ecuacin punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuacin de la familia

de rectas que pasan por el punto dado A (4, 1), es:

yy1= m (xx1)y1 = m (x4)

Si se despeja para y, tenemos:y= mx4m+ 1

Al sustituir esta igualdad en la ecuacin de la circunferencia, resulta:

x2+ y214x10y + 49 = 0x2+ (mx4m + 1)214x10 (mx4m+ 1) + 49 = 0

x2

+ m2

x2

+ 16m2

+ 1 - 8m2

x+ 2mx8m14x - 10 mx + 40m10 + 49 = 0x2+ m2x28m2x- 8mx14x+16m2+ 32m+ 40 = 0

(1 + m2)x2(8m2+ 8m+ 14)x+ (16m2+ 32m + 40) = 0

Esta ltima ecuacin est escrita en la forma ax2+ bx+ c= 0; al aplicar la condicin detangencia, debemos comprobar que b24ac= 0, es decir:

- (8m28m+ 14)24 (1 + m2) (16m2 + 32m+ 40) = 04m4+ 64m2 + 196 + 128m3+ 224m2+ 224m64m2- 128m - 160

- 64m4- 128m3160 m2= 064m2+ 96m+ 36 = 0

Al simplificar:

16m2+ 24m+ 9 = 0

Al factorizar:(4m+ 3) (4m+ 3) = 0

4m+ 3 = 0 4m+ 3 = 0m1= - 3 m2= - 3

4 4

La ecuacin de la tangente es:

y1 = m (x4)y1= - 3 (x4)

44y4 = -3x+ 123x+4y16 = 0


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1.3.3 Ecuacin de la circunferencia a partir de tres condiciones.

Analizando las formas ordinaria y general de la ecuacin de la circunferencia, notarn que

hay tres valores independientes: h, k y r en la primera y D, E, F en la segunda.Significa que, como toda circunferencia, puede plantearse analticamente con cualquierade las formas mencionadas, slo se requiere encontrar el valor de tres constantes. Esto selogra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condicionesindependientes.

Geomtricamente, el trazo de la circunferencia requiere tambin de tres condicionesindependientes para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser tres puntos,dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un tringulo inscritoo circunscrito a una circunferencia, etc.

El objetivo ser plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistemas deecuaciones.

Ejemplo 1:Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2, - 3), B(4, - 1) y C(2, 1).

Solucin: como la circunferencia pasa por estos puntos, cada uno de ellos debesatisfacer a la frmula general, por lo cual se sustituyen x y y en la ecuacin por losvalores de las coordenadas de los puntos.

Para A(2, -3) queda 22+ (-3)2+ 2D - 3E + F = 0para B(4, -1) queda 42+ (-1)2+ 4D1E + F = 0para C(2, 1) queda 22+ 12+ 2D + 1E + F = 0Formndose un sistema 3x3 que ya reducido se expresa:

2D3E + F = - 134DE + F = - 172D + E + F = -5

Al resolver este sistema con uno de los mtodos ya estudiados, en cursos anteriores, nosquedan los siguientes resultados.

D = -4 E = 2 F = 1

sustituyendo estos valores en la forma general:

x2 + y2+ Dx + Ey +F = 0

obtenemos:


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C 2 -1

r = 2

X2+ y24x + 2y + 1 = 0

que es la ecuacin de la circunferencia buscada. Su centro y su radio estn dados por:

h= - D k = - E y r= D2+ E24F

2 2 4

h= - (-4) = 2 k = - 2 = -1 y r= 16 + 44 = 2

2 2 4

de modo que, la grfica correspondiente es:

(Ver figura ).

Y

| |0 x


1. Encuentra la ecuacin de la circunferencia en la forma ordinaria y redcela a la forma

general.

a) Centro en (-6,4), radio 8.b) Centro en (-2, -5), radio 4.

2. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) (x6)2+ (y + 4)2= 25b) (x + 3)2+ (y1)

geometria analitica saeta.pdf

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