CilindrosCilindrosTen Villa Nova

Objetivos – UD VII- Ass 2.

•Identificar o cilindro finito e seus elementos.

•Identificar cilindro equilátero.•Identificar tronco de cilindro.•Aplicar as fórmulas de áreas e volume dos

cilindros e troncos.•Resolver problemas diversos sobre

cilindros.

A invenção da roda, uma das mais importantes criações humanas, provavelmente teve origem na constatação de que objetos pesados podem ser deslocados com facilidade sobre tronco de árvores.

1. Definição do cilindro circularSejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O.

r

O

1. Definição do cilindro circularConsideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro pertencente a β.

r

O

O´

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cilindro circular limitado, ou simplesmente, cilindro.

2. Elementos

O’

O

base

base

raio da base (r)

eixo

geratriz (g)

.

.

altura (h)

2. Classificação

Cilindro circular reto

geratriz perpendicular à base

.

Cilindro circular oblíquo

geratriz oblíqua à base

g = hg ≠ h

Exercícios

1. Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base medindo 4 cm.

Al = 56π cm2 . At = 88π cm2 .

2. Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular de altura h e raio da base medindo r .

Al = 2π r h ; At = 2π r(h+r).

Secção Meridiana Uma secção meridiana de um cilindro circular é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros das bases desse cilindro.

secção meridiana

Exercícios

3. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base medindo 4 cm.

ASM = 56 cm2.

4. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um cilindro circular de altura h e raio da base medindo r .

ASM = 2 r h

SemicilindroQualquer secção meridiana de um cilindro circular reto divide-o em dois sólidos congruentes chamados semicilindros circulares retos.

Cilindro equiláteroTodo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro equilátero.

2r

h

2 r = h

5. A área lateral de um cilindro equilátero é 100π cm2. Calcular a área total desse cilindro.

At = 150π cm2

Exercícios

Cilindro de revolução

O cilindro circular reto é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

geratrizeixo

Como (2) é um paralelepípedo e

V2= A2 . h então

V1 = A1. h

β

A2

A’2

h

(1) (2)

Assim:V= π r 2.h

Volume do Cilindro (Princípio de

Cavalieri)

A1

A’1

6. Calcular o volume de um cilindro circular de altura 20 cm e raio da base 5 cm.

V = 5o0π cm3

7. Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de 6 dm de altura e volume 54π dm3 .

A l= 36π dm2

Exercícios

Tronco reto de um cilindro circular

Um plano que intercepta obliquamente todas as geratrizes de um cilindro circular reto separa-o em dois sólidos chamados de troncos retos de cilindro circular.

Geratriz maior do tronco (G)

geratriz menor do tronco (g)

base não circular

base circular

Volume de um tronco reto de um cilindro circular

Consideremos um tronco reto de cilindro circular cujo raio da base circular mede r, a geratriz maior mede G e menor mede g.

Gg

r

Assim:V= π r 2.(G

+ g) 2

9. Em um tronco reto de cilindro circular a geratriz maior mede 14 cm e a menor mede 10 cm, sendo 4 cm o raio da base circular. Calcule o volume desse tronco.

V = 192π cm3

Exercícios

10. Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura mede 10 cm, contém certo volume de água. Inclinando-se o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtém a medida descrita nas figuras abaixo. Determine, em cm3, o volume de água contida nesse copo.(adote = 3,14) (3 escores)

V = 254,34 cm3

Exercícios (AE4-2010)

Exercícios

11. Derretendo-se duas barras de chocolate com formas cúbicas de arestas 8 cm e 10 cm, tem-se um volume capaz de preencher um cilindro de 6 cm de raio e altura h. Qual é o valor de h. (utilize π=3)

14cm

12. Um tonel (cilindro reto) está ocupado em 60% de sua capacidade. Se o diâmetro da base é 50 cm e a altura é 60/ π cm. Qual a quantidade de água nele contida, em litros?

22,5l

Enem

2010

Exercícios13. Uma piscina de plástico tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com 1,5 m de largura, 2 m de comprimento e 0,80 m de profundidade.a) Qual a capacidade, em litros, da piscina?2400lb) Se pelo desgaste do tempo ocorresse um furo na piscina a 20 cm do chão, qual seria o volume de água escoada por este orifício?1800lc) Se a vazão de água deste furo é de 2l/min, por quanto tempo escoará a água?15h

Exercícios (AE4-2010)14. Um determinado doce de leite é embalado em latas com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. Determine:a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material. (adote = 3,14) (5 escores)

A embalagem A gasta menos material

b) Qual das duas embalagens é mais vantajosa para o consumidor, sabendo que o doce embalado no cilindro A é vendido por R$ 4,00 e o do cilindro B é vendido por R$ 7,00 (adote = 3,14) (3 escores)A embalagem mais vantajosa é a B