chapitre 3 de math

Programmation lineaire

Pr. Khatmi samira

Septembre 2011

Table des matieres

1 Introduction 11.1 Problemes de programmation mathematique . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemes de programmation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Formulation d’un programme lineaire (PL) 52.1 Les conditions de formulation d’un PL . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Les etapes de formulation d’un PL . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Presentation theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Exemples de formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Resolution graphique 113.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Representation graphique des contraintes . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Representation de la fonction objectif . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Recherche du point optimal de la fonction objectif . . . . . . . . . 143.5 Les differents types de solutions d’un probleme de PL . . . . . . . 18

3.5.1 Infinite de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5.2 Solution optimale infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5.3 Aucune solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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Chapitre 1

Introduction

Dans une economie caracterisee par la rarefaction des ressources naturelles,une diminution des sources de financement et une concurrence toujours plus viveentre les entreprises, la repartition optimale de moyens limites entre la multitudedes besoins devient la tache principale des responsables politiques et economiquesde notre societe. Ce probleme se retrouve dans tous les domaines de l’activite eco-nomique, politique, scientifique et sociale. En gestion de la production, il s’agit,par exemple, de definir une politique d’approvisionnement, d’adapter la produc-tion a la demande, de determiner les niveaux de stocks. En gestion financiere,il faut proceder au choix des investissements et definir un programme d’amor-tissements. En marketing, il est necessaire d’etablir un reseau de representants,de choisir un support publicitaire. En raison de l’ampleur des enjeux decision-nels, le decideur ne peut plus prendre de decisions hatives et justifier un choixd’attribution fonde sur un raisonnement instinctif ou des calculs naıfs. Une bonneresolution de ce type de problemes necessite la connaissance de methodes approu-vees ainsi que la maıtrise des outils mathematiques et informatiques developpes acet effet. Les methodes proposees pour resoudre les problemes evoques ci-dessussont nombreuses, mais elles peuvent toutes se resumer a l’enonce mathematiquesuivant, a savoir maximiser ou minimiser une fonction numerique de variablessoumises a diverses contraintes.

A partir de la fin de la Seconde Guerre Mondiale, de nouvelles methodespermirent de resoudre des problemes complexes la ou les methodes classiquesechouaient. Ces methodes furent connues sous le nom de programmation lineaire,developpees principalement par George B. Dantzig (ne le 8 novembre 1914), ma-thematicien americain et createur de la methode du Simplexe, et L. Kantorovich(1912-1986). Danzig, outre la programmation lineaire, etudia entre autres la pro-grammation mathematique, la prise de decision et les modeles de planification alarge echelle. L’impact de son œuvre fut considerable en gestion et en economieet ses methodes restent totalement d’actualite.

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Introduction

1.1 Problemes de programmation mathematique

De maniere generale, la resolution de problemes de programmation mathema-tique vise a determiner l’allocation optimale (c’est-a-dire la meilleure combinaisonpossible) de ressources limitees pour atteindre certains objectifs. Les allocationsdoivent minimiser ou maximiser une fonction dite objectif. En economie, cesfonctions sont par exemple le profit ou le cout. Ces problemes, traites par la pro-grammation mathematique, se distinguent des problemes d’optimisation classiquepar le fait que leurs solutions sont d’ordre numerique. Celles-ci sont obtenues parune technique numerique iterative, alors que les solutions a un probleme classiquesont en general donnees sous forme de formules fermees. La forme generale d’unprobleme de programmation mathematique est la suivante :

Optimiser z = f(x1, x2, . . . , xn) (1.1)

Sous les contraintes hi(x1, x2, . . . , xn)

≤≥=

bi i = 1 . . .m (1.2)

ou les fonctions f et hi sont des fonctions numeriques a n variables.La fonction f de (1.1) est la fonction objectif a optimiser, tandis que les equationsou inequations de (1.2) sont les contraintes.Selon la nature des fonctions f et hi, on peut etre confronte a plusieurs typesde problemes de programmation mathematique. Lorsque les fonctions f et hi,i = 1, ...,m sont lineaires, il s’agit d’un probleme de programmation lineaire. Side plus, on impose que les variables ne peuvent prendre que des valeurs entieres,on parle de programmation lineaire entiere. Les problemes dans lesquels la fonc-tion f ou hi sont non lineaires font partie de la programmation non-lineaire. Uncas particulier est la programmation quadratique relative aux problemes pourlesquels la fonction f est quadratique et les fonctions hi lineaires. Par la suite,nous etudierons essentiellement les problemes de programmation lineaire.

1.2 Problemes de programmation lineaire

la programmation lineaire est beaucoup utilisee (pour ne citer que les cas lesplus connus) dans la logistique, la finance d’entreprise ou encore aussi en theoriede la decision lorsque nous devons resoudre un jeu a strategie mixte (Theorie dela decision et des jeux). Dans le cadre de resolution de problemes ou interviennentdes produits de deux variables nous parlons alors logiquement ”programmationquadratique”. C’est typiquement le cas en econometrie dans la modelisation desportefeuilles (Econometrie). La programmation lineaire est un cas particulier de laprogrammation mathematique pour laquelle (1.1) et (1.2) sont lineaires. De plus,les variables sont supposees etre non-negatives. Un probleme de programmationlineaire revient donc a :

2 Programmation lineaire

1.2 Problemes de programmation lineaire

Optimiser z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn (1.3)

Sous les contraintes ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn

≤≥=

bi (1.4)

xj ≥ j = 1 . . . n (1.5)

aij, bi et cj sont des constantes connues, avec i = 1 . . .m et j = 1, . . . nCe cours sera consacre a la resolution de problemes de programmation lineairepar deux methodes :• La methode graphique• La methode du Simplexe

Pr.Khatmi 3

Introduction


Chapitre 2

Formulation d’un programmelineaire (PL)

2.1 Les conditions de formulation d’un PL

La programmation lineaire comme etant un modele admet des hypotheses(des conditions) que le decideur doit valider avant de pouvoir les utiliser pourmodeliser son probleme. Ces hypotheses sont :

1. Les variables de decision du probleme sont positives

2. Le critere de selection de la meilleure decision est decrit par une fonctionlineaire de ces variables, c’est a dire, que la fonction ne peut pas conte-nir par exemple un produit croise de deux de ces variables. La fonctionqui represente le critere de selection est dite fonction objectif (ou fonctioneconomique).

3. Les restrictions relatives aux variables de decision (exemple : limitations desressources) peuvent etre exprimees par un ensemble d’equations lineaires.Ces equations forment l’ensemble des contraintes.

4. Les parametres du probleme en dehors des variables de decisions ont unevaleur connue avec certitude

2.2 Les etapes de formulation d’un PL

Generalement il y a trois etapes a suivre pour pouvoir construire le modeled’un programme lineaire :

1. Identifier les variables du probleme a valeur non connues (variable de deci-sion) et les representer sous forme symbolique (Par exemple x1;x2)

2. Identifier les restrictions (les contraintes) du probleme et les exprimer parun systeme d’equations lineaires.

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Formulation d’un programme lineaire (PL)

3. Identifier l’objectif ou le critere de selection et le representer sous une formelineaire en fonction des variables de decision. Specifier si le critere de selec-tion est a maximiser ou a minimiser.

2.3 Presentation theorique

Un programme lineaire consiste a trouver le maximum ou le minimum d’uneforme lineaire dite fonction objectif en satisfaisant certaines equations et inegalitesdites contraintes. En langage mathematique, on decrira de tels modeles de lamaniere suivante :

Soient N variables de decision x1, x2 . . . , xn, l’hypothese que les variables dedecision sont positives implique que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0La fonction objectif est une forme lineaire en fonction des variables de decisionde type

z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

ou les coefficients c1, . . . , cn doivent avoir une valeur bien determinee (avec certi-tude) et peuvent etre positifs, negatifs ou nuls. Par exemple le coefficient ci peutrepresenter un profit unitaire lie a la production d’une unite supplementaire dubien xi, ainsi la valeur de z est le profit total lie a la production des differentsbiens en quantites egales a x1, x2, . . . , xn

Supposons que ces variables de decision doivent verifier un systeme d’equa-tions lineaires definis par p inegalites :

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≥ b2...

ap1x1 + ap2x2 + . . .+ apnxn ≥ bp

ou les coefficients aij et bi i = 1 . . . p , j = 1 · · ·n doivent avoir une valeurbien determinee (avec certitude) et peuvent etre positifs, negatifs ou nuls. Leparametre bi represente la quantite de matiere premiere disponible dont le bienxj utilise une quantite egale a aijxj .En suivant les etapes de formulation ci-dessus, on peut representer le PL commesuit :

Optimiser z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxnSous contraintes a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≥ b2...

ap1x1 + ap2x2 + . . .+ apnxn ≥ bpx1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0


2.4 Exemples de formulations

2.4 Exemples de formulations

La tache de formulation demande generalement une certaine expertise etconnaissance du probleme pour pouvoir relever facilement les differentes com-posantes du probleme et ainsi donner un programme qui modelise au mieux lasituation reelle. Dans ce qui suit, on presentera quelques exemples de formulationen programme lineaire lies a differents problemes de decision :

Exemple 2.4.1 (Probleme d’agriculture).Un agriculteur veut allouer 150 hectares de surface irrigable entre culture de

tomates et celles de piments. Il dispose de 480 heures de main d’oeuvre et de 440m3 d’eau. Un hectare de tomates demande 1 heure de main d’oeuvre, 4 m3 d’eauet donne un benefice net de 100 dhs. Un hectare de piments demande 4 heures demain d’oeuvre, 2 m3 d’eau et donne un benefice net de 200 dhs.Le ministere d’agriculture veut proteger le prix des tomates et ne lui permet pasde cultiver plus de 90 hectares de tomates. Quelle est la meilleure allocation deses ressources ?

1. Identification des variables de decisionLes deux activites que l’agriculteur doit determiner sont les surfaces a al-louer pour la culture de tomates et de piments :• x1 : la surface allouee a la culture des tomates• x2 : la surface allouee a la culture des pimentsOn verifie bien que les variables de decision x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0

2. Identification des contraintes.Dans ce probleme les contraintes representent la disponibilite des facteursde production :• Terrain : l’agriculteur dispose de 150 hectares de terrain, ainsi la contrainte

liee a la limitation de la surface de terrain est x1 + x2 ≤ 150• Eau : la culture d’un hectare de tomates demande 4 m3 d’eau et celle

d’un hectare de piments demande 2m3 mais l’agriculteur ne dispose quede 440m3. La contrainte qui exprime les limitations des ressources en eauest 4x1 + 2x2 ≤ 440• Main d’œuvre : Les 480 heures de main d’oeuvre seront departager

(pas necessairement en totalite) ente la culture des tomates et celles despiments. Sachant qu’un hectare de tomates demande une heure de maind’oeuvre et un hectare de piments demande 4 heures de main d’oeuvrealors la contrainte representant les limitations des ressources humainesest x1 + 4x2 ≤ 480• Les limitations du ministere d’agriculture : Ces limitations exigent

que l’agriculteur ne cultive pas plus de 90 hectares de tomates. La contraintequi represente cette restriction est x1 ≤ 90

3. Identification de la fonction objectifLa fonction objectif consiste a maximiser le profit apporte par la culture

Pr.Khatmi 7


de tomates et de piments. Les contributions respectives 100 et 200, desdeux variables de decision x1 et x2 sont proportionnelles a leur valeur. Lafonction objectif est donc z = x1 + 2x2. Le programme lineaire qui modelisele probleme d’agriculture est :

Maximiser z = 100x1 + 200x2Sous contraintes x1 + x2 ≤ 150

4x1 + 2x2 ≤ 440x1 + 4x2 ≤ 480

x1 ≤ 90x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Exemple 2.4.2 ( Probleme de medecine).Un specialiste en medecine a fabrique un medicament (des pilules) pour guerir

les sujets atteints d’un rhume. Ces pilules sont fabriquees selon deux formats :• Petite taille : elle contient 2 grains d’aspirine, 5 grains de bicarbonate et 1

grain de codeine.• Grande taille : elle contient 1 grain d’aspirine, 8 grains de bicarbonate et 6

grains de codeine.Pour guerir la maladie, le sujet a besoin d’au moins 12 grains d’aspirine, 74

grains de bicarbonate et 24 grains de codeine. Determiner le nombre de pilulesminimales a prescrire au sujet pour qu’il soit guerit.

Le probleme de medecine presente certaines ressemblances avec le probleme del’agriculture, dans les deux cas c’est un probleme d’allocation de ressources.

1. Identification des variables de decisionLes variables de decision qui representent des valeurs inconnues par le de-cideur qui est dans ce cas le specialiste en medecine sont :• x1 : le nombre de pilules de petite taille a prescrire.• x2 : le nombre de pilules de grande taille a prescrire.On verifie bien que les variables de decision x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0

2. Identification des contraintes.Les contraintes imposees par le probleme sur les valeurs possibles de x1 etx2 sont :• La prescription doit contenir des pilules avec au moins 12 grains d’aspi-

rine. Sachant qu’une petite pilule contient 2 grains d’aspirine et qu’unegrande pilule contient un seul grain d’aspirine, on obtient la contraintesuivante : 2x1 + x2 ≥ 12• De la meme facon que pour l’aspirine, la prescription du specialiste en

medecine doit contenir au moins 74 grains de bicarbonate.Sachant qu’unepetite pilule contient 5 grains de bicarbonate et qu’une grande pilule contient8 grains de bicarbonate. Ainsi la contrainte suivante doit etre satisfaite :5x1 + 8x2 ≥ 74


2.5 Exercices

• Finalement la contrainte imposee par le fait que la prescription doit conte-nir au moins 24 grains de codeine et sachant qu’une petite pilule contientun grain de codeine et qu’une grande pilule contient 6 grains de codeine.La contrainte est x1 + 6x2 ≥ 24

3. Identification de la fonction objectifOn remarque qu’il y a plusieurs couples de solutions qui peuvent satisfaireles contraintes specifiees a l’etape 2. La prescription doit contenir le mini-mum possible de pilules. Donc le critere de selection de la quantite de pilulesa prescrire est celle qui minimise le nombre total des pilules z = x1 +x2. Leprogramme lineaire qui modelise ce probleme medical est donc le suivant :

Minimiser z = x1 + x2Sous contraintes 2x1 + x2 ≥ 12

5x1 + 8x2 ≥ 74x1 + 6x2 ≥ 24

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

2.5 Exercices

Faites la formulation mathematique des programmes lineaires suivants.

Exercice 2.5.1.Une entreprise fabrique des chaises et des tables a l’aide de deux machines A

et B. Chaque produit passe obligatoirement par les deux machines. Pour produireune chaise, il faut 2 heures de machine A et 1 heure de machine B. Pour produireune table, il faut 1 heure de machine A et 2 heures de machine B. L’entrepriserealise un benefice de 3Dh sur chaque chaise et de 4 Dh sur chaque table. Les deuxmachines A et B sont disponibles 12 heures par jour au maximum. Le problemeconsiste a savoir combien de chaises et de tables il faut fabriquer pour maximiserle benefice.

Exercice 2.5.2.Une compagnie possede deux mines de charbon A et B. La mine A produit

quotidiennement 1 tonne de charbon de qualite superieure, 1 tonne de qualitemoyenne et 6 tonnes de qualite inferieure. La mine B produit par jour 2, 4 et3 tonnes de chacune des trois qualites. La compagnie doit produire au moins 90tonnes de charbon de qualite superieure, 120 tonnes de qualite moyenne et 180tonnes de qualite inferieure. Sachant que le cout de production journalier est lememe dans chaque mine, soit 1 000, quel est le nombre de jours de productiondans la mine A et dans la mine B qui minimisent le cout de production de lacompagnie ?

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Exercice 2.5.3.Un tailleur a a sa disposition 10 metres de coton, 7,5 metres de laine et 5

metres de soie. Il a besoin pour un complet d’un metre de coton, d’un metre delaine et de 0,25 metre de soie. Pour une robe, il emploie un metre de coton, 0,5metre de laine et un metre de soie. Si un complet coute 160 Dh et une robe 100Dh, combien doit-il confectionner de complets et de robes pour maximiser sonrevenu ?

Exercice 2.5.4.Une dieteticienne doit preparer un repas compose de deux aliments A et B qui

contienne au moins 300 g de proteines et 400 g d’hydrates de carbone. Chaqueunite de l’aliment A contient 10 g de proteines et 16 g d’hydrates de carbone etcoute 80 centimes. Chaque unite de l’aliment B contient 12,5 g de proteines et10 g d’hydrates de carbone et coute 1,20 Dh. Determiner le melange qui coutele moins cher et qui apporte la quantite requise de proteines et d’hydrates decarbone.


Chapitre 3

Resolution graphique

3.1 Introduction

Apres avoir illustrer par des exemples, comment un probleme pratique peutetre modelise par un programme lineaire, l’etape qui va suivre sera certainementcelle de la resolution de ce probleme mathematique. La methode graphique estl’une des premieres methodes utilisees a ce sujet. Cette methode n’est applicableque dans le cas ou il n’y a que deux variables ou au plus trois variables. Sonavantage est de pouvoir comprendre ce que fait la methode generale du Sim-plexe, sans entrer dans la technique purement mathematique. Soit le problemed’optimisation lineaire suivant :

Optimiser z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn (3.1)

Sous les contraintes ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn

≤≥=

bi (3.2)

xj ≥ 0 j = 1 . . . n (3.3)

aij, bi et cj sont des constantes connues, avec i = 1 . . .m et j = 1, . . . n

Definition 3.1.1.• On appelle point admissible ou point realisable , tout point x de l’espace

qui satisfait les contraintes economiques et les contraintes de signe (3.2) et(3.3).• On appelle Zone des solutions admissibles ou ensemble des solu-

tions realisables, l’ensemble des points realisables.

Definition 3.1.2.• On appelle solution optimale un point realisable qui optimise (maximise ou

minimise) la fonction objectif z(x).• La valeur optimale est la valeur de la fonction objectif z(x) atteinte pour

toute solution optimale.

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3.2 Representation graphique des contraintes

Une representation graphique des inegalites (des contraintes) va nous per-mettre de determiner l’ensemble des solutions realisables.

Revenons a l’exemple du probleme de medecine. Une des contraintes de ceprobleme est celle relative au grain d’aspirine :2x1 + x2 ≥ 12.L’ensemble des solutions qui verifient cette inegalite est le demi-plan limite parla droite 2x1 + x2 = 12 situe au dessus de celle-ci.

Figure 3.1 – Representation du demi plan 2x1 + x2 ≥ 12

L’espace hachure represente le demi-plan des solutions qui verifient la contrainte 2x1+x2 ≥ 12

Si on fait de meme pour les deux autres contraintes du probleme (voir figures 3.2),on obtient les deux autres demi-plans P2 et P3 relatifs aux solutions verifiantrespectivement les contraintes 5x1 + 8x2 ≥ 74 et x1 + 6x2 ≥ 24.

Figure 3.2 – Representation des demi- plans 5x1 + 8x2 ≥ 74 et x1 + 6x2 ≥ 24


3.3 Representation de la fonction objectif

Donc la zone des solution realisables du probleme est l’ensemble des pointsdu plan qui appartiennent aux trois demi-plans relatifs a chaque contrainte duprogramme lineaire, en d’autre terme l’intersection des trois demi plans(P1 ∩ P2 ∩ P3) voir figure (3.3)

Figure 3.3 – Zone des solutions realisables

Remarque 3.2.1. La region des solutions admissibles est un ensemble convexe(c.a.d. tout segment de droite dont les extremites appartiennent a l’ensemble estentierement inclus dans cet ensemble).

3.3 Representation de la fonction objectif

La fonction objectif est une droite d’equation z = ax+ by ⇔ y = −abx+ z

b

Definition 3.3.1.• −a

best la pente de la droite.

• le vecteur directeur de la droite est donne par le vecteur

(−ba

)• le vecteur normal de la droite est donne par le vecteur

(ab

)Proposition 3.3.1. Deux droites qui ont la meme pente sont parralleles

Remarque 3.3.1. On peut tracer une infinite de droites qui representent desdifferentes valeurs de la fonction objectif, toutes ces droites ont la meme pente −a

b.

Par suite elles sont paralleles entre elles. Donc pour les tracer, il suffit d’initialiserla fonction objectif, tracer la droite corespondante et prendre toutes les droites quilui sont paralleles.

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Remarque 3.3.2. Pour initialiser la fonction objectif z c’est a dire lui donnerune valeur z0 , il suffit de choisir un point (x0; y0) qui appartient a la zone dessolutions admissibles et calculer la valeur de z qui lui corresponds z0 = ax0 + by0.

On peut diminuer ou augmenter la valeur de z indefiniment.Le probleme estde connaıtre qu’elle est la droite qui correspond a la valeur optimal de la fonctionobjectif ?

3.4 Recherche du point optimal de la fonction

objectif

1. On dessine la zone des solutions admissibles.

2. Initialiser la fonction objectif z et tracer la droite qui la represente.

3. On translate la droite de la fonction objectif selon son vecteur normal.

Si le vecteur normal indique un deplacement vers le haut, la fonction ob-jectif doit couper l’axe (OY ) le plus haut possible dans le cas d’unemaximisation, et le plus bas possible dans le cas d’une minimisation,tout en touchant la zone des solutions admissibles.

Si le vecteur normal indique un deplacement vers le bas, la fonction ob-jectif doit couper l’axe (OY ) le plus bas possible dans le cas d’unemaximisation, et le plus haut possible dans le cas d’une minimisation,tout en touchant la zone des solutions admissibles.

Si le vecteur normal est un vecteur horizontal (cas rare mais possible), lafonction objectif ne coupera pas l’axe (OY ). Le point optimal sera,selon les cas, le plus eloigne ou le plus proche de l’axe (OY ).

4. Le point optimal est le dernier point de la zone des solutions admissiblesque la droite de la fonction objectif touchera lors de son deplacement.

Exemple 3.4.1 (Probleme de maximisation avec la normale dirigee vers le haut).

Maximiser z = 1200x1 + 1000x2Sous contraintes 3x1 + 4x2 ≥ 160

6x1 + 3x2 ≥ 180x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Les contraintes economiques et de signe sont representees graphiquement par desdemi-plans dont l’intersection est un ensemble convexe (c.a.d. tout segment dedroite dont les extremites appartiennent a l’ensemble est entierement inclus danscet ensemble). Les solutions, si elles existent appartiennent donc a cet ensemble. Ils’agit donc de chercher a l’interieur de ce domaine, le couple (x1, x2) maximisantla fonction objectif.


3.4 Recherche du point optimal de la fonction objectif

Figure 3.4 – Zone des solutions realisables

On a le point (0, 0) appartient au domaine, donc on peut choisir la valeur ini-tiale z0 = 1200∗0 + 1000∗0 = 0 et tracer la droite 1200x1 + 1000x2 = 0 qui passepar l’origine et donne une valeur nulle a la fonction economique. Pour augmenterla valeur de z0 et donc la fonction economique, il suffit de deplacer cette droitevers le haut puisque le vecteur normal de la fonction economique est dirige vers lehaut. cette droite sera deplacee jusqu’a l’extreme limite ou il n’y aura plus qu’unpoint d’intersection (eventuellement un segment) avec la region des solutions ad-missibles. On remarquera que la solution optimale se trouve necessairement sur

Figure 3.5 – Recherche du point optimal

le pourtour de la region des solutions admissibles. La solution se trouvant sur lesdeux droites d’equation (3x1 + 4x2 = 160 et 6x1 + 3x2 = 180). La resolution dece systeme conduit a la solution x1 = 16 ;x2 = 28, d’ou z = 47200.

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Exemple 3.4.2 (Probleme de maximisation avec la normale dirigee vers le bas).

Maximiser z = x1 − x2Sous contraintes x1 − 2x2 ≤ 2

2x1 − x2 ≤ 4x1 + x2 ≤ 5

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Figure 3.6 – Recherche du point optimal

Les contraintes economiques et de signe sont representees graphiquement pardes demi-plans dont l’intersection est un ensemble convexe. Les solutions, si ellesexistent appartiennent donc a cet ensemble. Il s’agit donc de chercher a l’interieurde ce domaine, le couple (x1, x2) maximisant la fonction objectif. On considerele point (1, 1) qui appartient a cette zone (voir figure (3.6) pour initialiser lafonction z0 = 1− 1 = 0 et tracer la droite z = x− y = 0.Pour augmenter la fonction economique, il suffit de deplacer cette droite vers lebas puisque le vecteur normal de la fonction economique est dirige vers le bas.cette droite sera deplacee jusqu’a l’extreme limite ou il n’y aura plus qu’un pointd’intersection avec la region des solutions admissibles.


3.4 Recherche du point optimal de la fonction objectif

On remarque que la solution optimale se trouve sur les deux droites d’equation(2x1−x2 = 4 et x1−2x2 = 2). La resolution de ce systeme conduit a la solutionx1 = 2 ;x2 = 0, d’ou z = 2.NB : les coordonnees du point optimal peuvent etre releves directement sur legraphique.

Exemple 3.4.3 (Probleme de minimisation).Une compagnie possede deux mines de charbon A et B. La mine A produit

quotidiennement 1 tonne de charbon de qualite superieure, 1 tonne de qualitemoyenne et 6 tonnes de qualite inferieure. La mine B produit par jour 2, 4 et3 tonnes de chacune des trois qualites. La compagnie doit produire au moins 90tonnes de charbon de qualite superieure, 120 tonnes de qualite moyenne et 180tonnes de qualite inferieure. Sachant que le cout de production journalier est lememe dans chaque mine, soit 1 000, quel est le nombre de jours de productiondans la mine A et dans la mine B qui minimisent le cout de production de lacompagnie ?

Pour traduire ce probleme sous la forme d’un programme lineaire, posons x1le nombre de jours de travail dans la mine A et x2 celui dans la mine B. Par jour,la mine A permet de produire 1 tonne de charbon de qualite superieure tandis quela mine B peut en produire 2 tonnes. Comme la compagnie doit en produire aumoins 90 tonnes, la contrainte s’ecrit :

x1 + 2x2 ≥ 90

De meme, pour les deux autres qualites de charbon, on trouve :

x1 + 4x2 ≥ 120

6x1 + 3x2 ≥ 180

La fonction objectif a minimiser est :

z = 1000x1 + 1000x2

Le probleme de programmation lineaire s’ecrit donc :

Minimiser z = 1000x1 + 1000x2Sous contraintes x1 + 2x2 ≥ 90

x1 + 4x2 ≥ 1206x1 + 3x2 ≥ 180

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

La figure (3.7) indique dans sa partie hachuree l’ensemble des points (x1;x2) quisatisfont les contraintes. Il s’agit dans ce cas d’une region non-bornee qui a poursommets les points :

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X Intersection de la droite d’equation 6x1 + 3x2 = 180 avec l’axe x2 : (0; 60).X Intersection des droites 6x1 + 3x2 = 180 et x1 + 2x2 = 90 : (10; 40).X Intersection des droites x1 + 2x2 = 90 et x1 + 4x2 = 120 : (60; 15).X Intersection de la droite d’equation x1 + 4x2 = 120 avec l’axe x1 : (120; 0).

Figure 3.7 – L’ensemble des points realisables n’est pas borne.

La fonction objectif etant donnee par z = 1000x1 + 1000x2 sa pente vaut -1. En tracant des droites paralleles ayant pour pente -1, on s’apercoit que cellequi conserve un point en commun avec la region realisable et dont l’ordonnee al’origine est la plus petite est la droite passant par le sommet (10; 40). La solutionoptimale est donc x1 = 10 et x2 = 40. Le cout de production est donne par :

z = 1000(10) + 1000(40) = 50000

3.5 Les differents types de solutions d’un pro-

bleme de PL

Jusqu’ici, les problemes resolus graphiquement avaient une solution optimaleunique, ce qui n’est pas toujours le cas. En effet, trois autres situations peuventse presenter. Ces differents types de solutions sont expliques dans les problemessuivants.

3.5.1 Infinite de solution

Maximiser z = x+ ySous contraintes 2x+ 2y ≤ 8

x ≥ 0, y ≥ 0


3.5 Les differents types de solutions d’un probleme de PL

Comme indique sur la figure (3.8), la region realisable est ici un triangle rectangledont les sommets sont les points (0 ;0), (0 ;4) et (4 ;0). La fonction objectif estparallele a l’hypotenuse.

Figure 3.8 – L’ensemble des points realisables est un triangle.

La droite qui permet d’attribuer la plus grande valeur a z est le segment dedroite reliant les sommets (0 ;4) et (4 ;0). Par consequent, tous les points de cesegment representent une solution optimale au probleme. Il existe donc une infi-nite de solutions qui donnent la meme valeur de z, a savoir 4. Comme les solutionsoptimales a ce probleme correspondent au segment de droite d’extremites (0 ;4)et (4 ;0), elles peuvent etre decrites par l’ensemble :

{(xy

)= µ

(04

)+ (1− µ)

(40

), 0 ≤ µ ≤ 1}

En faisant varier µ entre 0 et 1 on obtient toutes les solutions optimales

3.5.2 Solution optimale infinie

Maximiser z = 2x1 + 5x2Sous contraintes 8x1 + 4x2 ≥ 40

x1 + 5x2 ≥ 10x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Dans cet exemple, il sufit d’attribuer a x1 et x2 des valeurs suffisamment grandespour que les contraintes soient satisfaites. La valeur de la fonction objectif peutetre augmentee indefiniment. Sur la figure (3.9), nous constatons que la regionrealisable n’est pas bornee et que la fonction objectif peut etre deplacee a l’infinien conservant toujours une intersection non vide avec la region realisable. Dansce cas, on dit que le programme lineaire possede une solution optimale infinie.

Pr.Khatmi 19


Figure 3.9 – L’ensemble des points realisables n’est pas borne.

3.5.3 Aucune solution

Maximiser z = 2x1 + x2Sous contraintes x1 + x2 ≤ 2

x1 − x2 ≥ 3x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

La figure (3.10) ne presente pas de region realisable. En effet, il n’existe aucunpoint qui satisfait simultanement les deux contraintes ainsi que les contraintes denon-negativite. Le programme lineaire ne possede donc aucune solution.

Figure 3.10 – L’ensemble des points realisables est impossible.


3.6 Conclusion

En resume, il existe quatre types de solutions a un probleme de programmationlineaire :

X Solution optimale unique ;X Infinite de solutions optimales ;X Solution optimale infinie ;X Aucune solution.

3.6 Conclusion

Nous allons resumer quelques-unes des proprietes des problemes de program-mation lineaire que nous avons resolus graphiquement. Nous avons vu que pourun programme lineaire fini, la region des solutions realisables etait convexe, qu’ellepossedait des sommets et que des aretes reliaient les differents sommets. De plus,nous avons remarque que lorsque le maximum ou le minimum de z etait fini, lasolution optimale etait toujours un sommet de la region realisable. La situationetait differente quand la fonction objectif pouvait prendre des valeurs infinies.Dans ce cas, naturellement, aucun sommet n’etait optimal. Du point de vue dela terminologie, des solutions infinies ne sont pas qualifiees d’optimales. Le terme”solution optimale” est employe quand le minimum ou le maximum de z est fini.A noter que ces constatations, qui derivent de simples exemples graphiques, sontvraies pour le cas general de la programmation lineaire. Nous en reparleronsd’ailleurs quand nous etudierons la methode du simplexe.

3.7 Exercices

Faites la resolution graphique des exercices du chapitre 1

Pr.Khatmi 21

chapitre 3 de math

Documents

programmation lineairepr

nom de programmation

formulation dun pl

methodes approu

methodes proposees

methodes classiquesechouaient

conditions de formulation

fonction objectif