宇宙物理学－相対性理論、重力、恒星、ビッグ・バン－

藤本正行

理学研究院物理学部門・理学院宇宙理学専攻

宇宙物理学研究室

2008年度現代物理学概論Ｉ

2009年1月19日、26日、2月２日

§1. INTRODUCTION

Load Kelvin(1824-1907)の述懐

• 物理学は終わった

力学（解析力学）、熱力学、

電磁気学、統計力学

古典物理学の完成

• 残った些細な問題

1. 真空の比熱の発散の問題2. 太陽のエネルギー問題

William Thomson

⇒ 量子力学

⇒相対性理論時空構造、重力の理論

20世紀の物理学＝ 量子論と相対論

20世紀の物理学の成果

自然の階層構造の発見自然は異なる階層で構成され， それぞれの階層に独自の法則性超微細： 原子→原子核→素粒子超巨大： 天体→宇宙

４つの基本的な力の発見重力相互作用

電磁気相互作用強い相互作用原子核の構造，クォークに作用

弱い相互作用クォークやレプトンに作用，素粒子同士の変換

ビッグ・バンの発見一般相対論 （いれもの）

＋量子論 (内部の状態）

約１５０億年の宇宙膨張，

高温高密度からの物質階層の進化

量子論⇒微視的な世界１９００ プ ランクの量子仮説１９０５ アインシュタインの光量子仮説１９２７ ハイゼンベルグの不確定性原理１９３２ 中性子の発見 →原子核の物理１９６４ クォーク理論の提唱 →素粒子の物理１９６７ 電弱統一理論→素粒子の標準理論２０００ ニュートリノの質量の発見→標準理論

の超える新物理

相対性理論⇒時空構造の発見１９０５ 特殊相対性理論 （アインシュタイン）→ 運動する時計の遅れ、物差の収縮→エネルギーと質量の等価

１９１５ 一般相対性理論 （アインシュタイン）１９１６ → 物質分布によって時間と空間の

構造が決まる１９２９ 宇宙膨張 （ハッブル）１９４８ ビッグ・バンの提唱 （ガモフ）１９６３ 宇宙の背景輻射の発見１９８０代 ブラック・ホール候補の発見

恒星のエネルギー問題

太陽のエネルギー放出率： L = ３．９ｘ１０２６ J/s

太陽の年齢=４６億年 ←放射性同位元素

[discovery of radioactivity of U](1897: A. H. Becquerel)

全消費エネルギー

E = ５．７ｘ１０４３ Ｊ

= ２．９ｘ１０１３ J/ Kg （単位質量あたり）

（ガソリン発熱量４．７×１０７J / Kgの約１００万倍）

重力エネルギーの解放

M R

重力エネルギー

⇒運動エネルギー

⇒衝突し熱エネルギー

g

g g

30

8

7

11

: =2 10 Kg

: =7 10 m

= 1.9 10 J/Kg

= 3 10 years

M

R

GME

R

E Lτ

×

×

×

= ×

太陽の質量

半径

＝

Kelvin-Helmholtz 収縮⇒原始星＝生まれたての星

§2. 特殊相対性理

相対性原理• Newton の力学

Galileo変換

• Galileo の相対性原理Newtonの運動法則は等速度運動する慣性系では不変 (加速度項）

⇒慣性系で物理法則は同じ

ただし、速度は座標系による

0'

'

t

t t

= +=

x x v

O O’

S系 S’系

V０

0

Newton's equations of motion

' ''

', '

'

'd dm m

d t d tm m

= +

= = =

= =

f f

f

v v

f

v

v v

V０

電磁気学

• Maxwellの方程式⇒電磁波（=光）の発見

電磁波の伝播速度 = 光速

を定数として含む

⇔ Galileoの相対性原理を破る?

運動している系では光速が違う?

電磁波は横波⇒復元力が必要

⇒固体中を伝播 ⇔液体・気体中は縦波

⇒エーテル？中を伝播

Maxwell Equations

nabla vector operator)

( , , )

divergence of vector

.

rotaion of

,

yx z

y z

xz

yx

x y z

EE E

x y z

E E

z y

EE

x zEE

y x

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

∂⎛ ⎞∂−⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂∂∇× = −⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

∂⎜ ⎟∂−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

E

E

E

E

i

（

0 0

0 0

0

0

00

( )

( / )

: , : ,

: , :

1/ :

: , :

/

/

0

( / ) 0

c

t

t

t

ε µ

ε

µ ε

ρ

ρρ

µ

µ

ε∇ =∇× = −

⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪ + ∂ ∂⎩

∂ ∂∇ =

∂ ∇

∇

=

=

∂

× =

E B J

E

E B

E

B

B J

J

i

i

i付加項 変位電流

定数 真空の誘電率 真空の透

電場 磁場 電荷密度 電

電荷の保存則:

流密

磁率

度

＋

光速

Michelson – Morley の実験

太陽銀河系中心の周りを200km/sで回転

地球の公転速度30km/s

運動方向に平行な方向と垂直な方向では光速が違う？地球の公転運動を使って検証

速度V

光源

測定器

地球の公転速度の場合V/c=~0.0001⇒効果は（V/c）２=~10－８と小さい

Michelson – Morley の実験結果

光速に方向による違いは検出できなかった（ ⇒光の伝播速度は運動に寄らない）

速度の決定⇔離れた2点での時間と距離の独立な計測方法が必要距離は物差を使う時間は離れた２点の時計をどのように合わせるか?

⇒慣性系で光速が一定になるように時間と空間が決っている

A点：時計TA B点：時計TB

Einsteinの相対性原理

2 2 2 2 2 2 2 2

0

( ' 0 )

(1)

(2) ( ) ( ) 0 ( ') ( ' ' ' )

(3) Galil

Lorentz transformat

'

'

'

eo

0 0

0 0

0 0 1 0

0

ion

'

0 0 1

t t

ct x y z ct x y z

ct

x

y

z

v c

γ γβγβ γ

= =

− + + = = − + +

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝

⎛⎜−⎜⎜⎜

⎠ ⎝

物理法則は慣性系で不変⇒慣性系では

に原点を出

光速は同じ

た光の波面

線形

で 変換に一致

座標変換を工夫する

0

2

: = /

: =1/ 1-

ct

x

y

z

v cβ

γ β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎞⎟⎟⎟⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎠

⎟

同時性の相対性、運動している時計の遅れ、運動する物体の短縮

ct ct’

x’

x

0

2

1 2 1 0

2 1 0

'

'

'

'

( ' 0, )

' (1 ) /

( ' , ' ' at the same not ')

/

:

1 '1 1 1 '' , 1- (1 )(1 ) /(1

' '1'

ct ct x

x x ct

y y

z z

x x v t

t t t

x x x l t t

x x l

dxdx dx dx dxc dt

dxc dt c dt c dt cc dt

γ γβγ γβ

γ β γ

γ

β βββ

= −= −==

= =

= − == +

− =

+= = − − +

+

運動する時計

運動する物差

速度の合成則

') 0

'dt>

A

B

( ) ( )

'( ) '( )

t A t B

t A t B

<>

x = ct x’ = ct’

因果律ct ct’

x’

x

A B

2 22 2

2 2 2 2

2

( ) ( )

'( ) '( )

= [ ( )- ( )] [ ( )-x( )]

= ' [ '( )- '( )] [ '( )-x'( )]

< 0 ( )

space-like

0 time-like

t A t B

t A t B

ds c t B t A x B A

ds c t B t A x B A

ds

<>

−

= −

>

事象の時間順序が逆転

（光円錐の

⇒

光速以上でないと伝わらない

因果的に結ばれていない

⇔

⇔

外部）

因果律的に結びつくこと

（光円

が可能

錐の内部）

光円錐x=ｃｔx’=ｃｔ’

同時性の相対性

動いている電車

ct ct’

x’

x

'

'

'

'

ct ct x

x x ct

y y

z z

γ γβγ γβ= −= −==

A

B

x = ct x’ = ct’x = - ct

x’ = - ct’

T,T’

T’

T

C

S系ではAとCが同時S’系ではAとCが同時

双子のパラドックス-特殊相対性理論は正しい -

ct” ct ct’

x’

x

A B

兄：地球にいる弟：ロケットで旅行弟が地球に戻ったときの兄の時計(Ta)より弟の時計(Tb)が遅れる

運動は相対的弟からみると兄が-v で離れて行ってvで戻って来た。出会ったとき、運動している兄の時計が遅れるはず？

Ta Tb

T”同時刻の飛び

T’

201/ 1 ( / )

: Lorentz factor

v c

Ta Tb Tb

γγ

γ= −

= >i

共変形式の物理法則2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

10

Euclid space:

Minkowsky space: ( ) ( )

= +

:

( ) /

4 : , ,

dl dx dy dz

ds cdt dx dy

c

dz

d ds c

dxu u

dtu

ddτ

τ τ

τ

= + +

= − + +

=

= =

が不変

が不変

物理量も同じ座標変換に従う ⇒

ベクトル ４成分：空間３成分 時間成分

速度の定義

座標によらない固有時間 ⇒

元速度 2

0

3

1 2 3

,

4 : , , , cdt

p

dy dzu

d ddx dy dz

p m p m p md d

md dτ

τ τ

τ τ τ

=

=

=

= = =元運動量

E=mc2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

2 2 2 20 2 2 1 2 3

0 1 2 3 1 2 31 2 3

0

2 2 20 2 2 1/2

:

( ) 1 = , = , = ,

= + =

or

[1 ]

x y z

x x y y z z

p

p m c p p p

dt

d cp dp dp dp dp dp dpp p p f f f

dt p dt dt dt dt dt dt

v f v f v f

p c mc dx cdt dy cdt dz cdt

m

γ

= + + +

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦+

= + + +

の意味

を で微分する

仕事

( ) ( ) ( )22 2 2+

( /2)[ ]

=

m dx dt dy dt dz dtc

E

+

⇐

+

静止エネル 運動エネルギギー

（全エ

ー

ネルギー）

原子核エネルギーの発見

『エネルギーと質量は等価』（1905; Einstein）

E = mc２ （光速 c =3ｘ10８ m/s ）

原子の質量：原子核を構成する陽子(p) と中性子(n)の数で決まる

水素(陽子１個) = 1.007825、ヘリウム（ｐ２個、中性子２個） = 4.002603、炭素（ｐ６個、ｎ６個） = 12、酸素（ｐ８個、ｎ８個） = 15.9949146、鉄（ｐ２６個、ｎ３０個）＝55.9349

sub-atomic energy （1920：Eddington）４個の水素原子 → １個ヘリウム原子： 0.7% 質量が減少

EN = 0.007 x (3 x 10８ ) ２ = 6 x 10１４ J/Kgこれまで消費したエネルギーは20分の1の水素で賄える

原子核の構造1932: 中性子の発見Chadwick

§3. 恒星の構造と進化

恒星の正体

『太陽は炎なり』（ギリシャ神話）

『恒星は太陽と同じ』（１７世紀ジョルダノ・ブルーノ）

高温・高密度のガス球（19世紀）

自己重力ガス球の構造の解析

恒星のエネルギー源の問題（２０世紀）

恒星の構造の変化＝進化⇔原子核反応

さまざまな太陽の姿

さまざまな太陽の姿 II

いろいろな波長で見る太陽

白色光 黒点のない場合

黒点や明るい白斑がある場合

太陽表面の

クローズ・アップ

水素のアルファ線で見たガスの激しい運動と磁力線

太陽の表面活動

•（右） スピキュール（表面から噴出すジェット）

•(下）ループ構造 （フレアなどに伴い高温のガスが磁場とともに浮かび上がる）

外層の対流の運動ととそこで作られる磁場が絡まりながら表面を突き抜けてあらわれたもの

太陽から噴き出すコロナ

•（右上）皆既日食のときのコロナ

太陽から流れ出していく高温かつ希薄なガス＝噴出したガスは太陽風となっ

て地球までも届く

•（右下） Ｘ線で見た太陽

Ｘ線の強いところは百万度近い高温領

域、Ｘ線の弱いところはコロナホールとよばれ太陽風が強い

コロナ ホールと

太陽風

SOHOで見る太陽風SOlar and Heliospheric Observatory

太陽の内部

核反応

対流（ガスの上下運動）

エネルギー源としての核反応

e

2 31 2

3 32 2

3 7 7 7

1

42

4 42 2

41

2 4 3 e

74

2

3

e

( ) ( )

D He

He He + 2

He Be Li + Li + 2

B

pp-chain

4 He

e +

He + 2 e

He

e

e

H H

2

e

e

ν

ν

ν

→

→

→

→

⇔

→ → →

→

1 11 1

11

1

2

1

11

11

＋1

＋

＋

(水素)+ D(重水素)+ 陽電子 + 電子ニュートリノ：

+ (ヘリウム３)：

+

+ + ：

H H

H

+

H

H

H

反応

8 8 85 4 2e 4

4B Be + H 2 eBe e ν→ →＋ + ：

X AZ

（原子核内の陽子と中性子の合計）

（原子核内の陽子の数＝電子の数）原子番号

質量数

（元素名）

エネルギー源としての核反応II

12 13 + 13 14 15 + 15 126 7 6 7 8 7 6

15 16 17 + 17 147 8 9 8 7

C( , ) N( ) C( , ) N( , ) O( ) N( , ) C

N( , )

CN

O( , ) F( ) O

O

( , ) N

:

e e

e

p p p p

p p e

p

p

e eγ ν γ γ ν

γ γ ν

α

α

陽子

サイクル

+( ), : ( ):

: eeγ ν

α水素原子核 光子 ベータ崩壊

アルファ粒子（ヘリウム原子核）

、

1000分の1

クーロン障壁

0

7

' fm 100

4

3 10 K 1000V

2

qqE

r r

kTT

πε

⇔

⎛ ⎞= ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

陽子同志の衝突 電気的な反発力

１万ボルト

陽子の熱運動

＋量子力学のトンネル効果

力学的な構造

力学的なつりあい＝自己重力（互いに重力で引き合う）と圧力（熱運動で反発）の競合

重力＝引力

• なぜガスは飛び散ったり，重力でつぶれないのか？

圧力

ガス球の力のつりあい

Δｒr

P (r+Δr)P (r)

重力

[ ]

22

c c

cc

c2

c

c

( ) - ( ) /

, =4

0 -

/2, /2, /2

.

r

r r

P r P r r r

GM r

P G M dMr

r r dr

M R

P

P GM

R R

M M R

P GM

R

R

ρ

ρ π ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

≅

+ ∆ ∆

≅ ⇒

2

ガス圧(外向きの力)：

重力（内向きの力）： /

微分方程式：静水平衡の式

ｄ＝－

ｄ

オーダーの評価

全質量と表面半径： と

中心圧力と密度： と

－

ただし、 ～ ～ ～

Mr

GM/R = α Pc/ρc= α (k/m) Tc （ α= 1.9~1.21）M = β （4 π/3) R3ρc （β＝0.018~0.0021)

M, R :ガス球の質量と半径Pc, ρc, Tc：ガス球の中心の圧力、密度、温度

k, m ：ボルツマン定数と構成粒子（原子）の質量

太陽：M=2 ｘ１０３０ｋｇ, R=7ｘ１０８ｍ中心密度、温度 ： １５００万度，密度１００g/cm ３

•質量を与えたときのガス球の進化

Tc ∝ M２/３ ρc１/３

１）中心密度が増える（収縮する）とともに温度が上昇する

２） 質量の大きい恒星ほど密度の割りに温度が高い

恒星のエネルギー消費量

L ∝ M ３～４ for M＜a few 10 M⊙

L ∝ M for M＞a few 10 M⊙

恒星の寿命としては

τN ∝ M －２～ー３

で質量とともに急激に短くなり

太陽質量（M⊙ ）の数十倍以上では１千万年で略一定となる。

恒星の寿命τN = f EN M / L = f ・１ｘ１０１１年

核反応は高温を要するため中心部の

１０分の１しか燃えない (f=0.1)太陽の寿命は

100億年

• 太陽の内部構造=点火した爆弾

• 核燃料は太陽を吹き飛ばすのに十分

３） なぜ太陽は爆発しない（熱力学的安定性）

爆発の機構燃焼で熱（エネルギー）が発生して熱（エネルギー）がたまる⇒温度が上昇⇒さらに燃焼率があがり、さらに熱がたまる

⇒さらに温度が上がる（温度とともに圧力も上がる）

⇒さらに燃焼率があがり、さらに熱がたまる

⇒さらに温度が上がる．．．．

この過程が増加した圧力で系が吹き飛んでしまう＝爆発するまで続く

核反応

表面対流層

比熱

:

0

( ) ( )

V

V

V

V V

P V

Q dU W C dT PdV

C

dV

Q C dT

Q C dT d PV C R dT

C C R

δ δ

δ

δ

= + = +

==

= + = +

= +

断熱比熱

(1) 体積一定の場合（ ）

(2) 圧力一定

熱力

熱

（定圧）の

を加えたと

場合

定圧比熱：

きの温度変化は仕

学第１法則

事による

断熱

定圧

Virial 定理

2 2

0

2

0

3

00

2

0

23

3 4 4

2

1 1 = 4 4

2 2

1 1 = 4

(3/2) ( : ,

,

, ( : )

2

:

, 4

2

R R

R

r

R

r

Rr

U u r dr

u nkT n P nkT mn m

dP GM d

P r dr

dPr P r dr

dr

r

Mr

dr r dr

Gd

rr

M

π π

π

ρ

ρ π ρπ

π ρ

= =

⎡ ⎤

=

−⎢ ⎥⎣

= =

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎠⎦

= − Ω

⎝

∫ ∫

∫

∫

理想気体の熱エネルギー

数密度） 圧力 密度 分子量

ガス球の全熱エネルギー

( :

:

(1/

:

(1/2)

2)

:

rr

GMM r

r

Q E U

E U U

δ δ δ δ

−

= +Ω = − = Ω

= =

Ω

− = Ω

ガス球の全エネル

質量 半径 のガス球表面の重力ポテンシャル）

エ

ギ

重力エネルギー

ネル 支

ー

ギー収

負の比熱δQ < 0 ⇒δU > ０δQ > 0 ⇒δU < ０

E：全エネルギー

U：内部の熱エネルギー

Ω：重力エネルギー

補足：平衡条件（virial定理）

γ＞ ４／３ のとき

「負の比熱」

δE = －δU ＝(1/2)δΩ （γ=5/3)

増圧→膨張

→重力の減少

→さらに膨張

加熱→温度上昇

温度降下

1 3 3 /

/

( )

(3 1 1)

r

r r

U P dM

GM r dM

E U

U

γ ρ

δ δγ δ

< − > =

= = −Ω

= +Ω= − < − > −

∫∫

断熱指数γ： P ∝ ργ （γは物質の固さを表す）

理想気体（単原子分子）γ＝5/3

γ ＜４／３のとき動的不安定

恒星の場合：

加熱（冷却） ⇒温度上昇（下

降）＝圧力上昇（下降）

⇒重力より大きくなり膨張（小

さくなり収縮）

⇒温度・圧力とも降下（上昇）

元の圧力まで降下（上昇）したとき

重力は小さく（大きく）なっているのでさらに膨張（収縮）

⇒ 膨張のため最初の温度より

低く（高く）なる。

熱力学的安定性

「負の比熱」

増圧→膨張

→重力の減少

→さらに膨張

加熱→温度上昇

温度降下

⇒ 中心の核反応でエネルギーの発生（ LN ）と

表面からのエネルギー放出（L）が釣り合った定常状態が可能

LN ＞L のとき加熱 ⇒温度下降⇒反応率低下

⇒ LN が減り LN ＝ LLN ＜ L のとき冷却 ⇒温度上昇⇒反応率上昇

⇒ LN が増え LN ＝ L

「負の比熱」 ＝静水力学的な釣り合いの結果

４）定常的核燃焼と重力収縮

恒星の準静的な進化• 重力収縮（核反応に点火する前） →

表面からのエネルギー放出によって収縮，温度の上昇

• 核反応に点火→表面からのエネルギー損失＝核反応によるエネルギー発生

• 重力収縮核反応が終わると表面からのエネルギー放出によって収縮，温度の上昇→次の核反応に

• 核反応に点火→ ．．．．．

• 水素が燃焼→重力収縮→ヘリウム燃焼→重力収縮→炭素燃焼→重力収縮→．．．→ 最期は鉄（最もエネルギーが小さい）

恒星の終末

正の比熱（高密度では量子力学的な効果で比熱が正になる ）

１）電子の量子効果

点火→超新星爆発未点火→冷却→白色矮星 （不発弾）

２） 中性子の量子効果

冷却→中性子星 （核燃料なし）

重力不安定⇒急激に収縮＋核反応⇒black hole or 核反応（一部）で爆発

断熱指数のγ＜4/3 になるP/ρ∝ργ-1 ∝R -3(γ-1)

GM/R ∝R -1

力学的な安定性

2

3 3

23 4

1

:

1

: < 4

=5/3:

:

/3

r

r

dP GM

dr r

P r r

dP GMr

dr r

γ γ

γ

ρ

ρ ρ

ργ

γγ

− −

− +

= −

⇒ ∝ ∝ ∝

∝

⇒

力学的な釣り合い

一様な断熱圧縮（膨張）

断熱指数

単原子分子の理想気体

動的安

相転移 動

定

的不安定

恒星の末路 3種類の超新星爆発

電子対発生

鉄分解

γ<4/3

電子縮退

鉄分解型超新星

電子対型超新星

爆燃対型超新星

白色矮星

中心密度中心密度

中心温度

中心温度

惑星から超大質量星まで

質量による分類と進化

あるいは超新星爆発を起こす

自己重力系⇔熱力学系

ρｃ:中心密度

ρｅ:境界密度

: ( )

< :

> :

709crit c e crit

c e crit

c e crit

D

D

D

ρ ρρ ρ

ρ ρ

= =

断熱壁＋球対称のガス

臨界密度比

通常の熱力学系（正の比熱）

自己重力系（負の比熱）

水素燃焼の段階の光度

太陽太陽

10−6

10−4

10−2

1

102

104

106

50000 20000 10000 6000 30002000

L (L

o)

Teff (K)

色等級図

HR図ヘルツスプラング・ラッセル図

星の色 青白 黄 赤

明るい

絶対光度

暗い

シリウスＢ

太陽

シリウスＡ

リゲルペテルギウス

主系列星水素→ヘリウム

ヘリウム→炭素・酸素

白色矮星

殻燃焼の理論

• その後• 全体がHeに変換

• 中心部だけHeにHeHe

水素外層水素外層

水素燃焼殻水素燃焼殻

中心核は等温構造に中心核は等温構造に等温ガス球の安定性等温ガス球の安定性

太陽ニュートリノ(Solar neutrino)

神岡ニュートリノ観測施設

ニュートリノ反応

§4. 一般相対性理論と宇宙論

慣性系⇒加速度系へ特殊相対性理論→一般相対性理論へ

X ロープを切る

エレベータの支えロープを切った瞬間ボールを離すと

ボール

重力と加速度は等価

自由落下するエレベータの中は局所慣性系⇒ 光は直進⇒ 外から見ている人には光はエレベータとともに落ちる

（１） 重力場の中で光は曲がる。（２） 重力場の中で時計が遅れる。

重力中での運動無重力状態自由落下運動する系例えば、スペースシャトルの中

紐を切ると同じ速度で運動する

Einsteinの一般相対性理論

2 2 2 2 2

4

2

1 8

( )

:

:

: )

:

:

2

Einstein

ij i

i ji

j ij

j

ij

ij

ii

j

jj

ij

i

ds g dx dx c dt dx dy dz

g

GR R

R

g g T

R g

T

c

R

π− +

= = − + + +

Λ

Λ =

計量テンソルについて

リッチテンソル

スカラー曲率 (=

宇宙項（万有斥力）

運動量エネルギーテンソル

の重力場の方程式

2

2

-1 0 0 0

0 1 0 0=

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0

0 0 0=

0 0 0

0 0 0

=( ) i

ij ij

ij

ij j iji

g

c

pT

p

p

pT u u p

c

η

ρ

ρ η

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +

特殊相対性理論

実験的な検証1) 水星の近日点移動 (100年で４３秒)2) 重力場中での光の湾曲（1.75秒）3) 重力場中での赤方偏移（時計の遅れ:太陽の表面で２×10－６）

曲がった空間の幾何学 = リーマン幾何

――アインシュタイン：一般相対性理論 （1915年）

ユークリッド幾何＝フラットな空間(線外の１点 をとおり線に)

平行線は１本のみ

非ユークリッド幾何学＝ 曲がった空間 (ガウス)

(1)平行線は１本もない（正の曲率の空間）(ロバチェスキー、)(2)平行線は無限にある（負の曲率の空間） 球面上の世界＝

閉じた空間(2次元)直線＝最短距離＝大円

Black hole の半径

2

11 3 8

g

30

g

16 2 3g

/ =(1/2)

: 6.7×10 m /kg s , : ×10 m/s

black hole 2×10 kg

( / ) km

1.8×

Schwarzschil

10 (

d

/ ) g/cm

:

GM R c

G c

M

R M

M M

R

M

ρ

=

－

－

脱出速度＝光

回転していな

速（ラプラス）

重力定数（ ） 光速（３

い場合＝ 半

）

太陽質量の （ ）の場合

半径 ３.

径

0

密度

ニュートン的な宇宙像（近代的＝合理的）

(1)空間的に無限 ＝果てはない：・等速度運動を続けられる・万有引力で潰れない

(2) 一様な宇宙 （＝どこも同じ）宇宙に特別な場所＝中心はない

(3) 等方な宇宙（どの方向を見ても同じ）

(4) 時間的に無限（宇宙に始まりも終わりもない）＝ 静的な宇宙

物質分布の無限であることへの要請

果てがない場合にのみ任意の点で左右の力を釣り合わせることができる

無限に広がった虚空（空虚な空間）に一様に分布した星が輝いている＝無窮の宇宙

近代的な宇宙⇔ 日常的な経験事実と矛盾

「夜空はなぜ暗いか？」－オルバースのパラドックス－（19世紀はじめ)

遠くの星（銀河）は暗い

（距離の２乗に反比例）

が、数は多い

（距離の２乗に比例）

一定の厚み(dr)の体積中の星（銀河）

全体からの寄与は距離によらない

⇒ 宇宙が無限に広がっていれば夜空は無限に明るくなる

dr

2r 銀河

銀河r

地球

dr

ここの銀河の明るさは１／４しかし銀河の数は４倍

解決方法の可能性：－パラドックスに至る仮定の吟味－

1) 空間的に有限な宇宙： ニュートン力学とはなじまない

アインシュタインの有限宇宙 ニュートン力学の放棄

2) 銀河分布の階層構造密度が一様ではあるが、大きな尺度では小さくなる。遠くの銀河の数が、少なくなる。

3) 物理法則の変更＝宇宙と地上のスケールの違い距離逆２乗則の放棄遠方の銀河からの光が、逆２乗の法則より急激に暗くなる。

4) 時間的に有限 ⇔ 宇宙に始まりがあった

解決案 1) 有限の宇宙――アインシュタイン：一般相対性理論 （1915年）

アインシュタインの有限宇宙(4次元空間の中の３次元球面)

万有力の強さ引力の効果を打ち消すために

斥力 ∝Λ ｒ（宇宙項 or Λ項）を導入力の強さ

釣り合いの位置

重力

距離に比例する斥力

距離（宇宙の大きさ）

この釣り合いは不安定

動的な宇宙へ宇宙膨張の発見（ハッブル1927年）

遠くの銀河ほど速く我々から遠ざかる

銀河の後退速度は銀河までの距離に比例（ハッブルの法則）

1pc=3.26光年、1Mpc=100万pc

宇宙膨張 - 一様等方な膨張

• 観測者からの距離に比例する速度で膨張し，しかも，宇宙のどこにいる観測者からみても同じ膨張則に従う。

１次元宇宙 延びるひも

２次元宇宙半径が膨張する球面

３次元宇宙膨れるパンの中の干し葡萄

フリードマンの宇宙膨張則一般相対性理論（1915）の解

（宇宙項=斥力なしの重力だけ）V（後退速度）= H_0 （ハッブル定数) × r (銀河までの距離）

宇宙年齢（τ）＜ r / V = 1/H_0ハッブル年齢（τH）

H_0=70 km/秒/MpcとするとτH = 139 億年

銀河間の距離 （宇宙の曲率半径）

E>0

E=0（速度がゼロになる）

E<0

現在 時間Ｅ＞０：開いた宇宙 (無限空間）Ｅ＝０：平坦な宇宙 (無限空間）Ｅ＜０：閉じた宇宙 (有限空間）

宇宙膨張と重力中での運動

esc

esc

esc

esc

2

= 2GM /R

(1) <

(2) = , = 0

(3) = , > 0

GM1 : E = v

2 R

(1) 0, (2) 0 , (3) > 0

v

v v

v v v

v v v

E E E

⊕ ⊕

∞

∞

⊕

⇒

⇒

⇒

< =

地上から物体を投げ上げたとき

脱出速度：

再び落下

無限遠へ

無限遠へ

エネルギー －

に対応

重力場中での物体の運動

(2),(3)

(1)

可能な空間の種類

リーマン幾何学

上：正曲率の空間中：負曲率の空間下：平坦な空間

一般相対性理論曲率と重力の強さを関係付ける

Ω０：重力の強さと膨張速度の比

20

020 3

8

2/

/

H

G

v

rGM ρπ==Ω

膨張宇宙から火の玉宇宙論へビッグ・バン宇宙論（ガモフ：１９４８）

断熱膨張

⇒ 密度が下がり、

温度も下がる

⇒過去は高温・

高密度

相変化 ＝温度・密度による平衡状態の変遷

水の場合（１気圧）

核子(陽子,中性子）と電子に分解

原子核＋電子

プラズマ O →イオン化H →ｐ(陽子)+e (電子)

H２O (分子) → ２H ＋ O (原子)

気体（水蒸気）

液体

固体

温度

１０１０K

１０６K

１０４K

１０３K

１００C

０ C２７３K

物質の構成

1 オングストロング（A)＝１０－１０ m

1 フェントメータ(fm)＝１０－１５ m

陽子 正の電荷(e) : 質量 1中性子 電荷 0 : 質量 1.0014電子 負の電荷(e-) :質量 0.000545

｝核子

ハドロン

バリオン （クゥーク３個で構成）例） 陽子＝ uud、 中性子＝ udd

自然に存在する物質約300種類の原子からなる

原子＝原子核（陽子と中性子）＋電子

原子番号：陽子あるいは電子の数

質量数：陽子と中性子の合計

現在の宇宙空間に存在する多様な元素

太陽系を構成する元素の組成分布

宇宙初期の元素合成ガモフ：

初期の高密度のもとでは、物質は中性子（←陽子＋電子）のみからなり、膨張すると約１０分で

中性子→陽子＋電子に崩壊

中性子と崩壊でできた陽子捕獲反応で

宇宙初期に現存する全ての元素

宇宙初期に一挙に作る。

林忠四郎（1950）：

中性子⇔陽子＋電子

１ 対 ９

宇宙の熱的な歴史 －原始核種合成

ヘリウム

重水素，ヘリウム３

リチュウム

核物質の密度

宇宙初期の物質分布（～１５０億年前）

物質組成

１．水素（～３／４）とヘリウム（質量数４；～１／４）で構成される２．重水素と質量数３のヘリウムが約１／１００００３．リチュウム（質量数７）は１兆分の１程度４．炭素以上の元素は存在していなかった

光＝電磁波ーわれわれの世界のもうひとつ構成要素ー

全ての物質は電気磁気的な相互作用と通して光を放出，吸収

波長 １A 1nm １µｍ １ｃｍ １ｍ

X線 可視光 ミリ波 テレビガンマ線 紫外線 赤外線

温度

1010 107 104 103 3 （絶対温度）

黒体輻射＝平衡状態の電磁はエネルギー分布

電磁波の性質１．λ (波長) ｘ ｆ（周波数）＝c（光速）２．エネルギー E=ｈｆ＝ｈｃ／λ （ｈ：プランク定数）３．ピークの波長は

λ = ３０００／ T（絶対温度）µｍ （ミクロン）温度 T K の真空の箱 覗き穴

輻射のエネルギー・スペクトルプランク分布： 全エネルギー密度 （∝T４）

周波数（1秒間の振動数）

ピークの波長はλ = ３０００/ T (µｍ) [Ｔ：絶対温度]

黒体輻射

宇宙の背景輻射（ベンジャス、ウィルソン １９６３）

～140億年前

現在

時間

宇宙最初の核種合成

最も遠くを見る＝宇宙初期の状態 （～１４０億年前）

宇宙背景輻射＝一様な約3000度のガス（水素とヘリウム）

温度分布（１万分の１以下の揺らぎ）

～140億年前

現在

時間

原始核種合成

宇宙からの電波 ＝一様等方（あらゆる方向から同

じ強さで）

WMAP 衛星

宇宙の背景輻射の温度Cosmic Microwave Background Radiation

熱平衡状態のplank分布に一致している

宇宙の晴れ上がり水素再結合

3000度K → 2.7度K約1000倍膨張

プランク分布の温度が下がる

波が伝わる間に空間の膨張する

⇒波長が伸びる

＋ 膨張による波長の伸び

Doppler効果

v t×∆ c t×∆

0

0

0

( )

(1 )

( )

(1 )

v t c t c t

v c

v t c t c t

v c

λλ

λ λ

λλ

= ∆ + ∆ ∆= +

=

= ∆ − ∆ ∆= −

(固有波長)

光源 観測者

:

: :

f c

c

λλ=振動数

( 光速、 波長)

初期宇宙の温度⇒密度の揺らぎ

距離の単位＝１０億光年

銀河の空間分布

QSO’s（活動的な銀河核）

Ia型超新星爆発 最も明るい標準光源

加速する宇宙膨張（宇宙斥力=Λ項の復活）

K：曲率⇔－Ｅ：エネルギー

3 year of WMAP

宇宙の物質構成

• 通常の物質 （４％）（baryonic matter）重力＋光

• 暗黒物質 （２３％）(dark matter) 重力のみ→構造形成

• 暗黒（＝真空の）エネルギー（７３％）(dark energy)斥力

宇宙膨張+一般相対性理論•引力（通常の物質＋暗黒物質）•斥力（暗黒エネルギー）•元素合成（通常の物質）

我々の住んでいる宇宙

• 年齢は137 億年• 宇宙の背景放射はビッグ・バンから 37万9千年• 宇宙の物質：核物質（原子・分子） 4% 、

暗黒物質 23%、暗黒エネルギー 73%

• 現在の膨張率膨張速度：Hubble constant Ho= 71 (km/sec)/Mpc

• 最初の星の誕生はビッグ・バンから 2億年位してから• 銀河はビッグ・バンから～１０億年位して形成• 宇宙はこのまま膨張続けるであろう

諸階層の史的展開

Big Bang（Gamov 1946,1948)

Big Bang 前史＝Inflation

1. 宇宙膨張 (Hubble 1927) 遠方にある銀河はすべて我々に対して遠ざかっている。

2. 黒体背景輻射（Penzias, Wilson 1963） 現在の宇宙は，等方的な分布をしめす電磁波（絶対温度約２．７度Ｋに対応する熱輻射）に満たされている。

3. 軽元素の起源現在の

宇宙には大量のヘリウムが存在する（質量密度にして平均全元素の約２５％）

レポート問題

(1) Lorentz変換の行列を導け。

(2)右図のLorentz短縮を導け。

発展問題

(1)加速度運動を Ｓ’系 （Ｓ 系に対して速度v0で運動する）

からどのように見えるか？

ct ct’

x’

x

• 運動している物差が短くなる2

0

Lorentz

/ , 1/ 1 ( / ) :l l v cγ γ= = −

短縮

O

物差しの軌跡」

物差の加速

⇒長さは変わらない?

物差（長さl0 ）を一定の加速度αで速度がv0に達するまで加速した。

このときＳ系の観測者から見ると物差の長さは変わらないはずである。これは一見上のLorentz 短縮と矛盾しているように思える。相対性理論の立場からこの物差が伸びたことを説明せよ。

ct

v0

0 l0

l0

x

なぜ棒は延びたか？

1 1

2 1 0

0

20 01

22 0 0

0

0

( 0)

' 0 at ' 0

' at '

' 2

( ) /

( / /2 )'

( / /2 )'

' 1 2

/

/

t

t x x

t x x l

S

t v

v v ct

v v ct

S

l c

l c

α

γ

γβ

β

α β α

γ α β α

=

= = == = =

=

−=

−=

−

−

加速の開始 は

系では 1端より 端で早く加速が始まる。

加速の終わり は

系では 端より 端で早く終端速度に達する。

すなわち、S’系では２端に力が早く働くので棒は延びる

なぜ棒は延びたか？

2 21 2 0

2 21 1

02 2

21 1

22 2 0

0 2 12 1 2

(1/ 2) : (1/ 2)

for 0 < < /

'

' ' (1/ 2) ( ' ' / )

' ' (1/ 2) ( ' ' / )

'

( ' ' )' ' [2 ' (

2

S

x t x t l

d x d xt v

dt dtS

x ct t x c

x ct t x c l

S

l x xx x ct

c

α α

α α

γ γβ α γ γβ

γ γβ α γ γβ

αβγ βγ

= = +

= =

+ = +

+ = + +

−− = + +

加速度中の運動は 系では

⇒

系では

したがって 系で長さは

2 1' ' )]

'

x x

S

+

となり、加速度運動中は 系で長さは伸びる。

なぜ棒は延びたか？0 0

21 0 0 0

22 0 0 0 0 0

1 1

2 2 0

2

(1/ 2) ( ) ( / 2 )

(1/ 2) ( ) ( / 2 )

'

' ' ( ' ' / / 2 )

' ' ( ' ' / / 2 )

'

( '

t t v

x t v t t c t c

x t v t t l c t c l

S

x ct c t x c c

x ct c t x c c l

S

x

α

α β β α

α β β α

γ γβ β γ γβ β αγ γβ β γ γβ β α

γ

>

= + − = −

= + − + = − +

+ = + −+ = + − +

加速度運動後( = / )は

系での運動は

したがって 系での長さは2

1 2 1 0

2 1 02

' ) ( ' ' )

( =1' ' / 1- )

1 2

x x l

x x x lγβ

γ βγ−

= −

=

− +

∴ ∵となり、端と 端の距離は長くなる。

物差しの場合は、

(1) 加速中は力が働くので、物差しは引き伸ばされるが、

(2) 加速が終わると復元力が働きもとの長さ（S’系では固有の長さ）に戻る。

講義ノート

http://astro3.sci.hokudai.ac.jp/~fujimoto/lecture/note

現代物理学I08.pdf