la transformada de laplace

19-4-2016

Transformada de Laplace ECUACIONES DIFERENCIALES

JORGE ALBERTO CORTES JIMENEZ INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VENUSTIANO CARRANZA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

1 19 de abril de 2016

INDICE DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE............................................................................. 2

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE .......................................................................................... 3

FUNCION DE ESCALON UNITARIO ................................................................................................... 5

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................ 8

LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .......................................................................... 9

TEOREMAS DE TRANSLACION ........................................................................................................... 10

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………………………………………….12



DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace, unas de las transformadas integrales más conocidas.

Es particularmente adecuado para problemas cuya variable independiente cambia

de cero a infinito, tales como los problemas de valor inicial en el tiempo y los

problemas de valor límite en geometría semiinfinitas. Usaremos la transformada de

Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

y sistema de tales ecuaciones. Usted vera que la transformada de Laplace a

menudo permite simplificar a manera considerable la solución de ecuaciones

diferenciales, en especial cuando esto incluye términos no homogéneos con

discontinuidades de salto.

Sea f (t) una función definida en el intervalo ,0 se define la transformada

de Laplace de f(t) por medio de las transformada integral

La transformada de Laplace es simplemente una conversión integral con los límites

de integración de 0 e y el núcleo st la definición de la transformada de Laplace

incluye un integral con un intervalo ilimitado por lo tanto es una integral impropia

como tal debe interpretarse como:



TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La solución de ecuación diferenciales mediante la transformada de Laplace

determinar la función original a partir de su transformada se llama encontrar la

inversa de la función transformada (o invertir la función transformada la

transformada inversa de Laplace se representa como el símbolo 1L .

La manera más rápida y fácil de encontrar la transformada inversa es ver una tabla

de la transformada de Laplace se deduce directamente de las propiedades de la

transformada de Laplace que explicamos y comprobamos.

1.- Es decir la transformada inversa de Laplace es un operador lineal, igual que la

transformada misma. Por ejemplo



2.-Es decir, la inversa de una transformada de Laplace es s – k (donde k es una

constante) puede encontrarse reemplazando todas las apariciones de s – k por s,

determinando la inversa y multiplicando dicha inversa por kt . Por ejemplo

3.-la transformada inversa de Laplace que contiene los factores puede encontrarse

omitiendo el factor s, determinando la inversa de la parte que queda y derivando

dicha inversa con respecto a t. Por ejemplo

4.-La inversa de una transformada de Laplace que tiene el factor 1/s puede

encontrarse omitiendo dicho factor determinando la inversa de la parte que queda

e integrando la inversa con respecto a t de 0 a t. por ejemplo



FUNCION DE ESCALON UNITARIO

Probablemente la función más sencilla que incluye una discontinuidad de salto es

la función de escalón unitario )( 0ttu , también conocida como función Heaviside

que se define como



Donde 0tt es la ubicación de salto como se muestra la figura 8-9 para caso

especial de 00 t , la función de escalón unitario se vuelve simplemente 1)0( tu

para 0t y su transformada de Laplace es

La función de escalón unitario )( 0ttu es simplemente la translación de )(tu en la

cantidad 0t , su transformada de Laplace se determina fácilmente introduciendo

la variable ficticia 0ttx como

Entonces

Ahora veamos lo que sucede cuando multiplicamos una función dada f(t) por la

función de escalón unitario (figura 8-10) cuando 00 t , tenemos



Y que 1)0( tu para 0t entonces la función de escalón unitario no tiene efecto

sobre la función f(t) si 00 t , pero cuando 00 t

Es decir multiplicando una función f(t) por la función de escalón unitario )( 0ttu

hace que se desaparezca la parte de f(t) en 00 tt ; pero no tiene efecto en la

parte restante de f(t).

Ahora supongamos que no queremos suprimir esa parte de f(t) en 00 tt . En vez

de eso queremos posponer el inicio de f(t) a 00 t . Esto se logra corriendo a la

derecha f(t) en 0t unidades y multiplicándola por )( 0ttu para suprimirla para 0tt

Como se muestra en la figura 8-10



PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Propiedad 1: Linealidad de la transformada de Laplace

Propiedad 2: Propiedad de translación o corrimiento

Propiedad 3: Transformada de Laplace de )(tfn

Propiedad 4: Transformada de Laplace ttf /)(



Propiedad 5: Transformada de Laplace de dttft

)(0

Propiedad 6: Cambio de escala

LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Como la transformada de Laplace se define como una integral definida, tiene las

propiedades de las integrales definidas; por ejemplo, la integral de la suma de dos

funciones en la suma de las integrales de esas dos funciones.es decir

Asimismo la integral de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función. O sea



Donde C es una constante arbitraria.

Entonces la integración es un operador lineal. Esto también es verdad para la

transformada de Laplace. La linealidad de la transformada de Laplace puede

expresarse como.

Donde 1C y 2C son dos constante cualesquiera. Esta la propiedad más significativa

de la transformada de Laplace.

TEOREMAS DE TRANSLACION

La aplicación de la definición para calcular la transformada de Laplace de algunas

funciones como por ejemplo funciones de la forma attf )( y funciones

escalonadas resulta compleja por esta razón desarrollaremos algunas propiedades

especiales que nos faciliten la tarea. Concretamente el primer teorema de ellos se

aplica para transformar funciones de forma attf )( y la segunda para funciones

escalonadas de una manera más eficiente.

PRIMER TEOREMA DE TRANSLACION

La primera propiedad que estudiaremos nos permitirá la transformada de Laplace

de funciones que están multiplicadas por una función exponencial si evaluar ninguna



integral la cual se conoce como el primer teorema de translación de una función de

f(t) multiplicada por una función exponencial attf )( .

Básicamente se transforma solo la función f(t) y se desplaza la el resultado a

unidades a la derecha o la izquierda sustituimos la variable s por s – a en la

transformada obtenida para desplazarla a la derecha o sustituir s por s + a en la

transformada obtenida para desplazarla a la izquierda.

Al desplazar una transformada a unidades hacia la derecha se escribe asssF |)( o

simplemente assF |)( . Al desplazar una transformada a unidades hacia la izquierda

se escribe assF |)( .

SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLACION

La transformada de Laplace de una función escalonada se aplica de manera

eficiente directa la definición y mencionamos la existencia de una opción alterna

más eficiente que no requiere de evaluar integrales impropias ni límites al infinito.

Antes de presentar el segundo teorema de translación iniciemos con la definición

de la función escalón unitario.



BIBLIOGRAFIA

Bibliografía 111, Y. A. (2014). ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERIA Y CIENCIA. MEXICO.

ESCUTIA, J. I. (s.f.). MATEMATICAS 5 ECUACIONES DIFERENCILAES .

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