ceapi - transformada de laplace e z - prof. maitelli
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8/16/2019 CEAPI - Transformada de Laplace e Z - Prof. Maitelli
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Módulo Especial:
Transformada de Laplacee Transformada Z
Professor: André Laurindo Maitelli , Dsc. Eng. EletrônicaE-mail: [email protected]
Curso de Especialização em Automação de Processos IndustriaisCEAPI
UFRN-DCA-LAUT
Natal/RN, julho de 2013.
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Roteiro• Transformada de Laplace:
– Definição; – Propriedades; – Anti-transformada de Lapace; – Exercícios.
• Transformada Z: – Definição; – Propriedades; – Anti-transformada Z; –
Exercícios.
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TRANSFORMADA DELAPLACE
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Seja
f(t) função do tempo t com f(t)= 0 p/ t < 0s variável complexaL operador de LaplaceF(s) transformada de Laplace de f(t)
0
)(=F(s)=[f(t)] dt et f st L
Definição
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Transformada de Algumas FunçõesParticulares :
Degrau Unitário:
f t( ) 0 t < 0
1 t 0
F ss
( ) 1
– Rampa Unitária:
f t( ) 0 t < 0
t t 0 F s
s( )
12
Definição
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- Função Exponencial:
- Senóide:
f t e at( )
t 0 F ss a
( ) 1
f t t t( ) sen 0 F ss
( ) 2 2
Definição
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- Pulso Unitário
f (t) p
t
– Impulso Unitáriof (t)i
t
(t)
( ) lim ( )t f p t 0
F p sst
se s( )
1
0
11 e dt
Fi s F p s
dd e s
dd
s
s e s
s( ) lim ( ) lim
( )lim
0 0
1
01
Definição
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Translação no tempo
L L[ ( )] [ ( )] ( )af t a f t aF s
– Aditividade L L L[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )f t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2
L [ ( )] ( )f t a s e-as F
– Mudança de escala de tempo L [ ( )f F s1
– Translação no domínio s L eat f t F s a( ) ( )
Propriedades
– Homogeneidade
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– Valor Final:
Ld n
dt nf t snF s sn f sn f t f
n( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 0 2 0
1 ...
lim ( ) lim ( )t
f ts
sF s0
– Valor Inicial: lim ( ) lim ( )t
f ts
sF s0
– Integração:
L f t dt F ssf
s( )
( ) ( ) 1 0 f f t dt
t1 0
0( ) ( )
– Diferenciação:
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- Integral da Convolução:
L f t f dt
F s F s1 2
0
1 2( ) ( ) ( ) ( )
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F s F s F s Fn
s( ) ( ) ( ) ( ) 1 2
...
L 1 1 2[ ( )] ( ) ( ) ( )F s f t f t f n t...
–
Em controle:F s
N sD s
N ss p s p s p n
( )( )( )
( )( )( ) ( )
1 2 ...
F(s)de pólos ... p 21 ) s( p , ), s( ), s( p n
Raízes de N(s) são os zeros do sistema
Expansão em Frações Parciais
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- Pólos reais e diferentes:
– Pólo com multiplicidade r:
F sC
s pC
s pCk
s p k
Cns p n
( ) 11
22
... ...
L 1 Ck s p k
Ck p tk e Ck s pk F s s p k
( ) ( )
Ckr
s p k r
Ck r
s p k r
Ck r i
s p k r i
Ck s p k
( ) ( )11
1 ... +
Ck r i id i
dsis p k
r F s
s p k
( ) !( ) , , , 1 0 1 i ... r -1
L
1
1
Ck r i
s p k r i
Ck r i
r i
p tk ( ) ( )
( )!
t r-i-1 e
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- Pólos complexos conjugados:
pk j d pk j d
1
Ck
s pk
Ck
s pk
1
1
Ck s p k F s s p Ck k ( ) ( ) C k
L
1 11
2 90Ck
s p k
Ck s p k
Ck t
d t C k o e sen( )
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Tabela de Transformadas de Laplace
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Exercício 1
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Exercício 2
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Exercício 3
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Exercício 4
- Resolução de uma equação diferencial:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
3x5x2x 0)0(x 0)0(x
t2cose53
t2sene103
53
)t(x tt
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Funções Matlab
[r,p,k]= residue(num,den)Ex:
G(s)= 2s 3+5s2+3s+6/(s 3+6s2+11s+6)
r=[-6 -4 3]´
p=[-3 -2 -1]´
k=2
G(s)=-6/(s+3) + -4/(s+2) + 3/(s+1) + 2
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TRANSFORMADA Z
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Seja
f(k) sequência k com f(k)= 0 p/ k < 0k variável complexaZ operador de LaplaceF(z) transformada Z de f(k)
0k
k -f(k)z=F(z)=[f(k)]Z
Definição
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Transformada Z de Algumas FunçõesParticulares :
- Degrau Unitário:
0k 1
0
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- Função Exponencial:
- Senóide :
0k )( ak ek f ak e z z
z F )(
0k )( k senk f 1.cos2
.)( 2 z z z sen z F
Definição
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- Impulso unitário:
0k 0
0k 1)(k 1)( z F
Definição
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Propriedades
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Tabela de Transformadas Z
Tabela de Transformadas Z a partir das
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Tabela de Transformadas Z a partir dasTransformadas de Laplace
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Exercício
)(5)1(3)(6)1(5)2( k xk xk yk yk y
Resolver a seguinte equação a diferenças
Com condições iniciais y(-1)=11/6 e y(-2)=37/36 ex(k)=(2)-k k>0
)2(5)1(3)2(6)1(5)( k xk xk yk yk y
)()( z Y k y Z
611
)()1()()1(11
z Y z y z Y z k y Z
3637
611
)()2()1()()2( 1212 z z Y z y y z z Y z k y Z
E í i
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Exercício
5.0
1)()1()()1( 11
z z X z x z X z k x Z
)5.0(
1)()2()1()()2( 212
z z z X z x x z z X z k x Z
5.0
2)()( 1 z
z Z k x Z z X
k
655.0
5.105.93)( 2
2
z z z z z z
z Y
3
)15/18(23/7
5.0)15/26(
325.05.105.93)( 2
z z z z z z
z z
z
z Y
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31/31
31518
237
5.01526
)( z
z z
z z
z z Y
k k k k y 31518
237
5.01526
)(