capitulo 5, optimo del or

8/14/2019 Capitulo 5, Optimo Del or

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Captulo 5

ptimo del Consumidor


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Racionalidad Econmica

x El principal postulado acerca delcomportamiento del consumidordice que escoje la mejor alternativadel conjunto de alternativasfactibles.

x Las alternativas disponibles

constituyen el conjunto factible.x Cul es la mejor canasta del

conjunto factible?


3/74

x1

x2


4/74

x1

x2Utilidad


5/74

Utilidad x2

x1


6/74

x1

x2

Utilidad


7/74

Utilidad

x1

x2


8/74

Utilidad

x1

x2


9/74

Utilidad

x1

x2


10/74

Utilidad

x1

x2


11/74

Utilidad

x1

x2

Factible, pero no es lamejor de las alternativasfactibles.


12/74x1

x2

Utilidad La mejor de lascanastas factibles

Factible, pero no es lamejor de las alternativasfactibles.


13/74x1

x2

Utilidad


14/74

Utilidad

x1

x2


15/74

Utilidad

x1

x2


16/74

Utilidadx

1

x2


17/74x1

x2


18/74x1

x2

Canastasfactibles


19/74x1

x2

Canastasfactibles


20/74x1

x2

Canastas que sonms preferidas

Canastasfactibles


21/74

x1

x2

Canastasfactibles

Canastas que sonms preferidas


22/74

x1

x2

x1*

x2*


23/74

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es la mejorDe las canastafactibles.


24/74

x La mejor de las canastas factibles esconocida como la DEMANDAORDINARIA a los precios y el

ingreso dados.x La demanda ordinaria se denota por

x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m).


25/74

x Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la canastademandada es INTERIOR.

x

Si se compra (x1*,x2*) el costo es mentonces se agota el ingreso.


26/74

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior.

(x1*,x2*) agota el ingreso.


27/74

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior.(a) (x1*,x2*) agota elingreso:p1x1* + p2x2* = m.


28/74

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior .(b) la pendiente de lacurva de indiferencia en(x1*,x2*) es igual a la

pendiente de la restriccinde presupuesto.


29/74

x

(x1*,x2*) satisface dos condiciones:x (a) el ingreso se agota:

p1x1* + p2x2* = m

x (b) la pendiente de la restriccin depresupuesto, -p1/p2, y la pendientede la curva de indiferencia que

contiene a (x1*,x2*) son iguales en(x1*,x2*).


30/74

Estimando la Demanda Ordinaria

x Cmo podemos emplear estainformacin para poder encontrarla canasta (x1*,x2*) para los precios

p1, p2 y el ingreso m?


31/74

Estimando la demanda ordinara. Ejemplopara una Cobb Douglas

x Supongamos que las preferencias delconsumidor son del tipo Cobb-Douglas.

U x x x xa b( , )1 2 1 2


32/74

x En consecuencia:

ba xaxxUTUMg

2

1

1

1

1

==

1

21

2

2

==baxbx

xUTUMg


33/74

xY la TMgS:

./

/

1

2

1

21

2

1

1

2

1

1

2

bx

ax

xbx

xax

xTU

xUT

dx

dx

TMgS ba

ba

====


34/74

x En (x1*,x2*), se debe cumplir queTMgS = -p1/p2 , en consecuencia


35/74

= =axbx

p

px

bp

apx2

1

1

22

1

21

*

*

* *. (A)


36/74

xY sabemos que (x1*,x2*) agota elpresupuesto del consumidor:

p x p x m1 1 2 2* * .= (B)


37/74

x En consecuencia, sabemos que:

xbp

ap

x21

2

1* *= (A)

p x p x m1 1 2 2* *

.= (B)


38/74

xbp

ap

x21

2

1* *= (A)

p x p x m1 1 2 2* *

.= (B)Sustituyendo


39/74

xbp

apx2

1

21

* *= (A)p x p x m1 1 2 2

* *

.= (B)p x p

bp

apx m1 1 2

1

2

1* *

.=y tenemos:y simplificando .


40/74

xam

a b p1

1

*

( )

.+


41/74

y sustituyendo este valor de x1* enp x p x m1 1 2 2

* *+ =Obtenemos:

xam

a b p1

1

*

( ).+


42/74

xbm

a b p2 2

*

( ).

+


43/74

As hemos descubierto que la mejor

canasta factible para el consumidor conpreferencias Cobb-Douglas es

( , )( )

,( )

.* * ( )x x am

a b p

bm

a b p1 2

1 2

= + +


44/74

x1

x2

xam

a b p1 1

*

( )= +

xbm

a b p

2

2

*

( )

=+

U x x x xa b( , )1 2 1 2


45/74

Restricciones para el ptimo del consumidor

x Cuando x1* > 0 y x

2* > 0

y (x1*,x2*) agota el ingreso,y la curva de indiferencia tiene una formaregular, no especial , la demanda ordinaria

se obtiene mediante:x (a) p1x1* + p2x2* = m

x (b) la pendiente de la restriccin depresupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la

curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*)son iguales.


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x Pero, y si x1* = 0?

x Pero y si x2* = 0?

x Si x1* = 0 x2* = 0 entonces lademanda ordinaria (x1*,x2*) es unasolucin de esquina.

j l d l i d i


47/74

Ejemplo de soluciones de esquina el caso de sustitutos perfectos

x1

x2TMgS = -1


48/74

x1

x2

pendiente = -p1/p2con p1 > p2.

TMgS = -1


49/74

x1

x2TMgS = -1



50/74

x1

x2

xy

p

2

2

* =

x1 0* =

TMgS = -1



51/74

x1

x2

xy

p1

1

* =x2 0

* =pendiente = -p1/p2con p1 < p2.

TMgS = -1


52/74

En consecuencia, si la funcin de utilidad

es = x1 + x2, la canasta ptima es (x1*,x2*)donde:

= 0,py

)x,x(1

*2*1

y

= 2*2*1 py,0)x,x(

si p1 < p2

si p1 > p2.


53/74

x1

x2TMgS = -1

pendiente = -p1/p2

con p1 = p2.

y

p1

y

p2


54/74

x1

x2Todas las canastas en larestriccin de presupuestoson canastas ptimas sip1 = p2.

y

p2

y

p1

Ej l d l i d i l


55/74

Ejemplo de soluciones de esquina elcaso de las preferencias no convexas

x1

x2 mejor


56/74

x1

x2


57/74

x1

x2Cul es la canasta ptima?


58/74

x1

x2

La canasta ptima


59/74

Ej l d l i t l


60/74

Ejemplos de soluciones en punta elcaso de complementarios perfectos

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1


61/74

x1

x2

TMgS = 0

U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1


62/74

x1

x2

TMgS = -

TMgS = 0

U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1


63/74

x1

x2

TMgS es indefinida

U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

TMgS = -

TMgS = 0


64/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1


65/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

Cal es la canasta ptima?


66/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

La canasta ptima


67/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*x2*


68/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*x2*

(a) p1x1* + p2x2* = m


69/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*x2*

(a) p1x1* + p2x2* = m

(b) x2* = ax1*


70/74

(a) p1x1* + p2x2* = m;

(b) x2* = ax1*.


71/74

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

Substituyendo, tenemos

p1x1* + p2ax1* = m


72/74

21

*

1 app

m

x +=


73/74

Y sustituyendo este resultadopara obtener x2*:

.

21

*

2app

amx+

=


74/74

x1

x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}

x2 = ax1

xm

p ap1

1 2

* =

x

am

p ap

2

1 2

* =+

capitulo 5, optimo del or

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